CATEGOR´
IA DE
LUSTERNIK-SCHNIRELMANN
Y FUNCIONES DE MORSE
EN LOS ESPACIOS SIM´
ETRICOS
Ma
´
ıa Jos´
e Pe ei a S´
aez
Don En ique Mac´ıas Vi g´os, P o eso Ti ula del Depa amen o de Geome ´ıa y
Topolog´ıa de la Uni e sidad de San iago de Compos ela y Di ec o de la Memo ia
i ulada:
Ca ego ´ıa de Lus e nik-Schni elmann y unciones de Mo se en los espacios
sim´e icos
Au o izo
a Do˜na Ma ´ıa Jos´e Pe ei a S´aez a su p esen aci´on pa a op a al g ado de Doc o
en Ciencias Ma em´a icas.
En San iago de Compos ela, a 24 de oc ub e de 2011.
El Di ec o :
P o . D . En ique Mac´ıas Vi g´os
La doc o anda:
Ma ´ıa Jos´e Pe ei a S´aez
Ma
´
ıa Jos´
e Pe ei a S´
aez
CATEGOR´
IA DE
LUSTERNIK-SCHNIRELMANN
Y FUNCIONES DE MORSE
EN LOS
ESPACIOS SIM´
ETRICOS
Memo ia ealizada en el Depa amen o de Geome ´ıa y
Topolog´ıa de la Facul ad de Ma em´a icas, bajo la di ecci´on
del P o . D . En ique Mac´ıas Vi g´os, pa a op a al g ado de
Doc o en Ciencias Ma em´a icas po la Uni e sidad de San-
iago de Compos ela.

A mis pad es
Ag adecimien os
Pienso que pa a muchos es a es la pa e de la esis m´as di ´ıcil de esc ibi , no hay
p oposiciones, lemas ni eo emas; no hay que da ninguna demos aci´on. Adem´as, me
pa ece que es di ´ıcil pe cibi odas las pe sonas que de alg´un modo han colabo ado
y p ´ac icamen e imposible e leja con idelidad es a ealidad; yo ha ´e lo que pueda.
Vaya po delan e mi ag adecimien o a odas las pe sonas que de un modo u o o me
han ayudado en la elabo aci´on de la esis.
G acias Quique po u op imismo, po u disponibilidad, po u paciencia pa a
lee y elee las in ini as e siones, po us co eciones, po pone me plazos, po u
empe˜no en hace me “ e ” las cosas, po odo lo que me has ense˜nado. Po p esen-
a me a P o eso es como Daniel Tan ´e o Luc´ıa Fe n´andez. Po las clases de G upos
de Lie, po di igi me la esis.
An onio (Ta o pa a los alumnos de Topolog´ıa Algeb aica), g acias po es a
disponible y compa i ideas.
Ma iqui˜na, g acias po oda la ca e a y el doc o ado“compa idos”, po es a ,
po habla , po ansmi i humanidad en es e ambien e.
De odos los bolsei os con los que he ido compa iendo sala, aunque s´olo ue a
po unos d´ıas, he ap endido algo; g acias, de modo especial a Sil ia, Sand a, Miguel
y Ja i, aunque aho a es ´eis en la sala de “ ue a”.
A quien m´as debo ue a del ´ambi o de la acul ad es a mis pad es; ellos me
ense˜na on a pensa (y muchas o as cosas).
G acias Pu i po anima me a segui siemp e adelan e, co iendo, nadando o
i iendo; po es a al lado en g an pa e de a ese, po es a dispues a incluso a
ap ende un poco de Tex pa a ayuda me con algunas co ecciones en el “peque˜no
Mac”(no se ´a po lo poco que e gus a la in o m´a ica).
G acias Rosa po las co ecciones que me hicis e, como siemp e, an p ecisas.
G acias, en de ini i a, a quien m´as se las debo; po odo.
La ealizaci´on de es a Memo ia (con la co espondien e pa icipaci´on en Cong e-
so, Jo nadas, Encuen os y simila es) ha sido inanciada po el P oyec o del MICINN
MTM2008-05861.
ix

In oducci´on
El p ime o en la lis a de p oblemas de la eo ´ıa de in a ian es homo ´opicos
num´e icos de T. Ganea es “calcula la ca ego ´ıa de a iedades amilia es: a iedades
de S ie el, g upos de Lie, e c.” [26]. La p egun a de Ganea es de 1970 y, sin emba go,
a´un no se ha podido esponde comple amen e pues los a ances son len os y di ´ıci-
les. La di icul ad del c´alculo di ec o ha a ado de palia se in oduciendo di e en es
´ecnicas y ap oximaciones algeb aicas.
El obje i o inicial de la p esen e Memo ia e a calcula de modo sencillo la ca-
ego ´ıa de Lus e nik-Schni elmann de algunos g upos de Lie cl´asicos. Uno de los
p ime os m´e odos con los que nos encon amos al in oduci nos en el es udio de
es e in a ian e opol´ogico pa a dichos g upos, ue el que u iliz´o W. Singho en 1975
pa a calcula la ca ego ´ıa de los g upos uni a ios [74, 75]. Es e au o ob iene un
ecub imien o expl´ıci o o mado po nabie os ca eg´o icos. Conside a abie os del
ipo Ω(z) o mados po la ma ices complejas n×n ales que A−zI es in e sible,
donde z∈Ces un complejo de no ma 1 y p ueba que sus componen es conexas son
con ´ac iles u ilizando la aplicaci´on exponencial. Una adap aci´on de es e m´e odo
ha sido u ilizada ecien emen e po M. Mimu a y K. Suga a [60] pa a calcula la
ca ego ´ıa de los espacios sim´e icos SU(n)/SO(n) y SU(2n)/Sp(n).
La p incipal di icul ad al a a de ex ende el m´e odo de Singho al g upo
simpl´ec ico Sp(n) adica en que, en el con ex o cua e ni´onico, la condici´on A−λI
in e sible no gua da ninguna elaci´on con los au o alo es po la de echa de la ma-
iz A. Un examen m´as de allado de es a cues i´on mues a que hay que dis ingui
en e au o alo es po la de echa y po la izquie da, y que la condici´on an e io es
equi alen e po de inici´on a es os ´ul imos. O a di icul ad es que la condici´on de se
in e sible en el caso complejo depende del de e minan e, noci´on que, como e emos,
es di ´ıcil de gene aliza en el caso cua e ni´onico. Es e hecho ha sido el que nos mo-
i´o a in e esa nos en los au o alo es po la izquie da de las ma ices cua e ni´onicas.
Al comenza a abaja con el ´algeb a lineal cua e ni´onica, obse amos que el es u-
dio de au o alo es po la de echa es ´a comple amen e es ablecido mien as que los
au o alo es po la izquie da es ´an muy poco es udiados. No se sabe cu´an os au o-
x ii
alo es po la izquie da puede ene una ma iz cua e ni´onica de o den nni c´omo
calcula los. Los ´unicos esul ados impo an es conocidos has a el momen o son un
eo ema de 1985 de R.M.W. Wood [88], seg´un el cual oda ma iz cua e ni´onica
iene al menos un au o alo po la izquie da, y el es udio de las ma ices de o den
dos que hicie on en el a˜no 2001 L. Huang y W. So [33]. Es os au o es p ueban que
una ma iz cua e ni´onica de o den dos puede ene uno, dos o in ini os au o alo-
es po la izquie da. Noso os da emos una nue a demos aci´on bas´andonos en un
m´e odo in oducido ecien emen e po De Leo e al. [54] pa a esol e ecuaciones
cua e ni´onicas unila e ales. Adap ando es os esul ados a Sp(2) hemos ob enido una
ca ac e izaci´on de las ma ices simpl´ec icas de o den dos con in ini os au o alo es.
Haciendo uso de es e esul ado comp obamos que el m´e odo de Singho no es e icaz
pa a es e g upo pues nunca pod emos ob ene un ecub imien o ca eg´o ico o mado
po menos de cinco abie os del ipo Ω(λ), aunque ca (Sp(2)) = 3.
Po o a pa e, el abajo de Huang y So es un es udio caso po caso de na u aleza
algeb aica y di ´ıcil de gene aliza pa a ma ices de o den n≥3. Aunque no es el
ema cen al de es a Memo ia, p oponemos una ap oximaci´on di e en e cons uyendo
una unci´on ca ac e ´ıs ica µpa a las ma ices cua e ni´onicas al que las a´ıces de
la ecuaci´on µ(λ) = 0 son los au o alo es po la izquie da de la ma iz. En gene al,
es a µno es un polinomio sino una unci´on acional a pa i de la cual ha emos
un es udio opol´ogico del espec o po la izquie da de las ma ices de o den dos y
pa cialmen e pa a las de o den es, calculando su di e encial y aplicando la eo ´ıa
del g ado. En p incipio, es e nue o m´e odo se pod ´ıa gene aliza de modo m´as
sencillo a ´o denes supe io es. Adem´as, es a unci´on ca ac e ´ıs ica e i ica el eo ema
de Cayley-Hamil on, es deci , la ex ensi´on na u al de µa las ma ices cumple que
µA(A) = 0.
Pa a demos a que los conjun os Ω(z)⊂U(n) son con ´ac iles, W. Singho
u ilizaba la aplicaci´on exponencial. Es o lle a consigo la di icul ad de ene que
escoge una ama del loga i mo pa a hace la in e sa. De hecho, ni siquie a queda
cla o si los abie os son conexos, po lo que habla de sus componen es conexas.
Asimismo, iendo la demos aci´on de Mimu a y Suga a [60], obse amos que no
hay una mane a elegan e de pasa a los espacios homog´eneos m´as sencillos, que son
los espacios sim´e icos. En el es udio que p oponemos aqu´ı, la idea pa a p oba que
es e ipo de abie os son con ´ac iles consis e en u iliza la ans o maci´on de Cayley,
p ocedimien o que puede gene aliza se de modo na u al a los espacios sim´e icos.
Es a ans o maci´on es cl´asica y ue de inida po Cayley en 1846. Es ´a de inida en
el abie o Ω ⊂ Mn×n(K) o mado po las ma ices ales que I+Xes in e sible y
iene dada po c(X) = I−X
I+X. Adem´as cumple que c2=id. Noso os la gene alizamos
a la ans o maci´on
cA(X) = c(A∗X)A∗,
x iii
de inida en el abie o Ω(A)⊂ Mn×n(K) de las ma ices X ales que A+Xes in e -
sible. De es e modo podemos ecub i el g upo. La p incipal p opiedad de cada cA
se ´a que es ablece un di eomo ismo en e Ω(A)∩Gy el espacio angen e TA∗G. Con
es as he amien as da emos una demos aci´on m´as sencilla del esul ado de Singho
pa a U(n). Adem´as, ex ende emos es os esul ados a los espacios sim´e icos comp o-
bando que odas las cons ucciones son compa ibles con el llamado modelo Ca an,
y ob eniendo as´ı abie os con ´ac iles en espacios sim´e icos. En pa icula es o nos
pe mi i ´a calcula de mane a sencilla la ca ego ´ıa de U(n)/O(n) y U(2n)/Sp(n).
Reco demos que en una a iedad compac a la ca ego ´ıa LS (m´as uno) es una
co a in e io pa a el n´ume o de pun os c ´ı icos de cualquie unci´on di e enciable. A
g andes asgos, es o se debe a que el lujo del g adien e de e mina, pa a cada pun o
c ´ı ico, un abie o ca eg´o ico. En el con ex o de los g upos de Lie y espacios sim´e i-
cos las unciones que han sido m´as es udiadas son las de Bo -Mo se. Es o se debe
a que ienen una exp esi´on sencilla, hX(A) = <T (XA). En pa icula , H. Kadzisa
y M. Mimu a [50] abajan con es as unciones en SU(n)/SO(n) y SU(2n)/Sp(n)
pa a de e mina la longi ud en conos de es os espacios. Lo que noso os hemos ob-
enido es una simpli icaci´on del es udio de las unciones de Bo -Mo se. En e ec o,
ob enemos que el lujo del g adien e de es as unciones puede in eg a se en los es-
pacios sim´e icos u ilizando o a ez la ans o maci´on de Cayley. En pa icula ,
es o nos pe mi e da ca as locales pa a el conjun o de pun os c ´ı icos de una un-
ci´on de Bo -Mo se, ya que dado un pun o c ´ı ico Ade una unci´on al u a hM
X, la
ans o maci´on de Cayley gene alizada es ablece un di eomo ismo en e el n´ucleo
del ope ado hessiano, que es un espacio ec o ial al que llama emos SM(A), y el
conjun o de pun os c ´ı icos Σ(hM
X)∩Ω(A) en un en o no de A. De ah´ı nues o in e ´es
en es ablece una eo ´ıa lo m´as gene al posible de las unciones al u a en el modelo
de Ca an de un espacio sim´e ico ya que los esul ados conocidos has a el momen o
se e ie en s´olo a casos pun uales.
Aunque hemos ob enido muchos esul ados, nues o en oque deja igualmen e
una se ie de p oblemas in e esan es abie os. En el ´ambi o del ´algeb a lineal cua e -
ni´onica, es necesa io desa olla una eo ´ıa gene al de au o alo es po la izquie da
y unciones ca ac e ´ıs icas. En espacios sim´e icos, la eo ´ıa de la descomposici´on
pola gene alizada pe mi i ´a ca ac e iza de modo gene al las unciones al u a que
son de Mo se. Po ´ul imo, la con inuaci´on na u al del abajo se ´a in en a aplica
nues o m´e odo de Cayley pa a calcula la ca ego ´ıa LS de las G assmannianas y
a iedades de S ie el.
xix
Con enidos
Hemos es uc u ado la memo ia en dos g andes bloques. En el p ime o de ellos
ecogemos los p elimina es que nos han pa ecido necesa ios pa a pode es ablece
los esul ados del es o del abajo.
P elimina es
´
Algeb a lineal cua e ni´onica
El Cap´ı ulo 1 lo dedicamos al ´algeb a lineal cua e ni´onica, ecogiendo en ´el las
p incipales he amien as del ´algeb a lineal cua e ni´onica (po la de echa) que nece-
si a emos a lo la go de la memo ia.
Las di icul ades mayo es que encon amos en es e ´ambi o son la ausencia de
de e minan e y la dis inci´on en e au o alo es po la de echa y po la izquie da. El
compo amien o de los p ime os es an´alogo al caso complejo. Se dice que un cua e nio
q∈Hes un au o alo po la de echa de la ma iz M∈ Mn×n(H) si exis e alg´un
∈Hn, 6= 0 al que A = q. Su c´alculo es sencillo, de hecho, los au o alo es po
la de echa de una ma iz cua e ni´onica Mde o den nno son m´as que los cua e nios
simila es a los au o alo es complejos de su o ma compleja c(M)∈ M2n×2n(C).
As´ı, el espec o de Mpo la de echa, σ (M), es a ´a o mado a los sumo po n
clases de simili ud. El p oblema es que los au o ec o es asociados a un au o alo
po la de echa no o man un subespacio ec o ial pe o a´un as´ı, el compo amien o
es an´alogo al caso complejo. J.L. B enne gene aliza el lema de Schu a Mn×n(H)
en [4] y as´ı ob enemos que las ma ices no males se pueden diagonaliza . Adem´as,
F. Zhang ex iende al caso cua e ni´onico algunas descomposiciones ma iciales como
son la descomposici´on pola y la SVD en [90]. Es os esul ados nos se ´an de g an
u ilidad a la ho a de ca ac e iza las unciones al u a en un g upo de Lie que son de
Mo se y simpli ica el es udio de es as mismas unciones es ingidas al modelo de
Ca an de un espacio sim´e ico cl´asico.
Ha habido a ios in en os de ex ende la idea de de e minan e al ´ambi o cua-
e ni´onico, a ea complicada debido a la no conmu a i idad de los cua e nios [1].
De hecho, no es posible adap a comple amen e es e concep o a H; si se a a de
ex ende es e uncional mul iplica i o de modo que coincida con el de e minan e
usual sob e RyCse obse a que necesa iamen e end ´a que oma alo es eales.
Nos de end emos especialmen e en el de e minan e de S udy y su elaci´on con o os
de e minan es pues se ´a una he amien a imp escindible pa a cons ui una unci´on
ca ac e ´ıs ica pa a las ma ices cua e ni´onicas y pa a p oba de o ma sencilla que
los conjun os de Cayley son abie os. Se de ine como Sde (M) = (de C(c(M))1/2,
con lo que oma alo es eales y ex iende el m´odulo del de e minan e usual. Su
xx
compo amien o es bas an e simila al del de e minan e complejo; enunciamos sus
p incipales p opiedades en la Subsecci´on 1.2.1. En e los posibles de e minan es cua-
e ni´onicos des acan los quaside e minan es, in oducidos en 1992 po I.M. Gel and
y V.S. Re akh en [28]. En ealidad, la eo ´ıa que es ablecen es os au o es no se
educe a Hsino que abajan en el ´ambi o de ma ices con en adas en un anillo
de di isi´on. Como ejemplo de la elaci´on en e la eo ´ıa de Gel and y Re akh y el
de e minan e de S udy gene alizamos en la Subsecci´on 1.2.5 la llamada iden idad
de Jacobi.
Nues o in e ´es en el es udio del ´algeb a cua e ni´onica se debe a que buscamos
aplica pa a el c´alculo de la ca ego ´ıa LS del g upo simpl´ec ico Sp(n) el m´e odo que
desa olla W. Singho en [74, 75]pa a calcula la ca ego ´ıa del g upo uni a io SU(n).
Dicho m´e odo emplea abie os del ipo Ω(z), z∈C, o mados po las ma ices A
ales que A−zI es in e sible. Sin emba go, en el caso cua e ni´onico, la condici´on
de que A−qI sea in e sible no gua da ninguna elaci´on con los au o alo es po la
de echa, sino que es equi alen e a que q∈Hno sea un au o alo po la izquie da
de A.
A di e encia del caso del espec o po la de echa, se puede deci muy poco del
espec o po la izquie da de una ma iz cua e ni´onica a bi a ia. Dedicamos la Sec-
ci´on 1.3 a los esul ados conocidos en es e ´ambi o. Di emos que un cua e nio λ∈H
es un au o alo po la izquie da de M∈ Mn×n(H) si exis e alg´un ec o no nulo
∈Hn al que A =λ . En 1985, R.M.W. Wood demos ´o, usando m´e odos ho-
mo ´opicos, que cualquie ma iz cua e ni´onica iene al menos un au o alo en es e
sen ido [88]. Es a ez, el conjun o de los au o ec o es asociados a un au o alo po
la izquie da s´ı o man un subespacio ec o ial. Adem´as, el espec o po la izquie da
σl(M) es compac o, aunque no necesa iamen e ini o, ya que en cuan o al n´ume o
de au o alo es enemos un esul ado de L. Huang y W. So de 2001 [33] seg´un el cual
una ma iz M∈ M2×2(H) puede ene uno, dos o in ini os au o alo es. As´ımismo,
uno de es os au o es, W. So, hizo en 2005 un es udio caso po caso de las ma ices
3×3 cua e ni´onicas ob eniendo pa a cada caso di e en es polinomios cuyas a´ıces
son los au o alo es po la izquie da [77].
Pa ece na u al que pa a calcula au o alo es cua e ni´onicos sea necesa io sabe
halla las a´ıces de alg´un ipo de unci´on ca ac e ´ıs ica. Pe o ni siquie a es o es a ea
´acil pa a los polinomios cua e ni´onicos. Po aho a s´olo se ha p obado la ex ensi´on
del eo ema undamen al del ´algeb a a los polinomios cua e ni´onicos bila e ales con
un ´unico ´e mino de mayo g ado [14] y sabemos que no puede e i ica se pa a cual-
quie polinomio cua e ni´onico ya que, po ejemplo, xna−axn−1 es un polinomio
que no iene ninguna a´ız en H. Recogemos en la Subsecci´on 1.4.2 el m´e odo que
desa olla on L. Huang y W. So [34] pa a halla las a´ıces de un polinomio cua e -
xxi

