Módulos cruzados de álgebras conmutativas, homología y HAP

Módulos Cruzados de Álgebras Conmutativas, Homología y HAP Fdo.: Pablo Fernández Ascariz Memoria para optar al grado de Doctor realizada en el Departamento de Álxebra de la Universidad de Santiago de Compostela bajo la dirección del Profesor D. Manuel Ladra González. Santiago de Compostela, a 8 de Enero de 2007. Fdo.: Prof. Dr. Manuel Ladra González Agradecimientos Decidirse a dirigir una tesis no debe de ser, desde mi punto de vista, una cuestión nada sencilla, pues implica comprometerse con un proyecto que requerirá dedicación y tiempo, y durante el cual se encontrarán diversas dificultades y preocupaciones. Además, y al menos desde el punto de vista material, las satisfacciones recibidas no son ni mucho menos proporcionales al esfuerzo realizado. Sin embargo, para el alumno que comienza a adentrarse en el ámbito de la investigación, es fundamental encontrar a alguien que confíe en él y le preste su ayuda, en una etapa en la que la dependencia para solventar los problemas a los que se irá enfrentando es todavía acusada. Cuando además, la relación entre el profesor y el alumno se convierte en algo más personal, esto supone una motivación añadida a lo largo del doctorado. Por todo esto, me gustaría agradecer a Manuel Ladra González toda su ayuda, imprescindible en la realización de esta tesis. Muchas gracias Manolo. Contenidos Introducción vii 1. Propiedades categóricas de XModK1 1.1. La categoría XModK........................ 1 1.2. Definiciones equivalentes de módulo cruzado . . . . . . . . . . . 19 1.3. Tripleabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4. Propiedades categóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.4.1. Categorías semiabelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.4.2. Categorías de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.4.3. Categorías cartesianas cerradas . . . . . . . . . . . . . . 45 1.4.4. Categorías de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2. Construcciones en la categoría 51 2.1. El actor de un módulo cruzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2. Módulos cruzados singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.3. Producto tensor de módulos cruzados . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.4. Producto semidirecto de módulos cruzados . . . . . . . . . . . . 68 2.5. La categoría de (C, R, ν)-módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.6. Derivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3. Álgebra homológica de módulos cruzados 99 3.1. (Co)Homología de módulos cruzados . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.2. Extensiones de módulos cruzados y sucesiones exactas . . . . . 115 3.3. (Co)Homología de módulos cruzados asféricos . . . . . . . . . . 124 3.4. (Co)Homología con coeficientes (0, A, 0) . . . . . . . . . . . . . 128 4. Cálculo efectivo de homología con HAP 139 v Introducción El concepto de módulo cruzado en la categoría de grupos surgió en el trabajo de Whitehead [53] en topología algebraica. Este concepto, además de en la topología algebraica, ha jugado roles importantes en otras áreas de las matemáticas como son la teoría de representaciones de grupos, K-teoría algebraica, homología cíclica, teoría combinatoria de grupos, álgebra homológica y geometría diferencial. Posiblemente los módulos cruzados son considerados hoy en día una de las estructuras algebraicas fundamentales. Los módulos cruzados de álgebras conmutativas han sido usados, en esencia más que en nombre, por Lichtenbaum y Schlessinger [36] y Gerstenhaber [27]. Además, algunos resultados categóricos fueron dados por Porter [45, 46]. En [43], Norrie desarrolló el trabajo de Lue [39] e introdujo la noción de actor de módulos cruzados de grupos donde prueba que es el análogo del grupo de automorfismos de un grupo. Usando la noción de actor de módulo cruzado generaliza conceptos de grupos a módulos cruzados como el centro, módulos cruzados completos y perfectos, submódulos cruzados característicos y estudia las conexiones entre estos. Parte del trabajo de Norrie surge de analogías entre grupos y álgebras. Casas y Ladra [14] introducen el concepto de actor en la categoría de módulos cruzados de álgebras de Lie generalizando la noción de álgebra de Lie de las derivaciones. Usando este concepto prueban que un cuadrado cruzado de álgebras de Lie es equivalente a un módulo cruzado en la categoría de módulos cruzados de álgebras de Lie. vii Porter en [45] utiliza los módulos cruzados de álgebras conmutativas para identificar un invariante de Simis y Vasconcelos con el segundo grupo de homología de André-Quillen y en [46] plantea cuestiones categóricas en la categoría de módulos cruzados de álgebras conmutativas XModK/R con el anillo Rfijo. En particular, da la construcción del R-módulo cruzado libre sobre una aplicación X→R, es decir, construye una adjunción entre Set/UR y XModK/R. Carrasco, Cegarra y R.-Grandjeán [13] construyen una teoría de homología y cohomología de módulos cruzados que generaliza de algún modo la teoría de homología de Eilenberg-Mac Lane. Para ello utilizan la teoría general de homología del cotriple de Barr y Beck [8] y para desarrollarla usan el resultado fundamental de que la categoría de módulos cruzados de grupos es algebraica [9] sobre conjuntos, es decir, existe un funtor de olvido tripleable sobre conjuntos. Janelidze, Márki y Tholen [33] introducen el concepto de categoría semiabeliana como marco adecuado donde se capturan las propiedades algebraicas válidas para grupos, anillos y álgebras, del mismo modo que las categorías abelianas son el marco para el tratamiento generalizado de grupos abelianos y módulos. Muestran cómo este concepto es el apropiado para establecer teoremas de isomorfía, de exactitud y herramientas necesarias para desarrollar el álgebra homológica. La investigación de propiedades categóricas de estructuras algebraicas ha alcanzado grandes logros en los últimos cincuenta años y se sigue profundizando en varias direcciones diferentes relacionadas con muchas aplicaciones importantes. Comenzamos en el primer capítulo estudiando las características fundamentales de la categoría de módulos cruzados de álgebras conmutativas, XModK. Se recopilan nociones elementales como ideal y cociente de un módulo cruzado y se construyen algunos límites y colímites finitos en la categoría. Además, la categoría de álgebras conmutativas es una de las pocas categorías algebraicas donde los conceptos de sobreyección y epimorfismo no coinciden. De hecho, no es una categoría equilibrada, es decir, monomorfismo y epimorfismo no implica isomorfismo. Se verá que la categoría XModKtampoco es equilibrada, viii mostrando un morfismo mónico y épico que no es un isomorfismo, se probará que las sobreyecciones son los epimorfismos regulares y se dará una condición suficiente para que un morfismo sea epimorfismo. A continuación se analizan conceptos equivalentes al de módulo cruzado. Se comprueba que los conceptos de cat1-álgebra [37], 1-cubo [19], categoría interna en la categoría de K-álgebras conmutativas y módulo cruzado son equivalentes. Además, estudiamos la tripleabilidad sobre conjuntos de la categoría de módulos cruzados de álgebras conmutativas. Aplicamos el criterio de Linton para probar que el funtor de olvido U:XModK→Set es tripleable. Posteriormente vemos que la categoría XModKes semiabeliana, es decir, es exacta en el sentido de Barr, protomodular en el sentido de Bourn y tiene objeto cero y coproductos finitos. Este es el marco idóneo para desarrollar una teoría de homología y cohomología de módulos cruzados de álgebras conmutativas ya que en este tipo de categorías se verifica el lema de los cinco roto. También se prueba en la misma sección que XModKno es una categoría de interés [44]. Este hecho justifica que el estudio de módulos cruzados de álgebras conmutativas tenga diferencias fundamentales con respecto a módulos cruzados de grupos, ya que esta sí es una categoría de interés. Además, se muestra que XModKes una categoría cartesiana cerrada, al igual que otras categorías con objeto terminal y productos como Set oCat y, finalmente, se describe la estructura de categoría de modelos de XModKmostrando cuales son las fibraciones, las cofibraciones y las equivalencias débiles. El segundo capítulo se inicia introduciendo los conceptos de actor y aniquilador de un módulo cruzado de álgebras conmutativas, que generalizan los conceptos de las multiplicaciones y aniquilador, respectivamente, de álgebras conmutativas. El concepto de actor nos permite definir una acción de un módulo cruzado sobre otro módulo cruzado y así podremos hablar posteriormente del producto semidirecto de módulos cruzados, de la categoría (C, R, ν)-módulos o de las derivaciones. En las siguientes secciones del mismo capítulo se estudian los módulos cruzados singulares, y se relacionan estos con el aniquilador definido anteriormente. También se define el conmutador y se prueba que proporciona un ix 4 1 Propiedades categóricas de XModK •ν((r+R0)(c+C0)) = ν(rc +C0) = ν(rc) + C0=rν(c) + C0= (r+ R0)(ν(c) + C0). •(ν(c+C0))(c0+C0) = (ν(c) + R0)(c0+C0) = ν(c)c0+C0=cc0+C0= (c+C0)(c0+C0). Proposición 12 Sean (C00, R00, ν00)y(C0, R0, ν0)dos submódulos cruzados de un módulo cruzado (C, R, ν). El submódulo cruzado intersección es (C00 ∩ C0, R00 ∩R0, ν |C00∩C0). Demostración: La prueba es directa.  Ejemplo 13 Sean IyJdos R-módulos. La intersección de los módulos cruzados (I, R, 0) y(J, R, 0) es el módulo cruzado (I∩J, R, 0). Proposición 14 Sean (C00, R00, ν00)y(C0, R0, ν0)dos ideales cruzados de un módulo cruzado (C, R, ν). El submódulo cruzado intersección (C00 ∩C0, R00 ∩ R0, ν |C00 ∩C0)es un ideal cruzado de (C, R, ν). Demostración: C00 ∩C0yR00 ∩R0son ideales de CyRrespectivamente. Además, (R00 ∩R0)C está contenido en C00 ∩C0ya que R00CyR0Cestán contenidos en C00 yC0 respectivamente. Análogamente R(C00 ∩C0)está contenido en C00 ∩C0. Definición 15 Un morfismo de módulos cruzados de (C, R, ν)a(C0, R0, ν0) es un par de morfismos de K-álgebras: φ:C→C0ψ:R→R0 tales que φ(rc) = ψ(r)φ(c)yν0◦φ=ψ◦ν. Se dice que el morfismo de módulos cruzados (φ, ψ)es inyectivo (sobreyectivo) cuando tanto φcomo ψson inyectivas (sobreyectivas). 1.1 La categoría XModK5 Ejemplo 16 Sea (C, R, in)un módulo cruzado en el que Ces una subálgebra de R. Consideramos un morfismo de álgebras arbitrario f:R→Ryf|C: C→C;entonces (f|C, f) : (C, R, in)→(C, R, in)es un morfismo de módulos cruzados: •in(f(c)) = f(c) = f|C(c) = f|C(in(c)), donde c∈C. •f|C(rc) = f(rc) = f(r)f(c) = f(r)f|C(c), donde c∈C, r ∈R. La composición está definida componente a componente. El morfismo identidad es id(C,R,ν)= (idC, idR). Se tiene entonces una categoría XModKde módulos cruzados. Si se fija el álgebra base R, se obtiene la subcategoría XModK/R. Observación 17 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado. •ker νes un ideal de C, ya que si c∈ker νyc0∈Cse tiene que ν(cc0) = ν(ν(c)c0) = 0. •Im νes un ideal de R, porque si r∈Ryν(c)∈Im ν⇒rν(c) = ν(rc)∈ Im ν. •0→ker ν→C→Im ν→0es una extensión central de álgebras conmutativas, es decir, ker νes un ideal de cuadrado cero (ker ν)2=0:c, c0∈ ker ν⇒cc0=ν(c)c0= 0. Definición 18 Sea {(Ci, Ri, νi)}Iuna familia de módulos cruzados. Se define el producto directo de la siguiente manera: Π I(Ci, Ri, νi) = (Π ICi,Π IRi,Π Iνi), donde Π ICi,Π IRison los productos directos en la categoría de álgebras conmutativas y Π Iνies la aplicación inducida entre ellos. Las proyecciones vienen dadas de la siguiente manera: pj≡(p1 j, p2 j) : (Π ICi,Π IRi,Π Iνi)→(Cj, Rj, νj),donde p1 j, p2 json las proyecciones de álgebras. Vamos a ver que pjes un morfismo de módulos cruzados: 6 1 Propiedades categóricas de XModK Π ICi p1 j  Π Iνi //Π IRi p2 j  Cj//Rj •p2 j(Π Iνi((ci)I)) = p2 j((νi(ci))I) = νj(cj) = νj(p1 j(ci)I), donde (ci)I∈Π ICi. •p1 j((ri)I(ci)I) = rjcj=p2 j((ri)I)p1 j((ci)I), donde (ci)I∈Π ICi,(ri)I∈Π IRi. El producto directo verifica la siguiente propiedad universal: sea (G, H, ω) un módulo cruzado y {(fi, gi) : (G, H, ω)→(Ci, Ri, νi)}Iuna familia de morfismos. Existe un único morfismo (ϕ, ϕ0):(G, H, ω)→Π I(Ci, Ri, νi)que hace conmutativo el siguiente diagrama: (G, H, ω) (ϕ,ϕ0)   (fj,gj) '' O O O O O O O O O O O O Π I(Ci, Ri, νi)pj//(Cj, Rj, νj) Este hecho se comprueba trivialmente teniendo en cuenta que ϕ:G→Π ICi yϕ0:H→Π IRison las aplicaciones dadas por la misma propiedad universal en la categoría de álgebras conmutativas. Proposición 19 Dados dos morfismos de módulos cruzados (φ, ψ)y(φ0, ψ0) entre (C, R, ν)y(C0, R0, v0), su igualador Ig((φ, ψ),(φ0, ψ0)) es el submódulo cruzado (A, B, ν)junto con el morfismo de módulos cruzados (f, g), siendo Ig(φ, ψ) = (A, f), Ig(φ0, ψ0) = (B, g)yνla aplicación inducida por ν. Demostración: Vamos a comprobar que ese es efectivamente el igualador en la categoría XModK: 1.1 La categoría XModK7 A f  B g  C φ  ψ  ν//R φ0  ψ0  C0ν0 //R0 •(φ, ψ)(f, g) = (φf, ψg) = (φ0f, ψ0g) = (φ0, ψ0)(f, g). •Sea (h, i):(D, P, δ)−→ (C, R, ν)un morfismo de módulos cruzados tal que φh =φ0hyψi =ψ0i; entonces existen m:D→Ayn:P→Btales que fm =hygn =i. Es decir, (h, i)se factoriza por (f, g). Sólo queda por comprobar que (m, n)es un morfismo de módulos cruzados: •Sea d∈D;para ver que nδ(d) = νm(d)compondremos con un monomorfismo y comprobaremos que gnδ(d) = gνm(d) : gνm(d) = νfm(d) = νh(d) = iδ(d) = gnδ(d) •Sean p∈P, d ∈D;para ver que m(pd) = n(p)m(d)comprobaremos que f(m(pd)) = f(n(p)m(d)) : f(n(p)m(d)) = g(n(p))f(m(d)) = i(p)h(d) = h(pd) = f(m(pd)). Proposición 20 Sea (φ, ψ)un morfismo de módulos cruzados entre (C, R, ν) y(C0, R0, ν0). Entonces (φ, ψ)es mónica si y sólo si (φ, ψ)es inyectiva. Demostración: “⇐” Sean (α1, β1)y(α2, β2)morfismos entre los módulos cruzados (C00, R00, ν00) y(C, R, ν)tales que (φ, ψ)(α1, β1) = (φ, ψ)(α2, β2). C00 α1  α2  ν00 //R00 β1  β2  C φ  ν//R ψ  C0ν0 //R0 8 1 Propiedades categóricas de XModK Entonces tenemos que (φα1, ψβ1) = (φα2, ψβ2)⇒φα1=φα2, y como φes inyectiva se verifica que α1=α2.Análogamente, como ψes también inyectiva se tiene que β1=β2. “⇒” Supongamos que (φ, ψ)es mónica; primero vamos a comprobar que ψes mónica (y por tanto inyectiva, ya que es un morfismo en la categoría de álgebras conmutativas). Sean β1, β2:R00 →Rtales que ψβ1=ψβ2.Consideramos el módulo cruzado (0, R00,0). 0 0  0  0//R00 β1  β2  C φ  ν//R ψ  C0ν0 //R0 Se tiene que (φ, ψ)(0, β1) = (φ, ψ)(0, β2)⇒(0, β1) = (0, β2)⇒β1=β2, y por tanto ψes mónica. Veamos ahora que φes mónica. Sean α1, α2:C00 →Ctales que φα1=φα2. Consideramos el módulo cruzado (C00, C00, id). C00 α1  α1  id //C00 να1  να2  C φ  ν//R ψ  C0ν0 //R0 Tenemos que (α1, να1)(φ, ψ) = (α2, να2)(φ, ψ)⇒α1=α2. Proposición 21 Sea (φ, ψ)un morfismo de módulos cruzados entre (C, R, ν) y(C0, R0, ν0). Entonces (φ, ψ)es un epimorfismo ⇒ψes un epimorfismo. 1.1 La categoría XModK9 Demostración: Consideremos un módulo cruzado (R00, R00, id)y sean β1, β2:R0→R00 morfismos tales que β1ψ=β2ψ. C φ  ν//R ψ  C0 β1ν0  β2ν0  ν0 //R0 β1  β2  R00 id //R00 Se tiene que (β1ν0, β1)(φ, ψ) = (β2ν0, β2)(φ, ψ)⇒β1=β2y por tanto ψes épica.  