Valoración de opcións americanas con tipos de interese negativos: Aplicacións a opcións reais

T aballo Fin de G ao
Valo ación de opcións ame icanas
con ipos de in e ese nega i os.
Aplicacións a opcións eais.
Abel Ál a ez González
2020/2021
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO DE MATEMÁTICAS
T aballo Fin de G ao
Valo ación de opcións ame icanas
con ipos de in e ese nega i os.
Aplicacións a opcións eais.
Abel Ál a ez González
2020/2021
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
T aballo p opos o
Á ea de Coñecemen o: Ma emá ica Aplicada
Tí ulo: Valo ación de opcións ame icanas con ipos de in e -
ese nega i os. Aplicacións a opcións eais.
B e e desc ición do con ido
No con ex o das axas de in e ese nega i as, as opcións nancei as
con posibilidade de exe cicio an icipado (opcións ame icanas) o ixi-
nan unha exión de exe cicio que sepa a dúas exións de man emen o
de opcións. Nes e TFG, pa indo dos modelos máis clásicos de opcións
ame icanas, e isa anse os esul ados exis en es no caso de axas ne-
ga i as e aplica ase a esolución numé ica dos modelos. Po ou a
banda, es uda anse p oblemas de opcións eais, que admi en o mu-
lacións simila es ás das opcións ame icanas con axas nega i as.
Recomendacións
Ou as obse acións
iii

Índice xe al
Resumo
ii
In odución
ix
1. Os P oduc os Financei os 1
1.1. OpciónsAme icanas ............................... 3
1.2. P és amosdeOu o................................ 3
2. Análise dos Modelos Ma emá icos 5
2.1. P esenza de Tipos Nega i os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Opción Ame icana de Venda con Tipos Nega i os . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Opción Ame icana de Comp a con Tipos Nega i os . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. P és amosdeOu o................................ 20
3. Mé odos Numé icos pa a Opcións Ame icanas 23
3.1. Disc e ización de Tempo e Subxacen e: Eule Implíci o . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Resolución do P oblema da Opción de Venda Ame icana . . . . . . . . . . . 26
3.3. Resolución do P oblema da Opción de Comp a Ame icana . . . . . . . . . . 27
3.4. Resul adosNumé icos .............................. 28
4. Conclusión 31
Anexo: P og amas pa a a Resolución de P oblemas de Valo ación de Op-
cións 33
Bibliog a ía 49
Resumo
As opcións ame icanas con ipo de in e ese nega i o baixo ce as condicións dan luga á
apa ición dunha dob e exión de con inuación non es ánda e, debido a es o, es udiamos as
p opiedades da dob e on ei a lib e que sepa a a dob e exión de con inuación e a exión
de exe cicio. A súa ez, es udamos os mé odos numé icos necesa ios pa a a esolución de
p oblemas de alo ación de opcións e emos algunhas aplicacións eais que es es p oblemas
poden e .
Abs ac
Ame ican op ions wi h nega i e in e es a e unde ce ain condi ions de e mine he
p esence o a nons anda double con inua ion egion and, because o his, we s udy he p o-
pe ies o he double ee bounda y ha sepa a es he double con inua ion egion and he
exe cise egion. Mo eo e , we s udy he nume ical me hods necessa y o sol ing ame ican
op ion alua ion p oblems and we also see some eal aplica ions o his ype o p oblems.
ii
4
CAPÍTULO 1. OS PRODUCTOS FINANCEIROS
Nun p és amo de ou o, o p es a a io ecibe na da a da  ma do con a o a can idade do
p és amo, usando unha unidade de masa de ou o como ga an ía, que debe á se en egada
ao p es ado . Es a can idade c ece debido a axa do p és amo es ipulada no con a o.
Polo an o, a can idade a eembolsa o p és amo no u u o usualmen e é maio . Cando o
p es a a io de ol e o p és amo, o p es ado ecibe o ou o de ol a e o con a o ema a.

Capí ulo 2
Análise dos Modelos Ma emá icos
Nes e capí ulo aba ca emos as análises dos modelos ma emá icos das opcións de comp a
e enda con ipos de in e ese nega i os, an o pa a as opcións con madu ez ni a como
pa a as opcións pe pé uas. Ademáis, analiza emos unha opción eal, o p és amo de ou o.
2.1. P esenza de Tipos Nega i os
Nes a sección explícanse di e en es concep os ma emá icos elacionados coas nanzas
con especial én asis nos ipos de in e ese nega i os.
P oceso es ocás ico
Un p oceso es ocás ico,
W
, é unha colección de a iables alea o ias,
W
,
∈I
denidas
sob e o espazo da mos a
Ω
.
Se
I
é ni o,
W
chamase p oceso es ocás ico nun empo disc e o. Se
I
é un in e alo,
W
chamase p oceso es ocás ico en empo con inuo.
Pa a cada
∈I
,
W ={W (ω), ω ∈Ω}
é unha a iable alea o ia.
Pa a cada suceso
ω∈Ω, Wω={W (ω), ∈I}
denomínase axec o ia do p oceso
W
.
Mo emen o B owniano
Un mo emen o b owniano é un p oceso es ocás ico en empo con inuo que e ica as
seguin es p opiedades:
W0= 0
5
6
CAPÍTULO 2. ANÁLISE DOS MODELOS MATEMÁTICOS
Ten inc emen os independen es, é dici :
W 2−W 1, W 3−W 2, ..., W n−W n−1
, son a iables alea o ias independen es pa a odo
0≤ 1< 2< ... < n, i∈I
Pa a cada
≥s≥0, W −Ws∈N(0, −s)
.
Mo emen o B owniano Xeomé ico
Un dos p incipais modelos emp egados pa a ep esen a os mo emen os dos p ezos dun
ac i o suxacen e,
X
, é o b owniano xeomé ico, que e ica a seguin e ecuación di e encial
es ocás ica:
dX =µX d +σX dW ,
(2.1)
donde
dW
é o inc emen o dun mo emen o b owniano es ánda ,
µ
é a endencia e
σ
deno a
a ola ilidade.
Pa a esol e a ecuación di e encial es ocás ica an e io denimos o no o p oceso
Y =ln X
X0.
(2.2)
Aplicando o Lema de I ô pa a a unción
F( , y) = ln(y)
ob emos a ecuación di e encial
es ocás ica pa a
Y
:
dY =µ−1
2σ2d +σdW ,
e in eg ando:
Y = (µ−1
2σ2) +σW ,
(2.3)
Ago a endo en con a as exp esións (2.2) e (2.3) ense que a solución da ecuación
di e encial es ocás ica é:
X =X0e(µ−1
2σ2) +σW
(2.4)
Lema de I ô
A con inuación eco damos o Lema de I ô. [3]
Lema 2.1.
Lema de I ô.
Sexa
(x, )
unha unción
C2
inni amen e di e enciable das a iables
x
e
. Se supoñemos
que o p oceso
{x , ≥0}
sa is ai a ecuación di e encial es ocás ica:
dx =µ(x , )d +σ(x , )dW ,
2.1. PRESENZA DE TIPOS NEGATIVOS
7
onde
W
é un mo emen o b owniano.
