T aballo Fin de G ao
In oducción a la homología de
g upos
Ca los Na allo González
2021/22
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO DE MATEMÁTICAS
T aballo Fin de G ao
In oducción a la homología de
g upos
Ca los Na allo González
2021-22
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
T abajo p opues o
Á ea de Coñecemen o: Álxeb a
Tí ulo: In oducción a la homología de g upos
B e e desc ición do con ido
En es e abajo se p opone hace un es udio de los g upos de homo-
logía
Hn(G, A)
de un g upo
G
con coecien es en un
G
-módulo A.
Se a a de es udia p opiedades de es os g upos, da una in e p e a-
ción pa a n=0,1,2 y ob ene algunos esul ados clásicos de la eo ía de
g upos. Pa a es e abajo se p ecisa es udia concep os de eo ia de
ca ego ías, el un o p oduc o enso de módulos, el un o de i ado
To n
G(M, −)
y algunas p opiedades de los módulos p oyec i os.
Recomendacións
Ou as obse acións
iii

Índice gene al
Resumen
ii
In oducción
ix
1. Concep os básicos 1
1.1. Ca ego ías..................................... 1
1.2. Módulos...................................... 4
1.3. Cop oduc o y p oduc o de módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Módulos lib es y módulos p oyec i os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. P oduc o enso .................................. 15
2. Complejos. Resoluciones 25
2.1. Complejosdemódulos.............................. 25
2.2. Resoluciones.................................... 30
2.3. El un o To ................................... 32
3. Homología de g upos 39
3.1. G-módulos..................................... 39
3.2. Homologíadeung upo ............................. 41
3.3. Homología de los g upos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4. Sucesiones exac as de cinco é minos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.
H2(G, M)
y se ies cen ales descenden es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Bibliog a ía 57
Resumen
El obje i o de es e abajo es el es udio de los g upos de homología
Hn(G, M)
de un
g upo
G
con coecien es en un
G
-módulo
M
. Se es udian p opiedades de es os g upos,
se da una in e p e ación pa a
n= 0,1
y una in e p e ación pa a
n≥0
solo pa a g upos
cíclicos y g upos lib es y se ob iene la sucesión exac a de cinco é minos pa a homología
que conec a los g upos de homología en dimensiones
1
y
2
. Se ob ienen algunos esul ados
clásicos de la eo ía de g upos, como la ó mula de Hop que desc ibe el segundo g upo de
homología con coecien es en
Z
o la elación en e la homología de un g upo y sus se ies
cen ales descenden es.
Pa a el desa ollo del abajo se es udian p e iamen e concep os de eo ía de módulos,
el un o p oduc o enso de módulos y su compo amien o sob e los módulos lib es y
p oyec i os, y los un o es de i ados
To n
G
.
Abs ac
The aim o his p ojec is o s udy he homology g oups
Hn(G, M)
o a g oup
G
wi h
coecien s in a
G
-module
M
. P ope ies o he g oups a e s udied, an in e p e a ion is
gi en o
n= 0,1
and o
n≥0
only o cyclic g oups and ee g oups and an exac sucession
o  e e ms is ound o he homology ha connec s he homology g oups in dimension
1 and 2. Some classical esul s o he g oup heo y a e ound, like Hop 's o mula, which
desc ibes he second g oup o homology wi h coecien s in
Z
o he connec ion be ween
he homology o a g oup and i s cen al descenden se ies.
Fo he de elopmen o he p ojec , concep s o he module heo y a e s udied, as well
as unc o enso p oduc and i s beha io o e he ee modules and p ojec i e modules
and he de i ed unc o s
To n
G
.
ii
algo

Capí ulo 1
Concep os básicos
1.1. Ca ego ías
En es a sección amos a in oduci los concep os de eo ía de ca ego ías necesa ios pa a
la comp ensión de es e abajo.
Denición 1.1.
Una
ca ego ía
C
es una clase Obj
(C)
cuyos elemen os se llaman
obje os
,
al que pa a cada pa de obje os
(X, Y )
de
C
se iene un conjun o
C(X, Y )
cuyos obje os
se llaman
mo smos
de
X
a
Y
y pa a cada e na de obje os
X
,
Y
y
Z
se iene una ley de
composición
◦:C(X, Y )× C(Y, Z)−→ C(X, Z)
( , g )7−→ g
e icando los siguien es axiomas:
(1) C(X1, Y1)∩ C(X2, Y2) = ∅
, si
X1=X2
o
Y1=Y2
.
(2)
Dados
∈ C(X, Y )
,
g∈ C(Y, Z)
y
h∈ C(Z, T)
, en onces
h(g )=(h g)
(3)
Pa a cada obje o
X
exis e un mo smo
1X∈ C(X, X)
al que pa a cada
∈ C(X, Y )
y cada
g∈ C(Y, X)
,
1X= , 1Xg=g.
El mo smo
1X
se llama
iden idad
y el axioma
(2)
,
asocia i idad de la composición
.
Si
∈ C(X, Y )
, esc ibi emos
:X→Y
. Se dice que un mo smo
∈ C(X, Y )
es
un
isomo smo
, si exis e un mo smo
g∈ C(Y, X)
, al que
g = 1X
y
g = 1Y
, y
deno a emos con ecuencia
g
po
−1
.
1
2
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
Ejemplos 1.2.
(1)
La ca ego ía
Se
es la ca ego ía cuyos obje os son los conjun os, sus
mo smos son las aplicaciones en e conjun os y la composición es la composición
usual de aplicaciones.
(2)
La ca ego ía
G
es aquella cuyos obje os son los g upos, los mo smos son los ho-
momo smos de g upos y la composición es la composición de aplicaciones usual.
(3)
La ca ego ia
Ab
cuyos obje os son los g upos abelianos, los mo smos son los ho-
momo smos de g upos abelianos y la composición es la composición de aplicaciones
usual.
(4)
La ca ego ía
Top
es la que iene como obje os los espacios opológicos, los mo smos
son las aplicaciones con inuas y la composición es la usual.
(5)
La ca ego ia
VecK
que iene como obje os los espacios ec o iales sob e
K
, como
mo smos las aplicaciones lineales y la composición es la composición usual de apli-
caciones.
(6)
Si
C1
y
C2
son ca ego ías. La ca ego ía
C1×C2
es la ca ego ía cuyos obje os son pa es
(X1, X2)
donde
Xi∈
Obj
(Ci)
, pa a
i= 1,2
, y cuyos mo smos son pa es
( 1, 2)
donde
i∈ C(Xi, Yi)
, pa a cada
i= 1,2
. Si
( 1, 2)
y
(g1, g2)
son mo smos en
C1× C2
su composición es
(g1, g2) ( 1, 2)=(g1 1, g2 2).
Denición 1.3.
Sean
C
y
D
ca ego ías. Un
un o co a ian e
F
de
C
a
D
y que se deno a
po
F:C → D
es una co espondencia que asigna a cada obje o
X
en
C
un obje o
FX
en
D
y a cada mo smo
∈ C(X, Y )
un mo smo
F ∈ D(F(X), F(Y))
y que e ica las
siguien es condiciones:
(1)
Si
:X→Y
y
g:Y→Z
son mo smos en
C
, en onces
F(g ) = Fg F .
(2)
Pa a cada obje o
X
en
C
, se iene que
F(1X)=1F X
.
Ejemplos 1.4.
(1)
El
un o iden idad
1C:C → C
es á denido po
1C(X) = X
y
1C( ) =
.
(2)
Si
X
es un obje o de
C
denimos el
un o mo smos
F:C → Se
po
FY =
C(X, Y )
, pa a odo obje o
Y
de
C
, y si
:X→Y
es un mo smo en
C
, denimos
F :C(X, Y )→ C(X, Y ′)
po
F (g) = g
.
1.1. CATEGORÍAS
3
(3)
Si
Y
es un obje o en una ca ego ía
D
, denimos el
un o cons an e
F:C → D
po
FX =Y
pa a odo obje o
X
de
C
y
F = 1Y
pa a odo mo smo
en
C
.
Denición 1.5.
Sean
F
y
G
un o es co a ian es de
C
a
D
. Una
ans o mación na u al
:F→G
es una colección de mo smos
X:FX →GX
, uno pa a cada obje o
X∈ C
, al
que pa a cada mo smo
:X→Y
en
C
, el diag ama
FX GX
FY GY
X
F F g
Y
es conmu a i o, es deci
Fg X= YF
. Si
X
es un isomo smo pa a cada
X∈ C
,
en onces se dice que
es una
equi alencia na u al
y que los un o es
F
y
G
son
na u almen e
equi alen es
.
Denición 1.6.
Sea
C
una ca ego ía. Se dice que un obje o
0
es un
obje o ce o
de
C
si pa a
odo obje o
X
en
C
los conjun os
C(X, 0)
y
C(0, X)
ienen cada uno un único elemen o.
Sea
C
una ca ego ía con obje o ce o
0
. Cada conjun o
C(X, Y )
iene un mo smo que es
la composición de los mo smos
X→0
y
0→Y
y se llama
mo smo ce o
de
X
en
Y
y
se deno a po
0: X→Y
.
Dos obje os ce o de
C
son isomo os. El mo smo ce o no depende del obje o ce o
conside ado.
Denición 1.7.
Llama emos
ca ego ía p eadi i a
a una ca ego ía con obje o ce o en la
cual el conjun o
C(X, Y )
es un g upo abeliano pa a odos los obje os
X
e
Y
en
C
y donde
la composición
◦:C(X, Y )× C(Y, Z)−→ C(X, Z)
( , g)7→ g
es bilineal, es deci
( + ′)g= g + ′g, (g+g′) = g + g′, , ′∈ C(X, Y ), g, g′∈ C(Y, Z).
Denición 1.8.
Sean
C
y
D
ca ego ías p eadi i as. Se dice que un un o
F:C → D
es
adi i o
si pa a cualesquie a obje os
X
y
Y
en
C
y mo smos
, g ∈ C(X, Y )
se iene
F( +g) = F +Fg.
Lema 1.9.
Si
C
es una ca ego ía p eadi i a el elemen o neu o de
C(X, Y )
es el mo smo
ce o
0: X→Y
en
C
y si
F:C → D
es un un o adi i o, en onces
F
lle a mo smos ce o
a mo smos ce o.
4
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
Demos ación.
Dado que pa a odo
∈ C(Y, Z)
,
0=0
, se iene
0 + 0 = 1Y0+1Y0 = (1Y+ 1Y) 0 = 0,
y en onces
0
es el elemen o neu o de
C(X, Y )
. Además,
F0 = F(0 + 0) = F0 + F0.
Así,
F0=0
.
1.2. Módulos
Sean
R
y
S
anillos uni a ios. La aplicación
:R→S
es un homomo smo de anillos si
e ica que
( 1+ 2) = ( 1)+ ( 2)
,
( 1 2) = ( 1) ( 2)
,
(1) = 1
. Los endomo smos
de un g upo abeliano
M
, que deno a emos po
End(M)
, o man un anillo uni a io con las
ope aciones adición y mul iplicación dadas po :
( +g)(m) = (m) + g(m),( g)(m) = (g(m)), , g ∈End(M),m∈M.
El anillo opues o del anillo
R
,
Rop
, es el anillo cuyos elemen os son los de
R
, la ope ación
adición es la de
R
y la mul iplicación
∗
es á dada po
1∗ 2= 2 1
.
Denición 1.10.
Sea
R
un anillo uni a io. Un
R
-
módulo a la izquie da
es un pa
(M, µ)
,
donde
M
es un g upo abeliano
M
y
µ:R×M→M
es una aplicación,
µ( , x) = x
, que
e ica los siguien es axiomas:
(i)
( 1+ 2)m= 1m+ 2m
(ii)
( 1 2)m= 1( 2m)
(iii)
(m1+m2) = m1+ m2
(i )
1m=m
pa a odo
m, m1, m2∈M
,
, 1, 2∈R
. Si
(M, µ)
es un
R
-módulo a la izquie da, se iene un
homomo smo de anillos
¯µ:R→End(M)
denido po
(¯µ( ))(m) = m
. Recíp ocamen e
si enemos un g upo abeliano
M
jun o con un homomo smo de anillos
¯µ:R→End(M)
.
y conside amos la aplicación
µ:R×M→M
dada po
µ( , m) = (¯µ( ))(m)
y deno amos
µ( , m)
po
m
, en onces el pa
(M, µ)
es un
R
-módulo a la izquie da.
