Nuevos métodos analíticos de la estructura del universo a gran escala: aplicaciones de la aproximación de Zeldovich completa

Nuevos m´etodos anal´ıticos de la estructura del universo a gran escala: aplicaciones de la aproximaci´on de Zeldovich completa M´ ASTER UNIVERSITARIO EN ASTROF´ ISICA FACULTAD DE F´ ISICA TRABAJO DE FIN DE M´ ASTER Carles Sanchis Caroz Supervisado por Dr. Juan Betancort Rijo Septiembre de 2020 Abstract The structure formation in the universe is a subject of a great interest since last century and it is directly linked to the evolution of the universe. During this time different models have been proposed and nowadays the paradigm is that quantum density fluctuations grew since the inflationary epoch until they become non-linear and are virialized. These initial fluctuations are described by the Harrison Zeldovich power spectra which is modified by some physical effects until the separation between radiation and matter at the moment of recombination (z= 1100). From that moment on only gravity affects these fluctuations increasing their amplitude but not modifying the shape of power spectra. The radiation escaping at recombination which is observed now reflects the fluctuations at that moment and it allows us to determine that the cold dark matter (CDM) is necessary to explain the acceleration of the growth of the barionic fluctuations. The consideration of the CDM, that produces the bottom-up formation of the structures, and the accelerated expansion of the universe leads to the ΛCDM model. The growth of the density fluctuations is given by the linear theory in the newtonian approximation, but in the non-linear regime there is no analytical treatment and we need the N-body simulations that are the most accurate method but tedious. In 1970, knowing the necessity of a faster method, Zeldovich presented an approximation (ZA) based on the linear regime and postulated its validity in the non-linear regime assuming a certain error but generally explaining the structure formation. This approximation expresses the proper coordinates in terms of the initial coordinates (Lagrangian) with a perturbation in the peculiar velocity field, which implies a linear displacement field, that leads to the density fluctuations. Then, considering the conservation of mass, these fluctuations in the proper system can be expressed in function of the proper values (λi) of the local strain tensor given by the linear theory in terms of the initial coordinates. After this approximation, some others came out as the ones based on the Lagrangian perturbation theory (LPT). These approximations are generally non-local, which means that the strain tensor is not a unique function of the proper values, making them more complex but more accurate. But local approximations as the MZA (Reisenegger & Miralda-Escud´e, 1995), the LTA (Hui & Bertschinger, 1996) or the DTA (Audit & Alimi, 1996) were presented as well as the complete Zeldovich approximation (CZA) (Betancort-Rijo & L´opez-Corredoira, 2000) that only depend on the linear proper values like the ZA but they are substantially more accurate. The difference between the latter and the rest is that the CZA has an explicit expression on the proper values while in the others the solution of differential equations is needed. The ZA is exact to first order while the CZA is exact to second order. The linear density field given by ZA is equal to minus the divergence of the linear displacement field and equal to the addition of the λi. In the same way, the divergence of the displacement field of the CZA can be expressed as minus the addition of the riλiproduct, giving the real displacement, where the function riis the fact that distinguishes both approximations. Therefore, the aim of this work is to determine the general algorithm of the CZA and obtain the density field and its displacement field that gives the final positions, i.e. eulerian coordinates. iii To do that, a program in Fortran 90 has been developed to generate a realization of the gaussian random field in a cubic volume with size Las an example of the input parameters. First of all, we generate the gaussian random field in the present day, using the power spectra of the cold dark matter obtained from the observations, as well as the linear displacement field and the linear strain tensor. We express these quantities as Fourier series and compute them with a certain number of modes as another input parameter. Due to the fact that the linear strain tensor is a symmetric matrix with real coefficients, it can be diagonalized and then we obtain its proper values λithat are the key values in what the approximation is based. A few checks are made to ensure that the gaussian random field, the linear displacement field and the linear strain tensor are well generated. Some of these checks are: the recovery of the amplitude of the density fluctuations in the Fourier space with which we have already generated the gaussian field in the real space, that the addition of the three λiof every point is equal to the linear density field and that its shape is a gaussian, that the λifulfill the Doroshkevich distribution and that the calculation of the strain tensor by finite differences agrees with the analytic expression. We consider the shell crossing effect, which consists in the overtaking of one shell of matter over another one, that implies the equilibrium between the inner and outer fluxes of matter when an object is collapsing. The result is constant density in the physical space, that implies the increase of density fluctuations with time due to the background density decays because of the expansion of the universe. This treatment restricts the value of the riλiin every point making the CZA expression valid everywhere. Before we treat this effect, we have to determine the function rito be valid for any value of the λi. For positive values of λithe expression used in Betancort-Rijo & L´opez-Corredoira (2000) works perfectly but has problems for negative values. We find