As representações matemáticas e a argumentação na formação inicial de professores do Ensino Básico

ESCOLA DE DOUTORAMENTO
INTERNACIONAL DA USC
Ad iana
Ma ias Pe ei a Fe ei a
Tese de dou o amen o
As ep esen ações ma emá icas
e a a gumen ação na o mação
inicial de p o esso es do Ensino
Básico
San iago de Compos ela, 2024
P og ama de Dou o amen o en Educación
TESE DE DOUTORAMENTO
AS REPRESENTAÇÕES MATEMÁTICAS
E A ARGUMENTAÇÃO NA
FORMAÇÃO INICIAL DE
PROFESSORES DO ENSINO BÁSICO
Au o
Ad iana Ma ias Pe ei a Fe ei a
Di ec o es: Pablo González Sequei os e Ma ía Salgado Somoza
Ti o : Pablo González Sequei os
PROGRAMA DE DOUTORAMENTO EN EDUCACIÓN
SANTIAGO DE COMPOSTELA
AGRADECIMENTOS
Foi uma longa caminhada, uma caminhada eple a de desa ios, de conquis as, de aleg ias, uma
caminhada que se moldou de um ca á e soli á io em mui os momen os, mas que ambém
con ou com o diálogo e a pa ilha que ajuda am a en iquece es a aje ó ia que culmina com a
conclusão des e abalho.
Começo po ag adece à Escola Supe io de Educação do Ins i u o Poli écnico do Po o e à
Uni e sidade de San iago de Compos ela pela pa ce ia que me pemi iu ing essa no
Dou o amen o em Educação.
Ag adeço aos p o esso es que o ien a am es e meu abalho: P o esso Dou o Pablo González
Sequei os, pela disponibilidade e cuidado, pelas pa ilhas e pala as de o ça e pela segu ança
que semp e me ansmi iu; e P o esso a Dou o a Ma ía Salgado Somoza, po acompanha
odo p ocesso e pela simpa ia demons ada.
Ag adeço ambém a odos os p o esso es com quem já me c uzei e que an o me ensina am.
Uma pala a especial pa a aqueles que con inuam a ma ca p esença e a inspi a -me na
p o issão que pa ilhamos.
Ag adeço aos es udan es que pa icipa am nes a in es igação e a odos os alunos e es udan es
que acompanho e com quem ambém ap endo.
Ag adeço à minha amília, aos meus pais e i mão, pelo apoio incondicional e pela con iança
que semp e me ansmi i am.
Ag adeço, po im, ao Sé gio, meu ma ido, pelo ca inho e aconchego e pela paciência com
que lidou com a minha ausência.
ÍNDICE
RESUMO...............................................................................................
21
RESUMEN............................................................................................
23
ABSTRACT...........................................................................................
25
RESUMO LONGO EN GALEGO......................................................
27
1. INTRODUÇÃO.................................................................................
35
1.1. APRESENTAÇÃO, PERTINÊNCIA E MOTIVAÇÕES............................
35
1.2. O PROBLEMA EM ESTUDO, AS QUESTÕES DE INVESTIGAÇÃO
E OS OBJETIVOS.........................................................................................
40
1.3. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO..............................................................
41
2. ENQUADRAMENTO TEÓRICO..................................................
43
2.1. A FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES..........................................
43
2.1.1. Di e i as in e nacionais.......................................................................
44
2.1.2 A Fo mação Inicial de P o esso es em Po ugal.................................
46
2.2. AS TAREFAS MATEMÁTICAS...................................................................
50
2.2.1. A impo ância das a e as ma emá icas.............................................
52
2.3 AS REPRESENTAÇÕES MATEMÁTICAS.................................................
53
2.4 A ARGUMENTAÇÃO EM MATEMÁTICA................................................
58
3. ENQUADRAMENTO METODOLÓGICO..................................
68
3.1. OS PARADIGMAS EM INVESTIGAÇÃO..................................................
68
3.2. OPÇÕES METODOLÓGICAS DO ESTUDO.............................................
69
3.2.1. Os pa icipan es....................................................................................
72
3.2.2. A ecolha de dados................................................................................
75
3.2.2.1. O es e inicial indi idual...........................................................
76
3.2.2.2. As a e as..................................................................................
78
3.2.2.3. O es e inal com al e na i as de esolução..............................
80
3.2.3. As ca ego ias de análise de dados........................................................
85
4. ANÁLISE DE DADOS E RESULTADOS.....................................
87
4.1. ANÁLISE DO TESTE INICIAL INDIVIDUAL..........................................
87
4.1.1. Ques ão 1 - Na ila................................................................................
88
4.1.2. Ques ão 2 - O pagamen o.....................................................................
92
4.1.3. Ques ão 3 - Os animais domés icos.....................................................
97
4.1.4. Ques ão 4 - O núme o mis é io...........................................................
103
4.1.5. Discussão ge al dos esul ados analisados..........................................
108
4.2. ANÁLISE DAS TAREFAS COLABORATIVAS.........................................
114
4.2.1. Ta e a 1..................................................................................................
114
4.2.2. Ta e a 2..................................................................................................
119
4.2.3. Ta e a 3..................................................................................................
128
4.2.4. Ta e a 4..................................................................................................
136
4.2.5. Discussão ge al dos esul ados analisados..........................................
144

4.3. ANÁLISE DO TESTE FINAL.......................................................................
149
4.3.1. Ques ão 1 - Na ila................................................................................
149
4.3.2. Ques ão 2 - O pagamen o.....................................................................
151
4.3.3. Ques ão 3 - Os animais domés icos.....................................................
153
4.3.4. Ques ão 4 - O núme o mis é io...........................................................
154
4.1.5. Discussão ge al dos esul ados analisados..........................................
156
5. CONCLUSÕES E REFLEXÕES FINAIS.....................................
159
6. REFERÊNCIAS................................................................................
167
7. ANEXOS............................................................................................
176
ANEXO 1. O TESTE INICIAL INDIVIDUAL..................................................
177
ANEXO 2. TAREFA COLABORATIVA 1........................................................
179
ANEXO 3. TAREFA COLABORATIVA 2........................................................
180
ANEXO 4. TAREFA COLABORATIVA 3........................................................
181
ANEXO 5. TAREFA COLABORATIVA 4........................................................
182
ANEXO 6. O TESTE FINAL COM ALTERNATIVAS DE RESOLUÇÃO...
183
ÍNDICE DE FIGURAS
Figu a 1. Tipologias de a e as, de aco do com o g au di iculdade e de abe u a
(adap ado de Pon e, 2005)..................................................................................................
51
Figu a 2. Esquema simples da a gumen ação (adap ado de Toulmin, 1993)....................
63
Figu a 3. Esquema da a gumen ação com exemplo (elabo ação p óp ia).........................
63
Figu a 4. Esquema da mic oes u u a da a gumen ação (adap ado de Toulmin, 1993)....
64
Figu a 5. Esquema da a gumen ação dos alunos (adap ado de K ummheue , 1995)........
64
Figu a 6. Esquema da a gumen ação (adap ado de Fo man e al., 1998)..........................
65
Figu a 7. Enunciado da ques ão 1 (elabo ação p óp ia)....................................................
76
Figu a 8. Enunciado da ques ão 2 (elabo ação p óp ia)....................................................
77
Figu a 9. Enunciado da ques ão 3 (elabo ação p óp ia)....................................................
77
Figu a 10. Enunciado da ques ão 4 (elabo ação p óp ia)..................................................
78
Figu a 11. Ta e a 1 (elabo ação p óp ia)...........................................................................
79
Figu a 12. Ta e a 2 (elabo ação p óp ia)...........................................................................
79
Figu a 13. Ta e a 3 (elabo ação p óp ia)...........................................................................
80
Figu a 14. Ta e a 4 (elabo ação p óp ia)...........................................................................
80
Figu a 15. Ques ão 1 e suges ões de esolução (elabo ação p óp ia)................................
81
Figu a 16. Ques ão 2 e suges ões de esolução (elabo ação p óp ia)................................
82
Figu a 17. Ques ão 3 e suges ões de esolução (elabo ação p óp ia)................................
83
Figu a 18. Ques ão 4 e suges ões de esolução (elabo ação p óp ia)................................
85
Figu a 19. Rep esen ação pic ó ica (elabo ação p óp ia)..................................................
88
Figu a 20. Rep esen ação icónica (elabo ação p óp ia).....................................................
88
Figu a 21. Rep esen ação semi- o mal (elabo ação p óp ia).............................................
89
Figu a 22. Cálculo ho izon al (elabo ação p óp ia)...........................................................
89
Figu a 23. Si uação a gumen a i a A (elabo ação p óp ia)...............................................
90
Figu a 24. Si uação a gumen a i a B (elabo ação p óp ia)...............................................
91
Figu a 25. Rep esen ação simbólica ma emá ica a i mé ica o ganizada (elabo ação
p óp ia)................................................................................................................................
93
Figu a 26. Rep esen ação simbólica ma emá ica algéb ica (sis ema de equações com
ep esen ação decimal) (elabo ação p óp ia)......................................................................
94
Figu a 27. Rep esen ação simbólica ma emá ica algéb ica (sis ema de equações com
ep esen ação acioná ia) (elabo ação p óp ia).................................................................
94
Figu a 28. Rep esen ação o mal com e o de aciocínio (elabo ação p óp ia)................
95
Figu a 29. Si uação a gumen a i a C (elabo ação p óp ia)...............................................
96
Figu a 30. Rep esen ações do ipo (a) (elabo ação p óp ia)..............................................
98
Figu a 31. Rep esen ações do ipo (b) (elabo ação p óp ia)..............................................
98
Figu a 32. Rep esen ações do ipo (c) (elabo ação p óp ia)..............................................
98
Figu a 33. Resolução mis a da ques ão 3 (elabo ação p óp ia).........................................
99
Figu a 34. Ten a i a de diag ama de Venn 1 (elabo ação p óp ia)...................................
100
Figu a 35. Ten a i a de diag ama de Venn 2 (elabo ação p óp ia)...................................
100
Figu a 36. Resolução p opos a pela in es igado a pa a e lexão (elabo ação p óp ia).....
101
Figu a 37. Rep esen ação do es udan e M enquan o a gumen a a (elabo ação p óp ia)..
102
Figu a 38. Si uação a gumen a i a D (elabo ação p óp ia)...............................................
102
Figu a 39. Cálculos ho izon ais (elabo ação p óp ia)........................................................
104
Figu a 40. Ve i icação com inco eções (elabo ação p óp ia)..........................................
104
Figu a 41. Resolução incomple a a a és de uma equação com duas incógni as
(elabo ação p óp ia)............................................................................................................
105
Figu a 42. Resolução incomple a a a és de um sis ema de duas equações com ês
incógni as (elabo ação p óp ia)...........................................................................................
105
Figu a 43. T adução da pis a um com ecu so à o malização (elabo ação p óp ia).........
106
Figu a 44. Regis o ealizado no momen o de discussão inal (elabo ação p óp ia)..........
107
Figu a 45. Si uação a gumen a i a E (elabo ação p óp ia)...............................................
108
Figu a 46. Rep esen ação pic ó ica e a i mé ica (exp essão numé ica) (elabo ação
p óp ia)................................................................................................................................
115
Figu a 47. Rep esen ação pic ó ica e a i mé ica (adição e sub ação) (elabo ação
p óp ia)................................................................................................................................
115
Figu a 48. Rep esen ação pic ó ica e a i mé ica (duas sub ações) (elabo ação p óp ia).
115
Figu a 49. Rep esen ação icónica e simbólica algéb ica (elabo ação p óp ia)..................
116
Figu a 50. Si uação a gumen a i a F (elabo ação p óp ia)................................................
118
Figu a 51. Rep esen ação icónica A (elabo ação p óp ia).................................................
120
Figu a 52. Rep esen ação icónica B (elabo ação p óp ia).................................................
121
Figu a 53. Rep esen ação icónica incomple a (1.ª en a i a) (elabo ação p óp ia)...........
122
Figu a 54. Rep esen ação icónica incomple a (2.ª en a i a) (elabo ação p óp ia)...........
122
Figu a 55. Rep esen ação a i mé ica com e os (elabo ação p óp ia)...............................
124
Figu a 56. Si uação a gumen a i a G (elabo ação p óp ia)...............................................
126
Figu a 57. Rep esen ação no quad o pa a e u a AN e AO (elabo ação p óp ia)............
127
Figu a 58. Si uação a gumen a i a H (elabo ação p óp ia)...............................................
127
Figu a 59. Rep esen ação icónica e numé ica da sucessão (elabo ação p óp ia)..............
129
Figu a 60. Rep esen ação a i mé ica de con i mação (elabo ação p óp ia)......................
129
Figu a 61.Rep esen ação a i mé ica em unção do p imei o e mo (elabo ação p óp ia).
130
Figu a 62. Conje u a A e espe i a simpli icação (elabo ação p óp ia)............................
131
Figu a 63. Conje u a B e espe i a simpli icação (elabo ação p óp ia)............................
131
Figu a 64. Conje u as C, D e E (elabo ação p óp ia)........................................................
131
Figu a 65. Conje u as F e Ve i icação pa a n=2 (elabo ação p óp ia)..............................
131
24
e ela on una mayo asa de éxi o en el uso de cualquie a de los ipos de ep esen aciones
cuando abajaban en g upos pequeños. Además, la esolución conjun a p omo ió la discusión
de ideas, el cues ionamien o de p ocesos, la o mulación de a gumen os y la negociación de
di e en es pun os de is a, aspec os que e elan el eno me po encial de es a me odología de
abajo. Es os momen os de in e cambio die on luga a episodios a gumen a i os muy
signi ica i os, du an e los cuales los es udian es discu ían pa a comunica , e i ica o e u a ,
explica , sis ema iza y descub i , a eces con un ca ác e na a i o, a eces combinado con
asgos esquemá icos. Se c ee que la discusión en o no a las a eas, las di e en es
ep esen aciones y los p ocesos de esolución con ibuye on pa a el desa ollo de las
habilidades a gumen a i as de los pa icipan es.
Palab as cla e: Fo mación inicial docen e; Educación básica; Rep esen aciones ma emá icas;
A gumen ación; Ta eas ma emá icas; T abajo colabo a i o.

25
ABSTRACT
Ma hema ical ep esen a ions and a gumen a ion inc easingly occupy a cen al place in
ma hema ical educa ion in e ms o planning meaning ul asks ha in ol e hinking and doing,
a he han memo izing de ini ions and p ocedu es. Legisla ion and he main e e ence
documen s o ma hema ical educa ion poin o he knowledge and use o mul iple
ep esen a ions as one o he cen al objec i es o ma hema ical lea ning and he de elopmen
o a gumen a i e skills as essen ial o achie e p o iciency in his subjec . In his sense, he
main objec i e o he p esen s udy is o iden i y di e en ypes o ep esen a ion used by
Highe Educa ion s uden s, u u e Basic Educa ion eache s, in sea ch o de eloping he
abili y o unde s and and use di e en con en ional ep esen a ions o ma hema ics, choosing
he mos app op ia e ones o each p oblema ic si ua ion. The way hese s uden s a gue abou
he ep esen a ions hey p oduce will also be subjec o analysis, seeking o unde s and he
a gumen s o mula ed, hei unc ion and he con ex in which hey occu .
The in es iga ion is pa o a quali a i e and in e p e a i e app oach, de eloped wi h a o al o
six y-eigh s uden s a ending he Deg ee in Basic Educa ion, who began by indi idually
sol ing an ini ial es consis ing o ou ques ions; hey subsequen ly sol ed a se o ou
di e en ma hema ical asks in small g oups; and, inally, hey e isi ed he ini ial es , his
ime wi h wo al e na i e solu ions o each ques ion, o choose he one ha mos esembles
hei way o hinking and jus i y hei choice. All ma hema ical asks a e simple, capable o
being sol ed by Basic Educa ion s uden s, and o mula ed o eques a di e si y o
ma hema ical ep esen a ions o hei unde s anding, explo a ion, eco ding and solu ion. As
da a collec ion ins umen s, documen a y collec ion o s uden p oduc ions, obse a ion, ield
no es and audio eco ding a e used.
The esul s show ha s uden s a e able o cons uc a a ie y o ma hema ical ep esen a ions,
wi h symbolic ep esen a ions o he a i hme ic ype p edomina ing o sol e he p oposed
challenges, al hough iconic ep esen a ions, mo e in o mal, also appea p ominen ly, mainly
o he analysis and unde s anding o he s a emen . A he opposi e pole appea algeb aic
ma hema ical symbolic ep esen a ions which, in addi ion o being he leas used, a e also
hose ha ep esen he highes ailu e a e. Pa icipan s e eal openness o accep ing o he
ways o ep esen ing di e en om hose hey hemsel es p oduce, as long as he e is an
explana ion and consequen unde s anding o hem. The na u e o he ask seems o in luence
he choice o one o ano he ype o ep esen a ion, wi h he simples asks and hose
disconnec ed om speci ic ma hema ical con en ending o be sol ed using a g ea e
di e si y o ep esen a ions, whe e he mo e in o mal and o mal ones come oge he o e en
complemen each o he . Ano he e y ele an conclusion is he aluable con ibu ion o
collabo a i e wo k o posi i e pe o mance in ma hema ical ac i i y. These s uden s e ealed
a highe success a e in using any o he ypes o ep esen a ions when wo king in small
g oups. Fu he mo e, he join esolu ion p omo ed he discussion o ideas, he ques ioning o
p ocesses, he o mula ion o a gumen s and he nego ia ion o di e en poin s o iew,
aspec s ha e eal he eno mous po en ial o his wo k me hodology. These momen s o
26
sha ing ga e ise o e y signi ican a gumen a i e episodes, du ing which s uden s a gued o
communica e, o e i y o e u e, o explain, o sys ema ize and o disco e , some imes wi h a
na a i e cha ac e , some imes combined wi h diag amma ic ea u es. I is belie ed ha he
discussion a ound he asks, di e en ep esen a ions and esolu ion p ocesses con ibu ed o
he de elopmen o he pa icipan s' a gumen a i e skills.
Key wo ds: P e-se ice eache s educa ion; Basic educa ion; Ma hema ical ep esen a ions;
A gumen a ion; Ma hema ical asks; Collabo a i e wo k.
27
RESUMO LONGO EN GALEGO
As ep esen acións ma emá icas, xun o á a gumen ación, ocupan cada ez máis un luga
cen al na educación ma emá ica no que a inxe á plani icación de a e as signi ica i as que
implican pensa e ace , máis que memo iza de inicións e p ocedemen os. A no ma i a e as
p incipais e e encias que egulan a educación ma emá ica sinalan o coñecemen o e o uso de
ep esen acións múl iples como un dos obxec i os cen ais da ap endizaxe ma emá ica e o
desen ol emen o da des eza a gumen a i a como imp escindible pa a acada o dominio
des a disciplina. Nes e sen ido, o p esen e es udo en como obxec i o p incipal iden i ica
di e en es ipos de ep esen ación emp egadas polo alumnado de Educación Supe io , u u os
docen es de Educación Básica, na p ocu a de desen ol e a capacidade de comp ende e
u iliza di e en es ep esen acións ma emá icas con encionais, escollendo as máis adecuadas
pa a cada si uación p oblemá ica. Tamén se á obxec o de análise o xei o de a gumen a des es
alumnos sob e as ep esen acións que p oducen, p ocu ando comp ende os a gumen os
o mulados, a súa unción e o con ex o no que se p oducen.
A elección des e ema es á elacionada con a ios ac o es. En p imei o luga , considé ase
moi pe inen e que a in es igación no ámbi o educa i o ab anga a o mación do p o eso ado,
dende a c enza de que a calidade da o mación ma emá ica do p o eso ado é de i al
impo ancia pa a que o noso alumnado consiga unha ap endizaxe e icaz, sob e odo se
alamos de p o eso ado de p imei o ciclo. En éndese que g an pa e das in es igacións no
con ex o da o mación inicial do p o eso ado en Po ugal cén anse na pa e xe al da didác ica,
é dici , no desen ol emen o p o esional en can o aos coñecemen os sob e a p ác ica docen e e
odo o que implica a plani icación, selección, p epa ación e elabo ación de a e as lec i as,
c eación de ambien es de ap endizaxe e ealización de clases. Po iso, conside amos ele an e
in es i na dimensión coñecemen o das ma emá icas pa a o ensino, que implica o con ac o e a
ap opiación de concep os e p ocedemen os e a capacidade de ep esen alos de o ma di e en e
e de a opa elacións en e eles. Pensouse des e xei o nas capacidades ans e sais das
ma emá icas, máis conc e amen e as ep esen acións ma emá icas e a a gumen ación, como
emas cen ais des a in es igación. A expe iencia p o esional da in es igado a como docen e
de Educación Básica, pe o undamen almen e como docen e da unidade écnico-cien í ica de
ma emá icas, ciencia e ecnoloxía, impa indo docencia no G ao en Educación Básica, na
Escola Supe io de Educación do Poli écnico do Po o, pe mí elle iden i ica as lagoas nes as
capacidades. Es as di icul ades que impiden ao alumnado le o enunciado dunha a e a,
en endela na súa o alidade, de ini unha es a exia de esolución o ganizada e e icien e e
xus i ica as súas ideas e opcións, e o zan a impo ancia de es uda es e ema e busca
solucións pa a o ma u u o p o eso ado máis compe en e.
De inimos así cinco obxec i os especí icos des e es udo: (i) iden i ica os ipos de
ep esen acións ma emá icas emp egadas polo alumnado de G ao en Educación Básica e
a alia a axa de éxi o asociada a cada unha delas; (ii) elaciona os ipos de ep esen acións
ma emá icas emp egadas coa na u eza da a e a ma emá ica que se p opón; (iii) alo a as
uncións das ep esen acións ma emá icas u ilizadas; (i ) in es iga como o aballo
28
colabo a i o pode a o ece o uso de ep esen acións ma emá icas di e sas e p og esi amen e
es u u adas; e ( ) desc ibi a o ma en que a gumen an es es es udan es.
Despois de in oduci o es udo, p esen ando a súa ele ancia, as mo i acións que le a on á
súa ealización e os obxec i os de inidos pa a a súa consecución, é impo an e des aca os
p incipios no ma i os que o ien an a p ác ica docen e e o ensino das ma emá icas, así como os
p esupos os eó icos sob e a e as na clase de ma emá icas, ep esen acións ma emá icas e
a gumen ación. Nes e sen ido, o segundo capí ulo – Ma co eó ico – p esen a un ma co sob e
a o mación inicial do p o eso ado, que inclúe unha lec u a e lexi a de documen os de
ca ác e no ma i o e eó ico, buscando comp ende a o ganización e uncionamen o do
sis ema educa i o nacional e in e nacional en e mos de a axec o ia o ma i a pa a a
i ulación docen e. Re e ímonos aquí aos modelos de ensino e ás polí icas educa i as
de i adas das decisións adop adas po o ganismos in e nacionais, que pe mi en e lexiona
sob e a in e nacionalización e globalización da educación e a apa ición dun espazo educa i o
eu opeo. Dado que a p esen e in es igación se implan ou en Po ugal, es e ma co es á
es inxido á lexislación po uguesa, onde a Lei básica do sis ema educa i o (Lei n.º 46/86, do
14 de ou ub o) e as súas de ogacións, así como os Dec e os-leis a pa i del pa a de ini os
pe ís compe enciais necesa ios pa a o desempeño das uncións docen es ou os p incipios
sob e a o mación da p o esionalidade docen e, xogan un papel des acado.
Pos e io men e, a e lexión cén ase no ensino e ap endizaxe das ma emá icas a a és do
en oque de concep os cen ais des a in es igación. Iníciase coas a e as ma emá icas e a súa
impo ancia na educación ma emá ica, e lexionando sob e a cons ución de coñecemen os e a
a ibución de sen ido ás no as ap endizaxes, elacionándoas con edes de coñecemen os
p e ios, p omo idas pola selección e p esen ación de a e as es imulan es e signi ica i as. O
papel do p o eso é undamen al, non só na ci ada selección, senón amén na o ma en que se
implemen an na aula, coa unción de anima , pedi explicacións, desa ia a súa capacidade de
i máis aló, apoia , o ien a e p esen a suxes ións. Conclúese que as a e as son unha
ac i idade sumamen e ele an e e pe inen e no ensino e ap endizaxe das ma emá icas, xa que
po encian o desen ol emen o de compe encias ans e sais como a mul iplicidade de
ep esen acións ou a a gumen ación. As ep esen acións son o ema que se explo a no
seguin e subcapí ulo, asumidas como e amen as p i ilexiadas pa a o ganiza as ideas en
ma emá icas, exis alas, comunicalas e discu ilas. Son p ocesos e p odu os lexibles e
dinámicos, emp egados pa a a icula , acla a e explica azoamen os, que nos pe mi en
comp ende un concep o ou elación ma emá ica e exp esalos (Woleck, 2001; Goldin, 2002;
NCTM, 2007; Velez, 2020). Considé ase undamen al que o alumnado sexa capaz de c ea
ep esen acións di e sas e cohe en es cos enunciados das a e as que se lle p opoñan (NGA &
CCSSO, 2010). Po én, es udos ecen es e elan que os docen es e u u os docen es poden
p esen a algunhas limi acións no desen ol emen o des a capacidade no seu alumnado,
expe imen ando di icul ades pa a an icipa es a exias, es ablece conexións en e elas e
coñece di e en es o mas de ep esen a en ma emá icas (Delgado e al., 2017; Mendes, e al.,
2022; Ma ins e al., 2023). Finalmen e, xo de unha ap oximación á a gumen ación, como
p oceso de azoamen o, a pa i de e e encias ances ais que e oman o azoamen o dialéc ico
da p opos a a is o élica, nomeadamen e Chaïm Pe elman e S ephen Toulmin. O ma co c eado
pe mí enos comp ende a impo ancia da a gumen ación no ámbi o das ma emá icas e
xus i ica que o NCTM (2007) a sinale como un dos cinco p ocesos cen ais que pe mi en a
adquisición e aplicación de di e en es con idos ma emá icos e que os Common Co e S a e
S anda ds o Ma hema ics (NGA & CCSSO, 2010) agan e e encia á cons ución de
a gumen os iables e ao cues ionamen o do azoamen o dos compañei os como esenciais pa a
29
acada a compe encia ma emá ica. Es a e isión bibliog á ica esul ou esencial pa a amplia
signi ica i amen e a isión da in es igado a sob e os emas que p opuxo aballa e
imp escindible pa a de ini as ca ego ías de análise de da os u ilizadas no es udo empí ico.
A in es igación enmá case nun en oque cuali a i o e in e p e a i o, desen ol ido cun o al de
sesen a e oi o es udan es de Educación Supe io , que asis en a clases de Núme os e Es u u as,
in eg ada no segundo cu so do plan de es udos do G ao en Educación Básica nunha Escola
Supe io de Educación dun Ins i u o Poli écnico de Po ugal. Os pa icipan es comeza on po
esol e indi idualmen e unha p oba inicial compos a po ca o p egun as; pos e io men e
esol e on un conxun o de ca o a e as ma emá icas di e en es en pequenos g upos; e,
inalmen e, e isa on a p oba inicial, es a ez con dúas solucións al e na i as pa a cada
p egun a, pa a escolle a que máis se asemellaba á súa o ma de pensa e xus i ica a súa
elección. Pa a iso, o ganizá onse un o al de seis sesións: unha pa a a p oba inicial, unha pa a
cada unha das ca o a e as colec i as e ou a pa a a p oba inal. Cada sesión i o unha
du ación ap oximada de dúas ho as e di idiuse undamen almen e en dúas pa es: (i)
ealización da ac i idade; (ii) discusión colec i a. Es as p opos as de ac i idades ealizá onse
espaciadas, deixando semp e uns quince días en e cada in e ención, pa a consegui que odo
o explo ado nunha sesión ose ben asimilado an es de pasa á seguin e. As a e as
ma emá icas elixidas son sinxelas, suscep ibles de se esol as polo alumnado de Educación
Básica, e o muladas pa a solici a unha di e sidade de ep esen acións ma emá icas pa a a
súa comp ensión, explo ación, exis o e solución. Nun es udo des as ca ac e ís icas cob an
especial ele ancia os mé odos e ins umen os de ecollida de da os e a súa pos e io análise,
que o on elixidos pa a esponde con cla idade ao obxec i o do es udo e a icula se co ma co
epis emolóxico elixido. Nes e sen ido, es a in es igación u iliza a ecollida documen al de
p oducións do alumnado, a obse ación non pa icipan e e pa icipan e, as no as de campo
ecollidas du an e a ealización das a e as e as g a acións de audio do momen o en que se
ealiza on as a e as g upais e os deba es inais.
A in es igación ealizouse endo en con a os p incipios das boas p ác icas in es igado as,
dimensión é ica que chegou a bo po o coa achega do Código É ico da AERA (AERA, 2011),
que es ablece os p incipios undamen ais pa a a ealización de es udos no ámbi o educa i o.
Des acamos a pa icipación olun a ia dos pa icipan es, que asina on o consen imen o
in o mado as se in o mados da in es igación de o ma cla a e anspa en e, así como a
anonimización dos da os pe soais ecollidos pa a o seu a amen o e p esen ación.
Aínda no que se e i e ao ma co me odolóxico, acla amos as ca ego ías de análise de da os
de inidas, an o pa a a análise das ep esen acións ma emá icas do alumnado como pa a os
episodios a gumen a i os acon ecidos.
No que espec a ás ep esen acións, despois de analiza os modelos p opos os po di e en es
au o es, op ouse po unha adap ación da ca ego ización de Vélez (2020), que deu luga á
de inición das seguin es ca ego ías:
(i) Rep esen acións pic ó icas, nas que p edomina o uso de símbolos non ma emá icos
di ec amen e elacionados coa si uación p oblema p esen ada;
(ii) Rep esen acións icónicas, que xa es án a as adas da ealidade, p esen ando un
maio ni el de abs acción, a pesa de segui emp egando símbolos non ma emá icos;
(iii) Rep esen acións simbólicas e bais, que se ca ac e izan polo uso da linguaxe o al
e/ou esc i a, no malmen e nun discu so máis p óximo á linguaxe na u al que á linguaxe
ma emá ica;