En onces a ecuación di e encial es ocás ica pa a o p oceso
= (x , )
én dada po
d =∂
∂x(x , )dx +∂
∂ +1
2σ2∂2
∂x2(x , )d ,
(2.5)
ou equi alen emen e
d =∂
∂ +1
2σ2∂2
∂x2+µ∂
∂x(x , )d +σ∂
∂x(x , )dW ,
(2.6)
Es e lema é unha iden idade u ilizada no cálculo de I ô pa a encon a a di e encial
dunha unción dependen e dun p oceso es ocás ico. Es a ó mula é unha e sión es ocás ica
da egla da cadena do cálculo di e encial usual.
Es e lema u ilízase pa a ob e a ecuación de Black-Scholes.
Figu a 2.1: Kiyoshi I ô (1915-2008)
Deno ando
X
é o p oceso de p ezos do ac i o subxacen e de ipo b owniano xeomé-
ico,
V
é o p oceso de p ezos dunha opción eu opea e
T
a da a de encemen o ( empo
de madu ez) da opción. Supoñemos que
V = (X , )
, donde
é unha unción de dúas
a iables sucien emen e de i able nas condicións do Lema de I ô en ón aplicando écnicas
de cobe u a dinámica a unción
e ica a ecuación de Black-Scholes que indicamos a
con inuación.
Denición 2.2.
(Ecuación de Black-Scholes).
A ecuación de Black-Scholes é a seguin e ecuación di e encial pa cial pa abólica pa a o
alo da opción
= (x, )
denida pa a
x > 0, ∈[0, T]
.
∂
∂ +1
2σ2x2∂2
∂x2+ρx∂
∂x −ρ = 0
(2.7)
Es a ecuación de Black-Scholes é u ilizada en ma emá ica nancei a pa a de e mina
o alo dunha opción eu opea de comp a ou enda.
8
CAPÍTULO 2. ANÁLISE DOS MODELOS MATEMÁTICOS
2.2. Opción Ame icana de Venda con Tipos Nega i os
Nes a sección cen a émonos na opción pu ame icana con ipo de in e ese nega i o
e e emos as condicións que le an a apa ición dunha dob e exión de con inuación non
es ánda e es uda emos as p opiedades de exis encia, mono onía, con inuidade, lími es e o
compo amen o ce ca da madu ez da dob e on ei a lib e que sepa a a exión de exe cicio
da dob e exión de con inuación. As ideas des e capí ulo seguen as liñas p incipais do
es udo ealizado en [2].
Conside amos a opción pu ame icana sob e un ac i o
X
que segue o b owniano xeo-
mé ico, cuxa endencia baixo medida de p obabilidade eal deno amos con
µ
. Deno amos
a ola ilidade con
σ
, o p ezo do exe cicio con
K
e a axa de in e ese con
ρ
. O alo da
opción pu no momen o
es á dado po
= ( , X ) = ess sup
τ∈[ ,T ]
E[e−ρ(τ− )(K−Xτ)+|Fτ],
ou equi alen emen e
= ( , X ) = sup
θ∈[0,T − ]
E[e−ρθ(K−xθ·exp((µ−σ2
2)θ+σWθ))+],
(2.8)
donde
W
segue unha dis ibución b owniana baixo a medida de p obabilidade eal. As
espe anzas e as dis ibucións de p ocesos es ocás icos an e e encia a medida de p obabi-
lidade eal e, po cues ións de simplicidade, omi i emos a dependencia sob e a medida de
p obabilidade. Se a opción é pe pe ua (unha opción con empo de encemen o inni o), o
seu alo non depende do empo e en dado po :
∞(x ) = sup
0≤θ
E[e−ρθ(K−xθ·exp((µ−σ2
2)θ+σWθ))+].
Sen e en con a o signo de
ρ
, a unción
en (2.8) domina a unción de pago, é con exa
e dec ece con espec o a
x
, é dec ecen e con espec o a
e é dominada pola pu pe pe ua
∞
, polo an o,
(K−x)+≤ ( , x)≤ ( , 0) ≤ ∞(x)pa a odo ∈[0, T]e x ≥0.
(2.9)
2.2. OPCIÓN AMERICANA DE VENDA CON TIPOS NEGATIVOS
9
Figu a 2.2: Valo da Opción Pu Ame icana
( , ·)
(línea g osa) e o pago de exe cicio
inmedia o (línea na) con p ezo de exe cicio
k= 1
,
ρ≥0
e madu ez ni a.
Figu a 2.3: Valo da Opción Pu Ame icana
( , ·)
(línea g osa) e o pago de exe cicio
inmedia o (línea na) con p ezo de exe cicio
k= 1
,
ρ < 0
e madu ez ni a.
Es as p opiedades in e ac úan co signo de
ρ
pa a de e mina a o ma da on ei a lib e
e a es uc u a xeomé ica da exión de exe cicio. Máis p ecisamen e, se
ρ≥0
, pa a
calque a
< T
, emos que
( , 0) = sup0≤θ≤T− E[e−ρθ(K−0)+] = (K−0)+.
Desde que
( , x)
coincide pa a
x= 0
co exe cicio inmedia o do pago, a con exidade e (2.9) implican

10
CAPÍTULO 2. ANÁLISE DOS MODELOS MATEMÁTICOS
que
( , x)>(K−x)+
pa a odo
x > 0
( éxase a línea g osa e con inua da Figu a 2.2)
ou
( , x) = (K−x)+
pa a calque a
x
pe encen e aos in e alos cuxos ex emos son 0 e
x∗( ) = sup(x≥0 : ( , x) = K−x)≤K
( éxase a línea g osa da Figu a 2.2). O alo de
x∗( )
é o único p ezo c í ico da opción pu con axa de in e ese non nega i a. Is o é ce o
pa a unha g an can idade de p ocesos de di usión con axas de in e ese non nega i as.
Pola con a, se
ρ < 0
, en ón o alo da opción ame icana pa a
x= 0
domina es ic-
amen e ao exe cicio inmedia o do pago, xa que,
( , 0) = sup0≤θ≤T− E[e−ρθ(K−0)+] =
e−ρ·(T− )·K > K.
Polo an o, ou ben o exe cicio empe án nunca é óp imo na da a
, é
dici ,
( , x)>(K−x)+
pa a odo
x > 0
( éxase na liña g osa e con inua da gu a 2.3), ou
ben o exe cicio é óp imo no empo pa a algunhas
x0∈(0, K)
, é dici ,
(K−x0)+= ( , x0)
( éxase na liña g osa da gu a 2.3). Se
x'
ose única, en ón a exión de exe cicio colapsa
nun só pun o (a on ei a lib e no empo
). Si
x
' non é única, en ón po con exidade e
(2.9) a exión de exe cicio no empo
es á cons i uida po un segmen o conec ado denido
polos ex emos
l( )≤u( )∈[0, K]
donde
l( ) = ´ın (x≥0 : ( , x)=(K−x)+),
(2.10)
u( ) = sup(x≥0 : ( , x)=(K−x)+)∧K,
(2.11)
ales que
( , x) = (K−x)+
pa a
l( )≤x≤u( )
, e
( , x)>(K−x)+
pa a
x < l( )
e
x>u( )
. Is o implica que a exión de con inuación no empo
se sepa a en dous
segmen os. O exe cicio posponse op imamen e non só cando a opción é insucien e no
diñei o (
x > u( )
), senón que amén cando a opción é excesi a no diñei o (
x < l( )
).