for points with three negative λia modification of this expression and for points with at least one negative λiwe use an approximation that works indetically for small absolute values and it is better for big absolute values. The program works for any value of the input parameters Ωm0, Ωr0and ΩΛ0. With the correct values of riλiwe obtain the density field in the proper coordinates with the expression of CZA and also the real displacement field that gives the final positions of the particles. For the calculation of the latter in a specific point, we have solved a differential equation that implies an integral that we calculate as the addition of the contribution of every point of the mesh. In the same way, the linear displacement field have been obtained. To test the accuracy of these calculations, the root of the mean squared fractional error (RMSE) between the linear displacement field obtained analytically and the one mentioned now is computed. The more RMSE approaches to zero the more accurate is the calculation because they should always be equal. We have obtained it at three different σ(1.88, 0.46 and 2.49), and the result is less than 0.1 (10 % of error) that corresponds to the numerical error. The root of the mean squared value of the modulus of the difference between the displacement field provided by the CZA and the one provided by the ZA (or the linear theory) divided by the root of the mean squared value of the linear displacement field is computed for these three cases and differs in 0.5 (50 %) for σ= 1,88, 0.1 (10 %) for σ= 0,46 and 0.6 (60 %) for σ= 2,49. The non-linearities are the responsible for this divergence with time between the real and the linear displacement fields. iv ´ Indice general 1. Introducci´on 7 1.1. Motivaci´onyobjetivos................................. 7 1.2. Marcote´orico...................................... 8 1.2.1. Modelocosmol´ogico .............................. 8 1.2.2. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3. Din´amica de part´ıculas en el sistema en expansi´on . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4. Mec´anica de fluidos en el sistema en expansi´on . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.5. Aproximaci´on de Zeldovich (ZA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.6. Aproximaci´on de Zeldovich completa (CZA) . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Metodolog´ıa 16 2.1. Realizaci´on de un campo gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Vector desplazamiento lineal y tensor de deformaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3. Crucedecapas ..................................... 20 2.4. Campo de desplazamiento seg´un la CZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. Resultados y discusi´on 25 3.1. Comprobaciones del campo gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. AjustedelaCZA.................................... 29 3.3. Cruce de capas: dependencia en el modelo cosmol´ogico . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4. Campos de densidad y de desplazamiento seg´un la CZA . . . . . . . . . . . . . . 34 3.5. Algoritmo de resoluci´on de la CZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4. Conclusiones del trabajo y sus posibles aplicaciones 38 v vi Cap´ıtulo 1 Introducci´on 1.1. Motivaci´on y objetivos La formaci´on de estructuras ha sido un tema abierto en astrof´ısica durante el pasado siglo con diferentes propuestas de modelos con tal de explicar el origen de las estructuras que vemos hoy en d´ıa. Actualmente, el modelo paradigm´atico es el de ΛCDM que implica la formaci´on de estructuras m´as grandes a partir de las m´as peque˜nas, en ingl´es ’bottom-up’, considerando la expansi´on acelerada del universo debido a la todav´ıa desconocida energ´ıa oscura. Partiendo de que las simulaciones de N-cuerpos son las m´as precisas en cuanto a resultados, se usan aproximaciones menos costosas computacionalmente para obtener las estructuras mencionadas, que se comparan con dichas simulaciones con tal de determinar como de buenas son. Una aproximaci´on que ha sido muy usada por ser pionera en la explicaci´on de la formaci´on de estructuras es la de Zeldovich (1970), la cual es exacta a primer orden y expresa la fluctuaci´on en la densidad como funci´on ´unica de los valores propios del tensor de deformaci´on local dado por la teor´ıa lineal. A estas aproximaciones que dependen solamente de estas cantidades se les llama locales. Por otra parte, tenemos las perturbaciones lagrangianas a distinto orden donde el tensor de deformaci´on es exacto pero no depende ´unicamente de los valores propios, habiendo mejoras de ´estas combin´andolas con el efecto de cruce de capas a peque˜nas escalas (ALPT) (Kitaura & Heβ, 2013). Por lo tanto, es de inter´es encontrar aproximaciones locales m´as precisas que la ZA como, por ejemplo, la MZA (Reisenegger & Miralda-Escud´e, 1995), la LTA (Hui & Bertschinger, 1996) o la DTA (Audit & Alimi, 1996), as´ı como la aproximaci´on en la que se centra este trabajo, la aproximaci´on de Zeldovich completa (CZA) (Betancort-Rijo & L´opez-Corredoira, 2000). Estas aproximaciones locales presentan una expresi´on para las fluctuaciones en la densidad expl´ıcita 7 8Cap´ıtulo 1. Introducci´on en los valores propios del tensor de deformaci´on local, pero la CZA tiene la ventaja de que para encontrar estos ´ultimos no es necesaria la resoluci´on de ecuaciones diferenciales (Makler et al., 2001). El objetivo del trabajo es determinar el algoritmo general de la CZA para obtener el campo de fluctuaciones de la densidad en coordenadas eulerianas (i.e. el campo observable). 