30
(i ) Rep esen acións simbólicas ma emá icas, nas que se conside an dúas subca ego ías,
a sabe :
a) a i mé ica, que se elaciona co uso de ep esen acións numé icas, ope acións
sinxelas (como suma, es a, mul iplicación, di isión, po enciación...) e as súas
p opiedades;
b) alxéb ica, que inclúe a aplicación de ó mulas e xene alizacións,
no malmen e median e o uso de a iables, pe mi indo a exp esión do que é
xené ico pa a a ios alo es numé icos, independen emen e de cales sexan;
( ) Rep esen acións mix as, nas que se combinan dous ou máis ipos das
ep esen acións an e io men e mencionadas, ben po incapacidade pa a con inua unha
iniciada, ben po complemen a se as que se conside an.
En can o á o ma de a gumen a do alumnado de Educación Supe io en elación coas
ep esen acións que emp egan pa a esol e un de e minado desa ío ma emá ico, as
es a exias que de inen e a o ma de azoa , op amos po un modelo de si uación
a gumen a i a, p opos o po Co nejo-Mo ales e al. (2021), que es á o mado po cinco eixos
undamen ais:
(i) A gumen o, que inclúe a posición do alumno e a azón que apoia es a posición;
(ii) In e acción, que ai e e encia aos axen es implicados no momen o da
a gumen ación, xa que nes a in es igación houbo episodios a gumen a i os en
pequenos g upos (en e dous e ca o elemen os), sen in e ención do
docen e/in es igado , e en g an g upo ( g upo clase), con in e ención do
docen e/in es igado ;
(iii) Función, eixo que se cen a na inalidade do a gumen o, p ocu ando enma ca
calque a in e ención nun posible mo i o polo que se le ou a cabo, a sabe ,
comunicación, comp obación ou e u ación, explicación, sis ema ización e
descub imen o;
(i ) Ca ác e , que nos dá espos as sob e a o ma de a gumen a do alumnado, é dici ,
se u iliza ep esen acións ou ma e iais, ou se o ganiza a súa a gumen ación en
enunciados, que se suceden, co obxec i o de chega a unha conclusión;
( ) Ma emá icas, eixo a a és do cal se explica o ema ma emá ico a ado du an e o
episodio a gumen a i o.
En elación cos ipos de ep esen acións ma emá icas emp egadas e a axa de éxi o asociada
a cada unha delas, os esul ados demos an que o alumnado en acilidade pa a cons uí unha
a iedade de ep esen acións ma emá icas, p edominando as ep esen acións simbólicas de
ipo a i mé ico pa a esol e os desa íos p opos os, aínda que amén apa ecen de o ma
des acada ep esen acións icónicas, máis in o mais, p incipalmen e pa a a análise e
comp ensión do enunciado. A maio ía eco e a cálculos ho izon ais, ealizando unha
ope ación á ez. A ni el indi idual, a axa de éxi o no uso des as ep esen acións esul a se
in e io ao espe ado, chegando só ao edo do sesen a e ca o po cen o. Ao esol e a e as en
g upo, a axa de éxi o das ep esen acións simbólicas ma emá icas a i mé icas aumen a a a un
oi en a e dous po cen o. Nas a e as que o on esol as de xei o colabo a i o, es as
ep esen acións xa non son as máis u ilizadas, gañando p o agonismo ás ep esen acións
mix as. Non obs an e, é impo an e des aca que as ep esen acións a i mé icas apa ecen na
maio ía des es híb idos, combinándose esencialmen e con ep esen acións in o mais, como
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ep esen acións pic ó icas ou icónicas. Tan o no aballo indi idual como no aballo en
pequeno g upo, o alumnado pa ece e máis éxi o usando ep esen acións mix as que co uso
exclusi o de ep esen acións simbólicas ma emá icas a i mé icas.
No polo opos o apa ecen ep esen acións simbólicas ma emá icas alxéb icas que, ademais de
se as menos u ilizadas, amén son as que ep esen an a maio axa de acaso. A maio ía dos
es udan es non a o ecen es e ipo de ep esen ación o mal, pe o cando o an, o máis habi ual
é que non sexan capaces de de e mina ningunha espos a ou que p esen en espos as
incomple as. Ou a si uación eco en e oi que iniciaban a solución con ep esen acións
alxéb icas, pe o, debido á súa incapacidade pa a con inua co seu azoamen o, abandonábanas
pa a con inua con ep esen acións que lles p opo cionaban máis segu idade. Es e acaso es á
asociado con malos esul ados coas ma emá icas, en xe al, ou con malas expe iencias coa
linguaxe alxéb ica, en pa icula , e pa ece e moi o impac o no endemen o dos pa icipan es
nes e es udo.
Pola súa banda, as ep esen acións icónicas son as segundas máis u ilizadas na esolución de
a e as indi idualmen e. Es e é un ipo de ep esen ación a a és do que os es udan es eñen
éxi o. Po én, as ep esen acións icónicas non o on un ecu so pa a esol e a e as
colabo a i as dun xei o exclusi o, xa que o on u ilizadas po algúns g upos no que
ca alogamos como ep esen acións mix as. As ep esen acións pic ó icas, así como as
ep esen acións simbólicas e bais, u ilízanse de xei o esidual, apa ecendo máis nas
ep esen acións mix as. Aínda así, o alumnado que as u iliza amosa esul ados moi
sa is ac o ios.
Os pa icipan es e elan ape u a pa a acep a ou as o mas de ep esen a di e en es ás que
eles mesmos p oducen, semp e que exis a unha explicación e a consecuen e comp ensión das
mesmas.
Puidemos elaciona os ipos de ep esen acións ma emá icas emp egadas coa na u eza da
a e a ma emá ica que se p opón, sendo que as a e as máis sinxelas, que es án menos
encelladas a con idos ma emá icos conc e os, enden a esol e se median e unha maio
di e sidade de ep esen acións, onde con lúen as máis in o mais e as o mais ou mesmo se
complemen an. Es as a e as máis sinxelas, que nun p incipio pode ían pa ece as menos
desa ian es endo en con a que es aban a se p esen adas ao alumnado de Educación Supe io ,
o on as que máis ma xe de on pa a explo a di e en es ipos de ep esen acións ma emá icas.
Po unha banda, oi nas esolucións des as a e as onde apa eceu unha maio di e sidade de
ep esen acións e, po ou a, de on pé a discusións inais moi icas en can o a capacidade
a gumen a i a e espí i o c í ico, en elación co p oceso e as súas an axes e incon enien es e
o esul ado. Ademais, conside amos que á ho a de esol e a e as que se poden p esen a ao
alumnado de p imei o e segundo ciclo, u u o alumnado des es u u os docen es, es es úl imos
ap enden dun xei o moi signi ica i o sob e os con idos que an impa i , sob e os p ocesos de
azoamen o e sob e os dis in os ipos de ep esen ación. As di icul ades coas que se a opan
poden se as di icul ades coas que se a opa án o seu u u o alumnado, o que ga an e que se
p epa en de o ma máis cohe en e pa a o seu u u o labo docen e.
Es as a e as amosá onse moi in e esan es pa a que o alumnado expe imen e de p imei a man
o impo an e papel que poden e as ep esen acións e os p ocesos in o mais pa a a ac i idade
ma emá ica, dándolles a ce eza de que pe mi en a cons ución de coñecemen os, incluso pa a
quen non os u iliza como pe encen es á disciplina. Es es alumnos amén o on quen de
ecoñece o alo des as ep esen acións in o mais pa a o desen ol emen o dou os p ocesos
e es a exias p og esi amen e máis o mais.
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En can o ás uncións das ep esen acións ma emá icas u ilizadas, conclúese que es e
alumnado u ilizounas pa a di e en es ins, dende o ganiza a in o mación que se ansmi e no
enunciado da a e a pa a comp ende mello o p oblema ou axuda a de ini unha es a exia,
a a conc e a azoamen os, explo a di e en es posibilidades e exis alas, e i ica ou e u a
espos as ou comunica ideas a compañei os e/ou p o eso es. As ep esen acións in o mais
son p i ilexiadas, especialmen e as icónicas, pa a o ganiza as ideas p esen es no enunciado,
aspoñendo a in o mación da linguaxe co iá á linguaxe simbólica. Es e ipo de ep esen ación
deixa cla o o e o que se lles o mula e, polo an o, acili a a de inición de es a exias de
esolución. Pa a poñe en p ác ica as es a exias de inidas, a maio ía dos alumnos xa op an
po ep esen acións simbólicas ma emá icas cun maio ni el de o malismo.
Así, as ep esen acións a i mé icas e as ep esen acións alxéb icas xo den esencialmen e pa a
busca unha espos a á a e a, ma e ializándose, po exemplo, en cálculos ou algo i mos
ho izon ais ou na cons ución e esolución dunha ecuación ou dun sis ema de ecuacións.
Tamén se emp egan pa a es e in esquemas, diag amas ou áboas, que ca alogamos como
ep esen acións icónicas, aínda que ep esen an unha pequena mino ía. As ep esen acións
simbólicas ma emá icas a i mé icas amén cump en ou a unción na esolución de a e as dos
pa icipan es nes e es udo: e i ica ou e u a espos as. Ademais, na comunicación de ideas
e nos episodios a gumen a i os es as apa ecen de o ma des acada. Polo que exp esa on es es
alumnos, c emos que o ixe on po que sen ían ce a con ianza con es e ipo de ep esen ación,
pe o amén en g an medida po que conside an que son ep esen acións máis axei adas pa a o
ni el de es udos no que se a opan, endo en con a que o que se espe a deles é es a capacidade
pa a p esen a ideas ma emá icas con cla idade, nun discu so o ganizado e o mal, que inclúa
es u u as ma emá icas especí icas. Aínda no que se e i e á comunicación, amén concluímos
que as ep esen acións simbólicas e bais e an emp egadas polo alumnado pa a ga an i a
e icacia nes a des eza.
Ou a conclusión moi ele an e é sob e a o ma en que o aballo colabo a i o pode
a o ece o uso de ep esen acións ma emá icas di e sas e p og esi amen e es u u adas,
asumindo como unha aliosa con ibución a un endemen o moi posi i o na ac i idade
ma emá ica. As dúas p obas p incipais son a axa de éxi o na esolución das a e as e a
di e sidade e iqueza das ep esen acións ma emá icas xu didas nes a e apa. De ei o, se
compa amos os esul ados das p egun as iniciais da p oba esol as indi idualmen e cos das
a e as colabo a i as, emos que a axa de éxi o é maio cando se emp egan odo ipo de
ep esen acións ma emá icas, o que signi ica que o alumnado en máis éxi o,
independen emen e do ipo de ep esen ación que u iliza, cando aballa en g upo. Ademais,
non podemos ob ia o ei o de que es án xu dindo ipos de ep esen acións máis di e sos e
al e na i os á ho a de esol e a e as colabo a i as. As ep esen acións mix as, que
co esponden só ao edo do doce po cen o do o al das ep esen acións en esolucións
indi iduais, adúcense ago a nun co en a e seis po cen o, cando analizamos os esul ados das
a e as esol as en pequenos g upos, con e éndose no ipo de ep esen ación máis emp egado.
O aballo en e iguais ixo que os es udan es osen máis compe en es. Comeza on
comen ando os p oblemas e explicando os enunciados, buscando o mas de esol elos.
Xun os, o on máis áxiles á ho a de analiza da os, a opa elacións e co elacións, cons uí
conxec u as e e i icalas. Es es es udan es e ela on en ón unha maio lexibilidade pa a
mo e se en e di e en es ipos de ep esen ación cando se aballa en equipo, moi as eces
mo i ada pola di e sidade de azoamen os e i mos de aballo dispa es den o do g upo.
Nes es momen os no á onse co espondencias en e exp esións numé icas e un diag ama, ou
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en e unha áboa e unha desc ición e bal, ou en e un debuxo e unha ecuación, pa a en a
busca unha esolución cla a e que i ese sen ido pa a odos.
Po úl imo, amén se saca on di e sas conclusións sob e a o ma de a gumen a do alumnado
do G ao en Educación Básica. Demos a on capacidade pa a es u u a os seus a gumen os,
de ende unha posición e sinala unha ou a ias azóns pa a apoiala. Os úl imos momen os de
pos a en común e e lexión, du an e os que se o ques a on deba es con oda a clase, axuda on
a que odos eles, incluso aqueles que nun p incipio iñan di icul ades pa a es u u a as súas
ideas e exp esalas, mello a an a súa capacidade de comunicación e a gumen ación. Deba e as
di e en es es a exias de esolución de p oblemas e ep esen acións emp egadas, pe o amén
compa a a súa e icacia, po enciou o espí i o c í ico do alumnado e a o eceu a exposición de
a gumen os, a oma de posicións undamen adas e a capacidade de negociación e acep ación
de di e en es pun os de is a. Os episodios a gumen a i os, acon ecidos an o nun g upo
educido como nun g upo clase coa posible pa icipación do p o eso /in es igado ,
con ibuí on a p omo e un coñecemen o ma emá ico signi ica i o.
Es aba moi cla o que nas súas in e encións os es udan es adoi an u iliza a linguaxe na u al
pa a desc ibi e xus i ica os seus azoamen os, p edominando o ca ác e na a i o, aínda que
en ocasións combinado con azos esquemá icos. Es es es udan es a gumen a on
maio i a iamen e pa a comunica a súa posición e pa a explica ideas, azoamen os ou
p ocesos de esolución. Fixé ono de o ma e icaz e comple a, explicando de di e en es xei os
e p esen ando exemplos semp e que ose necesa io pa a se escla ecedo es. Ao mesmo empo,
os episodios a gumen a i os amén pe mi i on acla a os signi icados das in o macións do
p oblema e as ideas ou conclusións dalgúns alumnos, se indo á inalidade de sis ema ización.
Sob e odo cando se a aba dunha esolución po ensaio-e o, es es momen os esul a on
sumamen e in e esan es pa a o ganiza as ideas e sis ema iza unha es a exia máis e icien e e
económica, que combinase as suxes ións de a ias pe soas nunha única esolución. C ese,
polo an o, que a discusión a edo das a e as, as di e en es ep esen acións e os p ocesos de
esolución con ibuí on ao desen ol emen o das habilidades a gumen a i as dos pa icipan es.
Palab as cha e: Fo mación inicial do p o eso ado; Educación básica; Rep esen acións
ma emá icas; A gumen ación; Ta e as ma emá icas; T aballo colabo a i o.
In odução ao es udo
41
Obje i o 2: Relaciona os ipos de ep esen ações ma emá icas u ilizados com a na u eza
de a e a ma emá ica que é p opos a.
O enunciado de uma a e a ma emá ica in luencia as ep esen ações p oduzidas e as
es a égias ado adas pa a a esol e . P e ende-se es abelece pon es en e o ipo de a e as que
se p opõem e o ipo de ep esen ações que podem delas ad i , po o ma a concebe a e as
que dêem ma gem pa a o apa ecimen o de ep esen ações di e sas e sua discussão.
Obje i o 3: A e i quais as unções das ep esen ações ma emá icas u ilizadas.
As ep esen ações podem se u ilizadas pa a o ganiza a in o mação eiculada no enunciado
de uma a e a, pa a auxilia na de inição de uma es a égia de esolução, pa a esol e uma
ques ão, pa a comunica com os demais o nosso aciocínio. São, en ão, u ilizadas
ep esen ações di e en es com unções di e en es, p e endendo-se, po an o, a e igua se
exis em ipologias de ep esen ações mais associadas a de e minadas unções ou a ou as.
Obje i o 4: A e igua de que o ma é que o abalho colabo a i o pode a o ece a
u ilização de ep esen ações ma emá icas di e sas, p og essi amen e es u u adas.
A a és da análise compa a i a en e os esul ados ob idos com a esolução de a e as de um
modo indi idual e a esolução colabo a i a em pequenos g upos, p e endemos a e igua o
po encial do abalho pa ilhado pa a o conhecimen o e ap op iação de dis in as o mas de
ep esen a em ma emá ica.
Obje i o 5: Desc e e o modo como a gumen am os es udan es da LEB.
A a gumen ação é peça undamen al no p esen e es udo p e endendo-se ca ac e iza os
a gumen os ap esen ados pelos es udan es da LEB, dando espos a a ques ões como o que se
a gumen a e po quê, quem a gumen a, pa a que é que a gumen a, como a gumen a e sob e o
que é que se a gumen a.
1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
Excep uando o p esen e capí ulo – In odução ao es udo – e o úl imo – Re e ências –, es e
documen o desen ola-se ao longo de qua o capí ulos, que seguem uma o dem lógica pa a
possibili a o conhecimen o da in es igação que oi le ada a cabo.
O capí ulo que se segue, o segundo capí ulo – Enquad amen o eó ico –, inclui uma
e isão de p essupos os eó icos undamen ais sob e as emá icas cen ais do es udo,
começando pela o mação inicial de p o esso es, que a ní el in e nacional, que em Po ugal,
e e minando com a abo dagem das a e as ma emá icas, das ep esen ações ma emá icas e da
a gumen ação em ma emá ica.
O e cei o capí ulo – Enquad amen o me odológico – encon a-se di idido em dois
subcapí ulos: os pa adigmas em in es igação eopções me odológicas do es udo. Assim,
a a és da sua lei u a icamos a conhece as p incipais conceções epis emológicas e
pa adigmá icas no âmbi o da in es igação em educação e os p incípios me odológicos que
no ea am o p esen e es udo de na u eza quali a i a e in e p e a i a, a a és da ca ac e ização

ADRIANA FERREIRA
42
dos pa icipan es e da ap esen ação das écnicas de ecolha e análise de dados. Pa a além disso,
es e capí ulo e mina com a sín ese das ca ego ias de análise de dados, essenciais pa a a
lei u a do capí ulo seguin e.
É no qua o capí ulo que encon amos a Análise de dados e esul ados. Ele encon a-se
di idido em ês subcapí ulos, co esponden es à análise dos ês ins umen os de ecolha de
dados undamen ais des a in es igação: análise do es e inicial indi idual,análise das a e as
colabo a i as eanálise do es e inal. Cada um des es subcapí ulos con ém a análise
desc i i a de alhada de cada uma das ques ões que cons i ui o ins umen o, bem como uma
discussão ge al dos esul ados ob idos com esse ins umen o.
Pa a inaliza , é no quin o capí ulo – Conclusões e e lexões inais – que encon amos
uma súmula dos esul ados des a in es igação, p ocu ando analisa cada um dos obje i os
de inidos e da espos a às ques ões o ien ado as que no ea am a in es igação.
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2 ENQUADRAMENTO TEÓRICO
A conc e ização de um es udo des a dimensão de e se an ecedida pela ap esen ação dos
p incípios no ma i os que o ien am a p á ica docen e e o ensino da ma emá ica, bem como
dos p essupos os eó icos sob e as a e as na aula de ma emá ica, as ep esen ações
ma emá icas e a a gumen ação.
Nes e sen ido, es e capí ulo, ap esen a á, p imei amen e, um quad o sob e a o mação
inicial de p o esso es, que con empla uma lei u a e lexi a de documen os de na u eza legal e
eó ica, p ocu ando comp eende a o ganização e o uncionamen o do sis ema educa i o
nacional e in e nacional no que ao pe cu so o ma i o de habili ação pa a a docência diz
espei o. Pos e io men e, a e lexão concen a -se-á no ensino e ap endizagem da ma emá ica
a a és de a e as que equei am dis in os ipos de ep esen ação e conduzam a episódios
a gumen a i os de in e esse pa a a cons ução de conhecimen o.
2.1 A FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES
Se a qualidade das p á icas pedagógicas é um dos a o es de e minan es dos
esul ados dos alunos, impo a econhece a impo ância da o mação inicial
de p o esso es e a necessidade de e le i sob e a sua conceção e o ganização
(Miguéns, 2015, p. 9).
Nas úl imas décadas assis iu-se a uma e olução signi ica i a da sociedade em ge al e do
sis ema educa i o em pa icula , quad o que e o ça a necessidade dos p o esso es adqui i em,
cada ez mais, compe ências e capacidades di e si icadas, a im de se p epa a em pa a
desen ol e uma educação de qualidade. Nes e sen ido, é e iden e e amplamen e econhecido
o papel da o mação inicial de p o esso es na cons ução desse pe il. De aco do com os
Dec e o-Lei n.º 79/2014, de 14 de maio, essa o mação de e “se mui o exigen e, em
pa icula no conhecimen o das ma é ias da á ea de docência e nas didá icas espe i as” (DL
n.º 79/2014, p eâmbulo, p. 2819).
Pensa nas po encialidades e nos cons angimen os dos di e en es modelos de o mação é
essencial, o nando-se ambém mui o impo an e compa á-los com os que são u ilizados
nou os países da Eu opa.
Embo a não seja um ema mui o in es igado, é u gen e que se p ocu e es uda as
emá icas ine en es à o mação inicial de p o esso es, na busca de mais e melho es p á icas de
ensino e numa pe spe i a de melho ia, ino ação e adequação dos modelos de ensino àquelas
que são as ealidades a uais.
ADRIANA FERREIRA
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2.1.1 Di e i as in e nacionais
Os modelos de ensino que conhecemos e as polí icas educa i as que ão su gindo
esul am, na u almen e, de decisões que são omadas po o ganizações in e nacionais, como a
União Eu opeia (UE), a O ganização pa a a Coope ação e o Desen ol imen o Económico
(OCDE), a O ganização das Nações Unidas pa a a Educação, a Ciência e a Cul u a
(UNESCO), e ou as pla a o mas e ó uns, pelo que assis imos a um in enso e c escen e
p ocesso de in e nacionalização e globalização da educação que pe mi e o apa ecimen o de
um espaço eu opeu de educação e, a é, de “uma no a o dem educa i a mundial” (La al &
Webe , 2002; Za a e, 1999). Es e p ocesso coloca, na u almen e, no os desa ios a odos os
agen es educa i os, em especial aos p o esso es, que são “elemen os insubs i uí eis (…) na
p omoção da ap endizagem” (Nó oa, 2008, p.22). Também a Comissão das Comunidades
Eu opeias (CCE) e o ça, numa comunicação ao Conselho e ao Pa lamen o Eu opeu, em 2007,
o peso da qualidade da o mação académica e p o issional dos p o esso es pa a um melho
desempenho dos alunos e, consequen emen e, pa a a melho ia da qualidade do ensino.
De aco do com Almeida e Lopo (2015), são á ios os es udos que demons am uma
g ande di e sidade de p og amas de o mação inicial de p o esso es na Eu opa, “em unção
das conceções nacionais do que se en ende po bom p o esso ” (p. 103). Essas di e gências
podem e i ica -se “ao ní el da o ganização (…) e ma izes cu icula es, cons uídas pa a
inclui , além de um onco de sabe es cien í icos ge ais e disciplina es, ou os sabe es écnicos
(…), o ganizacionais (…) e me odológicos” (p. 103, 104).
Com is a a uma melho ia das polí icas e dos esul ados educacionais, a OCDE o ganiza
o P og ama In e nacional de A aliação de Alunos (PISA) pa a a alia as compe ências dos
jo ens de quinze anos de idade nos domínios da lei u a, da ma emá ica e das ciências. Em
2022, es e es udo con ou com 81 países a aliados dis ibuídos pelos di e en es con inen es e
ce ca de 690 000 alunos. Os esul ados de Po ugal o am semelhan es à média da OCDE,
embo a enham sido in e io es aos de 2018, no que diz espei o à ma emá ica. O país alcançou
a 29.ª posição no anking, com 472 pon os, menos 103 do que a Singapu a, que ocupou o
p imei o luga . Impo a ainda e e i que países como a Li uânia, a Alemanha, a F ança, a
Espanha, a Hung ia, a I ália, a No uega e os Es ados Unidos da Amé ica ap esen a am
esul ados semelhan es aos de Po ugal, não se a as ando da média dos países da OCDE
(Ins i u o de A aliação Educa i a, I. P. [IAVE], 2022). Embo a se ale em “o dem educa i a
mundial”, a e dade é que es es esul ados e le em as di e gências dos á ios países no que
às decisões, medidas e polí icas educa i as diz espei o.
Essa di e enciação ambém se e i ica nos c i é ios de admissão à o mação inicial de
p o esso es, que podem se es abelecidos pela ins i uição, pela au o idade educa i a ou po
ambos. De aco do com o Rela ó io Eu ydice (2013), na maio ia dos países, os candida os são
selecionados de aco do com um conjun o de c i é ios, dos quais se des acam se i ula de um
ce i icado de conclusão do Ensino Secundá io, o ap o ei amen o co esponden e a esse ní el
de ensino e um exame ge al de admissão ao Ensino Supe io . Ainda assim, um núme o
signi ica i o de países da Eu opa ado a apenas um des es c i é ios pa a o acesso à o mação
inicial de p o esso es. Po ugal é um des es países, ap esen ando um g au de sele i idade
baixo, o que em, ce amen e, consequências ao ní el das p á icas de ensino e dos esul ados
dos alunos.
A es e p opósi o, Almeida e Lopo (2015) ap esen am um exemplo pe inen e: em
Singapu a o p ocesso de seleção pa a o acesso à o mação inicial passa po uma sé ie de ases,
desde se um dos 30 melho es diplomados da sua idade, a es es de a aliação pa a e i icação
Enquad amen o eó ico
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de conhecimen os e en e is as pa a a e i a i udes e ap idões, podendo ainda se excluído
du an e a o mação.
Com o in ui o de cons ui um Espaço Eu opeu de Ensino Supe io (EEES) equilib ado,
ni elado e ha monioso su ge, em 1998, a Decla ação de So bonne e, em 1999, o P ocesso de
Bolonha, que, de aco do com An unes (2005), ees u u ou o Ensino Supe io eco endo a
sis emas de g aus e de ans e ência de c édi os aco dados e egulados po sis emas de
ga an ia de qualidade e de c edi ação. Em 2007, com o in ui o de p omo e p á icas de ensino
mais e icazes, ac edi ando que pa a a ingi um ensino de qualidade é ambém p ecisa uma
o mação de p o esso es de qualidade, os Es ados Memb os da União Eu opeia mobilizam-se
no amen e e a União Eu opeia ê-se ob igada a c ia no as e o mas nos sis emas de ensino
(Rod igues, 2015). Na o mação de p o esso es des aca-se o apa ecimen o de um “no o
diploma de es udos (…) um mes ado habili ado pa a a docência; uma o mação que
p i ilegia o modelo simul âneo e uma uni e sidade que passa a e um papel mais impo an e
po se o na mais p esen e” (Rod igues, 2015, p. 224). Assim, o P ocesso de Bolonha impõe
uma melho ia na qualidade da o mação p o issional dos p o esso es, aumen ando a du ação
dos cu sos e p opondo g aus supe io es.
Con udo, da análise dos es udos necessá ios pa a a o mação de p o esso es nos países da
União Eu opeia, não se e i ica uma endência cla a, deno ando-se sim um desequilíb io de
in luências nas opções omadas. É impo an e des aca que
A compa ação en e os anos necessá ios pa a a o mação de p o esso es da
educação p é-escola e 1.º e 2.º CEB e os esul ados ob idos na classi icação
de PISA 2009 e 2012 mos a que o núme o de anos de o mação não é
sinónimo de qualidade em e mos de esul ados posi i os das ap endizagens
dos alunos (Rod igues, 2015, p. 235).
Des e modo, o na-se cla o que o aumen o do núme o de anos de es udos associado à
ob enção de um diploma de o mação supe io (de mes ado) não é condição su icien e pa a
se e i ica uma melho ia na qualidade da o mação dos docen es e, consequen emen e, na
ap endizagem dos alunos.
Es e é um abalho que em de se desen ol ido de o ma con ínua, p ocu ando a
equidade e a qualidade, conside ando semp e, como e e e a Comissão das Comunidades
Eu opeias, a educação e a o mação elemen os essenciais pa a supe a di iculdades
económicas e sociais. En endendo a dimensão que a educação alcança numa sociedade, a
Comissão das Comunidades Eu opeias p opõe, num comunicado de 2007, algumas
o ien ações pa a os es ados-memb os, das quais se des acam o acesso de odos os docen es ao
domínio didá ico, nomeadamen e a conhecimen os, a i udes e compe ências que lhes
pe mi am se melho es p o esso es; a p omoção de uma cul u a e lexi a e in es iga i a; a
o ganização e coo denação do sis ema de ensino e de o mação de p o esso es, bem como a
disponibilidade de ecu sos; e o econhecimen o e alo ização da p o issão docen e.
O ela ó io da Comissão In e nacional de Educação da UNESCO pa a o século XXI
ecomenda aos go e nos especial empenho em ea i ma a impo ância dos p o esso es da
educação básica, pois “se o p imei o p o esso que a c iança ou o adul o encon a na ida i e
uma o mação de icien e ou se e ela pouco mo i ado, são as p óp ias undações sob e as
quais se i ão cons ui as u u as ap endizagens que ica ão pouco sólidas" (Delo s e al., 1998,
p. 159).
ADRIANA FERREIRA
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Todas es as aceções, ealidades e opções a ão, ce amen e, desen ol imen os u u os
nes e en endimen o de uma “no a o dem educa i a mundial” com polí icas educa i as globais.
2.1.2 A Fo mação Inicial de P o esso es em Po ugal
A cons ução do pe il docen e de e se pe spe i ada à luz dos quad os legisla i os que
são ine en es à de inição e o ganização do sis ema educa i o. Nes e sen ido, impo a aqui
e le i em o no de um conjun o de no ma i os que egulamen am a a ual o mação de
p o esso es em Po ugal.
Relemb e-se que é na Lei de Bases do Sis ema Educa i o – Lei n.º 46/86, de 14 de
ou ub o1– que se ap esen a o quad o ge al do sis ema educa i o, podendo encon a -se nos
a igos 30.º e 31.º o enquad amen o ju ídico e e en e à o mação de educado es de in ância e
de p o esso es dos Ensinos Básico e Secundá io. De aco do com es e documen o, a o mação
de p o esso es de e p opo ciona “a in o mação, os mé odos e as écnicas cien í icos e
pedagógicos de base”, de al o ma que se pe spe i a uma “ o mação in eg ada que no plano
da p epa ação cien í ico-pedagógica que no da a iculação eó ico-p á ica” (LBSE, 1986, a .º
30º, p. 3075).
Pode ambém le -se na mesma Lei que compe e ao Go e no a de inição dos pe is de
compe ência exigidos pa a o desempenho das unções docen es, pe is es es que su gem
explici amen e nos Dec e os-Lei n.º 240/2001 e n.º 241/2001, ambos de 30 de agos o. O
p imei o ap esen a o pe il de compe ência comum aos educado es de in ância e aos
p o esso es dos Ensinos Básico e Secundá io, açado a pa i de qua o dimensões,
nomeadamen e a dimensão p o issional, social e é ica, a dimensão de desen ol imen o do
ensino e da ap endizagem, a dimensão de pa icipação na escola e de elação com a
comunidade e, po úl imo, a dimensão de desen ol imen o p o issional ao longo da ida. Po
sua ez, o Dec e o-Lei n.º 241/2001 ap esen a os pe is de desempenho especí icos de
quali icação p o issional pa a a docência, no que diz espei o ao educado de in ância e ao
p o esso do 1.º ciclo do Ensino Básico, endo em con a a conceção e desen ol imen o do
cu ículo, bem como a sua pe spe i ação de o ma in eg ada. Es e documen o co obo a a
aceção ap esen ada no a igo 8.º da Lei de Bases do Sis ema Educa i o ao concebe o ensino
no 1.º ciclo como “globalizan e e da esponsabilidade de um p o esso único, o qual pode se
coadju ado em á eas especializadas” (DL n.º 241/2001, p eâmbulo, p.5572).
Ainda na Lei de Bases do Sis ema Educa i o, um dos p incípios ge ais sob e a o mação
da p o issionalidade docen e é o ca iz pa icipado que es a de e aba ca . Es a e e ência a um
modelo de ap endizagem que implica um papel a i o po pa e do aluno/p o issional em
o mação pa ece que em an ecipa o apa ecimen o do p ocesso de Bolonha, conc e izado no
Dec e o-Lei n.º 74/2006, de 24 de ma ço. No p eâmbulo des e documen o pode le -se:
Ques ão cen al no P ocesso de Bolonha é o da mudança do pa adigma de
ensino de um modelo passi o, baseado na aquisição de conhecimen os, pa a
1Es a lei oi so endo al e ações ao longo dos anos, pelo que de em se consul adas ambém a Lei n.º 115/97, de 19 de
se emb o (al e ação à Lei n.º 46/86 - Lei de Bases do Sis ema Educa i o), a Lei n.º 49/2005, de 30 de agos o (segunda
al e ação à Lei de Bases do Sis ema Educa i o e p imei a al e ação à Lei de Bases do Financiamen o do Ensino Supe io ), a
Lei n.º 85/2009, de 27 de agos o (es abelece o egime da escola idade ob iga ó ia pa a as c ianças e jo ens que se encon am
em idade escola e consag a a uni e salidade da educação p é-escola pa a as c ianças a pa i dos 5 anos de idade) e a Lei n.º
16/2023, de 10 de ab il ( alo iza o Ensino Poli écnico, al e ando a Lei de Bases do Sis ema Educa i o e o egime ju ídico das
ins i uições de Ensino Supe io ).