Es trivial comprobar que si (φ, ψ)es sobreyectiva entonces también es épica. Sin embargo, la implicación inversa no se da. A continuación veremos un contraejemplo. Tomamos un álgebra C6= 0 tal que C2=Cy consideramos el morfismo (0, id)entre los módulos cruzados (0, C, 0) y(C, C, id).Este morfismo no es sobreyectivo, pero sí es un epimorfismo: sean (α1, β1)y(α2, β2)tales que (α1, β1)(0, id) = (α2, β2)(0, id). 0 0  0//C id  C α1  α2  id //C β1  β2  C0ν//R0 Se tiene directamente que β1=β2(⇒να1(x) = να2(x)).Falta comprobar que α1=α2.Como C2=Cbasta ver que α1(xy) = α2(xy)para x, y ∈C. α1(xy) = α1(x)α1(y) = ν(α1(x))α1(y) = ν(α2(x))α1(y) = α2(x)α1(y) = α2(x)ν(α1(y)) = α2(x)ν(α2(y)) = α2(x)α2(y) = α2(xy). 10 1 Propiedades categóricas de XModK Además, (0, id)es también un monomorfismo. En la categoría XModKno es sencillo caracterizar los epimorfismos. De hecho, ya en la categoría de álgebras conmutativas resulta complicado: sea ϕ:A→Bun morfismo de K-álgebras; ϕes un epimorfismo si y solo si toda aplicación A-lineal f:M→Nentre dos B-módulos MyNes B-lineal [24]. En el caso de anillos con unidad la caracterización tampoco es fácil: •ϕ:A→Bes un epimorfismo si y solo si la aplicación canónica B⊗AB→ Binducida por la multiplicación en Bes un isomorfismo [50]. •ϕ:A→Bes un epimorfismo si y solo si el morfismo B→B⊗ABes sobreyectivo [12]. Vamos a ver a continuación una condición suficiente para que un morfismo de módulos cruzados sea epimorfismo. Lema 22 Sean (C, R, ν)y(C0, R0, ν0)módulos cruzados y (f, g) : (C, R, ν)→ (C0, R0, ν0)un morfismo entre ellos. Se verifica que (f, g)es un epimorfismo regular si y solo si es sobreyectivo. Demostración: Sea U:XModK→Set el funtor de olvido. Como XModKes algebraica (esto se probará en una sección posterior) se tiene que (f, g)es un epimorfismo regular en XModKsi y sólo si U(f, g)es un epimorfismo regular en Set. Como en la categoría de conjuntos los conceptos de epimorfismo regular y sobreyección coindicen, se obtiene la proposición enunciada.  Corolario 23 Los conceptos de epimorfismo regular, epimorfismo extremo, epimorfismo fuerte y morfismo sobreyectivo son equivalentes en XModK[1]. 1.1 La categoría XModK11 Proposición 24 Sean (C, R, ν)y(C0, R0, ν0)dos módulos cruzados y (f, g) : (C, R, ν)→(C0, R0, ν0)un morfismo entre ellos verificando: •ges un morfismo sobreyectivo de álgebras conmutativas. •f(C)es un ideal de C0. •C0/f(C)coincide con su cuadrado. Entonces, (f, g)es un epimorfismo. Demostración: Por ser XModKuna categoría semiabeliana (como se verá en una sección posterior) se tiene que (f, g)se puede factorizar de la siguiente manera: C fe  ν//R ge  S fm  //S0 gm  C0ν0 //R0 donde feygeson epimorfismos regulares y fmygmson monomorfismos. Como ges sobreyectiva se tiene que ge=g, gm=id y el diagrama se reduce al siguiente: C fe  ν//R g  S fm  ν0fm//R0 id  C0ν0 //R0 Se verifica que (S, R0, ν0fm)es un módulo cruzado. La acción de R0sobre Sviene dada de la siguiente manera: R0×S→S (r0, s)7→ r0fm(s) 12 1 Propiedades categóricas de XModK Esta acción está bien definida ya que r0fm(s) = g(r)fm(fe(c)) = g(r)f(c) = f(rc) = fe(rc)∈S, donde c∈C, r ∈R. Además, es trivial comprobar que se verifican los axiomas de módulo cruzado. Por otro lado (fe, g)y(fm, id)son morfismos de módulos cruzados: •ν0fmfe(c) = ν0f(c) = gν(c), donde c∈C. •fe(rc) = f(rc) = g(r)f(c) = g(r)fe(c), donde c∈C, r ∈R. •fm(r0s)=fm(g(r)fe(c))=fm(fe(rc))=f(rc)=g(r)f(c)=g(r)fm(fe(c))= r0fm(s), donde c∈C, s ∈S, r, r0∈R. Se tiene que (fe, g)es épica trivialmente. Veamos que (fm, id)también lo es. Para ello tomamos (α1, β1)y(α2, β2)tales que (α1, β1)◦(fm, id) = (α2, β2)◦(fm, id). S fm  ν0fm//R id  C0 α1  α2  ν0 //R0 β1  β2  Gω//H Se verifica entonces que β1=β2yα1=α2en fm(S). Como C0/fm(S) coincide con su cuadrado basta comprobar que α1(cc0) = α2(cc0)para c, c0∈C0. Como ωα1=β1ν0=β2ν0=ωα2tenemos las siguientes igualdades: •α1(cc0) = α1(c)α1(c0) = ω(α1(c))α1(c0) = ω(α2(c))α1(c0) = α2(c)α1(c0) = ω(α1(c0))α2(c). •α2(cc0) = α2(c)α2(c0) = α2(c0)α2(c) = ω(α2(c0))α2(c) = ω(α1(c0))α2(c).  Observación 25 Como añadido a la proposición anterior se verifica que si (f, g)es un morfismo de módulos cruzados tal que ges sobreyectiva, entonces f(C)es un ideal de C0yR0/f(C)coincide con su cuadrado. Comprobaremos esto a continuación. 1.1 La categoría XModK13 Por ser gsobreyectiva se tiene, al igual que en la demostración anterior, el siguiente diagrama conmutativo: C fe  ν//R g  S fm  ν0fm//R0 id  C0ν0 //R0 donde fees un epimorfismo regular y fmun monomorfismo. Supongamos que C0/fm(S)no coincide con su cuadrado. Se tiene que M= (C0/C02)/fm(S)es distinto de cero y por tanto existe h:C0→Mno nula tal que hfm= 0. Se verifica que (M, 0,0) es un módulo cruzado ya que se tiene (c+fm(S)) (c0+fm(S)) = cc0+fm(S) = 0 y por tanto se satisface la identidad de Peiffer. Como (h, 0) = (fm, id) = (0,0)(fm, id)se tiene que (fm, id)no es un epimorfismo y por tanto (f, g)tampoco lo es. Para ver que f(C)es un ideal de C0consideremos c∈Cyc0∈C0. Debemos comprobar que existe d∈Ctal que f(d) = f(c)c0: f(c)c0=fm(fe(c))c0=fm(fe(c))fe(d) = fe(c)fe(d) = fe(cd) = fm(fe(cd) = f(cd), donde d∈C. Definición 26 Se dice que un módulo cruzado (C, R, ν)es proyectivo si verifica que dado un epimorfismo regular (G, H, ω)(G0, H0, ω0)y otro morfismo (C, R, ν)→(G0, H0, ω0), entonces existe un único morfismo (C, R, ν)→ (G, H, ω)que hace conmutativo el siguiente diagrama: (C, R, ν)    '' N N N N N N N N N N N (G, H, ω)////(G0, H0, ω0) 20 1 Propiedades categóricas de XModK Un morfismo de n-cubos cruzados es una familia de homomorfismos de álgebras conmutativas, para I⊆< n > fI:MI→M0 I,que conmutan con las µi, µ0 iyh, h0.Se tiene entonces una categoría de n-cubos cruzados, denotada por Crsn. Definición 39 Sea Cuna categoría con cuadrados cartesianos. Una categoría interna en Ces una séxtupla (A, O, s, t, e, m)donde AyOson objetos de Cy s, t, m, e son morfismos, s, t :A→O, e :O→A, m :A×OA→A(A×OA denota el objeto que aparece al construir el cuadrado cartesiano relativo a los morfismos tys), satisfaciendo que los siguientes diagramas sean conmutativos: (Aproporciona los morfismos de la categoría interna, Olos objetos, mla composición, ela flecha identidad para cada morfismo y sytlos objetos dominio y rango para cada morfismo.) A×OA×OA idA×m  m×idA//A×OA m  A×OAm//A (asociatividad de la composición) O×OA p '' O O O O O O O O O O O O e×idA//A×A m  idA×e//A×OO q wwoooooooooooo A (aplicación identidad) donde pyqson las proyecciones obvias p(x, f) = f, q(f, y) = f. Además edebe ser una sección de syt, es decir, se =te =idO[23]. Teorema 40 Los siguientes conceptos son equivalentes: i)Módulo cruzado. ii)cat1-álgebra. 1.2 Definiciones equivalentes de módulo cruzado 21 iii) 1-cubo. iv)Categoría interna en la categoría de K-álgebras conmutativas. Demostración: A continuación se muestran las construcciones que dan lugar a equivalencias de categorías. i)⇒ii) Sea (C, R, ν)un módulo cruzado. Tenemos el siguiente objeto simplicial truncado: CoRd0 ⇒ d1 Rdonde las degeneraciones son d0(c, r) = r, d1(c, r) = r+ν(c)y la cara es s(r) = (0, r). Si definimos s1, t1:CoR→CoR, s1=s◦d0yt1=s◦d1tenemos un cat1-álgebra: •t1s1=sd1sd0=sd0=s1(usando las identidades simpliciales). •s1t1=sd0sd1=sd1=t1. •Sean (c, r)∈ker s1,(c0, r0)∈ker t1: (c, r)∈ker s1⇒s1(c, r) = (0, r) = 0 ⇒r= 0. (c0, r0)∈ker t1⇒r0+ν(c0) = 0 ⇒r0=−ν(c0). (c, r)(c0, r0) = (cc0+rc0+r0c, rr0) = (cc0−ν(c0)c, 0) = (cc0−c0c, 0) = 0. ii)⇒i) Tenemos As1 ⇒ t1 Aun cat1-álgebra. Definimos C= ker t1yR= Im s1. (C, R, s1)es un módulo cruzado: •Ractúa sobre Cdefiniendo la acción de forma natural: si r∈Im s1y c∈ker t1, r ·c=s1(r0)·c=s1(r0)c∈ker t1. •s1(rc) = rs1(c)ya que se verifica s1(rc) = s1(r)s1(c) = s1(s1(r0))s1(c) = s1(t1(s1(r0)))s1(c) = t1(s1(r0))s1(c) = s1(r0)s1(c) = rs1(c). •s1(c)c0=cc0⇔(s1(c)−c)c0= 0.Como c0∈ker t1, por la última condición de catn-grupo, basta ver que s1(c)−c∈ker s1: 22 1 Propiedades categóricas de XModK s1(s1(c)−c) = s1s1(c)−s1(c) = s1(c)−s1(c) = 0. i)⇒iii) Sea (C, R, ν)un módulo cruzado. Definimos M{1}=CyM∅=R, que junto con el morfismo del módulo cruzado verifican trivialmente que constituyen un 1-cubo. iii)⇒i) Dado un 1-cubo tenemos el siguiente módulo cruzado: (M{1}, M∅, µ1).Vamos a comprobarlo: •M∅actúa sobre M{1}mediante h. •µ1(ra) = µ1(h(r, a)) = h(µ1(r), µ1(a)) = h(r, µ1(a)) = rµ1(a). •µ1(a)a0=h(µ1(a), a0) = h(a, a0) = aa. i)⇒iv) Sea (C, R, ν)un módulo cruzado. Consideramos CoRy definimos las aplicaciones s, t :CoR→Rye:R→CoRmediante s(c, r):=r, t(c, r) := r+ν(c)ye(r) := (0, r). Se tiene que s, t yeson claramente homomorfismos: •s((c, r)+(c0, r0)) = s(c+c0, r +r0) = r+r0=s(c, r) + s(c0, r0). s((c, r)(c0, r0)) = s(r0c+rc0+cc0, rr0) = rr0=s(c, r)s(c, r0). s(λ(c, r)) = s(λc, λr) = λr =λs(c, r). •t((c, r)+(c0, r0)) = t(c+c0, r+r0) = r+r0+ν(c+c0) = r+ν(c)+r0+ν(c0) = t(c, r) + t(c0, r0). t((c, r)(c0, r0)) = t(r0c+rc0+cc0, rr0) = rr0+ν(r0c+rc0+cc0) = rr0+ rν(c0) + r0ν(c) + ν(c)ν(c0) = (r+ν(c))(r0+ν(c0)) = t(c, r)t(c0, r0). t(λ(c, r)) = t(λc, λr) = λr +ν(λc) = λr +λν(c)) = λ(r+ν(c)) = λt(c, r). •e(r+r0) = (0, r +r0) = (0, r) + (0, r0) = e(r) + e(r0). e(rr0) = (0, rr0) = (0, r)(0, r0) = e(r)e(r0). e(λr) = (0, λr) = λ(0, r) = λe(r). 1.2 Definiciones equivalentes de módulo cruzado 23 Además ees una sección de sy de t:se(r) = s(0, r) = r;te(r) = t(0, r) = r+ν(0) = r. Sólo falta definir una composición. Para ello debemos tener en cuenta que los objetos vienen dados por los elementos de Ry los morfismos por los elementos de CoR. Además, sytproporcionan los objetos dominio y rango respectivamente. Por tanto, se puede definir la composición de la siguiente manera: r(c,r)// (c+c0,r)&& L L L L L Lr+ν(c) (c0,r+ν(c))  r+ν(c0) + ν(c) es decir, (c0, r +ν(c)) ◦(c, r) := (c+c0, r). Esta composición tiene sentido ya que s(c0, r +ν(c)) = r+ν(c) = t(c, r)y, además, como νes un homomorfismo se tiene que ν(c+c0) = ν(c) + ν(c0). Comprobar la asociatividad y que ◦es un homomorfismo es inmediato. iv)⇒i) Sea (As ⇒ tO, O e →A, ◦)una categoría interna. Se puede definir una acción de Osobre ker smediante o·k=e(o)kpara o∈O, k ∈ker s. Además, cada a∈Ase puede escribir a=k+e(o), donde k=a−(es(a)) ∈ ker s, o =s(a).Hay una aplicación φ:A→ker soO, φ(k+e(o)) = (k, o). Esta aplicación es un homomorfismo: φ(aa0) = φ((k+e(o))(k0+e(o0))) = φ(ke(o0) + k0e(o) + kk0+e(o)e(o0)) = φ(ko0+k0o+kk0+e(oo0)) = (ko0+k0o+kk0, oo0) = (k, o)(k0, o0) = φ(a)φ(a0). Además, φtiene una inversa, φ−1: ker s×O→A, φ−1(k, o) := k+e(o), que también es un homomorfismo. Por tanto φes un isomorfismo y A∼ =ker s×O. Definimos ν: ker s→Ocomo la restricción de taker s, es decir, ν=t|ker s. νes un homomorfismo ya que tlo es. 24 1 Propiedades categóricas de XModK Tenemos que ν(ok) = t(ok) = t(e(o)k) = t(e(o))t(k) = ot(k) = oν(k). Solo falta comprobar la identidad de Peiffer para tener un módulo cruzado (ker s, O, ν).Sabemos que ((k0, ν(k) + o)·(l0, ν(l) + p)) ◦((k, o)·(l, p)) = ((k0, ν(k) + o)◦(k, o)) ·((l0, ν(l) + p)◦(l, p)). Desarrollando ambos términos tenemos : LD: (k0+k, o)·(l0+l, p) = ((k0+k)(l0+l) + p(k0+k) + o(l0+l), op) = (k0l0+k0l+kl0+kl +pk0+pk +ol0+ol, op). LI: (k0l0+ (ν(l) + p)k0+ (ν(k) + o)l0,(ν(k) + o)(ν(l) + p)) ◦(kl +pk +ol, op) = (k0l0+(ν(l)+p)k0+(ν(k)+o)l0,(ν(k)ν(l)+ν(k)p+oν(l)+op)◦(kl+pk+ol, op) = (k0l0+ (ν(l) + p)k0+ (ν(k) + o)l0+kl +pk +ol, op) = (k0l0+ν(l)k0+pk0+ ν(k)l0+ol0+kl +pk +ol, op). Así tenemos la igualdad k0l+kl0=ν(l)k0+ν(k)l0y tomando k= 0 se tiene la identidad de Peiffer: k0l=ν(l)k0. 1.3 Tripleabilidad 25 1.3. Tripleabilidad En una categoría Cun triple es una terna T= (T, η, µ)formada por un endofuntor T:C → C y dos transformaciones naturales, la unidad η:idC→T y la multiplicación µ:TT →T, satisfaciendo las siguientes igualdades: •µ(ηT) = µ(Tη) = idT. •µ(µT) = µ(T µ). Un cotriple en C,G= (G, ε, µ),es un triple en Cop. Además, si tenemos un par de funtores F:C → B, U :B → C tales que F es adjunto por la izquierda de U, entonces se tiene un triple T= (UF, η, UεF) en Cy un cotriple G= (FU, ε, FηU)en B, donde η:idC⇒UF, ε :FU ⇒idB son la unidad y counidad de adjunción. Hilton conjeturó que todo triple proviene de una adjunción, y esto fue probado casi simultáneamente por Eilenberg y Moore y por Kleisli. Dado un triple T= (T, η, µ)Eilenberg y Moore construyeron la categoría de T-álgebras CT. Una T-álgebra es un par (A, a)donde Aes un objeto de Cya:T(A)→A es una flecha verificando que aηA=idAyaT(a) = aµA. Se dice que Atiene estructura de T-álgebra mediante la aplicación a. Si AyA0tiene estructura de T-álgebras dadas por aya0entonces, una flecha f:A→A0en Cse dice que es un morfismo de T-álgebras si el siguiente diagrama es conmutativo: T(A) a  T(f)//T(B) a0  Af//A0 La categoría CTde T-álgebras tiene a las T-álgebras como objetos y a los morfismos de T-álgebras como flechas. 26 1 Propiedades categóricas de XModK Definimos UT:CT−→ C por UT(A, a) = A, UTf=fyFT:C → CTpor FTA= (TA, µA), F Tf=Tf donde µ=UεF. Esos dos funtores son también adjuntos. La categoría CTes final entre todas las posibles adjunciones cuyo triple asociado sea T. Así, el par de funtores FT, UTes universal en el sentido de que, si tenemos cualquier otro par de funtores adjuntos F:C → B, U :B → C tales que el triple que inducen es también T, entonces existe un único funtor φ:B → CTtal que UT◦φ=Uyφ◦F=FT.El funtor φse llama funtor de comparación de Eilenberg-Moore. Un funtor U:B → C se dice que es tripleable cuando tiene un adjunto por la izquierda para el cual el correspondiente funtor de comparación de Eilenberg- Moore es una equivalencia de categorías. Si Ues funtor “natural” entre ByC también se dice que Bes tripleable sobre C. Lo que queremos demostrar es que XModKes tripleable sobre Set. La categoría que construye Kleisli [40], que se denota por K(T)oCT, tiene como objetos los mismos que C. Para las flechas definimos HomCT(A, A0) = HomC(A, TA0).Si tenemos f:A→TA0∈HomCT(A, A0)yg:A0→TA00 ∈ HomCT(A0, A00), entonces g◦fes la composición: Af//TA0T g //T2A00 µA00 //TA00 Definimos UT:CT−→ C por UT(A) = T(A)y si f∈HomCT(A, A0), entonces UTfes la composición: TA T f //T2A0µA0 //TA0 Definimos FT:C −→ CTpor FT(A) = Ay si f∈HomC(A, A0), entonces FTfes la composición: AηA //TA0T f0 //TA0 o lo que es lo mismo: Af//A0ηA0 //TA0 1.3 Tripleabilidad 27 Estos dos funtores son adjuntos y el triple que inducen es T. Además, la categoría CTes inicial entre aquellas adjunciones cuyo triple asociado es T. Se verifica que si tenemos un par de funtores adjuntos UyFque inducen un triple T= (UF, η, UεF), entonces existe un único funtor ψ:CT→ B tal que U◦ψ=UTyψ◦FT=F;dicho funtor se llama funtor de comparación de Kleisli. CTse encaja en CT. De hecho CTes equivalente a una subcategoría completa de CTgenerada por las álgebras libres, FT: CT//FT⊆ CT A// f  (T(A), µA) µA0◦T(f)  A0//(T(A0), µA0) Definición 41 Un par (p, q)se dice que es una relación de congruencia o par-núcleo si existe un morfismo ftal que •p// q  • f  •f//• es un cuadrado cartesiano. Definición 42 Sea F:A→Bun funtor y Bun objeto de B. Una reflexión de Ba lo largo de Fes un par (RB, ηB)tal que: •RBes un objeto de AyηB:B→F(RB)es un morfismo de B. •Si R0 Bes otro objeto de Ayb:B→F(R0 B)es un morfismo de B, entonces existe un único morfismo a:RB→R0 Bya0:R0 B→RBtal que F(a)◦ηB=b. Teorema 43 Consideramos dos funtores F:A → B yG:B → A.Ges adjunto por la izquierda de Fsi, y solo si, existe una transformación natural η: 1B⇒F◦Gtal que para cada B∈ B,(RB, ηB)es una reflexión de Ba lo largo de F[10]. 