1.2. Marco te´orico 1.2.1. Modelo cosmol´ogico Hoy en d´ıa, en la estructura a gran escala, el universo de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) es el modelo cosmol´ogico paradigm´atico. ´ Este consta de la m´etrica de Robertson-Walker (RW) que describe un universo en expansi´on (o contracci´on) y que se basa en el principio cosmol´ogico que, fundament´andose en observaciones, postula que el universo es espacialmente homog´eneo e is´otropo. Esta expansi´on (o contracci´on) se expresa mediante el factor de escala a(t) que depende ´unicamente del tiempo debido, precisamente, al principio cosmol´ogico. Su relaci´on con el corrimiento al rojo z(m´as conocido como redshift en ingl´es) debido a la expansi´on viene dada por la expresi´on a(t) a(t0)=1 1 + z(t),(1.1) donde a(t0) es el factor de escala en el instante actual t0y por comodidad lo expresaremos como a0= 1. A partir de la m´etrica de RW y las ecuaciones de la relatividad general de Einstein se obtienen las ecuaciones de Friedmann. Con lo cual, la cosmolog´ıa m´etrica de FRW est´a basada en el principio cosmol´ogico y cumple la f´ısica de Einstein pero presenta fluctuaciones en la densidad. Para explicar la evoluci´on del espectro de potencias de estas fluctuaciones observadas es necesaria la materia oscura, ya que si el universo estuviera compuesto ´unicamente por materia bari´onica ser´ıa distinta. 1.2.2. Condiciones iniciales El fondo c´osmico de microondas (CMB de las siglas en ingl´es), que corresponde a la radiaci´on que se escapa cuando se produce el desacoplamiento radiaci´on-materia (z∼1100), muestra las perturbaciones de densidad primordiales de origen cu´antico que alcanzan escalas c´osmicas debido a la inflaci´on. Estas condiciones iniciales no deben describir ning´un campo de fluctuaciones en 1.2. Marco te´orico 9 concreto y, por lo tanto, son estad´ısticas. Es decir, no est´an bien definidas (no son ´unicas) sino que tenemos un colectivo gaussiano de condiciones iniciales. El universo observado procede de una realizaci´on concreta de este colectivo gaussiano, que corresponde a coger un elemento del colectivo al azar. Con lo cual las condiciones iniciales son un campo gaussiano aleatorio en tres dimensiones caracterizadas por el espectro de potencias de Harrison-Zeldovich P(k)∝k . (1.2) Estas condiciones iniciales se ven alteradas por procesos f´ısicos como el amortiguamiento de Silk y el efecto M´esz´aros (o de expansi´on estancada), que modifican la forma del espectro de potencias, adem´as de la gravedad, que no lo hace. Es a partir del desacoplamiento radiaci´onmateria que los procesos f´ısicos terminan y ´unicamente act´ua la gravedad que s´olo produce el aumento de la amplitud del espectro, es decir aumenta las fluctuaciones de densidad con el tiempo. Entonces, es a partir de este momento (z∼1100) que podemos usar la teor´ıa lineal hasta que las fluctuaciones han crecido tanto que se producen las no linealidades. Estas fluctuaciones en la densidad δen un instante de tiempo tse expresan en funci´on de la densidad media del universo ρb(t), que va disminuyendo debido a la expansi´on, de la siguiente forma: δ(~x, t) = ρ(~x, t)−ρb(t) ρb(t),(1.3) donde ~x son las coordenadas com´oviles, es decir las que siguen la expansi´on del universo, aunque esta expresi´on tambi´en es v´alida para las coordenadas propias ~r. 1.2.3. Din´amica de part´ıculas en el sistema en expansi´on Es conveniente describir la distribuci´on de materia y el movimiento en el sistema de referencia en expansi´on (Peebles, 1980), donde la distancia propia viene dada por ~r =a(t)~x (1.4) y la velocidad propia de una part´ıcula con respecto al origen por ~u = ˙a ~x +a˙ ~x =~vH+~v , (1.5) donde ~vHes la velocidad del flujo de Hubble y ~v la velocidad peculiar de la part´ıcula respecto Cap´ıtulo 2 Metodolog´ıa Se ha elaborado un programa en Fortran 90 que calcula el campo de densidad y las nuevas coordenadas de una malla de puntos en una caja de lado Lpara un redshift determinado. 2.1. Realizaci´on de un campo gaussiano Primero comenzamos generando el campo de densidad lineal, que con el formalismo de Fourier podemos descomponer en distintos modos, donde para un volumen infinito se expresa como la antitransformada de Fourier del campo en el espacio transformado δ~ k: δl(~q, t) = 1 (2π)3/2ZZZ δ~ k(t)ei~ k·~q d3~ k . (2.1) Por lo tanto, su transformada de Fourier nos devuelve al espacio de ~ k: δ~ k(t) = 1 (2π)3/2ZZZ δl(~q, t)e−i~ k·~q d3~q . (2.2) Pero para resolver el problema computacionalmente es necesario hacer una realizaci´on en un volumen finito L3usando un n´umero de modos finito N, i.e. usar la serie de Fourier δl(~q) = 1 L3/2 N X l,m,n=−N δ~ kl,m,n ei~ kl,m,n·~q con ~ kl,m,n =2π L(l, m, n).(2.3) Cuanto Nm´as grande significa que tenemos m´as modos y mejor resoluci´on λr(m´as peque˜na), que viene dada por el cociente λr=L/N. A partir de ´esta se define el modo m´aximo kmax = 2π/λr= 2πN/L y el rango din´amico L/λr=N, que es el cociente entre la escala m´as grande y la m´as peque˜na que se puede resolver. 16 2.1. Realizaci´on de un campo gaussiano 17 Con lo cual, para generar una realizaci´on del campo δltenemos que caracterizarlo en el dominio transformado δ~ kpara cada uno de los modos δ~ k=|δ~ k|eiθ~ k,(2.4) donde |δ~ k|es el m´odulo y θ~ kla fase correspondientes a ~ k. Esto significa que para cada modo ~ k tenemos que hacer una realizaci´on de |δ~ k|yθ~ k. La forma general de realizaci´on de una variable aleatoria ωdistribuida uniformemente entre 0 y 1 es ωi=Z∞ xi P(x)dx , (2.5) donde xies la realizaci´on i-´esima de la variable xyωila realizaci´on i-´esima de ω. En el programa utilizamos la rutina de fortran RANDOM NUMBER para obtener para cada modo un n´umero aleatorio entre 0 y 1. Como hemos comentado en el apartado 1.2.2, se consideran las condiciones iniciales como un campo gaussiano aleatorio. Una de sus propiedades es que las fases son aleatorias, es decir que θ~ kes independiente de θ~ k0. Tenemos pues que θ~ kes una variable uniformemente distribuida entre 0 y 2π(P(θ~ k)=1/2π), con lo cual su realizaci´on para cada modo viene dada por θ~ k= 2πω~ k.(2.6) En el caso de considerar un volumen infinito el campo gaussiano viene caracterizado un´ıvocamente por el espectro de potencias, es decir que es el mismo en todas las realizaciones |δ~ k|2=P(k),(2.7) donde P(k) depende del m´odulo de ~ k, y no de la direcci´on, por isotrop´ıa. Pero si consideramos un volumen finito, |δ~ k|fluct´ua de una realizaci´on a otra seg´un la distribuci´on de Rayleigh Pδ~ k= 2 δ~ k P(k)e−|δ~ k|2 P(k)(2.8) y lo que se cumple entonces es que |δ~ k|2=P(k).