T aballo Fin de G ao
G a os plana es e iangulación de
supe icies
Noel Rodil López
Xullo, 2022
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO DE MATEMÁTICAS
T aballo Fin de G ao
G a os plana es e iangulación de
supe icies
Noel Rodil López
Xullo, 2022
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
T aballo p opos o
Á ea de Coñecemen o: Xeome ía e Topoloxía
Tí ulo: G a os plana es e iangulación de supe icies
B e e desc ición do con ido
Un eo ema de Ku a owski es ablece que un g a o é plana (me gulla-
ble no plano) se e só se non con én o g a o comple o con 5 é ices nen
o g a o bipa i o de 3+3 é ices. Seguindo un amoso a igo de Ca s-
en Thomassen, expoñe ase unha demos ación sinxela dunha pa e
des e eo ema, que logo se usa á pa a da unha demos ación sinxela
do eo ema de Jo dan-Schon lies, e como consecuencia ob e que oda
supe icie é iangulable.
Recomendacións
Especialmen e in e esan e pa a alumnos que lles gus a a a ma e ia
“Topoloxía de supe icies”.
Ou as obse acións
iii
Índice
Resumo ii
In odución ix
1. G a os Plana es e Teo ema da Cu a de Jo dan 1
2. Teo ema de Jo dan-Schön lies 13
3. T iangulación de supe icies pechadas 19
4. Clasi icación de supe icies pechadas 25
A. Anexo I: Un con aexemplo ó eo ema de Jo dan-Schön lies en dimensión 3 35
B. Anexo II: O xéne o dun g a o e a colo ación de mapas 41
Resumo
Nes e aballo, le a emos a cabo un es udo de allado dun a igo publicado po Ca s en Tho-
massen en 1992, no que p esen a p obas elemen ais de ca o g andes eo emas, culminando co
Teo ema de Clasi icación de Supe icies Pechadas. P o undiza emos nos esul ados e as p obas
expos as nes e a igo, e p opoñe emos algún esul ado adicional pa a acelo máis doado de segui .
Tamén engadi emos nume osas ilus acións dos concep os e p obas máis impo an es, e acla a-
emos odos os de alles que o au o deixa ao lec o . Todo is o, co in de acili a a comp ensión
das ideas expos as polo au o . Po úl imo, p esen a emos un con aexemplo a unha xe alización
dun dos p incipais esul ados do a igo, o Teo ema de Jo dan-Schön lies, xun o cunha aplicación
do Teo ema de Clasi icación de Supe icies Pechadas ao p oblema da colo ación de mapas.
Abs ac
In his wo k, we will ca y ou a de ailed s udy o an a icle published by Ca s en Thomassen
in 1992, in which he p esen s elemen a y p oo s o ou impo an esul s, ending wi h he Clas-
si ica ion Theo em o Closed Su aces. In o de o acili a e he unde s anding o he a icle, we
will del e in he esul s and p oo s con ained in he a icle, and p opose some o he esul s om
ou side he a icle in o de o make i easie o ollow. We will also ilus a e he mos impo an
concep s and p oo s, and cla i y he many de ails he au ho has le o he eade . Finally,
we p esen a coun e example o a gene alisa ion o one o he main esul s o he a icle, he
Jo dan-Schön lies Theo em, as well as an applica ion o he Classi ica ion Theo em o Closed
Su aces o he map colo ing p oblem.
ii
4 1. G a os Plana es e Teo ema da Cu a de Jo dan
Demos ación. Sexa Γunha ep esen ación de Gno plano. Pa a cada é ice p∈Γ, omamos un
disco pechado Dpde o ma que só in e seque ás a es as que inciden en pe a a unión de odos os
discos sexa disxun a. Ago a, pa a cada a es a pq de Γ, omamos o a co pq =pq ∩(R2/(˚
Dp∪˚
Dq))
e engadímoslle un segmen o en cada un dos dous discos conec ando peqcos ex emos de pq.
Como R2é Hausdo , e os a cos pq, p, q ∈Γson compac os disxun os, exis en abe os disxun os
que con eñen a cada un dos a cos, e polo an o podemos aplica o Lema 1.5 pa a sus i uilos po
a cos simples en cada abe o.
Figu a 1.3: Lema 1.14
Lema 1.15. Se Cé unha cu a simple poligonal pechada en R2,R2/C posúe dúas exións con
Ccomo on ei a.
Demos ación. P obando que R2/C en como moi o dúas exións e que non é a conexo, ob emos
o esul ado. Vexamos que en como moi o dúas exións. Supoñamos que q1, q2, q3pe encen a
3 exións dis in as de R2 C. Sexa Dun disco al que D∩Cé un segmen o de ec a. Ago a,
podemos le a cada un dos 3 pun os ca a o disco a a és dun a co simple poligonal sen in e seca
C. Non habe ía máis que desplaza se pa alelamen e ós segmen os de Ca unha dis ancia pequena.
Polo an o, dous dos es pun os es án conec ados a a es dun a co simple poligonal.
Vexamos ago a que R2 Cnon é a conexo. Sexa q∈R2 C. Tomemos unha semi ec a L
dende qcon di ección a bi a ia. L∩Cé unha unión ini a de in e alos (posiblemen e, pun os).
Dado Q, un des es in e alos, se Cpasa dun lado ao ou o de Lao pe co e Q, di emos que
Cco a a Len Q. No caso con a io, di emos que C oca a Len Q. Ao cambia a di ección
de L, o núme o de eces que Cco a a Lmódulo 2 non a ía. Is o oco e xa que cando nos
a opamos cun no o é ice, ou Cco a a Lnese é ice, co que o núme o de co es non a ía ou
ben C oca a L, co que o núme o de co es ao cambia de di ección aumen a ou disminúe en 2.
5
Polo expos o an e io men e, a pa idade man ense ixa pa a calque pun o den o do mesmo a co
poligonal en R2/C (non hai máis que muda a di ección de Lna di ección que se es á a pe co e
no a co). Po an o, a pa idade é a mesma pa a odos os pun os dunha exión de R2/C. Ago a
ben, conside ando unha semi ec a dende Qque in e seque a Cp ecisamen e unha ez, ob emos
pun os de dis in a pa idade, e polo an o, en di e en es exións.
Figu a 1.4: Lema 1.15: Teo ema da cu a de Jo dan pa a cu as poligonais
A exión non aco ada de R2/C chama ase ex e io de C, e a exión aco ada se á o in e io
de C. Deno a emolos como ex (C)ein (C) espec i amen e. Ademáis de inimos ex (C) = C∪
ex (C)ein (C) = C∪in (C).
Es e úl imo esul ado é un caso pa icula do eo ema da cu a de Jo dan pa a cu as pecha-
das simples poligonais. Unha das p obas clásicas, apoiase nes e lema, xun o con ou os esul ados
de ap oximación de cu as simples a bi a ias median e cu as poligonais, pa a p oba o eo ema
da cu a de Jo dan ( éxase [T e93]). Sen emba go, nes e caso, o au o emp ega es e esul ado
pa a p oba de o ma moi sinxela a non plana idade de K3,3, o que máis adian e se á de i al
impo ancia pa a a p oba que p e endemos cons ui .
O seguin e lema é unha ex ensión do lema an e io .
