Un recorrido por la Inferencia Estadística asociada a la distribución de Gauss

T aballo Fin de G ao
Un eco ido po la In e encia
Es adís ica asociada a la dis ibución
de Gauss
Diego Ma ínez Taboada
2020/2021
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO DE MATEMÁTICAS
T aballo Fin de G ao
Un eco ido po la In e encia
Es adís ica asociada a la dis ibución
de Gauss
Diego Ma ínez Taboada
Julio 2021
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
T abajo p opues o
Á ea de Coñecemen o: Es adís ica e In es igación Ope a i a
Tí ulo: Un eco ido po la In e encia Es adís ica asociada
a la dis ibución de Gauss
B e e desc ición do con ido
Se p e ende e isa la dis ibución de Gauss, desde el con ex o más
básico de da os escala es has a el de los da os ec o iales mul idimen-
sionales en espacios euclídeos y de dimensión in ini a, como sucede en
el caso de los p ocesos es ocás icos, con la ilus ación en espacios no-
ables, como lo son los di e sos espacios manejados en el con ex o de
da os uncionales. Dicha e isión inclui á aspec os elacionados con la
In e encia Es adís ica de las mues as de da os y las co espondien es
dis ibuciones asociadas a la dis ibución Gaussiana, así como di e -
sas écnicas pa a la co espondien e gene ación de da os a i iciales
de dicha dis ibución.
iii

Índice gene al
Resumen ix
In oducción xi
1. Dis ibuciones escala es y ec o iales del con ex o gaussiano 1
1.1. Dis ibuciones escala es del con ex o gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Dis ibución no mal uni a ian e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Dis ibución ji-cuad ado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3. Dis ibución T de S uden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4. Dis ibución FdeSnédeco ....................... 2
1.2. Dis ibuciones ec o iales del con ex o gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Dis ibución no mal mul i a ian e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2. Dis ibución de Wisha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3. Dis ibución T2deHo elling....................... 5
1.2.4. Dis ibución ΛdeWilks......................... 6
1.2.5. In e encia en poblaciones no males mul i a ian es . . . . . . . . . . . 7
1.2.6. Simulación de dis ibuciones no males mul i a ian es . . . . . . . . . 9
1.3. Con as e de la no malidad uni a ian e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Tes basado en la asime ía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Tes basado en la ku osis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3. Tes de Shapi o-Wilk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.4. Tes s de Kolmogo o -Smi no y Lillie o s . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Con as e de la no malidad mul i a ian e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1. Tes de Ja que-Be a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2. Tes deMa dia.............................. 16
1.4.3. Tes de Kolmogo o -Smi no mul i a ian e . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Análisis de componen es p incipales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
i ÍNDICE GENERAL
2. Teo ía de espacios de Hilbe 21
2.1. Espacios de Banach y Hilbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1. Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2. Espacios de Hilbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3. In eg al de Bochne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.4. El espacio L2............................... 24
2.2. Teo íadeope ado es............................... 25
2.2.1. Ope ado es compac os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2. Ope ado es Hilbe -Schmid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3. P ocesos gaussianos y hilbe ianos de Gauss 29
3.1. In oducción a los p ocesos gaussianos y hilbe ianos de Gauss . . . . . . . . 29
3.1.1. P ocesos es ocás icos y p ocesos gausianos . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2. El p oceso de Wiene y el puen e b owniano . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.3. P ocesos hilbe ianos de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4. In e encia en p ocesos hilbe ianos de Gauss 35
4.1. Media y ope ado de co a ianzas de un elemen o alea o io . . . . . . . . . . 35
4.2. In e encia sob e la media y la unción de co a ianzas . . . . . . . . . . . . . 38
4.3. Componen es uncionales p incipales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1. In oducción a las FPC’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.2. Base o ono mal óp ima empí ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4. Descomposición Ka hunen-Loé e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5. Es udio de los es s de no malidad de da os uncionales 45
5.1. In oducción a los con as es ealizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2. Con as es ealizados y análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.1. Familia de da os es udiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.2. Bloque1.................................. 48
5.2.3. Bloque2.................................. 49
5.2.4. Compa ación de bloques y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . 50
A. Cuad os ela i os a la simulación de los es s de no malidad del bloque
1 53
B. Cuad os ela i os a la simulación de los es s de no malidad del bloque
2 57
ÍNDICE GENERAL ii
C. Código de R83
C.1. Código ela i o a la gene ación de da os uncionales . . . . . . . . . . . . . . 83
C.2. Código ela i o a las simulaciones del bloque 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 86
C.3. Código ela i o a las simulaciones del bloque 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Bibliog a ía 101
2CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES ESCALARES Y VECTORIALES
pos e io es dis ibuciones1.
1.1.1. Dis ibución no mal uni a ian e
De inición 1.1. Una a iable alea o ia con inua Xse dice que sigue una dis ibución
no mal de media µy a ianza σ2si su unción de densidad iene dada po
(x) = 1
√2πσ2exp −1
2(x−µ
σ)2∀x∈R.
Se deno a X∈N(µ, σ2). Si µ= 0 yσ2= 1, se le denomina dis ibución no mal es ánda .
1.1.2. Dis ibución ji-cuad ado
De inición 1.2. Sean Z1, ..., Zm∈N(0,1) independien es. La a iable alea o ia
X=
m
X
i=1
Z2
i
se dice que sigue una dis ibución ji-cuad ado con m g ados de libe ad. Se deno a X∈χ2
m.
Nó ese que si Y1, ..., Ym∈N(0, σ2), en onces
X=
m
X
i=1
Y2
i=σ2
m
X
i=1
(Yi
σ)2=σ2
m
X
i=1
Z2
i∈σ2χ2
m.
1.1.3. Dis ibución T de S uden
De inición 1.3. Sean Z∈N(0,1) yX∈χ2
mindependien es. La a iable alea o ia
T=Z
pX/m
se dice que sigue una dis ibución Tde S uden con m g ados de libe ad. Se deno a
T∈Tm.
1.1.4. Dis ibución Fde Snédeco
De inición 1.4. Sean X1∈χ2
m1yX2∈χ2
m2independien es. La a iable alea o ia
F=X1/m1
X2/m2
se dice que sigue una dis ibución Fde Snédeco con m1ym2g ados de libe ad en el
nume ado y en el denominado . Se deno a F∈Fm1,m2.
1No se p o undiza á en las p opiedades de dichas dis ibuciones, pues son obje o de es udio en las
ma e ias P obabilidad y Es adís ica eIn e encia Es adís ica del e ce cu so del g ado.

1.2. DISTRIBUCIONES VECTORIALES DEL CONTEXTO GAUSSIANO 3
1.2. Dis ibuciones ec o iales del con ex o gaussiano
Menos de 25 años más a de de habe in oducido el concep o de dis ibución no mal
uni a ian e, Laplace y Gauss cosecha on la unción de densidad de la dis ibución no mal
bi a ian e. En 1889, Gal on ahondó en los concep os de eg esión y co elación en e pa es
de a iables, mo i ado po su es udio en gené ica. Los cimien os de la dis ibución no mal
mul i a ian e queda ían de es a mane a asen ados. A pa i de ahí, nume osos ma emá icos
se han aden ado en el es udio de la dis ibución gaussiana mul i a ian e y dis ibuciones
de i adas.
T a a emos p ime amen e las gene alizaciones al con ex o ec o ial de las cua o dis i-
buciones an e io men e ecogidas, así como algunas de sus p opiedades más impo an es.
El sal o al ma co mul idimensional ae consigo conno aciones impo an es. En p ime lu-
ga , el concep o de a ianza se con ie e en la noción de ma iz de co a ianzas, dando luga
a la in oducción de concep os como el análisis de componen es p incipales. Además, las
unciones de densidad o dis ibución son a menudo desconocidas o de mayo complejidad.
La simpli icación de es as o la educción de és as a o as dis ibuciones conocidas juega
siemp e un papel impo an e. La in oducción secuencial de es a sección ha sido mo i ada
po aquella p esen ada en [Ma dia e al., 1979].
1.2.1. Dis ibución no mal mul i a ian e
El es udio de la dis ibución no mal (o gaussiana) mul i a ian e es undamen al en el
con ex o de la in e encia es adís ica. Es a es de especial in e és po que desc ibe el com-
po amien o asin ó ico de sucesiones de ec o es alea o ios bajo cie as hipó esis ( éase
el eo ema de Le y-Lindebe g mul i a ian e), así como apa ece de mane a ecu en e en
mul i ud de escena ios de la ísica y de la biología. A con inuación se p esen a una de
sus de iniciones más comúnmen e u ilizadas, basada en la unción de densidad del ec o
alea o io.
De inición 1.5. Sean µ∈RmyΣuna ma iz m×msimé ica y semide inida posi i a. Un
ec o alea o io con inuo Xse dice que sigue una dis ibución no mal mul i a ian e con
ec o de medias µy ma iz de co a ianzas Σsi su unción de densidad iene dada po
(x) = (2π)−m/2|Σ|−1/2exp −1
2(x−µ)0Σ−1(x−µ)∀x∈Rm.
Se deno a X∈Nm(µ, Σ). Si µ= 0 yΣ = Im, se le denomina dis ibución no mal
es ánda mul i a ian e.
Son a ias las de iniciones equi alen es de la no malidad de un ec o alea o io. El
siguien e eo ema sugie e o a de ellas, y su alcance pod á se en endido en el Capí u-
4CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES ESCALARES Y VECTORIALES
lo 3, donde de ini emos la no malidad de un elemen o alea o io uncional sin ecu i al
concep o de unción de densidad. La demos ación del mismo puede se encon ada en
[Sebe y Lee, 2003, Teo ema 2.3, pág 22].
Teo ema 1.6. Si Yes un ec o alea o io de dimensión mcon ec o de medias µy ma iz
de co a ianzas Σ, en onces
Y∈Nm(µ, Σ) ⇐⇒ a0Ysigue una dis ibución no mal uni a ian e pa a odo ec o a.
Po an o, la no malidad se iene si y solo si odas las p oyecciones siguen una dis i-
bución no mal uni a ian e.
Una impo an e p opiedad de la dis ibución no mal mul idimensional es la siguien e:
Teo ema 1.7. Si X∈Nm(µ, Σ) yCes una ma iz p×m, en onces
CX ∈Nm(Cµ, CΣC0).
Nó ese que es e hecho pe mi e manipula la dis ibución de mane as muy in e esan es,
como puede se el p oceso de es anda ización.
Además, la dis ibución gaussiana mul i a ian e cuen a con la siguien e p opiedad:
Teo ema 1.8. Sea X= (X1, ..., Xm)0un ec o alea o io que sigue una dis ibución no -
mal mul i a ian e. Si sus a iables son inco elacionadas, en onces son independien es.
Po an o, dos a iables alea o ias no males son inco elacionadas si y solo si son inde-
pendien es. Es a ca ac e ís ica esul a ú il en los es s de no malidad mul i a ian e, pues
pe mi e aslada la e i icación de la hipó esis de no malidad a las componen es inco e-
lacionadas.
1.2.2. Dis ibución de Wisha
En 1928, el ma emá ico escocés John Wisha in oduce una dis ibución que más a de
adop a ía su nomb e. La dis ibución de Wisha gene aliza la dis ibución ji-cuad ado al
con ex o ec o ial. Reco demos que es a úl ima apa ece ei e adamen e en p oblemas de
in e encia en el caso unidimensional, y en pa icula en aquellos asociados a la a ianza.
El eo ema de Fische mul i a ian e y el Ejemplo 1.23 ecogidos pos e io men e ilus a án
la mo i ación de la dis ibución de Wisha . Es a se de ine como sigue:
De inición 1.9. Sea Σuna ma iz simé ica y semide inida posi i a. Sean X1, ..., Xm∈
Nm(0,Σ) independien es. La ma iz alea o ia
M=
m
X
i=1
XiX0
i
1.2. DISTRIBUCIONES VECTORIALES DEL CONTEXTO GAUSSIANO 5
se dice que sigue una dis ibución Wisha con mg ados de libe ad y ma iz Σ. Se deno a
M∈Wd(Σ, m).
El siguien e eo ema ecoge el compo amien o de la espe anza de la dis ibución de
Wisha , análogo a aquel de la dis ibución ji-cuad ado.
Teo ema 1.10. Si M∈Wd(Σ, m), en onces
E(M) = mΣ.
Asimismo, la dis ibución de Wisha ambién es ep oduc i a con espec o del pa á-
me o asociado a la descomposición de es a.
Teo ema 1.11. La amilia de dis ibuciones M∈Wd(Σ, m)es ep oduc i a espec o del
pa áme o m. Es deci , si M1∈Wd(Σ, m1)yM2∈Wd(Σ, m2)son independien es, en on-
ces
M1+M2∈Wd(Σ, m1+m2).
Po úl imo, la siguien e p opiedad de la dis ibución de Wisha pe mi e de ini la
dis ibución Λde Wilks, como e emos pos e io men e.
Teo ema 1.12. Si M∈Wd(Σ, m)es al que Σes de inida posi i a y m≥d, en onces
P(Mde inida posi i a)=1.
1.2.3. Dis ibución T2de Ho elling
La dis ibución de Ho elling debe su nomb e al ma emá ico y economis a ame icano
Ha old Ho elling. És a ex iende de mane a na u al la dis ibución Tde S uden al escena io
ec o ial.
De inición 1.13. Sean Z∈Nd(0, Id)yR∈Wd(Id, m)independien es con m≥d. La
a iable alea o ia unidimensional
H=mZ0R−1Z
se dice que sigue una dis ibución T2de Ho elling de pa áme os dym. Se deno a H∈
T2(d, m).
El siguien e eo ema es undamen al pa a en ende la aplicación de la dis ibución T2de
Ho elling en el ámbi o de la in e encia. El Ejemplo 1.23 ilus a el uso de es a dis ibución.
Teo ema 1.14. Si X∈Nd(µ, Σ) yM∈Wd(Σ, m)son independien es, en onces
m(X−µ)0M−1(X−µ)∈T2(d, m).
6CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES ESCALARES Y VECTORIALES
La dis ibución de Ho elling puede se educida a una dis ibución Fde Snédeco como
ecoge el siguien e eo ema:
Teo ema 1.15. Las dis ibuciones T2de Ho elling y Fde Snédeco e i ican
T2(d, m)d
=md
m−d+ 1Fd,m−d+1.
Las ablas de la dis ibución de Ho elling pueden se de i adas, po an o, de aquellas
de la dis ibución Fde Snédeco .
1.2.4. Dis ibución Λde Wilks
La dis ibución Fde Snédeco iene como dis ibución homóloga en el ma co mul idi-
mensional a la dis ibución Λde Wilks, in oducida po el ame icano Samuel Wilks.
Recué dese que el es F de compa ación de modelos lineales se ampa a en la dis i-
bución Fde Snédeco . Siendo RSS0la suma esidual de cuad ados bajo la hipó esis nula
yRSS la suma esidual de cuad ados bajo la hipó esis al e na i a, éngase p esen e el
es adís ico de con as e del es F:
(RSS0−RSS)/q
RSS/(n−p)∈Fq,n−p.
En el ma co mul i a ian e, los esiduos son ec o es. Consecuen emen e, la suma de
cuad ados se ans o ma en una ma iz de co a ianzas. Véase la analogía de dicho es adís-
ico con la de inición que a con inuación se p esen a de la dis ibución Λde Wilks.
De inición 1.16. Sean E∈Wd(Id, mE)yH∈Wd(Id, mH)independien es con mE≥d.
La a iable alea o ia unidimensional
W=|E|
|E+H|=|Id+E−1H|−1
se dice que sigue una dis ibución Λde Wilks de pa áme os d,mHymE. Se deno a
W∈Λ(d, mH, mE).
Nó ese que P(Hsemide inida posi i a)=1y, basándose en el Teo ema 1.12, P(E
de inida posi i a)=1. Po an o, P(E+Hde inida posi i a)=1y consecuen emen e la
dis ibución Λde Wilks es á bien de inida con p obabilidad 1.
La dis ibución Λde Wilks p esen a la siguien e p opiedad de sime ía, lo que acili a
la ob ención de sus ablas:
Teo ema 1.17. Si mE≥d, en onces
Λ(d, mH, mE) = Λ(mH, d, mH+mE−d).
1.2. DISTRIBUCIONES VECTORIALES DEL CONTEXTO GAUSSIANO 7
1.2.5. In e encia en poblaciones no males mul i a ian es
Comenzamos e i iéndonos al ec o de medias y ma iz de co a ianzas mues ales
mul i a ian es, concep os impe a i os en el desa ollo de la in e encia es adís ica.
De inición 1.18. Sean X1, ..., Xnuna mues a alea o ia simple ec o ial.
El ec o de medias ¯
Xy la ma iz de co a ianzas mues ales Sse de inen espec i amen e
como
¯
X=1
n
n
X
i=1
Xi, S =1
n
n
X
i=1
(Xi−¯
X)(Xi−¯
X)0.
A con inuación, la exposición del eo ema de Fische mul i a ian e, esencial en p oble-
mas de in e encia de ca ác e ec o ial.
Teo ema 1.19 (Teo ema de Fische mul i a ian e).Si X1, ..., Xn∈Nd(µ, Σ) son inde-
pendien es, en onces
i) ¯
X∈N(µ, 1
nΣ).
ii) nS ∈Wd(Σ, n −1).
iii) ¯
XySson independien es.
Su p ueba, que puede se encon ada en [Ma dia e al., 1979, Capí ulo 3, página 69],
es análoga a la del caso uni a ian e.
El siguien e co ola io es consecuencia inmedia a del eo ema de Fische mul i a ian e
y el Teo ema 1.14. Se á u ilizado en el Ejemplo 1.23.
Co ola io 1.20. Si X1, ..., Xn∈Nd(µ, Σ) son independien es, en onces
(n−1)( ¯
X−µ)0S−1(¯
X−µ)∈T2(d, n −1).
A causa del Teo ema 1.15, ambién se ob iene el co ola io equi alen e que sigue:
Co ola io 1.21. Si X1, ..., Xn∈Nd(µ, Σ) son independien es, en onces
(n−d)
d(¯
X−µ)0S−1(¯
X−µ)∈Fd,n−d.
Recogemos a con inuación es p oblemas de con as e de hipó esis que ejempli ican el
uso de las nociones que in oducidas has a el momen o.
Ejemplo 1.22 (Con as e sob e el ec o de medias con ma iz de co a ianzas conocida).
Sean X1, ..., Xn∈Nd(µ, Σ) una mues a alea o ia simple de ec o es alea o ios indepen-
dien es y Σconocida. Supongamos que nos en en amos a un p oblema de con as e sob e
el ec o de medias
H0:µ=µ0.

8CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES ESCALARES Y VECTORIALES
A on ando el p oblema po medio del p ocedimien o de azón de e osimili udes, e mi-
namos ob eniendo el siguien e es adís ico de con as e:
n(¯
X−µ0)0Σ−1(¯
X−µ0).
Si la hipó esis nula es cie a, en onces
n(¯
X−µ0)0Σ−1(¯
X−µ0)∈χ2
d
como consecuencia del Teo ema 1.7. Po an o, se echaza á H0:µ=µ0cuando
n(¯
X−µ0)0Σ−1(¯
X−µ0)> χ2
d,α,
donde χ2
d,α es el cuan il 1−αde la dis ibución χ2
d.
Ejemplo 1.23 (Con as e sob e el ec o de medias con ma iz de co a ianzas desconoci-
da).A on ando el p oblema de con as e sob e el ec o de medias del ejemplo an e io
pe o con Σdesconocida median e el p ocedimien o de azón de e osimili udes, ob enemos
el siguien e es adís ico de con as e
(n−1)( ¯
X−µ0)0S−1(¯
X−µ0).
Si la hipó esis nula es cie a, en onces
(n−1)( ¯
X−µ0)0S−1(¯
X−µ0)∈T2(d, n −1)
como consecuencia del Co ola io 1.20. Po an o, se echaza á H0:µ=µ0cuando
(n−1)( ¯
X−µ0)0S−1(¯
X−µ0)> T2
α(d, n −1),
donde T2
α(d, n −1) es el cuan il 1−αde la dis ibución T2(d, n −1).
Equi alen emen e (Teo ema 1.15), la hipó esis nula se echaza á si
n−d
d(¯
X−µ0)0S−1(¯
X−µ0)> d,n−d,α,
donde d,n−d,α es el cuan il 1−αde la dis ibución Fd,n−d.
Ejemplo 1.24 (Con as e sob e la ma iz de co a ianzas).Sea X1, ..., Xn∈Nd(µ, Σ)
una mues a alea o ia simple de ec o es alea o ios independien es con µdesconocido.
Supongamos que nos en en amos a un p oblema de con as e sob e la ma iz de co a ianzas
H0: Σ = Σ0.
1.2. DISTRIBUCIONES VECTORIALES DEL CONTEXTO GAUSSIANO 9
A on ando el p oblema po medio del p ocedimien o de azón de e osimili udes, e -
minamos ob eniendo el siguien e es adís ico de con as e
nd(a−ln g−1),
siendo ayglas medias a i mé icas y geomé icas de los au o alo es de Σ−1
0S. Su dis ibu-
ción exac a es desconocida. No obs an e, se sa is acen las hipó esis del eo ema de Wilks
y consecuen emen e puede se aplicado. La dis ibución asin ó ica del es adís ico es χ2
m,
donde mes la di e encia de dimensiones en e los espacios de pa áme os ΘyΘ0. En es e
caso, m=1
2d(d+1) es el núme o de pa áme os independien es de la ma iz de co a ianzas
en cues ión.
Po an o, se echaza á H0: Σ = Σ0cuando
nd(a−ln g−1) > χ2
m,α,
donde χ2
m,α es el cuan il 1−αde la dis ibución χ2
m.
1.2.6. Simulación de dis ibuciones no males mul i a ian es
La simulación de dis ibuciones es muy impo an e en el análisis es adís ico, ya sea en
su plano más eó ico o aplicado. Nume osos esul ados (como la p opia de inición de la
dis ibución no mal) nacen de la obse ación igu osa de da os, que pueden se eales o
simulados. Además, el es udio de la e icacia de di e en es es s o algo i mos puede eque i
una g an can idad de da os. La ob ención de dichos da os no es siemp e posible, o pue-
de se demasiado cos osa. La simulación o ece una al e na i a e icien e en el desa ollo
es adís ico.
Aquí p esen amos dos mé odos de gene ación de dis ibuciones no males es ánda co-
nocidos como la ans o mación de Box-Mulle y el mé odo pola . Nó ese que pe mi en
gene a cualquie dis ibución no mal, como consecuencia del Teo ema 1.7.
Sean U1yU2dos a iables alea o ias uni o mes (0,1) independien es. La ans o mación
de Box-Mulle se de ine como sigue:
Z0=p−2 ln U1cos(2πU2),
Z1=p−2 ln U1sen(2πU2).
La a iable Z= (Z0, Z1)sigue una dis ibución N2(0, I2).
La demos ación se puede descompone en dos pasos sencillos. P ime o, es udia que la
ans o mación Y= ln U1da luga a una exponencial. Después, es udia la ans o mación
de Box-Mulle a pa i de una dis ibución uni o me y una dis ibución exponencial. Es a
10 CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES ESCALARES Y VECTORIALES
p ueba puede se encon ada con de alle en [Bli zs ein y Hwang, 2015, Capí ulo 8, páginas
373-374].
Nó ese que la idea subyacen e a la ans o mación de Box-Mulle eside en gene a
dos dis ibuciones alea o ias y ans o ma las de al mane a que una se asocia al ángulo y
o a se asocia al adio, ambas en e 0 y 1. Numé icamen e, la ans o mación equie e dos
ope aciones igonomé icas. El mé odo pola se basa en la misma idea, pe o e i a ene
que ealiza las e aluaciones del seno y coseno. Es po ello que es e úl imo es ampliamen e
u ilizado.
Sean aho a XeYdos a iables alea o ias uni o mes (0,1) independien es. El papel que
jugaba U1en la ans o mación de Box-Mulle , se co esponde con la suma Q=X2+Y2
en el mé odo pola . El coseno se ans o ma de mane a na u al en X/pQy el seno en
Y/pQ. Reco demos que U1 oma alo es en (0,1). Consecuen emen e, el mé odo pola
gene a dos a iables alea o ias uni o mes (0,1) independien es XeYhas a que Q∈(0,1)
y las ans o ma en
P0=X
√Qp−2 ln Q=Xs−2 ln Q
Q,
P1=Y
√Qp−2 ln Q=Ys−2 ln Q
Q.
La a iable P= (P0, P1)sigue una dis ibución N2(0, I2). La Figu a 1.1 ep esen a esque-
má icamen e la gene ación de ec o es alea o ios no males median e el mé odo pola .
1.3. Con as e de la no malidad uni a ian e
En mul i ud de ocasiones, las écnicas es adís icas son obus as si se acep an las supo-
siciones con las que se abaja. F ecuen emen e, una de es as es la hipó esis de no malidad.
A eces, es a suposición se debe a la na u aleza de los enómenos es udiados. O as eces,
educe la complejidad de los algo i mos de mane a impo an e. No obs an e, dicha supo-
sición conlle a el iesgo de pe de la e icacia o incluso alidez del modelo. Comp oba el
ajus e de no malidad de la mues a es un paso que no debe se subes imado.
El es udio de los es s de con as e de no malidad en da os uncionales supone uno
de los obje i os p imo diales de es e abajo. Es os se basan en los los es s de no ma-
lidad mu idimensional, que debemos es udia con igo . Pa a ello, es impo an e habe
comp endido los es s de asime ía y ku osis del ma co unidimensional, ecogidos a con i-
nuación. También se explici a el es de Shapi o-Wilk, es de no malidad unidimensional
al amen e ex endido. Po úl imo, se ecoge el es de bondad de ajus e más gene al de
Kolmogo o -Smi no y la adap ación de Lillie o s al ma co gaussiano.
1.3. CONTRASTE DE LA NORMALIDAD UNIVARIANTE 11
Figu a 1.1: Ilus ación de la gene ación de ec o es alea o ios no males median e el mé odo
pola .
1.3.1. Tes basado en la asime ía
La dis ibución no mal uni a ian e es simé ica con espec o de la media. Consecuen-
emen e, cualquie momen o cen ado de o den impa de una dis ibución no mal es igual
a 0. En pa icula , el momen o de o den 3 mo i a la de inición de asime ía mues al. A
con inuación se ecogen su de inición o mal y el es adís ico asociado.
De inición 1.25. Sea X1, ..., Xnuna mues a alea o ia simple escala . El coe icien e de
asime ía mues al se de ine como
A=1
n
n
X
i=1
(Xi−¯
X
√S)3.
Si la dis ibución de los da os mues ales es no mal, en onces n
6A iene una dis i-
18 CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES ESCALARES Y VECTORIALES
p ecu so es de la idea. A p incipios de siglo XX ambos publican sus espec i os aba-
jos, que adop an dos mo i aciones di e en es. Más in o mación puede se encon ada en
[Jolli e, 2002, Capí ulo 1].
La idea asociada a las componen es p incipales es la educción de la dimensión de la
mues a, e eniendo la mayo in o mación posible de dicho conjun o de da os. Supongamos
que X= (X1, ..., Xp)es un ec o alea o io de p a iables. Buscamos un pequeño núme o
de a iables de i adas de Xque p ese en la mayo ía de la a iabilidad del ec o .
En p ime luga , se busca el ec o cons an e α1= (α11, ..., α1p) al que |α1|= 1 que
maximiza la a ianza de la a iable alea o ia
hα1, Xi=
p
X
j=1
α1jXj.
La p ime a componen e p incipal, CP, se de ine como la a iable alea o ia hα1, Xi.
En segundo luga , se busca el ec o cons an e α2 al que |α2|= 1,hα1, Xiyhα2, Xi
son inco elacionados y maximiza la a ianza de hα2, Xien el conjun o de ec o es de ales
ca ac e ís icas. La a iable alea o ia hα2, Xise denomina segunda componen e p incipal.
Sucesi amen e, el ec o αkes al que |αk|= 1,hαk, Xiyhαi, Xison inco elacionados
pa a 1≤i≤k−1y maximiza la a ianza de hαk, Xien el conjun o de ec o es de ales
ca ac e ís icas. La k-ésima componen e p incipal es hαk, Xi.
El p oceso con inúa has a que se en iende que las CP’s conside adas son su icien es.
Nó ese que las p ime as kcomponen es p incipales con o man la p oyección de Xen el
subespacio de Rpgene ado po {α1, ...αk}.
Es udiemos aho a el conjun o {α1, ...αk}. Reco demos que, po se Σuna ma iz eal,
simé ica y semide inida posi i a, admi e una descomposición en alo es singula es de la
o ma USU0, donde UySson ma ices de o den p×p eales, Ues o ogonal y Ses
diagonal y con odas sus en adas no nega i as. Podemos eque i , además, que los alo es
singula es Sii es én o denados de o ma descendien e. Equi alen emen e,
Σ =
p
X
i=1
SiiUi⊗Ui,
donde Uies la i-ésima columna de U. De es a úl ima descomposición de la ma iz de
co a ianzas podemos deduci que el conjun o {α1, ...αk}se co esponde con las kp ime as
columnas de U. El conjun o {U1, ..., Uk}lo componen, a su ez, los kau o ec o es asociados
a los kau o alo es de Σde mayo alo absolu o.
En la inmensa mayo ía de ocasiones, la ma iz de co a ianzas Σes desconocida, al igual
que la dis ibución de la mues a. El concep o de las componen es p incipales empí icas
se undamen a en los mismos p incipios, pe o omando la ma iz de co a ianzas mues al