Na exión onde o diñei o é excesi o o alo da opción pu ame icana dec ece con maio
penden e que o pago inmedia o da pu , é dici ,
(∂
∂x )( , x)<−1
( éxase a gu a 2.3). Pola
con a, se
ρ≥0
, a de i ada
(∂
∂x )( , x)≥ −1
pa a odo
x
. Polo an o, se a exión de exe cicio
é non acía na da a
, é a nega i idade da axa de in e ese a que modica a es uc u a
xeomé ica usual.
Os supos os (2.14) e (2.15) na P oposición 2.4 son condicións sucien es pa a que a
exión de exe cicio sexa non acía no caso pe pe uo e, en consecuencia, no caso de madu ez
ni a pa a calque a da a
. En pa icula o supos o (2.14) implica que a endabilidade po
di idendo
δ=ρ−µ
é nega i a. Polo an o, a nega i idade an o de
ρ
como de
µ
é c ucial
pa a de e mina a p esencia da exión de dob e con inuación. Ce amen e, a exión de
con inuación non pode se cons i uida po máis de dous segmen os non conec ados, po que
a con exidade da unción
( , ·)
debe descansa encima da unción de pago
(K−·)+
.
Deno emos con
ER ={( , x)∈[0, T]×[0,+∞] : ( , x) = (K−x)+}
a exión de
exe cicio empe á, e con
CR ={( , x)∈[0, T]×[0,+∞] : ( , x)>(K−x)+}
a exión
de con inuación. A unción
en (2.8) pode se exp esada como a solución dun sis ema de
2.2. OPCIÓN AMERICANA DE VENDA CON TIPOS NEGATIVOS
11
desigualdades di e enciais:
∂
∂ +L −ρ ≤0en (0, T)×R+,
( , x)≥π(x), x > 0, ∈[0, T],
∂
∂ +L −ρ ·( ( , x)−π(x)) = 0 x > 0, ∈[0, T]







(2.12)
coa condición nal
(T, x) = π(x), x > 0
(2.13)
donde
π(x) = (K−x)+
, e o ope ado di e encial en dado po
(L )( , x) = 1
2σ2x2·∂2
∂x2( , x) + µx∂
∂x( , x)
. Cando a axa de in e ese é non nega i a, sábese que (2.12) admi e unha solución inni-
amen e di e enciable. Se a axa de in e ese é nega i a pódese chega á mesma conclusión,
como se demos as incluida no a igo [2] na seguin e p oposición.
P oposición 2.3.
[2]
(Di e enciabilidade Inni a do Valo da Opción Pu , , con
Taxa de In e ese Nega i a).
A solución de
(2.12)
admi e de i adas pa ciales
∂
∂ ,∂
∂x ,∂2
∂x2
que es án localmen e aco ada
en
[0, T)×R+
. Ademais pa a cúmp ese que
∂
∂x
é con inua en
[0, T)×R+
.
No caso da opción pe pe ua, a dob e on ei a lib e pode se explici amen e calculada
esol endo a ecuación di e encial implicada po (2.12) na exión de con inuación e aplican-
do o impo an e p incipio "smoo h-pas ing"na on ei a lib e. O esul ado equi e unha
e icación ad hoc di ec a, po que
∞
con a én os eque imen os usuais de aco amen o.
Po supos o, cando
ρ < 0
e
x= 0
, o empo de exe cicio óp imo é
θ∗= +∞
, e o alo da
opción ame icana é
∞=E[e−ρθ∗(K−0)+]=+∞
.
P oposición 2.4.
[2]
(Opción Pu Pe pe ua con Taxa de In e ese Nega i a).
Si
T= +∞
,
ρ < 0, µ −σ2
2>0,
(2.14)
e
(µ−σ2
2)2+ 2ρσ2>0,
(2.15)
en ón o alo da opción pu ame icana pe pe ua é
∞=






Al·xξl, x ∈(0, l∞),
K−x, x ∈[l∞, u∞],
Au·xξu, x ∈(u∞,+∞),
(2.16)
12
CAPÍTULO 2. ANÁLISE DOS MODELOS MATEMÁTICOS
donde
ξu< ξl
son as solucións nega i as da ecuación
1
2σ2ξ2+ (µ−σ2
2)ξ−ρ= 0.
(2.17)
Os p ezos c í icos dos ac i os ( on ei as lib es) son
l∞=Kξl
ξl−1e u∞=Kξu
ξu−1
(2.18)
e as cons an es
Al
e
Au
eñen dadas po
Al=−(l∞)1−ξl
ξl
e Au=−(u∞)1−ξu
ξu
.
(2.19)
Dada unha axa de in e ese nega i a
ρ < 0
, a condición da de i ada posi i a (2.14) e
a condición do disc iminan e posi i o (2.15) ga an en a exis encia de solucións (nega i as)
da ecuación (2.17) e desca an o e ec o explosi o po encial dunha axa de in e ese nega i a
na unción do alo da opción pu . Se a axa de in e ese é nega i a, o i ula da opción
pode ob e unhas ganancias espe adas inni as pospoñendo indenidamen e o exe cicio da
opción.Es e incen i o de demo a inni a pode se con a es ado po unha opo unidade
signican e de que a opción se aia quedando sen diñei o a medida que o empo ansco e.
Es e é o caso en que a axa de c ecemen o do ac i o subxacen e
X
é sucien emen e g ande
compa ada co alo absolu o da axa de in e ese nega i o, como se indica na condición
(2.15):
|ρ|<(µ−σ2
2)2
(2σ2)
.
A unción
∞
denida en (2.16) en as seguin es p opiedades na exión de con inuación:
é dec ecen e, domina a unción de pago inmedia o, e o p oceso
{ ∞(X )e−ρ }
é unha
ma ingala local. A condición (2.15) amén po encia a supe ma ingalidade do p oceso
{ ∞(X )e−ρ }
na exión de exe cicio empe á.
A con inuación, na Figu a 2.4, mós ase a g áca dunha opción pu pe pe ua. A liña
descon inua ep esen a á unción de pago men es que a liña sólida ep esen a o alo da
opción. Ademais podemos ap ecia a dob e on ei a lib e ma cada con ombos.