Lema 1.16. Sexa Cunha cu a simple poligonal pechada e Pun a co simple en in (C) al que
Pconec a p, q ∈C, e P∩P={p, q}. Sexan P1, P2∈Cos dous a cos de paq. Logo, R2/(C∪P)
posúe p ecisamen e 3 exións, con on ei as C,P1∪P, e P2∪P espec i amen e.
Demos ación. P imei amen e, ex (C)é unha das exións de R2/(C∪P). Ago a, p ocedemos
igual que no lema an e io , omando un disco D al que D∩Pé un segmen o de ec a, e concluimos
que in (C) en ao sumo dúas exións. Ago a emos que e que en polo menos dúas exións.
6 1. G a os Plana es e Teo ema da Cu a de Jo dan
Sexan L1eL2dous segmen os de ec a c uzados de o ma que L1⊂PeL1∩L2={p} ⊂ P.
Pola p oba do lema an e io , emos que os ex emos de L2es án en en dúas exións dis in as de
R (P∪P1), e polo an o en dúas exións dis in as de R (P∪C). Como amén es an en in (C),
concluimos que in (C) en polo menos dúas exións dis in as.
Figu a 1.5: Lema 1.16
Obse ación 1.17.O an e io lema implica que dados dous pun os , s en P1eP2 espec i amen e,
ambos dis in os de peq, non é posible uni escun a co simple poligonal en in (C)sen in e seca
aP.
Lema 1.18. K3,3non é plana .
Demos ación. Podemos ep esen a K3,3coma un ciclo C:x1x2x3x4x5x6con es co das
x1x4, x2x5, x3x6. Se K3,3 ose plana , pode íamolo ep esen a de di a o ma con Cunha cu a
simple poligonal pechada. Ago a, endo en con a a obse ación 1.18, como dous das co das deben
a opa se en in (C)ou ex (C), chegamos a unha con adicción.
De o ma idén ica, amén pode íamos p oba que K5 ampouco é plana . Is o cons i ue unha
das pa es do eo ema de Ku a owski1.
1Un g a o é plana se e só se non con en a ningunha subdi isión dos g a os K5ou K3,3.
7
Figu a 1.6: Lema 1.18. Non se pode conec a x3con x6no in e io nin no ex e io
P oposición 1.19. Se C é unha cu a pechada simple en R2, en ón R2/C non é conexo.
Demos ación. De inamos L1( esp. L2) como as ec as e icales que deixan Cna me ade do
plano pechado pa ido po L1( esp. L2). Sexa p1( esp. p2) o pun o supe io de L1∩C( esp.
L2∩C), e P1eP2as cu as en Cde p1ap2. Sexa L3ou a ec a e ical en e L1eL2. Como
P1∩L3eP2∩L3son compac os disxun os, exis e L4⊂L3un in e alo conec ando P1eP2 al
que L4∩C={p5, p6}con p5ep6en P1eP2 espec i amen e. Sexa L5un a co poligonal en
ex (C) o mado po dous segmen os de L1eL2unidos median e un segmen o po en iba de C.
Se L4es i ese en ex (C), exis i ia un a co simple poligonal L6conec ando pun os medios p3ep4
de L4eL5 espec i amen e. Obse emos que p1conéc ase a p4,p5ep6a a és de L4,P1eP2
espec i amen e, e o mesmo oco e pa a p2ep3(con di e en es a cos). Logo, C∪L4∪L5∪L6
se ía un g a o plana isomo o a K3,3, con adecindo ao lema an e io . Polo an o, o pun o medio
de L4non es á en ex (c), polo que es á en in (C).
Pa a demos a o eo ema da cu a de Jo dan, só nos queda en ón p oba que R2 Cnon
en máis de dúas exións.
8 1. G a os Plana es e Teo ema da Cu a de Jo dan
Figu a 1.7: P oposición 1.21
Lema 1.20. Se Gé un g a o 2-conexo e Hun subg a o 2-conexo de G, en ón podemos cons ui
Ga pa i de Hengadindo sucesi amen e camiños de o ma que cada un des es camiños eña
po é ices inicial e inal dous é ices dis in os do g a o ac ual, é o es o dos é ices es én o a
do g a o ac ual.
Demos ación. A p oba se á po inducción no núme o de a is as de E(G) E(H). Se es e núme o
e ce o, e íamos G=H, polo que asumimos que é dis in o de 0. Pola hipó ese de inducción, emos
que o esul ado cúmp ese pa a dous g a os G′, H′ ales que |E(G′) E(H′)|<|E(G) E(H)|. Sexa
H′un subg a o p opio 2-conexo maximal de Gcon endo a H. Se H ose un subg a o p opio de H′,
pode íamos aplica a hipó ese de inducción dúas eces, p imei o sob e H′eH, e pos e io men e
sob e GeH. Polo an o, podemos asumi que H=H′. Como Gé conexo, exis e unha a is a
x1x2en E(G) E(H)de o ma que x1∈H. Se x2∈H,H∪x1x2=Gpola maximalidade de
H. Logo, supoñamos que x2non es á en H. Xa que G−x1é conexo (Gé 2-conexo), exis e un
camiño x2x3...xkde o ma que xk∈Hexi/∈H: 2 ≤i<k. Ago a ben, dado que H∪P∪x1x2
é 2-conexo, e de no o pola maximalidade de Hob emos que H∪P∪x1x2=G.
Lema 1.21. Se Γé un g a o plana 2-conexo de polo menos 3 é ices, cuxas a is as son a cos
simples poligonales, logo R2 Γ en |E(Γ)|−|V(Γ)|+ 2 exións, cada unha delas cun ciclo de Γ
como on ei a.
Demos ación. Sexa Cun ciclo de Γ. Polo lema 2.3, o esul ado queda ía p obado se Γ = C.
Nou o caso, podemos ob e Γa pa i de Cengadindo camiños sucesi amen e do xei o explici-
ado no lema an e io . Cada un des es camiños é engadido den o dunha exión, que es á aco ada
9
po un ciclo, e polo an o, podemos aplica o lema 2.4, concluindo que po cada camiño enga-
dido, subdi idindo unha exión, aumen amos o núme o de exións en 1, o que ema a a p oba,
se obse amos que ao engadi un camiño cos ex emos no g a o ac ual e os demais é ices o a
del, es amos engadindo n é ices e n+ 1 a es as.
Se Γé un g a o plano, chama emos ca as de Γás exións de R2 Γ. Ademáis, se Γé 2-conexo,
a exión non limi ada se á a ca a ex e io de Γ, cuxa on ei a se á o ciclo ex e io de Γ.
De inición 1.22. Se GeHson dous g a os, de inimos a unión
G∪H= (V(G)⊔V(H), E(G)∪E(H))
.
Pa a os g a os planos, con én de ini a unión de dis in a o ma, co in de conse a a plana-
idade.
De inición 1.23. Sexan Γ1eΓ2dous g a os planos con a cos simples poligonales como a es as.
A súa unión Γ1∪Γ2cons ui ase da seguin e o ma:
Sexa Γ′
iunha subdi isión de Γide o ma que cada a es a sexa un segmen o de ec a pa a
i= 1,2. Ago a, sexa Γ′′
iunha subdi isión de Γ′
ide manei a que un pun o pdunha a es a ade Γ′
i
sexa é ice de Γ′′
ise pé un é ice de Γ′
3−iou ben pes á nunha a es a de Γ′
3−iin e secando a
a. Po úl imo, a unión usual de inida an e io men e en e Γ′′
1eΓ′′
2é un g a o plano que oma á
o papel de Γ1⊔Γ2.
