T aballo Fin de G ao
REGRESIÓN LINEAL CON
DATOS CENSURADOS da os
DATOS CENSURADOS
Ma ía Ba ei a Mi anda
2019/2020
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO DE MATEMÁTICAS
T aballo Fin de G ao
Reg esión lineal con da os
censu ados
Ma ía Ba ei a Mi anda
Xullo 2020
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
T aballo p opos o
Á ea de Coñecemen o:
Es a ís ica e In es igación Ope a i a
Tí ulo: Reg esión lineal con da os censu ados
B e e desc ición do con ido
Os da os censu ados son moi habi uais na Análise de Supe i encia,
que é a pa e da Es a ís ica que es uda os empos de ida. E que
os empos de ida, que poden se du acións dunha en e midade, dun
a igo de consumo (coches, elé onos, o denado es, e c.) ou calque a
ou o empo en e dous e en os, no malmen e equi en de ce o segui-
men o. Se ese seguimen o se in e ompe, so coñece emos que o empo
du ou polo menos a a o momen o da pe da do seguimen o. Nes as
condicións pode segui in e esando conside a o e ec o dalgunha a-
iable sob e o empo de ida. Po exemplo, pode in e esa sabe se a
idade do ou da doen e inúe no empo de cu ación dunha lesión.
Es e aballo consis e en e isa as écnicas de es imación da eg esión
lineal cando a a iable espos a es á censu ada. Expo anse os mé odos
xa exis en es, es uda anse as súas p opiedades median e simulacións,
e ilus a anse con da os eais.
Recomendacións
Te un coñecemen o básico do p og ama es a ís ico .
iii
Índice xe al
Resumo
iii
ix
1. In odución 1
1.1. Hipó eses do modelo de eg esión lineal simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Es imación dos pa áme os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. P opiedades dos es imado es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Reg esión lineal múl iple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Da os censu ados 7
2.1. In odución á Análise de Supe i encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Tiposdecensu a ................................. 11
2.3. Funcións que ca ac e izan unha a iable censu ada . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1. Función de Supe i encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2. Funciónde isco ............................. 13
2.4. Medidas ca ac e ís icas dunha a iable censu ada . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5. Es imado de Kaplan-Meie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Reg esión censu ada 17
3.1. O es imado de mínimos cad ados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. O es imado p opos o po Mille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
i
ÍNDICE XERAL
3.3. O es imado p opos o po Buckley e James . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4. O es imado p opos o po Jin, Lin e Ying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4. Es udo de simulación 29
4.1. In odución .................................... 29
4.2. Modeloconin e cep o .............................. 31
4.2.1. E o con dis ibución no mal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.2. E o con dis ibución chi-cad ado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3. Modelosenin e cep o .............................. 40
4.3.1. E o con dis ibución no mal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.2. E o con dis ibución chi-cad ado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5. Aplicación a da os eais 49
5.1. Basededa osUIS ................................ 49
5.2. Análise desc i i a p e ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3. Es imación dun modelo de eg esión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6. Conclusións 63
Anexo A: Comandos de R 65
Bibliog a ía 83
2
CAPÍTULO 1. INTRODUCIÓN
1.1. Hipó eses do modelo de eg esión lineal simple
Pa a pode es ima o modelo (1.1) necesi amos as seguin es hipó eses:
Linealidade.
Debido a que a unción de eg esión é unha liña ec a podemos exp esa
es e modelo como apa ece na ecuación (1.1).
Homocedas icidade.
Pa a cada alo da a iable explica i a
x
, a a ianza do e o
debe se cons an e, é dici :
Va
(ε|X=x) = σ2
pa a odo
x
.
Independencia.
Os e os eñen que se independen es en e si.
No malidade.
O e o en dis ibución no mal de media ce o e a ianza
σ2
, é dici :
ε∈N0, σ2
1
.
Pa a pode es ima
β0
e
β1
necesi amos unha mos a de da os que se ob eñen ou ben
dun deseño xo ou dun deseño alea o io. No deseño xo íxanse os alo es da a iable
explica i a de o ma que emos unha mos a do ipo
{(x1, Y1), ... (xn, Yn)}
. En can o ao
deseño alea o io, an o a a iable explica i a como a a iable espos a son alea o ias, o que
nos da unha mos a do ipo
{(X1, Y1), ... (Xn, Yn)}
. Pa a pode ace in e encia sob e os
pa áme os desexados usa emos un deseño de ipo xo. Nes e aballo conside a emos que
{W1, ... , Wn}
son os da os e
W(1), ... , W (p)
son as co esponden es a iables alea o ias.
Resumindo, aballa emos cun modelo de eg esión lineal simple, homocedás ico, con
e o es no mais e independen es e baixo deseño xo.
1.2. Es imación dos pa áme os
Pa a es ima os pa áme os
β0
,
β1
e
σ2
asociados a un modelo de eg esión lineal
simple supoñe emos as hipó eses an es explicadas. Pa a a p edición do alo da a iable
espos a Y a pa i do alo da a iable explica i a
X
, emos os seguin es e os, chamados
esiduos
da eg esión:
bεi=Yi−b
β0−b
β1xi
sendo
i∈ {1, ... , n}.
1
Cando esc ibimos
Nµ, σ2
e e ímonos a unha no mal de media
µ
e a ianza
σ2
, sendo a no mal unha
das dis ibucións de p obabilidade máis ecuen es en Es a ís ica.
1.3. PROPIEDADES DOS ESTIMADORES
3
Pa a e ec ua a es imación a emos uso do
mé odo de mínimos cad ados
cuxo obxec i o
é minimiza a suma de esiduos ao cad ado. Así, emos que busca
b
β0
e
b
β1
de o ma que
agan mínima es a suma, que én dada po :
n
X
i=1 Yi−b
β0−b
β1xi2= m´ın
β0,β1
n
X
i=1
(Yi−β0−β1xi)2.
Se de i amos a exp esión an e io con espec o a
β0
e
β1
e logo igualamos a ce o, ob emos
as seguin es exp esións:
b
β0=Y−SxY
S2
x
xb
β1=SxY
S2
x
Po úl imo es ima emos a a ianza do e o
σ2
do seguin e xei o:
bσ2=1
n−2
n
P
i=1 bε2
i=1
n−2
n
P
i=1 Yi−b
β0−b
β1xi2
1.3. P opiedades dos es imado es
Unha ez coñecidas as exp esións dos es imado es, ainos se in e esan e es uda as
súas p opiedades.
P opiedades de
c
β1
Pa a calcula a espe anza de o ma máis sinxela, exp esa emos
b
β1
da seguin e o ma:
b
β1=SxY
S2
x
=
n
P
i=1
(xi−x)Yi−Y
nS2
x
=
n
P
i=1
(xi−x)
nS2
x
(Yi−Y) =
n
P
i=1
ωiYi−Y
sendo
ωi=(xi−x)
nS2
x
os pesos que so dependen da a iable explica i a e, como es amos
supoñendo que aballamos cun deseño xo, es es pesos non son alea o ios. Así,
usando p opiedades da media, podemos ace :
Eb
β1=En
P
i=1
ωiYi−Yi=
n
P
i=1
ωiEYi−Y=
n
P
i=1
(xi−x)
nS2
x
| {z }
ωi
β1(xi−x)
| {z }
E(Yi−Y)
=β1
Pa a demos a as úl imas igualdades emos que e en con a que:
E(Yi) = β0+β1xi.
4
CAPÍTULO 1. INTRODUCIÓN
EY=E1
n
n
P
i=1
Yi=1
n
n
P
i=1
E(Yi) = 1
n
n
P
i=1
(β0+β1xi) = β0+β1x.
En consecuencia emos
EYi−Y=β0+β1xi−β0−β1x=β1(xi−x).
Na úl ima igualdade úsase que
S2
x=1
n
n
P
i=1
(xi−x)2
.
Pa a pode calcula a a ianza, imos exp esa
b
β1
da seguin e o ma:
b
β1=
n
P
i=1
ωiYi−Y=
n
P
i=1
ωiYi.
debido a que
n
P
i=1
ωi= 0
. En ón,
Va
b
β1=
Va
n
P
i=1
ωiYi=
n
P
i=1
ω2
i
Va
(Yi) =
n
P
i=1
(xi−¯x)2
n2S4
x
σ2=σ2
nS2
x
.
Pa a explica es as igualdades eco damos que es amos aballando coa hipó ese de
independencia dos e os e homoceas icidade e usamos p opiedades básicas do ope a-
do a ianza.
Finalmen e, como
β1
é combinación lineal de
Y1, ... , Yn
que son a iables indepen-
den es e no mais, es e es imado en dis ibución no mal. En esumo:
b
β1∈Nβ1,σ2
nS2
x
P opiedades de
b
β0
Calcula emos a media e a a ianza de o ma análoga ao caso an e io . Debido a que
b
β0=Y−b
β1x
, emos que:
Eb
β0=EY−xEb
β1=β0+β1x−xβ1=β0.
Pa a calcula ago a a a ianza, usa emos que
Y=1
n
n
P
i=1
Yi
,
xb
β1=
n
P
i=1
xωiYi
e así
emos:
b
β0=1
n
n
P
i=1
Yi−
n
P
i=1
xωiYi=
n
P
i=1 1
n−xωiYi.
Así, endo en con a as hipó eses básicas do modelo de eg esión lineal simple, e i í-
case que
Va
b
β0=
n
X
i=1 1
n−xωi2
Va
(Yi) = σ2
n
X
i=1 1
n2+x2ω2
i−2¯xωi
n=σ21
n+¯x2
nS2
x,
1.4. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
5
onde pa a a úl ima igualdade usamos que
n
P
i=1
ωi= 0
e
n
P
i=1
ω2
i=1
nS2
x
.
Finalmen e, debido a que
b
β0
é combinación lineal de
Y1, ... , Yn
, al como sucedía no
caso de
b
β1
, emos que
b
β0
en unha dis ibución no mal. Polo an o, podemos concluí :
b
β0∈Nβ0, σ21
n+x2
nS2
x
P opiedades de
bσ2
Aínda que nes e caso non en a emos en de alles, o es imado da a ianza do e o
segue unha dis ibución do ipo chi-cad ado:
(n−2) bσ2
σ2∈χ2
n−2
Nó ese que cando es imamos a a ianza, di idimos en e
n−2
en luga de acelo
en e n pa a que o es imado
σ2
sexa insesgado.
1.4. Reg esión lineal múl iple
Unha ez is o o modelo de eg esión lineal simple, podemos es endelo a si uacións
máis complexas onde hai máis dunha a iable explica i a, o que se coñece como eg esión
lineal múl iple. Nes e modelo emos unha a iable espos a Y e unha colección de a iables
explica i as
X(1), ... , X(p−1)
. Es a clase de modelos podemos esc ibilos en o ma ma icial
do seguin e xei o:
Y1
.
.
.
Yn
=
1x1,1··· x1,p−1
.
.
..
.
..
.
.
1xn,1··· xn,p−1
β0
.
.
.
βp−1
+
ε1
.
.
.
εn
.
A exp esión simplicada des e modelo é:
Y=Xβ+ε,
onde Y é o ec o das a iables espos as,
X
é unha ma iz de
n×p
elemen os,
β∈Rp
é
o ec o de coecien es e
ε
é o ec o dos e os que e ica
ε∈Nn0, σ2In
, sendo
In
a
ma iz iden idade. Pa a es ima
β
, aplica emos o mé odo de mínimos cad ados que ao igual
que no caso do modelo lineal simple en como obxec i o minimiza a suma de esiduos ao
cad ado, é dici :
b
β=
a g
m´ın
β
n
X
i=1
(Yi−xiβ)2,
6
CAPÍTULO 1. INTRODUCIÓN
sendo
xi
a la i-ésima da ma iz
X
. Es e p oblema amén se pode esc ibi en no ación
ma icial de manei a equi alen e como:
b
β=
a g
m´ın
β(Y−Xβ)0(Y−Xβ).
Se de i amos con espec o
β
e igualamos a ce o, ob emos:
X0Xβ=X0Y,
e a súa solución é o es imado de
β
, que en dado po :
b
β= (X0X)−1X0Y.
Non esc ibi emos a demos ación de allada pe o é impo an e des aca as seguin es
p opiedades des e es imado :
Media:
Eb
β=β
, é dici , á ase dun es imado inesgado.
Co a ianza: Co
b
β, b
β=σ2(X0X)−1.
Dis ibución lími e:
b
β∈Npβ, σ2(X0X)−1
Capí ulo 2
Da os censu ados
Nes e capí ulo explica emos que son os
da os censu ados
moi emp egados no ámbi o
da
Análise de Supe i encia
. Comeza emos dando unha idea sob e que é a censu a e
os da os censu ados g azas a un exemplo mo i ado pa a logo explica es es e mos con
máis p o undidade.
No ámbi o da Bioes a ís ica
1
podemos a opa moi os exemplos de da os censu ados.
