Introducción a la homología de grupos

Traballo Fin de Grao Introducción a la homología de grupos Carlos Nartallo González 2021/22 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Introducción a la homología de grupos Carlos Nartallo González 2021-22 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Álxebra Título: Introducción a la homología de grupos Breve descrición do contido En este trabajo se propone hacer un estudio de los grupos de homología Hn(G, A) de un grupo G con coecientes en un G -módulo A. Se trata de estudiar propiedades de estos grupos, dar una interpretación para n=0,1,2 y obtener algunos resultados clásicos de la teoría de grupos. Para este trabajo se precisa estudiar conceptos de teoria de categorías, el funtor producto tensor de módulos, el funtor derivado Torn G(M, −) y algunas propiedades de los módulos proyectivos. Recomendacións Outras observacións iii Índice general Resumen vii Introducción ix 1. Conceptos básicos 1 1.1. Categorías..................................... 1 1.2. Módulos...................................... 4 1.3. Coproducto y producto de módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Módulos libres y módulos proyectivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5. Productotensor.................................. 15 2. Complejos. Resoluciones 25 2.1. Complejosdemódulos.............................. 25 2.2. Resoluciones.................................... 30 2.3. ElfuntorTor................................... 32 3. Homología de grupos 39 3.1. G-módulos..................................... 39 3.2. Homologíadeungrupo ............................. 41 3.3. Homología de los grupos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4. Sucesiones exactas de cinco términos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.5. H2(G, M) y series centrales descendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Bibliografía 57 v Resumen El objetivo de este trabajo es el estudio de los grupos de homología Hn(G, M) de un grupo G con coecientes en un G -módulo M . Se estudian propiedades de estos grupos, se da una interpretación para n= 0,1 y una interpretación para n≥0 solo para grupos cíclicos y grupos libres y se obtiene la sucesión exacta de cinco términos para homología que conecta los grupos de homología en dimensiones 1 y 2 . Se obtienen algunos resultados clásicos de la teoría de grupos, como la fórmula de Hopf que describe el segundo grupo de homología con coecientes en Z o la relación entre la homología de un grupo y sus series centrales descendentes. Para el desarrollo del trabajo se estudian previamente conceptos de teoría de módulos, el funtor producto tensor de módulos y su comportamiento sobre los módulos libres y proyectivos, y los funtores derivados Torn G . Abstract The aim of this project is to study the homology groups Hn(G, M) of a group G with coecients in a G -module M . Properties of the groups are studied, an interpretation is given for n= 0,1 and for n≥0 only for cyclic groups and free groups and an exact sucession of ve terms is found for the homology that connects the homology groups in dimension 1 and 2. Some classical results of the group theory are found, like Hopf's formula, which describes the second group of homology with coecients in Z or the connection between the homology of a group and its central descendent series. For the development of the project, concepts of the module theory are studied, as well as functor tensor product and its behavior over the free modules and projective modules and the derived functors Torn G . vii algo Capítulo 1 Conceptos básicos 1.1. Categorías En esta sección vamos a introducir los conceptos de teoría de categorías necesarios para la comprensión de este trabajo. Denición 1.1. Una categoría C es una clase Obj (C) cuyos elementos se llaman objetos , tal que para cada par de objetos (X, Y ) de C se tiene un conjunto C(X, Y ) cuyos objetos se llaman morsmos de X a Y y para cada terna de objetos X , Y y Z se tiene una ley de composición ◦:C(X, Y )× C(Y, Z)−→ C(X, Z) (f , g )7−→ g f vericando los siguientes axiomas: (1) C(X1, Y1)∩ C(X2, Y2) = ∅ , si X1=X2 o Y1=Y2 . (2) Dados f∈ C(X, Y ) , g∈ C(Y, Z) y h∈ C(Z, T) , entonces h(g f)=(h g)f (3) Para cada objeto X existe un morsmo 1X∈ C(X, X) tal que para cada f∈ C(X, Y ) y cada g∈ C(Y, X) , f1X=f, 1Xg=g. El morsmo 1X se llama identidad y el axioma (2) , asociatividad de la composición . Si f∈ C(X, Y ) , escribiremos f:X→Y . Se dice que un morsmo f∈ C(X, Y ) es un isomorsmo , si existe un morsmo g∈ C(Y, X) , tal que g f = 1X y f g = 1Y , y denotaremos con frecuencia g por f−1 . 1 2 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Ejemplos 1.2. (1) La categoría Set es la categoría cuyos objetos son los conjuntos, sus morsmos son las aplicaciones entre conjuntos y la composición es la composición usual de aplicaciones. (2) La categoría Gr es aquella cuyos objetos son los grupos, los morsmos son los homomorsmos de grupos y la composición es la composición de aplicaciones usual. (3) La categoria Ab cuyos objetos son los grupos abelianos, los morsmos son los homomorsmos de grupos abelianos y la composición es la composición de aplicaciones usual. (4) La categoría Top es la que tiene como objetos los espacios topológicos, los morsmos son las aplicaciones continuas y la composición es la usual. (5) La categoria VecK que tiene como objetos los espacios vectoriales sobre K , como morsmos las aplicaciones lineales y la composición es la composición usual de aplicaciones. (6) Si C1 y C2 son categorías. La categoría C1×C2 es la categoría cuyos objetos son pares (X1, X2) donde Xi∈ Obj (Ci) , para i= 1,2 , y cuyos morsmos son pares (f1, f2) donde fi∈ C(Xi, Yi) , para cada i= 1,2 . Si (f1, f2) y (g1, g2) son morsmos en C1× C2 su composición es (g1, g2) (f1, f2)=(g1f1, g2f2). Denición 1.3. Sean C y D categorías. Un funtor covariante F de C a D y que se denota por F:C → D es una correspondencia que asigna a cada objeto X en C un objeto FX en D y a cada morsmo f∈ C(X, Y ) un morsmo Ff ∈ D(F(X), F(Y)) y que verica las siguientes condiciones: (1) Si f:X→Y y g:Y→Z son morsmos en C , entonces F(g f) = Fg Ff. (2) Para cada objeto X en C , se tiene que F(1X)=1F X . Ejemplos 1.4. (1) El funtor identidad 1C:C → C está denido por 1C(X) = X y 1C(f) = f . (2) Si X es un objeto de C denimos el funtor morsmos F:C → Set por FY = C(X, Y ) , para todo objeto Y de C , y si f:X→Y es un morsmo en C , denimos Ff :C(X, Y )→ C(X, Y ′) por Ff(g) = g f . 1.1. CATEGORÍAS 3 (3) Si Y es un objeto en una categoría D , denimos el funtor constante F:C → D por FX =Y para todo objeto X de C y Ff = 1Y para todo morsmo f en C . Denición 1.5. Sean F y G funtores covariantes de C a D . Una transformación natural t:F→G es una colección de morsmos tX:FX →GX , uno para cada objeto X∈ C , tal que para cada morsmo f:X→Y en C , el diagrama FX GX FY GY tX F f F g tY es conmutativo, es decir Fg tX=tYFf . Si tX es un isomorsmo para cada X∈ C , entonces se dice que t es una equivalencia natural y que los funtores F y G son naturalmente equivalentes . Denición 1.6. Sea C una categoría. Se dice que un objeto 0 es un objeto cero de C si para todo objeto X en C los conjuntos C(X, 0) y C(0, X) tienen cada uno un único elemento. Sea C una categoría con objeto cero 0 . Cada conjunto C(X, Y ) tiene un morsmo que es la composición de los morsmos X→0 y 0→Y y se llama morsmo cero de X en Y y se denota por 0: X→Y . Dos objetos cero de C son isomorfos. El morsmo cero no depende del objeto cero considerado. Denición 1.7. Llamaremos categoría preaditiva a una categoría con objeto cero en la cual el conjunto C(X, Y ) es un grupo abeliano para todos los objetos X e Y en C y donde la composición ◦:C(X, Y )× C(Y, Z)−→ C(X, Z) (f , g)7→ f g es bilineal, es decir (f+f′)g=f g +f′g, f (g+g′) = f g +f g′, f, f′∈ C(X, Y ), g, g′∈ C(Y, Z). Denición 1.8. Sean C y D categorías preaditivas. Se dice que un funtor F:C → D es aditivo si para cualesquiera objetos X y Y en C y morsmos f, g ∈ C(X, Y ) se tiene F(f+g) = Ff +Fg. Lema 1.9. Si C es una categoría preaditiva el elemento neutro de C(X, Y ) es el morsmo cero 0: X→Y en C y si F:C → D es un funtor aditivo, entonces F lleva morsmos cero a morsmos cero. 4 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Demostración. Dado que para todo f∈ C(Y, Z) , f0=0 , se tiene 0 + 0 = 1Y0+1Y0 = (1Y+ 1Y) 0 = 0, y entonces 0 es el elemento neutro de C(X, Y ) . Además, F0 = F(0 + 0) = F0 + F0. Así, F0=0 . 