1.5. ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES 19
Sen ez de Σ. La Figu a 1.2 ilus a los ec o es asociados a las componen es p incipales
empí icas en dos conjun os de obse aciones di e en es.
(a) Obse ación de una dis ibución no mal bi-
dimensional de media 0 y ma iz de co a ianzas
diagonal gene ada po el mé odo pola .
(b) Obse ación de una dis ibución no mal bidi-
mensional u o del gi o de 45 g ados de la dis i-
bución ecogida en la Figu a 1.2a.
Figu a 1.2: Ilus ación de los ec o es asociados a las componen es p incipales empí icas.
En el Capí ulo 4 p o undizamos en el concep o de las componen es p incipales en un
espacio L2. Se pod án obse a las analogías que se conse an en el espacio de dimensión
in ini a, y los nue os e os que apa ecen. Ve emos bajo qué ci cuns ancias las componen es
p incipales empí icas ap oximan de mane a co ec a las componen es p incipales. También
deja emos pa a dicho capí ulo cómo escoge el núme o de componen es p incipales, cuya
ex apolación es inmedia a al con ex o ec o ial.
20 CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES ESCALARES Y VECTORIALES
Capí ulo 2
Teo ía de espacios de Hilbe
Uno de los obje i os p imo diales de es e abajo es comp ende y analiza da os uncio-
nales que se suponen en L2. Es po ello que un desa ollo en eo ía de espacios de Hilbe es
impe a i o pa a comp ende el compo amien o de dichos da os uncionales. Se ecoge án
los esul ados de especial impo ancia con el obje i o de p esen a un desa ollo secuencial
que pe mi a en ende los undamen os y mo i ación de los di e en es esul ados es adís i-
cos. Las demos aciones de los esul ados ecogidos en es a sección pueden se encon ados
a lo la go de los p ime os capí ulos de [Hsing y Eubank, 2015].
2.1. Espacios de Banach y Hilbe
2.1.1. Espacios de Banach
En e 1920 y 1922, el ma emá ico polaco S e an Banach in odujo el concep o aho a
conocido como espacio de Banach, u o del es udio de espacios uncionales ealizado a
p incipios del siglo XX. Es uno de los pila es del análisis uncional. A con inuación se
ecoge su de inición:
De inición 2.1. Un espacio ec o ial no mado (X,||.||)se dice de Banach si el espacio
mé ico (X, d)es comple o, siendo dla mé ica inducida po la no ma (i.e. d(x, y) =
||x−y||).
Seguidamen e se o ece un ejemplo que pe mi e en ende po qué los espacios de Banach
apa ecie on ligados al es udio de unciones.
Ejemplo 2.2 (Ejemplo de espacios de Banach).Sea (Y, d)un espacio mé ico y sea (X,||.||)
un espacio de Banach. El conjun o de unciones con inuas aco adas Cb(Y, X)es un espacio
de Banach do ado de la no ma
21
22 CAPÍTULO 2. TEORÍA DE ESPACIOS DE HILBERT
|| ||∞= sup
y∈Y|| (y)||.
En pa icula , si (X,||.||)=(R,|.|)y(Y, d) = ([a, b],|.|), donde a<b, en onces el
conjun o de unciones con inuas (C([a, b],R),||.||∞)es un espacio de Banach.
El espacio L2que in oduci emos en la Sección 2.1.4 es un ejemplo conc e o de una
amilia más gene al de espacios de Banach Lp, donde p≥1. Los espacios Lpson obje o de
un ex enso es udio en análisis uncional. Pa a un desa ollo eó ico, se e ie e al lec o a
[A h eya y Lahi i, 2006, Capí ulo 3]. A con inuación p esen amos los espacios lp, un caso
pa icula de los espacios Lp, donde el espacio de medida es á con o mado po el conjun o
Ny la medida de con a . Seguidamen e su de inición y ca ac e ización como espacio de
Banach.
De inición 2.3. Sea p∈[1,∞). Denominamos lpal siguien e espacio ec o ial:
{(xn)n∈N:X
n∈N|xn|p<∞}.
Teo ema 2.4. El espacio ec o ial lp, do ado de la no ma
||(xn)n∈N||lp= (X
n∈N|xn|p)
1
p,
es un espacio de Banach.
La siguien e p opiedad de los espacios lpnos pe mi i á ca ac e iza di e en es ipos de
ope ado es.
Teo ema 2.5. Si p, q ∈[1,∞) al que p≤q, en onces
||(xn)n∈N||lq≤ ||(xn)n∈N||lp.
Consecuen emen e, si p≤q, en onces lp⊂lq.
2.1.2. Espacios de Hilbe
A inales del siglo XIX empeza on a apa ece ideas que in i aban a la abs acción
ma emá ica del concep o de ec o , habiendo sido es e ampliamen e aplicado en con ex os
de sis emas ísicos. Consecuencia del es udio de ecuaciones in eg ales, la noción de espacio
de Hilbe se asocia a los ma emá icos Da id Hilbe y E ha d Schmid .
En la pos e io exposición, se en iende que K=RóC. Los esul ados se han ecogido
en su exp esión más gene al, aunque la implicación es adís ica de es e abajo solo alcanza
K=R. Consecuen emen e, no se p o undiza á en las di icul ades que in oluc a K=C.
El siguien e esul ado pe mi e de ini de mane a co ec a los espacios de Hilbe .
2.1. ESPACIOS DE BANACH Y HILBERT 23
P oposición 2.6. Sea Eun K-espacio ec o ial do ado de un p oduc o in e io (·,·). En-
onces la aplicación x7→ (x, x)1
2es una no ma en E.
A con inuación la de inición de un espacio de Hilbe . Nó ese que, en pa icula , odo
espacio de Hilbe es un espacio de Banach.
De inición 2.7. Sea Hun K-espacio ec o ial do ado de un p oduc o in e io (·,·). El
espacio ec o ial Hse dice de Hilbe si (H,||.||)es comple o, donde ||.|| es la no ma
asociada al p oduc o in e io .
En el Capí ulo 3 de ini emos el concep o de elemen o alea o io en base al espacio dual.
El eo ema de ep esen ación de Riesz concluye que el espacio dual de un espacio de Hilbe
es él mismo. Nó ese que es o no iene po qué acon ece en un espacio de Banach a bi a io.
Teo ema 2.8 (Teo ema de ep esen ación de Riesz).Sea Hun espacio de Hilbe . La
aplicación
δ:H−→ H0
x7−→ δ(x) : h7→ (h|x)
es una isome ía biyec i a an ilineal.
En el con ex o mul idimensional, hemos de inido el ec o de medias y la ma iz de
co a ianzas. El es udio de la gene alización de es os es undamen al pa a el desa ollo de
la eo ía de unciones alea o ias en espacios de Hilbe . Pa a ello, debemos in oduci el
concep o de in eg al de Bochne .
2.1.3. In eg al de Bochne
Sea un elemen o alea o io de un espacio de Banach Xde inido sob e un espacio de
p obabilidad (E, B, µ). Recogemos p ime o las de iniciones de unción simple medible y la
in eg al de Bochne de una unción de ales ca ac e ís icas.
De inición 2.9. Una unción :E7→ Xmedible se dice simple si exis en k∈N, Ei∈
B, gi∈X ales que
(w) =
k
X
i=1
IEi(w)gi.
De inición 2.10. Una unción simple medible (w) =
k
X
i=1
IEi(w)gi e i icando µ(Ei)<∞
se dice Bochne in eg able. Su in eg al se de ine como
ZE
dµ =
k
X
i=1
µ(Ei)gi.

24 CAPÍTULO 2. TEORÍA DE ESPACIOS DE HILBERT
Si X=R, eco demos que la in eg al de Lebesgue es á de inida como el lími e de
in eg ales de unciones medibles simples. La in eg al de Bochne ex iende es e concep o de
una mane a análoga a un espacio de Banach a bi a io.
De inición 2.11. Una unción medible :E7→ Xse dice Bochne in eg able si exis e una
sucesión ( n)n∈Nde unciones simples medibles Bochne in eg ables ales que
l´ım
n→∞ ZE|| n− ||dµ = 0.
En es e caso, su in eg al de Bochne se de ine como
ZE
dµ = l´ım
n→∞ ZE
ndµ.
El siguien e eo ema es undamen al pa a la de inición pos e io de la media y ope ado
de co a ianzas de un elemen o alea o io de H.
Teo ema 2.12. Sea una unción medible de un espacio de Hilbe sepa able Hde inida
sob e un espacio de p obabilidad (E, B, µ). Si ZE|| ||dµ < ∞, en onces es Bochne
in eg able.
2.1.4. El espacio L2
El espacio de Hilbe con el que a a emos en el desa ollo de los siguien es capí ulos
es L2(I). Es e se de ine como el siguien e espacio de unciones
L2(I) = { :I7→ K:ZI
2<∞},
donde K=RóC, conside ando las clases de equi alencia de las unciones casi iguales. Es
un espacio de Hilbe con el p oduc o in e no
hx, yiL2(I)=ZI
xy.
Es ampliamen e u ilizado en el con ex o del análisis uncional. Debido a la mo i ación es a-
dís ica de es e abajo, nos es ingimos al caso K=R. Además, odo in e alo compac o
Ipuede se ans o mado de o ma su icien emen e egula al in e alo [0,1], po lo que
du an e odo el desa ollo se abaja á con L2=L2([0,1]).
El siguien e eo ema es undamen al, pues pe mi i á aplica la eo ía de espacios de
Hilbe sepa ables a L2.
Teo ema 2.13. L2es un espacio de Hilbe sepa able.
2.2. TEORÍA DE OPERADORES 25
2.2. Teo ía de ope ado es
El sal o a dimensiones in ini as conlle a cambios de impo an e calib e en la eo ía de
ope ado es lineales. Po ejemplo, un ope ado lineal en un espacio no mado a bi a io no
iene po qué se necesa iamen e con inuo. De in e és pa a es e abajo son los ope ado es
compac os y en especial los ope ado es Hilbe -Schmid . Reco demos p ime o la de inición
de un ope ado lineal en un espacio ec o ial a bi a io.
De inición 2.14. Sean X1yX2dos K-espacios ec o iales. Si la aplicación T:X17→ X2
se dice ope ado lineal si y solo si e i ica
T(λx +y) = λT(x)+(y)∀(x, y)∈X2
1,∀λ∈K.
Deno amos median e B(X1,X2)el conjun o de los ope ado es lineales con inuos en e
X1yX2.
La in eg al de Bochne pe mu a con un ope ado lineal con inuo. Es a p opiedad se á
de g an u ilidad una ez in oducido el concep o de la media de un elemen o alea o io.
Teo ema 2.15. Sean X1,X2dos espacios de Banach, :E7→ X1una unción Bochne
in eg able y T∈B(X1,X2). En onces T es Bochne in eg able y
T(ZE
dµ) = ZE
T dµ.
Una noción impo an e asociada a los ope ado es lineales con inuos en un espacio de
Hilbe es el adjun o de un ope ado :
Teo ema 2.16. Sea Hun espacio de Hilbe y T∈B(H). Exis e un único ope ado lineal
con inuo T∗ al que
(Tx|y)=(x|T∗y)∀(x, y)∈H2.
La aplicación T7→ T∗es una isome ía an ilineal.
El ope ado T∗se denomina ope ado adjun o de T. Si T=T∗, en onces Tse dice
au oadjun o.
2.2.1. Ope ado es compac os
El es udio de los ope ado es compac os cons i uye un ex enso campo de es udio en
el con ex o del análisis uncional. Un ejemplo de ope ado compac o es el ope ado de
co a ianzas, cuya de inición ecoge emos en el Capí ulo 4.
De inición 2.17. Siendo X1yX2dos espacios ec o iales no mados, un ope ado T∈
B(X1,X2)se dice compac o si pa a odo A1⊂X1aco ado, T(A1)es compac o.
26 CAPÍTULO 2. TEORÍA DE ESPACIOS DE HILBERT
Todo ope ado cuyo ango es á con enido en un subespacio de dimensión ini a es
compac o. En pa icula , ambién lo es odo ope ado A∈B(Rn). Reco demos que la des-
composición en alo es singula es de Aes una ac o ización A=UΣV0 al que U∈Rm×m,
V∈Rn×nyΣ∈Rm×ndiagonal con los au o alo es singula es de Ao denados de mayo a
meno . El Teo ema 2.19 gene aliza es a descomposición pa a un ope ado compac o a bi-
a io. No obs an e, p ime o in oducimos el eo ema espec al pa a ope ado es compac os
au oadjun os.
Teo ema 2.18 (espec al pa a ope ado es compac os au oadjun os).Sea Tun ope ado
compac o y au oadjun o de un espacio de Hilbe sepa able H. En onces exis e una sucesión
de núme os eales (λj)j∈N al que (|λj|)j∈Nes no c ecien e y con e ge a ce o e i icando que
λjes un alo p opio de Tpa a odo λj∈N. Además, los au o alo es ienen mul iplicidad
ini a y au o ec o es co espondien es a di e en es au o alo es son o ogonales dos a dos.
Sea λ1, λ2, ... los au o alo es o denados de al mane a que |λ1|≥|λ2| ≥ ... y sean e1, e2, ...
los co espondien es au o ec o es o ono males. En onces
T=X
j≥1
λjej⊗eji.e. T(x) = X
j≥1
λjhej, xiej∀x∈H.
Es e eo ema es uno de los pila es undamen ales de la eo ía de ope ado es compac-
os. La demos ación del eo ema de la descomposición en alo es singula es, ecogido a
con inuación, se basa en él.
Teo ema 2.19 (descomposición en alo es singula es).Sea T∈B(H1,H2)un ope ado
compac o. En onces
T=X
j≥1
λj 1j⊗ 2ji.e. T(x) = X
j≥1
λjh 1j, xi 2j∀x∈H1,(2.1)
donde
i) {λ2
j}son los au o alo es de T∗TyTT∗.
ii) 1json los au o ec o es o ono males de T∗T.
iii) 2json los au o ec o es o ono males de TT∗, e i icando T∗ 2j=λj 1j al que
λj=qλ2
j.
La descomposición 2.1 no sólo desc ibe el compo amien o de un ope ado compac o,
sino que ambién lo de ine.
Teo ema 2.20. Un ope ado es compac o si y solo si admi e una ep esen ación de la
o ma 2.1.
2.2. TEORÍA DE OPERADORES 27
2.2.2. Ope ado es Hilbe -Schmid
Como e emos en el Capí ulo 4, el ope ado de co a ianzas ambién es un ope ado
Hilbe -Schmid . Recogemos a con inuación su de inición.
De inición 2.21. Sea {ei}i∈Nuna base o ono mal de H1yT∈B(H1,H2). Si Tsa is ace
∞
X
i=1 ||Tei||2
2<∞,
en onces Tse denomina ope ado Hilbe -Schmid . El conjun o de dichos ope ado es se
deno a BHS(H1,H2).
La condición de se Hilbe -Schmid es más ue e que aquella de se compac o.
Teo ema 2.22. Todo ope ado Hilbe -Schmid es compac o.
Un ope ado Hilbe -Schmid ambién puede se ca ac e izado en base a su descompo-
sición en alo es singula es.
Teo ema 2.23. Un ope ado T∈B(H1,H2)es Hilbe -Schmid si y solo si admi e una
ep esen ación de la o ma 2.1 e i icando:
X
j≥1
λ2
j<∞.
El conjun o de ope ado es Hilbe -Schmid cons i uye un espacio de Hilbe sepa able
si se le do a del p oduc o in e io que se explici a en el siguien e eo ema.
Teo ema 2.24. BHS(H1,H2)do ado del p oduc o in e io
hT1, T2iHS =
∞
X
j=1hT1ej, T2eji2
es un espacio de Hilbe sepa able.
Debido a las ca ac e ís icas de los ope ado es de co a ianzas, el in e és po los ope a-
do es Hilbe -Schmid simé icos de inidos no nega i os de L2mo i a la exposición de los
dos siguien es eo emas.
Teo ema 2.25. Sea Ψ∈B(L2)un ope ado de Hilbe -Schmid simé ico y de inido no
nega i o. En onces
Ψ = X
j≥1
λj j⊗ ji.e. Ψ(x) = X
j≥1
λjh j, xi j∀x∈L2,(2.2)
donde { j}j∈Nes una base o ono mal de L2y(λj)j∈Nsucesión de au o alo es no nega i os
que iende a 0.
34 CAPÍTULO 3. PROCESOS GAUSSIANOS Y HILBERTIANOS DE GAUSS
3.1.3. P ocesos hilbe ianos de Gauss
Empeza emos in oduciendo el concep o de elemen o alea o io en el con ex o de los
espacios de Hilbe . Sean ByHdos espacios de Banach y Hilbe sepa ables.
De inición 3.7. Un elemen o alea o io de Bes una unción χ: Ω 7→ Bmedible pa a la
σ-álgeb a de Bo el de B, siendo (Ω, F, P)un espacio de p obabilidad.
La elación en e los concep os de p ocesos gaussianos y elemen os alea o ios de un
espacio de Banach es e iden e, pe o ambién su il. Supongamos que el espacio de Banach
es el siguien e:
B= (C0([0,1],R),||.||∞).
El elemen o alea o io puede se es udiado como un p oceso es ocás ico con ayec o ia
con inua. No obs an e, es e no es siemp e el caso. Los elemen os de Banach no ienen
que se siquie a uncionales. Po ejemplo, si B=L2, no iene sen ido es udia la e alua-
ción del elemen o en un pun o debido a la elación de equi alencia subyacen e a la cons-
ucción del espacio. Pa a una elación de allada en e los dos concep os, e e enciamos
[Hsing y Eubank, 2015, Capí ulo 7].
Po an o, a di e encia de los ec o es alea o ios, no exis e la e aluación pun ual de
un elemen o alea o io de un espacio de Banach a bi a io. Es po ello que la de inición de
elemen o alea o io gaussiano se de ine como sigue:
De inición 3.8. Un elemen o alea o io de Bse dice gaussiano si pa a odo b∗en el espacio
dual B∗, la a iable escala b∗Wes gaussiana.
No obs an e, la de inición no se aleja de aquella o ecida en el ma co mul idimensional.
El Teo ema 2.8 de ep esen ación de Riesz pe mi e ob ene una de inición equi alen e en
el caso de un elemen o alea o io gaussiano en un espacio de Hilbe :
De inición 3.9. Un elemen o alea o io de Hse dice gaussiano si pa a odo aen H, la
a iable escala ha, Wies gaussiana.
Consecuen emen e, un elemen o alea o io en un espacio de Hilbe es gaussiano si y
solo si odas sus p oyecciones siguen una dis ibución no mal unidimensional. La misma
de inición es ob enida del Teo ema 1.6 en el caso ec o ial.
En el siguien e capí ulo p o undiza emos en los concep os de ope ado de co a ianzas
de elemen os alea o ios en espacios de Hilbe y en la in e encia sob e es os.