(2.9) 18 Cap´ıtulo 2. Metodolog´ıa De esta forma, si introducimos la distribuci´on de Rayleigh (2.8) en (2.5) tenemos que la realizaci´on de |δ~ k|para cada modo ~ kviene dada por |δ~ k|2=−P(k) ln ω0 ~ k,(2.10) donde distinguimos ω0 ~ kde ω~ kporque son realizaciones independientes. Hemos usado la siguiente aproximaci´on para el espectro de potencias actual de la materia oscura fr´ıa P(k) = σ2 819843 [ln (1 + 11,14k)]21 + 18,5k+ 5880k2+ 17580k3+ 1,04 ·106k4−1/2k−1,(2.11) donde σ8= 0,83 es la constante de normalizaci´on. Debido a que estamos usando el espectro de potencias evaluado en el presente (z= 0), estamos obteniendo el campo de densidad lineal en el instante actual δl(~q, t0) mediante (2.3) en una malla de puntos equiespaciados a partir de los δ~ krealizados (2.4). Para comprobar que est´a bien generado el campo de densidad debemos recuperar los δ~ ka partir de los δlobtenidos anteriormente en el volumen considerado δ~ k=1 L3/2ZZZ V δle−i~ k·~q d3~q . (2.12) Por definici´on el modo con |~ k|= 0 (l=m=n= 0) no genera fluctuaciones. Adem´as, para que el campo δlsea real se debe cumplir que δ∗ ~ k=δ−~ k, que a su vez implica que |δ−~ k|=|δ~ k|y que θ−~ k=−θ~ k. Con lo cual tenemos realmente nmodos independientes n=(2N+ 1)3−1 2.(2.13) Por lo tanto, agrupando los t´erminos de ~ ky−~ kpodemos expresar el campo de densidad de la siguiente forma, reduciendo as´ı el tiempo de c´omputo δl(~q) = 1 L3/2  N X l=1 N X m,n=−N +(l= 0) N X m=1 N X n=−N +(l=m= 0) N X n=1 2 Re δ~ kl,m,n ei~ kl,m,n·~q, (2.14) y entonces, el valor medio de las fluctuaciones al cuadrado debe ser 2.2. Vector desplazamiento lineal y tensor de deformaci´on 19 δ2 l=1 V   N X l=1 N X m,n=−N +(l= 0) N X m=1 N X n=−N +(l=m= 0) N X n=1 2δ~ kl,m,n  2 .(2.15) Todas estas comprobaciones que se mencionan, se presentan en la secci´on 3.1 del siguiente cap´ıtulo de resultados. 2.2. Vector desplazamiento lineal y tensor de deformaci´on Hemos visto que en la teor´ıa lineal se cumple la relaci´on (1.28), con lo cual el vector de desplazamiento lineal y las componentes del tensor de deformaci´on lineal en cada punto de la malla se pueden descomponer en modos de Fourier y vienen dados por las siguientes expresiones (Betancort-Rijo, 2019): ~ d(~q) = 1 L3/2 N X l,m,n=−N i δ~ kl,m,n ~ kl,m,n k2ei~ kl,m,n·~q ,(2.16) ∂di ∂qj =−1 L3/2 N X l,m,n=−N δ~ kl,m,n kikj k2ei~ kl,m,n·~q .(2.17) Si lo expresamos en funci´on de los modos independientes, como nos interesa, aplicando las condiciones de realidad tenemos ~ d(~q) = −1 L3/2  N X l=1 N X m,n=−N +(l= 0) N X m=1 N X n=−N +(l=m= 0) N X n=1 2 Im δ~ kl,m,n ei~ kl,m,n·~q~ kl,m,n k2, (2.18) ∂di ∂qj =−1 L3/2  N X l=1 N X m,n=−N +(l= 0) N X m=1 N X n=−N +(l=m= 0) N X n=1 2 Re δ~ kl,m,n ei~ kl,m,n·~qkikj k2. (2.19) Como hemos mencionado en la introducci´on y se puede ver en (2.17) y (2.19), el tensor de deformaci´on es una matriz cuadrada sim´etrica de coeficientes reales y por lo tanto es diagonalizable. Encontramos sus valores propios λi, que nos indican la deformaci´on en las tres dimensiones espaciales, mediante el m´etodo de Jacobi. Los vectores propios no son necesarios. 20 Cap´ıtulo 2. Metodolog´ıa 2.3. Cruce de capas En la formaci´on de estructuras en realidad nunca se da un colapso estricto en el que la densidad se hace infinita, es decir que las expresiones (1.27) y (1.29) no son v´alidas para λi≥1 ni para ri(λ)λi≥1 respectivamente, sino que poco antes de estos l´ımites se desarrolla un multiflujo de materia que produce que la densidad permanezca constante. En el caso m´as simple, el esf´erico, el cruce de flujo de materia se produce debido a que las capas interiores colapsan antes y producen flujo saliente de materia que contrarresta al flujo entrante de capas exteriores. Por lo tanto si seguimos una capa con masa constante que est´a colapsando, ´esta se contrae antes que se de el cruce de capas en tsc pero despu´es de ´este, cuando los flujos saliente y entrante se compensan, queda estabilizada en un tama˜no f´ısico determinado. Esto produce que la densidad en el sistema f´ısico deje de aumentar y sea constante, produci´endose as´ı la virializaci´on de la estructura. En el colapso esf´erico, que es un buen modelo para explicar la formaci´on de estructuras, este cruce de capas se da unos instantes antes del momento de colapso estricto sin cruce de capas (ρ→ ∞) (S´anchez-Conde et al., 2007). Con lo cual, las fluctuaciones de densidad δsiguen creciendo con el tiempo debido a que ρ(~r, t > tsc) = cte y la densidad del background ρbsigue disminuyendo debido a la expansi´on del universo. Pero el cruce de capas no ocurre ´unicamente en las sobredensidades, sino tambi´en en los vac´ıos. Cuando estos se extienden debido a la expansi´on del universo, llega un momento en el que se encuentran produciendo el efecto mencionado y dando como resultado los planos (sheets en ingl´es) y, en la intersecci´on de ´estos, los filamentos de la red c´osmica. Pero en este caso lo que permanece constante es el contraste de densidad ya que el vac´ıo sigue expandi´endose con el factor de escala, es decir el tama˜no com´ovil permanece fijo. De esta forma, debemos incluir el tratamiento del cruce de capas para que la expresi´on de la CZA sea v´alida en general y lo hacemos seg´un el siguiente esquema (Betancort-Rijo, 2020): (1 −ri(λ)λi)∗≡           1−riλisi s1≤(1 −riλi)≤s2 s1aisi (1 −riλi)< s1 s2si (1 −riλi)> s2 (1 + δ)−1= 3 Y i=1 (1 −ri(λ)λi)∗. (2.20) Para ello definimos dos par´ametros que modelan el cruce de capas positivo s1(colapso) y el negativo s2(expansi´on de los vac´ıos). Para definir el par´ametro s1nos basamos en que el cruce 2.3. Cruce de capas 21 de capas para el colapso esf´erico se da cuando se llega a ρ≈100ρb, lo que significa pr´acticamente δ≈100, que corresponde seg´un la aproximaci´on (1.34) a δl≈1,56. Por lo tanto λsp =δl/3 = 0,52 y, seg´un (1.35), rsp(1,56) ≈1,52. Finalmente tenemos que el cruce de capas positivo se produce en s1= 