2.2. OPCIÓN AMERICANA DE VENDA CON TIPOS NEGATIVOS
13
Figu a 2.4: O Valo da Opción Pu Pe pe ua con
ρ=−1 %, K = 1, σ = 15 %, µ = 4 %
Se emos unha madu ez ni a e unha axa de in e ese nega i a, o Teo ema 2.5 p o-
po ciona unha desc ipción p ecisa da exión de dob e con inuación, que es á sepa ada da
exión de exe cicio empe á po unha dob e on ei a lib e. A on ei a lib e supe io dis-
u a de odas as p opiedades que en no caso es ánda de axa de in e ese non nega i a:
é c ecen e e con inua, e ende ao p ezo de exe cicio na da a de encemen o. A on ei a
lib e in e io é dec ecen e en odas pa es e con inua en odas pa es excep o na da a de
encemen o, onde p esen a unha descon inuidade.
Teo ema 2.5.
[2]
(Rexión de Con inuación e Ca ac e ización da F on ei a Lib e
con Madu ez Fini a e Taxa de In e ese Nega i a).
Si se sa is an as condicións
(2.14)
e
(2.15)
, en ón pa a calque a
∈[0, T)
, exis e
u( )
e
l( )
ales que
ρK
ρ−µ≤l( )< u( )≤K,
(2.20)
donde
(K−x)+= ( , x)
pa a calque a
x∈[l( ), u( )]
e
(K−x)+< ( , x)
pa a calque a
x /∈[l( ), u( )]
.
A on ei a lib e in e io
l: [0, T]→[0, l∞)
é dec ecen e, con inua pa a calque a
∈[0, T), l(T−) = ρK
ρ−µ> l(T)=0
.
A on ei a lib e supe io
u: [0, T]→(u∞, K]
é c ecen e, con inua pa a calque a
∈[0, T], e u(T) = u(T−) = K
.
A exión de exe cicio empe á é
ER ={( , x)∈[0, T]×[0,+∞] : l( )≤x≤u( )}
,ea
exión de dob e con inuación é
CR ={( , x)∈[0, T]×[0,+∞]:0≤x<l( )ou
x>u( )}, donde {( , l( )); ( , u( )) : ∈[0, T]}
é a dob e on ei a lib e.
20
CAPÍTULO 2. ANÁLISE DOS MODELOS MATEMÁTICOS
é
N−1(e−(µ−ρ)(T− ))−N−1(eρ(T− ))≥σ√T− ,
que pode se ob ida aplicando a sime ía
pu -call á condición necesa ia pa a o exe cicio empe án das opcións pu da P oposición
2.7.
2.4. P és amos de Ou o
Os p és amos ga an izados expe imen a on un g an c ecemen o dende a c ise nancei-
a. Os bonos do esou o e as accións son as ga an ías máis acep adas polas ins i ucións
nancei as, pe o nos úl imos anos o uso do ou o como ga an ía es á c ecendo en odo o
mundo. As p incipais emp esas nancei as non banca ias de India como Mu hoo Finance
e Manappu am Finance o on bas an e ac i os en p és amos con ga an ías de ou o. Os
p és amos de ou o enden a e empos de madu ez cu os e di e enciais bas an e al os
( axa de p és amo menos axa lib e de isco), aínda que sexan signica i amen e in e io
aos p és amos sen ga an ía. A opción de p epago é común, pe mi indo a edención do ou-
o en calque a momen o an es da da a de encemen o. Des acamos que os p és amos de
ou o di en no ablemen e dos p és amos de bolsa, po que o ou o é un ac i o de in es i-
men o negociable con cus os de almacenamen o / segu os e sen ganancias. Es o pódenos
le a a polí icas de edención pa icula es que cons i ui án unha aplicación in e esan e dos
esul ados dados na P oposición 2.9 e nos Teo emas 2.10 e 2.11.
Nun p és amo de ou o, o p es a a io ecibe no empo
= 0
(da a da  ma do con a o)
a can idade do p és amo
q > 0
, usando unha unidade de masa de ou o como ga an ía, que
debe á se en egada ao p es ado . Es a can idade c ece a unha elocidade
γ
, donde
γ
é
a axa do p és amo (maio a axa lib e de isco
) es ipulada no con a o. Polo an o, o
cus o de eembolsa o p és amo no empo
én dado po
qeγ
. Cando o p es a a io de ol e
o p és amo, ecibe o ou o de ol a e o con a o ema a. Podemos asumi que os cus os de
almacenamen o e segu os das ese as de ou o son
G c > 0
po unidade de empo, onde
G
é o p oceso do p ezo do ou o ao con ado no empo
. Supo emos dinámicas de ipo
b owniano xeomé ico pa a o p oceso
G
baixo a medida de p obabilidade de isco neu o
Q
de modo que se e ica a ecuación di e encial es acás ica
dG
G
= ( +c)d +σdW ,
onde
é a axa sin isco cons an e,
σ
a ola ilidade das de olucións do ou o e W un
mo emen o b owniano baixo a medida de isco neu al
Q
. Dada unha da a de encemen o
T
, o alo da opción de edención no empo
= 0
é
C(0, G0) = sup
0≤τ≤T
EQ[e− τ (Gτ−qeγτ )+] = sup
0≤τ≤T
EQ[e−( −γ)τ(Xτ−q)+],

2.4. PRÉSTAMOS DE OURO
21
onde
X =G e−γ
é o p ezo do ou o descon ado pola axa
γ
. En onces, o alo inicial da
opción de edención do p és amos de ou o é o alo inicial dunha opción call ame icana en
(2.22) sob e o alo subxacen e
X
, o cal segue unha dis ibución no mal loga í mica, con
pa áme os
ρ= −γ < 0, µ = +c−γ e K =q
.
Consecuen emen e, o alo da opción de edención en calque a da a
∈[0, T]
pode
se calculado como
C( , G ) = ( , X )
, con
denida en (2.22). A po cen axe de almace-
namen o e os cus os de segu o
c
son posi i os e no malmen e po debaixo do di e encial
γ− > 0
. Así, xamos
ρ < µ < 0
. Ago a, se as condicións (2.23) e (2.24) se cump en, é
dici ,
−γ < −γ+c < −σ2
2<0e
(2.27)
( −γ+c−σ2
2)2+ 2σ2( −γ)>0,
(2.28)
pa a o caso pe pe uo apa ece unha dob e exión de non edención, como imos na P o-
posición 2.9. G acias a es a mesma p oposición podemos calcula as on ei as lib es cons-
an es pe pe uas
l∞
e
u∞
en e mos do p oceso do p ezo do ou o descon ado
X =G e−γ
.
A súa ez median e o Teo ema 2.11, pa a os con a os con madu ez ni a, podemos ob e
unha ap oximación asin ó ica das dob es on ei as lib es ce ca da da a de encemen o.
