Unicidad de Soluciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

T abajo Fin de G ado
Unicidad de Soluciones de
Ecuaciones Di e enciales O dina ias
An ón Rod íguez de Cas o
2020-2021
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO DE MATEMÁTICAS
T abajo Fin de G ado
Unicidad de Soluciones de
Ecuaciones Di e enciales O dina ias
An ón Rod íguez de Cas o
Julio, 2021
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
T abajo p opues o
Á ea de Conocimien o:
Á ea de Análisis Ma emá ico.
Tí ulo:
Unicidad de Soluciones de Ecuaciones Di e enciales
O dina ias.
B e e desc ipción del con enido
En es e abajo se ecogen di e en es c i e ios que ga an izan la uni-
cidad de solución de ecuaciones di e enciales o dina ias.
Además del ampliamen e conocido Teo ema de Lipschi z, se án p o-
bados o os c i e ios, como pueden se , po ci a algunos, los de Peano,
Osgood, Mon el  Tonelli, Nagumo, K asnosel'skii  K ein
o el de Pe on.
Se ealiza á un es udio de es os y o os esul ados, con sus co espon-
dien es p uebas, así como ejemplos en los que son aplicados.
iii

Índice gene al
Resumen
ii
In oducción
ix
1. Ejemplos y esul ados p e ios 1
2. Teo emas de Unicidad 5
2.1. Condición y Teo ema de Lipschi z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Teo ema de Unicidad de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. Gene alización de Lipschi z: c i e io de Osgood . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4. C i e io de Mon el-Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1. Gene alización del Teo ema de Mon el-Tonelli . . . . . . . . . . . . . 25
2.5. Condición y Teo ema de Nagumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6. C i e iodeRoge s ................................ 33
2.7. Teo ema de Unicidad de K asnosel'skii-K ein . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8. C i e io de Unicidad de Pe on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3. Unicidad a a és de la a iable independien e 47
Bibliog a ía 53
Resumen
El obje i o de es e abajo es es udia cuando es posible ga an iza la unicidad de la
solución del p oblema de Cauchy pa a ecuaciones di e enciales o dina ias de p ime o den.
Pa a ello demos amos una se ie de c i e ios que se basan en las p opiedades de la unción
que dene el p oblema.
Empeza emos deniendo un conjun o de concep os y esul ados in oduc o ios a los
que ecu i emos cons an emen e a lo la go del ex o, como la denición de p oblema de
alo inicial. Pos e io men e, como núcleo del ex o, ecogemos los dis in os eo emas que
nos asegu an la unicidad de la solución, a anzando de o ma p og esi a desde aquellos
con un o den más es ic i o, como el conocido Teo ema de Lipschi z, has a aquellos con
uno más amplio, como el C i e io de Pe on que gene aliza al an e io . Pa a demos a la
unicidad, la ónica gene al es supone que exis en dos soluciones en un cie o in e alo que
no coinciden en algún pun o y, po algún esul ado p e io o alguna condición impues a,
conclui que es a hipó esis no es posible. Todos los c i e ios se acompañan de nume osos
ejemplos donde se ilus a si es ac ible aplica los.
En el úl imo capí ulo es udia emos condiciones en la a iable independien e pa a de e mi-
na la unicidad.
Resumo
A nalidade des e aballo é es uda cuando é posíbel ga an i a unicidade da solución
do p oblema de Cauchy pa a ecuacións di e enciais o dina ias de p imei a o de. Pa a iso
p obamos unha se ie de c i e ios basados nas p opiedades da unción que dene o p oblema.
Comeza emos denindo un conxun o de concep os e esul ados in odu o ios aos que
eco e emos cons an emen e ao longo do ex o, como a denición de p oblema de alo
inicial. Pos e io men e, como núcleo do aballo, ecollemos os dis in os eo emas que nos
ii
2
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS Y RESULTADOS PREVIOS
Como hipó esis de inducción, suponemos cie o el esul ado pa a
−1
, o lo que es
lo mismo:
si
∈ C −1(D) =⇒y∈ C (I).
P obamos la p oposición pa a
, es deci , dada una unción
(x, y)∈ C (D)
demos-
emos que la solución
y(x)∈ C +1(I)
.
Como la unción es clase
,
∈ C −1(D)
. Po la hipó esis de inducción,
y∈ C (I)
.
Esc ibiendo
y0= (x, y)
emos que
y0
es composición de unciones clase
, po lo
an o
y0∈ C (I)
y la unción
y∈ C +1(I)
.
Exis encia de solución
An es de habla de soluciones y su unicidad, en es e apa ado, donde nos apoyamos en
el Capí ulo 1 de los lib os [1] y [6], jus icamos de o ma b e e el hecho de abaja con
unciones con inuas. Como imos en las P oposiciones 1.1 y 1.2, que la unción enga cie a
egula idad implica que su solución ambién. Sin emba go, en el caso de que la unción sea
discon inua, la na u aleza de la misma es de ca ác e a iado. Es a obse ación se mues a
en los dos siguien es ejemplos.
Ejemplo 1.3.
Conside amos el p oblema de alo inicial
y0=2y
x
,
y(0) = 0.
La unción
(x, y) = 2y/x
no es á denida en los pun os de la ec a
x= 0
, po lo an o no
es posible encon a un en o no cen ado en el pun o
(0,0)
donde la unción sea con inua.
Como e emos luego en el Teo ema de Cauchy-Peano, no podemos ga an iza la exis encia
de solución en es e caso.
Sin emba go, sepa ando las a iables e in eg ando a ambos lados se sigue que las unciones
y(x) = cx2,
con
c∈R
, son odas soluciones del p oblema de Cauchy.
Ejemplo 1.4.
El p oblema de alo inicial
y0=1
x, y(0) = 0,
con
(x, y)
discon inua, como imos en el Ejemplo 1.3, no iene ninguna solución. Supon-
gamos al con a io que sí la iene. Sepa ando las a iables e in eg ando, eniendo en cuen a
que
y(x0) = y0
, la solución end ía dada implíci amen e po
y−y0= log x
x0.

3
Aplicando la condición inicial emos que no exis e al unción.
El Teo ema de Cauchy-Peano
1
es el esul ado más conocido pa a ga an iza la exis encia
de solución, local en es e caso. Pese a no ecoge la p ueba po su ex ensión, no amos que
una de las posibles se basa, al igual que la o iginal de Peano, en la cons ucción de una
sucesión de soluciones ap oximadas.
Teo ema 1.5
(Teo ema de exis encia de Cauchy-Peano)
.
Dado
(x0, y0)∈R2
, conside a-
mos el ec ángulo ce ado
¯
S={(x, y)∈R2:|x−x0| ≤ a, |y−y0| ≤ b}, a, b > 0,
(1.1)
con
con inua en él. En onces, el p oblema de alo inicial
(2)
iene al menos una solución
en el in e alo
Iδ= [x0−δ, x0+δ]
, donde
δ= m´ın a, b
M, M = sup
¯
S| (x, y)|.
Sin emba go, aunque la exis encia de solución es é asegu ada bajo la con inuidad de
la unción, el siguien e ejemplo mues a que pa a ga an iza la unicidad del p oblema
necesi amos alguna condición adicional.
Ejemplo 1.6.
Conside amos el p oblema de alo inicial
y0=y1/2, y(0) = 0.
(1.2)
La unción
(x, y) = y1/2
es con inua en el conjun o
[0,∞)×[0,∞)
. Po el Teo ema de
Cauchy-Peano 1.5, exis e al menos una solución en el in e alo
[0,∞)
.
De mane a inmedia a se hallan dos: la i ial
y(x) = 0
y, as sepa a las a iables e
in eg a , la unción
y(x) = x2/4
.
Nó ese que en pa icula el p oblema posee inni as soluciones de la o ma
y(x) = 