Enquad amen o eó ico
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um modelo baseado no desen ol imen o de compe ências, onde se incluem
que as de na u eza gené ica — ins umen ais, in e pessoais e sis émicas —
que as de na u eza especí ica associadas à á ea de o mação, e onde a
componen e expe imen al e de p ojec o desempenham um papel impo an e
(DL n.º 74/2006, p eâmbulo, p. 2243).
Po o ma a esponde a es a exigência e endo semp e em is a a melho ia “da qualidade
e da ele ância das o mações o e ecidas” (DL n.º 74/2006, p eâmbulo, p.2242) o pe cu so de
habili ação pa a a docência oi so endo ees u u ações, es ando na a ualidade o ganizado em
ciclos de o mação. O p imei o ciclo de es udos, denominado de Licencia u a (em Educação
Básica), ep esen a uma e apa de o mação inicial, que não con e e habili ação p o issional,
in i ulada po Pon e (2006) como “banda la ga”. De aco do com o mesmo Dec e o-Lei, “no
ensino poli écnico, o ciclo de es udos conducen e ao g au de licenciado em 180 c édi os e
uma du ação no mal de seis semes es cu icula es de abalho dos alunos” (DL n.º 74/2006,
a .º 8.º, p.2245). Já no Ensino Uni e si á io, o núme o de c édi os pode es ende -se a é aos
240 e, po an o, o ciclo p olonga -se a é aos oi o semes es cu icula es. É ainda de ealça
que des e o al de c édi os são a ibuídos no mínimo 125 à componen e de o mação na á ea
da docência, sendo que des es no mínimo 30 co espondem à ma emá ica (DL n.º 79/2014).
No con ex o da p esen e in es igação impo a e e i que, po exemplo, na Escola
Supe io de Educação do Poli écnico do Po o, odas as unidades cu icula es de ma emá ica
da Licencia u a em Educação Básica são semes ais e exis e semp e pelo menos uma em cada
semes e, con o me mos a o quad o 1.
Quad o 1. Unidades cu icula es de ma emá ica na Licencia u a em Educação Básica (elabo ação p óp ia)
1.º semes e
2.º semes e
1.º ano
Cul u a e Conhecimen o Ma emá ico
Linguagem, Lógica e Comunicação
2.º ano
Núme os e Es u u as
Geome ia
3.º ano
Ma emá ica, Ma e iais e Tecnologias
Didá ica da Ma emá ica
Ma emá ica Elemen a e Ma e iais
ou
Resolução de P oblemas
Po sua ez, o segundo ciclo de es udos designa-se po Mes ado e des ina-se à
especialização. A sua du ação es á subjacen e ao plano de es udos e à es u u a cu icula de
cada mes ado, podendo e de “90 a 120 c édi os e uma du ação no mal comp eendida en e
ês e qua o semes es cu icula es de abalho dos alunos” (DL n.º 74/2006, a .º 18.º,
p.2247). O Despacho n.º 7856/2010, de 4 de maio, e e e que pa a a ob enção do g au de
mes e na Escola Supe io de Educação do Poli écnico do Po o, ins i uição que acolhe os
u u os p o esso es in es igados, são ob iga ó ias as seguin es á eas cien í icas: Ciências da
Educação, Língua Po uguesa, Ciências Sociais, Ma emá ica, Ciências da Na u eza, A es e
Mo icidade e Supe isão Pedagógica. O mesmo despacho no ma i o e e e o
desen ol imen o des e Mes ado em dois con ex os que se a iculam, nomeadamen e a Escola
de Fo mação e as Ins i uições de P á ica Educa i a. Es a bipa ição em con i ma a
impo ância dec e ada à Supe isão Pedagógica, que é a á ea cien í ica p edominan e do cu so.
De ac o, es a ep esen a um “momen o p i ilegiado, e insubs i uí el, de ap endizagem da
mobilização dos conhecimen os, capacidades, compe ências e a i udes, adqui idas nas ou as
á eas” (DL n.º 43/2007, p eâmbulo, p. 1321).
O p ocesso de Bolonha, ap o ado pelo e e ido dec e o, con empla ainda um e cei o
ciclo denominado de Dou o amen o, cuja ob enção não é necessá ia pa a quem p e ende
ADRIANA FERREIRA
48
ab aça a p o issão docen e. Todas es as al e ações êm em is a a uni o mização das
es u u as educa i as, con i mando-se um “empenhamen o na cons ução de um espaço
eu opeu de ensino supe io endo em is a a qualidade, a mobilidade e a compa abilidade dos
g aus académicos e o mações” (Pon e, 2006, p.1).
No que oca à o mação de p o esso es, su ge, na sequência do P ocesso de Bolonha, o
Dec e o-Lei n.º 43/2007, de 22 de e e ei o, que de e mina as condições de acesso à
habili ação p o issional docen e. Es e no ma i o ap esen a um no o sis ema de o ganização
que p i ilegia “o ala gamen o dos domínios de habili ação do docen e gene alis a que passam
a inclui a habili ação conjun a pa a a educação p é-escola e pa a o 1.º ciclo do ensino básico
ou a habili ação conjun a pa a os 1.º e 2.º ciclos do ensino básico” (DL n.º 43/2007,
p eâmbulo, p. 1320). Es a maio ab angência de ní eis e ciclos possibili a um
acompanhamen o mais p olongado dos alunos e pe mi e uma maio lexibilidade no que oca
à ges ão de ecu sos humanos, embo a exija um maio domínio de con eúdos e conhecimen os
po pa e do p o esso .
Ainda, “o aumen o do ní el ge al da o mação de p o esso es ende a e um e ei o
mensu á el e mui o signi ica i o na qualidade do sis ema de ensino” (DL n.º 79/2014,
p eâmbulo, p. 2819), ac edi ando-se que um domínio mais consis en e das ma é ias a leciona
pode conduzi a p á icas mais au ónomas e segu as, o que é sinónimo da melho ia da
qualidade do ensino e, consequen emen e, da ap endizagem. Nes e sen ido, o Dec e o-Lei n.º
79/2014, de 14 de maio, em e oga o Dec e o-Lei n.º 43/2007, in oduzindo al e ações no
pe cu so de o mação de p o esso es, sendo o seu p incipal obje i o “ e o ça a quali icação
dos educado es e p o esso es designadamen e nas á eas da docência, das didá icas especí icas
e da iniciação à p á ica p o issional” (DL n.º 79/2014, p eâmbulo, p. 2820).
Es e documen o no ma i o con empla, essencialmen e, ês medidas que in e e em na
o ganização dos Mes ados em Ensino. Des as medidas cons a o aumen o da du ação dos
ciclos de es udos, nomeadamen e do Mes ado em Educação P é-Escola ou em Ensino do 1.º
ciclo do Ensino Básico de dois pa a ês semes es e do Mes ado conjun o de ês pa a qua o
semes es. No que diz espei o ao Mes ado em Ensino dos 1.º e 2.º ciclos do Ensino Básico
es e ê ixada a sua du ação em qua o semes es.
Ou a medida que impo a menciona é o desdob amen o do úl imo Mes ado em
a ian es, ou seja, se ão sepa adas as o mações de p o esso es do 2.º ciclo em Po uguês e
His ó ia e Geog a ia de Po ugal ou em Ma emá ica e Ciências Na u ais. O quad o 2 mos a-
nos os Mes ados disponí eis a ualmen e e a co esponden e habili ação.
Quad o 2. Habili ação pa a a docência na Classi icação In e nacional Tipo da Educação, nos ní eis 0 e 1,
em Po ugal (elabo ação p óp ia)
Licencia u a
Mes ado
Habili ação
Educação
Básica
Educação P é-Escola
- Educado de In ância
Ensino do 1.º ciclo do Ensino Básico (E.B.)
- P o esso do 1.º ciclo do E.B.
Educação P é-Escola e Ensino do 1.º ciclo
do E.B.
- Educado de In ância
- P o esso do 1.º ciclo do E.B.
Ensino do 1.º ciclo do E.B. e Ma emá ica e
Ciências Na u ais do 2.º ciclo do E.B.
- P o esso do 1.º ciclo do E.B.
- P o esso do 2.º ciclo do E.B.
apenas nas disciplinas de Ma emá ica
e de Ciências Na u ais
Ensino do 1.º ciclo do E.B. e Po uguês e
His ó ia e Geog a ia de Po ugal do 2.º
ciclo do E.B.
- P o esso do 1.º ciclo do E.B.
- P o esso do 2.º ciclo do E.B.
apenas nas disciplinas de Po uguês e
de His ó ia e Geog a ia de Po ugal
Enquad amen o eó ico
49
Na u almen e, es a al e ação p eocupa quem ealizou o Mes ado nos moldes an e io es,
colocando em dú ida as habili ações ob idas. A es e espei o, o Dec e o-Lei mais ecen e
escla ece:
Aqueles que enham adqui ido habili ação p o issional pa a a docência no
âmbi o de legislação an e io à en ada em igo do p esen e dec e o-lei
man êm essa habili ação pa a a docência no g upo ou g upos de ec u amen o
em que a enham ob ido (DL n.º 79/2014, a .º 29.º, p. 2825).
Es as al e ações colocam no amen e po e a o ala gamen o da habili ação do p o esso
gene alis a a é ao inal do 2.º ciclo do Ensino Básico, opção de á ios países pe encen es à
União Eu opeia. Des a o ma, dep eende-se que as des an agens des e sis ema pesa am mais
do que as an agens, igno ando-se o a gumen o ão e e ido po á ios au o es e p o esso es
que consis e na ansição menos penosa do 1.º pa a o 2.º ciclo do Ensino Básico.
Po im, o Dec e o-Lei em análise ambém p ocede à ixação do núme o de agas, que
pa a a Licencia u a que pa a os Mes ados, com o in ui o de se adequa às necessidades do
sis ema educa i o.
A melho ia da qualidade da o mação dos p o esso es é uma p eocupação pa en e que no
Dec e o-Lei n.º 79/2014 que na g ande maio ia dos no ma i os que dizem espei o à
habili ação pa a a docência. Nes e âmbi o, é de des aca ambém o Dec e o-Lei n.º 146/2013,
de 22 de ou ub o, que p opõe a ealização de uma p o a de a aliação de conhecimen os e
capacidades com o in ui o de “in eg a no sis ema educa i o aqueles que es ão melho
p epa ados e ocacionados pa a o ensino” (DL n.º 146/2013, p eâmbulo, p.6208). Com a
en ada em igo des e Dec e o-Lei, pa a além da ob enção do g au de licenciado seguida da
do de mes e, os candida os a ab aça a p o issão docen e e iam de ealiza a e e ida p o a e
ob e ap o ação na mesma.
Impo a, ainda, e e i que a p o a con empla domínios “como a lei u a e a esc i a, o
aciocínio lógico e c í ico ou a esolução de p oblemas”, isando a ha monização da “na u al
di e enciação o ma i a na di e sidade das ins i uições esponsá eis pela o mação inicial de
p o esso es” (DL n.º 146/2013, p eâmbulo, p. 6208). O ema oi amplamen e discu ido,
despole ando di e en es opiniões, uma ez que pode se is o como um equilíb io en e as
di e en es o mações p opo cionadas pelas di e en es ins i uições de ensino, mas ambém
como um a es ado de incompe ência pa a as mesmas. Na e dade, a medida acabou po não
a ança , não se endo e i icado a sua ob iga o iedade em nenhum ano de concu so.
O Dec e o-Lei n.º 79/ 2014 oi al e ado pelos Dec e os-Leis n.º 176/2014, de 12 de
dezemb o, e n.º 16/2018, de 7 de ma ço. A p imei a al e ação em escla ece as
especialidades do g au de mes e, os equisi os mínimos de o mação pa a o ing esso e g upos
de ec u amen o pa a o qual habili am e o segundo c ia o g upo de ec u amen o da Língua
Ges ual Po uguesa. Recen emen e su giu a e cei a al e ação, consag ada no Dec e o-Lei n.º
112/2023, de 29 de no emb o. Es e ouxe no as al e ações ao egime ju ídico de habili ação
p o issional pa a a docência que se que mais lexí el e e icaz, essencialmen e pa a esponde
ao en elhecimen o da classe docen e e às c escen es di iculdades da sua eno ação pela pouca
a ação pela p o issão, a a és da adoção de “medidas que e o cem a quan idade e a
qualidade daqueles p o issionais, pa a que, com quali icação adequada, possam da espos a
às necessidades iden i icadas no âmbi o do sis ema de ensino público” (DL n.º 112/2023,
p eâmbulo, p. 4).
ADRIANA FERREIRA
50
Pa a al, o despacho n.º 12214/ 2022 c iou uma equipa de abalho que se deb uçou na
análise do dec e o o iginal (Dec e o-Lei n.º 79/ 2014) e na elabo ação de p opos as de
suges ão. En e an o, su ge a úl ima al e ação ao Dec e o-Lei n.º 79/ 2014 e p imei a al e ação
ao Dec e o-Lei n.º 112/2023 com o Dec e o-Lei n.º 23/ 2024, de 19 de ma ço, que isa
“ lexibiliza o modelo de ealização da p á ica de ensino supe isionada de modo a e o ça a
au onomia cien í ica e pedagógica dos es abelecimen os de ensino supe io ” (p eâmbulo, p. 1).
Des es dois dec e os mais ecen es des aca-se a eo ganização da o mação dos cu sos de
habili ação p o issional em unção dos documen os no ma i os de polí ica educa i a em igo ,
a sabe , do Pe il dos Alunos à Saída da Escola idade Ob iga ó ia, das Ap endizagens
Essenciais e da Educação pa a a Cidadania. Pa a além disso, ambém se in oduzem condições
especí icas pa a de e minados candida os, como aqueles que inicia am os cu sos, mas não os
concluí am. Po im, passa a ha e emune ação pa a os es agiá ios, que se encaixam, de
aco do com o ho á io a ibuído, no índice 167 da escala (1.º escalão), e econhece-se algum
es a u o aos p o esso es coope an es das escolas (desde a Educação de In ância ao Ensino
Secundá io) que acolhem e o ien am os es agiá ios na iniciação à p o issão. Assim, eg essa
um es ágio mais obus o com ca ac e ís icas bem di e en es das que egula am os documen os
an e io es, já que o es agiá io ai leciona doze ho as le i as com con a o de abalho com o
Minis é io da Educação. Ac edi a-se que a alo ização dos p o esso es coope an es, que
passam a e no seu ho á io ho as des inadas ao acompanhamen o dos es agiá ios, pode se
uma excelen e opo unidade pa a en ol e as escolas na o mação inicial e c ia pon es en e a
o mação inicial e a o mação con ínua, exis indo, oda ia, algum eceio de que es a medida
seja apenas pa a esponde às necessidades u gen es de al a de p o esso es.
Ac edi a-se que odas es as al e ações ao ní el da eo ganização do pe cu so o ma i o
pa a habili ação pa a a docência que êm oco ido ao longo dos anos são es u u adas pa a que
a legislação se adap e aos no os desa ios que a escola en en a, sendo que um desses desa ios
é a e ogação dos documen os cu icula es das di e en es disciplinas. Rela i amen e à
ma emá ica, as mais ecen es al e ações podem e ela -se uma opo unidade pa a o e o ço da
qualidade da o mação de p o esso es, p epa ando-os pa a um e icaz exe cício da p o issão
a a és do domínio dos con eúdos e das capacidades ans e sais da disciplina, emas que se
abo dam nes e es udo, assim como do conhecimen o didá ico e pedagógico.
2.2 ASTAREFAS MATEMÁTICAS
As a e as assumem um papel p eponde an e na educação ma emá ica po pe mi i em a
descobe a de concei os ma emá icos, de p ocessos ou de es a égias e po omen a em o
desen ol imen o do aciocínio ma emá ico, da a gumen ação e da comunicação. A
ap esen ação de a e as es imulan es e signi ica i as aos es udan es en ol e-os na cons ução
de conhecimen o e na a ibuição de sen ido às no as ap endizagens, elacionando-as com as
edes de conhecimen os p é ios que já possuem.
Em empos, os concei os a e a e a i idade não se dis inguiam cla amen e, con udo,
alguns au o es, como Ch is iansen e Wal he (1986) êm escla ece que não são sinónimos, já
que é a a e a que ai coloca o aluno em a i idade. Po an o, a a e a é a p opos a ap esen ada
aos es udan es, is o é, o que eles ão e de aze ; já a a i idade é udo o que deco e dessa
a e a, en ol endo o es udan e, os pa es, o p o esso , possí eis ma e iais a que se eco a.
Focando-se apenas no concei o de a e a, Pon e (2005) dis ingue qua o ipologias: os
exe cícios, os p oblemas, as in es igações e as explo ações, con o me suge e a igu a 1.
Enquad amen o eó ico
57
A explo ação das ep esen ações, que sejam in e nas ou ex e nas, eque um abalho
cuidadoso, já que é desejá el que se es abeleçam conexões en e as di e en es ipologias de
ep esen ação, pa a que elas não sejam “en endidas como au ónomas, independen es ou
al e na i as umas às ou as. Na e dade, podem se usadas simul aneamen e ou segundo
á ias combinações que es ão p esen es ao longo de oda a ida” (Boa ida e al., 2008, p.71).
A pa dis o, de em, na u almen e, se coe en es com os enunciados das a e as que lhes são
suge idas (NGA & CCSSO, 2010).
No en an o, es a é uma a e a di ícil, pa a a qual p o esso es e u u os p o esso es podem
ap esen a algumas limi ações. É isso que nos diz um es udo de Ma ins e al. (2023) sob e o
es udo de aula na o mação inicial de p o esso es de ma emá ica: con i ma que os u u os
p o esso es numa ase mais a ançada de p epa ação de aulas e elam di iculdades em
esol e uma a e a u ilizando di e en es ep esen ações, mos ando “p eocupação em
an ecipa as es a égias de esolução e as di iculdades que os alunos pode iam ap esen a ” (p.
131). Ou os es udos des acam que pode se um e dadei o desa io pa a os p o esso es
es abelece conexões en e es a égias de esolução di e sas de uma de e minada a e a
ma emá ica, o que implica conhece di e en es modos de ep esen a em ma emá ica,
consegui c ia elos en e eles e o ganiza as ideias ma emá icas associadas a cada um
(Delgado e al., 2017; Mendes e al., 2022).
Quando se ala de ep esen ações ma emá icas podemos, en ão, iden i ica di e en es
ipologias, embo a possamos ambém analisa o ní el de o malidade das p oduções
ealizadas pelos es udan es. Assim, Webb e al. (2008), ocam-se nes a ca ac e ís ica das
ep esen ações e ap esen am-nos uma espécie de modelo de ap endizagem e ap op iação das
ep esen ações, associado a uma ideia de p og essão, não só no que diz espei o às
ep esen ações, mas ambém ao conhecimen o ma emá ico. Pa a es es au o es, em p imei a
ins ância odos nós u ilizamos ep esen ações in o mais, que con êm concei os conc e os
ep esen ados em con ex os amilia es. Pos e io men e, começam a u iliza -se ep esen ações
p é- o mais, que já são mais abs a as e, consequen emen e, com maio complexidade. Po
im, passamos a se capazes de p oduzi ep esen ações o mais, nas quais já se u ilizam
no ações ma emá icas o mais, com ecu so a símbolos ma emá icos, núme os, ope ações,
ó mulas. Na u almen e, não há uma linha que de ina cla amen e cada um des es ní eis, pelo
que podemos oscila en e eles, o que conduz ao apa ecimen o de um ní el de o malidade
híb ido, que pode se designado po semi- o mal. Nes e con ex o, Pin o e Cana a o (2012),
ao es uda o papel das ep esen ações na esolução de p oblemas com es udan es do Ensino
Básico e Secundá io e idenciam a u ilização de di e en es modos de ep esen ação com
unções dis in as na comp eensão de um p oblema e na sua descons ução, coexis indo,
mui as ezes, ep esen ações o mais e in o mais. Des e modo, uma só ep esen ação pode
con e aços ca ac e ís icos de dois ou dos ês ní eis de o malidade e e idos an e io men e.
Es a conceção é e o çada po Pon e e Velez (2011) que num es udo explo a ó io com
p o esso es do 1.º ciclo do Ensino Básico concluí am que, apesa de os es udan es eco e em
aos á ios ní eis de o malidade, os p o esso es alo izam pa icula men e as ep esen ações
o mais. Goldin (1998), bem como Webb e al. (2008), e e em que pe an e um no o con ex o
ou si uação p oblema que possa de algum modo aze insegu ança ou ince ezas aos alunos,
es es endem a eg edi no ní el de o malidade e ol a a u iliza as ep esen ações in o mais
e/ ou p é- o mais que já inham deixado de u iliza .
Pa indo da análise da li e a u a acima mencionada, op ámos po conside a , no p esen e
es udo, cinco p incipais ipos de ep esen ações ma emá icas, a sabe : ep esen ações
pic ó icas, ep esen ações icónicas, ep esen ações simbólicas e bais, ep esen ações

ADRIANA FERREIRA
58
simbólicas ma emá icas a i mé icas e ep esen ações simbólicas ma emá icas algéb icas. A
es es ipos ac escem as ep esen ações mis as, que podem esul a da combinação de
quaisque dois ou mais ipos de ep esen ações p incipais. O quad o 4 con ém as ca ego ias
a a és das quais ai se ealizada a análise das ep esen ações dos es udan es que
pa icipa am na p esen e in es igação, de inidas em unção dos ipos de ep esen ações
ma emá icas. Nele ambém se encon a uma b e e explicação da cada uma e a e e ência o
ní el de o malidade que pode ep esen a .
Quad o 4. Ca ego ias de análise de dados em unção das ipologias de ep esen ações ma emá icas
(elabo ação p óp ia)
Rep esen ação
Ní el de o malidade
Pic ó ica
Desenhos com g ande p oximidade à ealidade
In o mal
Icónica
Símbolos não con encionais, mais abs a os
Simbólica e bal
Linguagem e bal esc i a ou alada
Semi- o mal
Simbólica ma emá ica
a i mé ica
Linguagem ma emá ica, com ecu so a
ope ações simples
Fo mal
algéb ica
Linguagem ma emá ica, com ecu so a
cons ução de equações ou simila
Mis a
Híb ido de duas ou mais ep esen ações
an e io es
Semi- o mal
Pa a que melho se en enda o que se p e ende dize com cada um des es ipos de
ep esen ação, ap esen amos, de seguida, pa a uma si uação ma emá ica simples um exemplo
de cada um deles. Conside e-se a ques ão: “A Ri a inha doze ebuçados e dis ibuiu-os pelos
seus p imos, o e ecendo ês a cada um. Quan os p imos em a Ri a?”. O quad o 5 con ém um
exemplo de ep esen ação ma emá ica que pe mi e de e mina a espos a pa a cada ipo
ca ego izado.
Quad o 5. Exemplos de esolução pa a cada ipo de ep esen ação ma emá ica (elabo ação p óp ia)
Tipo de ep esen ação
Exemplo
Pic ó ica
Icónica
Simbólica e bal
Pa a descob i o núme o de amigos da Ri a posso o ganiza os doze
ebuçados que ela em em conjun os de ês ebuçados cada. Como
consigo o ma qua o conjun os posso conclui que a Ri a em qua o
amigos.
Simbólica ma emá ica
a i mé ica
12 ÷3 = 4
algéb ica
12 ÷
x
= 3 <=>
x
= <=>
x
= 4
Mis a
Híb ido de duas ou mais ep esen ações an e io es
2.4 A ARGUMENTAÇÃO EM MATEMÁTICA
O aciocínio ma emá ico bem como o es udo de di e en es o mas de pensa em ma emá ica
( aciocínio dedu i o, indu i o, abdu i o e po analogia) êm ganho ele o nas in es igações de
á ios au o es. O p oje o Raciocínio Ma emá ico e Fo mação de P o esso es (REASON) é um
Enquad amen o eó ico
59
bom exemplo do abalho que em indo a se ei o nes e âmbi o em Po ugal, já que se
p opõe a es uda o conhecimen o ma emá ico e didá ico necessá io pa a e mos p o esso es
capazes de conduzi p á icas que p omo am e desen ol am o aciocínio ma emá ico dos seus
alunos e a suge i o mas de apoia os p o issionais ou u u os p o issionais nessa a e a. A
pa des e p oje o ou as in es igações ão pe mi indo conclui como aciocinam os nossos
alunos. Um es udo de Pon e a al. (2012) salien a sob e udo o ecu so ao aciocínio de
na u eza indu i a po pa e de es udan es do Ensino Secundá io assim como do Ensino
Supe io numa ase inicial, embo a exis a uma endência c escen e pa a aciocina
dedu i amen e. Os mesmos au o es e e em que “os p ocessos de aciocínio incluem a
o mulação de ques ões, a o mulação e es e de conje u as e a ealização de jus i icações” (p.
358).
Nes e sen ido, impo a dis ingui b e emen e cada um dos ipos de aciocínio acima
mencionados que ocupam um luga de des aque na ap endizagem da ma emá ica,
p incipalmen e no que diz espei o a demons ações (Reid & Knipping, 2010). De aco do com
es es au o es, o aciocínio dedu i o pa e de uma eg a ge al pa a de e mina conclusões
especí icas e, assim, p oduzi no os conhecimen os. No malmen e, o aciocínio dedu i o é
associado a a e as de e i icação, como o ma de ob e ce ezas, a é po que, mui as ezes, é
ensinado com esse im. Po ou o lado, o aciocínio indu i o em como pon o de pa ida um
caso pa icula e como inalidade a ob enção de uma conclusão ge al. Já o aciocínio abdu i o
omen a a o mulação de no as hipó eses, a a és de elações que podem se es abelecidas
com aciocínios dedu i os ou indu i os. Po im, Reid e Knipping (2010) explicam que se ala
de aciocínio po analogia quando se pa e da análise de semelhanças en e dois casos pa a
c ia uma conje u a, sendo que um dos casos, a on e, é amplamen e conhecido, e o ou o, o
al o, é menos popula .
Se os ipos de aciocínio êm um papel de des aque nas in es igações em ma emá ica, a
elação en e os modos de ep esen a e o seu papel na comp eensão e no desen ol imen o do
conhecimen o, is o é, a análise das ep esen ações dos alunos, a sua e olução e a o ma como
es a in e ém na capacidade de aciocina , ainda não em o en oque desejado. Ainda assim,
Valé io (2005) explo a a es ei a elação en e a ep esen ação e a cons ução da comp eensão
ma emá ica com alunos do 1.º ciclo do Ensino Básico, des acando a e olução das
ep esen ações ex e nas sob in luência do p o esso , dos pa es e de conceções p é ias. O au o
conclui que há indicado es que e elam comp eensão no deco e da cons ução de
ep esen ações di e sas, p incipalmen e de ep esen ações esquemá icas que os alunos
u ilizam pa a isualiza o p oblema, esol ê-lo e comunica a solução ao g upo. Ou o aspe o
ambém apon ado que e ela comp eensão ma emá ica é a adap ação de uma o ma de
ep esen a a si uações p oblema di e en es, p ocedendo a pequenas al e ações.
Po sua ez, Qua esma e Pon e (2013) ap esen am um es udo pa a um ópico especí ico
da ma emá ica, nomeadamen e os núme os acionais, des acando a u ilização de di e en es
ep esen ações, mas uma di iculdade e iden e na p odução de gene alizações ou na
jus i icação de espos as. Hen iques e Pon e (2014) desc e em uma in es igação com alunos
do Ensino Supe io que e idenciam as mesmas di iculdades, apesa de se em capazes de
u iliza an o o aciocínio indu i o como o dedu i o. Os au o es concluem que as
ep esen ações são u ilizadas como supo e pa a comp eende , explo a e egis a , mas, mui as
ezes, são usadas de um modo pouco lexí el.
O a, aspe os como a o mulação de conje u as, a ap esen ação de explicações ou a
jus i icação de p ocessos pa ecem eme e -nos pa a abo dagens quase ilosó icas, adicionais
ADRIANA FERREIRA
60
na ma emá ica, que se elacionam com a a gumen ação, com a ce eza que é a a és dela que
“uma pessoa — ou um g upo — en a conduzi um audi ó io a adop a uma posição
eco endo a ap esen ações ou asse ções — a gumen os — que isam mos a a sua alidade
ou undamen o” (Olé on, 1996, p. 4). O a, se o elemen o cen al des e p ocesso discu si o e
sociocul u al são os a gumen os, impo a e e i que um a gumen o é uma exp essão
discu si a exposi i a, a a és da qual se ap esen a uma posição e a(s) azão(ões) que a
sus en a(m). A posição pode se uma p oposição que a i ma ou e u a de e minada ideia, uma
o ação ou uma ação; a jus i icação, que não inclui a posição, é o conjun o de azões que
sus en am a e acidade ou a acei abilidade da posição (Cama go e al., 2023; Pe elman, 1993).
É a a gumen ação enquan o p ocesso de aciocínio que mais impo a no p esen e es udo, uma
ez que se p ocu ou concen a a a enção na análise e ca ac e ização da a gumen ação
ap esen ada pelos es udan es do Ensino Supe io pa a supo a as suas decisões no que diz
espei o a ep esen ações e es a égias na esolução de a e as ma emá icas.
Ac edi a-se que A is ó eles oi “o p imei o au o que expôs uma concepção sis emá ica
da a gumen ação” (Olé on, 1996, p. 5) nas suas ob as Tópicos eRe ó ica. Começou po
dis ingui duas o mas de aciocina : a demons ação analí ica e a a gumen ação dialé ica
(Coelho, 1999). A p imei a es á di e amen e elacionada com p oposições e iden es, que po
si só ga an em a p óp ia ce eza. Pe elman (1993) explica que “os aciocínios analí icos são
demons a i os e impessoais” po que “uma p op iedade das p oposições, independen e da
opinião dos homens” (p. 22) é a e dade. Pa a es e au o , oi o abalho ap esen ado po
A is ó eles no âmbi o do aciocínio analí ico que o le ou a e o í ulo de pai da lógica o mal.
Po ou o lado, a a gumen ação dialé ica, como e e e Coelho (1999), le a-nos apenas a uma
conclusão e osímil a pa i de p oposições p o á eis. Es as, segundo Pe elman (1993), são
cons uídas a a és de opiniões azoá eis, ge almen e acei es, pelo que conduzi ão à c iação
de eses daba í eis, que podem se admi idas ou ejei adas, e nunca à cons ução de
in e ências álidas e impessoais. Se, pa a es e au o , a demons ação analí ica aleu um í ulo
a A is ó eles no campo da lógica o mal, o es udo da a gumen ação dialé ica az do mesmo
ilóso o o pai da eo ia da a gumen ação.
Na e dade, Chaïm Pe elman, assim como S ephen Toulmin, o am dois ilóso os do
século XX, que p ocu a am e oma o aciocínio dialé ico da p opos a a is o élica, que
en e an o, ao longo dos empos, se pe de a em g ande pa e pela edução da lógica àquilo que
é o mal e pela associação da dialé ica a um me o conjun o de écnicas de pe suasão (Coelho,
1999).
Nes e con ex o, Pe elman concen ou uma boa pa e dos seus es udos na ques ão da azão,
de endendo a au onomização da a gumen ação, já que, como explica, se limi a mos o
aciocínio àquilo que é analí ico e pu amen e o mal, os a gumen os u ilizados em di e sas
si uações que se des iam da lógica o mal des iam-se ambém necessa iamen e da azão
(Pe elman & Olb ech s-Ty eca, 1999). A es e p opósi o, G ácio (1993) explica-nos o concei o
de acionalidade de endido po Pe elman, quando explica que
é uma acionalidade que implica con inuidade, a enção aos p eceden es,
jus i icação do no o a pa i de uma e e ência ao p é-exis en e; uma
acionalidade dialéc ica em que a azão e a on ade não es ão sepa adas, mas
a iculadas numa conjunção de exigências que são as do azoá el; uma
acionalidade ligada, não à ideia de e dade, mas às ideias de adesão e de
jus i icação; não às ideias ex emas de necessidade ou a bi a iedade, mas à
Enquad amen o eó ico
61
ideia de azão em si uação, exigindo essa si uação que a o dem da azão seja,
an es de mais, uma o dem adap a i a (p. 82).
Es a c ença de que se pode enquad a a p odução de conhecimen o cien í ico num
de e minado con ex o le a-nos a admi i a gumen os ap esen ados que a é possam se alí eis,
mas que são, aos olhos das pessoas en ol idas nesse con ex o, ge almen e acei es e
conside ados azoá eis.
A es e p opósi o, mas numa ligação mais di e a com a educação ma emá ica, Pedemon e
(2002) mos a-se con ic o a dialé ica pode co esponde à a gumen ação em ma emá ica, já
que
não conduz necessa iamen e a e dadei as conclusões mas que pa e de
p incípios e dadei os pa a aquele que a gumen a [...]. Quando a Ma emá ica
es á em cons ução, quando se es á a p ocu a e se um enunciado é
e dadei o, quando se p ocu a a solução pa a um p oblema, a a gumen ação
u ilizada é a dialéc ica. Não é analí ica po que as p emissas não são
necessa iamen e e dadei as. Também não é e ó ica po que aquele que
a gumen a em Ma emá ica c ê que os p incípios de que pa e são e dadei os
(p. 26).
Também Pe elman se posiciona em elação à e ó ica, que conside a aliada da
a gumen ação, po en ende que ambas se desen ol em em unção do audi ó io (Pe elman &
Olb ech s-Ty eca, 1999). Como se sabe, a e ó ica i e da adesão do público ao
posicionamen o que lhe é ap esen ado pelo o ado , ideal ambém aplicá el à a gumen ação.
Toda ia, Pe elman a as a-se, em pa e, do concei o de e ó ica da an iguidade, uma ez que a
eo ia da a gumen ação que de ende “diz espei o aos discu sos di igidos a odas as espécies
de audi ó io [...] que nos di ijamos a um único indi íduo ou a oda a humanidade” (Pe elman,
1993, p. 24). O ilóso o ai mais longe e a i ma a é que “ela examina á mesmo os a gumen os
que di igimos a nós mesmos aquando de uma delibe ação ín ima” (idem). A pala a adesão,
já mencionada, ou ece i idade do audi ó io, se p e e i mos, assume um luga de des aque no
posicionamen o de Pe elman.
No e-se que, numa aula de ma emá ica, a o mulação de um eo ema e sua p o a depende
mui o do g upo de alunos que es á pe an e o p o esso . A comunicação pode á se ápida e
acilmen e acei e po odos num de e minado g upo e nou o se mais demo ada e a é ecebe
con es ação po pa e de alguns elemen os. O mesmo pode á acon ece quando é o aluno que,
a ibuindo sen ido às suas ideias ma emá icas e a de e minados p ocessos, explica aos pa es o
seu aciocínio ou as es a égias de esolução pa a de e minado p oblema, com o in ui o que
eles os comp eendam.
No que diz espei o a écnicas a gumen a i as, Pe elman dis ingue a gumen os de ligação,
que anspo am a acei ação das p oposições pa a a conclusão, de dissociação de noções, que
se cen am na sepa ação de ideias que e am conside adas ligadas (Pe elman, 1993). São
conhecidas ês ca ego ias nos a gumen os de ligação, a sabe :
(i) a gumen os quase lógicos, que assumem um ca á e não o mal, mas que supo am
uma a gumen ação que pode cons i ui um aciocínio o mal, ap oximando-se, po an o,
da lógica o mal (Pe elman & Olb ech s-Ty eca, 1999);
ADRIANA FERREIRA
62
(ii) a gumen os baseados na es u u a do eal, que não são mais do que ligações de
sucessão, onde as causas de de e minado acon ecimen o e as suas consequências ocupam
luga de e minan e, e de coexis ência, “que unem uma pessoa a seus ac os, um g upo aos
indi íduos que dele azem pa e e, em ge al, uma essência a suas mani es ações”
(Pe elman & Olb ech s-Ty eca, 1999, p. 299);
(iii) a gumen os que undam a es u u a do eal, que no malmen e consis em, mui as
ezes, na gene alização de um caso pa icula ou na aplicação daquilo que é álido numa
de e minada á ea, nou a á ea (Pe elman, 1993).
Como já oi e e ido, ambém Toulmin se deb uçou sob e a a gumen ação, p ocu ando
sepa á-la do campo da lógica o mal, uma ez que conside a que a alidade o mal de um
aciocínio não é condição su icien e pa a que ele enha alo e in e esse (Toulmin, 1993). A
sua ob a The uses o a gumen az pa a deba e a impo ância da a gumen ação, com o in ui o
de
le an a ce os p oblemas, e não de os esol e ; de a ai a a enção pa a um
campo de in es igação, em ez de o examina exaus i amen e; de susci a a
discussão mais do que se i de a ado sis emá ico (Toulmin, 1993, p. 1).
Segundo Ca ilho (1992), Toulmin moldou o seu abalho em o no de dois eixos: se, po
um lado, se p eocupou em c ia um modelo uni e sal pa a qualque a gumen o, po ou o
ambém euniu es o ços pa a mos a que a a gumen ação es á in imamen e ligada ao domínio
em que oco e.
São á ios os au o es que apon am pa a uma di e sidade de unções da a gumen ação. Na
e dade, a gumen amos pa a ap esen a um concei o e explicá-lo, pa a de ende ou con es a
um enunciado, pa a in e p e a uma ese e os seus esul ados, pa a comunica uma ideia em
e lexão ou uma conclusão. Con udo, a p incipal unção dos a gumen os, de aco do com
Toulmin é a jus i icação, pelo que o ilóso o se in e essa
pelos a gumen os jus i ica i os des inados a sus en a asse ções, pelas
es u u as a a és das quais pode ão se ap esen ados, pelo alo que podem
p e ende e pelos di e en es modos pelos quais se pode classi icá-los, a aliá-
los e c i icá-los. [...] ou as unções que lhe a ibuímos, são de ce o modo
secundá ias e pa asi as do seu papel jus i ica i o que lhe é p imo dial
(Toulmin, 1993, p. 14).
A na u eza mui o di e sa de di e en es episódios a gumen a i os jus i ica i os le a
Toulmin a de ini um no o concei o: o campo de a gumen ação. Es a noção pe mi e-lhe
ag upa os a gumen os, de aco do com a sua o ma/ es u u a e o modo como podem se
a aliados. Assim,
dois a gumen os pe encem ao mesmo campo quando os dados e as
conclusões que cons i uem cada um des es dois a gumen os são
espec i amen e do mesmo ipo lógico. Di -se-á que eles pa icipam de
campos di e en es quando os undamen os ou as conclusões não são do
mesmo ipo lógico (Toulmin, 1993, p. 17).

