Unha introdución á Topoloxía dos espazos euclidianos

TOPOLOXÍA DOS ESPAZOS EUCLIDIANOS
José An onio Oubiña Galiñanes e Ma ía Elena Vázquez Abal
Es a é unha e sión imp imible das p esen acións u ilizadas pa a impa i as clases
exposi i as da ma e ia “Topoloxía dos Espazos Euclidianos” no p imei o cu so do
G ao de Ma emá icas da Uni e sidade de San iago de Compos ela en 2022.
Con idos
1 Os espazos euclidianos
2 A opoloxía do espazo euclidiano
3 Con e xencia e comple ude
4 Con inuidade
5 Conexión
6 Compacidade
Bibliog a ía
1 Díaz Ramos, J.C., Topoloxía dos espazos euclidianos. Mine a, USC, 2021.
h p://hdl.handle.ne /10347/25150
2 Masa Vázquez, X.M., Cu so de opoloxía: dos núme os eais ao G upo de
Poinca é. USC Edi o a. Manuais. USC, 2020.
1. Os espazos euclidianos
1.1 NOTACIÓN
Reco damos as no acións pa a os conxun os
N={1,2,3, . . . }dos núme os na u ais,
Zdos núme os en ei os,
Qdos núme os acionais,
Rdos núme os eais.
En pa icula , Ré un co po o denado que en a p opiedade a quimediana,
eQé denso en R.
Deno a emos R+={x∈R|x > 0}.
1.2 (O espazo euclidiano ndimensional )
Oespazo euclidiano de dimensión n(ou ndimensional) é o conxun o
Rn=R×(n)
. . . ×R={x= (x1, . . . , xn)|xi∈R, i = 1, . . . , n}.
A súa es u u a na u al de espazo ec o ial sob e o co po Res á dada polas ope acións de
suma en Rne p odu o po escala es eais:
Rn×Rn+
−→ Rn
(x,y)7−→ x+y= (x1+y1,...,xn+yn),
R×Rn·
−→ Rn
(λ, x)7−→ λ·x= (λx1,...,λxn),
(x+y) + z=x+ (y+z),
x+y=y+x,
0= (0,(n)
. . ., 0) é o elemen o neu o pa a +,
o elemen o opos o de xé−x= (−x1,...,−xn),
λ(x+y) = λx+λy,
(λ+µ)x=λx+µx,
λ·(µ·x) = (λµ)·x,
1·x=x,
onde x= (x1,...,xn),y= (y1,...,yn),z= (z1,...,zn)∈Rn,λ, µ ∈R.
J.A.O.G. & M.E.V.A.
1.3 DEFINICIÓN (O PRODUTO ESCALAR EUCLIDIANO)
Op odu o escala euclidiano en Rné a aplicación
h,i:Rn×Rn−→ R
(x,y)7−→ hx,yi=
n
X
i=1
xiyi=x1y1+···+xnyn.
1.4 PROPIEDADES (DO PRODUTO ESCALAR)
(a) É unha aplicación bilineal: ∀x,y,z∈Rn,∀λ∈R,
hx+y,zi=hx,zi+hy,zi,
hx,y+zi=hx,yi+hx,zi,
hλ·x,yi=λhx,yi=hx, λ ·yi.
(b) É unha aplicación simé ica:
hx,yi=hy,xi ∀ x,y∈Rn.
(c) É unha aplicación de inida posi i a:
hx,xi ≥ 0∀x∈Rn;hx,xi= 0 ⇐⇒ x=0.
(a) hλ·x, µ ·yi=λµhx,yi,∀x,y∈Rn,∀λ, µ ∈R,
(c) hx,xi>0,∀x∈Rn,x6=0.
1.5 TEOREMA (Desigualdade de CAUCHYSCHWARZ)
Pa a cada x,y∈Rn, ense
hx,yi2≤ hx,xihy,yi,
n
X
i=1
xiyi2
≤n
X
i=1
x2
in
X
i=1
y2
i,∀x1, . . . , xn, y1, . . . , yn∈R.
DEMOSTRACIÓN
Se x=0ou y=0, a desigualdade e i ícase de manei a i ial: 0≤0. Podemos
supoñe que x6=0,y6=0. Ago a, pa a calque a λ∈R, ense
0≤ hx+λy,x+λyi=hx+λy,xi+hx+λy, λ yi
=hx,xi+hλy,xi+hx, λ yi+hλy, λ yi
=hx,xi+ 2λhx,yi+λ2hy,yi.
Se conside amos
λ=−hx,yi
hy,yi∈R,
en ón
0≤ hx,xi−2hx,yi2
hy,yi+hx,yi2
hy,yi2hy,yi
=hx,xi− hx,yi2
hy,yi,
e ao mul iplica os dous memb os da desigualdade po o núme o eal posi i o
hy,yi, ob ense
0≤ hx,xihy,yi−hx,yi2,
equi alen emen e,
hx,yi2≤ hx,xihy,yi.

1.6 DEFINICIÓN (A NORMA EUCLIDIANA)
Ano ma euclidiana en Rné a aplicación
k k :Rn−→ R
x7−→ kxk=hx,xi1/2 =qx2
1+···+x2
n.
A desigualdade de CauchySchwa z ago a pódese esc ibi
|hx,yi| ≤ kxkkyk.
1.7 PROPIEDADES (DA NORMA)
∀x,y∈Rn,∀λ∈R,
(1) kxk ≥ 0;kxk= 0 ⇐⇒ x=0,
(2) kλxk=|λ|kxk, (homoxeneidade)
(3) kx+yk ≤ kxk+kyk, (desigualdade de MINKOWSKI).
DEMOSTRACIÓN
Imos usa as p opiedades (a)(c) do p odu o escala , e a desigualdade de Minkowski ai se
consecuencia da desigualdade de CauchySchwa z.
(1) kxk=√hx,xi ≥ 0;
kxk= 0 ⇐⇒ √hx,xi= 0 ⇐⇒ hx,xi= 0 ⇐⇒
(c) x=0.
(2) kλxk=√hλx, λ xi=
(a) √λ2hx,xi=√λ2hx,xi1/2 =|λ|kxk.
(3) kx+yk2=hx+y,x+yi=
(a) hx,x+yi+hy,x+yi
kx+yk2=
(a) hx,xi+hx,yi+hy,xi+hy,yi=kxk2+kyk2+ 2hx,yi
kx+yk2≤
(CS) kxk2+kyk2+ 2 kxkkyk= (kxk+kyk)2
kx+yk2kx+yk ≤ kxk+kyk.
1.8 DEFINICIÓN (A DISTANCIA EUCLIDIANA)
Adis ancia euclidiana en Rné a aplicación
d:Rn×Rn−→ R
(x,y)7−→ d(x,y) = p(x1−y1)2+···+ (xn−yn)2,
e dise que d(x,y)é a dis ancia en e os pun os x,y∈Rn.
1.9 PROPIEDADES (DA DISTANCIA)
∀x,y,z∈Rn,
(I) d(x,y)≥0;d(x,y) = 0 ⇐⇒ x=y,
(II) d(x,y) = d(y,x), (sime ía)
(III) d(x,y)≤d(x,z) + d(z,y), (desigualdade iangula ).
DEMOSTRACIÓN
Imos p obalo como consecuencia das p opiedades (1)(3) da no ma. En pa icula , a
desigualdade iangula séguese da desigualdade de Minkowski.
(I) d(x,y) = kx−yk ≥
(1) 0;
d(x,y) = 0 ⇐⇒ kx−yk= 0 ⇐⇒
(1) x−y=0⇐⇒ x=y.
(II) d(x,y) = kx−yk=
(2) k(−1)(x−y)k=ky−xk=d(y,x).
(III) d(x,y) = kx−yk=k(x−z)+(z−y)k
d(x,y)≤
(3) kx−zk+kz−yk=d(x,z) + d(z,y).
1.10 DEFINICIÓNS (BÓLAS ABERTAS, BÓLAS PECHADAS)
Sexan x∈Rn, ∈R+.
Abóla abe a en Rnde cen o xe aio é o conxun o
BRn(x, ) = B(x, ) := {y∈Rn|d(x,y)< }.
Abóla pechada en Rnde cen o xe aio é o conxun o
BRn[x, ] = B[x, ] := {y∈Rn|d(x,y)≤ }.
1.11 OBSERVACIÓNS
Se x∈Rn, en ón kxk=d(x,0).
Se x∈Rn, , s ∈R+, < s, en ón
B(x, )⊂B[x, ]⊂B(x, s)⊂B[x, s].
Caso n= 1.
Se x∈R, en ón kxk=√x2=|x|;
pa a cada x, y ∈R, é d(x, y) = |x−y|.
Se x∈R, ∈R+, en ón
B(x, ) = (x− , x + ),B[x, ]=[x− , x + ].
Se a, b ∈R, a < b, en ón os in e alos abe os (a, b)e[a, b]son
(a, b) = (x− , x + ),[a, b]=[x− , x + ],
onde
x=a+b
2, =x−a=b−x=b−a
2.
1.12 DEFINICIÓN (CONXUNTO ACOUTADO)
Se A⊂Rn, dise que Aé un conxun o acou ado se exis en x0∈Rn, 0∈R+, ales
que A⊂B(x0, 0).
1.13 PROPOSICIÓN (Ca ac e izacións dos conxun os acou ados)
Se A⊂Rn, as seguin es condicións son equi alen es:
(i) Aé acou ado,
(ii) ∃ ∈R+A⊂B(0, ),
(iii) ∃M∈R+kxk ≤ M∀x∈A.
DEMOSTRACIÓN
(i)⇒(ii) Aacou ado ∃x0∈Rn, 0∈R+A⊂B(x0, 0).
Se x∈A, pola desigualdade iangula da dis ancia,
d(x,0)≤d(x,x0) + d(x0,0)< 0+kx0k,
así que = 0+kx0k>0é al que A⊂B(0, ).
(ii)⇒(iii) x∈Akxk=d(x,0)<
(ii)⇒(iii) xyzz M= ∈R+é al que kxk ≤ M∀x∈A.
(iii)⇒(i) Se omamos x0=0, en ón 0=M+ 1 é al que
x∈A d(x,0) = kxk ≤ M < M + 1 x∈B(0, M + 1),
logo, se poñemos 0=M+ 1, ense que A⊂B(0, 0), conque Aé acou ado.
1.14 CUESTIÓN
¿É o conxun o balei o ∅un conxun o acou ado?
Pechados
2.9 DEFINICIÓN (CONXUNTO PECHADO)
Se F⊂Rn, dise que Fé un conxun o pechado en Rnse o seu complemen a io
RnFé abe o en Rn.
2.10 OBSERVACIÓN
As p opiedades de se abe os e de se pechados non son excluín es: un conxun o pode se
abe o e pechado á ez, e pode non se nin abe o nin pechado.
2.11 TEOREMA (P opiedades undamen ais dos conxun os pechados)
(i)∅é pechado en Rn.
(ii)Rné pechado en Rn.
(iii)A in e sección de calque a amilia de pechados en Rné un pechado en Rn.
(i )A unión ini a de pechados en Rné un pechado en Rn.
DEMOSTRACIÓN
(i)∅é pechado en Rnpo que Rn∅=Rné abe o.
(ii)Rné pechado en Rnpo que RnRn=∅é abe o.
(iii) Se {Fi}i∈Ié unha amilia de pechados en Rn, po unha das leis de De Mo gan,
Rn
i∈I
Fi=[
i∈I
(RnFi)
é abe o en Rnpo se unión de abe os, logo Ti∈IFié pechado.
(i )Se F1, . . . , Fkson pechados en Rn, en ón F1∪... ∪Fké pechado, xa que o seu
complemen a io é in e sección ini a de abe os:
Rn(F1∪... ∪Fk) = (RnF1)∩... ∩(RnFk).

