Módulos C uzados de Álgeb as
Conmu a i as, Homología y HAP
Fdo.: Pablo Fe nández Asca iz
Memo ia pa a op a al g ado de Doc o ealizada en el Depa amen o de
Álxeb a de la Uni e sidad de San iago de Compos ela bajo la di ección del
P o eso D. Manuel Lad a González.
San iago de Compos ela, a 8 de Ene o de 2007.
Fdo.: P o . D . Manuel Lad a González
Ag adecimien os
Decidi se a di igi una esis no debe de se , desde mi pun o de is a, una
cues ión nada sencilla, pues implica comp ome e se con un p oyec o que e-
que i á dedicación y iempo, y du an e el cual se encon a án di e sas di icul-
ades y p eocupaciones. Además, y al menos desde el pun o de is a ma e ial,
las sa is acciones ecibidas no son ni mucho menos p opo cionales al es ue zo
ealizado.
Sin emba go, pa a el alumno que comienza a aden a se en el ámbi o de la
in es igación, es undamen al encon a a alguien que con íe en él y le p es e
su ayuda, en una e apa en la que la dependencia pa a sol en a los p oblemas
a los que se i á en en ando es oda ía acusada.
Cuando además, la elación en e el p o eso y el alumno se con ie e en
algo más pe sonal, es o supone una mo i ación añadida a lo la go del doc o ado.
Po odo es o, me gus a ía ag adece a Manuel Lad a González oda su ayuda,
imp escindible en la ealización de es a esis.
Muchas g acias Manolo.
Con enidos
In oducción ii
1. P opiedades ca egó icas de XModK1
1.1. La ca ego ía XModK........................ 1
1.2. De iniciones equi alen es de módulo c uzado . . . . . . . . . . . 19
1.3. T ipleabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4. P opiedades ca egó icas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.1. Ca ego ías semiabelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.2. Ca ego ías de in e és . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.4.3. Ca ego ías ca esianas ce adas . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4.4. Ca ego ías de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2. Cons ucciones en la ca ego ía 51
2.1. El ac o de un módulo c uzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2. Módulos c uzados singula es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3. P oduc o enso de módulos c uzados . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4. P oduc o semidi ec o de módulos c uzados . . . . . . . . . . . . 68
2.5. La ca ego ía de (C, R, ν)-módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.6. De i aciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3. Álgeb a homológica de módulos c uzados 99
3.1. (Co)Homología de módulos c uzados . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2. Ex ensiones de módulos c uzados y sucesiones exac as . . . . . 115
3.3. (Co)Homología de módulos c uzados as é icos . . . . . . . . . . 124
3.4. (Co)Homología con coe icien es (0, A, 0) . . . . . . . . . . . . . 128
4. Cálculo e ec i o de homología con HAP 139

In oducción
El concep o de módulo c uzado en la ca ego ía de g upos su gió en el a-
bajo de Whi ehead [53] en opología algeb aica. Es e concep o, además de
en la opología algeb aica, ha jugado oles impo an es en o as á eas de las
ma emá icas como son la eo ía de ep esen aciones de g upos, K- eo ía alge-
b aica, homología cíclica, eo ía combina o ia de g upos, álgeb a homológica y
geome ía di e encial. Posiblemen e los módulos c uzados son conside ados hoy
en día una de las es uc u as algeb aicas undamen ales. Los módulos c uzados
de álgeb as conmu a i as han sido usados, en esencia más que en nomb e, po
Lich enbaum y Schlessinge [36] y Ge s enhabe [27]. Además, algunos esul-
ados ca egó icos ue on dados po Po e [45, 46].
En [43], No ie desa olló el abajo de Lue [39] e in odujo la noción de
ac o de módulos c uzados de g upos donde p ueba que es el análogo del g upo
de au omo ismos de un g upo. Usando la noción de ac o de módulo c uzado
gene aliza concep os de g upos a módulos c uzados como el cen o, módulos
c uzados comple os y pe ec os, submódulos c uzados ca ac e ís icos y es udia
las conexiones en e es os. Pa e del abajo de No ie su ge de analogías en e
g upos y álgeb as.
Casas y Lad a [14] in oducen el concep o de ac o en la ca ego ía de mó-
dulos c uzados de álgeb as de Lie gene alizando la noción de álgeb a de Lie de
las de i aciones. Usando es e concep o p ueban que un cuad ado c uzado de
álgeb as de Lie es equi alen e a un módulo c uzado en la ca ego ía de módulos
c uzados de álgeb as de Lie.
ii
Po e en [45] u iliza los módulos c uzados de álgeb as conmu a i as pa a
iden i ica un in a ian e de Simis y Vasconcelos con el segundo g upo de ho-
mología de And é-Quillen y en [46] plan ea cues iones ca egó icas en la ca e-
go ía de módulos c uzados de álgeb as conmu a i as XModK/R con el anillo
R ijo. En pa icula , da la cons ucción del R-módulo c uzado lib e sob e
una aplicación X→R, es deci , cons uye una adjunción en e Se /UR y
XModK/R.
Ca asco, Cega a y R.-G andjeán [13] cons uyen una eo ía de homología
y cohomología de módulos c uzados que gene aliza de algún modo la eo ía
de homología de Eilenbe g-Mac Lane. Pa a ello u ilizan la eo ía gene al de
homología del co iple de Ba y Beck [8] y pa a desa olla la usan el esul ado
undamen al de que la ca ego ía de módulos c uzados de g upos es algeb aica
[9] sob e conjun os, es deci , exis e un un o de ol ido ipleable sob e con-
jun os.
Janelidze, Má ki y Tholen [33] in oducen el concep o de ca ego ía semia-
beliana como ma co adecuado donde se cap u an las p opiedades algeb aicas
álidas pa a g upos, anillos y álgeb as, del mismo modo que las ca ego ías
abelianas son el ma co pa a el a amien o gene alizado de g upos abelianos
y módulos. Mues an cómo es e concep o es el ap opiado pa a es ablece eo-
emas de isomo ía, de exac i ud y he amien as necesa ias pa a desa olla el
álgeb a homológica.
La in es igación de p opiedades ca egó icas de es uc u as algeb aicas ha
alcanzado g andes log os en los úl imos cincuen a años y se sigue p o undizan-
do en a ias di ecciones di e en es elacionadas con muchas aplicaciones im-
po an es.
Comenzamos en el p ime capí ulo es udiando las ca ac e ís icas undamen-
ales de la ca ego ía de módulos c uzados de álgeb as conmu a i as, XModK.
Se ecopilan nociones elemen ales como ideal y cocien e de un módulo c uzado
y se cons uyen algunos lími es y colími es ini os en la ca ego ía. Además, la
ca ego ía de álgeb as conmu a i as es una de las pocas ca ego ías algeb aicas
donde los concep os de sob eyección y epimo ismo no coinciden. De hecho,
no es una ca ego ía equilib ada, es deci , monomo ismo y epimo ismo no im-
plica isomo ismo. Se e á que la ca ego ía XModK ampoco es equilib ada,
iii
mos ando un mo ismo mónico y épico que no es un isomo ismo, se p oba á
que las sob eyecciones son los epimo ismos egula es y se da á una condición
su icien e pa a que un mo ismo sea epimo ismo.
A con inuación se analizan concep os equi alen es al de módulo c uzado. Se
comp ueba que los concep os de ca 1-álgeb a [37], 1-cubo [19], ca ego ía in e na
en la ca ego ía de K-álgeb as conmu a i as y módulo c uzado son equi alen es.
Además, es udiamos la ipleabilidad sob e conjun os de la ca ego ía de
módulos c uzados de álgeb as conmu a i as. Aplicamos el c i e io de Lin on
pa a p oba que el un o de ol ido U:XModK→Se es ipleable.
Pos e io men e emos que la ca ego ía XModKes semiabeliana, es deci ,
es exac a en el sen ido de Ba , p o omodula en el sen ido de Bou n y iene
obje o ce o y cop oduc os ini os. Es e es el ma co idóneo pa a desa olla una
eo ía de homología y cohomología de módulos c uzados de álgeb as conmu-
a i as ya que en es e ipo de ca ego ías se e i ica el lema de los cinco o o.
También se p ueba en la misma sección que XModKno es una ca ego ía de
in e és [44]. Es e hecho jus i ica que el es udio de módulos c uzados de álgeb as
conmu a i as enga di e encias undamen ales con espec o a módulos c uza-
dos de g upos, ya que es a sí es una ca ego ía de in e és. Además, se mues a
que XModKes una ca ego ía ca esiana ce ada, al igual que o as ca ego ías
con obje o e minal y p oduc os como Se oCa y, inalmen e, se desc ibe
la es uc u a de ca ego ía de modelos de XModKmos ando cuales son las
ib aciones, las co ib aciones y las equi alencias débiles.
El segundo capí ulo se inicia in oduciendo los concep os de ac o y aniquila-
do de un módulo c uzado de álgeb as conmu a i as, que gene alizan los con-
cep os de las mul iplicaciones y aniquilado , espec i amen e, de álgeb as con-
mu a i as. El concep o de ac o nos pe mi e de ini una acción de un módulo
c uzado sob e o o módulo c uzado y así pod emos habla pos e io men e del
p oduc o semidi ec o de módulos c uzados, de la ca ego ía (C, R, ν)-módulos
o de las de i aciones.
En las siguien es secciones del mismo capí ulo se es udian los módulos
c uzados singula es, y se elacionan es os con el aniquilado de inido an e i-
o men e. También se de ine el conmu ado y se p ueba que p opo ciona un
ix
4 1 P opiedades ca egó icas de XModK
•ν(( +R0)(c+C0)) = ν( c +C0) = ν( c) + C0= ν(c) + C0= ( +
R0)(ν(c) + C0).
•(ν(c+C0))(c0+C0) = (ν(c) + R0)(c0+C0) = ν(c)c0+C0=cc0+C0=
(c+C0)(c0+C0).
P oposición 12 Sean (C00, R00, ν00)y(C0, R0, ν0)dos submódulos c uzados de
un módulo c uzado (C, R, ν). El submódulo c uzado in e sección es (C00 ∩
C0, R00 ∩R0, ν |C00∩C0).
Demos ación:
La p ueba es di ec a. 
Ejemplo 13 Sean IyJdos R-módulos. La in e sección de los módulos c uza-
dos (I, R, 0) y(J, R, 0) es el módulo c uzado (I∩J, R, 0).
P oposición 14 Sean (C00, R00, ν00)y(C0, R0, ν0)dos ideales c uzados de un
módulo c uzado (C, R, ν). El submódulo c uzado in e sección (C00 ∩C0, R00 ∩
R0, ν |C00 ∩C0)es un ideal c uzado de (C, R, ν).
Demos ación:
C00 ∩C0yR00 ∩R0son ideales de CyR espec i amen e. Además, (R00 ∩R0)C
es á con enido en C00 ∩C0ya que R00CyR0Ces án con enidos en C00 yC0
espec i amen e. Análogamen e R(C00 ∩C0)es á con enido en C00 ∩C0.
De inición 15 Un mo ismo de módulos c uzados de (C, R, ν)a(C0, R0, ν0)
es un pa de mo ismos de K-álgeb as:
φ:C→C0ψ:R→R0
ales que φ( c) = ψ( )φ(c)yν0◦φ=ψ◦ν.
Se dice que el mo ismo de módulos c uzados (φ, ψ)es inyec i o (sob eyec-
i o) cuando an o φcomo ψson inyec i as (sob eyec i as).

1.1 La ca ego ía XModK5
Ejemplo 16 Sea (C, R, in)un módulo c uzado en el que Ces una subálgeb a
de R. Conside amos un mo ismo de álgeb as a bi a io :R→Ry |C:
C→C;en onces ( |C, ) : (C, R, in)→(C, R, in)es un mo ismo de módulos
c uzados:
•in( (c)) = (c) = |C(c) = |C(in(c)), donde c∈C.
• |C( c) = ( c) = ( ) (c) = ( ) |C(c), donde c∈C, ∈R.
La composición es á de inida componen e a componen e. El mo ismo iden-
idad es id(C,R,ν)= (idC, idR).
Se iene en onces una ca ego ía XModKde módulos c uzados. Si se ija el
álgeb a base R, se ob iene la subca ego ía XModK/R.
Obse ación 17 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado.
•ke νes un ideal de C, ya que si c∈ke νyc0∈Cse iene que ν(cc0) =
ν(ν(c)c0) = 0.
•Im νes un ideal de R, po que si ∈Ryν(c)∈Im ν⇒ ν(c) = ν( c)∈
Im ν.
•0→ke ν→C→Im ν→0es una ex ensión cen al de álgeb as con-
mu a i as, es deci , ke νes un ideal de cuad ado ce o (ke ν)2=0:c, c0∈
ke ν⇒cc0=ν(c)c0= 0.
De inición 18 Sea {(Ci, Ri, νi)}Iuna amilia de módulos c uzados. Se de ine
el p oduc o di ec o de la siguien e mane a: Π
I(Ci, Ri, νi) = (Π
ICi,Π
IRi,Π
Iνi),
donde Π
ICi,Π
IRison los p oduc os di ec os en la ca ego ía de álgeb as con-
mu a i as y Π
Iνies la aplicación inducida en e ellos.
Las p oyecciones ienen dadas de la siguien e mane a:
pj≡(p1
j, p2
j) : (Π
ICi,Π
IRi,Π
Iνi)→(Cj, Rj, νj),donde p1
j, p2
json las p oyecciones
de álgeb as. Vamos a e que pjes un mo ismo de módulos c uzados:
6 1 P opiedades ca egó icas de XModK
Π
ICi
p1
j

Π
Iνi
//Π
IRi
p2
j

Cj//Rj
•p2
j(Π
Iνi((ci)I)) = p2
j((νi(ci))I) = νj(cj) = νj(p1
j(ci)I), donde (ci)I∈Π
ICi.
•p1
j(( i)I(ci)I) = jcj=p2
j(( i)I)p1
j((ci)I), donde (ci)I∈Π
ICi,( i)I∈Π
IRi.
El p oduc o di ec o e i ica la siguien e p opiedad uni e sal: sea (G, H, ω)
un módulo c uzado y {( i, gi) : (G, H, ω)→(Ci, Ri, νi)}Iuna amilia de mo -
ismos. Exis e un único mo ismo (ϕ, ϕ0):(G, H, ω)→Π
I(Ci, Ri, νi)que hace
conmu a i o el siguien e diag ama:
(G, H, ω)
(ϕ,ϕ0)


( j,gj)
''
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
Π
I(Ci, Ri, νi)pj//(Cj, Rj, νj)
Es e hecho se comp ueba i ialmen e eniendo en cuen a que ϕ:G→Π
ICi
yϕ0:H→Π
IRison las aplicaciones dadas po la misma p opiedad uni e sal
en la ca ego ía de álgeb as conmu a i as.
P oposición 19 Dados dos mo ismos de módulos c uzados (φ, ψ)y(φ0, ψ0)
en e (C, R, ν)y(C0, R0, 0), su igualado Ig((φ, ψ),(φ0, ψ0)) es el submódulo
c uzado (A, B, ν)jun o con el mo ismo de módulos c uzados ( , g), siendo
Ig(φ, ψ) = (A, ), Ig(φ0, ψ0) = (B, g)yνla aplicación inducida po ν.
Demos ación:
Vamos a comp oba que ese es e ec i amen e el igualado en la ca ego ía
XModK:
1.1 La ca ego ía XModK7
A

B
g

C
φ

ψ

ν//R
φ0

ψ0

C0ν0
//R0
•(φ, ψ)( , g) = (φ , ψg) = (φ0 , ψ0g) = (φ0, ψ0)( , g).
•Sea (h, i):(D, P, δ)−→ (C, R, ν)un mo ismo de módulos c uzados al
que φh =φ0hyψi =ψ0i; en onces exis en m:D→Ayn:P→B ales que
m =hygn =i. Es deci , (h, i)se ac o iza po ( , g).
Sólo queda po comp oba que (m, n)es un mo ismo de módulos c uzados:
•Sea d∈D;pa a e que nδ(d) = νm(d)compond emos con un monomo -
ismo y comp oba emos que gnδ(d) = gνm(d) :
gνm(d) = ν m(d) = νh(d) = iδ(d) = gnδ(d)
•Sean p∈P, d ∈D;pa a e que m(pd) = n(p)m(d)comp oba emos que
(m(pd)) = (n(p)m(d)) :
(n(p)m(d)) = g(n(p)) (m(d)) = i(p)h(d) = h(pd) = (m(pd)).
P oposición 20 Sea (φ, ψ)un mo ismo de módulos c uzados en e (C, R, ν)
y(C0, R0, ν0). En onces (φ, ψ)es mónica si y sólo si (φ, ψ)es inyec i a.
Demos ación:
“⇐”
Sean (α1, β1)y(α2, β2)mo ismos en e los módulos c uzados (C00, R00, ν00)
y(C, R, ν) ales que (φ, ψ)(α1, β1) = (φ, ψ)(α2, β2).
C00
α1

α2

ν00
//R00
β1

β2

C
φ

ν//R
ψ

C0ν0
//R0
8 1 P opiedades ca egó icas de XModK
En onces enemos que (φα1, ψβ1) = (φα2, ψβ2)⇒φα1=φα2, y como φes
inyec i a se e i ica que α1=α2.Análogamen e, como ψes ambién inyec i a
se iene que β1=β2.
“⇒”
Supongamos que (φ, ψ)es mónica; p ime o amos a comp oba que ψes
mónica (y po an o inyec i a, ya que es un mo ismo en la ca ego ía de álgeb as
conmu a i as).
Sean β1, β2:R00 →R ales que ψβ1=ψβ2.Conside amos el módulo
c uzado (0, R00,0).
0
0

0

0//R00
β1

β2

C
φ

ν//R
ψ

C0ν0
//R0
Se iene que (φ, ψ)(0, β1) = (φ, ψ)(0, β2)⇒(0, β1) = (0, β2)⇒β1=β2, y
po an o ψes mónica.
Veamos aho a que φes mónica. Sean α1, α2:C00 →C ales que φα1=φα2.
Conside amos el módulo c uzado (C00, C00, id).
C00
α1

α1

id //C00
να1

να2

C
φ

ν//R
ψ

C0ν0
//R0
Tenemos que (α1, να1)(φ, ψ) = (α2, να2)(φ, ψ)⇒α1=α2.
P oposición 21 Sea (φ, ψ)un mo ismo de módulos c uzados en e (C, R, ν)
y(C0, R0, ν0). En onces (φ, ψ)es un epimo ismo ⇒ψes un epimo ismo.
1.1 La ca ego ía XModK9
Demos ación:
Conside emos un módulo c uzado (R00, R00, id)y sean β1, β2:R0→R00 mo is-
mos ales que β1ψ=β2ψ.
C
φ

ν//R
ψ

C0
β1ν0

β2ν0

ν0
//R0
β1

β2

R00 id //R00
Se iene que (β1ν0, β1)(φ, ψ) = (β2ν0, β2)(φ, ψ)⇒β1=β2y po an o ψes
épica. 
Es i ial comp oba que si (φ, ψ)es sob eyec i a en onces ambién es épi-
ca. Sin emba go, la implicación in e sa no se da. A con inuación e emos un
con aejemplo.
Tomamos un álgeb a C6= 0 al que C2=Cy conside amos el mo is-
mo (0, id)en e los módulos c uzados (0, C, 0) y(C, C, id).Es e mo ismo no
es sob eyec i o, pe o sí es un epimo ismo: sean (α1, β1)y(α2, β2) ales que
(α1, β1)(0, id) = (α2, β2)(0, id).
0
0

0//C
id

C
α1

α2

id //C
β1

β2

C0ν//R0
Se iene di ec amen e que β1=β2(⇒να1(x) = να2(x)).Fal a comp oba
que α1=α2.Como C2=Cbas a e que α1(xy) = α2(xy)pa a x, y ∈C.
α1(xy) = α1(x)α1(y) = ν(α1(x))α1(y) = ν(α2(x))α1(y) = α2(x)α1(y) =
α2(x)ν(α1(y)) = α2(x)ν(α2(y)) = α2(x)α2(y) = α2(xy).