Figu a 1.8: Unión de g a os plana es
10 1. G a os Plana es e Teo ema da Cu a de Jo dan
Lema 1.24. Sexan Γ1,Γ2, ...Γkg a os planos 2-conexos cuxas a es as son a cos simples poligo-
nales de o ma que cada Γi(i= 2,3..., k −1) en polo menos dous pun os en común con Γi−1e
con Γi+1, e ningún pun o en comun co es o dos Γj. Supoñemos ademais que Γ1∩Γk=∅. En ón,
odo pun o que se a ope na ca a ex e io de cada Γi∪Γi+1 (i= 1,2, ..., k −1) es á amén na ca a
ex e io de Γ1∪Γ2∪... ∪Γk.
Demos ación. Supoñamos que pé un pun o nunha ca a in e io de Γ1∪... ∪Γk. Dado que
Γ1∪... ∪Γké 2-conexo, séguese do lema 1.21 que exis e un ciclo Cen Γ1∪... ∪Γk al que
p∈in (C). Podemos escolle Cde o ma que Ces é en Γi∪Γi+1... ∪Γjej−isexa mínimo.
Vexamos que j−i≤1. Supoñamos en ón que j−i≥2. De no o, podemos asumi que o núme o
de a es as de Cque non es án en Γj−1é mínimo. Como Cin e seca a Γj−2e a Γj,C en polo
menos dous segmen os disxun os maximales en Γj. Sexa Pun deles, e P′o camiño máis cu o en
Γj−1en e PeC−V(P). Os ex emos de P′di iden Cen dous a cos, P1eP2, e cada un deles
con en segmen os o a de Γj−1. Necesa iamen e, un dos dous ciclos, P∪P1ou P∪P2con ena pno
seu in e io , e en menos segmen os o a de Γj−1dos que en C, o que con adice a minimalidade
na elección de Casumida an e io men e, polo que se Cé escollido desa o ma, Cnon pode es a
na unión minimal Γi∪Γi+1... ∪Γjcon j−i≥2.
Teo ema 1.25 (do a co).Se Pé un a co simple en R2,R2 Pé a conexo.
Demos ación. Sexan peqdous pun os en R2 P, e sexa d∈R al que peqes ean a dis ancia
>3dde P. Dado que Pé a imaxe dunha aplicación con inua (uni o memen e xa que o dominio
é compac o), podemos di idi Pen segmen os P1, P2...Pkde o ma que Pi ai de piapi+1 e al
que a dis ancia de cada pun o de Piapisexa meno que d, pa a i= 1,2, ..., k −1. Sexa d′a
minima dis ancia en e PiePi+1, i ∈ {1,2, ..., k −1}. Di idi emos ago a cada P1en segmen os
Pi,j de o ma que Pi,j ai de pi,j api,j+1 e a dis ancia en e cada pun o de Pi,j api,j é meno que
d′/4. Sexa Γio g a o o mado pola unión das on ei as dos cad ados de cen o pi,j e lado d′/2.
Obse amos que os Γisa is acen as condións do lema an e io . Obse emos ago a que dado que
Γi∪Γi+1 es á con ido no disco de adio 3dcen ado en pi+1, men as que peqnon, e aplicando
o lema an e io , emos que peqes án na ca a ex e io de Γ1∪Γ2∪... ∪Γk. Ao mesmo empo,
Pnon in e seca a es a ca a, polo que podemos uni peqmedian e un a co simple poligonal
disxun o de P.
Obse ación 1.26.Se Cé un subconxun o pechado do plano e Ωé unha exión de R2 C, di emos
que un pun o p∈Céaccesible dende Ωse pa a algún pun o qde Ω(e polo an o odos), exis e
un a co simple poligonal en e peq, in e secando a C soamen e en p. É unha cu iosa obse ación
que se Cé unha cu a simple pechada e p∈C,pnon é necesa iamen e accesible, dado que como
dixemos na in odución, exis en cu as con compo amen os pa olóxicos, con pun os aos que non
é posible accede median e un a co simple poligonal, xa que es e es á o mado po un núme o
11
ini o de segmen os. Po ou a pa e, se Pé un segmen o de Cque con én a p, polo eo ema
an e io , R2 (C P)é a conexo, e polo an o exis e un a co simple poligonal P′dende qa a
ou o pun o con ido nunha exión de R2 Cdi e en e de Ω, e logo P′in e seca a Cnun pun o
de P. Dado que podemos escolle un Pa bi a iamen e pequeno, deducimos que o conxun o de
pun os accesibles de Cé denso en C.
Teo ema 1.27 (da cu a de Jo dan).Se Cé unha cu a simple pechada en R2,R2 C en
exac amen e dúas exións, cada unha delas con Ccomo on ei a.
Demos ación. Supoñamos que exis en 3 pun os q1, q2, q3 ales que se a opan cada un deles nunha
exión di e en e de R2 C. Sexan Q1, Q2, Q3segmen os de Cdisxun os dous a dous. Aplicando a
obse ación an e io , emos que exis e un a co simple poligonal Pi,j de qiaQjcon i, j = 1,2,3.
Podemos asumi que Pi,j ∩Pi, j′=qise j=j′, xa que se po exemplo ao pe co e Pi,2ca a
qinos a opásemos con Pi,1no pun o q′
i, pode íamos modi ica Pi,2de o ma que o seu úl imo
segmen o es e moi p e o do segmen o de Pi,1que ai de q′
iaqi, sen ocalo, e o único pun o en
común con Pi,1sexa qi. Como os qise a opan en exións dis in as, Pi,j ∩Pi′,j =∅se i=i′.
Ago a, conside ando como é ices a os qi, podemos ex ende a unión dos a cos Pi,j, engadindo
pa a cada Qiun é ice no pun o in e medio dos es nos que cada a co Pi,j in e seca a Qi, e
comple ando as a es as cos segmen os de Qique une es es pun os in e medios aos ou os dous,
de o ma que ob emos unha ep esen ación plana de K3,3, o cal sabemos que non pode oco e ,
polo que R2 C en menos de 3 exións, e polo is o na p oposición 1.19, concluimos que R2 C
en exac amen e dúas exións, in (C)eex (C). Ademáis, o eo ema do a co amén implica que
odo pun o de Cé un pun o on ei a de in (C)eex (C).
Figu a 1.9: P oposición 1.21
12 1. G a os Plana es e Teo ema da Cu a de Jo dan
Obse ación 1.28.É moi ácil e que un g a o é me gullable no plano se e só se é me gullable
na es e a. É ob io que calque g a o plana é me gullable na es e a, e pa a e que o ecíp oco
é ce o, só habe ía que elimina un pun o da es e a que non pe enza ó g a o, co cal ob e íamos
un espazo homeomo o a R2. Po is o úl imo, amén é ce o o eo ema do a co pa a unha es e a.
Polo an o, o eo ema da cu a de Jo dan é álido pa a cu as pechadas simples en es e as.
Capí ulo 2
Teo ema de Jo dan-Schön lies
Ago a imos a p oba o esul ado cen al des e aballo, que o ma unha pon e en e o eo ema
da cu a de Jo dan (do que é unha xe alización) e o eo ema de iangulación de supe icies
pechadas. Xa emos case odo o necesa io, soamen e nos a á al a ex ende un pa de esul ados
do capí ulo an e io . Comezamos cunha ex ensión do lema 1.17.
