Sumas torcidas de espacios de Hilbert y operadores

T abajo Fin de Más e
Sumas o cidas de espacios de
Hilbe y ope ado es
Raúl Pino Velasco
20192020
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
T abajo Fin de Más e
Sumas o cidas de espacios de
Hilbe y ope ado es
Raúl Pino Velasco
Julio 2020
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA

Índice gene al
Resumen
ii
In oducción
ix
1. Sumas o cidas de espacios quasi-Banach 1
1.1. Sumas o cidas ................................. 2
1.2. Sumas o cidas y aplicaciones quasi-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Aplicaciones quasi-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Sumas o cidas de espacios de sucesiones 17
2.1. Espacios quasi-no mados sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Sumas o cidas de espacios
`p
con
0<p<∞
................. 26
2.3. Exis encia de base de Schaude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3. Sumas o cidas de espacios
`p
31
3.1. Sumas o cidas y con exidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1. Coecien es
an, bn, cn
.
B
-con exidad.................. 32
3.2. El espacio dual de
`p(ϕ)
............................ 40
3.3. Sucesiones básicas en
`p(ϕ)
........................... 44
3.4. Espacios
Zp
................................... 50
4. Ope ado es en sumas o cidas de espacios de Banach 51
4.1. Ope ado es en
Zp
................................ 51
4.2. Ope ado es en el espacio
Z2
.......................... 59
Anexos 65
A. Anexo A 67
A.1. Espacios ec o iales opológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
A.2. Espacios ec o iales quasi-no mados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
A.2.1. Espacios quasi-Banach y
p
-con exidad ................ 70
A.3.El3-Lema.................................... 73
B. Anexo B 75
B.1.BasesdeSchaude ............................... 75
B.1.1. El concep o de Base de Schaude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
B.1.2. Sucesiones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B.1.3. Sucesiones básicas bloque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
B.1.4.Basesydualidad ............................ 83
B.1.5. Sucesiones básicas bloque en
`p
.................... 87
B.2.EspaciosdeO licz................................ 88
Bibliog a ía 91
Resumen
En el siguien e abajo se p esen a la eo ía de sumas o cidas de espacios quasi-
Banach, que su gió a nales de los años se en a con el obje o de esol e y comp ende
las soluciones del llamado p oblema de Palais, que o mulaba una cues ión ela i a a la
es uc u a de los espacios de Banach y, en pa icula , de los espacios de Hilbe .
Conc e amen e, se es udia á la es uc u a de cie as sumas o cidas que, en pa icula ,
cons i uyen soluciones del p oblema mencionado an e io men e y se dedica á una b e e
pa e de la memo ia al es udio de sus ope ado es.
Abs ac
The ollowing wo k p esen s he heo y o wis ed sums o quasi-Banach spaces, which
eme ged in he la e 1970s in o de o sol e and unde s and he solu ions o he so-called
Palais p oblem, which o mula ed a ques ion ega ding he s uc u e o Banach spaces
and, in pa icula , Hilbe spaces.
Specically, he s uc u e o ce ain wis ed sums ha , in pa icula , cons i u e solu-
ions o he a o emen ioned p oblem, will be s udied and a b ie pa o he wo k will be
de o ed o he s udy o ope a o s dened on hem.
ii
1.2. Sumas o cidas y aplicaciones quasi-lineales
En es e epíg a e, mos a emos la co espondecia en e sumas o cidas y aplicaciones
quasi-lineales mencionada al inicio del capí ulo. Esencialmen e, p oba emos que:
1. Dada una aplicación quasi-lineal
F:Y−→ X
, e emos que la no ma o cida
denida como
k(x, y)k=kx−F(y)k+kyk,
pa a cada
(x, y)∈X×Y
es en ealidad una quasi-no ma en
X×Y
; además la comple i ud ( espec o a dicha
quasi-no ma) se sigue de la comple i ud de
X
e
Y
(i.e., la comple i ud es una
p opiedad de es subespacios)
2. Dada una suma o cida
Z
de
X
e
Y
, ob end emos una aplicación quasi-lineal
F:Y−→ X
conside ando la di e encia en e dos secciones de la aplicación cocien e.
Una de dichas secciones se á lineal pe o no necesa iamen e aco ada (su exis encia
se debe a la es ucu a de espacio ec o ial), mien as que la o a sección se á ho-
mogénea y aco ada (su exis encia es á asegu ada po el Teo ema de la aplicación
abie a pa a
F
-espacios [28, p. 9-10])
Sean
X
e
Y
dos espacios quasi-Banach.
Denición 1.6
(aplicación quasi-lineal)
.
Se dice que una aplicación
F:Y−→ X
es
quasi-lineal
si:
(a)F( y) = F(y)
pa a odo
∈R
e
y∈Y
;
(b)
exis e
M∈R+
al que
kF(y1+y2)−F(y1)−F(y2)k ≤ M(ky1k+ky2k),
pa a odo
y1, y2∈Y.
Si
F:Y−→ X
es una aplicación quasi-lineal, deno a emos po
X⊕FY
al espacio ec o ial
quasi- no mado
(X⊕Y, k·k)
, donde
k·k:X⊕Y−→ R
es la quasi-no ma dada po
k(x, y)k=kx−F(y)kX+kykY,
pa a cada
(x, y)∈X⊕Y.
(1.1)
Teo ema 1.7
(aplicaciones quasi-lineales & sumas o cidas)
.
(a)
Si
F:Y−→ X
es una aplicación quasi-lineal,
Z=X⊕FY
es una suma o cida de
X
e
Y
.
(b)
Si
Z
es una suma o cida de
X
e
Y
, exis e una aplicación quasi-lineal
F:Y−→ X
al que
Z
es equi alen e a
X⊕FY
.
Demos ación.
(a)
Inicialmen e, p oba emos que (1.1) dene una quasi-no ma en
X⊕Y
.
Es e iden e que
k(x, y)k= 0
si y sólo si
(x, y) = 0 ∈X⊕Y
; además, ambién es cla o
que
k(x, y)k ≥ 0
pa a odo
(x, y)∈X⊕Y
. Po o a pa e,
k(λx, λy)k=kλx −F(λy)kX+kλykY=kλ(x−F(y))k+|λ|kyk
=|λ|kx−F(y)k+kyk=|λ|k(x, y)k,
pa a odo
(x, y)∈X⊕Y
y
λ∈R.
4

Finalmen e, obse emos que si
CX
y
CY
son módulos de conca idad pa a las quasi-no mas
k·kX
y
k·kY
, enemos en onces que
k(x1, y1)+(y1, y2)k=k(x1+x2, y1+y2)k=kx1+x2−F(y1+y2)k+ky1+y2k
=kx1+x2−F(y1)−F(y2) + F(y1) + F(y2)−F(y1+y2)k+ky1+y2k
≤CXkx1−F(y1)k+CXkx2−F(y2)k+kF(y1+y2)−F(y1)−F(y2)k
+CYky1k+ky2k
≤CXkx1−F(y1)k+CXkx2−F(y2)k+Mky1k+ky2k
+CYky1k+ky2k
≤CX2CYMkx1−F(y1)k+ky1k+kx2−F(y2)k+ky2k
=CX2CYMk(x1, y1)k+k(x2, y2)k,
pa a odo
(x1, y1),(x2, y2)∈X⊕Y.
Veamos aho a que los subespacios
{(x, 0): x∈X}
y
(X⊕FY)/X
son isomé icamen e
isomo os a
X
e
Y
espec i amen e. Pa a ello, bas a obse a que
k(x, 0)k=kx−F(0)k+k0k=kxk,
pa a odo
x∈X
(1.2)
y que
kyk= ´ın
x0∈Xkx+x0−F(y)k+kyk= ´ın
x0∈Xk(x, y)+(x0,0)k,
pa a odo
y∈Y.
Aho a, an sólo es a p oba la comple i ud de
X⊕FY
. Pa a ello, sea
((xn, yn))n∈N
una sucesión de Cauchy a bi a ia en
X⊕FY
. En al caso, dado
ε > 0
, pa a
n >> 1
enemos que
k(xn, yn)−(xm, ym)k=kxn−xm−F(yn−ym)k+kyn−ymk< ε,
pa a odo
m≥n;
luego
(yn)n∈N
es una sucesión de Cauchy en
Y
y po an o con e gen e. Sin pé dida de
gene alidad, supongamos que
yn→0
en
Y
. Así pues, si pa a cada
n∈N
escogemos
¯xn∈X
de modo que
k(¯xn,0) −(xn, yn)k<1/n
; ob enemos en onces en i ud de
(1.2) que
k¯xn−¯xmk=k(¯xn−¯xm,0)k
=k(¯xn,0) −(xn, yn)+(xn, yn)−(xm, ym)+(xm, ym)−(¯xm,0)k
≤C3k(¯xn,0) −(xn, yn)k+k(xn, yn)−(xm, ym)k+k(xm, ym)−(¯xm,0)k
≤C31/n +ε+ 1/m,
pa a odo
m≥n.
Es deci ,
(¯xn)n∈N
es una sucesión de Cauchy en
X
; luego exis e
x0∈X
al que
xn→x0
.
Aho a es inmedia o comp oba que
(xn, yn)→(x0,0)
en
X⊕FY
, quedando p obada así
la comple i ud del espacio quasi-no mado
X⊕FY
.
(b)
Sea
0X Z Y 0
j q
la sucesión exac a co a que dene la suma o cida
Z
de
X
e
Y
. En al caso, exis e:
(i)
una aplicación lineal posiblemen e no con inua
θ:Y−→ Z
al que
qθ =IY
;
5
(ii)
una aplicación posiblemen e no lineal
ϕ:Y−→ Z
al que
kϕ(y)k ≤ Kkyk
y
qϕ(y) = y
pa a odo
y∈Y
; supongamos además que
ϕ( y) = ϕ(y)
pa a odo
y∈Y
.
A con inuación, p oba emos que la aplicación
F:Y−→ X
dada po
F(y) = j−1(ϕ(y)−θ(y)),
pa a cada
y∈Y,
[obse emos que
q(ϕ(y)−θ(y)) = 0
, luego
ϕ(y)−θ(y)∈ke q=j(X)
] dene una aplicación
quasi-lineal
F:Y−→ Z
que nos pe mi i á deni una suma o cida
X⊕FY
equi alen e
a
Z
.
La homogeneidad de
F
es cla a; además, si
L∈R+
es al que
kj−1(z)k ≤ Lkzk
pa a
odo
z∈j(X)
y
C∈R+
es un módulo de conca idad pa a
(X, k·k)
,
(Y, k·k)
y
(Z, k·k)
,
end emos en onces que
kF(y1+y2)−F(y1)−F(y2)k=
=
j−1ϕ(y1+y2)−θ(y1+y2)−ϕ(y1) + θ(y1)−ϕ(y2) + θ(y2)

=
j−1ϕ(y1+y2)−ϕ(y1)−ϕ(y2)

≤Lkϕ(y1+y2)−ϕ(y1)−ϕ(y2)k
≤C2Lkϕ(y1+y2)k+kϕ(y1)k+kϕ(y2)k
≤C2LKC(ky1k+ky2k) + Kky1k+Kky2k
≤2C3KL(ky1k+ky2k),
pa a odo
y1, y2∈Y
.
Además, conside ando
Tz =j−1(z−θqz), q(z),
pa a cada
z∈Z,
ob enemos que
T:Z−→ X⊕FY
dene un ope ado en
B(Z, X ⊕FY)
. En e ec o, pues
kTzk=
j−1(z−θqz), qz

=
j−1(z−θqz)−F(qz)
+kqzk
=
j−1(z−θqz)−j−1(ϕ(qz)−θqz)
+kqzk
=kj−1(z−ϕ(qz))k+kqzk
≤Lkz−ϕ(qz)k+kqzk ≤ LCkzk+kϕ(qz)k+kqkkzk
≤LCkzk+Kkqkkzk+kqkkzk
=LC +KLCkqk+kqkkzk,
pa a odo
z∈Z.
Po an o,
T∈ B(Z, X ⊕FY)
induce una equi alencia en e
X⊕FY
y
Z
.
Una ez que p obado que el es udio de las sumas o cidas de
X
e
Y
equi ale al es-
udio de las aplicaciones quasi-lineales
F:Y−→ X
, cabe p egun a nos po un c i e io o
condición que nos pe mi a decidi cuando dos aplicaciones quasi-lineales
F, G:Y−→ X
denen sumas o cidas (p oyec i amen e) equi alen es. El siguien e esul ado nos p opo -
ciona á dicho c i e io.
6
Denición 1.8
(equi alencia de aplicaciones quasi-lineales)
.
(a)
Se dice que dos aplicaciones quasi-lineales
F, G:Y−→ X
son
(p oyec i amen e)
equi alen es
si
X⊕FY
y
X⊕GY
son sumas o cidas (p oyec i amen e) equi alen es.
(b)
Se dice que
F
es una aplicación quasi-lineal
i ial
si
X⊕FY
y
X⊕Y
son sumas
o cidas equi alen es.
No a 1.9.
Si
F:Y−→ X
es la aplicación nula, en onces
X⊕FY
coincide con la suma
di ec a opológica o dina ia. En al caso, la sucesión exac a co a co espondien e escinde.
Teo ema 1.10
(aplicaciones quasi-lineales equi alen es)
.
Sean
F, G:Y−→ X
dos aplicaciones quasi-lineales. En onces:
(a)F
y
G
son equi alen es si y sólo si exis e una aplicación lineal
A:Y−→ X
y
M∈R
de modo que
kF(y)−G(y)−Ayk ≤ Mkyk,
pa a odo
y∈Y;
(b)F
y
G
son p oyec i amne e equi alen es si y sólo si exis e una aplicación lineal
A:Y−→ X
y
M, α ∈R
de modo que
kF(y)−G(αy)−Ayk ≤ Mkyk,
pa a odo
y∈Y;
(c)F
es i ial si y sólo si
F
es p oyec i amen e equi alen e a la aplicación idén ica-
men e nula, es o es,
F
se puede exp esa como la suma de una aplicación lineal y
una aplicación aco ada.
Demos ación.
(a)
Sean
F
y
G
dos aplicaciones quasi-lineales equi alen es. En al caso, po denición y la
conmu a i idad de los co espondien es diag amas, exis e un ope ado lineal y con inuo
T:X⊕FY−→ X⊕GY
que debe se de la o ma
T(x, y)=(x+Ay, y)
pa a cie a
aplicación lineal
A:Y−→ X
. Así pues, dado que pa a
y∈T
enemos que
T(F(y), y) =
(F(y) + Ay, y)
, concluimos en onces que
kF(y)−G(y) + Ayk≤kF(y) + Ay −G(y)k+kyk=
F(y) + Ay, y

=
TF(y), y
≤ kTk
F(y), y

=kTkkF(y)−F(y)k+kyk=kTkkyk,
pa a odo
y∈Y.
Recíp ocamen e, si
F
y
G
son dos aplicaciones quasi-lineales que sa is acen la condición
del enunciado, la aplicación lineal
T:X⊕FY−→ X⊕GY
dada po
T(x, y)=(x−Ay, y)
pa a cada
(x, y)∈X⊕FY
, sa is ace que
kT(x, y)k=k(x−Ay, y)k=kx−Ay −G(y)k+kyk
=kx−Ay −G(y)−F(y) + F(y)k+kyk
≤Ckx−F(y)k+kF(y)−G(y)−Ayk+kyk
≤Ckx−F(y)k+Mkyk+kyk
≤C(M+ 1)k(x, y)k,
pa a odo
(x, y)∈X⊕FY.
7
Po an o,
X⊕FY
y
X⊕GY
son dos sumas o cidas equi alen es median e
T
.
(b)
Se p ueba de o ma simila a
(a)
.
(c)
Es ob io a pa i de las deniciones.
Po an o, una aplicación quasi-lineal
F
es no i ial si no exis e ninguna aplicación
lineal
A
de modo que
F−A
sea una aplicación aco ada.
1.3. Aplicaciones quasi-lineales
A la is a del Teo ema 1.10 an e io , concluimos que pa a ob ene una suma o cida
no i ial de
X
e
Y
, bas a deni una aplicación quasi-lineal
F:Y−→ X
que no pueda
se ap oximada po una aplicación lineal. Así pues, aho a cob a una impo ancia i al la
siguien e p egun a:
¾cómo p ocede pa a deni una aplicación quasi-lineal
F:Y−→ X
?
Sean
X
e
Y
dos espacios quasi-Banach e
Y0⊂Y
un subespacio denso en
Y
; a con i-
nuación, indicamos un esquema del i ine a io que segui emos pa a deni una aplicación
quasi-linneal
F:Y−→ X
a pa i de una unción lipschi ziana
ϕ:R−→ R
.
Teo ema 1.11
(aplicaciones quasi-lineales en un subespacio denso)
.
Si
F0:Y0−→ X
es una aplicación quasi-lineal, en onces:
(a)
exis e una aplicación quasi-lineal
F:Y−→ X
al que
F|Y0=F0
;
(b)
si
F1, F2:Y−→ X
son dos aplicaciones quasi-lineales ales que
F1|Y0=F2|Y0=F0
,
en onces
F1
y
F2
son equi alen es.
Denición 1.12
(aplicaciones quasi-adi i as)
.
Una aplicación
:Y0−→ X
se dice
quasi-adi i a
si:
(a)
exis e
K∈R+
al que
k (y1+y2)− (y1)− (y2)k ≤ K(ky1k+ky2k),
pa a odo
y1, y2∈Y0;
(b) l´ım
→0 ( y)=0
pa a odo
y∈Y0
;
(c) (−y) = − (y)
pa a odo
y∈Y0
.
En al caso, di emos que
es una aplicación quasi-adi i a de o den
K
.
Teo ema 1.13
( oda aplicación quasi-adi i a dene una aplicación quasi-lineal)
.
Si
:Y0−→ X
es un aplicación quasi-adi i a, en onces
F:Y0−→ X
dada po
F(x) = 

kxk x
kxk,
si
x6= 0
0
si
x= 0
es una aplicación quasi-lineal.
8
Teo ema 1.14
( oda unción lipschi ziana dene una aplicación quasi-adi i a)
.
(a)
Si
ϕ:R−→ R
es una aplicación lipschi ziana, en onces
:R−→ R
dada po
( ) = 




