Categoría de Lusternik-Schnirelmann y funciones de Morse en los espacios simétricos

CATEGOR´ IA DE LUSTERNIK-SCHNIRELMANN Y FUNCIONES DE MORSE EN LOS ESPACIOS SIM´ ETRICOS Mar ´ ıa Jos´ e Pereira S´ aez Don Enrique Mac´ıas Virg´os, Profesor Titular del Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa de la Universidad de Santiago de Compostela y Director de la Memoria titulada: Categor´ıa de Lusternik-Schnirelmann y funciones de Morse en los espacios sim´etricos Autorizo a Do˜na Mar´ıa Jos´e Pereira S´aez a su presentaci´on para optar al grado de Doctor en Ciencias Matem´aticas. En Santiago de Compostela, a 24 de octubre de 2011. El Director: Prof. Dr. Enrique Mac´ıas Virg´os La doctoranda: Mar´ıa Jos´e Pereira S´aez Mar ´ ıa Jos´ e Pereira S´ aez CATEGOR´ IA DE LUSTERNIK-SCHNIRELMANN Y FUNCIONES DE MORSE EN LOS ESPACIOS SIM´ ETRICOS Memoria realizada en el Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa de la Facultad de Matem´aticas, bajo la direcci´on del Prof. Dr. Enrique Mac´ıas Virg´os, para optar al grado de Doctor en Ciencias Matem´aticas por la Universidad de Santiago de Compostela. A mis padres Agradecimientos Pienso que para muchos esta es la parte de la tesis m´as dif´ıcil de escribir, no hay proposiciones, lemas ni teoremas; no hay que dar ninguna demostraci´on. Adem´as, me parece que es dif´ıcil percibir todas las personas que de alg´un modo han colaborado y pr´acticamente imposible reflejar con fidelidad esta realidad; yo har´e lo que pueda. Vaya por delante mi agradecimiento a todas las personas que de un modo u otro me han ayudado en la elaboraci´on de la tesis. Gracias Quique por tu optimismo, por tu disponibilidad, por tu paciencia para leer y releer las infinitas versiones, por tus correciones, por ponerme plazos, por tu empe˜no en hacerme “ver” las cosas, por todo lo que me has ense˜nado. Por presentarme a Profesores como Daniel Tanr´e o Luc´ıa Fern´andez. Por las clases de Grupos de Lie, por dirigirme la tesis. Antonio (Tato para los alumnos de Topolog´ıa Algebraica), gracias por estar disponible y compartir ideas. Mariqui˜na, gracias por toda la carrera y el doctorado“compartidos”, por estar, por hablar, por transmitir humanidad en este ambiente. De todos los bolseiros con los que he ido compartiendo sala, aunque s´olo fuera por unos d´ıas, he aprendido algo; gracias, de modo especial a Silvia, Sandra, Miguel y Javi, aunque ahora est´eis en la sala de “fuera”. A quien m´as debo fuera del ´ambito de la facultad es a mis padres; ellos me ense˜naron a pensar (y muchas otras cosas). Gracias Puri por animarme a seguir siempre adelante, corriendo, nadando o viviendo; por estar al lado en gran parte de a tese, por estar dispuesta incluso a aprender un poco de Tex para ayudarme con algunas correcciones en el “peque˜no Mac”(no ser´a por lo poco que te gusta la inform´atica). Gracias Rosa por las correcciones que me hiciste, como siempre, tan precisas. Gracias, en definitiva, a quien m´as se las debo; por todo. La realizaci´on de esta Memoria (con la correspondiente participaci´on en Congreso, Jornadas, Encuentros y similares) ha sido financiada por el Proyecto del MICINN MTM2008-05861. ix Introducci´on El primero en la lista de problemas de la teor´ıa de invariantes homot´opicos num´ericos de T. Ganea es “calcular la categor´ıa de variedades familiares: variedades de Stiefel, grupos de Lie, etc.” [26]. La pregunta de Ganea es de 1970 y, sin embargo, a´un no se ha podido responder completamente pues los avances son lentos y dif´ıciles. La dificultad del c´alculo directo ha tratado de paliarse introduciendo diferentes t´ecnicas y aproximaciones algebraicas. El objetivo inicial de la presente Memoria era calcular de modo sencillo la categor´ıa de Lusternik-Schnirelmann de algunos grupos de Lie cl´asicos. Uno de los primeros m´etodos con los que nos encontramos al introducirnos en el estudio de este invariante topol´ogico para dichos grupos, fue el que utiliz´o W. Singhof en 1975 para calcular la categor´ıa de los grupos unitarios [74, 75]. Este autor obtiene un recubrimiento expl´ıcito formado por nabiertos categ´oricos. Considera abiertos del tipo Ω(z) formados por la matrices complejas n×ntales que A−zI es inversible, donde z∈Ces un complejo de norma 1 y prueba que sus componentes conexas son contr´actiles utilizando la aplicaci´on exponencial. Una adaptaci´on de este m´etodo ha sido utilizada recientemente por M. Mimura y K. Sugata [60] para calcular la categor´ıa de los espacios sim´etricos SU(n)/SO(n) y SU(2n)/Sp(n). La principal dificultad al tratar de extender el m´etodo de Singhof al grupo simpl´ectico Sp(n) radica en que, en el contexto cuaterni´onico, la condici´on A−λI inversible no guarda ninguna relaci´on con los autovalores por la derecha de la matriz A. Un examen m´as detallado de esta cuesti´on muestra que hay que distinguir entre autovalores por la derecha y por la izquierda, y que la condici´on anterior es equivalente por definici´on a estos ´ultimos. Otra dificultad es que la condici´on de ser inversible en el caso complejo depende del determinante, noci´on que, como veremos, es dif´ıcil de generalizar en el caso cuaterni´onico. Este hecho ha sido el que nos movi´o a interesarnos en los autovalores por la izquierda de las matrices cuaterni´onicas. Al comenzar a trabajar con el ´algebra lineal cuaterni´onica, observamos que el estudio de autovalores por la derecha est´a completamente establecido mientras que los autovalores por la izquierda est´an muy poco estudiados. No se sabe cu´antos autoxvii valores por la izquierda puede tener una matriz cuaterni´onica de orden nni c´omo calcularlos. Los ´unicos resultados importantes conocidos hasta el momento son un teorema de 1985 de R.M.W. Wood [88], seg´un el cual toda matriz cuaterni´onica tiene al menos un autovalor por la izquierda, y el estudio de las matrices de orden dos que hicieron en el a˜no 2001 L. Huang y W. So [33]. Estos autores prueban que una matriz cuaterni´onica de orden dos puede tener uno, dos o infinitos autovalores por la izquierda. Nosotros daremos una nueva demostraci´on bas´andonos en un m´etodo introducido recientemente por De Leo et al. [54] para resolver ecuaciones cuaterni´onicas unilaterales. Adaptando estos resultados a Sp(2) hemos obtenido una caracterizaci´on de las matrices simpl´ecticas de orden dos con infinitos autovalores. Haciendo uso de este resultado comprobamos que el m´etodo de Singhof no es eficaz para este grupo pues nunca podremos obtener un recubrimiento categ´orico formado por menos de cinco abiertos del tipo Ω(λ), aunque cat(Sp(2)) = 3. Por otra parte, el trabajo de Huang y So es un estudio caso por caso de naturaleza algebraica y dif´ıcil de generalizar para matrices de orden n≥3. Aunque no es el tema central de esta Memoria, proponemos una aproximaci´on diferente construyendo una funci´on caracter´ıstica µpara las matrices cuaterni´onicas tal que las ra´ıces de la ecuaci´on µ(λ) = 0 son los autovalores por la izquierda de la matriz. En general, esta µno es un polinomio sino una funci´on racional a partir de la cual haremos un estudio topol´ogico del espectro por la izquierda de las matrices de orden dos y parcialmente para las de orden tres, calculando su diferencial y aplicando la teor´ıa del grado. En principio, este nuevo m´etodo se podr´ıa generalizar de modo m´as sencillo a ´ordenes superiores. Adem´as, esta funci´on caracter´ıstica verifica el teorema de Cayley-Hamilton, es decir, la extensi´on natural de µa las matrices cumple que µA(A) = 0. Para demostrar que los conjuntos Ω(z)⊂U(n) son contr´actiles, W. Singhof utilizaba la aplicaci´on exponencial. Esto lleva consigo la dificultad de tener que escoger una rama del logaritmo para hacer la inversa. De hecho, ni siquiera queda claro si los abiertos son conexos, por lo que habla de sus componentes conexas. Asimismo, viendo la demostraci´on de Mimura y Sugata [60], observamos que no hay una manera elegante de pasar a los espacios homog´eneos m´as sencillos, que son los espacios sim´etricos. En el estudio que proponemos aqu´ı, la idea para probar que este tipo de abiertos son contr´actiles consiste en utilizar la transformaci´on de Cayley, procedimiento que puede generalizarse de modo natural a los espacios sim´etricos. Esta transformaci´on es cl´asica y fue definida por Cayley en 1846. Est´a definida en el abierto Ω ⊂ Mn×n(K) formado por las matrices tales que I+Xes inversible y viene dada por c(X) = I−X I+X. Adem´as cumple que c2=id. Nosotros la generalizamos a la transformaci´on cA(X) = c(A∗X)A∗, xviii definida en el abierto Ω(A)⊂ Mn×n(K) de las matrices Xtales que A+Xes inversible. De este modo podemos recubrir el grupo. La principal propiedad de cada cA ser´a que establece un difeomorfismo entre Ω(A)∩Gy el espacio tangente TA∗G. Con estas herramientas daremos una demostraci´on m´as sencilla del resultado de Singhof para U(n). Adem´as, extenderemos estos resultados a los espacios sim´etricos comprobando que todas las construcciones son compatibles con el llamado modelo Cartan, y obteniendo as´ı abiertos contr´actiles en espacios sim´etricos. En particular esto nos permitir´a calcular de manera sencilla la categor´ıa de U(n)/O(n) y U(2n)/Sp(n). Recordemos que en una variedad compacta la categor´ıa LS (m´as uno) es una cota inferior para el n´umero de puntos cr´ıticos de cualquier funci´on diferenciable. A grandes rasgos, esto se debe a que el flujo del gradiente determina, para cada punto cr´ıtico, un abierto categ´orico. En el contexto de los grupos de Lie y espacios sim´etricos las funciones que han sido m´as estudiadas son las de Bott-Morse. Esto se debe a que tienen una expresi´on sencilla, hX(A) = <Tr(XA). En particular, H. Kadzisa y M. Mimura [50] trabajan con estas funciones en SU(n)/SO(n) y SU(2n)/Sp(n) para determinar la longitud en conos de estos espacios. Lo que nosotros hemos obtenido es una simplificaci´on del estudio de las funciones de Bott-Morse. En efecto, obtenemos que el flujo del gradiente de estas funciones puede integrarse en los espacios sim´etricos utilizando otra vez la transformaci´on de Cayley. En particular, esto nos permite dar cartas locales para el conjunto de puntos cr´ıticos de una funci´on de Bott-Morse, ya que dado un punto cr´ıtico Ade una funci´on altura hM X, la transformaci´on de Cayley generalizada establece un difeomorfismo entre el n´ucleo del operador hessiano, que es un espacio vectorial al que llamaremos SM(A), y el conjunto de puntos cr´ıticos Σ(hM X)∩Ω(A) en un entorno de A. De ah´ı nuestro inter´es en establecer una teor´ıa lo m´as general posible de las funciones altura en el modelo de Cartan de un espacio sim´etrico ya que los resultados conocidos hasta el momento se refieren s´olo a casos puntuales. Aunque hemos obtenido muchos resultados, nuestro enfoque deja igualmente una serie de problemas interesantes abiertos. En el ´ambito del ´algebra lineal cuaterni´onica, es necesario desarrollar una teor´ıa general de autovalores por la izquierda y funciones caracter´ısticas. En espacios sim´etricos, la teor´ıa de la descomposici´on polar generalizada permitir´a caracterizar de modo general las funciones altura que son de Morse. Por ´ultimo, la continuaci´on natural del trabajo ser´a intentar aplicar nuestro m´etodo de Cayley para calcular la categor´ıa LS de las Grassmannianas y variedades de Stiefel. xix Contenidos Hemos estructurado la memoria en dos grandes bloques. En el primero de ellos recogemos los preliminares que nos han parecido necesarios para poder establecer los resultados del resto del trabajo. Preliminares ´ Algebra lineal cuaterni´onica El Cap´ıtulo 1 lo dedicamos al ´algebra lineal cuaterni´onica, recogiendo en ´el las principales herramientas del ´algebra lineal cuaterni´onica (por la derecha) que necesitaremos a lo largo de la memoria. Las dificultades mayores que encontramos en este ´ambito son la ausencia de determinante y la distinci´on entre autovalores por la derecha y por la izquierda. El comportamiento de los primeros es an´alogo al caso complejo. Se dice que un cuaternio q∈Hes un autovalor por la derecha de la matriz M∈ Mn×n(H) si existe alg´un v∈Hn, v 6= 0 tal que Av =vq. Su c´alculo es sencillo, de hecho, los autovalores por la derecha de una matriz cuaterni´onica Mde orden nno son m´as que los cuaternios similares a los autovalores complejos de su forma compleja c(M)∈ M2n×2n(C). As´ı, el espectro de Mpor la derecha, σr(M), estar´a formado a los sumo por n clases de similitud. El problema es que los autovectores asociados a un autovalor por la derecha no forman un subespacio vectorial pero a´un as´ı, el comportamiento es an´alogo al caso complejo. J.L. Brenner generaliza el lema de Schur a Mn×n(H) en [4] y as´ı obtenemos que las matrices normales se pueden diagonalizar. Adem´as, F. Zhang extiende al caso cuaterni´onico algunas descomposiciones matriciales como son la descomposici´on polar y la SVD en [90]. Estos resultados nos ser´an de gran utilidad a la hora de caracterizar las funciones altura en un grupo de Lie que son de Morse y simplificar el estudio de estas mismas funciones restringidas al modelo de Cartan de un espacio sim´etrico cl´asico. Ha habido varios intentos de extender la idea de determinante al ´ambito cuaterni´onico, tarea complicada debido a la no conmutatividad de los cuaternios [1]. De hecho, no es posible adaptar completamente este concepto a H; si se trata de extender este funcional multiplicativo de modo que coincida con el determinante usual sobre RyCse observa que necesariamente tendr´a que tomar valores reales. Nos detendremos especialmente en el determinante de Study y su relaci´on con otros determinantes pues ser´a una herramienta imprescindible para construir una funci´on caracter´ıstica para las matrices cuaterni´onicas y para probar de forma sencilla que los conjuntos de Cayley son abiertos. Se define como Sdet(M) = (detC(c(M))1/2, con lo que toma valores reales y extiende el m´odulo del determinante usual. Su xx comportamiento es bastante similar al del determinante complejo; enunciamos sus principales propiedades en la Subsecci´on 1.2.1. Entre los posibles determinantes cuaterni´onicos destacan los quasideterminantes, introducidos en 1992 por I.M. Gelfand y V.S. Retakh en [28]. En realidad, la teor´ıa que establecen estos autores no se reduce a Hsino que trabajan en el ´ambito de matrices con entradas en un anillo de divisi´on. Como ejemplo de la relaci´on entre la teor´ıa de Gelfand y Retakh y el determinante de Study generalizamos en la Subsecci´on 1.2.5 la llamada identidad de Jacobi. Nuestro inter´es en el estudio del ´algebra cuaterni´onica se debe a que buscamos aplicar para el c´alculo de la categor´ıa LS del grupo simpl´ectico Sp(n) el m´etodo que desarrolla W. Singhof en [74, 75]para calcular la categor´ıa del grupo unitario SU(n). Dicho m´etodo emplea abiertos del tipo Ω(z), z∈C, formados por las matrices A tales que A−zI es inversible. Sin embargo, en el caso cuaterni´onico, la condici´on de que A−qI sea inversible no guarda ninguna relaci´on con los autovalores por la derecha, sino que es equivalente a que q∈Hno sea un autovalor por la izquierda de A. A diferencia del caso del espectro por la derecha, se puede decir muy poco del espectro por la izquierda de una matriz cuaterni´onica arbitraria. Dedicamos la Secci´on 1.3 a los resultados conocidos en este ´ambito. Diremos que un cuaternio λ∈H es un autovalor por la izquierda de M∈ Mn×n(H) si existe alg´un vector no nulo v∈Hntal que Av =λv. En 1985, R.M.W. Wood demostr´o, usando m´etodos homot´opicos, que cualquier matriz cuaterni´onica tiene al menos un autovalor en este sentido [88]. Esta vez, el conjunto de los autovectores asociados a un autovalor por la izquierda s´ı forman un subespacio vectorial. Adem´as, el espectro por la izquierda σl(M) es compacto, aunque no necesariamente finito, ya que en cuanto al n´umero de autovalores tenemos un resultado de L. Huang y W. So de 2001 [33] seg´un el cual una matriz M∈ M2×2(H) puede tener uno, dos o infinitos autovalores. As´ımismo, uno de estos autores, W. So, hizo en 2005 un estudio caso por caso de las matrices 3×3 cuaterni´onicas obteniendo para cada caso diferentes polinomios cuyas ra´ıces son los autovalores por la izquierda [77]. Parece natural que para calcular autovalores cuaterni´onicos sea necesario saber hallar las ra´ıces de alg´un tipo de funci´on caracter´ıstica. Pero ni siquiera esto es tarea f´acil para los polinomios cuaterni´onicos. Por ahora s´olo se ha probado la extensi´on del teorema fundamental del ´algebra a los polinomios cuaterni´onicos bilaterales con un ´unico t´ermino de mayor grado [14] y sabemos que no puede verificarse para cualquier polinomio cuaterni´onico ya que, por ejemplo, xna−axn−1 es un polinomio que no tiene ninguna ra´ız en H. Recogemos en la Subsecci´on 1.4.2 el m´etodo que desarrollaron L. Huang y W. So [34] para hallar las ra´ıces de un polinomio cuaterxxi ni´onico m´onico unilateral del tipo x2+bx +c; lo utilizan para poder calcular los autovalores de las matrices 2 ×2. La definici´on de autovalor por la izquierda es equivalente a que Sdet(M−λI) = 0. Es precisamente esta propiedad la que nos dar´a la clave para construir una funci´on caracter´ıstica µy estudiar el espectro por la izquierda ya que al calcular la diferencial de la funci´on caracter´ıstica obtenemos ecuaciones lineales cuaterni´onicas. En el caso de orden 2 la diferencial es del tipo ecuaci´on de Sylvester, αx +xβ =γpor lo que recogemos en la Subsecci´on 1.5.1 el modo de resolverla y en 1.5.2 el m´etodo de D. Janovsk´a y G. Opfer [46] para discutirla. Generalizamos este m´etodo en la Subsecci´on 1.5.3 para adaptarlo a la situaci´on de la linealizaci´on de la funci´on caracter´ıstica en orden 3. Espacios sim´etricos Daremos una visi´on general de los espacios sim´etricos en el Cap´ıtulo 2, deteni´endonos un poco m´as en la estructura del modelo de Cartan, en el cual construiremos abiertos categ´oricos. Un espacio sim´etrico Riemanniano puede pensarse como una variedad diferenciable tal que en cada punto la inversi´on geod´esica es una simetr´ıa. Desde un punto de vista m´as global, un espacio sim´etrico es un G-espacio homog´eneo G/H para alg´un grupo de Lie G, tal que el estabilizador de un punto, H, es un subgrupo abierto del conjunto de puntos fijos de una involuci´on de σ:G→G. Esta definici´on incluye tanto los espacios globalmente sim´etricos Riemannianos como los pseudo-Riemannianos y los dotados simplemente de una conexi´on af´ın. Desde un punto de vista geom´etrico, los espacios localmente sim´etricos se caracterizan porque la conexi´on es sin torsi´on y la curvatura es paralela. Si a cada “par sim´etrico” (G, K, σ) le asociamos el “par” (g,h, s) formado por sus ´algebras de Lie y el morfismo inducido tenemos el espacio globalmente sim´etrico descrito algebraicamente. En