Lema 2.1. Sexa Cunha cu a simple pechada e Pun a co simple poligonal en in (C)unindo
os pun os peqe con ningún ou o pun o en común con C. Sexan P1eP2os dous a cos en
Cde paq. En ón, R2 (C∪P) en exac amen e 3 exións con on ei as C,P1∪PeP2∪P
espec i amen e.
Demos ación. Ao igual que na p oba do lema 1.17, só nos al a p oba que in (C)se di ide
en polo menos dúas exions. Sexan L1eL2dous segmen os c uzados de o ma que L1⊂Pe
L1∩L2={p} ⊂ P. Se os ex emos de L2es i esen na mesma exión de in (C), exis i ía un
a co simple poligonal P3 al que L2∪P3é unha cu a simple poligonal pechada. Pola p oba do
lema 1.15, os ex emos de L1es án en dis in as exións de R2 (L2∪P3). Ao mesmo empo, os
ex emos de L1es án na mesma exión de R2 (L2∪P3), dado que es án conec ados po un a co
simple en P∪Cque non in e seca a L2∪P3. Es a con adicción implica que os ex emos de L2
es án en dis in as exións de in (C), o que ema a a p oba.
Tamén ob emos a seguin e xe alización do lema 1.23.
Lema 2.2. Se Γé un g a o plano 2-conexo que con én a un ciclo C, sendo Cunha cu a simple
pechada, de o ma que odas as a es as de Γ Csexan a cos simples poligonales en in (C), en ón
R Γ en |E(Γ)|−|V(Γ)|+ 2 exións, cada unha delas cun ciclo de Γcomo on ei a.
Demos ación. A p oba é idén ica á do lema 1.23, pe o emp egando o lema an e io en luga do
lema 1.17.
13
20 3. T iangulación de supe icies pechadas
Figu a 3.1: Unha supe icie pechada, o e ahed o
Obse ación 3.4.Gpode con e a es as múl iples e lazos, polo que non necesa iamen e é un
g a o. Aínda así, a pa i de calque me gullo 2-celula Gé posible ob e unha iangulación,
p ocedendo da seguin e o ma. Se Gnon é g a o, subdi idimos as a es as pa alelas e os lazos
que poida habe , de o ma que ob emos un g a o. Ago a, despois de ace as co esponden es
di isións nos lados dos póligonos se ose necesa io, cada ca a de Gque sexa un polígono con exo
con máis de 3 lados é sinxela de iangula . Imos a desc ibi un p ocedemen o xe al, aínda que
pode ía ace se de calque xei o.
Sexan 1, 2, ..., con ≥4os é ices do polígono, con índices exp esados módulo . Engadi-
mos +1 no os é ices u, u1, ..., u no in e io do polígono, xun o coas a es as ui i, ui i+1, uiui+1, uiu.
Unha ez sepa ados, os iángulos ob idos inducen un no o g a o G′. Cabe obse a que E(G) =
E(G′). Na seguin e igu a ilus amos os an e io es p ocedemen os cun exemplo no que Sé o
o o (de ini emos es a supe icie no seguin e capí ulo). Cabe obse a que es e mé odo de ian-
gulación de polígonos es á cons uido de o ma que o esul ado non con eña lazos nin a es as
múl iples, polo que o esul ado inal de odo o p ocedemen o semp e é unha iangulación.
.
21
Figu a 3.2: T iangulación do o o
P obamos ago a un esul ado auxilia pa a a demos ación do seguin e eo ema.
Lema 3.5. ([Jea13],Lema E.2) Sexan C, C2, C3⊂R2 es cu as pechadas simples, al que
C3⊂in (C2). De inimos un "mal segmen o"de Ccoma un segmen o P⊂Cde o ma que
P⊂in (C2)eP∩C2={p, q}. De inimos amén un "moi mal segmen o"coma un mal segmen o
que in e seca a C3. Logo, nas condicións an e io es, só exis e un núme o ini o de segmen os moi
malos.
Demos ación. Obse emos que como as cu as son conxun os compac os (imaxe po aplicación
con inua de [0,1]), e C3⊂in (C2), exis e un ϵ > 0pa a o que C3 en un ecub imen o ini o
o mado po discos de adio ϵ, odos eles con idos en in (C2).
Supoñamos que exis en in ini os segmen os moi malos, e sexa {Pn}unha sucesión de di os
segmen os. Cada un des es segmen os co espóndese cos dous pun os nos que in e seca a C2,pn
22 3. T iangulación de supe icies pechadas
eqn. Se C=γ([0,1]), emos que pn=γ(un)eqn=γ( n), polo que podemos o ma a sucesión
{ k}, de inida po 2k−1=uke 2k= k. Como [0,1] é compac o, es a sucesión en un pun o
de acumulación . Ademáis, dado que as cu as son compac as, ambas as dúas sucesións {pn}e
{qn} eñen algunha subsucesión con e xen e a γ( ) = s, do que deducimos que ses á en C2e
po an o en C∩C2. Como C=γ([0,1]) é unha cu a con inua, dado η > 0,∃ϵ2>0 al que
|u− |< ϵ2=⇒γ(u)∈B(s, η). Dado que é un pun o de acumulación de { k}, is o implica que
exis e algún ukou ka dis ancia < ϵ2de , polo que hai algún moi mal segmen o Pn⊂B(s, η).
Ago a ben, se escollemos η < ϵ, pola obse ación inicial, di o segmen o non in e seca ía a C3, o
cal é unha con adicción. Po an o, só exis e un núme o ini o de segmen os moi malos.
Teo ema 3.6. Toda supe icie pechada é homeomo a a unha supe icie iangulada.
Demos ación. Polo que obse amos an e io men e, só se á necesa io p oba que oda supe icie
pechada é homeomo a a unha supe icie cun me gullo 2-celula .
Pa a cada pun o p∈S, sexa D(p)un disco abe o do plano homeomo o a un en o no abe o
Upde pa a és dun homeomo ismo θp:D(p)→Up. Conside amos en D(p)dous cuad ilá e os
Q1(p)eQ2(p) ales que Q1(p)⊂in (Q2(p)) e con p∈θp(in (Q1(p))). Como Sé compac o, exis e
un núme o ini o de pun os p1, p2, ..., pnde o ma que S=Sn
i=1 θi(in (Q1(pi))). Como os discos
D(pi)son subconxun os do plano, podemos asumi que son disxun os dous a dous. O p oblema
undamen al que se nos p esen a, é que é posible que os θi(Q1(pi)) iniciais se in e sequen de o mas
moi complicadas (es án o mados po a cos simples non necesa iamen e poligonais), podendo
chega a in e seca se in ini as eces, o que imposibili a ía a cons ucción dun me gullo 2-celula e
po iso, no que en, man e emos os D(pi) ixos no plano, pe o modi ica emos os homeomo ismos
θPi, e en consecuencia os conxun os co esponden es UPi=θpi(D(pi)), conside ando despois
no os cuad ilá e os Q1(pi)que o men un me gullo 2-celula de S.
P ocedendo po inducción, supoñamos que Q1(p1), ..., Q1(pk−1) o on elixidos de o ma que
calesque a dous cuad ilá e os de θp1(Q1(p1)), ..., θpk−1(Q1(pk−1)) eñan in e sección ini a en S.