2.12 PROPOSICIÓN
Toda bóla pechada en Rné un conxun o pechado.
DEMOSTRACIÓN
Sexan x0∈Rn, 0∈R+, e conside emos a bóla pechada F=B[x0, 0]. Debemos
comp oba que RnFé abe o, así que omamos x∈RnFe imos e que é o
cen o dunha bóla abe a con ida en RnF.
Se x∈RnF, en ón d(x0,x)> 0, e ense que se =d(x0,x)− 0, en ón
B(x, )⊂RnF, xa que
y∈B(x, )d(x0,x)≤d(x0,y) + d(y,x)< d(x0,y) +
d(x0, y)> d(x0,x)− = 0
y/∈B[x0, 0]y∈RnB[x0, 0].AAAAAAAAAAA 
2.13 EXEMPLO
Calque a in e alo pechado de núme os eais [a, b]é un pechado en R.
Os in e alos [a, +∞)e(−∞, b] amén son pechados en R.
2.14 OBSERVACIÓN
A unión dunha amilia a bi a ia de pechados pode non se un pechado. Po
exemplo, {[a, +∞)}a∈R+é unha amilia de pechados en R, pe o a súa unión
[
a∈R+
[a, +∞) = (0,+∞)
non é pechado en R.
Topoloxía ela i a
2.15 DEFINICIÓN
Sexa X⊂Rn. Se x∈Xe ∈R+, a bóla abe a en X(ou bóla abe a ela i a
aX) de cen o xe aio é o conxun o
BX(x, ) := {y∈X|d(x,y)< }=BRn(x, )∩X.
2.16 DEFINICIÓN (ABERTO RELATIVO)
Se U⊂X⊂Rn, dise que Uéabe o en X(ou abe o ela i o de X) se
∀x∈U∃ ∈R+BX(x, )⊂U.
2.17 PROPOSICIÓN
Se U⊂X⊂Rn, en ón
Ué abe o en X⇐⇒ ∃ Vabe o en RnU=V∩X.
DEMOSTRACIÓN
⇒Uabe o en X∀x∈U∃ x∈R+BX(x, x)⊂U.
O conxun o V=Sx∈UBRn(x, x)é abe o en Rn, e ense:
V∩X=[
x∈U
BRn(x, x)∩X=[
x∈UBRn(x, x)∩X=[
x∈U
BX(x, x) = U.
⇐Supoñemos U=V∩X, onde Vé abe o en Rn. En ón
AAAx∈Ux∈VVab o en Rn∃ ∈R+|BRn(x, )⊂V
∃ ∈R+|BX(x, ) = BRn(x, )∩X⊂V∩X=U,
logo ∀x∈U∃ ∈R+BX(x, )⊂U, así que Ué abe o en X.
2.18 DEFINICIÓN (PECHADO RELATIVO)
Se F⊂X⊂Rn, dise que Fépechado en X(ou pechado ela i o de X) se
XFé abe o en X.
2.19 PROPOSICIÓN
Se F⊂X⊂Rn, en ón
Fé pechado en X⇐⇒ ∃ Gpechado en RnF=G∩X.
DEMOSTRACIÓN
⇒Fé pechado en X XFé abe o en X
Fé pechado en X∃Vabe o en RnXF=V∩X
Fé pechado en XF=X(V∩X) = (RnV)∩X
Fé pechado en X F =X(V∩X)=G∩X, G =RnVpechado en X.
⇐F=G∩X, G pechado en RnXF=X(G∩X)
F=G∩X, G pechado en RnXF;= (RnG)∩X,RnGabe o en Rn
F=G∩X, G pechado enRnXFabe o en X
F=G∩X, G pechado enRnFpechado en X.
2.20 NOTA
Se C⊂X⊂RneUé abe o en X, en ón U∩Cé abe o en C, xa que
Uabe o en X∃Vabe o en RnU=V∩X
U∩C= (V∩X)∩C=V∩(X∩C) = V∩C
U∩Cé abe o en C.
Analogamen e, a in e sección de calque a pechado en Xcon un subconxun o C
de Xé un pechado en C.
2.21 EXERCICIO
⋄Uabe o en Rn, U ⊂X U abe o en X.
⋄Uabe o en X, X abe o en RnUabe o en Rn.
⋄Fpechado en Rn, F ⊂X F pechado en X.
⋄Fpechado en X, X pechado en RnFpechado en Rn.
2.22 OBSERVACIÓN
A amilia de abe os ela i os dun subconxun o Xde Rné a opoloxía ela i a
de X:Xe∅son abe os en X, a unión de abe os en Xé abe o en X, e a
in e sección ini a de abe os en Xé abe o en X.
As p opiedades undamen ais dos pechados amén se asladan a X: o conxun o
balei o e Xson pechados en X, a in e sección a bi a ia de pechados en Xé
pechado en X, e a unión ini a de pechados en Xé pechado en X.
2.23 NOTA
Un subconxun o Xde Rné un conxun o disc e o se odos os subconxun os de X
son abe os en X(e, polo an o, odos os subconxun os de X amén son pechados
en X), é dici , se a opoloxía ela i a de Xé a opoloxía disc e a.
2.24 EXERCICIO
Es údese cales dos seguin es subconxun os de Rson conxun os disc e os:
{1,2},
N,
Z,
Q,
{1/nn∈N},
{1/nn∈N}∪{0}.