Enquad amen o eó ico
63
Numa en a i a de encon a pon os em comum en e di e en es campos de a gumen ação,
es e ilóso o de iniu ês ases de cons ução de um a gumen o, que ac edi a se em álidas
pa a a a gumen ação em di e en es ci cuns âncias, no âmbi o de di e en es á eas do
conhecimen o (Toulmin, 1993). Inicialmen e há que iden i ica um p oblema, sob e o qual se
ai a gumen a . De seguida, há espaço pa a se o mula em possí eis soluções. Es as, na
e cei a ase, se ão con on adas com o conhecimen o que já se possui sob e o ema,
p ocu ando elações que pe mi am es uda a sua alidade. É assim que se pode encon a uma
solução que se ele e pe an e odas as ou as p opos as, que se pode escolhe aquela que
pa ece mais p o á el, que se podem elimina soluções que inicialmen e pa eciam plausí eis
ou que se podem ac escen a pequenos de alhes que auxiliem no p ocesso de descobe a de
uma conclusão.
Es as ases ge ais pe mi em, pos e io men e, uma análise mais po meno izada do
a gumen o, que é onde en a o diag ama p opos o po Toulmin, na sua ob a já e e ida, ão
econhecido em di e sas á eas do sabe , desde o di ei o às ciências da compu ação. Impo a
começa po econhece que qualque conclusão (C) se de e basea em ac os que não são
pos os em causa, embo a não enham necessa iamen e de se empí icos, aos quais Toulmin
chama de dados (D). Pode acon ece que esses dados não sejam su icien es pa a supo a a
conclusão, o nando-se necessá io ap esen a “ eg as, p incípios, enunciados [...] no mas ou
cânones p á icos da a gumen ação” (Toulmin, 1993, p. 120-121). Es es elemen os que
pe mi em uma passagem legí ima dos dados pa a a conclusão são designados po ga an ias
(G). A igu a 2 ap esen a uma adap ação do diag ama de Toulmin, na sua e são minimalis a,
cons i uído pelos elemen os p esen es em qualque si uação a gumen a i a:
Conc e izando com um exemplo, podemos a i ma que se o And é é do e cei o ano da
Escola das Flo es, en ão ele é des o, is o que odos os alunos dessa u ma o são. Assim, o
And é se do e cei o ano da Escola das Flo es é o nosso dado e a conclusão é ele se des o.
No en an o, pa a nos assegu a mos disso, p ecisamos da ga an ia: odos os alunos do e cei o
ano da Escola das Flo es são des os. Esquema icamen e emos:
Es es ês elemen os nem semp e são su icien es pa a sus en a um a gumen o, pelo que
Toulmin ambém ap esen a uma e são mais comple a, ac escen ando a es a mais simples
Fig. 2. Esquema simples da a gumen ação (adap ado de Toulmin, 1993)
Fig. 3. Esquema da a gumen ação com exemplo (elabo ação p óp ia)
ADRIANA FERREIRA
64
ou os ês cons i uin es. Os quali icado es modais (Q) indicam a o ça da conclusão, onde
podemos inclui exp essões como ce amen e ou p o a elmen e. Também as condições de
e u ação (R) se associam à conclusão, sendo essenciais quando se e i ica que uma
de e minada ci cuns ância anula a conclusão. Po sua ez, o undamen o (F) é o elemen o do
a gumen o que jus i ica a ga an ia, caso haja essa necessidade, explicando a sua alidade.
O esquema p esen e na igu a 4 escla ece es as pon es, is o é, o modo como es es
quali icado es, condições de e u ação e undamen o se elacionam com a es u u a mínima
ap esen ada na igu a 2.
Os es udos de Toulmin êm g ande impac o na educação ma emá ica, auxiliando,
segundo á ios au o es, a e as ma emá icas elacionadas com a demons ação e a p o a
ma emá ica. K ummheue (1995) supo a á ias in es igações no pensamen o de Toulmin,
embo a eco a ao esquema p opos o po es e úl imo igno ando os quali icado es modais e as
condições de e u ação pa a analisa a “a gumen ação colec i a” (p. 232) que oco e na sala
de aula de ma emá ica. Po ou o lado, e o ça a necessidade de analisa po meno izadamen e
os elemen os discu si os e os elemen os não discu si os, como ges icula ou apon a . Es e
ma emá ico conside a a a gumen ação um enómeno social, a a és do qual “indi íduos que
coope am en am ajus a as suas in enções e in e p e ações ap esen ando e balmen e as
azões das suas acções” (p. 229). O au o ap esen a-nos um exemplo escla ecedo , cuja
ques ão de pon o de pa ida e a de e mina o p odu o de qua o po qua o, após descobe a de
um p ocesso pa a calcula o p odu o de dois po qua o, com um g upo de c ianças que
es a am a in oduzi a mul iplicação.
Fo man e al. (1998) eco em ao modelo de Toulmin e aos con ibu os de K ummheue
pa a analisa aspe os da a i idade a gumen a i a na aula de ma emá ica. Os au o es
ap esen am um exemplo no âmbi o da geome ia que se esume na igu a 6. Pa a além des es,
de aco do com Inglis e al. (2007), o am á ios os in es igado es que se deb uça am sob e
es e esquema mais eduzido p opos o po K ummheue , endo em con a os aliosos
Fig. 4. Esquema da mic oes u u a da a gumen ação (adap ado de Toulmin, 1993)
Fig. 5. Esquema da a gumen ação dos alunos (adap ado de K ummheue , 1995)
Enquad amen o eó ico
65
con ibu os de Toulmin, em á ias á eas da ma emá ica. Yackel (2001) ado ou-o pa a es uda
gene alizações, Hoyles e Küchemann (2002) pa a deduções lógicas, na geome ia
encon amos es udos de Knipping (2003) e de Pedemon e (2005) e E ens e Houssa (2004)
usa am-no pa a analisa compe ências numé icas básicas.
Toda ia, há um conjun o mais eduzido de in es igado es que eco em ao esquema da
mic oes u u a do a gumen o p opos o po Toulmin não igno ando nenhum dos seus
elemen os, como Alcolea Banegas (1998), Abe dein (2005, 2006) e Inglis e al. (2007). Es es
conside am que o modelo in eg al consegue aba ca de um modo mais comple o e ab angen e
aquilo que são os episódios a gumen a i os no deco e de uma aula de ma emá ica, endo em
con a as ce ezas e as dú idas que an as ezes os es udan es assumem enquan o ap esen am
as suas ideias.
Es es e ou os au o es econhecem g ande mé i o ao modelo p opos o po Toulmin,
embo a alguns lhe apon em limi ações. Pedemon e (2002), po exemplo, apon a-o como “um
u ensílio pode oso pa a analisa as a gumen ações dos alunos e pa a compa a a gumen ação e
demons ação” (p. 105), e e indo, no en an o, que não con empla aspe os obse á eis na
esolução de um p oblema, como um desenho que pode es a na base de um aciocínio. Já
Knipping (2004) a i ma que o modelo do ma emá ico é ideal pa a a análise de a gumen os
indi iduais, mas que se e ela imp o ícuo pa a analisa episódios de a gumen ação cole i a,
po su gi em á ios a gumen os em simul âneo, que se ão desen ol endo e dando o igem a
jus i icações a iadas pa a chega a uma conclusão.
Todo es e enquad amen o explica, de ac o, a impo ância da a gumen ação como o ma
de aciocínio no âmbi o da ma emá ica e jus i ica que o NCTM (2007) apon e a a gumen ação
como um dos cinco p ocessos cen ais que pe mi em adqui i e aplica os di e en es con eúdos
ma emá icos e que os Common Co e S a e S anda ds o Ma hema ics (NGA & CCSSO, 2010)
e i am a cons ução de a gumen os iá eis e o ques ionamen o do aciocínio dos pa es como
essencial pa a a ingi a p o iciência ma emá ica. De ac o, a pa da esolução de p oblemas, da
modelação ou da comunicação ma emá ica, a a gumen ação de e aze pa e das plani icações
de a i idades ma emá icas, pa a ele a es a ciência, colocando os alunos a pensa e a aze e
não apenas a memo iza de inições e a aplica p ocedimen os ou ó mulas.
A a gumen ação é uma a i idade essencial pa a desen ol e o aciocínio e o na os
alunos cidadãos c í icos e e lexi os, já que é a a és dela que pensamos e comunicamos a
nossa posição e a azão que a jus i ica. Com o in ui o de es abelece uma es ei a ligação en e
a a gumen ação e a ap endizagem, Co nejo-Mo ales e al. (2021) e e em que:
Fig. 6. Esquema da a gumen ação (adap ado de Fo man e al., 1998)
ADRIANA FERREIRA
66
pa a noso os el ap endizaje es una co-cons ucción conjun a y dialógica de
signi icados, discu si a, pa icipa i a y colabo a i a, donde los pa icipan es
de la ac i idad cons uyen y econs uyen el conocimien o como p oduc o y
medio pa a soluciona p oblemas y llega a comp ensiones compa idas sob e
un ema (p. 161).
Des e modo, podemos en ende que exis e uma espécie de elação biuní oca en e a
ap endizagem e a a gumen ação, sendo essencial ap ende a a gumen a , an o como
a gumen a pa a ap ende (And iessen e al., 2003). Es e p ocesso não em necessa iamen e de
se indi idual, exis indo á ios au o es que es udam a a gumen ação como pa e in eg an e de
um p ocesso colabo a i o, ao qual Mille (1987) dá o nome de a gumen ação cole i a,
designação ambém u ilizada po K ummheue (1995), como já aqui oi e e ido. Os dois
au o es e o çam a impo ância da in e ação e do abalho de g upo pa a a capacidade de
a gumen a , que se ai desen ol endo e o nando cada ez mais sus en ada quan o maio es
são as opo unidades dadas aos alunos pa a ap esen a ideias, compa á-las, explica , jus i ica ,
alida , desa ia , e u a , es a , con apo . Es a emá ica da discussão na sala de aula de
ma emá ica ambém é analisada po Fe guson (2013), que ac edi a no po encial des es
momen os, endo-os como opo unidades de ap endizagem po excelência, uma ez que é
equen e e mos as es a égias de aciocínio de um es udan e se em escla ecidas no deco e
de uma explicação de ou os es udan es que pensam de uma o ma dis in a.
Co nejo-Mo ales e al. (2021) ap esen am um modelo pa a analisa a a gumen ação na
educação ma emá ica in an il, endo po base elemen os comunica i os e con ex uais. Es a
p opos a eó ico-me odológica é cons i uída po cinco componen es que se elacionam e que
p ocu am esponde a ques ões simples como o que se a gumen a e po quê, quem a gumen a,
pa a que o az e como o az e, po im, sob e que ópico ma emá ico a gumen a. Numa
en a i a de ala ga a aplicação do modelo si uação a gumen a i a ap esen ado pelos e e idos
au o es, p ocu ou-se nes e es udo analisa a a gumen ação u ilizada pelos es udan es do
Ensino Supe io à luz do mesmo. Conside am-se, po an o, as seguin es ca ego ias pa a
análise de dados ecolhidos ela i os a si uações a gumen a i as ele an es:
(i) A gumen o: inclui a posição de endida e a(s) azão(ões) que a sus en a(m);
(ii) In e ação: e e e-se aos pa icipan es na a gumen ação; nes e es udo analisa emos
si uações a gumen a i as de dois ipos, a sabe , in e ação em g ande g upo ( u ma) com
in e enção da p o esso a/ in es igado a e in e ação em pequeno g upo (apenas en e os
pa es);
(iii) Função da a gumen ação: co esponde aos mo i os que le am os es udan es a
a gumen a ; De Villie s, ci ado po Co nejo-Mo ales e al. (2021), ap esen a comunica ,
e i ica / e u a , explica , sis ema iza e descob i como as cinco unções da
a gumen ação:
(1) e i icación, conce nien e al es ablecimien o de la in e ibilidad de una
a i mación den o de una cie a eo ía; (2) explicación, conce nien e al
escla ecimien o y comp ensión de las nociones y elaciones que pe mi en la
in e encia; (3) sis ema ización, conce nien e a la o ganización de a ios
esul ados den o de un sis ema de axiomas, concep os undamen ales y
eo emas; (4) descub imien o, conce nien e al hallazgo o in ención de nue os
Enquad amen o me odológico
73
Quad o 9. Cu so equen ado no Ensino Secundá io e Mes ado p e endido pelos pa icipan es da
u ma A (elabo ação p óp ia)
Cu so equen ado no Ensino Secundá io
TOTAL
Ciências e
Tecnologias ou
simila
Línguas e
Humanidades
ou simila
Cu so p o issional
sem en oque na
Ma emá ica
Mes ado
p e endido
Educação P é-Escola
0
3
4
7
Educação P é-Escola e Ensino
1º ciclo E. B.
6
7
0
13
Ensino 1º ciclo E.B. e
Ma emá ica e Ciências Na u ais
2º ciclo E.B.
4
1
1
6
Ensino 1º ciclo E.B. e Po uguês
e His ó ia e Geog a ia de
Po ugal 2º ciclo E.B.
1
2
0
3
Dú ida
0
1
0
1
TOTAL
11
14
5
30
Na u ma A quase cinquen a po cen o dos es udan es equen a am o cu so de Línguas e
Humanidades ou ou o simila no Ensino Secundá io, o que signi ica que na sua o mação no
deco e dos ês anos que cons i uem es e ciclo de es udos i e am pouco ou nenhum
con ac o com a ma emá ica. Se a es es, jun a mos os que êm de cu sos p o issionais com
equi alência ao Ensino Secundá io (impo ando ealça que des es qua o, dois equen a am
o cu so P o issional de Técnico de Apoio à In ância, de ce o modo elacionado com o amo
educacional escolhido pa a o Ensino Supe io ), e i ica-se que com ce ca de sessen a e ês
po cen o dos es udan es êm es e a as amen o ela i amen e à disciplina. Es es núme os
pa ecem combina com o ac o de uma pe cen agem mui o eduzida des es es udan es
p e ende segui o seu pe cu so no mes ado com maio incidência na ma emá ica (Mes ado
em Ensino no 1.º ciclo do E.B. e em Ma emá ica e Ciências Na u ais no 2.º ciclo do E.B.). No
en an o, no e-se que eze dos in a es udan es que cons i uem es a u ma p e endem
en e eda pelo Mes ado em Educação P é-Escola e Ensino no 1.º ciclo do E. B., que
ambém em um en oque na ma emá ica, disciplina basila no 1.º ciclo do Ensino Básico em
Po ugal.
No ge al, os alunos des a u ma são in e essados, pa icipam a i amen e nas p opos as de
aula e colabo am en e si, ajudando-se uns aos ou os semp e que necessá io, sem que pa a al
seja necessá io o incen i o do p o esso . Apesa de se em poucos os que a i mam
con ic amen e gos a de ma emá ica, a e dade é que exis e um g upo de es udan es nes a
u ma que ap esen a esul ados sa is a ó ios e mui o sa is a ó ios às an e io es unidades
cu icula es de ma emá ica da Licencia u a em Educação Básica, a sabe Cul u a e
Conhecimen o Ma emá ico eLinguagem, Lógica e Comunicação.
As conclusões ap esen adas pa a a u ma A pa ecem mui o simila es àquelas que se
e i am da lei u a a en a do quad o 10, que ap esen amos mais abaixo, e e en e à u ma B:
con inuamos a e um p edomínio de es udan es que p o êm de cu sos do Ensino Secundá io
pouco ou nada elacionados com a ma emá ica e a p e e ência nes a u ma ambém é pelo
Mes ado em Educação P é-Escola e Ensino no 1.º ciclo do E. B. Impo a des aca que um
dos es udan es que equen ou o cu so de Ciências e Tecnologias no Ensino Secundá io e que
em in e esse em segui pa a o mes ado com maio incidência na ma emá ica é mes e em
Bioengenha ia, o mação concluída anos an es de en a pa a a Licencia u a em Educação
Básica.

ADRIANA FERREIRA
74
Na u ma B é e iden e o in e esse e empenho dos es udan es na conc e ização das a e as
p opos as. No en an o, é de ealça que, de um modo ge al, são es udan es com menos
con iança em elação à ma emá ica, mo i o pelo qual nem semp e pa icipam, mesmo quando
êm p opos as de esolução, com eceio de e a . Ainda assim, a a-se de um g upo mui o
simpá ico e com espí i o colabo a i o e de en eajuda.
Quad o 10. Cu so equen ado no Ensino Secundá io e Mes ado p e endido pelos pa icipan es da
u ma B (elabo ação p óp ia)
Cu so equen ado no Ensino Secundá io
TOTAL
Ciências e
Tecnologias ou
simila
Línguas e
Humanidades
ou simila
Cu so p o issional
sem en oque na
Ma emá ica
Mes ado
p e endido
Educação P é-Escola
0
0
1
1
Educação P é-Escola e Ensino
1º ciclo E. B.
4
10
1
15
Ensino 1º ciclo E.B. e
Ma emá ica e Ciências Na u ais
2º ciclo E.B.
4
0
0
4
Ensino 1º ciclo E.B. e Po uguês
e His ó ia e Geog a ia de
Po ugal 2º ciclo E.B.
0
1
2
3
Dú ida
2
1
0
3
TOTAL
10
12
4
26
No que conce ne à u ma C, já se e i icam ligei as di e enças (c . Quad o 11). Me ade
dos es udan es des a u ma a i ma p e ende segui o Mes ado em Educação P é-Escola , po
ac edi a em que o ní el de exigência ela i amen e à ma emá ica se á in e io . De ac o, são
es udan es, na sua maio ia p o enien es de cu sos de Ensino Secundá io sem en oque na
ma emá ica, que e elam pouca con iança ela i amen e à disciplina, e o çada, en e an o,
pela ep o ação em unidades cu icula es de ma emá ica no deco e da Licencia u a. Es es
es udan es são pa icipa i os e endencialmen e expõe as suas dú idas pa a que as ejam
escla ecidas. No a-se, nes es momen os, que g ande pa e dessas di iculdades es ão
elacionadas com ópicos basila es da ma emá ica que já não são explo ados nas unidades
cu icula es no Ensino Supe io .
Quad o 11. Cu so equen ado no Ensino Secundá io e Mes ado p e endido pelos pa icipan es da
u ma C (elabo ação p óp ia)
Cu so equen ado no Ensino Secundá io
TOTAL
Ciências e
Tecnologias ou
simila
Línguas e
Humanidades
ou simila
Cu so p o issional
sem en oque na
Ma emá ica
Mes ado
p e endido
Educação P é-Escola
2
2
2
6
Educação P é-Escola e Ensino
1º ciclo E. B.
0
3
0
3
Ensino 1º ciclo E.B. e
Ma emá ica e Ciências Na u ais
2º ciclo E.B.
0
2
0
2
Ensino 1º ciclo E.B. e Po uguês
e His ó ia e Geog a ia de
Po ugal 2º ciclo E.B.
0
0
1
1
TOTAL
2
7
3
12
Enquad amen o me odológico
75
3.2.2 A ecolha de dados
Impo a começa po e e i que a ecolha de dados oco eu no p imei o semes e do ano
le i o 2019/2020, en e os meses de se emb o de 2019 e janei o de 2020, sendo que no inal
de se emb o oi ealizado o es e inicial indi idual, no deco e dos meses de ou ub o,
no emb o e dezemb o o am ealizadas qua o a e as em g upo e em janei o oi e isi ado o
es e inicial, embo a enha sido ap esen ado aos es udan es com uma es u u a di e en e, já
que con inha di e en es pe cu sos possí eis de esolução pa a cada uma das ques ões. Es as
a i idades p opos as o am ealizadas de o ma espaçada, deixando-se semp e ce ca de quinze
dias en e cada in e enção, de manei a a ga an i que se assimila a bem udo o que inha sido
explo ado numa sessão an es de a ança pa a a seguin e. O quad o 12 con êm o c onog ama
da in e enção ealizada.
Quad o 12. C onog ama de in e enção (elabo ação p óp ia)
Momen o
Mês
A i idade
1.º momen o
Final de se emb o
Tes e inicial indi idual
2.º momen o
ou ub o
2.ª semana
Ta e a 1
4.ª semana
Ta e a 2
no emb o
1.ª semana
Ta e a 3
3.ª semana
Ta e a 4
3.º momen o
Início de janei o
Tes e inal
O es e inicial assim como o es e inal com duas al e na i as de esolução pa a cada
ques ão o am a i idades ealizadas indi idualmen e, ao con á io das a e as um a qua o, que
o am ealizadas em pequenos g upos com cons i uição en e os dois e os qua o elemen os.
Cada uma das a i idades oi ealizada numa aula de duas ho as, di idida essencialmen e em
duas pa es: (i) conc e ização da a i idade; (ii) discussão cole i a.
Num es udo des a na u eza, os mé odos e ins umen os de ecolha de dados e a pos e io
análise dos mesmos, assumem especial ele ância, de endo esponde de o ma cla a ao
obje i o do es udo e a icula -se com o enquad amen o epis emológico pelo qual se op ou.
C eswell (2014), bem como McMillan e Schumache (2014), e e em a impo ância de se em
selecionados di e sos mé odos e ins umen os de ecolha de dados nas in es igações no
âmbi o educa i o. Nes e sen ido, segue-se uma b e e abo dagem aos p incipais mé odos de
ecolha de dados aos quais se eco eu no p esen e es udo: ecolha documen al das p oduções
dos es udan es, obse ação não pa icipan e e pa icipan e, no as de campo ecolhidas du an e
a ealização das a e as e egis o áudio do momen o da ealização das a e as em g upo e das
discussões inais cole i as.
A análise documen al es á associada à lei u a e in e p e ação de documen os de di e en es
ipologias (Lea y, 2017), sejam eles, ex os, o og a ias, ídeos. C eswell e C eswell (2019)
apon am os documen os como excelen es ecu sos pa a ob enção de in o mação numa
in es igação quali a i a, e o çando a g ande an agem de se encon a em com a linguagem
dos pa icipan es. Na p esen e in es igação o am analisadas as esoluções dos es udan es em
dois momen os: em p imei a ins ância, na ealização do es e inicial de um modo indi idual;
depois em cada uma das qua o a e as que o am ealizadas em pequenos g upos. Pa a além
disso, ambém oi analisado o ex o e lexi o que cada es udan e p oduziu pa a cada ques ão
do es e com esoluções ealizado em janei o, explicando a esolução escolhida e apon ando
mo i os pa a não op a pela ou a.
A obse ação pe mi iu a en a no discu so dos pa icipan es e nas suas ações e en ende ,
não só as suas pe spe i as, como ambém o signi icado que a ibuíam a de e minadas
ADRIANA FERREIRA
76
in o mações, con o me indica ambém E ickson (1986). Ve i ica am-se dois ipos de
obse ação no deco e da ecolha de dados, nomeadamen e a obse ação não pa icipan e e a
obse ação pa icipan e. No p imei o momen o e no e cei o momen o, du an e a ealização
dos dois es es, não hou e qualque in e enção po pa e da p o esso a/ in es igado a. Já no
inal des as duas a i idades, no momen o de discussão cole i a, a obse ação o nou-se
pa icipan e, com o obje i o de di eciona as e lexões que e am ealizadas e de es imula
no as o mas de pensa e de aze . Também no segundo momen o de ecolha de dados, is o é,
nas aulas em que o am ealizadas as a e as em pequenos g upos, a p o esso a/ in es igado a
ado ou uma posição de obse ação pa icipan e, p ocu ando, na pa e de ealização da a e a,
in e agi com os g upos e mo i a a in e ação en e os elemen os do g upo, na descobe a de
di e en es pe cu sos de esolução e no deba e sob e an agens e des an agens de cada um
deles; na pa e de discussão inal, ambém se e i icou a obse ação pa icipan e, po o ma a
solici a a pa icipação de odos e ga an i que esoluções di e en es ossem azidas pa a
deba e.
Du an e a obse ação não pa icipan e o am edigidas pela in es igado a no as de campo
que cons i uí am uma espécie de diá io de bo do, onde se egis a am odas as ações e
diálogos, ideias e inquie ações dos pa icipan es mais ele an es. O egis o áudio assumiu o
papel des as no as de campo nos momen os de discussão cole i a, embo a egis asse apenas
som e não ges os nem exp essões aciais ou co po ais.
3.2.2.1 O es e inicial indi idual
O es e inicial (c . Anexo 1) e a cons i uído po qua o ques ões sob e di e en es
ópicos da ma emá ica den o do domínio Núme os e Ope ações e que pe mi issem
ep esen ações di e sas pa a a sua esolução, desde o mas de ep esen a mais simples,
pic ó icas ou icónicas, a o mas de ep esen a mais complexas, a a és da cons ução de
equações ma emá icas, po exemplo. O es e oi ealizado indi idualmen e, endo sido
e o çada a necessidade do egis o do pe cu so u ilizado pa a de e mina a espos a e a
impo ância de não asu a nenhuma esolução, mesmo que se abandone ou que seja
conside ada inco e a.
Ap esen a-se, de seguida, uma explicação de cada ques ão e das expec a i as da
in es igado a em elação a elas.
Na ila...
Fig. 7. Enunciado da ques ão 1 (elabo ação p óp ia)
Enquad amen o me odológico
77
Fig. 8. Enunciado da ques ão 2 (elabo ação p óp ia)
Fig. 9. Enunciado da ques ão 3 (elabo ação p óp ia)
Com a ques ão1 p e ende-se pe cebe de que modo é que os es udan es esc e em em
linguagem simbólica a in o mação que é ap esen ada em linguagem co en e. A in o mação
su ge no enunciado e ambém no diálogo en e duas pe sonagens, sendo essencial combina
os dados p o enien es desses dois luga es pa a de e mina a espos a.
P e endia-se que os es udan es não encon assem g andes di iculdades logo à pa ida na
p imei a ques ão, pa a não desanima em. Po isso, a a-se de uma ques ão simples, pa a a
qual se espe a acilidade e cele idade na sua esolução. De qualque modo, espe am-se
ambém ep esen ações mui o di e sas, desde as mais in o mais, com desenhos de pessoas, às
mais o mais, com ep esen ações simbólicas ma emá icas do ipo algéb ico.
O pagamen o...
O obje i o da ques ão 2 é de e mina a quan idade de moedas de dois eu os de um
mealhei o que ambém con ém moedas de cinquen a cên imos, num o al de in a moedas e
de in a e ês eu os. Espe a-se que os es udan es dis ingam de imedia o o o al de moedas e o
seu alo em eu os, mas que u ilizem es a égias di e si icadas pa a de e mina a quan idade
de moedas de cada ipo. Es a ques ão acaba po e um g au de di iculdade mais ele ado
po que en ol e núme os não in ei os se pensa mos no alo de cada moeda de cinquen a
cên imos em eu os. Ainda assim, se ia de p e e que alguns es udan es con o nem essa
si uação, ag upando as moedas de cinquen a cên imos de duas em duas.
Há alguma expec a i a em pe cebe se os es udan es ão p i ilegia a en a i a e o, com
ecu so a ep esen ações simbólicas ma emá icas do ipo a i mé ico ou se conseguem
o maliza o enunciado a a és da álgeb a.
Os animais domés icos...
ADRIANA FERREIRA
78
Fig. 10. Enunciado da ques ão 4 (elabo ação p óp ia)
Com a ques ão 3 p e ende-se pe cebe de que modo é que os es udan es in e p e am a
in o mação já o ganizada no ally-cha ap esen ado e a mobilizam pa a de e mina o núme o
de c ianças que cons i ui o g upo. O con ac o com uma o ma de ep esen ação di e en e no
p óp io enunciado pode causa es anheza aos es udan es, mas az-lhes ce amen e abe u a
pa a a u ilização de o mas de ep esen a em ma emá ica di e en es, escla ecedo as e
o ganizadas.
O g au de di iculdade des a ques ão é ambém eduzido, embo a seja necessá ia cau ela
pelo ac o de nem odas as c ianças do g upo e em, con o me suge e o enunciado, o mesmo
núme o de animais domés icos em casa.
Há a expec a i a que alguns es udan es p ocu em esol e a ques ão eco endo a um
diag ama de Venn.
O núme o mis é io...
Conside a-se que a ques ão 4 é a que ap esen a maio g au de di iculdade, exigindo já
alguma abs ação, uma ez que não se ala de elemen os con á eis. O ac o de su gi em duas
pis as pa a descob i o núme o mis é io pode á ajuda aqueles es udan es que não
consegui em en ende as duas dicas e a sua elação, p ocu ando, en ão, segui as descobe as
que esul am da explo ação de uma das pis as pa a encon a di e en es cená ios de espos a,
op ando pela o mulação de hipó eses e es e pa a e i icação. T a a-se de uma ques ão que
en ol e concei os básicos da ma emá ica, como alga ismo, nume al, unidades, dezenas, o
iplo de, o décuplo de e a e ça pa e de.
3.2.2.2 As a e as
Foi pensado um conjun o de qua o a e as pa a implemen ação em momen os
dis in os e ealização em pequenos g upos cons i uídos po um mínimo de dois elemen os e
um máximo de qua o. Não hou e in e enção po pa e da p o esso a/ in es igado a na
o mação dos g upos, uma ez que se p e endia que es es ossem cons i uídos po es udan es
que es i essem habi uados a abalha jun os e que não i essem qualque ipo de
cons angimen o em e baliza a sua o ma de pensa e as suas ideias ma emá icas aos pa es.
P ocu ou-se que ao longo das sessões os g upos se ossem man endo os mesmos, à exceção de
pequenas al e ações jus i icadas pela ausência de de e minados es udan es em algumas aulas.
As a e as, à semelhança das ques ões do es e inicial, o am pensadas de modo a que

Enquad amen o me odológico
79
Fig. 11. Ta e a 1 (elabo ação p óp ia)
Fig. 12. Ta e a 2 (elabo ação p óp ia)
p omo essem uma ep esen ação di e si icada de ideias, concei os, quan idades, em
ma emá ica.
Du an e a ealização do abalho em pequenos g upos, a p o esso a/ in es igado a oi
o ien ando pa a que odos pa icipassem e discu issem as suas ideias an es de escolhe o
pe cu so a segui pa a de e mina a espos a. Foi ambém e o çada a necessidade de
man e em odos os egis os no documen o de abalho, não apagando nem asu ando nenhuma
esolução, mas, ao in és disso, explicando o e o, caso se ape cebessem dele, ou o mo i o
pelo qual abandona am as esoluções iniciais.
Ap esen a-se, de seguida, cada uma das a e as p opos as aos es udan es.
Ta e a 1 (c . Anexo 2)
A a e a 1 em como p incipal obje i o de e mina a dis ância que sepa a dois amigos,
endo em con a as dis âncias que os dois já pe co e am pa indo cada um de sua casa e
conhecendo a me agem a que dis a uma casa da ou a. É uma a e a mui o simples que se
esol e em poucos passos, com ecu so à sub ação e, e en ualmen e, à adição. Ainda assim,
espe a-se que alguns g upos u ilizem ep esen ações pic ó icas ou icónicas pa a auxilia na
p ocu a da espos a.
Ta e a 2 (c . Anexo 3)
O obje i o da a e a 2 é o de encon a odas as di e en es combinações possí eis de
con eção de cinco p a os num ogão que em apenas dois bicos. Pa a al, espe a-se que os
es udan es o mulem, es em e jus i iquem conje u as, ainda que o possam aze
in o malmen e.
Tendo em conside ação os concei os básicos en ol idos nes a segunda a e a, a
expec a i a é que os es udan es a esol am com acilidade.
ADRIANA FERREIRA
80
Fig. 13. Ta e a 3 (elabo ação p óp ia)
Fig. 14. Ta e a 4 (elabo ação p óp ia)
Ta e a 3 (c . Anexo 4)
A a e a 3 en ol e egula idades e sequências. P e ende-se que os es udan es encon em
um pad ão, que sejam capazes de o explica e p olonga e, po im, que o o malizem. A
expec a i a é que os es udan es consigam esponde com acilidade à ques ão colocada na
a e a, mas já se espe am algumas di iculdades no que diz espei o à c iação de uma conje u a,
p incipalmen e se o en a em aze u ilizando linguagem simbólica ma emá ica, a a és da
de inição do e mo ge al da sucessão.
Ta e a 4 (c . Anexo 5)
Po im, com a a e a 4 p e ende-se que os es udan es analisem a in o mação do im pa a
o início, en ol endo a ope ação da di isão e a sua iden idade undamen al. Tendo em
conside ação as di iculdades que no malmen e os es udan es e elam no es udo e aplicação
des a ope ação, espe am-se algumas di iculdades na esolução des a a e a. Pa a além disso, a
a e a con a com duas possí eis soluções, o que mui as ezes não é conside ado pelos alunos
quando esol em p oblemas ma emá icos, já que, alguns, assim que encon am uma solução,
dão a a e a po e minada.
3.2.2.3 O es e inal com al e na i as de esolução
O e cei o momen o de ecolha de dados oi concebido a a és da e isão do es e
ap esen ado no p imei o momen o, o es e inicial esol ido indi idualmen e. Con udo, des a
ez, o es e ap esen a a, pa a cada uma das ques ões, duas esoluções possí eis, com ecu so
a ep esen ações ma emá icas di e en es uma da ou a (c . Anexo 6). Impo a e e i que es a
e são oi concebida numa ase inicial des e p oje o de in es igação, ao mesmo empo que os
dois ins umen os de ecolha de dados apon ados an e io men e e, po an o, an es da análise
Enquad amen o me odológico
81
Fig. 15. Ques ão 1 e suges ões de esolução (elabo ação p óp ia)
dos dados ecolhidos com eles, que não i e am qualque in luência na escolha dos dois
pe cu sos de esolução dis in os.
Foi pedido aos es udan es que selecionassem a opção que se assemelha a mais com a sua
o ma de pensa o p oblema e que izessem um ex o b e e e lexi o sob e a ou a al e na i a,
en ando explica a esolução ap esen ada e o mo i o pelo qual não se iden i ica am com ela.
Es e momen o p ocu a esponde a um dos g andes obje i os do p esen e es udo, que consis e
em a e i quais as ep esen ações ma emá icas p i ilegiadas pelos pa icipan es. Ao mesmo
empo, o ac o de ap esen a mos duas esoluções, ga an e o con ac o com di e en es modos de
ep esen a em ma emá ica, uns mais es u u ados do que ou os, uns mais adequados a
de e minadas a e as e ou os mais con enien es nou os con ex os ma emá icos. Conhecê-los
e e le i sob e eles, jus i icando a escolha de um em de imen o de ou o, implica, ainda que
po ezes em pa e, que comp eendam os dois e que apon em an agens e des an agens pa a
cada um. De ac o, se se o na em p o esso es de ma emá ica encon a ão ce amen e alunos
que os su p eende ão com esoluções di e en es das suas. Se á impo an e que, nessa al u a,
sejam capazes de comp eende essas esoluções e de a alia a sua alidade ma emá ica.
Ap esen am-se, de seguida, as ques ões des e es e e as p opos as de esolução
ap esen adas aos es udan es.
Na ila...
A p imei a suges ão con ém uma ep esen ação simbólica ma emá ica com ca á e
algéb ico, uma ez que aduz o p oblema a a és da cons ução de uma equação de p imei o
g au e de e mina a espos a com a sua esolução. A a iá el x ep esen a o alo que se
p e ende de e mina (o núme o de pessoas que es ão a ás do Manuel) e os es an es e mos do
ADRIANA FERREIRA
82
Fig. 16. Ques ão 2 e suges ões de esolução (elabo ação p óp ia)
p imei o memb o ep esen am as pessoas que es ão à en e da Alice, a Alice e o Manuel. O
único e mo do segundo memb o ep esen a o núme o o al de pessoas que es ão na ila.
Po sua ez, a p opos a B enquad a-se nas ep esen ações icónicas, ap esen ando um
esquema de pala as o denado que co esponde à ila e e ida no enunciado da ques ão,
ga an indo que se ocupam um o al de onze posições.
A p imei a esolução ap esen a, sem dú ida, um ní el de o malidade supe io à segunda,
já que es a úl ima é, de aco do com as ca ego ias de análise de inidas, uma esolução com
ecu so a ep esen ações in o mais.
O pagamen o...
Análise de dados e esul ados
89
Fig. 22. Cálculo ho izon al
(elabo ação p óp ia)
ep esen ações o mais do ipo simbólico ma emá ico a i mé ico e ep esen ações mais
in o mais do ipo icónico. Ou os, pa a con i ma a sua espos a, ap esen am um cálculo
ho izon al, no qual as pala as “Alice” e “Manuel” su gem como pa celas ( igu a 22). Há
ainda um es udan e que combina uma ep esen ação icónica, um esquema com ecu so a
acinhos, com uma do ipo simbólica e bal, a a és da qual, num ex o es u u ado, eco e
aos nume ais o dinais pa a explica o esquema cons uído p imei amen e.
Apenas dois es udan es op a am po esoluções simbólicas e bais, eco endo a
linguagem co en e e não a linguagem ma emá ica pa a esol e o p oblema. Apesa de não
e em usado ocabulá io especí ico nem de um ní el o mal, os es udan es u iliza am os
núme os o dinais pa a de e mina a espos a e ize am-no co e amen e.
No que diz espei o aos es udan es que ap esen a am ep esen ações simbólicas
ma emá icas, comecemos po abo da as do ipo a i mé ico. Dos no e es udan es que as
u iliza am, se e esol e am o p oblema em dois passos, ealizando duas sub ações (o a
p imei o sub ai ao o al as se e pessoas e, de seguida, sub ai dois, o Manuel e a Alice, o a o
con á io). Os ou os dois que segui am o mesmo ipo de ep esen ação esol e am o
p oblema apenas num passo, cons uindo e esol endo a exp essão numé ica 11 – (7 + 1 + 1).
Po im, apenas um es udan e u ilizou uma ep esen ação simbólica ma emá ica algéb ica,
cons uindo uma equação na qual a sua incógni a ep esen a a o alo desconhecido, is o é, o
núme o de pessoas que se encon a am a ás do Manuel.
Po udo is o, p edomina cla amen e a u ilização de ep esen ações do ipo icónico pa a
esol e es a ques ão e es as pa ecem se ep esen ações adequadas endo em con a a axa de
sucesso da sua u ilização. Reco de-se que apenas ês es udan es ap esen a am uma espos a
inco e a, dos quais dois não ealiza am qualque ipo de ep esen ação, limi ando-se a
esc e e uma espos a.
Es a ques ão oi conside ada po p a icamen e odos os es udan es como “simples” e
“mui o acessí el, de ácil esolução”. A pa dis o, a e dade é que odos a esol e am num
cu o pe íodo de empo.
Pela análise das esoluções acima ealizada, pode a i ma -se que a maio ia dos es udan es
aciocinou de uma o ma o ganizada, endo en endido bem a ques ão e de inido uma
es a égia simples e ápida de esolução. Ainda assim, oi cu ioso pe cebe , no momen o de
discussão cole i a inal, que o am poucos os es udan es que e e i am as ep esen ações
icónicas pa a comunica o seu aciocínio aos pa es; pelo con á io, p edominou des e diálogo
a e e ência às ope ações pa a explica a o ma mais ápida e, po an o, mais e icien e, de
de e mina a espos a ce a.
Fig. 21. Rep esen ação semi- o mal
(elabo ação p óp ia)