ni´onico m´onico unila e al del ipo x2+bx +c; lo u ilizan pa a pode calcula los
au o alo es de las ma ices 2 ×2.
La de inici´on de au o alo po la izquie da es equi alen e a que Sde (M−λI) = 0.
Es p ecisamen e es a p opiedad la que nos da ´a la cla e pa a cons ui una unci´on
ca ac e ´ıs ica µy es udia el espec o po la izquie da ya que al calcula la di e en-
cial de la unci´on ca ac e ´ıs ica ob enemos ecuaciones lineales cua e ni´onicas. En el
caso de o den 2 la di e encial es del ipo ecuaci´on de Syl es e , αx +xβ =γpo
lo que ecogemos en la Subsecci´on 1.5.1 el modo de esol e la y en 1.5.2 el m´e o-
do de D. Jano sk´a y G. Op e [46] pa a discu i la. Gene alizamos es e m´e odo en
la Subsecci´on 1.5.3 pa a adap a lo a la si uaci´on de la linealizaci´on de la unci´on
ca ac e ´ıs ica en o den 3.
Espacios sim´e icos
Da emos una isi´on gene al de los espacios sim´e icos en el Cap´ı ulo 2, de e-
ni´endonos un poco m´as en la es uc u a del modelo de Ca an, en el cual cons ui-
emos abie os ca eg´o icos.
Un espacio sim´e ico Riemanniano puede pensa se como una a iedad di e encia-
ble al que en cada pun o la in e si´on geod´esica es una sime ´ıa. Desde un pun o de
is a m´as global, un espacio sim´e ico es un G-espacio homog´eneo G/H pa a alg´un
g upo de Lie G, al que el es abilizado de un pun o, H, es un subg upo abie o del
conjun o de pun os ijos de una in oluci´on de σ:G→G. Es a de inici´on incluye an-
o los espacios globalmen e sim´e icos Riemannianos como los pseudo-Riemannianos
y los do ados simplemen e de una conexi´on a ´ın.
Desde un pun o de is a geom´e ico, los espacios localmen e sim´e icos se ca ac-
e izan po que la conexi´on es sin o si´on y la cu a u a es pa alela.
Si a cada “pa sim´e ico” (G, K, σ) le asociamos el “pa ” (g,h, s) o mado po
sus ´algeb as de Lie y el mo ismo inducido enemos el espacio globalmen e sim´e ico
desc i o algeb aicamen e. En es a in e p e aci´on algeb aica se bas´o E. Ca an pa a
es ablece la clasi icaci´on de los posibles espacios sim´e icos Riemannianos, i edu-
cibles, compac os de ipo cl´asico que ecogemos en la Tabla de 2.3.1.
Una he amien a que ha mos ado se muy ´u il a la ho a de es udia unciones
de Mo se en espacios sim´e icos ( e´anse, po ejemplo, los abajos de S. Ramanujam
[68] o H. Kadzisa y M. Mimu a [49]) es el modelo de Ca an. Nos pe mi e embebe
el espacio sim´e ico G/K ∼
=Men el g upo Gal in e p e a la a iedad M={h∈
G:h=gσ(g)−1, g ∈G}como una sub a iedad de G, de hecho la componen e
conexa del neu o de N={g∈G:σ(g) = g−1}. Es e modo de abaja con un
espacio sim´e ico se ´a imp escindible pa a es ablece la ca a local del Teo ema 6.2.1.
An es de e mina es e Cap´ı ulo ecoge emos como ejemplos los casos U(n)/O(n),
xxii
SO(2n)/U(n), Sp(n)/U(n) y U(2n)/Sp(n) es ableciendo pa a cada uno de ellos el
au omo ismo σy las a iedades MyN.
Funciones de Mo se. Es amos in e esados en las unciones de Bo -Mo se po -
que, como e emos, la ans o maci´on de Cayley pe mi e da una ca a local del
conjun o de pun os c ´ı icos a pa i del n´ucleo del hessiano de es as unciones. Es o
es impo an e po que el conjun o de pun os c ´ı icos es ´a elacionado con la ca ego ´ıa
LS de la a iedad. De hecho, M. Reeken [70] p ueba que ca M≤ca Σ, donde Σ
deno a el conjun o de pun os c ´ı icos de una unci´on di e enciable en la a iedad M.
La eo ´ıa de Mo se p opo ciona ´ecnicas que pe mi en analiza de modo e icien e
la es uc u a homo ´opica de una a iedad di e enciable es udiando las p opiedades
de de e minadas unciones di e enciables sob e esa a iedad. Nos pe mi e encon-
a la es uc u a celula de un CW-complejo [59] y ob ene in o maci´on sob e su
cohomolog´ıa [12].
Como puede e se en los abajos de T. F ankel [23] y S. Ramanujam [68], las
unciones de es e ipo que se han conside ado cl´asicamen e en los g upos de Lie y
espacios homog´eneos han sido las unciones al u a odis ancia. Conside emos hla
unci´on al u a en elaci´on a un hipe plano an o en un g upo de Lie Ginme so en un
espacio eucl´ıdeo como en el modelo de Ca an de un espacio sim´e ico Membebido
en G. Puede p oba se que, sal o desplazamien os, hes la pa e eal de la aza y es
una unci´on de Bo -Mo se, hX(A) = <T (XA). Calcula emos el g adien e g ad hX;
es o nos pe mi i ´a a i ma que un pun o A∈Ges c ´ı ico pa a la unci´on al u a en
el g upo hG
Xsi y s´olo si X∗=AXA. Tambi´en ob end emos el hessiano pa a es e
ipo de pun os.
Resul ados
T ans o maci´on de Cayley
Al comienzo del Cap´ı ulo 4 ecogemos b e emen e la de inici´on y p incipales
p opiedades de la ans o maci´on de Cayley cl´asica.
La ans o maci´on de Cayley cl´asica ces ´a de inida en el abie o Ω o mado po
la ma ices cuyo espec o no con iene al −1. La in odujo A. Cayley en 1846 [5] como
un modo de exp esa una ans o maci´on o ogonal en coo denadas an isim´e icas.
Viene dada po
c(X) = I−X
I+X
y es in olu i a. Se ´a de u ilidad pa a pasa de un g upo de Lie Ga su ´algeb a de
Lie gy ice e sa.
xxiii
En p incipio, cse de ine en los g upos o ogonales cl´asicos O(n), U(n) y Sp(n).
Deno a emos po On(K) a es os g upos o mados po ma ices ales que AA∗=I
con K=R,C´o H. Su ´algeb a de Lie es ´a o mada po las ma ices an ihe m´ı icas
(an isim´e icas). Es sencillo comp oba que es as ma ices no ienen au o alo es
eales no nulos, p opiedad indispensable pa a pode es ablece el di eomo ismo del
Teo ema 6.2.1 en e el abie o de Cayley y el espacio angen e.
In oducimos a con inuaci´on una gene alizaci´on de la aplicaci´on de Cayley que
es ap opiada pa a ob ene un ecub imien o po abie os ca eg´o icos de los g upos
de Lie o ogonales. Viene dada po cA(X) = c(A∗X)A∗=A∗c(XA∗) y es ´a de inida
en el abie o Ω(A)⊂ Mn×n(K) de las ma ices X ales que A+Xes in e sible.
Ob enemos pa a es a gene alizaci´on p opiedades an´alogas a las de la ans o maci´on
cl´asica c(que co esponde al caso A=I). En pa icula e emos que la in e sa de la
ans o maci´on de Cayley cen ada en A,cA, es (cA)−1=c∗
A. Es a p opiedad esul a
pa icula men e in e esan e po que a pa i de ella da emos el Teo ema 4.3.2 po el
que cAes ablece un di eomo ismo en e el abie o Ω(A)∩Gy el espacio angen e
TA∗G. Es e esul ado nos pe mi e po an o ob ene abie os con ´ac iles en el g upo.
En el m´e odo que p oponemos en el Cap´ı ulo 8 pa a calcula la ca ego ´ıa LS,
siguiendo a W. Singho [74, 75], u iliza emos pa a ecub i el g upo abie os del ipo
Ω(λ) o mados po las ma ices A ales que A−λI es in e sible. La ans o maci´on
de Cayley gene alizada cAnos pe mi i ´a p oba que es os abie os son con ´ac iles
en los g upos de Lie o ogonales.
Po o o lado, e emos que cAnos pe mi e linealiza el lujo del g adien e de
las unciones al u a hX an o en los g upos de Lie como en los espacios sim´e icos.
Una consecuencia es que pe mi e y da una ca a local pa a el conjun o de pun os
c ´ı icos modelada po el n´ucleo del Hessiano ( e Subsecci´on 6.2) .
En o den a ob ene la ca ego ´ıa LS de los espacios sim´e icos nos plan eamos si es
posible aplica es a misma ´ecnica en el ´ambi o de es os espacios. Pasamos en onces
a demos a que es posible ex ende la ans o maci´on de Cayley gene alizada a los
espacios sim´e icos, pa a lo que es esencial el Lema 4.4.1, que es ablece que pa a
odo elemen o Ade un g upo Gen el que es ´e de inido un au omo ismo in olu i o
que es la es icci´on de R-´algeb as σse e i ica que
cσ(A)◦σ=σ◦cA.
Teniendo en cuen a que el modelo de Ca an de un espacio sim´e ico del ipo G/K
iene dado po M={h∈G:h=gσ(g)−1, g ∈G}y que el au o ismo σes
R-lineal pa a odos los espacios sim´e icos i educibles simplemen e conexos de la
clasi icaci´on de ´
E. Ca an, en la Subsecci´on 4.4.2 u iliza emos el Lema 4.4.1 pa a
xxi
p oba que los abie os Ω(A)∩Men el modelo de Ca an Mde un espacio sim´e ico
son con ´ac iles.
Funciones de Mo se
En el Cap´ı ulo 6 analiza emos el compo amien o de las unciones al u a hM
Xen
el modelo de Ca an de un espacio sim´e ico M. S. Ramanujam es ableci´o en [68]
un es udio caso po caso de la unci´on de T. F ankel hIen de e minados espacios
homog´eneos. Sin emba go, el Lema 4.4.1 nos pe mi i ´a es udia al mismo iempo
odas las unciones al u a en los espacios sim´e icos.
Desc ibi emos en p ime luga el espacio angen e TAMy calcula emos el g a-
dien e g ad hM
X. La di icul ad a la ho a de ob ene el g adien e de es as unciones
al u a es que, sal o en algunos casos pa icula es como los que ecogen A.P. Dynni-
ko e I.A. Veselo en [82], el g adien e de hM
Xno es simplemen e la es icci´on del
g adien e de la unci´on en el g upo hG
XaM. De hecho, en la Subsecci´on 6.2.4 desa-
olla emos un ejemplo de una unci´on pa a la que Σ(hG
X)∩M=∅y sin emba go, esa
misma unci´on al u a en el modelo de Ca an s´ı iene pun os c ´ı icos, Σ(hM
X)6=∅.
Ob end emos que
(g ad hM
X)(A) = 1
4b
X−Aσ(b
X)A,
donde b
X=X∗+σ(X), exp esi´on que nos pe mi e ca ac e iza los pun os c ´ı icos y
comp oba que pa a un espacio sim´e ico M∼
=G/K,A∈Mes un pun o c ´ı ico de
la unci´on al u a en el modelo de Ca an hM
Xsi y solo si es un pun o c ´ı ico de hG
σ(
b
X)
( e Teo ema 6.1.7).
Calcula emos el ope ado Hessiano de hM
Xen la Subsecci´on 6.1.3 y e emos que
la ans omaci´on de Cayley gene alizada cAnos pe mi e “linealiza ” el lujo del
g adien e de hM
X. Pa a g upos de Lie y pa a el caso pa icula A=Ies a idea
apa ece en K. Volchenko y A. Kozachko [84]. En conc e o, es posible in eg a la
ecuaci´on di e encial del g adien e,
4α0=b
X−ασ(b
X)α,
con i i´endola, median e Cayley, en una ecuaci´on di e encial
β0= (−1/4) βb
XA∗+A∗b
Xβ
en el ´algeb a de Lie, que es posible esol e expl´ıci amen e. Lo ha emos en la Sub-
secci´on 3.3.4.
xx
odo Sp(2). De odas o mas, en 8.8.4 damos cinco abie os con ´ac iles de es e ipo
que s´ı ecub en el g upo.
Los esul ados ob enidos en los cap´ı ulos an e io es se ´an de u ilidad ambi´en
pa a es udia la ca ego ´ıa de algunos espacios sim´e icos con una m´e ica k¨ahle . La
co a in e io que se usa en es e caso es la longi ud del cup p oduc o [60], ya que la
exis encia de una o ma simpl´ec ica no degene ada hace que sea l.c.p = dim X/2. Po
o a pa e, la co a supe io es ambi´en dim X/2 si el espacio es simplemen e conexo.
Po ejemplo, conside emos Sp(2)/U(2). Es e espacio sim´e ico es di eomo o a la
G assmaniana eal SO(5)/(SO(2) ×SO(3)), de dimensi´on 6, con lo que enemos
que ca (Sp(2)/U(2)) = 3. En 8.9.1 ob end emos que {ΩM(±iI),ΩM(±E)}, donde
E= diag(i,−i), o ma un ecub imien o ca eg´o ico expl´ıci o del modelo de Ca an
de Sp(2)/U(2).
En el caso de Sp(3)/U(3), que ambi´en posee una es uc u a he m´ı ica, la ca e-
go ´ıa es ca Sp(3)/U(3) = 3(3 + 1)/2 = 6. En es e caso s´olo podemos p opo ciona
un ecub imien o po ocho abie os con ´ac iles que ecub en el modelo de Ca an
de es e espacio sim´e ico. Tan o en es e caso como en el an e io la comp obaci´on de
que se iene un ecub imien o u iliza las exp esiones pa a el de e minan e de S udy
de las ma ices de o den 2 y 3 ob enidas en 7.2.3 y 7.2.4.
Al inal de la Memo ia ecogemos o as posibles aplicaciones, ue a del ´ambi o de
la ca ego ´ıa LS, de los esul ados ob enidos . La p ime a de ellas (Subsecc. 8.10.1),
es ablece un m´e odo sencillo pa a calcula los au o alo es po la izquie da de las
ma ices simpl´ec icas de o den 2 usando la ans o maci´on de Cayley; p opo ciona
ambi´en los au o ec o es asociados. La segunda, es ablece la o ma de las ma ices
2×2 an ihe m´ı icas con in ini os au o alo es ( e 8.10.1).
Pa icula men e impo an e se ´ıa pode aplica nues o es udio de las unciones
de Bo -Mo se a la descomposici´on pola gene alizada de la Subsecci´on 8.10.2. En
e ec o, en los g upos de Lie es bien conocido que la pa e uni a ia Ude la des-
composici´on pola X=SU co esponde al alo m´ınimo en el g upo uni a io de la
unci´on al u a hX. De es e modo, a ios m´e odos num´e icos basados en el “descenso
del g adien e”si en pa a calcula Udada X. En nues o caso, al esol e expl´ıci a-
men e las ecuaciones del g adien e pa ece posible gene aliza ese m´e odo a cualquie
espacio sim´e ico. Po o a pa e, se ´ıa de g an u ilidad ob ene esul ados gene ales
pa a una descomposici´on de es e ipo compa ible con el modelo de Ca an, pues o
que, con o me a lo es udiado en el Cap´ı ulo 6, nos pe mi i ´ıa da una ca ac e izaci´on
gene al de las unciones al u a en un espacio sim´e ico que son de Mo se.
xxxii

Pa e I
P elimina es
1
Cap´ı ulo 1
´
Algeb a lineal cua e ni´onica
El ´algeb a lineal sob e los cua e nios no es una simple gene alizaci´on del caso
complejo. Si se conside a la es uc u a de H-espacio ec o ial po la de echa s´ı hay
muchas analog´ıas. Po ejemplo, podemos ex ende las descomposiciones cl´asicas co-
mo son la descomposici´on en alo es singula es o la descomposici´on pola . Sin em-
ba go, la no conmu a i idad de los cua e nios hace que su jan algunas di icul ades;
de en e ellas, las m´as se˜naladas son la ausencia de de e minan e y el hecho de que
los au o ec o es asociados a un au o alo po la de echa no o man un subespacio
ec o ial.
Los au o alo es po la de echa es ´an muy es udiados [2] y su c´alculo es sencillo.
Dada una ma iz cua e ni´onica Mdi emos que un cua e nio q∈Hes un au o alo
po la de echa de Msi exis e alg´un ec o no nulo ∈Hn al que M = q. El
compo amien o de es e ipo de au o alo es es an´alogo al caso complejo; de hecho,
podemos diagonaliza ma ices no males.
En nues o caso el es udio de los au o alo es cua e ni´onicos se debe a la in enci´on
de ex ende al g upo simpl´ec ico Sp(n) el m´e odo que u iliza W. Singho [74, 75]
pa a calcula la ca ego ´ıa LS del g upo uni a io U(n). Es e m´e odo u iliza abie os
con ´ac iles o mados po ma ices Aque e ican una condici´on del ipo A−λI in-
e sible. Sin emba go, es a condici´on no gua da ninguna elaci´on con los au o alo es
po la de echa sino con los au o alo es po la izquie da. Un cua e nio λes au o alo
po la izquie da de M∈ Mn×n(H) si y solo si M−λI es no in e sible.
A di e encia del espec o po la de echa, el espec o po la izquie da no es sen-
cillo de es udia y, po aho a, se ienen muy pocos esul ados. En es e caso, los
au o ec o es s´ı o man un subespacio ec o ial. Su es udio es complicado y, como
e emos, el compo amien o de los au o alo es po la izquie da es muy di e en e al
caso complejo. En 1985 R. M .W. Wood p ob´o que el espec o po la izquie da de
cualquie ma iz cua e n´onica es no ac´ıo [88]. Es a demos aci´on u iliza m´e odos
3
4 I. 1 ´
Algeb a lineal cua e ni´onica
homo ´opicos y po el momen o no se conoce ninguna p ueba m´as sencilla. En cuan o
al n´ume o de au o alo es, solo enemos un esul ado de L. Huang y W. So seg´un el
cual una ma iz cua e ni´onica de o den 2 puede ene uno, dos o in ini os au o alo es
po la izquie da [33]. Pa a ´o denes supe io es ni siquie a se sabe si una ma iz de
o den npuede ene un espec o ini o o mado po m´as de nelemen os. O a de
las di icul ades es que el espec o po la izquie da no es in a ian e po semejanza, es
deci , las ma ices MyUMU∗pueden ene au o alo es dis in os. Adem´as, los es-
pec os po la izquie da y po la de echa, en p incipio, no gua dan ninguna elaci´on,
a no se que la ma iz o los au o alo es sean eales.
En es e Cap´ı ulo ecogemos las p incipales nociones del ´algeb a lineal (po la
de echa) cua e ni´onica. La mayo pa e de es os esul ados se ´an necesa ios a lo
la go de la Memo ia. En o os casos se i ´an pa a hace e la di icul ad del es udio
de los au o alo es po la izquie da.
1.1. Resul ados b´asicos
1.1.1. Cua e nios
Los cua e nios H o man un ´algeb a no conmu a i a sob e R, asocia i a y con
uno. Es un anillo de di isi´on
H={ +xi+yj+zk: , x, y, z ∈R},
donde
i2=j2=k2=−1,ij =−ji =k,jk =−kj =i,ki =−ik =j.
Si q= +xi+yj+zk∈Hdeno a emos
<(q) = ,
=(q) = xi+yj+zk
las pa es eal e imagina ia de q espec i amen e. El conjugado de qes
q= −xi−yj−zk.
Puede e se un buen esumen de odas sus p opiedades en el a ´ıculo de F. Zhang
[90].
De inici´on 1.1.1. Se dice que q, q0∈Hson simila es si exis e alg´un cua e nio no
nulo u al que q0=uqu−1.
1.1.2 El espacio cua e ni´onico Hn5
Teo ema 1.1.2. Dos cua e nios son simila es si y solo si ienen la misma no ma
y la misma pa e eal. En pa icula ,
1. odo cua e nio qes simila a su conjugado q;
2. odo cua e nio q∈Hes simila a un complejo, <(q)±|=(q)|i.
Deno a emos po H0∼
=R3el espacio ec o ial eal de los cua e nios con pa e eal
nula. Aqu´ı el p oduc o escala iene dado po hξ, ξ0i=−<(ξξ0). Una base o ono mal
pa a es e p oduc o es {i,j,k}. Si ξ∈H0 enemos que ξ=−ξyξ2=−|ξ|2.
El conjun o de los ec o es de H0con no ma 1 coincide con el de los cua e nios
simila es a la unidad imagina ia i.
1.1.2. El espacio cua e ni´onico Hn
Si que emos ob ene en es e ´ambi o los esul ados habi uales pa a ma ices aso-
ciadas a una aplicaci´on lineal, es necesa io conside a el espacio cua e ni´onico Hn
como un H-espacio ec o ial po la de echa.
El p oduc o he m´ı ico que u iliza emos en Hnes hu, i=u∗ .
1.1.3. Ma ices cua e ni´onicas
Dada una ma iz M∈ Mn×n(H), deno a emos po Ma su conjugada, MTa la
ma iz aspues a de MyM∗= (M)T.
De inici´on 1.1.3. Di emos que M∈ Mn×n(H) es no mal si MM∗=M∗M,
he m´ı ica si M∗=M,an ihe m´ı ica si M∗=−Mysimpl´ec ica o uni a ia si
M∗M=I; donde Ideno a la ma iz iden idad de o den n.
F. Zhang ecoge en [90] las p incipales p opiedades de las ma ices cua e ni´onicas.
1.1.4. Fo ma compleja de una ma iz cua e ni´onica
Dada Muna ma iz cua e ni´onica de o den n×npuede exp esa se de o ma
´unica como M=X+jYcon X, Y ∈ Mn×n(C).
De inici´on 1.1.4. Llamamos o ma compleja de M∈ Mn×n(H) a
(1.1) c(M) = X−Y
Y X ∈ M2n×2n(C).

6 I. 1 ´
Algeb a lineal cua e ni´onica
La base de C2n∼
=Hncomo C-espacio ec o ial que aqu´ı se u iliza es
{e1, . . . , en,je1,...,jen}
con {e1, . . . , en}los ec o es de la base can´onica de Hn.
Es e modo de exp esa las ma ices de Mn×n(H) es bas an e e ec i o pues pe -
mi e ap o echa muchas de las p opiedades de las ma ices complejas. De nue o
F. Zhang ecopila es as p opiedades en [90].
P oposici´on 1.1.5. Sean M, N ∈ Mn×n(H), en onces:
1. c(M+N) = c(M) + c(N);
2. c( M) = c(M)pa a ∈R;
3. c(M·N) = c(M)·c(N); en pa icula , c(M)es in e sible sii Mes in e sible;
4. c(M∗) = c(M)∗;
5. c(M)es uni a ia, he m´ı ica o no mal sii Mes uni a ia, he m´ı ica o no mal
espec i amen e;
6. de c(M)≥0es un n´ume o eal no nega i o.
1.1.5. Au o alo es po la de echa
La eo ´ıa de au o alo es po la de echa de ma ices cua e ni´onicas es ´a bien es a-
blecida, como puede e se, en e o os, en [2, 4, 90]. La exis encia de es os au o alo es
se p ueba algeb aicamen e pe o, ecien emen e, A. Bake [2] ha p opo cionado un
a gumen o opol´ogico basado en el eo ema del pun o ijo de Le sche z.
Sin emba go, a la ho a de abaja con ellos, hay que ene la p ecauci´on de que
los au o ec o es asociados a un au o alo po la de echa no o man un H-espacio
ec o ial (po la de echa).
De inici´on 1.1.6. Se dice que un cua e nio q∈Hes un au o alo po la de echa
de la ma iz M∈ Mn×n(H) si exis e un ec o ∈Hn, 6= 0, al que M = q.
P oposici´on 1.1.7. Sea q∈Hun au o alo po la de echa de M∈ Mn×n(H).
En onces, cualquie cua e nio simila a qes ambi´en au o alo de M. En conc e o,
si es un q-au o ec o , dado x∈Hno nulo, x es un (x−1qx)-au o ec o de M.
Demos aci´on. M( x)=(M )x= qx = ( x)x−1qx.
1.1.6 Diagonalizaci´on de ma ices no males 7
Queda cla o pues que, con es a de inici´on, el conjun o Σ(q) de au o ec o es aso-
ciados a un au o alo qno es un subespacio ec o ial pues, dados , 0∈Σ(q), la
suma se man iene den o de Σ(q) pe o el p oduc o po escala es no.
La siguien e p oposici´on, consecuencia de las p opiedades is as has a aho a,
mues a que el c´alculo de los au o alo es po la de echa de una ma iz cua e ni´onica
es bas an e sencillo.
P oposici´on 1.1.8. Los au o alo es po la de echa de una ma iz M∈ Mn×n(H)
son los cua e nios simila es a los au o alo es complejos de su o ma compleja c(M).
N´o ese que pa a una ma iz compleja del ipo c(M) = X−Y
Y X de o den
2n×2ncada ez que apa ece un au o alo apa ece ambi´en su conjugado, de modo
que, como mucho, end ´a nau o alo es no conjugados.
Co ola io 1.1.9. Mno puede ene m´as de nau o alo es no simila es.
Ejemplo 1.1.10. Sea M=0−1
1 0 .Se comp ueba di ec amen e que sus au o-
alo es cua e ni´onicos son las soluciones de la ecuaci´on q2=−1, es deci , odos los
elemen os de Hsimila es a q=i, que son los cua e nios de m´odulo 1 en hi,j,ki.
Teo ema 1.1.11. Sean M, N ∈ Mn×n(H)ma ices semejan es, es deci , ales que
N=BMB−1con Buna ma iz cuad ada in e sible. En onces MyN ienen los
mismos au o alo es po la de echa.
1.1.6. Diagonalizaci´on de ma ices no males
Veamos aho a que oda ma iz no mal puede diagonaliza se. U iliza emos la
siguien e gene alizaci´on del lema de Schu .
Lema 1.1.12. Toda ma iz cua e ni´onica es iangula izable po una ma iz simpl´ec i-
ca.
Es e esul ado ue p obado po J.L.B enne en [4, p.331].
Teo ema 1.1.13. Una ma iz cua e ni´onica es diagonalizable si y solo si es no mal.
Demos aci´on. Sea M∈ Mn×n(H) al que MM∗=M∗M. Po el Lema 1.1.12, exis-
en ma ices T iangula supe io y Uuni a ia ales que M=UTU∗. Despejando
Ten la igualdad an e io , T=U∗MU y as´ı,
TT∗= (U∗MU)(U∗M∗U) = U∗MM∗U=
U∗M∗UU∗MU = (U∗MU)∗(U∗MU) = T∗T.
8 I. 1 ´
Algeb a lineal cua e ni´onica
Es deci , Tes una ma iz no mal. Adem´as, como Tes iangula supe io , de
es a igualdad ob enemos pa a i= 1, . . . , n que
| ii|2=| ii|2+| ii+1|2+···+| in|2
po an o, ij = 0 siemp e que j > i, luego Tes diagonal.
Se deduce de los esul ados que hemos ecogido sob e los au o alo es po la
de echa que las ma ices cua e ni´onicas no males no s´olo son diagonalizables sino
que se pueden diagonaliza a una ma iz compleja. Tambi´en pueden ex ende se al
´ambi o cua e ni´onico las siguien es descomposiciones cl´asicas de ma ices.
1.1.7. Descomposici´on pola
Es ´acil comp oba que los au o alo es de una ma iz he m´ı ica son eales. Cuan-
do ´es os son no nega i os decimos que la ma iz es semide inida posi i a.
Teo ema 1.1.14. Dada M∈ Mn×n(H)exis en una ma iz cua e ni´onica he m´ı ica
semide inida posi i a Hy una ma iz cua e ni´onica uni a ia U ales que
M=HU.
Adem´as, si Mes de ango m´aximo, es as ma ices son ´unicas.
Zhang p ueba es e eo ema en [90]. U iliza que MM∗es una ma iz no mal y, po
an o, diagonalizable a una ma iz cuyas en adas son los cuad ados de los alo es
singula es de M. Despu´es aplica el eo ema de descomposici´on pola en M2n×2n(C)
a la o ma compleja de M,
c(M) = AB
con A, B ∈ M2n×2n(C) ales que Aes he m´ı ica semide inida posi i a y Buni-
a ia. Finalmen e, comp ueba que A=c(H) y B=c(U) pa a HyUma ices
cua e ni´onicas ales que Hes he m´ı ica semide inida posi i a y Uuni a ia.
1.1.8. Descomposici´on SVD
Pa a cualquie ma iz cua e ni´onica Men Mn×n(H) la ma iz M∗Mes he m´ı ica
y odos sus au o alo es son eales no nega i os. Adem´as, M∗MyMM∗ ienen los
mismos au o alo es.
De inici´on 1.1.15. Sea M∈ Mn×n(H). Las a´ıces cuad adas no nega i as de los
nau o alo es de M∗Mson los alo es singula es de M.
1.2 De e minan e de S udy 9
Lema 1.1.16. Pa a M∈ Mn×n(H), es un alo singula de Msii exis en ec o es
u, 6= 0 ales que M = u,M∗u= .
De la ex ensi´on del eo ema de descomposici´on pola a los cua e nios se deduce
la descomposici´on en alo es singula es pa a ma ices cua e ni´onicas.
Teo ema 1.1.17. Sea M∈ Mn×n(H)una ma iz de ango . En onces exis en dos
ma ices U, V ∈ Mn×n(H)uni a ias ales que
UMV =D 0
0 0
donde D = diag(d1, . . . , d )con dilos alo es singula es posi i os de M.
En pa icula , si Mes de ango m´aximo, podemos oma
D= diag(d1, . . . , dn),
Uuna ma iz uni a ia cuyas columnas sean au o ec o es de MM∗yVuna uni a ia
cuyas columnas sean au o ec o es de M∗M. En onces
M=UDV ∗.
1.2. De e minan e de S udy
No es ´acil ex ende a Hla noci´on de de e minan e debido a la no conmu a i idad
de los cua e nios. El p ime o en p opone un uncional an´alogo pa a las ma ices
cua e ni´onicas ue A. Cayley en el a˜no 1845, pe o no log ´o gene aliza las p opiedades
del de e minan e usual. Has a 75 a˜nos despu´es no hubo ning´un a ance signi ica i o.
En la segunda edici´on del Elemen s o Qua e nions de W.R. Hamil on, de 1889, el
edi o a˜nadi´o un ap´endice sob e es e ema pe o no e a m´as que una eelabo aci´on
del a ´ıculo de Cayley. Diez a˜nos m´as a de apa ece un a ´ıculo de J.M. Pie ce que,
de nue o, no pasa de una cuidada es uc u aci´on de la eo ´ıa del de e minan e de
Cayley. Po in, en 1920, E. S udy p opone ans o ma una ma iz cua e ni´onica
n×nen una compleja 2n×2ny a ´es a ´ul ima hace le el de e minan e complejo.
Se obse a, sin emba go, que no es posible gene aliza a los cua e nios la noci´on
de de e minan e ya que, necesa iamen e oma ´a alo es en R. S´ı se puede gene aliza
el m´odulo del de e minan e, |de |(es deci , con alo es eales), y es o es lo que hizo
E. S udy. En [1] y [7] H. Aslaksen y N.Cohen espec i amen e esumen la eo ´ıa
gene al de los de e minan es cua e ni´onicos.
16 I. 1 ´
Algeb a lineal cua e ni´onica
1.2.4. Quaside e minan es
Los quaside e minan es pa a ma ices con en adas en un anillo de di isi´on no
conmu a i o ue on in oducidos po I. Gel and y V. Re akh en los a˜nos 90 y son
una he amien a ´u il en ´algeb a no conmu a i a ( e po ejemplo [27, 87]). Es os
au o es no se limi an a de ini un de e minan e cua e ni´onico sino que desa ollan
una eo ´ıa mucho m´as gene al en la que a an de da alg´un uncional que ex ienda
el de e minan e usual sob e un anillo de di isi´on.
Deno emos po Mi,j la subma iz de o den (n−1)×(n−1) esul an e de sup imi
en M∈ Mn×n(H) la ila iy la columna j. En onces, pa a cada 1 ≤i, j ≤nse de ine
induc i amen e el quaside e minan e |M|ij ∈Hcomo sigue.
De inici´on 1.2.16. Dada M∈ Mn×n(H), pa a cada pa (i, j) con 1 ≤i, j ≤n, se
de ine el (i, j)-quaside e minan e de M como
|M|ij =mij −Xmiq(|Mi,j|pq)−1mpj,
donde la suma se oma sob e los p, q ∈ {1, . . . , n} ales que p6=i, q 6=j.
No a–. La de inici´on de quaside e minan e que dan I. Gel and e al. en [27] no es
del odo co ec a. La exp esi´on ecogida en es e a ´ıculo es
|M|ij =mij −Xmii0(|Mij|j0i0)−1xj0j
con i0∈I−{i}, j0∈J−{j}.
La de inici´on co ec a es la que hab´ıan dado ece a˜nos an es, en 1992 [28], que
hemos ecogido en la De inici´on 1.2.16.
Ejemplo 1.2.17. Pa a una ma iz de o den 2 hay cua o qde s. Sea M=m11 m12
m21 m22.
La exp esi´on pa a cada uno de sus qde s es:
|M|11 =m11 −m12m−1
22 m21,|M|12 =m12 −m11m−1
21 m22,
|M|21 =m21 −m22m−1
12 m11,|M|22 =m22 −m21m−1
11 m12.
Ejemplo 1.2.18. Pa a una ma iz de o den 3 hay nue e qde s. Po ejemplo, el
(2,1)-qde es
|M|21 =m21 −m22(m12 −m13m−1
33 m32)−1m11 −m22(m32 −m33m−1
13 m12)−1m31
−m23(m13 −m12m−1
32 m33)−1m11 −m23(m33 −m32m−1
12 m13)−1m31.