In e io , clausu a, on ei a, conxun o de i ado
2.25 DEFINICIÓNS
Sexan A⊂Rn,x∈Rn.
xépun o in e io de A:⇐⇒ ∃ ∈R+B(x, )⊂A,
xépun o clausu a (ou adhe en e) de A:⇐⇒ ∀ ∈R+,B(x, )∩A=∅.
In e io de A:In (A) = ◦
A:= {x∈Rnxé pun o in e io de A},
Clausu a de A:Cl(A) = ¯
A:= {x∈Rnxé pun o clausu a de A}.
2.26 EXERCICIO
Rn
◦
A=RnA, Rn¯
A= (RnA)◦
2.27 PROPIEDADES
Sexa A⊂Rn.
O in e io de Aé o maio abe o en Rncon ido en A:
⋄◦
A⊂A,
⋄Se Ué abe o en Rn,U⊂A⇒U⊂◦
A.
⋄◦
Aé abe o en Rn.
•Aé abe o en Rn⇐⇒ A=◦
A.
A clausu a de Aé o meno pechado en Rnque con én a A:
A⊂¯
A,
Se Fé pechado en Rn,A⊂F⇒¯
A⊂F.
¯
Aé pechado en Rn.
•Aé pechado en Rn⇐⇒ A=¯
A.
2.28 DEFINICIÓN
Sexan A⊂Rn,x∈Rn.
xépun o on ei a de A:⇐⇒ ∀ ∈R+,(B(x, )∩A=∅
B(x, )∩(RnA)=∅.
F on ei a de A: F (A) = ∂(A) := {x∈Rnxé pun o on ei a de A}.
Se x∈Rn, ∈R+, a bóla pe o ada de cen o xe aio é
B∗(x, ) = B(x, ){x}.
2.29 DEFINICIÓN
Sexan A⊂Rn,x∈Rn.
xépun o de acumulación de A:⇐⇒ ∀ ∈R+,B∗(x, )∩A=∅
Conxun o de i ado de A:A′:= {x∈Rnxé pun o de acumulación de A}.
2.30 EXERCICIO
Sexan A⊂Rnex∈Rn. Se xé un pun o de acumulación de A, en ón oda bóla
abe a en Rnde cen o xcon én in ini os pun os de A.
2.31 DEFINICIÓN
Sean A⊂Rn,x∈Rn.
xépun o illado de A:⇐⇒ ∃ ∈R+B(x, )∩A={x}.
3. Con e xencia e comple ude
Sucesións
3.1 DEFINICIÓN (SUCESIÓN)
Unha sucesión nun conxun o Xé unha aplicación
x:N−→ X
k7−→ x(k) = xk,
e dise que xké o e mo késimo da sucesión.
3.2 OBSERVACIÓN
A sucesión xdeno a ase {xk}, e di emos que {xk}é unha sucesión en X.
O conxun o imaxe da sucesión x:N−→ Xé{xx|k∈N}, e é habi ual esc ibi
{xk} ⊂ Apa a dici que o conxun o {xx|k∈N}de e mos da sucesión es á
con ido nun subconxun o Ade X.
3.3 DEFINICIÓN (CONVERXENCIA)
Sexa X⊂Rn,{xk}unha sucesión en Xex0∈Rn.
Dise que a sucesión {xk}con e xe ax0se
∀ε > 0∃N∈Nxk∈B(x0, ε)∀k≥N,
equi alen emen e, se
∀ε > 0∃N∈Nd(xk,x0)< ε ∀k≥N,
e esc íbese {xk} → x0ou lim
k→∞ xk=x0.
Se unha sucesión {xk}en Xcon e xe a un pun o x0∈Rndise que
{xk}é unha sucesión con e xen e,
x0é o lími e da sucesión {xk},
e se x0∈X, amén di emos que {xk}écon e xen e en Xou que con e xe en X.
J.A.O.G. & M.E.V.A.
3.14 COROLARIO
Se A⊂Rn, en ón
Aé pechado en Rn⇐⇒ ∀ {xk}sucesión en A, [{xk} → x0⇒x0∈A]
DEMOSTRACIÓN
⇒Se {xk}é sucesión en A,{xk} → x0∈Rn
P oposicion 3.13x0∈
s
AApechadox0∈A.
⇐Bas a e que s
A=A, é dici , que s
A⊂A. Pois ben,
x0∈
s
AP oposicion 3.13 ∃ {xk} ⊂ A{xk} → x0hipó ese x0∈A. 
Anon é pechado en Rn⇐⇒ ∃ {xk}sucesión en A{xk} → x0/∈A.
3.15 COROLARIO
Se A⊂Rn, en ón
Aé abe o en Rn⇐⇒ ∀ {xk}sucesión en RnA, [{xk} → x0⇒x0/∈A]
Anon é abe o en Rn⇐⇒ ∃ {xk}sucesión en RnA{xk} → x0∈A.
3.16 COROLARIO
Se A⊂Rn,x0∈Rn, en ón
x0/∈◦
A⇐⇒ ∃ {xk}sucesión en RnA{xk} → x0,
x0∈◦
A⇐⇒ ∀ {xk}sucesión en RnA, {xk} 6→ x0.
Séguese da p oposición 3.13 e da igualdade Rn
◦
A=RnA.

3.17 PROPOSICIÓN
Sexan A⊂Rn,A′o conxun o de i ado de Aex0∈Rn. En ón,
x0∈A′⇐⇒ ∃ {xk}sucesión en A
xk6=x0∀k∈N,
{xk} → x0.
DEMOSTRACIÓN
⇒
x0pun o de acumulación de A∀ > 0,B∗(x0, )∩A6=∅
x0pun o de acumulación de A∀k∈N,B∗(x0,1/k)∩A6=∅
x0pun o de acumulación de A∀k∈N,∃xk∈B∗(x0,1/k)∩A
x0pun o de acumulación de A{xk} ⊂ Aé al que (xk6=x0∀k∈N,
{xk} → x0.
⇐
Pa a comp oba que x0é pun o de acumulación de A emos que e que
∀ > 0,B∗(x0, )∩A6=∅. Pa a is o, como po hipó ese exis e unha sucesión
{xk}que con e xe a x0e al que os seus e mos es án odos en Ae son odos
dis in os de x0, ixado ε= > 0 emos
{xk} → x0,xk6=x0∀k∈N∃N∈Nxk∈B∗(x0, )∀k≥N
xk∈B∗(x0, )∩A∀k≥N
B∗(x0, )∩A6=∅.
Sucesións de Cauchy
3.18 DEFINICIÓN (SUCESIÓN DE CAUCHY)
Unha sucesión {xk}en X⊂Rndise que é unha sucesión de Cauchy se
∀ε > 0∃N∈Nd(xk,xl)< ε ∀k, l ≥N.
3.19 PROPOSICIÓN
Toda sucesión con e xen e é unha sucesión de Cauchy.
DEMOSTRACIÓN
Sexa {xk}unha sucesión en X⊂Rncon e xen e a un pun o x0∈Rn, e ixamos ε > 0.
En ón,
{xk} → x0dado ε
2>0∃N∈Nd(xk,x0)<ε
2∀k≥N
∃N∈Nd(xk,xl)≤d(xk,x0) + d(x0,xl)<ε
2+ε
2=ε∀k, l ≥N.
3.20 PROPOSICIÓN
O conxun o de pun os de calque a sucesión de Cauchy (e, polo an o, de calque a
sucesión con e xen e) é un conxun o acou ado.
DEMOSTRACIÓN
Se {xk}é unha sucesión de Cauchy,
dado ε= 1 ∃N∈Nd(xk,xl)<1∀k, l ≥N
d(xk,xN) = ∥xk−xN∥<1∀k≥N
∥xk∥=∥xk−xN+xN∥ ≤ ∥xk−xN∥+∥xN∥<1 + ∥xN∥ ∀ k≥N
∥xk∥ ≤ máx {∥x1∥, ..., ∥xN−1∥,1 + ∥xN∥}=M∀k∈N
{xk|k∈N} ⊂ BRn(0, M + 1).
3.21 PROPOSICIÓN
Toda subsucesión dunha sucesión de Cauchy é unha sucesión de Cauchy
DEMOSTRACIÓN
Sexa {xk}unha sucesión de Cauchy e {xφ(k)}unha subsucesión de {xk}, (onde
φ:N→Né unha aplicación es i amen e c ecen e).
{xk}sucesión de Cauchy ⇒ ∀ ε > 0∃N∈Nd(xk,xl)< ε ∀k, l ≥N
w
w
w