ADRIANA FERREIRA
90
Fig. 23. Si uação a gumen a i a A (elabo ação p óp ia)
Ap esen a-se, de seguida, uma si uação a gumen a i a ele an e no deco e des e
momen o, que começou com a exposição de um es udan e.
Es udan e A: Numa p imei a ase pensei no o al de pessoas e em quan as
sob a iam se i asse as se e que es a am à en e da Alice...
depois das qua o que sob a am i ei o Manuel e a Alice e
deu dois.
Es udan e B: Eu não pensei assim. Acho mais ácil soma . Eu jun ei as
se e pessoas que es a am à en e da Alice com a Alice e o
Manuel e depois pensei quan o al a a pa a aze o o al de
onze pessoas.
Es udan e A: Pois, não sei.
Es udan e C: Mas assim ambém es ás a sub ai .
Es udan e D: Eu ambém p e i o as con as de mais. Aqui não, mas se o
núme os maio es a sub ai às ezes engano-me.
Na igu a 23, abaixo ap esen ada, esume-se a si uação a gumen a i a e e en e ao
diálogo an e io , endo em conside ação as ca ego ias de análise ap esen adas.
An es de a en a mos nes a si uação a gumen a i a, na qual se e le e sob e o modo mais
simples e e icien e de de e mina a espos a, endo em con a a posição ap esen ada pelos
es udan es B e D, conside e-se ainda um ou o diálogo que nos az mais in o mação sob e o
mesmo ema:
Es udan e E: Eu cons ui uma equação.
Es udan e F: Ai, não.
Es udan e G: Equação?
Es udan e E: Ao esc e e oi o que me pa eceu melho , mas acho que iz
men almen e.
Es udan e H: Eu iz um desenho, mas não sei se e a o que a p o esso a
que ia.
P o ./ in .: Mas pensem no que os pa ece mais adequado à ques ão, na
es a égia mais e icien e...
Análise de dados e esul ados
91
Fig. 24. Si uação a gumen a i a B (elabo ação p óp ia)
Es udan e G: Pois, as con as e a melho : e a só onze menos se e, oi o,
no e.
Es udan e H: Mais ápido do que aze desenhos, mas eu acho mais ácil,
po que ejo e consigo e a ce eza.
Mais do que discu i esoluções co e as ou inco e as, mais uma ez, abo da-se a
pe inência e e icácia dos pe cu sos de esolução di e en es. Vejamos a sín ese des a si uação
a gumen a i a, p esen e na igu a 24.
Na p imei a si uação discu e-se um só ipo de ep esen ação ma emá ica: a ep esen ação
simbólica ma emá ica a i mé ica. O que es á em causa é a u ilização da ope ação sub ação
duas ezes, ambas com o signi icado de e i a , ou o ecu so à adição, ao in és da sub ação,
num p imei o momen o, embo a osse depois p eciso sub ai , des a ei a com o signi icado de
comple a . En e ealiza duas sub ações ou uma adição e uma sub ação, a espos a oi
p a icamen e unânime pa a a segunda opção. No en an o, eco de-se que apenas dois
es udan es eco e am a es a al e na i a pa a esol e a ques ão indi idualmen e.
Na si uação B já se discu em ep esen ações di e en es: icónica, simbólica ma emá ica do
ipo a i mé ico ou simbólica ma emá ica do ipo algéb ico. A p imei a opção é apon ada como
simples po acili a a o ganização da in o mação isualmen e e a descobe a da espos a com
ele ado g au de ce eza. Toda ia, a maio ia dos es udan es econheceu apidez na
ep esen ação a i mé ica, conside ando-a e mais adequada à esolução des a ques ão. O
es udan e que e e iu e eco ido a uma ep esen ação algéb ica, acabou, mais a de, po
conco da que “as con as” e am “um caminho mais in ui i o”, endo cons uído a equação
apenas po conside a que e a o mais adequado, endo em con a o ele ado ní el de
o malidade da e e ida ep esen ação.
No e-se que nas duas si uações a in e ação com o g upo, is o é, a pa ilha de ideias com
os pa es, auxiliou cla amen e a cons ução da a gumen ação po pa e dos in e enien es. Os
episódios inicia am-se com a in e enção da in es igado a, que põe em discussão as
di e en es ep esen ações u ilizadas pa a esol e a ques ão, mas depois são os es udan es que
c iam momen os de e lexão em o no das di e en es possibilidades. Apesa da ques ão inicial
se abe a a odo o g upo, a e dade é que nem odos pa icipa am, mui o embo a seja ce o
que odos assis i am ao episódio e, po isso, e i e am alguma in o mação.
ADRIANA FERREIRA
92
Rela i amen e à unção da a gumen ação, conside a-se que p edomina, nos dois
episódios, a unção de explica , apesa de em de e minados momen os es a se en elaça com
a unção de comunica , p incipalmen e quando os es udan es e elam asse i idade na sua
escolha, comunicando a sua posição e o conhecimen o ma emá ico que de êm. O es udan e B
pa ece basea -se nas suas es a égias pessoais de cálculo pa a explica que é mais ácil soma ;
já o es udan e D explica que se á mais p o á el engana -se se eco e à sub ação; o
es udan e H u iliza a simplicidade isual pa a explica a sua esolução, embo a econheça
mais apidez nou as. Às unções de comunica e explica pode íamos aqui ac escen a uma
ou a que es á implici amen e nos dois episódios a gumen a i os ap esen ados que é a de
con ence . Na e dade, es es es udan es a gumen am ambém pa a a es a o que é melho ,
mais ápido ou mais ácil, p ocu ando a anuência dos pa es.
É comum às duas si uações a gumen a i as o seu ca á e na a i o, já que em nenhum
momen o os es udan es eco e am a ma e iais ou a qualque ipo de ep esen ação pic ó ica
pa a o mula em os seus a gumen os. Há, com o es udan e H, uma e e ência a ep esen ações
pic ó icas e às suas ca ac e ís icas, mas não oi de e ada qualque isualização ou cons ução
dessas ep esen ações du an e as in e enções do e e ido es udan e.
Po úl imo, o ópico ma emá ico aqui em causa inse e-se nos núme os e ope ações, mais
conc e amen e na explo ação da adição e da sub ação no conjun o dos núme os na u ais,
essenciais pa a a esolução des a p imei a ques ão, con eúdo pa a o qual os es udan es, no
ge al, assumem e e elam não e di iculdades acen uadas.
4.1.2 Ques ão 2 - O pagamen o...
Pa a esponde a es a segunda ques ão os es udan es eco e am a ipos de ep esen ações
di e en es, uns com mais sucesso do que ou os, con o me demons a o quad o 14 abaixo
ap esen ado.
Quad o 14. Tipos de ep esen ação u ilizados pa a esponde à ques ão 2 e seu sucesso/ insucesso
(elabo ação p óp ia)
Rep esen ação
Respos a co e a
Respos a inco e a
Sem espos a
To al
Pic ó ica
0
0
0
0
Icónica
0
0
2
2
Simbólica e bal
0
0
0
0
Simbólica ma emá ica
a i mé ica
23
6
14
43
algéb ica
4
1
6
11
Mis a
4
0
2
6
Sem ep esen ação
Só espos a
0
2
-----
2
Em b anco
-----
-----
4
4
To al
31
9
28
68
Há no o iamen e um p edomínio pela u ilização de ep esen ações o mais pa a esponde
a es a ques ão, já que nenhum es udan e eco eu a ep esen ações pic ó icas e apenas dois
ap esen a am ep esen ações icónicas. Des es úl imos, um deles começou po ep esen a
in a bolinhas, apa en emen e as in a moedas que e e e o ex o, mas depois não se alonga
mais, acabando po não da con inuidade ao seu aciocínio nem espos a à ques ão; o ou o
cons ói aquilo que pa ece se um diag ama de Venn, embo a incomple o. Nele cons am duas
linhas cu as echadas, com as designações A e B, em baixo legendadas como “2€” e “0,50€”,
Análise de dados e esul ados
93
Fig. 25. Rep esen ação simbólica ma emá ica a i mé ica o ganizada
(elabo ação p óp ia)
espe i amen e. Na in e seção das duas linhas es ão ep esen adas as in a moedas. Es e
es udan e ambém abandona a ep esen ação e a ques ão sem chega a qualque espos a.
A ep esen ação mais u ilizada oi a do ipo simbólica ma emá ica a i mé ica. Os
es udan es que segui am es a ia u iliza am maio i a iamen e a en a i a-e o pa a de e mina
a sua espos a, mas nem odos o am capazes de de ini uma es a égia de esolução
o ganizada que lhes pe mi isse encon a uma espos a e e a ce eza de que e a a co e a. De
ac o, a análise das ep esen ações des es es udan es le a-nos a conclui que são á ios
aqueles que en am esol e de o ma deso ganizada, sem mé odo, limi ando-se a aze
en a i as inúme as a é encon a uma espos a em conco dância com o enunciado. Na maio
pa e das ezes, acabam po se pe de nas suas ep esen ações ou de ido a e os de cálculo ou
de ido à con usão en e núme o de moedas e espe i o alo em eu os. Há ambém aqueles
que aciocinam de o ma sis emá ica e o ganizada, e le indo sob e as en a i as que ealizam
e de inindo, em unção dos esul ados, as en a i as seguin es. Analise-se, a es e p opósi o, a
igu a 25 que se ap esen a de seguida.
O p óp io es udan e que ap esen ou es a esolução, no momen o inal de discussão
cole i a conseguiu explica -se:
Es udan e I: Eu não sabia po onde começa . En ão pensei que podia
ha e quinze moedas de cada, iz os cálculos e deu-me in a
e se e eu os e meio. Eu que ia o mesmo núme o de moedas,
mas menos dinhei o [ alo , em eu os], inha que eduzi nas
moedas maio es. Expe imen ei com dez moedas de dois
eu os e in e de cinquen a [cên imos] e oi ao con á io, já
deu pouco dinhei o, só in a [eu os]. En ão expe imen ei o
doze [doze moedas de dois eu os] e já deu.
Es udan e J: Eu iz mais ou menos a mesma coisa, mas ixei o alo em
ez do núme o de moedas. Imagina, sabia que inha de da
in a e ês eu os, po isso expe imen ei in e [eu os, em
moedas de dois eu os] mais eze [eu os, com moedas de
cinquen a cên imos], mas da a in a e seis moedas e eu
que ia só in a. En ão, pa a man e o mesmo alo , mas
diminui o núme o de moedas... Espe a... O que é que eu iz?
Pois, aumen ei o núme o de moedas de dois eu os po que
alem mais.
ADRIANA FERREIRA
94
Fig. 26. Rep esen ação simbólica ma emá ica
algéb ica (sis ema de equações com
ep esen ação decimal)
(elabo ação p óp ia)
Fig. 27. Rep esen ação simbólica ma emá ica
algéb ica (sis ema de equações com
ep esen ação acioná ia)
(elabo ação p óp ia)
Es a exposição po pa e do es udan e I, esponsá el pela ep esen ação p esen e na
igu a 25, mas ambém do es udan e J, e idencia, de ac o, alguma e lexão sob e o p ocesso e
o ganização de ideias no momen o de o pô em p á ica. Também há um núme o signi ica i o
de es udan es que esc e e am á ios múl iplos de dois e á ios múl iplos de cinquen a
cen ésimas e o am azendo combinações a é alcança um o al de in a múl iplos, cujos
alo es somados desse in a e ês.
Concen emo-nos ago a nos es udan es que eco e am a ep esen ações do ipo
simbólico ma emá ico algéb ico, a a és da cons ução e esolução de um sis ema de equações.
Dos onze que o ize am, apenas qua o consegui am de e mina a espos a ce a. Começa am
po iden i ica duas incógni as e legendá-las e depois cons uí am duas equações li e ais de
modo a aduzi a in o mação p esen e no enunciado, uma delas sob e o núme o o al de
moedas e ou a sob e o alo o al em eu os. É de egis a que alguns es udan es u iliza am a
dízima
5,0
pa a ep esen a a moeda de cinquen a cên imos e ou os u iliza am a
ep esen ação acioná ia
2
1
, con o me cons a nas igu as 26 e 27.
Um ou o es udan e, apesa de e cons uído co e amen e o sis ema de equações,
de e minou uma espos a inco e a de ido a um e o de cálculo no deco e da esolução. Dos
es udan es que en a am a o malização a a és de ep esen ações algéb icas, mas não
ap esen a am espos a, ês cons uí am co e amen e o sis ema, mas não o am capazes de o
esol e a é ao im, dois esc e e am uma equação li e al co e amen e e a ou a com
in o mação que não cons a a no enunciado e um só conseguiu cons ui uma das equações
li e ais.
Rela i amen e ao uso de ep esen ações mis as, e i ica-se que oi um núme o eduzido
de es udan es que iniciou a esolução com um ipo de aciocínio e depois o al e ou.
Analisemos o caso conc e o de um es udan e que al e ou a sua o ma de pensa duas ezes ao
longo da esolução. Inicialmen e en ou o maliza o enunciado, cons uindo uma só equação
com apenas uma incógni a, a sabe 2x+ 0,5x= 33, conside ando, po an o, que núme o de
moedas de dois eu os e de cinquen a cên imos é igual, in o mação que não cons a no
enunciado. Ao esol e a equação ap esen ada cons a amos que a solução não é um núme o
na u al, pelo que não pode co esponde ao núme o de moedas. No en an o o es udan e não
chega a conclui isso mesmo, já que simpli ica a equação, mas não chega a e miná-la,
abandonando essa ep esen ação. Ela e ela-se demasiado o mal e as di iculdades que o
es udan e encon a le am-no a inicia uma no a en a i a de esolução. Des a ez, começa po
de e mina o quocien e en e in a e ês e dois, explicando pos e io men e na discussão inal:
Es udan e K: Me ade do alo ai se em moedas de dois eu os e a ou a
me ade nas moedas de cinquen a cên imos.

Análise de dados e esul ados
95
Fig. 28. Rep esen ação o mal com e o de aciocínio
(elabo ação p óp ia)
Es udan e L: Po quê?
Es udan e K: Na al u a achei que azia sen ido, depois descob i que não,
po que não cheguei à espos a. Mas eu nem epa ei que a
di isão da a es o 1, igno ei. En ão a pa i daqui, como o
esul ado e a dezasseis, eu mul ipliquei-o po dois... Mas
ago a es ou a e que não az sen ido... O dezasseis já e a
eu os e eu ol ei a mul iplica po dois, que e a as moedas de
dois eu os, ainda ai da mais eu os. Es ou con usa...
De ac o, nes e momen o em que e a p i ilegiada a comunicação ma emá ica, a p óp ia
es udan e ao explica a sua esolução encon a e os que não lhe pe mi i am encon a uma
solução. É e iden e que con undiu o núme o de moedas com o alo em eu os que elas
ep esen a am, o que le ou a uma esolução e ada. O mesmo es udan e ainda iniciou uma
esolução po en a i a e o, mas acabou po desis i sem encon a a solução, e elando-se
incapaz de de ini uma es a égia o ganizada e sis emá ica que lhe pe mi isse descob i a
espos a de um modo mais simples e ápido. Ou o es udan e que u ilizou uma es a égia
mis a, ambém começou com uma ep esen ação o mal, mas não conseguiu comple á-la,
ap esen ando apenas uma equação com duas incógni as que aduz de o ma e ada o
enunciado, já que mis u ou o núme o que moedas com o seu alo em eu os ( igu a 28).
Pos e io men e, o es udan e op ou pela en a i a-e o, endo conseguido de e mina a
espos a ce a, apesa de não u iliza um aciocínio egula . Quando comunicou a sua
esolução ao g ande g upo, ape cebeu-se de imedia o do e o na equação, sem nenhuma
in e enção. Depois explicou “Fui al e nando, ou mexia no alo , ou mexia no núme o de
moedas e à qua a en a i a consegui”.
Es es dois casos são exemplo do pe cu so mais comum des es es udan es que
ap esen a am mais do que um ipo de ep esen ação: iniciam com uma ep esen ação o mal
do ipo algéb ico, mas as di iculdades que encon am le am-nos a abandona essa
ep esen ação e a segui pelo ipo simbólico ma emá ico a i mé ico, a a és da c iação de
hipó eses e sua e i icação. Há, no en an o, a salien a um es udan e que az o pe cu so
in e so, is o é, inicia a sua esolução com en a i a-e o, mas, ao im de duas en a i as, acaba
po desis i , cons ói um sis ema de equações co e amen e e esol e-o sem pe calços.
No momen o de discussão cole i a inal, os es udan es assumi am alguma di iculdade na
esolução des a ques ão. Alguns deles, p incipalmen e aqueles que não inham conseguido
de e mina uma espos a, es a am a é ansiosos pelo momen o de pa ilha, du an e o qual
sabiam que i iam escu a di e en es modos de esol e a ques ão. Foi um desses es udan es
que começou a expo o seu aciocínio, assim que a p o esso a/ in es igado a iniciou o
momen o de discussão, eco dando a ques ão.
ADRIANA FERREIRA
96
Fig. 29. Si uação a gumen a i a C (elabo ação p óp ia)
Es udan e M: Eu comecei po pensa que es e núme o des as moedas de
cinquen a cên imos inha de se pa e, po isso, o núme o de
moedas de dois eu os ambém.
Es udan e N: Pa ? Po quê? Não diz nada na pe gun a...
Es udan e M: Não, oi po causa do alo . Se ele em in a e ês eu os
ce os, não pode e moedas de cinquen a ímpa que não aça
um eu o in ei o, pe cebes? Mas depois eu não cheguei à
espos a, enganei-me numa con a de ezes.
[...]
Es udan e O: Eu achei que no máximo podia e dezasse e moedas de dois
eu os, pa a não passa os in a e ês do o al.
Es udan e N: Nes e caso só podiam se dezasseis pa a se pa ...
Es udan e O: Nem é po isso, pensei mal, po que dezasse e mais dezasse e
já dá in a e qua o, já passa. Esquece... Tinha de se mesmo
dezasseis no máximo.
[...]
Es udan e P: Isso a é me ajuda a, mas não pensei nisso. Eu pensei quase
como a abuada do dois e a do ze o í gula cinquen a e a
segui iz combinações pa a da in a moedas e in a e ês
eu os. A é oi ápido.
Nes a con e sa en e pa es, os es udan es começam po pa ilha as suas o mas de pensa
a ques ão e, enquan o comunicam uns com os ou os, ão chegando a conclusões que podem
comple a -se e pe mi i a descobe a céle e da espos a que se p ocu a. A igu a 29 con ém a
sín ese des e episódio a gumen a i o.
O es udan e M ap esen ou uma suges ão que, apa en emen e, não inha sido pensada po
mais nenhum: a i ma con ic amen e que o núme o de moedas de cinquen a cên imos e á de
se pa (e, po consequência, ambém o de moedas de dois eu os), uma ez que o alo que o
Manuel em é um núme o in ei o de eu os. A azão é apon ada apenas depois da
incomp eensão e elada po um colega, o es udan e N, que o ques iona imedia amen e,
p ocu ando comp eende a sua posição. Já o es udan e O ap esen a ou o a gumen o que pode
comple a a ideia suge ida an e io men e: pa a es e o Manuel pode e no máximo dezasseis
moedas de dois eu os, já que es as pe azem um o al de in a e dois eu os e mais uma moeda
Análise de dados e esul ados
97
de dois eu os le a ia a que o Manuel i esse mais dinhei o do que o que é mencionado no
enunciado. No e-se que, es e es udan e, começou po ap esen a um a gumen o e acaba, ele
p óp io, po iden i ica um e o no mesmo e co ige-o.
A in e ação oco e em g ande g upo, essencialmen e com a in e enção dos es udan es. É
in e essan e pe cebe que o es udan e N, semp e mui o inquie o, p ocu a ques iona pa a
comp eende os aciocínios dos colegas e não só os comp eende como en a u ilizá-los pa a
acele a ou os pe cu sos possí eis de esolução, p opos os ao longo des e episódio. Ou os
es udan es, como o P, demons a am comp eende as ideias que es a am a se deba idas e e
nelas po encial acili ado na esolução, mesmo endo conseguido de e mina a espos a
u ilizando ou as ias. Também é de no a que os es udan es que u iliza am um aciocínio
e á ico, ao assis i a es as pa ilhas e ela am comp eensão, embo a alguns acabassem po
a i ma não se em capazes de chega a es as conclusões sozinhos.
4.1.3 Ques ão 3 - Os animais domés icos...
Os es udan es ap esen a am ep esen ações di e sas pa a p ocu a da espos a a es a
ques ão: ep esen ações icónicas, ep esen ações simbólicas e bais, ep esen ações
simbólicas ma emá icas do ipo a i mé ico e do ipo algéb ico e ep esen ações mis as (que
combina am as ep esen ações de ca á e a i mé ico o a com explicação e bal, o a com
ep esen ações icónicas). Hou e ainda es udan es que não ap esen a am qualque ipo de
ep esen ação, deixando a ques ão em b anco ou indicando apenas a espos a. O quad o 15,
que su ge abaixo, esume o modo como os es udan es esol e am es a ques ão.
Quad o 15. Tipos de ep esen ação u ilizados pa a esponde à ques ão 3 e seu sucesso/ insucesso
(elabo ação p óp ia)
Rep esen ação
Respos a co e a
Respos a inco e a
Sem espos a
To al
Pic ó ica
0
0
0
0
Icónica
0
0
1
1
Simbólica e bal
0
1
0
1
Simbólica ma emá ica
a i mé ica
37
8
0
45
algéb ica
0
2
0
2
Mis a
5
5
0
10
Sem ep esen ação
Só espos a
2
2
-----
4
Em b anco
-----
-----
5
5
To al
44
18
6
68
An es de inicia mos a análise dos di e en es ipos de ep esen ações u ilizados pa a
esponde a es a ques ão, impo a e e i a necessidade de alguns es udan es o ganiza em a
in o mação p esen e no enunciado, comple ando o ally-cha que o acompanha. Assim,
con abilizam-se in e e no e es udan es que ac escen a am uma coluna com a equência
absolu a co esponden e à con agem e um es udan e que o ez na o ma de equência absolu a
acumulada (sem nenhum deles lhe e a ibuído es as designações), dezasse e es udan es que
ac escen a am uma linha inal com o o al (em odos os casos o o al oi ep esen ado
u ilizando os alga ismos e nunca a con agem) e um es udan e que ac escen ou uma linha ao
ally-cha pa a ep esen a as c ianças que não êm animais domés icos.
Analisando, ago a, o quad o 15 é e iden e o p edomínio na u ilização de ep esen ações
simbólicas ma emá icas do ipo a i mé ico, co espondendo à opção de mais de sessen a e
cinco po cen o dos es udan es. Ainda assim, den o do mesmo ipo de ep esen ações,
ADRIANA FERREIRA
98
Fig. 30. Rep esen ações do ipo (a)
(elabo ação p ó pia)
Fig. 31. Rep esen ações do ipo (b)
(elabo ação p óp ia)
Fig. 32. Rep esen ações do ipo (c)
(elabo ação p óp ia)
conseguimos dis ingui di e en es pe cu sos pa a de e mina a espos a, que di idimos em ês
g upos:
(a) es udan es que de e mina am o o al da con agem, sub aí am qua o unidades
co esponden es às c ianças que de am duas espos as e adiciona am ês unidades
ela i as às c ianças que não esponde am po não e em animais domés icos, ou ice-
e sa ( igu a 30);
(b) es udan es que de e mina am o o al da con agem, sub aí am oi o unidades pa a
de e mina o núme o de c ianças que em apenas um animal domés ico e adiciona am,
po im, o núme o de c ianças que não êm animais com as que êm um animal e com as
que êm dois animais ( igu a 31);
(c) es udan es que ap esen a am aciocínio simila a (a) ou a (b), mas ep esen a am odos
os passos numa só exp essão numé ica ( igu a 32).
Impo a e e i que nes es ês g upos cons am apenas ep esen ações o mais (cálculos
ho izon ais ou algo i mos) pa a de e mina as espos as. Rela i amen e a (a) e (b), o p oblema
oi esol ido em ês passos pelos es udan es, eco endo a ês ope ações simples, duas
adições e uma sub ação.
Alguns es udan es que u iliza am a ca ego ia acima de inida po (b) a i ma am conside a
mais o ganizada a sua esolução pois p ecisa am de sabe exa amen e “o núme o de c ianças
com ze o animais, o núme o de c ianças com um animal e o núme o de c ianças com dois
animais pa a só soma os ês esul ados”. Ainda assim, odos eles demons a am
comp eende es as ês o mas de esol e o p oblema. Ou a no a ambém impo an e ela i a
a es as esoluções é um e o ap esen ado po dois es udan es, que ap esen am o seguin e
egis o: 21 – 4 = 17 + 3 = 20. Es es es udan es, apesa de de e mina em a espos a ce a,
come em um g a e e o ma emá ico ao conside a que as exp essões 21 – 4 e 17 + 3 são
iguais, quando na e dade não são. Es es es udan es de e minam o esul ado da p imei a
sub ação e a esse esul ado p e endem adiciona uma ou a quan idade, azendo-o
inde idamen e na mesma ope ação.
Também é cu ioso e e i o caso de um ou o es udan e que iniciou as ep esen ações
com o in ui o de esol e a ques ão seguindo um pe cu so simila ao desc i o em (b), mas
Análise de dados e esul ados
105
Fig. 41. Resolução incomple a a a és de uma equação com duas incógni as (elabo ação p óp ia)
Fig. 42. Resolução incomple a a a és de um sis ema de duas equações com ês incógni as
(elabo ação p óp ia)
No e-se que se a a de um e o de ep esen ação o mal e não p op iamen e de aciocínio, não
endo qualque impac o na p ocu a pela solução.
Há ainda um o al de cinco es udan es que não ap esen a am as ês hipó eses de espos a
à p imei a pis a, mas apenas a opção “93”, que é a única que cump e o impos o na segunda
pis a. Es es ize am a e i icação da segunda pis a apenas pa a es e alo .
Des es dois uni e sos ap esen ados acima, egis a am-se seis es udan es que
ap esen a am uma espos a inco e a, sendo impo an e e e i que me ade deu como espos a
“Há 31 espécies di e en es cul i adas na es u a”, con undindo o nume al que se p ocu a a
com o esul ado que ob i e am nos cálculos de e i icação (
31131031393 
). Es es
es udan es ape cebe am-se do engano ao ap esen a a sua esolução ao g upo, co igindo de
imedia o.
As ep esen ações simbólicas ma emá icas do ipo algéb ico su gi am ambém em
algumas esoluções. Os seis es udan es que en a am esol e a ques ão u ilizando unicamen e
es e ipo de ep esen ações o mais com ecu so à u ilização de incógni as não consegui am
de e mina uma espos a. Dois des es começa am po de ini ês incógni as, nomeadamen e x
pa a o núme o de espécies, upa a o alga ismo das unidades e dpa a o alga ismo das dezenas.
A pa i daqui, esc e e am uem unção de de ice- e sa, in e p e ando a pis a um, e
cons ui am co e amen e uma equação que aduzia a in o mação con ida na pis a dois. No
en an o, es a equação, ainda que simpli icada, acaba a po ica semp e com duas incógni as,
não lhes pe mi indo de e mina o esul ado ( igu a 41). Um ou o es udan e ambém de iniu
ês incógni as, mas em ez de cons ui uma equação, cons uiu um sis ema de equações, que
apesa de não ap esen a nenhuma inco eção ma emá ica na adução de cada uma das pis as
pa a linguagem ma emá ica, não lhe pe mi e de e mina uma solução, po e ês incógni as
num sis ema de apenas duas equações ( igu a 42). Es e es udan e não a ança seque com a
esolução do sis ema, po se ape cebe que não consegui á de e mina a espos a à ques ão
colocada a a és dele.

ADRIANA FERREIRA
106
Fig. 43. T adução da pis a um com ecu so à o malização (elabo ação p óp ia)
Os ou os ês es udan es que op a am unicamen e po ep esen ações algéb icas,
come e am e os na adução das pis as pa a linguagem ma emá ica: um deles ez um e o de
in e são ao conside a que o alga ismo das dezenas e a xe o das unidades e a 3x, o que não se
coaduna com a in o mação “sendo o alga ismo das dezenas o iplo do alga ismo das
unidades”; os ou os dois não aplica am o eo ema undamen al da nume ação esc i a, pois
conside a am a igualdade 3x x = 3x+x, em ez de 3x x = 10 x3x+x, igno ando o alo
posicional do sis ema de nume ação indo-á abe, bem como a sua base decimal.
Os es udan es es an es eco e am a ep esen ações mis as pa a esol e es a ques ão.
Todos eles combina am ep esen ações simbólicas ma emá icas do ipo algéb ico com
ep esen ações ma emá icas do ipo a i mé ico, po es a o dem, embo a qua o enham
conseguido de e mina a espos a ce a, um espondeu inco e amen e (come endo o mesmo
e o já enunciado an e io men e de conside a que a espos a e a “31”, esul ado da
e i icação da pis a e não núme o de espécies de e minado) e um não conseguiu ap esen a
espos a, deixando a esolução inacabada po al a de empo pa a conclusão. Todos es es
es udan es, eco e am à o malização do enunciado, u ilizando as incógni as xey, ou simila ,
pa a ep esen a os alga ismos das dezenas e das unidades, espe i amen e. No en an o,
apenas as u iliza am pa a de e mina os ês nume ais que espei a am a pis a um, con o me
mos a a igu a 43, op ando, depois, na pis a dois, po aze a e i icação, eco endo a
cálculos ho izon ais, pa a cada uma das hipó eses c iadas.
No momen o de pa ilha oi deba ida a possibilidade de o maliza o p oblema u ilizando
apenas uma incógni a. Depois de se escla ece a elação en e o alga ismo das dezenas e o das
unidades ap esen ada na pis a um, a in es igado a suge iu que pensassem sob e o alo
posicional do sis ema de nume ação indo-á abe. Nesse momen o, á ias ozes se ize am
ou i , con o me o exce o abaixo:
Es udan e W: P o esso a, não da a pa a esol e só com uma incógni a?
P o ./in .: Podemos e le i sob e isso... Vamos começa pela pis a um
e pela elação que já iden i ica am.
Es udan e W: Posso i ao quad o?
P o ./in .: Cla o!
Es udan e W: [Enquan o esc e ia] Vou usa u, de unidades, e assim 3u
pa a as dezenas.
Análise de dados e esul ados
107
Fig. 44. Regis o ealizado no momen o de discussão inal (elabo ação p óp ia)
P o ./ in .: Es á ó imo! Ago a pensemos odos sob e o nosso sis ema de
nume ação, que sabemos que é posicional decimal. Isso
pe mi e-me esc e e esse nume al na o ma de polinómio,
sem usa esses “ acinhos” que ep esen am as unidades e as
dezenas [con on a com igu a 44].
Es udan e X: Como assim?
P o ./ in .: Vamos pensa , po exemplo, no nume al in e e se e, nos
alga ismos que o cons i uem e no alo de cada um deles
pa a ep esen a essa quan idade.
[Silêncio]
Es udan e W: Ok, já sei! Vai ica es e [apon a pa a 3u] ezes dez, mais
es e [apon a pa a u].
Vá ios: Hum?
Es udan e W: Es e [3u] es á nas dezenas, daí ezes 10.
Es udan e Y: Vin e e se e não é dois mais se e.
Es udan e Z: É in e mais se e.
Es udan e X: Ahh!! Vin e é dois ezes o dez, como no en a é no e ezes
o dez.
Es udan e W: Sim, po que es á nas dezenas. En ão ica is o [3ux10 + u],
que posso simpli ica pa a 31u. Ago a já sei, se o núme o é
31u, o alga ismo das unidades é ue o das dezenas é 3u, já
consigo esc e e a segunda pis a usando só es a incógni a.
Es e episódio a gumen a i o su giu da ques ão de um es udan e ace ca da possibilidade
de esol e a ques ão a a és da cons ução de uma equação com uma só incógni a e oi
acompanhado do egis o no quad o, p esen e na igu a 44. Ap esen a-se esumido na si uação
a gumen a i a E, da igu a 45.
ADRIANA FERREIRA
108
Fig. 45. Si uação a gumen a i a E (elabo ação p óp ia)
O es udan e W p e ende descob i como esol e a ques ão eco endo apenas a uma
incógni a e pe cebe que a di iculdade es a á em esc e e o núme o de espécies di e en es
cul i adas na es u a em unção de u, o seu alga ismo das unidades. To na-se necessá ia a
in e enção da p o esso a/ in es igado a, que eco da duas das p incipais ca ac e ís icas do
sis ema de nume ação indo-á abe, o seu alo posicional e a base decimal, que pe mi em
es abelece es a elação que o es udan e p ocu a. Foi ainda p eciso aze e e ência a um
exemplo conc e o, pa a que os es udan es começassem a e le i sob e o que se p e endia.
Depois de comp eende que 27 = 20 + 7 = 2 x10 + 7, apidamen e o es udan e W ez a
gene alização que se p e endia pa a um nume al cons i uído po alga ismos desconhecidos.
Depois da descobe a, explica que o alga ismo das dezenas é mul iplicado po dez e, de
seguida, adiciona-se ao esul ado ob ido o alga ismo das unidades. Os es an es es udan es,
em conjun o, uns pa icipando no momen o de comunicação, ou os azendo os seus egis os
nos seus cade nos, comp eende am a u ilização do eo ema undamen al dos sis emas de
nume ação posicionais decimais. Apesa des a comp eensão e elada, a maio ia oi a i mando
se incapaz de “pensa des a manei a”.
O ecu so ao egis o ealizado no quad o, os momen os em que se apon a pa a os mesmos
e os ascunhos que alguns es udan es iam ealizando nos seus cade nos du an e a si uação
a gumen a i a a ibuem-lhe um ca á e diag amá ico. No en an o, es e se e de supo e ao
discu so o ganizado que os á ios es udan es ão ex e io izando, o nando es e momen o
ambém na a i o.
4.1.5 Discussão ge al dos esul ados analisados
Depois da análise de alhada de cada uma das qua o ques ões que cons i ui o es e,
p e ende-se ago a analisa os p incipais pon os em comum en e odas as ques ões, e le indo-
se sob e a elação en e o ipo de a e a e os ipos de ep esen ação, bem como sob e a axa de
êxi o associada ao uso de cada um desses di e en es ipos de ep esen ação. P ocu a-se, ainda,
e le i sob e a impo ância dos episódios a gumen a i os pa a a cons ução de conhecimen o
ma emá ico.
Es e es e é cons i uído po qua o ques ões que podem se ap esen adas a alunos dos
p imei o e segundo ciclos do Ensino Básico. No en an o, o desempenho des es es udan es da
Licencia u a em Educação Básica na esolução des as ques ões não oi o espe ado,
Análise de dados e esul ados
109
p incipalmen e nas segunda e qua a p opos as, nas quais a pe cen agem de sucesso não
a ingiu os cinquen a po cen o.
A p imei a ques ão, pelo con á io, e e uma axa de êxi o mui o ele ada, acima dos
no en a e cinco po cen o. Nas esoluções ap esen adas p edomina cla amen e a u ilização de
ep esen ações icónicas, o que se pode explica pela o ma como a in o mação é ap esen ada
no enunciado, que suge e a exis ência de pessoas o ganizadas numa ila. A isualização que a
si uação implica le ou mui os es udan es a ep esen á-la esquema icamen e. No momen o de
discussão inal as ep esen ações icónicas o am apon adas como as mais simples po
acili a em a o ganização da in o mação isualmen e e a descobe a da espos a com ele ado
g au de ce eza. No en an o, o am poucos os es udan es que e e i am as ep esen ações
icónicas pa a comunica o seu aciocínio aos pa es, op ando po aze e e ências egula es às
ep esen ações simbólicas ma emá icas a i mé icas, mais conc e amen e às ope ações pa a
explica a o ma mais ápida e e icien e de de e mina a espos a. Mui os econhece am es as
ep esen ações como as mais adequadas à esolução da ques ão. Po sua ez, as
ep esen ações simbólicas ma emá icas algéb icas o am apenas e e idas pelo seu ele ado
ní el de o malidade, endo, um núme o signi ica i o de alunos assumido di iculdades no
âmbi o da álgeb a.
Pa ece e iden e que os es udan es al e a am o ipo de ep esen ação do momen o de
comp eensão do enunciado e esolução pa a o momen o de comunicação cole i o,
selecionando pa a es a segunda pa e ep esen ações mais o mais. Pelo modo como
a gumen a am conseguimos conclui que es es es udan es conside am que a o ma mais
co e a de comunica em ma emá ica eque um ní el de o malismo mais ele ado, embo a
sin am a necessidade de eco e a egis os mais in o mais na ho a de esol e o p oblema. Ao
mesmo empo, podemos ambém concebe que depois de en ende bem o p oblema e de o
esol e , ainda que com ecu so a ep esen ações pic ó icas ou icónicas, as ep esen ações
mais o mais (diga-se: as ep esen ações simbólicas ma emá icas a i mé icas) o nam-se
menos ambíguas e a é mais adequadas pa a comunica a solução. Possi elmen e o mesmo não
se aplica às ep esen ações simbólicas ma emá icas de ca á e algéb ico pelas lacunas que um
núme o signi ica i o de es udan es sen e nes e âmbi o.
Impo a ambém elaciona a simplicidade da ques ão e a sua possí el aplicação a um
público do Ensino Básico a algumas ep esen ações que su gi am na sua esolução. Apesa de
se em solici adas aos es udan es es a égias de esolução que se adequem às suas o mas de
pensa os p oblemas, alguns acaba am po esol e a ques ão como se ossem c ianças,
p ocu ando a espos a a a és de passos simples e com ca á e mais in o mal.
Sendo o g ande obje i o ecolhe ep esen ações dis in as pa a esol e a mesma ques ão,
es a a e a pa ece-nos mui o adequada. O ac o de su gi em ep esen ações ma emá icas de
odos os ipos ca ego izados pe mi iu uma e lexão mais p o unda sob e as po encialidades de
cada ipo de ep esen ação, pa a além do e iden e con ac o des es es udan es com essas
o mas di e si icadas de pensa e esol e um p oblema em ma emá ica.
A simplicidade des a ques ão ambém e e impac o nos episódios a gumen a i os que se
c ia am no momen o de discussão inal. Ao con á io do que se pode ia espe a , não se
discu i am esul ados, espos as co e as ou inco e as. Os es udan es discu i am an es sob e
as di e en es es a égias de esolução e sob e di e en es ipos de ep esen ação que pode iam
aqui se u ilizados, ap esen ando as suas pe spe i as sob e as an agens de alguns deles.
Hou e espaço pa a se iden i ica a insegu ança de á ios com a álgeb a e se encon a em
pe cu sos de esolução al e na i os, mas igualmen e o mais. Também se deba e am pequenos
ADRIANA FERREIRA
110
po meno es que podem aze mais ce ezas no alcance de uma espos a, como o ecu so à
adição, se possí el, em ez da sub ação, ou a o ganização da in o mação em esquema, que
acili a a isualização e a escolha da ope ação adequada.
O enunciado da segunda ques ão já inha ca ac e ís icas bem dis in as das do enunciado
da p imei a p opos a. A dependência algéb ica p esen e na sua o mulação condicionou
cla amen e as ep esen ações u ilizadas pelos es udan es, à semelhança do que se e i icou
ambém com a ques ão qua o. Ao in és de se cons a a um p edomínio pelas ep esen ação
mais in o mais, como acon eceu na p imei a ques ão, nes a o am as ep esen ações
simbólicas ma emá icas do ipo a i mé ico as mais comuns. Ainda assim, pode ia se de
espe a que a pa des as ambém se e i icasse um ele ado núme o de es udan es a op a pelas
ep esen ações algéb icas, como a cons ução de um sis ema de duas equações, po exemplo,
que quase ai apa ecendo à medida que se lê o enunciado. Ac edi a-se que mui os não o
ize am pelas di iculdades que êm e assumem no cálculo algéb ico. No e-se que a axa de
sucesso pa a os es udan es que eco e am a ope ações a i mé icas ul apassou os cinquen a
po cen o e a dos que op a am po ep esen ações algéb icas é apenas de ce ca de in a e seis
po cen o, o que con i ma as suas di iculdades nes e domínio. As di iculdades em con ex os
algéb icos pa ecem se ambém con i madas pelos es udan es que eco e am a ep esen ações
mis as, já que cinco dos seis que o ize am inicia am com en a i as de o malização do
enunciado a a és da cons ução de equações. Con udo, as limi ações nes e âmbi o le a am-
nos a abandona essas ep esen ações e a op a po ep esen ações simbólicas ma emá icas do
ipo a i mé ico.
Tendo em con a as di iculdades que á ios es udan es encon a am na esolução des a
ques ão, as si uações a gumen a i as se i am um p opósi o di e en e do apon ado pa a a
p imei a p opos a. Os es udan es iam ap esen ando as suas o mas de pensa a ques ão ou
algumas conclusões simples a que chega am a pa i da lei u a do enunciado pa a se
auxilia em na comp eensão do p oblema e na cons ução de uma esolução conjun a que
conside assem simples e de ácil en endimen o pa a odos. Quando a opção de esolução oi a
en a i a-e o, os episódios a gumen a i os ajuda am a sis ema iza as di e en es ideias
suge idas e a o ganizá-las pa a apu a uma es a égia mais económica. Nes e momen o em
que se p i ilegiou a comunicação ma emá ica ecolhe am-se á ios indícios de que, de ac o, a
esolução de a e as ma emá icas de o ma colabo a i a pode aze eno mes bene ícios pa a a
cons ução de um conhecimen o ma emá ico sólido e es u u ado.
Es a ques ão não possibili ou a explo ação ão di e si icada de ipos de ep esen ações
ma emá icas como acon eceu com a ques ão an e io . Reco de-se o quad o 14, no qual
podemos e i ica a insigni ican e ep esen a i idade das ep esen ações de ca á e in o mal
como as pic ó icas (não u ilizadas) ou as icónicas (usadas apenas po dois es udan es).
Conside amos, po an o, que a complexidade da ques ão, assim como os aços algéb icos
p esen es no seu enunciado, podem e di icul ado o ecu so a ipologias de ep esen ação
di e sas.
Na e cei a ques ão conseguimos encon a mais di e sidade de ep esen ações,
e i icando-se oda ia o p edomínio pelas ep esen ações simbólicas ma emá icas do ipo
a i mé ico, como já oi e e ido. Es as o am conside adas po quase odos como uma opção
“in ui i a”, “simples” e “mui o mais ápida”. A axa de sucesso dos es udan es que eco e am
a es as ep esen ações de ce ca de oi en a e dois po cen o, p incipalmen e quando compa ada
com as es an es, ei e a es a adje i ação.