ϕlog 1
| |, 6= 0
0, = 0
es una aplicación quasi-adi i a.
(b)
Si
:R−→ R
es una unción quasi-adi i a, exis e una unción lipschi ziana
θ
al
que
sup
∈(0,+∞) ( )
−θlog 1
| |<∞.
Demos ación del Teo ema 1.11.
(a)
Conside emos inicialmen e el espacio ec o ial quasi-no mado
(X⊕F0Y0,k·k)
, donde
k(x, y)k=kx−F0(y)k+kyk,
pa a cada
(x, y)∈X⊕F0Y0.
Sea
Z
la comple ación de
(X⊕F0Y0,k·k)
.
A con inuación, p oba emos que
Z
es una suma o cida de
X
e
Y
. Pa a ello, conside-
amos las siguien es aplicaciones:
j:X−→ X⊕F0Y0
dada po
j(x) = (x, 0)
pa a cada
x∈X
 y
ˆq:X⊕F0Y0−→ Y0
dada po
ˆq(x, y) = y
pa a cada
(x, y)∈X⊕F0Y0
. En
al caso,
ˆq
puede se ex endida a una aplicación abie a y sob eyec i a es deci , a una
aplicación cocien e
q:Z−→ Y
al que
ke (q) = j(X)
.
En e ec o, la ex ensión es á ga an izada po [25, p. 19] y si
z∈Z
es al que
q(z)=0
,
luego
0 = l´ım
n→+∞ˆq(xn, yn) = l´ım
n→+∞yn,
en
(Y, k·k),
siendo
((xn, yn))n∈N
una sucesión de ec o es de
X⊕F0Y0
al que
(xn, yn)→z
. En al
caso,
(F0(yn), yn)→0
, pues
k(F0(yn), yn)k=kF0(yn)−F0(yn)k+kynk=kynk → 0
y
en onces,
(xn−F0(yn),0) = (xn, yn)−(F0(yn), yn)→z
. Po an o,
xn−F0(yn)→x0
pa a
algún
x0∈X
, de donde deducimos nalmen e que
z= (x0,0) ∈j(X)
.
Po an o, en i ud del Teo ema 1.7, exis e una aplicación quasi-lineal
H:Y−→ X
(con cons an e asociada
M1
) de modo que
Z
es equi alen e a
X⊕HY
. Es deci , exis e un
ope ado lineal y aco ado
T:Z−→ X⊕HY
que hace conmu a i o el siguien e diag ama
0X Z Y 0
0X X ⊕HYY0
j
IX
q
TIY
En al caso,
T
es un ope ado de la o ma
T(x, y)=(x+Ay, y)
pa a cie a aplicación
lineal
A:Y−→ X
. Además, pa a
y0∈Y0
, enemos que
kF0(y0) + Ay0−H(y0)k≤kF0(y0) + Ay0−H(y0)k+ky0k=
F0(y0) + Ay0, y0

9

=
TF0(y0), y0
≤ kTk
F0(y0), y0

=kTkk0k+ky0k=kTkky0k.
(1.3)
Así, la aplicación
F:Y−→ X
dada po
F(y) = 


F0(y),
si
y∈Y0,
H(y)−Ay,
si
y /∈Y0,
es una ex ensión quasi-lineal de
F0
a odo
Y
. En e ec o, pues pa a
y0∈Y0
e
y1∈Y Y0
,
kF(y0+y1)−F(y0)−F(y1)k=kH(y0+y1)−A(y0+y1)−F0(y0)−H(y1) + Ay1k
=kH(y0+y1)−Ay0−F0(y0)−H(y1)k
≤CkH(y0+y1)−H(y0)−H(y1)k+kH(y0)−Ay0−F0(y0)k
((
1.3
)) ≤CM1ky0k+ky1k+kTkky0k≤C(M1+kTk)ky0k+ky1k.
(b)
La unicidad (módulo equi alencia) de la ex ensión
F
es una consecuencia de que oda
ex ensión quasi-lineal de
F0
a
Y
dene una comple ación de
X⊕F0Y0
(y al comple ación
es única). En e ec o, pues pa a
(x, y)∈X⊕FY
, si
(yn)n∈N
es una sucesión en
Y0
al que
yn→y
, en onces
((x−F(y−yn), yn))n∈N
es una sucesión en
X⊕FY
al que
(x−F(y−
yn), yn)→(x, y)
.
Demos ación del Teo em 1.13.
La homogeneidad de
F
es una consecuencia inmedia a de la an isime ía de la aplica-
ción quasi-adi i a
. Pa a p oba la p opiedad
(b)
de la Denición 1.6 an e io , necesi a-
emos el siguien e esul ado auxilia , cuya demos ación posponemos po cla idad en la
exposición.
Lema 1.15
(auxilia pa a el Teo ema 1.13)
.
Exis e una cons an e
BX
dependien e únicamen e del espacio quasi-Banach
X
 al
que: si
:R−→ X
es una aplicación quasi-adi i a de o den
K
, en onces
k ( )− (1)k ≤ BXK,
pa a odo
∈[0,1] ⊂R.
Dado
x∈Y
al que
kxk ≤ 1
, conside amos la aplicación quasi-adi i a
¯
:R−→ X
dada po
¯
( ) = ( x/kxk),
pa a cada
∈R.
En al caso, en i ud del Lema 1.15 an e io ,
kF(x)− (x)k=

kxk x
kxk− (x)

=
kxk¯
(1) −¯
(kxk)
≤BXK.
Así pues, dado que
kxk+kyk ≤ 1/C
implica
kx+yk ≤ C(kxk+kyk)≤1
,
kF(x+y)−F(x)−F(y)k ≤
≤Chk (x+y)− (x)− (y)k+kF(x+y)− (x+y)
−F(x) + (x)−F(y) + (y)ki
10
≤Chk (x+y)− (x)− (y)k+CkF(x+y)− (x+y)k
+CkF(x)− (x)k+kF(y)− (y)ki
≤ChKkxk+kyk+CBXK+ 2CBXKi
≤C(K+ 3C2BXK),
pa a odo
x, y ∈X
con
kxk+kyk ≤ 1/C.
Po an o,
kF(x+y)−F(x)−F(y)k ≤ 2C3(K+ 3C2BXK)(kxk+kyk),
pa a odo
x, y ∈X.
Demos ación del Lema 1.15.
Sin pé dida de gene alidad, supongamos que
(1) = 0
. En caso con a io, abaja ía-
mos con la aplicación
g( ) = ( )− (1)
. P obemos luego que exis e
BX∈R+
dependien e
únicamen e de
X
de modo que
k ( )k ≤ BXK,
pa a odo
∈[0,1] ⊂R.
Pa a ello, necesi a emos los siguien es esul ados auxilia es, cuya demos ación pospone-
mos po cla idad en la exposición.
Lema 1.16
(auxilia pa a el Lema 1.15)
.
Si
Y0
es un subespacio denso en
Y
y
:Y0−→ X
es una aplicación quasi-adi i a de o den
K
, exis en cons an es posi i as
y
L
ales que,


 n
X
i=1
yi−
n
X
i=1
(yi)

≤LKn
X
i=1 kyik 1/ ,
pa a odo
yi∈Y0
con
1≤i≤n.
[Acla ación: Pod emos conside a
≤p/2
, donde
p > 0
es el exponen e dado po el Lema
A.19.]
Lema 1.17
(auxilia pa a el Lema 1.15)
.
Si
:R−→ X
es una aplicación quasi-adi i a de o den
K
, exis en cons an es posi i as
L
y
ales que
k2n (2−n)k ≤ LKn1/ ,
pa a odo
n∈N.
[Acla ación: La cons an e
L > 0
coincide con la indicada en el Lema A.19. Pod emos
conside a
≤p
, siendo
p > 0
el exponen e dado po el Lema A.19.]
Sea
∈(0,1) ⊂R
escogido de o ma a bi a ia. Pa a dicho
, exis e un único
n∈N
de modo que
∈[2−n,21−n)⊂R
. En al caso,
= 2−n
∞
X
k=0
εk2−k=
∞
X
k=0
εk2−(n+k),
con
ε0= 1
y
εk∈ {0,1}
pa a cada
k≥1.
Sea además, pa a cada
m∈N
,
m=
m
X
k=0
εk2−(n+k).
Aplicando aho a el Lema A.19, sabemos que exis e
L > 0
(dependiendo únicamen e
de
X
) de modo que si
=p/2
siendo
p
el exponen e dado po el Lema A.19, en onces
k ( )k=
 ( m) + ( − m) +  ( )− ( m)− ( − m)

11
≤Lk ( m)k +k ( − m)k +k ( )− ( m)− ( − m)k 1/ .
A con inuación, pa a cada uno de los es sumandos de la úl ima desigualdad, ob end emos
co as adecuadas que nos pe mi i án ob ene el esul ado enunciado.
Po se
una aplicación quasi-adi i a de o den
K
, pa a el e ce sumando, enemos
que
k ( )− ( m)− ( − m)k ≤ Kk m+ − mk=K ≤K
y en onces
k ( )− ( m)− ( − m)k ≤K
(1.4)
Po o a pa e, pa a el p ime sumando, empleando nue amen e el Lema A.19, ob e-
nemos inicialmen e que
k ( m)k=

 ( m)−
m
X
k=0
εk (2−(n+k)) +
m
X
k=0
εk (2−(n+k))


≤L

 ( m)−
m
X
k=0
εk (2−(n+k))


+


m
X
k=0
εk (2−(n+k))


1/ .
A con inuación, aco a emos cada uno de los sumandos ob enidos en la úl ima desigualdad.
Pa a el p ime o de ellos, eniendo en cuen a que
(0) = − (−0) = − (0) = 0
, deducimos
que


 ( m)−
m
X
k=0
εk 2−(n+k)

=

 ( m)−
m
X
k=0
εk2−(n+k)


(Lema 1.16)
=

 m
X
k=0
εk2−(n+k)−
m
X
k=0
εk2−(n+k)

≤KLm
X
k=0 |εk2−(n+k)| 1/
≤KLm
X
k=0
2−(n+k) 1/ ≤KL∞
X
k=0
2−(n+k) 1/ ≤KL(1 −2− )−1/ ;
luego


 ( m)−
m
X
k=0
εk (2−(n+k))


≤K L (1 −2− )−1.
(1.5)
Po o a pa e, in ocando nue amen e el Lema A.19, ob enemos que



m
X
k=0
εk (2−(n+k))

≤Lm
X
k=0 kεk (2−(n+k))k 1/ ≤Lm
X
k=0 k (2−(n+k))k 1/ ,
de donde deducimos que



m
X
k=0
εk (2−(n+k))


≤L
m
X
k=0 k (2−(n+k))k =L
m
X
k=0
k2n+k (2−(n+k))k
2(n+k)
(Lema 1.17)
≤L
m
X
k=0 LK(n+k)1/  2−(n+k) =K L2
m
X
k=0
(n+k)2−(n+k)
≤K L2
∞
X
k=0
(n+k)2−(n+k) ,
(1.6)
12
Po an o, aunando (1.5) y (1.6), ob enemos aho a que
k ( m)k ≤ LK L (1 −2− )−1+K L2
∞
X
k=0
(n+k) 2−(n+k) 1/ ≤LK L1+K L21/ ,
es deci ,
k ( m)k ≤L (K L1+K L2) = L K (L1+L2).
(1.7)
Finalmen e, eniendo en cuen a (1.4) y (1.7), concluimos que
k ( )k ≤ LL K (L1+L2) + k ( − m)k +K 1/
≤LL K (L1+L2) + K k ( − m)k +K 1/
=LKL (L1+L2) + k ( − m)k + 11/ =LKL∗+k ( − m)k + 11/ .
(1.8)
Además, al se
una aplicación quasi-adi i a,
l´ım
m→∞ ( − m) = l´ım
m→∞ 2−n
∞
X
k=m+1
εk2−k= l´ım
m→∞ 2−(n+m+1)
∞
X
k=0
εk2−k= 0.
Po an o, haciendo
m→ ∞
en (1.8), deducimos nalmen e que
k ( )k ≤ LK(L∗+ 1) = KBX.
Demos ación del Lema 1.16.
En i ud del Co ola io A.17  No a A.18, pa a cie o
p > 0
exis e una quasi-no ma
|||·|||
equi alen e a la quasi-no ma
k·k
y al que
|||y1+y2|||p≤ |||y1|||p+|||y2|||p
pa a odo
y1, y2∈Y0
.
Po se
|||·|||
y
k·k
quasi-no mas equi alen es, exis e
L0>0
al que
kxk ≤ |||x||| ≤ L0kxk
pa a odo
x∈X
, y en onces
||| (x1+x2)− (x1)− (x2)||| ≤ L0k (x1+x2)− (x1)− (x2)k
(
es quasi-adi i a de o den
K)≤L0K(kx1k+kx2k)≤L0K(|||x1|||+|||x2|||)
(0 <p<1) ≤L0K(|||x1|||p+|||x2|||p)1/p.
(1.9)
A con inuación, aplicando el mé odo de inducción, p oba emos que
 n
X
i=1
xi−
n
X
i=1
(xi)≤L0Kn
X
i=1
i|||xi|||p1/p,
pa a odo
n∈N.
(1.10)
Pa a
n= 2
, end íamos que p oba que
k (x1+x2)− (x1)− (x2)k ≤ L0Kkx1kp+ 2 kx2kp1/p,
lo cual es i ialmen e cie o si enemos en cuen a (1.9). Supongamos luego que (A.1) es
cie o pa a
n−1∈N
, con
n≥3
, y eamos que ambién es cie o pa a
n∈N
. Obse ando
que
 n
X
i=1
xi−
n
X
i=1
(xi)
p=
13
Teo ema 2.5
(espacios
E(ϕ)
equi alen es)
.
Sea
E
un espacio quasi-no mado sólido en el que ninguna subsucesión de
(en)n∈N
es
equi alen e a la base usual de
c0
. En al caso, dadas dos unciones
ϕ, ψ ∈£
, enemos
que:
(a)E(ϕ)
y
E(ψ)
son equi alen es si y sólo si
sup
∈(0,+∞)|ϕ( )−ψ( )|<∞;
(b)E(ϕ)
y
E(ψ)
son p oyec i amen e equi alen es si y sólo si exis e
a6= 0
al que
sup
∈(0,+∞)|ϕ( )−aψ( )|<∞;
(c)E(ϕ)
es i ial si y sólo si
ϕ
es una unción aco ada.
Demos ación del Teo ema 2.5.
Sean
F:E−→ E
y
G:E−→ E
las aplicaciones quasi-lineales inducidas po las
unciones lipschi zianas
ϕ
y
ψ
espec i amen e.
(a)
Inicialmen e, p oba emos que la condición
M= sup ∈(0,+∞)|ϕ( )−ψ( )|<∞
implica
que
kF(y)−G(y)−Ayk ≤ Mkyk,
pa a odo
y∈E,
siendo
A
la aplicación idén icamen e nula en
E
.
Pa a ello, obse a emos que si
y∈E
, en onces
kF(y)−G(y)k=

kyk y
kyk−kykgy
kyk


=


∞
X
k=1
ykϕ−log |yk|
kykek−
∞
X
k=1
ykψ−log |yk|
kykek


=


∞
X
k=1
ykhϕ−log |yk|
kyk−ψ−log |yk|
kykiek


(
p op.
(i)
de
k·k)≤sup
k∈Nϕ−log |yk|
kyk−ψ−log |yk|
kyk


∞
X
k=1
ykek

≤Mkyk.
El esul ado enunciado es aho a una consecuencia del Teo ema 1.10 an e io .
An es de mos a la demos ación de allada del enunciado ecíp oco, indicamos un
b e e esquema de cómo p ocede emos.
1. La idea esencial consis i á en escoge una sucesión
(sn)n∈N⊂E
sa is aciendo que:
(a)
pa a cada
∈[log ks1k,+∞)
exis e un único
n∈N
al que
∈[log ksnk,log ksn+1k)
( éase (2.8)),
(b) sup
n∈N
log ksn+1k−log ksnk<∞
( éase 2.7),
(c) sup
n∈N|ϕ(log ksnk)−ψ(log ksnk)|<∞
( éase (2.6));
20

y obse a nalmen e que
sup
∈(0,+∞)|ϕ( )−ψ( )| ≤ sup
∈(0,+∞)ϕ( )−ϕlog ksnk+ sup
n∈Nϕlog ksnk−ψlog ksnk
+ sup
∈(0,+∞)ψlog ksnk−ψ( ),
de donde, empleando la lipschi zianidad de las ucniones
ϕ
y
ψ
y las p opiedades
(b)
y
(c)
an e io es, deducimos que
sup
∈(0,+∞)|ϕ( )−ψ( )|<∞.
2. E iden emen e, la g an dicul ad con la que nos encon a emos se á ob ene al
sucesión
(sn)n∈N
. Sin emba go, es cu ioso que pa a cada
n∈N
la sucesión
sn∈
{−1,0,1}N
.
3. La equi alencia en e los espacios
E(ϕ)
y
E(ψ)
juga á un impo an e papel a la ho a
de log a las p opiedades
(b)
y
(c)
an e io es. En elacion con es e úl imo pun o,
compá ese (2.2) con (2.5) y aló ese la impo ancia de es a úl ima desigualdad a la
ho a de ob ene la sucesión
(sn)n∈N
.
Iniciamos aho a la p ueba de allada; supongamos en onces en i ud del Teo ema
1.10 que exis e una aplicación lineal
A:E−→ E
al que
kF(y)−G(y)−Ayk ≤ Mkyk,
pa a odo
y∈E.
(2.2)
Sea
H
la aplicación quasi-lineal dada po
H=F−G
. En al caso, pa a
n∈N
a bi a io,
H(en) = F(en)−G(en) = kenk en
kenk−kenkgen
kenk
= (en)−g(en) = 0 −0 = 0 ∈E.
Po an o, eniendo en cuen a (2.2) y la p opiedad
(iii)
de la Denición 2.1,
kAenk∞≤ kAenk ≤ Mkenk=M,
pa a odo
n∈N.
Así pues, aplicando el a gumen o diagonal de G. Can o , exis en dos sucesiones es ic-
amen e c ecien es de núme os na u ales
(nk)k∈N
y
(mk)k∈N
ales que
A(enk−emk)→0
coo denada a coo denada. Aho a, aplicando un a gumen o del es ilo jo oba deslizan e,
podemos escoge :
 una subsucesión
( n)n∈N
de
(enk−emk)k∈N
,
 y una sucesión c ecien e de núme os na u ales
(pn)n∈N
;
de al modo que, pa a cada
n∈N
:
(I) 