Ago a examos o que oco e en Q2(pk).
De inimos un “mal segmen o” coma un segmen o Pde algún Q1(pj),(1 ≤j≤k−1) de o ma
que θpj(P)conec a dous pun os de θpk(Q2(pk)) e en o es o dos pun os en θpk(in (Q2(pk))). Cada
mal segmen o en unha imaxe en Q2(pk), dada po θ−1
pk(θpj(P)), á que chamamos “mal segmen o”
en Q2(pk). Sexa Q3(pk)ou o cuad ilá e o al que Q1(pk)⊂in (Q3(pk)) eQ3(pk)⊂in (Q2(pk)).
Decimos que un mal segmen o Pé un “moi mal segmen ” se θpj(P)in e seca a θpk(Q3(pk)). É
posible que exis an in ini os malos segmen os, xa que pode ía exis i un segmen o dalgún Q1(pj)
que se “ e ol ese” in ini as eces in e se cando a Q2(pk)in ini as eces. En cambio, como es amos
nas condicións do lema an e io (Q3(pk)⊂in (Q2(pk)), sabemos que só exis e un núme o ini o
de segmen os moi malos.
23
Os segmen os moi malos θ−1
pk(θpj(P)) den o de Q2(pk)xun o con Q2(pk) o man un g a o
plano 2-conexo Γ. Polo lema 1.20, sabemos que podemos edebuxa Γden o de Q2(pk)de
o ma que ob emos un g a o Γ′plano-isomo o (e po an o homeomo o) a Γno que odas as
a es as sexan a cos simples poligonais. Ago a, aplicando o co ola io 2.5, ex endemos o plano-
isomo ismo a un homeomo ismo de in (Q2(pk)deixando ixo Q2(pk). Es e homeomo ismo
ans o ma Q1(pk)eQ3(pk)en cu as simples pechadas Q′
1eQ′
3en in (Q2(pk)) al que Q′
1⊂Q′
3
epk∈θpk(in (Q′
1)).
Vexamos que exis e unha cu a simple poligonal Q′′
3⊂in (Q2(pk)), de o ma que Q′
1⊂
in (Q′′
3)e non in e seque a ningún mal segmen o que non sexa moi malo. E ec i amen e, se
pa a cada p∈Q′
3escollemos un cad ado R(p)de cen o pque non in e seque nin a Q1nin a
ningún mal segmen o que non sexa moi malo. Es es cad ados ecub en Q′
3. Logo, omando un
sub ecub imen o ini o (Q′
3é compac o), a unión des es cad ados o ma un g a o plano 2-conexo,
cuxo ciclo ex e io pode oma o papel de Q′′
3. Se ose necesa io, podemos xi a algún dos cad ados
en o no ó cen o pa a que a in e sección cos segmen os moi malos sexa ini a (podémolo ace ,
dado que os segmen os moi malos son a cos simples poligonais, o mados po un núme o ini o
de segmen os de ec a, polo que só exis e un núme o ini o de di eccións).
Ago a, ao igual que ixemos an es, podemos edibuxa Γ′∪Q′′
3, que é un g a o plano 2-
conexo, de o ma que Q′′
3sexa un cuad ilá e o (que con én a Q′
1no seu in e io ), e ex ende o
plano-isomo ismo de g a os a un homeomo ismo de in (Q2(pk)) g azas ó co ola io 2.5. Da-
do que Q′
1⊂in (Q′′
3), podemos escolle a Q′′
3como o no o Q1(pk), e segui ase cump indo
S=Sn
i=1 θi(in (Q1(pi))), ademáis de que θpk(Q1(pk)) e á in e sección ini a con cada un dos
θpi(Q1(pi)) (1≤i≤k−1). A hipó ese de inducción queda así p obada pa a odo k.
Dado que S=Sn
i=1 θi(in (Q1(pi))) e que a in e sección en e cada dous dos θpiQ1(pi)é
ini a, podemos pensa en Sn
i=1 θpi(Q1(pi)) coma un g a o Γme gullado en S. Cada exión de
S Γes á limi ada po un ciclo C. Ago a, pa a cada Cdebuxamos un polígono con exo C′de
lado 1de o ma que os é ices de C′se co espondan cos é ices de C, e ob emos a supe icie
S′iden i icando os lados de odos os polígonos adecuadamen e pa a que o g a o inducido do
2-me gullo celula Γ′en S′sexa isomo o a Γ. Podemos ex ende acilmen e o isomo ismo en e
ΓeΓ′(pensando en ΓeΓ′como g a os abs ac os) a un homeomo ismo : Γ ⊂S→Γ′⊂S′.
En pa icula , a es icción de aCé un homeomo ismo de Cen C′. Cla amen e, pa a algún
i,Ces á con ido en θpi(in (Q2(pi))), homeomo o a R2, men es que in (C′)é o in e io dun
polígono con exo, polo que podemos aplica o eo ema de Jo dan-Schön lies pa a ex ende |C
ain (C). P ocedendo des e xei o pa a odas as exións de S Γ, ob emos un homeomo ismo
en e SeS′.
24 3. T iangulación de supe icies pechadas
Figu a 3.3: Teo ema 3.5
Capí ulo 4
Clasi icación de supe icies pechadas
Xa p obado que oda supe icie pechada é homeomo a a unha supe icie iangulada, imos a
desc ibi un conxun o de supe icies pechadas e p oba emos que oda supe icie pechada é homeo-
mo a a unha delas. Pa a ema a , e emos que ningunha das supe icies desc i as é homeomo a
a ou a. Como consecuencia, e emos p obado o eo ema de clasi icación de supe icies pechadas.
De inición 4.1. Sexa Funha ca a dunha supe icie Scon un 2-me gullo celula . Den o dela,
conside emos dous iángulos disxun os T1eT2. Eliminamos os in e io es dos iángulos, e o -
mamos unha supe icie S′iden i icando os lados dos iángulos de o ma que as o ien acións no
plano dos lados coincida. Fo mamos ou a supe icie S′′ iden i icando os lados de o ma que as
o ien acións no plano sexan opos as. Decimos que S′eS′′ son ob idas a pa i de Sengadindo un
asa o cida ou un asa espec i amen e. Se en luga de dous iángulos conside amos un cad ado,
bo amos o seu in e io , e inden i icamos os pun os "diame almen e opos os", como se mos a
na igu a, ob emos unha supe icie S′′′, a cal di emos que é ob ida a pa i de Sengadindo unha
apa c uzada ( ealmen e es amos a pega unha banda de Möbius polo seu bo de).
É cla o que non en impo ancia a localización dos iángulos ou cuad ila e os den o da
mesma ca a, nin ampouco a elección da ca a Fna que os si uamos. Tamén é posible que os
dous iángulos se a open en di e en es ca as, aínda que po ago a non se íamos capaces de
dis ingui en e os dous ipos de asa. Ademais, ao engadi unha apa c uzada, non é necesa io
emp ega un cuad ilá e o, se non que iden i icando pun os opos os en calque a cu a simple
pechada, ob e íamos a mesma supe icie (sal o homeomo ismo)
Tamén podemos ep esen a as asas e as asas o cidas conside ando un cuad ilá e o é iden-
i icando os lados debidamen e, da o ma indicada nas seguin es igu as. E ácil e que es as
ep esen acións son equi alen es. P ocedendo dun xei o simila , podemos p oba g a icamen e o
seguin e lema.