1.2.4 Quaside e minan es 17
Pues o que es a de inici´on in oluc a los in e sos de los quaside e minan es de
o den meno , es necesa io da una de inici´on pa a cuando alguno de ellos se anula.
La siguien e P oposici´on lo acla a ( e P op 1.5 de [28]).
P oposici´on 1.2.19. Dada M∈ Mn×n(H)el quaside e minan e |M|pq es ´a de ini-
do si al menos uno de los qde s de la ma iz Mpq es ´a de inido y no se anula. En
es e caso,
|M|pq =mpq −Xmpj|Mp,q|−1
ij miq,
donde la suma la omamos sob e odos los pa es (i, j), i 6=p, j 6=q, pa a los que el
de e minan e |Mp,q|ij es ´a de inido y no se anula.
Es e modo de hace los quaside e minan es nos p opo ciona la in e sa de la
ma iz. De hecho, cuando Mes in e sible, las en adas de la ma iz in e sa mij son
p ecisamen e los in e sos de los qde s aspues os, |M|−1
ji . En pa icula , cuando los
elemen os de la ma iz Mconmu an, enemos que
|M|−1
ji = (−1)i+jde Mj,i/de M.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 1.2.20. M=

i0 0
k j 0
−3 2k k


Al calcula los quaside e minan es ob enemos:
|M|11 =i|M|22 =j
|M|33 =k|M|12 = 1
|M|13 =−i(−3i+ 2j)−1k|M|23 =−1
2j.
En cambio, |M|21,|M|31 y|M|32 no exis en ya que en es os casos los |Mpq|ij o no
es ´an de inidos o se anulan.
La ma iz ob enida con los in e sos de los qde s es, e ec i amen e, la ma iz
in e sa de M:
M−1=
−i0 0
1−j0
−2−3k2j−k

.
La siguien e p oposici´on gene aliza el caso complejo y es ablece la elaci´on en e
los quaside e minan es y el de e minan e de S udy.
18 I. 1 ´
Algeb a lineal cua e ni´onica
P oposici´on 1.2.21. Pa a oda ma iz M∈ Mn×n(H)se e i ica que, siemp e que
exis a |M|pq,
Sde (Mp,q)||M|pq|= Sde (M)
donde Mpq es la ma iz esul an e de sup imi en Mla ila py la columna qy||M|pq|
es el m´odulo del (p, q)-qde .
Es a P oposici´on es un caso pa icula de la llamada iden idad de Jacobi que
comp oba emos en la Secci´on 1.2.5.
1.2.5. Iden idad de Jacobi
La llamada iden idad de Jacobi del de e minan e (a pesa de que en 1882 se
a ibuy´o a K onecke [63]) es una gene alizaci´on de la ´o mula
(1.2) (M−1)ij = (−1)i+jde Mj,i/de M.
Sea C∈ Mm×m(C) una ma iz compleja cuad ada de o den m. Sean I=
{i1, . . . , ip}yJ={j1, . . . , jp}subconjun os de {1, . . . , m}del mismo ama˜no p. De-
no amos po CI,J la subma iz o mada po las ilas con ´ındice en Iy las columnas
con ´ındice en J. Rec´ıp ocamen e, deno amos po CI,J la subma iz complemen a ia
ob enida sup imiendo las ilas en Iy las columnas en J.
Lema 1.2.22. Supongamos una ma iz compleja Cin e sible. En onces
de (C−1)I,J = (−1)I+Jde CJ,I/de C,
donde I+Jsigni ica i1+···+ip+j1+···+jp.
U iliza emos el de e minan e de S udy pa a es ablece un eo ema an´alogo en el
caso cua e ni´onico.
Teo ema 1.2.23. Supongamos una ma iz cua e ni´onica Min e sible. En onces
Sde (M−1)I,J = Sde MJ,I/Sde M,
pa a cualesquie a subconjun os de ´ındices IyJdel mismo ama˜no.
Demos aci´on. Si I={i1, . . . , ip}deno amos
I0=I+n={i1+n, . . . , ip+n};
1.2.5 Iden idad de Jacobi 19
an´alogamen e pa a J0=J+n. Como
c(M−1)I,J =c(M−1)I∪I0,J∪J0=c(M)−1I∪I0,J∪J0
y
c(MJ,I ) = c(M)J∪J0,I∪I0,
el esul ado se sigue del caso complejo, Lema 1.2.22.
Con odo es o encon amos el modo de gene aliza la ´o mula (1.2) a los cua e -
nios; bas a oma p= 1, I ={i}yJ={j}.
Teo ema 1.2.24. Sea M∈ Mn×n(H)una ma iz cua e ni´onica in e sible. Sea mij
la en ada (i, j)de la ma iz in e sa M−1. En onces su no ma iene dada po
|mij|= Sde (Mj,i)/Sde (M).
Ejemplo 1.2.25. Sea
M=

2i−j3j i −3k
i+ 2k i −k2i
−j3k j

.
Calculando los quaside e minan es ob enemos que su ma iz in e sa es
M−1=1
77 
−27 + 12i+ 17j+ 42k18 + 36i+ 18j−39k−28i+ 42j−42k
−16 −24i−13j−15 + 5i+ 27j+ 22k28 −7i+ 189j−7k
45 −36i+ 17j+ 3k3−9i−48j+ 42k21 + 56i−14j

.
Po ejemplo, el quaside e minan e (3,1) de Mes
|M|31 =1
2i−3
4j+3
4k,
y la no ma de su in e so es
kM|−1
31 |=|− 4i
11 +6j
11 −6k
11 |= 8
11
mien as que
Sde M1,3= 2|i+ 3j+ 2k|= 2√14 = √56
y
Sde M=√77.
20 I. 1 ´
Algeb a lineal cua e ni´onica
Tomemos aho a, po ejemplo, I={1,2}yJ={1,3}. En onces MJ,I = (2i) y
Sde AJ,I = 2, mien as que
(M−1)IJ =1
77 −27 + 12i+ 17j+ 42k−28i+ 42j−42k
−16 −24i−13j28 −7i+ 189j−7k
y
Sde (M−1)IJ =2
√77.
1.3. Au o alo es po la izquie da
La eo ´ıa de au o alo es po la izquie da de ma ices cua e ni´onicas es ´a muy
poco desa ollada. Un esul ado de R. M .W. Wood [88] ga an iza su exis encia pe o,
en gene al, no se sabe cu´an os au o alo es po la izquie da puede ene una ma iz
cua e ni´onica de o den n×n. L. Huang y W. So p oba on que una ma iz cuad ada
de o den 2 puede ene uno, dos o in ini os au o alo es (pe enecien es a di e en es
clases de simili ud) y ca ac e iza on es e ´ul imo caso [33].
F. Zhang ecoge en [90, 91] sus p incipales p opiedades y algunos ejemplos pa-
ol´ogicos; puede e se ambi´en [32]. El p opio Zhang plan ea como cues i´on abie a
cu´an os au o alo es po la izquie da puede ene una ma iz cua e ni´onica cuad ada
y sugie e in es iga su espec o po la izquie da.
1.3.1. Au o alo es de una ma iz
De inici´on 1.3.1. Sea Muna ma iz cua e ni´onica de o den n. Se dice que λ∈H
es un au o alo po la izquie da de Msi exis e un ∈Hn, 6= 0, al que
M =λ .
Llamamos σl(M) al espec o po la izquie da de la ma iz M.
El in e ´es de es a de inici´on adica en que es equi alen e al hecho de que la ma iz
M−λI sea singula , es deci , pa a es o no si en los au o alo es po la de echa (en
el caso conmu a i o no se da es a su ileza). De acue do con las p opiedades del
de e minan e de S udy enemos
P oposici´on 1.3.2. Los au o alo es po la izquie da de M∈ Mn×n(H)son las
a´ıces de la ecuaci´on Sde (M−λI) = 0.
En es e caso:
1.3.1 Au o alo es de una ma iz 21
P oposici´on 1.3.3. El conjun o de los au o ec o es asociados a un au o alo po
la izquie da λ o ma un subespacio ec o ial (po la de echa).
Demos aci´on. Sean λun au o alo de la ma iz M∈ Mn×n(H), , 0dos λ-
au o ec o es y q∈H; se e i ica en onces que
M( q)=(M )q= (λ )q=λ( q),
M( + 0) = M +M 0=λ( + 0).
P oposici´on 1.3.4. El espec o po la izquie da de una ma iz cua e ni´onica M∈
Mn×n(H)es compac o.
Demos aci´on. De acue do con la P oposici´on 1.3.2, σl(M) es ce ado po se la
imagen ec´ıp oca de un ce ado po una aplicaci´on con inua ya que la aplicaci´on
o ma compleja, el de e minan e complejo y la a´ız cuad ada del alo absolu o son
aplicaciones con inuas.
Adem´as, σl(M) es aco ado. Sea λ∈σl(M), en onces
|λ|=|λ |
| |≤sup
|w|=1
|Mw|
|w|=kMk.
Recogemos aqu´ı el eo ema de exis encia de Wood [88].
Teo ema 1.3.5 (Wood, 1985).Toda ma iz cua e ni´onica de o den n×n iene al
menos un au o alo po la izquie da.
Demos aci´on. La p ueba es opol´ogica. En p ime luga , si M∈ Mn×n(H) es
singula , 0 ∈σl(M). As´ı que omamos Min e sible. Suponemos que M−λI ∈
GL(n, H),∀λ6= 0 y llegamos a una con adicci´on.
En e ec o, si M−λI es in e sible pa a odo λ∈H, podemos cons ui dos
homo op´ıas en GL(n, H) :
(λ) = M− λI,
g (λ) = M −λI.
Como 0(λ) = M, 1(λ) = M−λI =g1(λ) y g0(λ) = −λI, las aplicaciones 0yg0
son hom´o opas. Sin emba go, si las conside amos como aplicaciones de la es e a S3
en GL(n, H), en el e ce g upo de homo op´ıa π3GL(n, H)∼
=Zco esponden a los
en e os 0 y n[78], luego no pueden se hom´o opas.

22 I. 1 ´
Algeb a lineal cua e ni´onica
Ma ices 2×2
En cuan o al n´ume o de au o alo es solo enemos el siguien e eo ema de Huang
y So pa a ma ices 2 ×2 [33].
Teo ema 1.3.6. Una ma iz M=a b
c d∈ M2×2(H) iene uno, dos o in ini os
au o alo es po la izquie da. Es e ´ul imo caso se da si y s´olo si a0, a1∈R,a06= 0 y
∆ = a2
1−4a0<0, donde a0=−b−1cya1=b−1(a−d).
La demos aci´on de es e eo ema se basa en la esoluci´on de polinomios de g ado
dos que hicie on los mismos au o es en [34] y que discu i emos m´as adelan e.
Pa a es as ma ices, podemos calcula expl´ıci amen e el espec o po la izquie da.
Si la ma iz Mes iangula (es deci , bc = 0), los au o alo es de Mson los elemen os
de la diagonal. Pa a una ma iz Mno iangula Huang y So [33] ob u ie on el
siguien e esul ado que noso os p obamos de mane a di e en e.
P oposici´on 1.3.7. Si bc 6= 0, los au o alo es po la izquie da de M=a b
c d
son de la o ma λ=a+bp, donde pes cualquie soluci´on del polinomio cuad ´a ico
unila e al
(1.3) p2+a1p+a0= 0,
con a1=b−1(a−d)ya0=−b−1c.
Demos aci´on. Los au o alo es de M ienen dados po Sde (M−λI) = 0. En es e
caso, si λes un au o alo po la izquie da de M,λ6=a, d. En onces, u ilizando las
p opiedades de Sde podemos ans o ma la ma iz M−λI de mane a que
Sde (M−λI) = Sde a−λ b
0 (d−λ)−c(a−λ)−1b.
Es a ma iz se ´a no in e sible si y s´olo si
(d−λ)−c(a−λ)−1b= 0
es deci ,
(d−λ)b−1(a−λ) = c.
Si aho a hacemos el cambio p=b−1(λ−a) nos da el polinomio cuad ´a ico unila e al
que busc´abamos
−bp2+ (d−a)p−c= 0.
1.4 Polinomios cua e ni´onicos 23
No a–. Llama emos es ´e ico al caso en el que hay in ini os au o alo es po que, en
ese caso, el espec o
(1.4) σl(A) = {(1/2)(a+d+bq): q2= ∆}
es di eomo o a la es e a S2⊂H0=hi,j,ki.
Ma ices 3×3
Pa a o den 3 W. So hizo un es udio caso po caso seg´un las elaciones en e las
en adas de la ma iz [77]. Ob u o di e en es polinomios cua e ni´onicos de g ado
meno o igual que es ales que sus a´ıces son los au o alo es po la izquie da.
1.4. Polinomios cua e ni´onicos
No es sencillo halla las a´ıces de un polinomio cua e ni´onico. Uno de los p ime os
p oblemas que nos encon amos es que un polinomio bila e al puede ene a ios
´e minos del mismo g ado. Adem´as, ya no se e i ica que un polinomio enga an as
soluciones como indica su g ado; po ejemplo, la ecuaci´on x2=−1, que en Rno iene
soluci´on y en C iene dos, iene in ini as soluciones en el caso cua e ni´onico, oda una
es e a S2. Es o nos lle a a plan ea nos an o si odos los polinomios cua e ni´onicos
ienen a´ıces como, en el caso de ene las, cu´an as hay.
1.4.1. Teo ema undamen al
En 1941 I. Ni en p ueba [64], bas´andose en el algo i mo de la di isi´on, que oda
ecuaci´on del ipo
xn+a1xn−1+···+an= 0
iene alguna soluci´on. En ese mismo a ´ıculo p opo ciona un m´e odo (poco p ´ac ico)
pa a ob ene las a´ıces de polinomios de es e ipo, discu e el n´ume o de soluciones
y da una condici´on necesa ia y su icien e pa a que enga in ini as soluciones.
T es a˜nos m´as a de, S. Eilenbe g y el p opio Ni en [14] ex endie on el eo ema
undamen al del ´algeb a a los cua e nios pa a polinomios bila e ales pe o en el caso
pa icula de que el polinomio solo enga un ´e mino de mayo g ado.
Teo ema 1.4.1 (Eilenbe g y Ni en, 1944).Sea (x) = a0xa1x . . . xan+φ(x)donde
a0, a1, . . . , an∈Hno nulos y φ(x)es la suma de un n´ume o ini o de monomios
b0xb1x . . . xbkcon k < n. En onces la ecuaci´on (x) = 0 iene al menos una soluci´on.
24 I. 1 ´
Algeb a lineal cua e ni´onica
En es e caso la demos aci´on es opol´ogica. Ex ienden a oda la es e a S4
haciendo (∞) = ∞. Es a ex ensi´on es con inua p ecisamen e po que solo enemos
un monomio de mayo g ado. Cons uyen una homo op´ıa en e (x) y el monomio
g(x) = xnen S4. Po ´ul imo, e i ican que la unci´on ges de g ado ncomp obando
que ies un alo egula (ya que xn=i iene exac amen e nsoluciones).
Go don y Mo zkin p oba on en 1965 que un polinomio m´onico es ´anda (unila-
e al) de g ado n, o iene in ini as a´ıces o iene como mucho n a´ıces dis in as.
El eo ema undamen al no puede ex ende se a odos los polinomios cua e ni´oni-
cos ya que, po ejemplo, el polinomio xna−axn−1 no iene ninguna a´ız en H.
1.4.2. Ra´ıces de un polinomio cuad ´a ico
L. Huang y W. So [34] p opo cionan ´o mulas expl´ıci as pa a halla las a´ıces de
un polinomio m´onico unila e al de g ado 2 del ipo
x2+bx +c.
Es o es de u ilidad pa a encon a au o alo es po la izquie da (c . P op. 1.3.7). El
siguien e eo ema ecoge dichas ´o mulas.
Teo ema 1.4.2. Las soluciones de la ecuaci´on cuad ´a ica x2+bx+c= 0 se pueden
ob ene median e las siguien es ´o mulas.
1. Si b, c ∈Ryb2<4cen onces
x=1
2(−b+βi+γj+δk)
pa a odos β, γ, δ ∈R ales que β2+γ2+δ2= 4c−b2;
2. si b, c ∈Ryb2≥4cen onces
x=−1
2(−b±√b2−4c);
3. si b∈Rpe o c6∈ Ren onces
x=−b
2±ρ
2∓c1
ρi∓c2
ρj∓c3
ρk,
donde c=c0+c1i+c2j+c3ky
ρ=1
√2 b2−4c0+q(b2−4c0)2+ 16(c2
1+c2
2+c2
3);
1.5 Ecuaciones lineales cua e ni´onicas 25
4. po ´ul imo, si b6∈ R,
x=−(<b/2) −(b0+T)−1(c0−N)
donde
b0==byc0=c−(<b/2)(b−<b/2)
y el pa (T, N)se elige como sigue:
sean B=|b0|2+ 2<c0, E =|c0|2yD= 2<b0c0,
a)T= 0 yN= 1/2(B±√B2−4E)cuando D= 0 yB2≥4E.
b)T=±p−B+ 2√EyN=√Ecuando D= 0 yB2<4E.
c)T=±√zyN=1
2T(T3+BT +D)cuando D6= 0 donde zes la ´unica
a´ız posi i a del polinomio eal z3+ 2Bz2+ (B2−4E)z−D2.
1.5. Ecuaciones lineales cua e ni´onicas
En el mismo olumen del Bull. Ame . Ma h. Soc. de 1944 en que es ´a ecogido el
a ´ıculo de Eilenbe g y Ni en, se public´o un a ´ıculo de R.E. Johnson [48] en el que
explica c´omo esol e la ecuaci´on xα =γx +βsob e un anillo de di isi´on. Ob iene
condiciones necesa ias y su icien es pa a que una ecuaci´on de es e ipo enga soluci´on
y en ese caso da un m´e odo sencillo pa a calcula expl´ıci amen e al menos una de
las soluciones.
A con inuaci´on e emos con un poco m´as de de alle c´omo se esuel e en el
caso cua e ni´onico ´es a ecuaci´on, conocida hoy en d´ıa como ecuaci´on de Syl es e ,
ecuaci´on que usa emos m´as adelan e.
1.5.1. La ecuaci´on de Syl es e αx +xβ =γ
Una ecuaci´on del ipo
(1.5) αx +xβ =γ
al que la a iable y los coe icien es es ´an sob e un anillo no conmu a i o, ecibe el
nomb e de ecuaci´on de Syl es e .
El m´e odo de Johnson pa a esol e la puede esumi se como sigue. Dada la
ecuaci´on (1.5) mul iplicamos oda la ecuaci´on a la izquie da po αy a la de echa
po β,
|α|2xβ +αx|β|2=αγβ.
32 I. 2 Espacios Sim´e icos
a) Conside amos el g upo de isome ´ıas Isom(M, g). Es un g upo de Lie con la
opolog´ıa compac o-abie a.
b) Como au omo ismo σ omamos σ:G→Gdado po
σ(ϕ) = sp◦ϕ◦sp.
c) Pa a escoge el subg upo K, ijamos un pun o p∈My omamos su iso op´ıa
Gp=K, es deci , las isome ´ıas que dejan ijo al pun o p. As´ı, de acue do con el
eo ema undamen al, M∼
=G/K.
Sea un g upo de Lie Gcompac o y conexo y σun au omo ismo in olu i o.
En onces, si deno amos po K=Gσ, el espacio homog´eneo G/K con la m´e ica
Riemanniana gene ada po la m´e ica biin a ian e de Ges un espacio sim´e ico.
2.2.2. Descomposici´on
Como σ2=I, sus au o alo es son ±1. Es o nos pe mi e descompone el ´algeb a
de Lie gen ec o es ho izon ales y e icales, g=h⊕m,
h={X∈g:σ∗(X) = X},
m={X∈g:σ∗(X) = −X}.
Conside ando M=G/K, se iene que, como espacios ec o iales, ToM∼
=m,
donde deno amos po o= [e]. Adem´as, u ilizando que σ∗es un mo ismo de ´algeb as
de Lie, enemos que [h,h]⊂h, es deci , hes sub´algeb a de Lie; [h,m]⊂my
[m,m]⊂h.
2.2.3. Ejemplos
Ejemplo 2.2.6 (G upos de Lie compac os).Veamos que odo g upo de Lie com-
pac o y conexo Hes un espacio globalmen e sim´e ico Riemanniano. Conside emos
el siguien e pa sim´e ico (G, K, σ):
(a) Como g upo de Lie omamos el p oduc o di ec o G=H×H.
(b) Como au omo ismo
σ:H×H→H×H
(h, h0)7→ (h0, h)