1 −rsp(1,56)λsp = 0,2. El significado f´ısico es que si tenemos un elemento de volumen con arista 1 inicialmente (λi= 0), con el paso del tiempo (aumento de λi) ´esta disminuye como 1−riλi. Con lo cual, 1−riλi= 0,2 significa que la arista es un 20 % del tama˜no f´ısico inicial y es el instante en el que adquiere un tama˜no f´ısico constante. Con lo cual, para valores 1 −riλi≥s1 no hay cruce de capas y para valores 1−riλi< s1se tiene en cuenta este efecto multiplicando s1 (tama˜no f´ısico constante a partir del cruce de capas) por ai(el factor de escala en el momento que se produce el cruce de capas en la direcci´on i) para obtener el tama˜no com´ovil del elemento en el presente. El par´ametro s2viene de considerar que el cruce de capas negativo en el caso esf´erico se da cuando ρ= 0,1ρb, es decir δ≈ −0,90, que corresponde a δl=−5 y rsp(−5) = 0,694. Entonces tenemos que λsp =−5/3 y, por lo tanto, el valor de s2= 1 −rsp(−5)λsp = 2,15. Con lo cual, para valores 1 −riλi≤s2no hay cruce de capas y para valores 1 −riλi> s2s´ı que lo hay. En este caso, no multiplicamos s2por aiya que el tama˜no com´ovil permanece constante a partir del cruce de capas. Estos valores de s1ys2son los que funcionan para Ωm= 1 y, con lo cual, nos parece razonable usarlos por lo expuesto anteriormente. La funci´on ri(1.30) es siempre positiva y tiene valores en torno a 1 seg´un el signo de los λi. Por ejemplo, si los tres son positivos los tres rison mayores que 1, lo que significa que la compresi´on en una direcci´on es acelerada por la compresi´on en las otras direcciones (en la ZA no se da este efecto). Esto es debido a dos efectos: uno es que en este caso en que δ > 0 la divergencia del campo de velocidades es negativa (1.16) y entonces se produce una compresi´on, y el otro es el aumento de la gravedad debido a esta compresi´on que produce la disminuci´on de las distancias entre partes de la fluctuaci´on, potenciando el crecimiento de δ. Si los tres son negativos los ri son menores que 1, hecho que no acelera la expansi´on respecto la ZA sino que la reduce. En este caso, los dos efectos mencionados anteriormente se contrarrestan: δ < 0 y la divergencia del campo de velocidades es positiva, consecuentemente se produce una expansi´on que aumenta las distancias entre partes de la fluctuaci´on y que produce una reducci´on de la gravedad (~g > 0) (expresiones 1.10 y 1.11) en el sentido de la expansi´on, desaceler´andola. Los casos con mezcla de signo en los λidan rimayores o menores que 1 seg´un la relaci´on entre los λi. La funci´on ries buena para valores de λireales, es decir de puntos en los que no se haya dado el cruce de capas donde es v´alida la CZA. Pero cuando los λison grandes en valor absoluto la 22 Cap´ıtulo 2. Metodolog´ıa funci´on da valores problem´aticos (ri<0 o ri>> 1) cuando hay λinegativos, como se menciona en Makler et al. (2001) donde se comparan distintas aproximaciones que pretenden explicar la formaci´on de estructuras. Entonces debemos introducir criterios para regular riantes de resolver el cruce de capas. Estas modificaciones se comentan en la secci´on 3.2 del cap´ıtulo de resultados. La rutina que resuelve el tratamiento del cruce de capas sigue los siguientes pasos: 1. Ordena λide mayor (λ1) a menor (λ3). 2. Si (1 −r1λ1)< s1buscamos el instante x1en que se da el colapso en esta direcci´on multiplicando los λipor esta cantidad: r1(x1λ1, x1λ2, x1λ3)x1λ1−(1 −s1) = 0.(2.21) Donde x1es el cociente entre los factores de crecimiento correspondientes al instante en que se produce el cruce de capas (t1) y al presente (t0). Obtenemos a partir de x1el factor de escala a1correspondiente seg´un el modelo cosmol´ogico considerado (2.24). Tenemos entonces (1 −r1λ1)∗=s1a1. 3. Si s1≤(1 −r1λ1)≤s2−→ (1 −r1λ1)∗= 1 −r1λ1. 4. Si (1 −r1λ1)> s2→(1 −r1λ1)∗=s2. 5. Las condiciones 2, 3 y 4 est´an ordenadas debido a la causalidad. Para un λideterminado se cumple la condici´on 2, 3 o 4 dependiendo de cu´al cumpla el λianterior. Es decir si λ1cumple la condici´on 2, λ2yλ3pueden cumplirla tambi´en, as´ı como, alternativamente, las condiciones 3 y 4. Pero a su vez λ3s´olo puede cumplir la misma condici´on que λ2o inferior. Es decir que si λ2cumple 3, λ3s´olo puede cumplir 3 o 4. En el caso que λ2yλ3 tambi´en cumplan la condici´on 2 encontramos los instantes x2yx3en el que se da el cruce de capas respectivamente: r2(x2λ2, x2λ3, x1λ1)x2λ2−(1 −s1) = 0 ,(2.22) r3(x3λ3, x1λ1, x2λ2)x3λ3−(1 −s1)=0.(2.23) En estos dos casos se tiene en cuenta que el o los λianteriores (λ1oλ1yλ2respectivamente) han quedado congelados debido al cruce de capas previo en sus direcciones (con valores: x1λ1ox1λ1yx2λ2). 2.4. Campo de desplazamiento seg´un la CZA 23 Para encontrar el instante en el que se da el cruce de capas xihemos elaborado una rutina que encuentra la ra´ız de las ecuaciones (2.21-2.23) por el m´etodo de la bisecci´on o el de NewtonRaphson. Por otro lado, tenemos que xiviene dado por el siguiente cociente D(ai) D(a0= 1) =xi.(2.24) Si consideramos un universo dominado por la materia (Ωm= 1) tenemos que D(a)∝ay, directamente, ai=xi. En el caso de un universo ΛCDM con Ωm0, Ωr0y ΩΛ0 como par´ametros de entrada, usamos la expresi´on general de D(a) (2.25) (Heath, 1977) para encontrar el valor de aique cumple (2.24) de la misma forma que hemos encontrado xi. D(a) = 1 2af(a)Za 0 f3(a0)da0(2.25) f(a) = 1+Ωm01 a−1+ Ωr01 a2−1+ ΩΛ0(a2−1)−1/2 (2.26) La rutina que calcula el valor de D(a) resuelve la integral mediante el m´etodo de los trapecios o el de Simpson. En a= 0 hay una indeterminaci´on que se resuelve aplicando la regla de l’Hˆopital obteniendo que l´ıma→0D(a) = 0. Por ´ultimo, calculamos el producto de los (1−riλi)∗para cada punto inicial ~q de la malla (coordenadas lagrangianas) y obtenemos la fluctuaci´on de densidad correspondiente δ(~r, t) mediante (1 + δ)−1= 3 Y i=1 (1 −ri(λ)λi)∗.(2.27) Ahora s´olo falta encontrar la nueva posici´on ~r (coordenadas eulerianas) del punto inicial considerado ~q a partir del desplazamiento que ha sufrido, seg´un la expresi´on ~r(t)≡a(t)~x(t) = a(t)h~q +~ dr(~q, t)i.