10 1 P opiedades ca egó icas de XModK
Además, (0, id)es ambién un monomo ismo.
En la ca ego ía XModKno es sencillo ca ac e iza los epimo ismos. De
hecho, ya en la ca ego ía de álgeb as conmu a i as esul a complicado: sea
ϕ:A→Bun mo ismo de K-álgeb as; ϕes un epimo ismo si y solo si oda
aplicación A-lineal :M→Nen e dos B-módulos MyNes B-lineal [24].
En el caso de anillos con unidad la ca ac e ización ampoco es ácil:
•ϕ:A→Bes un epimo ismo si y solo si la aplicación canónica B⊗AB→
Binducida po la mul iplicación en Bes un isomo ismo [50].
•ϕ:A→Bes un epimo ismo si y solo si el mo ismo B→B⊗ABes
sob eyec i o [12].
Vamos a e a con inuación una condición su icien e pa a que un mo ismo
de módulos c uzados sea epimo ismo.
Lema 22 Sean (C, R, ν)y(C0, R0, ν0)módulos c uzados y ( , g) : (C, R, ν)→
(C0, R0, ν0)un mo ismo en e ellos. Se e i ica que ( , g)es un epimo ismo
egula si y solo si es sob eyec i o.
Demos ación:
Sea U:XModK→Se el un o de ol ido. Como XModKes algeb aica
(es o se p oba á en una sección pos e io ) se iene que ( , g)es un epimo ismo
egula en XModKsi y sólo si U( , g)es un epimo ismo egula en Se .
Como en la ca ego ía de conjun os los concep os de epimo ismo egula y
sob eyección coindicen, se ob iene la p oposición enunciada. 
Co ola io 23 Los concep os de epimo ismo egula , epimo ismo ex emo,
epimo ismo ue e y mo ismo sob eyec i o son equi alen es en XModK[1].
1.1 La ca ego ía XModK11
P oposición 24 Sean (C, R, ν)y(C0, R0, ν0)dos módulos c uzados y ( , g) :
(C, R, ν)→(C0, R0, ν0)un mo ismo en e ellos e i icando:
•ges un mo ismo sob eyec i o de álgeb as conmu a i as.
• (C)es un ideal de C0.
•C0/ (C)coincide con su cuad ado.
En onces, ( , g)es un epimo ismo.
Demos ación:
Po se XModKuna ca ego ía semiabeliana (como se e á en una sección
pos e io ) se iene que ( , g)se puede ac o iza de la siguien e mane a:
C
e

ν//R
ge

S
m

//S0
gm

C0ν0
//R0
donde eygeson epimo ismos egula es y mygmson monomo ismos. Como
ges sob eyec i a se iene que ge=g, gm=id y el diag ama se educe al
siguien e:
C
e

ν//R
g

S
m

ν0 m//R0
id

C0ν0
//R0
Se e i ica que (S, R0, ν0 m)es un módulo c uzado. La acción de R0sob e
S iene dada de la siguien e mane a:
R0×S→S
( 0, s)7→ 0 m(s)
12 1 P opiedades ca egó icas de XModK
Es a acción es á bien de inida ya que 0 m(s) = g( ) m( e(c)) = g( ) (c) =
( c) = e( c)∈S, donde c∈C, ∈R. Además, es i ial comp oba que se
e i ican los axiomas de módulo c uzado.
Po o o lado ( e, g)y( m, id)son mo ismos de módulos c uzados:
•ν0 m e(c) = ν0 (c) = gν(c), donde c∈C.
• e( c) = ( c) = g( ) (c) = g( ) e(c), donde c∈C, ∈R.
• m( 0s)= m(g( ) e(c))= m( e( c))= ( c)=g( ) (c)=g( ) m( e(c))=
0 m(s), donde c∈C, s ∈S, , 0∈R.
Se iene que ( e, g)es épica i ialmen e. Veamos que ( m, id) ambién
lo es. Pa a ello omamos (α1, β1)y(α2, β2) ales que (α1, β1)◦( m, id) =
(α2, β2)◦( m, id).
S
m

ν0 m//R
id

C0
α1

α2

ν0
//R0
β1

β2

Gω//H
Se e i ica en onces que β1=β2yα1=α2en m(S). Como C0/ m(S)
coincide con su cuad ado bas a comp oba que α1(cc0) = α2(cc0)pa a c, c0∈C0.
Como ωα1=β1ν0=β2ν0=ωα2 enemos las siguien es igualdades:
•α1(cc0) = α1(c)α1(c0) = ω(α1(c))α1(c0) = ω(α2(c))α1(c0) = α2(c)α1(c0) =
ω(α1(c0))α2(c).
•α2(cc0) = α2(c)α2(c0) = α2(c0)α2(c) = ω(α2(c0))α2(c) = ω(α1(c0))α2(c).

Obse ación 25 Como añadido a la p oposición an e io se e i ica que si
( , g)es un mo ismo de módulos c uzados al que ges sob eyec i a, en onces
(C)es un ideal de C0yR0/ (C)coincide con su cuad ado. Comp oba emos
es o a con inuación.
1.1 La ca ego ía XModK13
Po se gsob eyec i a se iene, al igual que en la demos ación an e io , el
siguien e diag ama conmu a i o:
C
e

ν//R
g

S
m

ν0 m//R0
id

C0ν0
//R0
donde ees un epimo ismo egula y mun monomo ismo.
Supongamos que C0/ m(S)no coincide con su cuad ado. Se iene que M=
(C0/C02)/ m(S)es dis in o de ce o y po an o exis e h:C0→Mno nula al
que h m= 0.
Se e i ica que (M, 0,0) es un módulo c uzado ya que se iene (c+ m(S))
(c0+ m(S)) = cc0+ m(S) = 0 y po an o se sa is ace la iden idad de Pei e .
Como (h, 0) = ( m, id) = (0,0)( m, id)se iene que ( m, id)no es un
epimo ismo y po an o ( , g) ampoco lo es.
Pa a e que (C)es un ideal de C0conside emos c∈Cyc0∈C0. Debemos
comp oba que exis e d∈C al que (d) = (c)c0:
(c)c0= m( e(c))c0= m( e(c)) e(d) = e(c) e(d) = e(cd) = m( e(cd) =
(cd), donde d∈C.
De inición 26 Se dice que un módulo c uzado (C, R, ν)es p oyec i o si e-
i ica que dado un epimo ismo egula (G, H, ω)(G0, H0, ω0)y o o mo -
ismo (C, R, ν)→(G0, H0, ω0), en onces exis e un único mo ismo (C, R, ν)→
(G, H, ω)que hace conmu a i o el siguien e diag ama:
(C, R, ν)



''
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
(G, H, ω)////(G0, H0, ω0)
20 1 P opiedades ca egó icas de XModK
Un mo ismo de n-cubos c uzados es una amilia de homomo ismos de
álgeb as conmu a i as, pa a I⊆< n > I:MI→M0
I,que conmu an con las
µi, µ0
iyh, h0.Se iene en onces una ca ego ía de n-cubos c uzados, deno ada
po C sn.
De inición 39 Sea Cuna ca ego ía con cuad ados ca esianos. Una ca ego ía
in e na en Ces una séx upla (A, O, s, , e, m)donde AyOson obje os de Cy
s, , m, e son mo ismos, s, :A→O, e :O→A, m :A×OA→A(A×OA
deno a el obje o que apa ece al cons ui el cuad ado ca esiano ela i o a los
mo ismos ys), sa is aciendo que los siguien es diag amas sean conmu a i os:
(Ap opo ciona los mo ismos de la ca ego ía in e na, Olos obje os, mla com-
posición, ela lecha iden idad pa a cada mo ismo y sy los obje os dominio
y ango pa a cada mo ismo.)
A×OA×OA
idA×m

m×idA//A×OA
m

A×OAm//A
(asocia i idad de la composición)
O×OA
p
''
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
e×idA//A×A
m

idA×e//A×OO
q
wwoooooooooooo
A
(aplicación iden idad)
donde pyqson las p oyecciones ob ias p(x, ) = , q( , y) = . Además edebe
se una sección de sy , es deci , se = e =idO[23].
Teo ema 40 Los siguien es concep os son equi alen es:
i)Módulo c uzado.
ii)ca 1-álgeb a.

1.2 De iniciones equi alen es de módulo c uzado 21
iii) 1-cubo.
i )Ca ego ía in e na en la ca ego ía de K-álgeb as conmu a i as.
Demos ación:
A con inuación se mues an las cons ucciones que dan luga a equi alencias
de ca ego ías.
i)⇒ii)
Sea (C, R, ν)un módulo c uzado. Tenemos el siguien e obje o simplicial
uncado:
CoRd0
⇒
d1
Rdonde las degene aciones son d0(c, ) = , d1(c, ) = +ν(c)y la
ca a es s( ) = (0, ).
Si de inimos s1, 1:CoR→CoR, s1=s◦d0y 1=s◦d1 enemos un
ca 1-álgeb a:
• 1s1=sd1sd0=sd0=s1(usando las iden idades simpliciales).
•s1 1=sd0sd1=sd1= 1.
•Sean (c, )∈ke s1,(c0, 0)∈ke 1:
(c, )∈ke s1⇒s1(c, ) = (0, ) = 0 ⇒ = 0.
(c0, 0)∈ke 1⇒ 0+ν(c0) = 0 ⇒ 0=−ν(c0).
(c, )(c0, 0) = (cc0+ c0+ 0c, 0) = (cc0−ν(c0)c, 0) = (cc0−c0c, 0) = 0.
ii)⇒i)
Tenemos As1
⇒
1
Aun ca 1-álgeb a. De inimos C= ke 1yR= Im s1.
(C, R, s1)es un módulo c uzado:
•Rac úa sob e Cde iniendo la acción de o ma na u al: si ∈Im s1y
c∈ke 1, ·c=s1( 0)·c=s1( 0)c∈ke 1.
•s1( c) = s1(c)ya que se e i ica s1( c) = s1( )s1(c) = s1(s1( 0))s1(c) =
s1( 1(s1( 0)))s1(c) = 1(s1( 0))s1(c) = s1( 0)s1(c) = s1(c).
•s1(c)c0=cc0⇔(s1(c)−c)c0= 0.Como c0∈ke 1, po la úl ima condición
de ca n-g upo, bas a e que s1(c)−c∈ke s1:
22 1 P opiedades ca egó icas de XModK
s1(s1(c)−c) = s1s1(c)−s1(c) = s1(c)−s1(c) = 0.
i)⇒iii)
Sea (C, R, ν)un módulo c uzado. De inimos M{1}=CyM∅=R, que jun o
con el mo ismo del módulo c uzado e i ican i ialmen e que cons i uyen un
1-cubo.
iii)⇒i)
Dado un 1-cubo enemos el siguien e módulo c uzado: (M{1}, M∅, µ1).Va-
mos a comp oba lo:
•M∅ac úa sob e M{1}median e h.
•µ1( a) = µ1(h( , a)) = h(µ1( ), µ1(a)) = h( , µ1(a)) = µ1(a).
•µ1(a)a0=h(µ1(a), a0) = h(a, a0) = aa.
i)⇒i )
Sea (C, R, ν)un módulo c uzado. Conside amos CoRy de inimos las
aplicaciones s, :CoR→Rye:R→CoRmedian e s(c, ):= , (c, ) :=
+ν(c)ye( ) := (0, ). Se iene que s, yeson cla amen e homomo ismos:
•s((c, )+(c0, 0)) = s(c+c0, + 0) = + 0=s(c, ) + s(c0, 0).
s((c, )(c0, 0)) = s( 0c+ c0+cc0, 0) = 0=s(c, )s(c, 0).
s(λ(c, )) = s(λc, λ ) = λ =λs(c, ).
• ((c, )+(c0, 0)) = (c+c0, + 0) = + 0+ν(c+c0) = +ν(c)+ 0+ν(c0) =
(c, ) + (c0, 0).
((c, )(c0, 0)) = ( 0c+ c0+cc0, 0) = 0+ν( 0c+ c0+cc0) = 0+
ν(c0) + 0ν(c) + ν(c)ν(c0) = ( +ν(c))( 0+ν(c0)) = (c, ) (c0, 0).
(λ(c, )) = (λc, λ ) = λ +ν(λc) = λ +λν(c)) = λ( +ν(c)) = λ (c, ).
•e( + 0) = (0, + 0) = (0, ) + (0, 0) = e( ) + e( 0).
e( 0) = (0, 0) = (0, )(0, 0) = e( )e( 0).
e(λ ) = (0, λ ) = λ(0, ) = λe( ).
1.2 De iniciones equi alen es de módulo c uzado 23
Además ees una sección de sy de :se( ) = s(0, ) = ; e( ) = (0, ) =
+ν(0) = .
Sólo al a de ini una composición. Pa a ello debemos ene en cuen a que
los obje os ienen dados po los elemen os de Ry los mo ismos po los ele-
men os de CoR. Además, sy p opo cionan los obje os dominio y ango
espec i amen e. Po an o, se puede de ini la composición de la siguien e
mane a:
(c, )//
(c+c0, )&&
L
L
L
L
L
L +ν(c)
(c0, +ν(c))

+ν(c0) + ν(c)
es deci , (c0, +ν(c)) ◦(c, ) := (c+c0, ). Es a composición iene sen ido ya
que s(c0, +ν(c)) = +ν(c) = (c, )y, además, como νes un homomo ismo
se iene que ν(c+c0) = ν(c) + ν(c0). Comp oba la asocia i idad y que ◦es un
homomo ismo es inmedia o.
i )⇒i)
Sea (As
⇒
O, O e
→A, ◦)una ca ego ía in e na. Se puede de ini una acción
de Osob e ke smedian e o·k=e(o)kpa a o∈O, k ∈ke s.
Además, cada a∈Ase puede esc ibi a=k+e(o), donde k=a−(es(a)) ∈
ke s, o =s(a).Hay una aplicación φ:A→ke soO, φ(k+e(o)) = (k, o).
Es a aplicación es un homomo ismo:
φ(aa0) = φ((k+e(o))(k0+e(o0))) = φ(ke(o0) + k0e(o) + kk0+e(o)e(o0)) =
φ(ko0+k0o+kk0+e(oo0)) = (ko0+k0o+kk0, oo0) = (k, o)(k0, o0) = φ(a)φ(a0).
Además, φ iene una in e sa, φ−1: ke s×O→A, φ−1(k, o) := k+e(o),
que ambién es un homomo ismo.
Po an o φes un isomo ismo y A∼
=ke s×O.
De inimos ν: ke s→Ocomo la es icción de ake s, es deci , ν= |ke s.
νes un homomo ismo ya que lo es.
24 1 P opiedades ca egó icas de XModK
Tenemos que ν(ok) = (ok) = (e(o)k) = (e(o)) (k) = o (k) = oν(k).
Solo al a comp oba la iden idad de Pei e pa a ene un módulo c uza-
do (ke s, O, ν).Sabemos que ((k0, ν(k) + o)·(l0, ν(l) + p)) ◦((k, o)·(l, p)) =
((k0, ν(k) + o)◦(k, o)) ·((l0, ν(l) + p)◦(l, p)).
Desa ollando ambos é minos enemos :
LD: (k0+k, o)·(l0+l, p) = ((k0+k)(l0+l) + p(k0+k) + o(l0+l), op) =
(k0l0+k0l+kl0+kl +pk0+pk +ol0+ol, op).
LI: (k0l0+ (ν(l) + p)k0+ (ν(k) + o)l0,(ν(k) + o)(ν(l) + p)) ◦(kl +pk +ol, op) =
(k0l0+(ν(l)+p)k0+(ν(k)+o)l0,(ν(k)ν(l)+ν(k)p+oν(l)+op)◦(kl+pk+ol, op) =
(k0l0+ (ν(l) + p)k0+ (ν(k) + o)l0+kl +pk +ol, op) = (k0l0+ν(l)k0+pk0+
ν(k)l0+ol0+kl +pk +ol, op).
Así enemos la igualdad k0l+kl0=ν(l)k0+ν(k)l0y omando k= 0 se iene
la iden idad de Pei e : k0l=ν(l)k0.
1.3 T ipleabilidad 25
1.3. T ipleabilidad
En una ca ego ía Cun iple es una e na T= (T, η, µ) o mada po un
endo un o T:C → C y dos ans o maciones na u ales, la unidad η:idC→T
y la mul iplicación µ:TT →T, sa is aciendo las siguien es igualdades:
•µ(ηT) = µ(Tη) = idT.
•µ(µT) = µ(T µ).
Un co iple en C,G= (G, ε, µ),es un iple en Cop.
Además, si enemos un pa de un o es F:C → B, U :B → C ales que F
es adjun o po la izquie da de U, en onces se iene un iple T= (UF, η, UεF)
en Cy un co iple G= (FU, ε, FηU)en B, donde η:idC⇒UF, ε :FU ⇒idB
son la unidad y counidad de adjunción.
Hil on conje u ó que odo iple p o iene de una adjunción, y es o ue
p obado casi simul áneamen e po Eilenbe g y Moo e y po Kleisli. Dado un
iple T= (T, η, µ)Eilenbe g y Moo e cons uye on la ca ego ía de T-álgeb as
CT. Una T-álgeb a es un pa (A, a)donde Aes un obje o de Cya:T(A)→A
es una lecha e i icando que aηA=idAyaT(a) = aµA.
Se dice que A iene es uc u a de T-álgeb a median e la aplicación a. Si
AyA0 iene es uc u a de T-álgeb as dadas po aya0en onces, una lecha
:A→A0en Cse dice que es un mo ismo de T-álgeb as si el siguien e
diag ama es conmu a i o:
T(A)
a

T( )//T(B)
a0

A //A0
La ca ego ía CTde T-álgeb as iene a las T-álgeb as como obje os y a los
mo ismos de T-álgeb as como lechas.

26 1 P opiedades ca egó icas de XModK
De inimos UT:CT−→ C po UT(A, a) = A, UT = yFT:C → CTpo
FTA= (TA, µA), F T =T donde µ=UεF. Esos dos un o es son ambién
adjun os.
La ca ego ía CTes inal en e odas las posibles adjunciones cuyo iple
asociado sea T. Así, el pa de un o es FT, UTes uni e sal en el sen ido de
que, si enemos cualquie o o pa de un o es adjun os F:C → B, U :B → C
ales que el iple que inducen es ambién T, en onces exis e un único un o
φ:B → CT al que UT◦φ=Uyφ◦F=FT.El un o φse llama un o de
compa ación de Eilenbe g-Moo e.
Un un o U:B → C se dice que es ipleable cuando iene un adjun o po
la izquie da pa a el cual el co espondien e un o de compa ación de Eilenbe g-
Moo e es una equi alencia de ca ego ías. Si Ues un o “na u al” en e ByC
ambién se dice que Bes ipleable sob e C. Lo que que emos demos a es que
XModKes ipleable sob e Se .
La ca ego ía que cons uye Kleisli [40], que se deno a po K(T)oCT, iene
como obje os los mismos que C. Pa a las lechas de inimos HomCT(A, A0) =
HomC(A, TA0).Si enemos :A→TA0∈HomCT(A, A0)yg:A0→TA00 ∈
HomCT(A0, A00), en onces g◦ es la composición:
A //TA0T g //T2A00 µA00
//TA00
De inimos UT:CT−→ C po UT(A) = T(A)y si ∈HomCT(A, A0),
en onces UT es la composición:
TA T //T2A0µA0
//TA0
De inimos FT:C −→ CTpo FT(A) = Ay si ∈HomC(A, A0), en onces
FT es la composición:
AηA //TA0T 0
//TA0
o lo que es lo mismo:
A //A0ηA0
//TA0
1.3 T ipleabilidad 27
Es os dos un o es son adjun os y el iple que inducen es T. Además, la
ca ego ía CTes inicial en e aquellas adjunciones cuyo iple asociado es T.
Se e i ica que si enemos un pa de un o es adjun os UyFque inducen un
iple T= (UF, η, UεF), en onces exis e un único un o ψ:CT→ B al que
U◦ψ=UTyψ◦FT=F;dicho un o se llama un o de compa ación de
Kleisli.
CTse encaja en CT. De hecho CTes equi alen e a una subca ego ía comple a
de CTgene ada po las álgeb as lib es, FT:
CT//FT⊆ CT
A//

(T(A), µA)
µA0◦T( )

A0//(T(A0), µA0)
De inición 41 Un pa (p, q)se dice que es una elación de cong uencia o
pa -núcleo si exis e un mo ismo al que
•p//
q