A( n)−
pn
X
k=pn−1+1
A( n)kek

≤1
2n; (II) sop ( n) = {qn, n}⊂{pn−1+1, . . . , pn}
pn
X
pn−1
Conside emos aho a la aplicación lineal
ˆ
A: span { n:n∈N} −→ E
dada po
ˆ
A n= (A n)qneqn+ (A n) ne n, n ∈N.
Así denida, pa a cada
n∈N
, la sucesión
ˆ
A n∈E
sa is ace que:
21
(i) sop n= sop ˆ
A n={qn, n}
;
(ii)kˆ
A nk ≤ 2CM
:
kb
A nk=k(A n)qneqn+ (A n) ne nk≤kA nk
=kA(enk−emk)k ≤ CkAenkk+kAemkk≤2CM;
(2.3)
(iii)kˆ
A nk∞≤ kˆ
A nk ≤ 2CM
;
(i )|ˆ
A n| ≤ 2CM| n|
.
Dado
x=PN
n=1 n n∈span { n:n∈N}
, en i ud de la p opiedad
(iii)
de
k·k
,
enemos que
m´ax{| n|: 1 ≤n≤N}=kxk∞≤ kxk
(2.4)
y en onces
kF(x)−G(x)−ˆ
Axk=

H(x)−
N
X
n=1
nˆ
A n


=kH(x)−ˆ
Axk ≤ M2kxk,
pa a odo
x∈span { n:n∈N}.
(2.5)
Po cla idad en la exposición, dejamos pa a más adelan e la demos ación de (2.5).
Adjun amos una explicación g áca de las condiciones indicadas en las desigualdades
(I) y (2.3).
n=(
1
,±1,
1
,±1,
1
)
A n=(
1
)


A n−
pn
X
pn−1+1
A nkek

=k(
1
,
1
,
1
)k ≤ 1
2n
kˆ
A nk=k(
1
,
1
,
1
,
1
,
1
)k ≤ 2CM
En pa icula , pa a
sn=Pn
i=1 i∈span { n:n∈N}
, enemos que


H(sn)−
n
X
i=1
ˆ
A i

≤M2ksnk.
Aho a bien, eniendo en cuen a que
H(sn) = ϕlog ksnk−ψlog ksnksn
y

n
X
i=1
ˆ
A i≤
n
X
i=1 ˆ
A i≤2CM
n
X
i=1 | i|= 2 CM|sn|,
22
concluimos que


ϕlog ksnk−ψlog ksnk|sn|−
n
X
i=1 |ˆ
A i|

≤M2ksnk.
Po an o, pa a
ϕlog ksnk−ψlog ksnk≥2CM
, debe se
ϕlog ksnk−ψlog ksnk−2CM ≤M2,
o equi alen emen e,
ϕlog ksnk−ψlog ksn|≤M2+ 2 CM.
(2.6)
Po o o lado, dado que
ksnk=


n
X
k=1
k

=


n−1
X
k=1
k+ n

≤C


n−1
X
k=1
k

+k nk
=Cksn−1k+kenk−emkk≤Cksn−1k+ 2C,
enemos que
log ksnk ≤ log C+ log ksn−1k+ 2C≤log C+ log ksn−1k(1 + 2C)
= log C(1 + 2C)+ log ksn−1k,
es deci ,
log ksnk−log ksn−1k ≤ log C(1 + 2C).
(2.7)
Además, debe se
sup
n∈Nksnk=∞.
(2.8)
En o o caso, la sucesión
(eq1, e 1, eq2, e 2, . . . )
se ía equi alen e a la base canónica de
c0
.
En e ec o, pues pa a
x=Pi ieqi+Pj je j
end íamos que en i ud de las p opiedades
(i)
y
(iii)
de la quasi-no ma
k·k
de un espacio quasi-no mado sólido
sup
i,j∈N{| i|,| j|} =kxk∞≤ kxk ≤ sup
n∈Nksnksup
i,j∈N{| i|,| j|} = sup
n∈Nksnkkxk∞.
Así pues, en i ud de (2.8), podemos a ma que pa a cada
∈[log ks1k,∞)⊂R
exis e un único
n∈N
pa a el que
∈[log ksn−1k,log ksnk]⊂R
. En al caso, eniendo en
cuen a (2.6) y (2.7),
|ϕ( )−ψ( )| ≤ ϕ( )−ϕlog ksnk+ϕlog ksnk−ψlog ksnk+ψlog ksnk−ψ( )
≤Lϕ −log ksnk+M2+ 2CM +Lψ −log ksnk
≤(Lϕ+Lψ) log C(1 + 2C)+M2+ 2CM,
donde
Lϕ
y
Lψ
son las cons an es de Lipschi z de
ϕ
y
ψ
espec i amen e.
Po an o, hemos p obado que si
E(ϕ)
y
E(ψ)
son sumas o cidas equi alen es, en on-
ces
sup
∈(0,+∞)|ϕ( )−ψ( )|<∞.
23
Demos ación de la desigualdad (2.5).
Dado que


H(x)−
N
X
n=1
nˆ
A n

=

H(x)−
N
X
n=1
nA nqneqn+A n ne n


=

H(x)−
N
X
n=1
nhpn
X
k=pn−1+1
A nkek−
pn
X
k=pn−1+1
k6=qn, n
A nkeki


≤C

H(x)−
N
X
n=1
n
pn
X
k=pn−1+1
A nkek

+


N
X
n=1
n
pn
X
k=pn−1+1
k6=qn, n
A nkek


≤C

H(x)−
N
X
n=1
n
pn
X
k=pn−1+1
A nkek

+

AN
X
n=1
n n


=C

H(x)−
N
X
n=1
n
pn
X
k=pn−1+1
A nkek

+kA(x)k
≤C

H(x)−
N
X
n=1
n
pn
X
k=pn−1+1
A nkek

+CkAkkxk,
bas a encon a una co a adecuada pa a el p ime sumando de la úl ima desigualdad. No
obs an e,


H(x)−
N
X
n=1
n
pn
X
k=pn−1+1
A nkek

=

F(x)−G(x)−Ax +Ax −
N
X
n=1
n
pn
X
k=pn−1+1
A nkek


≤CkF(x)−G(x)−Axk+

Ax −
N
X
n=1
n
pn
X
k=pn−1+1
A nkek


≤CMkxk+C

Ax −
N
X
n=1
n
pn
X
k=pn−1+1
A nkek


≤CMkxk+CL∗kxk=M∗
2kxk,
donde pa a aco a el segundo sumando hemos enido en cuen a que


Ax −
N
X
n=1
n
pn
X
k=pn−1+1
A nkek

=

AN
X
n=1
n n−
N
X
n=1
n
pn
X
k=pn−1+1
A nkek


=


N
X
n=1
nA n−
pn
X
k=pn−1+1
A nkek


(Lema 1.17)
≤LN
X
n=1 

 nA n−
pn
X
k=pn−1+1
A nkek


1/
≤Lm´ax
1≤i≤N| i|N
X
n=1 

A n−
pn
X
k=pn−1+1
A nkek


1/
24
(p op.
(iii)
de
k·k
)
≤LkxkN
X
n=1 

A n−
pn
X
k=pn−1+1
A nkek


1/
(I) ≤LkxkN
X
n=1 1
2n 1/ =L∗kxk.
(b)
Inicialmen e, p oba emos que la condición
M= sup ∈(0,+∞)|ϕ( )−aψ( )|<∞
implica
que
kF(y)−G(ay)−Ayk ≤ Mkyk,
pa a odo
y∈E,
siendo
A
la aplicación idén icamen e nula en
E
. En e ec o, pues pa a
y∈E
a bi a io,
kF(y)−G(ay)k=

kyk y
kyk−kaykgay
kayk


=


∞
X
k=1
ykϕ−log |yk|
kykek−
∞
X
k=1
aykψ−log |ayk|
kaykek


=


∞
X
k=1
ykhϕ−log |yk|
kyk−aψ−log |yk|
kykiek


(
p op.
(i)
de
k·k)≤sup
k∈Nϕ−log |yk|
kyk−aψ−log |yk|
kyk


∞
X
k=1
ykek

≤Mkyk.
A con inuación, p oba emos el enunciado ecíp oco. Si
E(ϕ)
y
E(ψ)
son dos sumas
o cidas p oyec i amen e equi alen es, exis e
a∈R {0}
pa a el que las aplicaciones
quasi-lineales
F
y
Ga
dada po
Ga(x) = G(ax)
pa a cada
x∈E
 son equi alen es.
En al caso,
E⊕GaE
es equi alen e a
E(θ)
, siendo
θ:R−→ R
la unción (lipschi ziana)
dada po
θ( ) = 


aψ + log 1
|a|−aψlog 1
|a|,
si
≥0,
0,
si
< 0
En e ec o, pues si
h
es la aplicación quasi-adi i a asociada a
θ
, es deci , si
h( ) = θlog 1
| |=a hψlog 1
| |+log 1
|a|−ψlog 1
|a|i=a hψlog 1
|a |−ψlog 1
|a|i,
en onces
H(x)k=kxkhx
kxkk=kxkaxk
kxkhψ−log |axk|
kxk−ψlog 1
|a|i
=axkhψ−log |axk|
kxk−ψlog 1
|a|i, k ∈N,
y
Ga(x)k=G(ax)k=kaxkgax
kaxkk=kaxkaxk
kaxkψ−log |axk|
kaxk=axkψ−log |xk|
kxk.
Po an o, pa a cada
k∈N
, enemos que
H(x)k−Ga(x)k+aψlog 1
|a|xk
25

=|axk|ψ−log |axk|
kxk−ψlog 1
|a|−ψ−log |xk|
kxk+ψlog 1
|a|
=|axk|ψ−log |axk|
kxk−ψ−log |xk|
kxk≤ |axk|Lψlog |a|,
y concluimos en onces que
kH(x)−Ga(x) + Axk ≤ Lψ|a|log |a|kxk,
pa a odo
x∈E,
siendo
A:E−→ E
la aplicación lineal que consis e en mul iplica cada sucesión de
E
po
el escala
aψ(−log |a|)
.
Así pues, en i ud del Teo ema 1.10,
E⊕GaE
y
E(θ)
son sumas o cidas equi alen es.
Po an o, en i ud de lo p obado en el apa ado
(a)
an e io ,
sup
∈(0,+∞)ϕ( )−aψ + log 1
|a|+aψlog 1
|a|<∞
y en onces, dado que
ψ
es una unción lipschi ziana,
sup
∈(0,+∞)|ϕ( )−aψ( )|= sup
∈(0,+∞)ϕ( )−aψ( ) + aψ + log 1
a−aψ + log 1
a
≤sup
∈(0,+∞)ϕ( )−aψ + log 1
a+|a|sup
∈(0,+∞)ψ( )−ψ + log 1
a<∞.
(c)
Es una consecuencia inmedia a de
(a)
y
(b)
.
Denición 2.6.
Se dice que un pa de
F
-espacios
(X, Y )
escinde
si oda suma o cida de
X
e
Y
es i ial;
es deci , si oda sucesión exac a co a
0−→ X−→ Z−→ Y−→ 0
escinde.
Co ola io 2.7
(
½½Exis en sumas o cidas no i iales!!
)
.
Sea
E
es un espacio quasi-no mado sólido en el que ninguna subsucesión de
(en)n∈N
es
equi alen e a la base usual de
c0
. En al caso, el pa
(E, E)
no escinde. Es deci , exis en
sumas o cidas no i iales de
E
y
E
.
Demos ación.
En i ud del Teo ema 2.5 an e io , bas a conside a el espacio
E(ϕ)
ob enido al
conside a una unción
ϕ∈£
no aco ada.
2.2. Sumas o cidas de espacios
`p
con
0<p<∞
Co ola io 2.8
(espacios
`p
con
p∈(0,1]
)
.
Dado
0< p ≤1
, exis e un espacio quasi-Banach
Z
al que:
(a)Z
no es
p
-con exo (en pa icula ,
Z
no es isomo o a
`p
)
(b)Z
con iene un subespacio
X
isomo o a
`p
de modo que
Z/X
ambién es isomo o
a
`p
.
26
Demos ación.
En i ud del Co ola io 2.7 an e io , el pa
(`p, `p)
no escinde. Po an o, exis e un
espacio quasi-Banach
Z
que con iene a un subespacio
X
isomo o a
`p
con
Z/X
ambién
isomo o a
`p
. Sea
F:`p−→ `p
una aplicación quasi-lineal pa a la que
Z=`p⊕F`p
.
Además, pa a
sn=Pn
i=1 ei
,
k(sn, sn)kp=ksn−F(sn)k+ksnkp=(n|1−log n1/p|p)1/p +n1/pp
=n|1−log n1/p|1/p + 1p,
pa a cada
n∈N,
mien as que
n
X
i=1 k(ei, ei)kp=
n
X
i=1 kei−F(ei)k+keikp=
n
X
i=1 keik+keikp= 2pn,
pa a cada
n∈N.
Po an o, dado que
k(e1+···+en, e1+···+en)kp
k(e1, e1)kp+···+k(en, en)kp=1
2p|1−log n1/p|+ 1p→ ∞,
concluimos en onces que
Z
no es un espacio quasi-Banach
p
-con exo.
Co ola io 2.9
(espacios
`p
con
p∈(1,∞)
)
.
Dado
p > 1
, si
ϕ∈£
es una unción no aco ada,
`p(ϕ)
es un espacio quasi-Banach no
isomo o a
`p
que con iene un subespacio
X
isomo o a
`p
de modo que
`p(ϕ)/X
ambién
es isomo o a
`p
.
Demos ación.
Es una consecuencia inmedia a del Co ola io 2.7 an e io .
No a 2.10
(
`p(ϕ)
es isomo o a un espacio de Banach si
p > 1
)
.
En ealidad, pa a
p > 1
, la suma o cida
`p(ϕ)
(que es, en p incipio, un espacio quasi-
Banach) se á, en ealidad, isomo o a un espacio de Banach. Es e esul ado se á mos ado
en la sección 3.1.1.
En pa icula , deducimos que exis en an as soluciones de la o ma
`2(ϕ)
del
p oblema
de Palais
como aplicaciones lipschi zianas
ϕ∈£
no aco adas y no equi alen es en e
sí. En el Capí ulo
??
, es udia emos ope ado es en los espacios
Zp
, una sub amilia muy
impo an e de los espacios
`p(ϕ)
dados en el Co ola io 2.9.
2.3. Exis encia de base de Schaude
En es e epíg a e e emos que los espacios
E(ϕ)
admi en base de Schaude . Dicho
esul ado se á empleado más adelan e pa a deduci cie as p opiedades de los espacios
`p(ϕ)
con
1<p<∞
.
Teo ema 2.11
(
E(ϕ)
admi e base de Schaude )
.
Si
E
es un espacio quasi-no mado sólido y
ϕ∈£
, en onces
E(ϕ)
admi e base de Schaude .
27
Demos ación.
Pa a cada
n∈N
, sea
u2n−1= (en,0)
y
u2n= (0, en).
P oba emos que
(un)n∈N
es una base de Schaude de
E(ϕ)
.
Dado que
span {un:n∈N}=R∞
es denso en
E(ϕ)
, en i ud del C i e io de G un-
blum ( e la P oposición B.11), bas a p oba que exis e
C∗∈R+
al si
p, q ∈N
y
p < q
,
en onces



p
X
i=1
iui

≤C∗


q
X
i=1
iui

,
pa a odo
i∈R
con
1≤i≤q.
(2.9)
Supongamos inicialmen e que
p
es un núme o pa ; es deci , que
p= 2n
pa a cie o
n∈N
. Dado
N∈N
al que
N≥n
, conside a emos
αn=


n
X
i=1
2iei


y
α=


N
X
i=1
2iei

.
Tenemos en onces que



p
X
i=1
iui

=


2n
X
i=1
iui

=


n
X
i=1
2i−1ei−Fn
X
i=1
2iei

+


n
X
i=1
2iei


=


n
X
i=1
2i−1ei−
n
X
i=1
2iϕ−log | 2i|
αnei

+αn
=


n
X
i=1
2i−1ei−
n
X
i=1
2iϕlog αn−log | 2i|ei

+αn
=


n
X
i=1
2i−1ei−
n
X
i=1
2ihϕlog αn−log | 2i|
+ϕlog α−log | 2i|−ϕlog α−log | 2i|iei

+αn
≤C


n
X
i=1 h 2i−1− 2iϕlog α−log | 2i|iei


+C


n
X
i=1
2ihϕlog αn−log | 2i|−ϕlog α−log | 2i|iei

+αn
≤C


n
X
i=1 h 2i−1− 2iϕlog α−log | 2i|iei

+CLϕ


n
X
i=1
2i|log α−log αn|ei

+αn
=C


N
X
i=1 h 2i−1− 2iϕlog α−log | 2i|iei

+CLϕlog α
αn


n
X
i=1
2iei

+αn
≤C


2N
X
i=1
iui

+CLϕlog α
αn


n
X
i=1
2iei

+αn=C


2N
X
i=1
iui

+CLϕlog α
αnαn+αn
=C


2N
X
i=1
iui

+CLϕlog α
αnαn
αα+αn≤C


2N
X
i=1
iui

+CLϕ
eα+αn
28
≤C


2N
X
i=1
iui

+CLϕ
eα+α≤C+CLϕ
e+ 1


2N
X
i=1
iui

,
donde en la an epenúl ima desigualdad hemos empleado que
| log | ≤ e−1
pa a
0< < 1
.
Supongamos aho a que
p
es un núme o impa , es deci , que
p= 2n−1
pa a cie o
n∈N
. Empleando lo ob enido an e io men e, ob enemos aho a que



p
X
i=1
iui

=


2n
X
i=1
iui− 2nu2n

≤C


2n
X
i=1
iui

+| 2n|ku2nk
≤CC+CLϕ
e+ 1


2N
X
i=1
iui

+C| 2n| ≤ C2+C2Lϕ
e+ 2C


2N
X
i=1
iui

,
pues
| 2n| ≤ 


N
X
i=1
2iei

≤


N
X
i=1
2iei

+


N
X
i=1
2i−1ei−FN
X
i=1
2iei

=


2N
X
i=1
iui

.
Además, pues o que pa a odo
k∈N
,



2k
X
i=1
iui

≤


2k+1
X
i=1
iui

,
la desigualdad (2.9) es cie a an o pa a
q
pa como pa a
q
impa .
29
enemos en onces que