φ(k)≥k≥N
φ(l)≥l≥N
d(xφ(k),xφ(l))< ε ∀k, l ≥N
⇒ {xφ(k)}sucesión de Cauchy 
3.22 PROPOSICIÓN
Se unha sucesión de Cauchy {xk}en X⊂Rn en unha subsucesión {xφ(k)}que
con e xe a un pun o x0∈Rn, en ón {xk} amén con e xe a x0.
DEMOSTRACIÓN
Temos que demos a que ∀ε > 0∃N∈Nd(xk,x0)< ε ∀k≥N.
Fixamos ε > 0.
{xk}sucesión de Cauchy ⇒dado ε
2>0∃N1∈Nd(xk,xl)<ε
2∀k, l ≥N1
{xφ(k)} → x0⇒dado ε
2>0∃N2∈N|d(xφ(k),x0)<ε
2∀k≥N2.
Se N=máx{N1, N2}, e k≥N, en ón φ(k)≥k≥máx{N1, N2}, así que
d(xk,x0)≤d(xk,xφ(k))
k,φ(k)≥N1
+d(xφ(k),x0)
φ(k)≥N2
<ε
2+ε
2=ε. 
Comple ude
3.23 DEFINICIÓN
Dise que un conxun o X⊂Rnécomple o se oda sucesión de Cauchy en Xé
con e xen e en X.
3.24 EXEMPLOS
(a) Qnon é comple o.
(b) R Qnon é comple o.
(c) R+non é comple o.
(d) Ré comple o.
3.25 TEOREMA (Comple ude de Rn)
O espazo euclidiano Rné comple o.
DEMOSTRACIÓN
Conside amos unha sucesión de Cauchy {xk}en Rn, e imos comp oba que exis e
a∈Rn al que {xk} → a, pa a o que u iliza emos o ca ác e comple o de R.
Poñemos {xk}={(xk1, . . . , xkn)}, e emos as sucesións {xki}de núme os eais,
1≤i≤n. Polo lema 3.7, ense
|xki −xli| ≤ kxk−xlk=d(xk,xl)∀k, l ∈N,∀i= 1, . . . , n, (⋆)
e polo eo ema 3.8,
{xk} → a= (a1, . . . , an)⇐⇒ {xki} → ai∀i= 1, . . . , n. (⋆⋆)
Po an o,
{xk}sucesión de Cauchy ∀ε > 0∃N∈Nd(xk,xl)< ε ∀k, l ≥N
(∗)∀ε > 0∃N∈N|xki −xli|< ε ∀k, l ≥N
{xki}é unha sucesión de Cauchy en R,∀i
Ré comple o∃ai∈R{xki} → ai,∀i
(⋆⋆){xk}={(xk1, . . . , xkn)} → (a1, . . . , an) = a.

3.26 PROPOSICIÓN
Se Xé un subconxun o de Rn, en ón
Xé comple o ⇐⇒ Xé pechado en Rn.
DEMOSTRACIÓN
É consecuencia inmedia a da ca ac e ización (co ola io 3.14) dun conxun o pechado en Rn
como aquel que con én ao lími e de cada sucesión con e xen e de pun os no conxun o e de
que Rné comple o:
Se Xé un subconxun o de Rn, en ón
Xé pechado en Rn⇐⇒ ∀ {xk}sucesión en X, [{xk} → x0∈Rn⇒x0∈X]
⇐⇒ ∀ {xk}sucesión en X, [{xk}con e xen e en Rn⇒{xk}con e xe en X]
Rncomple o
⇐⇒ ∀ {xk}sucesión en X, [{xk}sucesión de Cauchy⇒{xk}con e xe en X]
⇐⇒ Xé comple o.

4. Con inuidade
Con inuidade pun ual
4.1 DEFINICIÓN (APLICACIÓN CONTINUA NUN PUNTO)
Sexan X⊂Rn,Y⊂Rm, :X→Yunha aplicación, x0∈X.
Dise que :X→Yécon inua en x0se
∀ε > 0∃δ > 0x∈X, dRn(x,x0)< δ ⇒dRm( (x), (x0)) < ε,
equi alen emen e, se
∀ε > 0∃δ > 0 BX(x0, δ)⊂BY( (x0), ε).
4.2 OBSERVACIÓN
A con inuidade de :X⊂Rn−→Y⊂Rmnon depende do codominio de .
Se conside amos a aplicación ˜
:X−→ Rm
x→˜
(x) = (x),
ex0∈X, ense que é con inua en x0se, e só se, ˜
é con inua en x0, xa que,
pos o que (X)⊂Y,
BX(x0, δ)⊂BY( (x0), ε)⇐⇒ BX(x0, δ)⊂BRm( (x0), ε).
Se, ademais, (X)⊂Z⊂Rm, amén en sen ido conside a a aplicación
s
:X−→ Zdada po s
(x) = (x), e ense
é con inua en x0⇐⇒ ˜
é con inua en x0⇐⇒
s
é con inua en x0,
xa que
BX(x0, δ)⊂BY (x0), ε⇐⇒ BX(x0, δ)⊂BZ (x0), ε.
J.A.O.G. & M.E.V.A.
Con inuidade global
4.3 DEFINICIÓN (APLICACIÓN CONTINUA (globalmen e))
Unha aplicación :X⊂Rn−→ Y⊂Rmécon inua se é con inua en x0pa a
cada pun o x0∈X.
4.4 EXEMPLOS
Son aplicacións con inuas:
Se X⊂Rn, a aplicación iden idade en X,
idX:X−→ X
x7−→ idX(x) = x.
Se X⊂Y⊂Rn, a inclusión de Xen Y,
i:X ,−→ Y
x7−→ i(x) = x.
En pa icula , a inclusión de Xen Rn,i:X ,−→ Rn.
As aplicacións cons an es: se X⊂Rn,Y⊂Rm, pa a calque a pun o y0∈Y,
a aplicación cons an e
c ey0:X−→ Y
x7−→ y0.
O seguin e eo ema se á moi ú il pa a comp oba , dunha o ma simple, o ca ác e
abe o e o ca ác e pechado de subconxun os de Rn.
4.15 PROPOSICIÓN
Se :X⊂Rn−→ Y⊂Rmé unha aplicación con inua e A⊂X, en ón a
es ición de aA, |A:A−→ Y, amén é con inua.
DEMOSTRACIÓN
É consecuencia inmedia a de que |A= ◦ié composición de dúas aplicacións
con inuas,
Ai
,−−−−→ X
−−−−→ Y
xi
7−−−−→ x
7−−−−→ (x)
4.16 OBSERVACIÓN
Se :X⊂Rn→Y⊂Rmé unha aplicación con inua, en ón a súa es ición a
calque a subconxun o Ade Xé con inua en odos os pun os de A.
Ago a ben, pode sucede que :X→Ysexa al que a súa es ición |A:A→Y
sexa con inua pa a algún subconxun o Ade Xpe o que non sexa con inua en
pun os de A.
Po exemplo, a unción de Di ichle
:R−→ R
x7−→ (x) = (1se x∈Q,
0se x∈RQ,
é al que as súas es icións |Q:Q→Re |RQ :RQ →Rson con inuas (son
aplicacións cons an es) pe o non é con inua en ningún pun o de R.
Non obs an e, cúmp ese que se Aé abe o en Xe |Aé con inua, en ón
é con inua en odos os pun os de A, como se e na seguin e p oposición.

4.17 PROPOSICIÓN
Sexa :X⊂Rn−→ Y⊂Rmunha aplicación.
Se Aé abe o en Xe |A:A→Yé con inua, en ón é con inua en odos os
pun os de A.
DEMOSTRACIÓN
Sexa x0∈Ae examos que se |Aé con inua en x0, en ón é con inua en x0, é
dici , que
∀ε > 0∃δ > 0 BX(x0, δ)⊂BY( (x0), ε).
Dado ε > 0,
|Acon inua en x0∃δ1>0 |ABA(x0, δ1)⊂BY( (x0), ε).
Ago a,
BA(x0, δ1) = BRn(x0, δ1)∩AA⊂X
=BRn(x0, δ1)∩X∩A=BX(x0, δ1)∩Aé
abe o en X, (po que é a in esección de dous abe os en X), logo
∃δ > 0BX(x0,δ)⊂BA(x0, δ1)
⇓
BX(x0, δ)⊂ BA(x0, δ1)= |ABA(x0, δ1)⊂BY( (x0), ε).
4.18 EXEMPLO
A aplicación
:R−→ R
x7−→ (x) = (1se x > 0,
0se x≤0,
é con inua en odos os pun os de A= (0,+∞)e de B= (−∞,0), pos o que
AeBson abe os en Re
|A:x∈A7→ 1∈Re |B:x∈B7→ 0∈R
son aplicacións con inuas, xa que son cons an es.
4.19 EXERCICIO
Conside amos a aplicación :X=R2→Y=Rdada po
(x, y) = (xse xy > 0,
0se xy ≤0.
U ilizando a p oposición an e io p óbese que é con inua en odos os pun os de
{(x, y)∈R2|xy 6= 0}.
SOLUCIÓN
Sexan
U={(x, y)∈R2|xy > 0}, V ={(x, y)∈R2|xy < 0}.
Es os dous conxun os son abe os en R2; un modo de comp obalo consis e en u iliza a
ca ac e ización da con inuidade ( eo ema 4.5), mos ando que se poden esc ibi como
imaxes in e sas de abe os, nes e caso en R, po algunha aplicación con inua. En e ec o, se
conside amos a aplicación h:R2→Rdada po
h(x, y) = xy,
en ón hé con inua, xa que h=π1π2é p oduc o de dúas aplicacións con inuas, e
U={(x, y)∈R2|h(x, y)>0}={(x, y)∈R2|h(x, y)∈(0,+∞)}=h−1(0,+∞),
V={(x, y)∈R2|h(x, y)<0}={(x, y)∈R2|h(x, y)∈(−∞,0)}=h−1(−∞,0).
Ago a, |U= (π1)|Ué con inua xa que é a es icción da p oxección π1aU, e pos o que U
é abe o en R2, é con inua en odos os pun os de U.
Ademais, |Vé a aplicación cons an e 0, logo é con inua e, pos o que Vé abe o en R2,
amén é con inua en odos os pun os de V.
Conclúese que é con inua en cada pun o (x, y)∈R2 al que xy 6= 0 (aínda que hai máis
pun os de R2nos que é con inua!).
4.20 DEFINICIÓN (APLICACIÓN COMBINADA)
Sexan X⊂Rn,Y⊂Rm, e supoñamos que AeBson subconxun os de X ales que
A∪B=X. Se g:A→Yeh:B→Yson aplicacións ales que g|A∩B=h|A∩B, en ón
es á ben de inida a aplicación :X−→ Ydada po
(x) = (g(x)se x∈A,
h(x)se x∈B,
e dise que é a aplicación combinada de geh.
4.21 EXEMPLO
A aplicación
:R2−→ R
(x, y)7−→ (x2−y2+ 1 se y≥x,
ex−yse y≤x,
é a aplicación combinada das aplicacións
g:A={(x, y)∈R2|y≥x} −→ R
(x, y)7−→ x2−y2+ 1,
e
h:B={(x, y)∈R2|y≤x} −→ R
(x, y)7−→ ex−y.
4.22 PROPOSICIÓN
Sexa :X=A∪B⊂Rn−→ Y⊂Rma aplicación combinada de g:A−→ Y
eh:B−→ Ye supoñamos que gehson con inuas.
(1) Se AeBson pechados en X, en ón é con inua.
(2) Se AeBson abe os en X, en ón é con inua.
DEMOSTRACIÓN
(1) Sexa Fun pechado en Ye examos que a súa imaxe in e sa po é un pechado en X.
−1(F) = x∈X=A∪B (x)∈F
=x∈A (x) = g(x)∈F∪x∈B (x) = h(x)∈F
=g−1(F)∪h−1(F).
Ago a,
g:A→Ycon inua Fpechado en Yg−1(F)pechado en AApechado en Xg−1(F)pechado en X
h:B→Ycon inua Fpechado en Yh−1(F)pechado en BBpechado en Xh−1(F)pechado en X