Denición 1.11.
Sea
R
un anillo uni a io. Un
R
-
módulo a la de echa
es un pa
(M, µ)
,
donde
M
es un g upo abeliano
M
y
µ:M×R→M
es una aplicación,
µ( , x) = x
, que
e ica los siguien es axiomas:
1.2. MÓDULOS
5
(i')
m( 1+ 2) = m 1+m 2
(ii')
m( 1 2)=(m 1) 2
(iii')
(m1+m2) =m1 +m2
(i ')
m1 = m
pa a odo
m, m1, m2∈M
,
, 1, 2∈R
. Si
(M, µ)
es un
R
-módulo a la de echa, se iene un
homomo smo de anillos
¯µ:R→End(M)op
denido po
(¯µ( ))(m) = m
. Recíp ocamen e
si enemos un g upo abeliano
M
jun o con un homomo smo de anillos
¯µ:R→End(M)op
.
y conside amos la aplicación
µ:M×R→M
dada po
µ(m, ) = (¯µ( ))(m)
y deno amos
µ(m, )
po
m
, en onces el pa
(M, µ)
es un
R
-módulo a la de echa.
Po comodidad en es e capí ulo, u iliza emos el é mino
R
-módulos pa a e e i nos a
los
R
-módulos a la izquie da o a la de echa, cuando es á cla o si son
R
-módulos po la
izquie da o de echa.
Si
R
es un anillo conmu a i o, odo
R
-módulo
M
a la izquie da es un
R
-módulo a la
de echa con la ope ación
m∗ = m
.
Si
R=Z
, los
Z
-módulos son los g upos abelianos. Si
R=K
, con
K
un cue po, los
K
-módulos son los espacios ec o iales sob e
K
.
Denición 1.12.
Sean
M
y
N R
-módulos a la izquie da ( esp. de echa). Un
homomo smo
de
R
-
módulos a la izquie da
( esp.
de echa
)
:M→N
es un homomo smo de g upos
abelianos que e ica que
( m) = (m)
( esp.
(m ) = (m)
), pa a odo
∈R
,
m∈M
.
La aplicación iden idad de
M
es un homomo smo de
R
-módulos que deno a emos po
1M:M→M
y la composición de homomo smos de
R
-módulos es un homomo smo de
R
-módulos.
Si
M
y
N
son
R
-módulos a la izquie da ( esp. de echa,) el conjun o de homomo -
smos de
R
-módulos a la izquie da ( esp. de echa) de
M
en
N
, que deno a emos po
HomR(M, N)
, iene es uc u a de g upo abeliano con la ope ación
( +g)(m) = (m) + g(m), , g ∈HomR(M, N), m ∈M.
Deno a emos po
RMod
la ca ego ía cuyos obje os son los
R
-módulos po la izquie da,
cuyo conjun o de mo smos
RMod(M, N)
es
HomR(M, N)
y donde la composición es la
usual. Deno a emos po
ModR
la ca ego ía de
R
-módulos a la de echa. La ca ego ía de
R
-módulos a la izquie da ( esp. de echa) es una ca ego ía p eadi a. El obje o ce o es el
módulo ce o y el mo smo
0: M→M′
es el homomo smo ce o.

6
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
Decimos que
:M→N
es un
isomo smo de R-módulos a la izquie da
( esp.
de echa
)
si es un isomo smo en la ca ego ía
RMod
( esp.
ModR
). Se iene que
es un isomo smo
de
R
-módulos si es sob eyec i o e inyec i o. Si exis e un isomo smo de
R
-módulos
:M→
N
, en onces se dice que
M
y
N
son
R
-módulos isomo os y se deno a po
M∼
=N
.
Sea
M
un
R
-módulo po la izquie da ( esp. de echa). Se dice que
M′
es un
submódulo
de
M
si
M′
es un subg upo de
M
y si pa a cada
m∈M′
y
∈R
se iene que
m ∈M′
( esp.
m ∈M′
). Si
M′
es un submódulo de
M
el g upo cocien e
M/M′
es un
R
-módulo a la
izquie da ( esp. de echa), deniendo
(m+M′) = m+M′
( esp.
(m+M′) =m +M′
).
Se iene un homomo smo inyec i o
i:M′→M
y un homomo smo sob eyec i o
p:M→
M/M′
.
Cuando los esul ados son álidos pa a
R
-módulos a la izquie da y pa a
R
-módulos a
la de echa, u iliza emos el é mino
R
-módulos, pa a e e i nos a
R
-módulos a la izquie da
o a
R
-módulos a la de echa.
Si
:M→N
es un homomo smo de
R
-módulos el conjun o
ke ={m∈M|
(m) = 0}
es un submódulo de
M
y se llama
núcleo
de
y el conjun o
im = (M) =
{ (m)|m∈M}
es ambién un submódulo de
N
. La aplicación
¯
:M/ ke →im
dada po
¯
(m+ ke ) = (m)
, es un isomo smo de
R
-módulos. El
R
-módulo
N/ (M)
se llama
conúcleo
de
y lo deno a emos po
coke
.
P oposición 1.13.
Sea
:M→N
un homomo smo de
R
-módulos.
(1)
Sean
i: ke →M
la inclusión y
g:L→M
un homomo smo de
R
-módulos al
que
◦g= 0
. Exis e un único homomo smo de
R
-módulos
h:L→ke
al que
i h =g
.
ke M N
L
h
g
i
0
(2)
Sean
p:N→coke
la p oyección,
p(n) = n+ (M)
y
g:N→L
un homomo s-
mo de
R
-módulos al que
g◦ = 0
. Exis e un único homomo smo de
R
-módulos
h: coke →L
al que
h p =g
.
M N coke
L
p
g
h
0
1.2. MÓDULOS
7
Demos ación.
(1)
Dado que
g(L)⊂ke
, la aplicación
h:L→M
dada po
h(x) =
g(x)
, es un homomo smo de
R
-módulos y e ica que
i h =g
. Si
h′:L→M
es o o
homomo smo de g upos que e ica
i h′=g
, po se
i
una aplicación inyec i a
h=h′
.
(2)
Sea
h: coke →L
,
h(n+ (M)) = g(n)
. La aplicación
h
es á bien denida,
pues o que si
n+ (M) = n′+ (M)
, en onces
n−n′∈ (M)
. Luego, exis e
m∈M
al que
n−n′= (m)
. Así,
g(n−n′) = g( (m)) = 0
y
g(n) = g(n′)
. Además
h
es un
homomo smo de
R
-módulos y e ica que
h p =g
. Si
h′: coke →L
es o o mo smo
que e ica
h′p=g
. Po se
p
un homomo smo sob eyec i o,
h′=h
.
Denición 1.14.
Sean
1:M1→M2
y
2:M2→M3
homomo smos de
R
-módulos. Se
dice que la sucesión
M1
1
−→ M2
2
−→ M3
es exac a en
M2
si
ke 2= im 1
. Se dice que la
sucesión
M0→M1→ · · · → Mn→Mn+1
es exac a si es exac a en
M1, M2, . . . , Mn
.
Si
1:M1→M2
y
2:M2→M3
son homomo smos de
R
-módulos, la sucesión
0→M1
1
−→ M2
2
−→ M3→0
es exac a si, y solo si,
1
es un homomo smo inyec i o,
ke 2= 1(M1)
y
2
es un homomo smo sup ayec i o. Si la sucesión de
R
-módulos
0→M1
1
−→ M2
2
−→ M3→0
es exac a, en onces se dice que es una
sucesión exac a co a
.
Denición 1.15.
La sucesión exac a co a de
R
-módulos
0→M1
1
→M2
2
→M3→0
se
dice que ompe si exis e un homomo smo de
R
-módulos
s:M3→M2
al que
2◦s= 1
.
Lema 1.16.
(Lema de los es)
Sean
0→M1
1
−→ M2
2
−→ M3→0
y
0→N1
1
−→ N2
2
−→
N3→0
dos sucesiones exac as co as de
R
-módulos y conside emos el siguien e diag ama
conmu a i o
0M1M2M30
0N1N2N30
1
h1h2
g1
2
g2
h3
Si dos cualesquie a de los homomo smos
h1
,
h2
y
h3
son isomo smos, en onces el e ce o
es ambién isomo smo.
Demos ación.
Supongamos que
h1
y
h3
son homomo smos; enemos que p oba que
h2
es un isomo smo. En p ime luga demos a emos que
ke h2
= 0 . Si
m2∈ke h2
,
en onces
0 = g2h2m2=h3 2m2
. Como
h3
es un isomo smo , enemos que
2m2= 0
. De
ahí que exis a
m1∈M1
con
1m1=m2
. Luego 0 =
h2 1m1=g1h1m1
. Como
g1h1
es
inyec i a, enemos que
m1= 0
. Po an o,
m2= 1m1= 0
. Veamos que
h2
es sob eyec i a.
Sea
n2∈N2
; enemos que p oba que
n2=h2m2
pa a algún
m2∈M2
. Como
h3
es un
isomo smo exis e
m3∈M3
con
h3m3=g2n2
. Como
2
es sob eyec i a , exis e
m2∈M2
8
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
al que
2m2=m3
. Se iene que
g2(n2−h2m2) = g2n2−g2h2m2=g2n2−h3 2m2=
g2n2−h3m3= 0
. Luego exis e
n1∈N1
con
g1n1=n2−h2m2
. Como
h1
es un isomo smo
exis e
m1∈M1
al que
h1m1=n1
. En onces
h2( 1m1+m2) = h2 1m1+h2m2=
g1h1m1+h2m2=g1n1+h2m2=n2
. Poniendo
m2= 1m1+m2
, enemos que
h2m2=n2
.
Los o os dos casos posibles se demues an de o ma análoga.
Lema 1.17.
(Lema de la se pien e)
Conside emos el siguien e diag ama conmu a i o de
R
-módulos con las exac as
M1M2M30
0N1N2N3
1
h1
g1
2
g2
h2h3
Exis e un homomo smo
w: ke h3→coke h1
, que llama emos homomo smo de cone-
xión, al que la siguien e sucesión es exac a:
ke h1
1k
→ke h2
2k
→ke h3
w
→coke h1
g1c
→coke h2
g2c
→coke h3,
donde
k
1
y
k
2
son los homomo smos inducidos po
1
y
2
en e los núcleos de
h1
y
h2
,
espec i amen e y
gc
1
y
gc
2
son los homomo smos inducidos po
g1
y
g2
en e los conúcleos
de
h1
y
h2
, po la p oposición 1.13.
Demos ación.
Es ácil p oba que se ienen las siguien es sucesiones exac as:
ke h1
1k
→ke h2
2k
→ke h3
coke h1
g1c
→coke h2
g2c
→coke h3.
Veamos que exis e un homomo smo
w: ke h3→coke h1
conec ando las dos secuencias
an e io es. La aplicación
w
es á denida de la siguien e o ma: Sea
m3∈ke h3
, y sea
m2∈M2
con
2m2=m3
. Como
g2h2m2=h3 2m2=h3m3= 0
en onces exis e
n1∈N1
al que
h2m2=g1n1
. Denimos
w(m3)=[n1] = n1+h1(M1)
. Demos a emos que
w
es á bien denida, es o es, que
w(m3)
es independien e de la elección de
m2
. En e ec o,
sea
m2∈M2
con
2m2=m3
y
n1∈N1
al que
h2m2=g1n1
. Dado que
2m2= 2m2
,
exis e
m1
al que
m2
=
m2
+
1m1
. En onces
g1(n1) = h2m2=h2(m2+ 1m1) = h2m2+
g1h1m1=g1n1+g1h1m1=g1(n1+h1m1)
.
Po se
g1
un homomo smo inyec i o,
n1=n1+h1m1
, po lo an o [
n1]=[n1]
. Se
comp ueba ácilmen e que
w
es un homomo smo.
1.2. MÓDULOS
9
Veamos la exac i ud en
ke h3
. Si
m3∈ke h3
es de la o ma
2h2
pa a
m2∈ke h2
,
en onces
0 = h2m2=g1n1
, y po se
g1
un homomo smo inyec i o
n1= 0
y
w(m3) = 0
.
Luego
im k
2⊂ke w
.