2n
X
i=1
xi


=

2X
i∈A
xi−
2n
X
i=1
εixi


(k·k
es subadi i a
)≤2 

X
i∈A
xi


+


2n
X
i=1
εixi


(|A| ≤ n)≤2 an +b2n
Po an o, hemos p obado que
a2n =sup
kxik≤1


2n
X
i=1
xi


≤2 an +b2n ,
de donde deducimos nalmen e que,
(2n)− a
2n≤n− a
n+ (2n)− b
2n,
pa a odo
n∈N.
En pa icula , (pa a 
n= 2n
)
2−(n+1)a2n+1  ≤2−na2n +2−(n+1)b2n+1  ,
pa a cada
n∈N,
o equi alen emen e, si
αn= 2−na2n
y
βn= 2−nb2n
,
αn+1 −αn ≤βn+1 ,
pa a cada
n∈N.
(3.1)
Dado que po hipó esis
supn≥2n−1bn<1
, enemos luego que
b2<2
. Sea en onces
p > 1
al que
b2≤21/p
. En al caso, empleando la submul iplicidad de
(bn)n∈N
, ob enemos
que
b2k≤b2·. . . ·b2≤21/p ·. . . ·21/p =p
√2k,
pa a cada
k∈N.
(3.2)
Dado aho a
m∈N
a bi a io, escojamos
k∈N
de modo que
m∈[2k,2k+1)⊂R
. Así,
empleando que
bn
es c ecien e y (3.2), ob enemos que
bm≤b2k+1 ≤p
√2k+1 =p
√2p
√2k≤21/p p
√m
(3.3)
Po an o, en i ud de (3.2) y (3.3),
bn≤p
√2n1/p,
pa a odo
n∈N,
de donde concluimos aho a que
supn∈Nn−1/pbn<∞
. En al caso,
βn =2−nb2n = 2n /p2−n 2−n/pb2n ≤2n (1
p−1) sup
n∈N
n−1/pbn,
pa a cada
n∈N,
y en onces
∞
X
n=1
βn <∞,
de donde  eniendo en cuen a (3.1) deducimos nalmen e que
(αn )n∈N
es una sucesión
aco ada en
(R,|·|)
; luego,
sup
n∈N
n−1an<∞.
36

En el siguien e esul ado demos amos una impo an e desigualdad en e las sucesio-
nes
(cn)n∈N(Y)
,
(cn)n∈N(X/Y )
y
(cn)n∈N(X)
( éase la ecuación (3.6)); empleando dicho
esul ado se emos capaces de p oba que la suma o cida de espacios
B
-con exos es un
espacio
B
-con exo.
Teo ema 3.8
(la suma o cida de dos espacios B-con exos es B-con exa)
.
Si
0−→ Y−→ X−→ X/Y −→ 0
es una sucesión exac a co a de espacios quasi Banach
al que
l´ım
n→∞ cn(Y) = 0 = l´ım
n→∞ cn(X/Y ),
en onces
l´ım
n→∞ cn(X) = 0.
Demos ación.
Sea
{xij,1≤i≤m, 1≤j≤n}
un conjun o o mando po
nm
ec o es de
X
y
θij
,
con
1≤i≤m
y
1≤j≤n
, las
nm
p ime as unciones de Rademache en el in e alo
[0,1] ⊂R
, es o es,
θij( ) = signosen(2kπ )
, pa a cada
k= 1, . . . , nm
y
∈[0,1]
. Tenemos
en onces que
1
2nm X
εij =±1

X
i,j
εijxij


2=Z1
0


m
X
i=1
n
X
j=1
θij( )xij


2d .
[Esc ibiendo la suma de Riemann de la in eg al del segundo miemb o asociada a la pa -
ición uni o me del in e alo
[0,1]
o mada po
2mn
subin e alos.]
Sean ambién,
ϕi
con
1≤i≤m
las
m
p ime as unciones de Rademache en el in e -
alo
[0,1] ⊂R
. Tenemos luego que [empleando la adi i idad de la in eg al in e io  del
segundo miemb o]
Z1
0


m
X
i=1
n
X
j=1
θij( )xij


2d =Z1
0Z1
0


m
X
i=1
n
X
j=1
ϕi(s)θij( )xij


2ds d
=Z1
0Z1
0


m
X
i=1
ϕi(s)ui( )


2ds d =Z1
0
A( )2d ,
donde, pa a cada
1≤i≤m
,
ui( ) =
n
X
j=1
θij( )xij, ∈[0,1] ⊂R
y
A( ) = Z1
0


m
X
i=1
ϕi(s)ui( )


2ds1
2
, ∈[0,1] ⊂R.
Po an o, hemos p obado que
1
2nm X
εij =±1

X
i,j
εijxij


2=Z1
0
A( )2d .
Dado que
ui: [0,1] ⊂R−→ X
es una unción simple (es o es, alcanza una can idad
ni a de alo es en
X
) es posible escoge una unción simple
i: [0,1] ⊂R−→ Y
al que
kui( ) + i( )kX≤2kπ(ui( ))kX/Y ,
(3.4)
37
con
kπ(ui( ))kX/Y = ´ın {kui( )−ykX:y∈Y}
. Así pues,
k i( )k=k i( ) + ui( )−ui( )k ≤ k(k i( ) + ui( )k+kui( )k)
(
3.4
)≤k(2 kπ(ui( ))k+kui( )k)≤3kkui( )k.
(3.5)
Po o a pa e,



m
X
i=1
ϕi(s)ui( )

≤k


m
X
i=1
ϕi(s)ui( ) + i( )

+


m
X
i=1
ϕi(s) i( )

,
y en onces, aplicando la desigualdad de Minkowski,
A( ) = Z1
0


m
X
i=1
ϕi(s)ui( )


2ds1
2
(
Minkowski
)≤kZ1
0


m
X
i=1
ϕi(s)ui( ) + i( )


2ds1
2
+kZ1
0


m
X
i=1
ϕi(s) i( )


2ds1
2
(
Riemann
) = k1
2mX
εi=±1


m
X
i=1
εiui( ) + i( )


21
2
+k1
2mX
εi±1


m
X
i=1
εi i( )


21
2
(
De .
cn)≤km cm(X)2
m
X
i=1 

ui( ) + i( )


21
2
+km cm(Y)2
m
X
i=1 k i( )k21
2
(
(3.4) y (3.5)
)≤k√m cm(X) 2m
X
i=1 kπ(ui( ))k21
2+k√m cm(Y) 3km
X
i=1 kui( )k21
2.
Po an o, empleando nue amen e la desigualdad de Minkowski, ob enemos que
Z1
0
A( )2d 1
2
≤k√m2cm(X)m
X
i=1 Z1
0kπ(ui( ))k21
2
+ 3 cm(Y)km
X
i=1 Z1
0kui( )k21
2
=k√m2cm(X)m
X
i=1 Z1
0


n
X
j=1
θij( )π(xij)


21
2
+ 3 cm(Y)km
X
i=1 Z1
0


n
X
j=1
θij( )xij


21
2
=k√m2cm(X)m
X
i=1
1
2nX
εj±1


n
X
j=1
εjπ(xij)


21
2
+ 3 cm(Y)km
X
i=1
1
2nX
εj±1


n
X
j=1
εjxij


21
2
≤k√m2cm(X)m
X
i=1
cn(X/Y )2n
n
X
j=1 kπ(xij)k21
2
+ 3 cm(Y)km
X
i=1
cn(X)2n
n
X
j=1 kxijk21
2
≤k√mn2cm(X)cn(X/Y )m
X
i=1
n
X
j=1 kxijk21
2
+ 3kcm(Y)cn(X)m
X
i=1
n
X
j=1 kxijk21
2.
Así pues, pa a
{xij : 1 ≤i≤m, 1≤j≤n} ⊂ X
al que
m
X
i=1
n
X
j=1 kxijk2= 1,
enemos que
1
2nm X
εij =±1

X
i,j
εijxij


2≤k2mnh2cm(X)cn(X/Y )+3kcm(Y)cn(X)i2;
38
es deci ,
cnm(X)≤kh2cm(X)cn(X/Y )+3kcm(Y)cn(X)i.
En pa icula , pa a
n=m
,
cm2(X)≤2k cm(X/Y )+3k2cm(Y)cm(X).
(3.6)
Po an o, dado que
l´ım
m→∞ 2kcm(X/Y )+3k2cm(Y) = 0,
concluimos que
cm(X) = α < 1,
pa a cie o
m >> 1.
[sea
λm= 2kcm(X/Y ) + 3k2cm(Y)
; luego
λm<1/2
pa a
m >> 1
y en onces
cm2≤cm/2
,
cm4≤cm2/2≤cm/4
,
cm8≤cm4/2≤cm/8
,...]
En al caso, pa a
{xi: 1 ≤i≤m} ⊂ X
con
kxik ≤ 1
pa a odo
1≤i≤m
, enemos
empleando que
cm≤α
 que
1
m2mX
εi=±1


m
X
i=1
εixi


2≤α2
m
X
i=1 kxik2≤α2m,
o equi alen emen e
1
2mX
εi±1


m
X
i=1
εixi


2≤α2m2;
luego exis en signos
εi=±1
, con
1≤i≤m
, pa a los que



m
X
i=1
εixi


2≤α2m2,
y en onces
bm(X)≤αm < m
. Po an o, aplicando un azonamien o como el de la p ueba
de la P oposición 3.7 concluimos que
l´ım
m→∞ m−1bm(X) = 0.
Has a aho a, hemos p obado que la suma o cida
X
de espacios
B
-con exos es local-
men e con exa (en i ud del Teo ema 3.8 y la P oposición 3.7). Po o a pa e, en i ud
del Teo ema 1.5, oda suma o cida de espacios de Banach es un espacio quasi-Banach.
Es os esul ados ga an izan la exis encia de un en o no aco ado y con exo de
0∈X
.
Po an o, pa a conclui que la suma o cida
`p(ϕ)
es isomo a a un espacio de Banach,
bas a p oba que el espacio de sucesiones
`p
, con
1<p<∞
, es
B
-con exo (P oposición
3.12 siguien e) e in oca luego el siguien e esul ado (cuya demos ación puede consul a se
en [45, p. 30]).
P oposición 3.9.
Un espacio quasi-Banach localmen e con exo es isomo o a un espacio
de Banach.
Cen émonos en onces en demos a que
`p
, con
1<p<∞
, es un espacio
B
-con exo.
Emplea emos pa a ello el siguien e concep o.
Denición 3.10.
[19, p. 36] Un espacio de Banach
X
se dice
uni o memen e con exo
si
pa a odo
ε > 0
exis e algún
δ > 0
al que pa a
x, y ∈BX
se iene que


x+y
2

>1−δ
implica que
kx−yk< ε.
(3.7)
39
No a 3.11
(Sob e la Denición 3.10)
.
La denición usual de espacio uni o memen e con exo ( e , po ejemplo, [18, 1, 34]) an
sólo equie e la condición (3.7) pa a ec o es uni a ios. No obs an e, puede demos a se
( e [34, p. 60]) que es a úl ima condición implica la con exidad uni o me en el sen ido
de la Denición 3.10 an e io , que se á sucien e pa a nues os p opósi os.
El siguien e esul ado puede consul a se en [19].
P oposición 3.12.
Todo espacio uni o memen e con exo es
B
-con exo.
Demos ación.
Supongamos que
X
es uni o memen e con exo. En al caso, exis e
δ(1) >0
de modo
que si
x, y ∈BX
son ales que
kx−yk>1
, en onces
kx+yk<2(1 −δ(1))
.
Ve emos que
X
es
B
-con exo ( e Denición 3.4 an e io ) con
n= 2
y
δ= m´ın{1
2, δ(1)}
.
Dados
x1, x2∈BX
, dis inguimos dos casos:
(1) si
kx1−x2k ≤ 1
en onces enemos que
kx1−x2k ≤ 1 = 2(1 −1
2)≤2(1 −δ);
(2) si
kx1−x2k>1
en onces se sigue que
kx1+x2k ≤ 2(1 −δ(1)) ≤2(1 −δ).
En gene al, pa a ec o es
x1, x2∈X
 eescalando ales ec o es de se necesa io
exis e un signo
ε∈ {−1,1}
de modo que
1
2kx1+εx2k ≤ (1 −δ) m´ax
i=1,2kxik.
.
Es conocido que los espacios
`p
, con
1<p<∞
, son uni o memen e con exos ( e [18]
o [4]); luego, en i ud de la P oposición 3.12, dichos espacios son
B
-con exos. Así pues,
concluimos nalmen e que:
Co ola io 3.13.
Pa a
1<p<∞
, la suma o cida
`p(ϕ)
es isomo a a un espacio de Banach.
3.2. El espacio dual de
`p(ϕ)
Cen amos aho a nues o in e és en el es udio del espacio dual de la suma o cida
`p(ϕ)
, con
1<p<∞
, in oducida en el epíg a e 2.3 an e io .
Dado que pa a
1<p<∞
, el espacio
`p(ϕ)
es un espacio de Banach, su dual ambién
se á un espacio de Banach. Además, pues o que oma duales en espacios de Banach es
exac o Lema 3.14, el dual de la suma o cida
`p(ϕ)
se á ambién una suma o cida de
espacios de Banach. Más exac amen e, end emos que
`p(ϕ)∗=`q(ψ)
, con
p
y
q
exponen es
conjugados, pa a cie a unción
ψ∈£
que log a emos iden ica en el Teo ema 3.15.
40
Lema 3.14
(el unc o dualidad es exac o)
.
Si
0−→ X−→ Z−→ Y−→ 0
es una sucesión exac a de espacios de Banach, en onces
0−→ Y∗−→ Z∗−→ X∗−→ 0
ambién es una sucesión exac a de espacios de Banach.
Demos ación.
(Ve [13, Lemma 2.2.d])
Deno a emos po
i
y
q
las co espondien es inclusión y aplicación cocien e. Ya que la
aplicación
q
es sob eyec i a,
q∗
es inyec i a. En e ec o, pues
ke (q∗) = { ∈Y∗:q∗( )=0}={ ∈Y∗: (q(z)) = 0,
pa a odo
z∈Z}
={ ∈Y∗: (x) = 0,
pa a odo
x∈Y}= 0.
Aho a, ya que
i∗
es la es icción de los uncionales de
Z
a
X
, en i ud del Teo ema
de Hahn-Banach,
i∗
es sob eyec i a.
Finalmen e, pa a e que la sucesión es exac a bas a ene en cuen a que si
X⊥={ ∈Z∗: (x) = 0,
pa a odo
x∈X}={ ∈Z∗:i∗( ) = 0}= ke (i∗),
en onces
ke (i∗) = X⊥= (Z/ke q)∗=Y∗= (Im q)∗= Im q∗.
Teo ema 3.15
(espacio dual de la suma o cida
`p(ϕ)
)
.
Pa a
1<p<∞
y
ϕ∈£
, el espacio dual
`p(ϕ)∗
es equi alen e al espacio
`q(ψ)
si
1
p+1
q= 1
y
ψ( ) = −ϕ
p−1,
pa a cada
≥0.
Demos ación.
En i ud del Lema 3.14 an e io , sabemos que
`p(ϕ)∗
es una suma o cida de
`q
y
`q
, siendo
q
el exponen e conjugado de
p
. Es deci , sabemos que exis e una aplicación
quasi-lineal
G:`q−→ `q
al que
`p(ϕ)∗=`q⊕G`q
. Además, la dualidad iene dada po
h(x, y),(w, z)i=hy, wi+hx, zi,
pa a
x, y ∈`p
y
w, z ∈`q.
Sea
H:`q−→ `q
la aplicación quasi-lineal ob enida a pa i de la unción lipschi ziana
ψ
indicada en el enunciado y
R∞
q
el espacio ec o ial no mado
(R∞,k·kq)
. Conside emos
aho a la aplicación
T:R∞
q⊕HR∞
q−→ `p(ϕ)∗
denida, pa a cada
(w, z)∈R∞
q⊕HR∞
q
,
como
T(w, z) (x, y) = hy, wi+hx, zi,
pa a cada
(x, y)∈`p(ϕ).
Las desigualdades que p oba emos a con inuación, mues an que
T(w, z)
es un un-
cional lineal y aco ado en
`p(ϕ)
es o es, que
T
es á bien denido y que
T∈ B(`q⊕H
`q, `p(ϕ)∗)
.
Pues o que
hy, wi+hx, zi=hy, w −H(z) + H(z)i+hx−F(y) + F(y), zi
41

=hy, w −H(z)i+hy, H(z)i+hx−F(y), zi+hF(y), zi,
enemos en onces que
|hy, wi+hx, zi| ≤ |hF(y), zi+hy, H(z)i|+|hx−F(y), zi+hy, w −H(z)i|.
(3.8)
A con inuación, aco a emos cada uno de los sumandos de la desigualdad an e io . El si-
guien e esul ado auxilia juga á un papel cla e a la ho a de ob ene dichas desigualdades.
Lema 3.16
(auxilia pa a el Teo ema 3.15)
.
Si
1<p<∞
y
xi, yi∈R
pa a
1≤i≤n
, en onces