1.2. Módulos Sean R y S anillos unitarios. La aplicación f:R→S es un homomorsmo de anillos si verica que f(r1+r2) = f(r1)+f(r2) , f(r1r2) = f(r1)f(r2) , f(1) = 1 . Los endomorsmos de un grupo abeliano M , que denotaremos por End(M) , forman un anillo unitario con las operaciones adición y multiplicación dadas por: (f+g)(m) = f(m) + g(m),(f g)(m) = f(g(m)), f, g ∈End(M),m∈M. El anillo opuesto del anillo R , Rop , es el anillo cuyos elementos son los de R , la operación adición es la de R y la multiplicación ∗ está dada por r1∗r2=r2r1 . Denición 1.10. Sea R un anillo unitario. Un R - módulo a la izquierda es un par (M, µ) , donde M es un grupo abeliano M y µ:R×M→M es una aplicación, µ(r, x) = r x , que verica los siguientes axiomas: (i) (r1+r2)m=r1m+r2m (ii) (r1r2)m=r1(r2m) (iii) r(m1+m2) = r m1+r m2 (iv) 1m=m para todo m, m1, m2∈M , r, r1, r2∈R . Si (M, µ) es un R -módulo a la izquierda, se tiene un homomorsmo de anillos ¯µ:R→End(M) denido por (¯µ(r))(m) = r m . Recíprocamente si tenemos un grupo abeliano M junto con un homomorsmo de anillos ¯µ:R→End(M) . y consideramos la aplicación µ:R×M→M dada por µ(r, m) = (¯µ(r))(m) y denotamos µ(r, m) por r m , entonces el par (M, µ) es un R -módulo a la izquierda. Denición 1.11. Sea R un anillo unitario. Un R - módulo a la derecha es un par (M, µ) , donde M es un grupo abeliano M y µ:M×R→M es una aplicación, µ(r, x) = r x , que verica los siguientes axiomas: 1.2. MÓDULOS 5 (i') m(r1+r2) = m r1+m r2 (ii') m(r1r2)=(m r1)r2 (iii') (m1+m2)r=m1r+m2r (iv') m1 = m para todo m, m1, m2∈M , r, r1, r2∈R . Si (M, µ) es un R -módulo a la derecha, se tiene un homomorsmo de anillos ¯µ:R→End(M)op denido por (¯µ(r))(m) = m r . Recíprocamente si tenemos un grupo abeliano M junto con un homomorsmo de anillos ¯µ:R→End(M)op . y consideramos la aplicación µ:M×R→M dada por µ(m, r) = (¯µ(r))(m) y denotamos µ(m, r) por m r , entonces el par (M, µ) es un R -módulo a la derecha. Por comodidad en este capítulo, utilizaremos el término R -módulos para referirnos a los R -módulos a la izquierda o a la derecha, cuando está claro si son R -módulos por la izquierda o derecha. Si R es un anillo conmutativo, todo R -módulo M a la izquierda es un R -módulo a la derecha con la operación m∗r=r m . Si R=Z , los Z -módulos son los grupos abelianos. Si R=K , con K un cuerpo, los K -módulos son los espacios vectoriales sobre K . Denición 1.12. Sean M y N R -módulos a la izquierda (resp. derecha). Un homomorsmo de R - módulos a la izquierda (resp. derecha ) f:M→N es un homomorsmo de grupos abelianos que verica que f(r m) = r f(m) (resp. f(m r) = f(m)r ), para todo r∈R , m∈M . La aplicación identidad de M es un homomorsmo de R -módulos que denotaremos por 1M:M→M y la composición de homomorsmos de R -módulos es un homomorsmo de R -módulos. Si M y N son R -módulos a la izquierda (resp. derecha,) el conjunto de homomor- smos de R -módulos a la izquierda (resp. derecha) de M en N , que denotaremos por HomR(M, N) , tiene estructura de grupo abeliano con la operación (f+g)(m) = f(m) + g(m), f, g ∈HomR(M, N), m ∈M. Denotaremos por RMod la categoría cuyos objetos son los R -módulos por la izquierda, cuyo conjunto de morsmos RMod(M, N) es HomR(M, N) y donde la composición es la usual. Denotaremos por ModR la categoría de R -módulos a la derecha. La categoría de R -módulos a la izquierda (resp. derecha) es una categoría preadiva. El objeto cero es el módulo cero y el morsmo 0: M→M′ es el homomorsmo cero. 6 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Decimos que f:M→N es un isomorsmo de R-módulos a la izquierda (resp. derecha ) si es un isomorsmo en la categoría RMod (resp. ModR ). Se tiene que f es un isomorsmo de R -módulos si es sobreyectivo e inyectivo. Si existe un isomorsmo de R -módulos f:M→ N , entonces se dice que M y N son R -módulos isomorfos y se denota por M∼ =N . Sea M un R -módulo por la izquierda (resp. derecha). Se dice que M′ es un submódulo de M si M′ es un subgrupo de M y si para cada m∈M′ y r∈R se tiene que r m ∈M′ (resp. m r ∈M′ ). Si M′ es un submódulo de M el grupo cociente M/M′ es un R -módulo a la izquierda (resp. derecha), deniendo r(m+M′) = r m+M′ (resp. (m+M′)r=m r+M′ ). Se tiene un homomorsmo inyectivo i:M′→M y un homomorsmo sobreyectivo p:M→ M/M′ . Cuando los resultados son válidos para R -módulos a la izquierda y para R -módulos a la derecha, utilizaremos el término R -módulos, para referirnos a R -módulos a la izquierda o a R -módulos a la derecha. Si f:M→N es un homomorsmo de R -módulos el conjunto ker f={m∈M| f(m) = 0} es un submódulo de M y se llama núcleo de f y el conjunto im f=f(M) = {f(m)|m∈M} es también un submódulo de N . La aplicación ¯ f:M/ ker f→im f dada por ¯ f(m+ ker f) = f(m) , es un isomorsmo de R -módulos. El R -módulo N/f(M) se llama conúcleo de f y lo denotaremos por coker f . Proposición 1.13. Sea f:M→N un homomorsmo de R -módulos. (1) Sean i: ker f→M la inclusión y g:L→M un homomorsmo de R -módulos tal que f◦g= 0 . Existe un único homomorsmo de R -módulos h:L→ker f tal que i h =g . ker f M N L h f g i 0 (2) Sean p:N→coker f la proyección, p(n) = n+f(M) y g:N→L un homomorsmo de R -módulos tal que g◦f= 0 . Existe un único homomorsmo de R -módulos h: coker f→L tal que h p =g . M N coker f L p f g h 0 1.2. MÓDULOS 7 Demostración. (1) Dado que g(L)⊂ker f , la aplicación h:L→M dada por h(x) = g(x) , es un homomorsmo de R -módulos y verica que i h =g . Si h′:L→M es otro homomorsmo de grupos que verica i h′=g , por ser i una aplicación inyectiva h=h′ . (2) Sea h: coker f→L , h(n+f(M)) = g(n) . La aplicación h está bien denida, puesto que si n+f(M) = n′+f(M) , entonces n−n′∈f(M) . Luego, existe m∈M tal que n−n′=f(m) . Así, g(n−n′) = g(f(m)) = 0 y g(n) = g(n′) . Además h es un homomorsmo de R -módulos y verica que h p =g . Si h′: coker f→L es otro morsmo que verica h′p=g . Por ser p un homomorsmo sobreyectivo, h′=h . Denición 1.14. Sean f1:M1→M2 y f2:M2→M3 homomorsmos de R -módulos. Se dice que la sucesión M1 f1 −→ M2 f2 −→ M3 es exacta en M2 si ker f2= im f1 . Se dice que la sucesión M0→M1→ · · · → Mn→Mn+1 es exacta si es exacta en M1, M2, . . . , Mn . Si f1:M1→M2 y f2:M2→M3 son homomorsmos de R -módulos, la sucesión 0→M1 f1 −→ M2 f2 −→ M3→0 es exacta si, y solo si, f1 es un homomorsmo inyectivo, ker f2=f1(M1) y f2 es un homomorsmo suprayectivo. Si la sucesión de R -módulos 0→M1 f1 −→ M2 f2 −→ M3→0 es exacta, entonces se dice que es una sucesión exacta corta . Denición 1.15. La sucesión exacta corta de R -módulos 0→M1 f1 →M2 f2 →M3→0 se dice que rompe si existe un homomorsmo de R -módulos s:M3→M2 tal que f2◦s= 1 . Lema 1.16. (Lema de los tres) Sean 0→M1 f1 −→ M2 f2 −→ M3→0 y 0→N1 f1 −→ N2 f2 −→ N3→0 dos sucesiones exactas cortas de R -módulos y consideremos el siguiente diagrama conmutativo 0M1M2M30 0N1N2N30 f1 h1h2 g1 f2 g2 h3 Si dos cualesquiera de los homomorsmos h1 , h2 y h3 son isomorsmos, entonces el tercero es también isomorsmo. Demostración. Supongamos que h1 y h3 son homomorsmos; tenemos que probar que h2 es un isomorsmo. En primer lugar demostraremos que ker h2 = 0 . Si m2∈ker h2 , entonces 0 = g2h2m2=h3f2m2 . Como h3 es un isomorsmo , tenemos que f2m2= 0 . De ahí que exista m1∈M1 con f1m1=m2 . Luego 0 = h2f1m1=g1h1m1 . Como g1h1 es