•

• //•
es un cuad ado ca esiano.
De inición 42 Sea F:A→Bun un o y Bun obje o de B. Una e lexión
de Ba lo la go de Fes un pa (RB, ηB) al que:
•RBes un obje o de AyηB:B→F(RB)es un mo ismo de B.
•Si R0
Bes o o obje o de Ayb:B→F(R0
B)es un mo ismo de B,
en onces exis e un único mo ismo a:RB→R0
Bya0:R0
B→RB al que
F(a)◦ηB=b.
Teo ema 43 Conside amos dos un o es F:A → B yG:B → A.Ges
adjun o po la izquie da de Fsi, y solo si, exis e una ans o mación na u al
η: 1B⇒F◦G al que pa a cada B∈ B,(RB, ηB)es una e lexión de Ba lo
la go de F[10].
28 1 P opiedades ca egó icas de XModK
Teo ema 44 (Lin on) [9]
Un un o U:D → Se es ipleable si, y solo si, U iene un adjun o po
la izquie da y se sa is acen las es condiciones siguien es:
a)Dposee pa es-núcleo y coigualado es.
b)p:Y→Zmo ismo en Des un coigualado ⇔Up :UY →UZ es un
coigualado .
c)Xs
⇒
Yes un pa -núcleo ⇔UX Us
⇒
U
UY es un pa -núcleo, donde sy
deno an mo ismos en D.
Si enemos un álgeb a H, conside amos su aumen ación Hε
→Z.En la
ca ego ía de álgeb as conmu a i as con unidad, Conm1,el cop oduc o es el
p oduc o enso , H∗I=H⊗I. Pa a e quien es el cop oduc o en la ca e-
go ía de álgeb as conmu a i as sin unidad, Conm, u iliza emos una adjunción
en e es a ca ego ía y la de álgeb as conmu a i as con unidad aumen adas,
Conm1au :
F:Conm →Conm1au
H H⊕Z
G:Conm1au →Conm
(H, ε) ke ε
G◦F(H) = ke (H⊕Z→Z) = H.
G◦F(H∗I) = G((H⊕Z)∗(I⊕Z)) = G((H⊕Z)⊗(I⊕Z)) = G((H⊗Z)⊕
(Z⊗I)⊕(H⊗I)⊕(Z⊗Z)) = G(H⊕I⊕(H⊗I)⊕Z) = H⊕I⊕(H⊗I).
Vamos a e como es el p oduc o en H⊕I⊕(H⊗I).Tomamos (a, b, a0⊗
b0),(c, d,c0⊗d0)∈H⊕I⊕(H⊗I) :
(a, b, a0⊗b0)(c, d, c0⊗d0)≡(a, b, a0⊗b0,0)(c, d, c0⊗d0,0) = ((a, 0) ⊗(0,1) +
(0,1) ⊗(b, 0) + (a0,0) ⊗(b0,0))((c, 0) ⊗(0,1) + (0,1) ⊗(d, 0) + (c0,0) ⊗(d0,0));
amos a descompone es e p oduc o en nue e sumandos:
i) ((a, 0) ⊗(0,1))((c, 0) ⊗(0,1)) = (ac, 0) ⊗(0,1) = (ac ⊗1,0,0,0).
ii) ((a, 0) ⊗(0,1))((0,1) ⊗(d, 0)) = (a, 0) ⊗(d, 0) = (0,0, a ⊗d, 0).
1.3 T ipleabilidad 29
iii) ((a, 0) ⊗(0,1))((c0,0) ⊗(d0,0)) = (ac0,0) ⊗(d0,0) = (0,0, ac0⊗d0,0).
i ) ((0,1) ⊗(b, 0))((c, 0) ⊗(0,1)) = (c, 0) ⊗(b, 0) = (0,0, c ⊗b, 0).
) ((0,1) ⊗(b, 0))((0,1) ⊗(d, 0)) = (0,1) ⊗(bd, 0) = (0,1⊗bd, 0,0).
i) ((0,1) ⊗(b, 0))((c0,0) ⊗(d0,0)) = (c0,0) ⊗(bd0,0) = (0,0, c0⊗bd0,0).
ii) ((a0,0) ⊗(b0,0))((c, 0) ⊗(0,1)) = (a0c, 0) ⊗(b0,0) = (0,0, a0c⊗b0,0).
iii) ((a0,0) ⊗(b0,0))((0,1) ⊗(d, 0)) = (a0,0) ⊗(b0d, 0) = (0,0, a0⊗b0d, 0).
ix) ((a0,0)⊗(b0,0))((c0,0)⊗(d0,0)) = (a0c0,0)⊗(b0d0,0) = (0,0, a0c0⊗b0d0,0).
Po an o, (a, b, a0⊗b0)(c, d, c0⊗d0) = (ac, 0,0)+(0,0, a⊗d)+(0,0, ac0⊗d0)+
(0,0, c⊗b)+(0, bd, 0)+(0,0, c0⊗bd0)+(0,0, a0c⊗b0)+(0,0, a0⊗b0d)+(0,0, a0c0⊗
b0d0) = (ac, bd, a ⊗d+ac0⊗d0+c⊗b+c0⊗bd0+a0c⊗b0+a0⊗b0d+a0c0⊗b0d0).
Conside emos H1⊆H∗H=H⊕H⊕(H⊗H), o mado po los elemen os
de la o ma (h, 0,0). H1no es un ideal de H⊕H⊕(H⊗H).Si deno amos po
Hel meno ideal que con iene a H1, se puede comp oba que és e es el núcleo
de la aplicación π2:H⊕H⊕(H⊗H)→H, π2(a, b, c ⊗d) = b:
“⊆”
Como ke π2es un ideal de H⊕H⊕(H⊗H)bas a comp oba que H1⊆
ke π2,lo cual es i ial ya que π2(h, 0,0) = 0.
“⊇”
Sea (a, b, c ⊗d)∈ke π2⇒b= 0.(a, 0, c ⊗d)∈Hya que (a, 0, c ⊗d) =
(a, 0,0) + (0,0, c ⊗d).
Además, como Hes un ideal de H⊕H⊕(H⊗H), si conside amos la
inclusión in :H ,→H⊕H⊕(H⊗H) enemos que (H, H ⊕H⊕(H⊗H), in)
es un módulo c uzado.
Sean u1:H ,→H⊕H⊕(H⊗H), u2:H ,→H⊕H⊕(H⊗H), u3:H⊗H ,→
H⊕H⊕(H⊗H)las inyecciones, u1(h) = (h, 0,0), u2(h) = (0, h, 0), u3(h⊗h0) =
(0,0, h⊗h0).Como π2◦u1= 0,u1se ac o iza po H; es deci , exis e u:H→H
al que in ◦u=u1.Como u1es inyec i a, u ambién lo es.
Teo ema 45 El un o de ol ido U:XModK→K-Alg, U(C, R, ν) = C×R,
iene un adjun o po la izquie da, F:K-Alg →XModK, F(H)=(H, H ⊕
H⊕(H⊗H), in).
36 1 P opiedades ca egó icas de XModK
Po cons ucción, (i, j)es el único mo ismo que e i ica que (i, j)◦(p1, p2) =
(ϕ, ψ).Solo queda po comp oba que (i, j)es un mo ismo de módulos c uza-
dos, pe o es o se iene a pa i de que (ϕ, ψ)lo es.
Además, ( , g)◦(p1, p2) = ( , g)y po an o ( , g) ambién es el coigualado
de (π1
C, π1
R),(π2
C, π2
R).
Con es o hemos demos ado no sólo que U e leja coigualado es, si no am-
bién que oda mo ismo de módulos c uzados sob eyec i o es un coigualado .
c)U iene adjun o po la izquie da ⇒conse a cuad ados ca esianos ⇒
conse a pa es-núcleo.
Vamos a e que U e leja pa es-núcleo. Supongamos que dos mo ismos
( , g),( 0, g0) : (C00, R00, ν00)→(C, R, ν)son un pa núcleo en Se .
Es o signi ica que ( ×g, 0×g0) : C00 ×R00 →(C×R)×(C×R)es una
aplicación inyec i a y su imagen es una elación de equi alencia en C×R;es
deci , ( , 0) : C00 →C×Cy(g, g0) : R00 →R×Rson inyec i as y sus imágenes
son elaciones de equi alencia en CyR espec i amen e.
Deno amos G=im( , 0),H=im(g, g0); enemos la cong uencia (G,H, ν×
ν)y conside amos la aplicación cocien e:
(p1, p2) : (C, R, ν)→(C/G, R/H, ν).
Además, se iene un isomo ismo de módulos c uzados:
(( , 0),(g, g0)) : (C00, R00, ν00)→(C×C/GC, R ×R/HR, ν ×ν).
Es inyec i o po que ( , 0)y(g, g0)lo son, y es sob eyec i o po la de inición
de GyH;C×C/GC={(c, c0)∈C×C/cGc0}={(c, c0)∈C×C/(c, c0)∈
Im( , 0)}, R ×R/HR={( , 0)∈R×R/ H 0}={( , 0)∈R×R/( , 0)∈
Im(g, g0)}.
Como el siguien e cuad ado es ca esiano (debido a que C×C/GC≡C/G ×
C/G, R ×R/HR≡R/H × R/H) :
(C×C/GC, R ×R/HR, ν ×ν)
( 0,g0)//
( ,g)

(C, R, ν)
(p1,p2)

(C, R, ν)(p1,p2)//(C/G, R/H, ν)

1.3 T ipleabilidad 37
( , g),( 0, g0) : (C00, R00, ν00)→(C, R, ν)es el pa -núcleo del mo ismo (p1, p2) :
(C, R, ν)→(C/G, R/H, ν).
38 1 P opiedades ca egó icas de XModK
1.4. P opiedades ca egó icas
1.4.1. Ca ego ías semiabelianas
Una ca ego ía Cse dice que es abeliana si:
• C iene p oduc os ini os y obje o ce o.
•Todo mo ismo de Cse ac o iza en un conúcleo seguido de un núcleo, es
deci , iene ac o izaciones en epimo ismo no mal-monomo ismo no mal.
Es as dos condiciones implican que Csea adi i a.
La noción de ca ego ía abeliana e leja las p opiedades algeb aicas ípicas de
g upos abelianos y módulos. Como analogía a es e concep o se in en a busca
una noción de ca ego ía semiabeliana que e leje las p opiedades de g upos,
anillos y álgeb as. És e se á el ma co adecuado pa a un a amien o ca egó ico
de la eo ía del adical y conmu ado , la eo ía de homología de es uc u as no
abelianas y el desa ollo de eo emas de isomo ía y descomposición.
Con es e inalidad su ge el concep o de ca ego ía Ba -exac a: una ca ego ía
Cse dice que es Ba -exac a o egula e ec i a si e i ica que:
• C iene lími es ini os.
• C iene un sis ema de ac o ización en epimo ismo egula -monomo ismo
es able po cuad ados ca esianos.
•Todas las elaciones de equi alencia son e ec i as.
Una elación de equi alencia en un obje o Ade C iene dada po un pa de
mo ismos , 0:R→Apa a los cuales las aplicaciones Hom(X, ), Hom(X, 0)
son las p oyecciones de una elación de equi alencia en el conjun o Hom(X, A)
pa a odo obje o Xde C. Se dice que es e ec i a si es á inducida po un mo -
ismo :A→B, es deci , si es el pa núcleo de algún [11].
1.4 P opiedades ca egó icas 39
P oposición 49 Sea , 0:R→Auna elación de equi alencia. Si hay una
es uc u a en el cocien e A/R al que p:A→A/R es un mo ismo, en onces
la elación de equi alencia es e ec i a.
Demos ación:
Como R=A×A/R A, si pes un mo ismo, en onces la elación de equi alencia
es un mo ismo. 
Pa a una ac o ización en epimo ismo egula -monomo ismo =me en
una ca ego ía C, el mo ismo ees necesa iamen e el coigualado del pa núcleo
de , siemp e que es e exis a. Recíp ocamen e, si ees el coigualado del pa
núcleo de ymel mo ismo al que =me, en onces mes un monomo ismo
si odos los cuad ados ca esianos de eson épicos, ya que el pa núcleo de m
debe se i ial. Usando es o y el hecho de que los diag amas:
B
g

A //C
A×B
(1A,g)×1B

A×B(1A, )×1B//A×C×B
ienen lími es isomo os, las dos p ime as condiciones se pueden e o mula de
la siguien e mane a:
• C iene p oduc os ini os.
• C iene cuad ados ca esianos de pa es de monomo ismos o os.
• C iene coigualado es de pa es núcleo.
•Los epimo ismos egula es son es ables po cuad ados ca esianos.
Se e i ica que las ca ego ías Ba -exac as y adi i as son las ca ego ías
abelianas. Sin emba go, su gene alidad, conduce a que es e concep o no sea
40 1 P opiedades ca egó icas de XModK
su icien emen e es ic i o pa a cap u a las p opiedades ípicas que dis inguen
a g upos, anillo y álgeb as de conjun os con pun o, monoides o e ículos.
La noción de ca ego ía semiabeliana combina la condición de Ba -exac a
con la siguien e p opiedad:
Lema 50 (co o de los cinco)
Pa a odo diag ama conmu a i o:
L
u

l//F
w

q//C

Kk//Ep//B
con epimo ismos egula es p,qyk,lsus núcleos, wes un isomo ismo si uy
son isomo ismos.
En el caso de ca ego ías Ba -exac as es su icien e pedi es a p opiedad
pa a epimo ismos o os, y se puede o mula sin hace e e encia al obje o
ce o y a núcleos, usando simplemen e cuad ados ca esianos. Es a es la noción
de ca ego ía p o omodula en el sen ido de Bou n.
Lema 51 (co o o o de los cinco)
Pa a odo diag ama conmu a i o:
L
u

l//F
w

q//C

Kk//Ep//B
en Ccon k= ke pyl= ke q; en onces wes un isomo ismo si uy son
isomo ismos y pyqson epimo ismos o os.
1.4 P opiedades ca egó icas 41
De inición 52 Una ca ego ía es semiabeliana si es Ba -exac a, p o omodula
en el sen ido de Bou n, con cop oduc os ini os y obje o ce o. O lo que es lo
mismo, si e i ica que [33]:
i)C iene p oduc os y cop oduc os bina ios y obje o ce o.
ii)C iene cuad ados ca esianos de monomo ismos o os.
iii)C iene coigualado es de pa es núcleo.
i )Se e i ica el lema co o o o de los cinco en C.
)Los epimo ismos egula es en Cson es ables po cuad ados ca esianos.
i)Las elaciones de equi alencia en Cson e ec i as.
Se e i ica que las ca ego ías Ba -exac as y semiadi i as son las ca ego ías
semiabelianas, en el caso de ca ego ías con pun o. Al con a io que ocu e con
la abelianidad, la semiabelianidad no es au odual, pe o se e i ica que:
(semiabeliana)+(semiabeliana)op =(abeliana).
Ejemplo 53 Las ca ego ías abelianas son semiabelianas, ya que las ca ego ías
abelianas son las Ba -exac as adi i as. La ca ego ía de g upos es un ejemplo
de ca ego ía semiabeliana, pe o que no es abeliana.
Ejemplo 54 Ω-g upos. Toda a iedad de álgeb as uni e sales, pa a una eo ía
T, induce una ca ego ía Ba -exac a T-Alg(Se ). Además, cada a iedad de Ω-
g upos (es deci , una a iedad de álgeb as uni e sales con es uc u a subyacen e
de g upo al que el subg upo i ial es una subálgeb a) es p o omodula , y po
an o semiabeliana.
Tenemos en onces que muchas ca ego ías algeb aicas clásicas ales como
anillos (no necesa iamen e uni a ios), álgeb as de Lie o álgeb as de Jo dan,
son semiabelianas.

42 1 P opiedades ca egó icas de XModK
Ejemplo 55 XModKes una ca ego ía semiabeliana; amos a e que e i ica
los seis axiomas:
i)Hemos is o en la p ime a sección que XModK iene p oduc os bina-
ios. Además, po se es a una ca ego ía algeb aica es comple a y cocomple a y
po an o iene cop oduc os bina ios [30]. El obje o ce o es el módulo c uzado
(0,0,0).
ii)XModK iene cuad ados ca esianos; en pa icula , los iene de monomo -
ismos o os.
iii)XModK iene coigualado es; en pa icula , los iene de pa es núcleo.
i )Conside emos el diag ama conmu a i o de módulos c uzados:
ke ( , 0)
(u00, 00)

( , 0)k
//(C, R, ν)
(u0, 0)

( , 0)//(C0, R0, ν0)
(u, )

ke (g, g0)(g,g0)k
//(D, S, µ)(g,g0)//(D0, S0, µ0)
con (u00, 00),(u, )isomo ismos y ( , 0),(g, g0)epimo ismos o os. Pa a e
que (u0, 0)es un isomo ismo bas a aplica el lema de los cinco co o o o en
la ca ego ía de álgeb as conmu a i as a los diag amas:
ke
u00

k
//C
u0

//C0
u

ke ggk
//Dg//D0
ke 0
00

0k
//R
0

0
//R0

ke g0g0k
//Sg0
//S0
)Conside emos los módulos c uzados y mo ismos siguien es:
1.4 P opiedades ca egó icas 43
( , 0) : (C0, R0, ν0)→(C, R, ν),(g, g0) : (C00, R00, ν00)→(C, R, ν).
El cuad ado ca esiano de ( , 0)y(g, g0) :
(X, Y, µ)
(j,j0)


(i,i0)//(C00, R00, ν00)
(g,g0)

(C0, R0, ν0)( , 0)//(C, R, ν)
iene dado po los siguien es cuad ados ca esianos de álgeb as conmu a i as:
X
j


i//C00
g

C0 //C
Y
j0


i0
//R00
g0

R0 0
//R
El mo ismo µ:X→Yac úa de la o ma µ(x, y)=(ν0(x), ν(y)),pa a
(x, y)∈X⊆C0×C00.
Si ( , 0)es un epimo ismo egula , y 0lo son en álgeb as conmu a i as.
Como en es a ca ego ía se conse an los epimo ismos egula es po cuad ados
ca esianos i, i0 ambién lo son y, po an o, (i, i0)es un epimo ismo egula
en XModK.
i)En XModKla p oyección en el cocien e es un mo ismo de módulos
c uzados y en onces, po la úl ima p oposición, odas las elaciones de XModK
son e ec i as.
44 1 P opiedades ca egó icas de XModK
1.4.2. Ca ego ías de in e és
O zech de ine el concep o de ca ego ía de in e és [44] y es udia p opiedades
de es e ipo de ca ego ías. La ca ego ía XModKno es una ca ego ía de in e és
ya que no cumple uno de sus axiomas:
•Si w∈Ω1 {−} y∗ ∈ Ω2 {+},en onces
w(a∗b) = w(a)∗b,
donde Ωideno a las ope aciones i-a ias pa a i= 1,2.
Veamos que e ec i amen e XModKno cumple es e axioma. Pa a ello se
debe ene en cuen a la equi alencia exis en e en e módulos c uzados sob e
álgeb as conmu a i as y ca 1-álgeb as.
Sea (C, R, ν)un módulo c uzado. La ca 1-álgeb a inducida es el álgeb a
CoRcon los mo ismos s, :CoR→CoRque ac úan de la mane a
siguien e sob e (c, )∈CoR:
s(c, ) = (0, ).
(c, ) = (0, +ν(c)).
Es as aplicaciones sy son las ope aciones 1-a ias, mien as que la suma
y el p oduc o de CoRcomo álgeb a son las ope aciones 2-a ias.
s((c1, 1)∗(c2, 2)) = s(c1c2+ 2c1+ 1c2, 1 2) = (0, 1 2).
s(c1, 1)∗(c2, 2) = (0, 1)∗(c2, 2) = ( 1c2, 1 2).
Po an o, omando 1∈Ryc2∈C ales que 1c26= 0 no se e i ica el
axioma.
La ca ego ía de módulos c uzados de g upos sí es una ca ego ía de in e és.
Es e hecho mo i a que el es udio de XModK enga di e encias undamen ales
con el es udio de módulos c uzados de g upos.
1.4 P opiedades ca egó icas 45
1.4.3. Ca ego ías ca esianas ce adas
El hecho de que una ca ego ía C enga p oduc os y cop oduc os ini os
es equi alen e a que enga p oduc os, cop oduc os, obje o e minal y obje o
inicial. El obje o inicial y el cop oduc o dan, espec i amen e, los adjun os po
la izquie da de los un o es:
C → 0C → C × C
C7→ 0C7→ (C, C)
mien as que el obje o e minal y el p oduc o p opo cionan sus adjun os po
la de echa.
De inición 56 Una ca ego ía Ccon p oduc os ini os se dice que es ca esiana
ce ada cuando los un o es:
φ:C → 0θ:C → C × C η:C×B
−→ C
C7→ 0C7→ (C, C)C7→ C×B
ienen un adjun o a la de echa.
Teo ema 57 La ca ego ía XModKes una ca ego ía ca esiana ce ada.
Demos ación:
i)Conside amos el un o φ0:0→XModK al que φ0(0) = (0,0,0). Es e
un o es i ialmen e adjun o de φa la de echa. Debe no a se que (0,0,0) es
el obje o e minal de XModK.
ii)Conside amos el un o θ0:XModK×XModK→XModKdado po
θ0((C, R, ν),(C0, R0, ν0)) = (C, R, ν)×(C0, R0, ν0). Es e un o es adjun o de θa
la de echa ya que dado o o módulo c uzado (G, H, ω), exis e un isomo ismo:
Hom(((G, H, ω),(G, H, ω)),((C, R, ν),(C, R, ν),(C0, R0, ν0))) ∼
=
Hom((G, H, ω),(C, R, ν)×(C, R, ν),(C0, R0, ν0))
52 2 Cons ucciones en la ca ego ía
Además, Aes un M(A)-módulo, con la acción dada po :
M(A)×A→A
(λ, a)7−→ λ(a)
Conside amos aho a el mo ismo Aγ
→M(A)
a7−→ γadonde γa(a0) = aa0.
ke γ={a|aa0= 0 pa a odo a0∈A}=Ann(A).
Im γ=Mul iplicaciones in e io es de A.
(A, M(A), γ)es un módulo c uzado:
•γ(λa) = γ(λ(a)) = γλ(a)∈M(A), y es a mul iplicación coincide con
λγ(a) = λγaya que dado a0∈Ase iene γλ(a)(a0) = λ(a)a0=λ(aa0) = λγa(a0).
•γ(a)a0=γaa0=γa(a0) = aa0.
De inición 63 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado dado. Una mul iplicación de
(C, R, ν)es un pa ( , g) : (C, R, ν)→(C, R, ν) al que:
i) ∈M(C), g ∈M(R).
ii)gν =ν .
iii) ( c) = (c) = g( )cpa a odo c∈C, ∈R.
El conjun o de las mul iplicaciones de un módulo c uzado (C, R, ν)se de-
no a po M(C, R, ν).Es e conjun o iene es uc u a de K-álgeb a con las ope-
aciones [4]:
•( , g)+( 0, g0) = ( + 0, g +g0).
•k( , g) = (k , kg).
•( , g)◦( 0, g0) = ( ◦ 0, g ◦g0).
De inición 64 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado. Se deno a po U(R, C)el
conjun o de odas las aplicaciones lineales d:R→C ales que d( 0) = d( 0)
si , 0∈R.