0si 0≤x≤a,
1
4(x−a)2si x < a,
con
a≥0
.
Una explicación a no ene la unicidad en el Ejemplo 1.6 es que es amos an e una
ecuación di e encial au ónoma, aquella donde la unción no depende de la a iable inde-
pendien e.
1
Publicado po p ime a ez po el p opio Peano en 1886 con a ias inco ecciones en la p ueba y
co egido po él 4 años más a de.
Capí ulo 2
Teo emas de Unicidad
En es e capí ulo ecogemos los dis in os c i e ios que ga an izan la unicidad de la so-
lución del p oblema de Cauchy (2). A lo la go de él segui emos como e e encia p incipal
el Capí ulo 1 del lib o [1], complemen ándonos en cada sección de o os ex os que nom-
b a emos en su inicio.
Nó ese p ime o que la g an mayo ía de eo emas denen una única solución de o ma global
en el in e alo
[x0−a, x0+a]
, ecogiendo en algunos casos un esul ado análogo pa a los
conjun os
[x0−a, x0]
y
[x0, x0+a]
. Empezamos po el conocido Teo ema de Lipschi z.
2.1. Condición y Teo ema de Lipschi z
En es a sección nos apoyamos de las no as de [5] y del Capí ulo 1 de [6], además de lo
mencionado espec o del lib o [1].
Pa a asegu a la unicidad de la solución del p oblema de Cauchy (2) empezamos pi-
diendo que la a iación de la unción espec o de la a iable
y
es é aco ada.
Denición 2.1.
Una unción
(x, y)
se dice
lipschi ziana
o que sa is ace la
condición
de Lipschi z
en un conjun o
D
si
| (x, y)− (x, ¯y)| ≤ L|y−¯y|
(2.1)
pa a odo pa
(x, y),(x, ¯y)∈D
. La cons an e
L≥0
se llama
cons an e de Lipschi z
.
De la Denición 2.1 se obse a que el concep o de que una unción sea lipschi ziana
oscila en e la con inuidad y la di e enciabilidad de la misma con espec o de la a iable
y
.
La siguien e p oposición ecoge es e hecho con de alle.
5
6
CAPÍTULO 2. TEOREMAS DE UNICIDAD
P oposición 2.2.
Toda unción lipschi ziana es uni o memen e con inua, po an o con-
inua, espec o de
y
.
Demos ación.
Po hipó esis, si
es lipschi ziana se cumple la desigualdad (2.1). Sean
 > 0
y
x
jados a bi a iamen e. Dis inguimos los dos siguien es casos:
si
L= 0
, se iene que
(x, y) = (x, ¯y)
pa a odo
(x, y),(x, ¯y)∈D
. Es o demues a
que la unción es cons an e espec o de la a iable
y
. Po an o,
es uni o memen e
con inua espec o
y
.
si
L > 0
, omamos
δ=/L > 0
. En onces, pa a odo pa
(x, y),(x, ¯y)∈D
al que
|y−¯y|< δ
se sigue que
| (x, y)− (x, ¯y)| ≤ L|y−¯y|< .
Ejemplo 2.3.
La unción
(x, y) = 1 + xy2
denida en
D={(x, y)∈R2:x∈[3,10], y ∈[−1,1]}
es lipschi ziana. Veámoslo.
Dados
(x, y),(x, ¯y)∈D
se iene que
| (x, y)− (x, ¯y)|=|(1 + xy2)−(1 + x¯y2)|
=|x||y2−¯y2|=|x||(y−¯y)(y+ ¯y)|
=|x||y−¯y||y+ ¯y|.
Como |
x| ≤ 10
,
|y−¯y| ≤ 2
e
|y+ ¯y| ≤ 2
concluimos que
| (x, y)− (x, ¯y)| ≤ 40|y−¯y|.
Po an o, la cons an e de Lipschi z es en es e caso
L= 40
. No a que dichas cons an es
no son únicas, ya que si
L
es la cons an e de Lipschi z pa a
, ¯
L > L
ambién lo es.
No obs an e, el ecíp oco no se cumple. Es deci , exis en unciones uni o memen e
con inuas con espec o de
y
que no son lipschi zianas, como mues a el siguien e ejemplo.
Ejemplo 2.4.
Conside emos la unción
(x, y) = √y
. Veamos p ime o que es uni o me-
men e con inua en el conjun o
D=R×[0,∞)
.
Fijado
 > 0
, omamos
δ=2
. Po an o si
|¯y−y|< δ
se iene que
|√¯y−√y|2≤ |√¯y−√y||√¯y+√y|=|¯y−y|< 2=⇒ |√¯y−√y|< .
2.1. CONDICIÓN Y TEOREMA DE LIPSCHITZ
7
Sin emba go, no es lipschi ziana en
D
al no exis i una cons an e
L
en las condiciones
de la Denición 2.1. Supongamos, al con a io, que sí lo es, exis iendo
L≥0
como en la
desigualdad (2.1). En onces
L≥
(x, y)− (x, ¯y)
y−¯y=√y−√¯y
(√y−√¯y)(√y+√¯y)=1
√y+√¯y, y, ¯y≥0, y 6= ¯y.
Po la Denición 2.1, la desigualdad debe e ica se pa a odo pa
(x, y),(x, ¯y)∈D
. Aho a
bien, jado un
x
, omando
¯y= 0
e
y= 1/n2
con
n∈N+
se sigue que
L≥1
√y+√¯y=1
(1/n2)1/2=n,
lo que implica que el conjun o de los núme os na u ales es á aco ado supe io men e po
la cons an e
L
, lo cual es un sinsen ido. No a que en pa icula dicha unción no es
lipschi ziana en ningún subconjun o que con enga a pun os de la o ma
(x, 0)
.
Además, que una unción no sea di e enciable no implica que no sea lipschi ziana.
Po ejemplo, la unción
(x, y) = |y−1|
no es di e enciable en la ec a
y= 1
y, sin emba go,
es lipschi ziana con
L= 1
, ya que pa a odo pa
(x, y),(x, ¯y)∈R2
,
| (x, y)− (x, ¯y)|=||y−1|−|¯y−1|| ≤ |(y−1) −(¯y−1)|=|y−¯y|.
Si la unción es de i able espe o de
y
, la cons an e de Lipschi z se puede halla de la
siguien e o ma.
Lema 2.5.
Sea
D
un conjun o con exo
1
y
(x, y)
una unción de i able espec o de
y
en
odo
D
. En onces, una condición necesa ia y sucien e pa a que se e ique la condición
de Lipschi z
(2.1)
es que
sup
(x,y)∈D
d (x, y)
dy ≤L.
Demos ación.
Sin pé dida de gene alidad supongamos que
y > ¯y
. Como
D
es con exo y
(x, y)
de i able espec o de la a iable
y
, po el Teo ema del Valo Medio, pa a odo pa
(x, y),(x, ¯y)∈D
se iene que
(x, y)− (x, ¯y) = d (x, y∗)
dy (y−¯y)
(2.2)
donde
y∗∈(¯y, y)
. Tomando el alo absolu o en la ecuación (2.2) se sigue el esul ado.
Recíp ocamen e, de o ma di ec a de la Denición 2.1 se deduce que

d (x, y)
dy = l´ım
y→¯y
(x, y)− (x, ¯y)
y−¯y≤L.
1
Un conjun o
D⊆Rn
es con exo si, y solo si, pa a odo
x, y ∈D
se iene que
αx + (1 −α)y∈D
, con
α∈[0,1]
.

8
CAPÍTULO 2. TEOREMAS DE UNICIDAD
El siguien e ejemplo mues a que, aplicando el Lema 2.5, se lipschi ziana depende
an o de la unción como del conjun o conside ado.
Ejemplo 2.6.
Sea la unción di e enciable
(x, y) = cos(x) + y2
.
Conside amos p ime o el ec ángulo
D1={(x, y)∈R2: 0 ≤x≤1,|y| ≤ 1}.
Pa a odo
(x, y)∈D1
enemos que