Imaxinemos que aballamos cun es udo sob e o canc o. Nes e caso os/as doen es poden
mo e ou abandona o es udo po di e en es causas e se is o oco e non imos e coñecemen-
o dos seus da os comple os. Is o é o que se coñece como da os censu ados. Emp ega emos
como exemplo un ensaio clínico, que é un p ocedemen o expe imen al dun medicamen o ou
a amen o en pe soas pa a a alia a súa segu idade ou a súa ecacia. Vexamos un exemplo
conc e o dun ensaio clínico que podemos a opa en [12]. Na Figu a 2.1 ep esen amos o
empo de ida de seis doen es e obse amos que en an ao es udo du an e un pe íodo de
2.5
anos que ai dende comezos do ano
2000
a a mediados do
2002
. Os/As indi iduos/as
son seguidos du an e
4.5
anos a a nais do
2007
, cando ema a o ensaio clínico.
Na Figu a 2.1, as ec as e icais ep esen an o comezo do ensaio, o peche do pe íodo
pa a pode en a ao es udo e o seu ema e, espec i amen e. Cada liña ho izon al ep e-
sen a a un/unha indi iduo/a onde os pun os neg os ma can a súa en ada ao es udo, os
cí culos ep esen an os e en os censu ados e as aspas deno an a mo e do/da doen e.
Nes e exemplo obse amos un caso de censu a xa que no momen o que ema a o
es udo es doen es (D1, D3 e D4) seguían i os/as. Polo an o, pa a es es/as es doen es
1
A Bioes a ís ica é unha ama da Es adís ica aplicada ás Ciencias da Vida como son a Bioloxía e a
Medicina.
7
8
CAPÍTULO 2. DATOS CENSURADOS
Figu a 2.1: Ensaio clínico sob e seis doen es onde as ec as e icais ep esen an o comezo
do ensaio, o peche do pe íodo pa a pode en a ao es udo e o seu ema e, espec i amen e.
Cada liña ho izon al ep esen a a un/unha indi iduo/a onde os pun os neg os ma can a
súa en ada ao es udo, os cí culos ep esen an os e en os censu ados e as aspas deno an a
mo e do/da doen e.
non emos in o mación comple a sob e o seu empo de ida e polo an o es es da os se án
censu ados. No caso do/da doen e D1, po exemplo, sabemos que sob e i iu polo menos
7
anos pe o non sabemos can o empo máis ai i i . Na Figu a 2.1 emos os da os da súa
mo e ( ep esen ada cunha aspa) pe o es e alo non se ía coñecido no momen o do es udo.
En esumo, emos in o mación comple a de es doen es dende que comeza o ensaio a a
que mo en e emos ou os/as es doen es que se án censu ados.
Nun es udo nes as ci cuns ancias, no que non se coñecen odos os da os, pode íamos
pensa en aballa so cos da os que emos e ob ia o es o. Imos e g acamen e que
oco e ía nes a si uación emp egando a unción de dis ibución empí ica. Dada unha mos a
{Y1, ... , Yn}
, eco demos que a unción de dis ibución empí ica dunha a iable alea o ia
Y
é da seguin e o ma:
b
Fn(y) = 1
n
n
X
i=1
I(Yi≤y).
(2.1)
Na Figu a 2.2 obse amos dúas g ácas. A pa e (a) ep esen a a unción de dis ibu-
ción dunha a iable no mal
N(0,1)
pa a unha mos a de amaño
n= 100
, men es que a
pa e (b) é pa a amaño
n= 1000
. O azo en azul co espóndese coa unción de dis i-
bución empí ica pa a os da os cunha censu a pa a alo es meno es que
1
(quedamos cos
da os que cump an
y≤
1 ) men es que o e mello ep esen a a unción de dis ibución
2.1. INTRODUCIÓN Á ANÁLISE DE SUPERVIVENCIA
9
empí ica dos da os comple os (é dici , sen p esenza de censu a). A cu a neg a ep esen a
a unción de dis ibución eó ica dunha
N(0,1)
e obse amos como a cu a e mella ap o-
xima ben ao modelo eó ico men es que a azul non. Des a o ma podemos e que no caso
dos da os censu ados non podemos queda nos cos da os que emos a a un ce o empo
xa que eses da os non se co esponde coa ealidade. O p oblema ampouco é do amaño
da mos a xa que obse amos a mesma si uación no g áco da pa e (a) e no da pa e (b).
Polo an o, xo de a necesidade de busca ou as opcións pa a aballa con es es da os.
Po exemplo, en luga de emp ega a unción de dis ibución empí ica, no caso de da os
censu ados usa emos a unción Kaplan-Meie da que ala emos nes e mesmo capí ulo na
Sección 2.5.
Ago a deni emos a censu a e os da os censu ados o malmen e.
Denición 2.1.
Denomínase
censu a
ao enómeno que a ec a ás a iables de in e ese nun
es udo cando exis e unha limi ación na in o mación que emos delas. Os
da os censu ados
son obse acións que non poden se cuan icadas, dado que so se coñece que o seu alo
se a opa po debaixo ou po a iba dunha co a de e minada ou ben que es á incluído nun
in e alo.
2.1. In odución á Análise de Supe i encia
Supoñamos que es amos in e esados en es uda unha de e minada a iable
Y
que
ep esen a o empo que pasa dende o comezo do expe imen o a a que oco e un de e minado
suceso de in e ese que chama emos mo e ou acaso. Así, cando nos e amos á a iable
no empo
, es amos alando da a iable
Y
. Es e suceso amén se pode en ende como
algo posi i o, como po exemplo o empo que pasa dende que un/unha doen e en a nun
ensaio clínico a a que esponde a o ablemen e a un a amen o. O conxun o de écnicas
es a ís icas que se emp egan pa a analiza es e ipo de da os coñécense como a
Análise
de Supe i encia.
Debido á p esenza de censu a, a Análise de Supe i encia amén se
coñece como análise de da os censu ados.
A p incipal ca ac e ís ica da Análise de Supe i encia é que a a iable
Y
é unha
a iable disc e a ou con inua non nega i a e ep esen a o empo dende un inicio a a unha
n denidos. Ou a ca ac e ís ica impo an e xu de cando o comezo ou a n dun e en o
non se obse an comple amen e. Es es enómenos coñécense como censu a pola de ei a e
censu a pola esque da.
Censu a pola de ei a:
apa ece cando o ex emo nal é so coñecido po excede un
10
CAPÍTULO 2. DATOS CENSURADOS
(a) Tamaño:
n= 100
(b) Tamaño:
n= 1000
Figu a 2.2: Rep esen ación g áca da es imación da unción de dis ibución dunha a iable
no mal no caso de da os censu ados a pa i de
y= 1
e no caso de da os comple os.
2.2. TIPOS DE CENSURA
11
alo pa icula . Fo malmen e, sexa
Y
unha a iable que ep esen a o empo a a o
acaso e
C
unha a iable que ep esen a o empo pa a un e en o censu ado. En ón
denimos
Z= m´ın (Y, C)
e
δ=I[Y⩽C]
, que ai se o indicado da censu a. Des a
o ma,
δ= 0
se
Z
é un empo censu ado e
δ= 1
se
Z
é o empo non censu ado que
se obse a comple amen e. A Figu a 2.1 mos a un exemplo de censu a pola de ei a.
Censu a pola esque da:
é menos ecuen e e dáse cando os e en os eñen luga
an es do pun o de inicio do es udo. Des a o ma, o empo de censu a se á o empo
de inicio do pe íodo de seguimen o e non se coñece con exac i ude.
Ao longo des e aballo emp ega emos da os censu ados pola de ei a, polo cal asumi-
emos que
Z= m´ın (Y, C)
deno a a a iable de in e ese obse ada e
δ=I[Y⩽C]
se á a
indicado a da censu a.
O obxec i o da Análise de Supe i encia é es ima a unción de dis ibución (que
e emos na Sección 2.3), compa a dúas ou máis dis ibucións de supe i encia e a alia os
e ec os de ce os ac o es sob e a a iable
Y
. As écnicas que es uda emos eñen impo an es
simili udes coa clásica eg esión lineal en media, coa impo an e di e enza de que a a iable
espos a é unha a iable censu ada.
2.2. Tipos de censu a
A pa i de ago a, como xa dixemos an es, cando alemos de censu a es a émonos
e e indo a censu a pola de ei a. Es a censu a di ídese nos seguin es ipos, que explica emos
a pa i de exemplos:
Tipo I: Censu a po empo
O empo de censu a es á p e-denido. Nun es udo pa a deixa de uma , séguese a
cada doen e dende que comeza o ensaio a a que so e unha ecaída, ol e uma , ou
ben se despois de
180
días non se p oduce unha ecaída. Os/As doen es que aos
180
días seguen sen uma son censu ados. Es e exemplo podémolo e en [12].
Tipo II: Censu a po núme o de allos
Es e caso oco e cando os obxec os expe imen ais son seguidos a a que unha p opo -
ción deles acasan. Dáse nas á eas da Biomedicina ou no ámbi o da indus ia, onde
o empo de allo dun disposi i o é o que máis in e esa. Un exemplo des e ipo de
censu a pode da se cando no ámbi o da indus ia ealizamos un es udo que ema a
18
CAPÍTULO 3. REGRESIÓN CENSURADA
sendo
εi
os e os pa a cada
i∈ {1, ... , n}
. Des a o ma, es imamos
βdc =βdc
0, βdc
1
1
do
seguin e xei o:
b
βdc =
a g
m´ın
β
1
n
n
X
i=1 bεi2=
a g
m´ın
β
1
n
n
X
i=1 Yi−βdc
0−βdc
1xi2.
(3.1)
O noso obxec i o é se capaces de es ima o pa áme o
β
no caso de que a a iable
espos a sexa censu ada de o ma simila ao que xa xemos con da os comple os. No
con ex o de da os censu ados, como imos no capí ulo an e io , pa a es ima a unción de
dis ibución (en luga da unción de dis ibución empí ica), emos o es imado Kaplan-
Meie
b
FKM (y) =
n
X
i=1
WiI(Zi≤y).
(3.2)
onde
Zi
deno a a a iable espos a obse ada (pos o que xa non coñecemos os alo es de
Yi
) e
δi
pe mí enos iden ica a p esenza de da os censu ados.
Tendo en men e o es imado de Kapla-Meie xun o co es imado (3.1), podemos pensa
en es ima o pa áme o
b
β
asociado a un modelo de eg esión con a iable espos a
Y
censu ada como:
b
β=
a g
m´ın
n
X
i=1
Wibεi2,
(3.3)
sendo
bεi=Zi−b
β0−b
β1xi
os esiduos do modelo de eg esión. Es a écnica pa a a opa o
es imado usando os pesos de Kaplan-Meie oi p opos a po S u e en [16] (e po iso no
seguin e capí ulo lle chama emos mé odo de S u e) e es udada po Sánchez-Selle o na súa
ese, que podemos e en [14]. En conc e o, demos a on que o es imado
b
β
denido en
(3.3) é asin o icamen e no mal, coa seguin e dis ibución lími e pa a do modelo de eg esión
lineal simple que es amos a ando:
√nb
β−βd
−−−−→ N0,Ω−1Π Ω−1,
conside ando a seguin e no ación:
Ω = E∂m (x)
∂β
,∂m (x)
∂βs ,s∈{0,1}
,
sendo
m(x) = E(Y|X=x) = β0+β1x, x ∈R
, e
Π=(
Co
(ηϕ , ηϕs)) ,s∈{0,1},
1
O supe índice
dc
ai e e encia a que es amos aballando con da os comple os.
3.2. O ESTIMADOR PROPOSTO POR MILLER
19
onde
ϕ (x, y) = [y−m(x)] ∂m (β)
∂β
, e
ηϕ
i=ϕ(xi, Zi)γ0(Zi)δi+γϕ
1(Zi) (1 −δi)−γϕ
2(Zi),
γ0(y) = exp (Zy−
−∞ e
H0(dZ)
1−H(Z)),
sendo
F(u)
e
D(u)
as uncións de dis ibución das a iables
Y
e
C
espec i amen e, en ón
emos:
e
H0(y) = P(Z⩽y, δ = 0) = Zy
−∞
(1 −F(u)) D(du),
e
e
H11 (x, y) = P(X⩽x, z ⩽y, δ = 1) ,
H(y) = P(Z⩽y).
Ademais, pa a
ϕ
unha unción eal medible denida en
R2
, denimos:
γϕ
1(y) = 1
1−H(y)ZI{y<w}ϕ(x, w)γ0(w)e
H11 (dx, dw),
e
γϕ
2(y) = Z Z I{ <y, <w}ϕ(x, w)γ0(w)
[1 −H( )]2e
H0(d )e
H11 (dx, dw).
A demos ación des e esul ado non é obxec i o des e aballo pe o podemos a opa
odos os de alles explicados en [14].