2.1 El ac o de un módulo c uzado 53
Si d∈U(R, C)se ienen mul iplicaciones σd∈M(R), θd∈M(C)dadas
po :
σd( ) = νd( ), θd(c) = dν(c).
La comp obación de que son mul iplicaciones es i ial.
P oposición 65 Las mul iplicaciones σd, θd e i ican:
i)θdd=dσd.
ii)σdν=νθd.
iii) (θd, σd)∈M(C, R, ν).
Demos ación:
Sean ∈R, c ∈C:
i)θdd( ) = (dν)d( ) = d(νd( )) = dσd( ).
ii)σdν(c) = (νd)ν(c) = ν(dν(c)) = νθd(c).
iii)θd( c) = dν( c) = d( ν(c)) = dν(c) = θd(c),po an o (θd, σd)∈
M(C, R, ν).
P oposición 66 Sean σdi, θdilas mul iplicaciones asociadas a di∈U(R, C), i =
1,2.
i)Si d=d1+d2en onces σd=σd1+σd2yθd=θd1+θd2.
ii)Si d=kd1en onces σd=kσd1yθd=kθd1.
iii)Si d= (d1◦d2)en onces σd= (σd1◦σd2)yθd= (θd1◦θd2).
Demos ación:
i)Si d=d1+d2,en onces σd( ) = ν(d1+d2)( ) = ν(d1( ) + d2( )) =
ν(d1( ))+ν(d2( )) = σd1( ) + σd2( ).
Y análogamen e θd(c) = θd1(c) + θd2(c).
ii)Si d=kd1,en onces σd( ) = σkd1( ) = ν(kd1)( ) = ν(k(d1( )) =
kν(d1( )) = kσd1( ).
54 2 Cons ucciones en la ca ego ía
Y análogamen e θd(c) = kθd1(c).
iii)Si d= (d1◦d2)en onces σd( ) = σ(d1◦d2)( ) = ν(d1◦d2)( ) =
ν(d1νd2)( ) = νd1(νd2( )) = σd1(νd2( )) = σd1(σd2( )) = (σd1◦σd2)( ).
Y análogamen e θd(c) = (θd1◦θd2)(c).
Po an o, enemos una K-álgeb a (U(R, C),+,·,◦)y homomo ismos:
Γ : U(R, C)→M(R) Φ : U(R, C)→M(C)
d7−→ σdd7−→ θd
Teo ema 67 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado. Conside amos el mo ismo ∆ :
U(R, C)→M(C, R, ν)dado po ∆(d)=(θd, σd).En onces, A(C, R, ν) =
(U(R, C), M(C, R, ν),∆) es un módulo c uzado llamado módulo c uzado ac o .
Demos ación:
Una acción de M(C, R, ν)sob e U(R, C) iene dada po ( , g)·d= d ya que
d( 1 2) = ( 1·d( 2)) = d1ν( 1·d( 2)) = d1( 1νd( 2)) = 1·d1νd( 2)) =
1· d( 2).Po an o d ∈U(R, C).
Aho a, sean ( , g)∈M(C, R, ν), d ∈U(R, C) :
•∆(( , g)d) = ∆( d)=(θ d, σ d) = (( d)ν, ν( d)) = ( dν, gνd)=( , g)◦
(dν, νd) = ( , g)◦(θd, σd) = ( , g)◦∆(d).
•∆(d1)d2= (θd1, σd2) = θd1d2=d1νd2=d1◦d2.
Obse ación 68 El ac o de un módulo c uzado (C, R, ν)sólo exis e cuando
M(C)yM(R) ienen es uc u a de K-álgeb a conmu a i a.
P oposición 69 El mo ismo ( , g) : (C, R, ν)→ A(C, R, ν),donde :C→
U(R, C) iene dado po (c) = c:R→C, c( ) = c yg:R→M(C, R, ν)
iene dado po g( )=(i , j ), i (c) = c, j ( 0) = 0, es un mo ismo de
módulos c uzados.
2.1 El ac o de un módulo c uzado 55
Demos ación:
Tenemos que el siguien e diag ama es conmu a i o:
C
ν

//U(R, C)
∆

Rg//M(C, R, ν)
Además:
•∆ (c)=∆ c( )=(θ c(c0), σ c( )) = ( cν(c0), ν c( )) = (ν(c0)c, ν( c)) =
(c0c, ν(c)) = (ν(c)c0, ν(c) ) = (iν(c)(c0), jν(c)( )) = gν(c).
•g( )◦ (c)( 0)=(i , j ) c( 0) = i c( 0) = i ( 0c) = ( 0c) = 0( c) =
c( 0) = ( c)( 0).
Las imágenes de ygse deno an po E(R, C)yR espec i amen e. La
acción de M(C, R, ν)sob e U(R, C)induce una acción de M(C, R, ν)sob e
E(R, C)dada po ( , g)·ic=i (c).Se puede comp oba ácilmen e que E(R, C)
es un ideal de U(R, C)yRes un ideal de M(C, R, ν).
P oposición 70 La imagen del mo ismo de módulos c uzados ( , g),Im( , g) =
(E(R, C), R, ∆) es un ideal de (U(R, C), M(C, R, ν),∆).
Demos ación:
P ime o eamos que E(R, C)es un ideal de U(R, C)y que Res un ideal de
M(C, R, ν) :
Sean d∈U(R, C)y c∈E(R, C).En onces, (d◦ c)( ) = dν c( ) =
dν( c) = d( ν(c)) = (dν(c)) = dν(c)( )∈E(R, C).
Aho a sean (i, j)∈M(C, R, ν)e(i , j )∈R.
Tenemos que ii (c) = i( c) = dν( c) = d( ν(c)) = d(ν(c) ) = ν(c)d( ) =
cd( ) = d( )c=ν(d( ))c=j( )c=ij( )(c)yjj ( 0) = j( 0) = j( ) 0=
jj( )( 0).
Po an o, ((i, j)◦(i , j )) = (ii , jj ) = (ij( ), jj( ))∈R.
Quedan po comp oba o as dos cosas:
56 2 Cons ucciones en la ca ego ía
•Sean (i, j)∈M(C, R, ν)y c∈E(R, C).Tenemos que (i, j) c( ) =
ic( ) = ( c) = dν( c) = d( ν(c)) = dν(c) = i(c) = i(c)( )∈E(R, C).
•Sean (i , j )∈Ryd∈U(R, C).Tenemos que (i , j )d( 0) = i d( 0) =
d( 0) = d( 0) = d( 0 ) = 0d( ) = d( )( 0)∈E(R, C).
El módulo c uzado (E(R, C), R, ∆) se llama ac o in e io del módulo
c uzado (C, R, ν)y se deno a po I(C, R, ν).Es e obje o es el análogo a las
mul iplicaciones in e io es en la ca ego ía de álgeb as conmu a i as.
Como I(C, R, ν)es un ideal de A(C, R, ν),se puede conside a el módulo
c uzado cocien e A(C, R, ν)/I(C, R, ν)que se llama ac o ex e io del módulo
c uzado (C, R, ν)y se deno a O(C, R, ν).
Ejemplo 71 Si Ies un ideal de Rcon la inclusión i:I ,→R, en onces
A(I, R, i)es el módulo c uzado (U(R, C), X, ∆) donde Xes isomo o a la
subálgeb a de M(C)consis en e en las mul iplicaciones que se es ingen a
mul iplicaciones de I.
Ejemplo 72 Casos especiales del ejemplo an e io son que A(0, R, i)es iso-
mo o a (0, M(R), i)yA(R, R, id)es isomo o a (M(R), M(R), id).
De inición 73 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado. El aniquilado del módu-
lo c uzado de álgeb as conmu a i as es el núcleo del homomo ismo ( , g) :
(C, R, ν)→ A(C, R, ν), y se deno a po Ann(C, R, ν).
Ann(C, R, ν) = ke ( , g) = (AnnC(R), AnnR(C)∩AnnR(R), ν)ya que:
•ke ( ) = {c∈C| c( )=0pa a odo ∈R}={c∈C| c = 0 pa a
odo ∈R}=AnnC(R).
•ke (g) = { ∈R|g( )=(i , j )=0}={ ∈R| c = 0, 0= 0 pa a
odo c∈Cy 0∈R}=AnnR(C)∩AnnR(R).
Como Ann(C, R, ν)es el núcleo de un mo ismo de módulos c uzados, es
un ideal del módulo c uzado (C, R, ν).
2.1 El ac o de un módulo c uzado 57
Ejemplo 74 Si Ies un ideal de Rcon la inclusión i:I ,→Ren onces
Ann(I, R, i) = (I∩AnnR(R), AnnR(R), i).
Si conside amos el caso pa icula en el que I=R, i =id, en onces
Ann(I, R, i) = (R∩AnnR(R), AnnR(R), id) = (AnnR(R), AnnR(R), id).
Si I= 0, Ann(0, R, i) = (0, AnnR(R), i).
Ejemplo 75 Conside amos el módulo c uzado (R, M(R), ν); se iene en onces
que Ann(R, M(R), ν) = (AnnR(R),0∩AnnM(R)(M(R)), ν) = (AnnR(R),0,0).
En la ca ego ía de álgeb as conmu a i as se iene la siguien e es uc u a:
Sea Runa K-álgeb a y M(R)sus mul iplicaciones. Exis e un homomo ismo
de álgeb as ν:R→M(R)cuya imagen son las mul iplicaciones in e io es
I(R)y su núcleo es el aniquilado de R. El cocien e M(R)/I(R)es el álgeb a
de mul iplicaciones ex e io es de Ry se deno a po O(R).
Si enemos una sucesión exac a co a de álgeb as:
0//J//R//Q//0
exis e un homomo ismo θ:R→M(J)que hace conmu a i o el diag ama:
0//J//

R//

Q//

0
0//I(J)//M(J)//O(J)//0
En módulos c uzados se iene la misma si uación. Dada una sucesión exac a
co a:
0//(C0, R0, ν0)//(C, R, ν)//(C00, R00, ν00)//0
exis e un mo ismo de módulos c uzados (ε, θ) : (C, R, ν)→ A(C0, R0, ν0) al
que el siguien e diag ama es conmu a i o [4]:
0//(C0, R0, ν0)//

(C, R, ν)//
(ε,θ)

(C00, R00, ν00)//

0
0//I(C0, R0, ν0)//A(C0, R0, ν0)//O(C0, R0, ν0)//0

58 2 Cons ucciones en la ca ego ía
2.2. Módulos c uzados singula es
De inición 76 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado. Se di á que es singula cuan-
do R2= 0 y la acción de Rsob e Csea la acción i ial, es deci , pa a odo
c∈C, ∈Rse e i ica c = 0.
Ejemplo 77 Sea Cun álgeb a al que C2= 0; en onces (C, C, id)es un mó-
dulo c uzado singula .
Ejemplo 78 Sea Run álgeb a al que R2= 0 eIun ideal de R; en onces
(I, R, in)es un módulo c uzado singula .
Obse ación 79 El hecho de que la acción de Rsob e Csea i ial implica,
u ilizando la iden idad de Pei e , que C2= 0, ya que cc0=ν(c)c0= 0, donde
c, c0∈C.
Es e concep o es análogo al que se iene en o as es uc u as; po ejemplo,
se dice que un álgeb a conmu a i a Aes singula o abeliana cuando A2= 0.
Es o signi ica que la mul iplicación sea i ial, o dicho de o a mane a, que el
mo ismo na u al:
A×A→A
(a, a0)7−→ aa0
sea i ial. En módulos c uzados es e concep o co esponde a deci que el
mo ismo:
(C, R, ν)×(C, R, ν)→(C, R, ν)
((c, ),(c0, 0)) 7−→ (cc0+ c0+ 0c, 0)
sea i ial. Desa ollando es a condición se llega a la de inición dada.
2.2 Módulos c uzados singula es 59
Obse ación 80 Si (C, R, ν)es un módulo c uzado singula , en onces exis e
el módulo c uzado ac o A(C, R, ν). Como C2= 0 se iene que AnnC(C) = C
y en onces M(C) iene es uc u a de K-álgeb a conmu a i a. Análogamen e,
M(R) ambién iene es uc u a de K-álgeb a conmu a i a.
Lema 81 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado singula . Cualquie submódulo c uza-
do (C0, R0, ν0)es ambién singula .
Demos ación:
La p ueba es di ec a. 
P oposición 82 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado. Si (C, R, ν)es singula ,
en onces es un obje o g upo abeliano.
Demos ación:
Pa a ealiza la demos ación es necesa io eco da que dada una ca ego ía C
con p oduc os ini os, un obje o C∈ C es un obje o g upo abeliano si y sólo si
Hom(C0, C)es un g upo abeliano pa a odo obje o C0de la ca ego ía [40].
Sea (C, R, ν)un módulo c uzado singula . Ve emos a con inuación que
Hom((C0, R0, ν0),(C, R, ν)) es un g upo abeliano pa a cualquie (C0, R0, ν0).
Conside emos dos mo ismos ( , g),( 0, g0) : (C0, R0, ν0)→(C, R, ν).La
suma iene inducida de o ma na u al po la suma de mo ismos en la ca e-
go ía de álgeb as conmu a i as, es deci , (( , g)+( 0, g0))(c0, 0) = ( + 0, g +
g0)(c0, 0) = (( + 0)(c0),(g+g0)( 0)) = ( (c0) + 0(c0), g( 0) + g0( 0)), donde
c0∈C, 0∈R0.Se puede comp oba ácilmen e que an o + 0como g+g0
son mo ismos de álgeb as.
C0
+ 0

ν0
//R0
g+g0

Cν//R
P ime o, se debe comp oba que ( , g)+( 0, g0)es un mo ismo de módulos
c uzados:
60 2 Cons ucciones en la ca ego ía
•Si c0∈C0, 0∈R0se iene que ( + 0)( 0c0) = ( 0c0) + 0( 0c0) =
g( 0) (c) + g0( 0) 0(c0) = 0 ya que como (C, R, ν)es singula , la acción de R
sob e Ces la acción i ial. Po el mismo mo i o ((g+g0)( 0))(( + 0)(c0)) = 0.
•Si c0∈C0se iene que ((g+g0)◦ν0)(c0) = g(ν0(c0))+g0(ν0(c0)) = ν( (c0)+
ν( 0(c0)) = (ν◦( + 0))(c0).
Es i ial comp oba que la ope ación de inida cumple las p opiedades aso-
cia i a y conmu a i a. Además, el elemen o neu o es la aplicación (0,0) :
(C, R, ν)→(C0, R0, ν0).
Solo queda po comp oba que odo ( , g)∈Hom((C0, R0, ν0),(C, R, ν))
iene in e so. Su in e so se á el mo ismo (− , −g)de inido de la siguien e
mane a: (− , −g)(c0, 0)=(−( (c0)),−(g( 0)), donde c0∈C0, 0∈R0.Veamos
que así de inido (− , −g)es un mo ismo de módulos c uzados:
•(− )( 0c0) = −( ( 0c0)) = −(g( 0) (c0))=0=(−(g( 0)))(−( (c0))) =
(−g( 0))(− (c0)), donde c0∈C0, 0∈R0.
•((−g)◦ν0)(c0) = −(g(ν0(c0))) = −(ν( (c0))) = ν((− (c0)) = (ν◦(− ))(c0),
donde c0∈C0.
Finalmen e comp oba emos que (− , −g)es e ec i amen e el in e so de
( , g) : (( , g)+(− , −g))(c0, 0) = ( (c0)− (c0), g( 0)−g0( 0)) = (0,0), donde
c0∈C0, 0∈R0.
Obse ación 83 En la demos ación an e io se mues a que dados dos mó-
dulos c uzados Hom((C, R, ν),(C0, R0, ν0)) iene es uc u a de g upo abeliano.
Además, se le puede da es uc u a de K-álgeb a con las siguien es ope aciones:
•(( , g)·( 0, g0))(c, ) = (( · 0)(c),(g·g0)( )) = ( (c) 0(c), g( )g0( )),
donde , g ∈Hom((C, R, ν),(C0, R0, ν0)), c ∈C, ∈R.
•(k·( , g))(c, ) = (k· (c), k·g( )), donde , g ∈Hom((C, R, ν),(C0, R0, ν0)),
k∈K.
P oposición 84 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado. Se e i ica que (C, R, ν)es
singula si y sólo si Ann(C, R, ν) = (C, R, ν).
2.2 Módulos c uzados singula es 61
Demos ación:
“⇒”
Ann(C, R, ν)=(AnnC(R), AnnR(C)∩AnnR(R), ν) = ke ( , g),donde
( , g)es el mo ismo an e io men e desc i o ( , g) : (C, R, ν)→ A(C, R, ν).
•AnnC(R) = {c∈C| c = 0 ∀ , ∈R}.Como la acción de Rsob e Ces
la i ial AnnC(R) = C.
•AnnR(R) = { 0∈R| 0= 0 ∀ , ∈R}.Como R2= 0, se iene que
AnnR(C) = R.
•AnnR(C) = { ∈R| c = 0 ∀c, c ∈C}.Como la acción de Rsob e Ces
la i ial AnnR(C) = R.
Po an o Ann(C, R, ν)=(AnnC(R), AnnR(C)∩AnnR(R), ν)=(C, R ∩
R, ν) = (C, R, ν).
“⇐”
•AnnC(R) = {c∈C| c = 0 ∀ , ∈R}=C⇒la acción de Rsob e Ces
la i ial.
•AnnR(C)∩AnnR(R) = R⇒R⊆AnnR(R) = { ∈R| 0= 0
∀ , ∈R} ⇒ R2= 0.
Obse ación 85 La p oposición an e io mues a que el aniquilado de módu-
los c uzados p esen a un ca ác e análogo con espec o al concep o de aniquilado
en la ca ego ía de álgeb as conmu a i as ya que se e i ica que dada Aun álge-
b a, Aes singula si y sólo si A2= 0 (es deci , si el aniquilado de Aes odo
A).
De inición 86 Dado un módulo c uzado (C, R, ν),el conmu ado se á el sub-
módulo c uzado [(C, R, ν),(C, R, ν)] = (RC, R2, ν).
Lema 87 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado. Se e i ica que el módulo c uzado
[(C, R, ν),(C, R, ν)] es un ideal c uzado de (C, R, ν).
68 2 Cons ucciones en la ca ego ía
2.4. P oduc o semidi ec o de módulos c uzados
Vamos a in oduci aho a el concep o de p oduc o semidi ec o de dos mó-
dulos c uzados (C0, R0, ν0)y(C, R, ν). Pa a ello es necesa io que (C, R, ν)sea
singula y (C0, R0, ν0)ac úe sob e (C, R, ν), es deci , debe exis i un mo ismo
(α, β) : (C0, R0, ν0)→ A(C, R, ν) = (U(R, C), M(C, R, ν),∆=(θ, σ)).
C0
α

ν0
//R0
β=(β1,β2)

U(R, C)∆//M(C, R, ν)
Vamos a hace las siguien es conside aciones:
•C0ac úa sob e C:sean c∈C, c0∈C0. Se iene que α(c0)∈U(R, C)
induce θα(c0)∈M(C)de inida de la siguien e mane a: θα(c0)(c) = α(c0)(ν(c)),
es deci , c0∗c=α(c0)(ν(c)).Po an o, se puede cons ui CoC0.
•R0ac úa sob e R:sean ∈R, 0∈R0. β2( 0)∈M(R)y pe mi e de ini
0∗ =β2( 0)( ).Po an o, se puede cons ui RoR0.
•RoR0ac úa sob e CoC0de la siguien e mane a: sean (c, c0)∈Co
C0,( , 0)∈RoR0,( , 0)∗(c, c0) = (α(c0)( ) + β1( 0)(c) + c, 0c0)∈CoC0.
Así de inida es una acción ya que induce una aplicación:
λ:RoR0→Mul (CoC0)
( , 0)7−→ ( , 0)∗
Se puede comp oba ácilmen e que ( , 0)∗ ∈ Mul (CoC0); pa a ello
debe emos ene en cuen a la siguien e igualdad: ( ν(c)) = ( )ν(c) = ( )c,
donde ∈U(R, C), c ∈C, ∈R.

2.4 P oduc o semidi ec o de módulos c uzados 69
Sean (c, c0),(d, d0)∈CoC0,( , 0)∗((c, c0)(d, d0)) = ( , 0)∗(cd+α(d0)ν(c)+
α(c0)ν(d), c0d0)=( cd + α(d0)ν(c) + α(c0)ν(d) + α(c0d0)( ) + β1( 0)(cd) +
β1( 0)(α(d0)ν(c)) + β1( 0)(α(c)ν(d0)), 0c0d0).
Po o o lado se iene que (( , 0)∗(c, c0))(d, d0)=(α(c0)( ) + β1( 0)(c) +
c, 0c0)(d, d0) = ( cd +α(c0)( )(d) + β1( 0)(c)d+α( 0c0)(d) + α(c0)( )d0+
α(d0)(ν( c))+d0β1( 0)(c), 0c0d0).
Vamos a e que ambos desa ollos son iguales é mino a é mino:
• α(d0)(ν(c)) = α(d0)( ν(c)) = α(d0)(ν( c)).
• α(c0)(ν(d)) = α(c)( ν(d0)) = α(c)(ν( d0)).
•α(c0d0)( ) = α(d0)(ν(α(c0)( )) = d0(ν(α(c0)( )).
•β1( 0)(cd) = β1( 0)(c)d.
•β1( 0)(α(d0)ν(c)) = β1( 0)(β1(ν0(d))(c)) = β1( 0(ν0(d))(c) = β1((ν0(d) 0)(c)
=β1(ν0(d))(β1( 0)(c)) = α(d0)(ν(β1( 0)(c))) = d0(β1( 0)(c)).
•β1( 0)(α(c)ν(d0)) = (β1( 0)α(c))ν(d0) = α( 0c0)(ν(d)).
Po an o ( , 0)∗((c, c0)(d, d0)) = (( , 0)∗(c, c0))(d, d0).
De inición 93 Sean (C, R, ν)y(C0, R0, ν0)dos módulos c uzados ales que
(C, R, ν)es singula y (C0, R0, ν0)ac úa sob e (C, R, ν). Se de ine:
(C, R, ν)o(C0, R0, ν0) := (CoC0, R oR0, ν oν0)
donde (νoν0)(c, c0) = (ν(c), ν0(c0)).
Veamos que e ec i amen e (CoC0, R oR0, ν oν0)es un módulo c uzado:
i) (νoν0)(( , 0)(c, c0)) = (νoν0)(α(c0)( )+β1( 0)(c)+ c, 0c0) = (ν(α(c0)( ))+
ν(β1( 0)(c)) + ν( c), ν0( 0c0)) = (β2(ν0(c0))( ) + β2( 0)(ν(c)) + ν(c), 0ν0(c0)) =
(ν0(c0)∗ + 0∗ν(c) + ν(c), 0ν0(c0)) = ( , 0)(νoν0)(c, c0), donde (c, c0)∈
(C, C0),( , 0)∈(R, R0).
ii) ((νoν0)(c, c0))(d, d0) = (ν(c), ν0(c0))(d, d0) = (α(d0)(ν(c)) + β1(ν0(c0))(d) +
ν(c)d, ν0(c0)d0) = (α(d0)(ν(c)) + θα(c0)(d) + ν(c)d, ν0(c0)d0) = (α(d0)(ν(c)) +
α(c0)(ν(d)) + ν(c)d, ν0(c0)d0) = (d0∗c+c0∗d+cd, c0d0) = (c, c0)(d, d0), donde
(c, c0),(d0, d)∈CoC0.
70 2 Cons ucciones en la ca ego ía
Obse ación 94 La de inición an e io gene aliza el p oduc o semidi ec o de
álgeb as:
•Conside emos los módulos c uzados (0, R, 0),(0, R0,0) donde R2= 0 y
(0, R0,0) ac úa sob e (0, R, 0), es deci , exis e un mo ismo de módulos c uzados
(α, β) : (0, R0,0) →(U(R, 0), M(0, R, 0),∆).
En es e caso U(R, 0) sólo con iene al mo ismo i ial 0 : R→0y además
M(0, R, 0) = (M(0), M(R),0) ≡M(R).Po an o la acción de (0, R0,0) sob e
(0, R, 0) es un mo ismo β2:R0→M(R), es deci , una acción de R0sob e R.
Finalmen e (0, R, 0) o(0, R0,0) = (0, R oR0,0) ≡RoR0.
•Sean aho a (C, C, id)y(C0, C0, id)módulos c uzados ales que (C, C, id)
es singula y (C0, C0, id)ac úa sob e (C, C, id), es deci , exis e un mo ismo de
módulos c uzados (α, β) : (C0, C0, id)→(U(C, C), M(C, C, id),∆).
En es e caso se iene que U(C, C)≡M(C)yM(C, C, id)≡M(C).Po
an o ∆ = idM(C)yα=β ep esen a la acción de C0sob e C.
Finalmen e (C, C, id)o(C0, C0, id) = (CoC0, C oC0, id)≡CoC0.
Hay además un pun o de is a sob e el p oduc o semidi ec o análogo al
de álgeb as. Sea (C, R, ν)un módulo c uzado con submódulos (C0, R0, ν0)y
(C00, R00, ν00)sa is aciendo:
•(C0, R0, ν0)es singula .
•(C0, R0, ν0)es un ideal de (C, R, ν).
•C=C0+C00, R =R0+R00.
•C0∩C00 = 0, R0∩R00 = 0.
En onces, hay un mo ismo (ε, ρ) : (C00, R00, ν00)→ A(C0, R0, ν0)de inido de
la siguien e mane a:
ε:C00 →U(R0, C0) iene dado po ε(d) = εd,donde εd( ) = d pa a ∈R.
ρ:R00 →M(C0, R0, ν0) iene dado po ρ(s)=(is, js), donde is(c) =
sc, js( ) = s pa a c∈C, ∈R.
El p oduc o semidi ec o esul an e (C0, R0, ν0)o(ε,ρ)(C00, R00, ν00)es isomo o
al módulo c uzado (C, R, ν)[4].
2.5 La ca ego ía de (C, R, ν)-módulos 71
2.5. La ca ego ía de (C, R, ν)-módulos
De inición 95 Sean (A, B, σ)y(C, R, ν)dos módulos c uzados. Se di á que
(A, B, σ)es un (C, R, ν)-módulo si es singula y exis e o o módulo c uzado
(G, H, ω)y una sucesión exac a co a o a a la de echa:
0//(A, B, σ)(µ1,µ2)
//(G, H, ω)(ε1,ε2)//(C, R, ν)
(γ1,γ2)
oo//0
Ejemplo 96 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado singula . Se iene la sucesión
exac a co a o a:
0//(C, R, ν)(id,i1)//(C, R oR, ν)(0,p2)//(0, R, 0)
(0,i2)
oo//0
con lo que se e i ica que (C, R, ν)es un (0, R, 0)-módulo.
Teo ema 97 Sean (A, B, σ)y(C, R, ν)módulos c uzados con (A, B, σ)singu-
la . En onces (A, B, σ)es un (C, R, ν)-módulo si y sólo si exis e un mo ismo
de módulos c uzados (α, β) : (C, R, ν)→ A(A, B, σ).
Demos ación:
“⇐”
Como (C, R, ν)ac úa sob e (A, B, σ)podemos oma (G, H, ω) = (A, B, σ)o
(C, R, ν)y conside amos la sucesión:
0//(A, B, σ)(i1,i2)//(A, B, σ)o(C, R, ν)(p1,p2)//(C, R, ν)
(j1,j2)
oo//0
donde dados a∈A, b ∈B, c ∈C, ∈Rse de inen:
72 2 Cons ucciones en la ca ego ía
•(i1, i2)(a, b) = ((a, b),(0,0)).
•(p1, p2)((a, b),(c, )) = (c, ).
•(j1, j2)(c, ) = ((0,0),(c, )).
Es i ial comp oba que es as aplicaciones son mo ismos de módulos
c uzados.
Veamos aho a que la sucesión de inida es exac a y o a:
•Es i ial comp oba que (i1, i2)es inyec i a y (p1, p2)sob eyec i a.
•ke (p1, p2)⊆Im(i1, i2) : sean a∈A, b ∈B, c ∈C, ∈R ales que
(p1, p2)((a, b),(c, )) = (0,0) ⇒(c, ) = (0,0) ⇒(a, b)es la p eimagen de
((a, b),(c, )).
•Im(i1, i2)⊆ke (p1, p2) i ialmen e.
•(p1, p2)((j1, j2)(c, )) = (p1, p2)((0,0),(c, )) = (c, ).Po an o (j1, j2)es
una sección de (p1, p2).
“⇒”
Como (A, B, σ)es un (C, R, ν)-módulo se iene un módulo c uzado (G, H, ω)
y el siguien e diag ama conmu a i o con ilas exac as y o as:
0//A
σ