Sea aho a
m3∈ke h3
con
w(m3)=0
. Se iene que
m3= 2m2, h2m2=g1n1
y
en onces exis e
m1∈M1
con
h1m1=n1
. Conside ando
m2=m2− 1m1
. Cla amen e
2m2=m3
, y dado que
h2m2=h2m2−h2 1m1=h2m2−g1n1= 0
, po lo an o
m3∈ke h3
es de la o ma
2m2
con
m2∈ke h2
.
Finalmen e p oba emos la exac i ud en
coke h1
. Si
w(m3)=[n1]∈coke h1
donde
m3= 2h2
y
h2m2=g1n1
, se iene que
gc
1[n1] = [g1n1] = [h2m2]=0
. Así,
im w⊂ke gc
1
.
Si
[n1]∈coke h1
con
gc
1[n1]=0
, en onces
g1n1=h2m2
pa a algún
m2∈M2
y
m3= 2m2∈ke h3
. Po lo an o se iene que
[n1] = w(m3)
. Luego,
ke gc
1= im w
.
Obse ación
1.18
.
El diag ama del lema 1.17 es na u al, en el sen ido de que si conside a-
mos el diag ama conmu a i o con las exac as
M1M2M30
M′
1M′
2M′
30
0N1N2N3
0N′
1N′
2N′
3
1 2
′
1 ′
2
g1g2
g′
1g′
2
h1h2h3
α1α2α3
h′
1h′
2h′
3
β1β2β3
en onces el diag ama
ke h1ke h2ke h3coke h1coke h2coke h3
ke h′
1ke h′
2ke h′
3coke h′
1coke h′
2coke h′
3
k
1 k
2wgc
1gc
2
′
1
k ′
2
kw′g′
1
cg′
2
c
βc
3
αk
1αk
2αk
3βc
1βc
2
es conmu a i o y sus las son exac as.
Lema 1.19.
(Lema de los cinco)
Conside emos el siguien e diag ama conmu a i o de
R
-
módulos cuyas las son sucesiones exac as
M1M2M3M4M5
N1N2N3N4N5
1
h1
2 3 4
g1g2g3g4
h2h3h4h5
16
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
Si
S
es un conjun o deno a emos los elemen os
( s)s∈S
de
R(S)
(denición 1.28), po
Ps∈S ss
.
Denición 1.40.
Sea
M
un
R
-módulo a la de echa y
N
un
R
-módulo a la izquie da. El
p oduc o enso de
M
y
N
sob e
R
, que se deno a po
M⊗RN
, es el g upo cocien e del
g upo abeliano sob e el conjun o
M×N
po el subg upo
S
gene ado po los elemen os
(m1+m2, n)−(m1, n)−(m2, n), m1, m2∈M, n ∈N
(m, n1+n2)−(m, n1)−(m, n2), m ∈M, n1, n2∈N
(m , n)−(m, n), m ∈M, n ∈N, ∈R,
es deci
M⊗RN= (Z(M×N))/S
. Deno a emos
(m, n) + S
po
m⊗n
.
Obsé ese que el conjun o
{m⊗n|m∈M, n ∈N}
gene a
M⊗RN
como g upo
abeliano, pues o que odo elemen o de
M⊗RN
es una combinación lineal de la o ma
X
i∈M×N
mi⊗ni.
Denición 1.41.
Sea
M
un
R
-módulo a la de echa,
N
un
R
-módulo a la izquie da y
T
un g upo abeliano. Una aplicación
φ:M×N→T
se dice que es
R
-biadi i a si e ica las
siguien es p opiedades
(1) φ(m1+m2, n) = φ(m1, n)−φ(m2, n)
,
(2) φ(m, n1+n2) = φ(m, n1)−φ(m, n2)
,
(3) φ(m , n) = φ(m, n)
,
pa a cada
m1, m2, m ∈M
,
n1, n2, n ∈N
,
∈R
.
Teo ema 1.42.
Sea
M
un
R
-módulo a la izquie da,
N
un
R
-módulo a la de echa y
T
un
g upo abeliano. Se iene
(1)
La aplicación
h:M×N→M⊗RN
, dada po
h(m, n) = m⊗n
, es
R
-biadi i a.
(2)
El pa (
M⊗RN, h)
e ica la siguien e p opiedad uni e sal: Si
:M×N→L
es una
aplicación
R
-biadi i a, exis e un único homomo smo de g upos
b
:M⊗RN→L
,
al que
b
◦h=
.
M×N M ⊗RN
L
h
b

1.5. PRODUCTO TENSOR
17
(3)
Si el pa
(T, ν)
, donde
T
es un g upo abeliano y
ν:M×N→T
es una aplicación
R
-biadi i a, e ica la p opiedad siguien e uni e sal: Si
:M×N→L
es una
aplicación
R
-biadi i a, exis e un único homomo smo de g upos
b
:M⊗RN→L
,
al que
b
◦ν=
.
M×N T
L
ν
b
en onces los g upos
M⊗RN
y
T
son isomo os.
Demos ación.
(1)
Se iene
h(m+m′, n) =(m+m′)⊗n=m⊗n+m′⊗n=h(m, n) + h(m′, n)
h(m, n +n′) =m⊗(n+n′) = m⊗n+m⊗n′=h(m, n) + h(m′, n)
h(m , n) =m ⊗n=m⊗ n =h(m, n).
(2)
Sea
L
un g upo abeliano,
:M×N→L
una aplicación
R
-biadi i a,
{ei}i∈M×N
la base canónica de
Z(M×N)
e
µ:M×N→Z(M×N)
la aplicación dada po
µ(m, n) =
e(m,n)
. Po se
Z(M×N)
el
Z
-módulo lib e sob e
M×N
, exis e un homomo smo de g upos
abelianos
g:Z(M×N)→L
con
g(m, n) = (m, n)
pa a odo
(m, n)∈M×N
. Como
es una aplicación
R
-biadi i a, se iene que
g(S) = {0}
. Luego, po la p oposición 1.13,
g
induce un homomo smo de g upos abelianos
b
:M⊗RN=Z(M×N)/S →L
dado po
b
(m⊗n) = b
((m, n) + S) = g(m, n) = (m, n)
.
M×NZ(M×N)M⊗RN
L
p
µ
g
b
La unicidad de
b
se sigue de que el conjun o
{m⊗n|m∈M, n ∈N}
gene a
M⊗RN
.
(3)
Po la p opiedad uni e sal de
(M⊗RN, h)
exis e un homomo smo
bν:M⊗RN→T
al que
bν h =ν
. Po la p opiedad uni e sal de
(T, ν)
exis e un homomo smo
b
h:T→
M⊗N
al que
b
h ν =h
. Luego
b
hbν h =h
y
bνb
h ν =ν
, y po las p opiedades uni e sales de
(M⊗N, h)
y
(T, ν)
se iene que
b
hbν= 1
y
bνb
h= 1
.
P oposición 1.43.
Sea
1:M1→N1
un homo smo de
R
-módulos a la de echa y
2:M2→N2
un homomo smo de
R
-módulos a la izquie da. Exis e un único homomo -
smo de g upos abelianos
1⊗ 2:M1⊗RM2→N1⊗RN2
, al que
( 1⊗ 2)(m1⊗m2) =
1(m1)⊗ 2(m2)
.
18
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
Demos ación.
Como la aplicación
φ:M1×M2→N1⊗RN2
,
φ(m1, m2) = 1(m1)⊗ 2(m2)
,
es
R
-biadi i a, po la p opiedad uni e sal de
M1⊗RM2
, exis e un único homomo smo de
g upos
1⊗ 2:M1⊗RM2→N1⊗RN2
, al que
( 1⊗ 2)(m1⊗m2) = 1(m1)⊗ 2(m2)
.
P oposición 1.44.
Sean
M
un
R
-módulo a la de echa y
N
un
R
-módulo a la izquie da.
(1)
Se iene un un o adi i o
M⊗R−:RMod →RMod
donde
(M⊗ −)(N) = M⊗RN
y
(M⊗ −)(g) = 1M⊗g
, pa a cada homomo smo
de
R
-módulos a la izquie da
g:N→N′
.
(2)
Se iene un un o adi i o
− ⊗RN:ModR→ModR
dado po
(− ⊗ N)(M) = M⊗RN
y
(− ⊗ N)( ) = ⊗1N
, pa a cada homomo smo
de
R
-módulos a la de echa
:M→M′
.
Demos ación.
(1) La un o ialidad de
M⊗R−
se sigue de las igualdades
1M⊗1N= 1M⊗RN
y
1M⊗g′g= (1M⊗g′)(1M⊗g)
. El un o
M⊗R−
es adi i o pues o que
1M⊗(g+h) =
1M⊗g+ 1M⊗h
.
(2) Se demues a de mane a análoga a
(1)
.
P oposición 1.45.
Sean
M
un
R
-módulo a la de echa y
N
un
R
-módulo a la izquie da.
Se iene
M⊗RN≃M⊗ZN
H,
donde
H
es el subg upo de
M⊗ZN
gene ado po los elemen os
m ⊗n−m⊗ n, m ∈M, n ∈N, ∈R.
Demos ación.
Conside emos la aplicación
Z
-biadi i a
h:M×N→M⊗ZN
,
h(m, n) =
m⊗n
y sea
p:M⊗ZN→(M⊗ZN)/H
la p oyección,
p(m⊗n) = m⊗n+H
. La aplicación
p◦h:M×N→(M⊗ZN)/H
es
R
-biadi i a. Veamos, po ejemplo la condición
(3)
de la
denición 1.41:
p h(m , n) = m ⊗n+H=m⊗ n +H=p h(m, n).
Se iene que
(M⊗ZN)/H, p◦h)
e ica la p opiedad uni e sal del eo ema 1.42. En e ec o,
sea
L
un g upo abeliano y
:M×N→L
una aplicación
R
-biadi i a. Po la p opiedad
1.5. PRODUCTO TENSOR
19
uni e sal de
(M⊗ZN, h)
, exis e un único homomo smo de g upos
g:M⊗ZN→L
al
que
g h =
. Veamos que
g(H)=0
:
g(m ⊗n−m⊗ n) = g(m ⊗n)−g(m⊗ n) = (m , n)− (m, n) = 0.
Po la p oposición 1.13
(2)
, exis e un único homomo smo de g upos
g′: (M⊗ZN)/H →L
,
al que
g′p=g
. Po an o,
g′p h =
.
Si
g′′ : (M⊗ZN)/H
es o o homomo smo de g upos que e ica que
g′′ p h =
, po la
p opiedad uni e sal de
(M⊗ZN, h)
se iene que
g′p=g′′ p
y po se
p
un homomo smo
sup ayec i o,
g′=g′′
. El esul ado se sigue del eo ema 1.42
(3)
.
M×N M ⊗ZN(M⊗ZN)/H
L
p
h
gg′
Denición 1.46.
Sea
φ:R→S
un homomo smo de anillos. Se llama
un o cambio de
anillo
inducido po
φ
al un o
Uφ:SMod →RMod
dado po
UφM=M
, donde
M
se
conside a un
R
-módulo con la acción
m =φ( )m
, pa a
∈R
y
m∈M
, y dado un
homomo smo de
S
-módulos
g:M→N
,
Uφg=g
. Si
M
es un
S
-módulo se dice que
M=Uφ(M)
es un
R
-módulo
ía
φ
.
P oposición 1.47.
Sea
φ:R→S
un homomo smo de anillos,
M
un
R
-módulo a la
de echa,
N
un
R
-módulo a la izquie da,
M′S
-módulo a la de echa y
N′
un
S
-módulo a
la izquie da. Sea
:M→UφM′
un homomo smo de
R
-módulos a la de echa y
g:N→
UφN′
un homomo smo de
R
-módulos a la izquie da. Exis e un único homomo smo de
g upos abelianos, que deno a emos po
⊗g
, dado po
⊗g:M⊗RN→M′⊗SN′
,
( ⊗g)(m⊗n) = (m)⊗g(n)
.
Demos ación.
La aplicación
h′:M×N→M′⊗SN′
dada po
h′(m, n) = (m)⊗g(n)
es
R
-biadi i a. En e ec o, se e ican las condiciones
(1)
,
(2)
y
(3)
de la denición 1.41.
Veamos la condición
(3)
:
h′(m , n) = (m )⊗Sg(n) = (m)φ( )⊗g(n) = (m)⊗φ( )g(n) = h′(m, n).