25
26 4. Clasi icación de supe icies pechadas
Figu a 4.1: Asa, asa o cida e apa c uzada
Lema 4.2. A adición dun asa o cida é equi alen e a engadi dúas apas c uzadas. Ademáis,
unha ez que emos engadido unha apa c uzada, a adición dun asa é equi alen e á dun asa
o cida.
Demos ación. A p oba es á ilus ada a con inuación. Só es a e que os cuad ila e os da p imei-
a e úl ima ilus ación da segunda pa e do lema son, espec i amen e, equi alen es ós iángulos
que o man unha asa ou unha asa o cida, o cal é moi sinxelo de e emp egando o mesmo mé odo
da demos ación.
Figu a 4.2: Asa o cida =2 apas c uzadas
27
Figu a 4.3: Asa + apa c uzada =asa o cida + apa c uzada
Ago a, conside emos odas as supe icies ob idas do xei o an e io , a pa i da es e a S0,
pensada coma un cocien e de polígonos ( e ahed o). Engadindo hasas á es e a, ob emos unha
supe icie que deno a emos po Sh, e chama emos supe icie o ien able de xéne o h. Se en cambio
engadimos k apas c uzadas, ob emos ou a supe icie, á cal deno a emos po Nk, e chama emos
supe icie non o ien able de xéne o k. Máis adian e, e emos o po qué des a denominación. S1,
N1eN2son o o o, o plano p oxec i o é a ga a a de klein espec i amen e. A pa i do lema
an e io , dedúcese o seguin e esul ado.
P oposición 4.3. Sexa Sa supe icie ob ida a pa i da es e a, engadindo hasas, asas o cidas
ec apas c uzadas. En ón, se =c= 0,S=Sh, e nou o caso, S=N2h+2 +c.
Ago a p oba emos o esul ado undamen al des e capí ulo, que nos deixa á a un paso de
es ablece o eo ema de clasi icación de supe icies pechadas. Imos a e que dada unha supe -
icie pechada S, semp e é posible ans o mala en S0, median e un núme o ini o de co es e
iden i icacións. En [O s] pódese consul a unha exposición moi in ui i a e cunha isualización
moi cla a dunha demos ación do eo ema de clasi icación, ideada po E.C. Zeeman, onde es e
28 4. Clasi icación de supe icies pechadas
p oceso ecibe o nome de “ci u xía”.
Lema 4.4. Sexa Sunha supe icie pechada, e Gun mul ig a o me gullado en S(median e un
me gullo 2-celula ), con n é ices, qa es as e ca as. En ón Sé homeomo o a Shou Nk, onde
hek eñen dados polas ecuacións
E(G) = n−q+ = 2 −2h= 2 −k(4.1)
Demos ación. Como Sé conexo, G amén. Vexamos en p imei o luga que E(G)≤2. Pa a
elo, eliminamos sucesi amen e a es as de Ga a que ob emos un subg a o conexo minimal Hde
G. En cada eliminación, o núme o de ca as (ago a non necesa iamen e polígonos) man ense ou
edúcese en 1. É cla o que H en n é ices, n−1a es as e unha sola ca a. Dis o deducimos que,
e ec i amen e, E(G)≤2.
Ago a, como xa imos no capí ulo an e io , podemos ob e a pa i do mul ig a o Gun g a o
G′que iangule S, e de o ma que E(G) = E(G′). Polo an o, é su icien e con p oba o esul ado
cando Gé unha iangulación de S. Fa emos unha p oba po educción ó absu do.
Supoñamos que SeG o man un con aexemplo ao lema, de o ma que Gposúa polo menos
4 é ices e
(1) 2−E(G)=2−n+q− é mínimo.
(2) Suxei o a (1),né mínimo.
(3) A mínima alencia mde Gé mínima, suxei a a (1) e(2) (A alencia dun é ice é o núme o
de a es as inciden es nel).
Sexa un é ice de mínima alencia en G. Sexan 1, 2, ..., mos é ices eciños de al que
os ciclos 1 2, 2 3, ... m 1aco en as ca as adxacen es a (cos índices exp esados módulo
m). Como Gé un g a o, necesa iamen e emos m≥3. Se m= 3,G− é unha iangulación
de S, a non se que Ssexa o e ahed o (en ón G− só e ía un iángulo, o cal non é unha
supe icie pechada). O p imei o caso con adeci ía (2) e o segundo a suposición de que SeG
son un con aexemplo do lema. Po an o, emos que m≥4.
Se pa a algún i= 1,2, ..., m, o é ice inon es á conec ado a i+2 median e unha a es a,
deno emos como G′ao g a o ob ido a pa i de Geliminando a a es a i+1 e engadindo a a es a
i+2. É ácil e que G′ iangula a S, o que con adice (3). En ón, podemos asumi que G
con én a odas as a es as i i+2, cando en alencia mínima.
A idea do que segue de demos ación é a seguin e; imos a "co a "(elimina as iden i icacións)
a nosa supe icie polo iángulo T= 1 3, o cal non desconec a á supe icie (Te unha cu a de
Spe o non delimi a unha ca a). Ao ace es o, e emos que poden oco e dúas cousas; que Tse
ans o me en dous iángulos disxun os, o cal oco e ía cando T o me pa e dunha asa ou asa
o cida, ou que Tse ans o me nun hexágono, o cal oco e se T o ma pa e dunha banda de
29
Möbius (obse emos que ao co a unha banda de Möbius polo seu me idiano non a sepa amos
en dúas pa es). Despois, “ echea emo” os ocos que quedan no in e io de Tpa a ob e unha
supe icie pechada S′cun me gullo 2-celula G′, pa a o cal e emos que E(G′)> E(G), o que
implica ía que 2−E(G′)<2−E(G), e de aco do con (1), is o implica que S′é da o ma
Shou Nk. Como no p oceso de cons ucción de S′es amos a des ace un asa, asa o cida, ou
apa c uzada, é cla o que Sob ense a pa i de S′engadindo unha das an e io es, polo que se á
da mesma o ma. Imos a desen ol e ago a es e a gumen o, e pa a acili a a súa isualización,
apoia emonos nun exemplo g á ico, nes e caso o do o o, o cal ep esen a ía o p imei o dos dous
casos aos que an es nos e e iamos. É impo an e no a que pa a pode aplica isualmen e o
p oceso, é necesa io pa i dunha iangulación mínima (nas condicions an e io men e expos as).
Ademáis, hai que en ende a ep esen ación da igu a coma un g a o, na que pa a aumen a a
cla idade e pode ep esen a o g a o no plano (non é un g a o plana ), apa ecen po duplicado
algúns é ices e a es as.
Deno emos po Mo espacio opolóxico esul an e de iden ica os lados dos iágulos de S(da
o ma indicada pola iangulación), excep uando os seis lados que se co esponden coas a es as
1, 1 3e 3 , os cales deixamos sen iden i ica . Chama emos a es es seis lados lados on ei a
de M. Sexa G′o g a o cuxos é ices son os é ices dos iángulos de Me cuxas a es as son
os lados de di os iángulos (unha ez iden i icados, analogamen e ó g a o que induci ía Mse
ose unha supe icie pechada). No emos que G en exac amen e 6 é ices inciden es con lados
on ei a, e cada un des es é ices é inciden e con exac amen e 2 lados on ei a. Polo an o, os
lados on ei a o ma un subg a o C o mado po é ices de alencia 2. En ón, só emos dúas
posibilidades pa a C, ou ben es á o mado po dous iángulos disxun os, ou ben é un hexágono.