inyectiva, tenemos que m1= 0 . Por tanto, m2=f1m1= 0 . Veamos que h2 es sobreyectiva. Sea n2∈N2 ; tenemos que probar que n2=h2m2 para algún m2∈M2 . Como h3 es un isomorsmo existe m3∈M3 con h3m3=g2n2 . Como f2 es sobreyectiva , existe m2∈M2 8 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS tal que f2m2=m3 . Se tiene que g2(n2−h2m2) = g2n2−g2h2m2=g2n2−h3f2m2= g2n2−h3m3= 0 . Luego existe n1∈N1 con g1n1=n2−h2m2 . Como h1 es un isomorsmo existe m1∈M1 tal que h1m1=n1 . Entonces h2(f1m1+m2) = h2f1m1+h2m2= g1h1m1+h2m2=g1n1+h2m2=n2 . Poniendo m2=f1m1+m2 , tenemos que h2m2=n2 . Los otros dos casos posibles se demuestran de forma análoga. Lema 1.17. (Lema de la serpiente) Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de R -módulos con las exactas M1M2M30 0N1N2N3 f1 h1 g1 f2 g2 h2h3 Existe un homomorsmo w: ker h3→coker h1 , que llamaremos homomorsmo de conexión, tal que la siguiente sucesión es exacta: ker h1 f1k →ker h2 f2k →ker h3 w →coker h1 g1c →coker h2 g2c →coker h3, donde fk 1 y fk 2 son los homomorsmos inducidos por f1 y f2 entre los núcleos de h1 y h2 , respectivamente y gc 1 y gc 2 son los homomorsmos inducidos por g1 y g2 entre los conúcleos de h1 y h2 , por la proposición 1.13. Demostración. Es fácil probar que se tienen las siguientes sucesiones exactas: ker h1 f1k →ker h2 f2k →ker h3 coker h1 g1c →coker h2 g2c →coker h3. Veamos que existe un homomorsmo w: ker h3→coker h1 conectando las dos secuencias anteriores. La aplicación w está denida de la siguiente forma: Sea m3∈ker h3 , y sea m2∈M2 con f2m2=m3 . Como g2h2m2=h3f2m2=h3m3= 0 entonces existe n1∈N1 tal que h2m2=g1n1 . Denimos w(m3)=[n1] = n1+h1(M1) . Demostraremos que w está bien denida, esto es, que w(m3) es independiente de la elección de m2 . En efecto, sea m2∈M2 con f2m2=m3 y n1∈N1 tal que h2m2=g1n1 . Dado que f2m2=f2m2 , existe m1 tal que m2 = m2 + f1m1 . Entonces g1(n1) = h2m2=h2(m2+f1m1) = h2m2+ g1h1m1=g1n1+g1h1m1=g1(n1+h1m1) . Por ser g1 un homomorsmo inyectivo, n1=n1+h1m1 , por lo tanto [ n1]=[n1] . Se comprueba fácilmente que w es un homomorsmo. 1.2. MÓDULOS 9 Veamos la exactitud en ker h3 . Si m3∈ker h3 es de la forma f2h2 para m2∈ker h2 , entonces 0 = h2m2=g1n1 , y por ser g1 un homomorsmo inyectivo n1= 0 y w(m3) = 0 . Luego im fk 2⊂ker w . Sea ahora m3∈ker h3 con w(m3)=0 . Se tiene que m3=f2m2, h2m2=g1n1 y entonces existe m1∈M1 con h1m1=n1 . Considerando m2=m2−f1m1 . Claramente f2m2=m3 , y dado que h2m2=h2m2−h2f1m1=h2m2−g1n1= 0 , por lo tanto m3∈ker h3 es de la forma f2m2 con m2∈ker h2 . Finalmente probaremos la exactitud en coker h1 . Si w(m3)=[n1]∈coker h1 donde m3=f2h2 y h2m2=g1n1 , se tiene que gc 1[n1] = [g1n1] = [h2m2]=0 . Así, im w⊂ker gc 1 . Si [n1]∈coker h1 con gc 1[n1]=0 , entonces g1n1=h2m2 para algún m2∈M2 y m3=f2m2∈ker h3 . Por lo tanto se tiene que [n1] = w(m3) . Luego, ker gc 1= im w . Observación 1.18 . El diagrama del lema 1.17 es natural, en el sentido de que si consideramos el diagrama conmutativo con las exactas M1M2M30 M′ 1M′ 2M′ 30 0N1N2N3 0N′ 1N′ 2N′ 3 f1f2 f′ 1f′ 2 g1g2 g′ 1g′ 2 h1h2h3 α1α2α3 h′ 1h′ 2h′ 3 β1β2β3 entonces el diagrama ker h1ker h2ker h3coker h1coker h2coker h3 ker h′ 1ker h′ 2ker h′ 3coker h′ 1coker h′ 2coker h′ 3 fk 1fk 2wgc 1gc 2 f′ 1 kf′ 2 kw′g′ 1 cg′ 2 c βc 3 αk 1αk 2αk 3βc 1βc 2 es conmutativo y sus las son exactas. Lema 1.19. (Lema de los cinco) Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de R - módulos cuyas las son sucesiones exactas M1M2M3M4M5 N1N2N3N4N5 f1 h1 f2f3f4 g1g2g3g4 h2h3h4h5 16 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Si S es un conjunto denotaremos los elementos (rs)s∈S de R(S) (denición 1.28), por Ps∈Srss . Denición 1.40. Sea M un R -módulo a la derecha y N un R -módulo a la izquierda. El producto tensor de M y N sobre R , que se denota por M⊗RN , es el grupo cociente del grupo abeliano sobre el conjunto M×N por el subgrupo S generado por los elementos (m1+m2, n)−(m1, n)−(m2, n), m1, m2∈M, n ∈N (m, n1+n2)−(m, n1)−(m, n2), m ∈M, n1, n2∈N (m r, n)−(m, r n), m ∈M, n ∈N, r ∈R, es decir M⊗RN= (Z(M×N))/S . Denotaremos (m, n) + S por m⊗n . Obsérvese que el conjunto {m⊗n|m∈M, n ∈N} genera M⊗RN como grupo abeliano, puesto que todo elemento de M⊗RN es una combinación lineal de la forma X i∈M×N mi⊗ni. Denición 1.41. Sea M un R -módulo a la derecha, N un R -módulo a la izquierda y T un grupo abeliano. Una aplicación φ:M×N→T se dice que es R -biaditiva si verica las siguientes propiedades (1) φ(m1+m2, n) = φ(m1, n)−φ(m2, n) , (2) φ(m, n1+n2) = φ(m, n1)−φ(m, n2) , (3) φ(m r, n) = φ(m, r n) , para cada m1, m2, m ∈M , n1, n2, n ∈N , r∈R . Teorema 1.42. Sea M un R -módulo a la izquierda, N un R -módulo a la derecha y T un grupo abeliano. Se tiene (1) La aplicación h:M×N→M⊗RN , dada por h(m, n) = m⊗n , es R -biaditiva. (2) El par ( M⊗RN, h) verica la siguiente propiedad universal: Si f:M×N→L es una aplicación R -biaditiva, existe un único homomorsmo de grupos b f:M⊗RN→L , tal que b f◦h=f . M×N M ⊗RN L h fb f 1.5. PRODUCTO TENSOR 17 (3) Si el par (T, ν) , donde T es un grupo abeliano y ν:M×N→T es una aplicación R -biaditiva, verica la propiedad siguiente universal: Si f:M×N→L es una aplicación R -biaditiva, existe un único homomorsmo de grupos b f:M⊗RN→L , tal que b f◦ν=f . M×N T L ν fb f entonces los grupos M⊗RN y T son isomorfos. Demostración. (1) Se tiene h(m+m′, n) =(m+m′)⊗n=m⊗n+m′⊗n=h(m, n) + h(m′, n) h(m, n +n′) =m⊗(n+n′) = m⊗n+m⊗n′=h(m, n) + h(m′, n) h(mr, n) =mr ⊗n=m⊗rn =h(m, rn). (2) Sea L un grupo abeliano, f:M×N→L una aplicación R -biaditiva, {ei}i∈M×N la base canónica de Z(M×N) e µ:M×N→Z(M×N) la aplicación dada por µ(m, n) = e(m,n) . Por ser Z(M×N) el Z -módulo libre sobre M×N , existe un homomorsmo de grupos abelianos g:Z(M×N)→L con g(m, n) = f(m, n) para todo (m, n)∈M×N . Como f es una aplicación R -biaditiva, se tiene que g(S) = {0} . Luego, por la proposición 1.13, g induce un homomorsmo de grupos abelianos b f:M⊗RN=Z(M×N)/S →L dado por b f(m⊗n) = b f((m, n) + S) = g(m, n) = f(m, n) . M×NZ(M×N)M⊗RN L p µ g b f f La unicidad de b f se sigue de que el conjunto {m⊗n|m∈M, n ∈N} genera M⊗RN . (3) Por la propiedad universal de (M⊗RN, h) existe un homomorsmo bν:M⊗RN→T tal que bν h =ν . Por la propiedad universal de (T, ν) existe un homomorsmo b h:T→ M⊗N tal que b h ν =h . Luego b hbν h =h y bνb h ν =ν , y por las propiedades universales de (M⊗N, h) y (T, ν) se tiene que b hbν= 1 y bνb h= 1 . Proposición 1.43. Sea f1:M1→N1 un homorsmo de R -módulos a la derecha y f2:M2→N2 un homomorsmo de R -módulos a la izquierda. Existe un único homomor- smo de grupos abelianos f1⊗f2:M1⊗RM2→N1⊗RN2 , tal que (f1⊗f2)(m1⊗m2) = f1(m1)⊗f2(m2) . 18 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Demostración. Como la aplicación φ:M1×M2→N1⊗RN2 , φ(m1, m2) = f1(m1)⊗f2(m2) , es R -biaditiva, por la propiedad universal de M1⊗RM2 , existe un único homomorsmo de grupos f1⊗f2:M1⊗RM2→N1⊗RN2 , tal que (f1⊗f2)(m1⊗m2) = f1(m1)⊗f2(m2) . Proposición 1.44. Sean M un R -módulo a la derecha y N un R -módulo a la izquierda. (1) Se tiene un funtor aditivo M⊗R−:RMod →RMod donde (M⊗ −)(N) = M⊗RN y (M⊗ −)(g) = 1M⊗g , para cada homomorsmo de R -módulos a la izquierda g:N→N′ . (2) Se tiene un funtor aditivo − ⊗RN:ModR→ModR dado por (− ⊗ N)(M) = M⊗RN y (− ⊗ N)(f) = f⊗1N , para cada homomorsmo de R -módulos a la derecha f:M→M′ . Demostración. (1) La funtorialidad de M⊗R− se sigue de las igualdades 1M⊗1N= 1M⊗RN y 1M⊗g′g= (1M⊗g′)(1M⊗g) . El funtor M⊗R− es aditivo puesto que 1M⊗(g+h) = 1M⊗g+ 1M⊗h . (2) Se demuestra de manera análoga a (1) . Proposición 1.45. Sean M un R -módulo a la derecha y N un R -módulo a la izquierda. Se tiene M⊗RN≃M⊗ZN H, donde H es el subgrupo de M⊗ZN generado por los elementos m r ⊗n−m⊗r n, m ∈M, n ∈N, r ∈R. Demostración. Consideremos la aplicación Z -biaditiva h:M×N→M⊗ZN , h(m, n) = m⊗n y sea p:M⊗ZN→(M⊗ZN)/H la proyección, p(m⊗n) = m⊗n+H . La aplicación p◦h:M×N→(M⊗ZN)/H es