esta interpretaci´on algebraica se bas´o E. Cartan para establecer la clasificaci´on de los posibles espacios sim´etricos Riemannianos, irreducibles, compactos de tipo cl´asico que recogemos en la Tabla de 2.3.1. Una herramienta que ha mostrado ser muy ´util a la hora de estudiar funciones de Morse en espacios sim´etricos (ve´anse, por ejemplo, los trabajos de S. Ramanujam [68] o H. Kadzisa y M. Mimura [49]) es el modelo de Cartan. Nos permite embeber el espacio sim´etrico G/K ∼ =Men el grupo Gal interpretar la variedad M={h∈ G:h=gσ(g)−1, g ∈G}como una subvariedad de G, de hecho la componente conexa del neutro de N={g∈G:σ(g) = g−1}. Este modo de trabajar con un espacio sim´etrico ser´a imprescindible para establecer la carta local del Teorema 6.2.1. Antes de terminar este Cap´ıtulo recogeremos como ejemplos los casos U(n)/O(n), xxii SO(2n)/U(n), Sp(n)/U(n) y U(2n)/Sp(n) estableciendo para cada uno de ellos el automorfismo σy las variedades MyN. Funciones de Morse. Estamos interesados en las funciones de Bott-Morse porque, como veremos, la transformaci´on de Cayley permite dar una carta local del conjunto de puntos cr´ıticos a partir del n´ucleo del hessiano de estas funciones. Esto es importante porque el conjunto de puntos cr´ıticos est´a relacionado con la categor´ıa LS de la variedad. De hecho, M. Reeken [70] prueba que cat M≤cat Σ, donde Σ denota el conjunto de puntos cr´ıticos de una funci´on diferenciable en la variedad M. La teor´ıa de Morse proporciona t´ecnicas que permiten analizar de modo eficiente la estructura homot´opica de una variedad diferenciable estudiando las propiedades de determinadas funciones diferenciables sobre esa variedad. Nos permite encontrar la estructura celular de un CW-complejo [59] y obtener informaci´on sobre su cohomolog´ıa [12]. Como puede verse en los trabajos de T. Frankel [23] y S. Ramanujam [68], las funciones de este tipo que se han considerado cl´asicamente en los grupos de Lie y espacios homog´eneos han sido las funciones altura odistancia. Consideremos hla funci´on altura en relaci´on a un hiperplano tanto en un grupo de Lie Ginmerso en un espacio eucl´ıdeo como en el modelo de Cartan de un espacio sim´etrico Membebido en G. Puede probarse que, salvo desplazamientos, hes la parte real de la traza y es una funci´on de Bott-Morse, hX(A) = <Tr(XA). Calcularemos el gradiente grad hX; esto nos permitir´a afirmar que un punto A∈Ges cr´ıtico para la funci´on altura en el grupo hG Xsi y s´olo si X∗=AXA. Tambi´en obtendremos el hessiano para este tipo de puntos. Resultados Transformaci´on de Cayley Al comienzo del Cap´ıtulo 4 recogemos brevemente la definici´on y principales propiedades de la transformaci´on de Cayley cl´asica. La transformaci´on de Cayley cl´asica cest´a definida en el abierto Ω formado por la matrices cuyo espectro no contiene al −1. La introdujo A. Cayley en 1846 [5] como un modo de expresar una transformaci´on ortogonal en coordenadas antisim´etricas. Viene dada por c(X) = I−X I+X y es involutiva. Ser´a de utilidad para pasar de un grupo de Lie Ga su ´algebra de Lie gy viceversa. xxiii En principio, cse define en los grupos ortogonales cl´asicos O(n), U(n) y Sp(n). Denotaremos por On(K) a estos grupos formados por matrices tales que AA∗=I con K=R,C´o H. Su ´algebra de Lie est´a formada por las matrices antiherm´ıticas (antisim´etricas). Es sencillo comprobar que estas matrices no tienen autovalores reales no nulos, propiedad indispensable para poder establecer el difeomorfismo del Teorema 6.2.1 entre el abierto de Cayley y el espacio tangente. Introducimos a continuaci´on una generalizaci´on de la aplicaci´on de Cayley que es apropiada para obtener un recubrimiento por abiertos categ´oricos de los grupos de Lie ortogonales. Viene dada por cA(X) = c(A∗X)A∗=A∗c(XA∗) y est´a definida en el abierto Ω(A)⊂ Mn×n(K) de las matrices Xtales que A+Xes inversible. Obtenemos para esta generalizaci´on propiedades an´alogas a las de la transformaci´on cl´asica c(que corresponde al caso A=I). En particular veremos que la inversa de la transformaci´on de Cayley centrada en A,cA, es (cA)−1=c∗ A. Esta propiedad resulta particularmente interesante porque a partir de ella daremos el Teorema 4.3.2 por el que cAestablece un difeomorfismo entre el abierto Ω(A)∩Gy el espacio tangente TA∗G. Este resultado nos permite por tanto obtener abiertos contr´actiles en el grupo. En el m´etodo que proponemos en el Cap´ıtulo 8 para calcular la categor´ıa LS, siguiendo a W. Singhof [74, 75], utilizaremos para recubrir el grupo abiertos del tipo Ω(λ) formados por las matrices Atales que A−λI es inversible. La transformaci´on de Cayley generalizada cAnos permitir´a probar que estos abiertos son contr´actiles en los grupos de Lie ortogonales. Por otro lado, veremos que cAnos permite linealizar el flujo del gradiente de las funciones altura hXtanto en los grupos de Lie como en los espacios sim´etricos. Una consecuencia es que permite y dar una carta local para el conjunto de puntos cr´ıticos modelada por el n´ucleo del Hessiano (ver Subsecci´on 6.2) . En orden a obtener la categor´ıa LS de los espacios sim´etricos nos planteamos si es posible aplicar esta misma t´ecnica en el ´ambito de estos espacios. Pasamos entonces a demostrar que es posible extender la transformaci´on de Cayley generalizada a los espacios sim´etricos, para lo que es esencial el Lema 4.4.1, que establece que para todo elemento Ade un grupo Gen el que est´e definido un automorfismo involutivo que es la restricci´on de R-´algebras σse verifica que cσ(A)◦σ=σ◦cA. Teniendo en cuenta que el modelo de Cartan de un espacio sim´etrico del tipo G/K viene dado por M={h∈G:h=gσ(g)−1, g ∈G}y que el autorfismo σes R-lineal para todos los espacios sim´etricos irreducibles simplemente conexos de la clasificaci´on de ´ E. Cartan, en la Subsecci´on 4.4.2 utilizaremos el Lema 4.4.1 para xxiv probar que los abiertos Ω(A)∩Men el modelo de Cartan Mde un espacio sim´etrico son contr´actiles. Funciones de Morse En el Cap´ıtulo 6 analizaremos el comportamiento de las funciones altura hM Xen el modelo de Cartan de un espacio sim´etrico M. S. Ramanujam estableci´o en [68] un estudio caso por caso de la funci´on de T. Frankel hIen determinados espacios homog´eneos. Sin embargo, el Lema 4.4.1 nos permitir´a estudiar al mismo tiempo todas las funciones altura en los espacios sim´etricos. Describiremos en primer lugar el espacio tangente TAMy calcularemos el gradiente grad hM X. La dificultad a la hora de obtener el gradiente de estas funciones altura es que, salvo en algunos casos particulares como los que recogen A.P. Dynnikov e I.A. Veselov en [82], el gradiente de hM Xno es simplemente la restricci´on del gradiente de la funci´on en el grupo hG XaM. De hecho, en la Subsecci´on 6.2.4 desarrollaremos un ejemplo de una funci´on para la que Σ(hG X)∩M=∅y sin embargo, esa misma funci´on altura en el modelo de Cartan s´ı tiene puntos cr´ıticos, Σ(hM X)6=∅. Obtendremos que (grad hM X)(A) = 1 4b X−Aσ(b X)A, donde b X=X∗+σ(X), expresi´on que nos permite caracterizar los puntos cr´ıticos y comprobar que para un espacio sim´etrico M∼ =G/K,A∈Mes un punto cr´ıtico de la funci´on altura en el modelo de Cartan hM Xsi y solo si es un punto cr´ıtico de hG σ( b X) (ver Teorema 6.1.7). Calcularemos el operador Hessiano de hM Xen la Subsecci´on 6.1.3 y veremos que la transfomaci´on de Cayley generalizada cAnos permite “linealizar” el flujo del gradiente de hM X. Para grupos de Lie y para el caso particular A=Iesta idea aparece en K. Volchenko y A. Kozachko [84]. En concreto, es posible integrar la ecuaci´on diferencial del gradiente, 4α0=b X−ασ(b X)α, convirti´endola, mediante Cayley, en una ecuaci´on diferencial β0= (−1/4) βb XA∗+A∗b Xβ en el ´algebra de Lie, que es posible resolver expl´ıcitamente. Lo haremos en la Subsecci´on 3.3.4. xxv todo Sp(2). De todas formas, en 8.8.4 damos cinco abiertos contr´actiles de este tipo que s´ı recubren el grupo. Los resultados obtenidos en los cap´ıtulos anteriores ser´an de utilidad tambi´en para estudiar la categor´ıa de algunos espacios sim´etricos con una m´etrica k¨ahler. La cota inferior que se usa en este caso es la longitud del cup producto [60], ya que la existencia de una forma simpl´ectica no degenerada hace que sea l.c.p = dim X/2. Por otra parte, la cota superior es tambi´en dim X/2 si el espacio es simplemente conexo. Por ejemplo, consideremos Sp(2)/U(2). Este espacio sim´etrico es difeomorfo a la Grassmaniana real SO(5)/(SO(2) ×SO(3)), de dimensi´on 6, con lo que tenemos que cat(Sp(2)/U(2)) = 3. En 8.9.1 obtendremos que {ΩM(±iI),ΩM(±E)}, donde E= diag(i,−i), forma un recubrimiento categ´orico expl´ıcito del modelo de Cartan de Sp(2)/U(2). En el caso de Sp(3)/U(3), que tambi´en posee una estructura herm´ıtica, la categor´ıa es cat Sp(3)/U(3) = 3(3 + 1)/2 = 6. En este caso s´olo podemos proporcionar un recubrimiento por ocho abiertos contr´actiles que recubren el modelo de Cartan de este espacio sim´etrico. Tanto en este caso como en el anterior la comprobaci´on de que se tiene un recubrimiento utiliza las expresiones para el determinante de Study de las matrices de orden 2 y 3 obtenidas en 7.2.3 y 7.2.4. Al final de la Memoria recogemos otras posibles aplicaciones, fuera del ´ambito de la categor´ıa LS, de los resultados obtenidos . La primera de ellas (Subsecc. 8.10.1), establece un m´etodo sencillo para calcular los autovalores por la izquierda de las matrices simpl´ecticas de orden 2 usando la transformaci´on de Cayley; proporciona tambi´en los autovectores asociados. La segunda, establece la forma de las matrices 2×2 antiherm´ıticas con infinitos autovalores (ver 8.10.1). Particularmente importante ser´ıa poder aplicar nuestro estudio de las funciones de Bott-Morse a la descomposici´on polar generalizada de la Subsecci´on 8.10.2. En efecto, en los grupos de Lie es bien conocido que la parte unitaria Ude la descomposici´on polar X=SU corresponde al valor m´ınimo en el grupo unitario de la funci´on altura hX. De este modo, varios m´etodos num´ericos basados en el “descenso del gradiente”sirven para calcular Udada X. En nuestro caso, al resolver expl´ıcitamente las ecuaciones del gradiente parece posible generalizar ese m´etodo a cualquier espacio sim´etrico. Por otra parte, ser´ıa de gran utilidad obtener resultados generales para una descomposici´on de este tipo compatible con el modelo de Cartan, puesto que, conforme a lo estudiado en el Cap´ıtulo 6, nos permitir´ıa dar una caracterizaci´on general de las funciones altura en un espacio sim´etrico que son de Morse. xxxii Parte I Preliminares 1 Cap´ıtulo 1 ´ Algebra lineal cuaterni´onica El ´algebra lineal sobre los cuaternios no es una simple generalizaci´on del caso complejo. Si se considera la estructura de H-espacio vectorial por la derecha s´ı hay muchas analog´ıas. Por ejemplo, podemos extender las descomposiciones cl´asicas como son la descomposici´on en valores singulares o la descomposici´on polar. Sin embargo, la no conmutatividad de los cuaternios hace que surjan algunas dificultades; de entre ellas, las m´as se˜naladas son la ausencia de determinante y el hecho de que los autovectores asociados a un autovalor por la derecha no forman un subespacio vectorial. Los autovalores por la derecha est´an muy estudiados [2] y su c´alculo es sencillo. Dada una matriz cuaterni´onica Mdiremos que un cuaternio q∈Hes un autovalor por la derecha de Msi existe alg´un vector no nulo v∈Hntal que Mv =vq. El comportamiento de este tipo de autovalores es an´alogo al caso complejo; de hecho, podemos diagonalizar matrices normales. En nuestro caso el estudio de los autovalores cuaterni´onicos se debe a la intenci´on de extender al grupo simpl´ectico Sp(n) el m´etodo que utiliza W. Singhof [74, 75] para calcular la categor´ıa LS del grupo unitario U(n). Este m´etodo utiliza abiertos contr´actiles formados por matrices Aque verfican una condici´on del tipo A−λI inversible. Sin embargo, esta condici´on no guarda ninguna relaci´on con los autovalores por la derecha sino con los autovalores por la izquierda. Un cuaternio λes autovalor por la izquierda de M∈ Mn×n(H) si y solo si M−λI es no inversible. A diferencia del espectro por la derecha, el espectro por la izquierda no es sencillo de estudiar y, por ahora, se tienen muy pocos resultados. En este caso, los autovectores s´ı forman un subespacio vectorial. Su estudio es complicado y, como veremos, el comportamiento de los autovalores por la izquierda es muy diferente al caso complejo. En 1985 R. M .W. Wood prob´o que el espectro por la izquierda de cualquier matriz cuatern´onica es no vac´ıo [88]. Esta demostraci´on utiliza m´etodos 3 4 I. 1 ´ Algebra lineal cuaterni´onica homot´opicos y por el momento no se conoce ninguna prueba m´as sencilla. En cuanto al n´umero de autovalores, solo tenemos un resultado de L. Huang y W. So seg´un el cual una matriz cuaterni´onica de orden 2 puede tener uno, dos o infinitos autovalores por la izquierda [33]. Para ´ordenes superiores ni siquiera se sabe si una matriz de orden npuede tener un espectro finito formado por m´as de nelementos. Otra de las dificultades es que el espectro por la izquierda no es invariante por semejanza, es decir, las matrices MyUMU∗pueden tener autovalores distintos. Adem´as, los espectros por la izquierda y por la derecha, en principio, no guardan ninguna relaci´on, a no ser que la matriz o los autovalores sean reales. En este Cap´ıtulo recogemos las principales nociones del ´algebra lineal (por la derecha) cuaterni´onica. La mayor parte de estos resultados ser´an necesarios a lo largo de la Memoria. En otros casos servir´an para hacer ver la dificultad del estudio de los autovalores por la izquierda. 1.1. Resultados b´asicos 1.1.1. Cuaternios Los cuaternios Hforman un ´algebra no conmutativa sobre R, asociativa y con uno. Es un anillo de divisi´on H={t+xi+yj+zk:t, x, y, z ∈R}, donde i2=j2=k2=−1,ij =−ji =k,jk =−kj =i,ki =−ik =j. Si q=t+xi+yj+zk∈Hdenotaremos <(q) = t, =(q) = xi+yj+zk las partes real e imaginaria de qrespectivamente. El conjugado de qes q=t−xi−yj−zk. Puede verse un buen resumen de todas sus propiedades en el art´ıculo de F. Zhang [90]. Definici´on 1.1.1. Se dice que q, q0∈Hson similares si existe alg´un cuaternio no nulo utal que q0=uqu−1. 1.1.2 El espacio cuaterni´onico Hn5 Teorema 1.1.2. Dos cuaternios son similares si y solo si tienen la misma norma y la misma parte real. En particular, 1. todo cuaternio qes similar a su conjugado q; 2. todo cuaternio q∈Hes similar a un complejo, <(q)±|=(q)|i. Denotaremos por H0∼ =R3el espacio vectorial real de los cuaternios con parte real nula. Aqu´ı el producto escalar viene dado por hξ, ξ0i=−<(ξξ0). Una base ortonormal para este producto es {i,j,k}. Si ξ∈H0tenemos que ξ=−ξyξ2=−|ξ|2. El conjunto de los vectores de H0con norma 1 coincide con el de los cuaternios similares a la unidad imaginaria i. 1.1.2. El espacio cuaterni´onico Hn Si queremos obtener en este ´ambito los resultados habituales para matrices asociadas a una aplicaci´on lineal, es necesario considerar el espacio cuaterni´onico Hn como un H-espacio vectorial por la derecha. El producto herm´ıtico que utilizaremos en Hnes hu, vi=u∗v. 1.1.3. Matrices cuaterni´onicas Dada una matriz M∈ Mn×n(H), denotaremos por Ma su conjugada, MTa la matriz traspuesta de MyM∗= (M)T. Definici´on 1.1.3. Diremos que M∈ Mn×n(H) es normal si MM∗=M∗M, herm´ıtica si M∗=M,antiherm´ıtica si M∗=−Mysimpl´ectica o unitaria si M∗M=I; donde Idenota la matriz identidad de orden n. F. Zhang recoge en [90] las principales propiedades de las matrices cuaterni´onicas. 1.1.4. Forma compleja de una matriz cuaterni´onica Dada Muna matriz cuaterni´onica de orden n×npuede expresarse de forma ´unica como M=X+jYcon X, Y ∈ Mn×n(C). Definici´on 1.1.4. Llamamos forma compleja de M∈ Mn×n(H) a (1.1) c(M) = X−Y Y X ∈ M2n×2n(C). 6 I. 1 ´ Algebra lineal cuaterni´onica La base de C2n∼ =Hncomo C-espacio vectorial que aqu´ı se utiliza es {e1, . . . , en,je1,...,jen} con {e1, . . . , en}los vectores de la base can´onica de Hn. Este modo de expresar las matrices de Mn×n(H) es bastante efectivo pues permite aprovechar muchas de las propiedades de las matrices complejas. De nuevo F. Zhang recopila estas propiedades en [90]. Proposici´on 1.1.5. Sean M, N ∈ Mn×n(H), entonces: 1. c(M+N) = c(M) + c(N); 2. c(tM) = tc(M)para t∈R; 3. c(M·N) = c(M)·c(N); en particular, c(M)es inversible sii Mes inversible; 4. c(M∗) = c(M)∗; 5. c(M)es unitaria, herm´ıtica o normal sii Mes unitaria, herm´ıtica o normal respectivamente; 6. det c(M)≥0es un n´umero real no negativo. 1.1.5. Autovalores por la derecha La teor´ıa de autovalores por la derecha de matrices cuaterni´onicas est´a bien establecida, como puede verse, entre otros, en [2, 4, 90]. La existencia de estos autovalores se prueba algebraicamente pero, recientemente, A. Baker [2] ha proporcionado un argumento topol´ogico basado en el teorema del punto fijo de Lefschetz. Sin embargo, a la hora de trabajar con ellos, hay que tener la precauci´on de que los autovectores asociados a un autovalor por la derecha no forman un H-espacio vectorial (por la derecha). Definici´on 1.1.6. Se dice que un cuaternio q∈Hes un autovalor por la derecha de la matriz M∈ Mn×n(H) si existe un vector v∈Hn,v6= 0, tal que Mv =vq. Proposici´on 1.1.7. Sea q∈Hun autovalor por la derecha de M∈ Mn×n(H). Entonces, cualquier cuaternio similar a qes tambi´en autovalor de M. En concreto, si ves un q-autovector, dado x∈Hno nulo, vx es un (x−1qx)-autovector de M. Demostraci´on. M(vx)=(Mv)x=vqx = (vx)x−1qx. 1.1.6 Diagonalizaci´on de matrices normales 7 Queda claro pues que, con esta definici´on, el conjunto Σ(q) de autovectores asociados a un autovalor qno es un subespacio vectorial pues, dados v, v0∈Σ(q), la suma se mantiene dentro de Σ(q) pero el producto por escalares no. La siguiente proposici´on, consecuencia de las propiedades vistas hasta ahora, muestra que el c´alculo de los autovalores por la derecha de una matriz cuaterni´onica es bastante sencillo. Proposici´on 1.1.8. Los autovalores por la derecha de una matriz M∈ Mn×n(H) son los cuaternios similares a los autovalores complejos de su forma compleja c(M). N´otese que para una matriz compleja del tipo c(M) = X−Y Y X de orden 2n×2ncada vez que aparece un autovalor aparece tambi´en su conjugado, de modo que, como mucho, tendr´a nautovalores no conjugados. Corolario 1.1.9. Mno puede tener m´as de nautovalores no similares. Ejemplo 1.1.10. Sea M=0−1 1 0 .Se comprueba directamente que sus autovalores cuaterni´onicos son las soluciones de la ecuaci´on q2=−1, es decir, todos los elementos de Hsimilares a q=i, que son los cuaternios de m´odulo 1 en hi,j,ki. Teorema 1.1.11. Sean M, N ∈ Mn×n(H)matrices semejantes, es decir, tales que N=BMB−1con Buna matriz cuadrada inversible. Entonces MyNtienen los mismos autovalores por la derecha. 