d (x, y)
dy =|2y| ≤ 2.
Po el Lema 2.5 se iene que la unción es lipschi ziana en
D1
con
L= 2
.
Tomamos aho a la banda
D2={(x, y)∈R2: 0 ≤x≤1, y ∈R}.
Pese que la de i ada espec o de la a iable
y
exis e y es con inua, no es á aco ada al
ende a
∞
cuando
y→ ∞
. Po el Lema 2.5 se sigue que la unción no es lipschi ziana
en
D2
.
O a o ma de e es e hecho es po la p opia denición, debido a que pa a odo
(x, y),(x, ¯y)∈D2
:
| (x, y)− (x, ¯y)|=|y2−¯y2|
=|(y−¯y)(y+ ¯y)|
=|y+ ¯y||y−¯y|.
Escogiendo
L=|y+ ¯y|
emos que la cons an e de Lipschi z se puede hace a bi a-
iamen e g ande.
Como obse ación, en el Ejemplo 2.4 o a posible explicación de po qué la unción
(x, y) = √y
no es lipschi ziana en
R×[0,∞)
nos la da lema an e io . Calculando su
de i ada y omando el lími e cuando
y→0+
ob enemos:
d (x, y)
dy =1
2√y,l´ım
y→0+
1
2√y=∞.
Po el Lema 2.5 se concluye que la unción no sa is ace la condición de Lipschi z (2.1).
A con inuación, enunciamos y demos amos dos lemas necesa ios pa a p oba el Teo-
ema de Unicidad de Lipschi z. El p ime o es una ca ac e ización de las soluciones del
p oblema de Cauchy, elacionándolas con el campo de las Ecuaciones In eg ales.
El segundo nos se á ú il pa a demos a que dos posibles soluciones son idén icas.
2.1. CONDICIÓN Y TEOREMA DE LIPSCHITZ
9
Lema 2.7.
Sea
(x, y)
una unción con inua denida en un conjun o
D
. En onces
y(x)
es
solución del p oblema
(2)
si, y solo si, es solución de la ecuación in eg al
y(x) = y0+Zx
x0
( , y( )) d .
(2.3)
Demos ación.
Toda solución
y
de (2) cumple que
y0(x) = (x, y(x))
. In eg ando la igual-
dad espec o de
x
se iene que
Zx
x0
y0( )d =Zx
x0
( , y( )) d =⇒y(x)−y(x0) = Zx
x0
( , y( )) d .
Teniendo en cuen a la condición inicial se sigue el esul ado.
Recíp ocamen e, si
y(x)
es una solución de la ecuación in eg al (2.3), omando
x=x0
se
iene que
y(x0) = y0
. Aho a bien, como po hipó esis
(x, y)
es con inua, de i ando (2.3)
espec o de
x
a ambos lados de la igualdad se iene que
y0(x) = (x, y(x))
.
Lema 2.8.
Sean
φ(x)
y
q(x)
dos unciones con inuas no nega i as en
[x0−a, x0+a]
de
al o ma que
φ(x)≤Zx
x0
q( )φ( )d .
(2.4)
En onces
φ(x)=0
pa a odo
x∈[x0−a, x0+a]
.
Demos ación.
Fijado un
x∈[x0, x0+a]
a bi a io, denimos la unción
(x)
como
(x) = Zx
x0
q( )φ( )d ,
que cumple que
(x0)=0
y
0(x) = q(x)φ(x)
.
Po la desigualdad (2.4) enemos que
0(x)≤q(x) (x).
(2.5)
Mul iplicando a ambos lados de la desigualdad (2.5) po
(−Rx
x0q( )d )
ob enemos
d
dx exp −Zx
x0
q(s)ds (x)≤0.
Po an o la unción
exp −Zx
x0
q(s)ds (x)
es dec ecien e pa a odo
x
.
Como
(x0)=0
, se iene que
(x)≤0
y en onces
φ(x)≤ (x)≤0
. Como po hipó esis la
unción
φ
es no nega i a, concluimos que
φ(x)=0
en
[x0, x0+a]
.
La p ueba en el in e alo
[x0−a, x0]
es análoga.
10
CAPÍTULO 2. TEOREMAS DE UNICIDAD
El siguien e esul ado p ueba la unicidad de la solución po el c i e io de Lipschi z, el
cual demos amos de dos o mas di e en es. En la p ime a ha emos uso de los dos lemas
p e ios.
Teo ema 2.9
(Teo ema de Unicidad de Lipschi z)
.
Sea
(x, y)
una unción con inua en
¯
S
cumpliendo la condición de Lipschi z
(2.1)
. En onces, el p oblema de Cauchy iene a lo
sumo una solución denida en
[x0−a, x0+a]
.
Demos ación.
Supongamos que enemos dos soluciones del p oblema del alo inicial (2),
y(x)
e
¯y(x)
, en el conjun o
[x0−a, x0+a]
. Po la hipó esis (2.1) y la ecuación in eg al
(2.3) se iene que
|y(x)−¯y(x)| ≤ Zx
x0| ( , y( )) − ( , ¯y( ))|d ≤LZx
x0|y( )−¯y( )|d .
Po el Lema 2.8 se sigue que
|y(x)−¯y(x)|= 0
, lo que demues a que ambas soluciones son
idén icas pa a odo
x∈[x0−a, x0+a].
Veamos aho a una segunda p ueba del eo ema en el in e alo
[x0, x0+a]
usando ex-
clusi amen e el Teo ema del Valo Medio, siendo análoga en
[x0−a, x0]
.
Demos ación.
Sean o a ez dos soluciones del p oblema de Cauchy (2),
y(x)
e
¯y(x)
,
denidas en el in e alo
[x0, x0+a]
. Po se soluciones:
y0(x) = (x, y(x)),¯y0(x) = (x, ¯y(x))
e
y(x0) = ¯y(x0) = y0
.
Conside amos la unción
|y(x)−¯y(x)|
, que es di e enciable y cumple que
|y(x0)−¯y(x0)|= 0
.
Supongamos que no es nula en en algún pun o del in e alo
[x0, x0+a]
. Po an o, exis e
un
∈[x0, x0+a)
al que
|y(x)−¯y(x)|= 0
en
[x0, ]
e
|y(x)−¯y(x)|
es no nula en algún
pun o del in e alo
[,  +l]
, con
l > 0
.
Tomamos un
l
sucien emen e pequeño al que
lL < 1
, donde
L
es la cons an e de Lipschi z
de
.
Aho a bien, como la unción
|y(x)−¯y(x)|
es con inua y no nula en el in e alo ce ado
[,  +l]
, po el Teo ema de Weie s ass alcanza un máximo posi i o en
¯>
. Po el
Teo ema del Valo Medio en el conjun o
[, ¯]
, exis e un
∗∈(, ¯)
al que
y0(∗)−¯y0(∗) = [y(¯)−¯y(¯)] −[y()−¯y()]
¯−.
En onces, dado que
[y()−¯y()] = 0
po la cons ucción de la unción,
y
e
¯y
son solución
y que
es lipschi ziana:
0<|y(¯)−¯y(¯)|=|¯−||y0(∗)−¯y0(∗)|
= (¯−)| (∗, y(∗)) − (∗,¯y(∗))|
≤lL|y(∗)−¯y(∗)|<|y(∗)−¯y(∗)|.
2.1. CONDICIÓN Y TEOREMA DE LIPSCHITZ
11
Lo cual es una con adicción, al ene que la imagen de
∗
es es ic amen e mayo que la
de
¯
, máximo de la unción
|y(x)−¯y(x)|
en
[,  +l]
.
Ejemplo 2.10.
Conside amos el p oblema de alo inicial
y0= 1 + y4, y(0) = 0.
La unción
(x, y) = 1 + y4
es con inuamen e di e enciable en odo
R2
. Po el Lema 2.5,
es lipschi ziana cualquie ec ángulo
¯
S= [−a, a]×[−b, b]
,
a, b > 0
,
con cons an e de Lipschi z
L= sup
¯
S|4y3| ≤ (1 + 4b3).
Po el Teo ema de Unicidad 2.9, el p oblema iene a lo sumo una solución en el in e alo
[−a, a]
.
No a que la condición de que la unción sea con inua en
¯
S
en el Teo ema 2.9 es necesa ia
pa a la exis encia de la unicidad de la solución, como indicaba el Teo ema de Cauchy-Peano
1.5. Pongamos un ejemplo donde pese a se lipschi ziana la unción, no exis e solución al
p oblema.
Ejemplo 2.11.
Conside amos el p oblema de Cauchy
y0= (x, y) = 






1si x < 0,
−1si x ≥0,
, y(0) = 0.
Es i ial e que
sa is ace la condición (2.1). Veamos que pese a ello no exis e solución
al p oblema de alo inicial.
La unción
y=−|x|
es la única unción que sa is ace la ecuación di e encial
y0= (x, y)
,
pe o no es una posible solución al no se de i able en
x= 0
. Po an o, concluimos que no
exis e solución.
En el caso pa icula de que la unción con inua
sea lipschi ziana po un cie o lado,
la solución del p oblema de Cauchy iene la ca ac e ís ica de que la unicidad se ga an iza
en la pa e del in e alo
[x0−a, x0+a]
donde se enga la p opiedad. Es o se p ueba en el
siguien e esul ado, conside ando que la unción es lipschi ziana po la de echa, po an o
la unicidad se iene pa a el conjun o
[x0, x0+a]
. La demos ación es muy simila a la
p ime a del Teo ema 2.9.
18
CAPÍTULO 2. TEOREMAS DE UNICIDAD
exis e una única solución al p oblema de alo inicial denida en el in e alo
[−1,0]
, que
iene dada po
y(x) = log −2
x2−2.
Jun ando los Teo emas 2.17 y 2.20 se iene el siguien e esul ado.
Teo ema 2.22.
Sea
(x, y
) una unción con inua en el ec ángulo
¯
S
al que
jado
x∈[x0−a, x0]
, la unción es dec ecien e espec o de
y
en
¯
S−
,
jado un
x∈[x0, x0+a]
, la unción es c ecien e espec o de
y
en
¯
S+
.
En onces, el p oblema de Cauchy
(2)
iene a lo sumo una solución en
[x0−a, x0+a]
.
El siguien e ejemplo mues a un p oblema de alo inicial donde se puede ga an iza
la unicidad po el c i e io de Peano 2.17. Sin emba go, en la Sección 2.5 e emos que el
Teo ema de Nagumo 2.41 no asegu a es e hecho, pese a se a p io i un esul ado más
complejo.
Ejemplo 2.23.
Conside amos la unción
(x, y)
, denida en la banda
D={(x, y) : x≤1, y ∈R},
como
(x, y) =

















0
si
x≤0
,
2x
si
0< x ≤1, y < 0,
2x2−4y
x
si
0< x ≤1,0≤y≤x2,
−2x
si
0< x ≤1, x2< y
.
(2.11)
Demos emos que el p oblema de Cauchy
y0= (x, y), y(0) = 0
iene una única solución denida en el in e alo
(−∞,1]
.
La unción es con inua en los pun os del segmen o de ec a
x= 0
, con
y∈[0, x2]
, pues o
que

2x2−4y
x≤2x2+x2
x→0
cuando
x→0+.
Como el es udio de la con inuidad en
D
en los es an es casos es i ial, se sigue que
es
con inua en dicho conjun o.
Además, se iene que la unción es á aco ada po
2
. Po el Teo ema de Cauchy-Peano 1.5,

2.3. GENERALIZACIÓN DE LIPSCHITZ: CRITERIO DE OSGOOD
19
exis e al menos una solución local en un en o no del o igen.
Aho a bien, jado un
x∈(−∞,0]
, la unción es cons an e y, omando un
x∈(0,1]
, es
dec ecien e con espec o de la a iable
y
, po an o el Teo ema 2.22 asegu a la unicidad de
solución en el in e alo
(−∞,1]
, que iene dada po
y(x) = 