Usualmen e pa a os p és amos de ou o, as da as de encemen o
T
es án ce ca dos 36
meses. As axas de p és amo no malmen e oscilan en e o
12 %
e o
16 %
pa a os ban-
cos e en e o
12 %
e o
24 %
pa a as ins i ucións nancei as especializadas, men es que
o endemen o dos í ulos do gobe no indio a cu o p azo es i o ondando o
8 %
. A o-
la ilidade his ó ica, exp esada en upias indias, do cambio dia io no exis o do p ezo
do ou o oi do
21,4 %
, segundo da os do Consello Mundial do Ou o. Os cus os medios
de almacenamen o e segu o do ou o son ap oximadamen e do
2 %
. Polo an o, xando
= 8 %, c = 2 %, γ = 17 % e σ = 21,4 %
, cúmp ense as condicións (6.1) e (6.2). Se
supoñemos ago a que
q= 1
, na seguin e gu a e emos a opción pe pe ua pa a es e caso
eal, o p és amo de ou o. Na gu a amén pod emos ap ecia a dob e exión de non eden-
ción, a on ei a lib e cons an e in e io
l∞= 1,70
e a on ei a lib e cons an e supe io
u∞= 2,64
.
22
CAPÍTULO 2. ANÁLISE DOS MODELOS MATEMÁTICOS
Figu a 2.6: O Valo da Opción de Redención Pe pe ua do P és amo de Ou o con
q= 1, = 8 %, c = 2 %, γ = 17 % e σ = 21,4 %
Como podemos e , as opcións pu e call ame icanas con ipo de in e ese nega i o eñen
aplicacións no mundo eal á ho a de alo a di e en es ipos de opcións, como po exemplo,
a opción de edención do p és amo de ou o, ou amén, dis in as opcións de in e sión de
capi al (in e sión en plan as nuclea es). Pa e dos exemplos explicados nes e capí ulo o on
ex aídos de [2].
Capí ulo 3
Mé odos Numé icos pa a Opcións
Ame icanas
Ao longo des e capí ulo expóñense os mé odos numé icos u ilizados pa a a esolución
dos p oblemas de alo ación de opcións ame icanas.
3.1. Disc e ización de Tempo e Subxacen e: Eule Implíci o
Pa a esol e di os p oblemas u iliza emos o mé odo de di e enzas ni as. Empezamos
po desc ibi a esolución numé ica da ecuación de Black-Scholes con condicións de con o no
pa a opcións eu opeas.
Disc e ización do P oblema Pu Eu opeo
O p imei o paso pa a a u ilización des e mé odo consis e en es ablece un dominio
aco ado.Ago a, pa a un alo sucien emen e g ande
x∞
, emos a unción
e( , x)
, denida
nun dominio
D= [0, T]×[0, x∞]
, al que:
∂ e
∂ +1
2σ2x2∂2 e
∂x2+ (ρ−µ)x∂ e
∂x −ρ e= 0 en D,
(3.1)
e(T, x) = m´ax(K−x, 0), x > 0,
(3.2)
e( , x∞) = 0, ∈[0, T]
(3.3)
e( , 0) = Ke−ρ(T− ), ∈[0, T]
(3.4)
23
24
CAPÍTULO 3. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA OPCIÓNS AMERICANAS
Unha ez xado o dominio aco ado, conside a emos un en eixado con di e enzas ni as
uni o mes, cunha me odoloxía que ex ende emos aos pasos das a iables empo e espazo.
Po is o, pa a os núme os na u ais
N > 1
e
M > 1
, os pasos cons an es do empo e espazo
eñen denidos po
∆ =T
N+ 1,∆x=x∞
M+ 1,
polo an o, o en eixado de di e enzas ni as es á denido po unha se ie de nodos
( j, xi)=(j∆ , i∆x), j = 0, ..., N + 1; i= 0, ..., M + 1.
No esquema Eule implíci o de di e enzas ni as, as de i adas que apa ecen na ecuación
(3.1) son ap oximadas nos nodos do en eixado de di e enzas ni as así:
∂2 e
∂x2( j, xi)≈ e( j, xi+1)−2 e( j, xi) + e( j, xi−1)
∆x2,
∂ e
∂x ( j, xi)≈ e( j, xi+1)− e( j, xi)
∆x,
∂ e
∂ ( j, xi)≈ e( j+1, xi)− e( j, xi)
∆ .
(3.5)
Polo an o, eesc ibindo a ecuación (3.1) no pun o
( j, xi)
pa a
j= 1, ..., N;i=
1, ..., M
, ob emos
e( j+1, xi)− e( j, xi)
∆ +1
2σ2x2
i
e( j, xi+1)−2 e( j, xi) + e( j, xi−1)
∆x2
i
+
+ (ρ−µ)xi
e( j, xi+1)− e( j, xi)
∆x−ρ e( j, xi)≈0.
Despois ag upando a esque da os e mos no empo
j
, conseguimos
(1 + ∆ ρ +∆ σ2x2
i
∆x2+∆ (ρ−µ)xi
∆x) e( j, xi)−∆ σ2x2
i
2∆x2 e( j, xi−1)+
+ (−∆ σ2x2
i
2∆x2−∆ (ρ−µ)xi
∆x) e( j, xi+1)≈ e( j+1, xi).
Despois, denimos as ap oximacións
e(j,i)≈ e( j, xi)
como os alo es que e ican
exac amen e as iden idades ap oximadas an e io es. Así, pa a cada
j
ob emos o sis ema
lineal de ecuacións
−∆ σ2x2
i
2∆x2 e(j,i−1) + (1 + ∆ ρ +∆ σ2x2
i
∆x2+∆ (ρ−µ)xi
∆x) e(j,i)+
+ (−∆ σ2x2
i
2∆x2−∆ (ρ−µ)xi
∆x) e(j,i+1) = e(j+1,i).
3.1. DISCRETIZACIÓN DE TEMPO E SUBXACENTE: EULER IMPLÍCITO
25
Ago a, no esquema de ma cha a ás no empo, o sis ema de ecuacións ob ido pa a
i= 1, ..., M
é esol o ecu en emen e pa a
j=N, N −1, ..., 1,0
empezando pola condición
nal.
e(N+1,i)= e(T, xi)
pa a odo
i= 1, ..., M + 1.
Ademais, pa a cada
j
, emos as seguin es condicións de on ei a dadas po (3.3) e
(3.4):
e(j,M+1) = e( j, x∞), e(j,0) = e( j,0).
Po an o a cada paso
j=N, N −1, ..., 1,0
debe emos esol e o sis ema lineal idia-
gonal
A ej =sj
(3.6)
donde os coecien es que non son ce o da ma iz idiagonal A eñen dados po
Ai,i = 1 + c+ax2
i+dxi, Ai,i+1 =−bx2
i−dxi, Ai+1,i =−bx2
i,
onde
A1,1= 1, AM+1,M+1 = 1, A1,2= 0, AM+1,M = 0
e os e mos cons an es son:
a=∆ σ2
∆x2, b =∆ σ2
2∆x2, c = ∆ ρ, d =∆ (ρ−µ)
∆x.
Ademais,
ej
e
sj
do sis ema (3.6) eñen dados po :
ej = ( e(j,0), e(j,1), ..., e(j,M), e(j,M+1)) ,
sj= (Ke−ρ(T− ), e(j+1,1), ..., e(j+1,M),0),
Pa a un cálculo máis de allado do cálculo da ma iz A e os ec o es
ej
e
sj
, consul a
[1].