Análise de dados e esul ados
111
O enunciado da ques ão, pa a além de linguagem co en e, con ém uma abela com dados
o ganizados, sendo que nem odos são essenciais pa a encon a a espos a. Es a es a ís ica
apa en e na ep esen ação dos dados pode explica pa e do insucesso nes a a e a. Apesa de
se ap esen a em os dados desse modo, e a espe ado que os es udan es op assem
endencialmen e po ep esen ações do ipo a i mé ico, con o me acon eceu. Es as esoluções
em poucos passos o am comp eendidas po odos, mas as ou as ep esen ações dis in as,
p incipalmen e as ep esen ações icónicas com ecu so à cons ução de um diag ama de Venn,
causa am alguma es anheza. A maio ia e elou comp eensão, assumindo, no en an o, que
não consegui ia cons ui uma ep esen ação simila sem auxílio, conside ando que não é
acili ado a.
Conside a-se que é uma a e a com po encial pa a o abalho de explo ação de di e en es
ipos de ep esen ação que se p e endia ealiza , po e pe mi ido coloca os es udan es em
con ac o com es a égias de esolução que não consegui iam imagina pa a a ques ão,
an ecipando, assim, di iculdades u u as que pode iam i a sen i nomeadamen e no con ac o
com os diag amas de Venn.
Mais uma ez cons a amos que o momen o de discussão oi essencial pa a os es udan es
pa ilha em di e en es o mas de pensa e o ganiza em e a ina em uma es a égia e icien e de
esolução. As si uações a gumen a i as pe mi i am esol e pequenas di iculdades de alguns
es udan es com as suges ões e/ ou escla ecimen os de ou os.
A ques ão qua o, con o me já oi e e ido, ambém condicionou os ipos de
ep esen ação ap esen ados, pela dependência algéb ica do enunciado. Só se ecolhe am
ep esen ações simbólicas ma emá icas do ipo a i mé ico ou do ipo algéb ico, ou
ep esen ações mis as que combina am os dois ipos. Foi a ques ão em que a axa de sucesso
oi mais baixa: apenas ce ca de in a e ês po cen o dos es udan es consegui am de e mina
a espos a ce a. Es es esul ados ambém se explicam pelo ele ado núme o de es udan es que
não esol eu a ques ão, deixando em b anco ou apenas com pequenas no as, sem qualque
ipo de en a i a de esolução.
As ep esen ações mais comuns o am as simbólicas ma emá icas a i mé icas, sendo que
no conjun o de es udan es que po elas op a am a axa de sucesso não alcançou os cinquen a
po cen o, icando mui o p óxima da pe cen agem de es udan es que endo op ado pelo
mesmo ipo de ep esen ação não consegui am conclui a esolução, não endo ap esen ado
espos a à ques ão. Po ou o lado, nenhum dos es udan es que op ou pelas ep esen ações
simbólicas ma emá icas algéb icas conseguiu de e mina uma espos a. À semelhança do que
já se concluiu em ques ões an e io es, mui os es udan es e elam di iculdades e insegu ança
em con ex os algéb icos, o que não lhes pe mi e e sucesso nas ep esen ações des e ipo.
Apesa das limi ações, é e iden e o in e esse pela ap endizagem em mui os es udan es, o
que se con i ma com os episódios a gumen a i os que oco e am, a a és dos quais os
es udan es es abelece impo an es elações en e os conhecimen os que possuem e as
in o mações p esen es no enunciado da ques ão pa a a consegui em esol e . Em conjun o,
encon a am um pe cu so de esolução que odos comp eende am, apesa de nem odos se
mos a em capazes de o pô em p á ica sozinhos.
Conside a-se uma ques ão pe inen e, que pode ia ge a di e sos ipos de ep esen ação,
não só p oduzidas po di e en es es udan es, mas ambém po um só es udan e, uma ez que
e ia de espei a duas condições (as duas pis as apon adas no enunciado), podendo cump i
uma delas u ilizando um ipo de ep esen ação e a ou o com ou o ipo. Con udo, as
ADRIANA FERREIRA
112
di iculdades de um núme o signi ica i o de es udan es não pe mi i am a ecolha des a
di e sidade.
Impo a, po im, menciona que, endo em con a o ipo de ques ão, se espe a am
essencialmen e ep esen ações simbólicas ma emá icas. É e iden e que es es es udan es
sen em mais con o o e segu ança eco endo às do ipo a i mé ico ao in és das do ipo
algéb ico, o que se pode conclui pela sua u ilização p edominan e, pela maio axa de sucesso
e pelo discu so dos p óp ios es udan es que assumem, mui as ezes, incapacidade de pensa
em con ex os algéb icos que exigem abs ação e ecu so a incógni as.
No quad o 17 ap esen am-se os o ais ela i os aos ipos de ep esen ações ma emá icas
u ilizados pelos es udan es pa a esponde às qua o ques ões, bem como o sucesso/ insucesso
de cada um deles.
Quad o 17. Tipos de ep esen ação u ilizados pa a esponde às qua o ques ões e seu sucesso/
insucesso (elabo ação p óp ia)
Rep esen ação
Respos a co e a
Respos a inco e a
Sem espos a
To al
Taxa de êxi o
Pic ó ica
3
0
0
3
100 %
Icónica
38
1
3
42
≈ 90 %
Simbólica e bal
2
1
0
3
≈ 67 %
Simbólica
ma emá ica
a i mé ica
88
20
30
138
≈ 64 %
algéb ica
5
3
12
20
25 %
Mis a
23
6
3
32
≈ 72 %
Sem
ep esen ação
Só espos a
4
6
-----
10
40 %
Em b anco
-----
-----
24
24
-----
To al
163
37
72
272
60 %
O des aque ai e iden emen e pa a as ep esen ações simbólicas ma emá icas do ipo
a i mé ico, já que são as mais p i ilegiadas pelos es udan es na esolução des as a e as,
co espondendo a mais de me ade das oco ências. No polo opos o su gem as ep esen ações
pic ó icas a pa das simbólicas e bais. No e-se que, ainda que pon ualmen e, es es dois ipos
de ep esen ação ambém o am ecu so dos es udan es em híb idos com ou os ipos, naquilo
que designamos de ep esen ações mis as.
No que conce ne à axa de êxi o, as ep esen ações pic ó icas su gem com cem po cen o,
o que pode se um alo desajus ado endo em con a o eduzido núme o de u ilizações des e
ipo de ep esen ação. Também se de e conside a que es as apa ece am na si uação p oblema
mais simples, que implica a menos conhecimen o ma emá ico. De seguida, com no en a po
cen o de êxi o, su gem as ep esen ações icónicas, a a és das quais os es udan es e elam
segu ança. Ainda assim, con ém lemb a que a g ande maio ia des as ep esen ações oi
ecu so pa a esponde à p imei a ques ão, aquela que inha o g au de di iculdade mais
eduzido. Pa ece-nos ambém ele an e a en a na pe cen agem de êxi o das ep esen ações
mis as, mui o p óxima dos ês qua os. Nes e ipo de ep esen ações podemos e
essencialmen e dois cená ios: es udan es que inicia am a a e a com uma ep esen ação e
sen i am necessidade de a al e a , po que se a igu a a demasiado o mal ou po que não es a a
a pe mi i -lhes de e mina um esul ado; es udan es que complemen a am um ipo de
ep esen ação com ou a, o a pa a e i ica o esul ado, o a pa a deixa cla o o seu p ocesso
de esolução e de aciocínio (não só pa a quem co ige, mas ambém pa a eles p óp ios, como
o ien ação). Em qualque um dos casos, es a combinação de di e en es ipos de ep esen ações
pa a esol e um p oblema pa ece se uma boa al e na i a pa a alcança o sucesso.
Análise de dados e esul ados
113
Po ou o lado, as ep esen ações simbólicas ma emá icas do ipo algéb ico apa ecem
como as que conduzem a uma maio axa de insucesso. De ac o, o ecu so a es e ipo de
ep esen ação que exige mais o malismo e le iu-se numa meno e icácia na esolução das
a e as ma emá icas. Como já oi e e ido, mui os des es es udan es e idenciam lacunas no
domínio da álgeb a e assumem-nas, a i mando que a al a de conhecimen o e o acasso em
si uações passadas não lhes pe mi e eco e a es e ipo de ep esen ações com segu ança nem
g au de ce eza.
No ge al, es e baixo desempenho dos es udan es na esolução de a e as simples que
pode iam eles p óp ios ap esen a aos seus alunos já no papel de p o esso es ai ao encon o
das conclusões de á ios es udos que e elam que os u u os p o esso es ap esen am lacunas
no campo do conhecimen o ma emá ico (Pon e & Chapman, 2006; Baume e al., 2010;
Fe nandez & Zilliox, 2011; Viei a e al., 2022). Au o es como S ylianides e al. (2013) e Ta o
(2018) explicam que es as di iculdades são mais acen uadas em u u os p o esso es que
leciona ão nos p imei os anos de escola idade, ou seja, no Ensino Básico, como é o caso dos
pa icipan es nes a in es igação.
Pa alelamen e, conclui-se que os es udan es conhecem di e sos ipos de ep esen ações,
mas nem odos se sen em con o á eis com o seu uso, sendo impo an e lemb a que assumem
es anheza pe an e alguns ipos de ep esen ação. Es a ques ão pode se p eocupan e na medida
em que es es es udan es podem i a sen i di iculdades em an ecipa es a égias de esolução
dos seus alunos e em comp eende e a e i sob e a alidade de ep esen ações ap esen adas
que di i am das que pensa am ou o am capazes de p oduzi , o que já é ei e ado po Ma ins
e al. (2023). Tudo is o, pa ece e elado da impo ância de inclui e a é p io iza nos
p og amas de o mação inicial de p o esso es a i idades que auxiliem na cons ução bem
como na comp eensão de di e en es ipos de ep esen ações ma emá icas na esolução de
a e as.
Na mesma linha de ideias, pa ece-nos igualmen e impo an e c ia momen os que
es imulem o aciocínio ma emá ico, que ampliem a comp eensão de p ocessos de aciocínio e
que possibili em o seu desen ol imen o. Des i i (2018) menciona a impo ância de explo a
di e en es o mas de abalha es a capacidade ans e sal na o mação inicial de p o esso es e
Mendes e al. (2022) e e em que é uma necessidade p omo e a i idades que acili em o seu
en endimen o e e olução. Pa ece-nos que as si uações a gumen a i as p omo idas no inal da
sessão em que os es udan es esponde am a es e conjun o de ques ões pode se uma boa apos a
pa a o aze . A discussão de ideias, de o mas de ep esen ação, de p ocessos e de esoluções
dis in as, o ques ionamen o po pa e dos pa es, a e i icação conjun a, a e u ação e
explicação o am e dadei as opo unidades pa a abalha o aciocínio ma emá ico no ge al e
a a gumen ação em pa icula e pa a desen ol e nes es es udan es um conhecimen o
ma emá ico mais sus en ado e ap o undado.
Um aspe o amplamen e consensual nos di e en es es udos sob e o conhecimen o
ma emá ico na o mação inicial de p o esso es com o qual conco damos é que as di iculdades
que os u u os p o esso es e idenciam não se iam necessa iamen e esol idas com a c iação
de mais disciplinas na á ea da ma emá ica (Vie a e al., 2022). O que pa ece se essencial é
c ia opo unidades nas unidades cu icula es já exis en es pa a que os es udan es possam
esol e p oblemas p á icos passí eis de se em aplicados po eles p óp ios no u u o enquan o
p o esso es, expe imen ando di e en es o mas de ep esen ação e di e sos p ocessos de
esolução e p ocu ando explicá-los aos pa es, num momen o que p i ilegia a comunicação
ADRIANA FERREIRA
114
ma emá ica e a a gumen ação com eno me po encial pa a o desen ol imen o de di e en es
o mas de aciocina em ma emá ica.
4.2 ANÁLISE DAS TAREFAS COLABORATIVAS
Nes e subcapí ulo encon a-se a análise das qua o a e as ealizadas colabo a i amen e pelos
es udan es ao longo de dois meses. Reco de-se que cada a e a oi esol ida numa aula de
ce ca de duas ho as, di idida em dois momen os: ealização da a e a ma emá ica em pequeno
g upo e discussão cole i a de esoluções. É ambém essencial e em con a que os g upos
man i e am p a icamen e conse ada a sua cons i uição, exce uando-se pequenas si uações
de ido à ausência de um ou ou o es udan e. A análise es á o ganizada po a e a po o ma a
acili a a o ganização dos dados e a sua lei u a. À semelhança do que se e i icou no
subcapí ulo an e io , no inal da análise das qua o a e as su ge um apa ado de discussão
ge al dos esul ados ob idos com es e ins umen o de ecolha de dados.
4.2.1 Ta e a 1
Es a p imei a a e a e a cla amen e a que ap esen a a meno g au de di iculdade, ideia
ambém apoiada pelos es udan es no inal da implemen ação do conjun o de odas as a e as.
P o a disso é o sucesso ob ido na sua esolução, conside ando que odos os g upos
consegui am de e mina a espos a ce a pa a a ques ão colocada na a e a.
No que diz espei o ao ipo de ep esen ações u ilizadas, e i icou-se alguma di e sidade,
já que se egis a am ep esen ações simbólicas ma emá icas do ipo a i mé ico e
ep esen ações mis as, nas quais se ap esen a am híb idos en e ep esen ações pic ó icas e
a i mé icas; en e ep esen ações icónicas e a i mé icas e en e ep esen ações icónicas e
algéb icas.
Dos in e g upos que se o ma am pa a da espos a a es a a e a, apenas dois deles
ap esen a am unicamen e ep esen ações simbólicas ma emá icas a i mé icas. Ambos
esol e am a a e a a a és de duas ope ações simples, já que começa am po adiciona a
dis ância pe co ida pelo Sé gio com a dis ância pe co ida pelo Diogo e, pos e io men e,
sub aí am esse alo à dis ância que os sepa a a inicialmen e. O que dis ingue es es dois
g upos é o ac o de um deles e eco ido a uma e cei a ope ação, apenas pa a e i icação do
esul ado. Pa a al, adiciona am as duas dis âncias pe co idas pelos dois amigos o necidas
no enunciado e a dis ância a que se encon a am um do ou o depois de as pe co e em ( alo
ob ido a a és da esolução já e e ida), ce i icando-se que o o al e am os mil e ezen os
me os apon ados como a dis ância en e as casas um do ou o.
Os es an es g upos eco e am ep esen ações mis as, endo odos eles iniciado a
esolução com uma espécie de esquema pa a o ganiza a in o mação ap esen ada no
enunciado da a e a e pos e io men e a ançado pa a ep esen ações a i mé icas ou algéb icas,
es as úl imas bem menos comuns. Mas comecemos pelo p imei o passo des es g upos: a
o ganização da in o mação do enunciado. Me ade des es g upos (no e, a sabe ) eco eu a
ep esen ações pic ó icas e a ou a me ade eco eu a ep esen ações icónicas pa a o aze . Os
p imei os i e am a necessidade de ep esen a a ua onde i em os dois amigos e uma casa
ou um menino em cada ex emidade (con on a com igu as 46, 47 e 48). O passo seguin e
oi de um dos ês ipos que a segui se iden i icam:
Análise de dados e esul ados
121
Fig. 52. Rep esen ação icónica B (elabo ação p óp ia)
necessá ios no en a minu os (40 + 35 + 15 = 90). Toda ia, es e e o que conseguimos
iden i ica a a és da análise da igu a 51 não e e impac o na esolução da a e a.
Já o g upo que ap esen ou a esolução p esen e na igu a 52, depois de o ganiza os
p a os po o dem dec escen e de empo de con eção, cons uiu uma abela, na qual na
p imei a coluna egis a am odas as combinações possí eis de con eção de p a os dois a dois,
igno ando a o dem pela qual e am con ecionados (is o é, cozinha p imei o P1e, de seguida,
P2, é o mesmo que os cozinha pela o dem con á ia); na coluna seguin e coloca am os ês
p a os es an es. A e cei a coluna con ém egis o dos empos de con eção das combinações
p esen es nas p imei a e segunda colunas, sendo que oi dado des aque, a a és do sublinhado,
ao maio empo de con eção. Es e alo su ge na qua a e úl ima coluna, como “ empo inal”,
is o é, o meno empo em que é possí el cozinha os cinco p a os, de aco do com as condições
de inidas em cada linha. Na igu a 52 não su gem os cálculos auxilia es que em algumas
si uações os elemen os des e g upo necessi a am de egis a , alguns ho izon ais ou os em
algo i mo, pa a de e mina os empos de con eção.
Apesa de não cons a na a e a a unidade de empo em que de e se ap esen ada a
espos a, es e g upo ez a con e são do alo em minu os pa a a o ma complexa, azendo
co esponde se en a e cinco minu os a uma ho a e quinze minu os, à semelhança do que ez o
g upo cuja esolução oi analisada an e io men e.
As ep esen ações icónicas combinadas com as simbólicas ma emá icas a i mé icas o am
a escolha de um ou o g upo. Es e começou po aze aquilo que pa ece se um diag ama em
á o e ( igu a 53), com cinco amos, egis ando na ex emidade de cada um deles as le as A,
B, C, D e E que, segundo os elemen os do g upo, co espondiam aos cinco p a os a
con eciona ; no amo ambém incluí am a in o mação da du ação de con eção de cada p a o.

ADRIANA FERREIRA
122
Fig. 53. Rep esen ação icónica incomple a
(1.ª en a i a) (elabo ação p óp ia)
Fig. 54. Rep esen ação icónica incomple a
(2.ª en a i a) (elabo ação p óp ia)
Depois de e mina es a p imei a en a i a, al e qual como ela es á na igu a 53, os
elemen os do g upo inicia am uma ase de deba e:
Es udan e AH: Es á mui o bem. E ago a?
Es udan e AI: Não sei. Deixa pensa . Tens alguma ideia, u, é?
Es udan e AH: Não, mas acho que is o não em saída. É que emos cinco
al e na i as pa a o ogão um e ago a à en e que ias coloca
o ogão dois, e a? Não az sen ido, po que amos cozinha
mais do que um p a o no ogão um.
Es udan e AI: Só se ize mos um g á ico [diag ama] des es pa a o ogão
um e ou o pa a o ogão dois e aqui [apon a pa a “ ogão 1”]
ica p imei o p a o e depois à en e segundo p a o.
[...]
[Enquan o cons oem uma segunda en a i a, p esen e na igu a 54]
Es udan e AI: Esquece. Is o assim nunca mais ai acaba , po que dá mui as
possibilidades.
Es udan e AH: E ago a ainda p ecisamos do e cei o p a o. Ou não? Eu acho
que amos aze dois p a os num ogão e ês p a os no ou o.
Es udan e AI: Ah, mas espe a, es amos a aze coisas a mais. Tens aqui o A
e o B e depois ens o B e o A, que é a mesma coisa.
Es udan e AH: Is o es á mui o con uso. Vamos pensa nou a manei a!
Ago a ínhamos de aze ou o pa a o ogão dois, mas já não
podia e as le as que izemos, ou os p a os que izemos no
ogão um. Esquece.
De ac o, apesa de consegui em o ganiza algumas ideias e e i a conclusões ace adas,
o diag ama em á o e que o g upo en a a cons ui azia-lhes mais dú idas do que ce ezas,
o nando-se um modo de ep esen ação desadequado pa a a a e a em ques ão. Des aque-se a
pe sis ência, p incipalmen e do es udan e AI, que não que ia desis i des e ipo de
Análise de dados e esul ados
123
ep esen ação sem en a . No en an o, é ambém de alo iza a capacidade que odos
demons a am em es a e pe cebe que e en ualmen e es e não e a o ipo de ep esen ação
mais con enien e endo em con a a in o mação o necida e o obje i o da a e a.
A pa i daqui o g upo op ou po uma es a égia di e en e, iniciando en a i as de
combinação de con eção dos cinco p a os em dois g upos, a a és de ep esen ações
simbólicas ma emá icas do ipo a i mé ico, com cons ução de di e sos algo i mos da adição
o a com duas pa celas o a com ês. Consegui am de e mina a espos a ce a, embo a não
enham es ado odas as combinações possí eis.
Pa a além dos ês g upos já analisados, apenas mais um eco eu a ep esen ações mis as,
endo in e calado ep esen ações do ipo simbólico ma emá ico a i mé ico com ep esen ações
do ipo simbólico e bal. Começa am po de e mina o empo o al de con eção dos cinco
p a os e, pos e io men e, di idi am esse alo po dois, eco endo ao algo i mo usual da
adição e ao da di isão. Pa indo dos alo es de e minados (145 e 72,5) os es udan es
elabo a am uma espécie de composição ma emá ica na qual se podia le :
Pe cebemos que o meno empo pa a aze es es cinco p a os num ogão que
em dois bicos é 72,5 minu os. Como não podemos oca os achos de ogão,
não pode se es e empo, en ão pensamos que em de se empos mui o
p óximos des e. O ideal e a da 70 e 75 po que são os dois mais p óximos do
72,5. O 72 e o 73 ambém não dão nem o 71 e o 74, po que o empo que
demo a são múl iplos de cinco e es es núme os não são. O 70 e o 75 dá se
puse mos num ogão os p a os que demo am 40 minu os e 35 minu os e no
ou o ogão os p a os de 45 minu os, de 15 e de 10.
Apesa de alguma deso ganização no discu so, es es es udan es eco em ao concei o de
múl iplo, nes e caso, múl iplo de cinco, pa a de e mina a espos a. Re ela am uma es a égia
única que oi amplamen e discu ida no momen o inal de e lexão sob e di e en es
ep esen ações, momen o que se á analisado nas p óximas páginas.
Concen emo-nos ago a num g upo que eco eu apenas a ep esen ações simbólicas
e bais pa a esol e a a e a. O g upo em causa de iniu que e iam de se cozinhados os
p a os po o dem dec escen e de empo de con eção, mo i o pelo qual
1.º amos cozinha os p a os que demo am mais empo, os de 45 e 40 minu os.
Quando o p a o de 40 min. es i e p on o coloca-se o seguin e que demo a
mais empo, ou seja o de 35 min., nes e bico emos um o al de 75 min.
Quando o de 45 min. e mina coloca o de 15 min. e po im o de 10 min.
Es e oi o único egis o do g upo que conseguiu de e mina a espos a ace ada, embo a
enha, no momen o de discussão inal, icado na dú ida se es a es a égia e ia esul ado com
ou os empos de con eção.
Rela i amen e aos es an es g upos, odos u iliza am apenas ep esen ações simbólicas
ma emá icas do ipo a i mé ico, embo a se consigam iden i ica algumas subca ego ias. A
maio pa e dos g upos que op ou po es e ipo de ep esen ações seguiu uma lógica de
en a i a-e o, expe imen ando á ias combinações dos cinco empos em dois g upos, com
ecu so ao algo i mo da adição. Apenas um g upo ap esen ou cálculos pa a seis combinações/
en a i as, deixando de pa e as combinações que implica am coloca no bico do ogão que ia
ADRIANA FERREIRA
124
Fig. 55. Rep esen ação a i mé ica com e os (elabo ação p óp ia)
cozinha somen e dois p a os o p a o mais ápido de con eciona (dez minu os), explicando
que, sendo de céle e con eção, de e ia se cozinhado no bico do ogão que con ecionasse
mais p a os. Os es an es ap esen a am en e uma e ês en a i as, impo ando e e i que se
o am egis ando em p a icamen e odos es es g upos e balizações que demons a am
alguma o ien ação das en a i as a ealiza , como “ amos jun a p imei o os dois p a os mais
demo ados [...] depois o mais com um in e médio” ou “jun amos es es p imei o e depois
omos ajus ando como se osse os p a os de uma balança que em de ica equilib ada”. Es e
úl imo a gumen o, al ez pela sua na u eza ão isual, acabou po con ence mui os
es udan es no momen o de discussão inal que se p eocupa am com a ques ão de e a ce eza
que ealmen e não exis i ia ou a espos a com um empo ainda meno . Ainda sob e es e
conjun o de g upos egis a am-se apenas dois que não consegui am de e mina o meno
empo necessá io pa a con eciona os cinco p a os, con o me suge ia no enunciado da a e a.
É ambém de e e i que dois g upos ap esen a am a espos a na o ma complexa, is o é, em
ho as e em minu os, e ize am-no co e amen e, sendo que os es an es ap esen a am a
espos a em minu os.
Pa a além da en a i a-e o, i emos ambém dois g upos que se o ien a am pela me ade
do empo o al de con eção dos cinco p a os, à semelhança do g upo que combinou
ep esen ações ma emá icas a i mé icas com simbólicas, já analisado an e io men e. Assim,
es es começa am po de e mina o empo o al de con eção e a sua me ade e, a pa i daí,
equilib a am os empos pa a ica em o mais p óximo possí el da e e ida me ade. Apesa dos
dois e em de e minado a espos a ce a, um dos g upos ap esen a alguns e os ma emá icos
numa p imei a ase em que en am abalha com os empos na o ma complexa, em ho as e
em minu os. Analisemos a igu a 55 que dá con a desses lapsos.
Começamos po nos ape cebe desde logo de um e o que já oi mencionado
an e io men e a p opósi o de ou as a e as que es á elacionado com a ques ão de que e
ealiza a adição i e ada, mas não ep esen a odas as pa celas desde logo na exp essão
numé ica, mas i ac escen ando uma pa cela de cada ez à medida que se ai calculando a
soma das duas pa celas an e io es, o que acaba po conduzi à ep esen ação de uma igualdade
que não o é (45 + 40 = 85 + 15, po exemplo). Pos o is o, os es udan es do g upo p e endem
ep esen a os cen o e qua en a e cinco minu os o ais em ho as e minu os, eco endo, pa a al,
à decomposição desse alo em pa celas de sessen a minu os, que azem, depois, co esponde
a uma ho a. No en an o, no e-se que ol am a come e o mesmo lapso ep esen ando uma não
igualdade. Também se e i ica um lapso na iden i icação da unidade de empo já nos passos
inais des a ep esen ação (“72,5 h”, no luga de “72,5 min”), mas que ac edi amos e sido
po dis ação, uma ez que a unidade de empo su ge co e amen e no passo seguin e. O ou o
e o que obse amos aqui es á elacionado com a base sexagesimal do empo, no que diz
espei o às ho as, aos minu os e aos segundos. O g upo az co esponde meio minu o a cinco
segundos e não a in a. No en an o, como oi já mencionado, o g upo acabou po de e mina a
Análise de dados e esul ados
125
espos a ce a, uma ez que não eco eu a es a ep esen ação na o ma complexa, mas sim à
da o ma incomplexa, pa a o ien a a sua p ocu a pela espos a.
Po úl imo, egis a am-se dois g upos que, eco endo apenas a ep esen ações simbólicas
ma emá icas a i mé icas, conside a am a hipó ese de a a e a se esol ida a a és do concei o
de máximo di iso comum. Um des es g upos limi ou-se a aze o egis o
“m.d.c.(40,15,35,10,45)”, acabando po não de e mina o máximo di iso comum nem
ealiza mais nenhum cálculo nesse sen ido. Segui am pa a um conjun o de ês en a i as que
os le a am à espos a ce a. O ou o g upo, que ambém de e minou a espos a do mesmo
modo, oi mais longe na p imei a es a égia, já que ap esen ou a decomposição em a o es
p imos dos cinco empos de con eção o necidos no enunciado.
O quad o 19 que se ap esen a de seguida con ém os ipos de ep esen ações u ilizados
pa a esponde a es a segunda a e a, sin e izando a in o mação explanada an e io men e de
análise das ep esen ações.
Quad o 19. Tipos de ep esen ações u ilizados pa a esponde à a e a 2 (elabo ação p óp ia)
Tipo de ep esen ação
Respos a
co e a
Respos a
inco e a
To al
Simbólica e bal
1
0
1
Simbólica ma emá ica a i mé ica
14
2
16
Mis a
Icónica + Simbólica ma emá ica a i mé ica
3
0
3
Simbólica ma emá ica a i mé ica + Simbólica e bal
1
0
1
To al
19
2
21
No deco e des a a e a, o am egis adas di e sas si uações a gumen a i as ele an es,
sendo ago a impo an e deb uça mo-nos sob e uma delas. O diálogo que se segue oco eu no
momen o de discussão inal en e es udan es de g upos di e en es:
Es udan e AJ: Eu só não sei é como é que posso ga an i que não há uma
espos a melho , p o esso a.
Es udan e AK: Ha, nós conseguimos ga an i , po que esc e emos odas as
manei as possí eis na abela e escolhemos a melho .
[As ep esen ações do ipo icónico já inham sido p oje adas e analisadas]
Es udan e AJ: Sim, eu pe cebi a ossa ideia. Mas quando nós es á amos a
esol e po en a i as não nos lemb amos disso e a nossa
dú ida e a essa... Se á que há alguma espos a ainda melho ?
Es udan e AL: Nós jun amos os empos odos e di idimos po dois. Deu...
Já não sei... Mas depois só i emos de e uma en a i a... Já
sei, deu se en a e dois e meio. Depois combinamos pa a que
os empos dos dois ogões osse pe o do se en a e dois e
meio. Foi ácil: escolhemos o se en a que é o múl iplo de
cinco abaixo de se en a e dois i gula cinco e o se en a e
cinco que e a o múl iplo de cinco acima. Depois oi só jun a
os empos pa a da esses núme os, oi logo à p imei a.
[...]
Es udan e AM: Po quê múl iplos de cinco?
Es udan e AL: Como os núme os...
Es udan e AM: [in e ompendo] Já sei... Po que o qua en a, o qua en a e
cinco, o dez, po aí, são múl iplos de cinco.
ADRIANA FERREIRA
126
Fig. 56. Si uação a gumen a i a G (elabo ação p óp ia)
Es udan e AL: Sim... E a soma de dois ou ês desses nunca pode ia da
se en a e dois, po exemplo.
Começamos po esumi es e episódio na si uação a gumen a i a que ap esen amos na
igu a 56.
Es e diálogo oi ealmen e mui o p o ícuo, uma ez que o es udan e AL p ocu ou
explica as escolhas do seu g upo, endo epe ido a ideia ainda uma ou a ez, de manei a a
chega a odos os es udan es da u ma. Na e dade, es a es a égia de esolução e os ipos de
ep esen ação u ilizados susci a am a cu iosidade de mui os, que demons a am in e esse em
comp eende o aciocínio. O mais di ícil não oi explica o mo i o pelo qual se op ou po
de e mina a me ade do empo o al ou a necessidade dos empos de cada bico do ogão e em
de se o mais p óximos possí el desse alo . A g ande explicação e e de se ace ca da
escolha dos empos se en a e se en a e cinco e não de ou os como o se en a e dois e o se en a
e ês. No en an o, o es udan e AL eco eu mui o bem a um dos eo emas a p opósi o dos
concei os de múl iplo e de di iso , lemb ando que a soma de dois múl iplos de um núme o né
ainda um múl iplo de n. Assim, se os cinco empos de con eção e am múl iplos de cinco,
qualque combinação desses empos em qualque dos dois bicos do ogão e ia de se um
múl iplo de cinco.
No e-se que no deco e da sua explicação o es udan e AL eco e a uma sé ie de
a i mações, encadeadas en e si, que o ajudam a explana a es a égia do g upo, sem
necessidade de eco e a qualque ipo de ep esen ação, pelo que es e episódio se enquad a
num ca á e na a i o.
Es e diálogo sob e di e en es o mas de pensa a a e a con inuou e conside amos
pe inen e analisa ainda um ou o exce o:
Es udan e AN: Nós izemos de ou a manei a e ambém emos a espos a
ce a sem e de esc e e as combinações odas.
Es udan e AO: Nós não izemos combinação nenhuma, chegamos logo à
espos a ce a.