0
si
x≤0
,
x2
3
si
0< x ≤1.
Pa a acaba es a sección, al igual que en el caso de Lipschi z, el Teo ema de Unicidad
de Peano 2.17 nos da una condición sucien e pa a asegu a la unicidad, siendo posible
encon a p oblemas que no es án en las hipó esis del c i e io y ienen una única solución
posible.
Ejemplo 2.24.
El Ejemplo 2.13 nos uel e a se i pa a p oba es e hecho. La unción
(x, y) = 3 + 2y1/2
es es ic amen e c ecien e en la a iable
y
jado cualquie
x∈[0,∞)
.
Po an o, no es á en las condiciones del Teo ema 2.17. Sin emba go, ya imos que exis ía
una única solución al p oblema.
2.3. Gene alización de Lipschi z: c i e io de Osgood
Una gene alización del Teo ema de Unicidad de Lipschi z 2.9 iene dada po el c i e-
io de Osgood, al exis i una elación en e sus condiciones. Pa a p oba lo, comenzamos
demos ando el siguien e lema.
Lema 2.25.
Sea
g(z)
una unción con inua y c ecien e en el in e alo
[0,∞)
al que
g(0) = 0
y
g(z)>0
pa a odo
z > 0
. Además,
l´ım
→0+Z
dz
g(z)=∞.
(2.12)
Sea
φ(x)
una unción con inua no nega i a en el in e alo
[0, a]
, con
a > 0
. Si se cumple
que
φ(x)≤Zx
0
g(φ( )) d , 0< x ≤a,
(2.13)
en onces, la unción
φ(x)=0
pa a odo
x∈[0, a]
.
Demos ación.
Empezamos deniendo la unción
Φ(x)
como
Φ(x) = m´ax
∈[0,x]φ( ).
20
CAPÍTULO 2. TEOREMAS DE UNICIDAD
Supongamos que es posi i a (en caso de se nula el esul ado es i ial) pa a odo
x∈(0, a]
.
Es ob io que, po cons ucción,
φ(x)≤Φ(x)
pa a cualquie
x∈[0, a]
y, jado uno de
o ma a bi a ia, exis e un
x1≤x
al que se iene la igualdad
φ(x1) = Φ(x)
. Po lo an o,
aplicando la desigualdad (2.13) se sigue que
Φ(x) = φ(x1)≤Zx1
0
g(φ( )) d ≤Zx
0
g(Φ( )) d .
Deducimos en onces que
Φ(x)
, c ecien e po denición, sa is ace, al igual que
φ(x)
, la
desigualdad (2.13).
Sea aho a la unción
¯
Φ(x) = Zx
0
g(Φ( )) d .
Se iene que
¯
Φ(0) = 0
,
Φ(x)≤¯
Φ(x)
y
¯
Φ0(x) = g(Φ(x)) ≤g(¯
Φ(x))
. En onces, pa a odo
δ∈(0, a)
,
Za
δ
¯
Φ0(x)
g(¯
Φ(x)) dx ≤a−δ < a.
Sin emba go, de la condición (2.12) enemos que
Za
δ
¯
Φ0(x)
g(¯
Φ(x)) =Zα

dz
g(z),¯
Φ(δ) = , ¯
Φ(a) = α,
iende a inni o cuando
→0+(δ→0)
.
Es a con adicción mues a la imposibilidad de que la unción
Φ
sea posi i a, po lo an o
es nula en el in e alo
[0, a]
y, en consecuencia, la unción
φ(x)
ambién lo es .
Ejemplo 2.26.
La unción
g(z) = z
es con inua y c ecien e en el in e alo
[0,∞)
. Además,
cumple que
g(0) = 0, g(z)>0
pa a odo
z > 0
y
l´ım
→0+Z
dz
g(z)= l´ım
→0+log 1
=∞.
Po an o, concluimos que
g(z)
es á en las hipó esis del Lema 2.25.
Denición 2.27.
Una unción
(x, y)
se dice que sa is ace la
condición de Osgood
en
un conjun o
D
si pa a odo pa
(x, y),(¯x, y)∈D
se e ica
| (x, y)− (¯x, y)| ≤ g(|y−¯y|),
(2.14)
donde
g(z)
es una unción denida como en el Lema 2.25.
Ejemplo 2.28.
La unción
(x, y) = y
es i ialmen e con inua en odo
R2
.
Si omamos
g(z) = z
, po el Eje cicio 2.26, es á en las condiciones del Lema 2.25. Aho a
bien, pa a odo pa de pun os
(x, y),(x, ¯y)∈D
se iene que
| (x, y)− (x, ¯y)|=|y−¯y|=g(|y−¯y|).
Po an o, la condición de Osgood (2.14) se e ica.
2.3. GENERALIZACIÓN DE LIPSCHITZ: CRITERIO DE OSGOOD
21
El siguien e esul ado, conocido como el Teo ema de Unicidad de Osgood, gene aliza
el c i e io de Lipschi z 2.9. Demos amos el enunciado en el in e alo
[x0, x0+a]
, siendo
simila en el conjun o
[x0−a, x0]
.
Teo ema 2.29
(Teo ema de Unicidad de Osgood)
.
Sea
(x, y)
una unción con inua e-
icando la condición de Osgood
(2.14)
en el ec ángulo
¯
S
. En onces, el p oblema de alo
inicial
(2)
iene como mucho una solución denida en
[x0−a, x0+a]
.
Demos ación.
Supongamos que exis en dos soluciones dis in as en el in e alo
[x0, x0+a]
del p oblema de Cauchy (2),
y(x)
e
¯y(x)
. P obemos que bajo las hipó esis del eo ema es o
no puede sucede .
Po la condición de Osgood (2.14) y la ecuación in eg al (2.3) se iene que
|y(x0+x)−¯y(x0+x)| ≤ Zx0+x
x0| ( , y( )) − ( , ¯y( ))|d
≤Zx0+x
x0
g(|y( )−¯y( )|)d
=Zx
0
g(|y(z+x0)−¯y(z+x0)|)dz.
Fijado un
x∈[0, a]
a bi a io, omamos la unción
φ(x) = |y(x0+x)−¯y(x0+x)|
, que así
denida es no nega i a y sa is ace la desigualdad (2.13). Po el Lema 2.25,
φ(x)=0
en el
conjun o
[0, a]
, es deci ,
y(x) = ¯y(x)
en
[x0, x0+a]
.
El siguien e ejemplo, donde nos apoyamos de los Ejemplos 2.26 y 2.28, mues a la cla a
elación en e las condiciones de Osgood (2.14) y Lipschi z (2.1).
Ejemplo 2.30.
Conside amos el p oblema au ónomo
y0=y, y(0) = 0.
(2.15)
Con ayuda de los Ejemplos 2.26 y 2.28, el Teo ema 2.29 ga an iza la unicidad de la solución,
que es la i ial. Además, es o p ueba que la condición de Osgood (2.14) se educe a la
condición de Lipschi z (2.1), omando
g(z) = kz
, con
k > 0
.
Recogemos un ejemplo donde se mues a un p oblema que no se e ica las hipó esis
ni del Teo ema de Unicidad de Lipschi z 2.9 ni del c i e io de Peano 2.17, pe o que g acias
al Teo ema de Osgood 2.29 a mamos que iene una única solución.
Ejemplo 2.31.
Conside amos el p oblema de Cauchy au ónomo
y0= (x, y) = 






0si y = 0,
−1
4ylog(5y)si 0< y ≤1
5e,
, y(0) = 0.
22
CAPÍTULO 2. TEOREMAS DE UNICIDAD
Comencemos es udiando la unción. En el conjun o
(0,1/(5e)]
,
es con inua al se
p oduc o de unciones elemen ales. Calculando el lími e en
y= 0
enemos que
l´ım
y→0+−1
4ylog(5y) = −1
4l´ım
y→0+
log(5y)
1/y
=1
4l´ım
y→0+
1/y
1/y2= 0.
Po an o, la unción es con inua en el in e alo con exo
[0,1/(5e)]
. Po el Lema 2.5, la
unción no es lipschi ziana debido a que
d (x, y)
dy =−1
4(log(5y) + 1) ,l´ım
y→0+−1
4(log(5y) + 1) = ∞.
Se sigue en onces que no podemos aplica el Teo ema de Unicidad de Lipschi z 2.9. Además,
po el cálculo de la de i ada, la unción es es ic amen e c ecien e en
(0,1/(5e)]
, lo que
indica que no es amos en las hipó esis del Teo ema de Peano 2.17.
In en emos ga an iza la unicidad de la solución po el Teo ema de Osgood 2.29.
Denimos p ime o la unción
g
en el in e alo
[0,∞)
como
g(z) =