Capí ulo 4
In e encia en p ocesos hilbe ianos
de Gauss
Una ez in oducido el concep o de elemen o alea o io en un espacio de Hilbe , es amos
en condiciones de es udia sus p opiedades. En pa icula , nos cen a emos en el espacio de
Hilbe L2. Empeza emos ecogiendo las de iniciones de media y unción de co a ianzas,
pa a da más a de paso al es udio de la in e encia ealizada sob e las mismas. Po úl imo,
p esen a emos el análisis de componen es uncionales p incipales.
4.1. Media y ope ado de co a ianzas de un elemen o alea-
o io
Los concep os de media y a ianza son impe a i os en el con ex o de la in e encia es a-
dís ica. Es os ecogen la espe anza y la a iabilidad del elemen o alea o io en cues ión. En
el caso escala y ec o ial, su de inición es á condicionada po la exis encia de las in eg ales
pe inen es. Las di icul ades in oluc adas en los espacios Hilbe ianos mo i an los eo emas
ecogidos en es a sección. Sus demos aciones son de alladas en [Hsing y Eubank, 2015, Ca-
pí ulo 7]. Nos de end emos sin emba go en la demos ación del Teo ema 4.4 po conside a la
de especial in e és.
Sea χun elemen o alea o io de un espacio de Hilbe sepa able Hde inido sob e un
espacio de p obabilidad (Ω, F, P). Recogemos en p ime a ins ancia el concep o de media.
De inición 4.1. Si E(||χ||)<∞, la media de χse de ine como la siguien e in eg al de
Bochne :
m=E(χ) := ZΩ
χdP.
35
36 CAPÍTULO 4. INFERENCIA EN PROCESOS HILBERTIANOS DE GAUSS
Consecuen emen e, la media es á de inida si la espe anza de la no ma es ini a. De
mane a análoga al caso uni a ian e, el concep o de ope ado de co a ianzas equie e una
hipó esis más es ic i a. In oducimos p ime o el siguien e eo ema:
Teo ema 4.2. Si E(||χ||2)<∞, en onces
E||χ−m||2=E||χ||2−||m||2.(4.1)
Una unción alea o ia al que E(||χ||2)<∞se dice de cuad ado in eg able. No emos
que si H=R, la igualdad 4.1 conduce a la conocida elación en e la media, la a ianza y
el momen o de o den dos en el caso uni a ian e.
El concep o de ope ado de co a ianzas no es i ial. És e equie e g an pa e de los
esul ados ecogidos en el Capí ulo 2. Muchos de los p oblemas de in e encia se basan en
las p opiedades de dicho ope ado . A con inuación ecogemos su de inición.
De inición 4.3. Si E(||χ||2)<∞, el ope ado de co a ianzas de χes el elemen o de
BHS(H)de inido como la siguien e in eg al de Bochne :
C=E[(χ−m)⊗(χ−m)] := ZΩ
(χ−m)⊗(χ−m)dP.
Dado w∈Ω, se iene que (χ(w)−m)⊗(χ(w)−m)es un ope ado Hilbe -Schimd
con no ma ||χ(w)−m||2. Po lo an o, (χ−m)⊗(χ−m)es un elemen o alea o io del
espacio de Hilbe BHS(H). Apoyándose en el eo ema en e io , la hipó esis E(||χ||2)<∞
implica que
E[||(χ−m)⊗(χ−m)||HS] = E(||χ−m||2)<∞.
Como BHS(H)es un espacio de Hilbe sepa able (Teo ema 2.24), la in eg al de Bochne
es á bien de inida (Teo ema 2.12).
No emos que
C(y) = E[(χ−m)⊗(χ−m)](y) = E[hχ−m, yi(χ−m)] ∀y∈H.
A pa i de aho a se supond á m= 0 con el obje i o de simpli ica la exposición de las
cuen as. Vol iendo al es udio del ope ado de co a ianzas en el caso H=L2, se iene que
C(y)( ) = E[hχ, yiχ( )] = E[(Zχ(s)y(s)ds)χ( )] = Zc( , s)y(s)ds,
donde
c( , s) = E[χ(s)χ( )],(s, )∈[0,1]2.
La unción cse denomina unción de co a ianzas.
4.1. MEDIA Y OPERADOR DE COVARIANZAS 37
Teo ema 4.4. Sea χuna unción alea o ia de cuad ado in eg able y sea Csu ope ado de
co a ianzas. En onces
i) C es simé ico.
ii) C es de inido no nega i o.
iii) Los au o alo es {λj}de C e i ican
∞
X
j=1
λj<∞.
Demos ación. i) Sean y, z ∈L2. La p oyección en zes un ope ado con inuo po el
eo ema de ep esen ación de Riesz. La pe mu ación en e ope ado es con inuos e
in eg ales de Bochne ecogida en el Teo ema 2.15 implica
hC(y), zi=hE[hχ, yiχ], zi=Eh[hχ, yiχ], zi=E[hχ, yihχ, zi].(4.2)
Se concluye así la sime ía del ope ado .
ii) Aplicando la iden idad 4.2 con z=yse ob iene que, pa a odo y∈L2,
hC(y), yi=E[hχ, yihχ, yi] = E[hχ, yi2]≥0.(4.3)
Y po an o el ope ado Ces de inido no nega i o.
iii) Sean { j}au o ec o es o ono males asociados a los au o alo es {λj}. Nue amen e
aplicando la iden idad 4.2 con z=y= jse ob iene que
E[hχ, ji2] = hC( j), ji=hλj j, ji=λj.(4.4)
Y po la iden idad de Pa se al:
∞
X
j=1
λj=
∞
X
j=1
E[hχ, ji2] = E
∞
X
j=1hχ, ji2=E||χ||2<∞.
No emos que Cadmi e una descomposición de la o ma 2.1 e i icando
X
j≥1
λj<∞, λj≥0∀j≥1.
Es po an o nuclea . Consecuen emen e, es a es o a opción pa a demos a que el ope ado
de co a ianzas es Hilbe -Schmid .
38 CAPÍTULO 4. INFERENCIA EN PROCESOS HILBERTIANOS DE GAUSS
4.2. In e encia sob e la media y la unción de co a ianzas
En el con ex o de la in e encia es adís ica, es común no dispone de las p opiedades de la
dis ibución de la mues a alea o ia simple en cues ión. En la g an mayo ía de ocasiones,
odo lo que se iene es un conjun o de obse aciones de la población, sin ene p e ia
in o mación sob e su media o unción de co a ianzas. La es imación de es as desempeña
un ol impo an e, al y como e emos con el análisis de las componen es p incipales.
Las p uebas de los eo emas ecogidos en es a sección pueden se encon adas con de alle
en [Ho á h y Kokoszka, 2012, Capí ulo 2]. A con inuación ecogemos las de iniciones de
media, ope ado de co a ianzas y unción de co a ianzas mues ales.
De inición 4.5. Sean χ1, ..., χnindependien es e idén icamen e dis ibuidas que χ, siendo
χuna unción alea o ia de L2de cuad ado in eg able.
La media mues al ˆµse de ine como
ˆµ( ) = 1
n
n
X
i=1
χi( )∀ ∈[0,1].
El ope ado de co a ianzas mues al ˆ
Cse de ine como
ˆ
C(x) = 1
n
n
X
i=1hχi−ˆµ, xi(χi−ˆµ)∀x∈L2.
La unción de co a ianzas mues al ˆcse de ine como
ˆc( , s) = 1
n
n
X
i=1
(χi( )−ˆµ( ))(χi(s)−ˆµ(s)) ∀ , s ∈[0,1].
Es as ap oximan asin ó icamen e sus espec i as unciones bajo cie as condiciones. La
Figu a 4.1 ilus a el concep o de media en el con ex o uncional. Empezamos ecogiendo
las p opiedades de la media.
Teo ema 4.6. Sean χ1, ..., χnuna mues a alea o ia simple de χ, siendo χuna unción
alea o ia de L2de cuad ado in eg able. En onces
Eˆµ=µyE||ˆµ−µ|| =O(N−1).
El es imado de la media es insesgado. No obs an e, el es imado de la unción de
co a ianzas no lo es, al y como sucede en el ma co unidimensional.
Teo ema 4.7. Sean χ1, ..., χnuna mues a alea o ia simple de χ, siendo χuna unción
alea o ia de L2de cuad ado in eg able. En onces E[ˆc( , s)] = n
n−1c( , s)en L2.
4.2. INFERENCIA SOBRE LA MEDIA Y LA FUNCIÓN DE COVARIANZAS 39
(a) Obse ación de da os uncionales. (b) Media mues al.
Figu a 4.1: Obse ación de da os uncionales y su media mues al.
El sesgo de ˆcapa ece debido a la es imación de la media µ, y no emos que és e es
asin ó icamen e desp eciable. A pa i de es e momen o in oduci emos la hipó esis de que
la media es ce o. Los esul ados eó icos ob enidos con es a suposición son más cla os
y asin ó icamen e iguales en compo amien o. Es impo an e ecalca que, en el abajo
eal, hab á que es a la media mues al an es de aplica cualquie a de las écnicas aquí
ecogidas. Bajo la suposición µ= 0, se simpli ican las exp esiones siguien es:
ˆ
C(x) = 1
n
n
X
i=1hχi, xiχi∀x∈L2,
ˆc( , s) = 1
n
n
X
i=1
χi( )χi(s)∀ , s ∈[0,1].
Al igual que en sus de iniciones, el buen compo amien o asin ó ico de los ope ado es y
unciones de co a ianzas eque i á hipó esis más es ic i as sob e la mues a que aquellas
de la media. Los dos siguien es eo emas jus i ican de mane a p ecisa es e compo amien o.
Teo ema 4.8. Sean χ1, ..., χnuna mues a alea o ia simple de χ, siendo χuna unción
alea o ia de L2de cuad ado in eg able. Si E||χ||4<∞yEχ= 0, en onces
E||ˆ
C||2
HS ≤E||χ||4.
Teo ema 4.9. Sean χ1, ..., χnuna mues a alea o ia simple de χ, siendo χuna unción
alea o ia de L2de cuad ado in eg able. Si E||χ||4<∞yEχ= 0, en onces
E||ˆ
C−C||2
HS ≤n−1E||χ||4.