M×N M ⊗RN
M′⊗SN′
h
h′ ⊗g
20
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
El esul ado se sigue del eo ema 1.42
(2)
.
Denición 1.48.
Sean
R
y
S
anillos. Se dice que un g upo abeliano
M
es un
(R−S)
-
bimódulo si
M
es un
R
-módulo a la izquie da y un
S
-módulo a la de echa y las dos acciones
es án elacionadas po
(m s) = ( m)s, ∈R, m ∈M, s ∈S.
P oposición 1.49.
Sean
R
y
S
anillos. Si
M
es un
R
-módulo a la de echa y
N
un
(R−S)
-
bimódulo, en onces
M⊗RN
es un
S
-módulo a la de echa con la acción:
(m⊗n)s=m⊗n s.
Análogamen e, si
M
es un
(S−R)
-bimódulo y
N
es un
R
-módulo a la izquie da, en onces
M⊗RN
es un
S
-módulo a la izquie da con la acción
s(m⊗n) = s m ⊗n.
Demos ación.
Sea
N
un
(R−S)
-bimódulo y
M
un
R
-módulo a la de echa. Fijado
s∈S
,
la mul iplicación
νs:N→N
, denida po
νs(n) = ns
, es un homomo smo de
R
-módulos.
en e ec o,
νs( n)=( n)s= (ns) = νs(n).
Conside emos el un o
F=M⊗R−:RMod →Ab
, y el homomo smo de g upos
abelianos
F(ν ) = 1M⊗νs:M⊗RN→M⊗RN
. La aplicación
ν:S→End(M ⊗RN)op
,
ν(s) = 1⊗νs
, es un homomo smo de anillos, luego
M⊗RN
es un
S
-módulo a la de echa.
De o ma simila se p ueba que si
M
es un
(S−R)
-bimódulo y
N
es un
R
-módulo a
la izquie da, en onces
M⊗RN
es un
S
-módulo a la izquie da con la acción
s(m⊗n) =
s m ⊗n
.
P oposición 1.50.
(1)
Sea
{Ni}i∈I
una amilia de
R
-módulos a la izquie da y sea
M
un
R
-módulo a la de echa. La aplicación
Φ: M⊗R(MNi∈I)−→ M
i∈I
(M⊗RNi)
dada po
Φ(m⊗(ni)i∈I)=(m⊗ni)i∈I
, es un isomo smo de g upos abelianos que
hace conmu a i o el diag ama
M⊗RNjLi∈I(M⊗RNi)
M⊗R(Li∈INi)
µj
1⊗ρjΦ
1.5. PRODUCTO TENSOR
21
donde los mo smos
µj:M⊗RNj→Li∈I(M⊗Ni)
y
ρj:Nj→Li∈INi
son las
aplicaciones inyección en los co espondien es cop oduc os.
De o ma análoga se p ueba que si
{Mi}i∈I
es una amilia de
R
-módulos a la de echa y
N
es un
R
-módulo a la izquie da, la aplicación
Φ′: (Li∈IMi)⊗N→Li∈I(Mi⊗N)
,
Φ′((mi)i∈I⊗n)=(mi⊗ni)i∈I
, es un isomo smo de g upos abelianos que hace
conmu a i o el siguien e diag ama
Mj⊗RNLi∈I(Mi⊗RN)
(Li∈IMi)⊗RN
µj
ρj⊗1
Φ′
donde
µj:Mj⊗RN→Li∈I(Mi⊗N)
y
ρj:Mj→Li∈IMi
son las aplicaciones
inyección en los co espondien es cop oduc os.
(2)
Si
M
es un
R
-módulo a la izquie da ( esp. de echa) la aplicación
g:M→R⊗RM
( esp.
g′:M→M⊗RR
) dada po ,
g(m) = 1 ⊗m
( esp.
g′(m) = m⊗1
), pa a
m∈M
, es un isomo smo de
R
-módulos a la izquie da ( esp. de echa).
(3)
Sea
M
un
R
-módulo a la de echa y
0→N′ 1
−→ N 2
−→ N′′ →0
una sucesión exac a
de
R
-módulos a la izquie da. Se iene la sucesión exac a co a de g upos abelianos
M⊗RN′1⊗ 1
−−−→ M⊗RN1⊗ 2
−−−→ M⊗RN′′ −→ 0.
Además, si
M
es p oyec i o es a sucesión es exac a co a.
(4)
Sea
N
un
R
-módulo a la izquie da y
0→M′ 1
−→ M 2
−→ M′′ →0
una sucesión exac a
co a de
R
-módulos a la de echa. Se iene la sucesión exac a de g upos abelianos
M′⊗RN 1⊗1
−−−→ M⊗RN 2⊗1
−−−→ M′′ ⊗RN→0.
Además, si
N
es p oyec i o es a sucesión es exac a co a.
Demos ación.
(1)
Dado que la aplicación
φ:M×(LiNi)→Li(M⊗RNi)
,
φ(m, (ni)i∈I) =
(m⊗ni)i∈I
, es
R
-biadi i a, po el eo ema 1.42
(2)
, exis e un homomo smo de g upos
Φ: M⊗R(LiNi)→Li(M⊗RNi)
al que
Φ(m⊗(ni)i∈I)=(m⊗ni)i∈I
. Pa a p oba
Φ
es un isomo smo conside emos los homomo smos de g upos
1M⊗ρj:M⊗RNj→M⊗R(M
i
Ni), j ∈I.

22
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
Po la p oposición 1.21, enemos un homomo smo de g upos
Ψ = ⟨1M⊗ρj⟩:M
i
(M⊗RNi)→M⊗R(M
i
Ni),
al que
Ψµj= 1⊗ρj
, pa a odo
j∈I
. Dado que
Φ Ψ µj=µj
pa a odo
j∈I
, se iene que
Φ Ψ = 1
. Además
(Φ Ψ)(m⊗(ni)i∈I) = Φ(m⊗ni)i∈I=m⊗Pi∈Iρi(ni) = m⊗(ni)i∈I
.
Luego
Φ Ψ = 1
.
(2)
La aplicación
g:M→R⊗M
,
g(m)=1⊗m
es un homomo smo de
R
-módulos
a la izquie da. En e ec o,
g( m)=1⊗ m = ⊗m= (1 ⊗m).
Po se la aplicación
φ:R×M→M
,
φ( , M) = m R
-biadi i a, exis e un homomo smo
de g upos abelianos
:R⊗RM→M
al que
( ⊗m) = m
. La aplicación
es la in e sa
de
g
.
(3)
Dado que
(1⊗ 2)(1⊗ 1)=1⊗ 1 2= 1⊗0=0
, se iene que
im(1⊗ 1)⊂ke (1⊗ 2)
.
Veamos que
ke (1 ⊗ 2)⊂im(1 ⊗ 1)
. Sea
T= im(1 ⊗ 1)
. Como
T⊆ke (1 ⊗ 2)
, po
la p oposición 1.13,
1⊗ 2
induce un homomo smo
b
2: (M⊗N)/T →M⊗N′′
que hace
conmu a i o el diag ama
M⊗RN(M⊗RN)/T
M⊗RN′′
p
1⊗ 2b
2
donde
p:M⊗RN→(M⊗RN)/T
es la p oyección. Sea
:M×N′′ →(M⊗RN)/T
la
aplicación dada po
(m, n′′)=(m⊗n)+T
, siendo
n∈N
al que
2(n) = n′′
. La aplicación
es á bien denida. En e ec o, si
2n1=n′′
, con
n1∈N
, en onces
2(n−n1) = 0
.
Dado que
ke 2= im 1
, exis e
n′∈N′
con
1n′=n−n1
, luego
m⊗(n−n1) =
m⊗ 1n′∈im(1 ⊗ 1) = T
. Así,
(m⊗n) + T= (m⊗n1) + T
. Además,
es
R
-biadi i a.
Po la p opiedad uni e sal del p oduc o enso
M⊗RN′′
exis e un homomo smo de g upos
abelianos
b
:M⊗RN′′ →(M⊗RN)/T
con
b
(m⊗n′′) = m⊗n+T
. El homomo smo
b
es el in e so de
b
2
. Dado que
b
2
es un isomo smo,
ke (1 ⊗ 2) = ke ( b
2p) = ke p=T=
im(1 ⊗ 1)
.
Veamos que
1⊗ 2
es sup ayec i a. Si
Pi∈Imi⊗n′′i∈M⊗N′′
, exis en
ni∈N
con
2ni=n′′i
, pa a odo
i∈I
. En onces,
(1 ⊗ 2)(Pmi⊗ni) = Pmi⊗ 2ni=Pmi⊗n′′
i
.
Si
M
es un
R
-módulo a la de echa p oyec i o, en onces po la p oposición 1.38, exis e
un conjun o
S
, un
R
-módulo a la de echa
L
y un isomo smo
h:R(S)→MLL
. Po
(1)
,
(2)
y la obse ación 1.22, el homomo smo
1R(S)⊗ 1:R(S)⊗RN′→R(S)⊗RN
es
inyec i o. Se iene el siguien e diag ama conmu a i o:
1.5. PRODUCTO TENSOR
23
R(S)⊗RN′R(S)⊗RN
(MLL)⊗RN′(MLL)⊗RN
(M⊗RN′)L(L⊗RN′) (M⊗RN)L(L⊗RN)
1R(S)⊗ 1
h⊗1h⊗1
1MLL⊗ 1
(1M⊗ 1)L(1L⊗ 1)
Φ′Φ′
Dado que los homomo smos
h⊗1
y
Φ′
son isomo smos, el homomo smo
(1M⊗
1)L(1L⊗ 1)
es un homomo smo inyec i o. Po la obse ación 1.22, el homomo s-
mo
1M⊗ 1:M⊗N′→M⊗N
es inyec i o.
(4)
Se demues a de o ma simila a
(3)
.
Obse ación
1.51
.
El esul ado
(3)
de la p oposición 1.50 es el mejo que podemos ob ene .
Po ejemplo, conside emos la sucesión exac a co a de
Z
-módulos
0−→ Z2 1Z
−−→ Zp
−→ Z/2Z−→ 0.
Si le aplicamos el un o
Z/2Z⊗Z−
ob enemos la sucesión exac a
Z/2Z⊗ZZ1⊗2 1Z
−−−−→ Z/2Z⊗ZZ1⊗p
−−→ Z/2Z⊗ZZ/2Z−→ 0,
pe o
1⊗Z2 1Z= 0
y no es inyec i o pues o que
Z/2Z⊗ZZ≃Z/2Z
.
Denición 1.52.
Sean
M
un
R
-módulo a la de echa,
N
un
(R−S)
-bimódulo,
L
un
S
-
módulo a la izquie da y
G
un g upo abeliano. Se dice que
h:M×N×L→G
es una
aplicación
(R−S)
- iadi i a si e ica:
h(m+m′, n, l) = h(m, n, l) + h(m′, n, l), h(m, n +n′, l) = h(m, n, l) + h(m, n′, l),
h(m, n, l +l′) = h(m, n, l) + h(m, n, l′), h(m , n, l) = h(m, n, l), h(m, ns, l) = h(n, n, sl).
donde
m, m′∈M
,
n, n′∈N
,
l, l′∈L
,
∈R
y
s∈S
.
P oposición 1.53.
Sean
M
un
R
-módulo a la de echa,
N
un
(R−S)
-bimódulo,
L
un
S
-módulo a la izquie da,
T
un g upo abeliano y
h:M×N×L→T
es una aplicación
(R−S)
- iadi i a. Supongamos que el pa
(T, h)
e ica la siguien e p opiedad uni e sal:
Pa a oda g upo abeliano
G
y oda aplicación
(R−S)
- iadi i a
:M×N×L→G
, exis e
un único homomo smo de g upos abelianos
b
:T→G
al que
b
h =
.
M×N×L T
G
h
b
24
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
Si
(T′, h′)
e ica la misma p opiedad uni e sal, en onces los g upos abelianos
T
y
T′
son
isomo os.
Demos ación.
Po la p opiedad uni e sal de
(T, h)
exis e un homomo smo
b
h′:T→T′
al que
ˆ
h′h=h′
y po la p opiedad uni e sal de
(T′, h′)
exis e un homomo smo
b
h:T′→T
al que
b
h h′=h
. Po la p opiedad uni e sal de
(T, h)
,
b
hb
h′= 1
y po la p opiedad uni e sal
de
(T′, h′)
,
b
h′b
h= 1
.