1.1.6. Diagonalizaci´on de matrices normales Veamos ahora que toda matriz normal puede diagonalizarse. Utilizaremos la siguiente generalizaci´on del lema de Schur. Lema 1.1.12. Toda matriz cuaterni´onica es triangularizable por una matriz simpl´ectica. Este resultado fue probado por J.L.Brenner en [4, p.331]. Teorema 1.1.13. Una matriz cuaterni´onica es diagonalizable si y solo si es normal. Demostraci´on. Sea M∈ Mn×n(H) tal que MM∗=M∗M. Por el Lema 1.1.12, existen matrices Ttriangular superior y Uunitaria tales que M=UTU∗. Despejando Ten la igualdad anterior, T=U∗MU y as´ı, TT∗= (U∗MU)(U∗M∗U) = U∗MM∗U= U∗M∗UU∗MU = (U∗MU)∗(U∗MU) = T∗T. 8 I. 1 ´ Algebra lineal cuaterni´onica Es decir, Tes una matriz normal. Adem´as, como Tes triangular superior, de esta igualdad obtenemos para i= 1, . . . , n que |tii|2=|tii|2+|tii+1|2+···+|tin|2 por tanto, tij = 0 siempre que j > i, luego Tes diagonal. Se deduce de los resultados que hemos recogido sobre los autovalores por la derecha que las matrices cuaterni´onicas normales no s´olo son diagonalizables sino que se pueden diagonalizar a una matriz compleja. Tambi´en pueden extenderse al ´ambito cuaterni´onico las siguientes descomposiciones cl´asicas de matrices. 1.1.7. Descomposici´on polar Es f´acil comprobar que los autovalores de una matriz herm´ıtica son reales. Cuando ´estos son no negativos decimos que la matriz es semidefinida positiva. Teorema 1.1.14. Dada M∈ Mn×n(H)existen una matriz cuaterni´onica herm´ıtica semidefinida positiva Hy una matriz cuaterni´onica unitaria Utales que M=HU. Adem´as, si Mes de rango m´aximo, estas matrices son ´unicas. Zhang prueba este teorema en [90]. Utiliza que MM∗es una matriz normal y, por tanto, diagonalizable a una matriz cuyas entradas son los cuadrados de los valores singulares de M. Despu´es aplica el teorema de descomposici´on polar en M2n×2n(C) a la forma compleja de M, c(M) = AB con A, B ∈ M2n×2n(C) tales que Aes herm´ıtica semidefinida positiva y Bunitaria. Finalmente, comprueba que A=c(H) y B=c(U) para HyUmatrices cuaterni´onicas tales que Hes herm´ıtica semidefinida positiva y Uunitaria. 1.1.8. Descomposici´on SVD Para cualquier matriz cuaterni´onica Men Mn×n(H) la matriz M∗Mes herm´ıtica y todos sus autovalores son reales no negativos. Adem´as, M∗MyMM∗tienen los mismos autovalores. Definici´on 1.1.15. Sea M∈ Mn×n(H). Las ra´ıces cuadradas no negativas de los nautovalores de M∗Mson los valores singulares de M. 1.2 Determinante de Study 9 Lema 1.1.16. Para M∈ Mn×n(H),tes un valor singular de Msii existen vectores u, v 6= 0 tales que Mv =tu,M∗u=tv. De la extensi´on del teorema de descomposici´on polar a los cuaternios se deduce la descomposici´on en valores singulares para matrices cuaterni´onicas. Teorema 1.1.17. Sea M∈ Mn×n(H)una matriz de rango r. Entonces existen dos matrices U, V ∈ Mn×n(H)unitarias tales que UMV =Dr0 0 0 donde Dr= diag(d1, . . . , dr)con dilos valores singulares positivos de M. En particular, si Mes de rango m´aximo, podemos tomar D= diag(d1, . . . , dn), Uuna matriz unitaria cuyas columnas sean autovectores de MM∗yVuna unitaria cuyas columnas sean autovectores de M∗M. Entonces M=UDV ∗. 1.2. Determinante de Study No es f´acil extender a Hla noci´on de determinante debido a la no conmutatividad de los cuaternios. El primero en proponer un funcional an´alogo para las matrices cuaterni´onicas fue A. Cayley en el a˜no 1845, pero no logr´o generalizar las propiedades del determinante usual. Hasta 75 a˜nos despu´es no hubo ning´un avance significativo. En la segunda edici´on del Elements of Quaternions de W.R. Hamilton, de 1889, el editor a˜nadi´o un ap´endice sobre este tema pero no era m´as que una reelaboraci´on del art´ıculo de Cayley. Diez a˜nos m´as tarde aparece un art´ıculo de J.M. Pierce que, de nuevo, no pasa de una cuidada estructuraci´on de la teor´ıa del determinante de Cayley. Por fin, en 1920, E. Study propone transformar una matriz cuaterni´onica n×nen una compleja 2n×2ny a ´esta ´ultima hacerle el determinante complejo. Se observa, sin embargo, que no es posible generalizar a los cuaternios la noci´on de determinante ya que, necesariamente tomar´a valores en R. S´ı se puede generalizar el m´odulo del determinante, |det |(es decir, con valores reales), y esto es lo que hizo E. Study. En [1] y [7] H. Aslaksen y N.Cohen respectivamente resumen la teor´ıa general de los determinantes cuaterni´onicos. 16 I. 1 ´ Algebra lineal cuaterni´onica 1.2.4. Quasideterminantes Los quasideterminantes para matrices con entradas en un anillo de divisi´on no conmutativo fueron introducidos por I. Gelfand y V. Retakh en los a˜nos 90 y son una herramienta ´util en ´algebra no conmutativa (ver por ejemplo [27, 87]). Estos autores no se limitan a definir un determinante cuaterni´onico sino que desarrollan una teor´ıa mucho m´as general en la que tratan de dar alg´un funcional que extienda el determinante usual sobre un anillo de divisi´on. Denotemos por Mi,j la submatriz de orden (n−1)×(n−1) resultante de suprimir en M∈ Mn×n(H) la fila iy la columna j. Entonces, para cada 1 ≤i, j ≤nse define inductivamente el quasideterminante |M|ij ∈Hcomo sigue. Definici´on 1.2.16. Dada M∈ Mn×n(H), para cada par (i, j) con 1 ≤i, j ≤n, se define el (i, j)-quasideterminante de M como |M|ij =mij −Xmiq(|Mi,j|pq)−1mpj, donde la suma se toma sobre los p, q ∈ {1, . . . , n}tales que p6=i, q 6=j. Nota–. La definici´on de quasideterminante que dan I. Gelfand et al. en [27] no es del todo correcta. La expresi´on recogida en este art´ıculo es |M|ij =mij −Xmii0(|Mij|j0i0)−1xj0j con i0∈I−{i}, j0∈J−{j}. La definici´on correcta es la que hab´ıan dado trece a˜nos antes, en 1992 [28], que hemos recogido en la Definici´on 1.2.16. Ejemplo 1.2.17. Para una matriz de orden 2 hay cuatro qdets. Sea M=m11 m12 m21 m22. La expresi´on para cada uno de sus qdets es: |M|11 =m11 −m12m−1 22 m21,|M|12 =m12 −m11m−1 21 m22, |M|21 =m21 −m22m−1 12 m11,|M|22 =m22 −m21m−1 11 m12. Ejemplo 1.2.18. Para una matriz de orden 3 hay nueve qdets. Por ejemplo, el (2,1)-qdet es |M|21 =m21 −m22(m12 −m13m−1 33 m32)−1m11 −m22(m32 −m33m−1 13 m12)−1m31 −m23(m13 −m12m−1 32 m33)−1m11 −m23(m33 −m32m−1 12 m13)−1m31. 1.2.4 Quasideterminantes 17 Puesto que esta definici´on involucra los inversos de los quasideterminantes de orden menor, es necesario dar una definici´on para cuando alguno de ellos se anula. La siguiente Proposici´on lo aclara (ver Prop 1.5 de [28]). Proposici´on 1.2.19. Dada M∈ Mn×n(H)el quasideterminante |M|pq est´a definido si al menos uno de los qdets de la matriz Mpq est´a definido y no se anula. En este caso, |M|pq =mpq −Xmpj|Mp,q|−1 ij miq, donde la suma la tomamos sobre todos los pares (i, j), i 6=p, j 6=q, para los que el determinante |Mp,q|ij est´a definido y no se anula. Este modo de hacer los quasideterminantes nos proporciona la inversa de la matriz. De hecho, cuando Mes inversible, las entradas de la matriz inversa mij son precisamente los inversos de los qdets traspuestos, |M|−1 ji . En particular, cuando los elementos de la matriz Mconmutan, tenemos que |M|−1 ji = (−1)i+jdet Mj,i/det M. Veamos un ejemplo: Ejemplo 1.2.20. M=  i0 0 k j 0 −3 2k k   Al calcular los quasideterminantes obtenemos: |M|11 =i|M|22 =j |M|33 =k|M|12 = 1 |M|13 =−i(−3i+ 2j)−1k|M|23 =−1 2j. En cambio, |M|21,|M|31 y|M|32 no existen ya que en estos casos los |Mpq|ij o no est´an definidos o se anulan. La matriz obtenida con los inversos de los qdets es, efectivamente, la matriz inversa de M: M−1= −i0 0 1−j0 −2−3k2j−k  . La siguiente proposici´on generaliza el caso complejo y establece la relaci´on entre los quasideterminantes y el determinante de Study. 18 I. 1 ´ Algebra lineal cuaterni´onica Proposici´on 1.2.21. Para toda matriz M∈ Mn×n(H)se verifica que, siempre que exista |M|pq, Sdet(Mp,q)||M|pq|= Sdet(M) donde Mpq es la matriz resultante de suprimir en Mla fila py la columna qy||M|pq| es el m´odulo del (p, q)-qdet. Esta Proposici´on es un caso particular de la llamada identidad de Jacobi que comprobaremos en la Secci´on 1.2.5. 1.2.5. Identidad de Jacobi La llamada identidad de Jacobi del determinante (a pesar de que en 1882 se atribuy´o a Kronecker [63]) es una generalizaci´on de la f´ormula (1.2) (M−1)ij = (−1)i+jdet Mj,i/det M. Sea C∈ Mm×m(C) una matriz compleja cuadrada de orden m. Sean I= {i1, . . . , ip}yJ={j1, . . . , jp}subconjuntos de {1, . . . , m}del mismo tama˜no p. Denotamos por CI,J la submatriz formada por las filas con ´ındice en Iy las columnas con ´ındice en J. Rec´ıprocamente, denotamos por CI,J la submatriz complementaria obtenida suprimiendo las filas en Iy las columnas en J. Lema 1.2.22. Supongamos una matriz compleja Cinversible. Entonces det (C−1)I,J = (−1)I+Jdet CJ,I/det C, donde I+Jsignifica i1+···+ip+j1+···+jp. Utilizaremos el determinante de Study para establecer un teorema an´alogo en el caso cuaterni´onico. Teorema 1.2.23. Supongamos una matriz cuaterni´onica Minversible. Entonces Sdet (M−1)I,J = Sdet MJ,I/Sdet M, para cualesquiera subconjuntos de ´ındices IyJdel mismo tama˜no. Demostraci´on. Si I={i1, . . . , ip}denotamos I0=I+n={i1+n, . . . , ip+n}; 1.2.5 Identidad de Jacobi 19 an´alogamente para J0=J+n. Como c(M−1)I,J =c(M−1)I∪I0,J∪J0=c(M)−1I∪I0,J∪J0 y c(MJ,I ) = c(M)J∪J0,I∪I0, el resultado se sigue del caso complejo, Lema 1.2.22. Con todo esto encontramos el modo de generalizar la f´ormula (1.2) a los cuaternios; basta tomar p= 1, I ={i}yJ={j}. Teorema 1.2.24. Sea M∈ Mn×n(H)una matriz cuaterni´onica inversible. Sea mij la entrada (i, j)de la matriz inversa M−1. Entonces su norma viene dada por |mij|= Sdet(Mj,i)/Sdet(M). Ejemplo 1.2.25. Sea M=  2i−j3j i −3k i+ 2k i −k2i −j3k j  . Calculando los quasideterminantes obtenemos que su matriz inversa es M−1=1 77  −27 + 12i+ 17j+ 42k18 + 36i+ 18j−39k−28i+ 42j−42k −16 −24i−13j−15 + 5i+ 27j+ 22k28 −7i+ 189j−7k 45 −36i+ 17j+ 3k3−9i−48j+ 42k21 + 56i−14j  . Por ejemplo, el quasideterminante (3,1) de Mes |M|31 =1 2i−3 4j+3 4k, y la norma de su inverso es kM|−1 31 |=|− 4i 11 +6j 11 −6k 11 |=r8 11 mientras que Sdet M1,3= 2|i+ 3j+ 2k|= 2√14 = √56 y Sdet M=√77. 20 I. 1 ´ Algebra lineal cuaterni´onica Tomemos ahora, por ejemplo, I={1,2}yJ={1,3}. Entonces MJ,I = (2i) y Sdet AJ,I = 2, mientras que (M−1)IJ =1 77 −27 + 12i+ 17j+ 42k−28i+ 42j−42k −16 −24i−13j28 −7i+ 189j−7k y Sdet (M−1)IJ =2 √77. 1.3. Autovalores por la izquierda La teor´ıa de autovalores por la izquierda de matrices cuaterni´onicas est´a muy poco desarrollada. Un resultado de R. M .W. Wood [88] garantiza su existencia pero, en general, no se sabe cu´antos autovalores por la izquierda puede tener una matriz cuaterni´onica de orden n×n. L. Huang y W. So probaron que una matriz cuadrada de orden 2 puede tener uno, dos o infinitos autovalores (pertenecientes a diferentes clases de similitud) y caracterizaron este ´ultimo caso [33]. F. Zhang recoge en [90, 91] sus principales propiedades y algunos ejemplos patol´ogicos; puede verse tambi´en [32]. El propio Zhang plantea como cuesti´on abierta cu´antos autovalores por la izquierda puede tener una matriz cuaterni´onica cuadrada y sugiere investigar su espectro por la izquierda. 1.3.1. Autovalores de una matriz Definici´on 1.3.1. Sea Muna matriz cuaterni´onica de orden n. Se dice que λ∈H es un autovalor por la izquierda de Msi existe un v∈Hn, v 6= 0, tal que Mv =λv. Llamamos σl(M) al espectro por la izquierda de la matriz M. El inter´es de esta definici´on radica en que es equivalente al hecho de que la matriz M−λI sea singular, es decir, para esto no sirven los autovalores por la derecha (en el caso conmutativo no se da esta sutileza). De acuerdo con las propiedades del determinante de Study tenemos Proposici´on 1.3.2. Los autovalores por la izquierda de M∈ Mn×n(H)son las ra´ıces de la ecuaci´on Sdet(M−λI) = 0. En este caso: 1.3.1 Autovalores de una matriz 21 Proposici´on 1.3.3. El conjunto de los autovectores asociados a un autovalor por la izquierda λforma un subespacio vectorial (por la derecha). Demostraci´on. Sean λun autovalor de la matriz M∈ Mn×n(H), v, v0dos λautovectores y q∈H; se verifica entonces que M(vq)=(Mv)q= (λv)q=λ(vq), M(v+v0) = Mv +Mv0=λ(v+v0). Proposici´on 1.3.4. El espectro por la izquierda de una matriz cuaterni´onica M∈ Mn×n(H)es compacto. Demostraci´on. De acuerdo con la Proposici´on 1.3.2, σl(M) es cerrado por ser la imagen rec´ıproca de un cerrado por una aplicaci´on continua ya que la aplicaci´on forma compleja, el determinante complejo y la ra´ız cuadrada del valor absoluto son aplicaciones continuas. Adem´as, σl(M) es acotado. Sea λ∈σl(M), entonces |λ|=|λv| |v|≤sup |w|=1 |Mw| |w|=kMk. Recogemos aqu´ı el teorema de existencia de Wood [88]. Teorema 1.3.5 (Wood, 1985).Toda matriz cuaterni´onica de orden n×ntiene al menos un autovalor por la izquierda. Demostraci´on. La prueba es topol´ogica. En primer lugar, si M∈ Mn×n(H) es singular, 0 ∈σl(M). As´ı que tomamos Minversible. Suponemos que M−λI ∈ GL(n, H),∀λ6= 0 y llegamos a una contradicci´on. En efecto, si M−λI es inversible para todo λ∈H, podemos construir dos homotop´ıas en GL(n, H) : ft(λ) = M−tλI, gt(λ) = tM −λI. Como f0(λ) = M,f1(λ) = M−λI =g1(λ) y g0(λ) = −λI, las aplicaciones f0yg0 son hom´otopas. Sin embargo, si las consideramos como aplicaciones de la esfera S3 en GL(n, H), en el tercer grupo de homotop´ıa π3GL(n, H)∼ =Zcorresponden a los enteros 0 y n[78], luego no pueden ser hom´otopas. 22 I. 1 ´ Algebra lineal cuaterni´onica Matrices 2×2 En cuanto al n´umero de autovalores solo tenemos el siguiente teorema de Huang y So para matrices 2 ×2 [33]. Teorema 1.3.6. Una matriz M=a b c d∈ M2×2(H)tiene uno, dos o infinitos autovalores por la izquierda. Este ´ultimo caso se da si y s´olo si a0, a1∈R,a06= 0 y ∆ = a2 1−4a0<0, donde a0=−b−1cya1=b−1(a−d). La demostraci´on de este teorema se basa en la resoluci´on de polinomios de grado dos que hicieron los mismos autores en [34] y que discutiremos m´as adelante. Para estas matrices, podemos calcular expl´ıcitamente el espectro por la izquierda. Si la matriz Mes triangular (es decir, bc = 0), los autovalores de Mson los elementos de la diagonal. Para una matriz Mno triangular Huang y So [33] obtuvieron el siguiente resultado que nosotros probamos de manera diferente. Proposici´on 1.3.7. Si bc 6= 0, los autovalores por la izquierda de M=a b c d son de la forma λ=a+bp, donde pes cualquier soluci´on del polinomio cuadr´atico unilateral (1.3) p2+a1p+a0= 0, con a1=b−1(a−d)ya0=−b−1c. Demostraci´on. Los autovalores de Mvienen dados por Sdet(M−λI) = 0. En este caso, si λes un autovalor por la izquierda de M,λ6=a, d. Entonces, utilizando las propiedades de Sdet podemos transformar la matriz M−λI de manera que Sdet(M−λI) = Sdet a−λ b 0 (d−λ)−c(a−λ)−1b. Esta matriz ser´a no inversible si y s´olo si (d−λ)−c(a−λ)−1b= 0 es decir, (d−λ)b−1(a−λ) = c. Si ahora hacemos el cambio p=b−1(λ−a) nos da el polinomio cuadr´atico unilateral que busc´abamos −bp2+ (d−a)p−c= 0. 1.4 Polinomios cuaterni´onicos 23 Nota–. Llamaremos esf´erico al caso en el que hay infinitos autovalores porque, en ese caso, el espectro (1.4) σl(A) = {(1/2)(a+d+bq): q2= ∆} es difeomorfo a la esfera S2⊂H0=hi,j,ki. Matrices 3×3 Para orden 3 W. So hizo un estudio caso por caso seg´un las relaciones entre las entradas de la matriz [77]. Obtuvo diferentes polinomios cuaterni´onicos de grado menor o igual que tres tales que sus ra´ıces son los autovalores por la izquierda. 1.4. Polinomios cuaterni´onicos No es sencillo hallar las ra´ıces de un polinomio cuaterni´onico. Uno de los primeros problemas que nos encontramos es que un polinomio bilateral puede tener varios t´erminos del mismo grado. Adem´as, ya no se verifica que un polinomio tenga tantas soluciones como indica su grado; por ejemplo, la ecuaci´on x2=−1, que en Rno tiene soluci´on y en Ctiene dos, tiene infinitas soluciones en el caso cuaterni´onico, toda una esfera S2. Esto nos lleva a plantearnos tanto si todos los polinomios cuaterni´onicos tienen ra´ıces como, en el caso de tenerlas, cu´antas hay. 1.4.1. Teorema fundamental En 1941 I. Niven prueba [64], bas´andose en el algoritmo de la divisi´on, que toda ecuaci´on del tipo xn+a1xn−1+···+an= 0 tiene alguna soluci´on. En ese mismo art´ıculo proporciona un m´etodo (poco pr´actico) para obtener las ra´ıces de polinomios de este tipo, discute el n´umero de soluciones y da una condici´on necesaria y suficiente para que tenga infinitas soluciones. Tres a˜nos m´as tarde, S. Eilenberg y el propio Niven [14] extendieron el teorema fundamental del ´algebra a los cuaternios para polinomios bilaterales pero en el caso particular de que el polinomio solo tenga un t´ermino de mayor grado. Teorema 1.4.1 (Eilenberg y Niven, 1944).Sea f(x) = a0xa1x . . . xan+φ(x)donde a0, a1, . . . , an∈Hno nulos y φ(x)es la suma de un n´umero finito de monomios b0xb1x . . . xbkcon k < n. Entonces la ecuaci´on f(x) = 0 tiene al menos una soluci´on. 24 I. 1 ´ Algebra lineal cuaterni´onica En este caso la demostraci´on es topol´ogica. Extienden fa toda la esfera S4 haciendo f(∞) = ∞. Esta extensi´on es continua precisamente porque solo tenemos un monomio de mayor grado. Construyen una homotop´ıa entre f(x) y el monomio g(x) = xnen S4. Por ´ultimo, verifican que la funci´on ges de grado ncomprobando que ies un valor regular (ya que xn=itiene exactamente nsoluciones). Gordon y Motzkin probaron en 1965 que un polinomio m´onico est´andar (unilateral) de grado n, o tiene infinitas ra´ıces o tiene como mucho nra´ıces distintas. El teorema fundamental no puede extenderse a todos los polinomios cuaterni´onicos ya que, por ejemplo, el polinomio xna−axn−1 no tiene ninguna ra´ız en H. 1.4.2. Ra´ıces de un polinomio cuadr´atico L. Huang y W. So [34] proporcionan f´ormulas expl´ıcitas para hallar las ra´ıces de un polinomio m´onico unilateral de grado 2 del tipo x2+bx +c. Esto es de utilidad para encontrar autovalores por la izquierda (cf. Prop. 1.3.7). El siguiente teorema recoge dichas f´ormulas. Teorema 1.4.2. Las soluciones de la ecuaci´on cuadr´atica x2+bx+c= 0 se pueden obtener mediante las siguientes f´ormulas. 1. Si b, c ∈Ryb2<4centonces x=1 2(−b+βi+γj+δk) para todos β, γ, δ ∈Rtales que β2+γ2+δ2= 4c−b2; 2. si b, c ∈Ryb2≥4centonces x=−1 2(−b±√b2−4c); 3. si b∈Rpero c6∈ Rentonces x=−b 2±ρ 2∓c1 ρi∓c2 ρj∓c3 ρk, donde c=c0+c1i+c2j+c3ky ρ=1 √2rb2−4c0+q(b2−4c0)2+ 16(c2 1+c2 2+c2 3); 1.5 Ecuaciones lineales cuaterni´onicas 25 4. por ´ultimo, si b6∈ R, x=−(<b/2) −(b0+T)−1(c0−N) donde b0==byc0=c−(<b/2)(b−<b/2) y el par (T, N)se elige como sigue: sean B=|b0|2+ 2<c0, E =|c0|2yD= 2<b0c0, a)T= 0 yN= 1/2(B±√B2−4E)cuando D= 0 yB2≥4E. b)T=±p−B+ 2√EyN=√Ecuando D= 0 yB2<4E. c)T=±√zyN=1 2T(T3+BT +D)cuando D6= 0 donde zes la ´unica ra´ız positiva del polinomio real z3+ 2Bz2+ (B2−4E)z−D2. 