Espazos vectoriais

Vice ei o ía de eS UdaN eS,
cUl U a e Fo MaciÓN coN iNUa
Unha colección o ien ada a edi a ma e iais docen es de
calidade e pensada pa a apoia o aballo do p o eso ado e do
alumnado de odas as ma e ias e i ulacións da uni e sidade
G ao en Ma emá icas
Espazos Vec o iais e Cálculo Ma icial
José Manuel Fe nández Vilaboa
Celso Rod íguez Fe nández
3
Espazos ec o iais
9788498 879551
Depa amen o de Álxeb a
Facul ade de Ma emá icas
Espazos ec o iais
3
José Manuel Fe nández Vilaboa
Celso Rod íguez Fe nández
Depa amen o de Álxeb a
Facul ade de Ma emá icas
ADVERTENCIA LEGAL: ese ados odos os de ei os.
Queda p ohibida a duplicación, o al ou pa cial des-
a ob a, en calque a o ma ou po calque a medio
(elec- ónico, mecánico, g a ación, o ocopia ou
ou os) sen consen imen o exp eso po esc i o dos
edi o es.
Dep. Legal: C 58-2013
ISBN 978-84-9887-955-1
© Uni e sidade de San iago de Compos ela, 2013
Es a ob a a ópase baixo unha licenza C ea i e Commons BY-NC-SA 3.0.
Calque a o ma de ep odución, dis ibución, comunicación pública ou
ans o mación des a ob a non incluída na licenza C ea i e Commons BY-NC-SA
3.0 só pode se ealizada coa au o ización exp esa dos i ula es, sal o excepción
p e is a pola lei. Pode accede Vde. ao ex o comple o da licenza nes a ligazón:
h p://c ea i ecommons.o g/licenses/by-nc-sa/3.0/es/legalcode.gl
Deseño
Unidixi al
Se izo de Edición Dixi al
da Uni e sidade de San iago de Compos ea
Edi a
Vice ei o ía de Es udan es,
Cul u a e Fo mación Con inua
da Uni e sidade de San iago de Compos ela
Se izo de Publicacións
da Uni e sidade de San iago de Compos ela
Imp ime
Unidixi al
UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos ec o iais - 3
MATERIA: Espazos Vec o iais e Cálculo Ma icial
TITULACIÓN: G ao en Ma emá icas
PROGRAMA XERAL DO CURSO
Localización da p esen e unidade didác ica
Unidade 1. Sis emas de ecuacións lineais
-Ma ices. Ope acións con ma ices e p opiedades. Ma iz aspos a
e ma iz in e sa. Ope acións elemen ais dunha ma iz. Ma ices
elemen ais.
-Ma ices equi alen es po ilas e ma ices equi alen es po
columnas.
-Sis emas de ecuacións lineais. T ans o macións elemen ais dun
sis ema de ecuacións lineais.
-Resolución de sis emas de ecuacións lineais: o mé odo de Gauss.
-Fac o ización LU dunha ma iz.
-Fac o ización dunha ma iz in e ible.
Unidade 2. De e minan es e as súas aplicacións
-De e minan es de o de 2 e 3.
-De inición xe al de de e minan e: p opiedades.
-De e minan e dun p odu o de ma ices.
-De e minan e da ma iz aspos a.
-Cálculo de de e minan es de o de n.
-In e sa dunha ma iz, eg a de C ame .
-Rango dunha ma iz.
Unidade 3. Espazos ec o iais
-De inición de espazo ec o ial: exemplos.
-Subespazos ec o iais. In e sección e suma de subespazos
ec o iais.
-Dependencia e independencia lineal. Sis emas de Xe ado es.
-Base e dimensión dun espazo ec o ial. Coo denadas dun ec o .
-Subespazos ec o iais e solucións dun sis ema homoxéneo.
-Ecuacións dun subespazo ec o ial.
Unidade 4. Aplicacións Lineais
-De inición de aplicación lineal. Exemplos.
-Núcleo e Imaxe dunha aplicación lineal. Aplicacións lineais
inxec i as e sob exec i as.
-Ma iz dunha aplicación lineal.
-Cambio de base pa a aplicacións lineais.
-Aplicacións Lineais e Sis emas de Ecuacións Lineais
Unidade 5. In odución ó espazo a ín
-Va iedades lineais.
-Ecuacións lineais dunha a iedade.
-Posicións ela i as de ec as no plano e de ec as e planos no
espazo n-dimensional.

UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos ec o iais - 5
ÍNDICE
P esen ación ................................................................................. 7
Os obxec i os ............................................................................... 7
A me odoloxía ............................................................................... 8
Os con idos básicos ................................................................... 9
1. In odución ...................................................................... 9
2. De inición de espazo ec o ial. Exemplos ...................... 9
3. Subespazos ec o iais ................................................... 11
4. Dependencia e independencia lineal.
Sis ema de Xe ado es .................................................. 12
5. Base e dimensión dun espazo ec o ial.
Coo denadas dun ec o ............................................... 16
6. Subespazos ec o iais e solucións dun sis ema
homoxéneo. Ecuacións dun subespazo ec o ial ......... 19
Ac i idades p opos as ................................................................. 21
A aliación da U.D. ..................................................................... ... 21
Bibliog a ía ..................................................................... 22
UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos ec o iais - 7
PRESENTACIÓN
Es a unidade didác ica enmá case den o dos con idos ela i os á ma e ia
de Espazos Vec o iais e Cálculo Ma icial, de 6 c édi os ECTS impa ida no
segundo semes e do p imei o cu so do G ao en Ma emá icas e que
pe ence ó módulo de Álxeb a e Xeome ía.
Os con idos de Álxeb a Lineal, nos que se inclúe es a ma e ia, son unha
pa e undamen al das e amen as ma emá icas necesa ias pa a o es udo
en moi as á eas, como as ciencias do compo amen o, da na u eza, ísicas
ou sociais, economía, enxeña ía ou in o má ica e po supos o nas
ma emá icas.
Es a ma e ia é undamen al pa a una boa o mación ma emá ica. Es á
p ecedida da ma e ia Linguaxe Ma emá ica, Conxun os e Núme os onde se
in oducen concep os básicos das ma emá icas, e esul a indispensable
pa a pode abo da con éxi o as ma e ias Álxeb a Lineal e Mul ilineal e
Xeome ía Lineal de segundo cu so do g ao en ma emá icas.
A inalidade des a unidade é a de p esen a de manei a g adual os
concep os undamen ais de Espazos Vec o iais e as écnicas básicas pa a o
es udo da dependencia e independencia lineal, cálculo de bases e
coo denadas e dos dis in os ipos de ecuacións dun subespazo ec o ial.
Se á a p imei a ez que o es udan ado se ap oxima ó es udo de es u u as
alxeb aicas como modelos que engloban moi as si uacións pa icula es e
que se án undamen ais pa a a súa o mación ma emá ica xa que se án
u ilizadas no es o das disciplinas do G ao.
Á pa e dos p opios con idos ma emá icos, es a unidade con ibui á ó
desen ol emen o da capacidade de azoamen o e da capacidade de
o malización de demos acións ma emá icas.
OS OBXECTIVOS
Os obxec i os que se p e enden cub i nes a unidade didác ica son:
 comp ende a de inición de espazo ec o ial;
 es ablece as di e enzas concep uais en e dependencia e
independencia lineal;
 comp ende o signi icado de base dun espazo ec o ial;
 ecoñece cando un conxun o de ec o es cons i úe unha base do
espazo ec o ial;
 se capaces de comple a bases a pa i dun conxun o de ec o es
linealmen e independen es;
 exp esa e comp ende a de inición de dimensión dun espazo ec o ial;
 ap ende a ope a con ec o es, bases e subespazos;
 elaciona o concep o de subespazo coas solucións dun sis ema de
ecuacións lineais homoxéneo.
14 - UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos ec o iais
Exe cicio
P oba que:
1) {(1, 0, 1, 0, 3), (0, 2, 1, 1, 2), (1, 2, 2, 1, 0)} é un conxun o de ec o es
de 5 linealmen e independen es.
2) {1 + 2x + x3 , 2x - 3x2, 1 + x, x + x2 } é un conxun o de ec o es do -
espazo ec o ial [x], linealmen e independen es.
3) 