3.2. O es imado p opos o po Mille
Reco demos p imei o b e emen e en que consis e o mé odo de máxima e osimili ude
que imos emp ega pa a da os comple os. Sexa
{V1, ... , Vn}
unha mos a alea o ia simple
dunha a iable
V
con unción de dis ibución
Fθ
ou unción de densidade
θ
. O es ima-
do de máxima e osimili ude (en adian e, EMV) é aquel alo que maximiza a masa de
p obabilidade (ou densidade) da mos a. Se denimos a unción de e osimili ude como
L(θ) = L(V1, ... , Vn;θ) = θ(V1, ... , Vn) =
n
Y
i=1
θ(Yi).
(3.4)
Así, pa a cada mos a pa icula
{Y1, ... , Yn}
a es imación de máxima e osimili ude de
β
é o alo
b
βMV
que maximiza a e osimili ude denida en (3.4), é dici :
LV1, ... , Vn;b
θMV = m´ax
θL(V1, ... , Vn;θ).
Polo an o, sexa
θ
o ec o dos pa áme os, o p ocedemen o que hai que segui pa a ob e
o
EMV
de
θj
, dada unha mos a
{V1, ... , Vn}
é:
20
CAPÍTULO 3. REGRESIÓN CENSURADA
1. Esc ibi a unción de e osimili ude
L(θ) = L(V1, ... , Vn;θ)
.
2. Esc ibi o loga i mo da e osimili ude
l(θ) = ln L(θ)
, xa que o máximo non se e
al e ado a a és des a ans o mación e así os cálculos esul an máis sinxelos.
3. Ob e o
θj
que cump a
∂
∂θj
l(θ)=0,
e deno ámolo po
b
θj
.
Unha ez que xa alamos en e mos xe ais do mé odo de máxima e osimili ude,
examos ago a que oco e se es amos na si uación dos da os censu ados. Nes a sección
segui emos o p oceso que apa ece no lib o de Mille que podemos a opa en [11] nas páxinas
11-14, onde apa ece explicado pa a o caso dun modelo de eg esión lineal múl iple e nes e
aballo adap ámolo pa a o noso con ex o dun modelo lineal simple.
Conside amos o pa
(Zi, δi)
, eco dando que
Zi= m´ın (Yi, Ci)
, sendo
Ci
os alo es da
a iable de censu a e
δ=I[Y⩽C]
é o indicado da censu a. Asociado a es e pa emos a
súa co esponden e unción de densidade:
L(Zi, δi) =
(Zi)se δi= 1,
S(Zi)se δi= 0,
que amén se pode exp esa da seguin e manei a:
L(Zi, δi) = (Zi)δiS(Zi)1−δi,
(3.5)
sendo
(Z)
a unción de densidade pa a os da os sen censu a e
S(Z)
a unción de supe i-
encia pa a os da os censu ados. Conside amos ago a a unción de e osimili ude de oda
a mos a
L(β) = L(Z1, ... , Zn;δ1, ... , δn) =
n
Y
i=1
L(Zi, δi) = Y
U
(Zi)! Y
C
S(Zi)!,
(3.6)
deno ando po
QU
e
QC
o p odu o sob e os da os sen censu a
2
e os da os censu ados
espec i amen e. Nes a igualdade es amos emp egando a independencia dos
Zi
e usamos
(3.5). Ademais, baixo a suposición de que o empo censu ado e o empo de supe i encia
son independen es, cabe des aca que a unción de e osimili ude es a ía mul iplicada po
2
Emp ega emos a no ación que én do inglés:
uncenso ed
e
censo ed
.
3.2. O ESTIMADOR PROPOSTO POR MILLER
21
unha cons an e que non depende do pa áme o
β
e como o noso obxec i o é maximiza a
unción, podemos p escindi des a cons an e.
Reco demos que es amos conside ando o ec o dos pa áme os
β= (β0, β1)
. Pa a
a opa o
m´axβL(β)
a emos unha ans o mación median e o loga i mo e logo de i amos
e igualamos a ce o pa a ob e o máximo al e como de allamos no caso de da os comple os.
Des a o ma, usando p opiedades da unción loga i mo quédanos:
0 = ∂
∂βj
log L(β) =
n
X
i=1
∂
∂βj
log Lβ(Zi, δi),
con
j∈ {0,1}.
(3.7)
Se subs i uímos ago a o alo de
L(β)
da ecuación (3.6), emos o seguin e:
0 = X
U
∂
∂βj
log β(Zi) + X
C
∂
∂βj
log Sβ(Zi),
con
j∈ {0,1}.
Debido á súa complexidade, pa a pode esol e es a igualdade e ob e o alo de
b
β
e emos
que p og ama un mé odo i e a i o coa axuda dun o denado . Nes e aballo, po exemplo,
de alla emos o mé odo de
New on Rapson
que é un algo i mo i e a i o que se emp ega
con ecuencia pa a a opa ap oximacións dos ce os dunha unción
G(x)
necesi ando un
pun o inicial
X0
. A pa i dunha i e ación pasamos a seguin e e así sucesi amen e median e
a seguin e ecuación:
Xn+1 =Xn−G(Xn)
G0(Xn).
Pa a simplica a no ación esc ibi emos
Li(β) = Lβ(Zi, δi)
con
i= 1, ... , n
. Así,
podemos eesc ibi (3.7) da seguin e manei a:
0 =
n
X
i=1
∂
∂βj
log Li(β), j = 1, ... , p,
ou ben
0 = ∂
∂β log L(β),
sendo
∂
∂β log L(β) = ∂
∂β0
log L(β),∂
∂β1
log L(β),
∂2
∂β2log L(β) =
∂2
∂β2
0
log L(β)∂2
∂β0∂β1
log L(β)
∂2
∂β1∂β0
log L(β)∂2
∂β2
1
log L(β)
.
22
CAPÍTULO 3. REGRESIÓN CENSURADA
Supoñamos que a solución inicial é
b
β0=b
β0
0,b
β0
1
. Emp ega emos o desen ol emen o de
Taylo
3
pa a ap oxima esa unción e pode esc ibila da seguin e o ma:
0 =
n
X
i=1
∂
∂βj
log Lib
β=
n
X
i=1
∂
∂βj
log Lib
β0+
1
X
k=0 b
βk−b
β0
kn
X
i=1
∂2
∂βk∂βj
log Lib
β0+... ,
con
j= 0,1
, e amén o podemos esc ibi como
0 = ∂
∂β log Lb
β=∂
∂β log Lb
β0+b
β−b
β0∂2
∂β2log Lb
β0+... .
Usamos ago a o mé odo de New on-Rapson e emos que a solución se á
b
β1=b
β0−
∂
∂β log Lb
β0
∂2
∂β2log Lb
β0.
(3.8)
Es e esul ado p opo ciónanos as bases dunha ap oximación, de manei a i e a i a, pa a
calcula o EMV. Así, dado un alo inicial
b
β0
, usamos a ecuación (3.8) pa a ob e unha
mello es imación e epe imos es e p oceso a a xe a unha sucesión de es imado es que
con e xen ao EMV
b
β
. Conside a emos a seguin e no ación:
∂
∂β log Lb
β0
se á o ec o de i ada en
b
β0
.
−∂2
∂β2log Lb
β0
se á a ma iz de in o mación en
b
β0
e deno a émola po
ib
β0
.
Cabe des aca que
E(i(β)) = −E∂2
∂βk∂βj
log L(β)=I(β),
sendo
I(β)
a
ma iz de in o mación de Fishe
. Se ago a subs i uímos a exp esión do
ec o de i ada e a ma iz de in o mación en (3.8) ob emos o seguin e:
b
β1=b
β0+I−1b
β0∂
∂β log Lb
β0.
(3.9)
Debido á dicul ade pa a es ima a unción de densidade ou a unción de Supe i-
encia, podemos asumi que a dis ibución do e o é no mal pa a ealiza a es imación de
máxima e osimili ude. Debemos des aca amén que desc ibimos o p ocedemen o pa a o
caso do modelo lineal simple pe o de manei a in ui i a pode iamos es endelo ao con ex o
de múl iples a iables explica i as.
3
Reco demos que o desen ol emen o de Taylo dunha unción
g(x)
consis e en esc ibi
g(x) = g(x0) +
(x−x0)g0(x0) + (x−x0)2
2! g00 (x0) + ...
3.3. O ESTIMADOR PROPOSTO POR BUCKLEY E JAMES
23
3.3. O es imado p opos o po Buckley e James
Na In odución des e aballo, no Capí ulo 1, xa emp egamos as ecuacións no mais
pa a es ima os pa áme os no caso do modelo de eg esión lineal con da os comple os. Imos
modica es as ecuacións pa a o caso de obse acións censu adas pe o p imei o eco demos
que no caso de da os comple os emos que escolle como es imado es de
β0
e
β1
aqueles
alo es
b
β0
e
b
β1
que sa is agan:
n
X
i=1 Yi−b
β0−b
β1xi= 0,
(3.10)
n
X
i=1
(xi−x)Yi−b
β1xi= 0,
(3.11)
sendo
x=1
nPn
i=1 xi
.
Pa a o caso de da os censu ados, como non podemos obse a odos os da os
{Y1, ... , Yn}
,
conside a emos
Y∗
i=Yiδi+E(Yi|Yi> Ci) (1 −δi), i = 1, ... , n,
sendo
Ci
os alo es da a iable de censu a,
δi=I[Yi⩽Ci]
o indicado da censu a, onde
δi= 0
pa a os da os censu ados e
δi= 1
pa a os da os non censu ados. En ón,
E(Y∗
i) =
β0+β1xi
e polo an o:
E n
X
i=1
(xi−x) (Y∗
i−β1xi)!= 0.
Po analoxía con (3.11), o ideal se ía conside a un es imado
b
β1
pa a o cal se cump a:
n
X
i=1
(xi−x)Y∗
i−b
β1xi= 0.
Debido a que
E(Yi|Yi> Ci)
é descoñecida, imos conside a unha ap oximación consis en e
emp egando a unción de Kaplan-Meie
b
FKM
, onde
b
FKM (ε)=1−Y
i;bεi≤bεn−i
n−i+ 1δi
,
sendo
bεib
β0,b
β1=Zi−b
β0−b
β1xi
,
Zi= m´ın (Yi, Ci)
e
Ci
os alo es da a iable de censu a.
Imos subs i uí as obse acións censu adas po
Yib
β1=b
β1xi+X
U
Wik b
β1Yk−b
β1xk,
(3.12)
24
CAPÍTULO 3. REGRESIÓN CENSURADA
onde nes e caso
PU
é un suma o io dos da os non censu ados sob e
k
e
Wik b
β1=
kb
β1
1−b
FKM Ci−b
β1xise bεi(0, b)<bεk0,b
β1,
0
ou o caso.
onde
kb
β1
é a masa de p obabilidade asignada a unción de dis ibución
b
FKM (ε)
e
Temos que escolle en ón un es imado
b
β1
que sa is aga:
b
β1=PUYi(xi−x) + PCYi(β) (xi−x)
Pn
i=1 (xi−x)2.
(3.13)
Cabe des aca que is o é equi alen e a subs i uí cada pun o censu ado
(Ci, xi)
polos
pun os
{b
β1xi+Yk−b
β1xk, xi}, k 6=i
, da lle o peso
Wik b
β1
e nalmen e subs i uílos
nas ecuacións no mais. Deno amos ago a a pa e de ei a da ecuación (3.13) po
γb
β1
.
Des a o ma, en ez de que e minimiza unha unción, o noso obxec i o se á busca un
b
que cump a
b=γ(b)
, é dici , que emos esol e a ecuación
γ(b)−b= 0,
(3.14)
da que
b
β1
é aíz. Es e p oblema pódese esol e emp egando mé odos de op imización e
así (3.13) eesc ibímola como
b
β1=PU
kYknxk−x+PC
jWjk b
β1(xj−x)o
ηb
β1
sendo
ηb
β1=
n
X
i=1
(xi−x)2−
C
X
j
(xj−x)nxj−exjb
β1o,
onde
exjb
β1=
U
X
k
Wjk b
β1xk.
Es e p oceso lé ase a cabo no a igo de Buckley e James que podemos e con máis de alle
en [1]. Unha ez que ob emos
b
β1
, podemos consegui de o ma análoga
b
β0
de o ma que
b
β0=nPUYi+PCYib
β1o
n−b
β1x.
3.4. O ESTIMADOR PROPOSTO POR JIN, LIN E YING
25
3.4. O es imado p opos o po Jin, Lin e Ying
O es imado ob ido po Buckely e James é unha aíz da unción de es imación que
a opamos na ecuación (3.14) que non é nin con inua nin monó ona e as súas aíces poden
non exis i . O algo i mo i e a i o de Buckley e James p esen a algún p oblema, en e os
que des acan que a con e xencia do algo i mo non es á ga an ida, é dici , en ocasións non
se a opa a solución ou es a solución oscila en e dous pun os non óp imos. Ademais, aínda
que o algo i mo con e xa, non es á cla o que nos le e a un es imado consis en e xa que os
esul ados eó icos o on es ablecidos baseándose na hipó ese de linea idade local. Debido a
es es p oblemas, Jin, Lin e Ying in en a on mello a es e es imado no a igo que podemos
e con de alle en [8].