2.2.3 Ejemplos 33
(c) El conjun o de pun os ijos K=Gσes el subg upo diagonal isomo o a H,
imagen de
h∈H7→ (h, h)∈H×H
que se deno a H∗. Tenemos el di eomo ismo
(H×H)/H∗→H
[(h, h0)] 7→ h(h0)−1
co espondien e a la acci´on ansi i a de H×Hsob e Hdada po
(H×H)×H→H
((h, h0), h00)7→ hh00(h0)−1
Las geod´esicas son los subg upos unipa am´e icos. Finalmen e, la sime ´ıa in olu i a
co espondien e al neu o es la isome ´ıa se(g) = g−1. Pa a o o pun o p∈Ges
sp(g) = pg−1p.
Los siguien es ejemplos son los es p ime os ipos de espacios sim´e icos com-
pac os que da ´
E. Ca an en su clasi icaci´on.
Ejemplo 2.2.7. (A I) Tomamos como Gel g upo especial uni a io,
G=SU(n) = {X∈ Mn×n(C): XX∗= I,de X= 1}.
El au omo ismo es la conjugaci´on, σ(X) = X. As´ı, el conjun o de pun os ijos es
K=SO(n), las ma ices o ogonales eales con de e minan e 1.
La a iedad M=SU(n)/SO(n) es di eomo a a las ma ices uni a ias especiales
sim´e icas ( e Ejemplo 2.4.2).
Ejemplo 2.2.8. (A II) G=SU(2n) con el au omo ismo σ(X) = −JXJ, donde
Jes la o ma simpl´ec ica J=0 I
−I 0. El conjun o de pun os ijos es exac amen e
la imagen del mo ismo
Sp(n)−→ SU(2n)
A+jB7→ A−B
B A 
donde Sp(n) es el g upo simpl´ec ico o mado po las ma ices n×ncua e ni´onicas
ales que XX∗= I.
En es e caso, la a iedad M=SU(2n)/Sp(n) es di eomo a a las ma ices uni-
a ias an isim´e icas.
34 I. 2 Espacios Sim´e icos
Ejemplo 2.2.9. (A III) Tomemos G=SU(p+q) y el au omo ismo σ(X) =
Ip,qXIp,q donde
Ip,q =−Ip0
0 Iq
es una o ma sim´e ica de signa u a (p, q). El conjun o de pun os ijos es el subg upo
imagen del mo ismo
U(p)×U(q)−→ U(p+q)
(X, Y )7→ X0
0Y
que adem´as cumplen de Xde Y= 1. Lo deno amos S(Up×Uq).
La a iedad M=SU(p+q)/S(Up×Uq) es la G assmanniana compleja o mada
po los subespacios de dimensi´on pde Cp+q. En e ec o, Gac ´ua ansi i amen e
ya que un isomo ismo lineal conse a la dimensi´on y, si conse a un subespacio,
conse a su o ogonal pa a el p oduc o he m´ı ico.
2.3. Clasi icaci´on de los espacios sim´e icos i e-
ducibles, compac os, cl´asicos
Pa a ob ene una clasi icaci´on de los espacios sim´e icos iemannianos asociamos
a cada uno un pa sim´e ico (G, K, σ) y a ´es e sus ´algeb as de Lie y el mo ismo
inducido (g,h, s).Rec´ıp ocamen e, oda la in o maci´on queda codi icada en el ´alge-
b a de Lie gy en el au omo ismo spues hson los pun os ijos de sy, si omamos
los g upos de Lie simplemen e conexos GyKco espondien es a gyh, es posible
in eg a el mo ismo de ´algeb as de Lie s:g→gy ecupe a el cocien e G/K y el
au omo ismo σ.
Es a desc ipci´on algeb aica pe mi i´o a E. Ca an ob ene en 1926 una clasi ica-
ci´on comple a de odos los espacios sim´e icos.
De inici´on 2.3.1. Un pa sim´e ico (g,h, s) de ´algeb as de Lie se dice i educible si
ges semisimple y hno con iene ideales no nulos de gyhes una sub´algeb a maximal
p opia.
Di emos que un espacio sim´e ico es i educible si lo es el pa sim´e ico asociado.
Se puede e que cualquie espacio sim´e ico Riemanniano simplemen e conexo
es p oduc o de i educibles. Como la cubie a uni e sal de un espacio sim´e ico es
un espacio sim´e ico, podemos educi nos a es udia , sin p´e dida de gene alidad,
los Msimplemen e conexos. Po an o, bas a con clasi ica los espacios sim´e icos
Riemannianos i educibles y simplemen e conexos.
2.3.1 Clasi icaci´on 35
2.3.1. Clasi icaci´on
Con odas es as he amien as pasamos a da la clasi icaci´on de los posibles espa-
cios sim´e icos Riemannianos i educibles, compac os y simplemen e conexos cl´asi-
cos. Seguimos la clasi icaci´on que dan S. Helgason y Fomenko [31, 21].
Tipo Modelo Ca an dim LS ca
AI SU(n)/SO(n) (n−1)(n+ 2)/2n−1
AII SU(2n)/Sp(n) (n−1)(2n+ 1) n−1
AIII SU(p+q)/SU(p)×SU(q) 2pq pq
BDI SO(p+q)/SO(p)×SO(q)pq ?
DIII SO(2n)/U(n) [n≥4] n(n−1) n(n−1)/2
CI Sp(n)/U(n) [n≥3] n(n+ 1) n(n+ 1)/2
CII Sp(p+q)/Sp(p)×Sp(q) 4pq pq
M. Mimu a a˜nade a es a lis a SO(n+ 1)/SO(n), que no es m´as que una es e a
[60].
2.4. Modelo de Ca an
Una cues i´on que su ge de mane a na u al es la de si es posible embebe el espacio
sim´e ico M∼
=G/K en G. Si G/H uese un espacio homog´eneo en gene al no se ´ıa
posible, pe o al se un espacio sim´e ico s´ı.
El modelo de Ca an nos pe mi e a i ma que cualquie espacio sim´e ico Mpue-
de in e p e a se como una sub a iedad de G. Es e modo de e un espacio sim´e ico
se ´a muy ´u il pa a a a de calcula su ca ego ´ıa LS; es la he amien a que u ilizan
M. Mimu a y K. Suga a en [60].
P oposici´on 2.4.1. La aplicaci´on de G/K en Gque lle a [g]en gσ(g)−1es un
di eomo ismo con la imagen.
Es inmedia o e que es inyec i a. N´o ese que mien as que los pun os de Kson
ijos, Mes ´a con enida en N={g∈G:σ(g) = g−1}. En e ec o, si n=gσ(g)−1,
en onces
σ(n) = σ(g)σ2(g−1) = n−1.
As´ı pues, si llamamos
M={h∈G:h=gσ(g)−1, g ∈G}
N={g∈G:σ(g) = g−1},
36 I. 2 Espacios Sim´e icos
enemos que
G/K ∼
=M⊂N.
M´as a´un, Mes p ecisamen e la componen e conexa de Nque con iene al neu o,
M=Ne[21, cap. 4].
Desc ibimos aho a el modelo de Ca an de algunos espacios sim´e icos cl´asicos
pa a los que calcula emos la ca ego ´ıa LS. Todas las demos aciones las hace S.
Ramanujam en [68], ambi´en H. Kadzisa y M. Mimu a en [49].
Ejemplo 2.4.2. U(n)/O(n).En es e caso el au omo ismo es la conjugaci´on, σ(X) =
X. El conjun o de pun os ijos es O(n) y las a iedades MyNcoinciden [49, eo .
3.1]. Po an o, podemos iden i ica el espacio sim´e ico U(n)/O(n) con las ma ices
sim´e icas uni a ias,
U(n)/O(n)∼
={Y∈U(n) : Y=YT}.
Ejemplo 2.4.3. SO(2n)/U(n).Pa a es e espacio omamos σ(X) = −JXJ, con
J=0 I
−I 0. Pues o que las ma ices complejas de U(n) son ma ices de la o ma
A+Bicon A, B ∈ Mn×n(R), podemos conside a las como las ma ices de SO(2n)
del ipo A B
−B A.As´ı, el conjun o de pun os ijos de σes U(n) y enemos que
M={Y∈SO(2n): Y=−XJXTJ, X ∈SO(2n)}
N={X∈SO(2n): JX =XTJ}.
Con el embebimien o de U(n) en SO(2n) se puede p oba que SO(2n)/U(n)∼
=M
es di eomo o a las ma ices an isim´e icas de SO(2n).
Ejemplo 2.4.4. Sp(n)/U(n).La in oluci´on es σ(X) = −iXiy
N={X∈Sp(n) : X=−iX∗i}.
Median e un embebimien o de las ma ices cua e ni´onicas en las complejas se ob iene
que es e espacio es di eomo o a
Sp(n)/U(n)∼
={Y∈Sp(n) : Y=YT}.
Ejemplo 2.4.5. U(2n)/Sp(n).Como imos en el Ejemplo 2.2.8, σ(X) = −JXJ
es el au omo ismo. Pa a es e espacio sim´e ico la a iedad
M={Y∈U(2n) : Y=−XJXTJ, X ∈U(2n)}
mien as que
N={X∈U(2n) : JXT=XJ}.
Se p ueba que
U(2n)/Sp(n)∼
={Y∈U(2n) : Y=−YT}.
Cap´ı ulo 3
Funciones de Mo se
El comienzo del es udio de la ca ego ´ıa LS se debe al in en o de aco a el n´ume o
de pun os c ´ı icos de una unci´on di e enciable. De hecho, la ca ego ´ıa LS (m´as uno)
de una a iedad compac a es una co a in e io pa a el n´ume o de pun os c ´ı icos de
cualquie unci´on di e enciable, sea de Mo se o no. A g andes asgos, es o se debe a
que el lujo del g adien e de e mina, pa a cada pun o c ´ı ico, un abie o ca eg´o ico.
Nues o in e ´es en las unciones de Mo se es ´a en que pa a un g upo de Lie es e lujo
puede pasa se el ´algeb a de Lie median e la ans o maci´on de Cayley es udiada en
el Cap´ı ulo 4. M´as adelan e e emos que es e esul ado ambi´en puede ex ende se a
los espacios sim´e icos cl´asicos.
La di e encia en e la eo ´ıa de Mo se y la de Lus e nik y Schni elmann adica
en que la p ime a exige que los pun os c ´ı icos sean no degene ados. Es o no siemp e
nos da los esul ados m´as p ecisos, como ocu e po ejemplo en el o o T2, pa a el
que podemos ob ene unciones di e enciables con s´olo es pun os c ´ı icos, mien as
que oda unci´on de Mo se iene como m´ınimo cua o pun os c ´ı icos.
3.1. Funciones de Mo se
J.W. Milno hace un esumen p eciso y comple o de la e o ´ıa de Mo se en [59].
De inici´on 3.1.1. Sea Muna a iedad di e enciable. Dada una unci´on con alo es
eales, :M→Rdi e enciable, se dice que un pun o p∈Mes un pun o c ´ı ico de
si la di e encial ∗p:TpM→T (p)Rse anula.
Las im´agenes po de los pun os c ´ı icos se denominan alo es c ´ı icos.
Si pno es un pun o c ´ı ico de se dice que pes egula .
Dado pun pun o c ´ı ico de , a pa i de la ma iz o mada po las de i adas
segundas de en p, podemos de ini una o ma bilineal sim´e ica Hp en el angen e,
37

38 I. 3 Funciones de Mo se
el Hessiano de en p.
De inici´on 3.1.2. Un pun o c ´ı ico pes no degene ado si el Hessiano de en pes
no singula .
De inici´on 3.1.3. Pa a e e i nos al ´ındice de Hp en el TpMhabla emos del ´ındice
de en p.Es la mayo dimensi´on de un subespacio de Ven el cual Hes de inida
nega i a.
El ´ındice es el n´ume o de au o alo es nega i os de la ma iz Hessiana en p.
In ui i amen e, la in o maci´on que nos da es el n´ume o de di ecciones independien es
en un en o no de pen las que dec ece.
Con iene se˜nala que los concep os de pun o c ´ı ico, ´ındice y se no degene ado
son independien es de la elecci´on de las coo denadas locales que omemos.
De inici´on 3.1.4. Una unci´on :M→Res una unci´on de Mo se si odos sus
pun os c ´ı icos son no degene ados. En pa icula , son aislados.
Teo ema 3.1.5. Si p∈Mes un pun o c ´ı ico no degene ado de una unci´on di e-
enciable , exis en coo denadas locales (x1, . . . , xn)cen adas en pde mane a que
(x1, . . . , xn) = (p)−x2
1−···−x2
+x2
+1 +···+x2
n,
donde es el ´ındice de en p.
3.2. Funciones de Bo -Mo se
La eo ´ıa cl´asica de Mo se conside a s´olo unciones cuyos pun os c ´ı icos son
no degene ados y po an o, aislados. En muchas si uaciones, sin emba go, nos en-
con a emos que los pun os c ´ı icos o man sub a iedades de M. Po ejemplo, si
ponemos un o o en ho izon al sob e un plano, en onces la unci´on al u a espec o
del plano end ´a dos sub a iedades c ´ı icas; la ci cun e encia in e io sob e la que el
o o es ´a apoyado en el plano y la supe io .
Debemos a R. Bo la ex ensi´on de la eo ´ıa de Mo se a es as si uaciones.
De inici´on 3.2.1. Se dice que una a iedad c ´ı ica Nes no degene ada si pa a
cualquie pun o c ´ı ico pde Nla Hessiana de es ingida al espacio no mal de N
es no singula .
De inici´on 3.2.2. Una unci´on de Bo -Mo se es una unci´on di e enciable cuyos
pun os c ´ı icos o man una sub a iedad ce ada y la Hessiana es no degene ada.
Equi alen emen e, podemos deci que el n´ucleo del ope ado Hessiano en un
pun o c ´ı ico es el espacio angen e a la sub a iedad c ´ı ica.
3.3 Teo ´ıa de Mo se en los g upos de Lie 39
3.3. Teo ´ıa de Mo se en los g upos de Lie
Sea G=On(K) un g upo de Lie o ogonal embebido en el espacio eucl´ıdeo
de las ma ices Mn×n(K). La m´e ica eucl´ıdea en es e espacio iene dada po el
p oduc o escala pa e eal de la aza, hA, Bi=<T (A∗B). Cl´asicamen e, las
unciones de Mo se que se conside an en los g upos de Lie son las llamadas unciones
al u a odis ancia. Las p ime as miden la “al u a” del g upo Gcon espec o a alg´un
hipe plano; ue on es udiadas, en e o os, po I.A. Dynniko y A.P. Veselo en [82]
y A.N. Kozachko y K.Y. Volchenko en [84]. Las segundas miden la “dis ancia” a un
pun o dado y las es udi´o H. Duan en [12]. Ve emos que ambos ipos de unciones
son, sal o una cons an e, de la o ma hX(A) = <T (XA) ( e P op. 3.3.2).
El p ime o en es udia es e ipo de unciones ue T. F ankel en 1963 [23]. Escoge
como Xla ma iz iden idad (el es udio que hace si e pa a cualquie ma iz X= I
con ∈R {0}). Con es a elecci´on la unci´on al u a es in a ian e po la acci´on
adjun a, de modo que pa a calcula el conjun o de pun os c ´ı icos nos llega con
es udia los pun os c ´ı icos de un o o maximal; odos los dem´as son las ´o bi as
de ´es os. Adem´as, como el g adien e g ad hIes angen e a cada pun o de un o o
maximal dado T, los pun os c ´ı icos de hIen Tson los pun os c ´ı icos de la es icci´on
de hIaT.
En [23] F ankel p ueba que el conjun o de pun os c ´ı icos Σ(hG
I) es ´a o mado
po odas las ma ices en G ales que A2=I. As´ı pues, los pun os c ´ı icos ya no son
aislados sino que o man sub a iedades, de hecho, son G assmannianas. Es deci , hI
no es es ic amen e una unci´on de Mo se sino de Bo -Mo se.
Despu´es de es udia de alladamen e el compo amien o de es a unci´on en los
g upos de Lie cl´asicos, T. F ankel lo gene aliza a a iedades de S ie el [23].
Pocos a˜nos despu´es de es e es udio, en 1969, S. Ramanujam [69] ob u o una
exp esi´on expl´ıci a pa a las sub a iedades c ´ı icas de hIen los g upos de Lie o -
ogonales. Gene aliz´o ambi´en es a unci´on a los espacios sim´e icos U(n)/O(n),
Sp(n)/U(n), U(2n)/Sp(n) y SO(2n)/U(n) ob eniendo de nue o que un pun o Ade
uno de es os espacio sim´e icos Mes un pun o c ´ı ico de hIsi y solo si A2=I.
Recien emen e, H. Kadzisa y M. Mimu a han u ilizado la unci´on pa e eal de
la aza pa a cons ui la descomposici´on en conos de a iedades de S ie el y de
algunos espacios sim´e icos Riemannianos y as´ı ob ene la ca ego ´ıa LS de es os
espacios [49].
3.3.1. Funciones al u a y dis ancia en los g upos o ogonales
La unci´on hIen un g upo G=On(K) no es p opiamen e una unci´on de Mo se
pe o bas a modi ica la con un coe icien e pa a que s´ı lo sea. K. Volchenko y A.
40 I. 3 Funciones de Mo se
Kozachko [84] es udian en los g upos de Lie cl´asicos la unci´on al u a
hG
X(A) = 2<T (XA)
con
X= diag(x1, . . . , xn),0< x1<··· < xn.
P ueban que los pun os c ´ı icos de hG
Xson las ma ices diagonales
diag(ε1, . . . , εn), εi=±1,
con ´ındice
(indhG
X)(A) =
n
X
i=1
δεi,1((dimRK)i−1) .
U ilizando las desigualdades de Mo se ob ienen que hG
Xes una unci´on de Mo se
pe ec a, es deci , con el meno n´ume o posible de pun os c ´ı icos.
Despu´es gene alizan es os esul ados a a iedades de S ie el.
Es a misma unci´on la es udian I. Dynniko y A. Veselo en g upos de Lie y
en espacios sim´e icos embebidos en los g upos de Lie cl´asicos [82]. P ueban que el
conjun o de pun os c ´ı icos pa a hG
Xes
Σ(hG
X) = {A∈G:XA = (XA)∗}.
Desc iben expl´ıci amen e el lujo del g adien e y ob ienen as´ı una descomposici´on
celula pa a la a iedad.
3.3.2. Espacio angen e y o ogonal
En la Secci´on 4.1.2 del Cap´ı ulo 4 imos una desc ipci´on del espacio angen e
de los g upos de Lie cl´asicos. A pa i de ella se ob iene una ca ac e izaci´on de las
ma ices que es ´an en el espacio pe pendicula al angen e de una X∈Gdada,
γXG, donde Gdeno a al g upo On(K).
Lema 3.3.1. Pa a X∈G,
1. El espacio angen e a la a iedad en Xes ´a o mado po :
TXG={U∈ Mn×n(K) : X∗U=−U∗X}.
2. En consecuencia, el espacio no mal es:
γXG={U∈ Mn×n(K) : X∗U=U∗X}.
3.3.3 G adien e y Hessiano de las unciones al u a 41
En pa icula podemos exp esa cualquie ma iz como suma de una an ihe m´ı i-
ca y o a he m´ı ica:
A=1
2(A−A∗) + 1
2(A+A∗)
donde el p ime sumando pe enece al TIGy el segundo a γIG.
P oposici´on 3.3.2. Toda unci´on al u a en Ges de la o ma
hG
X(A) = <T (XA).
Demos aci´on. Sea X∈ Mn×n(K) un ec o a bi a io no nulo. Podemos supone
que el hipe plano desde el que amos a calcula la dis ancia pasa po el o igen (en
o o caso la unci´on esul an e di e i ´ıa solo en una cons an e), de mane a que el
hipe plano es simplemen e X⊥.Supongamos ambi´en, sin p´e dida de gene alidad,
que kXk= 1.
Tomamos un elemen o del g upo A∈Gque puede exp esa se como
A=hG
X(A)X+V, con V∈X⊥,
as´ı
hX, Ai=hG
X(A)hX, Xi+ 0 = hG
X(A)
pues kXk= 1. En onces, como el p oduc o escala con el que abajamos es p eci-
samen e la pa e eal de la aza,
hG
X(A) = <T (X∗A).
Todas es as unciones son casos pa icula es del Teo ema 5.1.5, que da una des-
c ipci´on gene al del conjun o de pun os c ´ı icos de una unci´on al u a a bi a ia
hG
X.
3.3.3. G adien e y Hessiano de las unciones al u a
Lema 3.3.3. Sea hG
X:G→ Mn×n(K)una unci´on al u a. El g adien e de hG
Xen
un pun o A∈ Mn×n(K) iene dado po :
g ad hG
X(A) = 1/2(X∗−AXA).
Demos aci´on. Sea b
hXla unci´on al u a en Mn×n(K). En onces g adhG
X(A) en G
es la p oyecci´on del g adien e de b
hXen en el espacio angen e TAG. Po de inici´on,
pa a odo V∈TIG,
hg adIhG
X, V i= (hG
X)∗I(V)
48 II. 4 T ans o maci´on de Cayley
Adem´as, como
(I+c(X))−1=1
2(I+X),
enemos que la aplicaci´on c: Ω →Ω es ´a bien de inida.
Recogemos a con inuaci´on algunas de la p opiedades de es a aplicaci´on que nos
se ´an ´u iles a la ho a de gene aliza la.
P oposici´on 4.1.1. Sea A∈Ω, se e i ica en onces que:
1. A∗∈Ωyc(A∗) = c(A)∗;
2. si Aes in e sible, A−1∈Ωyc(A−1) = −c(A);
3. si −A∈Ω,c(−A) = c(A)−1;
4. si B∈ Mn×n(K)es in e sible, BAB−1∈Ωyc(BAB−1) = Bc(A)B−1.
Demos aci´on. 1. (I+A∗)−1= ((I+A)−1)∗;
2. (I+A−1)−1=A(I+A)−1;
3. u ilizando el apa ado an e io es inmedia o comp oba que c(A)c(−A) = I;
4. bas a esc ibi I+BAB−1como B(I+A)B−1.
P oposici´on 4.1.2. La aplicaci´on ces in olu i a, es deci , c−1=c.
Demos aci´on. Conside emos A∈Ω, en onces c(c(A)) = (I−c(A))(I+c(A))−1.
Al comp oba que la ans o maci´on de Cayley es aba bien de inida ob u imos que
(I+c(A))−1=1
2(I+A). Adem´as, enemos que
I−c(A) = I−(I−A)(I+A)−1
= (I+A)(I+A)−1−(I−A)(I+A)−1
= 2A(I+A)−1.
Po an o, c(c(A)) = 0.
No a–. Supongamos que Aes una ma iz uni a ia o simpl´ec ica. Se puede diagonali-
za , A=UDU∗, a una ma iz compleja diagonal, D= diag(z1, . . . , zn) ( e Subsecc.
1.1.6). En onces,
c(A) = Udiag (π(z1), . . . , π(zn)) U∗,
donde πes la p oyecci´on es e eog ´a ica π:S1 {−1} → iR,π(z) = 1−z
1+z.

4.1.2 G upos o ogonales cl´asicos 49
Con la siguien e P oposici´on es ablecemos la elaci´on en e los au o alo es de
una ma iz y los de su imagen po la ans o maci´on de Cayley.
P oposici´on 4.1.3. Si qes un au o alo po la de echa de A∈Ω, en onces 1−q
1+qes
un au o alo de c(A).
Demos aci´on. Fijemos qun au o alo po la de echa de A. Necesa iamen e q6=−1,
ya que si −1 uese au o alo I+Ano se ´ıa in e sible. As´ı, pa a alg´un 6= 0 enemos
que
(I+A) = +A = (1 + q),
po an o,
c(A) =I−A
I+A = −A
1 + q= 1−q
1 + q.
4.1.2. G upos o ogonales cl´asicos
Conside emos K=R,C´o H. Decimos que una ma iz A∈ Mn×n(K) es o ogonal
si AA∗=I. Es as ma ices se pueden iden i ica con una aplicaci´on K-lineal (po la
de echa) Kn→Knque conse a el p oduc o he m´ı ico hu, i=u∗ . Deno a emos
po On(K) el g upo de Lie de las ma ices o ogonales,
On(K) = {A∈ Mn×n(K): AA∗=I}.
Es e g upo co esponde al g upo o ogonal O(n), al uni a io U(n) o al simpl´ec ico
Sp(n) dependiendo de que Ksea R,C´o H espec i amen e.
Vamos a e que la ans o maci´on de Cayley cl´asica lle a los g upos de Lie
o ogonales cl´asicos en su ´algeb a de Lie g o mada po las ma ices an isim´e icas
(o an ihe m´ı icas).
P oposici´on 4.1.4. g={X∈ Mn×n(K): X+X∗= 0}.
P oposici´on 4.1.5. c: Ω ∩G→Ω∩ges un di eomo ismo.
Demos aci´on. Es un caso pa icula del Teo ema 4.3.2.
Como espacio ec o ial g=TIG, de modo que el espacio angen e en cualquie
o o pun o A∈G iene dado po
TAG=LA(TIG) = {Y∈ Mn×n(K): A∗Y+Y∗A= 0}.
La p oposici´on que enunciamos a con inuaci´on se ´a cla e pa a pode es ablece
un di eomo ismo en e el espacio angen e TA∗Gy el abie o ΩG(A) ( e Subsecci´on
4.3.1) y p oba as´ı que es e ipo de abie os son con ´ac iles.
50 II. 4 T ans o maci´on de Cayley
P oposici´on 4.1.6. Sea X∈guna ma iz an isim´e ica (an ihe m´ı ica). En onces
Xno iene au o alo es eales no nulos.
Demos aci´on. Supongamos que exis e un ∈R al que X = pa a alg´un ∈
Kn, 6= 0. En onces ∗X = ∗ =| |2 es un n´ume o eal y, en consecuencia,
∗X = ( ∗X )∗= ∗X∗ = ∗(−X) =− ∗X .
Po lo an o, ∗X se anula, i.e.,| |2 = 0, luego = 0.
Ejemplo 4.1.7. Conside emos Sp(1) = {q∈H:|q|= 1}=S3.Su ´algeb a de Lie
es
sp(1) = {w∈H:w+w= 0}=hi,j,ki.
En es e caso el abie o Ω es ´a o mado po odos los cua e nios excep o q=−1.
Obse amos en onces que la aplicaci´on de Cayley es de nue o la p oyecci´on es e-
eog ´a ica de S3 {−1}en R3:
c:S3 {−1} →<i,j,k>=R3
q7→ c(q) = 1−q
1 + q
Pe o 1−q
1 + q=(1 −q)(1 + q)
(1 + q)(1 + q)=q−q
|1 + q|2
es deci , exp esando qcomo q= +xi+yj+zkcon , x, y, z ∈R,
c(q) = −(x, y, z)
1 + .
No a–. Conside emos el g upo SO(3) de o aciones de R3o, equi alen emen e, las
o aciones de la 2-es e a S2. Median e la p oyecci´on es e eog ´a ica es as o aciones
pasan a ans o maciones lineales de a iable compleja de la o ma
z7→ αz −β
βz +α,con |α|2+|β|2= 1.
El g upo de ma ices complejas de o den 2 de e minadas po es as ans o maciones
(sal o el signo) o man el g upo SU(2). Tenemos pues que Sp(1) ∼
=SU(2) y el
isomo ismo de g upos de Lie es
Sp(1) →SU(2)
4.2 La ans o maci´on de Cayley gene alizada 51
α+jβ7→ α−β
β α , α, β ∈C.
Po o o lado, SU(2) es un subg upo de U(2) y en el g upo uni a io enemos la
aplicaci´on de Cayley c: Ω ∩U(2) →u(2). De hecho, c(SU(2)) ⊆su(2),es deci , c
lle a las ma ices de de e minan e 1 en ma ices de aza 0.En e ec o, e aluemos c
sob e un elemen o A∈SU(2).Tenemos
I+A=1 + α−β
β1 + α,
luego
de (I+A) = 2 (1 + <(α)) .
Po an o, como
2 (1 + <(α)) c(A) =
1−α β
−β1−α1 + α β
−β1 + α=
α−α2β
−2β α −α
queda T c(A) = 0.Concluimos pues que el isomo ismo Sp(1) ∼
=SU(2) conmu a
con la aplicaci´on de Cayley.
U(2)
c