320
201 , 







311
201 , 










311
100 é un conxun o de ec o es
do -espazo ec o ial Ma 2x3(), linealmen e independen es.
De inición
Sexa (V, K,

) un espazo ec o ial. Un conxun o de ec o es S de V
dise ligado ou linealmen e dependen e se non é lib e. É dici : exis en
i K, i

S, i = 1, …, n, con odos os i dis in os e algún i

0 e
1 1 + 2

2 + .... + n

n = 0.
No a
Sexa (V, K,

) un espazo ec o ial. En ón:
S = { 0 } é un conxun o linealmen e dependen e
Se V,

0, en ón S = { } é un conxun o linealmen e independen e.
No a
Sexa (V, K,

) un espazo ec o ial e S un conxun o de ec o es de V.
En ón:
Se S é un conxun o linealmen e independen e e S'S, en ón S' é un
conxun o linealmen e independen e.
Se S é un conxun o linealmen e dependen e e SS', en ón S' es un
conxun o linealmen e dependen e.
No a
Calque a conxun o de ec o es que con eña o ec o 0 é linealmen e
dependen e.
P oposición
Se S é un conxun o de ec o es dun espazo ec o ial (V, K,

), en ón:
S é linealmen e dependen e se, e só se, exis e

S al que

<S-{ }>.
Ademais nes a si uación emos que <S> = <S-{ }>.
P oposición
Se (V, K,

) é un espazo ec o ial, S é un conxun o de ec o es
linealmen e independen e e

<S>, en ón S

{ } é un conxun o
linealmen e independen e.
De inición
Sexa V un espazo ec o ial sob e K e S un conxun o de ec o es de V.
Dise que S é un sis ema de xe ado es de V se <S> = V. É dici , S é un

UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos ec o iais - 15
sis ema de xe ado es de V se calque a ec o de V é combinación lineal dos
ec o es de S.
Exemplos
- {(1, 1), (1, 2)} é un conxun o de xe ado es de 2.
- {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 1)} é un conxun o de xe ado es de 3.
- {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (-1, -2, 1)} non é un conxun o de xe ado es de 3.
Exe cicio
P oba que:
1) S = {(1, 1, 1), (5, 0, 3)} é un conxun o de xe ado es do subespazo
ec o ial de 3, V = {(x, y, z) / 3x + 2y -5z = 0}.
2) S = {(6, 3, -2), (-5, 4, 6)} é un conxun o de xe ado es do subespazo
ec o ial de 3, V = {(x, y, z) / 2x - 2y + 3z = 0}.
3) S = {1 + 2x + x3 , 2x - 3x2, 1 + x, x + x2 } é un conxun o de ec o es
xe ado es do -espazo ec o ial 3[x], dos polinomios con coe icien es eais
de g ao meno ou igual que 3.
4) S = 









10
21 , 







20
21 







30
41 , 










61
83 é un conxun o de
ec o es xe ado es do -espazo ec o ial Ma 2x2() ¿É un conxun o
linealmen e independen e?.
P oposición
Sexa S = { 1, 2, ..., n} un conxun o de ec o es dun espazo ec o ial V.
1) Se in e cambiamos dous ec o es, en ón
<{ 1, …, i, …, j, ..., n}> = <{ 1, …, j, …, i, ..., n}>.
2) Se mul iplicamos un ec o , po un escala 