R -biaditiva. Veamos, por ejemplo la condición (3) de la denición 1.41: p h(mr, n) = mr ⊗n+H=m⊗rn +H=p h(m, rn). Se tiene que (M⊗ZN)/H, p◦h) verica la propiedad universal del teorema 1.42. En efecto, sea L un grupo abeliano y f:M×N→L una aplicación R -biaditiva. Por la propiedad 1.5. PRODUCTO TENSOR 19 universal de (M⊗ZN, h) , existe un único homomorsmo de grupos g:M⊗ZN→L tal que g h =f . Veamos que g(H)=0 : g(m r ⊗n−m⊗r n) = g(m r ⊗n)−g(m⊗r n) = f(m r, n)−f(m, r n) = 0. Por la proposición 1.13 (2) , existe un único homomorsmo de grupos g′: (M⊗ZN)/H →L , tal que g′p=g . Por tanto, g′p h =f . Si g′′ : (M⊗ZN)/H es otro homomorsmo de grupos que verica que g′′ p h =f , por la propiedad universal de (M⊗ZN, h) se tiene que g′p=g′′ p y por ser p un homomorsmo suprayectivo, g′=g′′ . El resultado se sigue del teorema 1.42 (3) . M×N M ⊗ZN(M⊗ZN)/H L p h gg′ f Denición 1.46. Sea φ:R→S un homomorsmo de anillos. Se llama funtor cambio de anillo inducido por φ al funtor Uφ:SMod →RMod dado por UφM=M , donde M se considera un R -módulo con la acción r m =φ(r)m , para r∈R y m∈M , y dado un homomorsmo de S -módulos g:M→N , Uφg=g . Si M es un S -módulo se dice que M=Uφ(M) es un R -módulo vía φ . Proposición 1.47. Sea φ:R→S un homomorsmo de anillos, M un R -módulo a la derecha, N un R -módulo a la izquierda, M′S -módulo a la derecha y N′ un S -módulo a la izquierda. Sea f:M→UφM′ un homomorsmo de R -módulos a la derecha y g:N→ UφN′ un homomorsmo de R -módulos a la izquierda. Existe un único homomorsmo de grupos abelianos, que denotaremos por f⊗g , dado por f⊗g:M⊗RN→M′⊗SN′ , (f⊗g)(m⊗n) = f(m)⊗g(n) . Demostración. La aplicación h′:M×N→M′⊗SN′ dada por h′(m, n) = f(m)⊗g(n) es R -biaditiva. En efecto, se verican las condiciones (1) , (2) y (3) de la denición 1.41. Veamos la condición (3) : h′(m r, n) = f(m r)⊗Sg(n) = f(m)φ(r)⊗g(n) = f(m)⊗φ(r)g(n) = h′(m, r n). M×N M ⊗RN M′⊗SN′ h h′f⊗g 20 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS El resultado se sigue del teorema 1.42 (2) . Denición 1.48. Sean R y S anillos. Se dice que un grupo abeliano M es un (R−S) - bimódulo si M es un R -módulo a la izquierda y un S -módulo a la derecha y las dos acciones están relacionadas por r(m s) = (r m)s, r ∈R, m ∈M, s ∈S. Proposición 1.49. Sean R y S anillos. Si M es un R -módulo a la derecha y N un (R−S) - bimódulo, entonces M⊗RN es un S -módulo a la derecha con la acción: (m⊗n)s=m⊗n s. Análogamente, si M es un (S−R) -bimódulo y N es un R -módulo a la izquierda, entonces M⊗RN es un S -módulo a la izquierda con la acción s(m⊗n) = s m ⊗n. Demostración. Sea N un (R−S) -bimódulo y M un R -módulo a la derecha. Fijado s∈S , la multiplicación νs:N→N , denida por νs(n) = ns , es un homomorsmo de R -módulos. en efecto, νs(rn)=(rn)s=r(ns) = rνs(n). Consideremos el funtor F=M⊗R−:RMod →Ab , y el homomorsmo de grupos abelianos F(νr) = 1M⊗νs:M⊗RN→M⊗RN . La aplicación ν:S→End(M ⊗RN)op , ν(s) = 1⊗νs , es un homomorsmo de anillos, luego M⊗RN es un S -módulo a la derecha. De forma similar se prueba que si M es un (S−R) -bimódulo y N es un R -módulo a la izquierda, entonces M⊗RN es un S -módulo a la izquierda con la acción s(m⊗n) = s m ⊗n . Proposición 1.50. (1) Sea {Ni}i∈I una familia de R -módulos a la izquierda y sea M un R -módulo a la derecha. La aplicación Φ: M⊗R(MNi∈I)−→ M i∈I (M⊗RNi) dada por Φ(m⊗(ni)i∈I)=(m⊗ni)i∈I , es un isomorsmo de grupos abelianos que hace conmutativo el diagrama M⊗RNjLi∈I(M⊗RNi) M⊗R(Li∈INi) µj 1⊗ρjΦ 1.5. PRODUCTO TENSOR 21 donde los morsmos µj:M⊗RNj→Li∈I(M⊗Ni) y ρj:Nj→Li∈INi son las aplicaciones inyección en los correspondientes coproductos. De forma análoga se prueba que si {Mi}i∈I es una familia de R -módulos a la derecha y N es un R -módulo a la izquierda, la aplicación Φ′: (Li∈IMi)⊗N→Li∈I(Mi⊗N) , Φ′((mi)i∈I⊗n)=(mi⊗ni)i∈I , es un isomorsmo de grupos abelianos que hace conmutativo el siguiente diagrama Mj⊗RNLi∈I(Mi⊗RN) (Li∈IMi)⊗RN µj ρj⊗1 Φ′ donde µj:Mj⊗RN→Li∈I(Mi⊗N) y ρj:Mj→Li∈IMi son las aplicaciones inyección en los correspondientes coproductos. (2) Si M es un R -módulo a la izquierda (resp. derecha) la aplicación g:M→R⊗RM (resp. g′:M→M⊗RR ) dada por, g(m) = 1 ⊗m (resp. g′(m) = m⊗1 ), para m∈M , es un isomorsmo de R -módulos a la izquierda (resp. derecha). (3) Sea M un R -módulo a la derecha y 0→N′f1 −→ Nf2 −→ N′′ →0 una sucesión exacta de R -módulos a la izquierda. Se tiene la sucesión exacta corta de grupos abelianos M⊗RN′1⊗f1 −−−→ M⊗RN1⊗f2 −−−→ M⊗RN′′ −→ 0. Además, si M es proyectivo esta sucesión es exacta corta. (4) Sea N un R -módulo a la izquierda y 0→M′f1 −→ Mf2 −→ M′′ →0 una sucesión exacta corta de R -módulos a la derecha. Se tiene la sucesión exacta de grupos abelianos M′⊗RNf1⊗1 −−−→ M⊗RNf2⊗1 −−−→ M′′ ⊗RN→0. Además, si N es proyectivo esta sucesión es exacta corta. Demostración. (1) Dado que la aplicación φ:M×(LiNi)→Li(M⊗RNi) , φ(m, (ni)i∈I) = (m⊗ni)i∈I , es R -biaditiva, por el teorema 1.42 (2) , existe un homomorsmo de grupos Φ: M⊗R(LiNi)→Li(M⊗RNi) tal que Φ(m⊗(ni)i∈I)=(m⊗ni)i∈I . Para probar Φ es un isomorsmo consideremos los homomorsmos de grupos 1M⊗ρj:M⊗RNj→M⊗R(M i Ni), j ∈I. 22 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Por la proposición 1.21, tenemos un homomorsmo de grupos Ψ = ⟨1M⊗ρj⟩:M i (M⊗RNi)→M⊗R(M i Ni), tal que Ψµj= 1⊗ρj , para todo j∈I . Dado que Φ Ψ µj=µj para todo j∈I , se tiene que Φ Ψ = 1 . Además (Φ Ψ)(m⊗(ni)i∈I) = Φ(m⊗ni)i∈I=m⊗Pi∈Iρi(ni) = m⊗(ni)i∈I . Luego Φ Ψ = 1 . (2) La aplicación g:M→R⊗M , g(m)=1⊗m es un homomorsmo de R -módulos a la izquierda. En efecto, g(r m)=1⊗rm =r⊗m=r(1 ⊗m). Por ser la aplicación φ:R×M→M , φ(r, M) = r m R -biaditiva, existe un homomorsmo de grupos abelianos f:R⊗RM→M tal que f(r⊗m) = rm . La aplicación f es la inversa de g . (3) Dado que (1⊗f2)(1⊗f1)=1⊗f1f2= 1⊗0=0 , se tiene que im(1⊗f1)⊂ker(1⊗f2) . Veamos que ker(1 ⊗f2)⊂im(1 ⊗f1) . Sea T= im(1 ⊗f1) . Como T⊆ker(1 ⊗f2) , por la proposición 1.13, 1⊗f2 induce un homomorsmo b f2: (M⊗N)/T →M⊗N′′ que hace conmutativo el diagrama M⊗RN(M⊗RN)/T M⊗RN′′ p 1⊗f2b f2 donde p:M⊗RN→(M⊗RN)/T es la proyección. Sea f:M×N′′ →(M⊗RN)/T la aplicación dada por f(m, n′′)=(m⊗n)+T , siendo n∈N tal que f2(n) = n′′ . La aplicación f está bien denida. En efecto, si f2n1=n′′ , con n1∈N , entonces f2(n−n1) = 0 . Dado que ker f2= im f1 , existe n′∈N′ con f1n′=n−n1 , luego m⊗(n−n1) = m⊗f1n′∈im(1 ⊗f1) = T . Así, (m⊗n) + T= (m⊗n1) + T . Además, f es R -biaditiva. Por la propiedad universal del producto tensor M⊗RN′′ existe un homomorsmo de grupos abelianos b f:M⊗RN′′ →(M⊗RN)/T con b f(m⊗n′′) = m⊗n+T . El homomorsmo b f es el inverso de b f2 . Dado que b f2 es un isomorsmo, ker(1 ⊗f2) = ker( b f2p) = ker p=T= im(1 ⊗f1) . Veamos que 1⊗f2 es suprayectiva. Si Pi∈Imi⊗n′′i∈M⊗N′′ , existen ni∈N con f2ni=n′′i , para todo i∈I . Entonces, (1 ⊗f2)(Pmi⊗ni) = Pmi⊗f2ni=Pmi⊗n′′ i . Si M es un R -módulo a la derecha proyectivo, entonces por la proposición 1.38, existe un conjunto S , un R -módulo a la derecha L y un isomorsmo h:R(S)→MLL . Por (1) , (2) y la observación 1.22, el homomorsmo 1R(S)⊗f1:R(S)⊗RN′→R(S)⊗RN es inyectivo. Se tiene el siguiente diagrama conmutativo: 1.5. PRODUCTO TENSOR 23 R(S)⊗RN′R(S)⊗RN (MLL)⊗RN′(MLL)⊗RN (M⊗RN′)L(L⊗RN′) (M⊗RN)L(L⊗RN) 1R(S)⊗f1 h⊗1h⊗1 1MLL⊗f1 (1M⊗f1)L(1L⊗f1) Φ′Φ′ Dado que los homomorsmos h⊗1 y Φ′ son isomorsmos, el homomorsmo (1M⊗ f1)L(1L⊗f1) es un homomorsmo inyectivo. Por la observación 1.22, el homomorsmo 1M⊗f1:M⊗N′→M⊗N es inyectivo. (4) Se demuestra de forma similar a (3) . Observación 1.51 . El resultado (3) de la proposición 1.50 es el mejor que podemos obtener. Por ejemplo, consideremos la sucesión exacta corta de Z -módulos 0−→ Z2 1Z −−→ Zp −→ Z/2Z−→ 0. Si le aplicamos el funtor Z/2Z⊗Z− obtenemos la sucesión exacta Z/2Z⊗ZZ1⊗2 1Z −−−−→ Z/2Z⊗ZZ1⊗p −−→ Z/2Z⊗ZZ/2Z−→ 0, pero 1⊗Z2 1Z= 0 y no es inyectivo puesto que Z/2Z⊗ZZ≃Z/2Z . Denición 1.52. Sean M un R -módulo a la derecha, N un (R−S) -bimódulo, L un S - módulo a la izquierda y G un grupo abeliano. Se dice que h:M×N×L→G es una aplicación (R−S) -triaditiva si verica: h(m+m′, n, l) = h(m, n, l) + h(m′, n, l), h(m, n +n′, l) = h(m, n, l) + h(m, n′, l), h(m, n, l +l′) = h(m, n, l) + h(m, n, l′), h(mr, n, l) = h(m, rn, l), h(m, ns, l) = h(n, n, sl). donde m, m′∈M , n, n′∈N , l, l′∈L , r∈R y s∈S . Proposición 1.53. Sean M un R -módulo a la derecha, N un (R−S) -bimódulo, L un S -módulo a la izquierda, T un grupo abeliano y h:M×N×L→T es una aplicación (R−S) -triaditiva. Supongamos que el par (T, h) verica la siguiente propiedad universal: Para toda grupo abeliano G y toda aplicación (R−S) -triaditiva f:M×N×L→G , existe un único homomorsmo de grupos abelianos b f:T→G tal que b f h =f . M×N×L T G h fb f 24 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Si (T′, h′) verica la misma propiedad universal, entonces los grupos abelianos T y T′ son isomorfos. Demostración. Por la propiedad universal de (T, h) existe un homomorsmo b h′:T→T′ tal que ˆ h′h=h′ y por la propiedad universal de (T′, h′) existe un homomorsmo b h:T′→T tal que b h h′=h . Por la propiedad universal de (T, h) , b hb h′= 1 y por la propiedad universal de (T′, h′) , b h′b h= 1 . Proposición 1.54. Sea M un R -módulo a la derecha, N un (R−S) -bimódulo y L un S -módulo a la izquierda. Se tiene que M⊗R(N⊗SL)∼ =(M⊗RN)⊗SL . Demostración. La aplicación h:M×N×L→M⊗R(N⊗SL) , h(m, n, l) = m⊗(n⊗l) , es (R−S) -triaditiva. Veamos que el par (M⊗R(N⊗SL), h) verica la propiedad universal de la proposición 1.53. En efecto, sea f:M×N×L→G otra aplicación (R−S) -triaditiva y para cada m∈M consideremos la aplicación S -biaditiva fm:N×L→G , fm(n, l) = f(m, n, l) . Existe un homomorsmo de grupos c fm:N⊗SL→G tal que c fm(n⊗l) = f(m, n, l) . La aplicación φ:M×(N⊗SL)→G , dada por φ(m, Pini⊗li) = c fm(Pini⊗li) es R -biaditiva. En efecto, veamos que φ verica la propiedad (3) de la denición 1.41: φ(mr, X i ni⊗li) =d fmr(X i ni⊗li) = X id fmr(ni⊗li) = X i φ(mr, ni, li) =X i φ(m, rni, li) = X ic fm(rni⊗li) = c fm(X i rni⊗li) =c fm(r(X i ni)⊗li) = φ(m, r(X i ni⊗li)). De forma análoga se prueba que φ verica las propiedades (1) y (2) de la denición 1.41. Por tanto, existe un único homomorsmo bφ:M⊗R(N⊗SL)→G de grupos tal que bφ(m⊗(n⊗l)) = φ(m, n ⊗l) = f(m, n, l) . Así, el par (M⊗R(N⊗SL), h) verica la propiedad universal de la proposición 1.53. Se prueba también que si h′:M×N×L→(M⊗RN)⊗SL es la aplicación dada por h′(m, n, l) = (m⊗n)⊗l) , el par ((M⊗RN)⊗SL, h′) verica la propiedad universal de la proposición 1.53, luego M⊗R(N⊗SL)∼ =(M⊗RN)⊗SL . Notación 1.55 . Denotaremos en general los grupos abelianos M⊗R(N⊗SL) y (M⊗R N)⊗SL , por M⊗RN⊗SL . Capítulo 2 Complejos. Resoluciones 2.1. Complejos de módulos Vamos a asociar a un complejo de cadenas C , su módulo de homología de grado n , Hn( C ) , que sirve para medir la exactitud del complejo, de forma que el complejo es exacto si, y solo si, Hn( C )=0 , para todo n∈Z . Dados φ∗, ψ∗:C→D morsmos de complejos, utilizaremos el concepto de homotopía para decribir una condición suciente para que estos dos morsmos induzcan el mismo homomorsmo en homomología. Denición 2.1. Un complejo de cadenas C={Cn, ∂n} de R -módulos es una familia {Cn}n∈Z de R -módulos y una familia de homomorsmos {∂n:Cn→Cn−1} de R -módulos, tales que ∂n◦δn+1 = 0 : C:· · · −→ Cn+1 ∂n+1 −→ Cn ∂n −→ Cn−1−→ · · · Sean C={Cn, ∂n} y D={Dn, ∂′ n} complejos de cadenas de R -módulos. Un morsmo φ∗:C→D de complejos de cadenas es una familia {φn:Cn→Dn} de homomorsmos de R -módulos tal que, para cada n , el diagrama CnCn−1 DnDn−1 ∂n φnφn−1 ∂′ n es conmutativo. Consideramos la categoría ModZ R de R - módulos graduados . Un objeto M en ModZ R es una familia {Mn}n∈Z de R -módulos. Un morsmo f∗:M→M′ de R - módulos graduados de grado r es una familia {fn:Mn→M′ n+r}n∈Z de homomorsmos de R -módulos. Podemos 25 32 CAPÍTULO 2. COMPLEJOS. RESOLUCIONES Demostración. Sean P y Q dos resoluciones proyectivas de M . Por la proposición 2.18 existen morsmos de cadenas φ∗:P→Q y ψ∗:Q→P induciendo la identidad en H0(P) = M=H0(Q) . La composición ψ∗◦φ∗:P→P así como el morsmo identidad 1∗:P→P inducen la identidad en M . Por el teorema 2.18, tenemos que ψ∗◦φ∗≃1∗ . Análogamente, φ∗◦ψ∗≃1∗ . Por tanto, P y Q son del mismo tipo de homotopía. Lema 2.20. Sea 0→M′→M→M′′ →0 una sucesión exacta de R -módulos. Existe una sucesión exacta corta de complejos 0→P′↣P↠P′′ →0 donde P , P′ y P′′ son resoluciones proyectivas de M′ , M y M′′ respectivamente, y tales que el diagrama 0P′ 0PoP′′ 00 0M′M M′′ 0 ϵ′ϵϵ′′ es conmutativo. Demostración. Por el lema 1.39, existe una sucesión exacta corta de R -módulos proyectivos 0→P′ 0→P0→P′′ 0→0 y homomorsmos sobreyectivos ϵ′:P′ 0→M′ , ϵ:P0→M y ϵ′′ :P′′ 0→M′′ , tales que el siguiente diagrama 0P′ 0P0P′′ 00 0M′M M30 ϵ1ϵ f ϵ′′ es conmutativo. Por el lema de la serpiente la siguiente sucesión 0→ker ϵ′→ker ϵ→ker ϵ′′ →0, es exacta corta. Repitiendo este proceso con la sucesión de núcleos y luego razonando inductivamente, obtenemos una sucesión exacta de complejos 0→P′↣P↠P′′ →0 , donde P′ , P y P′′ son resoluciones proyectivas de M′, M, M′′ respectivamente. 2.3. El funtor Tor El funtor Tor es un funtor derivado. En esta sección estudiaremos los funtores TorR n(M, −) , que son funtores derivados del funtor M⊗R− . Consideremos para cada módulo N una resolución proyectiva P N de N y el funtor aditivo M⊗R−:ModR→Ab . 2.3. EL FUNTOR TOR 33 Denición 2.21. Sea M un R -módulo a la derecha y N un R -módulo a la izquierda. Se dene TorR n(M, N) como el n -ésimo grupo de homología del complejo de grupos abelianos M⊗R P N:· · · → M⊗RPn+1 →M⊗RPn→M⊗RPn−1→ · · · → M⊗RP0→0 siendo P N una resolución proyectiva de N . Si f:N→N′ es un homomorsmo de R -módulos y P N y P N′ son resoluciones proyectivas de N y N′ , respectivamente, por el lema 2.18, existe un morsmo de complejos φ∗: P N→ P N′ que induce f . Denimos TorR n(M, N) =Hn(M⊗R P N), n ∈N TorR n(M, f) =Hn(1M⊗Rφ∗), n ∈N. Proposición 2.22. Se tienen funtores TorR n(M, −): RMod →Ab para todo n∈N , dados por TorR n(M, −)(N) = TorR n(M, N),TorR n(M, −)(f) = TorR n(M, f) Demostración. Veamos que TorR n(M, −) está bien denido. Sea ψ∗:PN→ P N′ otro mor- smo de complejos que induce f . Por el lema 2.18, φ∗ y ψ∗ son homotópicos y dado que el funtor M⊗R:RMod →Ab es un funtor aditivo, por el corolario 2.8, Hn(1M⊗Rφ∗) = Hn(1M⊗Rψ∗) . Vamos a probar que los funtores TorR(M, −) no dependen de las resoluciones proyectivas consideradas. Fijemos para cada módulo N otra resolución proyectiva QN de N . Tenemos funtores QTorR n(M, −) denidos de forma similar a los funtores Torn R(M, −) . Proposición 2.23. Sea M un R -módulo a la izquierda. Existe una equivalencia natural Φ: TorR n(M, −)→QTorR n(M, −). Demostración. Por el teorema de comparación, existe un morsmo de complejos i∗: P N→ Q N que induce 1N . Por ser el funtor M⊗R(−) aditivo se tiene el morsmo de complejos 1M⊗Ri∗:M⊗R P N→M⊗R Q N que induce un morsmo ΦN=Hn(1M⊗Ri∗): TorR n(M, N)→QTorR n(M, N) Veamos que ΦN es un isomorsmo: Por el teorema de comparación, existe un morsmo de complejos j∗: Q N→ P N que induce 1N . Por el lema de comparación j∗i∗≃1 Q N . Por tanto Hn(1M⊗Rj∗) ΦN= 1TorR n(M,N) . Análogamente, ΦNHn(1M⊗Rj∗)=1QTorR n(M,N) . Veamos ahora que Φ es una transformación natural. Sea f:N→N′ un homomorsmo de R -módulos. Tenemos que probar que el cuadrado 34 CAPÍTULO 2. COMPLEJOS. RESOLUCIONES TorR n(M, N)QTorR n(M, N) TorR n(M, N′)QTorR n(M, N′) ΦN TorR n(M, f)QTorR n(M, f) ΦN′ es conmutativo. Sean P N y Q N resoluciones proyectivas de N y P ′ N′ y Q N′ resoluciones proyectivas de N′ . Sean φ∗:PN→P′ N y ψ∗:QN→QN′ morsmos de complejos que inducen f . Sea i′ ∗:PN′→QN′ un morsmo de complejos que induce 1N′ . Los morsmos i′ ∗φ∗ y ψ∗i∗:PN→QN′ son homotópicos. Por ser M⊗R(−) aditivo, (1M⊗Ri′ ∗) (1M⊗Rφ∗)≃(1M⊗Rψ∗) (1M⊗Ri∗) , y entonces aplicando el funtor Hn se tiene que ΦN′TorR