i1//G
σ0

ε1//C
ν

γ1
oo//0
0//Bi2//Hε1//R
γ2
oo//0
Se de ine:
α:C→U(B, A)
c7−→ α(c)donde dado b∈B, α(c)(b) = i2(b)γ1(c).
Veamos que i2(b)γ1(c)∈A:ε1(i2(b)γ1(c)) = ε2(i2(b))ε1(γ1(c)) = 0 ⇒
i2(b)γ1(c)∈ke ε1= Im i1y como i1es inyec i a Ase iden i ica con Im i1.
•α:C→U(B, A)es un mo ismo de álgeb as:
−α(c+c0)(b) = i2(b)γ1(c+c0) = i2(b)γ1(c) + i2(b)γ1(c0) = α(c)(b) +
α(c0)(b), donde c, c0∈C, b ∈B.
2.5 La ca ego ía de (C, R, ν)-módulos 73
−α(kc)(b) = i2(b)γ1(kc) = ki2(b)γ1(c) = kα(c)(b), donde k∈K, c ∈
C, b ∈B.
−α(cc0)(b) = i2(b)γ1(cc0) = i2(b)γ1(c)γ1(c0) = i2(b)(σ0(γ1(c0)) γ1(c)) =
(σ0(γ1(c0))i2(b)γ1(c)) = (σ0(γ1(c0))(b)γ1(c)) = ((σ0(γ1(c0))b)γ1(c) = σ0(γ1(c0)b
γ1(c) = σ(bγ1(c0))γ1(c) = σ(i2(b)γ1(c0))γ1(c) = α(c) (σ(i2(b)γ1(c0))) = α(c)(σ
(α(c0)(b))) = (α(c)α(c0))(b), donde c, c0∈C, b ∈B.
•Dado c∈Cse e i ica que α(c)es lineal:
−α(c)(b+b0) = i2(b+b0)γ1(c)=(i2(b) + i2(b0))γ1(c) = i2(b)γ1(c) +
i2(b0)γ1(c) = α(c)(b) + α(c)(b0), donde b, b0∈B.
−α(c)(kb) = i2(kb)γ1(c) = ki2(b)γ1(c) = kα(c)(b), donde k∈K.
•Dado c∈C, α(c)∈U(B, A) :
α(c)(bb0) = i2(bb0)γ1(c)=(i2(b)i2(b0))(γ1(c)) = i2(b)(i2(b0)γ1(c)) =
i2(b)(α(c)(b0)) ≡b(α(c)(b0)), donde b, b0∈B.
Po o o lado de inimos:
β= (β1, β2) : R→M(A, B, σ)
7−→ (β1( ), β2( ))
donde dados a∈A, b ∈B, β1( )(a) = γ2( )i1(a), β2( )(b) = γ2( )i2(b).
Vamos a comp oba que pe enecen a AyB espec i amen e:
ε1(γ2( )i1(a)) = ε2(γ2( ))ε1(i1(a)) = 0 ⇒β1( )(a)∈ke ε1= Im i1. Como
i1es inyec i a se puede iden i ica Acon Im i1.
ε2(γ2( )i2(b)) = 0 ⇒β2( )(b)∈ke ε2= Im i2. Como i2es inyec i a se
puede iden i ica Bcon Im i2.
•β1:R→M(A)yβ2:R→M(B)son mo ismos de álgeb as. Vamos a
comp oba lo pa a β1(el azonamien o pa a β2es simila ):
−β1( + 0)(a) = γ2( + 0)i1(a) = γ2( )i1(a) + γ2( 0)i1(a) = β1( )(a) +
β1( 0)(a), donde , 0∈R, a ∈A.

74 2 Cons ucciones en la ca ego ía
−β1(k )(a) = γ2(k )i1(a) = kγ2( )i1(a) = kβ1( )(a), donde k∈K, ∈
R, a ∈A.
−β1( 0)(a) = γ2( 0)i1(a) = (γ2( )γ2( 0))i1(a) = γ2( )(γ2( 0)i1(a)) =
β1( )(β1( 0)(a)) = (β1( )β1( 0))(a), donde , 0∈R, a ∈A.
•Dado ∈R, β1( )∈M(A)(de o ma o almen e análoga se puede p oba
que β2( )∈M(A)):
−β1( )(ka) = γ2( )i1(ka) = kγ2( )i1(a) = kβ1( )(a), donde k∈
K, ∈R, a ∈A.
−β1( )(a+a0) = γ2( )i1(a+a0) = γ2( )i1(a)+γ2( )i1(a0) = β1( )(a)+
β1( )(a0), donde ∈R, a, a0∈A.
−β1( )(aa0)=γ2( )i1(aa0)=(γ2( ))(i1(a)i1(a0))=(γ2( )i1(a)) i1(a0) =
(β1( )(a))a0, donde ∈R, a, a0∈A.
Finalmen e e emos que (α, β) : (C, R, ν)→ A(A, B, σ)es un mo ismo de
módulos c uzados:
C
α

ν//R
β

U(B, A)∆=(∆1,∆2)//M(A, B, σ)
•Veamos que ∆α=βν :
−(∆1α(c))(a)=α(c)(σ(a))=i2(σ(a))γ1(c)=(σ0i1(a))γ1(c) = i1(a)γ1(c) =
σ0(γ1(c))i1(a) = γ2(ν(c))i1(a) = (β1ν(c))(a), donde c∈C, a ∈A.
−(∆α(c))(a)=σ(α(c)(b))=σ(i2(b)γ1(c))=σ0(i2(b)γ1(c))=σ0(γ1(c))i2(b)=
γ2(ν(c))i2(b) = (β2ν(c))(b), donde c∈C, b ∈b.
•α( c)(b) = i2(b)γ1( c) = bγ2( )γ1(c) = γ2( )bγ1(c) = γ2( )i1(bγ1(c)) =
β1( )(bγ1(c)) = β1( )(i2(b)γ1(c)) = β1( )(α(c)(b)) = (β( )α(c))(b), donde c∈
C, ∈R, b ∈B. 
2.5 La ca ego ía de (C, R, ν)-módulos 75
Co ola io 98 Sean (C, R, ν),(A, B, σ)módulos c uzados ales que (A, B, σ)
es un (C, R, ν)-módulo, es deci , exis e un módulo c uzado (G, H, ω)y una
sucesión exac a co a o a a la de echa del siguien e ipo:
0//(A, B, σ)(µ1,µ2)
//(G, H, ω)(ε1,ε2)//(C, R, ν)
(γ1,γ2)
oo//0
Dicha sucesión es equi alen e a la sucesión exac a co a o a a la de echa:
0//(A, B, σ)(i1,i2)//(A, B, σ)o(C, R, ν)(p1,p2)//(C, R, ν)
(j1,j2)
oo//0
en el sen ido de que exis e un isomo ismo de módulos c uzados (φ1, φ2) :
(A, B, σ)o(C, R, ν)→(G, H, ω)que hace conmu a i o el siguien e diag ama:
0//(A, B, σ)
id

(i1,i2)//(A, B, σ)o(C, R, ν)
(φ1,φ2)

(p1,p2)//(C, R, ν)
id

(j1,j2)
oo//0
0//(A, B, σ)(µ1,µ2)//(G, H, ω)(ε1,ε2)//(C, R, ν)
(γ1,γ2)
oo//0
Demos ación:
En la demos ación del an e io eo ema se desc ibe cómo es la acción de
(C, R, ν)sob e (A, B, σ). Además, bas a demos a que exis e un mo ismo de
módulos c uzados:
(φ1, φ2) : (A, B, σ)o(C, R, ν)→(G, H, ω)
que hace conmu a i o el diag ama, ya que po el lema 32 és e se á au omá i-
camen e un isomo ismo.
Sean a∈A, b ∈B, c ∈C, ∈R; de inimos (φ1, φ2)((a, b),(c, )) = (µ1(a)+
γ1(c), µ2(b) + γ2( )).Así de inido (φ1, φ2)hace el diag ama conmu a i o:
•(ε1, ε2)(φ1, φ2)((a, b),(c, )) = (ε1, ε2)(µ1(a)+γ1(c), µ2(b)+γ2( ) = (ε1µ1
(a) + ε1γ1(c), ε2µ2(b) + ε2γ2( )) = (c, ) = (p1, p2)((a, b),(c, )).
•(φ1, φ2)(i1, i2)(a, b) = (φ1, φ2)((a, b),(0,0)) = (µ1(a), µ2(b)).
76 2 Cons ucciones en la ca ego ía
Es i ial comp oba que an o φ1como φ2son mo ismos de álgeb as.
Ve emos a con inuación que (φ1, φ2)es un mo ismo de módulos c uzados:
AoC
φ1

σoν//BoR
φ2

Gω//H
i)φ2(σoν)(a, c) = φ2(σ(a), ν(c)) = µ2(σ(a)) + γ2(ν(c)) = ωµ1(a) +
ωγ1(c) = ωφ1(a, c), donde a∈A, c ∈C.
ii)φ1((b, )(a, c)) = φ1(ba +α(c)(b) + β1( )(a), c) = φ1(ba +µ2(b)γ1(c) +
γ2( )µ1(a), c) = µ1(ba) + µ1(µ2(b)γ1(c)) + µ1(γ2( )µ1(a)) + γ1( c), donde
a∈A, b ∈B, c ∈C, ∈R.
Po o o lado φ2(b, )φ1(a, c) = (µ1(a)+γ1(c))(µ2(b)+γ2( )) = µ1(a)µ2(b)+
γ2( )µ1(a)+γ1(c)µ2(b)+γ1(c)γ2( ), y eniendo en cuen a que µes un monomo -
ismo y es amos iden i icando Acon µ(A), se e i ica la igualdad de ambos
é minos. 
Obse ación 99 Es e eo ema mues a que un (C, R, ν)-módulo es un módulo
c uzado singula (A, B, σ)sob e el que ac úa (C, R, ν)median e un mo ismo
(α, β):(C, R, ν)→(U(B, A), M(A, B, σ),∆).Po es o, cuando se quie a ex-
plici a dicha acción se di á que (A, B, σ)es un (C, R, ν)(α,β)-módulo.
Obse ación 100 El eo ema y el co ola io que se acaban de enuncia po-
nen de mani ies o que los (C, R, ν)-módulos son los obje os g upo abeliano en
la ca ego ía coma XModK/(C, R, ν), que es la de inición clásica. Así, da-
do (A, B, σ), un (C, R, ν)-módulo, el obje o g upo abeliano que de ine en la
ca ego ía XModK/(C, R, ν) iene dado po la p oyección na u al (A, B, σ)o
(C, R, ν)(C, R, ν).
Lema 101 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado. Conside emos aho a un (C, R, ν)-
módulo, (C0, R0, ν0). En onces (C0, R0, ν0) e i ica que es ambién un (C0o
C, R0oR, ν0oν)-módulo.
2.5 La ca ego ía de (C, R, ν)-módulos 77
Demos ación:
Sólo hace al a comp oba que (C0oC, R0oR, ν0oν)ac úa sob e (C0, R0, ν0), y
es a acción end á dada ía las p oyecciones p1:C0oC→C, p2:R0oR→R,
donde p1(c0, c) = c, p2( 0, ) = .
C0oC
p1

ν0oν//R0oR
p2

C
α

ν//R
β

U(R0, C0)∆//M(C0, R0, ν0)

Lema 102 Conside emos el complejo de cadenas:
... //(Gn−1, Hn−1, ωn−1)( , 0)
//(Gn, Hn, ωn)(g,g0)//(Gn+1, Hn+1, ωn+1)//...
de (C, R, ν)-módulos. La homología en el pun o n-ésimo de es e complejo es
ambién un (C, R, ν)-módulo.
Demos ación:
Se iene que ke (g, g0)eIm( , 0)son singula es po que ke (g, g0),Im( , 0)⊆
(Gn, Hn, ωn). Además, la sucesión exac a co a o a:
0//(Gn, Hn, ωn)//(Gn, Hn, ωn)o(C, R, ν)//(C, R, ν)
oo//0
induce las sucesiones exac as co as o as:
0//ke (g, g0)//ke (g, g0)o(C, R, ν)//(C, R, ν)
oo//0
0//Im( , 0)//Im( , 0)o(C, R, ν)//(C, R, ν)
oo//0
84 2 Cons ucciones en la ca ego ía
(A, B, σ)
( , 0)

//(G, H, ω)⊗(C,R,ν)(A, B, σ)
(G,H,ω)⊗(C,R,ν)( , 0)

(A0, B0, σ0)
(j,j0)

//(G, H, ω)⊗(C,R,ν)(A0, B0, σ0)
(G,H,ω)⊗(C,R,ν)(j,j0)

(A00, B00, σ00)//(G, H, ω)⊗(C,R,ν)(A00, B00, σ00)
Debemos comp oba que ((G, H, ω)⊗(C,R,ν)(j, j0)) ◦((G, H, ω)⊗(C,R,ν)
( , 0)) = (G, H, ω)⊗(C,R,ν)(j◦ , j0◦ 0).Sean a∈A, b, b0∈B, g ∈G, h, h0∈H,
enemos:
((G, H, ω)⊗(C,R,ν)(j, j0)) ◦((G, H, ω)⊗(C,R,ν)( , 0))([(h⊗a),(b⊗g)], h0⊗
b0) = ((G, H, ω)⊗(C,R,ν)(j, j0))([(h⊗ (a)),( 0(b)⊗g)], h0⊗ 0(b0)) = ([(h⊗
j (a)),(j0 0(b)⊗g)], h0⊗j0 0(b0)) = ((G, H, ω)⊗(C,R,ν)(j◦ , j0◦ 0))([(h⊗
a),(b⊗g)], h0⊗b0).
Aho a, si conside amos (idA, idB) : (A, B, σ)→(A, B, σ)se iene i ial-
men e que ((G, H, ω)⊗(C,R,ν)(idA, idB))([(h⊗a),(b⊗g)], h0⊗b0) = ([(h⊗
a),(b⊗g)], h0⊗b0).
Veamos aho a una p oposición ela i a a es e un o .
P oposición 107 El un o (G, H, ω)⊗(C,R,ν)−:XMod(C,R,ν)→XMod(C,R,ν)
es exac o a la de echa.
Demos ación:
Conside emos una sucesión exac a de (C, R, ν)-módulos,
0//(A0, B0, σ0)( , 0)//(A, B, σ)(g,g0)//(A00, B00, σ00)//0
Al enso iza ob enemos la sucesión:
(((G⊗B0)⊕(H⊗A0))/Im α0, H⊗B0, σ0⊗ω)→(((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im α, H⊗
B, σ ⊗ω)→(((G⊗B00)⊕(H⊗A00))/Im α00, H ⊗B00, σ00 ⊗ω).

2.5 La ca ego ía de (C, R, ν)-módulos 85
Como el enso en la ca ego ía de álgeb as conmu a i as es exac o a la
de echa enemos la exac i ud a la de echa en las segundas componen es de
es a sucesión:
H⊗B0//H⊗B//H⊗B00 //0
Veamos aho a qué ocu e en la sucesión ela i a a la p ime a componen e:
((G⊗B0)⊕(H⊗A0))/Im α0→((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im α→((G⊗B00)⊕
(H⊗A00))/Im α00.
La aplicación inducida en e ((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im αy((G⊗B00)⊕(H⊗
A00))/Im α00 es (id ⊗g, id ⊗g0).
((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im α→((G⊗B00)⊕(H⊗A00))/Im α00
[(k⊗b, 0)] 7−→ [(k⊗g0(b),0)]
[(0, h ⊗a)] 7−→ [(0, h ⊗g(a))]
Veamos que es a aplicación es á bien de inida: supongamos que (d⊗d0, c⊗c0)
es un ep esen an e de la misma clase que (k⊗d0,0). Se iene en onces que
((k−d)⊗d0, c ⊗c0)∈Im α. Tenemos que exis en (u, )∈G⊗A|ω(u)⊗ −
u⊗σ( ) = ((k−d)⊗d0, c ⊗c0).
Las imágenes de (k⊗d0,0) y(d⊗d0, c⊗c0)po (id⊗g0, id⊗g)son (k⊗g0(d0),0)
y(d⊗g0(d0), c ⊗g(c0)) espec i amen e. Lo que se debe comp oba es que
((k−d)⊗g0(d0),−c⊗(−g(c0))) ∈Im α00,pe o eniendo en cuen a la igualdad
an e io es inmedia o e i ica que α00(u, g( )) = ((k−d)⊗g0(d0),−c⊗(−g(c0))).
De la misma mane a se puede e que la aplicación es á bien de inida en
los gene ado es de ipo (d⊗b, 0),(0, h ⊗c0),(0, c ⊗a).Queda po comp oba
que es un mo ismo de módulos c uzados:
((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im α
σ0⊗ω

(id⊗g0,id⊗g)//((G⊗B00)⊕(H⊗A00))/Im α00
σ00⊗ω

H⊗B(id⊗g0)0
//H⊗B00
86 2 Cons ucciones en la ca ego ía
donde (id ⊗g0)0deno a idH⊗g0.
i.i) (σ00 ⊗ω)((id ⊗g0, id ⊗g)[k⊗b, 0]) = (σ00 ⊗ω)([k⊗g0(b),0]) = σ00(k)⊗
g0(b) = (id⊗g0)0(σ00(k)⊗b) = (σ0⊗ω)((id⊗g0)0([k⊗b, 0])), donde k⊗b∈G⊗B.
i.ii) (σ00⊗ω)((id⊗g0, id⊗g)[0, h⊗a]) = (σ00⊗ω)([0, h⊗g(a)]) = h⊗σ00g(a) =
h⊗g0σ(a)=(id ⊗g0)0(h⊗σ(a)) = (σ0⊗ω)((id ⊗g0)0([0, h ⊗a, ])), donde
h⊗a∈H⊗A.
ii.i) (id ⊗g0, id ⊗g)((h⊗b0)[k⊗b, 0]) = (id ⊗g0, id ⊗g)[hk ⊗b0b, 0] =
[hk ⊗g0(b0b),0] = [hk ⊗g0(b0)g0(b),0] = (h⊗g0(b0))[k⊗g0(b),0] = ((id⊗g0)0(h⊗
b0))(id ⊗g0, id ⊗g)([k⊗b, 0]), donde k⊗b∈G⊗B, h ⊗b0∈H⊗B.
ii.ii) (id ⊗g0, id ⊗g)((h0⊗b)[0, h ⊗a]) = (id ⊗g0, id ⊗g)[0, h0h⊗ba] =
[0, h0h⊗g(ba)] = [0, h0h⊗g0(b)g(a)] = (h0⊗g0(b))[0, h⊗g(a)] = ((id⊗g0)0(h0⊗
b))(id ⊗g0, id ⊗g)([0, h ⊗a]), donde h⊗a∈H⊗A, h0⊗b∈H⊗B.
Análogamen e, la aplicación inducida en e ((G⊗B0)⊕(H⊗A0))/Im α0
y((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im αes (id ⊗ , id ⊗ 0).Fal an po ealiza a ias
comp obaciones:
•(id⊗g, id⊗g0)es sob eyec i a. Sea [(g⊗b00, h⊗a00)] un elemen o gene ado
de ((G⊗B00)⊕(H⊗A00))/Im α00.Como gyg0son sob eyec i as, exis en
b∈B, a ∈A|g(b) = b00, g0(a) = a00.Po an o, la p eimagen de [(g⊗b00, h⊗a00)]
es [(g⊗b, h ⊗a)].
•Im(id ⊗ , id ⊗ 0)⊆ke (id ⊗g, id ⊗g0).Como g ≡0, g0 0≡0, es e
con enido se iene i ialmen e.
•Im(id ⊗ , id ⊗ 0)⊇ke (id ⊗g, id ⊗g0).Conside emos el siguien e dia-
g ama:
((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im α