Se Ces á o mado po dous iángulos disxun os, engadimos a Mdous no os iángulos disxun os
do plano, e iden i icamos os seus lados coas a es as de C, de o ma que ob emos unha supe icie
S′ iangulada po G′. Se Cé un hexágono H, engadimos un hexágono do plano (p e iamen e
iangulado) a M, e iden i icamos os seus lados coas a es as de C, de o ma que ob emos unha
supe icie S′′, iangulada po un g a o G′′ (aquí é necesa io ex ende G′dado que emos que
iangula o hexagono engadido). No p imei o caso, engadimos dúas ca as, polo que
E(G′) = E(G)+2 (4.2)
e no segundo caso, como E(H) non a ía ao iangulalo, emos que
E(G′′) = E(G)+1 (4.3)
Po (1), emos que de se supe icies pechadas, S′ou S′′ son da o ma Shou Nk, o cal é
así, dado que G′é conexo pola exis encia da a es a 2 m( 2es á den o de Te m o a). Se C
consis e en dous iángulos, como dixemos an es, é cla o que Sob ense a pa i de S′engadindo
un asa, ou un asa c uzada, men as que se Cconsis e nun hexágono, Sob ense a pa i de S′′
36 A. Anexo I: Un con aexemplo ó eo ema de Jo dan-Schön lies en dimensión 3
De ini emos a es e a co nuda como o lími e dunha sucesión de es e as, e e emos que a pesa
de se homeomo a á S2, o complemen a io da unión da es e a co seu in e io non é simplemen e
conexo, é dici , que exis e un lazo con ido nel que non se pode de o ma a a un pun o.
Pa imos da es e a S2
0a que lle engadimos unha asa, de o ma que ob emos un o o, ao
que chama emos X1. Ago a, emo emos unha pequena sección ans e sal (un cilind o) da asa,
ob endo así un cilind o, e apamos con dous discos o cilind o de o ma que ob emos unha es e a
S2
1(análogo ó que aciamos na demos ación do eo ema de clasi icación). A con inuación, a cada
un dos discos (de adio ), qui ámoslle un disco meno concén ico de adio /2, e pegámoslle
un o o pinchado ( o o menos un disco) de o ma que os dous o os es én "encadeados", como se
mos a na igu a. Des a o ma ob emos o espazo X2. Ago a, igual ca no paso an e io , eliminamos
en cada un dos no os o os un cilind o do modo desc i o na igu a, e pegamos 4 apas, de o ma
que ob emos unha no a es e a S2
2. Repe indo es e p ocedemen o a a o in ini o, cada egada
pegando o os máis e máis pequenos a cada un dos discos esul an es de elimina os cilind os,
ob emos a es e a co nuda de Alexande A.
Figu a A.1: Cons ucción da es e a [Bin83]
37
Figu a A.2: Ca ica u a do ma emá ico John H. Conway coa es e a co nuda de Alexande c ecén-
dolle na cabeza, po Simon F ase (Guy 1983, Sch oede 1991, Albe s 1994)
P oposición A.4. A es e a co nuda de Alexande é unha 2-es e a.
Demos ación. Imos a desc ibi un homeomo ismo hen e AeS2. ([Bin83], exe cicio IV.3.A)
Sexan Di, i = 0,1dous discos disxun os en S2. Conside amos ago a no in e io de cada un
des es discos, ou os dous discos Dij, i, j = 0,1, en cada un des es 4 discos, ou os 2 (8 en o al)
Dijk, i, j, k = 0,1, e así sucesi amen e, engadindo en cada paso 2ndiscos. O homeomo ismo h
le a á A∩S2
2en S2 Si,j In (Dij),A∩S2
3en S2 Si,j,k In (Dijk), e c. Fál anos de ini hnos
pun os lími e, é dici , os pun os de Aque non se a opan en ningún dos S2
i. Sexa pun des es
pun os, U a compoñen e conexa de A S2
que con én a p, e D o disco Dij... ence ado en h(∂U ).
De inimos h(p) = T ∈ND .
38 A. Anexo I: Un con aexemplo ó eo ema de Jo dan-Schön lies en dimensión 3
Figu a A.3: Cons ucción de h
Cu iosamen e, como se pode ap ecia de o ma cla a na igu a an e io , es es pun os que
non se a opan en ningunha das ap oximacións S2
n, chamados "pun as dos co nos", o man un
conxun o de Can o , xa que en cada paso emo emos 2 discos do in e io de cada no o disco, o
cal é análogo á cons ucción do conxun o de Can o a pa i dun in e alo.
Do mesmo xei o que na an e io demos ación, conside ando “ odaxas” da bola idimensional
en luga de discos na es e a, pode íamos es ablece un homeomo ismo en e a B, a bola co nuda
(a es e a co nuda xun o co seu in e io ) e a bola canónica de R3, o cal que e dici que o in e io
da es e a co nuda sí é homeomo o ao in e io de S2. ( éxase [Bin83], exe cicio IV.4.C)
Vexamos ago a que o ex e io da bola co nuda non é simplemen e conexo, seguindo unha
idea de [Col07].
Sexa Lo lazo ep esen ado na igu a. Da emos unha idea de po qué non se pode de o ma
median e unha homo opía a un pun o. Supoñamos que exis a di a homo opía, Γ : S1×[0,1] →
R3 B, con Γ0=LeΓ1={p}. Como S1×[0,1] é compac o, a súa imaxe po Γ amén o é.
Ademáis, Γ(S1×[0,1]) é disxun o de B, que amén é compac o, polo que a dis ancia en e os
dous conxun os en que se un núme o eal posi i o ϵ. Ago a ben, na cons ucción da es e a
co nuda desc i a an e io men e, os cilind os que se sus aen dos o os en cada paso son cada ez
máis pequenos, de ei o poden se an pequenos como que amos (o adio edúcese á me ade en
cada paso), polo que chegado a ce o paso, a dis ancia en e as dúas apas dos no os co nos é
meno que ϵ, acendo imposible que Γ(S1×[0,1]) pase a a és dos co nos. Is o é su icien e pa a
e que R3 Bnon é simplemen e conexo, pe o pódese p oba que o seu g upo undamen al é
39
un g upo lib e in ini amen e xe ado ( éxase [Ha 01]).
Dado que se simplemen e conexo é unha p opiedade opolóxica, o ex e io da es e a co nuda
non é homeomo o ao ex e io de S2, e polo an o, non podemos ex ende o homeomo ismo en e
AeS2a un homeomo ismo de R3en R3, e concluimos que o eo ema de Jo dan-Schön lies non
se sos en (sen es iccións) en dimensión 3.
Figu a A.4: [Col07]
40 A. Anexo I: Un con aexemplo ó eo ema de Jo dan-Schön lies en dimensión 3
Anexo B
Anexo II: O xéne o dun g a o e a
colo ación de mapas
Xa sabemos que o p oblema dos es se icios expos o na in odución non en solución, endo
p obado que K3,3non é plana . Tamén sabemos que podemos ep esen a K3,3no plano cunha soa
in e sección en e duas a es as, o cal, se pensamos un pouco, pode da luga á seguin e " ampa".