n(M, f) = QTorR n(M, f)) ΦN . Identicaremos los grupos TorR n(M, N) y QTorR n(M, N) vía el isomorsmo ΦN . Corolario 2.24. TorR n(M, N) no depende de la resolución proyectiva de N considerada. Denición 2.25. Un funtor convariante F:RMod →Ab se dice que es exacto a la derecha, si para toda sucesión exacta 0→N′→N→N′′ →0 se tiene que la sucesión F(N′)→F(N)→F(N′′)→0 es exacta. Se dice que F es exacto si, para toda sucesión exacta corta 0→N′→N→N′′ →0 se tiene que la sucesión 0→F(N′)→F(N)→ F(N′′)→0 es exacta corta. Un funtor convariante exacto a la derecha es el funtor M⊗R−:RMod →Ab . Si M es un R -módulo a la izquierda proyectivo el funtor M⊗R− es exacto. Proposición 2.26. Sea M un R -módulo a la derecha y N un R -módulo a la izquierda. Se tiene: (1) Un funtor TorR n(−,−): ModR×RMod →Ab para todo n∈N . (2) TorR n(P, N) = TorR n(M, P)=0 , para n≥1 , si P es proyectivo. (3) Los funtores TorR 0(M, −) y M⊗R− son naturalmente equivalentes. (4) Dada una sucesión exacta corta 0→N′→N→N′′ →0 de R -módulos a la izquierda se obtiene la Tor -sucesión exacta larga en la segunda variable · · · −→ TorR n(M, N′)−→ Torr n(M, N)−→ TorR n(M, N′′)ωn −→ Torn−1(M, N′)−→ · · · · · · −→ Tor1(M, N′)ω1 −→ M⊗RN′−→ M⊗RN−→ M⊗RN′′ −→ 0. Además, si f:M→M′ es un homomorsmo de R -módulos a la derecha se tiene un diagrama conmutativo 2.3. EL FUNTOR TOR 35 TorR n(M, N′) TorR n(M, N) TorR n(M, N′′) TorR n−1(M, N′)· · · TorR n(M′, N′) TorR n(M′, N) TorR n(M′, N′′) TorR n−1(M′, N′)· · · (5) Dada una sucesión exacta corta 0→M′→M→M′′ →0 de R -módulos a la derecha se obtiene la Tor -sucesión exacta larga en la primera variable · · · −→ TorR n(M′, N)−→ Torr n(M, N)−→ TorR n(M′′, N)ωn −→ Torn−1(M′, N)→ · · · · · · −→ Tor1(M′′, N)ω1 −→ M′⊗RN→M⊗RN−→ M′′ ⊗RN−→ 0. Además, si f:N→N′ es un homomorsmo de R -módulos a la izquierda se tiene un diagrama conmutativo TorR n(M′, N) TorR n(M, N) TorR n(M′′, N) TorR n−1(M′, N)· · · TorR n(M′, N′) TorR n(M, N′) TorR n(M′′, N) TorR n−1(M′′, N′)· · · Demostración. (1) Sean f:M→M′ un homomorsmo de R -módulos a la derecha y g:N→N′ un homomorsmo de R -módulos a la izquierda, P una resolución proyectiva de N y P ′ una resolución proyectiva de N′ . Si φ∗: P → P ′ es un homomorsmo de complejos de R -módulos que induce g , denimos TorR n(f, g): TorR n(M, N)→TorR n(M′, N′), por TorR n(f, g) = Hn(f⊗φ∗) . Se comprueba fácilmente que Tor(−,−) es un funtor. (2) Dado que P es proyectivo, el funtor P⊗R− es exacto. Entonces, TorR n(P, N) = 0 , para n≥1 . Veamos que TorR n(M, P) = 0 , para n≥1 . En efecto, dado que el complejo de cadenas P :· · · → 0→0→P0→0, P0=P, es una resolución proyectiva de P , TorR n(M, P) = 0 , para n≥1 . (3) Si P es una resolución proyectiva de N , entonces la sucesión P1→P0→M→0 es exacta. Por tanto M⊗RP1→M⊗RP0→M⊗RN→0 es exacta. Luego, H0(M⊗R P )) ∼ = M⊗RN . Claramente, este isomorsmo es natural. (4) Utilizando el lema 2.20 existe una sucesión exacta corta de complejos de R -módulos proyectivos 0→ P ′→ P → P ′′ →0 donde P ′ , P y P ′′ son resoluciones de M′ , M y M′′ , respectivamente, y donde Pn=P′ n⊕P′′ n . Por la proposición 1.50 (1) , la sucesión 36 CAPÍTULO 2. COMPLEJOS. RESOLUCIONES 0→M⊗R P ′→M⊗R P →M⊗R P ′′ →0 es exacta corta. Además, si f:M→M′ es un homomorsmo de R -módulos, existe una transformación natural f⊗R−:M⊗− → M′⊗− que induce morsmos de complejos f⊗1 P ′ , f⊗1 P , f⊗1 P ′′ que hacen conmutativo el diagrama 0M⊗R P ′M⊗R P M⊗R P ′′ 0 0M′⊗R P ′M′⊗R P M′⊗R P ′′ 0 f⊗1 P ′f⊗1 P f⊗1 P ′′ El resultado se sigue de la proposición 2.13. (5) Sea P una resolución proyectiva de N . Por la proposición 1.50 (4) , se tiene la sucesión exacta corta de complejos 0→M′⊗R P →M⊗R P →M′′ ⊗R P →0 . El resultado se sigue de la proposición 2.13. Si g:N→N′ es un homomorsmo de R -módulos a la derecha y P y P ′ son resoluciones de N y N′ , respectivamente, existe un morsmo de complejos g∗: P → P ′ que extiende a g , Consideremos el diagrama conmutativo de complejos de grupos abelianos 0M′⊗R P M⊗R P M′′ ⊗R P 0 0M′⊗R P ′M⊗R P ′M′′ ⊗R P ′0 1⊗g∗1⊗g∗1⊗g∗ El resultado se sigue de la proposición 2.13. Denición 2.27. Sea M un R -módulo a la derecha y N un R -módulo a la izquierda. Se dene TorR n(M, N) como el n -ésimo grupo de homología del complejo P ⊗RN P ⊗RN:· · · → Pn⊗RN→Pn−1⊗RN→ · · · → P0⊗RN→0, siendo P una resolución proyectiva de N . Sean f:M→M′ un homomorsmo de R - módulos a la derecha y P y P ′ resoluciones de M y M′ , respectivamente. Por el lema 2.18, existe un morsmo de complejos φ∗: P → P ′ que induce f . Denimos TorR n(M, N) =Hn( P ⊗RN), n ∈N TorR n(f, N) =Hn(φ∗⊗R1N), n ∈N. Proposición 2.28. Se tienen funtores TorR n(−, N): ModR→Ab,TorR n(−,−): ModR×RMod →Ab 2.3. EL FUNTOR TOR 37 dados por TorR n(−, N)(M) = TorR n(M, N), TorR n(−, N)(f) = TorR n(f, N) TorR n(f, g) = Hn(φ∗⊗g), donde g:N→N′ es un homomorsmo de R -módulos a la izquierda y se verican para TorR n todas las propiedades de la proposición 2.26. Demostración. Se razona como en 2.22 y en 2.26. Proposición 2.29. Se tiene una equivalencia natural Ψn: TorR n(−,−)−→ TorR n(−,−). Demostración. Vamos a construir ΨM,N n . Para n= 0 , ΨM,N 0= 1 . Sea 0→K→P→ M→0 una presentación proyectiva de M . Por la proposición 2.26 tenemos la sucesión exacta larga · · · → TorR n(K, N)→TorR n(P, N)→TorR n(M, N)ωn →Torn−1(K, N)→ · · · · · · → Tor1(M, N)ω1 →K⊗RN→P⊗RN→M⊗RN→0, y la correspondiente sucesión para TorR n(−,−) · · · → TorR n(K, N)→TorR n(P, N)→TorR n(M, N)ωn →Torn−1(K, N)→ · · · · · · → Tor1(M, N)ω1 →K⊗RN→P⊗RN→M⊗RN→0. Dado que TorR n(P, N) = TorR n(P, N)=0 , para n≥1 , se tienen las sucesiones exactas 0→Tor1(M, N)ω1 →K⊗RN→P⊗RN→M′⊗RN→0 0→Tor1(M, N)ω1 →K⊗RN→P⊗RN→M′⊗RN→0, luego existe un homomorsmo ΨM,N 1: TorR 1(M, N)→TorR 1(M, N) que es un isomorsmo. Supongamos por hipótesis de inducción, que existe un isomorsmo ΨM,N n−1 para todo M y N y consideremos las sucesiones exactas 0−→ Torn(M, N)ωn −→ Torn−1(K, N)−→ 0 0−→ Torn(M, N)ωn −→ Torn−1(K, N)−→ 0. Se obtiene un isomorsmo ΨM,N n . Se puede comprobar que ΨM,N n no depende de la presentación proyectiva de M considerada y que es natural en M y N . La armación de la proposición 2.29 se puede expresar diciendo que Torn(M, N) se puede calcular utilizando una resolución proyectiva de M o una resolución proyectiva de N . algo Capítulo 3 Homología de grupos 3.1. G-módulos Sea G un grupo. Denotaremos la operación de G con la multiplicación y por 1 el elemento neutro de G . Si A es un grupo abeliano, denotaremos por Aut(A) el grupo de automorsmos de A y por End(A) el anillo de endomorsmos de A . Denición 3.1. Se llama anillo de grupo entero de G y se denota por ZG , al grupo abeliano libre sobre el conjunto G , es decir el conjunto Px∈Gaxx , ax∈Z y donde ax= 0 solo para un número nito de elementos x∈G , con la operación adición dada por (X x∈G axx)+(X x∈G a′ xx) = X x∈G (ax+a′ x)x y con la operación multiplicación: (X x∈G axx)·(X y∈G ayy) = X x,y∈G (axay)xy. Denotaremos por i:G→ZG la aplicación inyectiva dada por i(x) = 1 x , para x∈G . Proposición 3.2. Sea R un anillo. Para cada aplicación f:G→R vericando f(xy) = f(x)·f(y) y f(1) = 1R existe un único homomorsmo de anillos f′:ZG→R tal que f′i=f . Demostración. La aplicación f′:ZG→R dada por f′(Px∈Gm(x)x) = Px∈Gm(x)f(x) es el único homomorsmo de anillos tal que f′i=f . Denición 3.3. Un G - módulo a la izquierda es un grupo abeliano M junto con un homomorsmo de grupos σ:G→Aut(M) . Denotaremos σ(x)(m) por x·m o simplemente por x m . Por la propiedad universal de ZG la existencia de σ:G→Aut(M) es equivalente a 39 40 CAPÍTULO 3. HOMOLOGÍA DE GRUPOS la existencia de un homomorsmo de anillos ¯σ:ZG→End(M) , es decir, a la existencia de una estructura de ZG -módulo en M dada por (X x∈G axx)m= ¯σ(X x∈G axx)(m) = X x∈G axx m. Se llama grupo opuesto de G y se denota por Gop al grupo cuyos elementos son los de G pero con multiplicación ∗ dada por x∗y=y x . Un G -módulo a la derecha es un grupo abeliano