//((G⊗B00)⊕(H⊗A00))/Im α00
(((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im α)/Im(id ⊗ , id ⊗ 0)
(j,j0)
22
2.5 La ca ego ía de (C, R, ν)-módulos 87
Es e diag ama, en el que (j, j0)ac úa como (id⊗g, id ⊗g0), es conmu a i o
debido a que Im(id ⊗ , id ⊗ 0)⊆ke (id ⊗g, id ⊗g0).Lo único que es a po
hace es encon a una in e sa de (j, j0).Pa a cons ui la de inimos:
(G, H)×(B00, A00)(ϕ,ϕ0)
→(((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im α)/Im(id ⊗ , id ⊗ 0)
((g, h),(b00, a00)) 7−→ [(g⊗b),(h⊗a)]
donde byason p eimágenes de b00 ya00 po gyg0 espec i amen e.
Es e mo ismo es á bien de inido: sean c, c0o as p eimágenes de b00 ya00. Se
debe comp oba que (g⊗(b−c), h⊗(a−c0)) ∈Im(id⊗ , id⊗ 0).Se iene que
g(b−c) = g(b)−g(c) = b00−b00 = 0 ⇒b−c∈ke g= Im . Análogamen e a−c0∈
Im 0.Po an o se e i ica que (g⊗(b−c), h ⊗(a−c0)) ∈Im(id ⊗ , id ⊗ 0).
Se ienen aplicaciones en la ca ego ía de álgeb as conmu a i as:
ϕ:G×B00 →G⊗B
(g, b00)7−→ g⊗b
ϕ0:H×A00 →H⊗A
(h, a00)7−→ h⊗a
Es as aplicaciones inducen los mo ismos
α:G⊗B00 →G⊗B
g⊗b00 7−→ g⊗b
α0:H⊗A00 →H⊗A
h⊗a00 7−→ h⊗a
Si conside amos el mo ismo
(α, α0) : (G⊗B00)⊕(H⊗A00)→(G⊗B)⊕(H⊗A)
pasando al cocien e se ob iene la in e sa de (j, j0).
A con inuación se e á que el un o (G, H, ω)⊗(C,R,ν)− iene un adjun-
o po la de echa. Conside emos dos módulos c uzados (C, R, ν)y(G, H, ω).
Podemos de ini el mo ismo de K-álgeb as siguien e:
88 2 Cons ucciones en la ca ego ía
δ:Hom(R, G)−→ Hom((C, R, ν),(G, H, ω))
7−→ ( ◦ν, ω ◦ )
Además, Hom(R, G) iene es uc u a de Hom((C, R, ν),(G, H, ω))-álgeb a
con la siguien e acción:
(( , 0)∗g)( ) = 0( )∗g( )
donde ( , 0)∈Hom((C, R, ν),(G, H, ω)), g ∈Hom(R, G), ∈R. Se e i ica
que (Hom(R, G), Hom((C, R, ν),(G, H, ω)), δ)es un módulo c uzado:
•(δ( )∗ 0)( ) = (( ν, ω )∗ 0)( )=(ω ( )) ∗( 0( )) = ( ) 0( ) =
( 0)( ), donde ∈R, , 0∈Hom(R, G).
•δ((g, g0)∗ )(c, ) = δ(g0 )(c, ) = ((g0 )ν(c), ω(g0 )( )) = (g0ν(c)∗
ν(c), ω(g0( ) ( )) = (ωg(c)∗ ν(c), g0( )ω ( ))) = (g(c) ν(c), g0( )ω ( )) =
(g( ν)(c), g0( )ω ( )) = (g( ν), g0(ω ))(c, )=(g, g0)( ν, ω )(c, )=(g, g0)
δ( )(c, ), donde ∈Hom(R, G),(g, g0)∈Hom((C, R, ν),(G, H, ω)), c ∈Cy
∈R.
Es e módulo c uzado lo deno a emos po HOM((C, R, ν),(G, H, ω)). Es
inmedia o comp oba que es a cons ucción induce un un o :
HOM((C, R, ν),−) : XMod(C,R,ν)−→ XMod(C,R,ν)
P oposición 108 Dados dos (C, R, ν)-módulos (G, H, ω),(A, B, σ)y un mó-
dulo c uzado (M, N, µ)exis e un isomo ismo na u al:
Hom((G, H, ω)⊗(C,R,ν)(A, B, σ),(M, N, µ)) ∼
=
Hom((G, H, ω), HOM((A, B, σ),(M, N, µ))).
Es deci , el un o HOM((A, B, σ),−)es adjun o po la izquie da de − ⊗
(A, B, σ).
2.5 La ca ego ía de (C, R, ν)-módulos 89
Demos ación:
Sea (( , 0), j)∈Hom((G, H, ω)⊗(C,R,ν)(A, B, σ),(M, N, µ)).El isomo ismo
lle a es e elemen o al mo ismo:
G
s

ω//H
( , 0)

Hom(B, M)δ//Hom((A, B, σ),(M, N, µ))
donde:
•s(g) = sges el mo ismo al que sg(b) = ([g⊗b]) ∈M.
• (h) = hes el mo ismo al que h(a) = 0([h⊗a]) ∈M.
• 0(h) = 0
hes el mo ismo al que 0
h(b) = j(h⊗b)∈N.
Así de inido, (s, ( , 0)) es un mo ismo de módulos c uzados:
i.1) δ(s(g))(a) = sg(σ(a)) = ([g⊗σ(a)]) = 0([ω(g)⊗a]) = (ω(g))(a).
i.2) δ(s(g))(b) = µ(sg(b)) = µ( ([g⊗b])) = j(ω(g)⊗b) = 0(ω(g))(b).
ii)s(hg)(b) = ([hg ⊗b]) = ((h⊗b)[g⊗b]) = j(h⊗b) ([g⊗b]) =
( 0(h)(b))(s(g)(b)) = {(( , 0)(h))(s(g))}(b).
Recíp ocamen e, el isomo ismo enunciado aplica un mo ismo (s, ( , 0)) ∈
Hom((G, H, ω), HOM((A, B, σ),(M, N, µ))) en:
((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im α
( , 0)

ρ//H⊗B
j

Mµ//N
donde:
• ([g⊗b]) = s(g)(b)∈M.
• 0([h⊗a]) = (h)(a)∈M.
•j(h⊗b) = 0(h)(b)∈N.

90 2 Cons ucciones en la ca ego ía
Es os mo ismos es án bien de inidos, ya que si omamos x∈Gey∈Ase
iene que ( , 0)([x⊗σ(y),−ω(x)⊗y]) = s(x)(σ(y)) − (ω(x))(y) = 0, po que
s(x)(σ(y)) = δ(s(x))(y) = (ω(x))(y).
Es i ial comp oba que así de inido (( , 0), j)es un mo ismo de módulos
c uzados. Las comp obaciones es an es son ambién inmedia as.

2.6 De i aciones 91
2.6. De i aciones
De inición 109 Dado un anillo H, sea (C, R, ν)un módulo c uzado al que C
yRson H-módulos y (C0, R0, ν0)un (C, R, ν)(α,β)-módulo. Una H-de i ación
son dos aplicaciones lineales ( , g) : (C, R, ν)→(C0, R0, ν0) e i icando:
i) ∈De H(C, C0), es deci , es un mo ismo de H-módulos al que
(cc0) = c∗ (c0) + c0∗ (c) = α(c)(ν0( (c0))) + α(c0)(ν0 (c)) pa a c, c0∈Cy
g∈De H(R, R0).
ii)ν0 =gν.
iii) ( c) = (β1( ))( (c)) + (α(c))(g( )), donde c∈C, ∈R.
El conjun o de las H-de i aciones en e (C, R, ν)y(C0, R0, ν0)lo deno a e-
mos po De H((C, R, ν),(C0, R0, ν0)).
En gene al Hcoincidi á con K, y cuando el con ex o sea cla o se habla á
de una de i ación, en luga de una H-de i ación.
Obse ación 110 Es a de inición gene aliza las de i aciones de álgeb as:
•Conside emos los módulos c uzados (0, R, 0),(0, R0,0), donde Rac úa
sob e R0y sea el mo ismo (0, g) : (0, R, 0) →(0, R0,0).Pa a que ( , g)sea
de i ación debe e i ica :
i)g∈De (R, R0).
ii)Sea ∈R, β1( )(0) + α(0)(g( )) = 0 + 0 = 0, con lo cual la igualdad
enunciada en iii)se e i ica siemp e.
Po an o, (0, R, 0) (0,g)
−→ (0, R0,0) como de i ación de módulos c uzados se
iden i ica con Rg
→R0como de i ación de álgeb as.
92 2 Cons ucciones en la ca ego ía
•Conside emos los módulos c uzados (C, C, id),(C0, C0, id), donde Cac úa
sob e C0; es a acción induce de o ma i ial una acción de (C, C, id)sob e
(C0, C0, id)de la siguien e mane a: (c, d)∗(c0, d0) = (c∗c0, d ∗d0), donde c, d ∈
C, c0, d0∈C0.
Sea la aplicación ( , g) : (C, C, id)→(C0, C0, id).Po se un mo ismo
de módulos c uzados se iene que =g. Pa a que ( , )sea de i ación debe
e i ica :
i) ∈De (C, C0).
ii) (dc) = β1(d)( (c)) + α(c)( (d)) = d∗ (c) + c∗ (d) = d (c) + c (d),
donde c, d ∈C.
Po an o (C, C, id)( , )
−→ (C0, C0, id)como de i ación de módulos c uzados
se iden i ica con C
→C0como de i ación de álgeb as.
Obse ación 111 Los módulos c uzados (C, R, ν)y(C0, R0, ν0)son equi a-
len es a las ca 1-álgeb as (CoR, s, ),(C0oR0, s0, 0).Una de i ación en e
es as ca 1-álgeb as es una de i ación de álgeb as h:CoR→C0oR0que
además conmu a con sy , es deci , hs =s0h, h = 0h.
Dada una de i ación ( , g) : (C, R, ν)→(C0, R0, ν0), la de i ación inducida
es:
h: (CoR, s, )→(C0oR0, s0, 0)
(c, )7−→ ( (c), g( ))
La condición i)en la de inición de las de i aciones implica que h∈De (Co
R, C0oR0), mien as que ii)yiii)implican que hconmu a con sy .
Ejemplo 112 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado y (C0, R0, ν0)un (C, R, ν)(α,β)-
módulo (po an o un (C0oC, R0oR, ν0oν)(αp1,βp2)-módulo). En onces (q1, q2) :
(C0oC, R0oR, ν0oν)→(C0, R0, ν0), donde (q1, q2)((c0, c),( 0, )) = (c0, 0),
es una de i ación. Vamos a comp oba lo:
i)q1∈De (C0oC, C0) : q1((c0, c),(d0, d)) = q1(c0d0+dc0+cd0, cd) =
c0d0+dc0+cd0=dc0+cd0= (d0, d)c0+(c0, c)d0= (d0, d)q1(c0, c) + (c0, c)q1(d0, d),
donde (c0, c),(d0, d)∈C0oC.
2.6 De i aciones 93
Análogamen e q2∈De (R0oR, R0).
ii)νq1(c0, c) = ν0(c0) = q2((ν0oν)(c0, c)), donde c0∈C0, c ∈C.
iii)q1(( 0, )(c0, c))=q1(α(c)( 0)+β1( )(c0)+ 0c0, c)=α(c)( 0)+β1( )(c0)=
αp1(c0, c)(q2( 0, ))+β1p2( 0, )(q1(c0, c)), donde c0∈C0, 0∈R0, c ∈C, ∈R.
Lema 113 Sean (C, R, ν)y(C0, R0, ν0)dos módulos c uzados y (C00, R00, ν00)
un (C0, R0, ν0)(α,β)-módulo. Dados un mo ismo de módulos c uzados ( , g) :
(C, R, ν)→(C0, R0, ν0)y una de i ación ( 0, g0) : (C0, R0, ν0)→(C00, R00, ν00),
se e i ica que ( 0, g0)◦( , g) = ( 0◦ , g0◦g)es una de i ación.
Demos ación:
C

ν//R
g

C0
0

ν0
//R0
g0

C00 ν00
//R00
P ime o se debe obse a que (C, R, ν)ac úa sob e (C00, R00, ν0) ía ( , g).
Vamos aho a a comp oba que ( 0◦ , g0◦g)es e ec i amen e una de i ación:
i) 0 (cd) = (c)∗ 0( (d)) + (d)∗ 0( (c)) = α( (c))(ν00( 0 (d)) +
α( (d))(ν00( 0 (c)) = c∗ 0 (d) + d∗ 0 (c), donde c, d ∈C.
Po an o 0 ∈De (C, C00)y análogamen e g0g∈De (R, R00).
ii) (g0◦g)◦ν=g0◦(g◦ν) = g0◦(ν0◦ ) = (g0◦ν0)◦ = (ν00 ◦ 0)◦ =
ν00 ◦( 0◦ ).
iii) 0 ( c) = 0(g( ) (c)) = β1(g( ))( 0 (c))+α( (c))(g0g( )) = (β1g( ))
( 0 (c)) + (α (c))(g0g( )), donde c∈C, ∈R. 
100 3 Álgeb a homológica de módulos c uzados
que es una adjunción conocida, cons uida a pa i de la adjunción de anillos
[47]:
ke ε(H, ε)

oo
Anillos //Anillos con 1
oo
A//A⊕Z
donde εes el mo ismo aumen ación de H,Hε
→Z.Y inalmen e:
C×R(C, R, ν)

oo
K-álgeb as con 1//Módulos c uzados con 1
oo
H//(H, H ⊗H, in)
donde Hdeno a el meno ideal de H⊗Hque con iene a odos los elemen os
de la o ma (h, 0).La comp obación de que es a es una adjunción es comple a-
men e análoga al caso de álgeb as sin unidad desc i o pa a p oba la ipleabi-
lidad, con la única di e encia de que el cop oduc o de dos álgeb as uni a ias es
su p oduc o enso .
De aho a en adelan e, pa a de ini la eo ía de (co)homología, conside-
a emos un módulo c uzado (C, R, ν)y un (C, R, ν)-modulo, (A, 0,0). Es a
es uc u a de (C, R, ν)-modulo induce una acción de 0oRsob e AoCy, po
an o, de Rsob e AoC(en pa icula , induce una acción de Rsob e A) de
la siguien e mane a:
•(0, )∗(a, c)≡ ∗(a, c)=(β1( )(a), c), donde c∈C, ∈R, a ∈Ay
(α, β)es la acción de (C, R, ν)sob e (A, 0,0).
Además, A iene es uc u a de R/ν(C)-módulo, es deci , de π1-módulo:
acabamos de e que Rac úa sob e A;aho a, aplicando la iden idad de Pei e
al módulo c uzado (AoC, 0oR, 0oν)≡(AoC, 0oR, ν)se iene que han
de coincidi :
•(ν(a, c))(a0c0) = (0, ν(c))(a0, c0) = (ν(c)a, ν(c)c0)
•(a, c)(a0, c0) = (aa0+c0a+ca0, cc0) = (c0a+ca0, cc0)
donde (a, c),(a0, c0)∈AoC.

3.1 (Co)Homología de módulos c uzados 101
Po an o debe e i ica se ν(c)a=c0a+ca0.Tomando a=a0yc0= 0 se
iene que 0 = ca =ν(c)a. Po an o A iene es uc u a de R/ν(C)-módulo.
Obse ación 118 El módulo c uzado (A, 0,0) es un (C, R, ν)-módulo ⇔A
es un C-módulo ya que una sucesión exac a co a o a a la de echa:
0//(A, 0,0) //(A, 0,0) o(C, R, ν)//(C, R, ν)//
oo0
o esc i a de o a mane a:
0//(A, 0,0) //(AoC, 0oR, 0oν)//(C, R, ν)//
oo0
que induce una sucesión exac a co a o a a la de echa:
0//A//AoC//C//
oo0
Recíp ocamen e, si Aes un C-modulo se iene la sucesión exac a:
0//A//AoC //C//
g
oo0
que induce la sucesión exac a:
0//(A, 0,0) //(AoC, 0oR, 0oν)( ,p 2)//(C, R, ν)//
(g,(0,id))
oo0
donde (g, (0, id))(c, ) = (g(c), )pa a c∈C, ∈R, es cla amen e una sección
de ( , p 2).
Es un hecho conocido que exis e un isomo ismo De ((C, R, ν),(A, 0,0)) ∼
=
HomXMod/(C,R,ν)((C, R, ν),(A, 0,0) o(C, R, ν)).Además, es i ial comp o-
ba que HomXMod/(C,R,ν)((C, R, ν),(A, 0,0) o(C, R, ν)) ∼
=HomR(C, A); bas-
a ene en cuen a que dado un mo ismo de álgeb as :C→A, el mo ismo
que induce en HomXMod/(C,R,ν)((C, R, ν),(A, 0,0) o(C, R, ν)) es:
C
(0, )

ν//R
id

AoC0oν//R
102 3 Álgeb a homológica de módulos c uzados
y pa a que es o sea un mo ismo de módulos c uzados debe e i ica se que
dados c∈C, ∈R, se enga (0, )( c) = id( )(0, )(c); es deci , ( c) =
(c)⇒ ∈HomR(C, A).
A con inuación amos a in e p e a es as de i aciones y el isomo ismo con
HomR(C, A)desde el pun o de is a de ca 1-álgeb as. Pa a ello p e iamen e
debemos conside a que la acción de (C, R, ν)sob e (A, 0,0) induce una acción
de CoRsob e Ao0, es deci , sob e A, de la siguien e mane a:
•(c, )∗a≡(c, )∗(a, 0) = ( ∗a+c∗a, 0) = (β1( )(a) + α(c)0(a),0) =
(β1( )(a),0) ≡β1( )(a), donde c∈C, ∈R, a ∈Ay(α, β)es la acción de
(C, R, ν)sob e (A, 0,0).
Además, como Aes singula , es un CoR-módulo. A ambién es un π1-
módulo, ya que C×0y0×ν(C)ac úan de mane a i ial sob e A.
Una de i ación en ca 1-álgeb as es, según [44], una de i ación de álge-
b as que conmu a con las ope aciones 1-a ias ω∈Ω1 {−}.En nues o ca-
so debemos in e p e a De ((CoR, s, ),(A, 0,0)). Po cons ucción, dado
(c, )∈CoR, s(c, ) = (0, ), (c, ) = (0, +ν(c)).Si conside emos d∈
De ((CoR, s, ),(A, 0,0)), pa a cumpli las conmu a i idades con las ope a-
ciones 1-a ias se debe e i ica d(s(c, )) = d( (c, )) = 0(d(c, )) = 0.Es deci ,
d(0, ) = 0 pa a odo ∈R.
Con odo es o se iene que De ((CoR, s, ),(A, 0,0)) ∼
={d∈De (Co
R, A)|d(0, R) = 0};es e conjun o se deno a á po De ((C, R, ν), A).Vamos a
comp oba que {d∈De (CoR, A)|d(0, R) = 0}es isomo o a HomR(C, A),
con lo cual las dos mane as de e las de i aciones son equi alen es.
De inimos α:{d∈De (CoR, A)|d(0, R) = 0} → HomR(C, A)
d7−→ α(d)
donde α(d)(c) = d(c, 0).Es a aplicación es un isomo ismo:
•αes inyec i a i ialmen e.
3.1 (Co)Homología de módulos c uzados 103
•αes sob eyec i a ya que dado ∈HomR(C, A)su p eimagen es d|
d(c, ) = (c).Así de inida dpe enece al dominio; cla amen e d(0, R) = 0
y además es una de i ación ya que dados (c, ),(c0, 0)∈CoR enemos que
d((c, ),(c0, 0)) = d(cc0+ c0+ 0c, 0) = (cc0+ c0+ 0c) = (cc0) + ( c0) +
( 0c) = (c) (c0) + (c0) + 0 (c).Como Aes singula , se iene que es o es
igual a (c, ) (c0)+(c0, 0) (c) = (c, )d(c0, 0)+(c0, 0)d(c, ).
Si pasamos a la ca ego ía coma sob e (C, R, ν)se iene un un o con a a-
ian e De (−, A) : XMod/(C, R, ν)→CoR-Mod;de hecho, dado un obje o
(C0, R0, ν0)→(C, R, ν)la acción de (C, R, ν)sob e Ainduce una acción de
(C0, R0, ν0)sob e A.
La comp obación del ca ác e un o ial es inmedia a. De ((C0, R0, ν0)→
(C, R, ν), A)(que deno a emos po De ((C0, R0, ν0), A)cuando el con ex o sea
cla o) es isomo o a HomR(C0→C, A)que es un g upo abeliano. La es uc u a
de CoR-Mod es la inducida po la es uc u a de CoR-Mod de A; es deci ,
dados (c, )∈CoR, (c0, 0)∈C0oR0yd∈De ((C0, R0, ν0), A)se iene
((c, )d)(c0, 0) = (c, )(d(c0, 0)).Cla amen e, (c, )d(0, R) = 0.
Obse ación 119 Las de i aciones De ((C, R, ν), A)que se acaban de de ini
son una pa icula ización de las de i aciones que se de inie on pa a el caso de
dos módulos c uzados gene ales De ((C, R, ν),(A, B, σ)) donde, en el caso que
acabamos de a a , B= 0, σ = 0.
Obse ación 120 Cuando se quie a explici a sob e qué anillo Hse conside-
an las de i aciones se habla á de una H-de i ación y se usa á la no ación
De H((C, R, ν), A) = {d∈De H(CoR, A)|d(0, R) = 0}.
A con inuación amos a es udia el obje o análogo a las di e enciales en la
ca ego ía de álgeb as conmu a i as, es o es, un obje o que p opo ciona á un
un o que ep esen a a las de i aciones.
Sabemos que De (CoR, A)∼
=HomCoR(ΩCoR, A),siendo ΩCoRlas di e-
enciales de inidas en álgeb as conmu a i as [2], es deci , ΩCoR=I/I2, donde
I= ke ((CoR)⊗(CoR)→(CoR)).
104 3 Álgeb a homológica de módulos c uzados
HomCoR(ΩCoR, A)→De (CoR, A)
7−→ ◦δ
donde δ∈De (CoR, ΩCoR), δ(c, ) = (c, )⊗(0,1) −(0,1) ⊗(c, ).
El obje o que in e esa es udia es De ((C, R, ν), A) = {d∈De (CoR, A)
|d(0, R) = 0};pa a ello se debe impone la es icción ◦δ(0, ) = 0,es deci ,
((0, )⊗(0,1) −(0,1) ⊗(0, )) = 0.
Además, dada d∈De ((C, R, ν), A),el mo ismo ∈HomCoR(ΩCoR, A)
al que co esponde se anula en:
•<(0, )⊗(0,1) >: ((0, )⊗(0,1)) = (0, )d(0,1) = 0.
•<(0,1) ⊗(0, )>: ((0,1) ⊗(0, )) = (0,1)d(0, ) = 0.
Po an o se iene el isomo ismo HomCoR(ΩCoR/ < (0, −1)⊗(0,1− )>
, A)∼
=De ((C, R, ν), A).Es e isomo ismo mo i a la siguien e de inición.
De inición 121 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado. Se de inen las di e enciales
Di (C, R, ν) = ΩCoR/ < (0, )⊗(0,1) −(0,1) ⊗(0, )> .
Obse ación 122 C, R yCoRson K-álgeb as; los enso es in e inien es
en la de inición de Di (C, R, ν)se ealizan, en es e caso, sob e K. Cuando se
quie a explici a sob e qué anillo se ealizan es os enso es, se usa á la no ación
Di ((C, R, ν)/K) = Ω(CoR)/K / < (0, )⊗(0,1) −(0,1) ⊗(0, )> .
Obse ación 123 Se puede comp oba i ialmen e que se ienen dos un o es
De ((C, R, ν),−), Di (C, R, ν)⊗ − :CoR-Mod →CoR-Mod. El isomo -
ismo señalado an es de la de inición mues a que De ((C, R, ν),−)es adjun o
po la de echa de Di (C, R, ν)⊗ −.
Obse ación 124 Di (C, R, ν) iene es uc u a de CoR-módulo, que he e-
da de ΩCoR.Además, y po analogía con el caso de álgeb as conmu a i as, da-
do un CoR-módulo Ase usa á Di ((C, R, ν), A)oDi ((C, R, ν),(A, 0,0))
pa a deno a (ΩCoR/ < (0, )⊗(0,1) −(0,1) ⊗(0, )>)⊗CoRA.
3.1 (Co)Homología de módulos c uzados 105
Las di e enciales e i ican cie o ipo de p opiedad uni e sal, como se e á
en la siguien e p oposición.
P oposición 125 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado y (A, 0,0) un (C, R, ν)-
módulo. Dada una de i ación h∈De ((C, R, ν), A)exis e un único mo ismo
de CoR-módulos :Di (C, R, ν)→Aque hace conmu a i o el siguien e
diag ama:
CoR
h