40 CAPÍTULO 4. INFERENCIA EN PROCESOS HILBERTIANOS DE GAUSS
Equi alen emen e:
EZ Z[ˆc( , s)−c( , s)]2d ds ≤n−1E||χ||4.
4.3. Componen es uncionales p incipales
Uno de los concep os cla e en el es udio de las unciones alea o ias son las componen es
uncionales p incipales, FPC’s (del inglés unc ional p incipal componen s). Una unción se
puede almacena como un conjun o de muchos da os (po ejemplo, median e una pa ición
ina del eje de abscisas). No obs an e, es e p oceso implica mucha memo ia y capacidad
compu acional si se desea manipula los da os. La idea subyacen e al concep o de las FPC’s
es la ap oximación de un da o uncional po medio de su p oyección en un subespacio de
dimensión ini a (y en gene al, pequeña) del espacio L2. Véase la analogía con el con ex o
ec o ial. Bajo es e en oque, la p egun a ecae aho a sob e qué subespacio es óp imo con el
in de e ec ua dichas p oyecciones. El desa ollo de es a sección sigue la línea a gumen al
de [Ho á h y Kokoszka, 2012, Capí ulo 3] y [Kokoszka y Reimhe , 2017, Capí ulo 11].
4.3.1. In oducción a las FPC’s
Sean χ1, ..., χnindependien es e idén icamen e dis ibuidas que χ, siendo χuna unción
alea o ia de L2de cuad ado in eg able. Fijemos p≥1yu1, ..., upun sis ema o ono mal
de L2. Supongamos que χ e i ica las hipó esis del Teo ema 2.26 pa a dicho p.
La p oyección de χen el subespacio gene ado po {u1, ..., up}es
p
X
j=1hχ, ujiuj.
El sis ema es óp imo, en el sen ido de minimiza la dis ancia espe ada en e χy dicha
p oyección, si minimiza:
S(u1, ...up) = E||χ−
p
X
j=1hχ, ujiuj||2.
Desa ollando la no ma an e io , debido a la o ono malidad de {u1, ..., up}:
S(u1, ...up) = Ehχ−
p
X
j=1hχ, ujiuj, χ −
p
X
j=1hχ, ujiuji=
=E||χ||2−2E
p
X
j=1hχ, uji2+E
p
X
j=1hχ, uji2=E||χ||2−E
p
X
j=1hχ, uji2.
Po an o, minimiza S(u1, ..., up)equi ale a maximiza E
p
X
j=1hχ, uji2. U ilizando la
4.3. COMPONENTES FUNCIONALES PRINCIPALES 41
iden idad ecogida en 4.3, se ob iene que, pa a odo k∈ {1, ..., p},
Ehχ, uki2=hC(uk), uki.
Apoyándose en el Teo ema 2.26 se iene que E
p
X
j=1hX, uji2se maximiza cuando {u1, ..., up}
es el conjun o de los au o ec o es asociados a los pau o alo es más g andes. Las a ia-
bles hχ, u1i, ..., hχ, upiasociadas a los au o ec o es u1, ..., upse denominan componen es
uncionales p incipales (FPC’s).
No obs an e, el cálculo de es os au o ec o es equie e conoce el ope ado de co a ian-
zas. Es e es gene almen e desconocido en los con ex os habi uales de la in e encia es adís-
ica, hecho mo i ado del desa ollo de eo ía al ededo de las bases o ono males óp imas
empí icas.
Nó ese que la unicidad de es e sis ema o ono mal se iene bajo las hipó esis del Teo e-
ma 2.26. Es as hipó esis son óp imas pa a un limpio desa ollo eó ico pues o ece unicidad
en los au o ec o es a ados. Sin emba go, no supone ninguna limi ación a e ec os p ác icos
el hecho de que los subespacios de au o ec o es engan mayo dimensión que 1.
4.3.2. Base o ono mal óp ima empí ica
Supongamos que disponemos de una obse ación χ1, ..., χnde una mues a alea o ia
simple que sigue la misma dis ibución que una a iable alea o ia χ. Fijamos p < n. Se
busca el sis ema o ono mal u1, ..., upque minimice
ˆ
S(u1, ...up) =
n
X
i=1 ||xi−
p
X
j=1hχi, ujiuj||2.
De nue o, debido a la o ono malidad de {u1, ..., up}:
ˆ
S(u1, ...up) =
n
X
i=1hχi−
p
X
j=1hχi, ujiuj, χi−
p
X
j=1hχi, ujiuji=
=
n
X
i=1 ||χi||2−2
n
X
i=1
p
X
j=1hχi, uji2+
n
X
i=1
p
X
j=1hχi, uji2=
n
X
i=1 ||χi||2−
n
X
i=1
p
X
j=1hχi, uji2.
Po an o, minimiza ˆ
S(u1, ...up)equi ale a maximiza
n
X
i=1
p
X
j=1hχi, uji2. No emos que,
pa a odo k∈ {1, ..., p},
n
X
i=1hχi, uji2=hˆ
C(uj), uji.
42 CAPÍTULO 4. INFERENCIA EN PROCESOS HILBERTIANOS DE GAUSS
Apoyándose en el Teo ema 2.26 se iene que
n
X
i=1
p
X
j=1hχi, uji2se maximiza cuando {u1, ..., up}
es el conjun o de los au o ec o es asociados a los pau o alo es más g andes. Las a ia-
bles hχ, u1i, ..., hχ, upiasociadas a los au o ec o es u1, ..., upse denominan componen es
uncionales p incipales empí icas (EFPC’s).
La Figu a 4.2 ejempli ica isualmen e el concep o de EFPC’s.
(a) Obse ación de da os uncionales. (b) Funciones asociadas a las es p ime as
EFPC’s.
Figu a 4.2: Obse ación de da os uncionales y las unciones asociadas a sus componen es
p incipales uncionales empí icas.
¿Cómo se de e mina el núme o pde componen es p incipales y con qué mo i ación?
Dos opciones se conside an en es e abajo. Po un lado, el mé odo g á ico conocido como
sc ee plo . Es e se basa en la ep esen ación de los au o alo es mues ales. Se elige aquel
pen el que se p oduce un descenso impo an e del alo de los au o alo es. La Figu a
4.3 ilus a un sc ee plo . Po o o lado, el po cen aje acumula i o de la a ianza o al. Se
de ine
CPV (p) = Pp
j=1 ˆ
λj
Pn
j=1 ˆ
λj
,
y se escoge aquel pque supe a un ni el lími e deseado, gene almen e 85 %.
El análisis del compo amien o de los au o ec o es del ope ado de co a ianzas cons i-
uye el undamen o del análisis de las componen es p incipales empí icas. La elación en e
és os y los au o ec o es del ope ado de co a ianzas mues al es undamen al, pues pe mi e
4.3. COMPONENTES FUNCIONALES PRINCIPALES 43
Figu a 4.3: Sc ee plo asociado a la Figu a 4.2.
ap oxima los p ime os en unción de los segundos. A con inuación, se ecoge el eo ema
que explici a el compo amien o asin ó ico de dichos au o ec o es y au o alo es. Jus i ica
eó icamen e los mé odos u ilizados en el siguien e capí ulo.
Teo ema 4.10. Sea χuna unción alea o ia de L2 e i icando E||χ||4<∞yEχ= 0.
Sea {λj}j∈Nconjun o de au o alo es del ope ado de co a ianzas Cde al mane a que
λ1> λ2> ... > λp> λp+1, y { j}j∈Nla sucesión de au o ec o es asociados. Sea {ˆ
λj}j∈N
conjun o de au o alo es del ope ado de co a ianzas mues al ˆ
Co denados de mayo a
menos, y {ˆ j}j∈Nla sucesión de au o ec o es asociados. En onces, pa a cada j∈ {1, ..., p},
l´ım sup
n→∞
nE||ˆcjˆ j− j||2<∞ ∀j∈ {1, ..., p},
l´ım sup
n→∞
nE|λj−ˆ
λj|2<∞ ∀j∈ {1, ..., p},
donde ˆcj=signhˆ j, ji.
No emos que ˆcjpe mi e ecoge una o malización ma emá ica del eo ema pe o es
gene almen e i ele an e en la aplicación del mismo. La de e minación del signo del au o-
ec o escogido ca ece de impo ancia en la g an mayo ía de ocasiones.
50 CAPÍTULO 5. TESTS DE NORMALIDAD DE DATOS FUNCIONALES
Como se obse a en los cuad os del Apéndice B, los esul ados son muy pa ecidos
empleando los es s de Shapi o-Wilk y Lillie o s. A con inuación ecogemos las conclusiones
ob enidas as las simulaciones. Nos e e imos solamen e a los cuad os ela i os al es de
Shapi o-Wilk po una exposición más limpia. No obs an e, los esul ados de las simulaciones
ela i as al es de Lillie o s son análogas.
i) El amaño de los es s se man iene muy pa ecido independien emen e de la can idad
, como ilus an el Cuad o B.1, el Cuad o B.2, el Cuad o B.3 y el Cuad o B.4.
ii) El amaño empí ico se ace ca más al amaño eó ico cuan o meno es el núme o pde
p oyecciones, como ecogen el Cuad o B.1, el Cuad o B.2, el Cuad o B.3 y el Cuad o
B.4. El amaño empí ico cuando p= 1 se ap oxima al amaño eó ico, mien as que
con p > 1el amaño dec ece conside ablemen e.
iii) La po encia de los es s es supe io u ilizando un núme o ijado de componen es
p incipales: compá ese el Cuad o B.9 con el Cuad o B.10, el Cuad o B.11 y el Cuad o
B.12 ( amilia RW); el Cuad o B.17 con el Cuad o B.18, el Cuad o B.19 y el Cuad o
B.20 ( amilia LT). En gene al, el núme o de CP’s con el que se ob iene más po encia
es 10.
i ) La po encia de los es s es mayo cuan o meno es el núme o pde p oyecciones, como
mues an el Cuad o B.9, el Cuad o B.10, el Cuad o B.11, el Cuad o B.12, el Cuad o
B.17, el Cuad o B.18, el Cuad o B.19 y el Cuad o B.20.
Consecuen emen e, los es s que p oponemos como mejo es al e na i as cons an de:
i) Un núme o ijo de componen es p incipales, siendo 10 el candida o que se ha mos-
ado más compe i i o.
ii) Una sola p oyección alea o ia (en dicho caso, el FDR es innecesa io).
5.2.4. Compa ación de bloques y conclusiones
En es a sección compa a emos los es s que se han mos ado más compe i i os en sus
espec i os bloques. Reco demos que, al y como hemos concluido en la Sección 5.2.2, los
es s de Doo nik–Hansen y la modi icación de Loba o–Velasco son los más compe i i os del
bloque 1 si n≈50. Si n≥150, el es compe i i o conside ado es MJB. El es del bloque
2 elegido cons a de = 10 EFPC’s pa a gene a la única p oyección alea o ia (p= 1), cuya
no malidad se con as a, en cualquie a de los casos.
Compa ando el Cuad o A.1 y el Cuad o B.3, concluimos que los amaños empí icos
ap oximan de mane a pa ecida los amaños eó icos en ambos casos. La po encia empí ica

5.2. CONTRASTES REALIZADOS Y ANÁLISIS 51
de los es s no es concluyen e. El es del bloque 2 se p esen a más compe i i o con la amilia
SN, mien as que el candida o del bloque 1 se p esen a más po en e con la amilia T de
S uden . El compo amien o sob e la amilia exp(1)-1 esul a ambiguo. Es as endencias
se ap ecian en ambas amilias de unciones RW y LT. Pueden obse a se compa ando el
Cuad o A.2 y el Cuad o A.3 con el Cuad o B.11 y el Cuad o B.19.
No se concluye, po lo an o, una p e e encia de un bloque sob e el o o. Ambos se
compo an de o ma pa ecida en amaño pe o no en po encia. La elección del bloque
es a á mo i ada po la na u aleza del p oblema y el iempo de ejecución del algo i mo.
Po úl imo, ecogemos posibles líneas de abajo en la di ección de es as simulaciones.
Po un lado, hemos con iado en el CPV ( equi iendo un ni el lími e del 85 %) pa a el bloque
1, pues así se ecoge en [Gó ecki e al., 2020]. No obs an e, en el bloque 2 hemos ob enido
esul ados más compe i i os cuando hemos ijado el núme o de componen es p incipales
empí icas u ilizadas en 10. Consecuen emen e, p oponemos e isa los esul ados de dicho
a ículo con un núme o di e en e de EFPC’s, bien sea ijándolo a bi a iamen e o equi ien-
do un ni el lími e supe io al 85 % si abajamos con el po cen aje de a ianza explicada.
Po o o lado, nó ese que una de las conclusiones in e esan es de es as simulaciones es que
no exis e una hegemonía de un bloque sob e o o. Conside amos que una posible línea de
in es igación se ía comp oba en qué con ex os se compo an mejo los es s del bloque 1
y ice e sa.
52 CAPÍTULO 5. TESTS DE NORMALIDAD DE DATOS FUNCIONALES
Apéndice A
Cuad os ela i os a la simulación de
los es s de no malidad del bloque 1
53
54 APÉNDICE A. CUADROS BLOQUE 1
n = 50 n = 150 n = 450
α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01
No mal RW
Ja que-Be a 0.0634 0.0466 0.0248 0.0818 0.0512 0.0232 0.0890 0.0516 0.0192
MJB 0.0700 0.0386 0.0166 0.0812 0.0478 0.0180 0.0932 0.0514 0.0154
Doo nik–Hansen 0.0974 0.0520 0.0136 0.0970 0.0516 0.0134 0.0998 0.0538 0.0136
Loba o-Velasco 0.1040 0.0544 0.0148 0.0996 0.0518 0.0138 0.0988 0.0536 0.0132
No mal LT
Ja que-Be a 0.0700 0.0436 0.0200 0.0880 0.0554 0.0240 0.0864 0.0478 0.0176
MJB 0.0658 0.0368 0.0172 0.0932 0.0454 0.0146 0.0950 0.0490 0.0142
Doo nik–Hansen 0.0988 0.0488 0.0120 0.1036 0.0526 0.0158 0.0960 0.0486 0.0130
Loba o-Velasco 0.1066 0.0550 0.0128 0.1058 0.0534 0.0158 0.0974 0.0488 0.0130
Cuad o A.1: Tamaño de los es s conside ados en el bloque 1 con α=0,10,0,05 y0,01;
núme o de CP’s u ilizadas en base a un ni el lími e del 85% de la a ianza explicada;
amilia de unciones RW y LT no males in oducidas en 5.2.1.
n = 50 n = 150 n = 450
α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01
T de S uden
Ja que-Be a 0.1308 0.1048 0.0668 0.2268 0.1784 0.1244 0.3768 0.3098 0.2200
MJB 0.1620 0.1092 0.0726 0.2702 0.2132 0.1480 0.4558 0.3866 0.2816
Doo nik–Hansen 0.1668 0.1076 0.0466 0.2350 0.1658 0.0954 0.3756 0.3010 0.1936
Loba o-Velasco 0.1694 0.1086 0.0448 0.2320 0.1620 0.0940 0.3724 0.2948 0.1904
Exp(1)-1
Ja que-Be a 0.1282 0.0896 0.0526 0.2616 0.1924 0.1124 0.6180 0.5022 0.3160
MJB 0.1860 0.1302 0.0702 0.4886 0.3758 0.2116 0.9426 0.9034 0.7596
Doo nik–Hansen 0.1566 0.0930 0.0320 0.2856 0.1880 0.0748 0.6502 0.5206 0.2972
Loba o-Velasco 0.1668 0.0992 0.0328 0.2904 0.1930 0.0760 0.6530 0.5234 0.2994
SN
Ja que-Be a 0.0762 0.0566 0.0280 0.1168 0.0812 0.0382 0.2040 0.1324 0.0522
MJB 0.0878 0.0590 0.0236 0.1688 0.1050 0.0476 0.3836 0.2658 0.1200
Doo nik-Hansen 0.1082 0.0586 0.0148 0.1334 0.0786 0.0228 0.2160 0.1336 0.0414
Loba o-Velasco 0.1172 0.0598 0.0166 0.1366 0.0806 0.0242 0.2152 0.1338 0.0420
Cuad o A.2: Po encia de los es s conside ados en el bloque 1 con α=0,10,0,05 y0,01;
núme o de CP’s u ilizadas en base a un ni el lími e del 85% de la a ianza explicada;
amilia de unciones RW no no males no males in oducidas en 5.2.1.
55
n = 50 n = 150 n = 450
α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01
T de S uden
Ja que-Be a 0.6222 0.5812 0.5006 0.9492 0.9362 0.8966 0.9998 0.9998 0.9994
MJB 0.6728 0.6204 0.5206 0.9652 0.9480 0.9124 0.9998 0.9998 0.9998
Doo nik–Hansen 0.6822 0.6020 0.4572 0.9588 0.9414 0.8862 0.9998 0.9998 0.9994
Loba o-Velasco 0.6708 0.5918 0.4460 0.9550 0.9386 0.8810 0.9998 0.9998 0.9994
Exp(1)-1
Ja que-Be a 0.9400 0.9106 0.8342 1 1 1 1 1 1
MJB 0.9940 0.9898 0.9606 1 1 1 1 1 1
Doo nik–Hansen 0.9732 0.9496 0.8846 1 1 1 1 1 1
Loba o-Velasco 0.9770 0.9570 0.9008 1 1 1 1 1 1
SN
Ja que-Be a 0.5322 0.4344 0.2890 0.9882 0.9770 0.9154 1 1 1
MJB 0.7230 0.6104 0.3820 1 0.9994 0.9930 1 1 1
Doo nik-Hansen 0.6934 0.5822 0.3558 0.9952 0.9920 0.9656 1 1 1
Loba o-Velasco 0.7310 0.6254 0.4082 0.9960 0.9932 0.9684 1 1 1
Cuad o A.3: Po encia de los es s conside ados en el bloque 1 con α=0,10,0,05 y0,01;
núme o de CP’s u ilizadas en base a un ni el lími e del 85% de la a ianza explicada;
amilia de unciones LT no no males no males in oducidas en 5.2.1.