28 1 Propiedades categóricas de XModK Teorema 44 (Linton) [9] Un funtor U:D → Set es tripleable si, y solo si, Utiene un adjunto por la izquierda y se satisfacen las tres condiciones siguientes: a)Dposee pares-núcleo y coigualadores. b)p:Y→Zmorfismo en Des un coigualador ⇔Up :UY →UZ es un coigualador. c)Xs ⇒ tYes un par-núcleo ⇔UX Us ⇒ Ut UY es un par-núcleo, donde syt denotan morfismos en D. Si tenemos un álgebra H, consideramos su aumentación Hε →Z.En la categoría de álgebras conmutativas con unidad, Conm1,el coproducto es el producto tensor, H∗I=H⊗I. Para ver quien es el coproducto en la categoría de álgebras conmutativas sin unidad, Conm, utilizaremos una adjunción entre esta categoría y la de álgebras conmutativas con unidad aumentadas, Conm1au : F:Conm →Conm1au H H⊕Z G:Conm1au →Conm (H, ε) kerε G◦F(H) = ker(H⊕Z→Z) = H. G◦F(H∗I) = G((H⊕Z)∗(I⊕Z)) = G((H⊕Z)⊗(I⊕Z)) = G((H⊗Z)⊕ (Z⊗I)⊕(H⊗I)⊕(Z⊗Z)) = G(H⊕I⊕(H⊗I)⊕Z) = H⊕I⊕(H⊗I). Vamos a ver como es el producto en H⊕I⊕(H⊗I).Tomamos (a, b, a0⊗ b0),(c, d,c0⊗d0)∈H⊕I⊕(H⊗I) : (a, b, a0⊗b0)(c, d, c0⊗d0)≡(a, b, a0⊗b0,0)(c, d, c0⊗d0,0) = ((a, 0) ⊗(0,1) + (0,1) ⊗(b, 0) + (a0,0) ⊗(b0,0))((c, 0) ⊗(0,1) + (0,1) ⊗(d, 0) + (c0,0) ⊗(d0,0)); vamos a descomponer este producto en nueve sumandos: i) ((a, 0) ⊗(0,1))((c, 0) ⊗(0,1)) = (ac, 0) ⊗(0,1) = (ac ⊗1,0,0,0). ii) ((a, 0) ⊗(0,1))((0,1) ⊗(d, 0)) = (a, 0) ⊗(d, 0) = (0,0, a ⊗d, 0). 1.3 Tripleabilidad 29 iii) ((a, 0) ⊗(0,1))((c0,0) ⊗(d0,0)) = (ac0,0) ⊗(d0,0) = (0,0, ac0⊗d0,0). iv) ((0,1) ⊗(b, 0))((c, 0) ⊗(0,1)) = (c, 0) ⊗(b, 0) = (0,0, c ⊗b, 0). v) ((0,1) ⊗(b, 0))((0,1) ⊗(d, 0)) = (0,1) ⊗(bd, 0) = (0,1⊗bd, 0,0). vi) ((0,1) ⊗(b, 0))((c0,0) ⊗(d0,0)) = (c0,0) ⊗(bd0,0) = (0,0, c0⊗bd0,0). vii) ((a0,0) ⊗(b0,0))((c, 0) ⊗(0,1)) = (a0c, 0) ⊗(b0,0) = (0,0, a0c⊗b0,0). viii) ((a0,0) ⊗(b0,0))((0,1) ⊗(d, 0)) = (a0,0) ⊗(b0d, 0) = (0,0, a0⊗b0d, 0). ix) ((a0,0)⊗(b0,0))((c0,0)⊗(d0,0)) = (a0c0,0)⊗(b0d0,0) = (0,0, a0c0⊗b0d0,0). Por tanto, (a, b, a0⊗b0)(c, d, c0⊗d0) = (ac, 0,0)+(0,0, a⊗d)+(0,0, ac0⊗d0)+ (0,0, c⊗b)+(0, bd, 0)+(0,0, c0⊗bd0)+(0,0, a0c⊗b0)+(0,0, a0⊗b0d)+(0,0, a0c0⊗ b0d0) = (ac, bd, a ⊗d+ac0⊗d0+c⊗b+c0⊗bd0+a0c⊗b0+a0⊗b0d+a0c0⊗b0d0). Consideremos H1⊆H∗H=H⊕H⊕(H⊗H),formado por los elementos de la forma (h, 0,0). H1no es un ideal de H⊕H⊕(H⊗H).Si denotamos por Hel menor ideal que contiene a H1, se puede comprobar que éste es el núcleo de la aplicación π2:H⊕H⊕(H⊗H)→H, π2(a, b, c ⊗d) = b: “⊆” Como ker π2es un ideal de H⊕H⊕(H⊗H)basta comprobar que H1⊆ ker π2,lo cual es trivial ya que π2(h, 0,0) = 0. “⊇” Sea (a, b, c ⊗d)∈ker π2⇒b= 0.(a, 0, c ⊗d)∈Hya que (a, 0, c ⊗d) = (a, 0,0) + (0,0, c ⊗d). Además, como Hes un ideal de H⊕H⊕(H⊗H), si consideramos la inclusión in :H ,→H⊕H⊕(H⊗H)tenemos que (H, H ⊕H⊕(H⊗H), in) es un módulo cruzado. Sean u1:H ,→H⊕H⊕(H⊗H), u2:H ,→H⊕H⊕(H⊗H), u3:H⊗H ,→ H⊕H⊕(H⊗H)las inyecciones, u1(h) = (h, 0,0), u2(h) = (0, h, 0), u3(h⊗h0) = (0,0, h⊗h0).Como π2◦u1= 0,u1se factoriza por H; es decir, existe u:H→H tal que in ◦u=u1.Como u1es inyectiva, utambién lo es. Teorema 45 El funtor de olvido U:XModK→K-Alg, U(C, R, ν) = C×R, tiene un adjunto por la izquierda, F:K-Alg →XModK, F(H)=(H, H ⊕ H⊕(H⊗H), in). 36 1 Propiedades categóricas de XModK Por construcción, (i, j)es el único morfismo que verifica que (i, j)◦(p1, p2) = (ϕ, ψ).Solo queda por comprobar que (i, j)es un morfismo de módulos cruzados, pero esto se tiene a partir de que (ϕ, ψ)lo es. Además, (f, g)◦(p1, p2) = (f, g)y por tanto (f, g)también es el coigualador de (π1 C, π1 R),(π2 C, π2 R). Con esto hemos demostrado no sólo que Urefleja coigualadores, si no también que toda morfismo de módulos cruzados sobreyectivo es un coigualador. c)Utiene adjunto por la izquierda ⇒conserva cuadrados cartesianos ⇒ conserva pares-núcleo. Vamos a ver que Urefleja pares-núcleo. Supongamos que dos morfismos (f, g),(f0, g0) : (C00, R00, ν00)→(C, R, ν)son un par núcleo en Set. Esto significa que (f×g, f0×g0) : C00 ×R00 →(C×R)×(C×R)es una aplicación inyectiva y su imagen es una relación de equivalencia en C×R;es decir, (f, f0) : C00 →C×Cy(g, g0) : R00 →R×Rson inyectivas y sus imágenes son relaciones de equivalencia en CyRrespectivamente. Denotamos G=im(f, f0),H=im(g, g0); tenemos la congruencia (G,H, ν× ν)y consideramos la aplicación cociente: (p1, p2) : (C, R, ν)→(C/G, R/H, ν). Además, se tiene un isomorfismo de módulos cruzados: ((f, f0),(g, g0)) : (C00, R00, ν00)→(C×C/GC, R ×R/HR, ν ×ν). Es inyectivo porque (f, f0)y(g, g0)lo son, y es sobreyectivo por la definición de GyH;C×C/GC={(c, c0)∈C×C/cGc0}={(c, c0)∈C×C/(c, c0)∈ Im(f, f0)}, R ×R/HR={(r, r0)∈R×R/rHr0}={(r, r0)∈R×R/(r, r0)∈ Im(g, g0)}. Como el siguiente cuadrado es cartesiano (debido a que C×C/GC≡C/G × C/G, R ×R/HR≡R/H × R/H) : (C×C/GC, R ×R/HR, ν ×ν) (f0,g0)// (f,g)  (C, R, ν) (p1,p2)  (C, R, ν)(p1,p2)//(C/G, R/H, ν) 1.3 Tripleabilidad 37 (f, g),(f0, g0) : (C00, R00, ν00)→(C, R, ν)es el par-núcleo del morfismo (p1, p2) : (C, R, ν)→(C/G, R/H, ν). 38 1 Propiedades categóricas de XModK 1.4. Propiedades categóricas 1.4.1. Categorías semiabelianas Una categoría Cse dice que es abeliana si: • C tiene productos finitos y objeto cero. •Todo morfismo de Cse factoriza en un conúcleo seguido de un núcleo, es decir, tiene factorizaciones en epimorfismo normal-monomorfismo normal. Estas dos condiciones implican que Csea aditiva. La noción de categoría abeliana refleja las propiedades algebraicas típicas de grupos abelianos y módulos. Como analogía a este concepto se intenta buscar una noción de categoría semiabeliana que refleje las propiedades de grupos, anillos y álgebras. Éste será el marco adecuado para un tratamiento categórico de la teoría del radical y conmutador, la teoría de homología de estructuras no abelianas y el desarrollo de teoremas de isomorfía y descomposición. Con este finalidad surge el concepto de categoría Barr-exacta: una categoría Cse dice que es Barr-exacta o regular efectiva si verifica que: • C tiene límites finitos. • C tiene un sistema de factorización en epimorfismo regular-monomorfismo estable por cuadrados cartesianos. •Todas las relaciones de equivalencia son efectivas. Una relación de equivalencia en un objeto Ade Cviene dada por un par de morfismos r, r0:R→Apara los cuales las aplicaciones Hom(X, r), Hom(X, r0) son las proyecciones de una relación de equivalencia en el conjunto Hom(X, A) para todo objeto Xde C. Se dice que es efectiva si está inducida por un morfismo f:A→B, es decir, si es el par núcleo de algún f[11]. 1.4 Propiedades categóricas 39 Proposición 49 Sea r, r0:R→Auna relación de equivalencia. Si hay una estructura en el cociente A/R tal que p:A→A/R es un morfismo, entonces la relación de equivalencia es efectiva. Demostración: Como R=A×A/R A, si pes un morfismo, entonces la relación de equivalencia es un morfismo.  Para una factorización en epimorfismo regular-monomorfismo f=me en una categoría C, el morfismo ees necesariamente el coigualador del par núcleo de f, siempre que este exista. Recíprocamente, si ees el coigualador del par núcleo de fymel morfismo tal que f=me, entonces mes un monomorfismo si todos los cuadrados cartesianos de eson épicos, ya que el par núcleo de m debe ser trivial. Usando esto y el hecho de que los diagramas: B g  Af//C A×B (1A,g)×1B  A×B(1A,f)×1B//A×C×B tienen límites isomorfos, las dos primeras condiciones se pueden reformular de la siguiente manera: • C tiene productos finitos. • C tiene cuadrados cartesianos de pares de monomorfismos rotos. • C tiene coigualadores de pares núcleo. •Los epimorfismos regulares son estables por cuadrados cartesianos. Se verifica que las categorías Barr-exactas y aditivas son las categorías abelianas. Sin embargo, su generalidad, conduce a que este concepto no sea 40 1 Propiedades categóricas de XModK suficientemente restrictivo para capturar las propiedades típicas que distinguen a grupos, anillo y álgebras de conjuntos con punto, monoides o retículos. La noción de categoría semiabeliana combina la condición de Barr-exacta con la siguiente propiedad: Lema 50 (corto de los cinco) Para todo diagrama conmutativo: L u  l//F w  q//C v  Kk//Ep//B con epimorfismos regulares p,qyk,lsus núcleos, wes un isomorfismo si uy vson isomorfismos. En el caso de categorías Barr-exactas es suficiente pedir esta propiedad para epimorfismos rotos, y se puede formular sin hacer referencia al objeto cero y a núcleos, usando simplemente cuadrados cartesianos. Esta es la noción de categoría protomodular en el sentido de Bourn. Lema 51 (corto roto de los cinco) Para todo diagrama conmutativo: L u  l//F w  q//C v  Kk//Ep//B en Ccon k= ker pyl= ker q; entonces wes un isomorfismo si uyvson isomorfismos y pyqson epimorfismos rotos. 1.4 Propiedades categóricas 41 Definición 52 Una categoría es semiabeliana si es Barr-exacta, protomodular en el sentido de Bourn, con coproductos finitos y objeto cero. O lo que es lo mismo, si verifica que [33]: i)Ctiene productos y coproductos binarios y objeto cero. ii)Ctiene cuadrados cartesianos de monomorfismos rotos. iii)Ctiene coigualadores de pares núcleo. iv)Se verifica el lema corto roto de los cinco en C. v)Los epimorfismos regulares en Cson estables por cuadrados cartesianos. vi)Las relaciones de equivalencia en Cson efectivas. Se verifica que las categorías Barr-exactas y semiaditivas son las categorías semiabelianas, en el caso de categorías con punto. Al contrario que ocurre con la abelianidad, la semiabelianidad no es autodual, pero se verifica que: (semiabeliana)+(semiabeliana)op =(abeliana). Ejemplo 53 Las categorías abelianas son semiabelianas, ya que las categorías abelianas son las Barr-exactas aditivas. La categoría de grupos es un ejemplo de categoría semiabeliana, pero que no es abeliana. Ejemplo 54 Ω-grupos. Toda variedad de álgebras universales, para una teoría T, induce una categoría Barr-exacta T-Alg(Set). Además, cada variedad de Ω- grupos (es decir, una variedad de álgebras universales con estructura subyacente de grupo tal que el subgrupo trivial es una subálgebra) es protomodular, y por tanto semiabeliana. Tenemos entonces que muchas categorías algebraicas clásicas tales como anillos (no necesariamente unitarios), álgebras de Lie o álgebras de Jordan, son semiabelianas. 42 1 Propiedades categóricas de XModK Ejemplo 55 XModKes una categoría semiabeliana; vamos a ver que verifica los seis axiomas: i)Hemos visto en la primera sección que XModKtiene productos binarios. Además, por ser esta una categoría algebraica es completa y cocompleta y por tanto tiene coproductos binarios [30]. El objeto cero es el módulo cruzado (0,0,0). ii)XModKtiene cuadrados cartesianos; en particular, los tiene de monomorfismos rotos. iii)XModKtiene coigualadores; en particular, los tiene de pares núcleo. iv)Consideremos el diagrama conmutativo de módulos cruzados: ker(f, f0) (u00,v00)  (f,f0)k //(C, R, ν) (u0,v0)  (f,f0)//(C0, R0, ν0) (u,v)  ker(g, g0)(g,g0)k //(D, S, µ)(g,g0)//(D0, S0, µ0) con (u00, v00),(u, v)isomorfismos y (f, f0),(g, g0)epimorfismos rotos. Para ver que (u0, v0)es un isomorfismo basta aplicar el lema de los cinco corto roto en la categoría de álgebras conmutativas a los diagramas: ker f u00  fk //C u0  f//C0 u  ker ggk //Dg//D0 ker f0 v00  f0k //R v0  f0 //R0 v  ker g0g0k //Sg0 //S0 v)Consideremos los módulos cruzados y morfismos siguientes: 1.4 Propiedades categóricas 43 (f, f0) : (C0, R0, ν0)→(C, R, ν),(g, g0) : (C00, R00, ν00)→(C, R, ν). El cuadrado cartesiano de (f, f0)y(g, g0) : (X, Y, µ) (j,j0)   (i,i0)//(C00, R00, ν00) (g,g0)  (C0, R0, ν0)(f,f0)//(C, R, ν) viene dado por los siguientes cuadrados cartesianos de álgebras conmutativas: X j   i//C00 g  C0f//C Y j0   i0 //R00 g0  R0f0 //R El morfismo µ:X→Yactúa de la forma µ(x, y)=(ν0(x), ν(y)),para (x, y)∈X⊆C0×C00. Si (f, f0)es un epimorfismo regular, fyf0lo son en álgebras conmutativas. Como en esta categoría se conservan los epimorfismos regulares por cuadrados cartesianos i, i0también lo son y, por tanto, (i, i0)es un epimorfismo regular en XModK. vi)En XModKla proyección en el cociente es un morfismo de módulos cruzados y entonces, por la última proposición, todas las relaciones de XModK son efectivas. 44 1 Propiedades categóricas de XModK 1.4.2. Categorías de interés Orzech define el concepto de categoría de interés [44] y estudia propiedades de este tipo de categorías. La categoría XModKno es una categoría de interés ya que no cumple uno de sus axiomas: •Si w∈Ω1\{−} y∗ ∈ Ω2\{+},entonces w(a∗b) = w(a)∗b, donde Ωidenota las operaciones i-arias para i= 1,2. Veamos que efectivamente XModKno cumple este axioma. Para ello se debe tener en cuenta la equivalencia existente entre módulos cruzados sobre álgebras conmutativas y cat1-álgebras. Sea (C, R, ν)un módulo cruzado. La cat1-álgebra inducida es el álgebra CoRcon los morfismos s, t :CoR→CoRque actúan de la manera siguiente sobre (c, r)∈CoR: s(c, r) = (0, r). t(c, r) = (0, r +ν(c)). Estas aplicaciones sytson las operaciones 1-arias, mientras que la suma y el producto de CoRcomo álgebra son las operaciones 2-arias. s((c1, r1)∗(c2, r2)) = s(c1c2+r2c1+r1c2, r1r2) = (0, r1r2). s(c1, r1)∗(c2, r2) = (0, r1)∗(c2, r2) = (r1c2, r1r2). Por tanto, tomando r1∈Ryc2∈Ctales que r1c26= 0 no se verifica el axioma. La categoría de módulos cruzados de grupos sí es una categoría de interés. Este hecho motiva que el estudio de XModKtenga diferencias fundamentales con el estudio de módulos cruzados de grupos. 1.4 Propiedades categóricas 45 1.4.3. Categorías cartesianas cerradas El hecho de que una categoría Ctenga productos y coproductos finitos es equivalente a que tenga productos, coproductos, objeto terminal y objeto inicial. El objeto inicial y el coproducto dan, respectivamente, los adjuntos por la izquierda de los funtores: C → 0C → C × C C7→ 0C7→ (C, C) mientras que el objeto terminal y el producto proporcionan sus adjuntos por la derecha. Definición 56 Una categoría Ccon productos finitos se dice que es cartesiana cerrada cuando los funtores: φ:C → 0θ:C → C × C η:C×B −→ C C7→ 0C7→ (C, C)C7→ C×B tienen un adjunto a la derecha. Teorema 57 La categoría XModKes una categoría cartesiana cerrada. Demostración: i)Consideramos el funtor φ0:0→XModKtal que φ0(0) = (0,0,0). Este funtor es trivialmente adjunto de φa la derecha. Debe notarse que (0,0,0) es el objeto terminal de XModK. ii)Consideramos el funtor θ0:XModK×XModK→XModKdado por θ0((C, R, ν),(C0, R0, ν0)) = (C, R, ν)×(C0, R0, ν0). Este funtor es adjunto de θa la derecha ya que dado otro módulo cruzado (G, H, ω), existe un isomorfismo: Hom(((G, H, ω),(G, H, ω)),((C, R, ν),(C, R, ν),(C0, R0, ν0))) ∼ = Hom((G, H, ω),(C, R, ν)×(C, R, ν),(C0, R0, ν0)) 52 2 Construcciones en la categoría Además, Aes un M(A)-módulo, con la acción dada por: M(A)×A→A (λ, a)7−→ λ(a) Consideramos ahora el morfismo Aγ →M(A) a7−→ γadonde γa(a0) = aa0. ker γ={a|aa0= 0 para todo a0∈A}=Ann(A). Im γ=Multiplicaciones interiores de A. (A, M(A), γ)es un módulo cruzado: •γ(λa) = γ(λ(a)) = γλ(a)∈M(A), y esta multiplicación coincide con λγ(a) = λγaya que dado a0∈Ase tiene γλ(a)(a0) = λ(a)a0=λ(aa0) = λγa(a0). •γ(a)a0=γaa0=γa(a0) = aa0. Definición 63 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado dado. Una multiplicación de (C, R, ν)es un par (f, g) : (C, R, ν)→(C, R, ν)tal que: i)f∈M(C), g ∈M(R). ii)gν =νf. iii)f(rc) = rf(c) = g(r)cpara todo c∈C, r ∈R. El conjunto de las multiplicaciones de un módulo cruzado (C, R, ν)se denota por M(C, R, ν).Este conjunto tiene estructura de K-álgebra con las operaciones [4]: •(f, g)+(f0, g0) = (f+f0, g +g0). •k(f, g) = (kf, kg). •(f, g)◦(f0, g0) = (f◦f0, g ◦g0). Definición 64 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado. Se denota por U(R, C)el conjunto de todas las aplicaciones lineales d:R→Ctales que d(rr0) = rd(r0) si r, r0∈R. 2.1 El actor de un módulo cruzado 53 Si d∈U(R, C)se tienen multiplicaciones σd∈M(R), θd∈M(C)dadas por: σd(r) = νd(r), θd(c) = dν(c). La comprobación de que son multiplicaciones es trivial. Proposición 65 Las multiplicaciones σd, θdverifican: i)θdd=dσd. ii)σdν=νθd. iii) (θd, σd)∈M(C, R, ν). Demostración: Sean r∈R, c ∈C: i)θdd(r) = (dν)d(r) = d(νd(r)) = dσd(r). ii)σdν(c) = (νd)ν(c) = ν(dν(c)) = νθd(c). iii)θd(rc) = dν(rc) = d(rν(c)) = rdν(c) = rθd(c),por tanto (θd, σd)∈ M(C, R, ν). Proposición 66 Sean σdi, θdilas multiplicaciones asociadas a di∈U(R, C), i = 1,2. i)Si d=d1+d2entonces σd=σd1+σd2yθd=θd1+θd2. ii)Si d=kd1entonces σd=kσd1yθd=kθd1. iii)Si d= (d1◦d2)entonces σd= (σd1◦σd2)yθd= (θd1◦θd2). Demostración: i)Si d=d1+d2,entonces σd(r) = ν(d1+d2)(r) = ν(d1(r) + d2(r)) = ν(d1(r))+ν(d2(r)) = σd1(r) + σd2(r). Y análogamente θd(c) = θd1(c) + θd2(c). ii)Si d=kd1,entonces σd(r) = σkd1(r) = ν(kd1)(r) = ν(k(d1(r)) = kν(d1(r)) = kσd1(r). 