D//Di (C, R, ν)
wwooooooo
A
donde Des la composición de la de i ación d:CoR→ΩCoRy la p oyección
en el cocien e ΩCoR→Di (C, R, ν).
Demos ación:
U ilizando la p opiedad uni e sal que e i ica dse iene un mo ismo g:
ΩCoR→Aque hace conmu a i o el diag ama:
CoR
h

d//ΩCoR
g
yy
A
Además, dado ∈Rse iene que g((0, )⊗(0,1) −(0,1) ⊗(0, )) =
g(d(0, )) = h(0, ) = 0. Po an o, el mo ismo gse puede ex ende , ob e-
niendo el diag ama:
I////ΩCoR
g

p//Di (C, R, ν)
wwooooooo
A
donde Ideno a el ideal <(0, )⊗(0,1) −(0,1) ⊗(0, )>. Además, ◦D=
◦p◦d=g◦d=h.
Conside ando la ca ego ía coma sob e (C, R, ν)ob enemos un un o co-
a ian e Di (−, A) : XMod/(C, R, ν)→CoR-Mod;al igual que pa a las

106 3 Álgeb a homológica de módulos c uzados
de i aciones dado un obje o (C0, R0, ν0)→(C, R, ν)la acción de (C, R, ν)sob e
Ainduce una acción de (C0, R0, ν0)sob e A.
El ca ác e un o ial es de comp obación i ial. La es uc u a de Co
R-Mod de Di ((C0, R0, ν0)→(C, R, ν), A)es la inducida po la es uc u a
de CoR-Mod de A; po an o, se ía inmedia o do a de más es uc u a a
Di ((C0, R0, ν0)→(C, R, ν), A)si a Ase le pide ambién una mayo es uc-
u a (en el caso de las de i aciones hab ía que hace ambién alguna consid-
e ación sob e los módulos c uzados in e inien es). Cuando el con ex o sea
cla o se usa á la no ación Di ((C0, R0, ν0), A).
An es de de ini la (co)homología e emos algunos lemas e e en es a las
p opiedades de las de i aciones y las di e enciales.
Lema 126 Sea un módulo c uzado (C, R, ν) al que Ces lib e, Auna CoR-
álgeb a y Wun A-módulo. Si Kes una amilia de gene ado es independien es
de Cy a cada k∈Kse le asocia una copia Wkdel A-módulo W, se ienen los
isomo ismos na u ales de A-módulos:
De ((C, R, ν), W)∼
=Π
KWk
Di ((C, R, ν), W)∼
=Σ
KWk
Demos ación:
Una de i ación d∈De ((C, R, ν), W) iene de e minada po los alo es que
oma en los elemen os (c, 0), donde c∈C, ya que dado ∈Rse iene que
d(c, ) = d(c, 0) + d(0, ) = d(c, 0).
Po an o, dada una amilia de elemen os wk∈W, k ∈K, exis e una sola
de i ación d∈De ((C, R, ν), W) al que d(k) = wk, donde k∈Ky en onces
se iene que De ((C, R, ν), W)∼
=Π
KWk.
Pa a p oba el isomo ismo ela i o a las di e enciales conside amos o o
A-módulo W0. Se ienen los isomo ismos:
HomA(Di ((C, R, ν), W), W0) = HomA(Di (C, R, ν)⊗W, W 0)∼
=HomA(W,
HomA(Di (C, R, ν), W0))∼
=HomA(W, De ((C, R, ν), W0))∼
=HomA(W, ΠW0
k)
= ΠHomA(W, W0
k)∼
=HomA(ΣWk, W0).
3.1 (Co)Homología de módulos c uzados 107
Como es o se ha p obado pa a cualquie A-módulo W0se e i ica que
Di ((C, R, ν), W)∼
=Σ
KWk.
Lema 127 Sea un módulo c uzado (C, R, ν) al que Ces lib e. Sean Auna
CoR-álgeb a y W, M A-módulos. Se iene un isomo ismo na u al de A-
módulos:
Di ((C, R, ν), W)⊗AM∼
=Di ((C, R, ν), W ⊗AM).
Además, si Ces de ipo ini o se iene un isomo ismo na u al de A-
módulos:
De ((C, R, ν), W)⊗AM∼
=De ((C, R, ν), W ⊗AM).
Demos ación:
Bas a ene en cuen a el lema an e io , que el enso conmu a con las sumas
di ec as y que en el caso de que Csea de ipo ini o el p oduc o di ec o y la
suma di ec a coinciden. 
Lema 128 Sea un módulo c uzado (C, R, ν) al que Ces lib e. Sean Auna
CoR-álgeb a, Iun sis ema il an e y (Wi, ij)un sis ema induc i o de A-
módulos. Exis e un isomo ismo na u al de A-módulos:
l´ım
−→Di ((C, R, ν), Wi)∼
=Di ((C, R, ν),l´ım
−→Wi).
Además, si Ces de ipo ini o exis e un isomo ismo na u al de A-módulos
l´ım
−→De ((C, R, ν), Wi)∼
=De ((C, R, ν),l´ım
−→Wi).
Demos ación:
Bas a ene en cuen a que las sumas di ec as y los lími es induc i os conmu-
an. 
Lema 129 Sea un módulo c uzado (C, R, ν) al que Ces lib e. Sean Auna
CoR-álgeb a y Wun A-módulo plano/lib e/p oyec i o. Se e i ica que el A-
módulo Di ((C, R, ν), W)es plano/lib e/p oyec i o espec i amen e.
108 3 Álgeb a homológica de módulos c uzados
Además, si Ces un álgeb a de ipo ini o se e i ica que el A-módulo
De ((C, R, ν), W)es plano/lib e/p oyec i o espec i amen e.
Demos ación:
Bas a ene en cuen a que las sumas di ec as de módulos lib es, planos o p oyec-
i os son ambién módulos lib es, planos o p oyec i os, espec i amen e. 
Lema 130 Sea un módulo c uzado (C, R, ν) al que Ces lib e. Sean Auna
CoR-álgeb a y Wun A-módulo inyec i o. El A-módulo De ((C, R, ν), W)es
inyec i o.
Además, si Ces un álgeb a de ipo ini o se e i ica que el A-módulo
Di ((C, R, ν), W)es inyec i o.
Demos ación:
Bas a ene en cuen a que el p oduc o di ec o de módulos inyec i os es ambién
inyec i o. 
Lema 131 Sea un módulo c uzado (C, R, ν) al que Ces lib e y Aes una
CoR-álgeb a. Sea:
0//W0//W//W00 //0
una sucesión exac a de A-módulos. En onces exis en dos sucesiones exac as de
C-módulos:
0//Di ((C, R, ν), W0)//Di ((C, R, ν), W)//Di ((C, R, ν), W00)//0
0//De ((C, R, ν), W0)//De ((C, R, ν), W)//De ((C, R, ν), W 00)//0
Demos ación:
Bas a ene es cuen a que las sumas di ec as y los p oduc os di ec os de suce-
siones exac as son sucesiones exac as. 
La adjunción p e iamen e mencionada en e Se y Módulos c uzados con 1
induce una adjunción en e las ca ego ías coma XMod/(C, R, ν)ySe /U(C, R,
3.1 (Co)Homología de módulos c uzados 109
ν).Deno ando po FU el co iple co espondien e, pa a cons ui la (co)homolo-
gía de (C, R, ν)con coe icien es en el (C, R, ν)-módulo (A, 0,0),se de i a án
los un o es Di (−, A)yDe (−, A) espec o al co iple F U.
De inición 132 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado y (A, 0,0) un (C, R, ν)-módulo.
Se de ine, pa a cada n⩾0 :
Hn((C, R, ν), A) = HnDi (FU∗(C, R, ν), A).
Hn((C, R, ν), A) = HnDe (FU∗(C, R, ν), A).
Obse ación 133 Dado un módulo c uzado (C, R, ν), pa a calcula su (co)ho-
mología, ambién se pueden usa algunas esoluciones no es ánda , como po
ejemplo, una esolución simplicial p oyec i a, es deci , un complejo simplicial
aumen ado de módulos c uzados (C, R, ν)∗→(C, R, ν) al que (C, R, ν)nes
p oyec i o pa a odo n≥0y la aplicación simplicial inducida en e U(C, R, ν)∗
y el complejo simplicial cons an e U(C, R, ν), es una equi alencia de homo-
opía.
Como la esolución ob enida u ilizando la adjunción F U es una esolución
simplicial p oyec i a, se iene que pa a cualquie o a esolución de es e ipo
(C, R, ν)∗y un (C, R, ν)-módulo Ase e i ican los isomo ismos [8]:
Hn((C, R, ν), A)∼
=Hn(Di ((C, R, ν)∗, A)).
Hn((C, R, ν), A)∼
=Hn(De ((C, R, ν)∗, A)).
U((C, R, ν)∗)es el conjun o simplicial C∗×R∗y po an o U((C, R, ν)∗)
es siemp e un conjun o simplicial de Kan. Po ello, U(C, R, ν)∗→U(C, R, ν)
es una equi alencia de homo opía si y solo si los mo ismos simpliciales C∗→
C, R∗→Rson equi alencias débiles, es deci , si π0(C∗) = C, π0(R∗) = Ry
πi(C∗) = πi(R∗) = 0 pa a odo i > 0.
116 3 Álgeb a homológica de módulos c uzados
o esc i o de o a mane a:
0//(G, H, ω)I=(id,0)
//(GoC, H oR, ω oν)F=p 2//(C, R, ν)//0
Es a es una ex ensión cen al ya que coinciden:
•I((F((g, h),(c, )))(g0, h0)) = I((c, )(g0, h0)) = I(cg0, h0) = ((cg0, h0),(0,0)).
•((g, c),(h, ))I(g0, h0)=((g, h),(c, ))((g0, h0),(0,0))=((gg0+cg0, h0),(0,0))=
((cg0, h0),(0,0)),
donde c∈C, ∈R, g, g0∈G, h, h0∈H.
De inición 147 Dos ex ensiones cen ales (A, B, σ),(A0, B0, σ0)de (C, R, ν)
po (G, H, ω)se dice que son cong uen es si exis e un mo ismo (es deci , un
isomo ismo) : (A, B, σ)→(A0, B0, σ0) al que el diag ama:
0//(G, H, ω)//
&&
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N(A, B, σ)//


(C, R, ν)//0
(A0, B0, σ0)
88
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
es conmu a i o.
Es a elación de cong uencia, que deno a emos po (A, B, σ)≡(A0, B0, σ0),
es una elación de equi alencia. Se deno a á po Ex((C, R, ν),(G, H, ω)) el con-
jun o de odas las clases de equi alencia de ex ensiones cen ales de (C, R, ν)
po (G, H, ω).
Lema 148 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado al que Ces un cocien e de K,
C=K/I. Conside emos un (C, R, ν)-módulo (A, 0,0). Se iene en onces que
Ex((C, R, ν), A)≡Ex((C, R, ν),(A, 0,0)) = Ex(C, A).
Demos ación:
Conside emos un elemen o de Ex(C, A):

3.2 Ex ensiones de módulos c uzados y sucesiones exac as 117
0//Ai//C0 //C//0
donde es un mo ismo de K-álgeb as, y en pa icula de K-módulos. Como
C0es un C-módulo y exis e un mo ismo sob eyec i o KK/I =Cse iene
que es de C-módulos [48], y ambién de R-módulos.
0//Ai//

C0 //
ν◦

C//
ν

0
0//0//Rid //R//0
Se e i ica que C0ν◦
→Res un módulo c uzado:
•((ν◦ )(c))c0=ν( (c))c0= (c)c0≡cc0, donde c, c0∈C0.
•(ν◦ )( c) = ν( ( c)) = ν( (c)) = ν( (c)), donde c∈C0, ∈R0.
Además, se e i ica i ialmen e que ( , id)es un mo ismo de módulos
c uzados. Finalmen e e emos que es e diag ama cumple la igualdad necesa ia
pa a que sea una ex ensión de (C, R, ν)po (A, 0,0) :
Usa emos la no ación I= (i, 0), F = ( , id)pa a los mo ismos de módu-
los c uzados. Se iene que (c, )I(a, 0) = (c, )(i(a),0) = (ci(a) + i(a),0) =
(i( (c)a) + i( ( ))a, 0) = I( (c)a+ ( )a, 0) = I(( (c), ( )),(a, 0)), donde
a∈A, c ∈C0, ∈R.
El es o de comp obaciones son inmedia as. 
Teo ema 149 (de clasi icación)
Sea (C, R, ν)un módulo c uzado al que Ces un cocien e de K,C=K/I.
Dado (A, 0,0) un (C, R, ν)-módulo se iene un isomo ismo:
Ex((C, R, ν), A)∼
=H1((C, R, ν), A).
118 3 Álgeb a homológica de módulos c uzados
Demos ación:
Conside emos la esolución usada pa a calcula la cohomología de (C, R, ν) :
· · · ////////(J, J ⊗J, in)//////
((
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q(H, H ⊗H, in)////

(C, R, ν)//
wwoooooooooooo
0
(C, R, ν)
donde H=K[C×R]yJ=K[H×(H⊗H)].Aplicando los coe icien es
co espondien es y conside ando el complejo asociado se ob iene:
0//De ((C, R, ν), A)//
))
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
SDe ((H, H ⊗H, in), A)//

De ((J, J ⊗J, in), A)· · ·
iiiiiiiiiiiiiiiii
De ((C, R, ν), A)
U ilizando el isomo ismo en e las de i aciones y los homomo ismos se
iene el complejo:
0//HomR(C, A)//HomH⊗H(H, A)//HomJ⊗J(J, A)//· · ·
Tan o Hcomo Json álgeb as de polinomios sob e K; debido a es o, exis en
mo ismos sob eyec i os de H⊗HyJ⊗JaK, y po an o a C=K/I;además
HyJson C-módulos. Con odo es o, el complejo cadena se puede sus i ui
po o o complejo isomo o [48]:
0//HomC(C, A)//HomC(H, A)//HomC(J, A)//· · ·
Es e complejo nos pe mi e calcula la cohomología de Ccon coe icien es
en Ay po an o H1((C, R, ν), A)∼
=Ex(C, A) = Ex((C, R, ν), A).
De inición 150 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado. Se dice que (C, R, ν)es
débilmen e liso (sob e K) si pa a cualquie ex ensión cen al de un módulo
c uzado (A, B, σ)po o o del ipo (A0,0,0) :
3.2 Ex ensiones de módulos c uzados y sucesiones exac as 119
0//(A0,0,0) //(A00, B, σ00) //(A, B, σ)//0
y pa a cualquie mo ismo g: (C, R, ν)→(A, B, σ)exis e un mo ismo h:
(C, R, ν)→(A00, B, σ00) al que ◦h=g.
(K, K, id)//

(C, R, ν)
g

h
xxpppppp
0//(A0,0,0) //(A00, B, σ00) //(A, B, σ)//0
Ejemplo 151 Cualquie módulo c uzado del ipo (K[x1, ..., xn], K[x1, ...xn], id)
es débilmen e liso.
Teo ema 152 En las condiciones del eo ema de clasi icación, un módulo
c uzado (C, R, ν)es débilmen e liso si y sólo si H1((C, R, ν), A) = 0 pa a
odo (C, R, ν)-módulo A.
Demos ación:
“⇒”
Como (C, R, ν)es débilmen e liso dado un (C, R, ν)-módulo (A, 0,0) se
iene diag ama:
(C, R, ν)
id

g
xxqqqqqqqqqq
0//(A, 0,0) //(A0, R, ν0) //(C, R, ν)//0
es deci , se iene una sección de , ◦g=id. Po an o (A0, R, ν0)es isomo o a
(A, 0,0) o(C, R, ν)y la ex ensión es la i ial; con es o H1((C, R, ν), A) = 0.
“⇐”
Conside emos una ex ensión cen al:
120 3 Álgeb a homológica de módulos c uzados
0//A00 //
0

A0 //
σ0

A
σ

//0
0//0//B 0
//B//0
y un mo ismo (g, g0) : (C, R, ν)−→ (A, B, σ).Cons uimos aho a el cuad ado
ca esiano ela i o a los mo ismos (g, g0) : (C, R, ν)−→ (A, B, σ),( , 0) :
(A0, B, σ0)→(A, B, σ) :
(G, H, ω)(h,h0)//
(i,i0)


(C, R, ν)
(g,g0)

0//(A00,0,0) //(A0, B, σ)( , 0)//(A, B, σ)//0
Es e cuad ado ca esiano se cons uye a pa i de los dos cuad ados ca e-
sianos siguien es en la ca ego ía de álgeb as conmu a i as:
G//


C

H//


R

A0//A B //B
Se iene po ello que H=Ry además el núcleo de G→Ces A00.Po an o
se puede eesc ibi el diag ama:
0//(A00,0,0) //

(G, H, ω)(h,h0)//
(i,i0)


(C, R, ν)
(g,g0)

//0
0//(A00,0,0) //(A0, B, σ)( , 0)//(A, B, σ)//0
donde la ila supe io es una ex ensión cen al. Es a ex ensión debe se i ial
ya que H1((C, R, ν), A00) = 0 y po an o exis e una sección de (h, h0), es deci ,
(j, j0) : (C, R, ν)→(G, H, ω) al que (j, j0)◦(h, h0) = id(G,H,ω).De es a mane a
(i, i0)◦(j, j0)es el le an amien o de (g, g0).
3.2 Ex ensiones de módulos c uzados y sucesiones exac as 121
Teo ema 153 (P ime a sucesión exac a undamen al)
Sea (C, R, ν)un módulo c uzado y Hun anillo al que exis e un mo ismo
de anillos j:H→K. En onces hay una sucesión exac a:
Di ((K, K, id)/H)⊗K(CoR)α
→Di ((C, R, ν)/H)β
→Di ((C, R, ν)/K)
→0
Los mo ismos αyβ ienen dados po las exp esiones:
α(D(k, k0)⊗(c, )) = (c, )D0( (k), g(k0))
β(D0(c, )) = D00(c, )
donde ygson los mo ismos :K→C, g :K→Rque exis en po
se CyR K-álgeb as y D, D0yD00 ep esen an los mo ismos na u ales D:
KoK→Di (K, K, id), D0:CoR→Di ((C, R, ν)/H), D00 :CoR→
Di ((C, R, ν)/K).
Demos ación:
De la misma o ma que en el enunciado del eo ema, en la demos ación amos
a ealiza un abuso de no ación omi iendo las clases de equi alencia pa a que
es a sea más cla a.
Los mo ismos αyβes án bien de inidos ya que α(((0, k)⊗(0,1)−(0,1)⊗
(0, k))⊗(c, )) = α(D(0, k)⊗(c, )) = (c, )D0(( , g)(0, k)) = (c, )D0(0, g(k)) =
0yβ((0, )⊗(0,1) −(0,1) ⊗(0, )) = β(D0(0, )) = D00(0, ) = 0.
El módulo c uzado (C, R, ν)es un obje o de XModK, pe o po medio del
mo ismo j:H→Kes ambién un obje o de XModH.
El mo ismo βes cla amen e sob eyec i o. Pa a comp oba la exac i ud de
la se ie se aplica á el lema de Yoneda [51] en la ca ego ía de CoR-módulos;
con es o se iene que es su icien e comp oba la exac i ud de:
HomCoR(Di ((K, K, id)/H)⊗K(CoR), A)α∗
←HomCoR(Di ((C, R, ν)/H),
A)β∗
←HomCoR(Di ((C, R, ν)/K), A)
pa a cualquie CoR-módulo A. A su ez, y eniendo en cuen a el isomo ismo
(CoR)⊗(CoR)A∼
=A, es a sucesión es equi alen e a:

122 3 Álgeb a homológica de módulos c uzados
De H((K, K, id), A)De H((C, R, ν), A)
α∗
ooDe K((C, R, ν), A).
β∗
oo
•Im β∗⊆ke α∗ya que cualquie K-de i ación d: (C, R, ν)→(A, 0,0) se
anula sob e KoK.
•ke α∗⊆Im β∗:sea duna H-de i ación d: (C, R, ν)→(A, 0,0) al que
d(KoK) = 0.Como además d(0, K) = 0, se iene que d(K, 0) = 0 y po an o
des una K-de i ación [29]. 
Teo ema 154 (Segunda sucesión exac a undamen al)
Sea (C, R, ν)un módulo c uzado e (I, J, ϕ)un ideal c uzado. En onces se
iene una sucesión exac a:
(IoJ)/[IoJ, I oJ]α
→Di (C, R, ν)⊗K((CoR)/(IoJ)) β
→Di ((C, R, ν)/
(I, J, ϕ)) →0
donde αes el mo ismo α(i, j) = D(i, j)⊗(0,1), con Dla composición CoRd
→
ΩCoR→Di (C, R, ν).
Demos ación:
Como ya se ha hecho en el an e io eo ema, en es e ambién se an a omi i
las clases de equi alencia en la no ación.
Sean (i, j)∈IoJ, (c, )∈CoR; se iene que α((c, )(i, j)) = d((i, j)(c, ))⊗
(0,1) = (c, )d(i, j)⊗(0,1) + (i, j)d(c, )⊗(0,1) = d(i, j)⊗(c, ).Po an o,
αes CoR-lineal.
Además, dado (i0, j0)∈IoJse iene que α((i0, j0)(i, j)) = 0 y el mo ismo
es á bien de inido.
Aplicando el lema de Yoneda, la exac i ud de la sucesión p opues a es
equi alen e a la exac i ud de:
HomCoR/IoJ((IoJ)/[IoJ, I oJ], A)α∗
←HomCoR/IoJ(Di (C, R, ν)⊗K
((CoR)/(IoJ)), A)β∗
←HomCoR/IoJ(Di ((C, R, ν)/(I, J, ϕ)), A)←0
3.2 Ex ensiones de módulos c uzados y sucesiones exac as 123
pa a cualquie (CoR)/(IoJ)-módulo A. Además, es a sucesión la podemos
sus i ui po :
HomCoR/IoJ((IoJ)/[IoJ, IoJ], A)α∗
←De K((C, R, ν), A)β∗
←De K((C, R,
ν)/(I, J, ϕ), A)←0.
•β∗es inyec i a i ialmen e.
•Im β∗⊆ke α∗:sea d∈Im β∗⇒d(IoJ) = 0 ⇒d∈ke α∗.
•ke α∗⊆Im β∗:sea d:CoR→Auna K-de i ación al que d(0, R) = 0;
(α∗d)(i, j) = d(i, j).Si α∗(d)=0⇒d(IoJ)=0ydse puede e como una
K-de i ación de CoR/I oJen Aque además e i ica d(0, R) = 0.
124 3 Álgeb a homológica de módulos c uzados
3.3. (Co)Homología de módulos c uzados as é icos
De inición 155 Se dice que un módulo c uzado (C, R, ν)es as é ico si el mo -
ismo νes inyec i o.
Los módulos c uzados as é icos o man una subca ego ía den o de los mó-
dulos c uzados, que además es isomo a a la ca ego ía de mo ismos de álgeb as
sob eyec i os:
Mo ismos sob eyec i os →Módulos c uzados as é icos
:RR07−→ (ke , R, in)
Módulos c uzados as é icos →Mo ismos sob eyec i os
(C, R, ν)7−→ R→R/ν(C)
Además, sean R, R0dos K-álgeb as y :R→R0un mo ismo sob eyec i o
en e ellas. (ke , R, in)es cla amen e un módulo c uzado as é ico. Además,
a es e módulo c uzado le co esponde el mo ismo :R→R/ ke ∼
=R0.
La comp obación ecíp oca es ambién inmedia a. Al módulo c uzado as é ico
inducido po un mo ismo sob eyec i o lo deno a emos po XM( ).
Aho a, sea Aun álgeb a singula al que exis e una acción de XM( )sob e
ella, es deci , (A, 0,0) es un XM( )-módulo. En es e caso, Aes un R0-módulo
y ambién un R-módulo ía .
Lema 156 Sean :R→R0, 0:R0→Rmo ismos de álgeb as ales que
0=id. Sea Aun XC( )-módulo. Se e i ica que hay una sucesión exac a
co a:
0//De (R0, A)//De (R, A)//De (XC( ), A)//0
Demos ación:
De inimos:
3.3 (Co)Homología de módulos c uzados as é icos 125
α:De (R, A)→De (XC( ), A)
d7−→ (α(d))(i, j) = d(i)
Se e i ica que:
i)(α(d))(0, j) = 0
ii)(α(d))((i, j)(i0, j0)) = (α(d))(ii0+j0i+ji0, jj0) = d(ii0+j0i+ji0) = d(ii0)+
d(j0i)+ d(ji0) = id(i0) +i0d(i)+j0d(i) +id(j0)+jd(i0)+ i0d(j) = j0d(i)+jd(i0).
Es a úl ima igualdad se iene po que la acción de ke sob e Aes i ial.
Po o o lado (i, j)(α(d)(i0, j0))+(i0, j0)(α(d)(i, j)) = (i, j)d(i0)+(i0, j0)d(i)≡
jd(i0) + j0d(i).
Los dos pun os an e io es p ueban que α(d)∈De (XC( ), A).Además,
dada d∈De (XC( ), A), se e i ica que d(i) = d0(i+ 0 (i),0) es la p eimagen
de dya que (α(d))(i, i) = d(i) = d0(i, 0) = d0(i, j).
La exac i ud en los o os é minos es inmedia a. 
Conside emos un mo ismo de álgeb as sob eyec i o :R→R0y sea Aun
XC( )-módulo. Deno a emos po T∗(R, A), T ∗(R, A)los complejos es ánda
u ilizados pa a compu a la (co)homología de Rcon coe icien es en A.
El mo ismo induce un mo ismo inyec i o de cadenas T∗(R, A)T∗(R0, A)
y un mo ismo sob eyec i o de cocadenas T∗(R0, A)T∗(R, A).Es o nos pe -
mi e de ini la siguien e (co)homología ela i a:
Hn(R0, R;A) = Hnke (T∗(R, A)T∗(R0, A)).
Hn(R0, R;A) = Hncoke (T∗(R0, A)T∗(R, A)).
Teo ema 157 Sea :R→R0un mo ismo sob eyec i o de álgeb as y Aun
XC( )-módulo. En onces:
Hn(XC( ), A)∼
=De (XC( ), A)si n= 0.
Hn(R0, R;A)si n > 0.
Hn(XC( ), A)∼
=Di (XC( ), A)si n= 0.
Hn(R0, R;A)si n > 0.
132 3 Álgeb a homológica de módulos c uzados
Pa a cons ui la (co)homología de (C, R, ν)con coe icien es en el (C, R, ν)-
módulo (0, A, 0) se de i a án los un o es Di (−, A)yDe (−, A) espec o al
co iple FU p opo cionado po la adjunción exis en e en e las ca ego ías coma
Se /(C, R, ν)yXMod/U(C, R, ν).
De inición 165 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado y (0, A, 0) un (C, R, ν)-módulo.
Se de ine, pa a cada n⩾0 :
Hn((C, R, ν), A) = HnDi (FU∗(C, R, ν), A).
Hn((C, R, ν), A) = HnDe (FU∗(C, R, ν), A).
Obse ación 166 Dado un módulo c uzado (C, R, ν), pa a calcula su (co)ho-
mología ambién se pueden usa algunas esoluciones no es ánda , como po
ejemplo, una esolución simplicial p oyec i a, es deci , un complejo simplicial
aumen ado de módulos c uzados (C, R, ν)∗→(C, R, ν) al que (C, R, ν)nes
p oyec i o pa a odo n≥0y la aplicación simplicial inducida en e U(C, R, ν)∗
y el complejo simplicial cons an e U(C, R, ν), es una equi alencia de homo-
opía.
Como la esolución ob enida u ilizando la adjunción F U es una esolución
simplicial p oyec i a, se iene que pa a cualquie o a esolución de es e ipo
(C, R, ν)∗y un (C, R, ν)-módulo (0, A, 0) se e i ican los isomo ismos [8]:
Hn((C, R, ν), A)∼
=Hn(Di ((C, R, ν)∗, A)).
Hn((C, R, ν), A)∼
=Hn(De ((C, R, ν)∗, A)).
Obse ación 167 La (co)homología de inida gene aliza la (co)homología de
álgeb as conmu a i as.
Conside emos un módulo c uzado (0, R, 0) y un (0, R, 0)-módulo (0, A, 0).
En es e caso De ((0, R, 0), A) = {d∈De (0oR, A)|d(0,0) = 0} ≡ De (R, A)
y po an o Hn((0, R, 0),(0, A, 0)) ≡Hn(R, A).
Po o o lado Di (0, R, 0) = Ω0oR/ < 0>≡ΩRy po an o se iene que
Hn((0, R, 0),(0, A, 0)) ≡Hn(R, A).

3.4 (Co)Homología con coe icien es (0, A, 0) 133
La homología y cohomología inducen un o es:
Hn(−,−) : CoR-Mod →CoR-Mod
Hn(−,−) : CoR-Mod →CoR-Mod
el p ime o de los cuales es co a ian e y el segundo es con a a ian e en la
p ime a a iable.
A con inuación, se desc iben di e sos esul ados sob e la (co)homología que
se acaba de de ini . No se ecogen sus demos aciones ya que es as son com-
ple amen e análogas a las ealizadas pa a la eo ía de (co)homología de inida
p e iamen e.
P oposición 168 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado y (0, A, 0) un (C, R, ν)-
módulo. Se e i ica:
i)H0((C, R, ν), A)∼
=Di ((C, R, ν), A).
H0((C, R, ν), A)∼
=HnDe ((C, R, ν), A).
ii)Si (C, R, ν)es un módulo c uzado p oyec i o se e i ica que:
Hn(C, R, ν), A) = 0 Hn((C, R, ν), A) = 0 pa a odo n > 0.
iii)Dada una sucesión exac a co a de (C, R, ν)-módulos:
0//A0//A//A00 //0
se ienen sucesiones exac as la gas en (co)homología:
· · · → Hn((C, R, ν), A0)→ Hn((C, R, ν), A)→ Hn((C, R, ν), A00)→ Hn−1((C,
R, ν), A0)→ · · ·
· · · → Hn((C, R, ν), A0)→ Hn((C, R, ν), A)→ Hn((C, R, ν), A00)→ Hn+1((C,
R, ν), A0)→ · · ·
P oposición 169 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado y {(0, Aj,0)}Juna amilia
de (C, R, ν)-módulos. Se e i ica que:
Hn((C, R, ν),Σ
JAj)∼
=Σ
JHn((C, R, ν), Aj).
134 3 Álgeb a homológica de módulos c uzados
P oposición 170 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado y {(0, AJ,0)}Juna amilia
de (C, R, ν)-módulos. Se e i ica que:
Hn((C, R, ν),Π
JAj)∼
=Π
JHn((C, R, ν), Aj).
Teo ema 171 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado, (0, A, 0) un (C, R, ν)-módulo
y(0, W, 0) un (0, A, 0)-módulo (es deci , Wun A-módulo). Exis e un isomo -
ismo de A-módulos:
Hn((C, R, ν), A)⊗AW∼
=Hn((C, R, ν), W)
si se e i ica alguna de las condiciones siguien es:
•Wes un módulo plano.
•El un o Hn((C, R, ν),−) : CoR-Mod →CoR-Mod es exac o a la
de echa.
Obse ación 172 La segunda hipó esis se puede cambia po la condición de
que el un o Hn−1((C, R, ν),−) : CoR-Mod →CoR-Mod sea exac o a la
izquie da.
Teo ema 173 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado, (0, A, 0) un (C, R, ν)-módulo
y(W, 0,0) un (0, A, 0)-módulo (es deci , Wun A-módulo). Exis e un isomo -
ismo de A-módulos:
Hn((C, R, ν), W)∼
=HomA(Hn((C, R, ν), A), W)
si se e i ica alguna de las condiciones siguien es:
•Wes un módulo inyec i o.
•El un o Hn((C, R, ν),−) : CoR-Mod →CoR-Mod es exac o a la
de echa.
3.4 (Co)Homología con coe icien es (0, A, 0) 135
Obse ación 174 La segunda hipó esis se puede cambia po la condición de
que el un o Hn−1((C, R, ν),−) : CoR-Mod →CoR-Mod sea exac o a la
de echa.
P oposición 175 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado, Auna CoR-álgeb a, W
un A-módulo y Mun A-módulo plano. En onces exis en isomo ismos na u-
ales:
Hn((C, R, ν), W)⊗AM∼
=Hn((C, R, ν), W ⊗AM).
Además, si Kes noe he iano y el álgeb a CoRes de ipo ini o se ienen
los isomo ismos na u ales:
Hn((C, R, ν), W)⊗AM∼
=Hn((C, R, ν), W ⊗AM).
Co ola io 176 Sea (C, R, ν)un módulo c uzado, Aun CoR-módulo, W
un A-módulo y Sun subconjun o mul iplica i amen e ce ado de A. Se ienen
isomo ismos na u ales:
S−1Hn((C, R, ν), W)∼
=Hn((C, R, ν), S−1W).
Además, si Kes noe he iano y CoRes de ipo ini o, se ienen los iso-
mo ismos na u ales:
S−1Hn((C, R, ν), W)∼
=Hn((C, R, ν), S−1W).
Po o a pa e, H1 ambién se puede iden i ica con cie a clase de ex en-
siones, como e emos a con inuación.
Teo ema 177 (de clasi icación)
Sea (C, R, ν)un módulo c uzado al que Res un cocien e de K, y sea
(0, A, 0) un (C, R, ν)-módulo. En onces, se iene un isomo ismo:
Ex(R/ν(C), A)∼
=H1((C, R, ν), A).
136 3 Álgeb a homológica de módulos c uzados
Demos ación:
Conside emos la esolución usada pa a calcula la cohomología de (C, R, ν) :
· · · ////////(J, J ⊗J, in)//////
((
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q(H, H ⊗H, in)////

(C, R, ν)//
wwoooooooooooo
0
(C, R, ν)
donde H=K[C×R]yJ=K[H×(H⊗H)].Aplicando los coe icien es
co espondien es y conside ando el complejo asociado se ob iene:
0//De ((C, R, ν), A)//
))
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
SDe ((H, H ⊗H, in), A)//

De ((J, J ⊗J, in), A)· · ·
iiiiiiiiiiiiiiiii
De ((C, R, ν), A)
o esc i o de o a o ma:
0//De (R/ν(C), A)//
))
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
RDe ((H⊗H)/H, A)//

De ((J⊗J)/J, A)· · ·
jjjjjjjjjjjjjjjj
De (R/ν(C), A)
y como es e complejo p opo ciona la cohomología de R/ν(C)con coe icien es en
De (−, A), enemos que H1((C, R, ν), A)∼
=H1(R/ν(C), A)∼
=Ex(R/ν(C), A).
En las condiciones del eo ema que se acaba de enuncia , si se de ine un
concep o análogo al de módulo c uzado débilmen e liso pe o con espec o a
ex ensiones cen ales del ipo:
0//(0, B0,0) //(A, B00, σ00) //(A, B, σ)//0
se iene que H1((C, R, ν), A) = 0 pa a odo (C, R, ν)-módulo (0, A, 0) si y solo
si (C, R, ν)es débilmen e liso.
3.4 (Co)Homología con coe icien es (0, A, 0) 137
Además, dado un módulo c uzado (C, R, ν)y un anillo H al que exis e un
mo ismo de anillos j:H→K, en onces se iene una sucesión exac a:
Di ((K, K, id)/H)⊗K(CoR)α
→ Di ((C, R, ν)/H)β
→ Di ((C, R, ν)/K)
→0
y si (I, J, ϕ)un ideal c uzado de (C, R, ν), exis e una sucesión exac a:
(IoJ)/[IoJ, I oJ]α
→ Di (C, R, ν)⊗K((CoR)/(IoJ)) β
→ Di ((C, R, ν)/
(I, J, ϕ)) →0
Las demos aciones son análogas a las p e iamen e ealizadas.

Capí ulo 4
Cálculo e ec i o de homología
con HAP
GAP (G oups, Algo i hms, P og amming) [25] es un p og ama de código li-
b e o ien ado hacia el álgeb a compu acional disc e a. P opo ciona un lenguaje
de p og amación, una g an lib e ía de unciones con algo i mos algeb aicos im-
plemen ados esc i os en lenguaje GAP y una lib e ía con da os de nume osos
obje os algeb aicos. Es e sis ema y oda la documen ación y manuales ela-
cionados se pueden encon a en:
h p://www.gap-sys em.o g/gap.h ml
GAP empezó a se desa ollado en 1986 en Leh s uhl D ü Ma hema ik,
RWTH Aachen. Más a de, en 1997, el desa ollo de GAP comenzó a se co-
o dinado en S . And ews y, ac ualmen e, hay cua o cen os que colabo an en
con inua desa ollando y man eniendo GAP. Es os cua o cen os se encuen-
an localizados en Aachen, B aunschweig, Fo Collins y S . And ews.
Du an e odos es os años GAP ha expe imen ado muchos cambios y ha
enido di e en es e siones. Desde 2001 es á cons i uido po un núcleo (esc i o
en C), en el que se ag upan las es uc u as y u ilidades básicas, y una g an
lib e ía di idida en módulos, cada uno de los cuales iene uncionalidades en
139
140 4 Cálculo e ec i o de homología con HAP
dis in as á eas. Además, hay una la ga lis a de paque es acep ados p og a-
mados po gen e que colabo a en el desa ollo de GAP. Cada uno de es os
paque es iene que se ins alado de o ma adicional y suelen es a o ien ados
hacia uncionalidades más especí icas.
En e las u ilidades p opo cionadas po GAP y sus paque es algunos ejem-
plos son: di e sos cómpu os con módulos c uzados y ca 1-g upos ales co-
mo de i aciones o mo ismos (paque e XMod), unciones elacionadas con la
(co)homología de g upos (paque e HAP), cálculos con g upos nilpo en es (pa-
que e nq), uncionalidades pa a maneja álgeb as de Lie y sus ep esen aciones
(módulo Lie álgeb a)... Además, algunos paque es p opo cionan nexos con
o os sis emas:
•Una in e az al sis ema KANT/KASH pa a eo ía algeb aica de núme os.
•Una in e az al sis ema SINGULAR pa a geome ía algeb aica (que pe -
mi e, en pa icula , ealiza cálculos con bases de G öbne ).
•Una in e az de GAP a Maple que se es á desa ollando ac ualmen e.
•Una in e az al p og ama DISCRETA.
GAP es á p og amado de al mane a que puede se usado con di e en es sis-
emas ope a i os: UNIX/Linux, Windows o Macin osh. Sin emba go, algunos
de los paque es no uncionan comple amen e con Windows.
La e sión ac ual de GAP es la 4.4.9, que ue publicada du an e No iem-
b e de 2006 e incluye más de sesen a paque es. Desde 1995 exis e un Consejo
o mado po a ios ma emá icos e ingenie os in o má icos de dis in as á eas
den o de la eo ía compu acional de g upos. Los miemb os de es e Consejo
eje cen de edi o es y coo dinan el p oceso median e el cual los paque es p e-
sen ados son e isados pa a su admisión. O a de sus unciones undamen ales
es aconseja sob e las u u as líneas de desa ollo de GAP.
GAP ha demos ado se una ú il he amien a de in es igación y, de hecho,
se han encon ado muchas aplicaciones en di e sas á eas, incluso en algunas
bas an e so p enden es. Así, GAP se ha usado pa a es udia y encon a e-
sul ados sob e supe icies de Riemann compac as, écnicas de condensación,
141
espec oscopia molecula o eo ía de in a ian es pa a g upos ini os. Algunos
de es os ejemplos se pueden encon a en:
h p://www.gap-sys em.o g/Doc/applica ions.h ml
Como p ueba de es o cabe des aca el hecho de que GAP ha acumulado un
g an núme o de ci as en di e sa bibliog a ía; desde 1997 el núme o de ci as po
año ha es ado no malmen e en o no a 80 ó 90, llegando a 116 du an e 2004.
El obje i o de es e capí ulo es, usando GAP, compa a la homología en e a
de un g upo nilpo en e lib e con la de su álgeb a de Lie asociada y p opo -
ciona un mé odo que pe mi a compu a algunas homologías en e as de g upos
que oda ía no han sido calculadas. Pa a ello, se usa á en pa icula el paque e
HAP (Homological algeb a p og amming) que es á especialmen e en ocado ha-
cia los cálculos elacionados con la (co)homología de g upos [26]. También he
p og amado algunas unciones nue as que han sido incluidas en es e paque e.
De inición 178 Dado un g upo G, se de ine la se ie de subg upos Gn, n > 0
como sigue:
G1=G, Gn= [Gn−1, G] = [[[G, G], G],n)
· · · G],
donde [Gn−1, G]deno a el subg upo de Ggene ado po los elemen os de la
o ma x−1y−1xy, x ∈Gn−1, y ∈G.
Es a, se llama se ie cen al descenden e de G. Además, si exis e un n al
que Gn+1 ={e}, en onces se dice que G es nilpo en e de clase a lo sumo n. Si
mes el meno núme o na u al que sa is ace dicha p opiedad se dice que G es
nilpo en e de clase m.
Obse ación 179 La se ie cen al descenden e de un álgeb a de Lie se de ine
de o ma análoga a la de g upos.
Pa a el n-ésimo é mino de la se ie cen al descenden e ambién es habi ual
u iliza la no ación γn(G).