Pa a mello a o mé odo p esen ado po Buckley e James, se á undamen al o papel
que xoga o es imado inicial. Se o es imado inicial é consis en e, en ón pa a cada paso
m
, o
es imado ob ido na
m
-és ima i e ación amén se á consis en e. Ademais, se o es imado é
asin o icamen e no mal, en ón o es imado ob ido na
m
-és ima i e ación amén o se á. Is o
que expomos es á demos ado po Ri o ou Lai e Ying en [13] e [10], espec i amen e. Así,
es e no o p ocedemen o lé anos a unha clase de es imado es consis en es e asin o icamen e
no mais.
Des a o ma, a idea que emos que segui é a de da lle un bo alo inicial ao p oblema
e aplica o mé odo i e a i o. Es e ipo de p ocedemen os emp éganse ecuen emen e no
ámbi o da Ma emá ica Aplicada como pode se no mé odo de New on-Rapson que xa
emp egamos nes e aballo. Jin, Lin e Ying p opoñen escolle es e alo inicial a pa i da
unción de peso de Gehan, que se pode calcula aplicando écnicas de p og amación linea .
Conside a emos a mesma no ación que emp egamos nes e Capí ulo 3, excep uando
que nes e caso conside a emos a ans o mación loga i mo pa a a a iable espos a. Po
simplicidade de no ación imos esc ibi
Yi
aínda que es amos conside ando
log Yi
. Así, a-
balla emos co seguin e modelo de eg esión linea :
Yi=βxi+εi,
é dici , non imos e en con a o in e cep o. Na Sección 3.3 calculamos o es imado da
penden e de Buckley e James, que lle chama emos
b
βBJ
, que é a aíz de
U(β, β) = 0
, sendo
U(β, b) = γ(b)−β,
e eco demos que a unción
γ
é a pa e de ei a da ecuación (3.13), é dici ,
γ(b) = PUYi(xi−x) + PCYi(b) (xi−x)
Pn
i=1 (xi−x)2.
26
CAPÍTULO 3. REGRESIÓN CENSURADA
É ácil e que
U(β, β)
non é nin con inua nin monó ona en
β
e polo an o é di ícil calcula
o es imado des e xei o, especialmen e cando
β
é mul idimensional. Podemos linealiza a
unción de es imación p imei amen e dando un alo inicial
b
e logo esol endo
U(β, b)=0
pa a
β
. Es a ope ación lé anos a ealiza
β=γ(b)
. Con inúase es e p oceso co seguin e
algo i mo i e a i o:
b
β(m)=γb
β(m−1), m ≥1.
(3.15)
Un es imado inicial consis en e e asin o icamen e no mal de
β0
pódese consegui polo
mé odo ank-based de Jin, Lin, Wei e Ying, que podemos e en [7]. Es ablecemos o
es imado inicial
b
β(0)
como o es imado ipo Gehan,
b
βG
, desc i o en [4] e que podemos
calcula minimizando a seguin e unción con exa:
n
X
i=1
n
X
j=1
δi{εi(β)−εj(β)}−,
onde
a−=I{a < 0}|a|
, e eco demos que
εi(β) = Zi−βxi
,
Zi= m´ın (Yi, Ci)
,
Ci
os
alo es da a iable de censu a,
δi= 0
pa a os da os censu ados e
δi= 1
pa a os da os non
censu ados. Es e p oblema de minimización é en ealidade un p oblema de p og amación
lineal simple e pa a e máis de alles pódese consul a [7].
Pa a cada
m
, en [8] p óbase que
b
β(m)
é consis en e e asin o icamen e no mal. Ademais,
b
β(m)
é unha combinación linea do es imado ipo Gehan
b
βG
e do es imado p opos o po
Buckley e James
b
βBJ
, de o ma que
b
β(m)=I−D−1Amb
βG+I−I−D−1Amb
βBJ +Opn−1
2,
(3.16)
onde
I
é a ma iz iden idade.
D:= l´ımn→∞ n−1Pn
i=1 (xi−x)2
é a ma iz de penden es da unción de es imación
de mínimos cad ados pa a os da os comple os (da os non censu ados).
A é a ma iz de penden es da unción es imada de Buckley e James que es á denida
e explicada en [8] pe o nes e TFG non imos p o undiza sob e es a denición xa que
non a emp ega emos.
Cando a po cen axe de censu a ende a ce o, a ma iz
A
ap oxímase a
D
. Así, o p imei o
e mo da ecuación (3.16) ai se ce o e cada
b
β(m)
ap oxima ao es imado usual de mínimos
cad ados. Se o algo i mo i e a i o desc i o en (3.15) con e xe, en ón
b
β(m)
se á o es imado
3.4. O ESTIMADOR PROPOSTO POR JIN, LIN E YING
27
de Buckley e James. Aínda que a secuencia i e a i a non con e xa, os es imado es seguen
sendo consis en es e asin o icamen e no mais.
Reco demos que unha hipó ese do modelo de eg esión lineal simple é a no malidade
dos e os, polo que os e os seguen unha dis ibución no mal de media ce o e a ianza
σ2
,
é dici ,
ε∈N0, σ2
, sendo a no mal unha unción non dec ecen e. Pódese demos a ( e
[8]) que se a unción de dis ibución do e o é non dec ecen e (como é o noso caso), en ón
cando
D−A
é denida posi i a is o implica que
I−D−1Am
se ap oxima a ce o ou que
b
β(m)
se ap oxima a
b
βBJ
(es imado p opos o po Buckley e James) cando
m
ende a
∞
(pa a amaños de mos a g andes).
34
CAPÍTULO 4. ESTUDO DE SIMULACIÓN
b
β0b
β1
Sesgo Va ECM Sesgo Va ECM
σ= 0.5
n= 100
M1
−675.90 149.58 195.26 −2135.01 620.24 1076.07
M2
94.68 202.96 203.86 −399.08 696.21 712.14
M3
1294.65 282.98 450.59 −5630.95 766.03 3936.79
M4
23.63 135.25 135.30 −162.03 525.92 528.55
n= 500
M1
−671.83 27.79 72.93 −2302.93 119.01 649.35
M2
14.19 42.04 42.06 −109.78 154.20 155.41
M3
1116.61 59.71 184.39 −5256.08 168.37 2931.01
M4
8.42 29.27 29.28 −76.61 129.43 130.03
n= 1000
M1
−627.14 14.57 53.90 −2384.88 63.80 632.57
M2
9.75 22.36 22.37 −39.34 82.10 82.26
M3
1077.09 33.95 149.96 −5156.54 95.99 2754.98
M4
38.41 18.11 18.25 −106.93 84.22 85.36
σ= 1
n= 100
M1
−2816.86 474.36 1267.83 −5428.37 1860.84 4807.56
M2
75.07 1361.29 1361.86 −1324.28 4525.82 4701.19
M3
1272.32 1455.49 1617.37 −5450.49 3923.49 6894.27
M4
−164.31 511.31 514.01 −194.59 1838.27 1842.06
n= 500
M1
−2806.58 97.49 885.19 −5902.56 367.56 3851.58
M2
19.31 462.55 462.59 −550.60 1544.08 1574.40
M3
901.49 567.38 648.65 −4156.82 1604.62 3332.53
M4
−101.53 104.52 105.55 −7.81 377.54 377.55
n= 1000
M1
−2720.51 48.09 788.20 −6123.53 182.60 3932.37
M2
−28.59 292.14 292.22 −260.67 936.91 943.70
M3
729.16 361.41 414.58 −3668.39 1012.26 2357.96
M4
−37.43 50.74 50.88 −56.47 185.97 186.29
Táboa 4.2: Sesgo, a ianza e ECM dos es imado es ob idos (mul iplicados po
10000
) pa a
o Modelo 1 a pa i dos di e en es mé odos M1 (es imado de mínimos cad ados o dina io),
M2 (es imado p opos o po S u e), M3 (es imado p opos o po S u e con pesos Kaplan-
Meie p esua izados) e M4 (es imado p opos o po Buckley e James), sendo a po cen axe
de censu a do
50 %
pa a di e en es amaños de mos a (deno ado po
n
) e des iacións do
e o (deno ado po
σ
).
4.2. MODELO CON INTERCEPTO
35
Mé odo M1:
o es imado de mínimos cad ados clásico (de allada na Sección 1.2) aplicado
só sob e os da os que obse amos comple amen e, é dici , cando
δ= 1
. Pa a aplica
es e mé odo emp ega emos a unción
lm
de .
Mé odo M2:
o es imado p opos o po S u e, é dici , un es imado de mínimos cad a-
dos ponde ado con pesos Kaplan-Meie (de allado na Sección 3.1). Pa a aplica es e
mé odo emp ega emos a unción
lm
de con a gumen o
weigh
os pesos Kaplan-
Meie calculados coa unción
KMW
do paque e
condSURV
.
Mé odo M3:
unha pequena modicación do es imado p opos o po S u e onde se em-
p egan uns pesos Kaplan-Meie p esua idazados (comen ado na Sección 2.5). Pa a
aplica es e mé odo emp ega emos a unción
lm
de con a gumen o
weigh
os pe-
sos Kaplan-Meie p esua izados calculados coa unción
PKMW
do paque e
condSURV
.
Mé odo M4:
o es imado p opos o po Buckley e James (de allado na Sección 3.3). Pa a
aplica es e mé odo emp ega emos a unción
b
do paque e
ms
de .
Pa a compa a os mé odos an e io es calcula emos o sesgo, a a ianza e o ECM de
cada es imado . Os esul ados pódense e nas Táboas 4.1 e 4.2 que eñen asociadas unha
po cen axe do
25 %
e
50 %
de censu a, espec i amen e. Nes as áboas a opamos os esul-
ados mul iplicados po
10000
pa a pode compa a ben os ECM. Así e i amos a apa ición
de alo es
0.000
ao ap oxima os esul ados. En cada áboa calculamos as medidas esumo
pa a di e en es des iacións ípicas do e o e di e en es amaños de mos a onde en cada
escena io se ealiza on
1000
éplicas Mon e Ca lo.
O código emp egado pa a le a a cabo es e es udo de simulación a ópase no Anexo A
des e aballo. En can o á p og amación, des acamos que hai que edeni o maio da o da
a iable espos a obse ada como non censu ado pa a que o es imado de S u e, M2, sexa
consis en e (p oblema de i ado da consis encia do es imado de Kaplan-Meie ). Ademais,
o mé odo de Buckley e James, M4, non semp e con e xe, polo que emos que elimina as
i e acións que non con e xan pa a ob e uns esul ados que poidamos compa a co es o
de mé odos.
En p imei o luga , se obse amos as Táboas 4.1 e 4.5 en conxun o, podemos saca as
seguin es conclusións xe ais:
O ECM dos es imado es aumen a can o máis g ande sexa a a ianza do e o, o cal é
lóxico ao habe máis dispe sión nos da os como se pode e na Figu a 4.1.
36
CAPÍTULO 4. ESTUDO DE SIMULACIÓN
(a) Des iación ípica de
0.5
.
(b) Des iación ípica de 1.
Figu a 4.1: Rep esen ación g áca dunha mos a de amaño
n= 100
do Modelo 1 xun o
coa ec a de eg esión eó ica pa a di e en es des iacións ípicas da dis ibución do e o.
O ECM diminúe con o me aumen amos o amaño de mos a, o cal amén é de espe a
xa que ao e un amaño de mos a maio , emos máis in o mación.
O ECM aumen a cando aumen a a po cen axe de censu a. O ECM é meno en odos
os mé odos pa a o caso de censu a do
25 %
se os compa amos co ob ido nos casos
de censu a de
50 %
. Es e ei o débese a que ao aumen a a censu a imos e menos
in o mación e as es imacións se án menos p ecisas.
Pa a odos os mé odos conside ados esul a mello a es imación do in e cep o que a
da penden e, pois semp e en un ECM máis baixo.
A modo de exemplo, imos obse a os da os ob idos pa a o in e cep o e a penden e
cando a des iación ípica do e o é
0.5
e ímonos xa nas Táboas 4.1 e 4.2. En ambos ca-
4.2. MODELO CON INTERCEPTO
37
sos, o mé odo M3 é o que peo esul ados nos p opo ciona, pois os seus ECM son os máis
ele ados. Es e ei o esul a cu ioso pos o que os pesos Kaplan-Meie p esua izados p opo -
cionan mello es esul ados que os clásicos pesos Kaplan-Meie na es imación da unción de
dis ibución baixo censu a. Po én is o non se obse a no con ex o da eg esión censu ada
onde os mello es esul ados son os asociados aos clásicos pesos Kaplan-Meie . Ademais,
pese a que a p imei a is a pode íamos pensa que o mé odo M1 non ía p opo ciona bos
es imado es dado que es amos endo en con a só os da os que obse amos comple amen e,
amén emos que e en con a que es amos conside ando unha censu a dun
25 %
ou dun
50 %
e unha des iación do e o de
0.5
. Así, pa a un amaño de mos a de
n= 1000
, con-
amos con en o no a
750
ou
500
obse acións espec i amen e e é lóxico que es e mé odo
sexa capaz de ap oxima ben o modelo endo en con a a dis ibución do e o.