Se puidésemos coloca un asa no plano de o ma que es a pasase po en iba da in e sección,
pode íamos ace pasa unha das a es as polo asa e a ou a po debaixo, de o ma que non se
in e sequen.
Figu a B.1: Solución ao p oblema dos es se icios nunha aza
Ago a, como xa obse amos no p imei o capí ulo, un g a o é me gullable no plano se e só se
41
42 B. Anexo II: O xéne o dun g a o e a colo ación de mapas
é me gullable nunha es e a. Xun o, co an e io , is o que e dici que se eplan examos o p oblema
dos 3 se icios, pensando en que as casas es án no globo e áqueo (unha es e a), a solución
consis i ía en engadi unha asa á es e a, é dici , ans o mala nun o o. Ou a o ma de dici es o
é que K3,3é me gullable no o o.
Xa imos que exis en máis g a os non plana es que sí son me gullables no o o, como po
exemplo K7(a iangulación mínima do o o). Is o pode le a nos a ace nos a seguin e p egun a.
Dado un g a o G, exis e algunha supe icie o ien able Shde o ma que Gsexa me gullable en Sh?
Cla amen e, a espos a é sí. Dado un g a o a bi a io, podemos ep esen alo na es e a cun núme o
ini o de in e seccións1. Logo, só emos que coloca un asa po cada unha des as in e seccións
e p ocede do xei o desc i o an e io men e. Ago a ben, é necesa io engadi unha asa po cada
in e sección pa a pode me gulla Gen Sh? Como dixemos an es, K7é me gullable no o o, e
a súa ep esen acion plana en necesa iamen e máis dunha in e sección. Polo an o, en xe al, a
espos a a es a úl ima p egun a é non. Es a cues ión le anos a de ini o xéne o dun g a o.
De inición B.1. Sexa Gun g a o. De inimos o xéne o de G, ó que deno amos po γ(G), como
o núme o mínimo de asas que hai que engadi a S0pa a pode me gulla G. É dici , o xéne o de
Gé o mínimo alo de hpa a o que Gpode se me gullado en Sh.
Un g a o plana en polo an o xéne o 0, men ás que un g a o o oidal (me gullable no o o
e non plana ) en xéne o 1. Como indica o au o en [Tho92], o p oblema de de e mina o xéne o
dun g a o a bi a io dado é moi di icil, en pa icula é NP-comple o. Sen emba go, pa a algunhas
amilias de g a os, sí que é posible calcula apidamen e o xéne o2.
Obse ación B.2.O xéne o dun g a o es á in imamen e ligado ó xéne o dunha supe icie o ien-
able. Se Gé un me gullo 2-celula de Sh, pola o mula de Eule , emos que E(G) = n−q+ =
2−2h, polo que γ(G) = h.
Es a úl ima obse ación é de g an impo ancia, pois pe mí enos es uda un p oblema clásico,
o da colo ación de mapas, emp egando e amen as da eo ía de g a os. Es e p oblema consis e
en sabe cal é o núme o máximo de co es necesa ias pa a colo ea un mapa3de o ma que
dous paises adxacen es semp e eñan dis in a co . Ago a, se lle asignamos un é ice a cada
país, e ep esen amos a adxacencia de dous paises median e unha a es a en e os seus é ices
co esponden es, ob emos un g a o G. En ón, es e p oblema é equi alen e a ob e o núme o
máximo de co es necesa ias pa a colo ea os é ices de Gde o ma que dous é ices adxacen es
non compa an co . Es e núme o é coñecido como núme o c omá ico de G, e deno a émolo po
κ(G).
1O mínimo núme o de in e seccións ao ep esen a Gno plano é coñecido como o núme o de c uce de G.
2Véxase [Ano]
3En endemos po mapa a unha subdi isión do plano ou da es e a dada po un g a o Hme gullado nela, na
que asignamos a cada país unha ou máis exións de S0 G.
43
Figu a B.2: Mapa con 4 co es
É ácil e que se o e i o io de cada país ose con iguo (subconxun o abe o e conexo), en ón
o p oblema educi íase a a opa o núme o máximo de co es necesa ias pa a colo ea as ca as dun
me gullo 2-celula da es e a (ou equi alen emen e, do plano). Pola obse ación an e io , es o é o
mesmo que acha o máximo núme o c omá ico dun g a o plana ou de xéne o 0. Sen emba go, se
po exemplo un país i ese dous e i o ios non con iguos, o p oblema se ía equi alen e a a opa o
núme o máximo de co es necesa ias pa a colo ea as ca as dun me gullo 2-celula dun o o, como
se pode ap ecia na seguin e igu a. Se pe mi ísemos que houbese npaises que i esen en o al
m e i o ios non con iguos, habe ía que engadi a a m−nasas á es e a pa a pode me gulla G
na supe icie. Logo, o p oblema se ía equi alen e ó de a opa o máximo núme o c omá ico dun
g a o de xéne o ≤m−n.
Figu a B.3: Te i o ios non con iguos
44 B. Anexo II: O xéne o dun g a o e a colo ación de mapas
O p ime o caso, no que os e i o ios son con iguos, oi o p imei o en o mula se, cando
F ancis Gu h ie, en 1852, a ando de colo ea o mapa de Ingla e a, deca ouse de que só e an
necesa ias 4 co es. Moi o máis a de, en 1976, as a ios in en os alidos po pa e de no ables
ma emá icos, oi p obado po Kenne h Appel e Wol gang Haken. É o p imei o g an eo ema en
se p obado po o za b u a acendo uso dunha compu ado a, o que se debe a necesidade de
comp oba unha eno me can idade de casos. A súa o mulación en eo ía de g a os é a seguin e.
Teo ema B.3 (das ca o co es).Sexa Gun g a o plana . En ón, κ(G)≤4.
Cu iosamen e, 9 anos an es, Ge ha d Ringel e J.W.T. Youngs xa log a an p oba cunha
ap oximación moi dis in a un esul ado que esol e o p oblema do segundo caso. Es a e a a
coñecida como conxec u a de Heawood, e pos e io men e como eo ema de Ringel-Youngs, e
admi e a seguin e o mulación.
Teo ema B.4 (de Ringel-Youngs).Sexa Gun g a o me gullado nunha supe icie pechada S
dis in a de N2eS0. En ón, κ(G)≤ ⌊7+√49−24χ(S)
2⌋4. Ademais, es a é a mello co a posible5.
Pa a S0eN2non se cump e a ó mula. No caso de N2o núme o máximo de co es necesa ias
é 66, e no caso de S0, en dado polo eo ema das ca o co es.
Co ola io B.5. Sexa Gun g a o. En ón κ(G)≤ ⌊7+√1+48γ(G)
2⌋. Ademais, es a é a mello co a
posible.
Po exemplo, se só houbese un país que i ese un e i o io non con iguo, o mado po dúas
exións, necesi a iamos como máximo ⌊7+√1+48
2⌋= 7 co es pa a colo ea o noso mapa.
No emos que o eo ema de clasi icación de supe icies pechadas es á a xoga aquí un papel
undamen al, xa que del deducimos a o mula de Eule , coa que es amos es ablecendo unha pon e
en e un p oblema opolóxico e ou o da eo ía de g a os.
4Onde ⌊x⌋deno a á unción piso.
5Is o é o que conxe u ou Heawood no seu a igo o ixinal, onde xa p oba a a alidez da co a.
6Foi p obado po Philip F anklin en 1934.