M junto con un homomorsmo de grupos σ:Gop →Aut(M) . Denotaremos σ(x)(m) por a·m o por m x . Lo mismo que en el caso de los G -módulos a la izquierda, un G -módulo a la derecha M es un ZG -módulo a la derecha donde la acción de ZG sobre M está dada por: m(X x∈G axx) = X x∈G axm x. Decimos que M es un G -módulo a la izquierda (resp. derecha) trivial si, x m =m (resp. m x =m ), para todo x∈G y m∈M . Todo grupo abeliano se puede considerar como un G -módulo a la izquierda o a la derecha trivial. Denición 3.4. Se llama ideal aumentación de G y se denota por IG al núcleo del homomorsmo de anillos ϵ:ZG→Z , dado por ϵ(Px∈Gaxx) = Px∈Gax . La aplicación ϵ se llama aplicación aumentación . Lema 3.5. (1) Como grupo abeliano IG es libre sobre el conjunto T={x−1|1=x∈G} . (2) Si G está generado por el conjunto S , entonces S−1 = {s−1|s∈S} genera IG como G -módulo. Demostración. (1) Claramente, el conjunto T es linealmente independiente. Se tiene que demostrar entonces que T genera IG . Si Px∈Gm(x)x∈IG , entonces Px∈Gm(x)=0 . Por lo tanto Px∈Gm(x)x=Px∈Gm(x)(x−1) . (2) Es suciente con demostrar que si x∈G , entonces x−1 pertenece al módulo generado por S−1 . Dado que xy −1 = x(y−1) + (x−1), x−1−1 = −x−1(x−1), el resultado se sigue de que todo elemento de x∈G es de la forma s±1 1s±1 2. . . s±1 k, si∈S . Proposición 3.6. (1) Si H es un subgrupo de G , entonces ZG es un ZH -módulo a la derecha (o izquierda) libre. (2) Todo G -módulo proyectivo es un H -módulo proyectivo. 3.2. HOMOLOGÍA DE UN GRUPO 41 Demostración. (1) Sea {xi}i∈I , xi∈G , un conjunto de representantes de las clases a la derecha de H en G . Se tiene que G=Fi∈IH xi . Veamos que {xi}i∈I es una base de ZG como ZH -módulo a la izquierda. pongamos x=hxxi , con hx∈H , para cada x∈G . Se tiene X x∈G mxx=X i∈I (X x∈H xi mxhx)xi y por tanto {xi}i∈I genera ZG como ZH -módulo a la izquierda. Además, es linealmente independiente puesto que X i∈I (X hi∈H ahihi)xi= 0 =⇒X i∈I, hi∈H ahihixi= 0 =⇒ahi= 0,∀hi∈H, ∀i∈I, implica que Phi∈Hahihi= 0 , para todo i∈I . (2) Sea P un R -módulo proyectivo. Por la proposición 1.38, P es un sumando directo de un G -módulo libre, es decir existe un R -módulo M tal que P⊕M∼ =LZG . Por (1) PMM∼ =MZG∼ =MZH. y por la proposición 1.38, P es un H -módulo proyectivo. 3.2. Homología de un grupo Si M es un G -módulo a la derecha y N es un G -módulo a la izquierda denotaremos los grupos abelianos M⊗ZGN y TorZG n(M, N) por M⊗GN y TorG n(M, N) , respectivamente. Denotaremos por M⊗N el grupo abeliano M⊗ZN . Denición 3.7. Sea M un G -módulo a la derecha. Se llama n -ésimo grupo de homología de G con coecientes en M al grupo abeliano Hn(G, M) = TorG n(M, Z), En esta denición Z se considera un G -módulo trivial. El funtor Hn(G, −) es un funtor covariante. Podemos calcularlo, tomando una resolución proyectiva Q de Z y calculando la homología del complejo M⊗G Q , o tomando una resolución proyectiva P de M y calculando la homomogía de P ⊗GZ . Notación 3.8 . Denotaremos por G∗ la categoría cuyos objetos son pares (G, M) donde G es un grupo y M es un G -módulo a la derecha. Un morsmo de (G, M) a (G′, M′) es un par (f, φ) , (f, φ): (G, M)→(G′, M′) , donde f:G→G′ es un homomorsmo de grupos y φ:M→Uf(M′) es un homomorsmo de G -módulos. 48 CAPÍTULO 3. HOMOLOGÍA DE GRUPOS Teorema 3.23. Sea Ck un grupo cíclico de orden k con generador τ y M es un Ck -módulo a la derecha. Se tiene Hn(Ck, M)∼ =          M/M(τ−1), para n= 0 {m∈M|m τ =m}/M N, para n= 1,3,5,7, . . . {m∈M|mN= 0}/M(τ−1) para n= 2,4,6,8, . . . Demostración. Aplicando el funtor M⊗G(−) a la resolución (⋆) de Z y teniendo en cuenta que M⊗GZG∼ =M , se tiene el complejo · · · −→ MN −→ Mτ−1 −→ MN −→ Mτ−1 −→ M−→ 0 y calculando su homología se tiene el resultado. Corolario 3.24. Si G={1} , entonces Hn(G, M)=0 , para todo G -módulo a la derecha M y para todo n > 0 . Demostración. Es trivial. Corolario 3.25. Sea Ck un grupo cíclico de orden k con generador τ . Si M es un CK - módulo a la derecha trivial, entonces Hn(Ck, M)∼ =          M, para n= 0 M/k M, para n= 1,3,5,7, . . . {m∈M|k m = 0}, para n= 2,4,6,8, . . . En particular, para m≥1 H0(Ck,Z)∼ =Z, H2m−1(Ck,Z)∼ =Z/kZ, H2m(Ck,Z)=0. Demostración. Es trivial. Teorema 3.26. Si C=⟨τ⟩ es un grupo cíclico innito y M un C -módulo, se tiene H0(C, M)∼ =M/M(τ−1), H1(C, M)∼ ={m∈M|m τ =m} Hn(C, M)=0, para n≥2 Demostración. Dado que C es un grupo libre con base {τ} , por el lema 3.5, IC es un C -módulo libre sobre el conjunto {τ−1} y entonces la aplicación h:ZC→IC , dada por h(a) = (τ−1) a , para a∈ZC es un isomorsmo de C -módulos. Se tiene la resolución C -libre de Z P :· · · −→ 0−→ ZCτ−1 −→ ZCϵ −→ Z−→ 0. 3.4. SUCESIONES EXACTAS DE CINCO TÉRMINOS 49 y Hn(C, M) = Hn(M⊗C P ) . El complejo M⊗C P es isomorfo al complejo P ′:· · · −→ 0−→ Mτ−1 −→ Mϵ −→ 0. Calculando sus grupos de homología se obtiene el resultado. 3.4. Sucesiones exactas de cinco términos Lema 3.27. Si 1→Ni →Gp →Q→1 es una sucesión exacta corta de grupos, entonces Z⊗NZG∼ =ZQ como G -módulos a la derecha. Demostración. Consideremos el homomorsmo de grupos abelianos f:Z⊗NZG−→ ZQ λ⊗X x∈G axx7→ X x∈G λ axp(x) Se tiene que f es un homomorsmo de G -módulos a la derecha, donde Z⊗NZG es un G -módulo a la derecha con la acción (λ⊗Px∈Gaxx)·y=λ⊗Px∈Gaxx y y siendo ZQ un G -módulo a la derecha vía p . Si {xi}i∈I el conjunto de representantes de las clases a la izquierda de N en G , se tiene que Q={pxi|i∈I} . Por la proposición 3.6, ZG es un N -módulo a la izquierda libre sobre el conjunto {xi}i∈I . La aplicación inversa de f es la aplicación g:ZQ→Z⊗NZG , dada por g(Pi∈Ibip(xi)) = 1 ⊗Pi∈Ibixi , con bi∈Z , para todo i∈I . Lema 3.28. Sea 1→Ni →Gp →Q→1 una sucesión exacta corta de grupos y M un G -módulo a la izquierda. Se tiene que TorN n(Z, M)∼ =TorG n(Z⊗NZG, M)∼ =TorG n(ZQ, M) . Demostración. Sea P una resolución G -proyectiva de Z . Por la proposición 3.6, P es una resolución N -proyectiva de Z . Por el lema 3.27, Z⊗N P ∼ =Z⊗NZG⊗G P ∼ =ZQ⊗G P . Lema 3.29. Sea 1→Ni →Gp →Q→1 una sucesión exacta corta de grupos. Se tiene la sucesión exacta de Q -módulos a la izquierda 0−→ Nab κ −→ ZQ⊗GIG ν −→ IQ −→ 0, donde κ(n[N, N]) = 1Q⊗(n−1) , para n∈N . Demostración. Consideremos la sucesión exacta de G -módulos 0→IG ι →ZGϵ →Z→0 . Le aplicamos el funtor ZQ⊗G− 0 = Tor1 G(ZQ, ZG)−→ Tor1 G(ZQ, Z)−→ ZQ⊗GIG 1⊗ι −→ ZQ⊗GZG1⊗ϵ −→ ZQ⊗GZ→0. 50 CAPÍTULO 3. HOMOLOGÍA DE GRUPOS Por el lema 3.28, TorG 1(ZQ, Z)∼ =TorN 1(Z,Z) = H 1(N, Z) = Nab . La composición de las aplicaciones ZQα −→ ZQ⊗GZG ∼ 1⊗ϵ −→ ZQ⊗GZ≃ZQ⊗QZ β −→ Z ∼, donde α es el isomorsmo dado por α(y) = y⊗1 , para y∈ZQ y β es el isomorsmo dado por β(y⊗λ) = λ ϵ(y) , λ∈Z , es la aumentación de ZQ . Así, se tiene el resultado. Para probar que κ(n[N, N]) = 1Q⊗(n−1) calculamos TorN 1(Z,Z) utilizando la presentación N -libre 0→IN →ZN→Z→0 y la presentación G -libre (luego N -libre) 0→IG →ZG→Z→0 . Se tiene el diagrama conmutativo 0 TorN 1(Z,Z)Z⊗NIN Z⊗NZNZ⊗NZ0 0 TorN 1(Z, Z)Z⊗NIG Z⊗NZGZ⊗NZ0 0 TorG 1(ZQ, Z)ZQ⊗GIG ZQ⊗GZGZQ⊗GZ0 ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ Los homomorsmos verticales entre la primera y segunda la y la conmutatividad del diagrama formado por las dos primeras las se obtienen de la forma siguiente: Se considera una resolución N -proyectiva P de Z y una resolución G -proyectiva P ′ de Z . Se tiene una equivalencia de homotopía φ∗:P→P′ y se aplica la proposición 2.13 al diagrama conmutativo 0 P ⊗NIN P ⊗NZN P ⊗NZ0 0 P ′⊗NIG P ′⊗NZG P ′⊗NZ0 φ∗⊗Ii φ∗⊗Ziφ∗⊗1 Dado que los G -módulos a la derecha Z⊗NZG y ZQ son isomorfos, la conmutatividad del diagrama formado por las dos últimas las se sigue de la proposición 2.26 (4) y el lema 3.28. El homomorsmo de Q -módulos κ es la composición de las aplicaciones κ:Nab ∼ →TorN 1(Z,Z)∼ →Z⊗NIN →Z⊗NIG ∼ →ZQ⊗GIG. La aplicación κ es inyectiva y κ(nN/[N, N]) = 1Q⊗(n−1) . Como consecuencia vamos a probar que la estructura de Q -módulo en Nab está