O sis ema (3.6) é equi alen e ao seguin e p oblema de op imización sin es iccións:
1
2 T
ejA ej − T
ejsj= m´ın
y∈Rn(1
2yTAy −yTsj).
(3.7)
Disc e ización do P oblema Call Eu opeo
Ago a, ao igual que pa a a opción pu , esol emos o p oblema de alo ación da opción
call eu opea median e o mé odo de di e enzas ni as.

26
CAPÍTULO 3. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA OPCIÓNS AMERICANAS
Polo an o, pa a un alo sucien emen e g ande
x∞
, emos a unción
e( , x)
, denida
nun dominio
D= [0, T]×[0, x∞]
, al que:
∂ e
∂ +1
2σ2x2∂2 e
∂x2+ (ρ−µ)x∂ e
∂x −ρ e= 0 en D,
(3.8)
e(T, x) = m´ax(x−K, 0), x > 0,
(3.9)
e( , x∞) = x∞exp(−µ(T− )) −Kexp(−ρ∗(T− )), ∈[0, T]
(3.10)
e( , 0) = 0, ∈[0, T]
(3.11)
Ago a ao igual que pa a a opción pu u iliza emos o esquema Eule implíci o de di e-
encias ni as median e o cal ob e emos o sis ema de ecuacións:
A ej =sj
(3.12)
donde a ma iz A é a mesma que pa a a opción pu e
ej
e
sj
son ales que:
ej = ( e(j,0), e(j,1), ..., e(j,M), e(j,M+1)) ,
sj= (0, e(j+1,1), ..., e(j+1,M), x∞·e−µ(T− )−K·e−ρ(T− )),
O sis ema de ecuacións (3.12) e equi alen e ao seguin e p oblema de op imización:
1
2 T
ejA ej − T
ejsj= m´ın
y∈Rn(1
2yTAy −yTsj).
(3.13)
3.2. Resolución do P oblema da Opción de Venda Ame icana
Pa a esol e o p oblema de alo ación da opción pu ame icana ex apola emos os
esul ados ob idos:
Debe emos esol e o p oblema
L( ) = ∂
∂ +1
2σ2x2∂2
∂x2+ (ρ−µ)x∂
∂x −ρ = 0 en D,
(3.14)
( , x)≥m´ax(K−x, 0), en D,
(3.15)
L( )·( −m´ax(K−x, 0)) = 0, en D.
(3.16)
3.3. RESOLUCIÓN DO PROBLEMA DA OPCIÓN DE COMPRA AMERICANA
27
e pa a is o son necesa ios mé odos numé icos pa a ap oxima a solución.
P imei o aplica emos o esquema Eule implíci o de di e enzas ni as. Polo an o, pa a
cada
j=N, N −1, ..., 1,0,
conside amos
j≈ ( j,·)
e icando
j+1 − j
∆ +σ2x2
2 00
j+ (ρ−µ)x 0
j−ρ j≤0
(3.17)
j≥gj
(3.18)
( j+1 − j
∆ +σ2x2
2 00
j+ (ρ−µ)x 0
j−ρ j)( j−gj) = 0,
(3.19)
donde
gj= m´ax(K−x, 0)
deno a o p ezo de exe cicio no empo
j
, o cal non depende
de
j
.
Se conside amos a mesma disc e ización de di e enzas ni as no espazo que pa a a
opción pu Eu opea, ob emos o seguin e p oblema de complemen a iedade
A¯ j≥sj,¯ j≥¯gj,(A¯ j−sj)T( ¯ j−¯gj) = 0,
(3.20)
onde a ma iz
A
e o ec o
sj
son os mesmos que pa a as opcións Eu opeas, e
¯gj
deno a
o ec o da unción
gj
nos nodos de di e enzas ni as. O p oblema (3.20) é equi alen e ao
seguin e p oblema de p og amación con desigualdades como es iccións:
1
2¯ jTA¯ j−¯ jTsj= m´ın
y≥¯gj
(1
2yTAy −yTsj).
(3.21)
Es e úl imo p oblema de p og amación con desigualdades esol e émolo median e o
mé odo de elaxación p oxección. Pa a máis de alle e [5].
3.3. Resolución do P oblema da Opción de Comp a Ame i-
cana
Pa a con inua , ex apola emos os esul ados ob idos pa a esol e o p oblema de a-
lo ación das opcións call ame icanas:
Debe emos esol e o p oblema
L( ) = ∂
∂ +1
2σ2x2∂2
∂x2+ (ρ−µ)x∂
∂x −ρ = 0 en D,
(3.22)
( , x)≥m´ax(x−K, 0), en D,
(3.23)
28
CAPÍTULO 3. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA OPCIÓNS AMERICANAS
L( )·( −m´ax(x−K, 0)) = 0, en D.
(3.24)
e pa a is o son necesa ios mé odos numé icos pa a ap oxima a solución.
Ago a, seguindo o mesmo p oceso que pa a a opción pu , aplica emos o esquema Eule
implíci o de di e encias ni as conside ando a mesma disc e ización que pa a a opción
eu opea pa a ob e o seguin e p oblema de complemen a iedade
A¯ j≥sj,¯ j≥¯gj,(A¯ j−sj)T( ¯ j−¯gj)=0,
(3.25)
onde
gj= m´ax(x−K, 0)
deno a o p ezo de exe cicio no empo
j
, o cal non depende
de
j
, a ma iz
A
e o ec o
sj
son os mesmos que pa a as opcións Eu opeas, e
¯gj
deno a
o ec o da unción
gj
nos nodos de di e enzas ni as. O p oblema (3.25) é equi alen e ao
seguin e p oblema de p og amación con desigualdades como es iccións:
1
2¯ jTA¯ j−¯ jTsj= m´ın
y≥¯gj
(1
2yTAy −yTsj).
(3.26)
Es e úl imo p oblema de p og amación con desigualdades esol e émolo median e o
mé odo de elaxación p oxección. Pódese e con mayo de alle en [5].
3.4. Resul ados Numé icos
Nes a úl ima sección do capí ulo mós anse esul ados numé icos de p oblemas de a-
lo ación de opcións ame icanas ob idos median e o emp ego dos mé odos mencionados
an e io men e a a és do so wa e ma emá ico Ma lab ( e p og amas en Anexo).
A con inuación ilús anse unhas g ácas nas que se ecollen o alo dunha opción
ame icana de enda (Figu a 3.1) e o alo dunha opción ame icana de comp a (Figu a 3.2)
con madu ez ni a (da a de encemen o
T= 2
) ob ida u ilizando os mé odos numé icos
es udiados con
M= 799
e
N= 63900 ∗2
, sendo
N
o núme o de pasos en empo e
M
o
núme o de pasos no subxacen e.