Imos e que oco e cando a des iación ípica do e o é
1
. No caso de con a cunha
po cen axe de censu a do
25 %
, na Táboa 4.1, obse amos que a penden e es ímase peo
semp e median e M1. Des acamos que pa a un amaño de
100
, M3 es ima mello an o
β0
como
β1
que M2. En can o ao in e cep o, pa a es e escena io, non ob emos un esul ado
unánime con espec o a cal é o peo mé odo pa a es imalo. Se emos en con a ago a
unha censu a do
50 %
, na Táboa 4.2 podemos e que nes e caso o peo mé odo é M1.
Simplemen e acemos unha excepción pa a o amaño de mos a de
100
, onde o peo ol e ía
se M3. Es es esul ados poñen de mani es o a u ilidade de p esen a mé odos de es imación
especícos pa a o con ex o de da os censu ados.
Como conclusión xe al des a simulación, obse amos que, en e mos de ECM, o que da
mello es esul ados semp e é o asociado ao mé odo M4 xa que semp e se obse an meno es
ECM pa a odos os casos. Es e esul ado coincide co que iñamos pensado a opa nos an es
de inicia a simulación, pois o es imado p opos o po Buckley e James é o máis able des es
ca o mé odos. O seguin e mé odo que es ima mello os pa áme os, no caso da penden e,
se ía M2 e nalmen e e íamos M1 e M3. Pa a o caso do in e cep o, o segundo mello
mé odo non es á moi ben denido xa que pa a cada escena io con amos con di e en es
conclusións.
4.2.2. E o con dis ibución chi-cad ado
Na Sección 4.2.1 obse amos o caso no que o e o segue unha dis ibución no mal, que
é unha das hipó eses do modelo de eg esión linea simple. Que oco e ía se conside amos
ou a dis ibución pa a o e o que non sexa no mal? Nes a sección imos es uda es e caso
pa a salien a a impo ancia de comp oba as hipó eses pa a ealiza unha boa In e encia
38
CAPÍTULO 4. ESTUDO DE SIMULACIÓN
b
β0b
β1
Sesgo Va ECM Sesgo Va ECM
Censu a:
25 %
n= 100
M1
2.225 0.091 5.043 −0.494 0.271 0.516
M2
2.777 0.795 8.508 −0.20
2
2.728 2.769
M3
2.784 0.698 8.448 −0.219 2.362 2.409
M4
2.760 0.159 7.775 −0.002 0.480 0.480
n= 500
M1
2.212 0.017 4.912 −0.531 0.048 0.330
M2
2.815 0.548 8.471 −0.116 1.913 1.926
M3
2.813 0.754 8.665 −0.109 2.653 2.665
M4
2.825 0.034 8.016 −0.006 0.098 0.099
n= 1000
M1
2.207 0.009 4.879 −0.531 0.024 0.306
M2
2.845 0.441 8.533 −0.120 1.558 1.573
M3
2.844 0.731 8.821 −0.101 2.601 2.612
M4
2.845 0.018 8.112 −0.005 0.048 0.048
Censu a:
50 %
n= 100
M1
1.718 0.074 3.025 −0.548 0.242 0.542
M2
2.511 1.104 7.410 −0.323 3.816 3.920
M3
2.678 0.895 8.069 −0.673 2.961 3.413
M4
2.543 0.131 6.598 −0.006 0.366 0.367
n= 500
M1
1.718 0.014 2.964 −0.612 0.040 0.414
M2
2.613 0.795 7.620 −0.221 2.721 2.770
M3
2.740 0.933 8.443 −0.511 3.115 3.376
M4
2.654 0.034 7.077 −0.013 0.081 0.081
n= 1000
M1
1.713 0.006 2.942 −0.617 0.018 0.399
M2
2.684 0.719 7.924 −0.262 2.496 2.564
M3
2.804 0.926 8.786 −0.528 3.166 3.445
M4
2.685 0.018 7.225 −0.006 0.037 0.037
Táboa 4.3: Sesgo, a ianza e ECM dos es imado es ob idos pa a o Modelo 1B a pa i dos
di e en es mé odos M1 (es imado de mínimos cad ados o dina io), M2 (es imado p opos o
po S u e), M3 (es imado p opos o po S u e con pesos Kaplan-Meie p esua izados) e
M4 (es imado p opos o po Buckley e James), sendo unha po cen axe de censu a do
25 %
e
50 %
pa a di e en es amaños de mos a (deno ado po
n
).
4.2. MODELO CON INTERCEPTO
39
Es a ís ica.
Comeza emos xe ando en alo es do modelo
Modelo 1B:
Y= 1 + 2X+ε,
onde
X
ep esen a a a iable explica i a que segue unha dis ibución uni o me no in e alo
[0,1]
, é dici ,
X∈U[0,1]
, e
ε
ep esen a o e o do modelo que segue unha dis ibución
chi-cad ado
1
con es g ados de libe dade, é dici ,
ε∈χ2
3
.
Ademais, a a iable de censu a
C
segui á unha dis ibución no mal de a ianza
1
e
con di e en es medias de ca a a con ola a po cen axe de censu a nos dis in os escena ios
conside ados. Acla amos as medias que en que e a a iable
C
pa a os dis in os casos que
imos a a nes a sección:
Censu a do
25 %
(ap oximadamen e):
A a iable
C
en que e unha media de
6.34
pa a pode acada es a po cen axe
de censu a.
Censu a do
50 %
(ap oximadamen e):
A a iable
C
en que e unha media de
4.52
pa a pode acada es a po cen axe
de censu a.
Calcula emos o sesgo, a a ianza e o ECM de cada es imado pa a os di e en es mé-
odos M1 (es imado de mínimos cad ados o dina io), M2 (es imado p opos o po S u e),
M3 (es imado p opos o po S u e con pesos Kaplan-Meie p esua izados) e M4 (es imado
p opos o po Buckley e James) explicados na Sección 4.2.1. Os esul ados pódense e na
Táboa 4.3 onde conside amos di e en es amaños de mos a (deno ado po
n
) e en cada
escena io se ealiza on
1000
éplicas Mon e Ca lo. A única di e enza salien able en can o
a p og amación é a dis ibución do e o, que nes e caso é unha chi-cad ado de es g ados
de libe dade. Polo an o, pa a xe a a a iable do e o, emp ega emos o comando
chisq
.
Na Táboa 4.3 podemos obse a os da os ob idos e, se nos xamos nos ECM, podemos
e que son alo es máis al os do habi ual. Is o que e dici que as es imacións non son boas.
1
Sexan
Z1, ... , Zm
a iables alea o ias no mais es ánda independen es. Di emos que a a iable alea o ia
X=Z2
1+··· +Z2
m
segue unha dis ibución chi-cad ado con
m
g ados de libe dade, onde
χ2
m
é a no ación pa a a dis ibución
chi-cad ado e o subíndice
m
ep esen a os g ados de libe dade.
40
CAPÍTULO 4. ESTUDO DE SIMULACIÓN
Figu a 4.2: Rep esen ación g áca dunha mos a de amaño
n= 100
do Modelo 1B xun o
coa ec a de eg esión eó ica.
Sen emba go, o mé odo M4 é capaz de ob e ou a ez as mello es es imacións, aínda que,
ao non cump i a hipó ese de no malidade dos e os, es es esul ados non os pode emos
emp ega pa a ace in e encia, pois non ob e emos esul ados ables.
Se obse amos a Figu a 4.2, podemos e como a nube de pun os se dis ibúe en o no
á ec a de eg esión poñendo de mani es o a asime ía da dis ibución do e o. Con es e
exemplo ilus amos a impo ancia de alida as hipó eses dun modelo de eg esión lineal.
4.3. Modelo sen in e cep o
4.3.1. E o con dis ibución no mal
Conside emos ago a o modelo
Modelo 2:
Y= 2X+ε,
onde
X
ep esen a a a iable explica i a que segue unha dis ibución uni o me no in e alo
[0,1], é dici ,
X∈U[0,1]
e
ε
ep esen a o e o do modelo que segue unha dis ibución
no mal de media 0 e a ianza
σ2
, que se deno a po
ε∈N0, σ2
. Ademais, como no
caso an e io , a a iable de censu a
C
segui á unha dis ibución no mal de a ianza
1
e
con di e en es medias de ca a a man e cons an e a po cen axe de censu a nos dis in os
4.3. MODELO SEN INTERCEPTO
41
σ= 0.5σ= 1
Mé odos Sesgo Va ianza ECM Sesgo Va ianza ECM
n= 50
M1
−0.167 0.022 0.050 −0.523 0.069 0.343
M2
−0.011 0.023 0.023 −0.044 0.080 0.082
M3
−0.200 0.019 0.059 −0.149 0.062 0.084
M4
−0.017 0.080 0.080 −0.031 0.286 0.287
M5
−0.004 0.021 0.021 −0.012 0.076 0.076
M6
−0.015 0.081 0.081 −0.025 0.292 0.293
n= 100
M1
−0.171 0.010 0.040 −0.539 0.032 0.323
M2
−0.002 0.011 0.011 −0.019 0.041 0.041
M3
−0.191 0.009 0.046 −0.116 0.032 0.046
M4
0.010 0.039 0.039 0.021 0.144 0.144
M5
0.002 0.010 0.010 0.003 0.036 0.036
M6
0.011 0.039 0.039 0.022 0.144 0.144
n= 200
M1
−0.176 0.006 0.037 −0.553 0.017 0.324
M2
0.002 0.005 0.005 −0.012 0.021 0.021
M3
−0.192 0.005 0.042 −0.104 0.017 0.028
M4
0.003 0.019 0.019 0.002 0.072 0.072
M5
0.004 0.005 0.005 0.004 0.019 0.019
M6
0.005 0.019 0.019 0.003 0.072 0.072
Táboa 4.4: Sesgo, a ianza e ECM dos es imado es da penden e ob idos pa a o Modelo
2 a pa i dos di e en es mé odos M1 (es imado de mínimos cad ados o dina io), M2
(es imado p opos o po S u e), M3 (es imado p opos o po S u e con pesos Kaplan-Meie
p esua izados) e M4 (es imado p opos o po Buckley e James), M5 (es imado p opos o
po Mille ) e M6 (es imado p opos o po Jin, Lin e Ying) sendo unha po cen axe de
censu a do
25 %
pa a di e en es amaños de mos a (deno ado po
n
) e des iacións do e o
(deno ado po
σ
).
42
CAPÍTULO 4. ESTUDO DE SIMULACIÓN
σ= 0.5σ= 1
Mé odos Sesgo Va ianza ECM Sesgo Va ianza ECM
n= 50
M1
−0.315 0.037 0.136 −0.967 0.104 1.039
M2
−0.034 0.041 0.042 −0.135 0.127 0.145
M3
−0.390 0.026 0.178 −0.386 0.078 0.227
M4
−0.024 0.105 0.106 −0.035 0.376 0.377
M5
−0.010 0.034 0.034 −0.025 0.115 0.116
M6
−0.012 0.109 0.109 −0.019 0.380 0.380
n= 100
M1
−0.334 0.019 0.131 −1.012 0.052 1.076
M2
−0.014 0.023 0.023 −0.084 0.068 0.075
M3
−0.373 0.014 0.153 −0.339 0.043 0.157
M4
0.002 0.057 0.057 0.018 0.193 0.193
M5
−0.002 0.018 0.018 −0.006 0.059 0.059
M6
0.010 0.057 0.057 0.026 0.193 0.194
n= 200
M1
−0.335 0.010 0.123 −1.031 0.027 1.090
M2
−0.005 0.011 0.011 −0.056 0.035
0.038
M3
−0.369 0.007 0.143 −0.299 0.025 0.114
M4
−0.006 0.028 0.028 −0.005 0.093 0.093
M5
0.005 0.009 0.009 0.005 0.029 0.029
M6
0.001 0.028 0.028 0.003 0.092 0.092
Táboa 4.5: Sesgo, a ianza e ECM dos es imado es da penden e ob idos pa a o Modelo
2 a pa i dos di e en es mé odos M1 (es imado de mínimos cad ados o dina io), M2
(es imado p opos o po S u e), M3 (es imado p opos o po S u e con pesos Kaplan-Meie
p esua izados) e M4 (es imado p opos o po Buckley e James), M5 (es imado p opos o
po Mille ) e M6 (es imado p opos o po Jin, Lin e Ying) sendo unha po cen axe de
censu a do
50 %
pa a di e en es amaños de mos a (deno ado po
n
) e des iacións do e o
(deno ado po
σ
).
4.3. MODELO SEN INTERCEPTO
43
escena ios conside ados. Acla amos as medias que en que e a a iable
C
pa a os dis in os
casos que imos a a :
Censu a do
25 %
(ap oximadamen e):
Se
ε∈N0,1
2
, en ón a a iable
C
en que e unha media de
1.85
.
Se
ε∈N(0,1)
, en ón a a iable
C
en que e unha media de
2
.
Censu a do
50 %
(ap oximadamen e):
Se
ε∈N0,1
2
, en ón a a iable
C
en que e unha media de
1
.