inducida por la conjugación en el grupo G , es decir y n[N, N]=(xnx−1) [N, N], 3.4. SUCESIONES EXACTAS DE CINCO TÉRMINOS 51 donde y=p(x) , x∈G y n∈N . Para probar esto utilizamos que κ es un homomorsmo de Q -módulos. Así, κ(y n[N, N]) = y⊗(n−1) = 1 ⊗x(n−1) ∈ZQ⊗GIG. Puesto que que xnx−1∈N , se obtiene que 1⊗(xnx−1−1)(x−1) = 0 en ZQ⊗GIG . Así, 1⊗x(n−1) = 1 ⊗(xnx−1−1) = κ(xnx−1[N, N] . Como κ es una aplicación inyectiva, y n[N, N]=(xnx−1) [N, N] . Teorema 3.30. (Sucesión exacta de cinco términos) . Sea 1→Ni →Gp →Q→1 una sucesión exacta corta de grupos M un Q -módulo a la izquierda. Se tiene la sucesión exacta (y natural) H2(G.M)−→ H2(Q, M)−→ M⊗QNab −→ M⊗GIG −→ M⊗QIQ →0. Demostración. Aplicando el funtor M⊗Q− a la sucesión exacta 0−→ Nab κ −→ ZQ⊗GIG ν −→ IQ −→ 0, se tiene la sucesión exacta TorQ 1(M, ZQ⊗GIG)−→ TorQ 1(M, IQ)−→M⊗QNab −→M⊗QZQ⊗GIG−→M⊗QIQ−→0. Se tiene que M⊗QZQ⊗GIG ∼ =M⊗GIG . Dado que TorQ 2(M, ZQ) = TorQ 1(M, ZQ)=0 , se tiene que H2(Q, M)∼ =TorQ 1(M, IQ) . Así, tenemos la sucesión exacta TorQ 1(M, ZQ⊗GIG)−→ H2(Q, M)−→ M⊗QNab −→ M⊗GIG −→ M⊗QIQ −→ 0. Dado que H2(G, M)∼ =TorG 1(M, IG) , para obtener el resultado es suciente con encontrar un homomorsmo de grupos suprayectivo TorG 1(M, IG)−→ TorQ 1(M, ZQ⊗GIG). Para encontrar este homomorsmo consideremos una presentación Q -proyectiva 0→L→ P→M→0 de M y le aplicamos los funtores − ⊗GIG y − ⊗Q(ZQ⊗GIG) . Tenemos el siguiente diagrama conmutativo con las exactas TorG 1(P, IG) TorG 1(M, IG)L⊗GIG P ⊗GIG M ⊗GIG 0 0 TorQ 1(M, ZQ⊗GIG)L⊗GIG P ⊗GIG M ⊗GIG 0 ρ 52 CAPÍTULO 3. HOMOLOGÍA DE GRUPOS y el homomorsmo buscado es la composición de los morsmos TorG 1(M, IG)−→ ker ρ∼ −→ TorQ 1(M, ZQ⊗GIG). Veamos la naturalidad. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de grupos con las exactas: 1N G Q 1 1N′G′Q′1 i hg i′ p p′ f h Se tiene el diagrama conmutativo de Q -módulos a la derecha: 0Nab ZQ⊗GIG IQ 0 0N′ ab ZQ′⊗G′IG′IQ′0 κ hab Zf⊗Ig κ′ ν ν′ If hab Sea M un Q -módulo a la derecha y M′ un Q′ -módulo a la izquierda y φ:M→Uf(M′) un homomorsmo de Q -módulos. Sea P una resolución proyectiva de Q -módulos de M y P′ una resolución proyectiva de Q′ -módulos de M′ y φ∗:P→Uf(P′) un homomorsmo de complejos de Q -módulos que extiende a φ:M→Uf(M′) . Consideremos el diagrama conmutativo de complejos de grupos abelianos con las exactas 0P⊗QNab P⊗QZQ⊗GIG P⊗QIQ 0 0P′⊗Q′N′ ab P′⊗Q′ZQ′⊗G′IG′P′⊗Q′IQ′0 1⊗κ φ∗⊗hab φ∗⊗Zf⊗Ig 1⊗κ′ 1⊗ν 1⊗ν′ φ∗⊗If Aplicando la proposición 2.13, se obtiene el diagrama conmutativo de grupos abelianos TorG 1(M, ZQ⊗GIG) TorQ 1(M, IQ)M⊗QNab M⊗QZQ⊗GIG M ⊗QIQ 0 TorG 1(M′,ZQ′⊗G′IG′) TorQ′ 1(M′, IQ′)M⊗Q′N′ ab M′⊗Q′ZQ′⊗G′IG′M′⊗Q′IQ′0 y continuando con este tipo de razonamientos se obtiene el resultado. Proposición 3.31. Sea 1→Ni →Gp →Q→1 una sucesión exacta corta de grupos y sea M un Q -módulo a la derecha. Se tiene la sucesión exacta (y natural) H2(G.M)−→ H2(Q, M)−→ M⊗QNab −→ H1(G, M)−→ H1(Q, M)→0 3.5. H2(G, M) Y SERIES CENTRALES DESCENDENTES 53 Demostración. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo con las y columnas exactas 0 0 H1(G, M)H1(Q, M) M⊗QNab M⊗GIG M ⊗QIQ 0 M⊗GZG M ⊗QZQ M⊗GZM⊗QZ 0 0 ν H1(p, 1M) µ κ∗1⊗Ip 1⊗ιG 1⊗ϵG 1⊗ιQ 1⊗ϵQ g Por el lema de los tres se tiene un isomorsmo ker(1 ⊗ϵG)∼ −→ ker(1 ⊗ϵQ) , y por el lema de la serpiente, H1(p, 1M) es un homomorsmo suprayectivo. Dado que (1 ⊗ιG)◦κ∗= (1 ⊗ιQ)◦(1 ⊗Ip)◦κ∗= 0 , existe un homomorsmo g:M⊗QNab →H1(G, M) tal que ν◦g=κ∗ . Veamos que im g= ker H1(p, 1M) . Dado que µ◦H1(p, 1M)◦g= (1⊗Ip)◦κ∗= 0 , por ser µ inyectiva, se tiene que H1(p, 1M)◦g= 0 . Así, im g⊂ker H1(p, 1M) . Veamos que ker H1(p, 1M)⊂im g . Sea m∈ker H1(p, 1M) . Se tiene que 0=(µ◦H1(p, 1M)(m) = (1 ⊗Ip)(ν(m)) y entonces existe z∈M⊗QNab tal que κ∗(z) = ν(m) . Dado que ν(g(z)) = κ∗(z) = ν(m) , se tiene que g(z) = m . Así, m∈im g . 3.5. H2(G, M) y series centrales descendentes Lema 3.32. Sea 1→Ni →Gp →Q→1 una sucesión exacta de grupos. Se tiene Z⊗QNab ∼ =N/[G, N]. Demostración. Z⊗QNab es isomorfo al cociente del grupo abeliano Z⊗Nab por el subgrupo generado por los elementos y n[N, N])⊗λ−λ y⊗n[N, N] , donde λ∈Z , y∈Q , n∈N . Dado que Z⊗ZNab ⊗Z∼ =Nab , se tiene que Z⊗QNab es isomorfo al cociente del grupo abeliano Nab por el subgrupo generado por los elementos y n[N, N]) −n[N, N] = xnx−1[N, N]− n[N, N] = xnx−1n−1[N, N] , donde x∈G y p(x) = y . Así, Z⊗QNab ∼ =N [G, N], 54 CAPÍTULO 3. HOMOLOGÍA DE GRUPOS donde [G, N] es el subgrupo de G generado por los elementos xnx−1n−1 , x∈G , n∈N . Corolario 3.33. Sea 1→Ni →Gp →Q→1 una sucesión exacta de grupos. Se tiene la sucesión exacta (y natural) H2(G, Z)−→ H2(Q, Z)−→ N/[G, N]−→ Gab −→ Qab →0. Demostración. Se sigue de la proposición 3.31 y del lema 3.32. Teorema 3.34. (Fórmula de Hofp) Sea 1→R→F→G→1 una sucesión exacta de grupos con F libre. Se tiene H2(G, Z)∼ =R∩[F, F ]/[F, R]. Demostración. Consideremos la sucesión exacta H2(F, Z)−→ H2(G, Z)−→ R/[F, R]−→ Fab −→ Gab →0. Por el corolario 3.20, H2(F, Z)=0 . Así, H2(G, Z) = ker{R/[F, R]−→ Fab}∼ =R∩[F, F ]/[F, R]. Observación 3.35 . Como consecuencia de la fórmula de Hopf, se tiene que el grupo abeliano R∩[F, F ]/[F, R] no depende de la presentación libre de G considerada. Denición 3.36. Sea G un grupo. Se llama serie central inferior de G a la sucesión de subgrupos {Gn}n∈N , donde G0=G , Gn+1 = [G, Gn] , para n≥0 . G⊃G1⊃G2⊃ · · · ⊃ Gn⊃Gn+1 ⊃ · · · Se dice que un grupo G es nilpotente de clase ≤n , si Gn={1} . Los subgrupos Gn son normales en G y los cocientes Gn/Gn+1 son abelianos. Si f:G→H es un homomorsmo de grupos, entonces f induce homomorsmos de grupos de Gn en Hn , para todo n≥0 . Teorema 3.37. Si f:G→H es un homomorsmo de grupos tal que el homomorsmo inducido fab :Gab →Hab es un isomorsmo y H2(f, 1Z): H2(G, Z)→H2(H, Z) es un homomorsmo suprayectivo, entonces f induce isomorsmos fn:G/Gn→H/Hn, n ≥0. Demostración. Razonaremos por inducción sobre n . Para n= 0,1 , es trivial. Supongamos el resultado cierto para n≥1 . Veamos que es cierto para n≥2 . Consideremos el diagrama conmutativo cuyas las son sucesiones exactas cortas de grupos 3.5. H2(G, M) Y SERIES CENTRALES DESCENDENTES 55 1Gn−1G G/Gn−11 1Hn−1H H/Hn−11 i f i′ p p′ fn−1 Por la naturalidad de la sucesión del corolario 3.33, se tiene el siguiente diagrama conmutativo donde las las son sucesiones exactas: H2(G, Z)H2(G/Gn−1,Z)Gn−1/GnGab (G/Gn−1)ab 0 H2(H, Z)H2(H/Hn−1,Z)Hn−1/HnHab (H/Hn−1)ab 0 H2(f, 1Z)H2(fn−1,1Z)hfab (fn−1)ab Por hipótesis, el morsmo H2(f, 1Z) es sobreyectivo y fab es un isomorsmo. Los morsmos H2(fn−1,1Z) y (fn−1)ab son isomorsmos, por hipótesis de inducción. Por el lema de los cinco (lema 1.19), dado que H2(f, 1Z) es sobreyectivo, H2(fn−1,1Z) , fab y (fn−1)ab son isomorsmos, h es un isomorsmo. Consideremos el diagrama 0Gn−1/GnG/GnG/Gn−10 0Hn−1/HnH/HnH/Hn−10 hfnfn−1 Como h y fn−1 son isomorsmos, por el lema de los tres, fn es un isomorsmo. Corolario 3.38. Sea f:G→H un homomorsmo de grupos tal que el homomorsmo inducido fab :Gab →Hab es un isomorsmo y H2(f, 1Z): H2(G, Z)→H2(H, Z) es un homomorsmo suprayectivo. Si G y H son nilpotentes, entonces f es un isomorsmo. Demostración. Por ser G y H nilpotentes, existe n≥0 tal que Gn= 0 y Hn= 0 . El resultado se sigue del lema anterior. algo Bibliografía [1] Bourbaki H. Algèbre Homologique Ch. X of Algèbre, Mason Publ., Paris, 1980. [2] Cartan, H. and Eilenberg S., Homological Algebra , Princenton University Press, Princenton, 1956. [3] Hilton, P. J. and Stammbach, U. A., A course in homological algebra , 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, 4, Springer-Verlag, New York, 1997. [4] MacLane, S. Homology , Springer-Verlag, New York, 1963. [5] Rotman, J. An introduction to homological algebra , Academic Press, New York, 1979. [6] Rotman, J. An introduction to the teory og groups , Springer-Verlag, New York, 1995. [7] Weibel, C. A. An introduction to homological algebra , Cambridge University Press, New York, 1994. 57