1.5. Ecuaciones lineales cuaterni´onicas En el mismo volumen del Bull. Amer. Math. Soc. de 1944 en que est´a recogido el art´ıculo de Eilenberg y Niven, se public´o un art´ıculo de R.E. Johnson [48] en el que explica c´omo resolver la ecuaci´on xα =γx +βsobre un anillo de divisi´on. Obtiene condiciones necesarias y suficientes para que una ecuaci´on de este tipo tenga soluci´on y en ese caso da un m´etodo sencillo para calcular expl´ıcitamente al menos una de las soluciones. A continuaci´on veremos con un poco m´as de detalle c´omo se resuelve en el caso cuaterni´onico ´esta ecuaci´on, conocida hoy en d´ıa como ecuaci´on de Sylvester, ecuaci´on que usaremos m´as adelante. 1.5.1. La ecuaci´on de Sylvester αx +xβ =γ Una ecuaci´on del tipo (1.5) αx +xβ =γ tal que la variable y los coeficientes est´an sobre un anillo no conmutativo, recibe el nombre de ecuaci´on de Sylvester. El m´etodo de Johnson para resolverla puede resumirse como sigue. Dada la ecuaci´on (1.5) multiplicamos toda la ecuaci´on a la izquierda por αy a la derecha por β, |α|2xβ +αx|β|2=αγβ. 32 I. 2 Espacios Sim´etricos a) Consideramos el grupo de isometr´ıas Isom(M, g). Es un grupo de Lie con la topolog´ıa compacto-abierta. b) Como automorfismo σtomamos σ:G→Gdado por σ(ϕ) = sp◦ϕ◦sp. c) Para escoger el subgrupo K, fijamos un punto p∈My tomamos su isotrop´ıa Gp=K, es decir, las isometr´ıas que dejan fijo al punto p. As´ı, de acuerdo con el teorema fundamental, M∼ =G/K. Sea un grupo de Lie Gcompacto y conexo y σun automorfismo involutivo. Entonces, si denotamos por K=Gσ, el espacio homog´eneo G/K con la m´etrica Riemanniana generada por la m´etrica biinvariante de Ges un espacio sim´etrico. 2.2.2. Descomposici´on Como σ2=I, sus autovalores son ±1. Esto nos permite descomponer el ´algebra de Lie gen vectores horizontales y verticales, g=h⊕m, h={X∈g:σ∗(X) = X}, m={X∈g:σ∗(X) = −X}. Considerando M=G/K, se tiene que, como espacios vectoriales, ToM∼ =m, donde denotamos por o= [e]. Adem´as, utilizando que σ∗es un morfismo de ´algebras de Lie, tenemos que [h,h]⊂h, es decir, hes sub´algebra de Lie; [h,m]⊂my [m,m]⊂h. 2.2.3. Ejemplos Ejemplo 2.2.6 (Grupos de Lie compactos).Veamos que todo grupo de Lie compacto y conexo Hes un espacio globalmente sim´etrico Riemanniano. Consideremos el siguiente par sim´etrico (G, K, σ): (a) Como grupo de Lie tomamos el producto directo G=H×H. (b) Como automorfismo σ:H×H→H×H (h, h0)7→ (h0, h) 2.2.3 Ejemplos 33 (c) El conjunto de puntos fijos K=Gσes el subgrupo diagonal isomorfo a H, imagen de h∈H7→ (h, h)∈H×H que se denota H∗. Tenemos el difeomorfismo (H×H)/H∗→H [(h, h0)] 7→ h(h0)−1 correspondiente a la acci´on transitiva de H×Hsobre Hdada por (H×H)×H→H ((h, h0), h00)7→ hh00(h0)−1 Las geod´esicas son los subgrupos uniparam´etricos. Finalmente, la simetr´ıa involutiva correspondiente al neutro es la isometr´ıa se(g) = g−1. Para otro punto p∈Ges sp(g) = pg−1p. Los siguientes ejemplos son los tres primeros tipos de espacios sim´etricos compactos que da ´ E. Cartan en su clasificaci´on. Ejemplo 2.2.7. (A I) Tomamos como Gel grupo especial unitario, G=SU(n) = {X∈ Mn×n(C): XX∗= I,det X= 1}. El automorfismo es la conjugaci´on, σ(X) = X. As´ı, el conjunto de puntos fijos es K=SO(n), las matrices ortogonales reales con determinante 1. La variedad M=SU(n)/SO(n) es difeomorfa a las matrices unitarias especiales sim´etricas (ver Ejemplo 2.4.2). Ejemplo 2.2.8. (A II) G=SU(2n) con el automorfismo σ(X) = −JXJ, donde Jes la forma simpl´ectica J=0 I −I 0. El conjunto de puntos fijos es exactamente la imagen del morfismo Sp(n)−→ SU(2n) A+jB7→ A−B B A  donde Sp(n) es el grupo simpl´ectico formado por las matrices n×ncuaterni´onicas tales que XX∗= I. En este caso, la variedad M=SU(2n)/Sp(n) es difeomorfa a las matrices unitarias antisim´etricas. 34 I. 2 Espacios Sim´etricos Ejemplo 2.2.9. (A III) Tomemos G=SU(p+q) y el automorfismo σ(X) = Ip,qXIp,q donde Ip,q =−Ip0 0 Iq es una forma sim´etrica de signatura (p, q). El conjunto de puntos fijos es el subgrupo imagen del morfismo U(p)×U(q)−→ U(p+q) (X, Y )7→ X0 0Y que adem´as cumplen det Xdet Y= 1. Lo denotamos S(Up×Uq). La variedad M=SU(p+q)/S(Up×Uq) es la Grassmanniana compleja formada por los subespacios de dimensi´on pde Cp+q. En efecto, Gact´ua transitivamente ya que un isomorfismo lineal conserva la dimensi´on y, si conserva un subespacio, conserva su ortogonal para el producto herm´ıtico. 2.3. Clasificaci´on de los espacios sim´etricos irreducibles, compactos, cl´asicos Para obtener una clasificaci´on de los espacios sim´etricos riemannianos asociamos a cada uno un par sim´etrico (G, K, σ) y a ´este sus ´algebras de Lie y el morfismo inducido (g,h, s).Rec´ıprocamente, toda la informaci´on queda codificada en el ´algebra de Lie gy en el automorfismo spues hson los puntos fijos de sy, si tomamos los grupos de Lie simplemente conexos GyKcorrespondientes a gyh, es posible integrar el morfismo de ´algebras de Lie s:g→gy recuperar el cociente G/K y el automorfismo σ. Esta descripci´on algebraica permiti´o a E. Cartan obtener en 1926 una clasificaci´on completa de todos los espacios sim´etricos. Definici´on 2.3.1. Un par sim´etrico (g,h, s) de ´algebras de Lie se dice irreducible si ges semisimple y hno contiene ideales no nulos de gyhes una sub´algebra maximal propia. Diremos que un espacio sim´etrico es irreducible si lo es el par sim´etrico asociado. Se puede ver que cualquier espacio sim´etrico Riemanniano simplemente conexo es producto de irreducibles. Como la cubierta universal de un espacio sim´etrico es un espacio sim´etrico, podemos reducirnos a estudiar, sin p´erdida de generalidad, los Msimplemente conexos. Por tanto, basta con clasificar los espacios sim´etricos Riemannianos irreducibles y simplemente conexos. 2.3.1 Clasificaci´on 35 2.3.1. Clasificaci´on Con todas estas herramientas pasamos a dar la clasificaci´on de los posibles espacios sim´etricos Riemannianos irreducibles, compactos y simplemente conexos cl´asicos. Seguimos la clasificaci´on que dan S. Helgason y Fomenko [31, 21]. Tipo Modelo Cartan dim LS cat AI SU(n)/SO(n) (n−1)(n+ 2)/2n−1 AII SU(2n)/Sp(n) (n−1)(2n+ 1) n−1 AIII SU(p+q)/SU(p)×SU(q) 2pq pq BDI SO(p+q)/SO(p)×SO(q)pq ? DIII SO(2n)/U(n) [n≥4] n(n−1) n(n−1)/2 CI Sp(n)/U(n) [n≥3] n(n+ 1) n(n+ 1)/2 CII Sp(p+q)/Sp(p)×Sp(q) 4pq pq M. Mimura a˜nade a esta lista SO(n+ 1)/SO(n), que no es m´as que una esfera [60]. 2.4. Modelo de Cartan Una cuesti´on que surge de manera natural es la de si es posible embeber el espacio sim´etrico M∼ =G/K en G. Si G/H fuese un espacio homog´eneo en general no ser´ıa posible, pero al ser un espacio sim´etrico s´ı. El modelo de Cartan nos permite afirmar que cualquier espacio sim´etrico Mpuede interpretarse como una subvariedad de G. Este modo de ver un espacio sim´etrico ser´a muy ´util para tratar de calcular su categor´ıa LS; es la herramienta que utilizan M. Mimura y K. Sugata en [60]. Proposici´on 2.4.1. La aplicaci´on de G/K en Gque lleva [g]en gσ(g)−1es un difeomorfismo con la imagen. Es inmediato ver que es inyectiva. N´otese que mientras que los puntos de Kson fijos, Mest´a contenida en N={g∈G:σ(g) = g−1}. En efecto, si n=gσ(g)−1, entonces σ(n) = σ(g)σ2(g−1) = n−1. As´ı pues, si llamamos M={h∈G:h=gσ(g)−1, g ∈G} N={g∈G:σ(g) = g−1}, 36 I. 2 Espacios Sim´etricos tenemos que G/K ∼ =M⊂N. M´as a´un, Mes precisamente la componente conexa de Nque contiene al neutro, M=Ne[21, cap. 4]. Describimos ahora el modelo de Cartan de algunos espacios sim´etricos cl´asicos para los que calcularemos la categor´ıa LS. Todas las demostraciones las hace S. Ramanujam en [68], tambi´en H. Kadzisa y M. Mimura en [49]. Ejemplo 2.4.2. U(n)/O(n).En este caso el automorfismo es la conjugaci´on, σ(X) = X. El conjunto de puntos fijos es O(n) y las variedades MyNcoinciden [49, teor. 3.1]. Por tanto, podemos identificar el espacio sim´etrico U(n)/O(n) con las matrices sim´etricas unitarias, U(n)/O(n)∼ ={Y∈U(n) : Y=YT}. Ejemplo 2.4.3. SO(2n)/U(n).Para este espacio tomamos σ(X) = −JXJ, con J=0 I −I 0. Puesto que las matrices complejas de U(n) son matrices de la forma A+Bicon A, B ∈ Mn×n(R), podemos considerarlas como las matrices de SO(2n) del tipo A B −B A.As´ı, el conjunto de puntos fijos de σes U(n) y tenemos que M={Y∈SO(2n): Y=−XJXTJ, X ∈SO(2n)} N={X∈SO(2n): JX =XTJ}. Con el embebimiento de U(n) en SO(2n) se puede probar que SO(2n)/U(n)∼ =M es difeomorfo a las matrices antisim´etricas de SO(2n). Ejemplo 2.4.4. Sp(n)/U(n).La involuci´on es σ(X) = −iXiy N={X∈Sp(n) : X=−iX∗i}. Mediante un embebimiento de las matrices cuaterni´onicas en las complejas se obtiene que este espacio es difeomorfo a Sp(n)/U(n)∼ ={Y∈Sp(n) : Y=YT}. Ejemplo 2.4.5. U(2n)/Sp(n).Como vimos en el Ejemplo 2.2.8, σ(X) = −JXJ es el automorfismo. Para este espacio sim´etrico la variedad M={Y∈U(2n) : Y=−XJXTJ, X ∈U(2n)} mientras que N={X∈U(2n) : JXT=XJ}. Se prueba que U(2n)/Sp(n)∼ ={Y∈U(2n) : Y=−YT}. Cap´ıtulo 3 Funciones de Morse El comienzo del estudio de la categor´ıa LS se debe al intento de acotar el n´umero de puntos cr´ıticos de una funci´on diferenciable. De hecho, la categor´ıa LS (m´as uno) de una variedad compacta es una cota inferior para el n´umero de puntos cr´ıticos de cualquier funci´on diferenciable, sea de Morse o no. A grandes rasgos, esto se debe a que el flujo del gradiente determina, para cada punto cr´ıtico, un abierto categ´orico. Nuestro inter´es en las funciones de Morse est´a en que para un grupo de Lie este flujo puede pasarse el ´algebra de Lie mediante la transformaci´on de Cayley estudiada en el Cap´ıtulo 4. M´as adelante veremos que este resultado tambi´en puede extenderse a los espacios sim´etricos cl´asicos. La diferencia entre la teor´ıa de Morse y la de Lusternik y Schnirelmann radica en que la primera exige que los puntos cr´ıticos sean no degenerados. Esto no siempre nos da los resultados m´as precisos, como ocurre por ejemplo en el toro T2, para el que podemos obtener funciones diferenciables con s´olo tres puntos cr´ıticos, mientras que toda funci´on de Morse tiene como m´ınimo cuatro puntos cr´ıticos. 3.1. Funciones de Morse J.W. Milnor hace un resumen preciso y completo de la teror´ıa de Morse en [59]. Definici´on 3.1.1. Sea Muna variedad diferenciable. Dada una funci´on con valores reales, f:M→Rdiferenciable, se dice que un punto p∈Mes un punto cr´ıtico de fsi la diferencial f∗p:TpM→Tf(p)Rse anula. Las im´agenes por fde los puntos cr´ıticos se denominan valores cr´ıticos. Si pno es un punto cr´ıtico de fse dice que pes regular. Dado pun punto cr´ıtico de f, a partir de la matriz formada por las derivadas segundas de fen p, podemos definir una forma bilineal sim´etrica Hpfen el tangente, 37 38 I. 3 Funciones de Morse el Hessiano de fen p. Definici´on 3.1.2. Un punto cr´ıtico pes no degenerado si el Hessiano de fen pes no singular. Definici´on 3.1.3. Para referirnos al ´ındice de Hpfen el TpMhablaremos del ´ındice de fen p.Es la mayor dimensi´on de un subespacio de Ven el cual Hes definida negativa. El ´ındice es el n´umero de autovalores negativos de la matriz Hessiana en p. Intuitivamente, la informaci´on que nos da es el n´umero de direcciones independientes en un entorno de pen las que fdecrece. Conviene se˜nalar que los conceptos de punto cr´ıtico, ´ındice y ser no degenerado son independientes de la elecci´on de las coordenadas locales que tomemos. Definici´on 3.1.4. Una funci´on f:M→Res una funci´on de Morse si todos sus puntos cr´ıticos son no degenerados. En particular, son aislados. Teorema 3.1.5. Si p∈Mes un punto cr´ıtico no degenerado de una funci´on diferenciable f, existen coordenadas locales (x1, . . . , xn)centradas en pde manera que f(x1, . . . , xn) = f(p)−x2 1−···−x2 r+x2 r+1 +···+x2 n, donde res el ´ındice de fen p. 3.2. Funciones de Bott-Morse La teor´ıa cl´asica de Morse considera s´olo funciones cuyos puntos cr´ıticos son no degenerados y por tanto, aislados. En muchas situaciones, sin embargo, nos encontraremos que los puntos cr´ıticos forman subvariedades de M. Por ejemplo, si ponemos un toro en horizontal sobre un plano, entonces la funci´on altura respecto del plano tendr´a dos subvariedades cr´ıticas; la circunferencia inferior sobre la que el toro est´a apoyado en el plano y la superior. Debemos a R. Bott la extensi´on de la teor´ıa de Morse a estas situaciones. Definici´on 3.2.1. Se dice que una variedad cr´ıtica Nes no degenerada si para cualquier punto cr´ıtico pde Nla Hessiana de frestringida al espacio normal de N es no singular. Definici´on 3.2.2. Una funci´on de Bott-Morse es una funci´on diferenciable cuyos puntos cr´ıticos forman una subvariedad cerrada y la Hessiana es no degenerada. Equivalentemente, podemos decir que el n´ucleo del operador Hessiano en un punto cr´ıtico es el espacio tangente a la subvariedad cr´ıtica. 3.3 Teor´ıa de Morse en los grupos de Lie 39 3.3. Teor´ıa de Morse en los grupos de Lie Sea G=On(K) un grupo de Lie ortogonal embebido en el espacio eucl´ıdeo de las matrices Mn×n(K). La m´etrica eucl´ıdea en este espacio viene dada por el producto escalar parte real de la traza, hA, Bi=<Tr(A∗B). Cl´asicamente, las funciones de Morse que se consideran en los grupos de Lie son las llamadas funciones altura odistancia. Las primeras miden la “altura” del grupo Gcon respecto a alg´un hiperplano; fueron estudiadas, entre otros, por I.A. Dynnikov y A.P. Veselov en [82] y A.N. Kozachko y K.Y. Volchenko en [84]. Las segundas miden la “distancia” a un punto dado y las estudi´o H. Duan en [12]. Veremos que ambos tipos de funciones son, salvo una constante, de la forma hX(A) = <Tr(XA) (ver Prop. 3.3.2). El primero en estudiar este tipo de funciones fue T. Frankel en 1963 [23]. Escoge como Xla matriz identidad (el estudio que hace sirve para cualquier matriz X=tI con t∈R\ {0}). Con esta elecci´on la funci´on altura es invariante por la acci´on adjunta, de modo que para calcular el conjunto de puntos cr´ıticos nos llega con estudiar los puntos cr´ıticos de un toro maximal; todos los dem´as son las ´orbitas de ´estos. Adem´as, como el gradiente grad hIes tangente a cada punto de un toro maximal dado T, los puntos cr´ıticos de hIen Tson los puntos cr´ıticos de la restricci´on de hIaT. En [23] Frankel prueba que el conjunto de puntos cr´ıticos Σ(hG I) est´a formado por todas las matrices en Gtales que A2=I. As´ı pues, los puntos cr´ıticos ya no son aislados sino que forman subvariedades, de hecho, son Grassmannianas. Es decir, hI no es estrictamente una funci´on de Morse sino de Bott-Morse. Despu´es de estudiar detalladamente el comportamiento de esta funci´on en los grupos de Lie cl´asicos, T. Frankel lo generaliza a variedades de Stiefel [23]. Pocos a˜nos despu´es de este estudio, en 1969, S. Ramanujam [69] obtuvo una expresi´on expl´ıcita para las subvariedades cr´ıticas de hIen los grupos de Lie ortogonales. Generaliz´o tambi´en esta funci´on a los espacios sim´etricos U(n)/O(n), Sp(n)/U(n), U(2n)/Sp(n) y SO(2n)/U(n) obteniendo de nuevo que un punto Ade uno de estos espacio sim´etricos Mes un punto cr´ıtico de hIsi y solo si A2=I. Recientemente, H. Kadzisa y M. Mimura han utilizado la funci´on parte real de la traza para construir la descomposici´on en conos de variedades de Stiefel y de algunos espacios sim´etricos Riemannianos y as´ı obtener la categor´ıa LS de estos espacios [49]. 3.3.1. Funciones altura y distancia en los grupos ortogonales La funci´on hIen un grupo G=On(K) no es propiamente una funci´on de Morse pero basta modificarla con un coeficiente para que s´ı lo sea. K. Volchenko y A. 40 I. 3 Funciones de Morse Kozachko [84] estudian en los grupos de Lie cl´asicos la funci´on altura hG X(A) = 2<Tr(XA) con X= diag(x1, . . . , xn),0< x1<··· < xn. Prueban que los puntos cr´ıticos de hG Xson las matrices diagonales diag(ε1, . . . , εn), εi=±1, con ´ındice (indhG X)(A) = n X i=1 δεi,1((dimRK)i−1) . Utilizando las desigualdades de Morse obtienen que hG Xes una funci´on de Morse perfecta, es decir, con el menor n´umero posible de puntos cr´ıticos. Despu´es generalizan estos resultados a variedades de Stiefel. Esta misma funci´on la estudian I. Dynnikov y A. Veselov en grupos de Lie y en espacios sim´etricos embebidos en los grupos de Lie cl´asicos [82]. Prueban que el conjunto de puntos cr´ıticos para hG Xes Σ(hG X) = {A∈G:XA = (XA)∗}. Describen expl´ıcitamente el flujo del gradiente y obtienen as´ı una descomposici´on celular para la variedad. 3.3.2. Espacio tangente y ortogonal En la Secci´on 4.1.2 del Cap´ıtulo 4 vimos una descripci´on del espacio tangente de los grupos de Lie cl´asicos. A partir de ella se obtiene una caracterizaci´on de las matrices que est´an en el espacio perpendicular al tangente de una X∈Gdada, γXG, donde Gdenota al grupo On(K). Lema 3.3.1. Para X∈G, 1. El espacio tangente a la variedad en Xest´a formado por: TXG={U∈ Mn×n(K) : X∗U=−U∗X}. 2. En consecuencia, el espacio normal es: γXG={U∈ Mn×n(K) : X∗U=U∗X}. 3.3.3 Gradiente y Hessiano de las funciones altura 41 En particular podemos expresar cualquier matriz como suma de una antiherm´ıtica y otra herm´ıtica: A=1 2(A−A∗) + 1 2(A+A∗) donde el primer sumando pertenece al TIGy el segundo a γIG. Proposici´on 3.3.2. Toda funci´on altura en Ges de la forma hG X(A) = <Tr(XA). Demostraci´on. Sea X∈ Mn×n(K) un vector arbitrario no nulo. Podemos suponer que el hiperplano desde el que vamos a calcular la distancia pasa por el origen (en otro caso la funci´on resultante diferir´ıa solo en una constante), de manera que el hiperplano es simplemente X⊥.Supongamos tambi´en, sin p´erdida de generalidad, que kXk= 1. Tomamos un elemento del grupo A∈Gque puede expresarse como A=hG X(A)X+V, con V∈X⊥, as´ı hX, Ai=hG X(A)hX, Xi+ 0 = hG X(A) pues kXk= 1. Entonces, como el producto escalar con el que trabajamos es precisamente la parte real de la traza, hG X(A) = <Tr(X∗A). Todas estas funciones son casos particulares del Teorema 5.1.5, que da una descripci´on general del conjunto de puntos cr´ıticos de una funci´on altura arbitraria hG X. 3.3.3. Gradiente y Hessiano de las funciones altura Lema 3.3.3. Sea hG X:G→ Mn×n(K)una funci´on altura. El gradiente de hG Xen un punto A∈ Mn×n(K)viene dado por: grad hG X(A) = 1/2(X∗−AXA). Demostraci´on. Sea b hXla funci´on altura en Mn×n(K). Entonces gradhG X(A) en G es la proyecci´on del gradiente de b hXen en el espacio tangente TAG. Por definici´on, para todo V∈TIG, hgradIhG X, V i= (hG X)∗I(V) 48 II. 4 Transformaci´on de Cayley Adem´as, como (I+c(X))−1=1 2(I+X), tenemos que la aplicaci´on c: Ω →Ω est´a bien definida. Recogemos a continuaci´on algunas de la propiedades de esta aplicaci´on que nos ser´an ´utiles a la hora de generalizarla. Proposici´on 4.1.1. Sea A∈Ω, se verifica entonces que: 1. A∗∈Ωyc(A∗) = c(A)∗; 2. si Aes inversible, A−1∈Ωyc(A−1) = −c(A); 3. si −A∈Ω,c(−A) = c(A)−1; 4. si B∈ Mn×n(K)es inversible, BAB−1∈Ωyc(BAB−1) = Bc(A)B−1. Demostraci´on. 1. (I+A∗)−1= ((I+A)−1)∗; 2. (I+A−1)−1=A(I+A)−1; 3. utilizando el apartado anterior es inmediato comprobar que c(A)c(−A) = I; 4. basta escribir I+BAB−1como B(I+A)B−1. Proposici´on 4.1.2. La aplicaci´on ces involutiva, es decir, c−1=c. Demostraci´on. Consideremos A∈Ω, entonces c(c(A)) = (I−c(A))(I+c(A))−1. Al comprobar que la transformaci´on de Cayley estaba bien definida obtuvimos que (I+c(A))−1=1 2(I+A). Adem´as, tenemos que I−c(A) = I−(I−A)(I+A)−1 = (I+A)(I+A)−1−(I−A)(I+A)−1 = 2A(I+A)−1. Por tanto, c(c(A)) = 0. Nota–. Supongamos que Aes una matriz unitaria o simpl´ectica. Se puede diagonalizar, A=UDU∗, a una matriz compleja diagonal, D= diag(z1, . . . , zn) (ver Subsecc. 