54 2 Construcciones en la categoría Y análogamente θd(c) = kθd1(c). iii)Si d= (d1◦d2)entonces σd(r) = σ(d1◦d2)(r) = ν(d1◦d2)(r) = ν(d1νd2)(r) = νd1(νd2(r)) = σd1(νd2(r)) = σd1(σd2(r)) = (σd1◦σd2)(r). Y análogamente θd(c) = (θd1◦θd2)(c). Por tanto, tenemos una K-álgebra (U(R, C),+,·,◦)y homomorfismos: Γ : U(R, C)→M(R) Φ : U(R, C)→M(C) d7−→ σdd7−→ θd Teorema 67 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado. Consideramos el morfismo ∆ : U(R, C)→M(C, R, ν)dado por ∆(d)=(θd, σd).Entonces, A(C, R, ν) = (U(R, C), M(C, R, ν),∆) es un módulo cruzado llamado módulo cruzado actor. Demostración: Una acción de M(C, R, ν)sobre U(R, C)viene dada por (f, g)·d=fd ya que fd(r1r2) = f(r1·d(r2)) = d1ν(r1·d(r2)) = d1(r1νd(r2)) = r1·d1νd(r2)) = r1·fd(r2).Por tanto fd ∈U(R, C). Ahora, sean (f, g)∈M(C, R, ν), d ∈U(R, C) : •∆((f, g)d) = ∆(fd)=(θfd, σfd) = ((fd)ν, ν(fd)) = (fdν, gνd)=(f, g)◦ (dν, νd) = (f, g)◦(θd, σd) = (f, g)◦∆(d). •∆(d1)d2= (θd1, σd2) = θd1d2=d1νd2=d1◦d2. Observación 68 El actor de un módulo cruzado (C, R, ν)sólo existe cuando M(C)yM(R)tienen estructura de K-álgebra conmutativa. Proposición 69 El morfismo (f, g) : (C, R, ν)→ A(C, R, ν),donde f:C→ U(R, C)viene dado por f(c) = fc:R→C, fc(r) = rc yg:R→M(C, R, ν) viene dado por g(r)=(ir, jr), ir(c) = rc, jr(r0) = rr0, es un morfismo de módulos cruzados. 2.1 El actor de un módulo cruzado 55 Demostración: Tenemos que el siguiente diagrama es conmutativo: C ν  f//U(R, C) ∆  Rg//M(C, R, ν) Además: •∆f(c)=∆fc(r)=(θfc(c0), σfc(r)) = (fcν(c0), νfc(r)) = (ν(c0)c, ν(rc)) = (c0c, rν(c)) = (ν(c)c0, ν(c)r) = (iν(c)(c0), jν(c)(r)) = gν(c). •g(r)◦f(c)(r0)=(ir, jr)fc(r0) = irfc(r0) = ir(r0c) = r(r0c) = r0(rc) = frc(r0) = f(rc)(r0). Las imágenes de fygse denotan por E(R, C)yRrespectivamente. La acción de M(C, R, ν)sobre U(R, C)induce una acción de M(C, R, ν)sobre E(R, C)dada por (f, g)·ic=if(c).Se puede comprobar fácilmente que E(R, C) es un ideal de U(R, C)yRes un ideal de M(C, R, ν). Proposición 70 La imagen del morfismo de módulos cruzados (f, g),Im(f, g) = (E(R, C), R, ∆) es un ideal de (U(R, C), M(C, R, ν),∆). Demostración: Primero veamos que E(R, C)es un ideal de U(R, C)y que Res un ideal de M(C, R, ν) : Sean d∈U(R, C)yfc∈E(R, C).Entonces, (d◦fc)(r) = dνfc(r) = dν(rc) = d(rν(c)) = r(dν(c)) = fdν(c)(r)∈E(R, C). Ahora sean (i, j)∈M(C, R, ν)e(ir, jr)∈R. Tenemos que iir(c) = i(rc) = dν(rc) = d(rν(c)) = d(ν(c)r) = ν(c)d(r) = cd(r) = d(r)c=ν(d(r))c=j(r)c=ij(r)(c)yjjr(r0) = j(rr0) = j(r)r0= jj(r)(r0). Por tanto, ((i, j)◦(ir, jr)) = (iir, jjr) = (ij(r), jj(r))∈R. Quedan por comprobar otras dos cosas: 56 2 Construcciones en la categoría •Sean (i, j)∈M(C, R, ν)yfc∈E(R, C).Tenemos que (i, j)fc(r) = fic(r) = f(rc) = dν(rc) = d(rν(c)) = rdν(c) = ri(c) = fi(c)(r)∈E(R, C). •Sean (ir, jr)∈Ryd∈U(R, C).Tenemos que (ir, jr)d(r0) = ird(r0) = rd(r0) = d(rr0) = d(r0r) = r0d(r) = fd(r)(r0)∈E(R, C). El módulo cruzado (E(R, C), R, ∆) se llama actor interior del módulo cruzado (C, R, ν)y se denota por I(C, R, ν).Este objeto es el análogo a las multiplicaciones interiores en la categoría de álgebras conmutativas. Como I(C, R, ν)es un ideal de A(C, R, ν),se puede considerar el módulo cruzado cociente A(C, R, ν)/I(C, R, ν)que se llama actor exterior del módulo cruzado (C, R, ν)y se denota O(C, R, ν). Ejemplo 71 Si Ies un ideal de Rcon la inclusión i:I ,→R, entonces A(I, R, i)es el módulo cruzado (U(R, C), X, ∆) donde Xes isomorfo a la subálgebra de M(C)consistente en las multiplicaciones que se restringen a multiplicaciones de I. Ejemplo 72 Casos especiales del ejemplo anterior son que A(0, R, i)es isomorfo a (0, M(R), i)yA(R, R, id)es isomorfo a (M(R), M(R), id). Definición 73 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado. El aniquilador del módulo cruzado de álgebras conmutativas es el núcleo del homomorfismo (f, g) : (C, R, ν)→ A(C, R, ν), y se denota por Ann(C, R, ν). Ann(C, R, ν) = ker(f, g) = (AnnC(R), AnnR(C)∩AnnR(R), ν)ya que: •ker(f) = {c∈C|fc(r)=0para todo r∈R}={c∈C|rc = 0 para todo r∈R}=AnnC(R). •ker(g) = {r∈R|g(r)=(ir, jr)=0}={r∈R|rc = 0, rr0= 0 para todo c∈Cyr0∈R}=AnnR(C)∩AnnR(R). Como Ann(C, R, ν)es el núcleo de un morfismo de módulos cruzados, es un ideal del módulo cruzado (C, R, ν). 2.1 El actor de un módulo cruzado 57 Ejemplo 74 Si Ies un ideal de Rcon la inclusión i:I ,→Rentonces Ann(I, R, i) = (I∩AnnR(R), AnnR(R), i). Si consideramos el caso particular en el que I=R, i =id, entonces Ann(I, R, i) = (R∩AnnR(R), AnnR(R), id) = (AnnR(R), AnnR(R), id). Si I= 0, Ann(0, R, i) = (0, AnnR(R), i). Ejemplo 75 Consideramos el módulo cruzado (R, M(R), ν); se tiene entonces que Ann(R, M(R), ν) = (AnnR(R),0∩AnnM(R)(M(R)), ν) = (AnnR(R),0,0). En la categoría de álgebras conmutativas se tiene la siguiente estructura: Sea Runa K-álgebra y M(R)sus multiplicaciones. Existe un homomorfismo de álgebras ν:R→M(R)cuya imagen son las multiplicaciones interiores I(R)y su núcleo es el aniquilador de R. El cociente M(R)/I(R)es el álgebra de multiplicaciones exteriores de Ry se denota por O(R). Si tenemos una sucesión exacta corta de álgebras: 0//J//R//Q//0 existe un homomorfismo θ:R→M(J)que hace conmutativo el diagrama: 0//J//  R//  Q//  0 0//I(J)//M(J)//O(J)//0 En módulos cruzados se tiene la misma situación. Dada una sucesión exacta corta: 0//(C0, R0, ν0)//(C, R, ν)//(C00, R00, ν00)//0 existe un morfismo de módulos cruzados (ε, θ) : (C, R, ν)→ A(C0, R0, ν0)tal que el siguiente diagrama es conmutativo [4]: 0//(C0, R0, ν0)//  (C, R, ν)// (ε,θ)  (C00, R00, ν00)//  0 0//I(C0, R0, ν0)//A(C0, R0, ν0)//O(C0, R0, ν0)//0 58 2 Construcciones en la categoría 2.2. Módulos cruzados singulares Definición 76 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado. Se dirá que es singular cuando R2= 0 y la acción de Rsobre Csea la acción trivial, es decir, para todo c∈C, r ∈Rse verifica rc = 0. Ejemplo 77 Sea Cun álgebra tal que C2= 0; entonces (C, C, id)es un módulo cruzado singular. Ejemplo 78 Sea Run álgebra tal que R2= 0 eIun ideal de R; entonces (I, R, in)es un módulo cruzado singular. Observación 79 El hecho de que la acción de Rsobre Csea trivial implica, utilizando la identidad de Peiffer, que C2= 0, ya que cc0=ν(c)c0= 0, donde c, c0∈C. Este concepto es análogo al que se tiene en otras estructuras; por ejemplo, se dice que un álgebra conmutativa Aes singular o abeliana cuando A2= 0. Esto significa que la multiplicación sea trivial, o dicho de otra manera, que el morfismo natural: A×A→A (a, a0)7−→ aa0 sea trivial. En módulos cruzados este concepto corresponde a decir que el morfismo: (C, R, ν)×(C, R, ν)→(C, R, ν) ((c, r),(c0, r0)) 7−→ (cc0+rc0+r0c, rr0) sea trivial. Desarrollando esta condición se llega a la definición dada. 2.2 Módulos cruzados singulares 59 Observación 80 Si (C, R, ν)es un módulo cruzado singular, entonces existe el módulo cruzado actor A(C, R, ν). Como C2= 0 se tiene que AnnC(C) = C y entonces M(C)tiene estructura de K-álgebra conmutativa. Análogamente, M(R)también tiene estructura de K-álgebra conmutativa. Lema 81 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado singular. Cualquier submódulo cruzado (C0, R0, ν0)es también singular. Demostración: La prueba es directa.  Proposición 82 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado. Si (C, R, ν)es singular, entonces es un objeto grupo abeliano. Demostración: Para realizar la demostración es necesario recordar que dada una categoría C con productos finitos, un objeto C∈ C es un objeto grupo abeliano si y sólo si Hom(C0, C)es un grupo abeliano para todo objeto C0de la categoría [40]. Sea (C, R, ν)un módulo cruzado singular. Veremos a continuación que Hom((C0, R0, ν0),(C, R, ν)) es un grupo abeliano para cualquier (C0, R0, ν0). Consideremos dos morfismos (f, g),(f0, g0) : (C0, R0, ν0)→(C, R, ν).La suma viene inducida de forma natural por la suma de morfismos en la categoría de álgebras conmutativas, es decir, ((f, g)+(f0, g0))(c0, r0) = (f+f0, g + g0)(c0, r0) = ((f+f0)(c0),(g+g0)(r0)) = (f(c0) + f0(c0), g(r0) + g0(r0)), donde c0∈C, r0∈R0.Se puede comprobar fácilmente que tanto f+f0como g+g0 son morfismos de álgebras. C0 f+f0  ν0 //R0 g+g0  Cν//R Primero, se debe comprobar que (f, g)+(f0, g0)es un morfismo de módulos cruzados: 60 2 Construcciones en la categoría •Si c0∈C0, r0∈R0se tiene que (f+f0)(r0c0) = f(r0c0) + f0(r0c0) = g(r0)f(c) + g0(r0)f0(c0) = 0 ya que como (C, R, ν)es singular, la acción de R sobre Ces la acción trivial. Por el mismo motivo ((g+g0)(r0))((f+f0)(c0)) = 0. •Si c0∈C0se tiene que ((g+g0)◦ν0)(c0) = g(ν0(c0))+g0(ν0(c0)) = ν(f(c0)+ ν(f0(c0)) = (ν◦(f+f0))(c0). Es trivial comprobar que la operación definida cumple las propiedades asociativa y conmutativa. Además, el elemento neutro es la aplicación (0,0) : (C, R, ν)→(C0, R0, ν0). Solo queda por comprobar que todo (f, g)∈Hom((C0, R0, ν0),(C, R, ν)) tiene inverso. Su inverso será el morfismo (−f, −g)definido de la siguiente manera: (−f, −g)(c0, r0)=(−(f(c0)),−(g(r0)), donde c0∈C0, r0∈R0.Veamos que así definido (−f, −g)es un morfismo de módulos cruzados: •(−f)(r0c0) = −(f(r0c0)) = −(g(r0)f(c0))=0=(−(g(r0)))(−(f(c0))) = (−g(r0))(−f(c0)), donde c0∈C0, r0∈R0. •((−g)◦ν0)(c0) = −(g(ν0(c0))) = −(ν(f(c0))) = ν((−f(c0)) = (ν◦(−f))(c0), donde c0∈C0. Finalmente comprobaremos que (−f, −g)es efectivamente el inverso de (f, g) : ((f, g)+(−f, −g))(c0, r0) = (f(c0)−f(c0), g(r0)−g0(r0)) = (0,0), donde c0∈C0, r0∈R0. Observación 83 En la demostración anterior se muestra que dados dos módulos cruzados Hom((C, R, ν),(C0, R0, ν0)) tiene estructura de grupo abeliano. Además, se le puede dar estructura de K-álgebra con las siguientes operaciones: •((f, g)·(f0, g0))(c, r) = ((f·f0)(c),(g·g0)(r)) = (f(c)f0(c), g(r)g0(r)), donde f, g ∈Hom((C, R, ν),(C0, R0, ν0)), c ∈C, r ∈R. •(k·(f, g))(c, r) = (k·f(c), k·g(r)), donde f, g ∈Hom((C, R, ν),(C0, R0, ν0)), k∈K. Proposición 84 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado. Se verifica que (C, R, ν)es singular si y sólo si Ann(C, R, ν) = (C, R, ν). 2.2 Módulos cruzados singulares 61 Demostración: “⇒” Ann(C, R, ν)=(AnnC(R), AnnR(C)∩AnnR(R), ν) = ker(f, g),donde (f, g)es el morfismo anteriormente descrito (f, g) : (C, R, ν)→ A(C, R, ν). •AnnC(R) = {c∈C|rc = 0 ∀r, r ∈R}.Como la acción de Rsobre Ces la trivial AnnC(R) = C. •AnnR(R) = {r0∈R|rr0= 0 ∀r, r ∈R}.Como R2= 0, se tiene que AnnR(C) = R. •AnnR(C) = {r∈R|rc = 0 ∀c, c ∈C}.Como la acción de Rsobre Ces la trivial AnnR(C) = R. Por tanto Ann(C, R, ν)=(AnnC(R), AnnR(C)∩AnnR(R), ν)=(C, R ∩ R, ν) = (C, R, ν). “⇐” •AnnC(R) = {c∈C|rc = 0 ∀r, r ∈R}=C⇒la acción de Rsobre Ces la trivial. •AnnR(C)∩AnnR(R) = R⇒R⊆AnnR(R) = {r∈R|rr0= 0 ∀r, r ∈R} ⇒ R2= 0. Observación 85 La proposición anterior muestra que el aniquilador de módulos cruzados presenta un carácter análogo con respecto al concepto de aniquilador en la categoría de álgebras conmutativas ya que se verifica que dada Aun álgebra, Aes singular si y sólo si A2= 0 (es decir, si el aniquilador de Aes todo A). Definición 86 Dado un módulo cruzado (C, R, ν),el conmutador será el submódulo cruzado [(C, R, ν),(C, R, ν)] = (RC, R2, ν). Lema 87 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado. Se verifica que el módulo cruzado [(C, R, ν),(C, R, ν)] es un ideal cruzado de (C, R, ν). 68 2 Construcciones en la categoría 2.4. Producto semidirecto de módulos cruzados Vamos a introducir ahora el concepto de producto semidirecto de dos módulos cruzados (C0, R0, ν0)y(C, R, ν). Para ello es necesario que (C, R, ν)sea singular y (C0, R0, ν0)actúe sobre (C, R, ν), es decir, debe existir un morfismo (α, β) : (C0, R0, ν0)→ A(C, R, ν) = (U(R, C), M(C, R, ν),∆=(θ, σ)). C0 α  ν0 //R0 β=(β1,β2)  U(R, C)∆//M(C, R, ν) Vamos a hacer las siguientes consideraciones: •C0actúa sobre C:sean c∈C, c0∈C0. Se tiene que α(c0)∈U(R, C) induce θα(c0)∈M(C)definida de la siguiente manera: θα(c0)(c) = α(c0)(ν(c)), es decir, c0∗c=α(c0)(ν(c)).Por tanto, se puede construir CoC0. •R0actúa sobre R:sean r∈R, r0∈R0. β2(r0)∈M(R)y permite definir r0∗r=β2(r0)(r).Por tanto, se puede construir RoR0. •RoR0actúa sobre CoC0de la siguiente manera: sean (c, c0)∈Co C0,(r, r0)∈RoR0,(r, r0)∗(c, c0) = (α(c0)(r) + β1(r0)(c) + rc, r0c0)∈CoC0. Así definida es una acción ya que induce una aplicación: λ:RoR0→Mult(CoC0) (r, r0)7−→ (r, r0)∗ Se puede comprobar fácilmente que (r, r0)∗ ∈ Mult(CoC0); para ello deberemos tener en cuenta la siguiente igualdad: f(rν(c)) = f(r)ν(c) = f(r)c, donde f∈U(R, C), c ∈C, r ∈R. 2.4 Producto semidirecto de módulos cruzados 69 Sean (c, c0),(d, d0)∈CoC0,(r, r0)∗((c, c0)(d, d0)) = (r, r0)∗(cd+α(d0)ν(c)+ α(c0)ν(d), c0d0)=(rcd +rα(d0)ν(c) + rα(c0)ν(d) + α(c0d0)(r) + β1(r0)(cd) + β1(r0)(α(d0)ν(c)) + β1(r0)(α(c)ν(d0)), r0c0d0). Por otro lado se tiene que ((r, r0)∗(c, c0))(d, d0)=(α(c0)(r) + β1(r0)(c) + rc, r0c0)(d, d0) = (rcd +α(c0)(r)(d) + β1(r0)(c)d+α(r0c0)(d) + α(c0)(r)d0+ α(d0)(ν(rc))+d0β1(r0)(c), r0c0d0). Vamos a ver que ambos desarrollos son iguales término a término: •rα(d0)(ν(c)) = α(d0)(rν(c)) = α(d0)(ν(rc)). •rα(c0)(ν(d)) = α(c)(rν(d0)) = α(c)(ν(rd0)). •α(c0d0)(r) = α(d0)(ν(α(c0)(r)) = d0(ν(α(c0)(r)). •β1(r0)(cd) = β1(r0)(c)d. •β1(r0)(α(d0)ν(c)) = β1(r0)(β1(ν0(d))(c)) = β1(r0(ν0(d))(c) = β1((ν0(d)r0)(c) =β1(ν0(d))(β1(r0)(c)) = α(d0)(ν(β1(r0)(c))) = d0(β1(r0)(c)). •β1(r0)(α(c)ν(d0)) = (β1(r0)α(c))ν(d0) = α(r0c0)(ν(d)). Por tanto (r, r0)∗((c, c0)(d, d0)) = ((r, r0)∗(c, c0))(d, d0). Definición 93 Sean (C, R, ν)y(C0, R0, ν0)dos módulos cruzados tales que (C, R, ν)es singular y (C0, R0, ν0)actúa sobre (C, R, ν). Se define: (C, R, ν)o(C0, R0, ν0) := (CoC0, R oR0, ν oν0) donde (νoν0)(c, c0) = (ν(c), ν0(c0)). Veamos que efectivamente (CoC0, R oR0, ν oν0)es un módulo cruzado: i) (νoν0)((r, r0)(c, c0)) = (νoν0)(α(c0)(r)+β1(r0)(c)+rc, r0c0) = (ν(α(c0)(r))+ ν(β1(r0)(c)) + ν(rc), ν0(r0c0)) = (β2(ν0(c0))(r) + β2(r0)(ν(c)) + rν(c), r0ν0(c0)) = (ν0(c0)∗r+r0∗ν(c) + rν(c), r0ν0(c0)) = (r, r0)(νoν0)(c, c0), donde (c, c0)∈ (C, C0),(r, r0)∈(R, R0). ii) ((νoν0)(c, c0))(d, d0) = (ν(c), ν0(c0))(d, d0) = (α(d0)(ν(c)) + β1(ν0(c0))(d) + ν(c)d, ν0(c0)d0) = (α(d0)(ν(c)) + θα(c0)(d) + ν(c)d, ν0(c0)d0) = (α(d0)(ν(c)) + α(c0)(ν(d)) + ν(c)d, ν0(c0)d0) = (d0∗c+c0∗d+cd, c0d0) = (c, c0)(d, d0), donde (c, c0),(d0, d)∈CoC0. 