Se
ε∈N(0,1)
, en ón a a iable
C
en que e unha media de
1
.
Pa a ob e es es esul ados, ealizamos unha simulación pa a un amaño de mos a g ande
(n= 10000)
e comp obamos as censu as pa a os da os indicados. Como podemos obse a ,
se que emos aumen a a po cen axe de censu a, e emos que diminuí a media da a iable
de censu a
C
.
Imos compa a seis es imado es di e en es con pa áme o
β1= 2
. Os mé odos emp e-
gados se án os ca o mé odos que emp egamos na Sección 4.2.1 no caso do modelo con
in e cep o, M1 (es imado de mínimos cad ados o dina io), M2 (es imado p opos o po
S u e), M3 (es imado p opos o po S u e con pesos Kaplan-Meie p esua izados) e M4
(es imado p opos o po Buckley e James), e os dous seguin es:
Mé odo M5:
o es imado p opos o po Mille (de allado na Sección 3.2). Pa a aplica
es e mé odo emp ega emos a unción
CensReg.SMN
, pe o o a gumen o
s a us
se ía
1−δ
(o con a io da nosa no ación). Pa a nós, eco demos, que
δ= 0
é un da o
censu ado e
δ= 1
é un da o non censu ado.
Mé odo M6:
o es imado p opos o po Jin, Lin e Ying (de allado na Sección 3.4). Pa a
aplica es e mé odo emp ega emos a unción
lss
.
A azón pola que sepa amos o modelo con in e cep o do modelo sen in e cep o é
pola o ma na que es án p og amadas as uncións
CensReg.SMN
e
lss
en . Es as dúas
uncións, que se co esponden cos mé odos M5 e M6, so es iman a penden e e conside an
so o caso dun modelo sen in e cep o.
Pa a le a a cabo is o, como na Sección 4.2.1, emp ega emos o p og ama es a ís ico
e calcula emos o sesgo, a a ianza e o ECM de cada es imado . Os esul ados pódense
50
CAPÍTULO 5. APLICACIÓN A DATOS REAIS
No ensaio A o ma on pa e
444
pe soas e consis iu nunha compa ación de e apias
que se modica on en comunidades onde se inco po ou un p og ama de educación sob e a
saúde e sob e a p e ención de ecaídas. Es e es udo i o unha du ación de es a seis meses.
Ademais, ás/aos pa icipan es ensinóuselle a ecoñece as si uacións que supoñen un al o
isco que poden ocasiona unha posible ecaída e amén se lles ensina on habilidades que
lle pe mi ían a on a es as si uacións complicadas sen e que ace uso das d ogas.
No ensaio B pa icipa on
184
pe soas que ecibían un p og ama e apéu ico ou ben
de seis meses ou de doce meses de du ación. Es e p og ama in oluc aba un es ilo de ida
pe ec amen e es u u ado nun en o no de ida comunal onde os memb os compa ían
di e en es aspec os da súa ida median e un ínculo.
A base de da os UIS acilí anos in o mación sob e ambos ensaios. Máis conc e amen e,
na Táboa 5.1 a ópase o conxun o de a iables ecollidas ao longo do es udo.
A a iable
TIME
conside a ase como a a iable espos a na análise es a ís ica que imos
ealiza e de ínese como o núme o de días dende que se ealiza a admisión do/a indi iduo/a
en calque a dos dous cen os posibles a a que esa pe soa eña unha ecaída no uso das d o-
gas. Nó ese que se a a dunha a iable censu ada onde a a iable
CENSOR
se á a a iable
indicado a da censu a que se p oduce como consecuencia dunha pe da do seguimen o dun/-
dunha doen e. Nes e es udo, que con a cun
19.3 %
de censu a, amén se conside a que se
unha pe soa sae do ensaio e, polo an o, se pe de o seguimen o, é debido a unha ecaída no
uso das d ogas. Pode íamos ealiza di e en es es udos endo en con a as posibles a iables
explica i as que poden se signica i as pa a explica o compo amen o da a iable es-
pos a. Ademais, con amos cunha se ie de a iables ca egó icas que nos se i án pa a ace
subg upos e obse a o compo amen o dependendo, po exemplo, da aza do/a doen e ou
do ipo de d oga consumida an es de en a ao ensaio. As posibles
a iables explica i as
conside adas se án:
AGE, BECK, NDT, LEN.T
e as a iables ca egó icas que e emos en con a pa a os nosos subg upos se án:
HERCOC, IV, RACE, TREAT e SITE.
5.1. BASE DE DATOS UIS
51
Va iable Desc ición Códigos/Valo es
ID Código de iden icación 1-628
AGE Idade de insc ición Anos
BECKTOTA Pun uación de dep esión na admisión
0.000 −54.000
HERCOC Uso de he oína ou cocaína du an e 1=He oína e cocaína
meses an es da admisión 2=So he oína
3= So cocaína
4=Nin cocaína nin he oína
IVHX His o ia do uso da d oga 1=Nunca
2=P e iamen e
3=Recen emen e
NDRUGTX Núme o de a amen os an e io es
0−40
de d ogas
RACE Raza do/a indi iduo/a 0=B anca
1=Non b anca
TREAT T a amen o asignado 0=Cu o
1=La go
SITE Si io do a amen o 0=A
1=B
LEN.T Pe íodo de es ancia no a amen o Días
TIME Tempo a a a ecaída Días
CENSOR E en o de pe da do seguimen o ou 1=Vol e ás d ogas ou
ecaída no uso das d ogas pe da do seguimen o
0=Ou o caso
Y Loga i mo da a iable TIME
FRAC Lonxi ude do a amen o accionado LEN.T/90, a amen o cu o
LEN.T/180, a amen o longo
IV3 Uso ecen e de d ogas 1=Si
0=Non
Táboa 5.1: Explicación das a iables p oceden es da base de da os UIS.
52
CAPÍTULO 5. APLICACIÓN A DATOS REAIS
5.2. Análise desc i i a p e ia
Pode se in e esan e ealiza un es udo inicial básico pa a obse a as ca ac e ís icas
dos da os que imos analiza máis adian e. Na Figu a 5.1 podemos obse a os his og a-
mas das posibles a iables explica i as que pode íamos incluí nun modelo de eg esión
pa a explica a a iable
TIME
. Ademais des es g ácos, amén podemos calcula medidas
ca ac e ís icas como a media, o mínimo ou o máximo de cada unha des as a iables que
ob emos median e a unción
summa y
de . Así, obse amos que a idade media dos/as
indi iduos/as que pa icipa on no es udo é de
32.38
anos men es que as idades es án
comp endidas en e os
20
e os
56
anos. No caso da a iable
BECK
, ob emos que o índice de
dep esión en e os e as pa icipan es en unha media de
17.37
e os seus alo es a ópanse
en e
0
e
54
. En can o ao núme o de a amen os an e io es de d oga,
NDT
, obse amos
que o núme o medio é de
4.543
a amen os e a opamos indi iduos/as con
0
a amen os
e amén con
40
a amen os, sendo es e o máximo des a a iable. Po úl imo, des acamos
que o núme o medio de días de es ancia no a amen o, a iable
LEN.T
, é de
100.8
días,
sendo o mínimo
3
e o máximo de es adía
400
días.
En can o ás a iables ca egó icas, podemos deni subg upos con ce as ca ac e ís icas
a pa i da base de da os o ixinal. En p imei o luga , se comezamos es udando a a iable
HC
, podemos e como
104
pe soas consumían he oína e cocaína,
107
so he oína,
172
so
cocaína e
192
ningunha des as dúas d ogas. Po ou a banda, no es udo pa icipa on
430
indi iduos/as de aza b anca e
145
de aza non b anca. Ademais, no a amen o cu o
o ma on pa e
289
pe soas e no a amen o longo
286
. Finalmen e, al como se explicou
ao comezo,
400
pe soas pa icipa on no ensaio no luga A e
175
no luga B.
5.3. Es imación dun modelo de eg esión
Realiza emos un es udo pa a es ima o in e cep o e a penden e de di e en es modelos
p opos os a pa i da base de da os que acabamos de in oduci . Pa ece in e esan e es uda
como a ec a a idade ao empo que pasa a a que se ecae no consumo de d ogas e comp oba
como é a elación en e ambas a iables. Pa a is o emp ega emos un modelo de eg esión
lineal simple en e a a iable explica i a
AGE
e a a iable espos a
TIME
desc i as na Táboa
5.1 que podemos esc ibi como:
TIME
=β0+β1
AGE
+ε,
(5.1)
5.3. ESTIMACIÓN DUN MODELO DE REGRESIÓN
53
(a) His og ama da a iable
AGE
. (b) His og ama da a iable
BECK
.
(c) His og ama da a iable
NDT
. (d) His og ama da a iable
LEN.T
.
Figu a 5.1: His og amas das posibles a iables explica i as conside adas pa a explica o
compo amen o da a iable
TIME
.
sendo
ε
o e o que segue unha dis ibución no mal e nes e caso a a iable espos a é o
empo que pasa a a a ecaída nas d ogas, é dici ,
TIME
, e a a iable explica i a se á a
idade, é dici ,
AGE
. Ademais, cos coñecemen os ob idos du an e a ealización do es udo
de simulación, pa a es ima o in e cep o e a penden e sabemos que o mé odo que nos
p opo ciona mello es esul ados é M4, é dici , emp ega emos o es imado p opos o po
Buckley e James. Po ou a banda, se ob emos esul ados que nos indiquen que o in e cep o
non é signica i o, en ón sabemos amén do es udo de simulación que o mello mé odo que
podemos emp ega é M5, é dici , o es imado p opos o po Mille . Es es mé odos e a súa
p og amación es á explicada con máis de alle nas Seccións 4.2 e 4.3, espec i amen e.
Mos amos a con inuación o código emp egado en así como as saídas esul an es
pa a desc ibi a elación en e a idade e o empo a a a ecaída:
>bj(Su (TIME,CENSOR)~AGE,link="iden i y",x=TRUE, y=TRUE)
Buckley-James Censo ed Da a Reg ession
54
CAPÍTULO 5. APLICACIÓN A DATOS REAIS
bj( o mula = Su (TIME, CENSOR) ~ AGE, link = "iden i y", x = TRUE,
y = TRUE)
Disc imina ion
Indexes
Obs 575 Reg ession d. .1 g 33.396
E en s 464 sigma124.2258
d. . 462
Coe S.E. Wald Z P (>|Z|)
In e cep 183.5572 31.2655 5.87 <0.0001
AGE 4.7533 0.9541 4.98 <0.0001
Obse ación
5.1
.
Pa a comp oba que os alo es es imados son signica i os, eco demos
que emos que xa nos na columna de
P (>|Z|)
, onde se ob én o ni el c í ico pa a o
con as e de que o coecien e é ce o. Se o ni el c í ico é meno que os ni eis de signicación
habi uais
(10 %,5 %
ou
1 %)
en ón di emos que di o coecien e é signica i amen e dis in o
de ce o. Po ou a banda, no caso de que non sexa signica i o, en ón pode emos conside a
que di o pa áme o é ce o, e polo an o, non apo a nada ao modelo de eg esión. Se
ob emos que a penden e non é signica i a, es amos dicindo que as a iables non es a ían
elacionadas.
Nes a saída obse amos que an o o in e cep o como a penden e son signica i amen e
dis in as de ce o e eñen alo es de
188.557
días e
4.753
días/anos espec i amen e. Na
Figu a 5.2 mos amos o diag ama de dispe sión xun o co axus e ob ido e obse amos unha
elación lineal c ecen e en e ambas a iables.
Ademais, amén podemos pensa en axus a o modelo (5.1) pa a os di e en es sub-
g upos que de e minan as a iables ca egó icas p opo cionadas pola base de da os e, como
xa in oducimos an es, emp ega emos a aza, a iable
RACE
, e o ipo de d oga consumida,
a iable
HC
.
5.3. ESTIMACIÓN DUN MODELO DE REGRESIÓN
55
Figu a 5.2: Rep esen ación da idade dos/as pa icipan es no ensaio clínico on e ao empo
a a a ecaída xun o co modelo (5.1) axus ado.
Raza
Realiza emos es e es udo sepa ando as azas pa a comp oba se hai algunha di e encia
en e os esul ados ob idos pa a a aza b anca e a non b anca. Comeza emos analizando
con de alle o caso dos/as indi iduos/as que o man pa e do es udo que son de aza b anca.