1.1.6). Entonces, c(A) = Udiag (π(z1), . . . , π(zn)) U∗, donde πes la proyecci´on estereogr´afica π:S1\{−1} → iR,π(z) = 1−z 1+z. 4.1.2 Grupos ortogonales cl´asicos 49 Con la siguiente Proposici´on establecemos la relaci´on entre los autovalores de una matriz y los de su imagen por la transformaci´on de Cayley. Proposici´on 4.1.3. Si qes un autovalor por la derecha de A∈Ω, entonces 1−q 1+qes un autovalor de c(A). Demostraci´on. Fijemos qun autovalor por la derecha de A. Necesariamente q6=−1, ya que si −1 fuese autovalor I+Ano ser´ıa inversible. As´ı, para alg´un v6= 0 tenemos que (I+A)v=v+Av =v(1 + q), por tanto, c(A)v=I−A I+Av=v−Av 1 + q=v1−q 1 + q. 4.1.2. Grupos ortogonales cl´asicos Consideremos K=R,C´o H. Decimos que una matriz A∈ Mn×n(K) es ortogonal si AA∗=I. Estas matrices se pueden identificar con una aplicaci´on K-lineal (por la derecha) Kn→Knque conserva el producto herm´ıtico hu, vi=u∗v. Denotaremos por On(K) el grupo de Lie de las matrices ortogonales, On(K) = {A∈ Mn×n(K): AA∗=I}. Este grupo corresponde al grupo ortogonal O(n), al unitario U(n) o al simpl´ectico Sp(n) dependiendo de que Ksea R,C´o Hrespectivamente. Vamos a ver que la transformaci´on de Cayley cl´asica lleva los grupos de Lie ortogonales cl´asicos en su ´algebra de Lie gformada por las matrices antisim´etricas (o antiherm´ıticas). Proposici´on 4.1.4. g={X∈ Mn×n(K): X+X∗= 0}. Proposici´on 4.1.5. c: Ω ∩G→Ω∩ges un difeomorfismo. Demostraci´on. Es un caso particular del Teorema 4.3.2. Como espacio vectorial g=TIG, de modo que el espacio tangente en cualquier otro punto A∈Gviene dado por TAG=LA(TIG) = {Y∈ Mn×n(K): A∗Y+Y∗A= 0}. La proposici´on que enunciamos a continuaci´on ser´a clave para poder establecer un difeomorfismo entre el espacio tangente TA∗Gy el abierto ΩG(A) (ver Subsecci´on 4.3.1) y probar as´ı que este tipo de abiertos son contr´actiles. 50 II. 4 Transformaci´on de Cayley Proposici´on 4.1.6. Sea X∈guna matriz antisim´etrica (antiherm´ıtica). Entonces Xno tiene autovalores reales no nulos. Demostraci´on. Supongamos que existe un t∈Rtal que Xv =vt para alg´un v∈ Kn, v 6= 0. Entonces v∗Xv =v∗vt =|v|2tes un n´umero real y, en consecuencia, v∗Xv = (v∗Xv)∗=v∗X∗v=v∗(−X)v=−v∗Xv. Por lo tanto, v∗Xv se anula, i.e.,|v|2t= 0, luego t= 0. Ejemplo 4.1.7. Consideremos Sp(1) = {q∈H:|q|= 1}=S3.Su ´algebra de Lie es sp(1) = {w∈H:w+w= 0}=hi,j,ki. En este caso el abierto Ω est´a formado por todos los cuaternios excepto q=−1. Observamos entonces que la aplicaci´on de Cayley es de nuevo la proyecci´on estereogr´afica de S3\{−1}en R3: c:S3\{−1} →<i,j,k>=R3 q7→ c(q) = 1−q 1 + q Pero 1−q 1 + q=(1 −q)(1 + q) (1 + q)(1 + q)=q−q |1 + q|2 es decir, expresando qcomo q=t+xi+yj+zkcon t, x, y, z ∈R, c(q) = −(x, y, z) 1 + t. Nota–. Consideremos el grupo SO(3) de rotaciones de R3o, equivalentemente, las rotaciones de la 2-esfera S2. Mediante la proyecci´on estereogr´afica estas rotaciones pasan a transformaciones lineales de variable compleja de la forma z7→ αz −β βz +α,con |α|2+|β|2= 1. El grupo de matrices complejas de orden 2 determinadas por estas transformaciones (salvo el signo) forman el grupo SU(2). Tenemos pues que Sp(1) ∼ =SU(2) y el isomorfismo de grupos de Lie es Sp(1) →SU(2) 4.2 La transformaci´on de Cayley generalizada 51 α+jβ7→ α−β β α , α, β ∈C. Por otro lado, SU(2) es un subgrupo de U(2) y en el grupo unitario tenemos la aplicaci´on de Cayley c: Ω ∩U(2) →u(2). De hecho, c(SU(2)) ⊆su(2),es decir, c lleva las matrices de determinante 1 en matrices de traza 0.En efecto, evaluemos c sobre un elemento A∈SU(2).Tenemos I+A=1 + α−β β1 + α, luego det(I+A) = 2 (1 + <(α)) . Por tanto, como 2 (1 + <(α)) c(A) = 1−α β −β1−α1 + α β −β1 + α= α−α2β −2β α −α queda Tr c(A) = 0.Concluimos pues que el isomorfismo Sp(1) ∼ =SU(2) conmuta con la aplicaci´on de Cayley. U(2) c  SU(2) ?_ oo∼ = ϕ// c  Sp(1) c  u(2) su(2) ?_ oo∼ = ϕ∗//sp(1) 4.2. La transformaci´on de Cayley generalizada Recordemos que en una variedad compacta la categor´ıa LS (m´as uno) es una cota inferior para el n´umero de puntos cr´ıticos de cualquier funci´on diferenciable, sea de Morse o no. A grandes rasgos, esto se debe a que el flujo del gradiente determina, para cada punto cr´ıtico, un abierto categ´orico. En nuestro contexto, obtenemos que para las funciones altura, tanto en los grupos de Lie como en los espacios sim´etricos, este flujo viene dado por la contracci´on asociada a la transformaci´on de Cayley. 52 II. 4 Transformaci´on de Cayley La generalizaci´on de la transformaci´on de Cayley que hacemos a continuaci´on permite establecer un m´etodo que sirva para dar abiertos contr´actiles. Modificamos as´ı la definici´on de cpara obtener un recubrimiento por abiertos categ´oricos de los grupos de Lie ortogonales. A continuaci´on, veremos que los resultados obtenidos para los grupos pueden adaptarse de modo natural a los espacios sim´etricos cl´asicos sin m´as que verificar que todas las construcciones son compatibles con el automorfismo σ. Adem´as, veremos que para las funciones de Bott-Morse, la contracci´on de Cayley da un modelo local de las variedades cr´ıticas. 4.2.1. Definici´on y propiedades de cA Sea A∈On(K) una matriz ortogonal, unitaria o simpl´ectica seg´un Ksea R,C oH. Definimos el abierto Ω(A)⊂ Mn×n(K) como el conjunto formado por las matrices Xtales que A+Xes inversible. Definici´on 4.2.1. La transformaci´on de Cayley centrada en Ase define como la aplicaci´on cA: Ω(A)→Ω(A∗) dada por cA(X) = c(A∗X)A∗=A∗c(XA∗). La transformaci´on de Cayley cl´asica ccorresponde al caso A=I. Como veremos en la siguiente Proposici´on, la aplicaci´on cAest´a bien definida, ya que si X∈Ω(A) entonces cA(X)∈Ω(A∗), y es inversible con c−1 A=cA∗. Proposici´on 4.2.2. Si X∈Ω(A)entonces, 1. cA(X)=(A+X)−1(I−XA∗) = (I−A∗X)(A+X)−1; 2. la inversa de la matriz A∗+cA(X)es (1/2)(A+X); 3. si X∈Ω(A),entonces cA(X)∈Ω(A∗); 4. cAes un difeomorfismo con (cA)−1=cA∗. Demostraci´on. Las dos primeras afirmaciones se deducen de las propiedades de la transformaci´on de Cayley cl´asica. La tercera afirmaci´on se deduce de la segunda. Haciendo uso de ´esta obtenemos que cA∗cA(X) = cA∗(c(A∗X)A∗) =Ac [(c(A∗X)A∗)A] =Ac2(A∗X) =X. 4.3 Abiertos categ´oricos en un grupo de Lie 53 Necesitaremos tambi´en las siguientes propiedades. Proposici´on 4.2.3. Sea X∈Ω(A). Entonces 1. X∗∈Ω(A∗)ycA∗(X∗) = cA(X)∗; 2. UXU∗∈Ω(UAU∗)para cualquier matriz U∈On(K)y cUAU∗(UXU∗) = UcA(X)U∗; 3. si la matriz Xes inversible, entonces X−1∈Ω(A∗)ya que (A∗+X−1)−1=A(A+X)−1X. M´as a´un, cA∗(X−1) = −AcA(X)A. 4.3. Abiertos categ´oricos en un grupo de Lie La transformaci´on de Cayley generalizada cAestablece un difeomorfismo entre ΩG(A) y TA∗G; esto nos permitir´a obtener abiertos contr´actiles en el grupo como imagen de abiertos radiales en el espacio vectorial. A partir de las propiedades de cAque hemos visto y de la Proposici´on 4.1.6 obtenemos el siguiente interesante resultado. 4.3.1. Un difeomorfismo entre TA∗GyΩG(A) Proposici´on 4.3.1. El espacio vectorial real TA∗Gest´a contenido en Ω(A∗). Demostraci´on. Supongamos que existe alg´un Y∈TA∗Gtal que A∗+Yno es inversible. Entonces, existe alg´un v6= 0 tal que A∗v=−Y v, luego −v=AY v. Es decir, −1 ser´ıa autovalor de la matriz antisim´etrica AY , lo que contradice la Prop. 4.1.6. Sea G=On(K), denotaremos por ΩG(A) al subconjunto abierto Ω(A)∩G⊂G. Teorema 4.3.2. La aplicaci´on cAlleva difeom´orficamente ΩG(A)en el espacio vectorial real TA∗Gde las matrices Xtales que AX + (AX)∗= 0.Adem´as, cA(A) = 0. En consecuencia, ΩG(A)es un abierto contr´actil. 54 II. 4 Transformaci´on de Cayley Demostraci´on. En primer lugar, veamos que cAenv´ıa ΩG(A) en TA∗G⊂Ω(A∗). Sea B∈ΩG(A), entonces B−1=B∗luego, por la Prop. 4.2.3 cA(B)∗=cA∗(B∗) = cA∗(B−1) = −AcA(B)A. Llamemos X∗acA(B), entonces −AX∗A=X, es decir X∗Aes antisim´etrica, que es la condici´on buscada. Rec´ıprocamente, sea X∗en TA∗G, es decir X∗Aes antisim´etrica. Debemos probar que cA∗(X∗) es ortogonal. De nuevo, por la Prop. 4.2.3 cA∗(X∗) = cA(X)∗. As´ı que basta ver que cA(X)∗cA(X) = I. En primer lugar, como cA(X) = (A+X)−1(I−XA∗) tenemos que cA(X) es inversible si y solo si I−XA∗lo es. Pero si I−XA∗no fuera inversible, existir´ıa alg´un v6= 0 tal que XA∗v=vy por tanto, 1 ser´ıa un autovalor real de la matriz antisim´etrica XA∗, en contradicci´on con la Prop. 4.1.6. Ahora bien, como A∗X=−X∗A tenemos que −A∗XA∗=X∗. Pero, por las propiedades de la transformaci´on de Cayley generalizada, −A∗XA∗=−A∗c∗ A(cA(X)) A∗=cAcA(X)−1y X∗=cA(c∗ A(X∗)) = cA(cA(X)∗). Como cAes inyectivo, se sigue que cA(X)∗=cA(X)−1. Nota–. De hecho Ω(A) = LA(Ω(I)) = RA(Ω(I)), y como TA∗(G) = LA∗(TIG) = RA∗(TIG), tenemos cA=RA∗◦c◦LA∗. Ω(I)c//g=TIG RA  Ω(A)cA// LA∗ OO TAG 4.3.2 Contracci´on de Cayley generalizada 55 4.3.2. Contracci´on de Cayley generalizada Sea A∈G. La contracci´on radial que sale de este punto podemos parametrizarla como cA∗(tX), con t∈[0,∞),para alg´un Xdel tangente TA∗G. Es decir AX = −X∗A∗. Como AX ∈TIGes antisim´etrica, es normal y por tanto diagonalizable, AX =UDU∗. Entonces φ(t) = cA∗(tX) = cA∗(tA∗UDU∗) = c(AtA∗UDU∗)A, esto es φ(t) = c(tUDU∗)A=Uc(tD)U∗A. Veamos donde termina esta l´ınea. Sea D= diag(λ1, . . . , λn). Primero calculamos l´ım t→∞c(tD) = l´ım t→∞diag((1 −tλk)/(1 + tλk)) = −I, por tanto l´ım t→∞φ(t) = U(−I)U∗A=−A. Es decir, los radios de la contracci´on van de Aa−A. 4.4. Contracci´on de Cayley en los espacios sim´etricos An´alogamente al caso de los grupos de Lie, para buscar abiertos contr´actiles en los espacios sim´etricos G/K usaremos la transformaci´on de Cayley generalizada, cA, en el modelo de Cartan correspondiente M. Para ello comprobaremos que ces compatible con la aplicaci´on σdefinida en 2.2.1. Esto nos permitir´a tratar de manera simult´anea y unificada todos los espacios sim´etricos. Recordemos que para G/K con automorfismo σ, la variedades MyNson como siguen: M={h∈G:h=gσ(g)−1, g ∈G}, N={g∈G:σ(g) = g−1}. Como vimos en la Secci´on 2.4, G/K es difeomorfo a MyM⊂N. En general, M6=N, de hecho, M=Nees la componente conexa de Nque contiene al neutro. Lo que haremos entonces ser´a contraer mediante cAen Mo, al ser M=Ne, basta con que lo hagamos en N. 56 II. 4 Transformaci´on de Cayley 4.4.1. Compatibilidad Lema 4.4.1. Sea σ:Mn×n(K)→ Mn×n(K)un automorfismo involutivo, σ2= id, y de R-´algebras. Entonces, para todo A∈G, cσ(A)◦σ=σ◦cA, o, equivalentemente, σ◦cσ(A)=cA◦σ. Demostraci´on. Como Aes una matriz ortogonal, σ(A) tambi´en lo es. Entonces, al ser σde R-´algebras, σ(A∗) = σ(A−1) = σ(A)−1=σ(A)∗. Por otro lado, sea X∈Ω(A), es decir, A+Xinversible, entonces, σ(A+X) = σ(A) + σ(X) sigue siendo inversible, luego σ(X) est´a en el abierto que nos interesa, σ(X)∈Ω(σ(A)). Podemos entonces hacer la composici´on sin problema y tenemos que cσ(A)(σ(X)) = (I−σ(A)∗σ(X)) (σ(A) + σ(X))−1 = (I−σ(A∗X)) σ(A+X)−1 =σ(I−A∗X)σ(A+X)−1 =σ(cA(X)). Nota–. Estas hip´otesis se cumplen en todos los casos que hemos visto en los Ejemplos de la Subsecci´on 2.2.3 4.4.2. Abiertos categ´oricos en espacios sim´etricos Las propiedades de la transformaci´on de Cayley generalizada, en particular c−1 A= cA∗, nos permitir´an pasar al modelo de Cartan la contracci´on del espacio tangente TA∗G. Teorema 4.4.2. Fijada A∈N, para cualquier X∈N, el camino γ(t) = cA∗(tcA(X)) permanece en Npara todo t∈[0,1]. Demostraci´on. 1. En primer lugar, como A, X ∈NyA∈G, al ser σde R- ´algebras tenemos que σ(A) = A−1=A∗yσ(X) = X−1. 4.4.2 Abiertos categ´oricos en espacios sim´etricos 57 2. Puesto que cA(X)∈ΩG(A∗), se verfica que γ(t) = cA∗(tcA(X)) ∈ΩG(A), por tanto, γ(t)−1∈ΩG(A∗). Por otro lado, γ(t)∈ΩG(A) implica que σ(γ(t)) ∈ΩG(σ(A)) = ΩG(A∗). 3. Por ´ultimo, utilizando las propiedades de la transformaci´on de Cayley generalizada (Prop. 4.2.3) y el Lema 4.4.1 tenemos que cA∗(γ(t)−1) = −AcA(γ(t))A =−AtcA(X)A =tcA∗(X−1), y cA∗(σ(γ(t)) = σ(cσ(A∗)(γ(t))) =σ(cA(γ(t))) =σ(tcA(X)) =tσ(cA(X)) =tcσ(A)(σ(X)) =tcA∗(σ(X)) =tcA∗(X−1). Se verifica entonces que cA∗(γ(t)−1) = tcA∗(X−1) y cA∗(σ(γ(t)) = tcA∗(X−1). Por tanto, γ(t)∈Npara cualesquiera A, X ∈N. Corolario 4.4.3. Sea el modelo de Cartan M⊂GyA∈M. Denotamos por ΩM(A)=ΩG(A)∩M. Entonces, el abierto ΩM(A)es contr´actil. Demostraci´on. Sabemos que ΩG(A) es contr´actil por la contracci´on γ(t). Basta entonces que γ(t) no se salga de Mpara todo t. Por el Teorema 4.4.2 tenemos que la contracci´on permanece en la variedad N, pero al ser M=NeyA∈M, se verifica que la contracci´on permanece dentro de la variedad de Cartan M. Veremos en el Cap´ıtulo 8 como dar, a partir de estos resultados, recubrimientos categ´oricos expl´ıcitos m´ınimos de los espacios sim´etricos U(n)/O(n) y U(2n)/Sp(n). 64 II. 5 Subvariedades cr´ıticas en grupos de Lie Demostraci´on. De acuerdo con lo que acabamos de ver basta estudiar el caso de la matriz Xdiagonal por bloques X=     0 t1I ... tkI     . En primer lugar, supongamos que la matriz no tiene ceros en la diagonal. Si k= 1, estamos en el segundo caso, X=tI. Sea entonces S=S00 0tkI, Para estudiar los puntos cr´ıticos de hG Sescribimos las matrices del grupo tambi´en por bloques: A=A0U V A1, A1∈ Mnk×nk(K). Al imponerle la condici´on A∈Σ(hG S) A∗ 0V∗ U∗A∗ 1S00 0tkI=S00 0tkIA0U V A1 obtenemos A∗ 0S0=S0A0 (5.1) tkV∗=S0U(5.2) U∗S0=tkV(5.3) A∗ 1=A1.(5.4) Por otro lado, como Aest´a en el grupo, A0U V A1A∗ 0V∗ U∗A1=A∗ 0V∗ U∗A1A0U V A1=I0 0I de donde, como A1es herm´ıtica, V V ∗=U∗U. Tenemos as´ı que (tkV∗)∗(tkV∗) = t2 kV V ∗=t2 kU∗U, 5.1.4 Descomposici´on del conjunto de puntos cr´ıticos 65 luego, por la condici´on (5.2) U∗S2 0U=t2 kU∗U. Para la matriz de la primera parte de la igualdad, de orden nk×nk, obtenemos que el elemento i-´esimo de la diagonal es de la forma: t2 1|u1i|2+. . .+t2 1|un1i|2+t2 2|un1+1i|2+. . .+t2 2|un1+n2i|2+. . .+t2 k−1|u(m−nk−1)+1i|2+. . . t2 k−1|umi|2 mientras que para la segunda: t2 k(|u1i|2+|u2i|2+. . . +|uki|2). Por tanto, de la igualdad de los dos primeros elementos de la diagonal obtenemos (t2 k−t2 1)(|u11|2+. . . +|u2 n−11|)+(t2 k−t2 2)(|un1+11|2+. . . +|un1+n21|2) +. . . + (t2 k−t2 k−1)(|um−n(k−1)+11|2+. . . +|um1|2) = 0 y an´alogamente para todos los dem´as. Entonces, al ser todos los autovalores positivos y distintos deducimos que Ues la matriz nula y por tanto, tambi´en V= 0.As´ı, los puntos cr´ıticos ser´an de la forma: A=A00 0A1 donde A0es ortogonal y A0∈Σ(hS0) (ver condici´on 5.1) y A1es tambi´en ortogonal y punto cr´ıtico de htkI. Finalmente, si hubiese un bloque de ceros de tama˜no n0en la diagonal, X=0In00 0S, volviendo a considerar las matrices del grupo por bloques, A=A0M N A1, A0∈ Mn0×n0(K) la condici´on de ser punto cr´ıtico se reduce a A0∈G,M=N= 0 y A1ortogonal tal que S∗=A1SA1. Entonces Σ(hG X) = On0(K)×Σ(hG S). 66 II. 5 Subvariedades cr´ıticas en grupos de Lie 5.2. Caracterizaci´on de las funciones de Morse 5.2.1. Prueba mediante la descomposici´on polar Del estudio de la estructura del conjunto de puntos cr´ıticos y del resultado para la descomposici´on polar (Lema 5.1.1) se deriva la siguiente caracterizaci´on de las funciones altura en un grupo de Lie ortogonal Gque son de Morse. Teorema 5.2.1. Dada X∈ Mn×n(K)la funci´on altura hG Xes de Morse si y solo si XX∗es inversible y tiene todos sus autovalores distintos. Demostraci´on. Dada X∈ Mn×n(K) arbitraria podemos escribir X=US con U=U∗ySsim´etrica (ver Teorema 1.1.14). Bas´andonos en el Lema 5.1.1 podemos afirmar que hG Xes de Morse sii lo es hG S. Pero como Ses sim´etrica, todos sus autovalores son reales; luego S=V DV ∗ para alguna D= diag(t1, . . . , tn) con ti∈R. De nuevo, nos reducimos a estudiar s´olo el caso de las matrices diagonales ya que, seg´un el Lema 5.1.3, que hG Ssea de Morse es equivalente a que lo sea hG D. Si XX∗es inversible y tiene todos sus autovalores distintos, entonces los elementos distinguidos de DD∗=D2= diag(t2 1, . . . , t2 n) verificar´an que t2 i6=t2 jpara i6=j yti6= 0, para i, j ∈ {1, . . . , n}. En consecuencia, cuando i6=j,|ti| 6=|tj|, por tanto, hG Des de Morse. An´alogamente, cuando hG Dsea de Morse, reordenando y cambiando el signo si fuese necesario, tendremos que 0 < t1. . . < tn. Se verifica entonces que Des inversible y por tanto, tambi´en X. Adem´as, como todos los tison positivos y ti6=tjsi i6=j,t2 i6=t2 jpara i6=j. Es decir, todos los autovalores de XX∗son distintos. Nota–. Este resultado es equivalente a la afirmaci´on que hacen I. Dynnikov y A. Veselov; seg´un la cual la funci´on hG Xen los grupos de Lie cl´asicos es de Morse si y solo si los autovalores de la matriz herm´ıtica definida positiva Sde la descomposici´on polar X=SU son diferentes dos a dos [82]. 5.2.2 Prueba mediante la descomposici´on SVD 67 5.2.2. Prueba mediante la descomposici´on SVD De manera an´aloga puede obtenerse este mismo resultado utilizando la descomposici´on en valores singulares (ver Teorema 5.1.2) en vez de la descomposici´on polar. Teorema 5.2.2. Dada X∈ Mn×n(K)arbitraria, la funci´on hG Xes de Morse sii los valores singulares de Xson distintos y no nulos. Demostraci´on. Sea X=UDV ∗la descomposici´on SVD de X. Por el Teorema 5.1.2 tenemos que V∗(grad hG X)(A)U= (grad hG D)(V∗AU) y V∗(HhG X)A(Y)U= (HhG D)V∗AU (Y). Adem´as, como UyVson matrices ortogonales, se verifica que la dim S(A) para la funci´on hG Xes la misma que dim S(V∗AU) para hG D. 5.3. Estructura local del conjunto de puntos cr´ıticos El siguiente resultado nos permite dar, a partir de la transformaci´on de Cayley generalizada, una carta local del conjunto de puntos cr´ıticos de una funci´on de BottMorse en un grupo de Lie. Se prueba con la misma t´ecnica que emplearemos para espacios sim´etricos (ver Teor. 6.2.1) o bien deduci´endolo como un caso particular de este mismo Teorema. Sea hG Xuna funci´on altura arbitraria en un grupo de Lie G=O(n, K) y Σ(hG X) el conjunto de puntos cr´ıticos de hG X. Si A∈Σ(hG X) es un punto cr´ıtico, denotamos por SG(A) al espacio vectorial real SG(A) = {β0∈TA∗G:XAβ0+β0AX = 0}. Podemos dar entonces la siguiente carta local para el conjunto de puntos cr´ıticos. Teorema 5.3.1. La transformaci´on de Cayley generalizada establece un difeomorfismo cA∗:SG(A)→Σ(hG X)∩ΩG(A). 