70 2 Construcciones en la categoría Observación 94 La definición anterior generaliza el producto semidirecto de álgebras: •Consideremos los módulos cruzados (0, R, 0),(0, R0,0) donde R2= 0 y (0, R0,0) actúa sobre (0, R, 0), es decir, existe un morfismo de módulos cruzados (α, β) : (0, R0,0) →(U(R, 0), M(0, R, 0),∆). En este caso U(R, 0) sólo contiene al morfismo trivial 0 : R→0y además M(0, R, 0) = (M(0), M(R),0) ≡M(R).Por tanto la acción de (0, R0,0) sobre (0, R, 0) es un morfismo β2:R0→M(R), es decir, una acción de R0sobre R. Finalmente (0, R, 0) o(0, R0,0) = (0, R oR0,0) ≡RoR0. •Sean ahora (C, C, id)y(C0, C0, id)módulos cruzados tales que (C, C, id) es singular y (C0, C0, id)actúa sobre (C, C, id), es decir, existe un morfismo de módulos cruzados (α, β) : (C0, C0, id)→(U(C, C), M(C, C, id),∆). En este caso se tiene que U(C, C)≡M(C)yM(C, C, id)≡M(C).Por tanto ∆ = idM(C)yα=βrepresenta la acción de C0sobre C. Finalmente (C, C, id)o(C0, C0, id) = (CoC0, C oC0, id)≡CoC0. Hay además un punto de vista sobre el producto semidirecto análogo al de álgebras. Sea (C, R, ν)un módulo cruzado con submódulos (C0, R0, ν0)y (C00, R00, ν00)satisfaciendo: •(C0, R0, ν0)es singular. •(C0, R0, ν0)es un ideal de (C, R, ν). •C=C0+C00, R =R0+R00. •C0∩C00 = 0, R0∩R00 = 0. Entonces, hay un morfismo (ε, ρ) : (C00, R00, ν00)→ A(C0, R0, ν0)definido de la siguiente manera: ε:C00 →U(R0, C0)viene dado por ε(d) = εd,donde εd(r) = rd para r∈R. ρ:R00 →M(C0, R0, ν0)viene dado por ρ(s)=(is, js), donde is(c) = sc, js(r) = rs para c∈C, r ∈R. El producto semidirecto resultante (C0, R0, ν0)o(ε,ρ)(C00, R00, ν00)es isomorfo al módulo cruzado (C, R, ν)[4]. 2.5 La categoría de (C, R, ν)-módulos 71 2.5. La categoría de (C, R, ν)-módulos Definición 95 Sean (A, B, σ)y(C, R, ν)dos módulos cruzados. Se dirá que (A, B, σ)es un (C, R, ν)-módulo si es singular y existe otro módulo cruzado (G, H, ω)y una sucesión exacta corta rota a la derecha: 0//(A, B, σ)(µ1,µ2) //(G, H, ω)(ε1,ε2)//(C, R, ν) (γ1,γ2) oo//0 Ejemplo 96 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado singular. Se tiene la sucesión exacta corta rota: 0//(C, R, ν)(id,i1)//(C, R oR, ν)(0,p2)//(0, R, 0) (0,i2) oo//0 con lo que se verifica que (C, R, ν)es un (0, R, 0)-módulo. Teorema 97 Sean (A, B, σ)y(C, R, ν)módulos cruzados con (A, B, σ)singular. Entonces (A, B, σ)es un (C, R, ν)-módulo si y sólo si existe un morfismo de módulos cruzados (α, β) : (C, R, ν)→ A(A, B, σ). Demostración: “⇐” Como (C, R, ν)actúa sobre (A, B, σ)podemos tomar (G, H, ω) = (A, B, σ)o (C, R, ν)y consideramos la sucesión: 0//(A, B, σ)(i1,i2)//(A, B, σ)o(C, R, ν)(p1,p2)//(C, R, ν) (j1,j2) oo//0 donde dados a∈A, b ∈B, c ∈C, r ∈Rse definen: 72 2 Construcciones en la categoría •(i1, i2)(a, b) = ((a, b),(0,0)). •(p1, p2)((a, b),(c, r)) = (c, r). •(j1, j2)(c, r) = ((0,0),(c, r)). Es trivial comprobar que estas aplicaciones son morfismos de módulos cruzados. Veamos ahora que la sucesión definida es exacta y rota: •Es trivial comprobar que (i1, i2)es inyectiva y (p1, p2)sobreyectiva. •ker(p1, p2)⊆Im(i1, i2) : sean a∈A, b ∈B, c ∈C, r ∈Rtales que (p1, p2)((a, b),(c, r)) = (0,0) ⇒(c, r) = (0,0) ⇒(a, b)es la preimagen de ((a, b),(c, r)). •Im(i1, i2)⊆ker(p1, p2)trivialmente. •(p1, p2)((j1, j2)(c, r)) = (p1, p2)((0,0),(c, r)) = (c, r).Por tanto (j1, j2)es una sección de (p1, p2). “⇒” Como (A, B, σ)es un (C, R, ν)-módulo se tiene un módulo cruzado (G, H, ω) y el siguiente diagrama conmutativo con filas exactas y rotas: 0//A σ  i1//G σ0  ε1//C ν  γ1 oo//0 0//Bi2//Hε1//R γ2 oo//0 Se define: α:C→U(B, A) c7−→ α(c)donde dado b∈B, α(c)(b) = i2(b)γ1(c). Veamos que i2(b)γ1(c)∈A:ε1(i2(b)γ1(c)) = ε2(i2(b))ε1(γ1(c)) = 0 ⇒ i2(b)γ1(c)∈ker ε1= Im i1y como i1es inyectiva Ase identifica con Im i1. •α:C→U(B, A)es un morfismo de álgebras: −α(c+c0)(b) = i2(b)γ1(c+c0) = i2(b)γ1(c) + i2(b)γ1(c0) = α(c)(b) + α(c0)(b), donde c, c0∈C, b ∈B. 2.5 La categoría de (C, R, ν)-módulos 73 −α(kc)(b) = i2(b)γ1(kc) = ki2(b)γ1(c) = kα(c)(b), donde k∈K, c ∈ C, b ∈B. −α(cc0)(b) = i2(b)γ1(cc0) = i2(b)γ1(c)γ1(c0) = i2(b)(σ0(γ1(c0)) γ1(c)) = (σ0(γ1(c0))i2(b)γ1(c)) = (σ0(γ1(c0))(b)γ1(c)) = ((σ0(γ1(c0))b)γ1(c) = σ0(γ1(c0)b γ1(c) = σ(bγ1(c0))γ1(c) = σ(i2(b)γ1(c0))γ1(c) = α(c) (σ(i2(b)γ1(c0))) = α(c)(σ (α(c0)(b))) = (α(c)α(c0))(b), donde c, c0∈C, b ∈B. •Dado c∈Cse verifica que α(c)es lineal: −α(c)(b+b0) = i2(b+b0)γ1(c)=(i2(b) + i2(b0))γ1(c) = i2(b)γ1(c) + i2(b0)γ1(c) = α(c)(b) + α(c)(b0), donde b, b0∈B. −α(c)(kb) = i2(kb)γ1(c) = ki2(b)γ1(c) = kα(c)(b), donde k∈K. •Dado c∈C, α(c)∈U(B, A) : α(c)(bb0) = i2(bb0)γ1(c)=(i2(b)i2(b0))(γ1(c)) = i2(b)(i2(b0)γ1(c)) = i2(b)(α(c)(b0)) ≡b(α(c)(b0)), donde b, b0∈B. Por otro lado definimos: β= (β1, β2) : R→M(A, B, σ) r7−→ (β1(r), β2(r)) donde dados a∈A, b ∈B, β1(r)(a) = γ2(r)i1(a), β2(r)(b) = γ2(r)i2(b). Vamos a comprobar que pertenecen a AyBrespectivamente: ε1(γ2(r)i1(a)) = ε2(γ2(r))ε1(i1(a)) = 0 ⇒β1(r)(a)∈ker ε1= Im i1. Como i1es inyectiva se puede identificar Acon Im i1. ε2(γ2(r)i2(b)) = 0 ⇒β2(r)(b)∈ker ε2= Im i2. Como i2es inyectiva se puede identificar Bcon Im i2. •β1:R→M(A)yβ2:R→M(B)son morfismos de álgebras. Vamos a comprobarlo para β1(el razonamiento para β2es similar): −β1(r+r0)(a) = γ2(r+r0)i1(a) = γ2(r)i1(a) + γ2(r0)i1(a) = β1(r)(a) + β1(r0)(a), donde r, r0∈R, a ∈A. 74 2 Construcciones en la categoría −β1(kr)(a) = γ2(kr)i1(a) = kγ2(r)i1(a) = kβ1(r)(a), donde k∈K, r ∈ R, a ∈A. −β1(rr0)(a) = γ2(rr0)i1(a) = (γ2(r)γ2(r0))i1(a) = γ2(r)(γ2(r0)i1(a)) = β1(r)(β1(r0)(a)) = (β1(r)β1(r0))(a), donde r, r0∈R, a ∈A. •Dado r∈R, β1(r)∈M(A)(de forma totalmente análoga se puede probar que β2(r)∈M(A)): −β1(r)(ka) = γ2(r)i1(ka) = kγ2(r)i1(a) = kβ1(r)(a), donde k∈ K, r ∈R, a ∈A. −β1(r)(a+a0) = γ2(r)i1(a+a0) = γ2(r)i1(a)+γ2(r)i1(a0) = β1(r)(a)+ β1(r)(a0), donde r∈R, a, a0∈A. −β1(r)(aa0)=γ2(r)i1(aa0)=(γ2(r))(i1(a)i1(a0))=(γ2(r)i1(a)) i1(a0) = (β1(r)(a))a0, donde r∈R, a, a0∈A. Finalmente veremos que (α, β) : (C, R, ν)→ A(A, B, σ)es un morfismo de módulos cruzados: C α  ν//R β  U(B, A)∆=(∆1,∆2)//M(A, B, σ) •Veamos que ∆α=βν : −(∆1α(c))(a)=α(c)(σ(a))=i2(σ(a))γ1(c)=(σ0i1(a))γ1(c) = i1(a)γ1(c) = σ0(γ1(c))i1(a) = γ2(ν(c))i1(a) = (β1ν(c))(a), donde c∈C, a ∈A. −(∆α(c))(a)=σ(α(c)(b))=σ(i2(b)γ1(c))=σ0(i2(b)γ1(c))=σ0(γ1(c))i2(b)= γ2(ν(c))i2(b) = (β2ν(c))(b), donde c∈C, b ∈b. •α(rc)(b) = i2(b)γ1(rc) = bγ2(r)γ1(c) = γ2(r)bγ1(c) = γ2(r)i1(bγ1(c)) = β1(r)(bγ1(c)) = β1(r)(i2(b)γ1(c)) = β1(r)(α(c)(b)) = (β(r)α(c))(b), donde c∈ C, r ∈R, b ∈B.  2.5 La categoría de (C, R, ν)-módulos 75 Corolario 98 Sean (C, R, ν),(A, B, σ)módulos cruzados tales que (A, B, σ) es un (C, R, ν)-módulo, es decir, existe un módulo cruzado (G, H, ω)y una sucesión exacta corta rota a la derecha del siguiente tipo: 0//(A, B, σ)(µ1,µ2) //(G, H, ω)(ε1,ε2)//(C, R, ν) (γ1,γ2) oo//0 Dicha sucesión es equivalente a la sucesión exacta corta rota a la derecha: 0//(A, B, σ)(i1,i2)//(A, B, σ)o(C, R, ν)(p1,p2)//(C, R, ν) (j1,j2) oo//0 en el sentido de que existe un isomorfismo de módulos cruzados (φ1, φ2) : (A, B, σ)o(C, R, ν)→(G, H, ω)que hace conmutativo el siguiente diagrama: 0//(A, B, σ) id  (i1,i2)//(A, B, σ)o(C, R, ν) (φ1,φ2)  (p1,p2)//(C, R, ν) id  (j1,j2) oo//0 0//(A, B, σ)(µ1,µ2)//(G, H, ω)(ε1,ε2)//(C, R, ν) (γ1,γ2) oo//0 Demostración: En la demostración del anterior teorema se describe cómo es la acción de (C, R, ν)sobre (A, B, σ). Además, basta demostrar que existe un morfismo de módulos cruzados: (φ1, φ2) : (A, B, σ)o(C, R, ν)→(G, H, ω) que hace conmutativo el diagrama, ya que por el lema 32 éste será automáticamente un isomorfismo. Sean a∈A, b ∈B, c ∈C, r ∈R; definimos (φ1, φ2)((a, b),(c, r)) = (µ1(a)+ γ1(c), µ2(b) + γ2(r)).Así definido (φ1, φ2)hace el diagrama conmutativo: •(ε1, ε2)(φ1, φ2)((a, b),(c, r)) = (ε1, ε2)(µ1(a)+γ1(c), µ2(b)+γ2(r) = (ε1µ1 (a) + ε1γ1(c), ε2µ2(b) + ε2γ2(r)) = (c, r) = (p1, p2)((a, b),(c, r)). •(φ1, φ2)(i1, i2)(a, b) = (φ1, φ2)((a, b),(0,0)) = (µ1(a), µ2(b)). 76 2 Construcciones en la categoría Es trivial comprobar que tanto φ1como φ2son morfismos de álgebras. Veremos a continuación que (φ1, φ2)es un morfismo de módulos cruzados: AoC φ1  σoν//BoR φ2  Gω//H i)φ2(σoν)(a, c) = φ2(σ(a), ν(c)) = µ2(σ(a)) + γ2(ν(c)) = ωµ1(a) + ωγ1(c) = ωφ1(a, c), donde a∈A, c ∈C. ii)φ1((b, r)(a, c)) = φ1(ba +α(c)(b) + β1(r)(a), rc) = φ1(ba +µ2(b)γ1(c) + γ2(r)µ1(a), rc) = µ1(ba) + µ1(µ2(b)γ1(c)) + µ1(γ2(r)µ1(a)) + γ1(rc), donde a∈A, b ∈B, c ∈C, r ∈R. Por otro lado φ2(b, r)φ1(a, c) = (µ1(a)+γ1(c))(µ2(b)+γ2(r)) = µ1(a)µ2(b)+ γ2(r)µ1(a)+γ1(c)µ2(b)+γ1(c)γ2(r), y teniendo en cuenta que µes un monomorfismo y estamos identificando Acon µ(A), se verifica la igualdad de ambos términos.  Observación 99 Este teorema muestra que un (C, R, ν)-módulo es un módulo cruzado singular (A, B, σ)sobre el que actúa (C, R, ν)mediante un morfismo (α, β):(C, R, ν)→(U(B, A), M(A, B, σ),∆).Por esto, cuando se quiera explicitar dicha acción se dirá que (A, B, σ)es un (C, R, ν)(α,β)-módulo. Observación 100 El teorema y el corolario que se acaban de enunciar ponen de manifiesto que los (C, R, ν)-módulos son los objetos grupo abeliano en la categoría coma XModK/(C, R, ν), que es la definición clásica. Así, dado (A, B, σ), un (C, R, ν)-módulo, el objeto grupo abeliano que define en la categoría XModK/(C, R, ν)viene dado por la proyección natural (A, B, σ)o (C, R, ν)(C, R, ν). Lema 101 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado. Consideremos ahora un (C, R, ν)- módulo, (C0, R0, ν0). Entonces (C0, R0, ν0)verifica que es también un (C0o C, R0oR, ν0oν)-módulo. 2.5 La categoría de (C, R, ν)-módulos 77 Demostración: Sólo hace falta comprobar que (C0oC, R0oR, ν0oν)actúa sobre (C0, R0, ν0), y esta acción vendrá dada vía las proyecciones p1:C0oC→C, p2:R0oR→R, donde p1(c0, c) = c, p2(r0, r) = r. C0oC p1  ν0oν//R0oR p2  C α  ν//R β  U(R0, C0)∆//M(C0, R0, ν0)  Lema 102 Consideremos el complejo de cadenas: ... //(Gn−1, Hn−1, ωn−1)(f,f0) //(Gn, Hn, ωn)(g,g0)//(Gn+1, Hn+1, ωn+1)//... de (C, R, ν)-módulos. La homología en el punto n-ésimo de este complejo es también un (C, R, ν)-módulo. Demostración: Se tiene que ker(g, g0)eIm(f, f0)son singulares porque ker(g, g0),Im(f, f0)⊆ (Gn, Hn, ωn). Además, la sucesión exacta corta rota: 0//(Gn, Hn, ωn)//(Gn, Hn, ωn)o(C, R, ν)//(C, R, ν) oo//0 induce las sucesiones exactas cortas rotas: 0//ker(g, g0)//ker(g, g0)o(C, R, ν)//(C, R, ν) oo//0 0//Im(f, f0)//Im(f, f0)o(C, R, ν)//(C, R, ν) oo//0 84 2 Construcciones en la categoría (A, B, σ) (f,f0)  //(G, H, ω)⊗(C,R,ν)(A, B, σ) (G,H,ω)⊗(C,R,ν)(f,f0)  (A0, B0, σ0) (j,j0)  //(G, H, ω)⊗(C,R,ν)(A0, B0, σ0) (G,H,ω)⊗(C,R,ν)(j,j0)  (A00, B00, σ00)//(G, H, ω)⊗(C,R,ν)(A00, B00, σ00) Debemos comprobar que ((G, H, ω)⊗(C,R,ν)(j, j0)) ◦((G, H, ω)⊗(C,R,ν) (f, f0)) = (G, H, ω)⊗(C,R,ν)(j◦f, j0◦f0).Sean a∈A, b, b0∈B, g ∈G, h, h0∈H, tenemos: ((G, H, ω)⊗(C,R,ν)(j, j0)) ◦((G, H, ω)⊗(C,R,ν)(f, f0))([(h⊗a),(b⊗g)], h0⊗ b0) = ((G, H, ω)⊗(C,R,ν)(j, j0))([(h⊗f(a)),(f0(b)⊗g)], h0⊗f0(b0)) = ([(h⊗ jf(a)),(j0f0(b)⊗g)], h0⊗j0f0(b0)) = ((G, H, ω)⊗(C,R,ν)(j◦f, j0◦f0))([(h⊗ a),(b⊗g)], h0⊗b0). Ahora, si consideramos (idA, idB) : (A, B, σ)→(A, B, σ)se tiene trivialmente que ((G, H, ω)⊗(C,R,ν)(idA, idB))([(h⊗a),(b⊗g)], h0⊗b0) = ([(h⊗ a),(b⊗g)], h0⊗b0). Veamos ahora una proposición relativa a este funtor. Proposición 107 El funtor (G, H, ω)⊗(C,R,ν)−:XMod(C,R,ν)→XMod(C,R,ν) es exacto a la derecha. Demostración: Consideremos una sucesión exacta de (C, R, ν)-módulos, 0//(A0, B0, σ0)(f,f0)//(A, B, σ)(g,g0)//(A00, B00, σ00)//0 Al tensorizar obtenemos la sucesión: (((G⊗B0)⊕(H⊗A0))/Im α0, H⊗B0, σ0⊗ω)→(((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im α, H⊗ B, σ ⊗ω)→(((G⊗B00)⊕(H⊗A00))/Im α00, H ⊗B00, σ00 ⊗ω). 2.5 La categoría de (C, R, ν)-módulos 85 Como el tensor en la categoría de álgebras conmutativas es exacto a la derecha tenemos la exactitud a la derecha en las segundas componentes de esta sucesión: H⊗B0//H⊗B//H⊗B00 //0 Veamos ahora qué ocurre en la sucesión relativa a la primera componente: ((G⊗B0)⊕(H⊗A0))/Im α0→((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im α→((G⊗B00)⊕ (H⊗A00))/Im α00. La aplicación inducida entre ((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im αy((G⊗B00)⊕(H⊗ A00))/Im α00 es (id ⊗g, id ⊗g0). ((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im α→((G⊗B00)⊕(H⊗A00))/Im α00 [(k⊗b, 0)] 7−→ [(k⊗g0(b),0)] [(0, h ⊗a)] 7−→ [(0, h ⊗g(a))] Veamos que esta aplicación está bien definida: supongamos que (d⊗d0, c⊗c0) es un representante de la misma clase que (k⊗d0,0). Se tiene entonces que ((k−d)⊗d0, c ⊗c0)∈Im α. Tenemos que existen (u, v)∈G⊗A|ω(u)⊗v− u⊗σ(v) = ((k−d)⊗d0, c ⊗c0). Las imágenes de (k⊗d0,0) y(d⊗d0, c⊗c0)por (id⊗g0, id⊗g)son (k⊗g0(d0),0) y(d⊗g0(d0), c ⊗g(c0)) respectivamente. Lo que se debe comprobar es que ((k−d)⊗g0(d0),−c⊗(−g(c0))) ∈Im α00,pero teniendo en cuenta la igualdad anterior es inmediato verificar que α00(u, g(v)) = ((k−d)⊗g0(d0),−c⊗(−g(c0))). De la misma manera se puede ver que la aplicación está bien definida en los generadores de tipo (d⊗b, 0),(0, h ⊗c0),(0, c ⊗a).Queda por comprobar que es un morfismo de módulos cruzados: ((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im α σ0⊗ω  (id⊗g0,id⊗g)//((G⊗B00)⊕(H⊗A00))/Im α00 σ00⊗ω  H⊗B(id⊗g0)0 //H⊗B00 86 2 Construcciones en la categoría donde (id ⊗g0)0denota idH⊗g0. i.i) (σ00 ⊗ω)((id ⊗g0, id ⊗g)[k⊗b, 0]) = (σ00 ⊗ω)([k⊗g0(b),0]) = σ00(k)⊗ g0(b) = (id⊗g0)0(σ00(k)⊗b) = (σ0⊗ω)((id⊗g0)0([k⊗b, 0])), donde k⊗b∈G⊗B. i.ii) (σ00⊗ω)((id⊗g0, id⊗g)[0, h⊗a]) = (σ00⊗ω)([0, h⊗g(a)]) = h⊗σ00g(a) = h⊗g0σ(a)=(id ⊗g0)0(h⊗σ(a)) = (σ0⊗ω)((id ⊗g0)0([0, h ⊗a, ])), donde h⊗a∈H⊗A. ii.i) (id ⊗g0, id ⊗g)((h⊗b0)[k⊗b, 0]) = (id ⊗g0, id ⊗g)[hk ⊗b0b, 0] = [hk ⊗g0(b0b),0] = [hk ⊗g0(b0)g0(b),0] = (h⊗g0(b0))[k⊗g0(b),0] = ((id⊗g0)0(h⊗ b0))(id ⊗g0, id ⊗g)([k⊗b, 0]), donde k⊗b∈G⊗B, h ⊗b0∈H⊗B. ii.ii) (id ⊗g0, id ⊗g)((h0⊗b)[0, h ⊗a]) = (id ⊗g0, id ⊗g)[0, h0h⊗ba] = [0, h0h⊗g(ba)] = [0, h0h⊗g0(b)g(a)] = (h0⊗g0(b))[0, h⊗g(a)] = ((id⊗g0)0(h0⊗ b))(id ⊗g0, id ⊗g)([0, h ⊗a]), donde h⊗a∈H⊗A, h0⊗b∈H⊗B. Análogamente, la aplicación inducida entre ((G⊗B0)⊕(H⊗A0))/Im α0 y((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im αes (id ⊗f, id ⊗f0).Faltan por realizar varias comprobaciones: •(id⊗g, id⊗g0)es sobreyectiva. Sea [(g⊗b00, h⊗a00)] un elemento generador de ((G⊗B00)⊕(H⊗A00))/Im α00.Como gyg0son sobreyectivas, existen b∈B, a ∈A|g(b) = b00, g0(a) = a00.Por tanto, la preimagen de [(g⊗b00, h⊗a00)] es [(g⊗b, h ⊗a)]. •Im(id ⊗f, id ⊗f0)⊆ker(id ⊗g, id ⊗g0).Como gf ≡0, g0f0≡0, este contenido se tiene trivialmente. •Im(id ⊗f, id ⊗f0)⊇ker(id ⊗g, id ⊗g0).Consideremos el siguiente diagrama: ((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im α  //((G⊗B00)⊕(H⊗A00))/Im α00 (((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im α)/Im(id ⊗f, id ⊗f0) (j,j0) 22 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 2.5 La categoría de (C, R, ν)-módulos 87 Este diagrama, en el que (j, j0)actúa como (id⊗g, id ⊗g0), es conmutativo debido a que Im(id ⊗f, id ⊗f0)⊆ker(id ⊗g, id ⊗g0).Lo único que resta por hacer es encontrar una inversa de (j, j0).Para construirla definimos: (G, H)×(B00, A00)(ϕ,ϕ0) →(((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im α)/Im(id ⊗f, id ⊗f0) ((g, h),(b00, a00)) 7−→ [(g⊗b),(h⊗a)] donde byason preimágenes de b00 ya00 por gyg0respectivamente. Este morfismo está bien definido: sean c, c0otras preimágenes de b00 ya00. Se debe comprobar que (g⊗(b−c), h⊗(a−c0)) ∈Im(id⊗f, id⊗f0).Se tiene que g(b−c) = g(b)−g(c) = b00−b00 = 0 ⇒b−c∈ker g= Im f. Análogamente a−c0∈ Im f0.Por tanto se verifica que (g⊗(b−c), h ⊗(a−c0)) ∈Im(id ⊗f, id ⊗f0). Se tienen aplicaciones en la categoría de álgebras conmutativas: ϕ:G×B00 →G⊗B (g, b00)7−→ g⊗b ϕ0:H×A00 →H⊗A (h, a00)7−→ h⊗a Estas aplicaciones inducen los morfismos α:G⊗B00 →G⊗B g⊗b00 7−→ g⊗b α0:H⊗A00 →H⊗A h⊗a00 7−→ h⊗a Si consideramos el morfismo (α, α0) : (G⊗B00)⊕(H⊗A00)→(G⊗B)⊕(H⊗A) pasando al cociente se obtiene la inversa de (j, j0). A continuación se verá que el funtor (G, H, ω)⊗(C,R,ν)−tiene un adjun- to por la derecha. Consideremos dos módulos cruzados (C, R, ν)y(G, H, ω). Podemos definir el morfismo de K-álgebras siguiente: 88 2 Construcciones en la categoría δ:Hom(R, G)−→ Hom((C, R, ν),(G, H, ω)) f7−→ (f◦ν, ω ◦f) Además, Hom(R, G)tiene estructura de Hom((C, R, ν),(G, H, ω))-álgebra con la siguiente acción: ((f, f0)∗g)(r) = f0(r)∗g(r) donde (f, f0)∈Hom((C, R, ν),(G, H, ω)), g ∈Hom(R, G), r ∈R. Se verifica que (Hom(R, G), Hom((C, R, ν),(G, H, ω)), δ)es un módulo cruzado: •(δ(f)∗f0)(r) = ((fν, ωf)∗f0)(r)=(ωf(r)) ∗(f0(r)) = f(r)f0(r) = (ff0)(r), donde r∈R, f, f0∈Hom(R, G). •δ((g, g0)∗f)(c, r) = δ(g0f)(c, r) = ((g0f)ν(c), ω(g0f)(r)) = (g0ν(c)∗ fν(c), ω(g0(r)f(r)) = (ωg(c)∗fν(c), g0(r)ωf(r))) = (g(c)fν(c), g0(r)ωf(r)) = (g(fν)(c), g0(r)ωf(r)) = (g(fν), g0(ωf))(c, r)=(g, g0)(fν, ωf)(c, r)=(g, g0) δ(f)(c, r), donde f∈Hom(R, G),(g, g0)∈Hom((C, R, ν),(G, H, ω)), c ∈Cy r∈R. Este módulo cruzado lo denotaremos por HOM((C, R, ν),(G, H, ω)). Es inmediato comprobar que esta construcción induce un funtor: HOM((C, R, ν),−) : XMod(C,R,ν)−→ XMod(C,R,ν) Proposición 108 Dados dos (C, R, ν)-módulos (G, H, ω),(A, B, σ)y un módulo cruzado (M, N, µ)existe un isomorfismo natural: Hom((G, H, ω)⊗(C,R,ν)(A, B, σ),(M, N, µ)) ∼ = Hom((G, H, ω), HOM((A, B, σ),(M, N, µ))). Es decir, el funtor HOM((A, B, σ),−)es adjunto por la izquierda de − ⊗ (A, B, σ). 