−1(F) = g−1(F)∪h−1(F)é pechado en X.
(2) A p oba se ía como a an e io cambiando “pechado” po “abe o”. Ou ben, pode
ob e se di ec amen e como consecuencia de que g= |A,h= |Be da p oposición 4.17, é
dici , usando que se a es ición de ao abe o Ae ao abe o Ben Xé con inua, en ón é
con inua en odos os pun os de cada abe o. 
4.23 DEFINICIÓN (APLICACIÓN UNIFORMEMENTE CONTINUA)
Unha aplicación :X⊂Rn→Y⊂Rméuni o memen e con inua se
∀ε > 0,∃δ > 0x,y∈X, dRn(x,y)< δ ⇒dRm( (x), (y)) < ε.
4.24 OBSERVACIÓNS
Toda aplicación uni o memen e con inua é con inua xa que se :X→Yé
uni o memen e con inua, en ón, pa a cada pun o x∈X,
∀ε > 0,∃δ > 0y∈X, d(x,y)< δ ⇒d( (x), (y)) < ε.
Ademais, dise que :X⊂Rn→Y⊂Rmélipschi ziana se exis e M∈R,
M≥0, al que
dRm( (x), (y)) ≤M dRn(x,y)∀x,y∈X,
eMchámase unha cons an e de Lipschi z; se M < 1 amén se di que é unha
aplicación con ac i a.
Toda aplicación lipschi ziana é uni o memen e con inua.
4.25 EXERCICIO
Se :X→Yé unha aplicación uni o memen e con inua e {xk}é unha sucesión
de Cauchy en X, en ón { (xk)}é unha sucesión de Cauchy en Y.

4.26 OBSERVACIÓN
Se unha aplicación :X⊂Rn→Y⊂Rmé con inua, en ón a imaxe in e sa de
calque a abe o (ou pechado) en Yé un abe o (ou pechado) en X. Pe o a imaxe
di ec a dun abe o ou pechado en Xpo unha aplicación con inua pode non se nin
abe o nin pechado en Y.
4.27 EXEMPLOS
A aplicación :R→Rde inida po (x) = x2é con inua e A= (−1,1) é
abe o en R, pe o (A) = [0,1) non é abe o en R.
A aplicación :R→Rdada po (x) = exé con inua e B= (−∞,0] é
pechado en R, pe o (B) = (0,1] non é pechado en R.
4.28 DEFINICIÓNS (APLICACIÓNS ABERTAS, PECHADAS)
Sexa :X⊂Rn→Y⊂Rm.
é unha aplicación abe a :⇐⇒[∀Uabe o en X⇒ (U)abe o en Y];
é unha aplicación pechada :⇐⇒ [∀Fpechado en X⇒ (F)pechado en Y].
4.29 EXEMPLO
Sexa A⊂X⊂Rnei:A→Xa inclusión.
Se Aé abe o en X, en ón a inclusión ié abe a.
Se Aé pechado en X, en ón a inclusión ié pechada.
4.30 NOTA
Se a aplicación :X⊂Rn→Y⊂Rmé bixec i a, en ón é abe a se, e só se,
é pechada. Is o é consecuencia inmedia a de que pa a unha aplicación bixec i a
:X→Y, ense
∀A⊂X, (XA) = Y (A).
Homeomo ismos e p opiedades opolóxicas
4.31 DEFINICIÓN (HOMEOMORFISMO)
Sexan X⊂Rn,Y⊂Rm. Unha aplicación :X−→ Ydise que é un
homeomo ismo se é bixec i a, con inua e a súa in e sa −1:Y−→ X amén é
con inua.
4.32 NOTA
:X→Yé un homeomo ismo ⇐⇒ 
é bixec i a
é con inua
é abe a ⇐⇒ 
é bixec i a
é con inua
é pechada.
4.33 DEFINICIÓN (CONXUNTOS HOMEOMORFOS)
Se exis e un homeomo ismo :X→Ydise que os conxun os XeYson
homeomo os e esc ibi emos X≈Y.
4.34 NOTA
A elación ≈(“se homeomo os”) é unha elación de equi alencia na amilia de
odos os subconxun os de odos os espazos euclidianos; é dici , se X, Y, Z son
subconxun os de espazos euclidianos de calque a dimensión, ense
(1) X≈X; (2) X≈Y⇒Y≈X; (3) X≈Y, Y ≈Z⇒X≈Z,
como consecuencia, espec i amen e, de que a iden idade é un homeomo ismo,
a in e sa dun homeomo ismo amén o é, ea composición de homeomo ismos
é un homeomo ismo ( éñase en con a que se egson bixec i as, en ón
(g◦ )−1= −1◦g−1) .
4.35 EXEMPLO
Todos os in e alos pechados acou ados en Rson homeomo os en e si.
Pos o que a elación ≈é de equi alencia, bas a comp oba que odos os in e alos pechados
son homeomo os ao in e alo [0,1].
Pois ben, pa a cada a, b ∈R, a < b, as aplicacións
[0,1]
−−→ [a, b]
7−→ a+ (b−a),1
2
[a, b]g
−−→ [0,1]
s7−→ s−a
b−a,
son ales que g= −1, así que son bixec i as; e amén son con inuas, logo é un
homeomo ismo e [0,1] ≈[a, b].
4.36 EXEMPLO
Todos os in e alos abe os (acou ados ou non) de núme os eais son homeomo os en e si e
homeomo os a R= (−∞,+∞).
En e ec o, éñense os seguin es homeomo ismos:
(0,1)
−−→ (a, b)
7−→ a+ (b−a),1
2
s−a
b−a
7−→
s
Rg
−−→ (−1,1)
x7−→ x
1 + |x|,1
2
y
1−|y|
7−→
y
que mos an que odos os in e alos abe os acou ados son homeomo os en e si e
homemomo os a R. E amén son homeomo os a odos os in e alos abe os non acou ados:
R−→(0,+∞)−→ (a, +∞)−→ (−∞,−a)
7−→ e y7−→ −y
log x
7−→
x7−→ x+a
4.37 EXEMPLO
Un homeomo ismo en e os in e alos (0,1] e[1,+∞):
(0,1] h
−−→ [1,+∞)
7−→ 1/
1/s
7−→
s
4.38 EXERCICIO
Todos os in e alos da o ma [a, b),(a, b],[a, +∞)e[−∞, b)son homeomo os en e si.
4.39 EXEMPLO
Son homeomo ismos:
∀ ∈Rn, a anslación (con espec o a )T :x∈Rn→x+ ,T −1=T− ,
∀λ∈R+, a homo ecia (de azón λ)Hλ:x∈Rn→λ·x,Hλ−1=H1/λ.
4.40 EXEMPLO
Todas as bólas abe as en Rnson homeomo as en e si e homeomo as a Rn.
:BRn(0,1) BRn(a, )
x x+a,
1
(y−a)y
≈g:BRn(0,1) Rn
xx
1−kxk,
y
1 + kyky
≈
4.41 EXERCICIO
Todas as bólas pechadas en Rnson homeomo as en es si.
5.5 EXEMPLOS
∅é conexo.
Pa a cada x∈Rn, o conxun o uni a io {x}é conexo.
Calque a subconxun o disc e o Xde Rncon máis dun pun o non é conexo:
se p∈X, en ón {p}|X{p}é unha sepa ación non i ial de X.
En pa icula , calque a subconxun o ini o de Rncon máis dun pun o non é
conexo; NeZnon son conexos.
Qnon é conexo: po exemplo, (−∞,√2) ∩Q|(√2,+∞)∩Qé unha
sepa ación non i ial de Q.
Os únicos subconxun os conexos de Qson os conxun os uni a ios:
en e ec o, se X⊂Qnon é uni a io, en ón
∃a, b ∈X, a < b
w

∃ ∈RQ a < < b (−∞, )∩X|( , +∞)∩Xé unha
sepa ación non i ial de X,
∃ ∈RQ a < < b Xnon é conexo.