n
X
i=1
xiyilog |xi|
|yi|p−1≤(p−1)kxkqq+kykpp
e.
Pa a el p ime sumando de (3.8), empleando el Lema 3.16 an e io , ob enemos que
|hF(y), zi+hy, H(z)i| =
n
X
i=1
yiziϕlog kyk
|yi|+
n
X
i=1
yiziψlog kzk
|zi|
=
n
X
i=1
yiziϕlog kyk
|yi|−
n
X
i=1
yiziϕlog kzk
|zi|1
p−1
=
n
X
i=1
yizihϕlog kyk
|yi|−ϕlog kzk
|zi|1
p−1i
≤Lϕ
n
X
i=1 |yizi|log hkyk
|yi||zi|
kzk1
p−1i
=Lϕ
p−1
n
X
i=1 |yizi|log hkyk
|yi|p−1|zi|
kzki
z∗
i=|zi|sgn log kykp−1|zi|
|yi|p−1kzk=Lϕ
p−1
n
X
i=1 |yi|z∗
ilog hkyk
|yi|p−1|zi|
kzki
ui=|yi|
kyk, i=z∗
i
kzk=Lϕ
p−1
n
X
i=1 kykuikzk ilog(ui1−p| i|)
=Lϕkykkzk
p−1
n
X
i=1
ui ilog | i|
uip−1
≤Lϕkykkzk
p−1
n
X
i=1
ui ilog | i|
uip−1
(Lema 3.16)
≤Lϕkykkzk
p−1
(p−1)kukpp+k kqq
e=Lϕpkykkzk
e(p−1) .
(3.9)
Po o a pa e, pa a el segundo sumando de (3.8),
|(y, w −H(z)) + (x−F(y), z)| ≤ |(y, w −H(z))|+|(x−F(y), z)|
≤ kykkw−H(z)k+kx−F(y)kkzk
(3.10)
Po an o, aunando (3.9) y (3.10) y conside ando
K= m´ax Lϕp/(pe −e),1
,
|T(w, z) (x, y)|=|hy, wi+hx, zi| ≤ (kx−F(y)kkzk+Kkykkzk+kykkw−H(z)k)
42
≤K(kx−F(y)k+kyk)(kw−H(z)k+kzk)
≤Kk(x, y)kR∞
p⊕FR∞
pk(w, z)k`p(ψ).
(3.11)
Así pues, en i ud de (3.11),
T(w, z)
es un uncional con inuo en
R∞
p⊕FR∞
p
; es deci ,
T(w, z)
es un elemen o de
`p(ϕ)∗
y además nue amen e en i ud de (3.11)
T
es un
ope ado lineal y aco ado de
R∞
q⊕HR∞
q
en
`p(ϕ)∗
.
Además, es ácil p oba que
T
induce una equi alencia en e las sumas o cidas
`q⊕H`q
y
`p(ϕ)∗
al hace conmu a i o el diag ama
0R∞
qR∞
q⊕HR∞
qR∞
q0
0R∞
q`p(ϕ)∗R∞
q0
T
En e ec o, pues cuando conside emos las complecciones de los espacios que apa ecen en
el diag ama an e io , la equi alencia en e sumas o cidas sigue siendo álida y queda
en onces p obado el esul ado enunciado.
Demos ación del Lema 3.16.
Sea
J
el conjun o de índices de
{1,2, . . . , n}
pa a los que
|xi| ≤ |yi|p−1
y sea
K
el
conjun o o mado po los índices es an es. Tenemos en onces que,
X
i∈J
xiyilog |xi|
|yi|p−1=X
i∈J
xi
|yi|p−1log |xi|
|yi|p−1yi|yi|p−1
≤X
i∈Jxi
|yi|p−1log |xi|
|yi|p−1|yi|p≤1
eX
i∈J|yi|p≤kykpp
e;
(3.12)
y, po o a pa e,
X
i∈K
xiyilog |xi|
|yi|p−1=X
i∈K
yi
|xi|q−1log |xi|
|yi|p−1xi|xi|q−1
=X
i∈K
yi
|xi|q−1log |yi|
|xi|q−1p−1xi|xi|q−1= (p−1)X
i∈K
yi
|xi|q−1log |yi|
|xi|q−1xi|xi|q−1
≤(p−1) X
i∈Kyi
|xi|q−1log |yi|
|xi|q−1|xi|q≤p−1
eX
i∈K|xi|q≤p−1
ekxkqq,
(3.13)
donde en ambos casos hemos empleado que
| log | || ≤ e−1
pa a
| | ≤ 1
.
La desigualdad enunciada se sigue aho a eniendo en cuen a (3.12) y (3.13).
43
3.3. Sucesiones básicas en
`p(ϕ)
Con el obje i o de conoce más p opiedades sob e la es uc u a de los espacios
`p(ϕ)
,
cen amos aho a nues a a ención en el es udio de sucesiones básicas. Tal modo de p o-
cede nos pe mi i á deduci p opiedades impo an es sob e los subespacios no ables de
`p(ϕ)
, que se án esencialmen e el p opio
`p(ϕ)
,
`p
y cie os espacios de O licz.
En lo que sigue, conside a emos unciones
ϕ∈£
de i ables. En al caso, la unción
quasi-adi i a asociada, que eco demos iene dada po
( ) = ϕ(−log ),
pa a cada
> 0,
sa is ace que
0( ) = ϕ(−log )−ϕ0(−log )
pa a
> 0
. Po an o, si
ϕ
es una unción
no aco ada, al se
ϕ0
una unción aco ada (po
ϕ
se lipschi ziana),
| |
es una unción
c ecien e en un en o no de
0∈R
.
En al caso, pa a la unción de O licz dada po
M( ) = | ( )|p,
pa a cada
> 0,
se sa is ace que
l´ım sup
→0
M0( )
M( )= l´ım sup
→0
p pϕ(−log )p−1ϕ(−log )−ϕ0(−log )
pϕ(−log )p
= l´ım sup
→0
pϕ(−log )−ϕ0(−log )
ϕ(−log )=p < ∞.
Po an o, la unción de O licz
M
sa is ace las hipó esis del Teo ema B.33 y en onces
`M=hM
y
x= (xn)n∈N∈`M⇐⇒
∞
X
n=1
M(|xn|) =
∞
X
n=1 | (xn)|p<∞.
Así, emplea emos la no ación
` , p
pa a e e i nos al espacio de O licz de sucesiones
`M
.
En el p ime esul ado de es e epíg a e, mos a emos un ejemplo undamen al de suce-
sión básica no malizada en
`p(ϕ)
. Dicho esul ado, puede pensa se como auxilia pa a el
Teo ema 3.18, donde habla emos de sucesiones básicas no malizadas a bi a ias de
`p(ϕ)
.
Sea en onces en lo que sigue
ϕ∈£
una unción no aco ada y de i able.
Lema 3.17
(auxilia pa a el Teo ema 3.18: sucesiones básicas en
`p(ϕ)
)
.
Si
( n)n∈N
es una sucesión básica bloque no malizada en
`p
y
wn= (F( n), n),
pa a cada
n∈N,
en onces:
(a) (wn)n∈N
es una sucesión básica en
`p(ϕ)
;
(b)
si
l´ım →∞ ϕ0( )=0
monó onamen e, exis e
(wnk)k∈N
equi alen e a la base usual de
`p
o
` ,p
;
(c)
si
ϕ( ) = c
, con
c6= 0
,
(wn)n∈N
es equi alen e a la base usual de
` ,p
.
44
Demos ación.
(a)
Po se
( n)n∈N
una sucesión bloque no malizada en
`p
, exis e una sucesión
(ln)n∈N⊂N
es ic amen e c ecien e al que
n=
ln
X
k=ln−1+1
nkek,
pa a cada
n∈N.
Así pues,
wn=F( n), n=ln
X
k=ln−1+1
nkϕ(−log | nk|)ek,
ln
X
k=ln−1+1
nkek
=
ln
X
k=ln−1+1
nkϕ(−log | nk|) (ek,0) +
ln
X
k=ln−1+1
nk(0, ek),
pa a cada
n∈N.
Po an o,
(wn)n∈N
es sucesión básica bloque espec o de la base de Schaude
(un)n∈N
ob enida en el Teo ema 2.11 an e io y así, en pa icula ( e Lema B.16),
(wn)n∈N
es una
sucesión básica en
`p(ϕ)
.
(b)
Supongamos que la se ie
P∞
n=1 nwn
con e ge en
`p(ϕ)
es deci , que
P∞
n=1( nF( n), n n)
con e ge en
`p(ϕ)
. En al caso,
P∞
n=1 n n
con e ge en
`p
, luego
P∞
n=1 | n|p<∞
y
deducimos en onces en i ud del Teo ema de Riesz (con e gencia absolu a implica
con e gencia) que
P∞
n=1 nen
con e ge en
`p
.
A con inuación, ob end emos un impo an e esul ado auxilia que se á undamen al a
la ho a de ob ene la p ueba del esul ado enunciado. Supongamos que
P∞
n=1 nen
con e ge
en
`p
; es deci , que
P∞
n=1 | n|p<∞
. En al caso, emplea emos la siguien e no ación:
σ=∞
X
n=1 | n|p1/p
y
σN=N
X
n=1 | n|p1/p,
pa a cada
N∈N.
Tenemos en onces que, al se
( n)n∈N
una sucesión bloque no malizada,



N
X
n=1
nwn

=

N
X
n=1
nF( n),
N
X
n=1
n n

=


N
X
n=1
nF( n)−FN
X
n=1
n n

+


N
X
n=1
n n


=


N
X
n=1
nF( n)−FN
X
n=1
n n

+N
X
n=1 | n|p1/p
=


N
X
n=1
nF( n)−FN
X
n=1
n n

+σN
=N
X
n=1
ln
X
k=ln−1+1 | n|p| nk|p−ϕlog 1
| nk|+ϕlog σN
| n nk|
p1/p +σN.
Así pues, dado que
ϕ
es una unción lipschi ziana luego con inua y
l´ımN→+∞σN=σ
,
en caso de exis i
l´ımN→+∞kPN
n=1 nwnk
, és e debe se igual a
∞
X
n=1
ln
X
k=ln−1+1 | n|p| nk|pϕlog 1
| nk|−ϕlog σ
| n nk|
p1/p +σ.
(3.14)
45
No a 4.3.
Los ope ado es es ic amen e singula es ue on in oducidos po Ka o ( e [29]) en
el con ex o de la eo ía de pe u bación de ope ado es. Tal concep o gene aliza al de
ope ado compac o pues, en i ud del Lema de Riesz [18, p. 19] odo ope ado compac o
es es ic amen e singula . Años más a de, Peªczy«ski [36] in oduci ía el concep o dual.
Con iene obse a el siguien e hecho: la amilia o mada po odos los ope ado es
es ic amen e singula es (cosingula es) en e dos espacios de Banach dados o ma un
ideal
de ope ado es
( e [38]). En pa icula la suma de ope ado es es ic amen e singula es
(cosingula es) y la composición de és os con un ope ado lineal y aco ado es es ic amen e
singula (cosingula ).
La siguien e p oposición nos pe mi i á p oba un impo an e esul ado ( e Teo ema
4.6 siguien e) ob enido o iginalmen e po Kal on y Peck en [27] sob e el espacio
B(Zp)
:
odo ope ado
T∈ B(Zp)
es, o bien es ic amen e singula , o bien un isomo smo sob e
alguna copia del p opio
Zp
.
P oposición 4.4.
Si
p∈(1,∞)
, en onces:
(a)j:`p−→ Zp
es es ic amen e cosingula ;
(b)q:Zp−→ `p
es es ic amen e singula .
Demos ación.
En i ud del Teo ema 3.15 an e io , la sucesión dual de la sucesión exac a co a
0`pZp`p0
j q
es (p oyec i amen e equi alen e a) la sucesión exac a co a
0`qZq`q0,
j q
donde
1/p + 1/q = 1
. Po an o, bas a p oba que
q:Zp−→ `p
es es ic amen e singula .
Supongamos que
q:Zp−→ `p
no es es ic amen e singula . En al caso, exis e un
subespacio
Y⊂Zp
de dimensión inni a de modo que
kq(y)k ≥ ε > 0,
pa a odo
y∈SY.
No obs an e, en i ud de la P oposición 4.1, exis e una sucesión básica no malizada
(wn)n∈N
de
Y
equi alen e a la base usual de
`p
al que
kq(wn)k ≥ ε > 0,
pa a odo
n∈N.
En al caso, en i ud del Co ola io 3.19 an e io ,
(wn)
iene una subsucesión equi a-
len e a la base usual del espacio O licz
` ,p
, lo cual es imposible pues oda subsucesión de
una sucesión básica equi alen e a la base de
`p
es equi alen e a la base usual de
`p
.
Teo ema 4.5.
Sea
( n)n∈N
una sucesión básica bloque de la base canónica de
`p
al que
α≤ k nk ≤ β
pa a odo
n∈N
. En al caso, la aplicación
V:Zp−→ Zp
dada po
V(en,0) = ( n,0) = j( n)
y
V(0, en) = (F( n), n),
pa a cada
n∈N,
es un isomo smo.
52

Demos ación.
Pa a cada
n∈N
, sea
n=
ln
X
ln−1+1
nkek,
con
ln−1< ln.
P oba emos que exis en cons an es
c1, c2>0
de modo que
c1k(x, y)k≤kV(x, y)k ≤ c2k(x, y)k,
pa a odo
(x, y)∈R∞⊕R∞.
Si
(x, y) = Pnxn,Pnyn∈R∞⊕R∞
, en onces
V(x, y) = Pnxn n+PnynF( n),Pnyn n
.
Po an o,
kV(x, y)k=

X
n
xn n+X
n
ynF( n)−FX
n
yn n

p+

X
n
yn n

p.
Así pues, dado que
X
n
ynF( n)−FX
n
yn n=X
n
yn
ln
X
k=ln−1+1
nklog k nk
| nk|ek−X
n
ln
X
k=ln−1
yn nklog kPnyn nk
|yn nk|ek
=X
n
ln
X
k=ln−1+1
yn nklog k nk|yn|

Pnyn n
ek
=X
n
ynlog k nk|yn|

Pnyn n
 n,
deducimos que


X
n
xn n+X
n
ynF( n)−FX
n
yn n

=

X
n
xn n+X
n
ynlog k nk|yn|
kPnyn nk n


(
k nk ≤ β
)
≤β"X
nxn+ynlog k nk|yn|
kPnyn nk
p#1/p
=β"X
nxn+ynlog k nk|yn|kyk
kPnyn nkkyk
p#1/p
=β"X
nxn+ynlog |yn|

yk+ log k nkkyk

Pnyn n

p#1/p
(Minkowski)
≤β"X
nxn+ynlog |yn|
kyk
p#1/p
+β"X
n|yn|plog k nkkyk
kPnyn n

p#1/p
(
α≤ k nk ≤ β
)
≤βkx−F(y)k+βlog β
αkyk
y en onces
kV(x, y)k ≤ βkx−F(y)k+βlog β
αkyk+

X
n
yn n


53
≤βkx−F(y)k+β1 + log β
αkyk,
pa a odo
(x, y)∈R∞⊕R∞.
Es deci , hemos p obado que
kVk ≤ β(1 + log β/α)
.
Po o a pa e, dado que


X
n
xn n+X
n
ynF( n)−FX
n
yn n

=

X
n
xn n+X
n
ynlog k nk|yn|
kPnyn nk n


(
k nk ≥ α
)
≥α"X
nxn+ynlog k nk|yn|
kPnyn nk
p#1/p
=α"X
nxn+ynlog k nk|yn|kyk
kPnyn nkkyk
p#1/p
=α"X
nxn+ynlog |yn|

yk+ log k nkkyk

Pnyn n

p#1/p
(Minkowski)
≥α"X
nxn+ynlog |yn|
kyk
p#1/p
−α"X
n|yn|plog k nkkyk
kPnyn n

p#1/p
(
α≤ k nk ≤ β
)
≥αkx−F(y)k−αlog β
αkyk,
deducimos en onces que
kV(x, y)k ≥ αkx−F(y)k−αlog β
αkyk+

X
n
yn n


≥αkx−F(y)k−αlog β
αkyk+αkyk
pa a odo
(x, y)∈R∞⊕R∞.
Aho a, dis inguimos dos casos:
(i)
si
kyk ≤ kx−F(y)k
2 log(β/α)
, en onces
kV(x, y)k ≥ α
2kx−F(y)k+αkyk ≥ α
2k(x, y)k;
(ii)
si
kyk ≥ kx−F(y)k
2 log(β/α)
, en onces
kV(x, y)k ≥ αkyk=α
2kyk+α
2kyk ≥ αkx−F(y)k
4 log(β/α)+α
2kyk ≥ C0k(x, y)k,
donde
C0= m´ın{α
4 log(β/α), α/2}
.
Es deci ,
kV(x, y)k ≥ C0k(x, y)k,
pa a odo
(x, y)∈R∞⊕R∞.
Po an o, si ex endemos
V
a odo el espacio
Zp
se conse a la no ma ( e po ejemplo,
[1, p. 446]) y ob enemos en onces el esul ado enunciado.
54
Teo ema 4.6.
Si
T:Zp−→ Zp
no es es ic amen e singula , en onces exis e un subespacio
W⊂Zp
al
que
W
es isomo o a
Zp
y
T|W
es un isomo smo.
Demos ación.
1.- En i ud de la P oposición 4.1, el espacio
Zp
es
`p
-he edi a io. Po an o, exis e un
subespacio
Y⊂Zp
isomo o a
`p
y al que
kTyk ≥ ε > 0
pa a odo
y∈SY
.
Sea en onces
(un)n∈N
una base de Schaude de
Y
equi alen e a la base usual de
`p
( e P oposción B.12). En al caso, en i ud del Co ola io 3.19 an e io ,
kqunk → 0
y
kqTunk → 0
.
Luego, empleando el Teo ema B.13 (K ein-Milman-Ru man) (y abajando de se
necesa io con una subsucesión
(unk)k∈N
), podemos supone que exis en sucesiones
básicas
( 0
n)
y
(w0
n)
en
j(`p)
ales que
kun− 0
nk → 0
y
kT(un)−w0
nk → 0.
Pasando nue amen e a subsucesiones de se necesa io, podemos supone que exis en
sucesiones básicas bloque
( n)
y
(wn)
en
`p
ales que
kun−j( n)k ≤ 2−n
y
kT(un)−j(wn)k ≤ 2−n,
pa a cada
n∈N.
2.- Pa a
N∈N
sucien emen e g ande, conside amos ope ado es
A, B :Zp−→ Zp
ales
que
kAk,kBk ≤ 1/2
,
A(j n) = un−j n
y
B(Tun) = jwn−Tun,
si
n≥N.
Tales ope ado es pueden se ob enidos aplicando el Teo ema de Hahn-Banach a los
coecien es uncionales asociados a las bases
(j( n))
y
(T(un))
.
Sea
S= (I+B)T(I+A)
. Pues o que
I+A
e
I+B
son en i ud del Teo ema
de Neumann [1, p. 446] ope ado es in e ibles, bas a en onces p oba que
S
es un
isomo smo en cie o subespacio isomo o a
Zp
.
3.- Denimos las aplicaciones
V, W :Zp−→ Zp
dadas po
V(en,0) = ( n,0) = j( n)
y
V(0, en) = (F( n), n),
pa a cada
n∈N,
y
W(en,0) = (wn,0) = j(wn)
y
W(0, en)=(F(wn), wn),
pa a cada
n∈N.
En i ud del Teo ema 4.5,
V
y
W
son isomo smos, y dado que
S(j n)=(I+B)T(I+A) (j n) = (I+B)T(j n+un−j n)
= (I+B) (Tun) = Tun+jwn−Tun=jwn,
pa a odo
n≥N,
deducimos en onces que (
W−SV
es un ope ado compa ible con la elación de
equi alencia),
(W−SV )(en,0) = (wn,0) −S( n,0) = jwn−S(j n) = 0,
pa a odo
n≥N.
55
En onces, exis e un subespacio
Y⊂Zp
de codimensión ni a al que
(W−SV )|Y
se
ac o iza po
q|Y
(p opiedad uni e sal del cocien e). Po an o, al se
q
es ic amen e
singula ,
W−SV
es es ic amen e singula ( e No a 4.3).
No obs an e, al se
W
un isomo smo, exis e
n0∈N
al que la es icción de
SV
a
span{(ej,0),(0, ej): j≥n0}
es un isomo smo.
Po an o,
S
es un isomo smo en
V(span{(ej,0),(0, ej): j≥n0})
, que es isomo o
a
Zp
y en onces,
T= (I+B)−1S(I+A)−1
es un isomo smo en un subespacio
isomo o a
Zp
.
56
Co ola io 4.7.
Todo subespacio inni o-dimensional complemen ado en
Zp
con iene un subespacio iso-
mo o a
Zp
.
Demos ación.
Sea
Y⊂Zp
un subespacio inni o dimensional complemen ado en
Zp
y
P:Zp−→ Zp
la p oyección co espondien e (en pa icula ,
P(Zp) = Y
).
Dado que la p oyección
P
no es es ic amen e singula , en i ud del Teo ema 4.6
an e io , exis e
Z⊂Zp
subespacio isomo o a
Zp
al que
P|Z
es isomo smo; luego debe
se
P(Z)⊂Y
.
No a 4.8
(Co ola io 4.7 & espacios de Banach p imos)
.
Un espacio de Banach se dice
p imo
( e [33, p. 57]) si es isomo o a sus subespacios
complemen ados de dimensión inni a.
Los ejemplos básicos de espacios de Banach p imos son los espacios de sucesiones
`p
,
con
1≤p < ∞
, y
c0
( e [1, p. 35]); a nales de los años 60, Lindens auss [32] demos ó
que el espacio
`∞
ambién es p imo. No obs an e, has a los años 90 no se conocie on más
ejemplos de espacios de Banach p imos.
En 1997 Gowe s y Mau ey [20] p opusie on un nue o espacio de Banach p imo con
pocos ope ado es. Sin emba go, la cons ucción de dicho espacio dis a mucho de se
na u al. Es po ello que, eniendo en cuen a el Co ola io 4.7 an e io , cob a especial
in e és sabe si el espacio
Z2
es p imo.
O a cues ión in e esan e y elacionada con la an e io , consis e en sabe si
Z2
es
isomo o a sus hipe planos. Pa a más in o mación sob e al cues ión puede consul a se
[26, 23, 12].
Co ola io 4.9.
Zp
no iene subespacios complemen ados isomo os a
`p
.
Demos ación.
Supongamos que
Zp
admi e un subespacio complemen ado isomo o a
`p
es o es, si
Zp∼`p⊕Y
. En al caso, el Co ola io 4.7 an e io a ma que
`p
con iene un subespacio
isomo o a
Zp
y end íamos que
0 = Zp/`p∼(`p⊕Y)/`p∼Y
, hecho que con adice la
suposición inicial.
No a 4.10
(Sob e espacios de Banach que con ienen a
`p
)
.
Sabe si un espacio de Banach dado con iene o no copias de los espacios
`p
es de g an
impo ancia. Reco demos, po ejemplo, el esul ado de Rosen hal ( e [44]) ca ac e iza los
espacios de Banach que no con ienen a
`1
como aquellos en los que oda sucesión aco ada
admi e una subsucesión débilmen e de Cauchy.
O o esul ado impo an e debido a Kade s y Peªczy«ski ( e [24] y [1, p. 167]) es el
siguien e: si
X
es un subespacio ce ado de dimensión inni a de
Lp
pa a algún
2<p<∞
,
en onces equi alen:
X
es isomo o a un espacio de Hilbe complemen ado en
Lp
y
`p
no
pueda embebe se en
X
.
Cabe señala que un p oblema clásico de la eo ía de espacios de Banach ue sabe si
exis e algún espacio d Banach eexi o sin copias de los espacios
`p
ni
c0
. Tal cues ión ue
esuel a a ma i amen e po Tsi elson [47] en 1974.
Pa a conoce más sob e el alcance y la impo ancia del abajo de Tsi elson puede
consul a se la monog a ía de Casazza y Shu a [11], donde ya en el p e acio mencionan:
57