(2.28) 2.4. Campo de desplazamiento seg´un la CZA Obtener el vector desplazamiento de un punto con coordenadas lagrangianas ~q es lo que nos permite encontrar la coordenada com´ovil euleriana ~x y la coordenada propia ~r. Para calcular el campo de desplazamiento correspondiente a la CZA, ~ dr(~q, t), usamos la expresi´on (1.36) que 24 Cap´ıtulo 2. Metodolog´ıa nos permite llegar a la integral de volumen siguiente (Betancort-Rijo, 2019): ~ dr(~q, t) = 1 4πZZZ V F(~q 0, t) |~q −~q 0|3(~q −~q 0)d3~q 0,(2.29) donde la funci´on F(~q 0, t) en cada punto ~q 0de la malla corresponde a la divergencia del vector desplazamiento, que anteriormente (1.36) hemos visto que equivale a F(~q 0, t) = ~ ∇~q 0~ dr=− 3 X i=1 ri(λ)λi.(2.30) Podemos ver que los puntos ~q 0con ~ ∇~q 0~ dr<0 (P3 i=1 riλi>0) generan atracci´on sobre ~q y los puntos con ~ ∇~q 0~ dr>0 (P3 i=1 riλi<0) repulsi´on. Calculando la integral (2.29), i.e. la suma de todas las contribuciones de los puntos de la malla, obtenemos el desplazamiento en el punto ~q, y a partir de (2.28) sus coordenadas eulerianas. Cap´ıtulo 3 Resultados y discusi´on A continuaci´on se presentan los resultados obtenidos y su discusi´on. Primero se muestran ciertas comprobaciones hechas para confirmar la correcta generaci´on del campo gaussiano, posteriormente las modificaciones necesarias en la funci´on ri, seguido de los valores que obtenemos de riλi del cruce de capas y, a continuaci´on, los valores de los campos de densidad y de desplazamiento. Finalmente se presenta un resumen del algoritmo empleado con las ecuaciones correspondientes. 3.1. Comprobaciones del campo gaussiano En esta secci´on comprobamos algunas propiedades del campo gaussiano para verificar que est´a bien generado. En primer lugar, miramos que para un determinado ~ ksu |δ~ k|obtenido en distintas realizaciones mediante (2.10) sigue la distribuci´on de Rayleigh (2.8) debido a que consideramos un volumen finito, como muestra la figura 3.1. Hemos considerado k= 2π/L que seg´un el espectro de potencias dado por (2.11) tiene un valor de P(2π/L) = 13102,93 (Mpc/h)3para L= 200 Mpc/h. El valor m´as probable de |δ~ k|se encuentra en 80,96 (Mpc/h)3/2y el valor medio de |δ~ k|2que seg´un (2.9) tiene que ser P(k) da un valor de <|δ~ k|2>= 13126,56 (Mpc/h)3. Con lo cual, el error relativo es de 1,8·10−3. Esto depende claramente del n´umero de realizaciones que hagamos, cuantas menos sean menos se parecer´an P(k) y <|δ~ k|2>, y viceversa. Otra comprobaci´on que debemos hacer es que el campo lineal generado δl(2.14) tenga forma gaussiana, como muestra la figura 3.2, y que sea igual a la suma de los valores propios δl= P3 i=1 λicomo predice la expresi´on de la teor´ıa lineal (1.28). En la tabla 3.1 se presentan dos ejemplos. Entonces tambi´en se cumple que < δ2 l>=<(λ1+λ2+λ3)2>y obtenemos que su valor en una realizaci´on coincide con el valor te´orico proporcionado por (2.15). 25 32 Cap´ıtulo 3. Resultados y discusi´on ri(λi, λj, λk) =                        λi>0 : ridado por (1.30) con Rdado por (1.31) λi<0 : ridado por (1.30) con Rdado por (3.4) si |R|<|ri−1−R|yQ≤1 si no, ridado por (3.3) λ1>0 y λ2,3<0 : ridado por (3.3) λ1,2>0 y λ3<0 : ridado por (3.3) (3.6) 3.3. Cruce de capas: dependencia en el modelo cosmol´ogico En esta secci´on vemos la diferencia entre hacer el tratamiento del cruce de capas considerando un universo dominado por la materia (UDM) o considerando un universo ΛCDM. Tenemos que el factor que relaciona las fluctuaciones de densidad en distinto tiempo (1.21) viene dado por la expresi´on (2.24), con lo cual si dividimos los cocientes de ambos modelos tenemos que [D(ai)/D(a0= 1)]ΛCDM [D(ai)/D(a0= 1)]UDM =(xi)ΛCDM (xi)UDM =(xi)ΛCDM ai ,(3.7) donde hemos considerado el mismo instante de tiempo aiy sabemos que en un UDM el factor de crecimiento es proporcional al factor de escala D(a)∝a, por lo tanto (xi)UDM =ai. En la figura 3.4 podemos ver representados (xi)UDM y (xi)ΛCDM en funci´on del factor de escala, donde ximuestra el ritmo al que crecen las fluctuaciones de densidad. Cuanto m´as grande sea xi, menos habr´an cambiado las fluctuaciones de densidad desde el instante aial presente. En la figura 3.4 podemos ver que (xi)ΛCDM >(xi)UDM, lo que significa que en ΛCDM las estructuras colapsan m´as tarde que en UDM. Pero en nuestro caso que tenemos un mismo xi, entonces (ai)ΛCDM <(ai)UDM, es decir que para que las fluctuaciones de densidad sean xiveces m´as peque˜nas que en la actualidad tenemos que ir m´as atr´as en el tiempo porque tardan m´as en crecer. Con lo cual, 1 −riλi= 0,2aiser´a m´as peque˜no para un universo ΛCDM que para un UDM y (riλi)ΛCDM >(riλi)UDM. En la tabla 3.3 se muestran ejemplos de cada caso seg´un el signo de λipara una realizaci´on de una caja L= 100 Mpc/h con N= 10 modos. Como podemos ver, s´olo se puede dar cruce de capas (positivo o negativo) en una direcci´on isi en las direcciones con λmayor en valor absoluto se ha dado. Los xicorresponden al factor de escala en un UDM y los aial factor de escala en un universo ΛCDM. Debido a que xino puede ser 0, porque se deben cumplir (2.21-2.23), aitampoco lo puede ser 3.3. Cruce de capas: dependencia en el modelo cosmol´ogico 33 porque se debe cumplir (2.24). Entonces riλinunca ser´a igual a 1, de esta forma (1.29) siempre es v´alida, y tenemos que −1,15 ≤riλi<1 y, por lo tanto, que −3<∇~q ~ dr≤3,45. Figura 3.4: Comparaci´on entre cocientes xien un UDM y un universo ΛCDM en funci´on de ai. λ1λ2λ3x1x2x3a1a2a3r1λ1r2λ2r3λ3 2.739 1.920 0.996 0.233 0.292 0.476 0.183 0.229 0.380 0.963 0.954 0.924 2.639 1.027 0.101 0.277 0.586 - 0.217 0.476 - 0.957 0.905 0.160 0.881 0.494 0.039 0.800 - - 0.699 - - 0.860 0.627 0.058 -0.278 -1.845 -2.227 - - - - - - -0.184 -1.15 -1.15 1.209 -0.371 -1.505 0.822 - - 0.726 - - 0.855 -0.339 -1.15 0.694 -0.096 -1.494 - - - - - - 0.556 -0.084 -1.15 2.005 1.214 -0.028 0.360 0.541 - 0.284 0.435 - 0.943 0.913 -0.048 1.317 0.599 -1.152 0.648 - - 0.535 - - 0.893 0.567 -1.15 0.665 0.054 -1.194 - - - - - - 0.559 0.050 -1.15 Cuadro 3.3: Valores propios del tensor de deformaci´on lineal y sus respectivos xi,aiyriλi. 