P oposición 1.54.
Sea
M
un
R
-módulo a la de echa,
N
un
(R−S)
-bimódulo y
L
un
S
-módulo a la izquie da. Se iene que
M⊗R(N⊗SL)∼
=(M⊗RN)⊗SL
.
Demos ación.
La aplicación
h:M×N×L→M⊗R(N⊗SL)
,
h(m, n, l) = m⊗(n⊗l)
, es
(R−S)
- iadi i a. Veamos que el pa
(M⊗R(N⊗SL), h)
e ica la p opiedad uni e sal de la
p oposición 1.53. En e ec o, sea
:M×N×L→G
o a aplicación
(R−S)
- iadi i a y pa a
cada
m∈M
conside emos la aplicación
S
-biadi i a
m:N×L→G
,
m(n, l) = (m, n, l)
.
Exis e un homomo smo de g upos
c
m:N⊗SL→G
al que
c
m(n⊗l) = (m, n, l)
.
La aplicación
φ:M×(N⊗SL)→G
, dada po
φ(m, Pini⊗li) = c
m(Pini⊗li)
es
R
-biadi i a. En e ec o, eamos que
φ
e ica la p opiedad
(3)
de la denición 1.41:
φ(m , X
i
ni⊗li) =d
m (X
i
ni⊗li) = X
id
m (ni⊗li) = X
i
φ(m , ni, li)
=X
i
φ(m, ni, li) = X
ic
m( ni⊗li) = c
m(X
i
ni⊗li)
=c
m( (X
i
ni)⊗li) = φ(m, (X
i
ni⊗li)).
De o ma análoga se p ueba que
φ
e ica las p opiedades
(1)
y
(2)
de la denición 1.41.
Po an o, exis e un único homomo smo
bφ:M⊗R(N⊗SL)→G
de g upos al que
bφ(m⊗(n⊗l)) = φ(m, n ⊗l) = (m, n, l)
. Así, el pa
(M⊗R(N⊗SL), h)
e ica la
p opiedad uni e sal de la p oposición 1.53.
Se p ueba ambién que si
h′:M×N×L→(M⊗RN)⊗SL
es la aplicación dada po
h′(m, n, l) = (m⊗n)⊗l)
, el pa
((M⊗RN)⊗SL, h′)
e ica la p opiedad uni e sal de la
p oposición 1.53, luego
M⊗R(N⊗SL)∼
=(M⊗RN)⊗SL
.
No ación
1.55
.
Deno a emos en gene al los g upos abelianos
M⊗R(N⊗SL)
y
(M⊗R
N)⊗SL
, po
M⊗RN⊗SL
.
Capí ulo 2
Complejos. Resoluciones
2.1. Complejos de módulos
Vamos a asocia a un complejo de cadenas
C
, su módulo de homología de g ado
n
,
Hn(
C
)
, que si e pa a medi la exac i ud del complejo, de o ma que el complejo es exac o
si, y solo si,
Hn(
C
)=0
, pa a odo
n∈Z
. Dados
φ∗, ψ∗:C→D
mo smos de complejos,
u iliza emos el concep o de homo opía pa a dec ibi una condición sucien e pa a que es os
dos mo smos induzcan el mismo homomo smo en homomología.
Denición 2.1.
Un
complejo de cadenas
C={Cn, ∂n}
de
R
-módulos es una amilia
{Cn}n∈Z
de
R
-módulos y una amilia de homomo smos
{∂n:Cn→Cn−1}
de
R
-módulos,
ales que
∂n◦δn+1 = 0
:
C:· · · −→ Cn+1
∂n+1
−→ Cn
∂n
−→ Cn−1−→ · · ·
Sean
C={Cn, ∂n}
y
D={Dn, ∂′
n}
complejos de cadenas de
R
-módulos. Un
mo smo
φ∗:C→D
de complejos de cadenas
es una amilia
{φn:Cn→Dn}
de homomo smos
de
R
-módulos al que, pa a cada
n
, el diag ama
CnCn−1
DnDn−1
∂n
φnφn−1
∂′
n
es conmu a i o.
Conside amos la ca ego ía
ModZ
R
de
R
-
módulos g aduados
. Un obje o
M
en
ModZ
R
es
una amilia
{Mn}n∈Z
de
R
-módulos. Un mo smo
∗:M→M′
de
R
-
módulos g aduados de
g ado
es una amilia
{ n:Mn→M′
n+ }n∈Z
de homomo smos de
R
-módulos. Podemos
25
32
CAPÍTULO 2. COMPLEJOS. RESOLUCIONES
Demos ación.
Sean
P
y
Q
dos esoluciones p oyec i as de
M
. Po la p oposición 2.18
exis en mo smos de cadenas
φ∗:P→Q
y
ψ∗:Q→P
induciendo la iden idad en
H0(P) = M=H0(Q)
. La composición
ψ∗◦φ∗:P→P
así como el mo smo iden idad
1∗:P→P
inducen la iden idad en
M
. Po el eo ema 2.18, enemos que
ψ∗◦φ∗≃1∗
.
Análogamen e,
φ∗◦ψ∗≃1∗
. Po an o,
P
y
Q
son del mismo ipo de homo opía.
Lema 2.20.
Sea
0→M′→M→M′′ →0
una sucesión exac a de
R
-módulos. Exis e
una sucesión exac a co a de complejos
0→P′↣P↠P′′ →0
donde
P
,
P′
y
P′′
son
esoluciones p oyec i as de
M′
,
M
y
M′′
espec i amen e, y ales que el diag ama
0P′
0PoP′′
00
0M′M M′′ 0
ϵ′ϵϵ′′
es conmu a i o.
Demos ación.
Po el lema 1.39, exis e una sucesión exac a co a de
R
-módulos p oyec i os
0→P′
0→P0→P′′
0→0
y homomo smos sob eyec i os
ϵ′:P′
0→M′
,
ϵ:P0→M
y
ϵ′′ :P′′
0→M′′
, ales que el siguien e diag ama
0P′
0P0P′′
00
0M′M M30
ϵ1ϵ
ϵ′′
es conmu a i o. Po el lema de la se pien e la siguien e sucesión
0→ke ϵ′→ke ϵ→ke ϵ′′ →0,
es exac a co a. Repi iendo es e p oceso con la sucesión de núcleos y luego azonando
induc i amen e, ob enemos una sucesión exac a de complejos
0→P′↣P↠P′′ →0
,
donde
P′
,
P
y
P′′
son esoluciones p oyec i as de
M′, M, M′′
espec i amen e.
2.3. El un o To
El un o
To
es un un o de i ado. En es a sección es udia emos los un o es
To R
n(M, −)
,
que son un o es de i ados del un o
M⊗R−
.
Conside emos pa a cada módulo
N
una esolución p oyec i a
P
N
de
N
y el un o
adi i o
M⊗R−:ModR→Ab
.

2.3. EL FUNTOR TOR
33
Denición 2.21.
Sea
M
un
R
-módulo a la de echa y
N
un
R
-módulo a la izquie da. Se
dene
To R
n(M, N)
como el
n
-ésimo g upo de homología del complejo de g upos abelianos
M⊗R
P
N:· · · → M⊗RPn+1 →M⊗RPn→M⊗RPn−1→ · · · → M⊗RP0→0
siendo
P
N
una esolución p oyec i a de
N
. Si
:N→N′
es un homomo smo de
R
-módulos y
P
N
y
P
N′
son esoluciones p oyec i as de
N
y
N′
, espec i amen e, po
el lema 2.18, exis e un mo smo de complejos
φ∗:
P
N→
P
N′
que induce
. Denimos
To R
n(M, N) =Hn(M⊗R
P
N), n ∈N
To R
n(M, ) =Hn(1M⊗Rφ∗), n ∈N.
P oposición 2.22.
Se ienen un o es
To R
n(M, −): RMod →Ab
pa a odo
n∈N
, dados
po
To R
n(M, −)(N) = To R
n(M, N),To R
n(M, −)( ) = To R
n(M, )
Demos ación.
Veamos que
To R
n(M, −)
es á bien denido. Sea
ψ∗:PN→
P
N′
o o mo -
smo de complejos que induce
. Po el lema 2.18,
φ∗
y
ψ∗
son homo ópicos y dado que
el un o
M⊗R:RMod →Ab
es un un o adi i o, po el co ola io 2.8,
Hn(1M⊗Rφ∗) =
Hn(1M⊗Rψ∗)
.
Vamos a p oba que los un o es
To R(M, −)
no dependen de las esoluciones p oyec-
i as conside adas. Fijemos pa a cada módulo
N
o a esolución p oyec i a
QN
de
N
.
Tenemos un o es
QTo R
n(M, −)
denidos de o ma simila a los un o es
To n
R(M, −)
.
P oposición 2.23.
Sea
M
un
R
-módulo a la izquie da. Exis e una equi alencia na u al
Φ: To R
n(M, −)→QTo R
n(M, −).
Demos ación.
Po el eo ema de compa ación, exis e un mo smo de complejos
i∗:
P
N→
Q
N
que induce
1N
. Po se el un o
M⊗R(−)
adi i o se iene el mo smo de complejos
1M⊗Ri∗:M⊗R
P
N→M⊗R
Q
N
que induce un mo smo
ΦN=Hn(1M⊗Ri∗): To R
n(M, N)→QTo R
n(M, N)
Veamos que
ΦN
es un isomo smo:
Po el eo ema de compa ación, exis e un mo smo de complejos
j∗:
Q
N→
P
N
que
induce
1N
. Po el lema de compa ación
j∗i∗≃1
Q
N
. Po an o
Hn(1M⊗Rj∗) ΦN=
1To R
n(M,N)
. Análogamen e,
ΦNHn(1M⊗Rj∗)=1QTo R
n(M,N)
.
Veamos aho a que
Φ
es una ans o mación na u al. Sea
:N→N′
un homomo smo
de
R
-módulos. Tenemos que p oba que el cuad ado
34
CAPÍTULO 2. COMPLEJOS. RESOLUCIONES
To R
n(M, N)QTo R
n(M, N)
To R
n(M, N′)QTo R
n(M, N′)
ΦN
To R
n(M, )QTo R
n(M, )
ΦN′
es conmu a i o. Sean
P
N
y
Q
N
esoluciones p oyec i as de
N
y
P
′
N′
y
Q
N′
esolu-
ciones p oyec i as de
N′
. Sean
φ∗:PN→P′
N
y
ψ∗:QN→QN′
mo smos de com-
plejos que inducen
. Sea
i′
∗:PN′→QN′
un mo smo de complejos que induce
1N′
.
Los mo smos
i′
∗φ∗
y
ψ∗i∗:PN→QN′
son homo ópicos. Po se
M⊗R(−)
adi i o,
(1M⊗Ri′
∗) (1M⊗Rφ∗)≃(1M⊗Rψ∗) (1M⊗Ri∗)
, y en onces aplicando el un o
Hn
se
iene que
ΦN′To R
n(M, ) = QTo R
n(M, )) ΦN
.
Iden ica emos los g upos
To R
n(M, N)
y
QTo R
n(M, N)
ía el isomo smo
ΦN
.
Co ola io 2.24.
To R
n(M, N)
no depende de la esolución p oyec i a de
N
conside ada.
Denición 2.25.
Un un o con a ian e
F:RMod →Ab
se dice que es exac o a la
de echa, si pa a oda sucesión exac a
0→N′→N→N′′ →0
se iene que la sucesión
F(N′)→F(N)→F(N′′)→0
es exac a. Se dice que
F
es exac o si, pa a oda sucesión
exac a co a
0→N′→N→N′′ →0
se iene que la sucesión
0→F(N′)→F(N)→
F(N′′)→0
es exac a co a.
Un un o con a ian e exac o a la de echa es el un o
M⊗R−:RMod →Ab
. Si
M
es un
R
-módulo a la izquie da p oyec i o el un o
M⊗R−
es exac o.
P oposición 2.26.
Sea
M
un
R
-módulo a la de echa y
N
un
R
-módulo a la izquie da. Se
iene:
(1)
Un un o
To R
n(−,−): ModR×RMod →Ab
pa a odo
n∈N
.
(2) To R
n(P, N) = To R
n(M, P)=0
, pa a
n≥1
, si
P
es p oyec i o.
(3)
Los un o es
To R
0(M, −)
y
M⊗R−
son na u almen e equi alen es.