5.3.1. Ejemplos Ejemplo 5.3.2 (Una funci´on altura en un grupo ortogonal).Supongamos X=I yK=C. Entonces el conjunto de puntos cr´ıticos de la funci´on altura hIson las 68 II. 5 Subvariedades cr´ıticas en grupos de Lie matrices unitarias A∈U(n) tales que A2=I. Una matriz de este tipo, herm´ıtica, se puede diagonalizar a una diagonal D= diag(ε1, . . . , εn) con εk=±1. Por otro lado, se verifica que β0∈TAGsi y solo si la matriz Aβ0es antiherm´ıtica, Aβ0=−β∗ 0A, mientras que β0∈S(A) si y solo si Aβ0+β0A= 0.De donde se deduce que β0tambi´en tiene que ser herm´ıtica. As´ı, por ejemplo, la Iy su opuesta, −Ison puntos cr´ıticos y son aislados ya que S(±I) = 0.Por otro lado, si tomamos A= diag(Ip,−Iq),entonces para que β0 est´e en el tangente TAGdebe ser de la forma β0=0V∗ V0, lo que implica que dim S(A) = 2pq. De hecho, ´esta es la dimensi´on de la ´orbita (cr´ıtica) de Aque es difeomorfa a la Grassmaniana compleja U(p+q)/(U(p)×U(q)). Ejemplo 5.3.3 (Una matriz diagonal de rango m´aximo).Consideremos ahora X= diag(q1, . . . , qn) una matriz diagonal con qk6= 0 y supongamos que |q1|< . . . < |qn|. En este caso, la condici´on del gradiente A∗X∗=XA implica que los puntos cr´ıticos sean de la forma A= diag(±|q1|/q1,...,±|qn|/qn). Ahora bien, como XA =AX = diag(ε1|q1|, . . . , εn|qn|),con εk=±1, tenemos que S(A)=0,es decir, todos los puntos cr´ıticos son aislados. Cap´ıtulo 6 Funciones de Bott-Morse en los espacios sim´etricos En el Cap´ıtulo 3 recogimos c´omo calcular los puntos cr´ıticos de funciones altura en un grupo de Lie Gde tipo ortogonal, unitario o simpl´ectico; ahora tratamos de analizar qu´e puntos cr´ıticos tienen estas funciones cuando las estudiamos en un espacio sim´etrico M. La dificultad est´a en que estos puntos cr´ıticos no son simplemente los puntos cr´ıticos de la funci´on en el grupo que est´an en el modelo de Cartan del cociente. Como vimos en 3.3, T. Frankel aplic´o la teor´ıa de Bott-Morse a los grupos de Lie cl´asicos y a las variedades de Stiefel tomando la representaci´on matricial de estos grupos y usando la aplicaci´on traza como funci´on de Morse [23]. S. Ramanujam obtuvo en [68] una descomposici´on de Morse de ciertos espacios sim´etricos G/K usando una t´ecnica similar a la de Frankel. Un poco m´as tarde, el propio Ramanujam [69] da un m´etodo alternativo bas´andose justamente en el modelo de Cartan de modo que identifica cada espacio sim´etrico con las matrices que verifican determinadas condiciones. As´ı, muestra que las subvariedades cr´ıticas del cociente G/K son la intersecci´on del espacio G/K con las subvariedades cr´ıticas de Gy obtiene a partir de ´estas ´ultimas los ´ındices de las subvariedades cr´ıticas del cociente. El estudio que proponemos aqu´ı incluye los resultados de Ramanujam y Frankel como casos particulares, pero es mucho m´as amplio pues se establece para una funci´on altura arbitraria. Los resultados que veremos en este Cap´ıtulo los aplicaremos en el Cap´ıtulo 8 para calcular r´apidamente la categor´ıa LS del grupo unitario U(n) y de los espacios sim´etricos compactos de tipo AI −SU(n)/SO(n)−y AII −SU(2n)/Sp(n)−,que han sido estudiados recientemente por M. Mimura y K. Sugata en [60]. En el caso 69 70 II. 6 Funciones de Bott-Morse en los espacios sim´etricos del grupo simpl´ectico Sp(2) proporcionaremos a partir de la teor´ıa de Morse un recubrimiento expl´ıcito por cuatro abiertos contr´actiles. 6.1. Funciones altura en el modelo de Cartan Necesitamos ver qui´en es el tangente al espacio sim´etrico en cada punto, calcular el gradiente en el cociente y ver cu´ando se anula la expresi´on obtenida; as´ımismo, para comprobar qu´e puntos cr´ıticos son no degenerados, necesitamos obtener tambi´en el operador Hessiano. 6.1.1. Espacio tangente Recordemos que en un espacio sim´etrico G/K ∼ =Mel grupo Gact´ua transitivamente sobre M⊂Nmediante la acci´on g·m=gσ(g)−1, siendo M={h∈G:h=gσ(g)−1} la componente conexa que contiene al neutro de N={g∈G:g=σ(g)−1}. Buscamos una expresi´on que caracterice las matrices del tangente en un punto arbitrario. Lema 6.1.1. Dado Mel modelo de Cartan de un espacio sim´etrico, 1. el tangente en el neutro a la variedad Mviene dado por TIM={X∈ Mn×n(K): X+X∗= 0, σ(X) = −X}; 2. luego, para una matriz cualquiera A∈M, TAM={X∈ Mn×n(K): A∗X+X∗A= 0, σ(X) = −A∗XA∗}. Demostraci´on. 1. Como M=Ne, TIM=TINy al ser σlineal, derivando en la construcci´on de N={X∈G:X−1=σ(X)},se tiene que TIN={X∈TIG:−X=σ(X)} es decir, TIN={X∈ Mn×n(K): X+X∗= 0, σ(X) = −X}. 6.1.1 Espacio tangente 71 2. Sea A∈M, i.e, AA∗=Iy tal que A=Y σ(Y)−1para alg´un Y∈G; como G act´ua transitivamente en Mmediante lM Y(m) = Y mσ(Y)−1entonces TAM= (lM Y)∗I(TIM). Luego X∈TAMsii (lM Y)−1 ∗I(Z)∈TIM. Pero la acci´on lM Y(m) es lineal en m de modo que X∈TAMsii (lM Y)−1(Z)∈TIM, es decir, Y∗Zσ(Y)∈TIM. De la expresi´on obtenida para el tangente en el neutro y utilizando que el automorfismo σes involutivo se deduce la condici´on que busc´abamos. La m´etrica en el espacio de las matrices Mn×n(K) nos da un producto escalar en el espacio tangente al grupo TgG. Adem´as, para U∈Glas traslaciones en el espacio sim´etrico inducido son de la forma lM U(m) = Umσ(U)−1. Lema 6.1.2. Para un grupo ortogonal G⊂ Mn×n(K)se verifica que 1. la m´etrica inducida es bi-invariante para las traslaciones de G; 2. para U∈Glas traslaciones lM Uson isometr´ıas. Demostraci´on. 1. Para toda Udel grupo hUA, UBi=<Tr(A∗U∗UB) = <Tr(A∗B) = hA, Bi y hAU, BUi=<Tr(U∗A∗BU) = <Tr(A∗BUU∗) = hA, Bi. 2. Como TmM⊂TmG, hlM U(A), lM U(B)i=hUAσ(U)−1, UBσ(U)−1i =<Tr (σ(U)A∗U∗UBσ(U)∗) = hA, Bi. Lema 6.1.3. La proyecci´on can´onica p:G7→ M⊂Gtal que p(g) = gσ(g)−1es una submersi´on riemanniana. 72 II. 6 Funciones de Bott-Morse en los espacios sim´etricos 6.1.2. Gradiente Dada la funci´on altura hX(A) = <Tr(XA) en el espacio vectorial de las matrices M=Mn×n(K), su gradiente viene dado por (grad hM X)(A) = X∗.Para obtener el gradiente en un espacio sim´etrico Mbasta con proyectarlo al TAM. Lema 6.1.4. Dado Z∈TIM,la proyecci´on de Zen TIGes 1 2(Z−Z∗).La proyecci´on de ´este en m=TIMcorresponde a la parte de Zantiinvariante por σ, 1 4((Z−Z∗)−σ(Z−Z∗)) . Demostraci´on. Podemos descomponer el tangente a Mn×n(K) en el neutro como TIM=TIG⊕g⊥=m⊕h⊕g⊥. As´ı, dado Z∈TIM,su descomposici´on en parte antiherm´ıtica y parte herm´ıtica es Z=1 2(Z−Z∗) + 1 2(Z+Z∗). Llamemos X=1 2(Z−Z∗) al sumando antiherm´ıtico. Entonces, X=A+Bdonde A=−A∗, σ(A) = −AyB=−B∗, σ(B) = B. Utilizando que σes de ´algebras se obtiene X=1 2[(X−σ(X)) + (X+σ(X)] , de modo que Z=1 21 2(Z−Z∗)−1 2σ(Z−Z∗)+1 21 2(Z−Z∗) + 1 2σ(Z−Z∗)+1 2(Z+Z∗). Proposici´on 6.1.5. Dada una funci´on altura en el modelo de Cartan Mde un espacio sim´etrico, hX:M→R, el gradiente en un punto A∈Mviene dado por (grad hM X)(A) = 1 4b X−Aσ(b X)A, donde b X=X∗+σ(X). Demostraci´on. Por el Lema 6.1.4, tenemos el gradiente en el neutro (grad hM X)(I) = 1 4[(X−X∗)−σ(X−X∗)] . Es inmediato comprobar que ((grad hM X)(I))∗=−(grad hM X)(I) = σ(grad hM X)(I)). 6.1.3 Hessiano 73 Como las traslaciones son isometr´ıas (v´ease Lema 6.1.2), para calcular el gradiente en A=Y σ(Y)−1, basta hacer la traslaci´on por lM Yde la parte tangente de lM Y(grad hM X)(A)=lM Y(X∗), es decir, Y1 4(Y−1X∗σ(Y)−σ(Y)∗XY −σ(Y−1X∗σ(Y)−σ(Y)∗XY ))σ(Y)∗= 1 4(X∗+σ(X)) −A(X+σ(X)∗)A. Corolario 6.1.6. A∈Mes un punto cr´ıtico de hM Xsii b X=Aσ(b X)A. N´otese que σ(b X)∗=b X, de modo que de la condici´on del gradiente en grupos de Lie (Lema 3.3.3) se deriva el siguiente teorema. Teorema 6.1.7. Dado un espacio sim´etrico M∼ =G/K se verifica que A∈Mes un punto cr´ıtico de hM Xsii es un punto cr´ıtico de hG σ( b X). 6.1.3. Hessiano A partir de la expresi´on que hemos obtenido para el gradiente podemos obtener una expresi´on expl´ıcita del Hessiano de una funci´on altura en un espacio sim´etrico. Proposici´on 6.1.8. Dada una funci´on altura hM Xsu Hessiano (HhM X)A:TAM→ TAMen un punto A∈M, viene dado por H(hM X)A(U) = −1 4Aσ(b X)U+Uσ(b X)A, donde b X=X∗+σ(X). Demostraci´on. l´ım t→0 1 t[(grad hXM)(A+tU)−(grad hXM)(A)] = l´ım t→0 1 4th−Aσ(b X)A−Aσ(b X)tU −tUσ(b X)A−tUσ(b X)tU +Aσ(b X)Ai= l´ım t→0 1 4h−Aσ(b X)U−Uσ(b X)A−tUσ(b X)Ui. 80 II. 6 Funciones de Bott-Morse en los espacios sim´etricos Nota–. Seg´un Ramanujam [68], el flujo del gradiente de la funci´on altura hM Xque pasa por un punto A∈Mse mantiene dentro de M. Esto es cierto porque este autor estudia ´unicamente el caso de Frankel, la funci´on altura con respecto a la identidad hI. En [82] Dynnikov y Veselov afirman que los espacios sim´etricos U(2n)/Sp(n),Sp(n)/U(n) y U(n)/O(n) permanecen invariantes por el flujo del gradiente de las funciones altura en los grupos de Lie correspondientes. Sin embargo, por el Teorema 6.1.7, esto ´unicamente podemos asegurarlo cuando el automorfismo σes tal que X=σ(b X), caso en el que podr´ıa reformularse 6.1.7 como sigue: Teorema 6.2.5. Dado un espacio sim´etrico M∼ =G/K y una X∈ Mn×n(K)tal que σ(b X) = Xentonces, los puntos cr´ıticos de la funci´on altura hM Xrestringida a M verifican que Σ(hM X) = Σ(hG X)∩M. Para las funciones altura que escogen Dynnikov y Veselov la matrix Xes siempre una matriz diagonal real, pero en general el resultado no es cierto. En general, para los espacios sim´etricos tales que el automorfismo σverifica que σ(D) = Dpara cualquier Ddiagonal real, tenemos el siguiente resultado. Lema 6.2.6. Un punto A∈Mes un punto cr´ıtico de hM Xsi y solo si U∗AV es un punto cr´ıtico de hM D, donde Des la matriz diagonal de la descomposici´on SVD de b X,b X=UDV ∗. Adem´as, U∗(grad hM X)(A)V=1 2((grad hM D)(U∗AV )) Demostraci´on. Por la Proposici´on 6.1.5 tenemos que (grad hM X)(A) = 1 4b X−Aσ(b X)A, donde b X=X∗+σ(X).Luego, como σ(b X) = b X∗, (grad hM X)(A) = 1 4(UDV ∗−AV DU∗A), es decir, U∗(grad hM X)(A)V=1 4(D−U∗AV DU∗AV ). Por otro lado, como nos hemos restringido a los casos en los que σ(D) = D, tenemos que b D= 2D. As´ı el gradiente para la funci´on altura con respecto a la matriz diagonal Des precisamente (grad hM D)(B) = 1 2(D−BDB). 6.2.2 Relaci´on entre los flujos de los gradientes en el espacio sim´etrico y en el grupo81 Esto se verifica para todos los espacios sim´etricos de tipo cl´asico recogidos en la Tabla de la Subsecci´on 2.3.1 excepto para U(2n)/Sp(n) y SO(2n)/U(n). A la vista del Lema 6.2.6 podr´ıa pensarse que en orden a obtener una caracterizaci´on an´aloga a la del Teorema 5.2.2 bastar´ıa ahora estudiar la dimensi´on del subespacio vectorial SM(A) para la funci´on altura hM D. Sin embargo, en el ´ambito de los espacios sim´etricos esto carece de sentido pues en general, el TAMy el TU∗AV no guardan relaci´on (´unicamente pueden relacionarse si las matrices UyVde la descomposici´on SVD de b Xy el automorfismo σverificasen que V=b U). Por tanto, en principio, el caracter degenerado o no de los puntos cr´ıticos de hM Xno tiene que ver con el de los de la funci´on hM D. Si buscamos una caracterizaci´on an´aloga a la que obtuvimos en el ´ambito de los grupos de Lie (ver Teorema 5.2.1), la dificultad mayor radica en que la descomposici´on polar no es compatible con la estructura del modelo de Cartan. De nuevo, esto nos impide reducirnos a la funciones altura del tipo hM Dcon Ddiagonal. Pensamos entonces que ser´ıa interesante investigar si es posible obtener una descomposici´on polar generalizada del tipo de la que proponen autores como H.Z. Munthe-Kaas et al. [62] o J.D. Lawson [56] en el ´ambito de los espacios sim´etricos. Si pudi´esemos construir tal descomposici´on, podr´ıa permitirnos reducir una matriz Xde Ma una diagonal sin salirnos del modelo de Cartan. De hecho, la descomposici´on polar generalizada en un grupo de Lie guarda relaci´on estrecha con el automorfismo involutivo y la descomposici´on que ´este induce en el grupo. En el ´ambito de los grupos de Lie, esta descomposici´on permite expresar un elemento del grupo como producto de un factor en un espacio sim´etrico por otro en un subgrupo de Lie del grupo dado. En el art´ıculo de Lawson citado este autor caracteriza los grupos de Lie en los que se tiene la existencia y unicidad de dicha descomposici´on. Los trabajos de MuntheKaas et al. proponen una prueba alternativa para la existencia (y unicidad) local de la descomposici´on polar y obtiene expl´ıcitamente series en el ´algebra de Lie que determinan de manera ´unica los dos factores de la descomposici´on para matrices cercanas a la identidad. 82 II. 6 Funciones de Bott-Morse en los espacios sim´etricos Cap´ıtulo 7 Autovalores cuaterni´onicos por la izquierda En este cap´ıtulo desarrollamos los resultados que hemos obtenido en el ´ambito de los autovalores por la izquierda de marides cuaterni´onicas. En particular, proporcionamos una nueva demostraci´on del resultado de Huang y So (Teor. 1.3.6) as´ı como una caracterizaci´on de las matrices 2 ×2 simpl´ecticas cuyo espectro por la izquierda es infinito. Este resultado nos permitir´a discutir al final de la Memoria, en el Cap´ıtulo 8 la posibilidad de recubrir el grupo Sp(2) por abiertos asociados a autovalores. Los estudios conocidos hasta el momento para autovalores por la izquierda son de naturaleza algebraica y dif´ıciles de generalizar para matrices de orden n > 3. Proponemos aqu´ı una noci´on de funci´on caracter´ıstica µpara las matrices cuaterni´onicas tal que las ra´ıces de la ecuaci´on µ(λ) = 0 son los autovalores por la izquierda de la matriz. En general, esta µser´a una funci´on racional y nos permitir´a realizar un estudio topol´ogico del espectro por la izquierda de las matrices de orden dos y tres calculando su diferencial y utilizando la teor´ıa del grado. Aparentemente, este nuevo m´etodo es m´as f´acil de generalizar para las matrices de orden n > 3. Un tema que ha surgido de manera natural al estudiar esta funci´on caracter´ıstica, aunque no tiene relaci´on directa con la categor´ıa LS, es la posibilidad de extender el teorema de Cayley-Hamilton. Comprobamos que para matrices de orden dos y tres esta funci´on caracter´ıstica lo verifica, es decir la extensi´on natural de µa las matrices cumple que µM(M) = 0. Es de esperar que este resultado sea cierto para cualquier orden mayor que tres pero no hemos podido comprobarlo ya que ninguna de las demostraciones de este teorema en el ´ambito conmutativo parecen poder aplicarse en el caso cuaterni´onico. 83 84 II. 7 Autovalores cuaterni´onicos por la izquierda 7.1. Autovalores por la izquierda Los autovalores por la izquierda de una matriz cuaterni´onica est´an muy poco estudiados. Es obvio que no pueden extenderse de manera sencilla los m´etodos propios del ´ambito conmutativo y hasta hoy no hay un m´etodo sistem´atico que permita acometer su estudio. Como afirmaba Suzuki en el a˜no 2008 [80], “para una matriz con entradas no conmutativas, no est´an definidos el determinante o la funci´on caracter´ıstica por el problema del orden. Por lo tanto, los “autovalores” usados en la descomposici´on espectral no est´an definidos y, hasta ahora, no tenemos un m´etodo sistem´atico para calcular una funci´on de una matriz con entradas no conmutativas.” De la definici´on de autovalor por la izquierda (Def. 1.3.1) se deriva que λ∈σl(M) si y s´olo si M−λI no es inversible. La idea que aqu´ı proponemos es utilizar el determinante de Study (ver Secci´on 1.2) para estudiar el espectro por la izquierda. En principio, la ecuaci´on Sdet(M−λI) = 0 no tiene por qu´e ser un polinomio y en general no se sabe resolver. En [7, 33] pueden verse dos m´etodos diferentes para resolverla en el caso 2 ×2. No est´a claro que todos los autovalores de una matriz cuaterni´onica de orden n×npuedan hallarse resolviendo polinomios cuaterni´onicos de grado menor o igual que n. Por ahora, s´olo se ha podido comprobar que hasta orden 3 s´ı es posible pues en 2005 W. So obtuvo f´ormulas expl´ıcitas para orden 3 recogidas en [77]. Como ya hemos visto, al margen de estos c´alculos espec´ıficos, en el a˜no 1985, R.M.W. Wood [88] prob´o, usando m´etodos homot´opicos, que cualquier matriz cuaterni´onica tiene al menos un autovalor por la izquierda. 7.1.1. Autovalores de las matrices 2×2 Para n= 2, Huang y So dieron en [33] una caracterizaci´on de las matrices con infinitos autovalores por la izquierda. Su resultado (ver Teorema 1.3.6) est´a basado en una serie de f´ormulas expl´ıcitas para resolver algunas ecuaciones cuadr´aticas obtenidas previamente por los mismos autores (ver Teorema 1.4.2) [34]. M´as tarde, De Leo et al. propusieron en [54] un m´etodo alternativo de resolver ecuaciones polin´omicas unilaterales que reduce el problema a encontrar los autovalores por la derecha de una matriz asociada a la ecuaci´on (matriz compa˜nera). Proponemos aqu´ı un modo nuevo de probar los resultados de Huang y So bas´andonos en el m´etodo de De Leo et al. A lo largo de toda la secci´on Adenota una matriz cuaterni´onica 2 ×2, A=a b c b∈ M2×2(H) 7.1.1 Autovalores de las matrices 2 ×2 85 ya1, a0los coeficientes a1=b−1(a−d) y a0=−b−1c. Nueva demostraci´on del teorema de Huang y So El Teorema 1.3.6 de Huang y So caracteriza completamente las matrices de orden 2 ×2 con infinitos autovalores. La prueba original consiste en ir estudiando qu´e ocurre en cada caso utilizando las f´ormulas que hab´ıan obtenido en [33] para resolver ecuaciones del tipo (7.1). En particular probaron que, en el caso de que haya infinitos autovalores, ´estos vienen dados por la expresi´on (a+d+bξ)/2, donde ξes un cuaternio sin parte real, ξ∈ hi,j,ki, tal que el cuadrado del m´odulo es |ξ|2=|∆| con ∆ = a2 1−4a0. Es f´acil ver que las condiciones del Teorema 1.3.6 son suficientes. De hecho, si a0=s,a1=t,s, t ∈R, entonces, la definici´on de autovalor nos da la expresi´on λ2+tλ +s= 0, que, despu´es de hacer el cambio p=λ+t/2, nos da la ecuaci´on p2= ∆/4<0 que tiene infinitas soluciones del tipo p= (√−∆/2)ω, ω ∈ hi,j,ki,|ω|= 1. En cuanto a la necesidad de las condiciones daremos una prueba alternativa. La construimos bas´andonos en un m´etodo elegante para resolver ecuaciones, propuesto por De Leo et al en [54], como mejora de un algoritmo previo de Serˆodio et al. [73]. Veamos expl´ıcitamente en qu´e consiste este algoritmo. Algoritmo de De Leo Sea M=−a1−a0 1 0  la matriz compa˜nera de la ecuaci´on (7.1) p2+a1p+a0= 0, Mp 1=−a1p−a0 p=p2 p=p 1p, lo cual nos muestra que, si queremos encontrar soluciones de (7.1) debemos buscar autovalores por la derecha pde Mcorrespondientes a autovectores de la forma (p, 1). Siguiendo a [54] llamaremos a pautovalor por la derecha especial. Luego, para resolver la ecuaci´on (7.1) necesitamos, en primer lugar, encontrar los autovalores por la derecha de la matriz compa˜nera M. Seg´un la Proposici´on 1.1.8, ´estos se corresponden con la clase de similitud de los autovalores de su forma 86 II. 7 Autovalores cuaterni´onicos por la izquierda compleja 4 ×4, c(M), y se pueden calcular resolviendo la ecuaci´on caracter´ıstica det(c(M)−qI) = 0. Como ya hab´ıamos visto, debido a la forma de c(M) sus autovalores aparecen en pares q1, q1, q2, q2. Autovectores por la derecha. Para calcular los autovectores, consideremos el C-isomorfismo (7.2) (z0, z)∈C27→ z0+jz∈H. Proposici´on 7.1.1. (u0, u, v0, v)∈C4es un z-autovector de la forma compleja c(M) si y solo si (u0+jv0, u +jv)es z-autovector por la derecha de M. Soluciones de la ecuaci´on. Pasemos entonces a calcular las soluciones de (7.1). Una vez que hayamos encontrado un autovalor complejo qde la matriz compa˜nera My alg´un q-autovector (u0, u) observamos que, debido a la forma espec´ıfica de M,u0=uq. Por tanto, por la Proposici´on 1.1.7 el vector u0 uu−1=uqu−1 1 es un uqu−1-autovector, esto es p=uqu−1es un autovalor especial de la clase de similitud de [q] y por tanto, es la soluci´on deseada. N´otese que, por la Proposici´on 1.1.7, dos autovectores H-linealmente dependientes dan lugar al mismo autovalor especial Ejemplo 7.1.2. Tomamos A=i+j j −1−j i + 2j∈ M2×2(H).La matriz compa˜nera del polinomio p2+a1p+a0es M=1−1 + j 1 0 cuya forma compleja viene dada por c(M) =     1−1 0 1 1 0 0 0 011−1 0 0 1 0    . Los autovalores de c(M) son {1+i,1−i,i,−i}con autovectores asociados los subespacios de C4generados por (−1 + i,i,1 + i,1),(−1−i,−i,1−i,1),(1,−i,i,1) y (1,i,−i,1) respectivamente. Entonces, los autovalores por la derecha de Mson todos los cuaternios de la clase de similitud de q1= 1 + iy de q2=i. Tenemos pues que q1= 1+ies un autovalor por la derecha de Mcon autovector asociado (−1+i+j−k,i+j) (Prop. 7.1.1), luego p1= 1+jes un autovalor especial 7.1.1 Autovalores de las matrices 2 ×2 87 de la matriz compa˜nera M. An´alogamente, (1 −k,−i+j) es un iautovector por la derecha, a partir del cual obtenemos el autovalor especial p2=−j. Es decir, p1= 1+jyp2=−json las soluciones de la ecuaci´on p2−p+(1+j)=0 y por tanto, λ1=−1 + i+ 2jyλ2= 1 + i+json los autovalores por la izquierda de la matriz A. N´umero de autovalores de las matrices 2×2. Estamos ahora en condiciones de discutir el n´umero de soluciones de la ecuaci´on (7.1). Esto es lo que nos dar´a una nueva prueba del Teorema 1.3.6. Daremos una forma topol´ogica de ver este resultado en la Subsecci´on 7.3.3. Cada uno de los autovalores qde la forma compleja c(M)∈ M4×4(C) tiene asociado un espacio vectorial complejo de autovalores al que denotaremos por V(q)⊂ C4. Sabiendo que sus dimensiones complejas suman 4 podemos ver cu´ales son las posibles dimensiones de V(qk) y V(qk), 1 ≤k≤2. 