Análise de dados e esul ados
127
Fig. 57. Rep esen ação no quad o pa a e u a AN e AO (elabo ação p óp ia)
Fig. 58. Si uação a gumen a i a H (elabo ação p óp ia)
Es udan e AN: Pensamos que inham de se cozinhados p imei o os p a os
mais demo ados. Semp e que acabasse um colocá amos o
seguin e mais demo ado. Só isso.
Es udan e AO: [pe an e algumas exp essões de incomp eensão] Imaginem
que é o ogão A e o ogão B. Colocamos no A o p a o de
qua en a e cinco minu os e no B o de qua en a, po que são
os p a os mais demo ados. O p a o do ogão B ai acaba
p imei o, po isso colocamos lá o p a o de in a e cinco
minu os. En e an o acaba o p imei o p a o do ou o ogão e
colocamos lá o de quinze e ainda dá pa a coloca nesse o de
dez sem o ogão B e acabado.
Es udan e AP: E isso dá ce o?
Es udan e AO: Sim, chegamos à mesma espos a que ocês.
Es udan e AN: Mas mui o mais ápido e sem con as quase.
Es udan e AQ: Mas pode não da ce o semp e. Se osse ou os núme os.
Es udan e AN: Dá na mesma. Se não ambém não da a aqui.
[...]
Es udan e AP: Não dá, oi uma so e.
[...]
Es udan e AP: [enquan o ep esen a no quad o o egis o da igu a 57] Vês,
seguindo a ossa ideia es e [apon a pa a os egis os do lado
esque do] inha de se o melho empo, mas se eu oca o
doze pa a o segundo ogão e o eze pa a o p imei o consigo
eduzi o empo.
Na igu a 58, abaixo ap esen ada, su ge a e e ida si uação a gumen a i a de uma o ma
esumida:
ADRIANA FERREIRA
128
Os es udan es AP e AQ descon iam da alidade da es a égia de inida pelos colegas de
ou o g upo, ac edi ando que con eciona os p a os po o dem dec escen e de empo pode á
se apa en emen e uma es a égia adequada, mas não se e icien e e aplicá el em quaisque
que sejam os empos de con eção. O es udan e AP ai mais longe e, enquan o deco e a
discussão, começa a c ia exemplos conc e os, in en ando ou os empos de con eção e
aplicando o aciocínio dos colegas. Não demo ou mui o empo a encon a um con a-
exemplo e a exclama “ oi uma so e”. Pediu pa a i ao quad o, onde egis ou cinco empos de
con eção que in en a a e esol eu a a e a seguindo a es a égia ap esen ada pelas es udan es
AN e AO. Ao lado ap esen ou uma ou a possibilidade de con eção que se e elou mais
ápida. Assim, o es udan e AP consegue e u a a hipó ese le an ada pelo g upo, de endendo
que não é e dade que se se cozinha em os p a os po o dem dec escen e de empo de
con eção se consiga semp e um meno pe íodo de empo pa a inaliza odos os p a os,
jus i icando o seu a gumen o com a c iação de um caso conc e o.
Impo a ealça a impo ância do ca á e diag amá ico que es e a gumen o acabou po
assumi , ao con á io do p imei o analisado pa a es a mesma a e a, já que só eco endo ao
papel, à in enção, ep esen ação e expe imen ação de casos conc e os e à sua ap esen ação ao
g ande g upo no quad o é que o es udan e AP conseguiu cla i ica a sua posição de o ma
undamen ada.
Po im, e i a-se que os dois episódios a gumen a i os aqui ap esen ados se elacionam
com o ópico dos núme os e ope ações, embo a o p imei o es eja elacionado com a
mul iplicação e o concei o de múl iplo e suas p op iedades e es e úl imo se concen e nas
ope ações adição e sub ação.
4.2.3 Ta e a 3
Es a e cei a a e a suge e no enunciado a c iação de uma conje u a e espe i a p o a,
pelo que a maio pa e dos in e g upos que p ocu a am esol ê-la eco e am a
ep esen ações simbólicas ma emá icas algéb icas, ainda que mui os deles enham combinado
es e ipo de ep esen ações com ou as, o a com ep esen ações icónicas o a com
ep esen ações a i mé icas. Os g upos que não o ize am, ap esen a am ep esen ações mis as,
nas quais su gem híb idos de ep esen ações icónicas, simbólicas e bais e/ ou simbólicas
ma emá icas a i mé icas.
Impo a começa po e e i o p imei o passo dado pelos g upos que consis e na
ep esen ação em linguagem simbólica da in o mação p esen e no enunciado da a e a. Onze
g upos começa am po esc e e a sucessão suge ida na o ma numé ica, oi o ize am-no
a a és de uma ep esen ação icónica e um g upo cons uiu uma abela com os dois ipos de
ep esen ação, con o me mos a a igu a 59.
Análise de dados e esul ados
129
Fig. 59. Rep esen ação icónica e numé ica da sucessão (elabo ação p óp ia)
Fig. 60. Rep esen ação a i mé ica de con i mação (elabo ação p óp ia)
Na igu a 59, pa a além da in o mação disponibilizada no enunciado, ela i a àquilo que
são os p imei os e mos de uma sucessão, ambém já cons am alguns egis os que e le em as
conclusões do g upo ace ca do modo como se pode de e mina o núme o de be lindes de um
es ojo, endo em con a o núme o de be lindes do es ojo an e io . Es es es udan es egis a am
as in o mações “+1”, “+2”, “+3” e “+4”, o que demons a que pe cebe am que do p imei o
es ojo pa a o segundo se ac escen ou um be linde, do segundo es ojo pa a o e cei o se
adiciona am dois be lindes, do e cei o pa a o qua o es ojo se jun a am ês be lindes e que,
po isso, do qua o pa a o quin o es ojo se de e ão coloca mais qua o be lindes. Es a
conclusão oi e o çada pelo egis o que ize am de seguida ( igu a 60).
Apesa do egis o e idencia o en endimen o da sucessão e da sua de inição po
eco ência, a e dade é que os elemen os do g upo não a ança am pa a a o malização, nem
a a és da de inição da sucessão po eco ência nem a a és do e mo ge al da sucessão. Em
ez disso, op a am po esc e e em linguagem co en e a lei de o mação da sucessão,
egis ando
O p imei o es ojo em apenas um be linde. Depois cada um dos es ojos
seguin es em o núme o de be lindes do es ojo an e io mais a o dem desse
mesmo es ojo. Po isso o quin o es ojo em o núme o de be lindes do qua o
es ojo (se e be lindes) mais a o dem desse es ojo an e io (qua o), ou seja em
11 be lindes (7+4).
No e-se que es a ep esen ação simbólica e bal es á mui o ligada ao con ex o p oblema
suge ido, acabando po se o na mui o conc e a e, po conseguin e, e elando pouco ní el de
abs ação.
ADRIANA FERREIRA
130
Fig. 61. Rep esen ação a i mé ica em unção do p imei o e mo (elabo ação p óp ia)
Es e g upo eco eu, en ão, a ep esen ações icónicas, simbólicas ma emá icas a i mé icas
e simbólicas e bais. Encon amos mui as semelhanças ao ní el do aciocínio com os qua o
g upos que ap esen a am ep esen ações mis as de icónicas com simbólicas e bais e com os
dois g upos que ealiza am um híb ido en e ep esen ações a i mé icas e simbólicas e bais.
Os qua o p imei os, após a ep esen ação g á ica e mais isual da sucessão a a és da
ep esen ação das pin inhas que simbolizam os be lindes den o de caixas ( ep esen ação
simila à segunda linha da abela p esen e na igu a 59), p ocu a am, uns de uma o ma mais
comple a do que ou os, uns com uma linguagem mais o mal do que ou os, esc e e a lei de
o mação da sucessão, à semelhança do que imos no úl imo passo do p imei o g upo
analisado. Impo a des aca a ep esen ação simbólica e bal p oduzida po um dos g upos,
que ocou a sua a enção na di e ença en e o núme o de be lindes de dois es ojos consecu i os.
Es e g upo esc e eu
A di e ença en e o segundo e mo e o p imei o e mo é a o dem do p imei o
(
112 
). A di e ença en e o e cei o e mo e o segundo e mo é a o dem do
segundo (
224 
). Pe cebemos que a di e ença en e quaisque dois e mos
seguidos é semp e a o dem do e mo meno desses dois.
Apesa des a de inição nos da in o mação da di e ença en e quaisque dois e mos
consecu i os, o que acaba po se e ela pouco pe inen e, po que pa a al p ecisamos de
conhece os e mos, no amos a u ilização de ocabulá io especí ico da ma emá ica. Pa a além
disso, é e iden e um maio ní el de abs ação, já que o g upo consegue desliga -se do
con ex o do enunciado (os be lindes den o de es ojos) e ala em e mos e o dem dos e mos,
o que con as a com ou as leis de o mação ap esen adas po ou os g upos como “Pa a
descob i o núme o de be lindes de um es ojo soma-se o núme o do es ojo an e io com o
núme o de be lindes desse mesmo es ojo”.
Nes e aspe o, o g upo que ap esen a uma lei de o mação mais comple a e dis anciada do
con ex o p oblema é um dos dois que combina am ep esen ações a i mé icas com simbólicas
e bais. Ambos, depois de ep esen a a sucessão na sua o ma numé ica, es uda am
egula idades, um deles com uma o ganização semelhan e à ap esen ada na igu a 60, na qual
ão de e minando o e mo seguin e a a és do e mo an e io e o ou o que o az semp e endo
em conside ação o p imei o e mo, con o me cons a na igu a seguin e ( igu a 61).
Es a ep esen ação acabou po não ajuda os elemen os des e g upo a a ança , uma ez
que, segundo eles, encon a am “ou o pad ão que ambém aumen a de e mo pa a e mo”.
Análise de dados e esul ados
137
ep esen ação icónica, po o ganiza os dados de uma o ma esquemá ica e abs a a, que
pe mi e aos es udan es e le i sob e di e en es possibilidades de esolução da a e a.
As ep esen ações mais comuns na esolução des a qua a a e a são do ipo simbólico
ma emá ico a i mé ico. Fo am dez os g upos que eco e am somen e a ep esen ações des a
ca ego ia, sendo que um deles não conseguiu de e mina qualque espos a, dois encon a am
apenas uma solução e os es an es o am bem sucedidos. Em elação ao g upo que não
conseguiu encon a espos a pa a a a e a, pode a i ma -se que se limi ou a ealiza a mesma
expe iência que a Isa, pensando em núme os cons i uídos po ês alga ismos de o ma
alea ó ia e sem c i é io, e expe imen ando, po o ma a e i ica se cump iam as indicações
o necidas no enunciado. As en a i as o am á ias, mas sem sucesso. E a um g upo calmo e
com pouca inicia i a, pelo que segui am a p imei a suges ão ap esen ada po um dos seus
elemen os de i expe imen ando di e en es di idendos e não coloca am a hipó ese de ou as
es a égias pa a a esolução da a e a. Os ou os no e g upos en ende am que e iam de
analisa os dados o necidos do im pa a o início, começando po pensa na e cei a di isão,
cujo es o e a ze o. Rapidamen e se ape cebe am que o di idendo dessa di isão pode ia se
dez, pelo que aplica am a iden idade undamen al da di isão duas ezes, p imei o pa a
descob i o di idendo da segunda di isão e depois pa a des enda o di idendo da p imei a
di isão, alo que se p e endia de e mina . Dois g upos ica am po aqui, mas os es an es
comp eende am que pode ia se ou o múl iplo de dez o di idendo da úl ima di isão, pelo que
aplica am o mesmo aciocínio pa a o di idendo igual a in e. Apenas dois g upos p ecisa am
de e i ica com o in a pa a se ce i ica em que, nes e caso, o p imei o di idendo, a espos a
que se p ocu a a, já não e a um nume al cons i uído po ês alga ismos, mas sim po qua o.
Nos es an es ou ia-se comen a “não ale a pena” ou “se subiu de 435 pa a 835, com o 30 já
ai da com qua o alga ismos de ce eza”.
Concen emo-nos ago a num g upo que iniciou a esolução com uma es a égia, mas a
al e ou du an e o p ocesso. Começa am po expe imen a escolhe di idendos de um modo
alea ó io e aze a e i icação. Repe i am o modelo a iadas ezes, semp e sem sucesso. A
ce a al u a um dos elemen os do g upo exclama:
Es udan e AA: Assim nunca mais saímos daqui.
Es udan e AB: Calma, emos de expe imen a .
Es udan e AC: Ela em azão. Pode se qualque núme o en e 100 e 999.
São mui as possibilidades. Nem dá pa a expe imen a com
odos.
Pos o is o, um es udan e suge e que se u ilizem as incógni as, pelo que começam a
o maliza a ques ão, eco endo à iden idade undamen al da di isão. A ideia do g upo e a
deixa de e qua o alo es desconhecidos, p ocu ando esc e ê-los odos com ecu so à
mesma incógni a. De ini am que yse ia o quocien e da p imei a di isão e, daí, o di idendo
e a 8y+ 3. No en an o, de seguida, con undi am-se e passa am a assumi es e alo como o
quocien e, o que comp ome eu os passos seguin es. Pouco empo depois, um dos elemen os
do g upo, que já analisa a uma ep esen ação simila à p esen e na igu a 70 há algum empo,
exclamou, en usiasmado: “Já sei!! Dez a di idi po dez dá es o ze o! Ago a é só anda pa a
ás”. O mesmo elemen o do g upo ainda ac escen ou, mais a de: “Também unciona com o
20!”. Es e g upo iniciou com ep esen ações do ipo a i mé ico, passou pa a uma en a i a de
o malização com ecu so a ep esen ações do ipo simbólico ma emá ico algéb ico e acabou
po de e mina as espos as ol ando às ep esen ações a i mé icas.

ADRIANA FERREIRA
138
Fig. 71. Sis ema de ês equações (elabo ação p óp ia)
Fig. 72. O ganização dos dados do enunciado (elabo ação p óp ia)
Hou e ainda mais um g upo que eco eu a uma ep esen ação mis a, começando com
álgeb a o mal e depois p ocu ando simpli ica pa a a a i mé ica. Es e g upo inicialmen e
cons uiu um sis ema de ês equações, nas quais su giam um o al de qua o incógni as,
con o me cons a na igu a 71.
Não conseguindo a ança mais a pa i daqui e a i mando “Is o é mui o di ícil. Com
le as não amos lá!”, os elemen os do g upo começa am a es uda hipó eses com ecu so à
iden idade undamen al da di isão e apidamen e pe cebe am que o p oblema se ia esol ido
do im pa a o início, subs i uindo o di idendo da úl ima di isão po um múl iplo de dez.
Os no e g upos es an es ap esen a am apenas ep esen ações simbólicas ma emá icas do
ipo algéb ico, sendo que qua o deles não consegui am ap esen a espos a pa a a a e a e os
es an es ap esen a am as duas espos as ace adas. Rela i amen e aos p imei os, e i ica am-
se duas si uações: (i) alguns e os pelo pe cu so que in alida am as es a égias ado adas e (ii)
análise incomple a da in o mação eiculada no enunciado da a e a. Um des es g upos
conseguiu o ganiza bem a in o mação, ap esen ando o esquema da igu a 70 e, de seguida, as
exp essões da igu a 72.
Os elemen os des e g upo não consegui am, no en an o, i a p o ei o des a ep esen ação
pa a esc e e q1em unção de q2e, depois, D em unção de q1. Um ou o g upo des e conjun o,
ez es e passo co e amen e, egis ando uma exp essão simila a D= 400q3+ 35, embo a
depois não enha conseguido liga a exp essão ge ada com o ac o de o di idendo e de se
um nume al cons i uído po ês alga ismo.
Análise de dados e esul ados
139
Fig. 73. Inequação que aduz o enunciado (elabo ação p óp ia)
Po im, analisemos os g upos que consegui am ap esen a as espos as co e as
eco endo a ep esen ações simbólicas ma emá icas do ipo algéb ico. Os cinco g upos que
segui am po es a ia chega am à exp essão simpli icada do alo que se p e endia de e mina
(D= 400q3+ 35). De seguida, qua o dos g upos de ini am hipó eses pa a o alo de q3e
e i ica am se o di idendo ica ia um nume al cons i uído po ês alga ismos. Is o só
acon ecia quando q3assumia os alo es um e dois, o iginando os di idendos qua ocen os e
in a e cinco e oi ocen os e in a e cinco. Impo a e e i que apenas dois dos g upos ize am
a e i icação pa a q3igual a ze o, concluindo que o di idendo ica ia somen e com dois
alga ismos, mas os qua o g upos ize am a e i icação pa a q3igual a ês, ape cebendo-se de
que o di idendo já ica ia um nume al cons i uído po qua o alga ismos. Apenas um g upo
ugiu a es a e i icação, cons uindo e esol endo uma inequação que aduzia a in o mação
“A Isa pensou num núme o cons i uído po ês alga ismos”, ou seja, en endendo cla amen e
que o núme o es a ia comp eendido en e cem e no ecen os e no en a e no e, con o me
cons a na igu a 73.
Repa e-se que os es udan es conseguem esol e co e amen e a inequação e de e mina
os alo es pa a o quocien e da e cei a di isão (que a é aqui iden i icamos como q3, mas que
nes a esolução es á ep esen ado po ) e, pos e io men e, calcula am o di idendo (que a é
aqui iden i icamos como D, mas que nes a esolução es á ep esen ado po x). No momen o
inal, acabam po se con undi e conside a na espos a os alo es do úl imo quocien e em ez
dos alo es do di idendo. Na discussão cole i a o g upo ape cebeu-se da con usão sem
in e enção de e cei os.
Ap esen a-se ago a o quad o 21, no qual se encon am os ipos de ep esen ações
ma emá icas u ilizados pelos es udan es pa a esponde a es a ques ão, acompanhado do
núme o de g upos que o ez, esumindo a análise acima ealizada.
ADRIANA FERREIRA
140
Quad o 21. Tipos de ep esen ações u ilizados pa a esponde à a e a 4 (elabo ação p óp ia)
Tipo de ep esen ação
Respos a
co e a
Respos a
incomple a
Respos a
inco e a
Sem
espos a
To al
Simbólica ma emá ica a i mé ica
7
2
0
1
10
Simbólica ma emá ica algéb ica
4
0
1
4
9
Mis a
Simbólica ma emá ica a i mé ica +
Simbólica ma emáica algéb ica +
Simbólica ma emá ica a i mé ica
1
0
0
0
1
Simbólica ma emá ica algéb ica +
Simbólica ma emá ica a i mé ica
1
0
0
0
1
To al
13
2
1
5
21
Nes e momen o impo a oca a a enção em momen os de discussão que enham
o iginado si uações a gumen a i as ele an es. Vamos analisa uma si uação que oco eu em
pequeno g upo:
Es udan e AD: Po onde é que começamos?
Es udan e AE: Pelo início.
Es udan e AF: Eu po acaso acho que é pelo im.
[Risos]
Es udan e AF: A sé io... Es e [apon a pa a o di idendo da úl ima di isão]
em de se es e [o quocien e da úl ima di isão] ezes es e [10,
o di iso da úl ima di isão].
Es udan e AD: Não, espe a. Cala- e, já sei! [en usiasmada] Es e aqui [o
di idendo da úl ima di isão] em de se um múl iplo de dez.
Es udan e AF: Sim, po que dá es o ze o. E o que é que eu disse?
Es udan e AD: Isso! Esc e e! Di idendo igual a di iso ezes quocien e
mais es o.
Es udan e AE: Assim?
Es udan e AD: Sim.
Es udan e AF: Ahh, mas há mui as hipó eses... Pode se dez, in e, in a,
qua en a...
Es udan e AE: Vamos expe imen a com dez.
Es udan e AD: [ e icen e] Não pode se ze o?
Es udan e AE: Hã?
[Silêncio]
Es udan e AD: Dez ezes ze o dá ze o.
Es udan e AF: Sim, se es e [o quocien e da úl ima di isão] o ze o, o
di idendo ambém ai se .
[Silêncio]
Es udan e AE: Es á bem. En ão es e di idendo ambém ai se ze o e es e
ambém.
[Silêncio]
Es udan e AD: Não. Po que aqui [apon a pa a a segunda di isão] já não é
es o ze o. Espe a... Dá qua o aqui [di idendo da segunda
di isão] e depois oi o ezes qua o é 32, mais ês é in a e
cinco. É isso!
Es udan e AF: Não dá! Eu disse! É pequeno.
A igu a 74 con ém es e episódio esumido na si uação a gumen a i a J.
Análise de dados e esul ados
141
Fig. 74. Si uação a gumen a i a J (elabo ação p óp ia)
Nes e episódio os es udan es en ol idos começam po jus i ica que o p odu o en e o
di iso e o quocien e da e cei a di isão e e ida no enunciado da a e a em de co esponde
ao di idendo, uma ez que se a a de uma di isão exa a, ou seja, uma di isão na qual o es o
é ze o. Es a posição ai adqui indo, ao longo do diálogo, um ca á e mais comple o, já que os
es udan es depois conseguem conclui que esse di idendo e á de se um múl iplo de dez, pois
o di iso é dez. É cu ioso que inicialmen e não incluíam o ze o no conjun o dos múl iplos de
dez, conside ando a es anheza e os momen os de silêncio que se segui am, assim que su giu
es a suges ão. De qualque modo, con o na am mui o bem es a di iculdade, e le indo sob e a
p opos a de modo a con i ma em a sua alidade, em ez de a ejei a em logo à pa ida.
Nes e momen o a in e ação em pequeno g upo, apenas en e os pa es, sem qualque
in e enção da p o esso a/ in es igado a, oi p omo o a de pa ilha sem eceio de e a . A
pa icipação a i a e o en usiasmo e iden e dos es udan es AD e AF, que acabam po se i
complemen ando, con as a com a calma e pos u a de obse ação ado ada pelo es udan e AE
na maio pa e do episódio. Ainda assim, conside a-se que os ês elemen os do g upo
acompanha am os aciocínios que e am ex e io izados e con ibuí am pa a as conclusões a
que iam chegando.
Quan o ao ca á e des a si uação a gumen a i a, impo a e e i que se assume como
na a i o, uma ez que os es udan es o ganizam num discu so cla o as suas ideias. Po ou o
lado, não podem se igno ados os aços diag amá icos p esen es, já que po di e sas ezes os
es udan es apon am pa a o esquema que ep esen a as ês di isões sucessi as ( eco de-se a
igu a 70) pa a auxilia o seu discu so.
Se nos ques iona mos sob e a unção des a si uação a gumen a i a não há dú ida que a
espos a é a descobe a. Os es udan es comunicam as suas ideias, pa ilham posições e es am
com o obje i o de descodi ica in o mação que possa es a omissa nas en elinhas do
enunciado e i descob indo dados ele an es pa a de e mina a espos a. Fazem-no com
sucesso, comple ando a cada suges ão os seus aciocínios.
Po im, egis e-se que o episódio se enquad a no con eúdo dos núme os e das ope ações,
mais conc e amen e sob e a di isão in ei a no conjun o dos núme os na u ais e a sua
iden idade undamen al (o di idendo pode se de e minado a a és do p odu o en e o di iso
e o quocien e, adicionado do es o). Es ão implíci as ambém algumas p op iedades da di isão
ADRIANA FERREIRA
142
e o concei o de di isão exa a, is o é, uma di isão cujo es o é ze o. Acaba po se ainda
abo dado o concei o de múl iplo.
Há uma ou a si uação a gumen a i a, des a ez em g ande g upo, no momen o de
discussão cole i a inal que impo a aqui analisa . Discu ia-se uma esolução com ecu so a
ep esen ações do ipo simbólico ma emá ico algéb ico e ap esen a a-se a exp essão
simpli icada pa a o di idendo D= 400q3+ 35, quando oco eu o seguin e episódio
a gumen a i o:
Es udan e AG: P o esso a, nós pensamos que a pa i daqui só podíamos
começa a subs i ui po núme os in ei os. [ e e ia-se ao
alo q3]
Es udan e AH: Sim, o um, o dois, o ês...
Es udan e AI: Sim, e a a única manei a.
Es udan e AJ: Nós ambém izemos assim. Ve i icamos pa a um e deu,
pa a dois ambém deu. Pa a ês já da a um núme o maio
do que mil.
Es udan e AK: P o esso a, não é a única manei a.
P o ./ in .: Não? Explica...
Es udan e AK: O di idendo em de es a en e cem incluído e no ecen os e
no en a e no e ambém incluído, po que é um núme o com
ês alga ismos. Nós esc e emos duas inequações com esse
alo [apon a pa a a exp essão simpli icada do di idendo
egis ada no quad o].
Es udan e AH: Como?
Es udan e AK: Posso i ao quad o?
P o ./ in .: Cla o!
[o es udan e egis ou no quad o
9993540010035400 33  qq
]
Es udan e AK: Is o [apon a pa a a exp essão
35400 3q
] é o di idendo,
po isso em de es a maio ou igual a cem e meno ou igual
a no ecen os e no en a e no e. Se esol e em es a [apon a
pa a a p imei a equação] dá...
Es udan e AL: Ze o í gula um seis dois cinco... E a ou a [ e e e-se à
segunda equação] dá dois í gula qua en a e um.
Es udan e AK: Isso. En ão que dize que se es á en e ze o í gula al e dois
í gula al só pode se um e dois, po que em de se núme os
in ei os.
[...]
Es udan e AH: Eu acho que isso é complica .
Es udan e AL: Nós ambém achamos quando ele começou, mas imagina
que não da a só com o um e com o dois... Se desse ipo com
in e esul ados di e en es, u ias es a a e um a um?
Es udan e AK: Nós assim sabemos logo o meno e o maio .
Es udan e AH: Sim, pois, az sen ido.
Es e episódio aqui ansc i o su ge esumido na si uação a gumen a i a K p esen e na
igu a 75.

Análise de dados e esul ados
143
Fig. 75. Si uação a gumen a i a K (elabo ação p óp ia)
O a gumen o aqui ap esen ado es á di e amen e elacionado com as ca ac e ís icas do
sis ema de nume ação indo-á abe que u ilizamos dia iamen e. De ac o, o es udan e AK
a i ma con ic amen e que o nume al que se p ocu a e á de se si ua en e cem e no ecen os e
no en a e no e, po que se a a de um nume al cons i uído po ês alga ismos. Na sequência
des a a i mação o es udan e explica ainda, com auxílio de um ou o es udan e que ealizou a
a e a no mesmo g upo, como p ocede pa a, pa indo des a posição, consegui de e mina a
espos a que se p ocu a. No e-se que no inal ainda apon a an agens pa a o ipo de
ep esen ação u ilizada, e e indo que es a es a égia lhe pe mi e de e mina o meno e o
maio nume al que espei am a condição c iada, sem e de aze ex ensas e i icações.
Es e episódio oco e em g ande g upo, com in e enção inicial da p o esso a/
in es igado a, que az a a e a pa a deba e, mas são os es udan es que ap esen am os seus
aciocínios e que ques ionam as suges ões dos pa es. É impo an e des aca que o am mui os
os es udan es que pa icipa am nes a discussão, p ocu ando comp eende as ideias
ap esen adas, conco dando ou disco dando e ap esen ando ainda as suas suges ões.
T a a-se de uma si uação a gumen a i a de ca á e na a i o com con o nos
diag amá icos, pois o es udan e AK apon a pa a a exp essão simpli icada do di idendo pa a se
explica e, pos e io men e, sen e necessidade de i ao quad o aze um egis o pa a ansmi i
aos pa es o modo como pensou, não conseguindo azê-lo com ecu so exclusi o à o alidade.
A ap esen ação do e e ido a gumen o su ge com a unção de e u a a a i mação do
es udan e AI, que conside a que a única manei a de de e mina o esul ado é inicia uma
e i icação, subs i uindo o alo de q3po núme os in ei os. O es udan e AK a i ma exis i
ou a possibilidade e ap esen a-a aos pa es. Pos e io men e, pe an e a incomp eensão de
alguns, o seu discu so passa a e a unção de explica aos pa es o conhecimen o ma emá ico
que possui e que lhe pe mi e chega às espos as p ocu adas.
O ópico ma emá ico aqui p esen e é, à semelhança da ou a si uação a gumen a i a
analisada ambém a p opósi o des a a e a, a di isão no conjun o dos núme os na u ais. Pa a
além disso, no a gumen o ap esen ado pelo es udan e há ambém e e ência à sequência de
núme os in ei os e às ca ac e ís icas de um sis ema de nume ação posicional decimal.
ADRIANA FERREIRA
144
4.2.5 Discussão ge al dos esul ados analisados
Depois de analisadas de alhadamen e as esoluções ap esen adas pelos es udan es pa a
esponde às a e as colabo a i as p opos as, assim como alguns episódios a gumen a i os
signi ica i os despole ados pela ealização das mesmas, u ge ago a o a amen o conjun o dos
esul ados ob idos com es e segundo ins umen o de ecolha de dados, de o ma a es abelece
elações e co elações en e os ipos de ep esen ação u ilizados, a na u eza das a e as e a
impo ância do abalho colabo a i o com os pa es.
Reco de-se que es as qua o a e as o am suge idas aos es udan es em qua o momen os
dis in os, dis anciados ce ca de duas semanas uns dos ou os, p ocu ando-se man e a
cons i uição dos g upos de abalho. Es as a e as, à semelhança do que já acon eceu com as
ques ões do es e que oi espondido indi idualmen e, o am o muladas de manei a a
pode em ambém se ap esen adas a alunos dos p imei o e/ ou segundo ciclos do Ensino
Básico, embo a, se espe asse, nes a aplicação a es udan es do Ensino Supe io , que se
ap o undassem alguns ópicos e se conside assem espos as mais comple as e complexas.
O desempenho dos es udan es nes e conjun o de qua o a e as colabo a i as oi
signi ica i amen e supe io ao alcançado com o es e inicial ealizado indi idualmen e. Como
não se conside a que as a e as i essem um meno g au de di iculdade, es e pa ece se já um
excelen e indício de que o abalho colabo a i o pode aze eno mes bene ícios pa a o
sucesso na ealização de a e as ma emá icas e en endimen o de di e en es p ocessos e
aciocínios pa a as esol e , o que ai ao encon o da impo ância da e lexão conjun a en e
á ios p o esso es, apon ada po Qua esma e Pon e (2015), que conjugam conhecimen os
p o enien es de á ias on es pa a se desen ol e em p o issionalmen e.
A p imei a ques ão oi conside ada acessí el po odos os g upos, o que pode explica a
axa de sucesso de cem po cen o. T a a-se, de ac o, de uma a e a mui o simples, com um
enunciado cla o que ap esen a apenas a in o mação necessá ia pa a de e mina uma espos a.
No en an o, conside amos que é uma ques ão in e essan e pa a a explo ação de di e en es
ipos de ep esen ações ma emá icas, já que conseguimos encon a ep esen ações pic ó icas,
icónicas, simbólicas ma emá icas a i mé icas e simbólicas ma emá icas algéb icas, ainda que
mui as delas enham sido conside adas na ca ego ia de ep esen ações mis as, po
combina em dois des es ipos. Pe cebemos que as ep esen ações in o mais o am ecu so
pa a no en a po cen o dos g upos como meio pa a o ganiza a in o mação do enunciado e
pe cebe qual o p ocedimen o ma emá ico mais o mal a ado a pa a de e mina a espos a. Os
esquemas cons uídos pa a es e im ( eco dem-se as igu as 46 a 49) de am segu ança aos
es udan es, pe mi i am-lhes ce i ica -se de que pensa am co e amen e e auxilia am na
a ibuição de signi icado aos esul ados pa cela es que iam ob endo com as ep esen ações
mais o mais.
Es a a e a ambém se a igu ou mui o p odu i a no momen o de discussão de p ocessos e
de a gumen ação, o que pode se explicado pela sua simplicidade. Cons a ámos que os g upos,
al ez po du ida em da apidez ou acilidade com que de e mina am a espos a ou pela
necessidade que sen i am de comp o a o esul ado ob ido, ap esen a am esoluções
al e na i as de g ande in e esse do pon o de is a didá ico. Explo a am-nas e e i a am
conclusões com alidade ma emá ica que lhes pe mi i am não só cons ui conhecimen o
sob e as ope ações e as suas p op iedades, como ambém ganha con iança em elação à
ma emá ica, o que se pode ans o ma num gos o c escen e pela disciplina.
Já a segunda ques ão não oi conside ada ão acessí el pelos di e en es g upos, apesa de
e em comum com a p imei a o ac o de não es a p op iamen e elacionada com nenhum
Análise de dados e esul ados
145
con eúdo especí ico da ma emá ica. Os es udan es en ende am es a a e a como um queb a-
cabeças que exigia alguma concen ação, mas apenas dois g upos não consegui am ap esen a
a espos a co e a. A di e sidade de ep esen ações e de es a égias pa a a sua esolução
ambém oi imensa, à semelhança do que já apon ámos em elação à p imei a ques ão, já que,
pa a além das ep esen ações simbólicas ma emá icas a i mé icas, as mais comuns, ambém
o am u ilizadas ep esen ações icónicas e simbólicas e bais, o a de o ma isolada, o a de
o ma in eg ada.
Com a pa ilha de di e en es esoluções a p opósi o des a a e a, os es udan es
econhece am o ganização e e icácia no uso de abelas, a i mando ainda que pe mi iam
ga an i que se analisa am odas as combinações possí eis. O diag ama em á o e, po sua
ez, não conduziu ao sucesso o g upo que en ou esol e a a e a a a és da sua u ilização
nem con enceu os es an es g upos no momen o de discussão cole i a. Impo a des aca as
ep esen ações simbólicas ma emá icas a i mé icas, p incipalmen e aquelas que se
sus en a am em esoluções po en a i a-e o, pois pa ece se e iden e que quando os g upos
não conseguem encon a um p ocedimen o sa is a ó io, acabam po não se capazes de
elenca odos os casos ou de se ce i ica em que o ize am, acabando po du ida se
de e mina am ou não a melho espos a. Nes e sen ido, es a a e a ambém acaba po se
e ela pe inen e, po da es a sensação a mui os es udan es que só se iam capazes de
jus i ica a sua espos a se cob issem odos os casos. Também nos pa ece de ele o des aca o
po encial que a análise des a a e a e e pa a o abalho das des ezas a gumen a i as, po e
p opo cionado, a ce a al u a, e lexões sob e a su iciência de um a gumen o e a ap esen ação
de con a-a gumen os, o que oi e lexo de alguma consciencialização po pa e dos
es udan es da es u u a de um a gumen o e da o ma como es e pode se e u ado.
Ou a ques ão que impo a des aca a p opósi o des a a e a e que já inha su gido na
an e io é a de e minação de um alo médio. Na p imei a a e a alguns g upos di idi am a
dis ância o al em duas pa es iguais e nes a a e a di idi am ambém em duas pa es iguais o
empo o al de con eção dos cinco p a os. No en an o, aquilo que já pa ecia acon ece na
a e a um o na-se ainda mais cla o nes a segunda: apesa de u iliza em es es alo es no seu
p ocesso de esolução, alguns es udan es não êm cla a noção do que ep esen am es es
alo es médios que de e minam, o que comp ome e, em pa e, o seu aciocínio e o p ocesso
de descobe a da espos a ace ada.
Podemos a i ma que es as duas p imei as ques ões, pela sua simplicidade e a as amen o
de um con eúdo especí ico da ma emá ica, que os es udan es pode iam domina ou não, o am
mui o p odu i as ao ní el das ep esen ações di e sas pa a a sua esolução e o igina am
episódios a gumen a i os mui o en iquecedo es.
Já as a e as ês e qua o de am menos jogo pa a di e en es esoluções po se em mui o
especí icas de um ópico conc e o da ma emá ica, conside ando-se, po an o, menos
adequadas pa a conhece di e en es ipos de ep esen ação e explo á-los, po o ma a ga an i
ap op iação, comp eensão e u ilização.
Ainda assim, pa a esponde à a e a ês a maio pa e dos g upos eco eu a
ep esen ações mis as, combinando ep esen ações icónicas, simbólicas e bais, simbólicas
ma emá icas a i mé icas e simbólicas ma emá icas algéb icas. No e-se que, à semelhança do
que já oi apon ado, as ep esen ações icónicas que associamos a um meno ní el de
o malidade são u ilizadas pelos g upos pa a in e p e a co e amen e a in o mação que cons a
no enunciado, o ganiza ideias e delinea uma es a égia de esolução.
ADRIANA FERREIRA
146
Es a a e a solici a a que se de e minasse quan os be lindes es a am num es ojo, após a
análise de uma sucessão associada ao núme o de be lindes colocados nos es ojos an e io es, o
que não ep esen ou qualque di iculdade pa a nenhum dos g upos. No en an o, pa a além
disso, e a suge ido que se ap esen asse uma conje u a sob e essa sucessão e oi aqui que os
g upos encon a am algumas ba ei as. Acei ámos á ios ipos de conje u as, uma ez que não
es a a explici o no enunciado o ipo de ese que se p e endia, pelo que su gi am g upos a
ap esen a a lei de o mação da sucessão eco endo a ep esen ações simbólicas e bais,
ou os que de ini am a sucessão po eco ência, com ecu so à álgeb a, e ou os que, ambém
a a és de ep esen ações do ipo algéb ico, encon a am o e mo ge al da sucessão.
As di iculdades com es e ópico das sequências e egula idades explicam ce amen e o
ac o de quase me ade dos g upos não e ido sucesso na ap esen ação da conje u a, não
conseguindo c ia nenhuma suges ão ou de inindo uma ese de o ma incomple a ou com
inco eções. Es e insucesso e i icou-se com os g upos que op a am pelas ep esen ações
ma emá icas simbólicas algéb icas, ep esen ações o mais com as quais, como já
mencionámos a iadas ezes, mui os des es es udan es sen em algum descon o o e
insegu ança.
Os episódios a gumen a i os o am cen ados na explo ação de conhecimen os p é ios de
alguns es udan es, endo-se e elado momen os o ma i os po excelência du an e os quais se
discu i am aciocínios e p ocedimen os pa a abalha com sucesso no âmbi o das sucessões,
pa ecendo ica cla o pa a mui os, a a és da explicação de ou os, como encon a o e mo
ge al de uma sucessão a i mé ica cuja azão seja cons an e, o que não acon ecia com a
sucessão da a e a.
Po im, a qua a a e a colabo a i a oi a que o iginou meno di e sidade no que aos
ipos de ep esen ação diz espei o, já que os g upos se dis ibuí am, quase de o ma
iguali á ia, pelas ep esen ações simbólicas ma emá icas a i mé icas e algéb icas. A ele ada
pe cen agem de g upos que op ou po esol e a a e a eco endo a ep esen ações algéb icas
é su p eenden e, p incipalmen e se pensa mos nos esul ados já ap esen ados. Toda ia,
conside amos que a na u eza do enunciado, com alguma dependência do cálculo algéb ico
pode e condicionado es as escolhas. Dá análise dos esul ados pe cebemos que o uso das
ep esen ações a i mé icas se aduz numa maio axa de sucesso: num o al de dez u ilizações
su ge apenas um g upo que não consegue ap esen a espos a e dois que ap esen am uma
espos a incomple a; es es núme os con as am com os qua o g upos que não consegui am
ap esen a espos a e com um que ap esen ou uma espos a incomple a, num o al de no e
g upos que u iliza am apenas ep esen ações algéb icas. Assim, a axa de sucesso de se en a
po cen o das ep esen ações a i mé icas é cla amen e supe io à de ce ca de qua en a e qua o
po cen o das ep esen ações simbólicas ma emá icas algéb icas. Os dois g upos que
oscila am en e ep esen ações dos dois ipos acabam po e sucesso com as ep esen ações
do ipo a i mé ico, o que e o ça os núme os já ap esen ados. No en an o, impo a des aca
que se um dos g upos iniciou com ep esen ações algéb icas e depois simpli icou pa a
ep esen ações a i mé icas, a a és das quais conseguiu de e mina a espos a ce a, o ou o
g upo iniciou com a c iação de hipó eses e sua e i icação, o que ca ego izamos como
ep esen ação a i mé ica; pos e io men e, pe cebendo que e iam de aze a e i icação de
inúme as hipó eses, p ocu a am o maliza a a e a a a és da álgeb a, mas as di iculdades
nes a á ea e alguns e os de aciocínio condiciona am o pe cu so; es a incapacidade de lida
com a iá eis ê-los ol a às ep esen ações a i mé icas, de inindo uma es a égia o ganizada
que lhes pe mi iu descob i a espos a.
Análise de dados e esul ados
153
elacionada com as edes de aciocínio que já emos de expe iências an e io es e com ou os
ipos de p oblemas que já esol emos, nos quais i emos ou não sucesso.
Po im, é de ealça que apenas um dos es udan es que escolheu a esolução a i mé ica
apon ou uma an agem da ep esen ação algéb ica, e e indo que é “mui o impo an e pa a
desen ol e o pensamen o ma emá ico”. Con udo, pelo con o o que lhe dá a esolução
a i mé ica, assume só a dispensa caso “ao im de mui as en a i as não conseguisse”.
4.3.3 Ques ão 3 - Os animais domés icos...
Pa a esponde a es a ques ão, os es udan es pude am escolhe en e a esolução (A), que
con inha ep esen ações simbólicas ma emá icas a i mé icas pa a de e mina o esul ado
p e endido, e a esolução (B) que con inha um diag ama de Venn, que se enquad a nas
ep esen ações icónicas.
O quad o 25 ap esen a as opções dos es udan es.
Quad o 25. Tipos de ep esen ações selecionadas pa a esponde à ques ão 3 (elabo ação p óp ia)
Tipo de ep esen ação
To al
Icónica
3
Simbólica ma emá ica a i mé ica
65
To al
68
Se na p imei a ques ão se e i icou que a esmagado a maio ia dos es udan es que
esponde am a es e es e inal p i ilegiou as ep esen ações icónicas em de imen o das
ep esen ações simbólicas ma emá icas algéb icas, nes a ques ão oi a esolução p esen e em
(B), com ecu so a ep esen ações icónicas, que oi cla amen e a menos escolhida. Na e dade,
apenas ês es udan es op a am po es a al e na i a, jus i icando que e a “ ácil de isualiza ” e
que se enquad a a com es a égias que ap ende am no deco e do Ensino Secundá io (um
dos es udan es az e e ência à disciplina de Ma emá ica Aplicada às Ciências Sociais,
disciplina de opção no Ensino Secundá io p incipalmen e nos cu sos de Línguas e
Humanidades) ou na Unidade Cu icula de Cul u a e Conhecimen o Ma emá ico, pa e
in eg an e do plano de es udos do 1.º ano cu icula da Licencia u a em Educação Básica (c .
Quad o 1).
Po ou o lado, os es udan es que op a am pelas ep esen ações a i mé icas conside am
que o diag ama de Venn p esen e na segunda hipó ese de espos a é “mais di ícil” e, segundo
ce ca de me ade dos es udan es, “con uso”. São á ios os que alam a é de “con usão isual”,
po en ol e mui as hipó eses di e en es (qua o, a sabe ), o que di icul a a co e a cons ução
do diag ama, conside ando odas as in e seções, e, pos e io men e, a sua comple a lei u a e
in e p e ação.
Há cinco es udan es que apon am a segunda esolução como a mais demo ada e
abalhosa, jus i icando que implica mais “pensamen o e aciocínio”, já que “não se conhece à
pa ida as in e seções” e pe cebe que “ an o az quais são os animais que êm os meninos
com dois animais não é ápido”. Ainda nas des an agens apon adas pa a a ep esen ação do
ipo icónico, con am-se ês es udan es que conside am que se a a uma o ma de ep esen a
mais “deso ganizada” e ou os ês que a i mam “nem consigo comp eende numa p imei a
análise”.