5.6 TEOREMA
O in e alo pechado I= [0,1] é conexo.
DEMOSTRACIÓN
Supoñemos que U|Vé unha sepa ación non i ial de I= [0,1] ⊂Re imos chega
a unha con adición.
1∈I=U∪V1∈Uou 1∈V;supoñemos 1∈V
∃ > 0BI(1, )⊂V
∃ > 0BI(1 q
∃(1 − , 1 + )∩I= (1 − , 1]
Po ou a pa e,
U⊂[0,1] ⊂R,
Uacou ado supe io men e
U6=∅ ∃ a=sup U
∀x∈U, x ≤1− 

a≤1− < 1.
Ademais a > 0, xa que se a= 0 ense que U={0}, que non é abe o en [0,1].
Logo 0< a < 1, a ∈I=U∪V, e caben dúas posibilidades:
a∈U∃ε > 0BI(a, ε) = (a−ε, a +ε)⊂U
(con adí a=sup U:a+ε/2 se ía un elemen o de Umaio que a)
a∈V∃ε > 0BI(a, ε) = (a−ε, a +ε)⊂V
(con adí a=sup U:a−ε/2 se ía co a supe io de Umeno que a),
conque chegamos a unha con adición, logo a sepa ación U|Vde I= [0,1] en que
se a sepa ación i ial. Polo an o, o in e alo pechado [0,1] é conexo. 
Conexión e con inuidade
5.7 TEOREMA
Se Xé un subconxun o conexo de Rne :X⊂Rn−→ Y⊂Rmé unha
aplicación con inua, en ón o subconxun o (X)de Rmé conexo.
DEMOSTRACIÓN
Conside amos unha sepa ación U|Vde (X)e debemos e que é a sepa ación
i ial de (X).
Como a con inuidade de non depende do codominio, conside ada con alo es no
conxun o imaxe a aplicación :X→e
Y= (X)é con inua, e ademais é
sob exec i a. En ón,
U|Vsepa ación de e
Y= (X)






−1(U)e −1(V)son abe os en X
−1(U)∪ −1(V) = −1(U∪V) = −1e
Y) = X
−1(U)∩ −1(V) = −1(U∩V) = −1(∅) = ∅
−1(U)| −1(V)é unha sepa ación de X
Xconexo −1(U) = ∅ou −1(V) = ∅
:X→
e
Ysob exec i a
U=  −1(U)=∅ou V=  −1(V)=∅
U|Vé a sepa ación i ial de e
Y= (X).
5.8 COROLARIO
A conexión é unha p opiedade opolóxica.
DEMOSTRACIÓN
Sexan X⊂Rm,Y⊂Rn, e supoñamos que Xé conexo e X≈Y, é dici , que
exis e un homeomo ismo :X→Y. Debemos e que Yé conexo. Ago a ben,
se é un homeomo ismo, é con inua e sob exec i a. Polo an o, Y= (X)é
conexo, polo eo ema an e io . 
5.9 COROLARIO
Calque a in e alo pechado [a, b](a, b ∈R, a < b) é conexo.
DEMOSTRACIÓN
[0,1] ≈[a, b],[0,1] conexo [a, b]conexo 
5.10 COROLARIO
Se a,b∈Rn,a6=b, o segmen o de ex emos aeb
L[a,b] = {a+ (b−a)| ∈[0,1] }
é conexo.
DEMOSTRACIÓN
Bas a esc ibi L[a,b]como a imaxe po unha aplicación con inua dun conxun o
conexo. Pois ben, ixados a= (a1, . . . , an),b= (b1, . . . , bn)∈Rn,
: [0,1] −→ Rn
7−→ a+ (b−a) = (a1+ (b1−a1), . . . , an+ (bn−an)
é unha aplicación con inua e [0,1] é conexo, logo
[0,1]={ ( )| ∈[0,1] }={a+ (b−a)| ∈[0,1] }=L[a,b]
é conexo. 
Imos e unha ca ac e ización da conexión, segundo a cal un subconxun o X
de Rné conexo se, e só se, cada pa de pun os dis in os de Xpe encen a un
mesmo subconxun o conexo de X. Se á consecuencia do seguin e lema.
5.11 LEMA
Sexa Xun subconxun o de RneC⊂X. Se U|Vé unha sepa ación de X, en ón
(U∩C)|(V∩C)é unha sepa ación de C(é a sepa ación inducida pola sepa ación U|V
de X).
DEMOSTRACIÓN
Se U|Vé unha sepa ación de X, en ón
U, V abe os en X U ∩CeV∩Cson abe os en C
U∪V=X(U∩C)∪(V∩C) = (U∪V)∩C=X∩C=C
U∩V=∅(U∩C)∩(V∩C) = (U∩V)∩C=∅∩C=∅,
logo (U∩C)|(V∩C)é unha sepa ación de C.
5.12 PROPOSICIÓN
Se X⊂Rn, en ón
Xé conexo ⇐⇒ ∀x,y∈X, x6=y,∃C⊂X, C conexo, x,y∈C.
DEMOSTRACIÓN
⇒Inmedia o, xa que se Xé conexo bas a oma C=X.
⇐P oba emos o con a ecíp oco des a implicación. Supoñemos que Xnon é conexo,
logo exis e unha sepa ación non i ial U|Vde X; is o é, U|Vé unha sepa ación de X al
que U6=∅eV6=∅, así que podemos oma x∈Uey∈V.
Supoñamos que exis e un subconxun o Cde X al que
x,y∈C, e imos e que Cnon pode se conexo.
Polo lema p e io, (U∩C)|(V∩C)é unha sepa ación
de C, e ademais x∈U∩C,y∈V∩C, logo ense que
(U∩C)|(V∩C)é unha sepa ación non i ial de C,
así que Cnon pode se conexo. 
Obse amos que o an e io esul ado inclúe como conexos ao conxun o balei o e
aos conxun os uni a ios, xa que es es non con eñen ningún pa de pun os
dis in os.
5.13 COROLARIO
O espazo euclidiano Rné conexo.
DEMOSTRACIÓN
É consecuencia inmedia a da p oposición an e io , dado que dous pun os calque a x,y∈Rn,
x6=y, pe encen ao segmen o de ex emos x,y. Así, x,y∈C=L[x,y]⊂Rn, que é un
conexo . 
5.14 COROLARIO
Os subconxun os conexos de Rson os in e alos xene alizados, é dici , os
conxun os J⊂R ales que
x, y ∈J, x < y ⇒[x, y]⊂J.
DEMOSTRACIÓN
Se Jé un in e alo xene alizado, é inmedia o que é conexo, pola p oposición 5.12, dado que
dous pun os calque a x, y ∈J,x6=y, es án no in e alo pechado que en po ex emos x
ey, o cal es á con ido en J.
E es es son os únicos subconxun os conexos de R, xa que no caso de que Jnon sexa un
in e alo xene alizado exis en x, y ∈J,x < y, pe o [x, y]6⊂ J, é dici ,
∃z∈Rx < z < y, z /∈J,
logo (−,∞, z)∩J|(z, +∞)∩Jé unha sepa ación non i ial de J, e Jnon se ía
conexo. 
5.15 COROLARIO (Teo ema dos alo es in e medios)
Sexa Xun subconxun o conexo de Rne :X→Runha aplicación con inua.
Sexan a,b∈X,y∈R ales que (a)< y < (b). En ón exis e x∈X al que
(x) = y.
DEMOSTRACIÓN
Dado que Xé conexo e con inua, (X)é un subconxun o conexo de R, logo é un
in e alo xene alizado J, e como (a), (b)∈ (X),
(a)< y < (b)y∈[ (a), (b)] ⊂J= (X)∃x∈X (x) = y.