1. Si los cuatro autovalores q1,q1, q2, q2son diferentes, entonces cada V(qk) tiene dimensi´on 1. Es el caso en el que nos dan dos complejos diferentes y sus conjugados. Los espacios de autovectores V(q1), V (q2) son rectas y nos dan dos autovalores especiales p1yp2. Las rectas de sus conjugados nos dar´an los mismos autovalores especiales, por tanto, Mtiene exactamente dos autovalores especiales, es decir, hay exactamente dos soluciones. 2. Si alg´un autovalor es real, por ejemplo q1∈R, entonces los ´unicos cuaternios similares vq1v−1son ´el mismo y p1=q1, independientemente de la dimensi´on de V(q1). Entonces habr´a una o dos soluciones dependiendo de que q1=q2o no. 3. El ´unico caso en el que pueden aparecer infinitos autovalores especiales es cuando los autovalores son iguales y complejos no reales, q1=q26∈ R, lo que lleva consigo que dimCV(q1) = 2 = dimCV(q1). Nos fijamos entonces en el tercer caso, el ´unico en el que Mpuede tener infinitos autovalores por la izquierda, cuando c(M) s´olo tiene como autovalores un complejo y su conjugado q1, q1. La siguiente proposici´on prueba que en este caso tenemos realmente un n´umero infinito de soluciones (n´otese que q16∈ R). Proposici´on 7.1.3. En el tercer caso todos los cuaternios similares a q1son autovalores especiales por la derecha de M. 88 II. 7 Autovalores cuaterni´onicos por la izquierda Demostraci´on. Tomemos una C-base ˜u, ˜vdel espacio de autovectores V(q1)⊂C4y los correspondientes vectores v, w en H2por el ismorfismo (7.2). Como ´estos ´ultimos son de la forma (uq, q), se tiene que las segundas coordenadas v2, w2de vywson C-independientes en Hy por tanto, una C-base. Esto significa que los autovalores especiales p=uq1u−1, donde ues una C-combinaci´on lineal de v2yw2, recorren todos los posibles cuaternios de la clase de similitud de q1. Las condiciones de Huang y So. Queda ahora comprobar que en el caso 3 se verifican las condiciones del Teorema 1.3.6 de Huang y So. Sea q1=x+iy,y6= 0, uno de los dos autovalores complejos de c(M) y sea p∈[q1] cualquier autovalor especial de M. Como <(p) = <(q1) y |p|=|q1|, podemos escribir p=x+|y|ω, donde ω∈H0=hi,j,kicon |ω|= 1. Pongamos a1=t+ξ1, con t∈Ryξ1∈H0. Si escribimos la ecuaci´on (7.1) de la forma a0=−(p+a1)ppodemos deducir que <(a0) = xt +x2−|y|2+|y|<(ξ1ω). Por tanto, |y|hξ1, ωino depende de ω. Como y6= 0, el siguiente Lema 7.1.4 afirma que ξ1= 0, i.e. a1∈R. Lema 7.1.4. Sea ξ∈H0verificando que para cualquier par de vectores ω, ω0∈Ω, se anula el producto hξ, ω −ω0i= 0. Entonces ξ= 0. Demostraci´on. Sea ξ=xi+yj+zk6= 0. Podemos suponer que x6= 0 (los otros casos son an´alogos). Tomemos cualquier ω∈Ω ortogonal a ξyω0=i. Entonces hξ, ω −ω0i=x6= 0. Una consecuencia de la Proposici´on 7.1.3 es que p=q1es un autovalor especial de M, de manera que, por la ecuaci´on (7.1), a0es un n´umero complejo. Como q1 es tambi´en una soluci´on, deducimos que a0=a0es un n´umero real. Finalmente, de que q2 1+a1q1+a0= 0 se sigue que a2 1−4a0<0 porque q1/∈R. Esto completa la verificaci´on de las condiciones de Huang y So dadas en el Teorema 1.3.6. 7.1.2. Autovalores por la izquierda de las matrices simpl´ecticas Proposici´on 7.1.5. Los autovalores por la izquierda de una matriz simpl´ectica tienen m´odulo 1. 7.1.2 Autovalores por la izquierda de las matrices simpl´ecticas 89 Demostraci´on. Sea A∈Sp(n), es decir, A∗A=I. Si Av =λv entonces 0<|v|2=hAv, Avi=hλv, λvi=v∗λλv =v∗|λ|2v=|λ|2|v|2. Usamos ahora la clasificaci´on general de las matrices de orden 2 seg´un el n´umero de autovalores para caracterizar las matrices de Sp(2) cuyo espectro por la izquierda es infinito. Asimismo, damos la forma expl´ıcita de los autovalores de estas matrices. Con esta caracterizaci´on probaremos que dados cuatro cuaternios arbitrarios de norma 1 siempre hay alguna matriz de Sp(2) para la cual estos cuaternios son autovalores por la izquierda. Este resultado no es trivial y nos ser´a de utilidad para estudiar la categor´ıa LS de Sp(2), como veremos en el Cap´ıtulo 8. Forma general de las matrices de Sp(2) Consideremos el grupo de Lie 10-dimensional Sp(2) formado por las matrices simpl´ecticas 2 ×2, es decir, matrices cuaterni´onicas Atales que A∗A=I. Desde el punto de vista geom´etrico, estas matrices corresponden a los endomorfismos H-lineales por la derecha de H2que conservan el producto herm´ıtico hu, vi=u∗v. As´ı, una matriz es simpl´ectica si y solo si sus columnas forman una base ortonormal para este producto herm´ıtico. Buscamos una expresi´on general de una matriz simpl´ectica cualquiera. Proposici´on 7.1.6. Una matriz simpl´ectica A∈Sp(2) o bien es diagonal o bien es de la forma A=α−βγ β βαβγ/|β|2, β 6= 0,|α|2+|β|2= 1,|γ|= 1. Demostraci´on. Por definici´on, las dos columnas A1,A2de Aforman una base ortonormal de H2para el producto herm´ıtico. Sea la primera A1=α β, α, β ∈H,|α|2+|β|2= 1. Si β= 0, Aes una matriz diagonal diag(α, δ) con |α|=1=|δ|. Si β6= 0, consideremos la aplicaci´on H-lineal por la derecha hA1,−i:H2→H, que es sobre porque |A1|= 1. Entonces su n´ucleo K= (A1)⊥tiene dimensi´on dimHK= 1. Claramente, el vector u=−β βαβ/|β|26= 0, 96 II. 7 Autovalores cuaterni´onicos por la izquierda 7.2. Funciones caracter´ısticas de las matrices cuaterni´onicas Al final del art´ıculo [88] al que nos refer´ıamos al introducir los autovalores por la izquierda, Wood hace notar que “en el caso 2×2 de la matriz a b c dhay un determinante parcialmente definido b−ac−1dy una funci´on caracter´ıstica parcialmente definida (7.3) λc−1λ−λc−1d−ac−1λ−b+ [ac−1d]=0 que reduce el problema de los autovalores al teorema fundamental [del ´algebra]. Las dificultades empiezan con las matrices 3 ×3”. Wood dice tambi´en que “desafortunadamente, parece no haber una funci´on determinante adecuada en el caso cuaterni´onico para reducir el problema de los autovalores al teorema fundamental del ´algebra.” 7.2.1. Antecedentes En primer lugar, comentemos brevemente ´este problema para los autovalores por la derecha. Sea c(M)∈ M2n×2n(C) la forma compleja de la matriz M∈ Mn×n(H) (ver Subsecci´on 1.1.4). Entonces, como recogimos al estudiar los autovalores por la derecha (Subsecc. 1.1.5), ´estos son todos los cuaternios qzq−1, donde q∈H, q 6= 0,yzes un autovalor complejo de c(M).Es decir, z∈Ces ra´ız del polinomio caracter´ıstico complejo p(z) = det (c(M)−zI), pero a partir de p(z) no puede obtenerse un polinomio cuaterni´onico (ver tambi´en la Secci´on 7.4.4). El problema es encontrar una funci´on caracter´ıstica para matrices cuaterni´onicas de orden nque proporcione los autovalores por la izquierda. En el caso particular de las matrices herm´ıticas, como todos sus autovalores por la derecha son reales (ver Prop. 1.2.13), los espectros por la izquierda y por la derecha coinciden, de modo que puede construirse un polinomio caracter´ıstico con variable real p(t) = det(M−tI),con t∈R, donde det es el determinante de las matrices herm´ıticas definido en la Subsecci´on 1.2.3. Las ra´ıces de este polinomio son los autovalores (por la izquierda y por la derecha) de M. Este polinomio caracter´ıstico coincide con la nueva funci´on caracter´ıstica que propondremos en la Subsecci´on 7.2.2. 7.2.1 Antecedentes 97 F. Zhang propone utilizar el polinomio caracter´ıstico complejo para obtener una nueva funci´on en C×Ca partir de la cual se pueden obtener los autovalores por la izquierda. En [90] utiliza que un cuaternio λes un autovalor por la izquierda de la matriz M∈ Mn×n(H) si existe alg´un v∈C2n, v 6= 0,tal que c(M−λI)v= 0, ya que la forma compleja de la matriz cuaterni´onica M−λI es singular. Si expresamos M=X+jY, con X, Y ∈ Mn×n(C) y λ=x+jy, con x, y ∈C,λes un autovalor por la izquierda de Msi y solo si es ra´ız de la funci´on σ:C×C→Rdada por (7.4) σ(x, y) = det X−xI −Y+yI Y−yI X −xI , pero esta σ(x, y) ni siquiera es una funci´on en los coeficientes de la matriz M. Otra aproximaci´on a la noci´on de funci´on caracter´ıstica cuaterni´onica es la de I. Gelfand et alii. Estos autores utilizan los quasideterminantes para construir funciones caracter´ısticas de matrices cuaterni´onicas [27]. Para cada matriz cuadrada de orden ndefinen n2funciones caracter´ısticas como sigue. Definici´on 7.2.1. Sea A∈ Mn×n(H),se definen las GR-funciones caracter´ısticas de Acomo fij(λ) = |λI −A|ij para 1 ⩽i, j ⩽n, donde |·|ij es el (i, j)−quasideterminante. A partir del teorema que generaliza la identidad de Jacobi al caso cuaterni´onico (Teor. 1.2.23) podemos afirmar que estas GR-funciones caracter´ısticas verifican que todas sus ra´ıces son autovalores por la izquierda. Sin embargo, ninguna de ellas nos da todos los autovalores por la izquierda. Sus ra´ıces no son los autovalores por la derecha. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 7.2.2. Tomamos la matriz triangular B=  i0 0 k j 0 −3i2k k  . Su espectro por la izquierda est´a formado por los elementos de la diagonal, es decir, σl(B) = {i,j,k}. Sin utilizar la Proposici´on 1.2.19, la ´unica GR-funci´on caracter´ıstica que podemos calcular es f11(λ) = i−λ. Utilizando 1.2.19 obtenemos 98 II. 7 Autovalores cuaterni´onicos por la izquierda f12(λ)=(i−λ)k(j−λ), f13(λ)=(i−λ) (3i+ 2k(j−λ)−1k)−1(k−λ), f22(λ) = j−λ, f23(λ) = 1 2(j−λ)k(k−λ), f33(λ) = k−λ y las funciones f21(λ), f31(λ) y f32(λ) no existen. Se ve claramente que ninguna de las fij tiene a todos los elementos del espectro por la izquierda como ra´ız. Ejemplo 7.2.3. Las GR-funciones caracter´ısticas no proporcionan los autovalores por la derecha. Sea D=  i−1 0 0k i 0k j   La ´unica GR-funci´on que existe para esta matriz es : f11(λ) = i−λ Sin embargo, el polinomio caracter´ıstico de la complexificada de Des 2+2x+4x2+ 2x3+ 3x4+x6. Puede comprobarse que ninguna de sus ra´ıces es similar a i. 7.2.2. Definici´on Con estos antecedentes pasamos a introducir la noci´on de funci´on caracter´ıstica para una matriz cuaterni´onica, que generaliza el polinomio caracter´ıstico usual de los casos real y complejo. En particular, sus ra´ıces son los autovalores por la izquierda. Como veremos, esta definici´on concuerda de manera natural con la ecuaci´on para orden 2 que da R. M .W. Wood (7.3), as´ı como con el m´etodo propuesto por W. So en [77] para calcular los autovalores de matrices de orden 3. Adem´as muestra que, en contra de lo que dice Wood en [88], s´ı hay una funci´on que permita acometer el estudio de los autovalores. En el caso 2 ×2 esta funci´on caracter´ıstica nos permitir´a probar de un modo geom´etrico el resultado de Huang-So (Teorema 1.3.6). Definici´on 7.2.4. Una aplicaci´on µ:H→Hes una funci´on caracter´ıstica de la matriz M∈ Mn×n(H) si, salvo una constante, su m´odulo |µ(λ)|= Sdet(M−λI) para todo λ∈H. 7.2.3 Una funci´on caracter´ıstica para orden dos 99 N´otese que λes un autovalor por la izquierda de Msi y solo si µ(λ)=0. Nota–. Como ya dijimos, es un hecho conocido que el espectro por la izquierda no es invariante por semejanza. Sin embargo, por la Proposici´on 1.2.2, si Pes una matriz real inversible, Sdet(M−λI) = Sdet(PMP−1−λI). Es decir, MyPMP−1tienen las mismas funciones caracter´ısticas. Ejemplo 7.2.5. Matrices diagonales y triangulares. Si D= diag(q1, . . . , qn) entonces µ(λ)=(q1−λ)···(qn−λ) es una funci´on caracter´ıstica para D. An´alogamente para una matriz triangular. 7.2.3. Una funci´on caracter´ıstica para orden dos El determinante de Study nos permite dar, para orden 2, una funci´on caracter´ıstica polin´omica de grado 2. El comentario deR. M .W. Wood citado en 7.2 puede reformularse as´ı: Teorema 7.2.6. Toda matriz A=a b c d∈ M2(H)tiene una funci´on caracter´ıstica polin´omica µ(λ). Si b= 0 viene dada por µ(λ) = (d−λ)(a−λ). Si b6= 0, µ(λ) = c−(d−λ)b−1(a−λ). Demostraci´on. Si b= 0, A−λI es una matriz triangular, Sdet a−λ0 c d −λ=|(d−λ)(a−λ)|. Si b6= 0, por las propiedades de Sdet podemos hacer la siguiente transformaci´on Sdet a b c d= Sdet 0b c−db−1a d=|b||c−db−1a|. luego Sdet(A−λI) = 0 equivale a que c−(d−λ)b−1(a−λ) = 0. 100 II. 7 Autovalores cuaterni´onicos por la izquierda Nota–. L. Huang [32] propone otra ecuaci´on caracter´ıstica para las matrices de orden 2. Separa el caso c= 0 y para c6= 0 dice que λ∈σl(A) si y solo si: (λ−a)c−1(λ−d)−b= 0. Este polinomio se obtiene tambi´en de manera inmediata sum´andole (λ−a)c−1f2a la fila f1en la matriz λI −A. Esta expresi´on es equivalente a b−(a−λ)c−1(d−λ) = 0, que es la expresi´on que da R. M .W. Wood en la Eq. (1) de [88] (hay un error tipogr´afico en el original). 7.2.4. Funci´on caracter´ıstica para matrices 3×3 Recordemos que lo ´unico que se sabe para las matrices de tama˜no 3 ×3 se lo debemos a W. So [77]. Lo que So ofrece es un estudio caso por caso, seg´un las relaciones entre las entradas de las matrices, en el que da una serie de polinomios cuaterni´onicos de grado menor o igual que tres cuyas ra´ıces son los autovalores por la izquierda. Las ecuaciones resultantes no se saben resolver. Desarrollamos ahora un m´etodo similar al que hemos visto para orden 2. De nuevo nos basamos en que los autovalores por la izquierda de una matriz A∈ M3×3(H) son las ra´ıces de Sdet(A−λI) = 0. En general, la funci´on caracter´ıstica que obtenemos es una funci´on racional. Sin embargo, en el caso de que la matriz tenga alguna entrada nula fuera de la diagonal, es posible obtener una funci´on caracter´ıstica polin´omica. Podr´ıa emplearse un algoritmo similar al que veremos a continuaci´on para calcular el Sdet(A) para cualquier orden n > 3. Consideramos a lo largo de todo la secci´on la matriz cuaterni´onica A=  a b c f g h p q r  ∈ M3×3(H). Caso c= 0 Comenzamos estudiando el caso m´as sencillo, cuando alg´un elemento no diagonal de la matriz se anula. Las propiedades de Sdet y en particular la Prop. 1.2.2 nos permiten ir haciendo transformaciones de filas y columnas hasta situar el cero en el puesto a13. La ventaja de este caso es que sus autovalores son las ra´ıces de un polinomio cuaterni´onico de grado tres. 7.2.4 Funci´on caracter´ıstica para matrices 3 ×3 101 Partimos de Sdet(A−λI) = Sdet   a−λ b 0 f g −λ h p q r −λ  . 1. En primer lugar, si b, h = 0, tenemos una matriz triangular as´ı que podemos tomar (7.5) µ(λ)=(r−λ)(g−λ)(a−λ). 2. Si b= 0 pero h6= 0, el Lema 1.2.5 permite reducirnos al caso 2×2 y obtenemos (7.6) µ(λ) = q−(r−λ)h−1(g−λ)(a−λ). 3. Finalmente, si b6= 0, procedemos como sigue. Hacemos un cero en la primera fila restando a la primera columna C1la C2b−1(a−λ), Sdet(A) = Sdet   0b0 f−(g−λ)b−1(a−λ)g−λ h p−qb−1(a−λ)q r −λ   y permutamos la segunda y la tercera columna para reducirla al caso 2 ×2. Tomamos entonces como funci´on caracter´ıstica: µ(λ) = p−qb−1(a−λ)−(r−λ)h−1f−(g−λ)b−1(a−λ). Nota–. Alternativamente, podr´ıamos simplemente permutar en la matriz inicial las filas y las columnas segunda y tercera para obtener una matriz PAP−1 con la misma funci´on caracter´ıstica. Esta nueva matriz verifica que c6= 0 y podr´ıamos obtener su funci´on como veremos a continuaci´on (Prop. 7.2.7). Sin embargo, n´otese que con este ´ultimo m´etodo, en lugar de obtener un polinomio, obtenemos una funci´on racional. Caso c6= 0 En la situaci´on m´as general, cuando c6= 0, utilizando las propiedades de Sdet (Prop. 1.2.3) podemos hacer ceros en la primera fila,   0 0 c f−hc−1a g −hc−1b h p−rc−1a q −rc−1b r  . Del Lema 1.2.5 y los resultados de orden 2 ×2 se sigue: 102 II. 7 Autovalores cuaterni´onicos por la izquierda Proposici´on 7.2.7. Si c6= 0, entonces Sdet(A)viene dado: 1. cuando g−hc−1b6= 0, por |c|·|g−hc−1b|·|p−rc−1a−(q−rc−1b)(g−hc−1b)−1(f−hc−1a)|; 2. cuando g−hc−1b= 0, por |c|·|q−rc−1b|·|f−hc−1a|. Definici´on 7.2.8. Dada la matriz A∈ M3×3(H) llamamos polo de A al punto λ0=g−hc−1b. Aplicando la Proposici´on 7.2.7 a la matriz A−λI obtenemos la siguiente funci´on caracter´ıstica de A. Proposici´on 7.2.9. Sea Auna matriz de orden 3×3tal que c6= 0. Se puede definir una funci´on caracter´ıstica para Acomo sigue: 1. si λ0=g−hc−1bes el polo de A, µ(λ0) = q−(r−λ0)c−1bf−hc−1(a−λ0); 2. en otro caso µ(λ) = (λ0−λ)p−(r−λ)c−1(a−λ)− q−(r−λ)c−1b(λ0−λ)−1f−hc−1(a−λ). Esta funci´on est´a bien definida y cumple que: 1. Sdet(A−λI) = |µ(λ)|para todo λ∈H; 2. µ(λ) = 0 si y solo si λes autovalor por la izquierda de A. Nota–. Como recordamos antes, en [77], W. So prob´o que los autovalores por la izquierda de estas matrices son las ra´ıces de ciertos polinomios cuaterni´onicos de grado ≤3. A pesar de que nuestro m´etodo es totalmente diferente del suyo, obtenemos que la funci´on de la Proposici´on 7.2.9 es exactamente la f´ormula que da So en [77, p. 563]. Este es el motivo por el que hemos elegido hacer los c´alculos de los determinantes comenzando por la esquina superior derecha. 