(4)
Dada una sucesión exac a co a
0→N′→N→N′′ →0
de
R
-módulos a la izquie da
se ob iene la
To
-sucesión exac a la ga en la segunda a iable
· · · −→ To R
n(M, N′)−→ To
n(M, N)−→ To R
n(M, N′′)ωn
−→ To n−1(M, N′)−→ · · ·
· · · −→ To 1(M, N′)ω1
−→ M⊗RN′−→ M⊗RN−→ M⊗RN′′ −→ 0.
Además, si
:M→M′
es un homomo smo de
R
-módulos a la de echa se iene un
diag ama conmu a i o
2.3. EL FUNTOR TOR
35
To R
n(M, N′) To R
n(M, N) To R
n(M, N′′) To R
n−1(M, N′)· · ·
To R
n(M′, N′) To R
n(M′, N) To R
n(M′, N′′) To R
n−1(M′, N′)· · ·
(5)
Dada una sucesión exac a co a
0→M′→M→M′′ →0
de
R
-módulos a la de echa
se ob iene la
To
-sucesión exac a la ga en la p ime a a iable
· · · −→ To R
n(M′, N)−→ To
n(M, N)−→ To R
n(M′′, N)ωn
−→ To n−1(M′, N)→ · · ·
· · · −→ To 1(M′′, N)ω1
−→ M′⊗RN→M⊗RN−→ M′′ ⊗RN−→ 0.
Además, si
:N→N′
es un homomo smo de
R
-módulos a la izquie da se iene un
diag ama conmu a i o
To R
n(M′, N) To R
n(M, N) To R
n(M′′, N) To R
n−1(M′, N)· · ·
To R
n(M′, N′) To R
n(M, N′) To R
n(M′′, N) To R
n−1(M′′, N′)· · ·
Demos ación.
(1)
Sean
:M→M′
un homomo smo de
R
-módulos a la de echa y
g:N→N′
un homomo smo de
R
-módulos a la izquie da,
P
una esolución p oyec i a de
N
y
P
′
una esolución p oyec i a de
N′
. Si
φ∗:
P
→
P
′
es un homomo smo de complejos
de
R
-módulos que induce
g
, denimos
To R
n( , g): To R
n(M, N)→To R
n(M′, N′),
po
To R
n( , g) = Hn( ⊗φ∗)
. Se comp ueba ácilmen e que
To (−,−)
es un un o .
(2)
Dado que
P
es p oyec i o, el un o
P⊗R−
es exac o. En onces,
To R
n(P, N) = 0
,
pa a
n≥1
. Veamos que
To R
n(M, P) = 0
, pa a
n≥1
. En e ec o, dado que el complejo de
cadenas
P
:· · · → 0→0→P0→0, P0=P,
es una esolución p oyec i a de
P
,
To R
n(M, P) = 0
, pa a
n≥1
.
(3)
Si
P
es una esolución p oyec i a de
N
, en onces la sucesión
P1→P0→M→0
es
exac a. Po an o
M⊗RP1→M⊗RP0→M⊗RN→0
es exac a. Luego,
H0(M⊗R
P
)) ∼
=
M⊗RN
. Cla amen e, es e isomo smo es na u al.
(4)
U ilizando el lema 2.20 exis e una sucesión exac a co a de complejos de
R
-módulos
p oyec i os
0→
P
′→
P
→
P
′′ →0
donde
P
′
,
P
y
P
′′
son esoluciones de
M′
,
M
y
M′′
, espec i amen e, y donde
Pn=P′
n⊕P′′
n
. Po la p oposición 1.50
(1)
, la sucesión
36
CAPÍTULO 2. COMPLEJOS. RESOLUCIONES
0→M⊗R
P
′→M⊗R
P
→M⊗R
P
′′ →0
es exac a co a. Además, si
:M→M′
es un
homomo smo de
R
-módulos, exis e una ans o mación na u al
⊗R−:M⊗− → M′⊗−
que induce mo smos de complejos
⊗1
P
′
,
⊗1
P
,
⊗1
P
′′
que hacen conmu a i o el
diag ama
0M⊗R
P
′M⊗R
P
M⊗R
P
′′ 0
0M′⊗R
P
′M′⊗R
P
M′⊗R
P
′′ 0
⊗1
P
′ ⊗1
P
⊗1
P
′′
El esul ado se sigue de la p oposición 2.13.
(5)
Sea
P
una esolución p oyec i a de
N
. Po la p oposición 1.50
(4)
, se iene la
sucesión exac a co a de complejos
0→M′⊗R
P
→M⊗R
P
→M′′ ⊗R
P
→0
. El
esul ado se sigue de la p oposición 2.13. Si
g:N→N′
es un homomo smo de
R
-módulos
a la de echa y
P
y
P
′
son esoluciones de
N
y
N′
, espec i amen e, exis e un mo smo
de complejos
g∗:
P
→
P
′
que ex iende a
g
, Conside emos el diag ama conmu a i o de
complejos de g upos abelianos
0M′⊗R
P
M⊗R
P
M′′ ⊗R
P
0
0M′⊗R
P
′M⊗R
P
′M′′ ⊗R
P
′0
1⊗g∗1⊗g∗1⊗g∗
El esul ado se sigue de la p oposición 2.13.
Denición 2.27.
Sea
M
un
R
-módulo a la de echa y
N
un
R
-módulo a la izquie da. Se
dene
To R
n(M, N)
como el
n
-ésimo g upo de homología del complejo
P
⊗RN
P
⊗RN:· · · → Pn⊗RN→Pn−1⊗RN→ · · · → P0⊗RN→0,
siendo
P
una esolución p oyec i a de
N
. Sean
:M→M′
un homomo smo de
R
-
módulos a la de echa y
P
y
P
′
esoluciones de
M
y
M′
, espec i amen e. Po el lema 2.18,
exis e un mo smo de complejos
φ∗:
P
→
P
′
que induce
. Denimos
To R
n(M, N) =Hn(
P
⊗RN), n ∈N
To R
n( , N) =Hn(φ∗⊗R1N), n ∈N.
P oposición 2.28.
Se ienen un o es
To R
n(−, N): ModR→Ab,To R
n(−,−): ModR×RMod →Ab
2.3. EL FUNTOR TOR
37
dados po
To R
n(−, N)(M) = To R
n(M, N), To R
n(−, N)( ) = To R
n( , N)
To R
n( , g) = Hn(φ∗⊗g),
donde
g:N→N′
es un homomo smo de
R
-módulos a la izquie da y se e ican pa a
To R
n
odas las p opiedades de la p oposición 2.26.
Demos ación.
Se azona como en 2.22 y en 2.26.
P oposición 2.29.
Se iene una equi alencia na u al
Ψn: To R
n(−,−)−→ To R
n(−,−).
Demos ación.
Vamos a cons ui
ΨM,N
n
. Pa a
n= 0
,
ΨM,N
0= 1
. Sea
0→K→P→
M→0
una p esen ación p oyec i a de
M
. Po la p oposición 2.26 enemos la sucesión
exac a la ga
· · · → To R
n(K, N)→To R
n(P, N)→To R
n(M, N)ωn
→To n−1(K, N)→ · · ·
· · · → To 1(M, N)ω1
→K⊗RN→P⊗RN→M⊗RN→0,
y la co espondien e sucesión pa a
To R
n(−,−)
· · · → To R
n(K, N)→To R
n(P, N)→To R
n(M, N)ωn
→To n−1(K, N)→ · · ·
· · · → To 1(M, N)ω1
→K⊗RN→P⊗RN→M⊗RN→0.
Dado que
To R
n(P, N) = To R
n(P, N)=0
, pa a
n≥1
, se ienen las sucesiones exac as
0→To 1(M, N)ω1
→K⊗RN→P⊗RN→M′⊗RN→0
0→To 1(M, N)ω1
→K⊗RN→P⊗RN→M′⊗RN→0,
luego exis e un homomo smo
ΨM,N
1: To R
1(M, N)→To R
1(M, N)
que es un isomo smo.
Supongamos po hipó esis de inducción, que exis e un isomo smo
ΨM,N
n−1
pa a odo
M
y
N
y conside emos las sucesiones exac as
0−→ To n(M, N)ωn
−→ To n−1(K, N)−→ 0
0−→ To n(M, N)ωn
−→ To n−1(K, N)−→ 0.
Se ob iene un isomo smo
ΨM,N
n
. Se puede comp oba que
ΨM,N
n
no depende de la p esen-
ación p oyec i a de
M
conside ada y que es na u al en
M
y
N
.
La a mación de la p oposición 2.29 se puede exp esa diciendo que
To n(M, N)
se
puede calcula u ilizando una esolución p oyec i a de
M
o una esolución p oyec i a de
N
.

algo
Capí ulo 3
Homología de g upos
3.1. G-módulos
Sea
G
un g upo. Deno a emos la ope ación de
G
con la mul iplicación y po
1
el
elemen o neu o de
G
. Si
A
es un g upo abeliano, deno a emos po
Au (A)
el g upo de
au omo smos de
A
y po
End(A)
el anillo de endomo smos de
A
.
Denición 3.1.
Se
llama anillo de g upo en e o
de
G
y se deno a po
ZG
, al g upo
abeliano lib e sob e el conjun o
G
, es deci el conjun o
Px∈Gaxx
,
ax∈Z
y donde
ax= 0
solo pa a un núme o ni o de elemen os
x∈G
, con la ope ación adición dada po
(X
x∈G
axx)+(X
x∈G
a′
xx) = X
x∈G
(ax+a′
x)x
y con la ope ación mul iplicación:
(X
x∈G
axx)·(X
y∈G
ayy) = X
x,y∈G
(axay)xy.
Deno a emos po
i:G→ZG
la aplicación inyec i a dada po
i(x) = 1 x
, pa a
x∈G
.
P oposición 3.2.
Sea
R
un anillo. Pa a cada aplicación
:G→R
e icando
(xy) =
(x)· (y)
y
(1) = 1R
exis e un único homomo smo de anillos
′:ZG→R
al que
′i=
.
Demos ación.
La aplicación
′:ZG→R
dada po
′(Px∈Gm(x)x) = Px∈Gm(x) (x)
es el único homomo smo de anillos al que
′i=
.
Denición 3.3.
Un
G
-
módulo a la izquie da
es un g upo abeliano
M
jun o con un homo-
mo smo de g upos
σ:G→Au (M)
. Deno a emos
σ(x)(m)
po
x·m
o simplemen e po
x m
. Po la p opiedad uni e sal de
ZG
la exis encia de
σ:G→Au (M)
es equi alen e a
39
40
CAPÍTULO 3. HOMOLOGÍA DE GRUPOS
la exis encia de un homomo smo de anillos
¯σ:ZG→End(M)
, es deci , a la exis encia
de una es uc u a de
ZG
-módulo en
M
dada po
(X
x∈G
axx)m= ¯σ(X
x∈G
axx)(m) = X
x∈G
axx m.
Se llama g upo opues o de
G
y se deno a po
Gop
al g upo cuyos elemen os son los
de
G
pe o con mul iplicación
∗
dada po
x∗y=y x
. Un
G
-módulo a la de echa es un
g upo abeliano
M
jun o con un homomo smo de g upos
σ:Gop →Au (M)
. Deno a emos
σ(x)(m)
po
a·m
o po
m x
. Lo mismo que en el caso de los
G
-módulos a la izquie da, un
G
-módulo a la de echa
M
es un
ZG
-módulo a la de echa donde la acción de
ZG
sob e
M
es á dada po :
m(X
x∈G
axx) = X
x∈G
axm x.
Decimos que
M
es un
G
-módulo a la izquie da ( esp. de echa) i ial si,
x m =m
( esp.
m x =m
), pa a odo
x∈G
y
m∈M
. Todo g upo abeliano se puede conside a como un
G
-módulo a la izquie da o a la de echa i ial.
Denición 3.4.
Se llama
ideal aumen ación
de
G
y se deno a po
IG
al núcleo del ho-
momo smo de anillos
ϵ:ZG→Z
, dado po
ϵ(Px∈Gaxx) = Px∈Gax
. La aplicación
ϵ
se
llama
aplicación aumen ación
.
Lema 3.5.
(1)
Como g upo abeliano
IG
es lib e sob e el conjun o
T={x−1|1=x∈G}
.