56 APÉNDICE A. CUADROS BLOQUE 1
Apéndice B
Cuad os ela i os a la simulación de
los es s de no malidad del bloque 2
57
58 APÉNDICE B. CUADROS BLOQUE 2
n = 50 n = 150 n = 450
α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01
Nºp oyecciones No mal RW
1 0.1036 0.0508 0.0104 0.0894 0.0454 0.0094 0.1004 0.0456 0.011
2 0.0876 0.0436 0.0086 0.0824 0.0398 0.008 0.0838 0.038 0.0102
3 0.0824 0.042 0.0094 0.0786 0.0384 0.0078 0.0802 0.0362 0.0086
5 0.077 0.0386 0.0082 0.0718 0.0364 0.0072 0.0718 0.034 0.0072
10 0.0704 0.0362 0.0074 0.0674 0.0314 0.0074 0.069 0.0326 0.0064
15 0.069 0.0352 0.0076 0.0662 0.0314 0.0068 0.0682 0.0314 0.0062
No mal LT
1 0.1006 0.0526 0.0116 0.0956 0.048 0.009 0.1016 0.0514 0.011
2 0.086 0.0458 0.0102 0.081 0.0396 0.0078 0.09 0.0472 0.0094
3 0.0784 0.0414 0.01 0.0714 0.0382 0.0072 0.0808 0.04 0.009
5 0.0708 0.0368 0.0096 0.0694 0.035 0.007 0.0778 0.0392 0.0068
10 0.0656 0.0374 0.0082 0.0666 0.033 0.006 0.0696 0.0386 0.0074
15 0.0654 0.0348 0.0076 0.061 0.032 0.0058 0.0686 0.0356 0.0064
Cuad o B.1: Tamaño de los es s conside ados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01;
núme o de CP’s u ilizadas en base a un ni el lími e del 85 % de la a ianza explicada; es
de no malidad unidimensional de Shapi o-Wilk; amilia de unciones RW y LT no males
in oducidas en 5.2.1.
59
n = 50 n = 150 n = 450
α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01
Nºp oyecciones No mal RW
1 0.1044 0.0612 0.0114 0.0976 0.0484 0.0078 0.0954 0.0508 0.0102
2 0.088 0.05 0.0098 0.0796 0.0396 0.0084 0.0792 0.042 0.0088
3 0.0822 0.041 0.009 0.072 0.0352 0.0066 0.076 0.0374 0.007
5 0.0772 0.041 0.0082 0.0674 0.0344 0.0066 0.0688 0.0336 0.0068
10 0.0684 0.0366 0.008 0.0602 0.0308 0.006 0.0626 0.0322 0.0062
15 0.0684 0.036 0.0068 0.0588 0.0288 0.005 0.0612 0.0304 0.0046
No mal LT
1 0.089 0.0488 0.011 0.0912 0.0458 0.0098 0.1002 0.0516 0.0112
2 0.0822 0.0448 0.0094 0.0786 0.039 0.0086 0.085 0.0438 0.0092
3 0.0766 0.0426 0.0094 0.0728 0.0358 0.0078 0.079 0.0418 0.0076
5 0.0722 0.038 0.0088 0.069 0.035 0.007 0.0754 0.0372 0.0068
10 0.0638 0.0368 0.008 0.0602 0.0316 0.0072 0.0696 0.0348 0.0066
15 0.0626 0.0352 0.0078 0.0602 0.0308 0.0072 0.065 0.0324 0.0072
Cuad o B.2: Tamaño de los es s conside ados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; 5
CP’s u ilizadas; es de no malidad unidimensional de Shapi o-Wilk; amilia de unciones
RW y LT no males in oducidas en 5.2.1.
66 APÉNDICE B. CUADROS BLOQUE 2
n = 50 n = 150 n = 450
α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01
Nºp oyecciones T de S uden
1 0.1446 0.0848 0.031 0.1908 0.1314 0.0652 0.309 0.232 0.1338
2 0.1304 0.0782 0.0302 0.179 0.1266 0.0616 0.2938 0.2244 0.1278
3 0.125 0.0752 0.0298 0.1742 0.1214 0.0602 0.2882 0.2178 0.1288
5 0.1202 0.0716 0.0274 0.169 0.1168 0.0586 0.2808 0.2112 0.1256
10 0.111 0.068 0.0266 0.1634 0.1122 0.0552 0.2726 0.2078 0.1222
15 0.111 0.0658 0.0266 0.1608 0.1108 0.0546 0.2704 0.2048 0.1196
Exp(1)-1
1 0.2152 0.137 0.05 0.4276 0.3226 0.1528 0.8362 0.7504 0.5478
2 0.1958 0.1258 0.0444 0.4092 0.2996 0.1464 0.8228 0.7424 0.5412
3 0.186 0.1224 0.0416 0.3954 0.2962 0.141 0.821 0.7324 0.5338
5 0.1814 0.1166 0.0402 0.3884 0.2866 0.137 0.8148 0.7278 0.5242
10 0.172 0.1108 0.0388 0.378 0.2724 0.1306 0.8064 0.7194 0.5202
15 0.169 0.1092 0.0378 0.3698 0.2734 0.129 0.8026 0.7194 0.5118
SN
1 0.124 0.0658 0.0164 0.1768 0.1026 0.0302 0.3326 0.2338 0.0932
2 0.115 0.0592 0.016 0.1628 0.0932 0.0288 0.3096 0.2178 0.0848
3 0.1054 0.0566 0.016 0.1558 0.09 0.026 0.305 0.2122 0.0836
5 0.0978 0.0536 0.0152 0.148 0.082 0.026 0.2924 0.2042 0.0782
10 0.091 0.0516 0.0138 0.138 0.0786 0.0228 0.2836 0.1964 0.0732
15 0.089 0.048 0.014 0.1366 0.0738 0.0226 0.2788 0.1924 0.071
Cuad o B.9: Po encia de los es s conside ados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01;
núme o de CP’s u ilizadas en base a un ni el lími e del 85% de la a ianza explicada;
es de no malidad unidimensional de Shapi o-Wilk; amilia de unciones RW no no males
no males in oducidas en 5.2.1.

67
n = 50 n = 150 n = 450
α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01
Nºp oyecciones T de S uden
1 0.157 0.0986 0.0384 0.219 0.1544 0.0794 0.3628 0.2866 0.182
2 0.1398 0.0884 0.0364 0.2024 0.1446 0.0764 0.3458 0.2758 0.1758
3 0.134 0.0814 0.0354 0.197 0.1394 0.0738 0.3418 0.277 0.1766
5 0.1252 0.078 0.0338 0.1894 0.1366 0.0716 0.3336 0.2684 0.1766
10 0.1136 0.0748 0.0312 0.1802 0.133 0.071 0.3248 0.2588 0.1736
15 0.113 0.072 0.03 0.1762 0.1276 0.0692 0.3196 0.2554 0.1708
Exp(1)-1
1 0.2494 0.1622 0.0594 0.5176 0.3946 0.2094 0.9014 0.8406 0.682
2 0.2264 0.1484 0.0556 0.4866 0.3856 0.1966 0.8988 0.8394 0.6868
3 0.2164 0.1402 0.0518 0.4718 0.3722 0.1876 0.8946 0.842 0.6896
5 0.2006 0.1326 0.0488 0.4636 0.3566 0.1844 0.8896 0.84 0.6886
10 0.193 0.125 0.0452 0.448 0.3468 0.1748 0.8876 0.8322 0.6834
15 0.1866 0.1228 0.0446 0.4384 0.3408 0.1742 0.8828 0.8284 0.6792
SN
1 0.1266 0.0688 0.017 0.1926 0.117 0.0352 0.403 0.2884 0.1214
2 0.1032 0.0554 0.0144 0.1736 0.109 0.034 0.3774 0.2684 0.1176
3 0.1002 0.0544 0.0144 0.159 0.101 0.03 0.3668 0.2628 0.1132
5 0.0924 0.048 0.0126 0.1544 0.0958 0.0262 0.3498 0.251 0.1056
10 0.0828 0.0456 0.0118 0.1428 0.0892 0.0256 0.3386 0.2386 0.1008
15 0.0802 0.0436 0.0106 0.138 0.0858 0.0238 0.3278 0.2334 0.0968
Cuad o B.10: Po encia de los es s conside ados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; 5
CP’s u ilizadas; es de no malidad unidimensional de Shapi o-Wilk; amilia de unciones
RW no no males no males in oducidas en 5.2.1.
68 APÉNDICE B. CUADROS BLOQUE 2
n = 50 n = 150 n = 450
α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01
Nºp oyecciones T de S uden
1 0.1572 0.0966 0.038 0.2198 0.1564 0.0768 0.386 0.3022 0.1984
2 0.1378 0.0904 0.0354 0.2048 0.1464 0.075 0.372 0.2954 0.1966
3 0.1266 0.083 0.0338 0.2 0.1394 0.0728 0.3608 0.2886 0.1926
5 0.1194 0.0798 0.0338 0.189 0.1364 0.0736 0.3562 0.2858 0.1928
10 0.1122 0.0754 0.0302 0.1776 0.1322 0.0694 0.3424 0.2738 0.1892
15 0.1092 0.0742 0.0298 0.1758 0.1264 0.0702 0.3354 0.275 0.1886
Exp(1)-1
1 0.2466 0.1614 0.0596 0.5084 0.3992 0.2126 0.9076 0.8638 0.7146
2 0.222 0.152 0.0544 0.487 0.388 0.2114 0.9122 0.8646 0.7248
3 0.2154 0.1376 0.051 0.4848 0.3822 0.2032 0.9114 0.8662 0.7282
5 0.2052 0.1336 0.0482 0.4694 0.3664 0.1938 0.9116 0.8622 0.727
10 0.1916 0.1244 0.0442 0.455 0.3558 0.1892 0.9102 0.864 0.7314
15 0.1886 0.1206 0.0442 0.443 0.3496 0.1806 0.9068 0.8624 0.725
SN
1 0.13 0.0698 0.0176 0.2004 0.1264 0.0394 0.4158 0.307 0.14
2 0.1116 0.0624 0.0152 0.177 0.1084 0.0364 0.3998 0.2894 0.135
3 0.1016 0.0522 0.0148 0.1702 0.1028 0.0304 0.389 0.2828 0.1282
5 0.0942 0.0482 0.0136 0.1544 0.0984 0.0284 0.3716 0.2706 0.1208
10 0.087 0.045 0.0128 0.1468 0.0888 0.0294 0.351 0.2608 0.1122
15 0.0836 0.0428 0.0132 0.1394 0.0872 0.0262 0.3468 0.2474 0.109
Cuad o B.11: Po encia de los es s conside ados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; 10
CP’s u ilizadas; es de no malidad unidimensional de Shapi o-Wilk; amilia de unciones
RW no no males no males in oducidas en 5.2.1.
69
n = 50 n = 150 n = 450
α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01
Nºp oyecciones T de S uden
1 0.153 0.097 0.0384 0.2172 0.1544 0.0742 0.3876 0.3068 0.1944
2 0.1376 0.084 0.0338 0.2032 0.146 0.0718 0.377 0.3008 0.1978
3 0.1304 0.0806 0.0332 0.1932 0.1392 0.0752 0.3666 0.2958 0.1954
5 0.1218 0.0806 0.0326 0.1872 0.1346 0.0716 0.3524 0.288 0.1912
10 0.1134 0.0712 0.0296 0.1782 0.1288 0.0686 0.3466 0.2834 0.189
15 0.111 0.0686 0.03 0.1736 0.1248 0.0666 0.3406 0.2784 0.1894
Exp(1)-1
1 0.2384 0.1532 0.057 0.5062 0.3946 0.2134 0.91 0.8636 0.7196
2 0.226 0.1454 0.0532 0.4922 0.3832 0.2068 0.917 0.8634 0.7244
3 0.2118 0.1366 0.0496 0.4826 0.3762 0.199 0.9108 0.8608 0.7322
5 0.2004 0.132 0.0466 0.4644 0.3638 0.1954 0.9136 0.8682 0.7366
10 0.1884 0.1196 0.0428 0.4528 0.3476 0.1852 0.91 0.8646 0.727
15 0.185 0.1168 0.0424 0.4426 0.3398 0.18 0.9072 0.8592 0.7278
SN
1 0.1278 0.069 0.0178 0.196 0.1212 0.0386 0.422 0.3066 0.1392
2 0.1124 0.0598 0.0156 0.1814 0.1098 0.0372 0.3988 0.2944 0.1292
3 0.1012 0.0562 0.0142 0.1658 0.1034 0.0336 0.3862 0.2868 0.1308
5 0.092 0.0504 0.0136 0.155 0.0968 0.0306 0.3738 0.2742 0.1174
10 0.0858 0.0466 0.0128 0.1428 0.0898 0.0282 0.3566 0.2592 0.1142
15 0.0822 0.0444 0.0122 0.1402 0.0862 0.0264 0.35 0.2516 0.1102
Cuad o B.12: Po encia de los es s conside ados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; 15
CP’s u ilizadas; es de no malidad unidimensional de Shapi o-Wilk; amilia de unciones
RW no no males no males in oducidas en 5.2.1.
70 APÉNDICE B. CUADROS BLOQUE 2
n = 50 n = 150 n = 450
α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01
Nºp oyecciones T de S uden
1 0.1084 0.0546 0.0136 0.1296 0.0696 0.0184 0.1524 0.0846 0.0212
2 0.0974 0.0502 0.0124 0.1126 0.0608 0.0162 0.1334 0.0714 0.019
3 0.0904 0.0468 0.0112 0.108 0.0588 0.0134 0.129 0.0712 0.0156
5 0.082 0.0454 0.0088 0.0968 0.0526 0.014 0.1158 0.0656 0.0158
10 0.0728 0.0382 0.0084 0.088 0.048 0.012 0.1106 0.0584 0.0134
15 0.0696 0.0368 0.0084 0.0806 0.0466 0.0116 0.1032 0.0558 0.0132
Exp(1)-1
1 0.1552 0.0806 0.0236 0.2838 0.182 0.0608 0.5628 0.4208 0.196
2 0.1356 0.0776 0.0244 0.2656 0.1686 0.0552 0.5486 0.4094 0.1908
3 0.1286 0.0714 0.0228 0.2622 0.1632 0.0574 0.5356 0.3996 0.1908
5 0.1214 0.0668 0.0222 0.2434 0.1506 0.0554 0.5202 0.3872 0.1838
10 0.11 0.0638 0.0188 0.2278 0.1416 0.0492 0.5038 0.3716 0.1802
15 0.1022 0.0574 0.0184 0.219 0.137 0.0472 0.4916 0.3674 0.1712
SN
1 0.1082 0.0536 0.0106 0.147 0.08 0.0214 0.2206 0.1366 0.0404
2 0.0918 0.0468 0.012 0.1292 0.0666 0.0186 0.2098 0.1298 0.0354
3 0.0884 0.0442 0.0084 0.1228 0.0648 0.0174 0.1972 0.1214 0.0326
5 0.0806 0.0438 0.0086 0.1102 0.0598 0.0168 0.1858 0.109 0.0306
10 0.0734 0.0376 0.0098 0.0966 0.0566 0.0146 0.1746 0.1022 0.0268
15 0.069 0.034 0.0084 0.095 0.0518 0.015 0.165 0.0992 0.0276
Cuad o B.13: Po encia de los es s conside ados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01;
núme o de CP’s u ilizadas en base a un ni el lími e del 85 % de la a ianza explicada; es de
no malidad unidimensional de Lillie o s; amilia de unciones RW no no males in oducidas
en 5.2.1.
71
n = 50 n = 150 n = 450
α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01
Nºp oyecciones T de S uden
1 0.127 0.0672 0.0154 0.1406 0.0816 0.0194 0.1736 0.095 0.027
2 0.1084 0.057 0.016 0.1256 0.0656 0.0184 0.157 0.0834 0.0242
3 0.1018 0.0536 0.0158 0.1108 0.0628 0.0188 0.14 0.0802 0.0252
5 0.088 0.0476 0.0148 0.103 0.0552 0.0152 0.1318 0.071 0.0232
10 0.0814 0.0432 0.0128 0.0886 0.0474 0.0152 0.1124 0.0618 0.0224
15 0.0724 0.0384 0.0126 0.083 0.0476 0.016 0.1096 0.0582 0.019
Exp(1)-1
1 0.1758 0.1078 0.0328 0.337 0.2202 0.083 0.655 0.5258 0.277
2 0.157 0.0906 0.031 0.3244 0.213 0.0822 0.657 0.5186 0.2962
3 0.157 0.0908 0.0298 0.3056 0.2076 0.0786 0.6496 0.5252 0.2916
5 0.1424 0.0856 0.0278 0.2906 0.1948 0.0768 0.648 0.5196 0.2894
10 0.1266 0.0776 0.026 0.2762 0.183 0.072 0.6314 0.5102 0.2832
15 0.1194 0.0744 0.0254 0.2634 0.1764 0.0658 0.625 0.4972 0.2842
SN
1 0.111 0.0586 0.014 0.1614 0.0848 0.0216 0.2568 0.1536 0.0454
2 0.097 0.0528 0.0128 0.1338 0.0754 0.022 0.2346 0.1456 0.0444
3 0.0888 0.0456 0.0118 0.1264 0.0746 0.0176 0.2316 0.1472 0.0452
5 0.0772 0.0408 0.011 0.1198 0.0676 0.018 0.2188 0.138 0.0474
10 0.069 0.0394 0.0096 0.1028 0.0564 0.0156 0.1994 0.124 0.0382
15 0.0632 0.0362 0.009 0.097 0.0486 0.0132 0.1896 0.1176 0.0352
Cuad o B.14: Po encia de los es s conside ados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; 5
CP’s u ilizadas; es de no malidad unidimensional de Lillie o s; amilia de unciones RW
no no males no males in oducidas en 5.2.1.