3.4. RESULTADOS NUMÉRICOS
29
Figu a 3.1: O Valo da Opción Pu con
T= 2, σ = 15 %, ρ =−1 %, µ = 4 %,
K= 1, N = 63900 ∗2e M = 799
Figu a 3.2: O Valo da Opción Call con
T= 2, σ = 21,4 %, ρ =−9 %, µ =−7 %,
K= 1, N = 63900 ∗2e M = 799
Nas dúas g ácas des a úl ima sección ( an o pa a as opcións ame icanas de enda
como pa a as de comp a) o eixo x co esponde ao alo do ac i o subxacen e
x
e o eixo
y co esponde ao alo da opción
( , x)
. Ademáis no cálculo de odas elas poden exis i
e os de ap oximación de i ados do en eixado de empo e subxacen e.
36
ANEXO: PROGRAMAS PARA A RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VALORACIÓN DE OPCIÓNS
mu=inpu ('ing ese mu');
M=inpu ('ing ese M');
x_in y=4*K;
del ax=x_in y/(M+1);
x=0:del ax:x_in y;
[chil,chiu] = chi(sigma,mu, ho);
[l_in y,u_in y] = pbounda y(K,chil,chiu);
[Al,Au] = A(l_in y,u_in y,chil,chiu);
i ( ho<0) && ((mu-(sigma^(2)/2))>0) && (((mu-(sigma^(2)/2)))^(2)+2* ho*sigma^(2)>0)
[ _in ] = _in y(K,Al,Au,chil,chiu,l_in y,u_in y,x);
plo (x, _in ,'k',xlabel('x'),ylabel('Valo da Pu Pe pe ua'))
axis([0 2 0 2])
hold on
payo = max(K-x,0);
plo (x,payo ,':k')
plo (u_in y,K-u_in y,'dk','Ma ke Size',5)
plo (l_in y,K-l_in y,'dk','Ma ke Size',5)
hold o
else
disp('Non se pode ga an i a exis encia')
end

37
Opción Pu Eu opea
K=inpu ('ing ese K');
sigma=inpu ('ing ese sigma');
ho=inpu ('ing ese ho');
mu=inpu ('ing ese mu');
T=inpu ('ing ese T');
N=inpu ('ing ese N');
M=inpu ('ing ese M');
x_in y=4*K;
del a =T/(N+1);
del ax=x_in y/(M+1);
=0:del a :T;
x=0:del ax:x_in y;
a=(del a *(sigma^2))/(del ax^2);
b=(del a *(sigma^2))/(2*(del ax^2));
c=del a * ho;
d=(del a *( ho-mu))/(del ax);
aa=(1+c+a*x.^2+d*x).*ones(1,M+2);
cc=(-b*x(1:leng h(x)-1).^2-d*x(1:leng h(x)-1)).*ones(1,M+1);
bb=(-b*x(2:leng h(x)).^2).*ones(1,M+1);
aa(1)=1;
aa(M+2)=1;
cc(1)=0;
bb(M+1)=0;
A = diag(aa) + diag(cc, 1) + diag(bb, -1);
Tx=max(K-x,0);
= anspose( Tx);
s=ze os(1,M+2);
S=ze os(M+2,1);
V=ze os(M+2,1);
o j=N:-1:1
s=[K*exp(- ho*(T- (j))); (2:1:leng h( )-1);0];
38
ANEXO: PROGRAMAS PARA A RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VALORACIÓN DE OPCIÓNS
S=[s,S];
=in (A)*s;
V=[ ,V];
end
S(:,N+1)=[];
S= anspose(S);
V(:,N+1)=[];
V= anspose(V);
plo (x, ,'k',xlabel('x'),ylabel('Valo da Pu Pe pe ua'))
hold on
plo (x, Tx,':k')
hold o
Opción Pu Ame icana
K=inpu ('ing ese K');
sigma=inpu ('ing ese sigma');
ho=inpu ('ing ese ho');
mu=inpu ('ing ese mu');
T=inpu ('ing ese T');
N=inpu ('ing ese N');
M=inpu ('ing ese M');
omega=0.5;
x_in y=4*K;
del a =T/(N+1);
del ax=x_in y/(M+1);
=0:del a :T;
x=0:del ax:x_in y;
a=(omega*del a *(sigma^2))/(del ax^2);
b=(omega*del a *(sigma^2))/(2*(del ax^2));
c=omega*del a * ho;
d=(omega*del a *( ho-mu))/(del ax);
ad=((1-omega)*del a *(sigma^2))/(del ax^2);
39
bd=((1-omega)*del a *(sigma^2))/(2*(del ax^2));
cd=(1-omega)*del a * ho;
dd=((1-omega)*del a *( ho-mu))/(del ax);
max_i e _ el = 1000;
x2 = x.*x;
coe =(1- ho*del a *(1-omega))/(1+ ho*del a *omega);
e o _max=inpu ('ing ese e o _max');
s ep_plo =inpu ('ing ese s ep_plo ');
aa=(1+c+a*x2+d*x).*ones(1,M+2);
cc=(-b*x2(1:leng h(x)-1)-d*x(1:leng h(x)-1)).*ones(1,M+1);
bb=(-b*x2(2:leng h(x))).*ones(1,M+1);
aa(1)=1;
aa(M+2)=1;
cc(1)=0;
bb(M+1)=0;
A = diag(aa) + diag(cc, 1) + diag(bb, -1);
aaa=(1-cd-ad*x2-dd*x).*ones(1,M+2);
ccc=(bd*x2(1:leng h(x)-1)+dd*x(1:leng h(x)-1)).*ones(1,M+1);
bbb=(bd*x2(2:leng h(x))).*ones(1,M+1);
k=max(K-x,0);
_min= k;
num_plo =1;
% Imp esion de la g a ica que mues a la condicion inal.
i (s ep_plo > 0)
plo (x, k);
cad = sp in ('Opción ame icana de en a con di idendos con inuos.
DF. I e : %d',num_plo );
i le(cad);
xlabel('X');
cad = sp in ('Valo cuando T - es: % ',T - );
ylabel(cad);
d awnow;
40
ANEXO: PROGRAMAS PARA A RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VALORACIÓN DE OPCIÓNS
hold on
end
s=ze os(1,M+2);
num_plo = num_plo + 1;
o j=1:1:N+1
s=ze os(1,M+2);
%s(2:M+1)= k(2:M+1);
s(2:M+1) =aaa(2:M+1).* k(2:M+1) + bbb(1:M).* k(1:M) + ccc(2:M+1).* k(3:M+2);
%s(1) =K*exp(- ho*(T- ((N+2)-j)));
s(1)= coe * k(1);
s(M+2) = 0;
[ k,i e ] = RelajacionP oyeccion(bb,aa,cc,s, _min,max_i e _ el,e o _max);
Imp esion de las g a icas con la solucion pa a cada momen o de iempo.
i (s ep_plo > 0) && ( em(num_plo ,s ep_plo ) == 0)
plo (x, k);
cad = sp in ('Opción ame icana de en a con di idendos con inuos.