5.16 PROPIEDADE
Os in e alos xene alizados non balei os, que son os conexos (dis in os do
conxun o balei o) con idos en R, son os subconxun os de Rda o ma
{a},(a, b),[a,b),(a, b],[a, b],
(a, +∞),(−∞, b),[a, +∞),(−∞, b],(−∞,+∞) = R.
Se J⊂Ré un in e alo xene alizado, sa is ai a p opiedade:
x, y ∈J, x < y ⇒[x, y]⊂J
Tódolos conxun os an es enume ados a e i ican. Recip ocamen e, pa a comp oba
que se Jé un in e alo xene alizado (∗)non balei o, en ón é necesa iamen e un
des es conxun os, imos e que Jé al que (a, b)⊂J⊂[a, b], onde
a=(in Jse Jes á acou ado in e io men e,
−∞ nou o caso,
b=(sup Jse Jes á acou ado supe io men e,
+∞nou o caso,
e supoñemos que
[a, b] = {a}se a=b,
un co che e xun o a −∞ou +∞in e p é ase como unha pa én ese.
Pois ben, se J en máis dun pun o,
∈(a, b)


a < de de a∃x∈Jx <
< bde de b∃y∈J < y
∈[x,y]
(∗) ∈Jde de a,b ∈[a, b].
5.17 PROPOSICIÓN
Sexa {Ei}i∈Iunha amilia de subconxun os conexos de RneE0⊂Rnun
conxun o conexo al que E0∩Ei6=∅pa a odo i∈I.
En ón, o conxun o X=E0∪∪i∈IEié conexo.
DEMOSTRACIÓN
Imos p oba que a única sepa ación que admi e Xé a sepa ación i ial. Sexa U|V
unha sepa ación de X. En ón,
U∩E0|V∩E0é unha sepa ación de E0E0conexoU∩E0=E0ou V∩E0=E0.
Supoñamos U∩E0=E0. En ón, E0⊂U. Po ou a pa e, pa a cada i∈I,
U∩Ei|V∩Eié unha sepa ación de EiEiconexoU∩Ei=Eiou V∩Ei=Ei
∀i∈I
E0⊂Uw
w
E0∩Ei=∅
∪i∈IEi⊂U Ei⊂U
∀i∈I
U∩Ei=Ei
∀i∈I
U∩Ei6=∅
∀i∈I
Logo X=E0∪∪i∈IEi⊂U, é dici , X=UeV=∅, así que U|Vé a
sepa ación i ial. 
5.18 COROLARIO
Se {Xi}i∈Ié unha amilia de subconxun os conexos de Rn al que
∩i∈IXi6=∅, en ón ∪i∈IXié conexo.
Se AeBson dous subconxun os conexos de X ales que A∩B6=∅, en ón
A∪Bé conexo.
5.19 TEOREMA
Se X⊂Rn,Y⊂Rmson conxun os conexos, en ón o seu p odu o ca esiano
X×Y⊂Rn+mé conexo.
DEMOSTRACIÓN
Sexan (a,b),(p,q)∈X×Ye imos e que ambos pe encen a un mesmo
subconxun o conexo Cde X×Y(e bas a á aplica a p oposición 5.12 pa a
concluí ).
Xa que a aplicación :x∈X→(x,b)∈X×Yé con inua e Xé conexo, ense
que (X) = X×{b}é un subconxun o conexo de X×Y.
E dado que g:y∈Y→(p,y)∈X×Yé con inua e Yé conexo, amén
g(Y) = {p}×Yé un subconxun o conexo de X×Y.
Ago a, a in e sección des es dous conxun os é non balei a, xa que
(p,b)∈(X×{b})∩({p}×Y),
logo C= (X×{b})∪({p}×Y)é un subconxun o conexo de X×Yque con én
aos dous pun os (a,b),(p,q).
Polo an o, X×Yé conexo. 
Conxun os compac os
6.1 DEFINICIÓN (RECUBRIMENTO)
Sexa X⊂Rn. Un ecub imen o abe o de Xé unha amilia Ude conxun os
abe os en X ales que
X=[
U∈U
U.
Se U′⊂ U eU′é un ecub imen o de X, é dici , X=SU∈U′U, dise que U′é un
sub ecub imen o de U.
Un ecub imen o abe o Ude X(ou un sub ecub imen o U′de U) dise que é un
ecub imen o (ou un sub ecub imen o) ini o se é unha amilia ini a de conxun os.
6.2 DEFINICIÓN (CONXUNTO COMPACTO)
Un conxun o X⊂Rndise que é compac o se odo ecub imen o abe o de X
admi e un sub ecub imen o ini o.
6.3 NOTA
A p opiedade que de ine a un conxun o compac o chámase p opiedade de
HeineBo el, e é equi alen e conside a ecub imen os abe os de Xou
ecub imen os de Xpo abe os en Rn.
Un ecub imen o de Xpo abe os en Rné unha amilia Vde abe os en Rn
al que
X⊂[
V∈V
V.
Se V′⊂ V é al que X⊂SV∈V′V, amén dicimos que V′é un
sub ecub imen o de V.
J.A.O.G. & M.E.V.A.

Se X⊂Rn, as seguin es p opiedades son equi alen es:
(a) ∀ U ecub imen o abe o de X∃U1,...,Um∈ U X=U1∪···∪ Um
(b) ∀ V ecub imen o de Xpo abe os en Rn∃V1,...,Vm∈ V X⊂V1∪···∪Vm
(a)⇒(b) Supoñemos (a), e conside amos un ecub imen o Vde Xpo abe os en Rn.
En ón,
X⊂[
V∈V
V X =[
V∈V
V∩X=[
V∈V
(V∩X) = [
U∈U
U,
onde U=U⊂XU=V∩X, V ∈ V , que é un ecub imen o abe o de X.
Po (a),
∃U1, . . . , Um∈ U X=U1∪... ∪Um⊂
∃Vi∈V|Vi∩X=Ui
V1∪... ∪Vm.
(b)⇒(a) Supoñemos (b), e conside amos un ecub imen o abe o Ude X,
X=[
U∈U
U, U ∈ U Uabe o en X∃Vabe o en RnU=V∩X,
e se poñemos V=Vabe o en RnV∩X∈ U , en ón Vé un ecub imen o de Xpo
abe os en Rne podemos aplica (b):
X=[
U∈U
U⊂[
V∈V
V(b) ∃V1,...,Vm∈ V X⊂V1∪... ∪Vm
X= (V1∪... ∪Vm)∩X= (V1∩X)∪... ∪(Vm∩X) = U1∪... ∪Um,
onde Ui=Vi∩X∈ U (pola cons ucción de V)∀i= 1,...,m.
6.4 PROPOSICIÓN
Sexa :X⊂Rn−→ Y⊂Rmunha aplicación con inua. Se Xé compac o, en ón
é uni o memen e con inua.
DEMOSTRACIÓN
Pa a p oba que :X→Yé uni o memen e con inua emos que demos a que
∀ε > 0,∃δ > 0x,y∈X, d(x,y)< δ ⇒d( (x), (y)) < ε.
Sexa ε > 0. Po hipó ese, é con inua en cada pun o a∈X, logo
∀a∈X, dado ε
2>0∃δa>0 BX(a, δa)⊂BY (a),ε
2.(∗)
Ago a,
X=[
a∈X
BXa,δa
2,
logo U=BX(a, δa/2)a∈Xé un ecub imen o abe o de X. Polo an o, se Xé
compac o,
∃a1, . . . , am∈XX=BXa1,δa1
2[. . . [BXam,δam
2.
Tomamos δ=1
2mín{δa1, . . . , δam}, e sexan x,y∈X. Imos comp oba que se
d(x,y)< δ nes e caso xey an a es a nunha mesma bóla abe a BX(ai, δai),
en ón d (x), (y)< ε. En e ec o,
x∈X∃j∈ {1, . . . , m}x∈Baj,δaj
2⊂Baj, δaj(∗)d (x), (aj)<ε
2
y∈X d(y,aj)≤d(y,x) + d(x,aj)< δ +δaj
2≤δaj(∗)d (y), (aj)<ε
2