0
si
z= 0
,
−1
4zlog(5z)
si
0< z ≤1
5e
,
1
20e
si
z > 1
5e
.
Po cons ucción,
g(z)
es una unción con inua y c ecien e en
[0,∞)
, cumpliendo que
g(0) = 0
,
g(z)>0
pa a odo
z > 0
y la condición (2.12) debido a que
l´ım
→0+Z
dz
g(z)= l´ım
→0+Z
−4
zlog(5z)dz =−4 log log l´ım
→0+
1
=∞.
Po an o,
g(z)
es á en las hipó esis del Lema 2.25. Veamos que ambién se cumple la
condición de Osgood (2.14).
La exp esión de la segunda de i ada espec o de
y
de la unción iene dada po
d2 (x, y)
dy2=−1
4y,
que es nega i a en el conjun o
(0,1/(5e)]
. Es o indica que nues a unción
es cónca a en
dicho in e alo, lo que implica que
(x, y −¯y)− (x, 0)
y−¯y≥ (x, y)− (x, ¯y)
y−¯y,0< y −¯y < ¯y < y ≤1/(5e).
2.4. CRITERIO DE MONTEL-TONELLI
23
La desigualdad an e io se puede eesc ibi como
−1
4(y−¯y) log(5(y−¯y)) ≥ −1
4(ylog(5y)−¯ylog(5¯y)).
Vis o es e azonamien o, es amos en si uación de pode demos a que se cumple la con-
dición de Osgood (2.14):
| (x, y)− (x, ¯y)|=−1
4ylog(5y) + 1
4¯ylog(5¯y)
≤ −1
4|y−¯y|log(5|y−¯y|)
=g(|y−¯y|).
Aplicando el Teo ema de Unicidad de Osgood 2.29, el p oblema de alo inicial posee una
única solución en el in e alo
[0,1/(5e)]
.
2.4. C i e io de Mon el-Tonelli
Una gene alización del Teo ema de Osgood 2.29 iene dada a a és del c i e io de
Mon el-Tonelli. An es de demos a es e esul ado, empecemos dando la condición que
hace posible que la solución sea única en es e caso, la cual denimos en un ec ángulo
ce ado, aunque se puede deni pa a un conjun o a bi a io.
Denición 2.32.
Una unción
(x, y)
sa is ace la
condición de Mon el-Tonelli
en el
ec ángulo
¯
S
si pa a odo pa de pun os
(x, y),(x, ¯y)∈¯
S
se cumple que
| (x, y)− (x, ¯y)| ≤ h(x)g(|y−¯y|),
(2.16)
donde la unción no nega i a
h(x)
es in eg able en
[x0−a, x0+a]
y
g(z)
es una unción
con inua y posi i a en
(0,2b]
cumpliendo que
g(0) = 0
y la condición (2.12).
Teo ema 2.33
(Teo ema de Unicidad de Mon el-Tonelli)
.
Sea
(x, y)
una unción con i-
nua en
¯
S
en las hipó esis de la Denición 2.32. En onces, el p oblema de Cauchy
(2)
iene
a lo sumo una solución en el in e alo
[x0−a, x0+a]
.
Demos ación.
Sean
y(x)
e
¯y(x)
dos soluciones del p oblema de alo inicial (2) en el
in e alo
[x0, x0+a]
. Denimos la unción
φ(x) = ¯y(x)−y(x)
y suponemos que exis e un
pun o
x1∈(x0, x0+a]
al que
φ(x)>0
en
(x1, x1+]
y
φ(x)=0
en el conjun o
[x0, x1]
.
En onces, pa a odo
x∈[x1, x1+]
, po la condición de Mon el-Tonelli (2.16) se iene que
φ0(x) = ¯y0(x)−y(x) = (x, ¯y(x)) − (x, y(x)) ≤h(x)g(φ(x))

24
CAPÍTULO 2. TEOREMAS DE UNICIDAD
Po an o, pa a cualquie
¯x∈(x1, x1+)
:
Zφ(x1+)
φ(¯x)
dz
g(z)≤Zx1+
¯x
h( )d .
(2.17)
Sin emba go, en la desigualdad (2.17), la pa e de echa se man iene ni a cuando
¯x→x1
,
mien as que la pa e izquie da, po la hipó esis (2.12), no es á aco ada. Es a con adicción
demues a el enunciado.
La p ueba en el in e alo
[x0−a, x0]
es análoga.
De igual o ma que en las secciones an e io es, el Teo ema 2.33 puede enuncia se con
condiciones simila es pa a asegu a que la solución es única en los in e alo de la o ma
[x0, x0+a]
y
[x0−a, x0]
, eniendo en cuen a donde deni las unciones
g
y
h
.
Ejemplo 2.34.
Conside amos el p oblema de alo inicial
y0=






−x2ylog(y)
si
x, y ∈0,1
e,
0
si
x= 0, y = 0
,
, y(0) = 0.
De o ma i ial, la unción
(x, y)
es con inua en el ec ángulo donde es á denida.
Cons uimos la unción
g
en el in e alo
[0,∞)
de la o ma
g(z) = 












0
si
z= 0
,
−zlog(z)
si
0< z ≤1
e
,
1
e
si
z > 1
e
.
Cla amen e,
g
es con inua y c ecien e en odo pun o, cumpliendo que
g(0) = 0
y
g(z)>0
pa a odo
z > 0
. Además, se e ica la igualdad (2.12) ya que
l´ım
→0+Z
dz
−zlog(z)= l´ım
→0+log log 1
=∞.
Comp obemos que e ec i amen e se iene la condición de Mon el-Tonelli (2.16):
| (x, y)− (x, ¯y)|=−x2ylog(y)−−x2¯ylog(¯y)
=x2|−ylog(y) + ¯ylog(y)|
≤ −x2|y−¯y|log(|y−¯y|)
=h(x)g(|y−¯y|),
2.4. CRITERIO DE MONTEL-TONELLI
25
donde la desigualdad
−(y−¯y) log(y−¯y)≥ −ylog(y) + ¯ylog(¯y),0< y −¯y≤1
e,
se iene al se la unción cónca a espec o de la a iable
y
en
(0,1/e]
.
Po úl imo, se sigue que la unción
h(x) = x2
es posi i a e in eg able en el in e alo
[0,1/e]
.
Po lo an o, po el Teo ema de Mon el-Tonelli 2.33, exis e una única solución al p oblema
de Cauchy en el in e alo
[0,1/e]
.
2.4.1. Gene alización del Teo ema de Mon el-Tonelli
An e la g an dicul ad de aplica las condiciones del Teo ema de Unicidad 2.33, una
gene alización del mismo, como se ecoge en [2], se basa en que la unción
g
dependa no
solo de la a iable
y
, sino ambién de
x
. Recogemos el enunciado pa a ga an iza la solución
en el conjun o
[x0, x0+a]
.
Teo ema 2.35
(Gene alización Mon el-Tonelli)
.
Supongamos que
(x, y)
es un unción
con inua en el ec ángulo
¯
S+
al que pa a odo
(x, y),(x, ¯y)∈¯
S+
se iene que
| (x, y)− (x, ¯y)| ≤ h(x−x0)g(x−x0,|y−¯y|), x 6=x0,
(2.18)
con
h: (0, a]→(0,∞)
una unción in eg able y
g: (0, a]×[0,2b]→[0,∞)
una unción
con inua al que
g(x, 0) = 0
pa a odo
x∈(0, a]
;
la unción
g
es dec ecien e espec o de la a iable
x
;
se cumple la igualdad
(2.12)
de la o ma
Z0+
dz
g(z, z)=∞.
En onces, el p oblema de Cauchy iene a lo sumo una solución en
[x0, x0+a]
.
El siguien e co ola io pa icula iza al eo ema an e io , dando así una condición más
sencilla de aplica a cie os eje cicios pa a ga an iza la unicidad.
26
CAPÍTULO 2. TEOREMAS DE UNICIDAD
Co ola io 2.36.
El p oblema de alo inicial
(2)
iene a lo sumo una única solución en
[x0, x0+a]
si, dada una cons an e
c > 0
, se iene que
| (x, y)− (x, ¯y)| ≤ c
(x−x0)j(x−x0)|y−¯y|, x 6=x0,
(2.19)
pa a odo
(x, y),(x, ¯y)∈¯
S+
, con
j: (0, a]→(0,∞)
una unción con inua y dec ecien e
cumpliendo que
Z0+
dx
xj2(x)<∞,Z0+
dx
xj(x)=∞.
Demos ación.
Bas a aplica el Teo ema 2.35, omando las unciones
g
y
h
como
g(x) = c
xj2(x), h(x, y) = j(x)y.
Pese a que podemos deni nume osas unciones en las condiciones de la unción
j
, la
elección especíca de
j(x)=1−log(x)
, con
x∈(0, e)
, da el siguien e esul ado.
Co ola io 2.37.
El p oblema de Cauchy
(2)
iene a lo sumo una única solución en el
in e alo
[x0, x0+a]
, con
a∈(0, e)
, si se cumple que
| (x, y)− (x, ¯y)| ≤ c
(x−x0)(1 −log(x−x0))|y−¯y|, x 6=x0,
(2.20)
pa a odo
(x, y),(x, ¯y)∈¯
S+
.
Ejemplo 2.38.
Es udiemos la unicidad de la solución del p oblema de Cauchy
y0=pc|y|+b2x2(1 −log(x))2, x > 0, y(0) = 0;
(2.21)
con
c > 0, b ≥0,
cons an es a bi a ias.
El caso de que
b= 0
, desca amos la unicidad al exis i al menos dos posibles soluciones:
y(x)=0
e
y(x) = cx2
4.
Pa a es udia de o ma gene al el p oblema, esc ibimos la unción como
(x, y) = 