, en ón
<{ 1, …, i, ..., n}> = <{ 1, …,  i, …, n}>.
3) Se subs i uímos un ec o polo esul ado de suma lle ou o ec o
mul iplicado po un escala , po exemplo subs i uímos i po i +  j ,
en ón
<{ 1, …, i, …, j, ..., n}> = <{ 1, …, i +  j …, j, ..., n}>.
No a-Co ola io
Sexan { 1, 2, ..., n} un conxun o de ec o es de n e A a ma iz que en
eses ec o es como ilas. Como consecuencia da p oposición an e io , se B
é unha ma iz equi alen e po ilas a A, os ec o es ila des a ma iz B xe an
o mesmo subespazo ec o ial que os ec o es { 1, 2, ..., n}.
Exemplo
1) Os conxun os S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)} e S’ = {(3, 2, 1), (0, 1, -1)} xe an
o mesmo subespazo ec o ial de 3.
2) Os conxun os S = {(1, 1, 0), (2, 0, 2)} e S’ = {(3, 2, 3), (0, 1, 0)} non
xe an o mesmo subespazo ec o ial de 3.
16 - UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos ec o iais
5. Base e dimensión dun espazo ec o ial. Coo denadas dun ec o
De inición
Un conxun o de ec o es de V, B = { E1 , ..., En }, é unha base de V se:
1. B é un conxun o linealmen e independen e
2. B é un conxun o de xe ado es de V.
Exe cicio
Ob én:
- Bases dos -espazos 2, 3, ...,
- Bases dos -espazos , 2, 3, ......,
- Bases dos -espazos , 2, 3, ......,
- ¿Coñeces algunha base do -espazo ec o ial [x]?
P oposición
Se V é un espazo ec o ial, L = { E1 , ..., E } é un conxun o de ec o es
linealmen e independen es e = 

i1
i

Ei, en ón os escala es 1, 2, …,
 , son únicos.
Co ola io
Se V é un espazo ec o ial e B = { E1 , ..., En } é unha base de V, en ón
cada ec o

V pode exp esa se de o ma única como combinación lineal
dos elemen os de B.
De inición
Se B = { E1 , ..., En } é unha base dun espazo ec o ial V e = 

n
iiiE
1

,
en ón os escala es (

1,

2, ...,

n), que es án uni ocamen e
de e minados, denomínanse coo denadas do ec o espec o da base B.
Obsé ese que ixada a base B, en ón coñécese

V se, e só se, se
coñecen as súas coo denadas espec o de B.
Exemplos
1) Sexa B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} unha base de 3. Calcula o
ec o 3, al que as súas coo denadas espec o de B son (1, 8, 7), é
dici = (1, 8, 7)B.
2) Se n é un en ei o posi i o, en ón n é un -espazo ec o ial e o
conxun o B = { e1 , ..., en }, con ei = (0,..., 0, )
1
i, 0, ..., 0), é unha -base de
n que denomina emos base canónica.
Teo ema (de exis encia de base)
Sexa V

{0} un espazo ec o ial cun conxun o ini o de xe ado es S.
En ón, exis e un subconxun o B de S que é unha base de V.
UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos ec o iais - 17
P oposición
Sexa V un K-espazo ec o ial. Se B = {E1, E2, …, En} é unha base de V
con n ec o es, en ón un conxun o S={ 1, 2, …, m} con m > n non pode se
linealmen e independen e.
Co ola io
Sexa V un K -espazo ec o ial. Se B = {E1, E2, …, En} é unha base de V
con n ec o es, en ón calque a ou a base en que e necesa iamen e n
ec o es.
De inición
Chámase dimensión dun K-espazo ec o ial V ao núme o de ec o es
dunha base (como acabamos de e odas as bases eñen o mesmo
núme o de ec o es). Denó ase dimK(V).
P oposición
Se V é un espazo ec o ial de dimensión n e L = {E1, E2, …, E } é un
conxun o de ec o es linealmen e independen es, en ón pódese cons uí
unha base de V que con eña a L (engadi n – ec o es pa a comple a
unha base de V).
P oposición
Se V1 e V2 son subespazos dun espazo ec o ial V, en ón
dimK(V1+V2) = dimK(V1) + dimK(V2) - dimK(V1

V2)
De inición
Se V1 e V2 son subespazos dun espazo ec o ial V e V1

V2 = {0},
di ase que V1+V2 é a suma di ec a de V1 e V2 e deno a ase po V1

V2.
P oposición
Se V1 e V2 son subespazos dun espazo ec o ial V, en ón V1 + V2 é a
suma di ec a