d (x), (y)≤d (x), (aj)+d (aj), (y)<ε
2+ε
2=ε. 
6.5 EXEMPLOS
Todo subconxun o ini o Xde Rné compac o.
Se X=∅, é i ial. Se X=∅, supoñamos que X={x1,...,xm}e sexa Vun
ecub imen o de Xpo abe os en Rn. En ón,
X={x1,...,xm} ⊂ [
V∈V
V∀i= 1,...,m ∃Vi∈ V xi∈Vi
X={x1}∪ ... ∪{xm} ⊂ V1∪... ∪Vm.
Ou ben, se houbésemos omado un ecub imen o abe o Udo conxun o ini o X, en ón
U ⊂ P(X)é ini o, logo o mesmo U ale ía como sub ecub imen o ini o de U.
Ningún subconxun o disc e o in ini o de Rné compac o.
Se Xé disc e o, en ón U={{x} | x∈X}é un ecub imen o abe o de X, xa que
X=Sx∈X{x}.Se Xé compac o, en ón
∃ {x1}, ...,{xm} ∈ U X={x1}∪ ... ∪{xm}={x1, ...,xm},
é dici , calque a subconxun o compac o disc e o de Xé necesa iamen e ini o. Po
exemplo, NeZnon son compac os.
O subconxun o X= (0,1) de Rnon é compac o.
En e ec o, da p opiedade a quimediana de R, séguese que
(0,1) = [
n≥21
n,1,
así que U={(1/n, 1) |n∈N{1}} é un ecub imen o abe o de X.
Se U i ese un sub ecub imen o ini o U′={(1/ni,1) |i= 1,...,m}, se ía
(0,1) = 1
n1
,1∪... ∪1
nm
,1=1
N,1= (0,1), N =máx{n1,...,nm}.
Rnnon é compac o, como se segue da seguin e p oposición.
6.6 PROPOSICIÓN
Todo subconxun o compac o de Rné acou ado.
DEMOSTRACIÓN
Sexa X⊂Rn.
X⊂Rn=[
k∈N
B(0, k),
como consecuencia da p opiedade a quimediana de R:
x∈Rn∥x∥ ≥ 0∃k∈N,∥x∥< k ∃k∈Nx∈B(0, k),
logo V=B(0, k)k∈Né un ecub imen o de Xpo abe os en Rn.
Se Xé compac o, en ón
∃k1, . . . , km∈NX⊂B(0, k1)∪. . . ∪B(0, km) = B(0, ),
onde =máx{k1, . . . , km}, e polo an o Xé acou ado.
6.7 COROLARIO
Rnnon é compac o.
6.8 PROPOSICIÓN
Todo subconxun o compac o de Rné pechado en Rn.
DEMOSTRACIÓN
Paso 1
X⊂Rn, X compac o
y∈RnX∃U, V abe os en Rn
X⊂U,
y∈V, U∩V=∅,
pois
∀x∈X
y/∈Xx=yRnHausdo ∃Ux, Vxabe os en Rn
x∈Ux
y∈Vx
Ux∩Vx=∅,
logo
X⊂[
x∈X
Ux,y∈
x∈X
Vx.
conque se en
X⊂[
x∈X
UxXcompac o∃x1, . . . , xm∈X
X⊂Ux1∪. . . ∪Uxm=U
y∈Vx1∩. . . ∩Vxm=V,
onde UeVson abe os en Rn, e son disxun os:
U∩V= (Ux1∪. . . ∪Uxm)∩V= (Ux1∩V)∪. . . ∪(Uxm∩V)
⊂(Ux1∩Vx1)
=∅∪. . . ∪(Uxm∩Vxm)
=∅
=∅U∩V=∅.
Paso 2 Polo paso an e io , se Xé compac o, en ón é pechado en Rn, xa que
y∈RnX∃U, V abe os en Rny∈V⊂RnU⊂RnX
∃ > 0B(y, )⊂V⊂RnX
RnXé abe o en Rn.

6.9 TEOREMA
O in e alo pechado I= [0,1] é compac o.
DEMOSTRACIÓN
Sexa Uun ecub imen o abe o do in e alo pechado I= [0,1], é dici ,
I=[
U∈U
U , U abe o en I∀U∈ U,
e debemos e que Ies á con ido nunha unión ini a de memb os de U.
Pa a is o, conside amos o conxun o
E={x∈I|[0, x]es á con ido nunha unión ini a de memb os de U },
e debemos e que 1∈E, é dici , que E=I, pa a o que p oba emos que é un
conxun o non balei o que é abe o e pechado en I; pos o que Ié conexo se á E=I.
En p imei o luga , Eé non balei o, xa que
0∈I∃U∈ U 0∈U∃ > 0BI(0, ) = [0, )⊂U[0, )⊂
[0,x]⊂U∀x∈[0, )
E.
Eé abe o en I:
x∈E⊂I∃U0∈ U x∈U0∃ > 0BI(x, ) = (x− , x + )∩I⊂U0
⇓⇓
∃U1,...,Um∈ U,
[0, x]⊂U1∪···∪Um∀y∈BI(x, ),
[0, y]⊂U1∪···∪Um∪U0BI(x, )⊂E.
Eé pechado en I:
x∈IE⊂I∃e
U0∈ U x∈e
U0∃s > 0BI(x, s) = (x−s, x+s)∩I⊂e
U0,
logo BI(x, s)⊂IE, xa que se exis e y∈BI(x, s) al que y∈E, en ón
∃e
Ui∈ U
i= 1,...,l[0, y]⊂e
U1∪. . . ∪e
Ul[0, x]⊂e
U1∪. . . ∪e
Ul∪e
U0x∈E.

Compacidade e con inuidade
6.10 TEOREMA
Se Xé un subconxun o compac o de Rne :X⊂Rn−→ Y⊂Rmé unha
aplicación con inua e sob exec i a, en ón o subconxun o Yde Rmé compac o.
DEMOSTRACIÓN
Sexa Uun ecub imen o abe o de Y, is o é,
Y=[
U∈U
U, U abe o en Y∀U∈ U,
e debemos e que U en un sub ecub imen o ini o. Ago a,
X= −1Y= −1[
U∈U
U=[
U∈U
−1(U),
e cada −1(U)é abe o en Xpo que Ué abe o en Ye :X→Yé con inua.
Logo  −1(U)U∈ U é un ecub imen o abe o de X. Como Xé compac o,
exis en U1, . . . , Uk∈ U ales que
X= −1(U1)∪. . . ∪ −1(Uk),
logo Y= (X) =  −1(U1)∪···∪ −1(Uk)
=  −1(U1)∪. . . ∪  −1(Uk)=U1∪. . . ∪Uk.
6.11 COROLARIO
Se Xé un subconxun o compac o de Rne :X⊂Rn−→ Y⊂Rmé unha
aplicación con inua, en ón o subconxun o (X)de Rmé compac o.
6.12 COROLARIO
A compacidade é unha p opiedade opolóxica.
6.13 COROLARIO
Calque a in e alo pechado [a, b](a, b ∈R, a < b) é compac o.
6.14 EXERCICIO
(1) Se x∈Rn,y∈Rm, en ón
BRnx, /√2×BRmy, /√2⊂BRn+m(x,y), .
(2) Se Wé un abe o en Rn+me(x,y)∈W, en ón exis e un abe o Uen Rne un
abe o Ven Rm al que (x,y)∈U×V⊂W.
6.15 TEOREMA
O p odu o ca esiano de conxun os compac os é un conxun o compac o.
DEMOSTRACIÓN
Paso 1 (Lema do ubo)Sexan x∈Rn,Y⊂Rm,Ycompac o. Sexa Wun
abe o en Rn+m al que {x}×Y⊂W. En ón exis e un abe o Uen Rnque
con én a x al que {x}×Y⊂U×Y⊂W.
PROBA. Pa a cada y∈Y,(x,y)∈W, logo (exe cicio an e io )
∃Uyabe o en Rn,x∈Uy
∃Vyabe o en Rm,y∈Vy(x,y)∈Uy×Vy⊂W.
Ago a, V=Vyy∈Yé un ecub imen o do compac o Ypo abe os en Rm,
logo
∃y1, . . . , yk∈YY⊂Vy1∪. . . ∪Vyk.
Se U=Uy1∩. . . ∩Uyk, en ón Ué un abe o en Rn,x∈U, e ense
{x}×Y⊂U×Y⊂U×(Vy1∪···∪Vyk)
= (U×Vy1)∪. . . ∪(U×Vyk)
⊂(Uy1×Vy1)∪. . . ∪(Uyk×Vyk)
⊂W.
Paso 2 Se X⊂RneY⊂Rmson conxun os compac os, en ón X×Yé un
subconxun o compac o de Rn+m.
PROBA. Sexa Wun ecub imen o de X×Ypo abe os en Rn+m.
Dado x∈X,{x}×Y≈Y, logo {x}×Y⊂Rn+mé compac o, e W amén
ecub e {x}×Y,
{x}×Y⊂[
W∈W
W{x}×Ycompac o
∃W1, . . . , Wl∈ W {x}×Y⊂W1∪···∪Wl=
no ación e
Wx
así que e
Wxé un abe o en Rn+mque con én a {x}×Y, conque polo lema do ubo,
∃Uxabe o en Rn,x∈Ux{x}×Y⊂Ux×Y⊂e
Wxunión ini a de memb os de W.
Ago a, a amilia U=Uxx∈Xé un ecub imen o de Xpo abe os en Rn,
e dado que Xé compac o,
∃x1, . . . , x ∈XX⊂Ux1∪. . . ∪Ux ,
e, polo an o,
X×Y⊂(Ux1×Y)∪. . . ∪(Ux ×Y)⊂e
Wx1∪. . . ∪e
Wx ,
onde cada e
Wxié unha unión ini a de memb os de W, do que se segue que, en
e ec o, W en un sub ecub imen o ini o. Logo X×Yé compac o.
Paso 3 Se X1⊂Rn1, . . . , Xk⊂Rnkson conxun os compac os , en ón
X1×. . . ×Xké un subconxun o compac o de Rn1+···+nk.
PROBA. Po indución: pa a k= 2 e i ícase polo paso 2. Supoñemos que se
e i ica pa k−1e é inmedia o que se e i ica pa a k, xa que
X1×···×Xk≈(X1×···×Xk−1)
compac o
po hipó ese indución
×Xk
é compac o, ou a ez polo paso 2. 