I emos esc ibindo as uncións emp egadas en e as súas saídas esul an es. Pa a o caso
das pe soas de aza non b anca podemos obse a os esul ados ob idos na Táboa 5.2 e
unicamen e comen a emos que an o o in e cep o como a penden e son signica i os e polo
an o son dis in os de ce o. Realizamos a es imación median e o mé odo M4, o p opos o
po Buckley e James, e usa emos a unción
bj
:
>bj(Su (TIME,CENSOR)[RACE==0]~AGE[RACE==0],link="iden i y",x=TRUE, y=TRUE)
Buckley-James Censo ed Da a Reg ession
bj( o mula = Su (TIME, CENSOR)[RACE == 0] ~ AGE[RACE == 0],
link = "iden i y", x = TRUE, y = TRUE)
Disc imina ion
Indexes
Obs 430 Reg ession d. .1 g 26.442
E en s 357 sigma122.9842
56
CAPÍTULO 5. APLICACIÓN A DATOS REAIS
d. . 355
Coe S.E. Wald Z P (>|Z|)
In e cep 202.6077 34.8628 5.81 <0.0001
AGE 3.7079 1.0625 3.49 0.0005
Nes a saída obse amos como an o o in e cep o coma a penden e son signica i os
pois o ni el c í ico de ambos pa áme os é meno que os ni eis de signicación habi uais.
Ob emos po an o es imacións de
202.608
días e
3.708
días/anos espec i amen e pa a
cada pa áme o.
(a) Raza b anca. (b) Raza non b anca.
Figu a 5.3: Rep esen acións da idade dos/as indi iduos/as de aza b anca e non b anca
on e ao empo a a a ecaída en d ogas xun o cos axus es ob idos en cada caso.
Se nos xamos na Táboa 5.2, podemos comp oba que as es imacións eñen o mesmo
signo pa a ambas azas. Polo an o, podemos obse a e ec os simila es pa a os dous g upos,
onde se ob én unha elación lineal c ecen e, ao se a penden e posi i a. En ón, podemos
concluí que a medida que aumen a a idade dos/as doen es, an o as pe soas de aza
b anca como de aza non b anca an a pe manece máis empo sen oma d ogas, al como
se obse a na Figu a 5.3. Ademais, o e ec o da idade é máis no able pa a as pe soas de
aza non b anca xa que a penden e es imada en un alo máis al o.
Tipo de d oga
Realiza emos ago a o mesmo p ocedemen o ei o pa a o caso das azas pe o sepa ando
aos/ás indi iduos/as dependendo do ipo de d oga consumida an es de en a no ensaio clí-
5.3. ESTIMACIÓN DUN MODELO DE REGRESIÓN
57
Raza
Raza 0: B anca Raza 1: Non b anca
b
β0202.608 146.281
b
β13.708 5.724
Táboa 5.2: Táboa das es imacións median e o mé odo Buckley e James do in e cep o e
a penden e pa a o modelo (5.1), conside ando a a iable explica i a
AGE
con espec o a
a iable espos a
TIME
di e enciando os esul ados ob idos en unción da a iable
RACE
.
nico: he oína e cocaína, so he oína, so cocaína e ningunha des as dúas d ogas. Obse amos
odas as es imacións ob idas pa a os di e en es casos na Táboa 5.3. Ve emos con de alle
a ob ención dos pa áme os cando o ipo de d oga consumida é a cocaína e cando non se
consumiu ningunha des as posibles d ogas. No caso da cocaína, a opamos que o in e cep o
non é signica i o, polo que e emos que emp ega o mé odo de Mille . Des acamos amén
que pa a o caso de consumi he oína e pa a ningunha des as d ogas, as penden es non
son signica i as e polo an o as a iables espos a e explica i a non es án elacionadas.
Ve emos que podemos ace cando nos a opamos es a si uación.
Tipo de d oga
He oína e Cocaína He oína Cocaína Nin cocaína nin he oína
b
β0−200.285 195.194 −3.790
(NS)
284.161
b
β113.406 2.440
(NS)
10.602 −0.169
(NS)
Táboa 5.3: Táboa das es imacións ob idas emp egando o mé odo M4 de Buckley e James
do in e cep o e a penden e no modelo (5.1) cando conside amos a a iable explica i a
AGE
con espec o a a iable espos a
TIME
di e enciando os esul ados ob idos en unción da
a iable
HERCOC
. Nó ese que NS signica que di a es imación non esul a es a ís icamen e
signica i a.
A con inuación, mos amos a saída de do co esponden e es udo cando a d oga
consumida é a cocaína. Vol emos emp ega o mé odo M4 de Buckley e James e así, usamos
a unción
bj
:
>bj(Su (TIME,CENSOR)[HC==3]~AGE[HC==3],link="iden i y",x=TRUE, y=TRUE)
Buckley-James Censo ed Da a Reg ession
58
CAPÍTULO 5. APLICACIÓN A DATOS REAIS
bj( o mula = Su (TIME, CENSOR)[HC == 3] ~ AGE[HC == 3], link = "iden i y",
x = TRUE, y = TRUE)
Disc imina ion
Indexes
Obs 172 Reg ession d. .1 g 61.561
E en s 131 sigma130.2886
d. . 129
Coe S.E. Wald Z P (>|Z|)
In e cep -3.7902 70.4801 -0.05 0.9571
AGE 10.6016 2.3038 4.60 <0.0001
Se nos xamos no ni el c í ico do in e cep o, que en un alo de
0.9571
, podemos
a ma que es e pa áme o non ai se signica i o e polo an o emos e idencias de que
o in e cep o é ce o. Unha ez concluído is o e usando os coñecemen os adqui idos ao longo
do Capí ulo 4 des e aballo, sabemos que pa a un modelo sen in e cep o o mé odo que
mello es ima a penden e é o mé odo M5 p opos o po Mille . Polo an o, usa emos ago a
a unción
CensReg.SMN
pa a ob e unha mello es imación da penden e:
>CensReg.SMN(1-CENSOR[HC==3],AGE[HC==3],TIME[HC==3],cens=" igh ",
dis ="No mal")$be as
-------------------------------------------
EM es ima es and SE
-------------------------------------------
Es ima es SE
x1 9.69816 0.89852
sigma^2 67560.48197 13478.74770
------------------------------------------
Model selec ion c i e ia
-------------------------------------------
Loglik AIC BIC EDC
Value -958.924 1921.849 1928.144 1923.095
5.3. ESTIMACIÓN DUN MODELO DE REGRESIÓN
59
-------------------------------------------
[,1]
[1,] 9.698159
Ob emos un alo de
9.698
días/anos pa a a penden e, que é un esul ado máis able
que o ob ido median e o mé odo de Buckley-James que obse amos na Táboa 5.3.
Analicemos ago a a saída ob ida cando as pe soas que pa icipa on no ensaio non
consumi on nin cocaína nin he oína meses an es de en a ao a amen o. Emp ega emos
en p imei o luga a unción
bj
:
> bj(Su (TIME,CENSOR)[HC==4]~AGE[HC==4],link="iden i y",x=TRUE, y=TRUE)
Buckley-James Censo ed Da a Reg ession
bj( o mula = Su (TIME, CENSOR)[HC == 4] ~ AGE[HC == 4], link = "iden i y",
x = TRUE, y = TRUE)
Disc imina ion
Indexes
Obs 192 Reg ession d. .1 g 1.235
E en s 152 sigma127.2726
d. . 150
Coe S.E. Wald Z P (>|Z|)
In e cep 284.1605 52.2488 5.44 <0.0001
AGE -0.1687 1.5950 -0.11 0.9158
Se obse amos o alo do ni el c í ico pa a o in e cep o emos que é signica i o. Sen
emba go, pa a o caso da penden e emos un alo de
0.9158
, cla amen e supe io aos ni eis
de signicación habi uais. Polo an o podemos concluí que a a iable espos a non es á
elacionada coa a iable explica i a cando o/a indi iduo/a non consume nin cocaína nin
he oína meses an es de en a ao ensaio clínico.
Despois de ealiza es e es udo, sabemos que a idade das pe soas que consumen he oína
e ningunha das dúas d ogas conside adas non ai es a elacionada co empo que a dan
en ecae no consumo das mesmas. Ademais, amén sabemos que o in e cep o no caso da
66
ANEXO A: COMANDOS DE R
poin s(2006,6,pch=4)
poin s(2000,1, pch=16)
poin s(2000,2, pch=16)
poin s(2001,3, pch=16)
poin s(2002,4, pch=16)
poin s(2002,5, pch=16)
poin s(2002,6, pch=16)
abline( =2000,l y=3,col="black")
abline( =2002.5,l y=3,col="black")
abline( =2007,l y=3,col="black")
G áca mo i ación da os censu ados, Figu a 2.2
#Tamaño n=100
n=100
xseq=seq(-3,3,by=0.01)
plo (xseq,pno m(xseq), ype="l",lwd=2,xlab="y",ylab="Dis ibución")
legend(x = "bo om igh ", legend = c("Da os censu ados",
"Da os comple os"), ill = c("blue", " ed"))
x= no m(n)
lines(ecd (x),col=" ed",lwd=2)
xc=x[x<=1]
lines(ecd (xc),col="blue",lwd=2)
#Pa a amaño n=10000
n=1000
xseq=seq(-3,3,by=0.01)
plo (xseq,pno m(xseq), ype="l",lwd=2,xlab="y",ylab="Dis ibución")
legend(x = "bo om igh ", legend = c("Da os censu ados",
"Da os comple os"), ill = c("blue", " ed"))
67
x= no m(n)
lines(ecd (x),col=" ed",lwd=6)
xc=x[x<=1]
lines(ecd (xc),col="blue",lwd=2)
G áca Kaplan-Meie , Figu a 2.3
n=10
x= uni (n,min=0,max=1)
c= no m(n)+4
e o = no m(n,sd=0.5)
y= he a[1]+ he a[2]*x+e o
z=pmin(y,c)
del a=as.nume ic(y<=c)
da cens <- da a. ame( = x, cen = del a)
lib a y(su i al)
i <- su i (Su ( , cen)~1, da a = da cens)
summa y( i )
plo ( i , main = "Me odo de Kaplan-Meie ")
legend("bo omle ", c("F. Supe i encia", "In e alo de con ianza"),
l y = 1:2)
A.2. Comandos do Capí ulo 4
G áco compa a i o de a ianzas, Figu a 4.1
#Va ianza=0.5
n=100
he a=c(1,2)
x= uni (n,min=0,max=1)
68
ANEXO A: COMANDOS DE R
c= no m(n)+2.8# a iable censu ada
e o = no m(n,sd=0.5) # E o epsilon
y= he a[1]+ he a[2]*x+e o # a iable espos a
z=pmin(y,c)
del a=as.nume ic(y<=c)
plo (x,y,col=8, ype="p",pch=19, xlab="x", ylab="y")
abline(1,2) # alo es eales
# a ianza=1
n=100
x= uni (n,min=0,max=1)
c= no m(n)+3# a iable censu ada
e o = no m(n,sd=1) # E o epsilon
y= he a[1]+ he a[2]*x+e o # a iable espos a
z=pmin(y,c)
del a=as.nume ic(y<=c)
plo (x,y,col=8, ype="p",pch=19,xlab="x", ylab="y")
abline(1,2) # alo es eales
G áco da Figu a 4.2
n=100
he a=c(1,2)
x= uni (n,min=0,max=1)
c= no m(n)+2.8# a iable censu ada
e o <- chisq(n,d =3) # E o Xi cad ado
y= he a[1]+ he a[2]*x+e o # a iable espos a
z=pmin(y,c)
plo (x,y,col=8, ype="p",pch=19, xlab="x", ylab="y")
abline(1,2) # alo es eales
Simulación do Modelo 4.2.1
#MODELO CON INTEREPTO (MODELO 1)
69
#CENSURA DUN 25%
#Ca gamos as lib e ias que usa emos
lib a y(su i al)
lib a y(condSURV) #Lib e ía pa a os pesos Kaplan-Meie
lib a y(x able) #Lib e ía pa a as áboas dos da os
lib a y( ms) #Lib e ía pa a Buclkey-James
#############---------------------------------------------------
#CASO DE DESVIACIÓN TÍPICA DO ERRO sd=0.5
#O es o de casos son análogos
#############---------------------------------------------------
#Calculamos a censu a:
n=10000
x= uni (n,min=0,max=1)
c= no m(n)+2.84 # Va iable censu ada
e o = no m(n,sd=0.5) # E o epsilon
y=1+2*x+e o # a iable espos a
z=pmin(y,c)
del a=as.nume ic(y<=c)