SU(2)
?_
oo∼
=
ϕ//
c

Sp(1)
c

u(2) su(2)
?_
oo∼
=
ϕ∗//sp(1)
4.2. La ans o maci´on de Cayley gene alizada
Reco demos que en una a iedad compac a la ca ego ´ıa LS (m´as uno) es una co a
in e io pa a el n´ume o de pun os c ´ı icos de cualquie unci´on di e enciable, sea de
Mo se o no. A g andes asgos, es o se debe a que el lujo del g adien e de e mina,
pa a cada pun o c ´ı ico, un abie o ca eg´o ico. En nues o con ex o, ob enemos que
pa a las unciones al u a, an o en los g upos de Lie como en los espacios sim´e icos,
es e lujo iene dado po la con acci´on asociada a la ans o maci´on de Cayley.
52 II. 4 T ans o maci´on de Cayley
La gene alizaci´on de la ans o maci´on de Cayley que hacemos a con inuaci´on
pe mi e es ablece un m´e odo que si a pa a da abie os con ´ac iles. Modi ica-
mos as´ı la de inici´on de cpa a ob ene un ecub imien o po abie os ca eg´o icos
de los g upos de Lie o ogonales. A con inuaci´on, e emos que los esul ados ob e-
nidos pa a los g upos pueden adap a se de modo na u al a los espacios sim´e icos
cl´asicos sin m´as que e i ica que odas las cons ucciones son compa ibles con el
au omo ismo σ.
Adem´as, e emos que pa a las unciones de Bo -Mo se, la con acci´on de Cayley
da un modelo local de las a iedades c ´ı icas.
4.2.1. De inici´on y p opiedades de cA
Sea A∈On(K) una ma iz o ogonal, uni a ia o simpl´ec ica seg´un Ksea R,C
oH. De inimos el abie o Ω(A)⊂ Mn×n(K) como el conjun o o mado po las
ma ices X ales que A+Xes in e sible.
De inici´on 4.2.1. La ans o maci´on de Cayley cen ada en Ase de ine como la
aplicaci´on
cA: Ω(A)→Ω(A∗)
dada po
cA(X) = c(A∗X)A∗=A∗c(XA∗).
La ans o maci´on de Cayley cl´asica cco esponde al caso A=I. Como e emos
en la siguien e P oposici´on, la aplicaci´on cAes ´a bien de inida, ya que si X∈Ω(A)
en onces cA(X)∈Ω(A∗), y es in e sible con c−1
A=cA∗.
P oposici´on 4.2.2. Si X∈Ω(A)en onces,
1. cA(X)=(A+X)−1(I−XA∗) = (I−A∗X)(A+X)−1;
2. la in e sa de la ma iz A∗+cA(X)es (1/2)(A+X);
3. si X∈Ω(A),en onces cA(X)∈Ω(A∗);
4. cAes un di eomo ismo con (cA)−1=cA∗.
Demos aci´on. Las dos p ime as a i maciones se deducen de las p opiedades de la
ans o maci´on de Cayley cl´asica. La e ce a a i maci´on se deduce de la segunda.
Haciendo uso de ´es a ob enemos que
cA∗cA(X) = cA∗(c(A∗X)A∗)
=Ac [(c(A∗X)A∗)A]
=Ac2(A∗X)
=X.
4.3 Abie os ca eg´o icos en un g upo de Lie 53
Necesi a emos ambi´en las siguien es p opiedades.
P oposici´on 4.2.3. Sea X∈Ω(A). En onces
1. X∗∈Ω(A∗)ycA∗(X∗) = cA(X)∗;
2. UXU∗∈Ω(UAU∗)pa a cualquie ma iz U∈On(K)y
cUAU∗(UXU∗) = UcA(X)U∗;
3. si la ma iz Xes in e sible, en onces X−1∈Ω(A∗)ya que
(A∗+X−1)−1=A(A+X)−1X.
M´as a´un,
cA∗(X−1) = −AcA(X)A.
4.3. Abie os ca eg´o icos en un g upo de Lie
La ans o maci´on de Cayley gene alizada cAes ablece un di eomo ismo en e
ΩG(A) y TA∗G; es o nos pe mi i ´a ob ene abie os con ´ac iles en el g upo como
imagen de abie os adiales en el espacio ec o ial. A pa i de las p opiedades de
cAque hemos is o y de la P oposici´on 4.1.6 ob enemos el siguien e in e esan e
esul ado.
4.3.1. Un di eomo ismo en e TA∗GyΩG(A)
P oposici´on 4.3.1. El espacio ec o ial eal TA∗Ges ´a con enido en Ω(A∗).
Demos aci´on. Supongamos que exis e alg´un Y∈TA∗G al que A∗+Yno es in-
e sible. En onces, exis e alg´un 6= 0 al que A∗ =−Y , luego − =AY . Es
deci , −1 se ´ıa au o alo de la ma iz an isim´e ica AY , lo que con adice la P op.
4.1.6.
Sea G=On(K), deno a emos po ΩG(A) al subconjun o abie o Ω(A)∩G⊂G.
Teo ema 4.3.2. La aplicaci´on cAlle a di eom´o icamen e ΩG(A)en el espacio ec-
o ial eal TA∗Gde las ma ices X ales que AX + (AX)∗= 0.Adem´as, cA(A) = 0.
En consecuencia, ΩG(A)es un abie o con ´ac il.

54 II. 4 T ans o maci´on de Cayley
Demos aci´on. En p ime luga , eamos que cAen ´ıa ΩG(A) en TA∗G⊂Ω(A∗).
Sea B∈ΩG(A), en onces B−1=B∗luego, po la P op. 4.2.3
cA(B)∗=cA∗(B∗) = cA∗(B−1) = −AcA(B)A.
Llamemos X∗acA(B), en onces
−AX∗A=X,
es deci X∗Aes an isim´e ica, que es la condici´on buscada.
Rec´ıp ocamen e, sea X∗en TA∗G, es deci X∗Aes an isim´e ica. Debemos p oba
que cA∗(X∗) es o ogonal. De nue o, po la P op. 4.2.3
cA∗(X∗) = cA(X)∗.
As´ı que bas a e que cA(X)∗cA(X) = I.
En p ime luga , como cA(X) = (A+X)−1(I−XA∗) enemos que cA(X) es
in e sible si y solo si I−XA∗lo es. Pe o si I−XA∗no ue a in e sible, exis i ´ıa
alg´un 6= 0 al que XA∗ = y po an o, 1 se ´ıa un au o alo eal de la ma iz
an isim´e ica XA∗, en con adicci´on con la P op. 4.1.6.
Aho a bien, como
A∗X=−X∗A
enemos que
−A∗XA∗=X∗.
Pe o, po las p opiedades de la ans o maci´on de Cayley gene alizada,
−A∗XA∗=−A∗c∗
A(cA(X)) A∗=cAcA(X)−1y
X∗=cA(c∗
A(X∗)) = cA(cA(X)∗).
Como cAes inyec i o, se sigue que cA(X)∗=cA(X)−1.
No a–. De hecho Ω(A) = LA(Ω(I)) = RA(Ω(I)), y como
TA∗(G) = LA∗(TIG) = RA∗(TIG),
enemos cA=RA∗◦c◦LA∗.
Ω(I)c//g=TIG
RA

Ω(A)cA//
LA∗
OO
TAG
4.3.2 Con acci´on de Cayley gene alizada 55
4.3.2. Con acci´on de Cayley gene alizada
Sea A∈G. La con acci´on adial que sale de es e pun o podemos pa ame iza la
como cA∗( X), con ∈[0,∞),pa a alg´un Xdel angen e TA∗G. Es deci AX =
−X∗A∗. Como AX ∈TIGes an isim´e ica, es no mal y po an o diagonalizable,
AX =UDU∗. En onces
φ( ) = cA∗( X) = cA∗( A∗UDU∗) = c(A A∗UDU∗)A,
es o es
φ( ) = c( UDU∗)A=Uc( D)U∗A.
Veamos donde e mina es a l´ınea. Sea D= diag(λ1, . . . , λn). P ime o calculamos
l´ım
→∞c( D) = l´ım
→∞diag((1 − λk)/(1 + λk)) = −I,
po an o
l´ım
→∞φ( ) = U(−I)U∗A=−A.
Es deci , los adios de la con acci´on an de Aa−A.
4.4. Con acci´on de Cayley en los espacios sim´e i-
cos
An´alogamen e al caso de los g upos de Lie, pa a busca abie os con ´ac iles en
los espacios sim´e icos G/K usa emos la ans o maci´on de Cayley gene alizada,
cA, en el modelo de Ca an co espondien e M. Pa a ello comp oba emos que ces
compa ible con la aplicaci´on σde inida en 2.2.1. Es o nos pe mi i ´a a a de mane a
simul ´anea y uni icada odos los espacios sim´e icos. Reco demos que pa a G/K con
au omo ismo σ, la a iedades MyNson como siguen:
M={h∈G:h=gσ(g)−1, g ∈G},
N={g∈G:σ(g) = g−1}.
Como imos en la Secci´on 2.4, G/K es di eomo o a MyM⊂N. En gene al,
M6=N, de hecho, M=Nees la componen e conexa de Nque con iene al neu o.
Lo que ha emos en onces se ´a con ae median e cAen Mo, al se M=Ne, bas a
con que lo hagamos en N.
56 II. 4 T ans o maci´on de Cayley
4.4.1. Compa ibilidad
Lema 4.4.1. Sea σ:Mn×n(K)→ Mn×n(K)un au omo ismo in olu i o, σ2= id,
y de R-´algeb as. En onces, pa a odo A∈G,
cσ(A)◦σ=σ◦cA,
o, equi alen emen e,
σ◦cσ(A)=cA◦σ.
Demos aci´on. Como Aes una ma iz o ogonal, σ(A) ambi´en lo es. En onces, al
se σde R-´algeb as,
σ(A∗) = σ(A−1) = σ(A)−1=σ(A)∗.
Po o o lado, sea X∈Ω(A), es deci , A+Xin e sible, en onces, σ(A+X) =
σ(A) + σ(X) sigue siendo in e sible, luego σ(X) es ´a en el abie o que nos in e esa,
σ(X)∈Ω(σ(A)).
Podemos en onces hace la composici´on sin p oblema y enemos que
cσ(A)(σ(X)) = (I−σ(A)∗σ(X)) (σ(A) + σ(X))−1
= (I−σ(A∗X)) σ(A+X)−1
=σ(I−A∗X)σ(A+X)−1
=σ(cA(X)).
No a–. Es as hip´o esis se cumplen en odos los casos que hemos is o en los Ejemplos
de la Subsecci´on 2.2.3
4.4.2. Abie os ca eg´o icos en espacios sim´e icos
Las p opiedades de la ans o maci´on de Cayley gene alizada, en pa icula c−1
A=
cA∗, nos pe mi i ´an pasa al modelo de Ca an la con acci´on del espacio angen e
TA∗G.
Teo ema 4.4.2. Fijada A∈N, pa a cualquie X∈N, el camino
γ( ) = cA∗( cA(X))
pe manece en Npa a odo ∈[0,1].
Demos aci´on. 1. En p ime luga , como A, X ∈NyA∈G, al se σde R-
´algeb as enemos que σ(A) = A−1=A∗yσ(X) = X−1.
4.4.2 Abie os ca eg´o icos en espacios sim´e icos 57
2. Pues o que cA(X)∈ΩG(A∗), se e ica que γ( ) = cA∗( cA(X)) ∈ΩG(A), po
an o, γ( )−1∈ΩG(A∗).
Po o o lado, γ( )∈ΩG(A) implica que σ(γ( )) ∈ΩG(σ(A)) = ΩG(A∗).
3. Po ´ul imo, u ilizando las p opiedades de la ans o maci´on de Cayley gene a-
lizada (P op. 4.2.3) y el Lema 4.4.1 enemos que
cA∗(γ( )−1) = −AcA(γ( ))A
=−A cA(X)A
= cA∗(X−1),
y
cA∗(σ(γ( )) = σ(cσ(A∗)(γ( )))
=σ(cA(γ( )))
=σ( cA(X))
= σ(cA(X))
= cσ(A)(σ(X))
= cA∗(σ(X))
= cA∗(X−1).
Se e i ica en onces que
cA∗(γ( )−1) = cA∗(X−1)
y
cA∗(σ(γ( )) = cA∗(X−1).
Po an o, γ( )∈Npa a cualesquie a A, X ∈N.
Co ola io 4.4.3. Sea el modelo de Ca an M⊂GyA∈M. Deno amos po
ΩM(A)=ΩG(A)∩M.
En onces, el abie o ΩM(A)es con ´ac il.
Demos aci´on. Sabemos que ΩG(A) es con ´ac il po la con acci´on γ( ). Bas a en-
onces que γ( ) no se salga de Mpa a odo .
Po el Teo ema 4.4.2 enemos que la con acci´on pe manece en la a iedad N,
pe o al se M=NeyA∈M, se e i ica que la con acci´on pe manece den o de la
a iedad de Ca an M.
Ve emos en el Cap´ı ulo 8 como da , a pa i de es os esul ados, ecub imien os
ca eg´o icos expl´ıci os m´ınimos de los espacios sim´e icos U(n)/O(n) y U(2n)/Sp(n).
64 II. 5 Sub a iedades c ´ı icas en g upos de Lie
Demos aci´on. De acue do con lo que acabamos de e bas a es udia el caso de la
ma iz Xdiagonal po bloques
X=




0
1I
...
kI




.
En p ime luga , supongamos que la ma iz no iene ce os en la diagonal. Si k= 1,
es amos en el segundo caso, X= I. Sea en onces
S=S00
0 kI,
Pa a es udia los pun os c ´ı icos de hG
Sesc ibimos las ma ices del g upo ambi´en
po bloques:
A=A0U
V A1, A1∈ Mnk×nk(K).
Al impone le la condici´on A∈Σ(hG
S)
A∗
0V∗
U∗A∗
1S00
0 kI=S00
0 kIA0U
V A1
ob enemos
A∗
0S0=S0A0
(5.1)
kV∗=S0U(5.2)
U∗S0= kV(5.3)
A∗
1=A1.(5.4)
Po o o lado, como Aes ´a en el g upo,
A0U
V A1A∗
0V∗
U∗A1=A∗
0V∗
U∗A1A0U
V A1=I0
0I
de donde, como A1es he m´ı ica,
V V ∗=U∗U.
Tenemos as´ı que
( kV∗)∗( kV∗) = 2
kV V ∗= 2
kU∗U,

5.1.4 Descomposici´on del conjun o de pun os c ´ı icos 65
luego, po la condici´on (5.2)
U∗S2
0U= 2
kU∗U.
Pa a la ma iz de la p ime a pa e de la igualdad, de o den nk×nk, ob enemos
que el elemen o i-´esimo de la diagonal es de la o ma:
2
1|u1i|2+. . .+ 2
1|un1i|2+ 2
2|un1+1i|2+. . .+ 2
2|un1+n2i|2+. . .+ 2
k−1|u(m−nk−1)+1i|2+. . . 2
k−1|umi|2
mien as que pa a la segunda:
2
k(|u1i|2+|u2i|2+. . . +|uki|2).
Po an o, de la igualdad de los dos p ime os elemen os de la diagonal ob enemos
( 2
k− 2
1)(|u11|2+. . . +|u2
n−11|)+( 2
k− 2
2)(|un1+11|2+. . . +|un1+n21|2)
+. . . + ( 2
k− 2
k−1)(|um−n(k−1)+11|2+. . . +|um1|2) = 0
y an´alogamen e pa a odos los dem´as. En onces, al se odos los au o alo es posi i os
y dis in os deducimos que Ues la ma iz nula y po an o, ambi´en V= 0.As´ı, los
pun os c ´ı icos se ´an de la o ma:
A=A00
0A1
donde A0es o ogonal y A0∈Σ(hS0) ( e condici´on 5.1) y A1es ambi´en o ogonal
y pun o c ´ı ico de h kI.
Finalmen e, si hubiese un bloque de ce os de ama˜no n0en la diagonal,
X=0In00
0S,
ol iendo a conside a las ma ices del g upo po bloques,
A=A0M
N A1, A0∈ Mn0×n0(K)
la condici´on de se pun o c ´ı ico se educe a A0∈G,M=N= 0 y A1o ogonal
al que S∗=A1SA1. En onces
Σ(hG
X) = On0(K)×Σ(hG
S).
66 II. 5 Sub a iedades c ´ı icas en g upos de Lie
5.2. Ca ac e izaci´on de las unciones de Mo se
5.2.1. P ueba median e la descomposici´on pola
Del es udio de la es uc u a del conjun o de pun os c ´ı icos y del esul ado pa a
la descomposici´on pola (Lema 5.1.1) se de i a la siguien e ca ac e izaci´on de las
unciones al u a en un g upo de Lie o ogonal Gque son de Mo se.
Teo ema 5.2.1. Dada X∈ Mn×n(K)la unci´on al u a hG
Xes de Mo se si y solo si
XX∗es in e sible y iene odos sus au o alo es dis in os.
Demos aci´on. Dada X∈ Mn×n(K) a bi a ia podemos esc ibi
X=US
con U=U∗ySsim´e ica ( e Teo ema 1.1.14). Bas´andonos en el Lema 5.1.1
podemos a i ma que hG
Xes de Mo se sii lo es hG
S. Pe o como Ses sim´e ica, odos
sus au o alo es son eales; luego
S=V DV ∗
pa a alguna D= diag( 1, . . . , n) con i∈R. De nue o, nos educimos a es udia
s´olo el caso de las ma ices diagonales ya que, seg´un el Lema 5.1.3, que hG
Ssea de
Mo se es equi alen e a que lo sea hG
D.
Si XX∗es in e sible y iene odos sus au o alo es dis in os, en onces los elemen-
os dis inguidos de DD∗=D2= diag( 2
1, . . . , 2
n) e i ica ´an que 2
i6= 2
jpa a i6=j
y i6= 0, pa a i, j ∈ {1, . . . , n}. En consecuencia, cuando i6=j,| i| 6=| j|, po an o,
hG
Des de Mo se.
An´alogamen e, cuando hG
Dsea de Mo se, eo denando y cambiando el signo si
uese necesa io, end emos que 0 < 1. . . < n. Se e i ica en onces que Des in e -
sible y po an o, ambi´en X. Adem´as, como odos los ison posi i os y i6= jsi
i6=j, 2
i6= 2
jpa a i6=j. Es deci , odos los au o alo es de XX∗son dis in os.
No a–. Es e esul ado es equi alen e a la a i maci´on que hacen I. Dynniko y A.
Veselo ; seg´un la cual la unci´on hG
Xen los g upos de Lie cl´asicos es de Mo se si y
solo si los au o alo es de la ma iz he m´ı ica de inida posi i a Sde la descomposici´on
pola X=SU son di e en es dos a dos [82].
5.2.2 P ueba median e la descomposici´on SVD 67
5.2.2. P ueba median e la descomposici´on SVD
De mane a an´aloga puede ob ene se es e mismo esul ado u ilizando la descom-
posici´on en alo es singula es ( e Teo ema 5.1.2) en ez de la descomposici´on pola .
Teo ema 5.2.2. Dada X∈ Mn×n(K)a bi a ia, la unci´on hG
Xes de Mo se sii los
alo es singula es de Xson dis in os y no nulos.
Demos aci´on. Sea X=UDV ∗la descomposici´on SVD de X. Po el Teo ema 5.1.2
enemos que
V∗(g ad hG
X)(A)U= (g ad hG
D)(V∗AU)
y
V∗(HhG
X)A(Y)U= (HhG
D)V∗AU (Y).
Adem´as, como UyVson ma ices o ogonales, se e i ica que la dim S(A) pa a la
unci´on hG
Xes la misma que dim S(V∗AU) pa a hG
D.
5.3. Es uc u a local del conjun o de pun os c ´ı i-
cos
El siguien e esul ado nos pe mi e da , a pa i de la ans o maci´on de Cayley
gene alizada, una ca a local del conjun o de pun os c ´ı icos de una unci´on de Bo -
Mo se en un g upo de Lie. Se p ueba con la misma ´ecnica que emplea emos pa a
espacios sim´e icos ( e Teo . 6.2.1) o bien deduci´endolo como un caso pa icula de
es e mismo Teo ema.
Sea hG
Xuna unci´on al u a a bi a ia en un g upo de Lie G=O(n, K) y Σ(hG
X)
el conjun o de pun os c ´ı icos de hG
X. Si A∈Σ(hG
X) es un pun o c ´ı ico, deno amos
po SG(A) al espacio ec o ial eal
SG(A) = {β0∈TA∗G:XAβ0+β0AX = 0}.
Podemos da en onces la siguien e ca a local pa a el conjun o de pun os c ´ı icos.
Teo ema 5.3.1. La ans o maci´on de Cayley gene alizada es ablece un di eomo -
ismo cA∗:SG(A)→Σ(hG
X)∩ΩG(A).
5.3.1. Ejemplos
Ejemplo 5.3.2 (Una unci´on al u a en un g upo o ogonal).Supongamos X=I
yK=C. En onces el conjun o de pun os c ´ı icos de la unci´on al u a hIson las
68 II. 5 Sub a iedades c ´ı icas en g upos de Lie
ma ices uni a ias A∈U(n) ales que A2=I. Una ma iz de es e ipo, he m´ı ica,
se puede diagonaliza a una diagonal D= diag(ε1, . . . , εn) con εk=±1.
Po o o lado, se e i ica que β0∈TAGsi y solo si la ma iz Aβ0es an ihe m´ı ica,
Aβ0=−β∗
0A, mien as que β0∈S(A) si y solo si Aβ0+β0A= 0.De donde se deduce
que β0 ambi´en iene que se he m´ı ica.
As´ı, po ejemplo, la Iy su opues a, −Ison pun os c ´ı icos y son aislados ya
que S(±I) = 0.Po o o lado, si omamos A= diag(Ip,−Iq),en onces pa a que β0
es ´e en el angen e TAGdebe se de la o ma
β0=0V∗
V0,
lo que implica que dim S(A) = 2pq. De hecho, ´es a es la dimensi´on de la ´o bi a
(c ´ı ica) de Aque es di eomo a a la G assmaniana compleja U(p+q)/(U(p)×U(q)).
Ejemplo 5.3.3 (Una ma iz diagonal de ango m´aximo).Conside emos aho a X=
diag(q1, . . . , qn) una ma iz diagonal con qk6= 0 y supongamos que |q1|< . . . < |qn|.
En es e caso, la condici´on del g adien e A∗X∗=XA implica que los pun os c ´ı icos
sean de la o ma
A= diag(±|q1|/q1,...,±|qn|/qn).
Aho a bien, como
XA =AX = diag(ε1|q1|, . . . , εn|qn|),con εk=±1,
enemos que S(A)=0,es deci , odos los pun os c ´ı icos son aislados.
Cap´ı ulo 6
Funciones de Bo -Mo se en los
espacios sim´e icos
En el Cap´ı ulo 3 ecogimos c´omo calcula los pun os c ´ı icos de unciones al u a
en un g upo de Lie Gde ipo o ogonal, uni a io o simpl´ec ico; aho a a amos de
analiza qu´e pun os c ´ı icos ienen es as unciones cuando las es udiamos en un espa-
cio sim´e ico M. La di icul ad es ´a en que es os pun os c ´ı icos no son simplemen e
los pun os c ´ı icos de la unci´on en el g upo que es ´an en el modelo de Ca an del
cocien e.
Como imos en 3.3, T. F ankel aplic´o la eo ´ıa de Bo -Mo se a los g upos de Lie
cl´asicos y a las a iedades de S ie el omando la ep esen aci´on ma icial de es os
g upos y usando la aplicaci´on aza como unci´on de Mo se [23]. S. Ramanujam
ob u o en [68] una descomposici´on de Mo se de cie os espacios sim´e icos G/K
usando una ´ecnica simila a la de F ankel. Un poco m´as a de, el p opio Ramanujam
[69] da un m´e odo al e na i o bas´andose jus amen e en el modelo de Ca an de modo
que iden i ica cada espacio sim´e ico con las ma ices que e i ican de e minadas
condiciones. As´ı, mues a que las sub a iedades c ´ı icas del cocien e G/K son la
in e secci´on del espacio G/K con las sub a iedades c ´ı icas de Gy ob iene a pa i
de ´es as ´ul imas los ´ındices de las sub a iedades c ´ı icas del cocien e.
El es udio que p oponemos aqu´ı incluye los esul ados de Ramanujam y F ankel
como casos pa icula es, pe o es mucho m´as amplio pues se es ablece pa a una
unci´on al u a a bi a ia.
Los esul ados que e emos en es e Cap´ı ulo los aplica emos en el Cap´ı ulo 8
pa a calcula ´apidamen e la ca ego ´ıa LS del g upo uni a io U(n) y de los espacios
sim´e icos compac os de ipo AI −SU(n)/SO(n)−y AII −SU(2n)/Sp(n)−,que
han sido es udiados ecien emen e po M. Mimu a y K. Suga a en [60]. En el caso
69