Cada ec o de V1 + V2 pode exp esa se de o ma única
como a suma dun ec o de V1 e ou o de V2.
Co ola io
Sexa V un K -espazo ec o ial de dimensión n.
As seguin es a i macións son equi alen es:
1) B = {E1, E2, …, En} é unha base de V.
2) B = {E1, E2, …, En} é un conxun o de ec o es de V linealmen e
independen es.
3) B = {E1, E2, …, En} é un conxun o de xe ado es de V.
Exemplos
dim = 1
dim 2 = 2
…..
dim n = n.
18 - UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos ec o iais
P oposición
Se a ma iz A

Mnxm() é equi alen e po ilas a unha ma iz cunha ila
de ce os, en ón os ec o es ila de A son ec o es de m linealmen e
dependen es.
P oposición
Se AMnxm() é unha ma iz en escalei a sen ningunha ila nula, en ón
os ec o es ila de A son ec o es de m linealmen e independen es e polo
an o xe an un subespazo de m de dimensión n.
No a-Co ola io
Sexa A

Mnxn() unha ma iz cad ada e B unha ma iz en escalei a
equi alen e po ilas á ma iz A. Sabemos que os ec o es ila de A e B
xe an o mesmo subespazo e a súa dimensión coincide co núme o de
ec o es ila de A (ou de B) linealmen e independen es e polo an o os
ec o es ila de A son linealmen e independen es se, e só se, o son os de B.
Como consecuencia emos que:
de (A) = 0

os ec o es ila de A son linealmen e dependen es.
Co ola io
1) Se BMmxn() é unha ma iz en escalei a, as ilas non nulas de B son
linealmen e independen es e polo an o a dimensión do subespazo ec o ial
de n que xe an coincide co núme o de pi o es de B.
2) Se A

Mnxn() é unha ma iz cad ada e B unha ma iz en escalei a
equi alen e po ilas á A, o subespazo ec o ial de n xe ado polas ilas de
A coincide co subespazo ec o ial xe ado polas ilas de B e polo an o a
dimensión do subespazo ec o ial de n xe ado polas ilas de A coincide co
núme o de pi o es da ma iz en escalei a B.
3) Se B

Mmxn() é unha ma iz en escalei a sen ningunha ila nula,
en ón se ás ilas de B lle engadimos as ilas que p opo cionan os ec o es
da base canónica de Rn, ei, que co esponden ás columnas sen pi o e,
ob emos unha ma iz cad ada de o de n coas ilas linealmen e
independen es (base de n).
4) Se B

Mmxn() é equi alen e po ilas a unha ma iz en escalei a C,
sen ningunha ila nula, en ón se ás ilas de B lles engadimos as ilas que
p opo cionan os ec o es da base canónica de n, ei, que co esponden ás
columnas de C sen pi o e, ob emos unha ma iz cad ada de o de n coas
ilas linealmen e independen es (base de n).
Exemplos
1) Se B =
















000000
110000
102100
010121

M4x6(), en ón as ilas de B
xe an un subespazo de R6 de dimensión 3.
UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos ec o iais - 19
2) A ma iz A =


















222342
110242
102021
010121

M4x6() é equi alen e
po ilas á ma iz B do apa ado 1) e polo an o as ilas de A xe an un
subespazo de R6 de dimensión 3.
3) A ma iz B = 











110000
102100
010121

M3x6() en pi o es nas
columnas 1, 3 e 5, en ón as ilas da ma iz C =






















100000
001000
000010
110000
102100
010121
o man unha base de R6.
4) A ma iz A = 












110242
102021
010121

M3x6() é equi alen e
po ilas á ma iz B do apa ado 3) e polo an o as ilas da ma iz cad ada
C =























100000
001000
000010
110242
102021
010121
o man unha base de 6.
.
6. Subespazos ec o iais e solucións dun sis ema homoxéneo.
Ecuacións dun subespazo ec o ial
Se V é un espazo ec o ial sob e K de dimensión n, e U un subespazo
ec o ial de V xe ado polos ec o es u1, ... us, linealmen e independen es,
exis e un sis ema de n – s ecuacións lineais (independen es) do cal U é a
solución.