34 Cap´ıtulo 3. Resultados y discusi´on 3.4. Campos de densidad y de desplazamiento seg´un la CZA Finalmente, a partir de los resultados de la secci´on anterior (3.3), podemos obtener los campos de densidad y de desplazamiento que eran el objetivo de este trabajo. Lo hemos hecho para un universo ΛCDM con par´ametros cosmol´ogicos Ωm0= 0,3, Ωr0= 8,48 ·10−5y ΩΛ0 = 0,7. Teniendo en cuenta que la separaci´on entre puntos de la malla por definici´on es ∆ = L/(npt−1) y la expresi´on vista anteriormente ∆ = λr/f, llegamos a que necesitamos el n´umero de puntos (o celdas) npt = f·N+ 1 en una dimensi´on para calcular la integral num´erica (2.29) que proporciona el vector desplazamiento. Por lo tanto, considerando f= 20 y N= 10 necesitamos una malla con (npt)3∼8·106puntos. Usamos s´olo N= 10, que son (2N+ 1)3= 9261 modos yn= 4630 modos independientes, porque usar m´as implicar´ıa muchas m´as horas de c´omputo. Pero para extraer informaci´on m´as relevante deber´ıamos aumentar la resoluci´on mediante el aumento del n´umero de modos para que contribuyeran las escalas m´as peque˜nas. Necesitamos pues utilizar t´ecnicas de programaci´on ventajosas como las Fast Fourier Transforms (FFT) para generar el campo gaussiano y obtener el campo de desplazamiento. Teniendo en cuenta la expresi´on (2.29) obtenemos el vector desplazamiento en un punto con coordenadas lagrangianas ~q calculando la integral como la suma de las contribuciones de los puntos ~q 0sobre el punto ~q. Hemos visto en la secci´on anterior que −3<∇~q ~ dr≤3,45, con lo cual la contribuci´on en valor absoluto de cada celda con punto central ~q 0es del orden ∼1 4π |~ ∇~q 0~ dr| |~q −~q 0|2d3~q 0.1 4 d3~q 0 |~q −~q 0|2,(3.8) donde hemos tenido en cuenta que el diferencial de volumen d3~q 0= ∆3= 0,125 (Mpc/h)3, ya que L= 100 Mpc/h, N= 10 y f= 20. L´ogicamente los puntos m´as cercanos a ~q son los que contribuyen mayormente al valor de ~ d(~q). q1q2q3dr1dr2dr3x1x2x3δ 42.0 60.0 58.0 -0.258 -0.158 1.471 41.742 59.842 59.471 10.524 56.0 44.0 60.0 0.995 -0.939 0.202 56.995 43.061 60.202 -0.452 Cuadro 3.4: Coordenadas lagrangianas ~q, vector de desplazamiento ~ dry coordenadas com´oviles eulerianas ~x en unidades de Mpc/h y la correspondiente fluctuaci´on en la densidad de dos puntos distintos, para σ= 0,46 (z= 4). 3.4. Campos de densidad y de desplazamiento seg´un la CZA 35 q1q2q3dr1dr2dr3x1x2x3δ 60.0 54.0 46.0 0.495 -2.241 0.297 60.495 51.759 46.297 0.044 43.5 50.5 56.0 -3.876 0.650 -2.791 39.624 51.150 53.209 -0.812 40.0 43.0 47.0 2.971 0.469 -1.208 42.971 43.469 45.792 454.559 Cuadro 3.5: Coordenadas lagrangianas ~q, vector de desplazamiento ~ dry coordenadas com´oviles eulerianas ~x en unidades de Mpc/h y la correspondiente fluctuaci´on en la densidad de tres puntos distintos, para σ= 1,88 (z= 0). q1q2q3dr1dr2dr3x1x2x3δ 50.5 49.5 40.0 1.517 -2.700 -3.552 52.017 46.800 36.448 8694.293 54.0 45.5 50.5 0.437 -2.435 -4.094 54.437 43.065 46.406 -0.877 Cuadro 3.6: Coordenadas lagrangianas ~q, vector de desplazamiento ~ dry coordenadas com´oviles eulerianas ~x en unidades de Mpc/h y la correspondiente fluctuaci´on en la densidad de dos puntos distintos, para σ= 2,49 (z=−0,9). En las tablas 3.5, 3.4 y 3.6 se muestran las coordenadas iniciales lagrangianas ~q, el vector desplazamiento real ~ dr, las coordenadas com´oviles eulerianas ~x y la fluctuaci´on de la densidad obtenida con la CZA en algunos puntos para σ= 1,88, σ= 0,46 y σ= 2,49, que seg´un los par´ametros LyNintroducidos corresponden a los redshifts z= 0, z= 4 y z=−0,9 (futuro) respectivamente. Para obtener las coordenadas propias simplemente tenemos que multiplicar las com´oviles ~x por el factor de escala a(z) (1.1). Recordemos que el campo de densidad puede tener unos valores de δ∈(−1,∞), donde δ=−1 significa el vac´ıo (ρ= 0) y δ= 0 significa que la densidad es la misma que la del background (ρ=ρb). Como podemos ver para σ= 1,88 (z= 0) tenemos el primer punto donde la densidad es pr´acticamente la del background (δ= 0,044), el segundo punto que representa un vac´ıo donde la densidad tiende a ser nula (δ=−0,812) y el tercer punto con una densidad muy elevada que representa un nudo de la red c´osmica. Para σ= 0,46 (z= 4) no encontramos valores tan extremos de δdebido a que nos acercamos m´as al r´egimen lineal donde la materia est´a distribuida m´as homog´eneamente. El valor de δ= 10,524 es uno de los m´as grandes que encontramos y δ=−0,452 uno de los m´as peque˜nos. Cuanto mayor es la no linealidad mayores 36 Cap´ıtulo 3. Resultados y discusi´on son los valores que puede alcanzar la fluctuaci´on de densidad δpositivamente y m´as cercanos a δ=−1 negativamente (en este caso δ=−0,9 debido al par´ametro s2usado), como podemos ver para σ= 2,49 con un valor m´aximo encontrado de δ= 8694,293 y un m´ınimo de δ=−0,877. Hemos calculado la ra´ız del error cuadr´atico medio (RMSE) entre el desplazamiento lineal ~ da calculado mediante (2.18) y el desplazamiento lineal ~ dbcalculado si en la expresi´on (2.29) introducimos F(~q) = ~ ∇~q ~ d=−P3 i=1 λi, y obtenemos: RMSE = v u u u tD|~ db−~ da|2E D|~ da|2E.0,1,(3.9) lo que significa que es del orden o menor al 10 % para cualquier σ(redshift). Este valor nos da una idea de lo buenos que son los c´alculos, porque ambos deben ser siempre iguales, y por lo tanto es el error num´erico en la integraci´on. En cambio, si calculamos la RMSE entre el vector desplazamiento seg´un la CZA y el desplazamiento lineal (correspondiente a la ZA) s´ı que cambia seg´un σ, porque a medida que pasa el tiempo las no linealidades crecen haciendo diverger ambos vectores. Para σ= 1,88 (z= 0) encontramos que RMSE = 0,5, para σ= 0,46 (z= 4) que RMSE = 0,1 y para σ= 2,49 (z=−0,9) que RMSE = 0,6, con lo cual la diferencia entre el campo de desplazamiento de la ZA y la CZA es del 50 %, el 10 % y el 60 % respectivamente. En el caso con σ= 0,46 la RMSE es del orden del error num´erico, por lo que es compatible con cero. 3.5. Algoritmo de resoluci´on de la CZA El c´odigo elaborado en Fortran 90 para determinar el