7.2.4 Funci´on caracter´ıstica para matrices 3 ×3 103 Nota–. El polo λ0puede tanto estar como no estar en el espectro de la matriz. Los siguientes ejemplos nos lo muestran. Ejemplo 7.2.10. Una matriz para la que el polo es autovalor. A=  0−j i −1 + j j k p q r  , con p, q, r ∈Hcualesquiera. Para esta matriz el polo toma el valor λ0= 1 + j. Su imagen por la funci´on caracter´ıstica de la Prop. 7.2.9 es µ(λ0)=(q−(r−1−j)k) (−1 + j+j(−1−j)) = 0. Ejemplo 7.2.11. Matriz para la que el polo no es autovalor. A=  0i1 3i−k0 1 k−1 + j+k0  . En este caso, λ0=−iy µ(λ0)=(−1 + j+k+ 1)(3i−k−i)=1−i+ 2j−2k. Continuidad en el polo El m´odulo de la que hemos definido como funci´on caracter´ıstica es exactamente el determinante de Study de la matriz A−λI. Como Sdet es una funci´on continua podemos afirmar que |µ(λ0)|= l´ım λ→λ0|µ(λ)|, es decir, el m´odulo del l´ımite existe y es finito. Sin embargo, el mismo ejemplo 7.2.11 nos muestra que a pesar de que la norma |µ|de la funci´on caracter´ıstica de la Proposici´on 7.2.9 es continua, µpuede no serlo en el polo λ0. Sea   0i1 3i−k0 1 k−1 + j+k0  . Como hemos visto, su polo es λ0=−iyµ(λ0)=(j+k)(2i−k)=1−i+2j−2k. 104 II. 7 Autovalores cuaterni´onicos por la izquierda Pero tomando l´ımites restringidos se comprueba f´acilmente que el valor del l´ımite que buscamos depende de por d´onde nos acerquemos al polo. De hecho, el l´ımite l´ım ε→0µ(−i+εq) = −q(j+k)q−1(2i−k) depende de q∈H, luego no existe l´ım λ→λ0 µ(λ). Si es o no posible encontrar siempre, aparte del caso polin´omico, una funci´on caracter´ıstica que sea continua es una cuesti´on abierta. 7.3. Estudio mediante el grado de una funci´on caracter´ıstica En [33] Huang y So probaron que una matriz 2 ×2 puede tener uno, dos o infinitos autovalores. En la secci´on 7.1.1 propusimos una nueva prueba de ese mismo resultado. Ambos m´etodos, aparentemente, son dif´ıciles de generalizar para orden n > 2. Frente a estos estudios, ambos de naturaleza algebraica, proponemos aqu´ı una visi´on m´as topol´ogica. La idea fundamental consiste en estudiar el grado topol´ogico de las funciones caracter´ısticas 7.2.6 y 7.2.9 y el rango de sus linealizadas. El caso de la matrices 2 ×2 queda completamente cerrado ya que podemos discutir las ecuaciones cuaterni´onicas que obtenemos al linealizar. Para orden 3×3 no obtenemos tanta informaci´on pero s´ı podemos decir cu´ales son las ecuaciones que habr´ıa que discutir. 7.3.1. Teor´ıa del grado Veamos a continuaci´on algunos resultados topol´ogicos que necesitamos para nuestro estudio. El grado topol´ogico (tambi´en llamado grado de Brouwer) de una aplicaci´on continua puede definirse utilizando t´ecnicas o bien de topolog´ıa algebraica [11] o bien del an´alisis funcional [9, 67]. Nuestra intenci´on es aplicar los siguientes resultados conocidos (ver, por ejemplo, [58, pag 101]). Definici´on 7.3.1. Dada una aplicaci´on diferenciable ente variedades, ρ:M→N con dim M= dim N, diremos que r∈Nes un valor regular de ρsi la diferencial ρ∗q:TqM→TrNes de rango m´aximo para todo q∈ρ−1(r). Lema 7.3.2 (de Sard).El conjunto de valores regulares es denso en N. 7.3.2 Derivaci´on en espacios de Banach 105 Teorema 7.3.3. Sea Muna variedad orientable conexa y cerrada y ν:M→Mun aplicaci´on diferenciable de grado k. Sea m∈Mun valor regular tal que la diferencial ν∗λconserva la orientaci´on para cualquier λde la fibra ν−1(m). Entonces, la imagen rec´ıproca ν−1(m)es un conjunto finito con kelementos. En el libro de Eilenberg-Steenrod se puede encontrar una prueba rigurosa del siguiente resultado [15, pags 304–310]. Proposici´on 7.3.4. Dos aplicaciones continuas en la esfera Sn→Snson hom´otopas si y solo si tienen el mismo grado. 7.3.2. Derivaci´on en espacios de Banach La existencia de una norma multiplicativa |q|= (qq)1/2en Hgarantiza que la prueba usual de la regla de Leibniz sigue pudiendo aplicarse en este contexto. Veamos con detalle c´omo obtener las reglas de derivaci´on en el ´ambito no conmutativo. Observemos que, siempre que respetemos el orden, en el caso cuaterni´onico se conservan las reglas de derivaci´on del producto y del cociente: Lema 7.3.5. Sean A, B :R→ Mn×n(H)diferenciables. Entonces d dt[A(t)B(t)] = A0(t)B(t) + A(t)B0(t). Demostraci´on. d dt[A(t)B(t)] = l´ım h→0 1 h[A(t+h)B(t+h)−A(t)B(t)] = l´ım h→0 1 h[A(t+h)B(t+h)−A(t)B(t+h) + A(t)B(t+h)−A(t)B(t)] = l´ım h→0 1 h[(A(t+h)−A(t))B(t+h) + A(t)(B(t+h)) −B(t))] = A0(t) l´ım h→0B(t+h) + A(t)B0(t) = A0(t)B(t) + A(t)B0(t). A partir de esta propiedad podemos establecer una f´ormula para la diferencial del producto de aplicaciones cuaterni´onicas. Lema 7.3.6. Sean f, g:H→Hdos aplicaciones diferenciables. Entonces, la diferencial del producto viene dada por (fg)∗λ(X) = f∗λ(X)g(λ) + f(λ)g∗λ(X). 112 II. 7 Autovalores cuaterni´onicos por la izquierda 7.3.4. Estudio topol´ogico del caso 3×3 Para matrices de orden 3, al hacer la diferencial de la funci´on caracter´ıstica 7.2.9, obtenemos de nuevo una ecuaci´on lineal que podemos discutir con el m´etodo visto en 1.5.3. Por ahora no podemos establecer una clasificaci´on completa pero el m´etodo nos permite hallar el rango de la diferencial µ∗λpara cada uno de los autovalores por la izquierda de una matriz cuaterni´onica de orden tres arbitaria. Una vez m´as estudiamos separadamente el caso en el que la matriz tenga alguna entrada nula fuera de la diagonal. Recordemos que en este caso la funci´on caracter´ıstica es continua de modo que el comportamiento es an´alogo al de las matrices 2×2. Caso polin´omico Comenzamos tomando matrices con c= 0, de modo que su funci´on caracter´ıstica µsea un polinomio de grado 3. Para este tipo de matrices podemos extender µde manera continua a la esfera S4. Proposici´on 7.3.18. La funci´on µdefinida en la Subsecci´on 7.2.4 verifica que l´ım |λ|→∞|µ(λ)|=∞. Demostraci´on. 1. Si b=h= 0, µ(λ) = (r−λ)(g−λ)(a−λ) pero l´ım |λ|→∞|r−λ|= l´ım |λ|→∞|g−λ|= l´ım |λ|→∞|a−λ|=∞. 2. Si b= 0, h 6= 0, la funci´on caracter´ıstica µ(λ)=(q−(r−λ)h−1(g−λ)) (a−λ) se extiende de manera continua a la esfera por el resultado obtenido para el caso 2 ×2 (Prop. 7.3.8) y porque l´ım |λ|→∞|a−λ|=∞. 3. Por ´ultimo, si b6= 0, la expresi´on de µes µ(λ) = p−qb−1(a−λ)−(r−λ)h−1f+ (r−λ)h−1(g−λ)b−1(a−λ) de modo que |µ(λ)| |λ|2≥|(r−λ)h−1(g−λ)b−1(a−λ)| |λ|2−|−p+qb−1(a−λ)+(r−λ)h−1f| |λ|2. Pero l´ım |λ|→∞ |(r−λ)h−1(g−λ)b−1(a−λ)| |λ|2= l´ım |λ|→∞ |r−λ| |λ||g−λ| |λ||h−1b−1||a−λ|=∞ 7.3.4 Estudio topol´ogico del caso 3 ×3 113 mientras que el l´ımite del sustraendo es cero. Por tanto, l´ım |λ|→∞ |µ(λ)| |λ|2=∞y as´ı tambi´en l´ım |λ|→∞|µ(λ)|=∞. En este caso tendremos siempre grado topol´ogico 3, por ser µun polinomio con un ´unico t´ermino de mayor grado, de modo que µ∼λ3. Linealizaci´on De nuevo, calculamos la diferencial de la funci´on caracter´ıstica para calcular su rango y poder estudiar si el 0 es o no un valor regular. Proposici´on 7.3.19. Para cualquier autovalor izquierda λde una matriz del tipo A=  a b 0 f g h p q r  ,la diferencial de su funci´on caracter´ıstica µ:H−→ Hviene dada por 1. si b, h = 0, µ∗λ(X) = −X(g−λ)(a−λ)−(r−λ)(g−λ)X−(r−λ)X(a−λ); 2. si b= 0, h 6= 0, µ∗λ(X) = Xh−1(g−λ)(a−λ)−q−(r−λ)h−1(g−λ)X+(r−λ)h−1X(a−λ); 3. en otro caso, µ∗λ(X) = qb−1−(r−λ)h−1(g−λ)b−1X +Xh−1f−(g−λ)b−1(a−λ)−(r−λ)h−1Xb−1(a−λ). La prueba es una aplicaci´on directa de las reglas de derivaci´on del producto y del inverso en el caso cuaterni´onico vistas en la secci´on 7.3.2 La expresi´on obtenida es una ecuaci´on Px+xQ+RxS = 0, cuyo rango podemos calcular seg´un el m´etodo visto en la Subsecci´on 1.5.3. Ejemplo 7.3.20. Matrices triangulares A=  a0 0 f g 0 p q r  . En general, estas matrices tienen tres autovalores distintos, todos ellos con diferencial de rango m´aximo (cuatro). Si hay dos autovalores iguales y uno distinto, 114 II. 7 Autovalores cuaterni´onicos por la izquierda la diferencial en el autovalor que se repite es id´enticamente nula y en el otro de rango m´aximo. Por ´ultimo, si todos los elementos de la diagonal fuesen iguales, la diferencial ser´ıa de rango nulo en este ´unico autovalor. Su espectro por la izquierda est´a formado por λ1=a, λ2=gyλ3=r. La funci´on caracter´ıstica es µ(λ) = (r−λ)(g−λ)(a−λ), con diferencial µ∗λ(X) = −X(g−λ)(a−λ)−(r−λ)(g−λ)X−(r−λ)X(a−λ). La diferencial en cada uno de los autovalores es o bien una traslaci´on izquierda, o bien una traslaci´on derecha, o bien una composici´on de ambas: µ∗a(X) = L(a−r)(g−a)(X), µ∗g(X) = L(g−r)◦R(a−g)(X), µ∗r(X) = L(r−g)(a−r)(X). Luego, en general, una matriz diagonal tiene tres autovalores distintos, todos ellos con diferencial de rango m´aximo. Si hay dos autovalores iguales y uno distinto, para el que se repite la diferencial es id´enticamente nula y para el otro de rango m´aximo. Por ´ultimo, si todos los elementos de la diagonal fuesen iguales, la diferencial ser´ıa de rango nulo para este ´unico autovalor. N´otese que, como se observa en este caso, a diferencia de lo que ocurre para matrices 2 ×2, no todos lo autovalores tienen por qu´e ser del mismo rango. Nota–. Los siguientes ejemplos est´an calculados usando Mathematica. Ejemplo 7.3.21. Una matriz con tres autovalores distintos, todos ellos de rango m´aximo. Sea A=  k0 0 3i−j−i i 1−2k j −j  . Su funci´on caracter´ıstica es µ(λ) = (−1−k+λi)λ(k−λ) y por tanto σl(A) = {k,0,−i−j}. La diferencial de µen cada uno de los autovalores es siempre de rango m´aximo, µ∗k(X) = (−1−i+k)X; µ∗0(X) = −(1 + k)Xk; µ∗(−i−j)(X) = −X(−1−i+j) + X(i+j+k). 7.3.4 Estudio topol´ogico del caso 3 ×3 115 Ejemplo 7.3.22. Una matriz con dos autovalores, uno de ellos de rango nulo y otro de rango m´aximo. Sea A= −i−j0 0 k−i i 1−i j −j  . Esta vez, µ(λ) = (1 + k−λi)λ(i+j+λ) de modo que σl(A) = {0,−i−j}, con multiplicidades uno y dos respectivamente. En cuanto a la diferencial, para el autovalor simple es de rango m´aximo y para λ=−i−jse anula. µ∗0(X) = (1 + k)X(i+j); µ∗(−i−j)(X) = 0. Ejemplo 7.3.23. La matriz A= −1 1 0 j0−1 1−j−1 1  . Para esta matriz, µ(λ) = −λ(2 + j) + λ3y sus autovalores son exactamente tres, λ1= 0 y λ2=−q−1 + √2−q2(−1 + √2) −(q−1 + √2)j λ3=q−1 + √2 + q2(−1 + √2) + (q−1 + √2)j La diferencial es µ∗λ(X) = X(−2−j+λ2) + λ2X+λXλ = Lλ2+R−2−j+λ2+LλRλ, que en λ1es simplemente una traslaci´on derecha, µ∗0(X) = −X(2 + j) y para λ2y λ3tiene como matriz asociada M=    5 0 −5 0 0 7 0 1 5 0 5 0 0−100    , que tambi´en es de rango m´aximo. Ejemplo 7.3.24. Sea A=  j1 0 2i−k1 2−i−2j−1−j+k−i−k  .La matriz Aes del tipo bc 6= 0 y su funci´on carcter´ıstica es µ(λ) = 2 −i−2j+ (1 + j−k)(j−λ)+(i+k−λ) (2i+ (k+λ)(j−λ)) . 116 II. 7 Autovalores cuaterni´onicos por la izquierda Se comprueba que λ= 0 es un autovalor por la izquierda de A. En este punto, la expresi´on de la diferencial es µ∗0(X) = kX+Xi+(i+k)Xjcon matriz real asociada de rango 3, M=    0−200 0 0 −2 0 0 0 0 0 2 0 −2 0    . Caso no polin´omico En el caso en el que ninguno de los elementos no diagonales se anule, la funci´on caracter´ıstica de la Prop. 7.2.9 es racional con un punto de discontinuidad, el polo λ0, de modo que no puede extenderse de manera continua a la esfera. As´ı, para poder hacer un estudio topol´ogico an´alogo al del caso polin´omico es necesario emplear la teor´ıa del grado local (v´ease, por ejemplo el libro de K. Deimling [9]). En este caso nos limitamos simplemente a dar la expresi´on de la diferencial. Proposici´on 7.3.25. Para una matriz 3×3con c6= 0 la diferencial de la la funci´on caracter´ıstica µde la Prop. 7.2.9 es µ∗λ(X) = X−p+ (r−λ)c−1(a−λ)+(q−(r−λ)c−1b)(λ0−λ)−1(f−hc−1(a−λ)) +(λ0−λ)Xc−1(a−λ)−(λ0−λ)Xc−1b(λ0−λ)−1(f−hc−1(a−λ)) −(λ0−λ)(q−(r−λ)c−1b)(λ0−λ)−1X(λ0−λ)−1(f−hc−1(a−λ)) +(λ0−λ)(r−λ)c−1−(λ0−λ)(q−(r−λ)c−1b)(λ0−λ)−1hc−1X. 7.4. Teorema de Cayley-Hamilton Discutimos a continuaci´on la posible extensi´on del teorema de Cayley-Hamilton para funciones caracter´ısticas de autovalores por la izquierda de matrices cuaterni´onicas. Para orden dos es sencillo pues se trata de un polinomio. Para n= 3, en general, µser´a una funci´on racional del tipo P(λ)−Q(λ)(λ0−λ)−1F(λ) donde P, Q, F son polinomios, definida salvo en un punto de discontinuidad λ=λ0. Comprobaremos que el teorema de Cayley-Hamilton se verifica en todos los casos. Dos son los principales problemas con los que nos encontramos. El primero, es que en el caso conmutativo, tenemos polinomios caracter´ısticos en variable compleja que se extienden de manera natural a un polinomio con una matriz como variable. Sin embargo, en el ´ambito cuaterni´onico, no hay una extensi´on obvia para una 7.4.1 Caso n= 2 117 funci´on caracter´ıstica cualquiera. Afortunadamente, hemos encontrado funciones caracter´ısticas que son polinomios o funciones racionales, que se extienden de manera natural a una aplicaci´on µ:Mn×n(H)→ Mn×n(H). El segundo problema, es que ninguna de las demostraciones conocidas para el caso conmutativo parece poder adaptarse a nuestro ´ambito, de modo que hemos tenido que probarlo directamente. Es interesante tratar de extender este teorema a Mn×n(H) pues su m´ultiples aplicaciones facilitan mucho los c´alculos de las funciones exponencial y logar´ıtmica, tan ´utiles en el ´ambito de la rob´otica [25, 83]. Por ejemplo, dada una matriz A de orden nsobre un cuerpo, el teorema de Cayley-Hamilton permite reducir un polinomio en Ade cualquier grado a un polinomio de grado menor o igual que n−1; en general, cualquier funci´on anal´ıtica puede expresarse en t´erminos de polinomios de grado menor o igual que n−1, en particular, esto se verifica para la exponencial. En principio, estas aplicaciones no se extienden al ´ambito cuaterni´onico, ya que ni siquiera tenemos una “buena expresi´on” de una serie de potencias, pero podr´ıa estudiarse c´omo extender la serie de la exponencial exp(At) ya que, en este caso, los coeficientes pueden obtenerse a partir de los autovalores de la matriz A[71]. Nota–. Para matrices 4 ×4 puede construirse de modo an´alogo una funci´on caracter´ıstica racional. En el caso de que la matriz tenga dos entradas nulas fuera de la diagonal puede probarse que esta funci´on verifica el teorema de Cayley-Hamilton. Para todos los ejemplos (arbitrarios) de matrices sin entradas nulas que hemos probado, hemos obtenido el mismo resultado pero no tenemos ninguna prueba gen´erica. 7.4.1. Caso n= 2 Hemos visto que para orden dos podemos encontrar una funci´on caracter´ıstica polin´omica µ(λ) para la cual es f´acil probar que µ(A) = 0. Teorema 7.4.1. Sea A=a b c d∈ M2×2(H)yµ(λ) = c−(d−λ)b−1(a−λ)la funci´on caracter´ıstica definida en el Teorema 7.2.6. Entonces µ(A) = 0. Demostraci´on. Tenemos que c0 0c−d−a−b −c0b−10 0b−10−b −c a −d=0 0 0 0. Nota–. Se sigue que Ac−1A=Ac−1d+ac−1A+ (b−ac−1)I, que es una generalizaci´on de la f´ormula A2= Tr(A)A−(det A)Ien el ´ambito conmutativo. 118 II. 7 Autovalores cuaterni´onicos por la izquierda 7.4.2. Orden tres. Caso polinomial Como vimos anteriormente, para n= 3, si la matriz tiene alg´un cero fuera de la diagonal, tambi´en podemos escoger la funci´on caracter´ıstica µde modo que sea un polinomio cuaterni´onico (bilateral) de grado 3. En este caso, un c´alculo directo nos muestra que se verifica el teorema de Cayley-Hamilton. Teorema 7.4.2. Sea Auna matriz cuaterni´onica 3×3con alguna entrada nula fuera de la diagonal. Entonces existe una funci´on caracter´ıstica polin´omica µtal que µ(A) = 0. Lo probaremos primero para las matrices con c= 0. Proposici´on 7.4.3. Sean A=  a b 0 f g h p q r  yµ(λ)la funci´on caracter´ıstica definida en la Subsecci´on 7.2.4. Entonces µ(A) = 0. Demostraci´on. Si b, h = 0, tomamos la f´ormula (7.5), de modo que µ(A) es   r−a0 0 −f r −g0 −p−q0    g−a0 0 −f0 0 −p−q g −r    0 0 0 −f a −g0 −p−q a −r  =  0 0 0 0 0 0 0 0 0  . Si b= 0, h6= 0, tomamos la f´ormula (7.6), y comprobamos que   r−a0 0 −f r −g−h −p−q0  h−1  g−a0 0 −f0−h −p−q(g−r)    0 0 0 −f a −g−h −p−q a −r  = q  0 0 0 −f a −g−h −p−q a −r  , es decir, (rI −A)h−1(gI −A)(aI −A) = q(aI −A), por tanto µ(A) = 0. Si b6= 0, tenemos que Sdet(A−λI) = Sdet   0 0 b f−(g−λ)b−1(a−λ)h g −λ p−qb−1(a−λ)r−λ q  , de manera que, por el Lema 1.2.4, estamos en el caso 2 ×2. 7.4.2 Orden tres. Caso polinomial 119 En primer lugar, asumamos que h= 0 y tomemos µ(λ) = (r−λ)f−(g−λ)b−1(a−λ). Comprobamos que   r−a−b0 −f r −g0 −p−q0    g−a−b0 −f0 0 −p−q g −r  b−1  0−b0 −f a −g0 −p−q a −r  =   r−a−b0 −f r −g0 −p−q0  f, esto es, (rI −A)(gI −A)b−1(aI −A)=(rI −A)f, por tanto, µ(A) = 0. Por otro lado, si h6= 0 tomamos (7.10) µ(λ) = p−qb−1(a−λ)−(r−λ)h−1f−(g−λ)b−1(a−λ), calculamos pI −qb−1(aI −A)−(rI −A)h−1f=   p−(r−a)h−1f q +bh−1f0 qb1f+fh−1f p −qb−1(a−g)−(r−g)h−1f qb−1h+f qb−1p+ph−1f qb−1q+qh−1f p −qb−1(a−r)   y comprobamos que es igual a −  r−a−b0 −f r −g−h −p−q0  h−1  g−a−b0 −f0−h −p−q g −r  b−1  0−b0 −f a −g−h −p−q a −r  = −(rI −A)h−1(gI −A)b−1(aI −A), luego µ(A) = 0. Lema 7.4.4. Sea Auna matriz cuaterni´onica tal que µ(A) = 0 para alg´un polinomio cuaterni´onico µ(λ). Sea B=PAP−1, con Puna matriz real. Entonces µ(B)=0. Demostraci´on. Basta observar que si ν(λ) = q1λq2λ···qkλqk+1 es un monomio, entonces ν(B) = Pν(A)P−1. 120 II. 7 Autovalores cuaterni´onicos por la izquierda N´otese que se verifica el mismo resultado cuando µ(λ) es una funci´on racional. Permutando consecutivamente filas y columnas, se deduce el Teorema 7.4.2. Ejemplo 7.4.5. Consideremos la matriz A=  1i i i j k 0−1j  . Es similar v´ıa una matriz real a   j−1 0 k j i i i 1  , cuya funci´on caracter´ıstica viene dada por la funci´on (7.10), es decir, µ(λ) = i+i(j−λ) + (1 −λ)ik+ (j−λ)2. Entonces se verifica la siguiente ecuaci´on: AiA2=AiAj+AkA+iA2−iAj+A(i+j)−(i+k)A+ (k−j)I. 7.4.3. Orden tres. Caso no polinomial Cuando todas las entradas fuera de la diagonal son no nulas, la funci´on caracter´ıstica es una funci´on racional con un polo (ver Proposici´on 7.2.9). Podemos extenderla de manera natural al espacio de matrices como sigue. Sea λ0=g−hc−1bel polo de A. Sean f0=f−hc−1(a−λ0), q0=q−(r−λ0)c−1b. Lema 7.4.6. La matriz λ0I−Aes inversible si y solo si f0, q06= 0. Demostraci´on. Por la Proposici´on 7.2.7, Sdet(λ0I−A) = |c|·|q0f0|. Definici´on 7.4.7. De acuerdo con la Proposici´on 7.2.9, definimos µ:Mn×n(H)→ Mn×n(H) como sigue: 1. si λ0I−Bno es inversible, entonces µ(B) = q0f0I; 2. en otro caso, µ(B) = (λ0I−B)pI −(rI −B)c−1(aI −B)− qI −(rI −B)c−1b(λ0−B)−1fI −hc−1(aI −B). Proposici´on 7.4.8. La aplicaci´on µde la Definici´on 7.4.7 satisface el teorema de Cayley-Hamilton, es decir, µ(A) = 0. 7.4.3 Orden tres. Caso no polinomial 121 Demostraci´on. Si λ0I−Ano es inversible, entonces, µ(A) = q0f0I= 0 por el Lema 7.4.6. En otro caso basta probar que (7.11) pI −(rI −A)c−1(aI −A) es igual a (7.12) qI −(rI −A)c−1b(λ0I−A)−1fI −hc−1(aI −A). Lema 7.4.9. Un c´alculo directo muestra que el primer t´ermino (7.11) es igual a     −bc−1f−q+ (r−a)c−1b+bc−1(a−g). . . (r−g)c−1f−hc−1p p −fc−1b−hc−1q−(r−g)c−1(a−g). . . −qc−1f−pc−1b+qc−1(a−g). . . . . .−bc−1h . . .−f+ (r−g)c−1h+hc−1(a−r) . . .−qc−1h    . Calculemos ahora el t´ermino (7.12). Comenzamos calculando (λ0I−A)−1por eliminaci´on Gaussiana. Sea P1=  1 0 0 0 1 0 c−1(λ0−a) 0 1  , P2=  1 0 0 0 1 0 0−c−1b1  . Entonces (7.13) (λ0I−A)P1P2=  0 0 −c −f00−h −p0−q0λ0−r  , donde p0=p−(λ0−r)c−1(λ0−a). La inversa de la matriz (λ0I−A)P1P2en (7.13) es B=  f−1 0hc−1−f−1 00 −q−1 0p0f−1 0hc−1+ (λ0−r)c−1q−1 0p0f−1 0−q−1 0 −c−10 0  .