pc|y|+b2x2(1 −1 log(x))2
si
(x, y)∈(0, a]×[−b, b]
pc|y|
si
x= 0, y ∈[−b, b]
,
Como la unción es i ialmen e con inua en el compac o
[0, a]×[−b, b]
y sublineal con
espec o de la a iable
y
, a mamos que exis e al menos una solución al p oblema de
Cauchy en el conjun o
[0, a]
.
Veamos que es única. Se iene que pa a odo
x∈(0, a]
| (x, y)− (x, ¯y)| ≤ c
2b
1
x(1 −log(x))|y−¯y|.
El Co ola io 2.37 ga an iza la unicidad de la solución en el in e alo
[0, a]
.
2.5. CONDICIÓN Y TEOREMA DE NAGUMO
27
2.5. Condición y Teo ema de Nagumo
El c i e io pa a asegu a la unicidad de es a sección, como se ecoge en el a ículo [4]
y en el Capí ulo 1 de [1], pide que la dependencia de la unción
(x, y)
con espec o de
y
pe manezca aco ada po un cocien e, que es lo que se conoce como la condición de Nagumo.
Denición 2.39.
La unción
(x, y)
se dice que sa is ace la
condición de Nagumo
en
un conjun o
D
si
| (x, y)− (x, ¯y)| ≤ k|y−¯y|
|x−x0|, x 6=x0,0< k ≤1;
(2.22)
pa a odo
(x, y),(x, ¯y)∈D
.
Pa a p oba el esul ado p incipal de es a sección es necesa io demos a el siguien e
lema, el cual se á ú il en su demos ación. Recogemos la p ueba en
[x0, x0+a]
, siendo
análoga en
[x0−a, x0]
.
Lema 2.40.
Sea
φ(x)
una unción con inua no nega i a en el in e alo
[x0−a, x0+a]
al
que
φ(x0) = 0
,
la unción es de i able en
x=x0
, y
φ0(x0) = 0
.
En onces, si se cumple que
φ(x)≤Zx
x0
φ( )
−x0
d ,
(2.23)
se sigue que
φ(x)=0
en
[x0−a, x0+a]
.
Demos ación.
Pa a odo
x∈[x0, x0+a]
, denimos la unción no nega i a
Φ(x) = Zx
x0
φ( )
−x0
d ,
que exis e ya que po hipó esis
l´ım
x→x0
φ(x)−φ(x0)
x−x0
=φ0(x0)=0.
Po an o, se iene que
Φ0(x) = φ(x)
x−x0≤Φ(x)
x−x0
.
34
CAPÍTULO 2. TEOREMAS DE UNICIDAD
Demos ación.
Empecemos deniendo la unción
F
como
F(x) = Zx
0
1
s2 (s)ds.
De i ando y aplicando la desigualdad (2.26) ob enemos que
F0(x) = (x)
x2≤F(x)
x2,
F0(x)−F(x)
x2≤0,
d
dx e1/xF(x)≤0.
Po an o, la unción
e1/xF(x)
es dec ecien e. Fijado un
 > 0
, po la condición (2.27),
pa a un cie o
x
sucien emen e pequeño, se iene que
e1/xF(x) = e1/x Zx
0
1
s2 (s)ds ≤e1/x Zx
0

s2e−(1/s)ds =.
En onces
l´ım
x→0+e1/xF(x) = 0,
lo que implica que la unción
e1/xF(x)≤0
pa a odo
x∈(0,1]
. El esul ado se sigue del
ca ác e con inuo y no nega i o de la unción
y de la denición de
F(x)
.
Vis o es o, supongamos que la unción
(x, y)
es con inua en la banda
P={(x, y)∈R2:x∈[0,1], y ∈R},
e icando la
condición de Roge s
:
| (x, y)− (x, ¯y)| ≤ 1
x2|y−¯y|, x 6= 0.
(2.28)
En onces, si dos unciones,
y
e
¯y
, son solución del p oblema de alo inicial
y0= (x, y), y(0) = 0,
(2.29)
po la condición (2.28) y la ecuación in eg al (2.3) se iene que
|y(x)−¯y(x)| ≤ Zx
0
1
s2|y(s)−¯y(s)|ds.
Po el Lema 2.47 se iene que si las soluciones del p oblema de Cauchy (2.29) cumplen que
l´ım
x→0(y(x)−¯y(x)) = o(e−(1/x)),
el ca ác e de la solución es único. Es e azonamien o se ecoge en el siguien e eo ema,
pudiendo ambién gene aliza se al in e alo
[0, a]
.

2.6. CRITERIO DE ROGERS
35
Teo ema 2.48
(Teo ema de Unicidad de Roge s)
.
Sea
(x, y)
una unción con inua en
las condiciones de Roge s
(2.28)
en la banda
P
, cumpliendo que
l´ım
x→0 (x, y) = o e−(1/x)
x2!
(2.30)
uni o memen e pa a odo
y∈[0, δ]
, con
δ > 0
. En onces, el p oblema de Cauchy
(2.29)
iene a lo sumo una solución, denida en el in e alo
[0,1]
.
Demos ación.
Supongamos que las unciones
y
e
¯y
son dos soluciones del p oblema de
alo inicial (2.29). Po la desigualdad (2.28) y la ecuación in eg al (2.3) se sigue que
|y(x)−¯y(x)| ≤ Zx
0
1
s2|y(s)−¯y(s)|ds.
Fijado un
 > 0
a bi a io, po la igualdad (2.30), pa a un cie o
x
sucien emen e pequeño,
|y( )−¯y( )| ≤ Zx
0| (s, y(s)) − (s, ¯y(s))|ds
≤Zx
0
e−(1/s)
s2ds =e−(1/x).
Po el Lema 2.47,
y(x) = ¯y(x)
pa a odo alo de
x∈[0,1]
.
A con inuación ecogemos un p oblema donde se asegu a la unicidad de la solución po
el c i e io de Roge s 2.48.
Ejemplo 2.49.
Conside amos el p oblema de alo inicial
y0= (x, y) =

















e−(1/x)+e−(1/x)
x
si
0≤x≤1, xe−(1/x)≤y
,
y
x2+e−(1/x)
si
0≤x≤1,0< y < xe−(1/x),
e−(1/x)
si
0≤x≤1, y ≤0
,
, y(0) = 0.
Comenzamos es udiando la con inuidad de la unción en la banda
P
. El único caso no
i ial es en los pun os de la ec a
x= 0
, donde enemos los siguien es casos:
Si
y≤0
se iene que
l´ım
(x,y)→(0+,y) (x, y) = l´ım
(x,y)→(0+,y)e−(1/x)= 0.
En el caso de que
xe−(1/x)≤y
,
l´ım
(x,y)→(0+,y) (x, y) = l´ım
(x,y)→(0+,y)
1
xe−(1/x)+e−(1/x)= 0.
36
CAPÍTULO 2. TEOREMAS DE UNICIDAD
Po úl imo, si
y∈(0, xe−(1/x))
enemos
l´ım
(x,y)→(0+,y)| (x, y)|= l´ım
(x,y)→(0+,y)|y|
x2+e−(1/x)≤l´ım
(x,y)→(0+,y)
e−(1/x)
x2+e−(1/x)= 0.
Po an o, como el alo de
en la ec a es ambién ce o, se sigue que la unción es con inua
en odo
P
.
Aho a comp obemos que se cumple la condición de Roge s (2.28). Fijado un
x∈[0,1]
,
es udiamos los siguien es casos:
P ime o, si
0< y, ¯y < xe−(1/x)
, enemos que
| (x, y)− (x, ¯y)|=y
x2+e−(1/x)−¯y
x2+e−(1/x)=1
x2|¯y−y|.
Si
y≤0<¯y < xe−(1/x)
,
| (x, y)− (x, ¯y)|=e−(1/x)−¯y
x2+e−(1/x)=1
x2|¯y| ≤ 1
x2|¯y−y|.
Aho a bien, si
y≤0, xe−(1/x)≤¯y
,
| (x, y)− (x, ¯y)|=e−(1/x)− e−(1/x)+e−(1/x)
x!=1
x|e−(1/x)|=1
x2|xe−(1/x)|
≤1
x2|¯y| ≤ 1
x2|¯y−y|.
Po úl imo, si
0< y < xe−(1/x)≤¯y
se sigue que
| (x, y)− (x, ¯y)|=y
x2+e−(1/x)− e−1/x +e−(1/x)
x!
=1
x2|y−xe−(1/x)|=1
x2(xe−(1/x)−y)
≤1
x2|¯y−y|.
Po an o sí se e ica la condición de Roge s (2.28).
Pa a naliza y pode aplica el Teo ema 2.48, es udiamos si se sa is ace la condición (2.30).
Esc ibimos la unción como
x2 (x, y)
e−(1/x)=








x+x2
si
0< x ≤1, xe−(1/x)≤y
,
y
e−(1/x)+x2
si
0< x ≤1,0< y < xe−(1/x),
x2
si
0< x ≤1, y ≤0
.
2.6. CRITERIO DE ROGERS
37
Es udiemos si
l´ım
x→0+
x2 (x, y)
e−(1/x)= 0,
en odos los casos. El único no i ial es cuando
y∈(0, xe−(1/x))
, donde se iene que
l´ım
x→0
y
e−(1/x)+x2= 0,
Concluimos que se cumple la condición (2.30) y, po el Teo ema de Roge s 2.48, el p oblema
iene una única solución.
Pa a naliza es a sección mos emos que la condición (2.30) es necesa ia pa a ga an-
iza la unicidad a a és del Teo ema 2.48, ya que en caso de que no cumpli se, como en
el siguien e ejemplo, el c i e io no es aplicable.
Ejemplo 2.50.
Conside amos el p oblema de alo inicial
y0= (x, y) =

