DF. I e : %d',num_plo );
i le(cad);
xlabel('X');
cad = sp in ('Valo cuando T - es: % ',T - );
ylabel(cad);
axis([0 1.2 0 1.2])
d awnow;
hold on
end
num_plo = num_plo + 1;
end
% Imp esion del esul ado inal.
plo (x, k);
cad = sp in ('Opción ame icana de en a con di idendos con inuos. DF. Fin.');
i le(cad);
41
xlabel('X');
cad = sp in ('Valo cuando T - es: % ',T);
ylabel(cad);
axis([0 2 0 2])
hold on
d awnow;
hold o
Opción Call Pe pe ua
Función chi:
unc ion [chil,chiu] = chi(sigma,mu, ho)
chil = (-mu/(sigma^2))+0.5+sq (0.25+((2* ho-mu)/(sigma^2))+((mu^2)/(sigma^4)));
chiu = (-mu/(sigma^2))+0.5-sq (0.25+((2* ho-mu)/(sigma^2))+((mu^2)/(sigma^4)));
end
Función pbounda y:
unc ion [l_in y,u_in y] = pbounda y(K,chil,chiu)
l_in y = K*(chil/(chil-1));
u_in y = K*(chiu/(chiu-1));
end
Función A:
unc ion [Al,Au] = Acall(l_in y,u_in y,chil,chiu)
Al = (((l_in y)^(1-chil))/chil);
Au = (((u_in y)^(1-chiu))/chiu);
end
Función _in y:
unc ion [ _in ] = _in ycall(K,Al,Au,chil,chiu,l_in y,u_in y,x)
1=Al.*x.^(chil);
2=x-K;
3=Au.*x.^(chiu);
_in = 1.*((x>0)&(x<l_in y))+ 2.*((x>=l_in y)&(x<=u_in y))+ 3.*(x>u_in y);
end

42
ANEXO: PROGRAMAS PARA A RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VALORACIÓN DE OPCIÓNS
P og ama p incipal:
%Pe pe ual Call Op ion
K=1;
sigma=0.15;
ho=-0.05;
mu=-0.04;
M=639;
%K=inpu ('ing ese K');
%sigma=inpu ('ing ese sigma');
% ho=inpu ('ing ese ho');
%mu=inpu ('ing ese mu');
%M=inpu ('ing ese M');
x_in y=4*K;
del ax=x_in y/(M+1);
x=0:del ax:x_in y;
[chil,chiu] = chi(sigma,mu, ho);
[l_in y,u_in y] = pbounda y(K,chil,chiu);
[Al,Au] = Acall(l_in y,u_in y,chil,chiu);
i ((-(sigma^(2)/2))<0) && (mu<(-(sigma^(2)/2)))
&& ( ho<mu) && (((mu-(sigma^(2)/2)))^(2)+2* ho*sigma^(2)>0)
[ _in ] = _in ycall(K,Al,Au,chil,chiu,l_in y,u_in y,x);
plo (x, _in ,'k',xlabel('x'),ylabel('Valo da Pu Pe pe ua'))
axis([0 4 0 4])
hold on
payo = max(x-K,0);
plo (x,payo ,':k')
43
plo (u_in y,u_in y-K,'dk','Ma ke Size',5)
plo (l_in y,l_in y-K,'dk','Ma ke Size',5)
hold o
else
disp('Non se pode ga an i a exis encia')
end
Opción Call Eu opea
K=inpu ('ing ese K');
sigma=inpu ('ing ese sigma');
ho=inpu ('ing ese ho');
mu=inpu ('ing ese mu');
T=inpu ('ing ese T');
N=inpu ('ing ese N');
M=inpu ('ing ese M');
x_in y=4*K;
del a =T/(N+1);
del ax=x_in y/(M+1);
=0:del a :T;
x=0:del ax:x_in y;
a=(del a *(sigma^2))/(del ax^2);
b=(del a *(sigma^2))/(2*(del ax^2));
c=del a * ho;
d=(del a *( ho-mu))/(del ax);
aa=(1+c+a*x.^2+d*x).*ones(1,M+2);
cc=(-b*x(1:leng h(x)-1).^2-d*x(1:leng h(x)-1)).*ones(1,M+1);
bb=(-b*x(2:leng h(x)).^2).*ones(1,M+1);
aa(1)=1;
aa(M+2)=1;
cc(1)=0;
bb(M+1)=0;
A = diag(aa) + diag(cc, 1) + diag(bb, -1);
44
ANEXO: PROGRAMAS PARA A RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VALORACIÓN DE OPCIÓNS
Tx=max(x-K,0);
= anspose( Tx);
s=ze os(1,M+2);
S=ze os(M+2,1);
V=ze os(M+2,1);
o j=N:-1:1
s=[0; (2:1:leng h( )-1);x_in y.*exp(-mu.*(T- (j))) - K.*exp(- ho*(T- (j)))];
S=[s,S];
=in (A)*s;
V=[ ,V];
end
S(:,N+1)=[];
S= anspose(S);
V(:,N+1)=[];
V= anspose(V);
plo (x, ,'k',xlabel('x'),ylabel('Valo da Pu Pe pe ua'))
axis([0 4 0 4])
hold on
plo (x, Tx,':k')
hold o
Opción Call Ame icana
K=inpu ('ing ese K');
sigma=inpu ('ing ese sigma');
ho=inpu ('ing ese ho');
mu=inpu ('ing ese mu');
T=inpu ('ing ese T');
N=inpu ('ing ese N');
M=inpu ('ing ese M');
omega=0.5;
x_in y=4*K;
del a =T/(N+1);
45
del ax=x_in y/(M+1);
=0:del a :T;
x=0:del ax:x_in y;
a=(omega*del a *(sigma^2))/(del ax^2);
b=(omega*del a *(sigma^2))/(2*(del ax^2));
c=omega*del a * ho;
d=(omega*del a *( ho-mu))/(del ax);
ad=((1-omega)*del a *(sigma^2))/(del ax^2);
bd=((1-omega)*del a *(sigma^2))/(2*(del ax^2));
cd=(1-omega)*del a * ho;
dd=((1-omega)*del a *( ho-mu))/(del ax);
max_i e _ el = 1000;
x2 = x.*x;
coe =(1- ho*del a *(1-omega))/(1+ ho*del a *omega);
e o _max=inpu ('ing ese e o _max');
s ep_plo =inpu ('ing ese s ep_plo ');
aa=(1+c+a*x2+d*x).*ones(1,M+2);
cc=(-b*x2(1:leng h(x)-1)-d*x(1:leng h(x)-1)).*ones(1,M+1);
bb=(-b*x2(2:leng h(x))).*ones(1,M+1);
aa(1)=1;
aa(M+2)=1;
cc(1)=0;
bb(M+1)=0;
A = diag(aa) + diag(cc, 1) + diag(bb, -1);
aaa=(1-cd-ad*x2-dd*x).*ones(1,M+2);
ccc=(bd*x2(1:leng h(x)-1)+dd*x(1:leng h(x)-1)).*ones(1,M+1);
bbb=(bd*x2(2:leng h(x))).*ones(1,M+1);
k=max(x-K,0);
_min= k;
num_plo =1;
% Imp esion de la g a ica que mues a la condicion inal.
i (s ep_plo > 0)