70 II. 6 Funciones de Bo -Mo se en los espacios sim´e icos
del g upo simpl´ec ico Sp(2) p opo ciona emos a pa i de la eo ´ıa de Mo se un
ecub imien o expl´ıci o po cua o abie os con ´ac iles.
6.1. Funciones al u a en el modelo de Ca an
Necesi amos e qui´en es el angen e al espacio sim´e ico en cada pun o, calcula
el g adien e en el cocien e y e cu´ando se anula la exp esi´on ob enida; as´ımismo, pa-
a comp oba qu´e pun os c ´ı icos son no degene ados, necesi amos ob ene ambi´en
el ope ado Hessiano.
6.1.1. Espacio angen e
Reco demos que en un espacio sim´e ico G/K ∼
=Mel g upo Gac ´ua ansi i a-
men e sob e M⊂Nmedian e la acci´on g·m=gσ(g)−1, siendo
M={h∈G:h=gσ(g)−1}
la componen e conexa que con iene al neu o de
N={g∈G:g=σ(g)−1}.
Buscamos una exp esi´on que ca ac e ice las ma ices del angen e en un pun o
a bi a io.
Lema 6.1.1. Dado Mel modelo de Ca an de un espacio sim´e ico,
1. el angen e en el neu o a la a iedad M iene dado po
TIM={X∈ Mn×n(K): X+X∗= 0, σ(X) = −X};
2. luego, pa a una ma iz cualquie a A∈M,
TAM={X∈ Mn×n(K): A∗X+X∗A= 0, σ(X) = −A∗XA∗}.
Demos aci´on. 1. Como M=Ne, TIM=TINy al se σlineal, de i ando en la
cons ucci´on de N={X∈G:X−1=σ(X)},se iene que
TIN={X∈TIG:−X=σ(X)}
es deci ,
TIN={X∈ Mn×n(K): X+X∗= 0, σ(X) = −X}.
6.1.1 Espacio angen e 71
2. Sea A∈M, i.e, AA∗=Iy al que A=Y σ(Y)−1pa a alg´un Y∈G; como G
ac ´ua ansi i amen e en Mmedian e lM
Y(m) = Y mσ(Y)−1en onces
TAM= (lM
Y)∗I(TIM).
Luego X∈TAMsii (lM
Y)−1
∗I(Z)∈TIM. Pe o la acci´on lM
Y(m) es lineal en m
de modo que
X∈TAMsii (lM
Y)−1(Z)∈TIM,
es deci ,
Y∗Zσ(Y)∈TIM.
De la exp esi´on ob enida pa a el angen e en el neu o y u ilizando que el
au omo ismo σes in olu i o se deduce la condici´on que busc´abamos.
La m´e ica en el espacio de las ma ices Mn×n(K) nos da un p oduc o escala en
el espacio angen e al g upo TgG. Adem´as, pa a U∈Glas aslaciones en el espacio
sim´e ico inducido son de la o ma lM
U(m) = Umσ(U)−1.
Lema 6.1.2. Pa a un g upo o ogonal G⊂ Mn×n(K)se e i ica que
1. la m´e ica inducida es bi-in a ian e pa a las aslaciones de G;
2. pa a U∈Glas aslaciones lM
Uson isome ´ıas.
Demos aci´on. 1. Pa a oda Udel g upo
hUA, UBi=<T (A∗U∗UB) = <T (A∗B) = hA, Bi
y
hAU, BUi=<T (U∗A∗BU) = <T (A∗BUU∗) = hA, Bi.
2. Como TmM⊂TmG,
hlM
U(A), lM
U(B)i=hUAσ(U)−1, UBσ(U)−1i
=<T (σ(U)A∗U∗UBσ(U)∗) = hA, Bi.
Lema 6.1.3. La p oyecci´on can´onica p:G7→ M⊂G al que p(g) = gσ(g)−1es
una subme si´on iemanniana.
72 II. 6 Funciones de Bo -Mo se en los espacios sim´e icos
6.1.2. G adien e
Dada la unci´on al u a hX(A) = <T (XA) en el espacio ec o ial de las ma ices
M=Mn×n(K), su g adien e iene dado po (g ad hM
X)(A) = X∗.Pa a ob ene el
g adien e en un espacio sim´e ico Mbas a con p oyec a lo al TAM.
Lema 6.1.4. Dado Z∈TIM,la p oyecci´on de Zen TIGes 1
2(Z−Z∗).La p oyecci´on
de ´es e en m=TIMco esponde a la pa e de Zan iin a ian e po σ,
1
4((Z−Z∗)−σ(Z−Z∗)) .
Demos aci´on. Podemos descompone el angen e a Mn×n(K) en el neu o como
TIM=TIG⊕g⊥=m⊕h⊕g⊥.
As´ı, dado Z∈TIM,su descomposici´on en pa e an ihe m´ı ica y pa e he m´ı ica es
Z=1
2(Z−Z∗) + 1
2(Z+Z∗).
Llamemos X=1
2(Z−Z∗) al sumando an ihe m´ı ico. En onces, X=A+Bdonde
A=−A∗, σ(A) = −AyB=−B∗, σ(B) = B. U ilizando que σes de ´algeb as se
ob iene
X=1
2[(X−σ(X)) + (X+σ(X)] ,
de modo que
Z=1
21
2(Z−Z∗)−1
2σ(Z−Z∗)+1
21
2(Z−Z∗) + 1
2σ(Z−Z∗)+1
2(Z+Z∗).
P oposici´on 6.1.5. Dada una unci´on al u a en el modelo de Ca an Mde un
espacio sim´e ico, hX:M→R, el g adien e en un pun o A∈M iene dado po
(g ad hM
X)(A) = 1
4b
X−Aσ(b
X)A,
donde b
X=X∗+σ(X).
Demos aci´on. Po el Lema 6.1.4, enemos el g adien e en el neu o
(g ad hM
X)(I) = 1
4[(X−X∗)−σ(X−X∗)] .
Es inmedia o comp oba que ((g ad hM
X)(I))∗=−(g ad hM
X)(I) = σ(g ad hM
X)(I)).
6.1.3 Hessiano 73
Como las aslaciones son isome ´ıas ( ´ease Lema 6.1.2), pa a calcula el g a-
dien e en A=Y σ(Y)−1, bas a hace la aslaci´on po lM
Yde la pa e angen e de
lM
Y(g ad hM
X)(A)=lM
Y(X∗),
es deci ,
Y1
4(Y−1X∗σ(Y)−σ(Y)∗XY −σ(Y−1X∗σ(Y)−σ(Y)∗XY ))σ(Y)∗=
1
4(X∗+σ(X)) −A(X+σ(X)∗)A.
Co ola io 6.1.6. A∈Mes un pun o c ´ı ico de hM
Xsii b
X=Aσ(b
X)A.
N´o ese que σ(b
X)∗=b
X, de modo que de la condici´on del g adien e en g upos de
Lie (Lema 3.3.3) se de i a el siguien e eo ema.
Teo ema 6.1.7. Dado un espacio sim´e ico M∼
=G/K se e i ica que A∈Mes
un pun o c ´ı ico de hM
Xsii es un pun o c ´ı ico de hG
σ(
b
X).
6.1.3. Hessiano
A pa i de la exp esi´on que hemos ob enido pa a el g adien e podemos ob ene
una exp esi´on expl´ıci a del Hessiano de una unci´on al u a en un espacio sim´e ico.
P oposici´on 6.1.8. Dada una unci´on al u a hM
Xsu Hessiano (HhM
X)A:TAM→
TAMen un pun o A∈M, iene dado po
H(hM
X)A(U) = −1
4Aσ(b
X)U+Uσ(b
X)A,
donde b
X=X∗+σ(X).
Demos aci´on.
l´ım
→0
1
[(g ad hXM)(A+ U)−(g ad hXM)(A)] =
l´ım
→0
1
4 h−Aσ(b
X)A−Aσ(b
X) U − Uσ(b
X)A− Uσ(b
X) U +Aσ(b
X)Ai=
l´ım
→0
1
4h−Aσ(b
X)U−Uσ(b
X)A− Uσ(b
X)Ui.
80 II. 6 Funciones de Bo -Mo se en los espacios sim´e icos
No a–. Seg´un Ramanujam [68], el lujo del g adien e de la unci´on al u a hM
Xque
pasa po un pun o A∈Mse man iene den o de M. Es o es cie o po que es-
e au o es udia ´unicamen e el caso de F ankel, la unci´on al u a con espec o a
la iden idad hI. En [82] Dynniko y Veselo a i man que los espacios sim´e icos
U(2n)/Sp(n),Sp(n)/U(n) y U(n)/O(n) pe manecen in a ian es po el lujo del g a-
dien e de las unciones al u a en los g upos de Lie co espondien es.
Sin emba go, po el Teo ema 6.1.7, es o ´unicamen e podemos asegu a lo cuando
el au omo ismo σes al que X=σ(b
X), caso en el que pod ´ıa e o mula se 6.1.7
como sigue:
Teo ema 6.2.5. Dado un espacio sim´e ico M∼
=G/K y una X∈ Mn×n(K) al que
σ(b
X) = Xen onces, los pun os c ´ı icos de la unci´on al u a hM
X es ingida a M
e i ican que
Σ(hM
X) = Σ(hG
X)∩M.
Pa a las unciones al u a que escogen Dynniko y Veselo la ma ix Xes siemp e
una ma iz diagonal eal, pe o en gene al el esul ado no es cie o.
En gene al, pa a los espacios sim´e icos ales que el au omo ismo σ e i ica que
σ(D) = Dpa a cualquie Ddiagonal eal, enemos el siguien e esul ado.
Lema 6.2.6. Un pun o A∈Mes un pun o c ´ı ico de hM
Xsi y solo si U∗AV es un
pun o c ´ı ico de hM
D, donde Des la ma iz diagonal de la descomposici´on SVD de
b
X,b
X=UDV ∗. Adem´as,
U∗(g ad hM
X)(A)V=1
2((g ad hM
D)(U∗AV ))
Demos aci´on. Po la P oposici´on 6.1.5 enemos que
(g ad hM
X)(A) = 1
4b
X−Aσ(b
X)A,
donde b
X=X∗+σ(X).Luego, como σ(b
X) = b
X∗,
(g ad hM
X)(A) = 1
4(UDV ∗−AV DU∗A),
es deci ,
U∗(g ad hM
X)(A)V=1
4(D−U∗AV DU∗AV ).
Po o o lado, como nos hemos es ingido a los casos en los que σ(D) = D, enemos
que b
D= 2D. As´ı el g adien e pa a la unci´on al u a con espec o a la ma iz diagonal
Des p ecisamen e (g ad hM
D)(B) = 1
2(D−BDB).

6.2.2 Relaci´on en e los lujos de los g adien es en el espacio sim´e ico y en el g upo81
Es o se e i ica pa a odos los espacios sim´e icos de ipo cl´asico ecogidos en la
Tabla de la Subsecci´on 2.3.1 excep o pa a U(2n)/Sp(n) y SO(2n)/U(n).
A la is a del Lema 6.2.6 pod ´ıa pensa se que en o den a ob ene una ca ac-
e izaci´on an´aloga a la del Teo ema 5.2.2 bas a ´ıa aho a es udia la dimensi´on del
subespacio ec o ial SM(A) pa a la unci´on al u a hM
D. Sin emba go, en el ´ambi o
de los espacios sim´e icos es o ca ece de sen ido pues en gene al, el TAMy el TU∗AV
no gua dan elaci´on (´unicamen e pueden elaciona se si las ma ices UyVde la
descomposici´on SVD de b
Xy el au omo ismo σ e i icasen que V=b
U). Po an o,
en p incipio, el ca ac e degene ado o no de los pun os c ´ı icos de hM
Xno iene que
e con el de los de la unci´on hM
D.
Si buscamos una ca ac e izaci´on an´aloga a la que ob u imos en el ´ambi o de los
g upos de Lie ( e Teo ema 5.2.1), la di icul ad mayo adica en que la descomposi-
ci´on pola no es compa ible con la es uc u a del modelo de Ca an. De nue o, es o
nos impide educi nos a la unciones al u a del ipo hM
Dcon Ddiagonal. Pensamos
en onces que se ´ıa in e esan e in es iga si es posible ob ene una descomposici´on
pola gene alizada del ipo de la que p oponen au o es como H.Z. Mun he-Kaas e
al. [62] o J.D. Lawson [56] en el ´ambi o de los espacios sim´e icos. Si pudi´esemos
cons ui al descomposici´on, pod ´ıa pe mi i nos educi una ma iz Xde Ma una
diagonal sin sali nos del modelo de Ca an. De hecho, la descomposici´on pola gene-
alizada en un g upo de Lie gua da elaci´on es echa con el au omo ismo in olu i o
y la descomposici´on que ´es e induce en el g upo. En el ´ambi o de los g upos de Lie,
es a descomposici´on pe mi e exp esa un elemen o del g upo como p oduc o de un
ac o en un espacio sim´e ico po o o en un subg upo de Lie del g upo dado. En
el a ´ıculo de Lawson ci ado es e au o ca ac e iza los g upos de Lie en los que se
iene la exis encia y unicidad de dicha descomposici´on. Los abajos de Mun he-
Kaas e al. p oponen una p ueba al e na i a pa a la exis encia (y unicidad) local
de la descomposici´on pola y ob iene expl´ıci amen e se ies en el ´algeb a de Lie que
de e minan de mane a ´unica los dos ac o es de la descomposici´on pa a ma ices
ce canas a la iden idad.
82 II. 6 Funciones de Bo -Mo se en los espacios sim´e icos
Cap´ı ulo 7
Au o alo es cua e ni´onicos po la
izquie da
En es e cap´ı ulo desa ollamos los esul ados que hemos ob enido en el ´ambi o
de los au o alo es po la izquie da de ma ides cua e ni´onicas. En pa icula , p o-
po cionamos una nue a demos aci´on del esul ado de Huang y So (Teo . 1.3.6)
as´ı como una ca ac e izaci´on de las ma ices 2 ×2 simpl´ec icas cuyo espec o po
la izquie da es in ini o. Es e esul ado nos pe mi i ´a discu i al inal de la Memo ia,
en el Cap´ı ulo 8 la posibilidad de ecub i el g upo Sp(2) po abie os asociados a
au o alo es.
Los es udios conocidos has a el momen o pa a au o alo es po la izquie da son de
na u aleza algeb aica y di ´ıciles de gene aliza pa a ma ices de o den n > 3. P opo-
nemos aqu´ı una noci´on de unci´on ca ac e ´ıs ica µpa a las ma ices cua e ni´onicas
al que las a´ıces de la ecuaci´on µ(λ) = 0 son los au o alo es po la izquie da de
la ma iz. En gene al, es a µse ´a una unci´on acional y nos pe mi i ´a ealiza un
es udio opol´ogico del espec o po la izquie da de las ma ices de o den dos y es
calculando su di e encial y u ilizando la eo ´ıa del g ado. Apa en emen e, es e nue o
m´e odo es m´as ´acil de gene aliza pa a las ma ices de o den n > 3.
Un ema que ha su gido de mane a na u al al es udia es a unci´on ca ac e ´ıs ica,
aunque no iene elaci´on di ec a con la ca ego ´ıa LS, es la posibilidad de ex ende el
eo ema de Cayley-Hamil on. Comp obamos que pa a ma ices de o den dos y es
es a unci´on ca ac e ´ıs ica lo e i ica, es deci la ex ensi´on na u al de µa las ma ices
cumple que µM(M) = 0. Es de espe a que es e esul ado sea cie o pa a cualquie
o den mayo que es pe o no hemos podido comp oba lo ya que ninguna de las
demos aciones de es e eo ema en el ´ambi o conmu a i o pa ecen pode aplica se
en el caso cua e ni´onico.
83
84 II. 7 Au o alo es cua e ni´onicos po la izquie da
7.1. Au o alo es po la izquie da
Los au o alo es po la izquie da de una ma iz cua e ni´onica es ´an muy poco
es udiados. Es ob io que no pueden ex ende se de mane a sencilla los m´e odos p o-
pios del ´ambi o conmu a i o y has a hoy no hay un m´e odo sis em´a ico que pe mi a
acome e su es udio. Como a i maba Suzuki en el a˜no 2008 [80],
“pa a una ma iz con en adas no conmu a i as, no es ´an de inidos el
de e minan e o la unci´on ca ac e ´ıs ica po el p oblema del o den. Po
lo an o, los “au o alo es” usados en la descomposici´on espec al no es ´an
de inidos y, has a aho a, no enemos un m´e odo sis em´a ico pa a calcula
una unci´on de una ma iz con en adas no conmu a i as.”
De la de inici´on de au o alo po la izquie da (De . 1.3.1) se de i a que λ∈σl(M)
si y s´olo si M−λI no es in e sible. La idea que aqu´ı p oponemos es u iliza el
de e minan e de S udy ( e Secci´on 1.2) pa a es udia el espec o po la izquie da.
En p incipio, la ecuaci´on Sde (M−λI) = 0 no iene po qu´e se un polinomio y
en gene al no se sabe esol e . En [7, 33] pueden e se dos m´e odos di e en es pa a
esol e la en el caso 2 ×2. No es ´a cla o que odos los au o alo es de una ma iz
cua e ni´onica de o den n×npuedan halla se esol iendo polinomios cua e ni´onicos
de g ado meno o igual que n. Po aho a, s´olo se ha podido comp oba que has a
o den 3 s´ı es posible pues en 2005 W. So ob u o ´o mulas expl´ıci as pa a o den 3
ecogidas en [77]. Como ya hemos is o, al ma gen de es os c´alculos espec´ı icos, en
el a˜no 1985, R.M.W. Wood [88] p ob´o, usando m´e odos homo ´opicos, que cualquie
ma iz cua e ni´onica iene al menos un au o alo po la izquie da.
7.1.1. Au o alo es de las ma ices 2×2
Pa a n= 2, Huang y So die on en [33] una ca ac e izaci´on de las ma ices con
in ini os au o alo es po la izquie da. Su esul ado ( e Teo ema 1.3.6) es ´a basado
en una se ie de ´o mulas expl´ıci as pa a esol e algunas ecuaciones cuad ´a icas
ob enidas p e iamen e po los mismos au o es ( e Teo ema 1.4.2) [34]. M´as a de,
De Leo e al. p opusie on en [54] un m´e odo al e na i o de esol e ecuaciones
polin´omicas unila e ales que educe el p oblema a encon a los au o alo es po
la de echa de una ma iz asociada a la ecuaci´on (ma iz compa˜ne a). P oponemos
aqu´ı un modo nue o de p oba los esul ados de Huang y So bas´andonos en el m´e odo
de De Leo e al.
A lo la go de oda la secci´on Adeno a una ma iz cua e ni´onica 2 ×2,
A=a b
c b∈ M2×2(H)
7.1.1 Au o alo es de las ma ices 2 ×2 85
ya1, a0los coe icien es a1=b−1(a−d) y a0=−b−1c.
Nue a demos aci´on del eo ema de Huang y So
El Teo ema 1.3.6 de Huang y So ca ac e iza comple amen e las ma ices de
o den 2 ×2 con in ini os au o alo es. La p ueba o iginal consis e en i es udiando
qu´e ocu e en cada caso u ilizando las ´o mulas que hab´ıan ob enido en [33] pa a
esol e ecuaciones del ipo (7.1). En pa icula p oba on que, en el caso de que haya
in ini os au o alo es, ´es os ienen dados po la exp esi´on (a+d+bξ)/2, donde ξes
un cua e nio sin pa e eal, ξ∈ hi,j,ki, al que el cuad ado del m´odulo es |ξ|2=|∆|
con ∆ = a2
1−4a0.
Es ´acil e que las condiciones del Teo ema 1.3.6 son su icien es. De hecho, si
a0=s,a1= ,s, ∈R, en onces, la de inici´on de au o alo nos da la exp esi´on
λ2+ λ +s= 0, que, despu´es de hace el cambio p=λ+ /2, nos da la ecuaci´on
p2= ∆/4<0 que iene in ini as soluciones del ipo
p= (√−∆/2)ω, ω ∈ hi,j,ki,|ω|= 1.
En cuan o a la necesidad de las condiciones da emos una p ueba al e na i a. La
cons uimos bas´andonos en un m´e odo elegan e pa a esol e ecuaciones, p opues o
po De Leo e al en [54], como mejo a de un algo i mo p e io de Se ˆodio e al. [73].
Veamos expl´ıci amen e en qu´e consis e es e algo i mo.
Algo i mo de De Leo
Sea
M=−a1−a0
1 0 
la ma iz compa˜ne a de la ecuaci´on
(7.1) p2+a1p+a0= 0,
Mp
1=−a1p−a0
p=p2
p=p
1p,
lo cual nos mues a que, si que emos encon a soluciones de (7.1) debemos busca
au o alo es po la de echa pde Mco espondien es a au o ec o es de la o ma (p, 1).
Siguiendo a [54] llama emos a pau o alo po la de echa especial.
Luego, pa a esol e la ecuaci´on (7.1) necesi amos, en p ime luga , encon a
los au o alo es po la de echa de la ma iz compa˜ne a M. Seg´un la P oposici´on
1.1.8, ´es os se co esponden con la clase de simili ud de los au o alo es de su o ma

86 II. 7 Au o alo es cua e ni´onicos po la izquie da
compleja 4 ×4, c(M), y se pueden calcula esol iendo la ecuaci´on ca ac e ´ıs ica
de (c(M)−qI) = 0. Como ya hab´ıamos is o, debido a la o ma de c(M) sus
au o alo es apa ecen en pa es q1, q1, q2, q2.
Au o ec o es po la de echa.
Pa a calcula los au o ec o es, conside emos el C-isomo ismo
(7.2) (z0, z)∈C27→ z0+jz∈H.
P oposici´on 7.1.1. (u0, u, 0, )∈C4es un z-au o ec o de la o ma compleja c(M)
si y solo si (u0+j 0, u +j )es z-au o ec o po la de echa de M.
Soluciones de la ecuaci´on.
Pasemos en onces a calcula las soluciones de (7.1). Una ez que hayamos en-
con ado un au o alo complejo qde la ma iz compa˜ne a My alg´un q-au o ec o
(u0, u) obse amos que, debido a la o ma espec´ı ica de M,u0=uq. Po an o, po
la P oposici´on 1.1.7 el ec o
u0
uu−1=uqu−1
1
es un uqu−1-au o ec o , es o es p=uqu−1es un au o alo especial de la clase de
simili ud de [q] y po an o, es la soluci´on deseada.
N´o ese que, po la P oposici´on 1.1.7, dos au o ec o es H-linealmen e dependien-
es dan luga al mismo au o alo especial
Ejemplo 7.1.2. Tomamos A=i+j j
−1−j i + 2j∈ M2×2(H).La ma iz com-
pa˜ne a del polinomio p2+a1p+a0es M=1−1 + j
1 0 cuya o ma compleja iene
dada po
c(M) = 