His example opened a Pando a's box o pa hological a ia ions, and has had a emendous
eec upon he s udy o Banach spaces
.
Co ola io 4.11.
Z2
no puede embebe se en ningún espacio
Lp(0,1)
pa a
1≤p < ∞
.
Demos ación.
Supongamos que
Z2⊂Lp(0,1)
pa a cie o
p > 2
. En al caso, dado que odo espacio
de Hilbe con enido en
Lp(0,1)
es complemen ado en
Lp(0,1)
 esul ado de Kade s &
Peªczynski mencionado an e io men e, end íamos en onces que
`2
es complemen ado
en
Z2
, con adiciendo así la esis del Co ola io 4.9.
Supongamos que
Z2⊂Lp(0,1)
pa a cie o
p∈[1,2]
. En al caso, en i ud de un
esul ado de Rosen hal [43], podemos asumi que
Z2⊂Lp(0,1)
pa a cie o
p∈(1,2]
.
Aho a, un esul ado de Peªczynski y Rosen hal [37] nos pe mi e a ma que
Z2
con iene un
subespacio de Hilbe complemen ado, lo cual con adice nue amen e la esis del Co ola io
4.9.
Co ola io 4.12.
Zp
no iene subespacios complemen ados de dimensión inni a con base incondicional.
Demos ación.
Supongamos que
Zp
admi e un subespacio
Y
complemen ado de dimensión inni a
con base incondicional
(ei)i∈N
. En al caso, en i ud del Teo ema 3.18 an e io , exis e
una subsucesión
(eik)k∈N
equi alen e a la base canónica de
`p
o
` ,p
.
Además, dado que
(ei)i∈N
es incondicional,
span {eik:k∈N} ⊂ Zp
es complemen ado
en
Y
( e [1, p. 54]) y en onces, ambién es complemen ado en
Zp
. Dado que el espacio
de O licz
` ,p
con iene un subespacio complemen ado isomo o a
`p
( e [33, p. 157]),
ob enemos en ambos casos una con adicción con la esis del Co ola io 4.9.
58
4.2. Ope ado es en el espacio
Z2
El espacio
Z2
es el ejemplo undamen al de suma o cida de espacios de Hilbe que
apa ece en el a ículo o iginal de Kal on y Peck [27]. Ob iamen e, cons i uye una de las
soluciones del
p oblema de Palais
que mencionábamos en la in oducción del Capí ulo 1.
Es más,
Z2
es una solución ex ema pa a dicho p oblema ( éase [27, p. 24-26] o [26, p.
109-110] pa a en ende a qué nos e e imos con ex ema) y iene g an ele ancia den o
de la eo ía de espacios de Banach. El a ículo [12] da cuen a de és o úl imo y en él su
au o p opone un p og ama de clasicación de las sumas o cidas de espacios de Hilbe .
Con el obje i o de ap oxima nos a al p og ama de clasicación, en es a sección es u-
dia emos b e emen e el espacio de ope ado es en
B(Z2)
.
A di e encia de lo is o en el Teo ema 4.6 an e io donde demos amos que odo
ope ado
T:Zp−→ Zp
es es ic amen e singula o, en caso con a io, un isomo smo
sob e alguna copia de
Zp
, pa a
p= 2
enemos un esul ado aún más ue e ( e Teo ema
4.19 siguien e): pa a odo espacio de Banach
X
, odo ope ado
T:Z2−→ X
es, o bien
es ic amen e singula , o bien un isomo smo sob e una copia complemen ada de
Z2
.
La demos ación o iginal de dicho esul ado se encuen a en [26]. No obs an e, a con-
inuación segui emos el esquema de [10], donde los au o es denen la siguien e e sión
local de la aplicación de Kal on-Peck.
Denición 4.13.
Dada una sucesión bloque
(un)
de elemen os con sopo es disjun os
consecu i os en
`2
, sea
U= [un] = span{un:n∈N}
. En al caso, se dene la aplicación
de
Kal on-Peck ela i a a
U
como
KPU(u) = −X
n
λnlog |λn|
kukun,
pa a cada
u=X
n
λnun∈U
con sopo e ni o
.
No a 4.14.
Si
kuk= 1
se iene que
KPU(u)−KP(u) = −X
n
λnunlog |λn|+X
n
λnunlog |λnun|
=X
n
λnunlog |un|=−X
n
λnKP(un)
Ya p obamos que
Z2
es eexi o y que su dual es p oyec i amen e equi alen e al p opio
Z2
; en pa icula ,
Z2
es isomo o a
Z∗
2
. La siguien e p oposición, cuya demos ación puede
consul a se en [10], da un isomo smo explíci o en e ambos espacios.
P oposición 4.15
(Isomo smo en e
Z2
y
Z∗
2
)
.
Conside amos la o ma bilineal an isimé ica
/·,·.:Z2×Z2→R
que asigna a cada
(y, x),(y0, x0)∈Z2×Z2
el núme o eal
/(y, x),(y0x0).=hy, x0i`2−hx, y0i`2.
En al caso, la aplicación
D:Z2−→ Z∗
2
denida, pa a cada
a∈Z2
, como
D(a)(b) = / a, b .,
pa a cada
b∈Z2,
es un isomo smo.
59
En la siguien e denición se in oducen ope ado es análogos a los dados en el Teo ema
4.5 an e io , adap ados aho a pa a el caso de
Z2
.
Sea
(un)
una sucesión bloque no malizada de elemen os con sopo es disjun os y con-
secu i os de
`2
.
Denición 4.16.
El
ope ado bloque asociado a
U
es la aplicación
TU:Z2−→ Z2
dado
po
TU(ej,0) = (uj,0)
y
TU(0, ej) = (KP(uj), uj),
donde
KP
es la aplicación quasi-lineal de Kal on-Peck.
P oposición 4.17.
El ope ado bloque
TU
dado en la Denición 4.16 es una isome ía
(no necesa iamen e sob eyec i a) y la imagen
TU(Z2)
es un subespacio complemen ado
isomo o a
Z2
.
Demos ación.
Dado
(y, x)∈Z2
, si
y=Pyiei
y
x=Pxjej
son sucesiones con sopo e ni o, en-
onces
TU(y, x) = Pyiui+PxjKP(uj),Pxjuj
; luego, empleando el cálculo ealizado
en la No a 4.14 an e io , que
(un)
es una sucesión bloque no malizada y que
x
e
y
ienen
sopo e ni o, se iene que
kTU(y, x)k=

Xyiui+XxjKP(uj),Xxjuj


=

Xyiui+XxjKP(uj)−KPXxjuj

+

Xxjuj


=

Xyiui−KPUXxjuj

+

Xxjej


=

Xyiei−KPXxjej

+

Xxjej


=k(y, x)k.
Además,
TU(Z2)
es una copia isomo a de
Z2
complemen ada en el p opio
Z2
. En e ec o,
si enemos en cuen a el diag ama donde
D:Z2−→ Z∗
2
es el isomo smo dado en la
P oposición 4.15
Z2Z2
Z∗
2Z∗
2
TU
D D
T∗
U
se sigue que
D=T∗
UDTU
ya que
T∗
UDTU(ej,0)(y, x) =T∗
UD(uj,0)(y, x) = D(uj,0)TU(y, x)
=huj,X
i
xiuii=xj=hej, xi
y
T∗
UDTU(0, ej)(y, x) = T∗
UDKP(uj), uj(y, x) = DKP(uj), ujTU(y, x)
=DKP(uj), ujXyiui+XxiKP(ui),Xxiui
=hKP(uj),Xxiuii−huj,Xyiui+XxiKP(ui)i
60
KP(uj) = 0=−yj.
De es a o ma,
TUD−1T∗
UDTUD−1T∗
UD=TUD−1DD−1T∗
UD=TUD−1T∗
UD
da luga a una
p oyección de
Z2
en
TU(Z2)
.
La siguien e p oposición a ma que el ca ác e es ic amen e singula de un ope ado
de
Z2
sólo depende de su compo amien o en el subespacio
`2
.
P oposición 4.18.
Un ope ado
τ∈ B(Z2, X)
es es ic amen e singula si y sólo si su
es icción
τ|`2
es es ic amen e singula .
Demos ación.
Supongamos que
τ|`2
es es ic amen e singula . Conside emos el siguien e diag ama:
0`2Z2`20
τ(`2)
j
τj
ρ
Aho a bien, si deno amos po
PO
el push-ou gene ado po los mo smos
j:`2→Z2
y
τj :`2→τ(`2)
ob enemos una sucesión exac a co a
0→τ(`2)→PO →`2→0
( e
[13, 1.3.a]), lo cual comple a el diag ama a
0`2Z2`20
0τ(`2) PO `20
j
τj
ρ
(τj)0
En i ud de la P oposición 4.4, la aplicación cocien e es es ic amen e singula . Po
hipó esis,
τj
ambién lo es; luego, en i ud de [9, Lema 3],
(τj)0
es ambién es ic amen e
singula .
Así, como
τj :`2,→X
y
τ:Z2−→ X
, la p opiedad uni e sal del push-ou ga an iza
que exis e un ope ado
α: PO −→ X
al que
τ=α(τj)0
, po lo que
τ
es es ic amen e
singula .
Finalmen e ya es amos en condiciones de enuncia y p oba el esul ado p ome ido.
Teo ema 4.19.
Todo ope ado
τ:Z2−→ X
es, o bien es ic amen e singula , o bien un
isomo smo sob e una copia complemen ada de
Z2
.
Demos ación.
Conside emos el siguien e diag ama de push-ou :
`2`2
0Z2X⊕Z2X0
0`2PO X0
jj
(τ,1)
ρQ
61
(ii) (X, τ)
es
localmen e con exo
si admi e una base local
U
o mada po conjun os
con exos. Un conjun o
C⊂X
se dice
con exo
si
λC + (1 −λ)C⊂C
pa a odo
0≤λ≤1
.
En al caso, es posible escoge una base local
U
o mada po conjun os
absolu amen e
con exos
. Un conjun o
C⊂X
se dice
absolu amen e con exo
si
λC +µC ⊂C
pa a
odo
λ, µ ∈K
con
|λ|+|µ| ≤ 1
.
(iii) (X, τ)
es
localmen e aco ado
si
0∈X
admi e un en o no aco ado. Un conjun o
B⊂X
se dice
aco ado
si dado un en o no
U
de
0∈X
exis e
n∈N
al que
B⊂nU
.
Obse emos que si
Bi⊂X
con
1≤i≤n
son conjun os aco ados, en onces
B1+
···+Bn
ambién es un conjun o aco ado.
(i )
Pa a
0< p ≤1
, un conjun o
C⊂X
se dice
p
-con exo
si
λC +µC ⊂C
pa a odo
λ, µ ≥0
ales que
λp+µp= 1
.
( )
Pa a
0< p ≤1
, un conjun o
C⊂X
se dice
absolu amen e
p
-con exo
si
λC+µC ⊂C
pa a odo
λ, µ ∈K
ales que
|λ|p+|µ|p= 1
.
A.2. Espacios ec o iales quasi-no mados
Sea
X
un espacio ec o ial.
Denición A.4
(
4
-no ma)
.
Una
4
-no ma en
X
es una aplicación
k·k:X−→ R
al que:
(i)kxk>0
pa a odo
x∈X
con
x6= 0
,
(ii)kαxk≤kxk
pa a odo
x∈X
y
α∈K
con
|α| ≤ 1
,
(iii) l´ımα→0kαxk= 0
pa a odo
x∈X
,
(i )
exis e
C∈R+
al que
kx+yk ≤ Cm´ax{kxk,kyk}
pa a odo
x, y ∈X
.
No a A.5
(
4
-no ma & EVT mé icos)
.
Toda
4
-no ma
k·k
dene una es uc u a de espacio ec o ial opológico me izable
sob e
X
pa a la que una base local de
0∈X
iene dada po
Un={x∈X:kxk<1/n},
con
n∈N.
En al caso,
xn→x
si y sólo si
kxn−xk → 0
.
Si
(X, τ)
es un espacio opológico que admi e una base local nume able
{Un:n∈N}
pa a la que:
∩Un={0}
,
Un+1+Un+1 ⊂Un
y
Un
es un conjun o equilib ado i.e.
λUn⊂Un
si
|λ| ≤ 1
 pa a cada
n∈N
, en onces la aplicación
k·k:X−→ R
dada po
kxk= sup{2−n:x /∈Un},
pa a cada
x∈Un,
es una
4
-no ma en
X
que ambién induce sob e
X
la opología
τ
.
Denición A.6
(
F
-no ma, con
F
de F éche )
.
Una
F
-no ma en
X
es una aplicación
k·k:X−→ R
al que:
68