censu a=100-sum(del a)/leng h(del a)*100 #Po cen axe de censu a
censu a
###########-----------------------------------------------------
se .seed(123456) #Fixamos semilla
#Tamaño de mos a
n=100
#n=500
#n=1000
70
ANEXO A: COMANDOS DE R
m=1000 #Núme o de simulacións
he a=c(1,2) #O be a eó ico
# As ma ices he a_lm, he a_KM, he a_BJ e he a_Jin e an m ilas
# e 2 columnas: a p imei a dos alphas (be a_0) e a segunda dos be a_1
he a_lm=ma ix(n ow = m,ncol=2)
he a_S u e=ma ix(n ow=m,ncol=2)
he a_KMS=ma ix(n ow=m,ncol=2)
he a_BJ=ma ix(n ow=m,ncol=2)
allou=nume ic(m) # ec o emp egado en Buclkey-James(M4)
#Ga da emos os da os esul an es nunha ma iz que de ino ago a:
M=ma ix(NA,n ow=4,ncol=6)
o (i in 1:m){
x= uni (n,min=0,max=1)
c= no m(n)+2.84 # Va iable censu ada
e o = no m(n,sd=0.1) # E o epsilon
y= he a[1]+ he a[2]*x+e o # a iable espos a
z=pmin(y,c)
del a=as.nume ic(y<=c)
indices=so (z,index. e u n=T)$ix #O deno os da os
z=z[indices]
x=x[indices]
del a=del a[indices]
del a[n]=1 #De ino o ul imo da o como non censu ado
#Facemos ago a os di e en es me odos:
#MÉTODO M1:mínimos cad ados usual pa a da os sen censu a
#Escollemos os z e x que cump an del a=1 (da os sen censu a)
lm(z[del a==1]~x[del a==1])
#O ec o coe con én os alpha e be a es imados coa unción lm
coe =coe icien s(lm(z[del a==1]~x[del a==1]))
#Ga do na p imei a columna os alphas e na segunda os be as
71
he a_lm[i,1:2]=coe
#MÉTODO M2: S u e
peso_KM=KMW(z,del a) #Calculo os pesos KM coa unción KMW
#Calculo os coe icien es emp egando a unción lm cos pesos KM
coe S u e=coe icien s((lm(z~x,weigh s = peso_KM)))
he a_S u e[i,1:2]=coe S u e
#MÉTODO M3: S u e con pesos KMS
peso_KMS=PKMW(z,del a) #Calculo os pesos KM Sua izados coa unción
PKMW
peso_KMS[n]=peso_KMS[n]+1-sum(peso_KMS)
#Calculo os coe icien es emp egando a unción lm cos pesos KMS
coe KMS=coe icien s((lm(z~x,weigh s = peso_KMS)))
he a_KMS[i,1:2]=coe KMS
#MÉTODO M4: Buclkey-James
#Emp egamos a unción bj
modeloBJ=bj(Su (z,del a)~x,link="iden i y",x=TRUE, y=TRUE)
i (leng h(names(modeloBJ)) !=20){
allou[i]=1
} else{
coe BJ=modeloBJ$coe icien s
he a_BJ[i,1:2]=coe BJ
}
}
#Ga damos os da os nun a qui o:
da os=cbind( he a_lm, he a_S u e, he a_KMS, he a_BJ)
colnames(da os)=c("M1_I","M1_P","M2_I","M2_P", "M3_I", "M3_P", "M4_I",
"M4_P")
#Pa a n=100
w i e. able(da os, ile = "modelo1_c25_100A. x ", sep = " " ,quo e=F,
col.names = colnames(da os), ow.names=FALSE)
72
ANEXO A: COMANDOS DE R
#Pa a n=500
#w i e. able(da os, ile = "modelo1_c25_500A. x ", sep = " " ,quo e=F,
col.names = colnames(da os), ow.names=FALSE)
#Pa a n=1000
#w i e. able(da os, ile = "modelo1_c25_1000A. x ", sep = " " ,quo e=F,
col.names = colnames(da os), ow.names=FALSE)
#Comp obamos que os esc ibimos co ec amen e:
p oba= ead. able("modelo1_c25_100A. x ",heade =TRUE)
head(p oba)
#Calculo sesgo, a ianza e ECM pa a cada caso
#MÉTODO M1
media_lm=colMeans( he a_lm)
sesgo_lm=media_lm- he a
a ianza_lm=c( a ( he a_lm[,1]), a ( he a_lm[,2]))
ECM_lm=sesgo_lm^2+ a ianza_lm
l1=c(sesgo_lm[1], a ianza_lm[1],ECM_lm[1]) #co esponden e a be a_0
l2=c(sesgo_lm[2], a ianza_lm[2],ECM_lm[2]) #co esponden e a be a_1
M[1,1:6]=c(l1,l2)
#MÉTODO M2
media_S u e=colMeans( he a_S u e)
sesgo_S u e=(media_S u e- he a)
a ianza_S u e=c( a ( he a_S u e[,1]), a ( he a_S u e[,2]))
ECM_S u e=sesgo_S u e^2 + a ianza_S u e
S u e1=c(sesgo_S u e[1], a ianza_S u e[1],ECM_S u e[1]) #be a_0
S u e2=c(sesgo_S u e[2], a ianza_S u e[2],ECM_S u e[2]) #be a_1
M[2,1:6]=c(S u e1,S u e2)
#MÉTODO M3
media_KMS=colMeans( he a_KMS)
sesgo_KMS=media_KMS- he a
a ianza_KMS=c( a ( he a_KMS[,1]), a ( he a_KMS[,2]))
73
ECM_KMS=sesgo_KMS^2 + a ianza_KMS
KMS1=c(sesgo_KMS[1], a ianza_KMS[1],ECM_KMS[1]) #be a_0
KMS2=c(sesgo_KMS[2], a ianza_KMS[2],ECM_KMS[2]) #be a_1
M[3,1:6]=c(KMS1,KMS2)
#MÉTODO M4
media_BJ=colMeans( he a_BJ[which( allou !=1),])
sesgo_BJ=media_BJ- he a
a ianza_BJ=c( a ( he a_BJ[which( allou !=1),1]),
a ( he a_BJ[which( allou !=1),2]))
ECM_BJ=sesgo_BJ^2 + a ianza_BJ
BJ1=c(sesgo_BJ[1], a ianza_BJ[1],ECM_BJ[1]) #be a_0
BJ2=c(sesgo_BJ[2], a ianza_BJ[2],ECM_BJ[2]) #be a_1
M[4,1:6]=c(BJ1,BJ2)
#Ga da emos os da os esul an es nunha ma iz
ownames(M)<-c("M1","M2", "M3", "M4")
colnames(M)<-c("Sesgo", "Va ","ECM","Sesgo", "Va ","ECM")
M
M*10000
#Ob emos o sesgo, a ianza e ECM de cada un dos me odos mul iplicados
po 10000
x able(M*10000,digi s = 3) #Pa a ob e os comandos de La ex
Simulación do Modelo 4.3.1
#MODELO SEN INTERCEPTO (MODELO 2)
#CENSURA DUN 50%
#Ca gamos as lib e ias que usa emos
lib a y(su i al)
lib a y(condSURV) #Lib e ia pa a os pesos Kaplan-Meie
lib a y(SMNCensReg) #Lib e ía pa a o mé odo de Mille
74
ANEXO A: COMANDOS DE R
lib a y(x able) #Lib e ia pa a as áboas dos da os
lib a y( ms) #Lib e ia pa a o mé odo de Buckley-James
lib a y(lss2) #Lib e ia pa a o mé odo de Jin, Lin e Ying
#############---------------------------------------------------
#CASO DE DESVIACIÓN TÍPICA DO ERRO: sd=0.5
#O es o de casos son análogos
#############---------------------------------------------------
#Calculamos a censu a:
n=10000
x= uni (n,min=0,max=1)
c= no m(n)+1 # Va iable censu ada
e o = no m(n,sd=0.5) # E o epsilon
y=2*x+e o # a iable espos a
z=pmin(y,c)
del a=as.nume ic(y<=c)
censu a=100-sum(del a)/leng h(del a)*100 #Po cen axe de censu a
censu a
###########-----------------------------------------------------
se .seed(123456) #Fixamos semilla
#Tamaño da mos a
#n=50
#n=100
n=200
m=1000 #Nume o de simulacións
he a=2 #O be a eó ico
75
# Os ec o es he a_lm, he a_S u e, he a_KMS, he a_Mille ,
# he a_BJ e he a_Jin son ec o es de m compoñen es onde
# i emos ga dando os esul ados da es imación
he a_lm=c( ep(NA,m))
he a_S u e=c( ep(NA,m))
he a_KMS=c( ep(NA,m))
he a_Mille =c( ep(NA,m))
he a_BJ=c( ep(NA,m))
he a_Jin=c( ep(NA,m))
allou=nume ic(m) # ec o emp egado en Buckley-James
#Ga da emos os da os esul an es nunha ma iz que de ino ago a:
M=ma ix(NA,n ow=6,ncol=3)
o (i in 1:m){
se .seed(i)
x= uni (n,min=0,max=1)
c= no m(n)+1 # Va iable censu ada (pa a unha censu a dun 25%)
e o = no m(n,sd=0.5) #E o epsilon
y= he a*x+e o # a iable espos a
z=pmin(y,c)
del a=as.nume ic(y<=c)
#O deno os da os
indices=so (z,index. e u n=T)$ix
z=z[indices]
x=x[indices]
del a=del a[indices]
#De ino o ul imo da o como non censu ado
del a[n]=1
#Fago ago a os di e en es me odos:
82
ANEXO A: COMANDOS DE R
# In e cep o non signi ica i o, en ón usa emos o mé odo de Mille
CensReg.SMN(1-CENSOR[HC==3],AGE[HC==3],TIME[HC==3],cens=" igh ",
dis ="No mal")$be as
#------------------HC=4:Ningunha des as d ogas-----------------
bj(Su (TIME,CENSOR)[HC==4]~AGE[HC==4],link="iden i y",x=TRUE,
y=TRUE)
bj(Su (TIME,CENSOR)[HC==4]~AGE[HC==4]+BECK[HC==4]+NDT[HC==4]+
LEN.T[HC==4],
link="iden i y",x=TRUE, y=TRUE)
#-------------------------------------------------
#RACE
#-------------------------------------------------
#---------------------RACE 0: b anca-------------------
bj(Su (TIME,CENSOR)[RACE==0]~AGE[RACE==0],link="iden i y",x=TRUE,
y=TRUE)
plo (AGE[RACE==0],TIME[RACE==0])
abline(bj(Su (TIME,CENSOR)[RACE==0]~AGE[RACE==0],link="iden i y",
x=TRUE, y=TRUE))
#---------------------RACE 1: non b anca-------------------
bj(Su (TIME,CENSOR)[RACE==1]~AGE[RACE==1],link="iden i y",x=TRUE,
y=TRUE)
plo (AGE[RACE==1],TIME[RACE==1])
abline(bj(Su (TIME,CENSOR)[RACE==1]~AGE[RACE==1],link="iden i y",
x=TRUE, y=TRUE))
Bibliog a ía
[1] Buckley, J. e James, I.,
Linea eg ession wi h censo ed da a
, Biome ika,
66
(1979),
429436.
[2] Cao R., López-de-Ulliba i, I., Janssen, P. e Ve a e beke, N.,
P esmoo hed Kaplan-
Meie and Nelson-Aalen es ima o s
, Jou nal o Nonpa ame ic S a is ics,
17
(2005),
3156.
[3] Dik a, G.,
On semipa ame ic andom censo ship models
, Jou nal o S a is ical Plan-
ning and In e ence,
66
(1998), 253279.
[4] Gehan, E.A.,
A gene alized Wilcoxon es o compa ing a bi a ily singlecenso ed sam-
ples
, Biome ika,
52
(1965), 203223.
[5] Gómez Villegas, M.A.,
In e encia Es adís ica
, Díaz de San os (2005).
[6] Hosme , D. W., Lemeshow, S. e May, S.,
Applied Su i al Analysis, Reg ession Mo-
deling o Time- o-E en Da a
, Wiley, 2nd ed., (2008).
[7] Jin, Z., Lin, D. Y., Wei, L. J e Ying, Z.,
Rank-based in e ence o he accele a ed ailu e
ime model
, Biome ika,
90
(2003), 34153.
[8] Jin, Z., Lin, D. Y. e Ying, Z.,
On leas -squa es eg ession wi h censo ed da a
, Biome-
ika,
93
(2006), 147161.
[9] Kaplan, E. L. e Meie , P.,
Nonpa ame ic es ima ion om incomple e obse a ions
,
Jou nal o he Ame ican S a is ical Associa ion,
53
(1958), 457481
[10] Lai, T. L. e Ying, Z.,
La ge sample heo y o modied Buckley-James es ima o o
eg ession analysis wi h censo ed da a
, Annals o S a is ics,
10
(1991), 1370402.
[11] Mille , R., Gong, G. e Muñoz, A.,
Su i al Analysis
, Thechnical epo , Uni e sidade
de Cali o nia (1980).
83
84
BIBLIOGRAFÍA
[12] Moo e, D. F.,
Applied Su i al Analysis Using R
, Sp inge (2016).
[13] Ri o , Y.,
Es ima ion in a linea eg ession model wi h censo ed da a
, Annals o S a-
is ics,
18
(1990), 30328.
[14] Sánchez Selle o C.,
In e encia Es adís ica en da os con censu a y/o uncamien o
,
Uni e sidade de San iago de Compos ela (2001). Tese de dou o amen o.
[15] Sánchez Selle o, C.,
Apun es da ma e ia In e encia Es a ís ica
, G ao en Ma emá icas,
Uni e sidade de San iago de Compos ela, 2018-2019.
[16] S u e, W.,
Nonlinea censo ed eg ession
, S a is ica Sinica,
9
(1999), 10891102.
[17] S u e, W., González Man eiga, W. e Sánchez Selle o, C.,
Nonpa ame ic Model Checks
In Censo ed Reg ession
, Communica ion in S a is ics-Theo y and Me hods,
29
(2000),
16111629.