2.5 La categoría de (C, R, ν)-módulos 89 Demostración: Sea ((f, f0), j)∈Hom((G, H, ω)⊗(C,R,ν)(A, B, σ),(M, N, µ)).El isomorfismo lleva este elemento al morfismo: G s  ω//H (t,t0)  Hom(B, M)δ//Hom((A, B, σ),(M, N, µ)) donde: •s(g) = sges el morfismo tal que sg(b) = f([g⊗b]) ∈M. •t(h) = thes el morfismo tal que th(a) = f0([h⊗a]) ∈M. •t0(h) = t0 hes el morfismo tal que t0 h(b) = j(h⊗b)∈N. Así definido, (s, (t, t0)) es un morfismo de módulos cruzados: i.1) δ(s(g))(a) = sg(σ(a)) = f([g⊗σ(a)]) = f0([ω(g)⊗a]) = t(ω(g))(a). i.2) δ(s(g))(b) = µ(sg(b)) = µ(f([g⊗b])) = j(ω(g)⊗b) = t0(ω(g))(b). ii)s(hg)(b) = f([hg ⊗b]) = f((h⊗b)[g⊗b]) = j(h⊗b)f([g⊗b]) = (t0(h)(b))(s(g)(b)) = {((t, t0)(h))(s(g))}(b). Recíprocamente, el isomorfismo enunciado aplica un morfismo (s, (t, t0)) ∈ Hom((G, H, ω), HOM((A, B, σ),(M, N, µ))) en: ((G⊗B)⊕(H⊗A))/Im α (f,f0)  ρ//H⊗B j  Mµ//N donde: •f([g⊗b]) = s(g)(b)∈M. •f0([h⊗a]) = t(h)(a)∈M. •j(h⊗b) = t0(h)(b)∈N. 90 2 Construcciones en la categoría Estos morfismos están bien definidos, ya que si tomamos x∈Gey∈Ase tiene que (f, f0)([x⊗σ(y),−ω(x)⊗y]) = s(x)(σ(y)) −t(ω(x))(y) = 0, porque s(x)(σ(y)) = δ(s(x))(y) = t(ω(x))(y). Es trivial comprobar que así definido ((f, f0), j)es un morfismo de módulos cruzados. Las comprobaciones restantes son también inmediatas.  2.6 Derivaciones 91 2.6. Derivaciones Definición 109 Dado un anillo H, sea (C, R, ν)un módulo cruzado tal que C yRson H-módulos y (C0, R0, ν0)un (C, R, ν)(α,β)-módulo. Una H-derivación son dos aplicaciones lineales (f, g) : (C, R, ν)→(C0, R0, ν0)verificando: i)f∈DerH(C, C0), es decir, fes un morfismo de H-módulos tal que f(cc0) = c∗f(c0) + c0∗f(c) = α(c)(ν0(f(c0))) + α(c0)(ν0f(c)) para c, c0∈Cy g∈DerH(R, R0). ii)ν0f=gν. iii)f(rc) = (β1(r))(f(c)) + (α(c))(g(r)), donde c∈C, r ∈R. El conjunto de las H-derivaciones entre (C, R, ν)y(C0, R0, ν0)lo denotaremos por DerH((C, R, ν),(C0, R0, ν0)). En general Hcoincidirá con K, y cuando el contexto sea claro se hablará de una derivación, en lugar de una H-derivación. Observación 110 Esta definición generaliza las derivaciones de álgebras: •Consideremos los módulos cruzados (0, R, 0),(0, R0,0), donde Ractúa sobre R0y sea el morfismo (0, g) : (0, R, 0) →(0, R0,0).Para que (f, g)sea derivación debe verificar: i)g∈Der(R, R0). ii)Sea r∈R, β1(r)(0) + α(0)(g(r)) = 0 + 0 = 0, con lo cual la igualdad enunciada en iii)se verifica siempre. Por tanto, (0, R, 0) (0,g) −→ (0, R0,0) como derivación de módulos cruzados se identifica con Rg →R0como derivación de álgebras. 92 2 Construcciones en la categoría •Consideremos los módulos cruzados (C, C, id),(C0, C0, id), donde Cactúa sobre C0; esta acción induce de forma trivial una acción de (C, C, id)sobre (C0, C0, id)de la siguiente manera: (c, d)∗(c0, d0) = (c∗c0, d ∗d0), donde c, d ∈ C, c0, d0∈C0. Sea la aplicación (f, g) : (C, C, id)→(C0, C0, id).Por ser un morfismo de módulos cruzados se tiene que f=g. Para que (f, f)sea derivación debe verificar: i)f∈Der(C, C0). ii)f(dc) = β1(d)(f(c)) + α(c)(f(d)) = d∗f(c) + c∗f(d) = df(c) + cf(d), donde c, d ∈C. Por tanto (C, C, id)(f,f) −→ (C0, C0, id)como derivación de módulos cruzados se identifica con Cf →C0como derivación de álgebras. Observación 111 Los módulos cruzados (C, R, ν)y(C0, R0, ν0)son equivalentes a las cat1-álgebras (CoR, s, t),(C0oR0, s0, t0).Una derivación entre estas cat1-álgebras es una derivación de álgebras h:CoR→C0oR0que además conmuta con syt, es decir, hs =s0h, ht =t0h. Dada una derivación (f, g) : (C, R, ν)→(C0, R0, ν0), la derivación inducida es: h: (CoR, s, t)→(C0oR0, s0, t0) (c, r)7−→ (f(c), g(r)) La condición i)en la definición de las derivaciones implica que h∈Der(Co R, C0oR0), mientras que ii)yiii)implican que hconmuta con syt. Ejemplo 112 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado y (C0, R0, ν0)un (C, R, ν)(α,β)- módulo (por tanto un (C0oC, R0oR, ν0oν)(αp1,βp2)-módulo). Entonces (q1, q2) : (C0oC, R0oR, ν0oν)→(C0, R0, ν0), donde (q1, q2)((c0, c),(r0, r)) = (c0, r0), es una derivación. Vamos a comprobarlo: i)q1∈Der(C0oC, C0) : q1((c0, c),(d0, d)) = q1(c0d0+dc0+cd0, cd) = c0d0+dc0+cd0=dc0+cd0= (d0, d)c0+(c0, c)d0= (d0, d)q1(c0, c) + (c0, c)q1(d0, d), donde (c0, c),(d0, d)∈C0oC. 2.6 Derivaciones 93 Análogamente q2∈Der(R0oR, R0). ii)νq1(c0, c) = ν0(c0) = q2((ν0oν)(c0, c)), donde c0∈C0, c ∈C. iii)q1((r0, r)(c0, c))=q1(α(c)(r0)+β1(r)(c0)+r0c0, rc)=α(c)(r0)+β1(r)(c0)= αp1(c0, c)(q2(r0, r))+β1p2(r0, r)(q1(c0, c)), donde c0∈C0, r0∈R0, c ∈C, r ∈R. Lema 113 Sean (C, R, ν)y(C0, R0, ν0)dos módulos cruzados y (C00, R00, ν00) un (C0, R0, ν0)(α,β)-módulo. Dados un morfismo de módulos cruzados (f, g) : (C, R, ν)→(C0, R0, ν0)y una derivación (f0, g0) : (C0, R0, ν0)→(C00, R00, ν00), se verifica que (f0, g0)◦(f, g) = (f0◦f, g0◦g)es una derivación. Demostración: C f  ν//R g  C0 f0  ν0 //R0 g0  C00 ν00 //R00 Primero se debe observar que (C, R, ν)actúa sobre (C00, R00, ν0)vía (f, g). Vamos ahora a comprobar que (f0◦f, g0◦g)es efectivamente una derivación: i)f0f(cd) = f(c)∗f0(f(d)) + f(d)∗f0(f(c)) = α(f(c))(ν00(f0f(d)) + α(f(d))(ν00(f0f(c)) = c∗f0f(d) + d∗f0f(c), donde c, d ∈C. Por tanto f0f∈Der(C, C00)y análogamente g0g∈Der(R, R00). ii) (g0◦g)◦ν=g0◦(g◦ν) = g0◦(ν0◦f) = (g0◦ν0)◦f= (ν00 ◦f0)◦f= ν00 ◦(f0◦f). iii)f0f(rc) = f0(g(r)f(c)) = β1(g(r))(f0f(c))+α(f(c))(g0g(r)) = (β1g(r)) (f0f(c)) + (αf(c))(g0g(r)), donde c∈C, r ∈R.  100 3 Álgebra homológica de módulos cruzados que es una adjunción conocida, construida a partir de la adjunción de anillos [47]: ker ε(H, ε)  oo Anillos //Anillos con 1 oo A//A⊕Z donde εes el morfismo aumentación de H,Hε →Z.Y finalmente: C×R(C, R, ν)  oo K-álgebras con 1//Módulos cruzados con 1 oo H//(H, H ⊗H, in) donde Hdenota el menor ideal de H⊗Hque contiene a todos los elementos de la forma (h, 0).La comprobación de que esta es una adjunción es completamente análoga al caso de álgebras sin unidad descrito para probar la tripleabilidad, con la única diferencia de que el coproducto de dos álgebras unitarias es su producto tensor. De ahora en adelante, para definir la teoría de (co)homología, consideraremos un módulo cruzado (C, R, ν)y un (C, R, ν)-modulo, (A, 0,0). Esta estructura de (C, R, ν)-modulo induce una acción de 0oRsobre AoCy, por tanto, de Rsobre AoC(en particular, induce una acción de Rsobre A) de la siguiente manera: •(0, r)∗(a, c)≡r∗(a, c)=(β1(r)(a), rc), donde c∈C, r ∈R, a ∈Ay (α, β)es la acción de (C, R, ν)sobre (A, 0,0). Además, Atiene estructura de R/ν(C)-módulo, es decir, de π1-módulo: acabamos de ver que Ractúa sobre A;ahora, aplicando la identidad de Peiffer al módulo cruzado (AoC, 0oR, 0oν)≡(AoC, 0oR, ν)se tiene que han de coincidir: •(ν(a, c))(a0c0) = (0, ν(c))(a0, c0) = (ν(c)a, ν(c)c0) •(a, c)(a0, c0) = (aa0+c0a+ca0, cc0) = (c0a+ca0, cc0) donde (a, c),(a0, c0)∈AoC. 3.1 (Co)Homología de módulos cruzados 101 Por tanto debe verificarse ν(c)a=c0a+ca0.Tomando a=a0yc0= 0 se tiene que 0 = ca =ν(c)a. Por tanto Atiene estructura de R/ν(C)-módulo. Observación 118 El módulo cruzado (A, 0,0) es un (C, R, ν)-módulo ⇔A es un C-módulo ya que una sucesión exacta corta rota a la derecha: 0//(A, 0,0) //(A, 0,0) o(C, R, ν)//(C, R, ν)// oo0 o escrita de otra manera: 0//(A, 0,0) //(AoC, 0oR, 0oν)//(C, R, ν)// oo0 que induce una sucesión exacta corta rota a la derecha: 0//A//AoC//C// oo0 Recíprocamente, si Aes un C-modulo se tiene la sucesión exacta: 0//A//AoCf//C// g oo0 que induce la sucesión exacta: 0//(A, 0,0) //(AoC, 0oR, 0oν)(f,pr2)//(C, R, ν)// (g,(0,id)) oo0 donde (g, (0, id))(c, r) = (g(c), r)para c∈C, r ∈R, es claramente una sección de (f, pr2). Es un hecho conocido que existe un isomorfismo Der((C, R, ν),(A, 0,0)) ∼ = HomXMod/(C,R,ν)((C, R, ν),(A, 0,0) o(C, R, ν)).Además, es trivial comprobar que HomXMod/(C,R,ν)((C, R, ν),(A, 0,0) o(C, R, ν)) ∼ =HomR(C, A); basta tener en cuenta que dado un morfismo de álgebras f:C→A, el morfismo que induce en HomXMod/(C,R,ν)((C, R, ν),(A, 0,0) o(C, R, ν)) es: C (0,f)  ν//R id  AoC0oν//R 102 3 Álgebra homológica de módulos cruzados y para que esto sea un morfismo de módulos cruzados debe verificarse que dados c∈C, r ∈R, se tenga (0, f)(rc) = id(r)(0, f)(c); es decir, f(rc) = rf(c)⇒f∈HomR(C, A). A continuación vamos a interpretar estas derivaciones y el isomorfismo con HomR(C, A)desde el punto de vista de cat1-álgebras. Para ello previamente debemos considerar que la acción de (C, R, ν)sobre (A, 0,0) induce una acción de CoRsobre Ao0, es decir, sobre A, de la siguiente manera: •(c, r)∗a≡(c, r)∗(a, 0) = (r∗a+c∗a, 0) = (β1(r)(a) + α(c)0(a),0) = (β1(r)(a),0) ≡β1(r)(a), donde c∈C, r ∈R, a ∈Ay(α, β)es la acción de (C, R, ν)sobre (A, 0,0). Además, como Aes singular, es un CoR-módulo. Atambién es un π1- módulo, ya que C×0y0×ν(C)actúan de manera trivial sobre A. Una derivación en cat1-álgebras es, según [44], una derivación de álgebras que conmuta con las operaciones 1-arias ω∈Ω1\{−}.En nuestro caso debemos interpretar Der((CoR, s, t),(A, 0,0)). Por construcción, dado (c, r)∈CoR, s(c, r) = (0, r), t(c, r) = (0, r +ν(c)).Si consideremos d∈ Der((CoR, s, t),(A, 0,0)), para cumplir las conmutatividades con las operaciones 1-arias se debe verificar d(s(c, r)) = d(t(c, r)) = 0(d(c, r)) = 0.Es decir, d(0, r) = 0 para todo r∈R. Con todo esto se tiene que Der((CoR, s, t),(A, 0,0)) ∼ ={d∈Der(Co R, A)|d(0, R) = 0};este conjunto se denotará por Der((C, R, ν), A).Vamos a comprobar que {d∈Der(CoR, A)|d(0, R) = 0}es isomorfo a HomR(C, A), con lo cual las dos maneras de ver las derivaciones son equivalentes. Definimos α:{d∈Der(CoR, A)|d(0, R) = 0} → HomR(C, A) d7−→ α(d) donde α(d)(c) = d(c, 0).Esta aplicación es un isomorfismo: •αes inyectiva trivialmente. 3.1 (Co)Homología de módulos cruzados 103 •αes sobreyectiva ya que dado f∈HomR(C, A)su preimagen es d| d(c, r) = f(c).Así definida dpertenece al dominio; claramente d(0, R) = 0 y además es una derivación ya que dados (c, r),(c0, r0)∈CoRtenemos que d((c, r),(c0, r0)) = d(cc0+rc0+r0c, rr0) = f(cc0+rc0+r0c) = f(cc0) + f(rc0) + f(r0c) = f(c)f(c0) + rf(c0) + r0f(c).Como Aes singular, se tiene que esto es igual a (c, r)f(c0)+(c0, r0)f(c) = (c, r)d(c0, r0)+(c0, r0)d(c, r). Si pasamos a la categoría coma sobre (C, R, ν)se tiene un funtor contravariante Der(−, A) : XMod/(C, R, ν)→CoR-Mod;de hecho, dado un objeto (C0, R0, ν0)→(C, R, ν)la acción de (C, R, ν)sobre Ainduce una acción de (C0, R0, ν0)sobre A. La comprobación del carácter funtorial es inmediata. Der((C0, R0, ν0)→ (C, R, ν), A)(que denotaremos por Der((C0, R0, ν0), A)cuando el contexto sea claro) es isomorfo a HomR(C0→C, A)que es un grupo abeliano. La estructura de CoR-Mod es la inducida por la estructura de CoR-Mod de A; es decir, dados (c, r)∈CoR, (c0, r0)∈C0oR0yd∈Der((C0, R0, ν0), A)se tiene ((c, r)d)(c0, r0) = (c, r)(d(c0, r0)).Claramente, (c, r)d(0, R) = 0. Observación 119 Las derivaciones Der((C, R, ν), A)que se acaban de definir son una particularización de las derivaciones que se definieron para el caso de dos módulos cruzados generales Der((C, R, ν),(A, B, σ)) donde, en el caso que acabamos de tratar, B= 0, σ = 0. Observación 120 Cuando se quiera explicitar sobre qué anillo Hse consideran las derivaciones se hablará de una H-derivación y se usará la notación DerH((C, R, ν), A) = {d∈DerH(CoR, A)|d(0, R) = 0}. A continuación vamos a estudiar el objeto análogo a las diferenciales en la categoría de álgebras conmutativas, esto es, un objeto que proporcionará un funtor que representa a las derivaciones. Sabemos que Der(CoR, A)∼ =HomCoR(ΩCoR, A),siendo ΩCoRlas diferenciales definidas en álgebras conmutativas [2], es decir, ΩCoR=I/I2, donde I= ker((CoR)⊗(CoR)→(CoR)). 