(i)kxk>0
pa a odo
x∈X
con
x6= 0
,
(ii)kαxk≤kxk
pa a odo
x∈X
y
α∈K
con
|α| ≤ 1
,
(iii) l´ımα→0kαxk= 0
pa a odo
x∈X
,
(i )kx+yk ≤ kxk+kyk
pa a odo
x, y ∈X
.
No a A.7
(
F
-no ma & EVT mé icos con mé ica in a ian e)
.
Toda
F
-no ma es una
4
-no ma. Además, si
k·k
es una
F
-no ma en
X
, en onces
d(x, y) = kx−yk,
pa a cada
x, y ∈X,
dene una dis ancia in a ian e (po aslaciones) en
X
que induce la misma opología que
la
F
-no ma
k·k
sob e
X
.
Teo ema A.8
(
4
-no ma &
F
-no ma)
.
Sea
k·k
una
4
-no ma en
X
. En al caso, si escogemos
p∈(0,1)
al que
21/p =C
, en onces
|||x||| = ´ın nn
X
i=1 kxikp:
n
X
i=1
xi=xo,
pa a cada
x∈X,
dene una
F
-no ma que induce sob e
X
la misma opología que la
4
-no ma
k·k
.
Comen a io sob e la demos ación.
Po cla idad en la exposición, indica emos los de alles de la p ueba al nal de la
sección. Conc e amen e, mos a emos que
4−1kxkp≤ |||x||| ≤ kxkp
pa a odo
x∈X
.
Denición A.9
(quasi-no ma)
.
Una quasi-no ma en
X
es una unción
k·k:X−→ R
al que:
(i)kxk>0
pa a odo
x∈X
con
x6= 0
,
(ii)kαxk=|α|kxk
pa a odo
x∈X
y
α∈K
,
(iii)
exis e
C∈R+
al que
kx+yk ≤ Cm´ax{kxk,kyk}
pa a odo
x, y ∈X
.
No a A.10
(quasi-no ma & EVT localmen e aco ados I)
.
Toda quasi-no ma es una
4
-no ma.
Sea
(X, τ)
es un espacio ec o ial opológico localmen e aco ado. En onces, si
B⊂X
es un en o no aco ado de
0∈X
, la amilia
{n−1B:n∈N}
o ma una base local nume able
de
0∈X
. Luego
(X, τ)
es me izable. Además, dado que
B+B
es aco ado, exis e
ρ≥1
al que
B+B⊂ρB
. En al caso, el
uncional de Minkowski
asociado a
B
, que iene dado
po
kxk= ´ın {λ:λ−1x∈B},
pa a cada
x∈X,
(A.1)
dene una quasi-no ma en
X
pa a la que
kx+yk ≤ ρm´ax{kxk,kyk},
pa a odo
x, y ∈X.
Recíp ocamen e, la opología denida en
X
po una quasi-no ma
k·k
da luga una
es uc u a de espacio ec o ial opológico localmen e aco ado.
69
No a A.11
(quasi-no mas & espacios ec o iales opológicos localmen e aco ados II)
.
Si
(X, τ)
es un espacio ec o ial opológico localmen e aco ado al que
0∈X
admi e
un en o no aco ado y absolu amen e
p
-con exo, la quasi-no ma dada po (A.1) sa is ace
que
kx+ykp≤ kxkp+kykp,
pa a odo
x, y ∈X.
(A.2)
Recíp ocamen e, si
k·k
es una quasi-no ma en
X
que sa is ace (A.2), la bola unidad
BX(0,1) = {x∈X:kxk ≤ 1}
es un conjun o aco ado y absolu amen e
p
-con exo.
Toda quasi-no ma
k·k
sa is aciendo (A.2) se dice
p
-subadi i a
. En al caso, di emos
que
(X, k·k)
es un espacio
localmen e
p
-con exo
(o simplemen e,
p
-con exo
).
A.2.1. Espacios quasi-Banach y
p
-con exidad
De los comen a ios an e io es se ex ae que un espacio ec o ial do ado de una quasi-
no ma es los mismo que un espacio ec o ial opológico localmen e aco ado y me izable.
Si pedimos comple i ud espec o de al mé ica, ob enemos la denición de espacio quasi-
Banach:
Denición A.12
(espacio quasi-Banach)
.
Un espacio
quasi-Banach
es un espacio ec o ial opológico
X
localmen e aco ado y com-
ple o.
Ejemplo A.13
(espacios quasi-Banach)
.
(i)
Todo espacio de Banach es un ejemplo de espacio quasi-Banach. En e ec o, pues
oda no ma es una quasi-no ma.
(ii)
Pa a
p∈(0,1)
, sea
`p
el espacio ec o ial o mado po odas las sucesiones de
escala es
a= (an)n∈N
pa a las que
kakp=∞
X
n=1 |an|p1/p <∞.
En al caso, de la desigualdad
ka+bkp=∞
X
n=1 |an+bn|p1/p ≤∞
X
n=1 |an|p+
∞
X
n=1 |bn|p1/p
=kakpp+kbkpp1/p ≤21/p m´ax{kapk,kbkp},
pa a odo
a, b ∈`p,
se sigue que
k·kp
dene una quasi-no ma en
`p
.
Además, dado que los espacios
`p
son comple os se demues a de la misma o ma
que pa a
p≥1
, deducimos en onces que pa a cada
0<p<1
,
`p
es un espacio
quasi-Banach.
(iii)
Pa a
p∈(0,1)
, sea
Lp(0,1)
el espacio o mado po odas las unciones Lebesgue-
medibles
pa a las que
k kp=Z1
0| (x)|pdx1/p <∞.
70
La comple i ud de los espacios
(Lp(0,1),k·kp)
con
0< p < 1
se p ueba de o ma
análoga al caso
p≥1
; luego
Lp(0,1)
es un espacio quasi-Banach pa a cada
0<p<1
.
La di e encia p incipal en e los espacios
Lp
y
`p
adica en que, al se la medida usual
de Lebesgue en el in e alo
(0,1) ⊂R
no a ómica, los espacios de unciones ienen
dual i ial es o es,
Lp(0,1)∗={0}
pa a odo
0<p<1
( éase [14]), mien as
que
(`p)∗=`∞
pa a odo
0<p<1
( e [28, Capí ulo 2]).
Denición A.14
(espacio quasi-Banach
p
-con exo)
.
Un
espacio
p
-Banach
es un espacio quasi-Banach y
p
-con exo.
Ejemplo A.15
(espacios
p
-Banach)
.
(i)
Pa a
0<p<1
, los espacios
`p
y
Lp(0,1)
son ejemplos de espacios
p
-Banach.
(ii)
Tal y como e emos más adelan e (en el Co ola io A.17), odo espacio quasi-Banach
es
p
-Banach pa a cie o
0<p<1
.
El siguien e eo ema es un esul ado undamen al de la eo ía geomé ica de espacios
ec o iales opológicos. O iginalmen e, ue p obado po Aoki [2] y Rolewicz [42]; esencial-
men e, a ma que siemp e que exis a un en o no aco ado del o igen, exis e un en o no
p
-con exo con enido en él pa a algún
p > 0
.
Teo ema A.16
(Aoki-Rolewicz)
.
Sea
(X, τ)
un espacio ec o ial opológico localmen e aco ado. En al caso, exis e
p > 0
al que
(X, τ)
es
p
-con exo.
Más exac amen e, si
B
es un en o no aco ado de
0∈X
al que
B+B⊂ρB
, en onces
X
es
p
-con exo pa a
p
al que
21/p =ρ
.
Demos ación.
Po se
(X, τ)
un espacio ec o ial opológico localmen e aco ado, exis e  e No a
A.10 una quasi-no ma
k·k
en
X
que dene una opología equi alen e a
τ
. Además, en
i ud aho a del Teo ema A.8 an e io ,
|||x|||1= ´ın n n
X
i=1 kxikp1/p :
n
X
i=1
xi=xo,
pa a cada
x∈X,
dene una quasi-no ma
p
-subadi i a en
X
equi alen e a
k·k
pues
4−1kxkp≤ |||x|||1
p≤
kxkp
 y en onces  e No a A.11
(X, τ)
es un espacio ec o ial opológico localmen e
p
-con exo.
Co ola io A.17.
Todo espacio quasi-Banach es
p
-Banach pa a algún
p > 0
.
No a A.18
(quasi-no mas & módulos de conca idad)
.
La cons an e
ρ
del enunciado del Teo ema A.16 an e io es al que
kx+yk ≤ ρm´ax{kxk,kyk},
pa a odo
x, y ∈X.
(A.3)
Sin emba go, a la ho a de abaja con quasi-no mas, es mucho más común conside a
módulos de conca idad
, que se ían aquellas cons an es
k∈R+
pa a las que
kx+yk ≤ k(kxk+kyk),
pa a odo
x, y ∈X.
(A.4)
Obse emos que (A.3) implica (A.4) con
k=ρ
, mien as que (A.4) implica (A.3) con
ρ= 2k
.
71
Po an o, el Teo ema A.16 an e io a ma que si se cumple (A.3), podemos conside a
una quasi-no ma equi alen e
|||·|||1
de modo que
|||x+y|||1≤|||x|||1
p+|||y|||1
p1/p,
pa a odo
x, y ∈X,
lo cual implica que
|||x+y|||1≤21/p−1(|||x|||1+|||y|||1) = ρ
2(|||x|||1+|||y|||1),
pa a cada
x, y ∈X.
Así pues, eno mando, podemos conside a
k=ρ/2
.
Es deci , el Teo ema A.16 (Aoki-Rolewicz) an e io a ma que si se cumple (A.4),
en onces
X
es
p
-con exo pa a
21/p = 2k
, o equi alen emen e, pa a
k= 21/p−1
.
Lema A.19
(una desigualdad muy ú il)
.
Si
(X, k·k)
es un espacio quasi-Banach, exis en núme os posi i os
L
y
p
ales que



n
X
i=1
xi

≤Ln
X
i=1 kxikp1/p,
pa a
xi∈X
con
1≤i≤n.
Demos ación.
Sea
k·k
la quasi-no ma o iginal de
X
,
k= ´ın {c > 1: kx+yk ≤ c(kxk+kyk)
pa a odo
x, y ∈X}
y
0<p<1
al que
21/p = 2k
. En al caso, en i ud del Teo ema A.16 an e io ,
|||x|||1= ´ın n n
X
i=1 kxikp1/p :x=
n
X
i=1
xio,
pa a cada
x∈X,
dene una quasi-no ma en
X
equi alen e a
k·k
sa is aciendo que



n
X
i=1
xi


p≤4−1
n
X
i=1
xi
p
1≤4−1
n
X
i=1 kxikp,
pa a
xi∈X
con
1≤i≤n.
Demos ación del Teo ema A.8.
P oba emos que
1
4kxkp≤ |||x||| ≤ kxkp,
pa a odo
x∈X.
(A.5)
La segunda desigualdad de (A.5) es e iden e a pa i de la denición de
|||·|||
. Po o a
pa e, la p ime a desigualdad se á cla a una ez engamos p obado que
kx1+···+xnk ≤ 41/pkx1kp+···+kxnkp1/p.
(A.6)
Pa a mos a la e acidad de (A.6), comencemos obse ando que
kx1+···+xnk ≤ m´ax
1≤k≤nCkkxkk
(A.7)
y conside ando la aplicación
H:X−→ R
dada po
H(x) = 


2n/p,
si
2(n−1)/p <kxk ≤ 2n/p,
0,
si
x= 0,
n∈Z,
72
pa a la que
kxk ≤ H(x)≤21/pkxk,
pa a odo
x∈X.
Así pues, si p obamos que
kx1+···+xnk ≤ 21/pH(x1)p+···+H(xn)p1/p,
(A.8)
la desigualdad (A.6) se á en onces ob ia.
Pa a
n= 1
, la desigualdad (A.8) es i ial. Supongamos luego que (A.8) es cie a pa a
m∈N
y conside emos
x1, . . . , xm+1 ∈X
. Sin pé dida de gene alidad, supongamos que
kxik≥kxi+1k
pa a cada
1≤i≤m
. Dis ingui emos dos casos.
Inicialmen e, supongamos que
H(xi)6=H(xi+1)
pa a odo
1≤i≤m
. En al caso,
eniendo en cuen a que
H(xi)≤2(1−i)/pH(x1)
, concluimos que
Cikxik ≤ CiH(xi)=2i/pH(xi)≤21/pH(x1)
≤21/pH(x1)p+···+H(xn)p1/p,
pa a cada
1≤i≤m.
Luego (A.8) es consecuencia di ec a (A.7).
Si exis e
1≤j≤m
al que
H(xj) = H(xj+1)
, exis e
∈Z
al que
2( −1)/p <kxj+1k ≤
kxjk ≤ 2 /p
; luego
kxj+xj+1k ≤ Cm´ax{kxj+1k,kxjk} = 21/pkxjk ≤ 2( +1)/p
y en onces,
H(xj+xj+1)p≤2 +1 =H(xj)p+H(xj+1)p.
(A.9)
Po an o, aplicando la hipó esis de inducción y eniendo en cuen a (A.9), concluimos
nalmen e que
kx1+···+xm+1kp≤2X
i6=j,j+1
H(xi)p+H(xj+xj+1)p≤2m+1
X
i=1
H(xi)p.
No a A.20
(sob e espacios mé icos)
.
Un espacio ec o ial opológico me izable se dice que es un
F
-espacio
si es comple-
o pa a cie a (y en onces pa a oda) mé ica in a ian e. Una impo an e esul ado de
V.L. Klee ( e [30]) a ma que odo espacio ec o ial mé ico comple o puede se me i-
zado median e una mé ica in a ian e, espondiendo así a ma i amen e a una cues ión
o mulada po el p opio S. Banach en [3, p. 141].
Todo espacio ec o ial opológico me izable
X
puede se embebido como un subes-
pacio denso de un
F
-espacio
˜
X
. Además, el espacio
˜
X
es único en el sen ido de que no
depende de la mé ica (in a ian e) escogida en
X
.
Si
N⊂X
es un subespacio ce ado de un espacio ec o ial opológico me izable,
en onces
X/N
ambién es me izable. Además, si
X
es comple o en onces
X/N
ambién
es comple o.
A.3. El 3-Lema
El siguien e esul ado es bien conocido y puede encon a se en cualquie lib o de
álgeb a homológica ( éase, po ejemplo, [22]). Debido a su impo ancia a la ho a de
deni la equi alencia de sumas o cidas Denición 1.2, p e e imos inclui aquí su
demos ación.
73

Lema A.21
(el 3-lema)
.
Sea un diag ama conmu a i o con las exac as
0A B C 0
0D E F 0
αγβ
En al caso, si
α
y
β
son aplicaciones inyec i as, en onces
γ
es inyec i a; además, si
α
y
β
son sob eyec i as,
γ
es sob eyec i a. Po an o, si
α
y
β
son isomo smos, en onces
γ
ambién es un isomo smo.
Demos ación.
Veamos en p ime luga que
γ
es inyec i a. Si
γ(b)=0
pa a algún
b∈B
, en onces
po la conmu a i idad del diag ama
β(qB(b)) = 0
, donde
qB
es la aplicación cocien e.
Pues o que
β
es inyec i a,
qB(b) = 0
y
b∈ke (qB)
.
Como las las del diag ama son exac as, exis e
a∈A
al que
iA(a) = b
, siendo
iA
la
inclusión. Po conmu a i idad,
iD(α(a)) = γ(iA(a)) = γ(b) = 0
, po lo que
a= 0
al se
α
inyec i a. Luego,
b=iA(a)=0
.
Veamos aho a que que
γ
es sob eyec i a. Pa a ello, sea
e∈E
a bi a io. Como
β
es
sob eyec i a, exis e
c∈C
al que
β(c) = qE(e)
. Luego, exis e
b∈B
al que
β(qB(b)) =
qE(e)
. Po conmu a i idad,
qE(γ(b)−e) = 0
, po lo que exis e
d∈D
al que
γ(b)−e=
iD(d)
.
Dado que
α
es sob eyec i a,
d=α(a)
pa a algún
a∈A
. Luego,
γ(iA(a)) = iD(α(a)) =
iD(d) = γ(b)−e
, po lo que
e=γ(b−iA(a))
.
74
Anexo B
En es e segundo anexo incluimos esul ados elacionados con bases de Schaude y los
espacios de O licz. Es os esul ados son empleados en el Capí ulo 3.
Pa a su elabo ación hemos empleado las e e encias [18, 33, 1].
B.1. Bases de Schaude
B.1.1. El concep o de Base de Schaude
Denición B.1
(base de Schaude )
.
Sea
(X, k·k)
un espacio ec o ial no mado inni o dimensional sob e el cue po
K
y
(ei)i∈N
una sucesión (o denada) de ec o es de
X
.
Se dice que
(ei)i∈N
es una
base de Schaude
de
X
si:
pa a cada
x∈X
exis e una única sucesión
a= (ai)i∈N⊂K
al que
x=
∞
X
i=1
aiei
.
No a B.2.
El concep o de base de Schaude es la gene alización na u al pa a espacios de Banach
sep ables (ya que
X= span{ei:i∈N}
) del concep o de base de Hilbe pa a espacios de
Hilbe .
No obs an e, a di e encia de lo que ocu e en el caso de és os úl imos  odo espacio
de Hilbe admi e una base de Hilbe , al y como demos ó Eno [16] en 1972, exis en
espacios de Banach sepa ables que no admi en base de Schaude .
Denición B.3
(concep os asociados al de base de Schaude )
.
Sea
X
un espacio ec o ial no mado con base de Schaude
(ei)i∈N
. En al caso, denimos
(a)
la
p oyección na u al
Pn:X−→ X
como la aplicación dada po
Pn(x) =
n
X
i=1
aiei,
pa a cada
x=
∞
X
i=1
aiei∈X.
(b)
la
no ma
|||·|||:X−→ R
dada po
|||x||| = sup
n∈NkPnxk= sup
n∈N