(2)
Si
G
es á gene ado po el conjun o
S
, en onces
S−1 = {s−1|s∈S}
gene a
IG
como
G
-módulo.
Demos ación.
(1)
Cla amen e, el conjun o
T
es linealmen e independien e. Se iene que
demos a en onces que
T
gene a
IG
. Si
Px∈Gm(x)x∈IG
, en onces
Px∈Gm(x)=0
.
Po lo an o
Px∈Gm(x)x=Px∈Gm(x)(x−1)
.
(2)
Es sucien e con demos a que si
x∈G
, en onces
x−1
pe enece al módulo
gene ado po
S−1
. Dado que
xy −1 = x(y−1) + (x−1), x−1−1 = −x−1(x−1),
el esul ado se sigue de que odo elemen o de
x∈G
es de la o ma
s±1
1s±1
2. . . s±1
k, si∈S
.
P oposición 3.6.
(1)
Si
H
es un subg upo de
G
, en onces
ZG
es un
ZH
-módulo a la
de echa (o izquie da) lib e.
(2)
Todo
G
-módulo p oyec i o es un
H
-módulo p oyec i o.
3.2. HOMOLOGÍA DE UN GRUPO
41
Demos ación.
(1)
Sea
{xi}i∈I
,
xi∈G
, un conjun o de ep esen an es de las clases a la
de echa de
H
en
G
. Se iene que
G=Fi∈IH xi
. Veamos que
{xi}i∈I
es una base de
ZG
como
ZH
-módulo a la izquie da. pongamos
x=hxxi
, con
hx∈H
, pa a cada
x∈G
. Se
iene
X
x∈G
mxx=X
i∈I
(X
x∈H xi
mxhx)xi
y po an o
{xi}i∈I
gene a
ZG
como
ZH
-módulo a la izquie da. Además, es linealmen e
independien e pues o que
X
i∈I
(X
hi∈H
ahihi)xi= 0 =⇒X
i∈I, hi∈H
ahihixi= 0 =⇒ahi= 0,∀hi∈H, ∀i∈I,
implica que
Phi∈Hahihi= 0
, pa a odo
i∈I
.
(2)
Sea
P
un
R
-módulo p oyec i o. Po la p oposición 1.38,
P
es un sumando di ec o
de un
G
-módulo lib e, es deci exis e un
R
-módulo
M
al que
P⊕M∼
=LZG
. Po
(1)
PMM∼
=MZG∼
=MZH.
y po la p oposición 1.38,
P
es un
H
-módulo p oyec i o.
3.2. Homología de un g upo
Si
M
es un
G
-módulo a la de echa y
N
es un
G
-módulo a la izquie da deno a emos los
g upos abelianos
M⊗ZGN
y
To ZG
n(M, N)
po
M⊗GN
y
To G
n(M, N)
, espec i amen e.
Deno a emos po
M⊗N
el g upo abeliano
M⊗ZN
.
Denición 3.7.
Sea
M
un
G
-módulo a la de echa. Se llama
n
-ésimo g upo de homología
de
G
con coecien es en
M
al g upo abeliano
Hn(G, M) = To G
n(M, Z),
En es a denición
Z
se conside a un
G
-módulo i ial.
El un o
Hn(G, −)
es un un o co a ian e. Podemos calcula lo, omando una esolu-
ción p oyec i a
Q
de
Z
y calculando la homología del complejo
M⊗G
Q
, o omando una
esolución p oyec i a
P
de
M
y calculando la homomogía de
P
⊗GZ
.
No ación
3.8
.
Deno a emos po
G∗
la ca ego ía cuyos obje os son pa es
(G, M)
donde
G
es un g upo y
M
es un
G
-módulo a la de echa. Un mo smo de
(G, M)
a
(G′, M′)
es un
pa
( , φ)
,
( , φ): (G, M)→(G′, M′)
, donde
:G→G′
es un homomo smo de g upos y
φ:M→U (M′)
es un homomo smo de
G
-módulos.
48
CAPÍTULO 3. HOMOLOGÍA DE GRUPOS
Teo ema 3.23.
Sea
Ck
un g upo cíclico de o den
k
con gene ado
τ
y
M
es un
Ck
-módulo
a la de echa. Se iene
Hn(Ck, M)∼
=









M/M(τ−1),
pa a
n= 0
{m∈M|m τ =m}/M N,
pa a
n= 1,3,5,7, . . .
{m∈M|mN= 0}/M(τ−1)
pa a
n= 2,4,6,8, . . .
Demos ación.
Aplicando el un o
M⊗G(−)
a la esolución
(⋆)
de
Z
y eniendo en cuen a
que
M⊗GZG∼
=M
, se iene el complejo
· · · −→ MN
−→ Mτ−1
−→ MN
−→ Mτ−1
−→ M−→ 0
y calculando su homología se iene el esul ado.
Co ola io 3.24.
Si
G={1}
, en onces
Hn(G, M)=0
, pa a odo
G
-módulo a la de echa
M
y pa a odo
n > 0
.
Demos ación.
Es i ial.
Co ola io 3.25.
Sea
Ck
un g upo cíclico de o den
k
con gene ado
τ
. Si
M
es un
CK
-
módulo a la de echa i ial, en onces
Hn(Ck, M)∼
=









M,
pa a
n= 0
M/k M,
pa a
n= 1,3,5,7, . . .
{m∈M|k m = 0},
pa a
n= 2,4,6,8, . . .
En pa icula , pa a
m≥1
H0(Ck,Z)∼
=Z, H2m−1(Ck,Z)∼
=Z/kZ, H2m(Ck,Z)=0.
Demos ación.
Es i ial.
Teo ema 3.26.
Si
C=⟨τ⟩
es un g upo cíclico inni o y
M
un
C
-módulo, se iene
H0(C, M)∼
=M/M(τ−1),
H1(C, M)∼
={m∈M|m τ =m}
Hn(C, M)=0,
pa a
n≥2
Demos ación.
Dado que
C
es un g upo lib e con base
{τ}
, po el lema 3.5,
IC
es un
C
-módulo lib e sob e el conjun o
{τ−1}
y en onces la aplicación
h:ZC→IC
, dada po
h(a) = (τ−1) a
, pa a
a∈ZC
es un isomo smo de
C
-módulos. Se iene la esolución
C
-lib e de
Z
P
:· · · −→ 0−→ ZCτ−1
−→ ZCϵ
−→ Z−→ 0.

3.4. SUCESIONES EXACTAS DE CINCO TÉRMINOS
49
y
Hn(C, M) = Hn(M⊗C
P
)
. El complejo
M⊗C
P
es isomo o al complejo
P
′:· · · −→ 0−→ Mτ−1
−→ Mϵ
−→ 0.
Calculando sus g upos de homología se ob iene el esul ado.
3.4. Sucesiones exac as de cinco é minos
Lema 3.27.
Si
1→Ni
→Gp
→Q→1
es una sucesión exac a co a de g upos, en onces
Z⊗NZG∼
=ZQ
como
G
-módulos a la de echa.
Demos ación.
Conside emos el homomo smo de g upos abelianos
:Z⊗NZG−→ ZQ
λ⊗X
x∈G
axx7→ X
x∈G
λ axp(x)
Se iene que
es un homomo smo de
G
-módulos a la de echa, donde
Z⊗NZG
es un
G
-módulo a la de echa con la acción
(λ⊗Px∈Gaxx)·y=λ⊗Px∈Gaxx y
y siendo
ZQ
un
G
-módulo a la de echa ía
p
.
Si
{xi}i∈I
el conjun o de ep esen an es de las clases a la izquie da de
N
en
G
, se iene
que
Q={pxi|i∈I}
. Po la p oposición 3.6,
ZG
es un
N
-módulo a la izquie da lib e
sob e el conjun o
{xi}i∈I
. La aplicación in e sa de
es la aplicación
g:ZQ→Z⊗NZG
,
dada po
g(Pi∈Ibip(xi)) = 1 ⊗Pi∈Ibixi
, con
bi∈Z
, pa a odo
i∈I
.
Lema 3.28.
Sea
1→Ni
→Gp
→Q→1
una sucesión exac a co a de g upos y
M
un
G
-módulo a la izquie da. Se iene que
To N
n(Z, M)∼
=To G
n(Z⊗NZG, M)∼
=To G
n(ZQ, M)
.
Demos ación.
Sea
P
una esolución
G
-p oyec i a de
Z
. Po la p oposición 3.6,
P
es una
esolución
N
-p oyec i a de
Z
. Po el lema 3.27,
Z⊗N
P
∼
=Z⊗NZG⊗G
P
∼
=ZQ⊗G
P
.
Lema 3.29.
Sea
1→Ni
→Gp
→Q→1
una sucesión exac a co a de g upos. Se iene la
sucesión exac a de
Q
-módulos a la izquie da
0−→ Nab
κ
−→ ZQ⊗GIG ν
−→ IQ −→ 0,
donde
κ(n[N, N]) = 1Q⊗(n−1)
, pa a
n∈N
.
Demos ación.
Conside emos la sucesión exac a de
G
-módulos
0→IG ι
→ZGϵ
→Z→0
.
Le aplicamos el un o
ZQ⊗G−
0 = To 1
G(ZQ, ZG)−→ To 1
G(ZQ, Z)−→ ZQ⊗GIG 1⊗ι
−→ ZQ⊗GZG1⊗ϵ
−→ ZQ⊗GZ→0.
50
CAPÍTULO 3. HOMOLOGÍA DE GRUPOS
Po el lema 3.28,
To G
1(ZQ, Z)∼
=To N
1(Z,Z) =
H
1(N, Z) = Nab
. La composición de las
aplicaciones
ZQα
−→ ZQ⊗GZG
∼
1⊗ϵ
−→ ZQ⊗GZ≃ZQ⊗QZ
β
−→ Z
∼,
donde
α
es el isomo smo dado po
α(y) = y⊗1
, pa a
y∈ZQ
y
β
es el isomo smo dado
po
β(y⊗λ) = λ ϵ(y)
,
λ∈Z
, es la aumen ación de
ZQ
. Así, se iene el esul ado.
Pa a p oba que
κ(n[N, N]) = 1Q⊗(n−1)
calculamos
To N
1(Z,Z)
u ilizando la p e-
sen ación
N
-lib e
0→IN →ZN→Z→0
y la p esen ación
G
-lib e (luego
N
-lib e)
0→IG →ZG→Z→0
. Se iene el diag ama conmu a i o
0 To N
1(Z,Z)Z⊗NIN Z⊗NZNZ⊗NZ0
0 To N
1(Z, Z)Z⊗NIG Z⊗NZGZ⊗NZ0
0 To G
1(ZQ, Z)ZQ⊗GIG ZQ⊗GZGZQ⊗GZ0
∼
∼
∼
∼
∼
∼
Los homomo smos e icales en e la p ime a y segunda la y la conmu a i idad del
diag ama o mado po las dos p ime as las se ob ienen de la o ma siguien e: Se conside a
una esolución
N
-p oyec i a
P
de
Z
y una esolución
G
-p oyec i a
P
′
de
Z
. Se iene
una equi alencia de homo opía
φ∗:P→P′
y se aplica la p oposición 2.13 al diag ama
conmu a i o
0
P
⊗NIN
P
⊗NZN
P
⊗NZ0
0
P
′⊗NIG
P
′⊗NZG
P
′⊗NZ0
φ∗⊗Ii φ∗⊗Ziφ∗⊗1
Dado que los
G
-módulos a la de echa
Z⊗NZG
y
ZQ
son isomo os, la conmu a i idad
del diag ama o mado po las dos úl imas las se sigue de la p oposición 2.26
(4)
y el lema
3.28.
El homomo smo de
Q
-módulos
κ
es la composición de las aplicaciones
κ:Nab
∼
→To N
1(Z,Z)∼
→Z⊗NIN →Z⊗NIG ∼
→ZQ⊗GIG.
La aplicación
κ
es inyec i a y
κ(nN/[N, N]) = 1Q⊗(n−1)
. Como consecuencia amos a
p oba que la es uc u a de
Q
-módulo en
Nab
es á inducida po la conjugación en el g upo
G
, es deci
y n[N, N]=(xnx−1) [N, N],
3.4. SUCESIONES EXACTAS DE CINCO TÉRMINOS
51
donde
y=p(x)
,
x∈G
y
n∈N
. Pa a p oba es o u ilizamos que
κ
es un homomo smo
de
Q
-módulos. Así,
κ(y n[N, N]) = y⊗(n−1) = 1 ⊗x(n−1) ∈ZQ⊗GIG.