72 APÉNDICE B. CUADROS BLOQUE 2
n = 50 n = 150 n = 450
α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01
Nºp oyecciones T de S uden
1 0.1252 0.0676 0.0166 0.1314 0.0686 0.0172 0.1774 0.0992 0.0272
2 0.1096 0.057 0.0148 0.1194 0.0692 0.0174 0.1612 0.0876 0.0256
3 0.0962 0.0526 0.0116 0.111 0.0596 0.0168 0.1496 0.0836 0.024
5 0.089 0.0482 0.0118 0.1044 0.0572 0.0172 0.1354 0.075 0.025
10 0.0804 0.046 0.0118 0.0898 0.0514 0.0158 0.12 0.0662 0.023
15 0.074 0.0428 0.0106 0.0834 0.0474 0.0156 0.1114 0.0638 0.021
Exp(1)-1
1 0.1792 0.1028 0.0268 0.3388 0.2214 0.0804 0.6858 0.5522 0.3148
2 0.1638 0.0962 0.0292 0.3202 0.2144 0.0846 0.6868 0.56 0.3144
3 0.1478 0.0854 0.0258 0.3124 0.2102 0.0804 0.6824 0.565 0.3282
5 0.1424 0.0872 0.0246 0.2954 0.203 0.0812 0.6788 0.5604 0.3238
10 0.1264 0.0722 0.0226 0.2794 0.1942 0.074 0.6666 0.5444 0.3246
15 0.1204 0.0698 0.0198 0.2618 0.1848 0.0732 0.6596 0.5436 0.3204
SN
1 0.1114 0.059 0.0132 0.1562 0.0832 0.025 0.2702 0.1632 0.0538
2 0.1008 0.0546 0.0112 0.1432 0.082 0.0228 0.2548 0.1626 0.0552
3 0.0944 0.0512 0.0146 0.1344 0.075 0.0198 0.2396 0.1542 0.0536
5 0.08 0.0412 0.0098 0.122 0.0728 0.0196 0.2326 0.1516 0.051
10 0.0718 0.0428 0.0106 0.1106 0.065 0.0178 0.2098 0.1344 0.0486
15 0.0628 0.0402 0.0078 0.1024 0.0588 0.0162 0.1994 0.1286 0.044
Cuad o B.15: Po encia de los es s conside ados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01;
10 CP’s u ilizadas; es de no malidad unidimensional de Lillie o s; amilia de unciones
RW no no males no males in oducidas en 5.2.1.
73
n = 50 n = 150 n = 450
α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01
Nºp oyecciones T de S uden
1 0.1204 0.0632 0.0132 0.1386 0.0752 0.0202 0.1796 0.097 0.025
2 0.101 0.0524 0.0134 0.1206 0.0682 0.0182 0.158 0.0872 0.0228
3 0.099 0.051 0.014 0.1102 0.0596 0.02 0.148 0.0854 0.0212
5 0.0872 0.0462 0.0146 0.106 0.0602 0.0158 0.1346 0.0752 0.0232
10 0.0756 0.0428 0.0108 0.0932 0.0506 0.015 0.1168 0.0676 0.0216
15 0.0694 0.039 0.011 0.0836 0.0466 0.0146 0.1078 0.0614 0.0184
Exp(1)-1
1 0.1714 0.0972 0.0254 0.3424 0.224 0.0798 0.6924 0.5614 0.3098
2 0.1622 0.0938 0.026 0.32 0.2122 0.0834 0.6908 0.5674 0.3206
3 0.1522 0.0814 0.0252 0.3062 0.2078 0.0826 0.6874 0.5608 0.3278
5 0.1438 0.0808 0.0238 0.2924 0.1986 0.0794 0.6766 0.5618 0.3292
10 0.1276 0.073 0.02 0.2728 0.1862 0.0726 0.6712 0.5528 0.328
15 0.1184 0.0696 0.0212 0.2654 0.1802 0.071 0.6578 0.5454 0.3228
SN
1 0.1172 0.0658 0.0146 0.155 0.086 0.0228 0.263 0.1634 0.0508
2 0.097 0.0486 0.0142 0.14 0.0746 0.0228 0.2514 0.1622 0.056
3 0.0968 0.0518 0.0114 0.1316 0.0716 0.0208 0.247 0.1572 0.0526
5 0.083 0.0464 0.0108 0.12 0.0688 0.0182 0.226 0.151 0.0568
10 0.0712 0.0402 0.0096 0.108 0.0622 0.018 0.212 0.1372 0.0524
15 0.0714 0.0362 0.0086 0.0994 0.0586 0.0154 0.2024 0.1296 0.0474
Cuad o B.16: Po encia de los es s conside ados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01;
15 CP’s u ilizadas; es de no malidad unidimensional de Lillie o s; amilia de unciones
RW no no males no males in oducidas en 5.2.1.
74 APÉNDICE B. CUADROS BLOQUE 2
n = 50 n = 150 n = 450
α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01
Nºp oyecciones T de S uden
1 0.4682 0.3928 0.2672 0.816 0.7618 0.644 0.9966 0.9916 0.9804
2 0.4596 0.3882 0.2694 0.8122 0.7592 0.6432 0.9964 0.991 0.9816
3 0.4556 0.3808 0.2644 0.809 0.7572 0.6394 0.996 0.9918 0.9818
5 0.4476 0.376 0.2588 0.8032 0.7552 0.634 0.9954 0.991 0.9798
10 0.439 0.3718 0.2582 0.8018 0.7494 0.63 0.9952 0.991 0.9798
15 0.4328 0.3678 0.2552 0.7972 0.7494 0.6294 0.995 0.9902 0.9794
Exp(1)-1
1 0.9798 0.9688 0.915 1 1 0.9998 1 1 1
2 0.9838 0.9724 0.9138 1 1 1 1 1 1
3 0.9862 0.9732 0.9098 1 1 1 1 1 1
5 0.9876 0.9752 0.9102 1 1 1 1 1 1
10 0.9858 0.9738 0.907 1 1 1 1 1 1
15 0.9856 0.9714 0.9066 1 1 1 1 1 1
SN
1 0.763 0.6422 0.3736 0.997 0.992 0.9656 1 1 1
2 0.7434 0.6266 0.3636 0.9984 0.9944 0.968 1 1 1
3 0.7404 0.6122 0.3552 0.998 0.9946 0.9682 1 1 1
5 0.728 0.599 0.349 0.9976 0.9932 0.9704 1 1 1
10 0.7206 0.586 0.337 0.9972 0.9926 0.9672 1 1 1
15 0.717 0.5786 0.3266 0.9976 0.9936 0.966 1 1 1
Cuad o B.17: Po encia de los es s conside ados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01;
núme o de CP’s u ilizadas en base a un ni el lími e del 85% de la a ianza explicada;
es de no malidad unidimensional de Shapi o-Wilk; amilia de unciones LT no no males
in oducidas en 5.2.1.
75
n = 50 n = 150 n = 450
α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01
Nºp oyecciones T de S uden
1 0.4948 0.4226 0.2958 0.8504 0.8008 0.699 0.998 0.9962 0.988
2 0.487 0.4108 0.289 0.8422 0.7992 0.6916 0.9968 0.9952 0.9878
3 0.477 0.408 0.2818 0.8414 0.7924 0.6902 0.9974 0.9956 0.9884
5 0.4714 0.3996 0.2794 0.8336 0.7898 0.6836 0.9976 0.9954 0.9878
10 0.4662 0.3928 0.277 0.8306 0.786 0.6784 0.9972 0.9952 0.9876
15 0.4618 0.3868 0.2736 0.8264 0.7814 0.6754 0.997 0.9944 0.9874
Exp(1)-1
1 0.9874 0.978 0.9408 1 1 1 1 1 1
2 0.9878 0.981 0.9434 1 1 1 1 1 1
3 0.9884 0.9808 0.9412 1 1 1 1 1 1
5 0.9896 0.9808 0.9418 1 1 1 1 1 1
10 0.989 0.9816 0.9404 1 1 1 1 1 1
15 0.9878 0.979 0.9376 1 1 1 1 1 1
SN
1 0.8194 0.7234 0.4678 0.9988 0.998 0.9884 1 1 1
2 0.8148 0.719 0.446 0.9992 0.9978 0.9882 1 1 1
3 0.808 0.706 0.4378 0.9994 0.9984 0.9896 1 1 1
5 0.8018 0.692 0.4236 0.9992 0.9982 0.9892 1 1 1
10 0.7914 0.6832 0.4118 0.9994 0.9978 0.9878 1 1 1
15 0.7872 0.6726 0.4088 0.999 0.9974 0.9882 1 1 1
Cuad o B.18: Po encia de los es s conside ados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; 5
CP’s u ilizadas; es de no malidad unidimensional de Shapi o-Wilk; amilia de unciones
LT no no males no males in oducidas en 5.2.1.
82 APÉNDICE B. CUADROS BLOQUE 2

Apéndice C
Código de R
C.1. Código ela i o a la gene ación de da os uncionales
gene a e_RW <- unc ion(sample_size = 10, K = 75) {
es <- ma ix(0, n ow =K+1, ncol =sample_size)
o (j in 1:sample_size) {
<- no m(K)
<- c(0, )
o (i in 1:(K+1)) {
es[i, j] <- sum( [1:i])
}
}
es <- es /sq (K)
e u n( es)
}
gene a e_RW_s uden <- unc ion(sample_size = 10,K= 75, = 4) {
es <- ma ix(0, n ow =K+1, ncol =sample_size)
o (j in 1:sample_size) {
<- (K, )
<- c(0, )
o (i in 1:(K+1)) {
es[i, j] <- sum( [1:i])
}
}
es <- es /sq (K)
83
84 APÉNDICE C. CÓDIGO DE R
e u n( es)
}
gene a e_RW_exp <- unc ion(sample_size = 10, K = 75, a e = 1) {
es <- ma ix(0, n ow =K+1, ncol =sample_size)
o (j in 1:sample_size) {
<- exp(K, a e = a e) - 1
<- c(0, )
o (i in 1:(K+1)) {
es[i, j] <- sum( [1:i])
}
}
es <- es /sq (K)
e u n( es)
}
gene a e_RW_SN <- unc ion(sample_size = 10, K = 75) {
es <- ma ix(0, n ow =K+1, ncol =sample_size)
o (j in 1:sample_size) {
<- as.nume ic( sn(n =K, alpha = 10))
<- c(0, )
o (i in 1:(K+1)) {
es[i, j] <- sum( [1:i])
}
}
es <- es /sq (K)
e u n( es)
}
gene a e_LT <- unc ion(sample_size = 10, N = 75) {
g id =seq(0,1, leng h.ou =N+1)
m=ma ix(0, n ow =N+1, ncol =sample_size)
o (i in 1:sample_size) {
<- no m(3)
m[,i] <- [1] *g id +(1/2)* [2] *cos(pi*g id) +(1/4)* [3] *
sin(pi*g id),→
C.1. CÓDIGO RELATIVO A LA GENERACIÓN DE DATOS FUNCIONALES 85
}
e u n(m)
}
gene a e_LT_s uden <- unc ion(sample_size = 10,N= 75, = 4) {
g id =seq(0,1, leng h.ou =N+1)
m=ma ix(0, n ow =N+1, ncol =sample_size)
o (i in 1:sample_size) {
<- (3, )
m[,i] <- [1] *g id +(1/2)* [2] *cos(pi*g id) +(1/4)* [3] *
sin(pi*g id),→
}
e u n(m)
}
gene a e_LT_exp <- unc ion(sample_size = 10, N = 75, a e = 1) {
g id =seq(0,1, leng h.ou =N+1)
m=ma ix(0, n ow =N+1, ncol =sample_size)
o (i in 1:sample_size) {
<- exp(3, a e = a e) - 1
m[,i] <- [1] *g id +(1/2)* [2] *cos(pi*g id) +(1/4)* [3] *
sin(pi*g id),→
}
e u n(m)
}
gene a e_LT_SN <- unc ion(sample_size = 10, N = 75, a e = 1) {
g id =seq(0,1, leng h.ou =N+1)
m=ma ix(0, n ow =N+1, ncol =sample_size)
o (i in 1:sample_size) {
<- as.nume ic( sn(n = 3, alpha = 10))
m[,i] <- [1] *g id +(1/2)* [2] *cos(pi*g id) +(1/4)* [3] *
sin(pi*g id),→
}
e u n(m)
}
86 APÉNDICE C. CÓDIGO DE R
C.2. Código ela i o a las simulaciones del bloque 1
lib a y( da)
lib a y(MVN)
lib a y( da.usc)
lib a y(momen s)
lib a y(no mwhn. es )
lib a y(no es )
lib a y(sn)
nomb es_col <- c(50,50,50,150,150,150,450,450,450)
nomb es_col_aux <- c(0.1,0.05,0.01)
nomb es_col_aux1 <- c(nomb es_col_aux,nomb es_col_aux, nomb es_col_aux)
nomb es_col <- nomb es_col_aux1 +nomb es_col
nomb es_ ow <- c("JB 0.1","Ma dia","DH","LV")
ejec ion_ a e_ es <- unc ion( eplica ions = 1000, gene a o =
gene a e_RW, explained_ a iance = 0.85) {,→
NB = 30
p ecision = 75
ange =c(0,1)
pa i ion<-(1:(p ecision+1))/(p ecision+1)
basis<-c ea e.bspline.basis( ange al= ange, nbasis=NB)
npca <- ep(0,7)
NO_coun =ma ix(0,n ow = 4, ncol = 9)
ownames(NO_coun ) <- nomb es_ ow
colnames(NO_coun ) <- nomb es_col
cN <- -1
o (N in c(50,150,450)) {
cN <- cN + 1
o (i in 1: eplica ions) {
gene a ed <- gene a o (N, p ecision)
C.2. CÓDIGO RELATIVO A LAS SIMULACIONES DEL BLOQUE 1 87
gene a ed_ d <- smoo h.basis(pa i ion, gene a ed, basis)$ d
pca <- pca. d(gene a ed_ d, nha m = 7)
acc <- pca$ a p op[1]
o (q in 2:10) {
acc <- acc +pca$ a p op[q]
i (acc >explained_ a iance) {
nha m <- q
npca[q] <- npca[q]+1
b eak;
}
}
coun <- 0
o (nominal_size in c(0.1,0.05,0.01)) {
coun <- coun + 1
# Ja que-Be a
d _JB <- 2 * nha m
h eshold_JB <- qchisq(1-nominal_size, d _JB)
# Ma dia
d _Ma dia <- (nha m*(nha m + 1)*(nha m + 2)/ 6)+ 1
h eshold_Ma dia <- qchisq(1-nominal_size, d _Ma dia)
pca <- pca. d(gene a ed_ d, nha m =nha m)
sco es <- pca$sco es
# Ja que-Be a
sum = 0
o (j in 1:nha m){
s<- skewness(sco es[,j])
k<- ku osis(sco es[,j])
sum =sum +s^2 +((k-3)^2)/4
}
sum =sum *N/ 6
i (sum > h eshold_JB) {