0
si
0≤x≤1, y ≤0
,
y
x2
si
0≤x≤1,0< y < e−(1/x),
e−(1/x)
x2
si
0≤x≤1, e−(1/x)≤y,
, y(0) = 0.
La con inuidad de la unción en la banda
P
es i ial sal o en la ec a
x= 0
. El caso de
los pun os de la o ma
(0, y)
, con
y≤0
, es di ec o. Además, se iene que
l´ım
x→0+
e−(1/x)
x2= l´ım
y→+∞
e−y
y2=−1
2l´ım
y→+∞
e−y
y=1
2l´ım
y→+∞e−y= 0,
po lo que
es con inua en la los pun os
(0, y)
, con
y∈[e−(1/x),∞)
. Po úl imo, como

y
x2<
e−(1/x)
x2→0
cuando
x→0+,
con
y∈(0, e−(1/x))
, se iene ambién la con inuidad en es os pun os. Po an o, concluimos
que
es con inua en
P
.
Comp obemos aho a que se cumple la condición de Roge s (2.28). Conside amos los si-
guien es casos:
Si
0< y, ¯y < e−(1/x)
, enemos
| (x, y)− (x, ¯y)|=
y
x2−¯y
x2=1
x2|y−¯y|
Si omamos
y≤0<¯y < e−(1/x)
, se sigue que
| (x, y)− (x, ¯y)|=0−¯y
x2=1
x2|¯y| ≤ 1
x2|¯y−y|.
38
CAPÍTULO 2. TEOREMAS DE UNICIDAD
Tomando
y≤0, e−(1/x)≤¯y
, se sigue que
| (x, y)− (x, ¯y)|=0−e−(1/x)
x2=1
x2|e−(1/x)| ≤ 1
x2|¯y| ≤ 1
x2|¯y−y|.
Po úl imo, si
0< y < e−(1/x)≤¯y
,
| (x, y)− (x, ¯y)|=
y
x2−e−(1/x)
x2=1
x2|y−e−(1/x)|
=1
x2(e−(1/x)−y)≤1
x2|¯y−y|.
Pa a acaba , eamos que la condición (2.30) no se e ica. Fijado un
y∈[e−(1/x),∞)
, se
iene que
l´ım
x→0+
x2 (x, y)
e−(1/x)= 1 6= 0.
Es o imposibili a aplica el Teo ema de Unicidad de Roge s 2.48.
En pa icula , el p oblema iene inni as, que ienen dadas de la o ma
y(x) = ce−(1/x),
con
c∈[0,1]
.
2.7. Teo ema de Unicidad de K asnosel'skii-K ein
Una es icción del Teo ema de Unicidad de Nagumo 2.41 e a que la cons an e posi i a
k
debía de se meno o igual uno. En es a sección enunciamos el c i e io de K asnosel'skii-
K ein, que elimina es a hipó esis, como se ecoge en el Capí ulo 1 de [1].
Denición 2.51.
Una unción
(x, y)
se dice que e ica la
condición de K asnosel'skii
-K ein
en un conjun o
D
si pa a odo pa
(x, y),(x, ¯y)∈D
se e ica que
| (x, y)− (x, ¯y)| ≤ k|y−¯y|
|x−x0|, x 6=x0, k > 0.
(2.31)
Además, se dice que
sa is ace la
condición de Hölde
, con
k
la misma cons an e de la
desigualdad (2.31), si
| (x, y)− (x, ¯y)| ≤ c|y−¯y|α, c > 0,0< α < 1, k(1 −α)<1.
(2.32)
Ob iamen e, si
k∈(0,1]
como en la condición de Nagumo (2.22), la condición de que
k(1−α)<1
es supe ua. Nó ese que la condición de K asnosel'skii-K ein (2.31) gene aliza
de o ma ob ia a la de Nagumo (2.22).
Enunciamos el eo ema p incipal de es e apa ado, ecogiendo la p ueba en el in e alo
[x0, x0+a]
, siendo análoga pa a el conjun o
[x0−a, x0]
.
2.7. TEOREMA DE UNICIDAD DE KRASNOSEL'SKII-KREIN
39
Teo ema 2.52
(Teo ema de Unicidad de K asnosel'skii-K ein)
.
Sea
(x, y)
una unción
con inua en el ec ángulo
¯
S
e icando las condiciones
(2.31)
y
(2.32)
. En onces, el p o-
blema de Cauchy
(2)
iene a lo sumo una solución en
[x0−a, x0+a]
.
Demos ación.
Supongamos que exis en dos soluciones,
y(x)
e
¯y(x)
, del p oblema de alo
inicial (2) en el in e alo
I= [x0, x0+a]
. Denimos la unción
φ(x) = |y(x)−¯y(x)|
, que es
cla amen e no nega i a y con inua. Po la condición de Holde (2.32) y la ecuación (2.3)
se iene que
φ(x) = |y(x)−¯y(x)| ≤ Zx
x0| ( , y( )) − ( , ¯y( ))|d
≤Zx
x0
c|y( )−¯y( )|αd =Zx
x0
c(φα( )) d .
Denimos la unción
R(x) = Zx
x0
c(φα( )) d ,
que cumple que
R(x0) = 0
y
R0(x) = c(φα(x)) ≤c(Rα(x)),
(2.33)
lo que implica que
R0(x)−c(Rα(x)) ≤0
.
Como
R(x)>0
pa a odo
x>x0
, mul iplicando la desigualdad (2.33) po
(1−α)(R−α(x))
ob enemos que
(R1−α(x))0≤c(1 −α)≤c,
de donde se deduce que
R1−α(x)≤c(x−x0).
Po an o, se iene que
φ(x)≤(c(x−x0)) 1
1−α
y se cumple las siguien es desigualdades:
0≤φ(x)
(x−x0)k≤c1
1−α(x−x0)1
1−α−k.
Aho a, denimos la unción
γ
como
γ(x) = φ(x)
(x−x0)k
Como, po la condición de Hölde (2.32),
k(1 −α)<1
, se sigue que
l´ım
x→x+
0
γ(x)=0.
Veamos que
γ(x) = 0
en odo el conjun o
I
. Supongamos al con a io que la unción
γ
es
no nula en algún pun o. En ese caso, exis e un
x1> x0
al que
0< m =γ(x1) = m´ax
x∈Iγ(x).

40
CAPÍTULO 2. TEOREMAS DE UNICIDAD
Po la condición de K asnosel'skii-K ein (2.31) enemos que
m=γ(x1) = φ(x1)
(x1−x0)k≤k
(x1−x0)kZx0
x1
φ( )
−x0
d
≤k
(x1−x0)kZx1
x0
γ( )
( −x0)k−1d
<m
(x1−x0)kZx1
x0
k
( −x0)k−1d =m.
Po la con adicción an e io , concluimos que
γ(x) = φ(x) = 0
en
I
y ambas soluciones
son iguales.
Ejemplo 2.53.
Conside amos el p oblema de Cauchy
y0= (x, y) =















0
si
0≤x≤1, x2< y
,
x2−y
x
si
0≤x≤1,0≤y≤x2,
x
si
0≤x≤1, y < 0
.
, y(0) = 0.
Veamos p ime o si la unción es con inua en la banda
D={(x, y)∈R2:x∈[0,1], y ∈R}.
Es e iden e que
es con inua en odo
(x, y)∈D
al que
x6= 0
. Es udiemos los pun os
es an es a a és del cálculo de los siguien es lími es:
l´ım
x→0+ (x, y) = l´ım
x→0+0 = 0
si
x2< y.
l´ım
x→0+ (x, y) = l´ım
x→0+x= 0
si
y < 0.
En el caso es an e se iene que