104 3 Álgebra homológica de módulos cruzados HomCoR(ΩCoR, A)→Der(CoR, A) f7−→ f◦δ donde δ∈Der(CoR, ΩCoR), δ(c, r) = (c, r)⊗(0,1) −(0,1) ⊗(c, r). El objeto que interesa estudiar es Der((C, R, ν), A) = {d∈Der(CoR, A) |d(0, R) = 0};para ello se debe imponer la restricción f◦δ(0, r) = 0,es decir, f((0, r)⊗(0,1) −(0,1) ⊗(0, r)) = 0. Además, dada d∈Der((C, R, ν), A),el morfismo f∈HomCoR(ΩCoR, A) al que corresponde se anula en: •<(0, r)⊗(0,1) >:f((0, r)⊗(0,1)) = (0, r)d(0,1) = 0. •<(0,1) ⊗(0, r)>:f((0,1) ⊗(0, r)) = (0,1)d(0, r) = 0. Por tanto se tiene el isomorfismo HomCoR(ΩCoR/ < (0, r−1)⊗(0,1−r)> , A)∼ =Der((C, R, ν), A).Este isomorfismo motiva la siguiente definición. Definición 121 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado. Se definen las diferenciales Diff(C, R, ν) = ΩCoR/ < (0, r)⊗(0,1) −(0,1) ⊗(0, r)> . Observación 122 C, R yCoRson K-álgebras; los tensores intervinientes en la definición de Diff(C, R, ν)se realizan, en este caso, sobre K. Cuando se quiera explicitar sobre qué anillo se realizan estos tensores, se usará la notación Diff((C, R, ν)/K) = Ω(CoR)/K / < (0, r)⊗(0,1) −(0,1) ⊗(0, r)> . Observación 123 Se puede comprobar trivialmente que se tienen dos funtores Der((C, R, ν),−), Diff(C, R, ν)⊗ − :CoR-Mod →CoR-Mod. El isomorfismo señalado antes de la definición muestra que Der((C, R, ν),−)es adjunto por la derecha de Diff(C, R, ν)⊗ −. Observación 124 Diff(C, R, ν)tiene estructura de CoR-módulo, que hereda de ΩCoR.Además, y por analogía con el caso de álgebras conmutativas, dado un CoR-módulo Ase usará Diff((C, R, ν), A)oDiff((C, R, ν),(A, 0,0)) para denotar (ΩCoR/ < (0, r)⊗(0,1) −(0,1) ⊗(0, r)>)⊗CoRA. 3.1 (Co)Homología de módulos cruzados 105 Las diferenciales verifican cierto tipo de propiedad universal, como se verá en la siguiente proposición. Proposición 125 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado y (A, 0,0) un (C, R, ν)- módulo. Dada una derivación h∈Der((C, R, ν), A)existe un único morfismo de CoR-módulos f:Diff(C, R, ν)→Aque hace conmutativo el siguiente diagrama: CoR h  D//Diff(C, R, ν) f wwooooooo A donde Des la composición de la derivación d:CoR→ΩCoRy la proyección en el cociente ΩCoR→Diff(C, R, ν). Demostración: Utilizando la propiedad universal que verifica dse tiene un morfismo g: ΩCoR→Aque hace conmutativo el diagrama: CoR h  d//ΩCoR g yyttttt A Además, dado r∈Rse tiene que g((0, r)⊗(0,1) −(0,1) ⊗(0, r)) = g(d(0, r)) = h(0, r) = 0. Por tanto, el morfismo gse puede extender, obteniendo el diagrama: I////ΩCoR g  p//Diff(C, R, ν) f wwooooooo A donde Idenota el ideal <(0, r)⊗(0,1) −(0,1) ⊗(0, r)>. Además, f◦D= f◦p◦d=g◦d=h. Considerando la categoría coma sobre (C, R, ν)obtenemos un funtor covariante Diff(−, A) : XMod/(C, R, ν)→CoR-Mod;al igual que para las 106 3 Álgebra homológica de módulos cruzados derivaciones dado un objeto (C0, R0, ν0)→(C, R, ν)la acción de (C, R, ν)sobre Ainduce una acción de (C0, R0, ν0)sobre A. El carácter funtorial es de comprobación trivial. La estructura de Co R-Mod de Diff((C0, R0, ν0)→(C, R, ν), A)es la inducida por la estructura de CoR-Mod de A; por tanto, sería inmediato dotar de más estructura a Diff((C0, R0, ν0)→(C, R, ν), A)si a Ase le pide también una mayor estructura (en el caso de las derivaciones habría que hacer también alguna consideración sobre los módulos cruzados intervinientes). Cuando el contexto sea claro se usará la notación Diff((C0, R0, ν0), A). Antes de definir la (co)homología veremos algunos lemas referentes a las propiedades de las derivaciones y las diferenciales. Lema 126 Sea un módulo cruzado (C, R, ν)tal que Ces libre, Auna CoR- álgebra y Wun A-módulo. Si Kes una familia de generadores independientes de Cy a cada k∈Kse le asocia una copia Wkdel A-módulo W, se tienen los isomorfismos naturales de A-módulos: Der((C, R, ν), W)∼ =Π KWk Diff((C, R, ν), W)∼ =Σ KWk Demostración: Una derivación d∈Der((C, R, ν), W)viene determinada por los valores que toma en los elementos (c, 0), donde c∈C, ya que dado r∈Rse tiene que d(c, r) = d(c, 0) + d(0, r) = d(c, 0). Por tanto, dada una familia de elementos wk∈W, k ∈K, existe una sola derivación d∈Der((C, R, ν), W)tal que d(k) = wk, donde k∈Ky entonces se tiene que Der((C, R, ν), W)∼ =Π KWk. Para probar el isomorfismo relativo a las diferenciales consideramos otro A-módulo W0. Se tienen los isomorfismos: HomA(Diff((C, R, ν), W), W0) = HomA(Diff(C, R, ν)⊗W, W 0)∼ =HomA(W, HomA(Diff(C, R, ν), W0))∼ =HomA(W, Der((C, R, ν), W0))∼ =HomA(W, ΠW0 k) = ΠHomA(W, W0 k)∼ =HomA(ΣWk, W0). 3.1 (Co)Homología de módulos cruzados 107 Como esto se ha probado para cualquier A-módulo W0se verifica que Diff((C, R, ν), W)∼ =Σ KWk. Lema 127 Sea un módulo cruzado (C, R, ν)tal que Ces libre. Sean Auna CoR-álgebra y W, M A-módulos. Se tiene un isomorfismo natural de A- módulos: Diff((C, R, ν), W)⊗AM∼ =Diff((C, R, ν), W ⊗AM). Además, si Ces de tipo finito se tiene un isomorfismo natural de A- módulos: Der((C, R, ν), W)⊗AM∼ =Der((C, R, ν), W ⊗AM). Demostración: Basta tener en cuenta el lema anterior, que el tensor conmuta con las sumas directas y que en el caso de que Csea de tipo finito el producto directo y la suma directa coinciden.  Lema 128 Sea un módulo cruzado (C, R, ν)tal que Ces libre. Sean Auna CoR-álgebra, Iun sistema filtrante y (Wi, fij)un sistema inductivo de A- módulos. Existe un isomorfismo natural de A-módulos: l´ım −→Diff((C, R, ν), Wi)∼ =Diff((C, R, ν),l´ım −→Wi). Además, si Ces de tipo finito existe un isomorfismo natural de A-módulos l´ım −→Der((C, R, ν), Wi)∼ =Der((C, R, ν),l´ım −→Wi). Demostración: Basta tener en cuenta que las sumas directas y los límites inductivos conmutan.  Lema 129 Sea un módulo cruzado (C, R, ν)tal que Ces libre. Sean Auna CoR-álgebra y Wun A-módulo plano/libre/proyectivo. Se verifica que el A- módulo Diff((C, R, ν), W)es plano/libre/proyectivo respectivamente. 108 3 Álgebra homológica de módulos cruzados Además, si Ces un álgebra de tipo finito se verifica que el A-módulo Der((C, R, ν), W)es plano/libre/proyectivo respectivamente. Demostración: Basta tener en cuenta que las sumas directas de módulos libres, planos o proyectivos son también módulos libres, planos o proyectivos, respectivamente.  Lema 130 Sea un módulo cruzado (C, R, ν)tal que Ces libre. Sean Auna CoR-álgebra y Wun A-módulo inyectivo. El A-módulo Der((C, R, ν), W)es inyectivo. Además, si Ces un álgebra de tipo finito se verifica que el A-módulo Diff((C, R, ν), W)es inyectivo. Demostración: Basta tener en cuenta que el producto directo de módulos inyectivos es también inyectivo.  Lema 131 Sea un módulo cruzado (C, R, ν)tal que Ces libre y Aes una CoR-álgebra. Sea: 0//W0//W//W00 //0 una sucesión exacta de A-módulos. Entonces existen dos sucesiones exactas de C-módulos: 0//Diff((C, R, ν), W0)//Diff((C, R, ν), W)//Diff((C, R, ν), W00)//0 0//Der((C, R, ν), W0)//Der((C, R, ν), W)//Der((C, R, ν), W 00)//0 Demostración: Basta tener es cuenta que las sumas directas y los productos directos de sucesiones exactas son sucesiones exactas.  La adjunción previamente mencionada entre Set y Módulos cruzados con 1 induce una adjunción entre las categorías coma XMod/(C, R, ν)ySet/U(C, R, 3.1 (Co)Homología de módulos cruzados 109 ν).Denotando por FU el cotriple correspondiente, para construir la (co)homología de (C, R, ν)con coeficientes en el (C, R, ν)-módulo (A, 0,0),se derivarán los funtores Diff(−, A)yDer(−, A)respecto al cotriple F U. Definición 132 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado y (A, 0,0) un (C, R, ν)-módulo. Se define, para cada n⩾0 : Hn((C, R, ν), A) = HnDiff(FU∗(C, R, ν), A). Hn((C, R, ν), A) = HnDer(FU∗(C, R, ν), A). Observación 133 Dado un módulo cruzado (C, R, ν), para calcular su (co)homología, también se pueden usar algunas resoluciones no estándar, como por ejemplo, una resolución simplicial proyectiva, es decir, un complejo simplicial aumentado de módulos cruzados (C, R, ν)∗→(C, R, ν)tal que (C, R, ν)nes proyectivo para todo n≥0y la aplicación simplicial inducida entre U(C, R, ν)∗ y el complejo simplicial constante U(C, R, ν), es una equivalencia de homotopía. Como la resolución obtenida utilizando la adjunción F U es una resolución simplicial proyectiva, se tiene que para cualquier otra resolución de este tipo (C, R, ν)∗y un (C, R, ν)-módulo Ase verifican los isomorfismos [8]: Hn((C, R, ν), A)∼ =Hn(Diff((C, R, ν)∗, A)). Hn((C, R, ν), A)∼ =Hn(Der((C, R, ν)∗, A)). U((C, R, ν)∗)es el conjunto simplicial C∗×R∗y por tanto U((C, R, ν)∗) es siempre un conjunto simplicial de Kan. Por ello, U(C, R, ν)∗→U(C, R, ν) es una equivalencia de homotopía si y solo si los morfismos simpliciales C∗→ C, R∗→Rson equivalencias débiles, es decir, si π0(C∗) = C, π0(R∗) = Ry πi(C∗) = πi(R∗) = 0 para todo i > 0. 116 3 Álgebra homológica de módulos cruzados o escrito de otra manera: 0//(G, H, ω)I=(id,0) //(GoC, H oR, ω oν)F=pr2//(C, R, ν)//0 Esta es una extensión central ya que coinciden: •I((F((g, h),(c, r)))(g0, h0)) = I((c, r)(g0, h0)) = I(cg0, rh0) = ((cg0, rh0),(0,0)). •((g, c),(h, r))I(g0, h0)=((g, h),(c, r))((g0, h0),(0,0))=((gg0+cg0, rh0),(0,0))= ((cg0, rh0),(0,0)), donde c∈C, r ∈R, g, g0∈G, h, h0∈H. Definición 147 Dos extensiones centrales (A, B, σ),(A0, B0, σ0)de (C, R, ν) por (G, H, ω)se dice que son congruentes si existe un morfismo (es decir, un isomorfismo) f: (A, B, σ)→(A0, B0, σ0)tal que el diagrama: 0//(G, H, ω)// && N N N N N N N N N N N(A, B, σ)// f   (C, R, ν)//0 (A0, B0, σ0) 88 p p p p p p p p p p p es conmutativo. Esta relación de congruencia, que denotaremos por (A, B, σ)≡(A0, B0, σ0), es una relación de equivalencia. Se denotará por Ex((C, R, ν),(G, H, ω)) el conjunto de todas las clases de equivalencia de extensiones centrales de (C, R, ν) por (G, H, ω). Lema 148 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado tal que Ces un cociente de K, C=K/I. Consideremos un (C, R, ν)-módulo (A, 0,0). Se tiene entonces que Ex((C, R, ν), A)≡Ex((C, R, ν),(A, 0,0)) = Ex(C, A). Demostración: Consideremos un elemento de Ex(C, A): 3.2 Extensiones de módulos cruzados y sucesiones exactas 117 0//Ai//C0f//C//0 donde fes un morfismo de K-álgebras, y en particular de K-módulos. Como C0es un C-módulo y existe un morfismo sobreyectivo KK/I =Cse tiene que fes de C-módulos [48], y también de R-módulos. 0//Ai//  C0f// ν◦f  C// ν  0 0//0//Rid //R//0 Se verifica que C0ν◦f →Res un módulo cruzado: •((ν◦f)(c))c0=ν(f(c))c0=f(c)c0≡cc0, donde c, c0∈C0. •(ν◦f)(rc) = ν(f(rc)) = ν(rf(c)) = rν(f(c)), donde c∈C0, r ∈R0. Además, se verifica trivialmente que (f, id)es un morfismo de módulos cruzados. Finalmente veremos que este diagrama cumple la igualdad necesaria para que sea una extensión de (C, R, ν)por (A, 0,0) : Usaremos la notación I= (i, 0), F = (f, id)para los morfismos de módulos cruzados. Se tiene que (c, r)I(a, 0) = (c, r)(i(a),0) = (ci(a) + ri(a),0) = (i(f(c)a) + i(f(r))a, 0) = I(f(c)a+f(r)a, 0) = I((f(c), f(r)),(a, 0)), donde a∈A, c ∈C0, r ∈R. El resto de comprobaciones son inmediatas.  Teorema 149 (de clasificación) Sea (C, R, ν)un módulo cruzado tal que Ces un cociente de K,C=K/I. Dado (A, 0,0) un (C, R, ν)-módulo se tiene un isomorfismo: Ex((C, R, ν), A)∼ =H1((C, R, ν), A). 118 3 Álgebra homológica de módulos cruzados Demostración: Consideremos la resolución usada para calcular la cohomología de (C, R, ν) : · · · ////////(J, J ⊗J, in)////// (( Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q(H, H ⊗H, in)////  (C, R, ν)// wwoooooooooooo 0 (C, R, ν) donde H=K[C×R]yJ=K[H×(H⊗H)].Aplicando los coeficientes correspondientes y considerando el complejo asociado se obtiene: 0//Der((C, R, ν), A)// )) S S S S S S S S S S S S S S SDer((H, H ⊗H, in), A)//  Der((J, J ⊗J, in), A)· · · ttiiiiiiiiiiiiiiiii Der((C, R, ν), A) Utilizando el isomorfismo entre las derivaciones y los homomorfismos se tiene el complejo: 0//HomR(C, A)//HomH⊗H(H, A)//HomJ⊗J(J, A)//· · · Tanto Hcomo Json álgebras de polinomios sobre K; debido a esto, existen morfismos sobreyectivos de H⊗HyJ⊗JaK, y por tanto a C=K/I;además HyJson C-módulos. Con todo esto, el complejo cadena se puede sustituir por otro complejo isomorfo [48]: 0//HomC(C, A)//HomC(H, A)//HomC(J, A)//· · · Este complejo nos permite calcular la cohomología de Ccon coeficientes en Ay por tanto H1((C, R, ν), A)∼ =Ex(C, A) = Ex((C, R, ν), A). Definición 150 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado. Se dice que (C, R, ν)es débilmente liso (sobre K) si para cualquier extensión central de un módulo cruzado (A, B, σ)por otro del tipo (A0,0,0) : 3.2 Extensiones de módulos cruzados y sucesiones exactas 119 0//(A0,0,0) //(A00, B, σ00)f//(A, B, σ)//0 y para cualquier morfismo g: (C, R, ν)→(A, B, σ)existe un morfismo h: (C, R, ν)→(A00, B, σ00)tal que f◦h=g. (K, K, id)//  (C, R, ν) g  h xxpppppp 0//(A0,0,0) //(A00, B, σ00)f//(A, B, σ)//0 Ejemplo 151 Cualquier módulo cruzado del tipo (K[x1, ..., xn], K[x1, ...xn], id) es débilmente liso. Teorema 152 En las condiciones del teorema de clasificación, un módulo cruzado (C, R, ν)es débilmente liso si y sólo si H1((C, R, ν), A) = 0 para todo (C, R, ν)-módulo A. Demostración: “⇒” Como (C, R, ν)es débilmente liso dado un (C, R, ν)-módulo (A, 0,0) se tiene diagrama: (C, R, ν) id  g xxqqqqqqqqqq 0//(A, 0,0) //(A0, R, ν0)f//(C, R, ν)//0 es decir, se tiene una sección def, f ◦g=id. Por tanto (A0, R, ν0)es isomorfo a (A, 0,0) o(C, R, ν)y la extensión es la trivial; con esto H1((C, R, ν), A) = 0. “⇐” Consideremos una extensión central: 120 3 Álgebra homológica de módulos cruzados 0//A00 // 0  A0f// σ0  A σ  //0 0//0//Bf0 //B//0 y un morfismo (g, g0) : (C, R, ν)−→ (A, B, σ).Construimos ahora el cuadrado cartesiano relativo a los morfismos (g, g0) : (C, R, ν)−→ (A, B, σ),(f, f0) : (A0, B, σ0)→(A, B, σ) : (G, H, ω)(h,h0)// (i,i0)   (C, R, ν) (g,g0)  0//(A00,0,0) //(A0, B, σ)(f,f0)//(A, B, σ)//0 Este cuadrado cartesiano se construye a partir de los dos cuadrados cartesianos siguientes en la categoría de álgebras conmutativas: G//   C  H//   R  A0//A B //B Se tiene por ello que H=Ry además el núcleo de G→Ces A00.Por tanto se puede reescribir el diagrama: 0//(A00,0,0) //  (G, H, ω)(h,h0)// (i,i0)   (C, R, ν) (g,g0)  //0 0//(A00,0,0) //(A0, B, σ)(f,f0)//(A, B, σ)//0 donde la fila superior es una extensión central. Esta extensión debe ser trivial ya que H1((C, R, ν), A00) = 0 y por tanto existe una sección de (h, h0), es decir, (j, j0) : (C, R, ν)→(G, H, ω)tal que (j, j0)◦(h, h0) = id(G,H,ω).De esta manera (i, i0)◦(j, j0)es el levantamiento de (g, g0). 3.2 Extensiones de módulos cruzados y sucesiones exactas 121 Teorema 153 (Primera sucesión exacta fundamental) Sea (C, R, ν)un módulo cruzado y Hun anillo tal que existe un morfismo de anillos j:H→K. Entonces hay una sucesión exacta: Diff((K, K, id)/H)⊗K(CoR)α →Diff((C, R, ν)/H)β →Diff((C, R, ν)/K) →0 Los morfismos αyβvienen dados por las expresiones: α(D(k, k0)⊗(c, r)) = (c, r)D0(f(k), g(k0)) β(D0(c, r)) = D00(c, r) donde fygson los morfismos f:K→C, g :K→Rque existen por ser CyR K-álgebras y D, D0yD00 representan los morfismos naturales D: KoK→Diff(K, K, id), D0:CoR→Diff((C, R, ν)/H), D00 :CoR→ Diff((C, R, ν)/K). Demostración: De la misma forma que en el enunciado del teorema, en la demostración vamos a realizar un abuso de notación omitiendo las clases de equivalencia para que esta sea más clara. Los morfismos αyβestán bien definidos ya que α(((0, k)⊗(0,1)−(0,1)⊗ (0, k))⊗(c, r)) = α(D(0, k)⊗(c, r)) = (c, r)D0((f, g)(0, k)) = (c, r)D0(0, g(k)) = 0yβ((0, r)⊗(0,1) −(0,1) ⊗(0, r)) = β(D0(0, r)) = D00(0, r) = 0. El módulo cruzado (C, R, ν)es un objeto de XModK, pero por medio del morfismo j:H→Kes también un objeto de XModH. El morfismo βes claramente sobreyectivo. Para comprobar la exactitud de la serie se aplicará el lema de Yoneda [51] en la categoría de CoR-módulos; con esto se tiene que es suficiente comprobar la exactitud de: HomCoR(Diff((K, K, id)/H)⊗K(CoR), A)α∗ ←HomCoR(Diff((C, R, ν)/H), A)β∗ ←HomCoR(Diff((C, R, ν)/K), A) para cualquier CoR-módulo A. A su vez, y teniendo en cuenta el isomorfismo (CoR)⊗(CoR)A∼ =A, esta sucesión es equivalente a: 122 3 Álgebra homológica de módulos cruzados DerH((K, K, id), A)DerH((C, R, ν), A) α∗ ooDerK((C, R, ν), A). β∗ oo •Im β∗⊆ker α∗ya que cualquier K-derivación d: (C, R, ν)→(A, 0,0) se anula sobre KoK. •ker α∗⊆Im β∗:sea duna H-derivación d: (C, R, ν)→(A, 0,0) tal que d(KoK) = 0.Como además d(0, K) = 0, se tiene que d(K, 0) = 0 y por tanto des una K-derivación [29].  