20 - UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos ec o iais
Di as ecuacións chámanse ecuacións lineais do subespazo. (No a: o
sis ema non é único).
As ecuacións pa amé icas de U eñen dadas po :
= 1u1 + 2u2 + … + sus.
As ecuacións lineais ob eñense do ei o de que

<{ u1, ... us }> se é
un ec o linealmen e dependen e deses ec o es. Se conside amos a
ma iz A que en po ilas as coo denadas dos ec o es u1, ... us, en ón dici
que <{u1, ... us }> é equi alen e a que o ec o de Kn que en po
coo denadas as de é un linealmen e dependen e dos ec o es ila dunha
ma iz en escalei a equi alen e po ilas á ma iz A.
Cálculo das ecuacións lineais dun subespazo de n, do que coñecemos
un conxun o de xe ado es:
Exemplo 1
Calcula as ecuacións lineais do subespazo de 4 xe ado polos ec o es
u1 = (1, 1, 0,0) e u2= (1, 0, 1, 0).
Exemplo 2
Calcula as ecuacións lineais do subespazo de 5 xe ado polos ec o es
u1 = (1, 1, 0, 0, 1), u2= (1, 0, 1, 0, 2).
Exemplo 3
Calcula as ecuacións lineais do subespazo de 7 xe ado polos ec o es
u1 = (1, 0, 1, 1, 1, 1, 0), u2= (1, 0, 1, 1, 0, 0, 0),
u3 = (2, 0, 3, 5, 2, 2, 0), u4 = (3, 0, 2, 0, 0, 0, 0).
Exemplo 4
Calcula as ecuacións lineais do subespazo de 7 xe ado polos ec o es
u1 = (1, 0, 1, 1, 1, 1, 0), u2= (0, 0, 1, 1, 0, 0, 0), u3 = (2, 0, 5, 5, 2, 2, 0)
ACTIVIDADES PROPOSTAS
 Comp obación dos exemplos e ealización dos exe cicios p opos os
ó longo da Unidade.
 Tamén se debe án esol e os exe cicios p opos os nun bole ín con
cues ións eó icas e p ác icas.
 Os alumnos poden esol e os exe cicios de o ma indi idual ou en
g upos pe o deben comp ende os undamen os e desen ol e as
capacidades que lles pe mi an en on a se a exe cicios de
di icul ade análoga.
 Adicionalmen e pode ase ealiza algunha p oba cu a.
UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos ec o iais - 21
AVALIACIÓN DA U
Es a Unidade Didác ica o ma pa e da ma e ia Espazos Vec o iais e
Cálculo Ma icial e a súa a aliación enmá case no con ex o global desa
ma e ia.
Ó longo do cu so equi i ase do alumnado a esolución de exe cicios
co esponden es a cada unha das unidades e a pa icipación ac i a nas
clases de labo a o io e semina io. Ademais pode anse ealiza p obas
esc i as eó ico-p ác icas ó longo do cuad imes e. A pun uación conxun a
des as ac i idades (C) ep esen a á o 25% da no a inal.
O 75 % es an e sai á do exame inal (E). Es e exame se á esc i o e
con e á p egun as de eo ía, cues ións eó ico-p ác icas e exe cicios. Pa a
supe a a ma e ia os es udan es debe án ob e cando menos o 40% da no a
do exame.
Pa a o cómpu o da cuali icación inal (F) e ase en con a a a aliación
con inua (C) e a cuali icación do exame inal (E) e aplica ase a seguin e
ó mula:
F = max(E, 0,25*C + 0,75*E)
NIDADE DIDÁCTICA
22 - UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos ec o iais
BIBLIOGRAFÍA
BURGOS, J. (2006): Álgeb a Lineal y Geome ía Ca esiana. Mad id: McG aw
Hill.
CASTELLET, M.; LLERENA, I. (1991): Álgeb a Lineal y Geome ía. Ba celona:
Re e é/UAB.
HERNÁNDEZ, E., VÁZQUEZ, M.J., ZURRO, M.A. (2012): Álgeb a lineal y
Geome ía. Mad id: Pea son.
MERINO, L., SANTOS, E. Álgeb a Lineal con mé odos elemen ales. Mad id:
Thomson.
VILLA, A. (1994): P oblemas de Álgeb a. Mad id: CLAGSA-I.C.A.I.