x2−y
x≤
x2+x2
x→0
si
0≤y≤x2.
Como los lími es coinciden con el alo de la unción,
es con inua en la ec a
x= 0
,
po an o, en el conjun o
D
.
Veamos aho a si se cumple la condición de K asnosel'skii-K ein (2.31). Conside amos los
siguien es casos.
Si
0≤y, ¯y≤x2
enemos que
| (x, y)− (x, ¯y)|=x2−y
x−x2−¯y
x=1
x|¯y−y|.
2.7. TEOREMA DE UNICIDAD DE KRASNOSEL'SKII-KREIN
41
Si
y < 0≤¯y≤x2
,
| (x, y)− (x, ¯y)|=x−x2−¯y
x=1
x|¯y|<1
x|¯y−y|.
En el caso de que
y < 0, x2<¯y
, se iene que
| (x, y)− (x, ¯y)|=|x−0|=1
x|x2|<1
x|¯y|<1
x|¯y−y|.
Po úl imo, si
0≤y≤x2<¯y
se sigue que
| (x, y)− (x, ¯y)|=x2−y
x−0=1
x(x2−y)<1
x|¯y−y|.
Pa a naliza y ayudándonos de los cálculos an e io es pa a e si se cumplía (2.31), es u-
diamos si se e ica en odos los casos la condición de Holde (2.32).
Si
0≤y, ¯y≤x2
enemos que
| (x, y)− (x, ¯y)|=1
x|y−¯y|=1
x|y−¯y|1/2|y−¯y|1/2≤1
x(|y|+|¯y|)1/2|y−¯y|1/2
≤√2x
x|y−¯y|1/2=√2|y−¯y|1/2.
Si
y < 0≤¯y≤x2
se sigue que
| (x, y)− (x, ¯y)|=1
x|¯y| ≤ |¯y|1/2<√2|¯y−y|1/2.
En el caso de que
y < 0, x2<¯y
,
| (x, y)− (x, ¯y)|=|x|<¯y1/2<|¯y−y|1/2<√2|¯y−y|1/2.
Po úl imo, si
0≤y≤x2<¯y
se iene que
| (x, y)− (x, ¯y)|=
x2−y
x≤ |x2−y|1/2<(¯y−y)1/2<√2|¯y−y|1/2.
Po an o, el Teo ema de K asnosell'skii-K ein 2.52 ga an iza que el p oblema iene una
única solución en el in e alo
[0,1]
, que iene dada po
y(x) = x2
3.
42
CAPÍTULO 2. TEOREMAS DE UNICIDAD
2.8. C i e io de Unicidad de Pe on
Apoyándonos p incipalmen e en el Capí ulo 1 de [7], complemen ado como a lo la go
del ex o con el Capí ulo 1 de [1], ecogemos en es a úl ima sección del capí ulo p incipal el
Teo ema de Unicidad de Pe on, que gua da cie a elación con alguno de los ya is os, como
el de Lipschi z 2.9. Empezamos deniendo dos concep os p e ios ela i os a la solución de
un p oblema de alo inicial.
Denición 2.54.
Dado el p oblema de Cauchy (2), una solución
q(x)
, denida en un
in e alo
I
, se dice
maximal
si, dada o a solución cualquie a
y(x)
denida ambién en
I
,
se iene que
y(x)≤q(x)
pa a odo
x∈I.
De o ma análoga, una solución
s(x)
se dice
minimal
si dada o a solución
¯y(x)
del mismo
p oblema, denidas ambas en
I
, se iene que
s(x)≤¯y(x)
pa a odo
x∈I.
De la p opia denición se deduce que, de exis i , ambas soluciones son únicas.
En nues o caso, al abaja con unciones con una cie a con inuidad, la exis encia de
solución es á ga an izada po el Teo ema de Cauchy-Peano 1.5. El siguien e esul ado
mues a que, bajo es as hipó esis, exis en siemp e ambas soluciones.
Teo ema 2.55.
Si
(x, y)
es una unción con inua en el conjun o
¯
S+
, en onces exis e
an o una solución maximal como una minimal del p oblema de Cauchy
(2)
, denidas en
el in e alo
[x0, x0+α)
, con
α > 0
.
O o é mino a deni an es de p oba el c i e io de Pe on es el de de i ada en el
sen ido de Dini, que gene aliza la idea de la de i ada usual pa a unciones con inuas no
necesa iamen e di e enciables.
Denición 2.56.
Sea
(x)
una unción con inua en un in e alo
I
. Llamamos de i ada
supe io de echa, in e io de echa, supe io izquie da e in e io izquie da en el sen ido de
Dini de la unción
a
D+ (x) = l´ım sup
h→0+y(x+h)−y(x)
h,
D+ (x) = l´ım in
h→0+y(x+h)−y(x)
h,
D− (x) = l´ım sup
h→0−y(x+h)−y(x)
h,
D− (x) = l´ım in
h→0−y(x+h)−y(x)
h.
2.8. CRITERIO DE UNICIDAD DE PERRON
43
La elación en e la de i ada usual y la de Dini es cla a: si
D− (x) = D− (x)
, exis e
la de i ada la e al izquie da de la unción con inua
(x)
, deno ada como
0(x−)
. De o ma
análoga se iene es e concep o pa a
0(x+)
.
Como ejemplo, si conside amos la unción
(x) = −|x|
en el pun o
x0= 0
, se iene que
D+ (0) = D+ (0) = −1 = 0(0+), D− (0) = D− (0) = 1 = 0(0−).
Las siguien es deniciones y esul ados, ela i os al campo de las Desigualdades Di e en-
ciales, mues an elaciones en e las las de i adas de Dini y cie as unciones.
Denición 2.57.
Conside emos el p oblema de Cauchy (2) con
(x, y)
una unción con i-
nua. Sea
y(x)
una unción con inua al que se cumplen las condiciones (a) y (b) de solución.
Si
y
sa is ace la desigualdad di e encial
y0(x+)< (x, y(x)), x ∈[x0, x0+a),
se dice que es una sub-solución del p oblema de alo inicial (2). En las mismas hipó esis,
si
y(x)
cumple que
y0(x+)> (x, y(x)), x ∈[x0, x0+a),
decimos que es una sob e-solución del p oblema de Cauchy (2).
Teo ema 2.58.
Conside emos el p oblema de alo inicial
(2)
con
con inua en el
conjun o
¯
S+
. Sean
y
e
¯y
dos unciones con inuas en el in e alo
[x0, x0+a)
ales que
(x, y(x)),(x, ¯y(x)) ∈D
y
y(x0)<¯y(x0)
pa a un cie o
x0
. Además, se iene que
D−y(x)≤ (x, y(x)), D−¯y(x)> (x, ¯y(x))
(2.34)
pa a odo
x∈[x0, x0+a)
. En onces
y(x)<¯y(x), x ∈[x0, x0+a).
Demos ación.
Supongamos que el esul ado no es cie o. En onces el conjun o
A={x∈[x0, x0+a) : ¯y(x)≤y(x)}
es no acío y es á aco ado in e io men e. Sea
x1> x0
el ínmo de
A
, que cumple que
y(x)<¯y(x)
en
[x0, x1)
e
y(x1) = ¯y(x1)
.
Po odo ello, pa a un
h < 0
sucien emen e pequeño se iene que
y(x1+h)−y(x1)
h>¯y(x1+h)−¯y(x1)
h,
50
CAPÍTULO 3. UNICIDAD A TRAVÉS DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE
Teo ema 3.7.
Sea
B
una bola cen ada en el pun o
(x0, y0)∈R2
. Si la unción
¯
es
con inua en
B
y posi i a en los pun os de
B {(x0, y0)}
, en onces el p oblema
(3.1)
iene al menos una solución con inua.
Nó ese que la hipó esis de que la unción
¯
sea posi i a en la bola abie a pe o ada
B {(x0, y0)}
se puede cambia suponiendo que es nega i a en oda ella. Además, no
hemos supues o que la unción es é aco ada, al con a io que en el Teo ema 1.5.
Una e sión al e na i a de los c i e ios de unicidad, como el de Lipschi z.
Si
es con inua en un en o no del pun o
(x0, y0)
, el Teo ema 3.7 ga an iza la exis-
encia de al menos una solución,
y(x)
, al que
y0(x) = (x, y(x))
e
y(x0) = y0
.
El siguien e paso se ía es udia si dicha solución es única po algún c i e io, como el
de Lipschi z 2.9. Sin emba go, es o no se iene asegu ado siemp e como imos en el
Ejemplo 1.6. Recogemos una si uación donde es posible sol en a es e p oblema.
Ejemplo 3.8.
Conside emos el p oblema de Cauchy
y0= (x, y) = p|y|+ cos(x), y(0) = 0.
(3.4)
La unción
(x, y)
es con inua al se suma de unciones elemen ales. Como imos a
lo la go de la Sección 2.1,
no es lipschi ziana espec o de la a iable
y
.
Sin emba go, como
(0,0) = 1 >0
y
es lipschi ziana espec o de
x
en cualquie
en o no del o igen, se iene que
¯
( , ) = 1
√ + cos( )
es lipschi ziana espec o de
en un en o no del pun o
(0,0)
. Po an o, el co espon-
dien e p oblema (3.2) iene una única solución.
Además, al se
una unción posi i a en un en o no de
(0,0)
, oda solución de (3.4)
dene una solución local del p oblema in e so (3.2), po lo que (3.4) iene una única
solución posible.
Como consecuencia del an e io ejemplo, deducimos el siguien e esul ado que ga an-
iza una solución local del p oblema de Cauchy (2).
Teo ema 3.9
(Ve sión del Teo ema de Lipschi z)
.
Sea
(x, y)
una unción con inua
en un en o no de
(x0, y0)∈R2
al que
(x0, y0)6= 0
. En onces, el p oblema de alo
inicial
(2)
iene una solución única si es
es lipschi ziana en un en o no de
(x0, y0)
espec o de
x
y/o espec o de
y
.

51
Pa a naliza , es udiemos b e emen e la condición de que
(x0, y0)6= 0
en el Teo ema
de Lipschi z 3.9 a a és de dos ejemplos.
El p oblema de alo inicial au ónomo
y0=p|y|, x ≥0, y(0) = 0,
mues a que la condición de que la unción sea dis in a a ce o en el pun o
(x0, y0)
es
necesa ia pa a ga an iza la unicidad po el Teo ema 3.9. Como habíamos is o en el
Ejemplo 2.18, dos posibles soluciones a es e p oblema son la i ial e
y(x) = x2/4
.
Aho a conside emos el p oblema de Cauchy
y0=p|y−x|+ 1, x ≥0, y(0) = 0.
Nó ese que pese a cumpli se que
(0,0) 6= 0
, la unción no es lipschi ziana en ningún
en o no del o igen espec o de alguna a iable, po an o no se puede aplica el
Teo ema 3.9. Además, las unciones
y(x) = x
e
¯y(x) = x2
4+x
son dos soluciones al p oblema.
Nó ese que ambién es posible es udia la unicidad a a és de condiciones en la a iable
independien e con o os c i e ios dis in os al de Lipschi z, como los is os en el Capí ulo 2.
Po ejemplo, en el caso de Peano bas a ía pedi que la unción
sea con inua y dec ecien e
espec o de alguna a iable en un en o no de dicho pun o y además que no se anule en el
pun o
(x0, y0)
.
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53