1−1 0 1
1 0 0 0
011−1
0 0 1 0



.
Los au o alo es de c(M) son {1+i,1−i,i,−i}con au o ec o es asociados los subes-
pacios de C4gene ados po (−1 + i,i,1 + i,1),(−1−i,−i,1−i,1),(1,−i,i,1) y
(1,i,−i,1) espec i amen e. En onces, los au o alo es po la de echa de Mson o-
dos los cua e nios de la clase de simili ud de q1= 1 + iy de q2=i.
Tenemos pues que q1= 1+ies un au o alo po la de echa de Mcon au o ec o
asociado (−1+i+j−k,i+j) (P op. 7.1.1), luego p1= 1+jes un au o alo especial
7.1.1 Au o alo es de las ma ices 2 ×2 87
de la ma iz compa˜ne a M. An´alogamen e, (1 −k,−i+j) es un i- au o ec o po
la de echa, a pa i del cual ob enemos el au o alo especial p2=−j.
Es deci , p1= 1+jyp2=−json las soluciones de la ecuaci´on p2−p+(1+j)=0
y po an o, λ1=−1 + i+ 2jyλ2= 1 + i+json los au o alo es po la izquie da
de la ma iz A.
N´ume o de au o alo es de las ma ices 2×2.
Es amos aho a en condiciones de discu i el n´ume o de soluciones de la ecuaci´on
(7.1). Es o es lo que nos da ´a una nue a p ueba del Teo ema 1.3.6. Da emos una
o ma opol´ogica de e es e esul ado en la Subsecci´on 7.3.3.
Cada uno de los au o alo es qde la o ma compleja c(M)∈ M4×4(C) iene
asociado un espacio ec o ial complejo de au o alo es al que deno a emos po V(q)⊂
C4. Sabiendo que sus dimensiones complejas suman 4 podemos e cu´ales son las
posibles dimensiones de V(qk) y V(qk), 1 ≤k≤2.
1. Si los cua o au o alo es q1,q1, q2, q2son di e en es, en onces cada V(qk) iene
dimensi´on 1. Es el caso en el que nos dan dos complejos di e en es y sus
conjugados. Los espacios de au o ec o es V(q1), V (q2) son ec as y nos dan
dos au o alo es especiales p1yp2. Las ec as de sus conjugados nos da ´an los
mismos au o alo es especiales, po an o, M iene exac amen e dos au o alo es
especiales, es deci , hay exac amen e dos soluciones.
2. Si alg´un au o alo es eal, po ejemplo q1∈R, en onces los ´unicos cua e nios
simila es q1 −1son ´el mismo y p1=q1, independien emen e de la dimensi´on
de V(q1). En onces hab ´a una o dos soluciones dependiendo de que q1=q2o
no.
3. El ´unico caso en el que pueden apa ece in ini os au o alo es especiales es
cuando los au o alo es son iguales y complejos no eales, q1=q26∈ R, lo que
lle a consigo que dimCV(q1) = 2 = dimCV(q1).
Nos ijamos en onces en el e ce caso, el ´unico en el que Mpuede ene in ini os
au o alo es po la izquie da, cuando c(M) s´olo iene como au o alo es un complejo
y su conjugado q1, q1. La siguien e p oposici´on p ueba que en es e caso enemos
ealmen e un n´ume o in ini o de soluciones (n´o ese que q16∈ R).
P oposici´on 7.1.3. En el e ce caso odos los cua e nios simila es a q1son au o-
alo es especiales po la de echa de M.
88 II. 7 Au o alo es cua e ni´onicos po la izquie da
Demos aci´on. Tomemos una C-base ˜u, ˜ del espacio de au o ec o es V(q1)⊂C4y
los co espondien es ec o es , w en H2po el ismo ismo (7.2). Como ´es os ´ul imos
son de la o ma (uq, q), se iene que las segundas coo denadas 2, w2de ywson
C-independien es en Hy po an o, una C-base. Es o signi ica que los au o alo es
especiales p=uq1u−1, donde ues una C-combinaci´on lineal de 2yw2, eco en
odos los posibles cua e nios de la clase de simili ud de q1.
Las condiciones de Huang y So.
Queda aho a comp oba que en el caso 3 se e i ican las condiciones del Teo ema
1.3.6 de Huang y So.
Sea q1=x+iy,y6= 0, uno de los dos au o alo es complejos de c(M) y sea p∈[q1]
cualquie au o alo especial de M. Como <(p) = <(q1) y |p|=|q1|, podemos esc ibi
p=x+|y|ω, donde ω∈H0=hi,j,kicon |ω|= 1.
Pongamos a1= +ξ1, con ∈Ryξ1∈H0. Si esc ibimos la ecuaci´on (7.1) de la
o ma a0=−(p+a1)ppodemos deduci que
<(a0) = x +x2−|y|2+|y|<(ξ1ω).
Po an o, |y|hξ1, ωino depende de ω. Como y6= 0, el siguien e Lema 7.1.4 a i ma
que ξ1= 0, i.e. a1∈R.
Lema 7.1.4. Sea ξ∈H0 e i icando que pa a cualquie pa de ec o es ω, ω0∈Ω,
se anula el p oduc o hξ, ω −ω0i= 0. En onces ξ= 0.
Demos aci´on. Sea ξ=xi+yj+zk6= 0. Podemos supone que x6= 0 (los o os
casos son an´alogos). Tomemos cualquie ω∈Ω o ogonal a ξyω0=i. En onces
hξ, ω −ω0i=x6= 0.
Una consecuencia de la P oposici´on 7.1.3 es que p=q1es un au o alo especial
de M, de mane a que, po la ecuaci´on (7.1), a0es un n´ume o complejo. Como q1
es ambi´en una soluci´on, deducimos que a0=a0es un n´ume o eal. Finalmen e, de
que q2
1+a1q1+a0= 0 se sigue que a2
1−4a0<0 po que q1/∈R.
Es o comple a la e i icaci´on de las condiciones de Huang y So dadas en el
Teo ema 1.3.6.
7.1.2. Au o alo es po la izquie da de las ma ices simpl´ec i-
cas
P oposici´on 7.1.5. Los au o alo es po la izquie da de una ma iz simpl´ec ica
ienen m´odulo 1.
7.1.2 Au o alo es po la izquie da de las ma ices simpl´ec icas 89
Demos aci´on. Sea A∈Sp(n), es deci , A∗A=I. Si A =λ en onces
0<| |2=hA , A i=hλ , λ i= ∗λλ = ∗|λ|2 =|λ|2| |2.
Usamos aho a la clasi icaci´on gene al de las ma ices de o den 2 seg´un el n´ume o
de au o alo es pa a ca ac e iza las ma ices de Sp(2) cuyo espec o po la izquie da
es in ini o. Asimismo, damos la o ma expl´ıci a de los au o alo es de es as ma ices.
Con es a ca ac e izaci´on p oba emos que dados cua o cua e nios a bi a ios de
no ma 1 siemp e hay alguna ma iz de Sp(2) pa a la cual es os cua e nios son
au o alo es po la izquie da. Es e esul ado no es i ial y nos se ´a de u ilidad pa a
es udia la ca ego ´ıa LS de Sp(2), como e emos en el Cap´ı ulo 8.
Fo ma gene al de las ma ices de Sp(2)
Conside emos el g upo de Lie 10-dimensional Sp(2) o mado po las ma ices
simpl´ec icas 2 ×2, es deci , ma ices cua e ni´onicas A ales que A∗A=I. Des-
de el pun o de is a geom´e ico, es as ma ices co esponden a los endomo ismos
H-lineales po la de echa de H2que conse an el p oduc o he m´ı ico hu, i=u∗ .
As´ı, una ma iz es simpl´ec ica si y solo si sus columnas o man una base o ono mal
pa a es e p oduc o he m´ı ico.
Buscamos una exp esi´on gene al de una ma iz simpl´ec ica cualquie a.
P oposici´on 7.1.6. Una ma iz simpl´ec ica A∈Sp(2) o bien es diagonal o bien es
de la o ma
A=α−βγ
β βαβγ/|β|2, β 6= 0,|α|2+|β|2= 1,|γ|= 1.
Demos aci´on. Po de inici´on, las dos columnas A1,A2de A o man una base o o-
no mal de H2pa a el p oduc o he m´ı ico. Sea la p ime a
A1=α
β, α, β ∈H,|α|2+|β|2= 1.
Si β= 0, Aes una ma iz diagonal diag(α, δ) con |α|=1=|δ|.
Si β6= 0, conside emos la aplicaci´on H-lineal po la de echa hA1,−i:H2→H,
que es sob e po que |A1|= 1. En onces su n´ucleo K= (A1)⊥ iene dimensi´on
dimHK= 1. Cla amen e, el ec o
u=−β
βαβ/|β|26= 0,
96 II. 7 Au o alo es cua e ni´onicos po la izquie da
7.2. Funciones ca ac e ´ıs icas de las ma ices cua-
e ni´onicas
Al inal del a ´ıculo [88] al que nos e e ´ıamos al in oduci los au o alo es po
la izquie da, Wood hace no a que
“en el caso 2×2 de la ma iz a b
c dhay un de e minan e pa cialmen e
de inido b−ac−1dy una unci´on ca ac e ´ıs ica pa cialmen e de inida
(7.3) λc−1λ−λc−1d−ac−1λ−b+ [ac−1d]=0
que educe el p oblema de los au o alo es al eo ema undamen al [del
´algeb a]. Las di icul ades empiezan con las ma ices 3 ×3”.
Wood dice ambi´en que
“desa o unadamen e, pa ece no habe una unci´on de e minan e adecua-
da en el caso cua e ni´onico pa a educi el p oblema de los au o alo es
al eo ema undamen al del ´algeb a.”
7.2.1. An eceden es
En p ime luga , comen emos b e emen e ´es e p oblema pa a los au o alo es po
la de echa. Sea c(M)∈ M2n×2n(C) la o ma compleja de la ma iz M∈ Mn×n(H)
( e Subsecci´on 1.1.4). En onces, como ecogimos al es udia los au o alo es po la
de echa (Subsecc. 1.1.5), ´es os son odos los cua e nios qzq−1, donde q∈H, q 6=
0,yzes un au o alo complejo de c(M).Es deci , z∈Ces a´ız del polinomio
ca ac e ´ıs ico complejo p(z) = de (c(M)−zI), pe o a pa i de p(z) no puede
ob ene se un polinomio cua e ni´onico ( e ambi´en la Secci´on 7.4.4).
El p oblema es encon a una unci´on ca ac e ´ıs ica pa a ma ices cua e ni´onicas
de o den nque p opo cione los au o alo es po la izquie da. En el caso pa icula de
las ma ices he m´ı icas, como odos sus au o alo es po la de echa son eales ( e
P op. 1.2.13), los espec os po la izquie da y po la de echa coinciden, de modo que
puede cons ui se un polinomio ca ac e ´ıs ico con a iable eal
p( ) = de (M− I),con ∈R,
donde de es el de e minan e de las ma ices he m´ı icas de inido en la Subsecci´on
1.2.3. Las a´ıces de es e polinomio son los au o alo es (po la izquie da y po la de e-
cha) de M. Es e polinomio ca ac e ´ıs ico coincide con la nue a unci´on ca ac e ´ıs ica
que p opond emos en la Subsecci´on 7.2.2.

7.2.1 An eceden es 97
F. Zhang p opone u iliza el polinomio ca ac e ´ıs ico complejo pa a ob ene una
nue a unci´on en C×Ca pa i de la cual se pueden ob ene los au o alo es po la
izquie da. En [90] u iliza que un cua e nio λes un au o alo po la izquie da de la
ma iz M∈ Mn×n(H) si exis e alg´un ∈C2n, 6= 0, al que
c(M−λI) = 0,
ya que la o ma compleja de la ma iz cua e ni´onica M−λI es singula . Si exp e-
samos M=X+jY, con X, Y ∈ Mn×n(C) y λ=x+jy, con x, y ∈C,λes un
au o alo po la izquie da de Msi y solo si es a´ız de la unci´on σ:C×C→Rdada
po
(7.4) σ(x, y) = de X−xI −Y+yI
Y−yI X −xI ,
pe o es a σ(x, y) ni siquie a es una unci´on en los coe icien es de la ma iz M.
O a ap oximaci´on a la noci´on de unci´on ca ac e ´ıs ica cua e ni´onica es la de
I. Gel and e alii. Es os au o es u ilizan los quaside e minan es pa a cons ui un-
ciones ca ac e ´ıs icas de ma ices cua e ni´onicas [27]. Pa a cada ma iz cuad ada de
o den nde inen n2 unciones ca ac e ´ıs icas como sigue.
De inici´on 7.2.1. Sea A∈ Mn×n(H),se de inen las GR- unciones ca ac e ´ıs icas
de Acomo
ij(λ) = |λI −A|ij pa a 1 ⩽i, j ⩽n,
donde |·|ij es el (i, j)−quaside e minan e.
A pa i del eo ema que gene aliza la iden idad de Jacobi al caso cua e ni´onico
(Teo . 1.2.23) podemos a i ma que es as GR- unciones ca ac e ´ıs icas e i ican que
odas sus a´ıces son au o alo es po la izquie da. Sin emba go, ninguna de ellas nos
da odos los au o alo es po la izquie da. Sus a´ıces no son los au o alo es po la
de echa. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 7.2.2. Tomamos la ma iz iangula B=

i0 0
k j 0
−3i2k k

. Su espec o
po la izquie da es ´a o mado po los elemen os de la diagonal, es deci , σl(B) =
{i,j,k}. Sin u iliza la P oposici´on 1.2.19, la ´unica GR- unci´on ca ac e ´ıs ica que
podemos calcula es
11(λ) = i−λ.
U ilizando 1.2.19 ob enemos
98 II. 7 Au o alo es cua e ni´onicos po la izquie da
12(λ)=(i−λ)k(j−λ),
13(λ)=(i−λ) (3i+ 2k(j−λ)−1k)−1(k−λ),
22(λ) = j−λ,
23(λ) = 1
2(j−λ)k(k−λ),
33(λ) = k−λ
y las unciones 21(λ), 31(λ) y 32(λ) no exis en.
Se e cla amen e que ninguna de las ij iene a odos los elemen os del espec o
po la izquie da como a´ız.
Ejemplo 7.2.3. Las GR- unciones ca ac e ´ıs icas no p opo cionan los au o alo es
po la de echa. Sea
D=

i−1 0
0k i
0k j


La ´unica GR- unci´on que exis e pa a es a ma iz es :
11(λ) = i−λ
Sin emba go, el polinomio ca ac e ´ıs ico de la complexi icada de Des 2+2x+4x2+
2x3+ 3x4+x6. Puede comp oba se que ninguna de sus a´ıces es simila a i.
7.2.2. De inici´on
Con es os an eceden es pasamos a in oduci la noci´on de unci´on ca ac e ´ıs ica
pa a una ma iz cua e ni´onica, que gene aliza el polinomio ca ac e ´ıs ico usual de los
casos eal y complejo. En pa icula , sus a´ıces son los au o alo es po la izquie da.
Como e emos, es a de inici´on concue da de mane a na u al con la ecuaci´on pa a
o den 2 que da R. M .W. Wood (7.3), as´ı como con el m´e odo p opues o po W. So
en [77] pa a calcula los au o alo es de ma ices de o den 3. Adem´as mues a que,
en con a de lo que dice Wood en [88], s´ı hay una unci´on que pe mi a acome e el
es udio de los au o alo es.
En el caso 2 ×2 es a unci´on ca ac e ´ıs ica nos pe mi i ´a p oba de un modo
geom´e ico el esul ado de Huang-So (Teo ema 1.3.6).
De inici´on 7.2.4. Una aplicaci´on µ:H→Hes una unci´on ca ac e ´ıs ica de la
ma iz M∈ Mn×n(H) si, sal o una cons an e, su m´odulo |µ(λ)|= Sde (M−λI)
pa a odo λ∈H.
7.2.3 Una unci´on ca ac e ´ıs ica pa a o den dos 99
N´o ese que λes un au o alo po la izquie da de Msi y solo si µ(λ)=0.
No a–. Como ya dijimos, es un hecho conocido que el espec o po la izquie da no es
in a ian e po semejanza. Sin emba go, po la P oposici´on 1.2.2, si Pes una ma iz
eal in e sible,
Sde (M−λI) = Sde (PMP−1−λI).
Es deci , MyPMP−1 ienen las mismas unciones ca ac e ´ıs icas.
Ejemplo 7.2.5. Ma ices diagonales y iangula es. Si
D= diag(q1, . . . , qn)
en onces
µ(λ)=(q1−λ)···(qn−λ)
es una unci´on ca ac e ´ıs ica pa a D. An´alogamen e pa a una ma iz iangula .
7.2.3. Una unci´on ca ac e ´ıs ica pa a o den dos
El de e minan e de S udy nos pe mi e da , pa a o den 2, una unci´on ca ac-
e ´ıs ica polin´omica de g ado 2. El comen a io deR. M .W. Wood ci ado en 7.2
puede e o mula se as´ı:
Teo ema 7.2.6. Toda ma iz A=a b
c d∈ M2(H) iene una unci´on ca ac e ´ıs i-
ca polin´omica µ(λ).
Si b= 0 iene dada po
µ(λ) = (d−λ)(a−λ).
Si b6= 0,
µ(λ) = c−(d−λ)b−1(a−λ).
Demos aci´on. Si b= 0, A−λI es una ma iz iangula ,
Sde a−λ0
c d −λ=|(d−λ)(a−λ)|.
Si b6= 0, po las p opiedades de Sde podemos hace la siguien e ans o maci´on
Sde a b
c d= Sde 0b
c−db−1a d=|b||c−db−1a|.
luego Sde (A−λI) = 0 equi ale a que
c−(d−λ)b−1(a−λ) = 0.
100 II. 7 Au o alo es cua e ni´onicos po la izquie da
No a–. L. Huang [32] p opone o a ecuaci´on ca ac e ´ıs ica pa a las ma ices de o den
2. Sepa a el caso c= 0 y pa a c6= 0 dice que λ∈σl(A) si y solo si:
(λ−a)c−1(λ−d)−b= 0.
Es e polinomio se ob iene ambi´en de mane a inmedia a sum´andole (λ−a)c−1 2a
la ila 1en la ma iz λI −A. Es a exp esi´on es equi alen e a
b−(a−λ)c−1(d−λ) = 0,
que es la exp esi´on que da R. M .W. Wood en la Eq. (1) de [88] (hay un e o
ipog ´a ico en el o iginal).
7.2.4. Funci´on ca ac e ´ıs ica pa a ma ices 3×3
Reco demos que lo ´unico que se sabe pa a las ma ices de ama˜no 3 ×3 se lo
debemos a W. So [77]. Lo que So o ece es un es udio caso po caso, seg´un las
elaciones en e las en adas de las ma ices, en el que da una se ie de polinomios
cua e ni´onicos de g ado meno o igual que es cuyas a´ıces son los au o alo es po
la izquie da. Las ecuaciones esul an es no se saben esol e .
Desa ollamos aho a un m´e odo simila al que hemos is o pa a o den 2. De
nue o nos basamos en que los au o alo es po la izquie da de una ma iz A∈
M3×3(H) son las a´ıces de Sde (A−λI) = 0. En gene al, la unci´on ca ac e ´ıs ica
que ob enemos es una unci´on acional. Sin emba go, en el caso de que la ma iz
enga alguna en ada nula ue a de la diagonal, es posible ob ene una unci´on
ca ac e ´ıs ica polin´omica. Pod ´ıa emplea se un algo i mo simila al que e emos
a con inuaci´on pa a calcula el Sde (A) pa a cualquie o den n > 3.
Conside amos a lo la go de odo la secci´on la ma iz cua e ni´onica
A=

a b c
g h
p q

∈ M3×3(H).
Caso c= 0
Comenzamos es udiando el caso m´as sencillo, cuando alg´un elemen o no diagonal
de la ma iz se anula. Las p opiedades de Sde y en pa icula la P op. 1.2.2 nos
pe mi en i haciendo ans o maciones de ilas y columnas has a si ua el ce o en
el pues o a13. La en aja de es e caso es que sus au o alo es son las a´ıces de un
polinomio cua e ni´onico de g ado es.
7.2.4 Funci´on ca ac e ´ıs ica pa a ma ices 3 ×3 101
Pa imos de
Sde (A−λI) = Sde 

a−λ b 0
g −λ h
p q −λ

.
1. En p ime luga , si b, h = 0, enemos una ma iz iangula as´ı que podemos
oma
(7.5) µ(λ)=( −λ)(g−λ)(a−λ).
2. Si b= 0 pe o h6= 0, el Lema 1.2.5 pe mi e educi nos al caso 2×2 y ob enemos
(7.6) µ(λ) = q−( −λ)h−1(g−λ)(a−λ).
3. Finalmen e, si b6= 0, p ocedemos como sigue. Hacemos un ce o en la p ime a
ila es ando a la p ime a columna C1la C2b−1(a−λ),
Sde (A) = Sde 

0b0
−(g−λ)b−1(a−λ)g−λ h
p−qb−1(a−λ)q −λ


y pe mu amos la segunda y la e ce a columna pa a educi la al caso 2 ×2.
Tomamos en onces como unci´on ca ac e ´ıs ica:
µ(λ) = p−qb−1(a−λ)−( −λ)h−1 −(g−λ)b−1(a−λ).
No a–. Al e na i amen e, pod ´ıamos simplemen e pe mu a en la ma iz ini-
cial las ilas y las columnas segunda y e ce a pa a ob ene una ma iz PAP−1
con la misma unci´on ca ac e ´ıs ica. Es a nue a ma iz e i ica que c6= 0 y
pod ´ıamos ob ene su unci´on como e emos a con inuaci´on (P op. 7.2.7). Sin
emba go, n´o ese que con es e ´ul imo m´e odo, en luga de ob ene un polinomio,
ob enemos una unci´on acional.
Caso c6= 0
En la si uaci´on m´as gene al, cuando c6= 0, u ilizando las p opiedades de Sde
(P op. 1.2.3) podemos hace ce os en la p ime a ila,


0 0 c
−hc−1a g −hc−1b h
p− c−1a q − c−1b

.
Del Lema 1.2.5 y los esul ados de o den 2 ×2 se sigue:

102 II. 7 Au o alo es cua e ni´onicos po la izquie da
P oposici´on 7.2.7. Si c6= 0, en onces Sde (A) iene dado:
1. cuando g−hc−1b6= 0, po
|c|·|g−hc−1b|·|p− c−1a−(q− c−1b)(g−hc−1b)−1( −hc−1a)|;
2. cuando g−hc−1b= 0, po
|c|·|q− c−1b|·| −hc−1a|.
De inici´on 7.2.8. Dada la ma iz A∈ M3×3(H) llamamos polo de A al pun o
λ0=g−hc−1b.
Aplicando la P oposici´on 7.2.7 a la ma iz A−λI ob enemos la siguien e unci´on
ca ac e ´ıs ica de A.
P oposici´on 7.2.9. Sea Auna ma iz de o den 3×3 al que c6= 0. Se puede de ini
una unci´on ca ac e ´ıs ica pa a Acomo sigue:
1. si λ0=g−hc−1bes el polo de A,
µ(λ0) = q−( −λ0)c−1b −hc−1(a−λ0);
2. en o o caso
µ(λ) = (λ0−λ)p−( −λ)c−1(a−λ)−
q−( −λ)c−1b(λ0−λ)−1 −hc−1(a−λ).
Es a unci´on es ´a bien de inida y cumple que:
1. Sde (A−λI) = |µ(λ)|pa a odo λ∈H;
2. µ(λ) = 0 si y solo si λes au o alo po la izquie da de A.
No a–. Como eco damos an es, en [77], W. So p ob´o que los au o alo es po la
izquie da de es as ma ices son las a´ıces de cie os polinomios cua e ni´onicos de
g ado ≤3. A pesa de que nues o m´e odo es o almen e di e en e del suyo, ob e-
nemos que la unci´on de la P oposici´on 7.2.9 es exac amen e la ´o mula que da So
en [77, p. 563]. Es e es el mo i o po el que hemos elegido hace los c´alculos de los
de e minan es comenzando po la esquina supe io de echa.
7.2.4 Funci´on ca ac e ´ıs ica pa a ma ices 3 ×3 103
No a–. El polo λ0puede an o es a como no es a en el espec o de la ma iz. Los
siguien es ejemplos nos lo mues an.
Ejemplo 7.2.10. Una ma iz pa a la que el polo es au o alo .
A=

0−j i
−1 + j j k
p q

,
con p, q, ∈Hcualesquie a. Pa a es a ma iz el polo oma el alo λ0= 1 + j. Su
imagen po la unci´on ca ac e ´ıs ica de la P op. 7.2.9 es
µ(λ0)=(q−( −1−j)k) (−1 + j+j(−1−j)) = 0.
Ejemplo 7.2.11. Ma iz pa a la que el polo no es au o alo .
A=

0i1
3i−k0 1
k−1 + j+k0

.
En es e caso, λ0=−iy
µ(λ0)=(−1 + j+k+ 1)(3i−k−i)=1−i+ 2j−2k.
Con inuidad en el polo
El m´odulo de la que hemos de inido como unci´on ca ac e ´ıs ica es exac amen e
el de e minan e de S udy de la ma iz A−λI. Como Sde es una unci´on con inua
podemos a i ma que
|µ(λ0)|= l´ım
λ→λ0|µ(λ)|,
es deci , el m´odulo del l´ımi e exis e y es ini o.
Sin emba go, el mismo ejemplo 7.2.11 nos mues a que a pesa de que la no ma
|µ|de la unci´on ca ac e ´ıs ica de la P oposici´on 7.2.9 es con inua, µpuede no se lo
en el polo λ0.
Sea 