algoritmo general de la CZA cuenta con distintos par´ametros de entrada. Por un lado tenemos el tama˜no de la caja Len la que vamos a hacer la realizaci´on, as´ı como el n´umero de modos empleados Ny el n´umero de celdas que forman la malla en la que dividimos el volumen considerado. Por otra parte tenemos los par´ametros s1ys2que gobiernan el cruce de capas, comentado en la secci´on 2.3, y el redshift al que queremos hacer la realizaci´on. Existe la opci´on de ejecutar el c´odigo para un universo dominado por materia (Ωm= 1) y para un universo ΛCDM con par´ametros cosmol´ogicos Ωm0, Ωr0y ΩΛ0. Primero se genera el campo gaussiano en el espacio transformado δ~ ka partir de las expresiones (2.4), (2.6) y (2.10) y, con ´este, se obtienen el campo gaussiano en el espacio real δl(2.14), 3.5. Algoritmo de resoluci´on de la CZA 37 el vector desplazamiento lineal ~ d(2.18) y el tensor de deformaci´on lineal (2.19) en todas las celdas de la malla. Estas cantidades son las correspondientes a la actualidad debido a que se usa el espectro de potencias actual de la materia oscura fr´ıa (2.11). Seguidamente se obtienen los valores propios λidel tensor de deformaci´on lineal en cada celda a partir de la diagonalizaci´on de este ´ultimo. Entonces, a partir de estos valores de λi, se procede a resolver la CZA. Se aplica el tratamiento del cruce de capas (2.20) teniendo en cuenta que la funci´on riviene dada por (3.6). Para un universo ΛCDM, cuando en una direcci´on ise produce el cruce de capas se encuentra el factor ximediante las expresiones (2.21-2.23), que permiten obtener el factor de escala aien el que ocurre a partir de la expresi´on (2.24). Finalmente, con los valores de (1 −riλi)∗se obtienen los campos de densidad (2.27) y de desplazamiento (2.29) seg´un la CZA y, con este ´ultimo, se llega a la posici´on final de las celdas (coordenadas eulerianas) a partir de la expresi´on (2.28). Cap´ıtulo 4 Conclusiones del trabajo y sus posibles aplicaciones Como muestran los autores de la aproximaci´on de Zeldovich completa (CZA) esta aproximaci´on mejora la original de Zeldovich (ZA), debido a que es exacta a segundo orden a diferencia de la ZA que lo es a primer orden porque se basa en la teor´ıa lineal. De acuerdo con esto, la convierte en mejor para determinar los campos de densidad y de desplazamiento en el r´egimen no lineal. La funci´on ries importante debido a que es lo que caracteriza la CZA y la distingue de la ZA. En este trabajo hemos ajustado la expresi´on de esta funci´on, que es exacta para λipositivos pero da problemas cuando hay λinegativos, con tal de poder aplicar el tratamiento del cruce de capas que se produce cuando se comprime la materia y se forman las estructuras. El aplicar este efecto hace que la expresi´on de la CZA sea siempre v´alida, porque limita superiormente el valor de riλi, a diferencia de si no tuvi´esemos en cuenta el cruce de capas que para valores mayores a riλi= 1 podr´ıamos obtener densidades negativas. Por lo tanto, podemos calcular el campo de densidad y el de desplazamiento en cualquier punto del volumen considerado, donde la obtenci´on de este ´ultimo con la CZA es algo que no se hab´ıa hecho hasta la fecha. La resoluci´on aplicada a la soluci´on del problema es baja, es decir que no hemos tenido en cuenta las escalas m´as peque˜nas, ya que hemos usado un n´umero de modos bajo para el volumen de inter´es. Esto es debido al alto coste computacional en cuanto a tiempo, pero para el objetivo de este trabajo no es necesaria m´as resoluci´on ya que s´olo estamos poniendo a punto la CZA y no estudiando la estructura a gran escala del universo. De esta forma, se pueden mejorar los resultados invirtiendo m´as horas de c´alculo o, como opci´on ´optima, mejorar las t´ecnicas de programaci´on usadas en la generaci´on del campo gaussiano y el c´alculo del vector desplazamiento. Existen programas como PATCHY 38 39 de Francisco-Shu Kitaura que son mucho m´as eficientes al realizar estos c´alculos, con el que he empezado a trabajar pero se escapa del tiempo disponible en la realizaci´on de este trabajo. En resumen, este trabajo determina el algoritmo general de la CZA con sus par´ametros libres. El siguiente paso es determinar los valores ´optimos de estos par´ametros libres (s1,s2) y su dependencia en los par´ametros cosmol´ogicos usando simulaciones num´ericas, as´ı como la comprobaci´on de c´omo de buena es la CZA mediante la comparaci´on con estas simulaciones de N-cuerpos, debido a que son las m´as precisas pero con un elevado coste computacional. Otro objeto de estudio futuro tiene que ver con el hecho de que en las realizaciones de la estructura a gran escala, aparte de la generaci´on del campo hay que emplazar los halos de materia oscura de acuerdo con la funci´on de masa c´osmica local (FMCL), y se ha visto (Balaguera-Antol´ınez et al., 2020) que la dependencia de ´esta en el campo de marea es importante. Entonces se podr´ıan obtener anal´ıticamente funciones de masa c´osmica condicionada (Rubi˜no-Mart´ın et al., 2008) de forma que incluya la dependencia en el campo de marea lineal. Luego, usando la CZA para obtener el campo de marea real en funci´on del lineal se obtendr´ıa la FMCL como funci´on del campo de marea local. Bibliograf´ıa Audit, E., & Alimi, J.-M. 1996, A&A, 315, 11 Balaguera-Antol´ınez, A., et al. 2020, MNRAS, 491, 2565 Betancort-Rijo, J., & L´opez-Corredoira, M. 2000, ApJ, 534, L117 Betancort-Rijo, J., & L´opez-Corredoira, M. 2002, ApJ, 566, 623 Betancort-Rijo, J. 2019, Comunicaci´on personal Betancort-Rijo, J. 2020, Comunicaci´on personal Bouchet, F. R., Colombi, S., Hivon, E., & Juszkiewicz, R. 1995, A&A, 296, 575 Doroshkevich, A. G. 1970, Astrofizika, 6, 581 Heath, D. J. 1977, MNRAS, 179, 351 Hui, L., & Bertschinger, E. 1996, ApJ, 471, 1 Kitaura, F.-S., & Heβ, S. 2013, MNRAS, 435, L78 Makler, M., Kodama, T., & Calv˜ao, M. O. 2001, ApJ, 556, 88 Padmanabhan, T. 1993, Structure formation in the Universe, Cambridge University Press, Cambridge Peebles, P. J. 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