88 APÉNDICE C. CÓDIGO DE R
NO_coun [1, cN *3+coun ] =NO_coun [1, cN *3+coun ] + 1
}
# Ma dia
es <- MVN::m n(sco es, m nTes ="ma dia")
s a <- es$mul i a ia eNo mali y$S a is ic
s a <- as.nume ic(le els(s a ))[s a ]
s a <- s a [1] +s a [2]*s a [2]
i (s a > h eshold_Ma dia) {
NO_coun [2, cN *3+coun ] =NO_coun [2, cN *3+coun ] + 1
}
#DH
sink("NUL")
n <- no mwhn. es ::no mali y. es 1(sco es)
sink()
i (n <nominal_size) {
NO_coun [3, cN *3+coun ] =NO_coun [3, cN *3+coun ] + 1
}
#LV
sink("NUL")
n <- no mwhn. es ::no mali y. es 2(sco es)
sink()
i (n <nominal_size) {
NO_coun [4, cN *3+coun ] =NO_coun [4, cN *3+coun ] + 1
}
}
}
}
es <- NO_coun / eplica ions
e u n( es)
C.3. CÓDIGO RELATIVO A LAS SIMULACIONES DEL BLOQUE 2 89
}
eplica ions <- 5000
explained_ a iance <- 0.85
sol <- ejec ion_ a e_ es ( eplica ions = eplica ions, gene a o =
gene a e_RW),→
w i e.cs (sol,"ou pu _RW.cs ")
sol <- ejec ion_ a e_ es ( eplica ions = eplica ions, gene a o =
gene a e_RW_s uden ),→
w i e.cs (sol,"ou pu _RW_s uden .cs ")
sol <- ejec ion_ a e_ es ( eplica ions = eplica ions, gene a o =
gene a e_RW_exp),→
w i e.cs (sol,"ou pu _RW_exp.cs ")
sol <- ejec ion_ a e_ es ( eplica ions = eplica ions, gene a o =
gene a e_RW_SN),→
w i e.cs (sol,"ou pu _RW_SN.cs ")
sol <- ejec ion_ a e_ es ( eplica ions = eplica ions, gene a o =
gene a e_LT),→
w i e.cs (sol,"ou pu _LT.cs ")
sol <- ejec ion_ a e_ es ( eplica ions = eplica ions, gene a o =
gene a e_LT_s uden ),→
w i e.cs (sol,"ou pu _LT_s uden .cs ")
sol <- ejec ion_ a e_ es ( eplica ions = eplica ions, gene a o =
gene a e_LT_exp),→
w i e.cs (sol,"ou pu _LT_exp.cs ")
sol <- ejec ion_ a e_ es ( eplica ions = eplica ions, gene a o =
gene a e_LT_SN),→
w i e.cs (sol,"ou pu _LT_SN.cs ")
C.3. Código ela i o a las simulaciones del bloque 2
lib a y( da)
lib a y( da.usc)
lib a y(no es )
90 APÉNDICE C. CÓDIGO DE R
lib a y(sn)
no m_ ec <- unc ion(x) sq (sum(x^2))
nomb es_col <- c(50,50,50,150,150,150,450,450,450)
nomb es_col_aux <- c(0.1,0.05,0.01)
nomb es_col_aux1 <- c(nomb es_col_aux,nomb es_col_aux, nomb es_col_aux)
nomb es_col <- nomb es_col_aux1 +nomb es_col
nomb es_ ow <- c(1,2,3,5,10,15)
andom_ ejec ion_ a e_ es <- unc ion( eplica ions = 5000,
explained_ a iance = 0.85, gene a o =gene a e_RW) {,→
NB = 30
p ecision = 75
ange =c(0,1)
pa i ion<-(1:(p ecision+1))/(p ecision+1)
basis<-c ea e.bspline.basis( ange al= ange, nbasis=NB)
npca <- ep(0,7)
NO_coun =ma ix(0,n ow = 6, ncol = 9)
NO_coun _5 =ma ix(0,n ow = 6, ncol = 9)
NO_coun _lillie =ma ix(0,n ow = 6, ncol = 9)
NO_coun _5_lillie =ma ix(0,n ow = 6, ncol = 9)
NO_coun _10 =ma ix(0,n ow = 6, ncol = 9)
NO_coun _10_lillie =ma ix(0,n ow = 6, ncol = 9)
NO_coun _15 =ma ix(0,n ow = 6, ncol = 9)
NO_coun _15_lillie =ma ix(0,n ow = 6, ncol = 9)
ownames(NO_coun ) <- nomb es_ ow
colnames(NO_coun ) <- nomb es_col
ownames(NO_coun _lillie) <- nomb es_ ow
colnames(NO_coun _lillie) <- nomb es_col
C.3. CÓDIGO RELATIVO A LAS SIMULACIONES DEL BLOQUE 2 91
ownames(NO_coun _5) <- nomb es_ ow
colnames(NO_coun _5) <- nomb es_col
ownames(NO_coun _5_lillie) <- nomb es_ ow
colnames(NO_coun _5_lillie) <- nomb es_col
ownames(NO_coun _10) <- nomb es_ ow
colnames(NO_coun _10) <- nomb es_col
ownames(NO_coun _10_lillie) <- nomb es_ ow
colnames(NO_coun _10_lillie) <- nomb es_col
ownames(NO_coun _15) <- nomb es_ ow
colnames(NO_coun _15) <- nomb es_col
ownames(NO_coun _15_lillie) <- nomb es_ ow
colnames(NO_coun _15_lillie) <- nomb es_col
cN <- -1
o (N in c(50,150,450)) {
cN <- cN + 1
o (i in 1: eplica ions) {
i (i %% 100 == 0) {
p in (i)
}
gene a ed <- gene a o (N, p ecision)
gene a ed_ d <- smoo h.basis(pa i ion, gene a ed, basis)$ d
pca <- pca. d(gene a ed_ d, nha m = 5)
acc <- pca$ a p op[1]
o (q in 2:10) {
acc <- acc +pca$ a p op[q]
i (acc >explained_ a iance) {
nha m <- q
npca[q] <- npca[q]+1
b eak;
}
}
pca <- pca. d(gene a ed_ d, nha m =nha m)
98 APÉNDICE C. CÓDIGO DE R
}
}
es <- bind(NO_coun , NO_coun _5, NO_coun _10, NO_coun _15,
NO_coun _lillie, NO_coun _5_lillie, NO_coun _10_lillie,
NO_coun _15_lillie)
,→
,→
es <- es / eplica ions
e u n( es)
}
eplica ions <- 5000
explained_ a iance <- 0.85
sol <- andom_ ejec ion_ a e_ es ( eplica ions = eplica ions, gene a o =
gene a e_RW),→
w i e.cs (sol,"ou pu _RW.cs ")
sol <- andom_ ejec ion_ a e_ es ( eplica ions = eplica ions, gene a o =
gene a e_RW_s uden ),→
w i e.cs (sol,"ou pu _RW_s uden .cs ")
sol <- andom_ ejec ion_ a e_ es ( eplica ions = eplica ions, gene a o =
gene a e_RW_exp),→
w i e.cs (sol,"ou pu _RW_exp.cs ")
sol <- andom_ ejec ion_ a e_ es ( eplica ions = eplica ions, gene a o =
gene a e_RW_SN),→
w i e.cs (sol,"ou pu _RW_SN.cs ")
sol <- andom_ ejec ion_ a e_ es ( eplica ions = eplica ions, gene a o =
gene a e_LT),→
w i e.cs (sol,"ou pu _LT.cs ")
sol <- andom_ ejec ion_ a e_ es ( eplica ions = eplica ions, gene a o =
gene a e_LT_s uden ),→
w i e.cs (sol,"ou pu _LT_s uden .cs ")
sol <- andom_ ejec ion_ a e_ es ( eplica ions = eplica ions, gene a o =
gene a e_LT_exp),→
w i e.cs (sol,"ou pu _LT_exp.cs ")
sol <- andom_ ejec ion_ a e_ es ( eplica ions = eplica ions, gene a o =
gene a e_LT_SN),→

C.3. CÓDIGO RELATIVO A LAS SIMULACIONES DEL BLOQUE 2 99
w i e.cs (sol,"ou pu _LT_SN.cs ")
100 APÉNDICE C. CÓDIGO DE R
Bibliog a ía
[A h eya y Lahi i, 2006] A h eya, K. B. y Lahi i, S. N. (2006). Measu e heo y and p oba-
bili y heo y. New Yo k, NY: Sp inge .
[Azzalini, 2021] Azzalini, A. (2021). The Skew-No mal and Rela ed Dis ibu ions Such as
he Skew- and he SUN. R package e sion 2.0.0.
[Billingsley, 1999] Billingsley, P. (1999). Con e gence o p obabili y measu es. 2nd ed. Chi-
ches e : Wiley.
[Bli zs ein y Hwang, 2015] Bli zs ein, J. K. y Hwang, J. (2015). In oduc ion o p obabili y.
Boca Ra on, FL: CRC P ess.
[Cues a-Albe os e al., 2007] Cues a-Albe os, J. A., Del Ba io, E., F aiman, R., y Ma-
án, C. (2007). The andom p ojec ion me hod in goodness o i o unc ional da a.
Compu . S a . Da a Anal., 51:4814–4831.
[Feb e o y O iedo, 2020] Feb e o, M. y O iedo, M. (2020). Func ional Da a Analysis and
U ili ies o S a is ical Compu ing. R package e sion 2.0.2.
[G oss y Ligges, 2015] G oss, J. y Ligges, U. (2015). Tes s o No mali y. R package
e sion 1.0.4.
[Gó ecki e al., 2020] Gó ecki, T., Ho á h, L., y Kokoszka, P. (2020). Tes s o no mali y
o unc ional da a. In e na ional S a is ical Re iew, 88:677–697.
[Ho á h y Kokoszka, 2012] Ho á h, L. y Kokoszka, P. (2012). In e ence o unc ional
da a wi h applica ions. New Yo k, NY: Sp inge .
[Hsing y Eubank, 2015] Hsing, T. y Eubank, R. (2015). Theo e ical ounda ions o un-
c ional da a analysis, wi h an in oduc ion o linea ope a o s. Hoboken, NJ: John Wiley
& Sons.
101
102 BIBLIOGRAFÍA
[Jolli e, 2002] Jolli e, I. T. (2002). P incipal componen analysis. 2nd ed. New Yo k, NY:
Sp inge .
[Jus el e al., 1997] Jus el, A., Peña, D., y Zama , R. (1997). A mul i a ia e Kolmogo o -
Smi no es o goodness o i . S a . P obab. Le ., 35:251–259.
[Koizumi e al., 2009] Koizumi, K., Okamo o, N., y Seo, T. (2009). On Ja que-Be a es s
o assessing mul i a ia e no mali y. J. S a ., Ad . Theo y Appl., 1:207–220.
[Kokoszka y Reimhe , 2017] Kokoszka, P. y Reimhe , M. (2017). In oduc ion o unc io-
nal da a analysis. Boca Ra on, FL: CRC P ess.
[Koms a y No omes ky, 2015] Koms a, L. y No omes ky, F. (2015). Momen s, cumulan s,
skewness, ku osis and ela ed es s. R package e sion 0.14.
[Ko kmaz e al., 2019] Ko kmaz, S., Goksuluk, D., y Za a siz, G. (2019). Mul i a ia e
No mali y Tes s. R package e sion 5.8.
[Ma dia e al., 1979] Ma dia, K. V., Ken , J. T., y Bibby, J. M. (1979). Mul i a ia e
analysis.
[Mecklin y Mund om, 2005] Mecklin, C. J. y Mund om, D. J. (2005). A Mon e Ca lo
compa ison o he ype I and ype II e o a es o es s o mul i a ia e no mali y. J.
S a . Compu . Simula ion, 75:93–107.
[Ramsay e al., 2020] Ramsay, J. O., G a es, S., y Hooke , G. (2020). Func ional Da a
Analysis. R package e sion 5.1.9.
[Ramsay e al., 2009] Ramsay, J. O., Hooke , G., y G a es, S. (2009). Func ional da a
analysis wi h R and MATLAB. New Yo k, NY: Sp inge .
[Sebe y Lee, 2003] Sebe , G. A. F. y Lee, A. J. (2003). Linea eg ession analysis. 2nd
ed. Hoboken, NJ: Wiley.
[Shapi o y Wilk, 1965] Shapi o, S. S. y Wilk, M. B. (1965). An analysis o a iance es
o no mali y (comple e samples). Biome ika, 52:591–611.
[Wickham, 2010] Wickham, P. (2010). No mali y and Whi e Noise Tes ing. R package
e sion 1.0.