0i1
3i−k0 1
k−1 + j+k0

.
Como hemos is o, su polo es λ0=−iyµ(λ0)=(j+k)(2i−k)=1−i+2j−2k.
104 II. 7 Au o alo es cua e ni´onicos po la izquie da
Pe o omando l´ımi es es ingidos se comp ueba ´acilmen e que el alo del l´ımi e
que buscamos depende de po d´onde nos ace quemos al polo. De hecho, el l´ımi e
l´ım
ε→0µ(−i+εq) = −q(j+k)q−1(2i−k)
depende de q∈H, luego no exis e l´ım
λ→λ0
µ(λ).
Si es o no posible encon a siemp e, apa e del caso polin´omico, una unci´on
ca ac e ´ıs ica que sea con inua es una cues i´on abie a.
7.3. Es udio median e el g ado de una unci´on ca-
ac e ´ıs ica
En [33] Huang y So p oba on que una ma iz 2 ×2 puede ene uno, dos o
in ini os au o alo es. En la secci´on 7.1.1 p opusimos una nue a p ueba de ese mismo
esul ado. Ambos m´e odos, apa en emen e, son di ´ıciles de gene aliza pa a o den
n > 2.
F en e a es os es udios, ambos de na u aleza algeb aica, p oponemos aqu´ı una
isi´on m´as opol´ogica. La idea undamen al consis e en es udia el g ado opol´ogico
de las unciones ca ac e ´ıs icas 7.2.6 y 7.2.9 y el ango de sus linealizadas. El caso
de la ma ices 2 ×2 queda comple amen e ce ado ya que podemos discu i las
ecuaciones cua e ni´onicas que ob enemos al linealiza . Pa a o den 3×3 no ob enemos
an a in o maci´on pe o s´ı podemos deci cu´ales son las ecuaciones que hab ´ıa que
discu i .
7.3.1. Teo ´ıa del g ado
Veamos a con inuaci´on algunos esul ados opol´ogicos que necesi amos pa a nues-
o es udio.
El g ado opol´ogico ( ambi´en llamado g ado de B ouwe ) de una aplicaci´on con-
inua puede de ini se u ilizando ´ecnicas o bien de opolog´ıa algeb aica [11] o bien
del an´alisis uncional [9, 67]. Nues a in enci´on es aplica los siguien es esul ados
conocidos ( e , po ejemplo, [58, pag 101]).
De inici´on 7.3.1. Dada una aplicaci´on di e enciable en e a iedades, ρ:M→N
con dim M= dim N, di emos que ∈Nes un alo egula de ρsi la di e encial
ρ∗q:TqM→T Nes de ango m´aximo pa a odo q∈ρ−1( ).
Lema 7.3.2 (de Sa d).El conjun o de alo es egula es es denso en N.
7.3.2 De i aci´on en espacios de Banach 105
Teo ema 7.3.3. Sea Muna a iedad o ien able conexa y ce ada y ν:M→Mun
aplicaci´on di e enciable de g ado k. Sea m∈Mun alo egula al que la di e encial
ν∗λconse a la o ien aci´on pa a cualquie λde la ib a ν−1(m). En onces, la imagen
ec´ıp oca ν−1(m)es un conjun o ini o con kelemen os.
En el lib o de Eilenbe g-S een od se puede encon a una p ueba igu osa del
siguien e esul ado [15, pags 304–310].
P oposici´on 7.3.4. Dos aplicaciones con inuas en la es e a Sn→Snson hom´o o-
pas si y solo si ienen el mismo g ado.
7.3.2. De i aci´on en espacios de Banach
La exis encia de una no ma mul iplica i a |q|= (qq)1/2en Hga an iza que la
p ueba usual de la egla de Leibniz sigue pudiendo aplica se en es e con ex o. Vea-
mos con de alle c´omo ob ene las eglas de de i aci´on en el ´ambi o no conmu a i o.
Obse emos que, siemp e que espe emos el o den, en el caso cua e ni´onico se con-
se an las eglas de de i aci´on del p oduc o y del cocien e:
Lema 7.3.5. Sean A, B :R→ Mn×n(H)di e enciables. En onces
d
d [A( )B( )] = A0( )B( ) + A( )B0( ).
Demos aci´on.
d
d [A( )B( )] =
l´ım
h→0
1
h[A( +h)B( +h)−A( )B( )] =
l´ım
h→0
1
h[A( +h)B( +h)−A( )B( +h) + A( )B( +h)−A( )B( )] =
l´ım
h→0
1
h[(A( +h)−A( ))B( +h) + A( )(B( +h)) −B( ))] =
A0( ) l´ım
h→0B( +h) + A( )B0( ) =
A0( )B( ) + A( )B0( ).
A pa i de es a p opiedad podemos es ablece una ´o mula pa a la di e encial
del p oduc o de aplicaciones cua e ni´onicas.
Lema 7.3.6. Sean , g:H→Hdos aplicaciones di e enciables. En onces, la di e-
encial del p oduc o iene dada po
( g)∗λ(X) = ∗λ(X)g(λ) + (λ)g∗λ(X).
112 II. 7 Au o alo es cua e ni´onicos po la izquie da
7.3.4. Es udio opol´ogico del caso 3×3
Pa a ma ices de o den 3, al hace la di e encial de la unci´on ca ac e ´ıs ica 7.2.9,
ob enemos de nue o una ecuaci´on lineal que podemos discu i con el m´e odo is o
en 1.5.3. Po aho a no podemos es ablece una clasi icaci´on comple a pe o el m´e odo
nos pe mi e halla el ango de la di e encial µ∗λpa a cada uno de los au o alo es
po la izquie da de una ma iz cua e ni´onica de o den es a bi a ia.
Una ez m´as es udiamos sepa adamen e el caso en el que la ma iz enga alguna
en ada nula ue a de la diagonal. Reco demos que en es e caso la unci´on ca ac-
e ´ıs ica es con inua de modo que el compo amien o es an´alogo al de las ma ices
2×2.
Caso polin´omico
Comenzamos omando ma ices con c= 0, de modo que su unci´on ca ac e ´ıs ica
µsea un polinomio de g ado 3. Pa a es e ipo de ma ices podemos ex ende µde
mane a con inua a la es e a S4.
P oposici´on 7.3.18. La unci´on µde inida en la Subsecci´on 7.2.4 e i ica que
l´ım
|λ|→∞|µ(λ)|=∞.
Demos aci´on. 1. Si b=h= 0, µ(λ) = ( −λ)(g−λ)(a−λ) pe o
l´ım
|λ|→∞| −λ|= l´ım
|λ|→∞|g−λ|= l´ım
|λ|→∞|a−λ|=∞.
2. Si b= 0, h 6= 0, la unci´on ca ac e ´ıs ica µ(λ)=(q−( −λ)h−1(g−λ)) (a−λ)
se ex iende de mane a con inua a la es e a po el esul ado ob enido pa a el
caso 2 ×2 (P op. 7.3.8) y po que l´ım
|λ|→∞|a−λ|=∞.
3. Po ´ul imo, si b6= 0, la exp esi´on de µes
µ(λ) = p−qb−1(a−λ)−( −λ)h−1 + ( −λ)h−1(g−λ)b−1(a−λ)
de modo que
|µ(λ)|
|λ|2≥|( −λ)h−1(g−λ)b−1(a−λ)|
|λ|2−|−p+qb−1(a−λ)+( −λ)h−1 |
|λ|2.
Pe o
l´ım
|λ|→∞ |( −λ)h−1(g−λ)b−1(a−λ)|
|λ|2=
l´ım
|λ|→∞ | −λ|
|λ||g−λ|
|λ||h−1b−1||a−λ|=∞

7.3.4 Es udio opol´ogico del caso 3 ×3 113
mien as que el l´ımi e del sus aendo es ce o. Po an o, l´ım
|λ|→∞
|µ(λ)|
|λ|2=∞y
as´ı ambi´en l´ım
|λ|→∞|µ(λ)|=∞.
En es e caso end emos siemp e g ado opol´ogico 3, po se µun polinomio con
un ´unico ´e mino de mayo g ado, de modo que µ∼λ3.
Linealizaci´on
De nue o, calculamos la di e encial de la unci´on ca ac e ´ıs ica pa a calcula su
ango y pode es udia si el 0 es o no un alo egula .
P oposici´on 7.3.19. Pa a cualquie au o alo izquie da λde una ma iz del ipo
A=

a b 0
g h
p q

,la di e encial de su unci´on ca ac e ´ıs ica µ:H−→ H iene dada
po
1. si b, h = 0,
µ∗λ(X) = −X(g−λ)(a−λ)−( −λ)(g−λ)X−( −λ)X(a−λ);
2. si b= 0, h 6= 0,
µ∗λ(X) = Xh−1(g−λ)(a−λ)−q−( −λ)h−1(g−λ)X+( −λ)h−1X(a−λ);
3. en o o caso,
µ∗λ(X) = qb−1−( −λ)h−1(g−λ)b−1X
+Xh−1 −(g−λ)b−1(a−λ)−( −λ)h−1Xb−1(a−λ).
La p ueba es una aplicaci´on di ec a de las eglas de de i aci´on del p oduc o y
del in e so en el caso cua e ni´onico is as en la secci´on 7.3.2
La exp esi´on ob enida es una ecuaci´on Px+xQ+RxS = 0, cuyo ango podemos
calcula seg´un el m´e odo is o en la Subsecci´on 1.5.3.
Ejemplo 7.3.20. Ma ices iangula es A=

a0 0
g 0
p q

.
En gene al, es as ma ices ienen es au o alo es dis in os, odos ellos con di-
e encial de ango m´aximo (cua o). Si hay dos au o alo es iguales y uno dis in o,
114 II. 7 Au o alo es cua e ni´onicos po la izquie da
la di e encial en el au o alo que se epi e es id´en icamen e nula y en el o o de
ango m´aximo. Po ´ul imo, si odos los elemen os de la diagonal uesen iguales, la
di e encial se ´ıa de ango nulo en es e ´unico au o alo .
Su espec o po la izquie da es ´a o mado po λ1=a, λ2=gyλ3= . La
unci´on ca ac e ´ıs ica es
µ(λ) = ( −λ)(g−λ)(a−λ),
con di e encial
µ∗λ(X) = −X(g−λ)(a−λ)−( −λ)(g−λ)X−( −λ)X(a−λ).
La di e encial en cada uno de los au o alo es es o bien una aslaci´on izquie da,
o bien una aslaci´on de echa, o bien una composici´on de ambas:
µ∗a(X) = L(a− )(g−a)(X),
µ∗g(X) = L(g− )◦R(a−g)(X),
µ∗ (X) = L( −g)(a− )(X).
Luego, en gene al, una ma iz diagonal iene es au o alo es dis in os, odos ellos
con di e encial de ango m´aximo. Si hay dos au o alo es iguales y uno dis in o, pa a
el que se epi e la di e encial es id´en icamen e nula y pa a el o o de ango m´aximo.
Po ´ul imo, si odos los elemen os de la diagonal uesen iguales, la di e encial se ´ıa
de ango nulo pa a es e ´unico au o alo .
N´o ese que, como se obse a en es e caso, a di e encia de lo que ocu e pa a
ma ices 2 ×2, no odos lo au o alo es ienen po qu´e se del mismo ango.
No a–. Los siguien es ejemplos es ´an calculados usando Ma hema ica.
Ejemplo 7.3.21. Una ma iz con es au o alo es dis in os, odos ellos de ango
m´aximo. Sea A=

k0 0
3i−j−i i
1−2k j −j

. Su unci´on ca ac e ´ıs ica es
µ(λ) = (−1−k+λi)λ(k−λ)
y po an o σl(A) = {k,0,−i−j}. La di e encial de µen cada uno de los au o alo es
es siemp e de ango m´aximo,
µ∗k(X) = (−1−i+k)X;
µ∗0(X) = −(1 + k)Xk;
µ∗(−i−j)(X) = −X(−1−i+j) + X(i+j+k).
7.3.4 Es udio opol´ogico del caso 3 ×3 115
Ejemplo 7.3.22. Una ma iz con dos au o alo es, uno de ellos de ango nulo y o o
de ango m´aximo. Sea A=
−i−j0 0
k−i i
1−i j −j

. Es a ez,
µ(λ) = (1 + k−λi)λ(i+j+λ)
de modo que σl(A) = {0,−i−j}, con mul iplicidades uno y dos espec i amen e.
En cuan o a la di e encial, pa a el au o alo simple es de ango m´aximo y pa a
λ=−i−jse anula.
µ∗0(X) = (1 + k)X(i+j);
µ∗(−i−j)(X) = 0.
Ejemplo 7.3.23. La ma iz A=
−1 1 0
j0−1
1−j−1 1

. Pa a es a ma iz, µ(λ) =
−λ(2 + j) + λ3y sus au o alo es son exac amen e es, λ1= 0 y
λ2=−q−1 + √2−q2(−1 + √2) −(q−1 + √2)j
λ3=q−1 + √2 + q2(−1 + √2) + (q−1 + √2)j
La di e encial es
µ∗λ(X) = X(−2−j+λ2) + λ2X+λXλ =
Lλ2+R−2−j+λ2+LλRλ,
que en λ1es simplemen e una aslaci´on de echa, µ∗0(X) = −X(2 + j) y pa a λ2y
λ3 iene como ma iz asociada
M=



5 0 −5 0
0 7 0 1
5 0 5 0
0−100



,
que ambi´en es de ango m´aximo.
Ejemplo 7.3.24. Sea A=

j1 0
2i−k1
2−i−2j−1−j+k−i−k

.La ma iz Aes del
ipo bc 6= 0 y su unci´on ca c e ´ıs ica es
µ(λ) = 2 −i−2j+ (1 + j−k)(j−λ)+(i+k−λ) (2i+ (k+λ)(j−λ)) .
116 II. 7 Au o alo es cua e ni´onicos po la izquie da
Se comp ueba que λ= 0 es un au o alo po la izquie da de A. En es e pun o, la
exp esi´on de la di e encial es µ∗0(X) = kX+Xi+(i+k)Xjcon ma iz eal asociada
de ango 3,
M=



0−200
0 0 −2 0
0 0 0 0
2 0 −2 0



.
Caso no polin´omico
En el caso en el que ninguno de los elemen os no diagonales se anule, la unci´on
ca ac e ´ıs ica de la P op. 7.2.9 es acional con un pun o de discon inuidad, el polo
λ0, de modo que no puede ex ende se de mane a con inua a la es e a. As´ı, pa a pode
hace un es udio opol´ogico an´alogo al del caso polin´omico es necesa io emplea la
eo ´ıa del g ado local ( ´ease, po ejemplo el lib o de K. Deimling [9]). En es e caso
nos limi amos simplemen e a da la exp esi´on de la di e encial.
P oposici´on 7.3.25. Pa a una ma iz 3×3con c6= 0 la di e encial de la la unci´on
ca ac e ´ıs ica µde la P op. 7.2.9 es
µ∗λ(X) =
X−p+ ( −λ)c−1(a−λ)+(q−( −λ)c−1b)(λ0−λ)−1( −hc−1(a−λ))
+(λ0−λ)Xc−1(a−λ)−(λ0−λ)Xc−1b(λ0−λ)−1( −hc−1(a−λ))
−(λ0−λ)(q−( −λ)c−1b)(λ0−λ)−1X(λ0−λ)−1( −hc−1(a−λ))
+(λ0−λ)( −λ)c−1−(λ0−λ)(q−( −λ)c−1b)(λ0−λ)−1hc−1X.
7.4. Teo ema de Cayley-Hamil on
Discu imos a con inuaci´on la posible ex ensi´on del eo ema de Cayley-Hamil on
pa a unciones ca ac e ´ıs icas de au o alo es po la izquie da de ma ices cua e -
ni´onicas. Pa a o den dos es sencillo pues se a a de un polinomio. Pa a n= 3,
en gene al, µse ´a una unci´on acional del ipo P(λ)−Q(λ)(λ0−λ)−1F(λ) don-
de P, Q, F son polinomios, de inida sal o en un pun o de discon inuidad λ=λ0.
Comp oba emos que el eo ema de Cayley-Hamil on se e i ica en odos los casos.
Dos son los p incipales p oblemas con los que nos encon amos. El p ime o, es
que en el caso conmu a i o, enemos polinomios ca ac e ´ıs icos en a iable compleja
que se ex ienden de mane a na u al a un polinomio con una ma iz como a ia-
ble. Sin emba go, en el ´ambi o cua e ni´onico, no hay una ex ensi´on ob ia pa a una
7.4.1 Caso n= 2 117
unci´on ca ac e ´ıs ica cualquie a. A o unadamen e, hemos encon ado unciones ca-
ac e ´ıs icas que son polinomios o unciones acionales, que se ex ienden de mane a
na u al a una aplicaci´on µ:Mn×n(H)→ Mn×n(H).
El segundo p oblema, es que ninguna de las demos aciones conocidas pa a el
caso conmu a i o pa ece pode adap a se a nues o ´ambi o, de modo que hemos
enido que p oba lo di ec amen e.
Es in e esan e a a de ex ende es e eo ema a Mn×n(H) pues su m´ul iples
aplicaciones acili an mucho los c´alculos de las unciones exponencial y loga ´ı mica,
an ´u iles en el ´ambi o de la ob´o ica [25, 83]. Po ejemplo, dada una ma iz A
de o den nsob e un cue po, el eo ema de Cayley-Hamil on pe mi e educi un
polinomio en Ade cualquie g ado a un polinomio de g ado meno o igual que n−1;
en gene al, cualquie unci´on anal´ı ica puede exp esa se en ´e minos de polinomios
de g ado meno o igual que n−1, en pa icula , es o se e i ica pa a la exponencial.
En p incipio, es as aplicaciones no se ex ienden al ´ambi o cua e ni´onico, ya que
ni siquie a enemos una “buena exp esi´on” de una se ie de po encias, pe o pod ´ıa
es udia se c´omo ex ende la se ie de la exponencial exp(A ) ya que, en es e caso, los
coe icien es pueden ob ene se a pa i de los au o alo es de la ma iz A[71].
No a–. Pa a ma ices 4 ×4 puede cons ui se de modo an´alogo una unci´on ca ac-
e ´ıs ica acional. En el caso de que la ma iz enga dos en adas nulas ue a de la
diagonal puede p oba se que es a unci´on e i ica el eo ema de Cayley-Hamil on.
Pa a odos los ejemplos (a bi a ios) de ma ices sin en adas nulas que hemos p o-
bado, hemos ob enido el mismo esul ado pe o no enemos ninguna p ueba gen´e ica.
7.4.1. Caso n= 2
Hemos is o que pa a o den dos podemos encon a una unci´on ca ac e ´ıs ica
polin´omica µ(λ) pa a la cual es ´acil p oba que µ(A) = 0.
Teo ema 7.4.1. Sea A=a b
c d∈ M2×2(H)yµ(λ) = c−(d−λ)b−1(a−λ)la
unci´on ca ac e ´ıs ica de inida en el Teo ema 7.2.6. En onces µ(A) = 0.
Demos aci´on. Tenemos que
c0
0c−d−a−b
−c0b−10
0b−10−b
−c a −d=0 0
0 0.
No a–. Se sigue que
Ac−1A=Ac−1d+ac−1A+ (b−ac−1)I,
que es una gene alizaci´on de la ´o mula A2= T (A)A−(de A)Ien el ´ambi o
conmu a i o.

118 II. 7 Au o alo es cua e ni´onicos po la izquie da
7.4.2. O den es. Caso polinomial
Como imos an e io men e, pa a n= 3, si la ma iz iene alg´un ce o ue a de la
diagonal, ambi´en podemos escoge la unci´on ca ac e ´ıs ica µde modo que sea un
polinomio cua e ni´onico (bila e al) de g ado 3. En es e caso, un c´alculo di ec o nos
mues a que se e i ica el eo ema de Cayley-Hamil on.
Teo ema 7.4.2. Sea Auna ma iz cua e ni´onica 3×3con alguna en ada nula
ue a de la diagonal. En onces exis e una unci´on ca ac e ´ıs ica polin´omica µ al que
µ(A) = 0.
Lo p oba emos p ime o pa a las ma ices con c= 0.
P oposici´on 7.4.3. Sean A=

a b 0
g h
p q

yµ(λ)la unci´on ca ac e ´ıs ica de inida
en la Subsecci´on 7.2.4. En onces µ(A) = 0.
Demos aci´on. Si b, h = 0, omamos la ´o mula (7.5), de modo que µ(A) es


−a0 0
− −g0
−p−q0



g−a0 0
− 0 0
−p−q g −



0 0 0
− a −g0
−p−q a −

=

0 0 0
0 0 0
0 0 0

.
Si b= 0, h6= 0, omamos la ´o mula (7.6), y comp obamos que


−a0 0
− −g−h
−p−q0

h−1

g−a0 0
− 0−h
−p−q(g− )



0 0 0
− a −g−h
−p−q a −

=
q

0 0 0
− a −g−h
−p−q a −

,
es deci ,
( I −A)h−1(gI −A)(aI −A) = q(aI −A),
po an o µ(A) = 0.
Si b6= 0, enemos que
Sde (A−λI) = Sde 

0 0 b
−(g−λ)b−1(a−λ)h g −λ
p−qb−1(a−λ) −λ q

,
de mane a que, po el Lema 1.2.4, es amos en el caso 2 ×2.
7.4.2 O den es. Caso polinomial 119
En p ime luga , asumamos que h= 0 y omemos
µ(λ) = ( −λ) −(g−λ)b−1(a−λ).
Comp obamos que


−a−b0
− −g0
−p−q0



g−a−b0
− 0 0
−p−q g −

b−1

0−b0
− a −g0
−p−q a −

=


−a−b0
− −g0
−p−q0

 ,
es o es,
( I −A)(gI −A)b−1(aI −A)=( I −A) ,
po an o, µ(A) = 0.
Po o o lado, si h6= 0 omamos
(7.10) µ(λ) = p−qb−1(a−λ)−( −λ)h−1 −(g−λ)b−1(a−λ),
calculamos
pI −qb−1(aI −A)−( I −A)h−1 =


p−( −a)h−1 q +bh−1 0
qb1 + h−1 p −qb−1(a−g)−( −g)h−1 qb−1h+
qb−1p+ph−1 qb−1q+qh−1 p −qb−1(a− )


y comp obamos que es igual a
−

−a−b0
− −g−h
−p−q0

h−1

g−a−b0
− 0−h
−p−q g −

b−1

0−b0
− a −g−h
−p−q a −

=
−( I −A)h−1(gI −A)b−1(aI −A),
luego µ(A) = 0.
Lema 7.4.4. Sea Auna ma iz cua e ni´onica al que µ(A) = 0 pa a alg´un polinomio
cua e ni´onico µ(λ). Sea B=PAP−1, con Puna ma iz eal. En onces µ(B)=0.
Demos aci´on. Bas a obse a que si ν(λ) = q1λq2λ···qkλqk+1 es un monomio,
en onces ν(B) = Pν(A)P−1.
120 II. 7 Au o alo es cua e ni´onicos po la izquie da
N´o ese que se e i ica el mismo esul ado cuando µ(λ) es una unci´on acional.
Pe mu ando consecu i amen e ilas y columnas, se deduce el Teo ema 7.4.2.
Ejemplo 7.4.5. Conside emos la ma iz A=

1i i
i j k
0−1j

. Es simila ´ıa una ma iz
eal a 

j−1 0
k j i
i i 1

, cuya unci´on ca ac e ´ıs ica iene dada po la unci´on (7.10), es
deci ,
µ(λ) = i+i(j−λ) + (1 −λ)ik+ (j−λ)2.
En onces se e i ica la siguien e ecuaci´on:
AiA2=AiAj+AkA+iA2−iAj+A(i+j)−(i+k)A+ (k−j)I.
7.4.3. O den es. Caso no polinomial
Cuando odas las en adas ue a de la diagonal son no nulas, la unci´on ca-
ac e ´ıs ica es una unci´on acional con un polo ( e P oposici´on 7.2.9). Podemos
ex ende la de mane a na u al al espacio de ma ices como sigue.
Sea λ0=g−hc−1bel polo de A. Sean
0= −hc−1(a−λ0),
q0=q−( −λ0)c−1b.
Lema 7.4.6. La ma iz λ0I−Aes in e sible si y solo si 0, q06= 0.
Demos aci´on. Po la P oposici´on 7.2.7, Sde (λ0I−A) = |c|·|q0 0|.
De inici´on 7.4.7. De acue do con la P oposici´on 7.2.9, de inimos µ:Mn×n(H)→
Mn×n(H) como sigue:
1. si λ0I−Bno es in e sible, en onces µ(B) = q0 0I;
2. en o o caso,
µ(B) = (λ0I−B)pI −( I −B)c−1(aI −B)−
qI −( I −B)c−1b(λ0−B)−1 I −hc−1(aI −B).
P oposici´on 7.4.8. La aplicaci´on µde la De inici´on 7.4.7 sa is ace el eo ema de
Cayley-Hamil on, es deci , µ(A) = 0.
7.4.3 O den es. Caso no polinomial 121
Demos aci´on. Si λ0I−Ano es in e sible, en onces, µ(A) = q0 0I= 0 po el Lema
7.4.6. En o o caso bas a p oba que
(7.11) pI −( I −A)c−1(aI −A)
es igual a
(7.12) qI −( I −A)c−1b(λ0I−A)−1 I −hc−1(aI −A).
Lema 7.4.9. Un c´alculo di ec o mues a que el p ime ´e mino (7.11) es igual a




−bc−1 −q+ ( −a)c−1b+bc−1(a−g).
.
.
( −g)c−1 −hc−1p p − c−1b−hc−1q−( −g)c−1(a−g).
.
.
−qc−1 −pc−1b+qc−1(a−g).
.
.
.
.
.−bc−1h
.
.
.− + ( −g)c−1h+hc−1(a− )
.
.
.−qc−1h



.
Calculemos aho a el ´e mino (7.12).
Comenzamos calculando (λ0I−A)−1po eliminaci´on Gaussiana. Sea
P1=

1 0 0
0 1 0
c−1(λ0−a) 0 1

, P2=

1 0 0
0 1 0
0−c−1b1

.
En onces
(7.13) (λ0I−A)P1P2=

0 0 −c
− 00−h
−p0−q0λ0−

,
donde
p0=p−(λ0− )c−1(λ0−a).
La in e sa de la ma iz (λ0I−A)P1P2en (7.13) es
B=

−1
0hc−1− −1
00
−q−1
0p0 −1
0hc−1+ (λ0− )c−1q−1
0p0 −1
0−q−1
0
−c−10 0

.