Pues o que que
xnx−1∈N
, se ob iene que
1⊗(xnx−1−1)(x−1) = 0
en
ZQ⊗GIG
. Así,
1⊗x(n−1) = 1 ⊗(xnx−1−1) = κ(xnx−1[N, N]
. Como
κ
es una aplicación inyec i a,
y n[N, N]=(xnx−1) [N, N]
.
Teo ema 3.30.
(Sucesión exac a de cinco é minos)
. Sea
1→Ni
→Gp
→Q→1
una
sucesión exac a co a de g upos
M
un
Q
-módulo a la izquie da. Se iene la sucesión exac a
(y na u al)
H2(G.M)−→ H2(Q, M)−→ M⊗QNab −→ M⊗GIG −→ M⊗QIQ →0.
Demos ación.
Aplicando el un o
M⊗Q−
a la sucesión exac a
0−→ Nab
κ
−→ ZQ⊗GIG ν
−→ IQ −→ 0,
se iene la sucesión exac a
To Q
1(M, ZQ⊗GIG)−→ To Q
1(M, IQ)−→M⊗QNab −→M⊗QZQ⊗GIG−→M⊗QIQ−→0.
Se iene que
M⊗QZQ⊗GIG ∼
=M⊗GIG
. Dado que
To Q
2(M, ZQ) = To Q
1(M, ZQ)=0
,
se iene que
H2(Q, M)∼
=To Q
1(M, IQ)
. Así, enemos la sucesión exac a
To Q
1(M, ZQ⊗GIG)−→ H2(Q, M)−→ M⊗QNab −→ M⊗GIG −→ M⊗QIQ −→ 0.
Dado que
H2(G, M)∼
=To G
1(M, IG)
, pa a ob ene el esul ado es sucien e con encon a
un homomo smo de g upos sup ayec i o
To G
1(M, IG)−→ To Q
1(M, ZQ⊗GIG).
Pa a encon a es e homomo smo conside emos una p esen ación
Q
-p oyec i a
0→L→
P→M→0
de
M
y le aplicamos los un o es
− ⊗GIG
y
− ⊗Q(ZQ⊗GIG)
. Tenemos el
siguien e diag ama conmu a i o con las exac as
To G
1(P, IG) To G
1(M, IG)L⊗GIG P ⊗GIG M ⊗GIG 0
0 To Q
1(M, ZQ⊗GIG)L⊗GIG P ⊗GIG M ⊗GIG 0
ρ
52
CAPÍTULO 3. HOMOLOGÍA DE GRUPOS
y el homomo smo buscado es la composición de los mo smos
To G
1(M, IG)−→ ke ρ∼
−→ To Q
1(M, ZQ⊗GIG).
Veamos la na u alidad. Conside emos el siguien e diag ama conmu a i o de g upos con
las exac as:
1N G Q 1
1N′G′Q′1
i
hg
i′
p
p′
h
Se iene el diag ama conmu a i o de
Q
-módulos a la de echa:
0Nab ZQ⊗GIG IQ 0
0N′
ab ZQ′⊗G′IG′IQ′0
κ
hab Z ⊗Ig
κ′
ν
ν′
I
hab
Sea
M
un
Q
-módulo a la de echa y
M′
un
Q′
-módulo a la izquie da y
φ:M→U (M′)
un homomo smo de
Q
-módulos. Sea
P
una esolución p oyec i a de
Q
-módulos de
M
y
P′
una esolución p oyec i a de
Q′
-módulos de
M′
y
φ∗:P→U (P′)
un homomo smo
de complejos de
Q
-módulos que ex iende a
φ:M→U (M′)
. Conside emos el diag ama
conmu a i o de complejos de g upos abelianos con las exac as
0P⊗QNab P⊗QZQ⊗GIG P⊗QIQ 0
0P′⊗Q′N′
ab P′⊗Q′ZQ′⊗G′IG′P′⊗Q′IQ′0
1⊗κ
φ∗⊗hab φ∗⊗Z ⊗Ig
1⊗κ′
1⊗ν
1⊗ν′
φ∗⊗I
Aplicando la p oposición 2.13, se ob iene el diag ama conmu a i o de g upos abelianos
To G
1(M, ZQ⊗GIG) To Q
1(M, IQ)M⊗QNab M⊗QZQ⊗GIG M ⊗QIQ 0
To G
1(M′,ZQ′⊗G′IG′) To Q′
1(M′, IQ′)M⊗Q′N′
ab M′⊗Q′ZQ′⊗G′IG′M′⊗Q′IQ′0
y con inuando con es e ipo de azonamien os se ob iene el esul ado.
P oposición 3.31.
Sea
1→Ni
→Gp
→Q→1
una sucesión exac a co a de g upos y sea
M
un
Q
-módulo a la de echa. Se iene la sucesión exac a (y na u al)
H2(G.M)−→ H2(Q, M)−→ M⊗QNab −→ H1(G, M)−→ H1(Q, M)→0
3.5.
H2(G, M)
Y SERIES CENTRALES DESCENDENTES
53
Demos ación.
Conside emos el siguien e diag ama conmu a i o con las y columnas exac as
0 0
H1(G, M)H1(Q, M)
M⊗QNab M⊗GIG M ⊗QIQ 0
M⊗GZG M ⊗QZQ
M⊗GZM⊗QZ
0 0
ν
H1(p, 1M)
µ
κ∗1⊗Ip
1⊗ιG
1⊗ϵG
1⊗ιQ
1⊗ϵQ
g
Po el lema de los es se iene un isomo smo
ke (1 ⊗ϵG)∼
−→ ke (1 ⊗ϵQ)
, y po el lema
de la se pien e,
H1(p, 1M)
es un homomo smo sup ayec i o. Dado que
(1 ⊗ιG)◦κ∗=
(1 ⊗ιQ)◦(1 ⊗Ip)◦κ∗= 0
, exis e un homomo smo
g:M⊗QNab →H1(G, M)
al que
ν◦g=κ∗
. Veamos que
im g= ke H1(p, 1M)
. Dado que
µ◦H1(p, 1M)◦g= (1⊗Ip)◦κ∗= 0
,
po se
µ
inyec i a, se iene que
H1(p, 1M)◦g= 0
. Así,
im g⊂ke H1(p, 1M)
. Veamos que
ke H1(p, 1M)⊂im g
. Sea
m∈ke H1(p, 1M)
. Se iene que
0=(µ◦H1(p, 1M)(m) =
(1 ⊗Ip)(ν(m))
y en onces exis e
z∈M⊗QNab
al que
κ∗(z) = ν(m)
. Dado que
ν(g(z)) =
κ∗(z) = ν(m)
, se iene que
g(z) = m
. Así,
m∈im g
.
3.5.
H2(G, M)
y se ies cen ales descenden es
Lema 3.32.
Sea
1→Ni
→Gp
→Q→1
una sucesión exac a de g upos. Se iene
Z⊗QNab ∼
=N/[G, N].
Demos ación.
Z⊗QNab
es isomo o al cocien e del g upo abeliano
Z⊗Nab
po el subg upo
gene ado po los elemen os
y n[N, N])⊗λ−λ y⊗n[N, N]
, donde
λ∈Z
,
y∈Q
,
n∈N
. Dado
que
Z⊗ZNab ⊗Z∼
=Nab
, se iene que
Z⊗QNab
es isomo o al cocien e del g upo abeliano
Nab
po el subg upo gene ado po los elemen os
y n[N, N]) −n[N, N] = xnx−1[N, N]−
n[N, N] = xnx−1n−1[N, N]
, donde
x∈G
y
p(x) = y
. Así,
Z⊗QNab ∼
=N
[G, N],

54
CAPÍTULO 3. HOMOLOGÍA DE GRUPOS
donde
[G, N]
es el subg upo de
G
gene ado po los elemen os
xnx−1n−1
,
x∈G
,
n∈N
.
Co ola io 3.33.
Sea
1→Ni
→Gp
→Q→1
una sucesión exac a de g upos. Se iene la
sucesión exac a (y na u al)
H2(G, Z)−→ H2(Q, Z)−→ N/[G, N]−→ Gab −→ Qab →0.
Demos ación.
Se sigue de la p oposición 3.31 y del lema 3.32.
Teo ema 3.34.
(Fó mula de Ho p)
Sea
1→R→F→G→1
una sucesión exac a de
g upos con
F
lib e. Se iene
H2(G, Z)∼
=R∩[F, F ]/[F, R].
Demos ación.
Conside emos la sucesión exac a
H2(F, Z)−→ H2(G, Z)−→ R/[F, R]−→ Fab −→ Gab →0.
Po el co ola io 3.20,
H2(F, Z)=0
. Así,
H2(G, Z) = ke {R/[F, R]−→ Fab}∼
=R∩[F, F ]/[F, R].
Obse ación
3.35
.
Como consecuencia de la ó mula de Hop , se iene que el g upo abeliano
R∩[F, F ]/[F, R]
no depende de la p esen ación lib e de
G
conside ada.
Denición 3.36.
Sea
G
un g upo. Se llama
se ie cen al in e io
de
G
a la sucesión de
subg upos
{Gn}n∈N
, donde
G0=G
,
Gn+1 = [G, Gn]
, pa a
n≥0
.
G⊃G1⊃G2⊃ · · · ⊃ Gn⊃Gn+1 ⊃ · · ·
Se dice que un g upo
G
es
nilpo en e de clase
≤n
, si
Gn={1}
.
Los subg upos
Gn
son no males en
G
y los cocien es
Gn/Gn+1
son abelianos. Si
:G→H
es un homomo smo de g upos, en onces
induce homomo smos de g upos
de
Gn
en
Hn
, pa a odo
n≥0
.
Teo ema 3.37.
Si
:G→H
es un homomo smo de g upos al que el homomo smo
inducido
ab :Gab →Hab
es un isomo smo y
H2( , 1Z): H2(G, Z)→H2(H, Z)
es un
homomo smo sup ayec i o, en onces
induce isomo smos
n:G/Gn→H/Hn, n ≥0.
Demos ación.
Razona emos po inducción sob e
n
. Pa a
n= 0,1
, es i ial. Supongamos
el esul ado cie o pa a
n≥1
. Veamos que es cie o pa a
n≥2
. Conside emos el diag ama
conmu a i o cuyas las son sucesiones exac as co as de g upos
3.5.
H2(G, M)
Y SERIES CENTRALES DESCENDENTES
55
1Gn−1G G/Gn−11
1Hn−1H H/Hn−11
i
i′
p
p′
n−1
Po la na u alidad de la sucesión del co ola io 3.33, se iene el siguien e diag ama
conmu a i o donde las las son sucesiones exac as:
H2(G, Z)H2(G/Gn−1,Z)Gn−1/GnGab (G/Gn−1)ab 0
H2(H, Z)H2(H/Hn−1,Z)Hn−1/HnHab (H/Hn−1)ab 0
H2( , 1Z)H2( n−1,1Z)h ab ( n−1)ab
Po hipó esis, el mo smo
H2( , 1Z)
es sob eyec i o y
ab
es un isomo smo. Los mo smos
H2( n−1,1Z)
y
( n−1)ab
son isomo smos, po hipó esis de inducción.
Po el lema de los cinco (lema 1.19), dado que
H2( , 1Z)
es sob eyec i o,
H2( n−1,1Z)
,
ab
y
( n−1)ab
son isomo smos,
h
es un isomo smo.
Conside emos el diag ama
0Gn−1/GnG/GnG/Gn−10
0Hn−1/HnH/HnH/Hn−10
h n n−1
Como
h
y
n−1
son isomo smos, po el lema de los es,
n
es un isomo smo.
Co ola io 3.38.
Sea
:G→H
un homomo smo de g upos al que el homomo smo
inducido
ab :Gab →Hab
es un isomo smo y
H2( , 1Z): H2(G, Z)→H2(H, Z)
es un
homomo smo sup ayec i o. Si
G
y
H
son nilpo en es, en onces
es un isomo smo.
Demos ación.
Po se
G
y
H
nilpo en es, exis e
n≥0
al que
Gn= 0
y
Hn= 0
. El
esul ado se sigue del lema an e io .
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57