n
X
i=1
aiei

,
pa a cada
x=
n
X
i=1
aiei∈X.
75
(c)
la
cons an e de la base
(ei)i∈N
como
bc (ei)i∈N= sup
n∈NkPnk ∈ [1,+∞)
( e Teo ema
B.9).
(d)
el
uncional bio ogonal
en∗:X−→ K
como la aplicación dada po
en∗(x) = an,
pa a cada
x=
∞
X
i=1
aiei∈X.
Denición B.4
( ipos de bases)
.
Una base de Schaude
(ei)i∈N
de un espacio ec o ial no mado
X
se dice:
(a)
no malizada
si
keik= 1
pa a odo
i∈N
;
(b)
monó ona
si
bc (ei)i∈N= 1
, es o es, si
kPnk= 1
pa a odo
n∈N
.
(c)
incondicional
si, pa a cada
x∈X
, la se ie
P∞
ne∗
n(x)en
con e ge incondicionalmen e,
es o es, la se ie
P∞
ne∗
π(n)(x)eπ(n)
con e ge pa a oda biyección
π:N−→ N
.
Lema B.5
(las p oyeccións na u ales)
.
(a)
Sea
X
un espacio ec o ial no mado con base de Schaude
(ei)i∈N
. En al caso:
(i) dim Pn(X) = n
(ii)PnPm=PmPn=Pm´ın{m,n}
(iii) l´ım
n→∞ Pnx=x
en
(X, k·k)
(b)
Si unna sucesión de p oyeccións lineales
(Pn)n∈N
en un espacio ec o ial no mado
X
sa is ace las p opiedades
(i)
,
(ii)
e
(iii)
an e io es, en onces
(Pn)n∈N
es la sucesión
de las p oyecciones na u ales asociadas a cie a base de Schaude de
X
.
Demos ación.
(a)
Po se
(ei)i∈N
una base de Schaude ,
{ei:i∈N}
es un conjun o linealmen e indepen-
dien e; luego
(i)
es cla o. La p opiedad
(iii)
es una consecuencia di ec a de la denición
de base de Schaude y
(ii)
es consecuencia di ec a de la denición de
Pn
.
(b)
Pa a cada
i∈N
, escojamos
ei∈Pi(X)∩Pi−1−1(0)
. En al caso, eniendo en cuen a
que
dim Pi(X)/Pi−1(X)=1
pa a odo
i∈N
, concluimos en onces que, dado
x∈X
(si
P0= 0
)
x= l´ım
n→∞ Pnx= l´ım
n→∞ Pnx−P0x= l´ım
n→∞
n
X
i=1
(Pix−Pi−1x)
=
∞
X
i=1
(Pix−Pi−1x) =
∞
X
i=1
αiei,
donde
αi∈K
pa a cada
i∈N.
Además, la unicidad de la sucesión de coecien es
(αi)i∈N
es una consecuencia di ec a de
que
αiei=Pi(x)−Pi−1(x)
pa a cada
i∈N
y de la p opiedad
(iii)
del enunciado. Po lo
an o,
(ei)i∈N
es una base de Schaude de
X
que iene a
(ei)i∈N
po sucesión de p oyeccións
na u ales.
Lema B.6
(la no ma
|||·|||
)
.
76
(a)
Si
(ei)i∈N
es base de Schaude de
(X, k·k)
, en onces
(ei)i∈N
es base de Schaude de
(X, |||·|||)
.
(b)
Las p oyecciones na u ales asociadas a
(ei)i∈N
son uni o memen e aco adas espec o
de
|||·|||
.
Demos ación.
(a)
P oba emos que
(ei)i∈N
es una base de Schaude de
(X, |||·|||)
mos ando que la sucesión
de p oyecciones na u ales
(Pn)n∈N
sa is ace las p opiedades
(i)
,
(ii)
e
(iii)
del Lema B.5
an e io . Las p opiedades
(i)
y
(ii)
no dependen de la no ma; luego an sólo enemos que
p oba
(iii)
. No obs an e, dado que
|||x−Pmx||| = sup
n∈NkPnx−PnPmxk= sup
n≥mkPnx−Pmxk,
concluimos que
l´ımm→∞ |||Pmx−x||| = 0
pa a odo
x∈X
.
(b)
Pa a p oba la aco ación uni o me de las p oyecciones na u ales espec o de
|||·|||
, bas a
obse a que
|||Pm||| = sup
|||x|||≤1|||Pmx||| = sup
|||x|||≤1
sup
n∈NkPnPmxk= sup
n∈N
sup
|||x|||≤1kPnPmxk
= sup
n∈N
sup kPnPmxk: sup
i∈NkPixk ≤ 1≤1,
pa a odo
m∈N.
Lema B.7
(la hipó esis de comple i ud)
.
Sea
(X, k·k)
un espacio ec o ial no mado con base de Schaude
(ei)i∈N
de modo que
sup
n∈NkPnk<∞.
En al caso,
(ei)i∈N
es base de Schaude de la complección
ˆ
X
de
X
.
Demos ación.
Pa a cada
n∈N
, sea
ˆ
Pn:ˆ
X−→ ˆ
X
la ex ensión de la p oyección na u al
Pn
. Dado que
Pn(X)
es de dimensión ni a,
Pn(X)
es un conjun o ce ado en
ˆ
X
y en onces,
ˆ
Pn(ˆ
X)⊂
Pn(X)
. Po lo an o,
Pn(X) = ˆ
Pn(ˆ
X)
pa a odo
n∈N
. A con inuación, p oba emos que
las p oyecciones
(ˆ
Pn)n∈N
sa is acen las p opiedades
(i)
,
(ii)
e
(iii)
del Lema B.5 an e io .
En e ec o, pues:
(i)
es una consecuencia di ec a de que
ˆ
Pn(ˆ
X) = Pn(X)
:
dim ˆ
Pn(ˆ
X) = dim Pn(X) = n
;
(ii)
es una consecuencia de la con inuidad de las p oyecciones
Pn
:
ˆ
Pnˆ
Pm(x) = l´ım
i→∞ Pnˆ
Pm(xi) = l´ım
i→∞ PnPm(xi) = l´ım
i→∞ Pm´ın{n.m}(xi) = ˆ
Pm´ın{n,m}(x);
(iii)
es una consecuencia de la aco ación de la sucesión de núme os eales
(kPnk)n∈N
:
kˆ
Pn(ˆx)−ˆxk=kˆ
Pn(ˆx)−ˆ
Pn(xi) + ˆ
Pn(xi)−ˆxk
≤ kˆ
Pn(ˆx−xi)k+kˆ
Pnxi−ˆxk
≤ kˆ
Pnkkˆx−xik+kPnxi−ˆxk
≤ kˆ
Pnkkˆx−xik+kPnxi−xi+xi−ˆxk
≤ kPnkkˆx−xik+kPnxi−xik+kxi−ˆxk< ε
pa a
n >> 1.
77
Demos ación.
Pa a
n∈N
,
∈X∗
y
x=P∞
i=1 ei∗(x)ei∈X
a bi a ios, enemos que
Pn∗ (x) = (Pnx) = n
X
i=1
ei∗(x)ei=
n
X
i=1
ei∗(x) (ei)
y en onces, iden icando
X
con
X∗∗
,
Pn∗( ) =
n
X
i=1
(ei)ei∗=
n
X
i=1
ei( )ei∗,
pa a cada
n∈N.
(B.3)
Po an o, pa a cada
n∈N
, enemos que
dim Pn∗(X∗) = n
.
Po o a pa e, pa a
∈span {ei∗:i∈N}
, enemos que
Pn∗ =
pa a
n >> 1
. Así
pues, dado
∈span {ei∗:i∈N}
a bi a io, enemos que (escogiendo
g∈span {ei∗:i∈
N}
al que
k −gk< ε
)
kPn∗ − k=kPn∗ −Pn∗g+Pn∗g−g+g− k
=kPn∗kk −gk+kPn∗g−gk+kg− k
≤εsup
n∈NkPnk+ε,
se
n >> 1
y en onces,
l´ım
n→∞ kPn∗ − k= 0,
pa a odo
∈span {ei∗:i∈N}.
(B.4)
Es inmedia o p oba que
Pn∗Pm∗=P∗
m´ın{n,m}
pa a odo
n, m ∈N
. Po an o, el
esul ado enunciado es consecuencia del Lema B.5 an e io .
No a B.20
(sob e (B.4))
.
Tenemos que
Pn∗ →
débilmen e
∗
en
X∗
pa a odo
∈X∗
. En e ec o, pues al se
con inua,
(x) = ∞
X
i=1
ei∗(x)ei=
∞
X
i=1
ei∗(x) (ei) = l´ım
n→∞
n
X
i=1
ei∗(x) (ei) = l´ım
n→∞ Pn∗ (x).
Denición B.21
(base de Schaude con ac i a & Base de Schaude aco adamen e com-
ple a)
.
Sea
X
un espacio de Banach con base de Schaude
(ei)i∈N
; se dice que
(ei)i∈N
:
(a)
es una
base con ac i a (en inglés, sh inking)
si
span {ei∗:i∈N}=X∗
;
(b)
es una
base aco amen e comple a (en inglés, boundedly comple e)
si
sup
n∈N


n
X
i=1
aiei

<∞=⇒
∞
X
i=1
aiei∈X.
Ejemplo B.22
(bases con ac i as y aco adamen e comple as)
.
(a)
La base canónica de
c0
y
`p
, con
1<p<∞
es con ac i a; la base canónica de
`1
no es con ac i a.
(b)
La base canónica de
`p
, con
1≤p < ∞
es aco adamen e comple a; la base canónica
de
c0
no es aco adamen e comple a (bas a conside a
xn= (1,1,...,1,0,0, . . . )
).
84

P oposición B.23
(ca ac e ización de bases con ac i as I)
.
Sea
(ei)i∈N
una base de Schaude de
X
con p oyecciones asociadas
(Pn)n∈N
. En al caso,
(ei)i∈N
base con ac i a
⇐⇒ (ei∗)i∈N
es base de Schaude de
X∗
.
Demos ación.
Si
span {ei∗:i∈N}=X∗
, en onces en i ud del Lema B.19 an e io 
(Pn∗)
gene a
una base de Schaude de
X∗
.
Recíp ocamen e, si las p oyecciones na u ales
Pn∗
gene an una base de Schaude de
X∗
,
en onces
l´ımn→∞ kPn∗ − k= 0
pa a odo
∈X∗
y en onces
X∗= span {ei∗:i∈N}
.
La siguien e p oposición mo i a la elección del nomb e con ac i a pa a es e ipo de
bases.
P oposición B.24
(Ca ac e ización de bases con ac i as II)
.
Sea
(ei)i∈N
una base de Schaude de
X
con p oyecciones asociadas
(Pn)n∈N
. En al caso,
(ei)i∈N
base con ac i a
⇐⇒ l´ım
n→∞ k |span {ei:i>n}k= 0
pa a odo
∈X∗
.
Demos ación.
Comencemos obse ando que si
P:X−→ X
es una p oyección lineal y aco ada,
en onces
sup
y∈P(BX)| (y)|= sup
x∈BX| (P(x))|= sup
x∈BX|P∗( (x))|=kP∗ k
y
BP(X)⊂P(BX)⊂ kPkBX∩P(X)⊂ kPkBP(X).
Así pues, pa a las p oyecciones canónicas
(Pn)n∈N
asociadas a la base de Schaude
(ei)i∈N
,
enemos que
k |(I−Pn)(X)k= sup{| (x)|:x∈B(I−Pn)(X)} ≤ sup{| (x)|:x∈(I−Pn)(BX)}
≤sup{| (x)|:x∈(kPnk+ 1)B(I−Pn)(X)}.
Po an o,
k |(I−Pn)(X)k≤k −Pn∗( )k ≤ (kPnk+ 1)k |(I−Pn(X))k,
pa a odo
∈X∗,
y en onces
(ei)i∈N
es una base con ac i a si y sólo si
l´ım
n→∞ k |span {ei:i>n}k= 0,
pa a odo
∈X∗.
El siguien e Teo ema B.28 p opo ciona una ca ac e ización de los espacios de Banach
con base de Schaude que son eexi os. Pa a su demos ación emplea emos es eo e-
mas clásicos que in oluc an opologías débiles de un espacio de Banach; eco damos a
con inuación sus enunciados (su demos ación puede consul a se en [18]).
Teo ema B.25
(Teo ema de Mazu )
.
Sea
X
un espacio de Banach. En onces, odo conjun o
C⊂X
ce ado y con exo es
débilmen e ce ado.
Teo ema B.26
(Teo ema de Golds ine)
.
Sea
X
un espacio de Banach. Luego,
BX
es débilmen e compac o si y sólo si
X
es eexi o.
85
Teo ema B.27
(Teo ema de Ebe leinSmulyan)
.
Sea
X
un espacio de Banach sepa able y
C⊂X
un conjun o ce ado. En onces,
C
débilmen e compac o
⇐⇒ C
débilmen e secuencialmen e compac o.
Teo ema B.28
(James. Bases de Schaude en espacios eexi os)
.
Sea
X
un espacio de Banach con base de Schaude
(ei)i∈N
. En onces,
X
es eexi o
⇐⇒ (ei)i∈N
es con ac i a y aco adamen e comple a.
Demos ación.
Supongamos inicialmen e que
X
es eexi o. En al caso, pa a oda
∈X∗
, enemos
que
Pn∗ →
en la opología débil
∗
de
X∗
( e No a B.20). No obs an e, dado que
X
es eexi o, al p opiedad de con e gencia ambién es cie a en la opología débil de
X
.
Luego, eniendo en cuen a (B.3) y el Teo ema B.25 (con exo y ce ado implica débilmen e
ce ado), concluimos que
X∗= spanw{ei∗:i∈N}= span {ei∗:i∈N}.
Es deci ,
(ei)i∈N
es una base con ac i a de
X
.
Sea aho a
(ai)i∈N
una sucesión de escala es al que
sup
n∈N


n
X
i=1
aiei

<∞
y conside emos, pa a cada
n∈N
,
xn=
n
X
i=1
aiei∈X.
Sea
x∈X
un pun o lími e débil de la sucesión
(xn)n∈N
cuya exis encia es á asegu ada,
al se
X
eexi o, po los Teo emas B.26 y B.27 . Pa a
i≤n
enemos que,
ei∗(xn) = ai
y
en onces
ei∗(x) = ai
pa a odo
i∈N
. Po an o, en i ud de la unicidad de los coecien es
p opo cionados po una se ie de Schaude ,
x=
∞
X
i=1
aiei∈X
y en onces la base de Schaude
(ei)i∈N
es aco adamen e comple a.
Recíp ocamen e, supongamos aho a que
(ei)i∈N
es una base con ac i a y aco adamen-
e comple a de
X
. P oba emos que
X
es eexi o empleando el Teo ema B.26 iendo que
BX
es débilmen e compac o.
Dado que
(ei)i∈N
es una base con ac i a de
X
, el dual
X∗
es sepa able. Po an o, en
i ud del Teo ema B.27, pa a p oba que
BX
es débilmen e compac o bas a mos a que
oda sucesión
(xk)k∈N⊂BX
admi e una subsucesión débilmen e con e gen e.
Sea luego
(xk)k∈N⊂BX
una sucesión a bi a ia. Empleando el a gumen o diagonal de
Can o , podemos ex ae una subsucesión deno ada nue amen e po
(xk)k∈N
al que
l´ım
k→∞ ei∗(xk) = ai∈K,
pa a cada
i∈N.
86
Así pues, pa a cada
n∈N
, enemos que
n
X
i=1
aiei=
n
X
i=1
l´ım
k→∞ ei∗(xk)ei= l´ım
k→∞
n
X
i=1
ei∗(xk)ei= l´ım
k→∞ Pn(xk)
y en onces
sup
n∈N


n
X
i=1
aiei

= sup
n∈N

l´ım
k→∞ Pn(xk)

= sup
n∈N
l´ım
k→∞ kPn(xk)k ≤ sup
n∈NkPnk<∞.
Po an o, dado que
(ei)i∈N
es aco adamen e comple a,
x=
∞
X
i=1
aiei∈X.
Además, dado que
span {ei∗:i∈N}=X∗
y
l´ım
k→∞ ei∗(xk) = ai=ei∗(x),
pa a odo
i∈N.
concluimos nalmen e que
(xk)k∈N
con e ge débilmen e a
x∈BX
.
B.1.5. Sucesiones básicas bloque en
`p
P oposición B.29
(Sucesiones básicas bloque en
`p
)
.
Si
(ui)i∈N
es una sucesión básica bloque no malizada de la base canónica
(ei)i∈N
de
`p
, con
1≤p < ∞
, en onces:
(a) (ui)i∈N
es equi alen e a
(ei)i∈N
y
span {ui:i∈N}
es isomé ico a
`p
;
(b)
exis e una p oyección sob eyec i a
P:`p−→ span {ui:i∈N}
con
kPk= 1
.
Demos ación.
Pa a cada
j∈N
, supongamos que el
j
-ésimo ec o de la sucesión básica bloque
no malizada
(uj)j∈N
iene dado po
uj=
pj+1
X
i=pj+1
λiei,
con
pj+1
X
i=pj+1 |λi|p= 1.
(a)
En al caso, dado que



m
X
j=1
ajuj

=m
X
j=1
pj+1
X
i=pj+1 |aj|p|λi|p1/p =m
X
j=1 |aj|p
pj+1
X
i=pj+1 |λi|p1/p
=m
X
j=1 |aj|p1/p =


m
X
j=1
ajej

,
es cla o que
(ui)i∈N
y
(ei)i∈N
son equi alen es. Además, la aplicación dada po
T∞
X
j=1
ajuj=
∞
X
j=1
ajej,
pa a cada
∞
X
j=1
ajuj∈span {ui:i∈N}.
87
dene una isome ía en e
span {ui:i∈N}
y
`p
.
(b)
Dado
j∈N
, sea
uj∗∈`p∗
al que
uj∗∈span {ei:pj+ 1 ≤i≤pj+1} ⊂ `q
y
kuj∗k=uj∗(uj)=1
. En al caso,
uj∗(uk)=0
pa a odo
k6=j
y en onces,
Px =
∞
X
j=1
u∗
j(x)uj,
pa a cada
x= (xn)n∈N∈`p,
dene una p oyección lineal y sob eyec i a
P:`p−→ span {uj:j∈N}
. Además, dado
que
|uj∗(x)|p≤ kujkpkxkp≤ kxkp=
pj+1
X
i=pj+1 |ai|p,
pa a cada
x=
∞
X
i=1
aiei∈`p,
enemos en onces que
kPk= 1
. En e ec o, pues
kPxkp=
∞
X
j=1
pj+1
X
i=pj+1 |u∗
j(x)|p|λi|p=
∞
X
j=1 |u∗
j(x)|p≤
∞
X
j=1
pj+1
X
i=pj+1 |ai|p=kxkp.
B.2. Espacios de O licz
Denición B.30
( unción de O licz)
.
Se dice que una unción
M: [0,+∞)−→ [0,+∞)
es una
unción de O licz
si
M
es
con inua, c ecien e, con exa y cumple que:
M(0) = 0,l´ım
→+∞M( ) = +∞.
Además, se dice que:
(a)M
es una
unción de O licz degene ada
si exis e
b > 0
al que
M( )=0
pa a odo
∈[0, b]
.
(b)M
sa is ace la
42
-condición en
0
si
l´ım sup
→0
M(2 )
M( )<∞.
Denición B.31
(espacios de O licz)
.
Pa a cada sucesión
x= (xn)n∈N
de escala es conside amos
kxkM= ´ın nρ > 0:
∞
X
n=1
M|xn|
ρ≤1o∈[0,+∞].
y denimos en onces los siguien es espacios:
(a)`M=nx= (xn)n∈N:
∞
X
n=1
M|xn|
ρ<∞
pa a algún
ρ > 0o
,
(b)hM=nx= (xn)n∈N:
∞
X
n=1
M|xn|
ρ<∞
pa a odo
ρ > 0o
;
88
en los que
k·kM
dene una no ma.
No a B.32
(Sob e los espacios de O licz)
.
El espacio
(`M,k·k)
es un espacio de Banach de sucesiones que gene aliza a los bien
conocidos espacios
`p
; pues és os se ob ienen como caso pa icula cuando conside amos
M( ) = p
. Si
M
es una unción degene ada, en onces
k·kM=k·k∞
y
`M=`∞
, mien as
que
hM=c0
.
En gene al, pa a una unción de O licz a bi a ia
M
, la sucesión
(en)n∈N
o mada
po los ec o es uni a ios canónicos no es una base de Schaude de
`M
; ello jus ica la
impo ancia del siguien e esul ado, cuya demos ación puede consul a se en [33].
Teo ema B.33
(Sob e los espacios de O licz)
.
Pa a una unción de O licz
M: [0,+∞)−→ [0,+∞)
, los siguien es enunciados son equi-
alen es:
(a)M
sa is ace la
42
-condición en
0
;
(c) (en)n∈N
es una base de Schaude aco adamen e comple a
`M
,
(d)`M=hM
,
(e)`M
es sepa able,
( ) l´ım sup
→0
M0( )
M( )<∞
,
(g)x= (xn)n∈N∈`M
si y sólo si
∞
X
n=1
M(|xn|)<∞
.
El úl imo eo ema de es a sección da una condición necesa ia y sucien e pa a que dos
espacios de O licz, denidos és os po unciones de O licz que e iquen la condición
∆2
,
sean isomo os. Nue amen e, una demos ación del mismo se encuen a en [33].
Teo ema B.34.
Sean
M1, M2: [0,+∞)−→ [0,+∞)
dos unciones de O licz que sa is acen la condición
42
. En a caso, los siguien es enunciados son equi alen es:
(a)`M1
y
`M2
son espacios de Banach isomo os;
(b)
exis e
K > 0
y
0>0
al que
1
K≤M1( )
M2( )≤K,
pa a odo
∈[0, 0).
89

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