Teorema 154 (Segunda sucesión exacta fundamental) Sea (C, R, ν)un módulo cruzado e (I, J, ϕ)un ideal cruzado. Entonces se tiene una sucesión exacta: (IoJ)/[IoJ, I oJ]α →Diff(C, R, ν)⊗K((CoR)/(IoJ)) β →Diff((C, R, ν)/ (I, J, ϕ)) →0 donde αes el morfismo α(i, j) = D(i, j)⊗(0,1), con Dla composición CoRd → ΩCoR→Diff(C, R, ν). Demostración: Como ya se ha hecho en el anterior teorema, en este también se van a omitir las clases de equivalencia en la notación. Sean (i, j)∈IoJ, (c, r)∈CoR; se tiene que α((c, r)(i, j)) = d((i, j)(c, r))⊗ (0,1) = (c, r)d(i, j)⊗(0,1) + (i, j)d(c, r)⊗(0,1) = d(i, j)⊗(c, r).Por tanto, αes CoR-lineal. Además, dado (i0, j0)∈IoJse tiene que α((i0, j0)(i, j)) = 0 y el morfismo está bien definido. Aplicando el lema de Yoneda, la exactitud de la sucesión propuesta es equivalente a la exactitud de: HomCoR/IoJ((IoJ)/[IoJ, I oJ], A)α∗ ←HomCoR/IoJ(Diff(C, R, ν)⊗K ((CoR)/(IoJ)), A)β∗ ←HomCoR/IoJ(Diff((C, R, ν)/(I, J, ϕ)), A)←0 3.2 Extensiones de módulos cruzados y sucesiones exactas 123 para cualquier (CoR)/(IoJ)-módulo A. Además, esta sucesión la podemos sustituir por: HomCoR/IoJ((IoJ)/[IoJ, IoJ], A)α∗ ←DerK((C, R, ν), A)β∗ ←DerK((C, R, ν)/(I, J, ϕ), A)←0. •β∗es inyectiva trivialmente. •Im β∗⊆ker α∗:sea d∈Im β∗⇒d(IoJ) = 0 ⇒d∈ker α∗. •ker α∗⊆Im β∗:sea d:CoR→Auna K-derivación tal que d(0, R) = 0; (α∗d)(i, j) = d(i, j).Si α∗(d)=0⇒d(IoJ)=0ydse puede ver como una K-derivación de CoR/I oJen Aque además verifica d(0, R) = 0. 124 3 Álgebra homológica de módulos cruzados 3.3. (Co)Homología de módulos cruzados asféricos Definición 155 Se dice que un módulo cruzado (C, R, ν)es asférico si el morfismo νes inyectivo. Los módulos cruzados asféricos forman una subcategoría dentro de los módulos cruzados, que además es isomorfa a la categoría de morfismos de álgebras sobreyectivos: Morfismos sobreyectivos →Módulos cruzados asféricos f:RR07−→ (ker f, R, in) Módulos cruzados asféricos →Morfismos sobreyectivos (C, R, ν)7−→ R→R/ν(C) Además, sean R, R0dos K-álgebras y f:R→R0un morfismo sobreyectivo entre ellas. (ker f, R, in)es claramente un módulo cruzado asférico. Además, a este módulo cruzado le corresponde el morfismo f:R→R/ ker f∼ =R0. La comprobación recíproca es también inmediata. Al módulo cruzado asférico inducido por un morfismo sobreyectivo lo denotaremos por XM(f). Ahora, sea Aun álgebra singular tal que existe una acción de XM(f)sobre ella, es decir, (A, 0,0) es un XM(f)-módulo. En este caso, Aes un R0-módulo y también un R-módulo vía f. Lema 156 Sean f:R→R0, f0:R0→Rmorfismos de álgebras tales que ff0=id. Sea Aun XC(f)-módulo. Se verifica que hay una sucesión exacta corta: 0//Der(R0, A)//Der(R, A)//Der(XC(f), A)//0 Demostración: Definimos: 3.3 (Co)Homología de módulos cruzados asféricos 125 α:Der(R, A)→Der(XC(f), A) d7−→ (α(d))(i, j) = d(i) Se verifica que: i)(α(d))(0, j) = 0 ii)(α(d))((i, j)(i0, j0)) = (α(d))(ii0+j0i+ji0, jj0) = d(ii0+j0i+ji0) = d(ii0)+ d(j0i)+ d(ji0) = id(i0) +i0d(i)+j0d(i) +id(j0)+jd(i0)+ i0d(j) = j0d(i)+jd(i0). Esta última igualdad se tiene porque la acción de ker fsobre Aes trivial. Por otro lado (i, j)(α(d)(i0, j0))+(i0, j0)(α(d)(i, j)) = (i, j)d(i0)+(i0, j0)d(i)≡ jd(i0) + j0d(i). Los dos puntos anteriores prueban que α(d)∈Der(XC(f), A).Además, dada d∈Der(XC(f), A), se verifica que d(i) = d0(i+f0f(i),0) es la preimagen de dya que (α(d))(i, i) = d(i) = d0(i, 0) = d0(i, j). La exactitud en los otros términos es inmediata.  Consideremos un morfismo de álgebras sobreyectivo f:R→R0y sea Aun XC(f)-módulo. Denotaremos por T∗(R, A), T ∗(R, A)los complejos estándar utilizados para computar la (co)homología de Rcon coeficientes en A. El morfismo finduce un morfismo inyectivo de cadenas T∗(R, A)T∗(R0, A) y un morfismo sobreyectivo de cocadenas T∗(R0, A)T∗(R, A).Esto nos permite definir la siguiente (co)homología relativa: Hn(R0, R;A) = Hnker(T∗(R, A)T∗(R0, A)). Hn(R0, R;A) = Hncoker(T∗(R0, A)T∗(R, A)). Teorema 157 Sea f:R→R0un morfismo sobreyectivo de álgebras y Aun XC(f)-módulo. Entonces: Hn(XC(f), A)∼ =Der(XC(f), A)si n= 0. Hn(R0, R;A)si n > 0. Hn(XC(f), A)∼ =Diff(XC(f), A)si n= 0. Hn(R0, R;A)si n > 0. 132 3 Álgebra homológica de módulos cruzados Para construir la (co)homología de (C, R, ν)con coeficientes en el (C, R, ν)- módulo (0, A, 0) se derivarán los funtores Diff(−, A)yDer(−, A)respecto al cotriple FU proporcionado por la adjunción existente entre las categorías coma Set/(C, R, ν)yXMod/U(C, R, ν). Definición 165 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado y (0, A, 0) un (C, R, ν)-módulo. Se define, para cada n⩾0 : Hn((C, R, ν), A) = HnDiff(FU∗(C, R, ν), A). Hn((C, R, ν), A) = HnDer(FU∗(C, R, ν), A). Observación 166 Dado un módulo cruzado (C, R, ν), para calcular su (co)homología también se pueden usar algunas resoluciones no estándar, como por ejemplo, una resolución simplicial proyectiva, es decir, un complejo simplicial aumentado de módulos cruzados (C, R, ν)∗→(C, R, ν)tal que (C, R, ν)nes proyectivo para todo n≥0y la aplicación simplicial inducida entre U(C, R, ν)∗ y el complejo simplicial constante U(C, R, ν), es una equivalencia de homotopía. Como la resolución obtenida utilizando la adjunción F U es una resolución simplicial proyectiva, se tiene que para cualquier otra resolución de este tipo (C, R, ν)∗y un (C, R, ν)-módulo (0, A, 0) se verifican los isomorfismos [8]: Hn((C, R, ν), A)∼ =Hn(Diff((C, R, ν)∗, A)). Hn((C, R, ν), A)∼ =Hn(Der((C, R, ν)∗, A)). Observación 167 La (co)homología definida generaliza la (co)homología de álgebras conmutativas. Consideremos un módulo cruzado (0, R, 0) y un (0, R, 0)-módulo (0, A, 0). En este caso Der((0, R, 0), A) = {d∈Der(0oR, A)|d(0,0) = 0} ≡ Der(R, A) y por tanto Hn((0, R, 0),(0, A, 0)) ≡Hn(R, A). Por otro lado Diff(0, R, 0) = Ω0oR/ < 0>≡ΩRy por tanto se tiene que Hn((0, R, 0),(0, A, 0)) ≡Hn(R, A). 3.4 (Co)Homología con coeficientes (0, A, 0) 133 La homología y cohomología inducen funtores: Hn(−,−) : CoR-Mod →CoR-Mod Hn(−,−) : CoR-Mod →CoR-Mod el primero de los cuales es covariante y el segundo es contravariante en la primera variable. A continuación, se describen diversos resultados sobre la (co)homología que se acaba de definir. No se recogen sus demostraciones ya que estas son completamente análogas a las realizadas para la teoría de (co)homología definida previamente. Proposición 168 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado y (0, A, 0) un (C, R, ν)- módulo. Se verifica: i)H0((C, R, ν), A)∼ =Diff((C, R, ν), A). H0((C, R, ν), A)∼ =HnDer((C, R, ν), A). ii)Si (C, R, ν)es un módulo cruzado proyectivo se verifica que: Hn(C, R, ν), A) = 0 Hn((C, R, ν), A) = 0 para todo n > 0. iii)Dada una sucesión exacta corta de (C, R, ν)-módulos: 0//A0//A//A00 //0 se tienen sucesiones exactas largas en (co)homología: · · · → Hn((C, R, ν), A0)→ Hn((C, R, ν), A)→ Hn((C, R, ν), A00)→ Hn−1((C, R, ν), A0)→ · · · · · · → Hn((C, R, ν), A0)→ Hn((C, R, ν), A)→ Hn((C, R, ν), A00)→ Hn+1((C, R, ν), A0)→ · · · Proposición 169 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado y {(0, Aj,0)}Juna familia de (C, R, ν)-módulos. Se verifica que: Hn((C, R, ν),Σ JAj)∼ =Σ JHn((C, R, ν), Aj). 134 3 Álgebra homológica de módulos cruzados Proposición 170 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado y {(0, AJ,0)}Juna familia de (C, R, ν)-módulos. Se verifica que: Hn((C, R, ν),Π JAj)∼ =Π JHn((C, R, ν), Aj). Teorema 171 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado, (0, A, 0) un (C, R, ν)-módulo y(0, W, 0) un (0, A, 0)-módulo (es decir, Wun A-módulo). Existe un isomorfismo de A-módulos: Hn((C, R, ν), A)⊗AW∼ =Hn((C, R, ν), W) si se verifica alguna de las condiciones siguientes: •Wes un módulo plano. •El funtor Hn((C, R, ν),−) : CoR-Mod →CoR-Mod es exacto a la derecha. Observación 172 La segunda hipótesis se puede cambiar por la condición de que el funtor Hn−1((C, R, ν),−) : CoR-Mod →CoR-Mod sea exacto a la izquierda. Teorema 173 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado, (0, A, 0) un (C, R, ν)-módulo y(W, 0,0) un (0, A, 0)-módulo (es decir, Wun A-módulo). Existe un isomorfismo de A-módulos: Hn((C, R, ν), W)∼ =HomA(Hn((C, R, ν), A), W) si se verifica alguna de las condiciones siguientes: •Wes un módulo inyectivo. •El funtor Hn((C, R, ν),−) : CoR-Mod →CoR-Mod es exacto a la derecha. 3.4 (Co)Homología con coeficientes (0, A, 0) 135 Observación 174 La segunda hipótesis se puede cambiar por la condición de que el funtor Hn−1((C, R, ν),−) : CoR-Mod →CoR-Mod sea exacto a la derecha. Proposición 175 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado, Auna CoR-álgebra, W un A-módulo y Mun A-módulo plano. Entonces existen isomorfismos naturales: Hn((C, R, ν), W)⊗AM∼ =Hn((C, R, ν), W ⊗AM). Además, si Kes noetheriano y el álgebra CoRes de tipo finito se tienen los isomorfismos naturales: Hn((C, R, ν), W)⊗AM∼ =Hn((C, R, ν), W ⊗AM). Corolario 176 Sea (C, R, ν)un módulo cruzado, Aun CoR-módulo, W un A-módulo y Sun subconjunto multiplicativamente cerrado de A. Se tienen isomorfismos naturales: S−1Hn((C, R, ν), W)∼ =Hn((C, R, ν), S−1W). Además, si Kes noetheriano y CoRes de tipo finito, se tienen los isomorfismos naturales: S−1Hn((C, R, ν), W)∼ =Hn((C, R, ν), S−1W). Por otra parte, H1también se puede identificar con cierta clase de extensiones, como veremos a continuación. Teorema 177 (de clasificación) Sea (C, R, ν)un módulo cruzado tal que Res un cociente de K, y sea (0, A, 0) un (C, R, ν)-módulo. Entonces, se tiene un isomorfismo: Ex(R/ν(C), A)∼ =H1((C, R, ν), A). 136 3 Álgebra homológica de módulos cruzados Demostración: Consideremos la resolución usada para calcular la cohomología de (C, R, ν) : · · · ////////(J, J ⊗J, in)////// (( Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q(H, H ⊗H, in)////  (C, R, ν)// wwoooooooooooo 0 (C, R, ν) donde H=K[C×R]yJ=K[H×(H⊗H)].Aplicando los coeficientes correspondientes y considerando el complejo asociado se obtiene: 0//Der((C, R, ν), A)// )) S S S S S S S S S S S S S S SDer((H, H ⊗H, in), A)//  Der((J, J ⊗J, in), A)· · · ttiiiiiiiiiiiiiiiii Der((C, R, ν), A) o escrito de otra forma: 0//Der(R/ν(C), A)// )) R R R R R R R R R R R R R RDer((H⊗H)/H, A)//  Der((J⊗J)/J, A)· · · ttjjjjjjjjjjjjjjjj Der(R/ν(C), A) y como este complejo proporciona la cohomología de R/ν(C)con coeficientes en Der(−, A), tenemos que H1((C, R, ν), A)∼ =H1(R/ν(C), A)∼ =Ex(R/ν(C), A). En las condiciones del teorema que se acaba de enunciar, si se define un concepto análogo al de módulo cruzado débilmente liso pero con respecto a extensiones centrales del tipo: 0//(0, B0,0) //(A, B00, σ00)f//(A, B, σ)//0 se tiene que H1((C, R, ν), A) = 0 para todo (C, R, ν)-módulo (0, A, 0) si y solo si (C, R, ν)es débilmente liso. 3.4 (Co)Homología con coeficientes (0, A, 0) 137 Además, dado un módulo cruzado (C, R, ν)y un anillo Htal que existe un morfismo de anillos j:H→K, entonces se tiene una sucesión exacta: Diff((K, K, id)/H)⊗K(CoR)α → Diff((C, R, ν)/H)β → Diff((C, R, ν)/K) →0 y si (I, J, ϕ)un ideal cruzado de (C, R, ν), existe una sucesión exacta: (IoJ)/[IoJ, I oJ]α → Diff(C, R, ν)⊗K((CoR)/(IoJ)) β → Diff((C, R, ν)/ (I, J, ϕ)) →0 Las demostraciones son análogas a las previamente realizadas. Capítulo 4 Cálculo efectivo de homología con HAP GAP (Groups, Algorithms, Programming) [25] es un programa de código libre orientado hacia el álgebra computacional discreta. Proporciona un lenguaje de programación, una gran librería de funciones con algoritmos algebraicos implementados escritos en lenguaje GAP y una librería con datos de numerosos objetos algebraicos. Este sistema y toda la documentación y manuales relacionados se pueden encontrar en: http://www.gap-system.org/gap.html GAP empezó a ser desarrollado en 1986 en Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen. Más tarde, en 1997, el desarrollo de GAP comenzó a ser coordinado en St. Andrews y, actualmente, hay cuatro centros que colaboran en continuar desarrollando y manteniendo GAP. Estos cuatro centros se encuentran localizados en Aachen, Braunschweig, Fort Collins y St. Andrews. Durante todos estos años GAP ha experimentado muchos cambios y ha tenido diferentes versiones. Desde 2001 está constituido por un núcleo (escrito en C), en el que se agrupan las estructuras y utilidades básicas, y una gran librería dividida en módulos, cada uno de los cuales tiene funcionalidades en 139 140 4 Cálculo efectivo de homología con HAP distintas áreas. Además, hay una larga lista de paquetes aceptados programados por gente que colabora en el desarrollo de GAP. Cada uno de estos paquetes tiene que ser instalado de forma adicional y suelen estar orientados hacia funcionalidades más específicas. Entre las utilidades proporcionadas por GAP y sus paquetes algunos ejemplos son: diversos cómputos con módulos cruzados y cat1-grupos tales como derivaciones o morfismos (paquete XMod), funciones relacionadas con la (co)homología de grupos (paquete HAP), cálculos con grupos nilpotentes (paquete nq), funcionalidades para manejar álgebras de Lie y sus representaciones (módulo Lie álgebra)... Además, algunos paquetes proporcionan nexos con otros sistemas: •Una interfaz al sistema KANT/KASH para teoría algebraica de números. •Una interfaz al sistema SINGULAR para geometría algebraica (que permite, en particular, realizar cálculos con bases de Gröbner). •Una interfaz de GAP a Maple que se está desarrollando actualmente. •Una interfaz al programa DISCRETA. GAP está programado de tal manera que puede ser usado con diferentes sistemas operativos: UNIX/Linux, Windows o Macintosh. Sin embargo, algunos de los paquetes no funcionan completamente con Windows. La versión actual de GAP es la 4.4.9, que fue publicada durante Noviembre de 2006 e incluye más de sesenta paquetes. Desde 1995 existe un Consejo formado por varios matemáticos e ingenieros informáticos de distintas áreas dentro de la teoría computacional de grupos. Los miembros de este Consejo ejercen de editores y coordinan el proceso mediante el cual los paquetes presentados son revisados para su admisión. Otra de sus funciones fundamentales es aconsejar sobre las futuras líneas de desarrollo de GAP. GAP ha demostrado ser una útil herramienta de investigación y, de hecho, se han encontrado muchas aplicaciones en diversas áreas, incluso en algunas bastante sorprendentes. Así, GAP se ha usado para estudiar y encontrar resultados sobre superficies de Riemann compactas, técnicas de condensación, 141 espectroscopia molecular o teoría de invariantes para grupos finitos. Algunos de estos ejemplos se pueden encontrar en: http://www.gap-system.org/Doc/applications.html Como prueba de esto cabe destacar el hecho de que GAP ha acumulado un gran número de citas en diversa bibliografía; desde 1997 el número de citas por año ha estado normalmente en torno a 80 ó 90, llegando a 116 durante 2004. El objetivo de este capítulo es, usando GAP, comparar la homología entera de un grupo nilpotente libre con la de su álgebra de Lie asociada y proporcionar un método que permita computar algunas homologías enteras de grupos que todavía no han sido calculadas. Para ello, se usará en particular el paquete HAP (Homological algebra programming) que está especialmente enfocado hacia los cálculos relacionados con la (co)homología de grupos [26]. También he programado algunas funciones nuevas que han sido incluidas en este paquete. Definición 178 Dado un grupo G, se define la serie de subgrupos Gn, n > 0 como sigue: G1=G, Gn= [Gn−1, G] = [[[G, G], G],n) · · · G], donde [Gn−1, G]denota el subgrupo de Ggenerado por los elementos de la forma x−1y−1xy, x ∈Gn−1, y ∈G. Esta, se llama serie central descendente de G. Además, si existe un ntal que Gn+1 ={e}, entonces se dice que G es nilpotente de clase a lo sumo n. Si mes el menor número natural que satisface dicha propiedad se dice que G es nilpotente de clase m. Observación 179 La serie central descendente de un álgebra de Lie se define de forma análoga a la de grupos. Para el n-ésimo término de la serie central descendente también es habitual utilizar la notación γn(G).