ADRIANA FERREIRA
154
No en an o, não o am apenas pon os nega i os os associados à espos a (B). Há seis
es udan es que e e em que es a esolução “ ambém é ácil” e um que se mos a con ic o que
“o diag ama de Venn é uma ó ima opção pa a esol e es e ipo de p oblemas”. Pa a além
disso, um es udan e a en o e e e que a a és da esolução com o diag ama conseguimos
“ ecolhe dados que com a esolução (A) não emos”.
Pa a ês es udan es a cons ução do diag ama assen a num “ aciocínio mais o mal”
quando compa ada com a esolução a i mé ica, possi elmen e po que es es es udan es
associa am a sua sensação de maio g au de di iculdade a um maio o malismo.
Concen emo-nos ago a nas jus i icações apon adas pelos es udan es que op a am pelas
ep esen ações simbólicas ma emá icas a i mé icas sob e as mesmas. O núme o eduzido de
cálculos necessá ios e a sua simplicidade, is o é, o ac o de con e apenas ope ações simples
de adição e sub ação, é um dos g andes bene ícios des a esolução apon ado po mui os
es udan es. São, como e e em, “con as básicas, que odos comp eendem”, que azem des e
um p ocesso “mais ápido”, “simples e di e o”, in ui i o” e “mui o p á ico”. Há ês
es udan es que associam es a e e ida acilidade ao ac o de se uma esolução “passo a passo”
que pode i sendo cons uída “con o me amos lendo o enunciado”. Há á ios es udan es que
apon am es a esolução como a “mais acessí el” ou a “menos abalhosa, sem dú ida” e cinco
que e e em a segu ança que es a esolução lhes ansmi e, com a ce eza de que cada passo
que es á a se dado es á co e o.
4.3.4 Ques ão 4 - O núme o mis é io...
Es a úl ima ques ão ap esen a a como al e na i as de esolução uma equação do p imei o
g au, na qual a incógni a ep esen a a o alga ismo das unidades do nume al que se p e endia
de e mina , ou um p ocesso a i mé ico de cons ução de en a i as e sua e i icação.
Podemos conhece as escolhas dos es udan es a a és do quad o 26 que ap esen amos de
seguida.
Quad o 26. Tipos de ep esen ações selecionadas pa a esponde à ques ão 4 (elabo ação p óp ia)
Tipo de ep esen ação
To al
Simbólica ma emá ica a i mé ica
57
Simbólica ma emá ica algéb ica
9
Nenhuma das opções
2
To al
68
Con a am-se no e es udan es que op a am pela ep esen ação simbólica ma emá ica
algéb ica, cinquen a e se e que escolhe am as ep esen ações simbólicas ma emá icas do ipo
a i mé ico e dois que a i ma am se incapazes de escolhe uma das al e na i as pelo g au de
di iculdade de ambas, apon ando que não comp eendiam nenhum dos p ocessos nem os
conside a am in ui i os.
Os es udan es que assumem es a con o á eis com a ma emá ica, com a álgeb a e com a
u ilização de incógni as o am os que op a am pela opção (A), a p imei a al e na i a de
espos a. Es es conside am a cons ução da equação o p ocesso que exige mais concen ação e
cuidado na lei u a do enunciado, mas ga an em que depois de a cons ui udo é “mui o mais
ácil”. Pa a além disso, apon am es a esolução como “a mais o mal” e aquela que eco e a
“um aciocínio e um pensamen o mais es u u ado”. Es es es udan es ambém apon am as
Análise de dados e esul ados
155
des an agens de uma esolução com ecu so à en a i a-e o, lemb ando que pode o na -se
um “p ocesso demo ado, p incipalmen e quando não dá ce o à p imei a, nem à segunda, nem
à e cei a...”. Há um des es es udan es que, embo a conside e a esolução (A) a “mais
adequada pa a es e p oblema”, acaba po e e i que a esolução (B) es á “bem es u u ada” e
que “quase nem é en a i a-e o, po que pensa-se em ês hipó eses, mas não se az as con as
pa a as ês”. Es e es udan e con inua explicando que “o que sabemos das pis as dá pa a
elimina os ou os dois núme os”, pelo que se a a de uma esolução “mais simples, mas
ce a”.
Já os es udan es que op a am pela esolução a i mé ica êm g andes di iculdades em
apon a bene ícios à ep esen ação algéb ica. Temos apenas ês deles que e e em a maio
adequabilidade de uma esolução des e úl imo ipo pa a si uações p oblema que en ol am
maio es quan idades; ambém há cinco es udan es que a conside a am mais o mal, o que
egis amos como uma an agem des e ipo de ep esen ação.
Po ou o lado, mui os des es es udan es e elam di iculdades no domínio de
ep esen ações com es e ní el de abs ação e o malidade, o que se e i ica quando se con am
ês es udan es que assumem não comp eende es a esolução algéb ica e ainda mais ês que
e e em não sabe “ esol e p oblemas com incógni as”; ou os ês e e em apenas p e e i
“ esol e sem a incógni a”; há ainda mais qua o que apon am descon o o com a esolução de
equações; ambém de salien a os dois es udan es que a i mam “não gos o de esol e assim”.
Algumas des as jus i icações acabam po se mais explíci as e mos a -nos os eceios des es
es udan es. Na e dade, alguns são capazes de econhece di iculdade no momen o de
cons ução da equação, a i mando que exige “mui a concen ação” e um maio domínio do
“conhecimen o ma emá ico”. Há dois es udan es que assumem que nes a ques ão em conc e o
há “mui os concei os en ol idos, como dezenas e unidades, o iplo, a e ça pa e e o décuplo”,
o que di icul a es e p imei o passo. Também há um es udan e que apon a a ques ão “dos
pa ên esis mal colocados” ou de “ oca um dos sinais”, o que comp ome e depois oda a
esolução. Há ainda aqueles que a i mam comp eende a equação cons uída ao analisá-la na
esolução, embo a enham assumido incapacidade pa a a cons ui sozinhos. Ou os
es udan es, ao con á io des es, e e em que a di iculdade “a é nem é em aze a equação”,
mas sim na sua esolução, uma ez que es a implica conhecimen o e aplicação de algumas
p op iedades e de “ eg as das equações” que alguns deles não dominam ou não se eco dam.
Es es es udan es acabam, po an o, po en e eda pela esolução a i mé ica, apon ando
a iados mo i os pa a as suas escolhas. Ce ca de me ade dos que segui am essa al e na i a (B)
u ilizam a exp essão “mais conc e a” ou ou a simila pa a ca ac e iza a sua escolha e a
compa a com a ou a que inham. Alguns explicam melho , e e indo que se conseguem
“logo ape cebe de que núme os es amos a ala ”, o que acaba po se de e minan e pa a
mui os. Ou o epa o ela i o a es a esolução é a sua o ganização, su gindo mui os ela os
como “es á udo mui o bem o ganizado e explicado” ou “pa ece um passo a passo que dá pa a
pe cebe ” ou “a explicação es á pela o dem das pis as”.
Há alguns es udan es que associam es a esolução ao seguimen o de um “ aciocínio
lógico” que exige “pouca ma emá ica” ou “não p ecisa de conhecimen os p é ios”. Es a
ques ão es á elacionada com ou a apon ada po poucos que e e i am que “es a es a égia
não en ol e g andes con as”, pelo que é “mais ácil e ápida”. Po im, impo a e e i que há
ês es udan es que a conside am “mais p á ica, p incipalmen e se es i e mos a ala de
esol e is o com c ianças”.
ADRIANA FERREIRA
156
4.3.5 Discussão ge al dos esul ados analisados
Com es e es e inal os pa icipan es nes e es udo pude am con ac a com esoluções
dis in as pa a cada ques ão que não inham sido p oduzidas pelos p óp ios. P e endia-se que
ossem capazes de comp eende di e en es ipos de ep esen ações, umas mais in o mais do
que ou as, e que selecionassem a opção que mais se assemelhasse à sua o ma de pensa a
ques ão. Pa a além de escolhe em uma ep esen ação, ambém oi suge ido que jus i icassem
a sua decisão, apon ando o mo i o pelo qual não se iden i ica am com a ou a al e na i a de
espos a.
Com a p imei a ques ão conseguimos con i ma o que já cons a ámos na análise do es e
inicial: pa a es e ipo de a e a, es es es udan es p i ilegiam as ep esen ações icónicas, com
ca á e mais in o mal. As jus i icações apon adas pelos pa icipan es pe mi em-nos conclui
que, pa a além de simples e in ui i as, as ep esen ações icónicas êm eno me po encial po
pe mi i em o ganiza a in o mação, encon a um pe cu so de esolução céle e e da ga an ias
aos es udan es de que de e mina am a espos a co e a. Es as an agens apon adas con as am
com a ca ac e ização das ep esen ações simbólicas ma emá icas algéb icas, que, nes e
con ex o ma emá ico em conc e o, são iden i icadas como mais complexas. Ainda assim, é de
no a que á ios es udan es conside am es e úl imo ipo de ep esen ação mais o mal e
acili ado num enunciado que implique g andes quan idades.
Há uma e lexão mui o in e essan e que gos a íamos aqui de des aca pela sua pe inência
no âmbi o da in es igação. As duas ep esen ações podem comple a -se, na medida em que
podemos u iliza a ep esen ação mais in o mal pa a o ganiza a in o mação e acili a a
conceção de uma ep esen ação o mal de ca á e algéb ico com mais segu ança.
A segunda ques ão já só disponibiliza a aos es udan es pe cu sos de esolução com
ep esen ações o mais, sendo as duas do ipo simbólico ma emá ico, uma a i mé ica e ou a
algéb ica. Conside amos se su p eenden e que mais de um e ço dos es udan es enham
op ado pela ep esen ação algéb ica, em de imen o da a i mé ica, mas encon ámos nas suas
jus i icações alguns mo i os que podem explica es e alo . Conscien es de que se encon am
no Ensino Supe io , es es es udan es p ocu am esoluções o mais e mais di e as ou, se
p e e i mos, e icien es. Em con as e com a al e na i a de esolução po en a i a-e o, que se
enquad a nas ep esen ações simbólicas ma emá icas a i mé icas, os pa icipan es conside am
que a esolução algéb ica ga an e a descobe a da solução e de o ma mais ápida. É de no a
que á ios es udan es que apoiam es a aceção a i mam gos a de álgeb a e e ela i a p á ica
nessa á ea.
Po ou o lado, é essencial e e i que á ios es udan es que op a am pelas ep esen ações
algéb icas na ques ão an e io , nes a segunda ques ão não man i e am a sua escolha,
p i ilegiando an es as ep esen ações a i mé icas. Pa ece-nos que es es es udan es es ão
conscien es de que as duas al e na i as de espos as são o mais e que se elacionam com o
conhecimen o ma emá ico o mal que possuem. Assim, p i ilegiam as ep esen ações o mais,
mas den o des as sen em mais segu ança com as ep esen ações a i mé icas do que com as
algéb icas.
Ou a e lexão pe inen e que es a ques ão des e es e inal le an a é a p opósi o da
elação en e o ipo de a e a e o ipo de ep esen ação ma emá ica u ilizado. Pa ece es a cla o
que o enunciado des a ques ão, pela sua na u eza algéb ica, conduz os es udan es a
p i ilegia em o uso de ep esen ações o mais, o que já ínhamos cons a ado na análise des a
ques ão no es e inicial, na qual, eco de-se, a esmagado a maio ia op ou po ep esen ações
Análise de dados e esul ados
157
o mais. Também aí ínhamos um p edomínio das ep esen ações a i mé icas. O dado no o
que ecolhemos com es e es e es á elacionado com o impac o da i ência pessoal de cada
um na esolução de uma a e a ma emá ica, e o çando a ideia de que cada es udan e cons ói
as suas edes de conhecimen o em unção das suas expe iências em ma emá ica e do seu
sucesso ou insucesso. Pa a o mesmo enunciado emos es udan es a e e i que es e suge e a
cons ução de um sis ema de equações, a i mação p o e ida po es udan es que se sen em
con o á eis com a álgeb a, e ou os que e e em que a lei u a da ques ão os eme e de
imedia o pa a a c iação de hipó eses e sua e i icação, is o é pa a uma es a égia de en a i a-
e o na qual as ep esen ações p oduzidas são do ipo a i mé ico. Es as duas isões con i mam
que a pa do ipo de a e a ambém os esul ados que se alcança am no passado com ou as
si uações ma emá icas in luenciam a escolha dos ipos de ep esen ação.
A e cei a ques ão ambém ajuda a con i ma a in luência do ipo de a e a na escolha do
ipo de ep esen ação. O p edomínio pelas ep esen ações do ipo simbólico ma emá ico
a i mé ico es á de aco do com as esoluções indi iduais p oduzidas pa a esponde ao es e
inicial, no qual ambém es as o am a escolha da maio ia dos es udan es. No en an o, con as a
com os esul ados ap esen ados pa a a ques ão um, que no es e indi idual, que nes e es e
inal, onde concluímos que os es udan es p i ilegia am as ep esen ações icónicas. Nes e
desa io em conc e o, a ep esen ação icónica ap esen ada (o diag ama de Venn, a sabe )
acaba a po implica mais conhecimen o ma emá ico es u u ado do que a ep esen ação
a i mé ica, que eduzia a ques ão a dois cálculos ho izon ais. A ap esen ação das duas
al e na i as, lado a lado, deixa cla o pa a p a icamen e odos os es udan es que o
p ocedimen o a i mé ico pe mi e esol e a ques ão de um modo simples e o ganizado, ao
con á io do ecu so ao diag ama de Venn, que implica mais aciocínio. Ainda assim,
conside amos que o con ac o com es a ep esen ação e a sua comp eensão são essenciais pa a
a a i idade ma emá ica, pelo que acaba po se p eocupan e o núme o de es udan es que
a i mam não consegui comp eende es a es a égia de esolução.
Po im, a qua a ques ão, à semelhança da segunda, ol a a coloca os es udan es a
escolhe en e duas ep esen ações o mais: ep esen ações simbólicas ma emá icas
a i mé icas ou algéb icas. A escolha ol a a ecai p edominan emen e sob e as p imei as,
sendo a di e ença ainda maio compa a i amen e aos dados ecolhidos com a ques ão dois.
Es es alo es pe mi em-nos con i ma que en e os dois ipos de ep esen ações simbólicas
ma emá icas a maio ia des es es udan es p e e e os p ocedimen os a i mé icos, apa en emen e
po que não exigem an os conhecimen os p é ios, man endo, oda ia, o ca á e o mal. De
qualque modo, um núme o signi ica i o de es udan es ol a a econhece que a esolução
ap esen ada com ecu so às ep esen ações a i mé icas só é uma al e na i a iá el po que,
nes e caso conc e o, o núme o de hipó eses é eduzido, o que possibili a a cons ução de
hipó eses e o seu es e, naquilo que acaba po se iden i icado po alguns como uma esolução
po en a i a-e o. Re o ça-se, assim, o a as amen o de ep esen ações algéb icas,
p incipalmen e po pa e dos es udan es que assumem di iculdades nes e âmbi o, o nando-os
insegu os a ope a com es e ní el de o malismo ou a é incapazes.
Es es esul ados pa ecem ambém combina com os dados ecolhidos e analisados com a
mesma ques ão do es e inicial. Pa a além do p edomínio das ep esen ações a i mé icas já
e e ido, ambém obse ámos que odos os es udan es que op a am pelas ep esen ações
algéb icas nesse p imei o ins umen o acaba am po e insucesso na sua esolução, não endo
nenhum deles conseguido de e mina a espos a ce a. Pa a além disso, impo a menciona os
dois es udan es que assumi am não conside a nenhuma das duas esoluções ap esen adas
ADRIANA FERREIRA
158
in ui i a ou ácil de comp eende , o que já pode ia se en endido pelo ele ado núme o de
es udan es que deixou a ques ão em b anco no es e inicial.
Po udo is o, en endemos que o ac o de os es udan es en e eda em po ep esen ações
mais in o mais ou mais o mais depende mui o da na u eza da a e a ma emá ica que lhes é
ap esen ada. As ques ões um e ês ap esen a am-nos, a es e espei o, dois cená ios que o
comp o am: em si uações simples, nas quais o p óp io enunciado con ém in o mação de ácil
o ganização isual, os es udan es p i ilegiam as ep esen ações in o mais, como as do ipo
icónico; no en an o, são capazes de apon a des an agens a es e ipo de ep esen ações e
comp eende que em algumas si uações ma emá icas elas acabam po di icul a o p ocesso,
e elando-se mais simples, ápido e in ui i o segui um p ocedimen o mais o mal a a és das
ope ações a i mé icas, como acon eceu na ques ão ês.
Ao mesmo empo, impo a ambém des aca que, en e duas esoluções mais o mais,
uma com ca á e a i mé ico e ou a com ca á e algéb ico, já não encon amos elação en e a
escolha e o ipo de a e a ma emá ica. As ques ões dois e qua o ap esen a am es es dois ipos
de al e na i as e a maio ia dos es udan es op ou pelas ep esen ações simbólicas ma emá icas
a i mé icas em ambas as ques ões.
As jus i icações dos es udan es pa a es a p e e ência p endem-se mui as ezes com a
insegu ança no campo do conhecimen o ma emá ico, p incipalmen e no conhecimen o e
domínio de p ocedimen os mais o mais, mui as ezes elacionada com expe iências
nega i as com a disciplina que já podem i a acumula -se há á ios anos. Con o me já
apon a am Viei a e al. (2022), numa in es igação sob e o conhecimen o ma emá ico de
u u os p o esso es, ambém aqui nos ape cebemos que a elação com a ma emá ica se ai
cons uindo ao longo do pe cu so académico e que as más expe iências e o insucesso podem
condiciona o gos o po es a á ea do sabe e implica mui o mais abalho pa a se alcança a
comp eensão de concei os, p ocedimen os, aciocínios, o mas de ep esen a . Ac edi amos
que pa a sup imi es as limi ações que di icul am ce amen e a capacidade de econhece
alhas em esoluções ou no p óp io aciocínio, é essencial ga an i que os u u os p o esso es
na sua o mação inicial esol em a e as ma emá icas que pode ão ap esen a u u amen e aos
seus alunos. A es e p opósi o, Ta o (2018) e e e que os p og amas de o mação inicial de
p o esso es de em in eg a os ópicos ma emá icos a explo a em con ex os da ealidade
escola na qual os u u os p o esso es a ua ão, o que pe mi i á uma plani icação, in e enção e
e lexão sob e os mesmos.
Pa ece-nos, po an o, que es e es e inal ap esen ou esoluções dis in as aos es udan es, o
que con ibuiu pa a que conhecessem modos de pensa e ep esen a al e na i os aos seus e
e en ualmen e pa a que adqui issem maio lexibilidade pa a ansi a en e di e en es
ep esen ações ma emá icas, o que os do a á, de aco do com Alle a o e Onuchic (2019), de
um conjun o de e amen as que podem se impo an es e mui o pode osas po lhes
o e ece em opções al e na i as e c ia i as pa a esol e p oblemas. Pa a além des a ansição
en e modos de ep esen a dis in os, os Common Co e S a e S anda ds o Ma hema ics
(NGA & CCSSO, 2010) apon am a impo ância de encon a elações e co elações en e eles,
po exemplo en e uma desc ição e bal ou, se p e e i mos uma ep esen ação simbólica
e bal, e uma equação ( ep esen ação simbólica ma emá ica algéb ica). Nes a linha de ideias,
es e es e inal, ainda que pon ualmen e, já aça algum caminho, uma ez que nele já
encon ámos es udan es que o am capazes de elaciona duas ep esen ações dis in as,
ni elando-as pelo seu g au de o malismo e comp eendendo o papel ulc al da menos o mal
na capacidade de desen ol e co e amen e a mais o mal.

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5 CONCLUSÕES E REFLEXÕES FINAIS
Nes e capí ulo inal, ap esen a-se uma sín ese da in es igação, eco dando os obje i os do
es udo e p ocu ando da espos a a cada um deles. Pa a além disso, apon am-se algumas
limi ações e suge em-se u u as linhas de in es igação.
O abalho conscien e e consis en e das capacidades ans e sais ma emá icas, como a
esolução de p oblemas, as ep esen ações ma emá icas e o aciocínio êm, há mui os anos,
econhecida impo ância no âmbi o da educação ma emá ica. É essencial que se p omo am
p á icas capazes de desen ol e capacidades e p o iciências nos nossos alunos. Ac edi amos,
a pa de á ios es udos que êm indo a se publicados, que, pa a isso, se de em epensa
algumas p á icas no Ensino Supe io , na o mação inicial de p o esso es do Ensino Básico, no
sen ido de inclui a i idades que do em es es es udan es, u u os p o esso es, de e amen as
que lhes pe mi am ealiza esse abalho.
A p esen e in es igação pega nessa p emissa, p opondo-se a analisa os di e en es ipos
de ep esen ações u ilizados po es udan es da Licencia u a em Educação Básica em unção
do ipo de a e as ma emá icas que lhes são ap esen adas e a e le i sob e a a gumen ação a
que eco em pa a comunica , e i ica , explica , sis ema iza as suas ideias e os
p ocedimen os aos quais eco e am pa a esol e as e e idas a e as.
Assim, oi de inido como p imei o obje i o iden i ica os ipos de ep esen ações
ma emá icas u ilizadas pelos es udan es da LEB e a alia a axa de sucesso associada a cada
um deles. Pa a al, o am de inidas seis ca ego ias de análise de dados, sendo que cinco delas
co espondem a dis in os ipos de ep esen ações ma emá icas e a sex a a uma combinação de
dois ou mais ipos an es ca ego izados. Os es udan es pa icipan es nes a in es igação
u iliza am odos os ipos de ep esen ações, embo a p edominem cla amen e as ep esen ações
o mais que de inimos po ep esen ações simbólicas ma emá icas a i mé icas. A maio ia
eco e a cálculos ho izon ais, ealizando uma ope ação de cada ez. A ní el indi idual, a axa
de sucesso no uso des as ep esen ações acaba po se e ela abaixo do espe ado, a ingindo
apenas ce ca de sessen a e qua o po cen o. Há um núme o ainda signi ica i o de es udan es
que inicia es e ipo de ep esen ações, mas não consegue encon a espos a pa a as a e as, e
um alo ligei amen e in e io que co esponde aos es udan es que ap esen am espos as
inco e as. Es es úl imos mos am-se, po an o, incapazes de e i ica as suas espos as inais
u ilizando es e ipo de ep esen ação.
Ao esol e em a e as abalhando em g upos, a axa de sucesso das ep esen ações
simbólicas ma emá icas a i mé icas aumen a pa a ce ca de oi en a e dois po cen o. Nas
a e as que o am esol idas colabo a i amen e, es as ep esen ações já não são as mais
u ilizadas, dando luga de des aque às ep esen ações mis as, impo ando, oda ia, e e i que
as ep esen ações a i mé icas igu am na maio pa e des es híb idos, sendo combinadas
essencialmen e com ep esen ações in o mais, como as ep esen ações pic ó icas ou as
ep esen ações icónicas. Tan o no abalho indi idual como no abalho em pequenos g upos,
ADRIANA FERREIRA
160
os es udan es pa ecem e mais sucesso com a u ilização das ep esen ações mis as, do que
com o uso exclusi o das ep esen ações simbólicas ma emá icas a i mé icas.
Po sua ez, as ep esen ações icónicas são as segundas mais u ilizadas na esolução de
a e as de um modo indi idual. T a a-se de um ipo de ep esen ação a a és do qual os
es udan es são bem sucedidos, já que a sua axa de sucesso ul apassa os no en a po cen o.
No en an o, as ep esen ações icónicas não o am ecu so na esolução das a e as
colabo a i as de um modo exclusi o. Como já oi e e ido, o am u ilizadas po alguns g upos
naquilo que ca ego izamos como ep esen ações mis as, endo sido a iculadas com
ep esen ações simbólicas e bais, simbólicas ma emá icas a i mé icas e simbólicas
ma emá icas algéb icas. Nos dois p imei os casos, as ep esen ações mis as le a am odos os
g upos ao sucesso, o que não acon eceu com o úl imo caso, em que es as ep esen ações
incluíam de algum modo p ocessos algéb icos.
De ac o, as ep esen ações simbólicas ma emá icas algéb icas são as que ap esen am
semp e axas de sucesso mais baixas, pa a além de se em ambém, endencialmen e, das
menos u ilizadas. A maio ia dos es udan es não p i ilegia es e ipo de ep esen ação o mal,
mas, quando o azem, o mais eco en e é não consegui em de e mina qualque espos a ou
ap esen a em espos as incomple as. Ou a si uação ambém eco en e oi inicia em a
esolução com ep esen ações algéb icas, mas, po incapacidade de da con inuidade ao
aciocínio, abandoná-las e segui em po ep esen ações que lhes ga an issem mais segu ança.
Ainda assim, mesmo quando u ilizadas em ep esen ações mis as, as ep esen ações com
cunho algéb ico pa ecem condena um núme o mui o signi ica i o de es udan es ao insucesso.
Es es es udan es pa ecem não sen i con o o com ep esen ações com es e ní el de
o malidade, emendo a cons ução de uma equação ou o abalho com incógni as. A
insegu ança em de maus esul ados com a ma emá ica, no ge al, ou de más expe iências em
si uações algéb icas, em pa icula , e pa ece e mui o impac o no desempenho dos
pa icipan es des e es udo.
Nos momen os de discussão inal p opo cionados pa a deba e ep esen ações, p ocessos
e esul ados, a g ande maio ia dos es udan es acaba po a i ma comp eende a o malização,
depois de ap esen ada e explicada pelos pa es, embo a assuma que não se ia um pe cu so
escolhido po conside a que é mais di ícil de conc e iza e mais susce í el a e os no deco e
da esolução.
Po im, as ep esen ações pic ó icas, bem como as ep esen ações simbólicas e bais,
são u ilizadas de o ma esidual, apa ecendo mais nas ep esen ações mis as, do que de o ma
exclusi a numa esolução. Ainda assim, os es udan es que a elas eco em ap esen am
esul ados mui o sa is a ó ios.
O segundo obje i o da in es igação p opunha-se a elaciona os ipos de ep esen ações
ma emá icas u ilizadas com a na u eza da a e a ma emá ica que é p opos a. Pe cebemos,
desde logo e como se ia de espe a , que as a e as com enunciados mais simples e com
e en uais e e ências a algum elemen o isual o am esol idas com p ocessos menos o mais
e, po an o, endencialmen e com ecu so a ep esen ações do ipo pic ó ico ou icónico. En e
es es dois ipos de ep esen ação, encon ámos uma endência pa a o uso das ep esen ações
pic ó icas nos es udan es mais insegu os no que à ma emá ica diz espei o. Ao mesmo empo,
podemos conclui cla amen e que o am es as a e as mais simples e que à pa ida pode iam
pa ece as menos desa ian es endo em con a que es a am a se ap esen adas a es udan es do
Ensino Supe io as que de am mais jogo pa a a explo ação de dis in os ipos de
Conclusões e e lexões inais
161
ep esen ações ma emá icas. Podemos a i má-lo po que, po um lado, oi nas esoluções
des as a e as que apa eceu maio di e sidade de ep esen ações e, po ou o, es as
p opo ciona am discussões inais mui o icas ao ní el da capacidade a gumen a i a e do
espí i o c í ico em elação ao p ocesso e às suas an agens e des an agens e ao esul ado.
Assim, pa ece-nos que as a e as acessí eis, mais elemen a es, a as adas de con eúdos
especí icos da ma emá ica e sem e g ande dependência algéb ica podem se essenciais pa a
ga an i o con ac o com di e en es ipos de ep esen ações ma emá icas e possibili a a
e lexão sob e as po encialidades de cada uma delas.
A pa dis o, é impo an e menciona que ao esol e a e as que podem se ap esen adas a
alunos do p imei o e segundo ciclo, u u os alunos des es u u os p o esso es, es es úl imos
pude am ap ende de uma o ma mui o signi ica i a e com sen ido sob e os con eúdos que
ão ensina , sob e p ocessos de aciocínio, sob e di e en es ipos de ep esen ação. As
di iculdades que encon a am podem se as di iculdades que os seus u u os alunos
encon a ão, o que ga an e que se es ão a p epa a com mais consis ência pa a aquele que se á
o seu papel de p o esso es, que no que diz espei o à plani icação de a i idades p omo o as
de cons ução de conhecimen o, que no âmbi o da o ganização e dinâmica da sala de aula. Os
pa icipan es econhece am a impo ância da esolução de p oblemas como es es e
alo iza am-nos pa a a explo ação de mé odos in o mais pa a a a i idade ma emá ica. De
ac o, conside amos que es as a e as se e ela am mui o in e essan es pa a que os es udan es
expe imen assem na p óp ia pele o papel de ele o que ep esen ações e p ocessos in o mais
podem e pa a a a i idade ma emá ica, dando-lhes a ce eza de que pe mi em a cons ução de
conhecimen o, mesmo pa a aqueles que não os econheciam como p óp ios da disciplina.
Es es es udan es ambém o am sendo capazes de econhece alo a es as ep esen ações
in o mais pa a o desen ol imen o de ou os p ocessos e es a égias g adualmen e mais
o mais.
Po ou o lado, as a e as mais complexas, que implica am esoluções em á ios passos e
mais do que um alo desconhecido, aquelas que ap esen a am dependência algéb ica,
conduzi am a maio ia dos es udan es a op a po esoluções mais o mais, nas quais
p edomina am as ep esen ações simbólicas ma emá icas do ipo a i mé ico ou do ipo
algéb ico. Embo a i essem pe mi ido discu i ópicos do p og ama da unidade cu icula e
analisa algumas esoluções mais es u u adas, pa ecem-nos menos adequadas pa a o
p opósi o de conhece e analisa di e en es ipos de ep esen ações e, assim, p epa a melho
es es es udan es, u u os p o esso es, pa a alunos que os i ão ce amen e desa ia com o mas
de pensa em ma emá ica al e na i as.
Conscien es que as ep esen ações ma emá icas podem se u ilizadas com unções mui o
dis in as, de inimos como e cei o obje i o des a in es igação a e i quais as unções das
ep esen ações u ilizadas pelos es udan es da Licencia u a em Educação Básica, p ocu ando
pon es en e os ipos de ep esen ação ca ego izados e a espos a à pe gun a “pa a quê?”.
Es es es udan es u iliza am as ep esen ações pa a di e sos ins, desde o ganiza a in o mação
eiculada no enunciado da a e a pa a melho comp eende o p oblema ou auxilia na
de inição de uma es a égia, a é conc e iza aciocínios, explo a di e en es possibilidades e
egis á-las, e i ica ou e u a espos as ou comunica ideias aos pa es e/ ou p o esso es. Com
as ques ões do es e inicial indi idual, bem como com as a e as colabo a i as, pe cebemos
que es es es udan es p i ilegiam o uso de ep esen ações in o mais, p incipalmen e as
icónicas, pa a o ganiza as ideias p esen es no enunciado, p ocedendo àquilo que é a
ADRIANA FERREIRA
162
ansposição de in o mação em linguagem co en e pa a linguagem simbólica. Es e ipo de
ep esen ação o na cla o o desa io que lhes é p opos o e, po an o, acili a a de inição de
es a égias de esolução. As ep esen ações são assumidamen e essenciais pa a a co e a
in e p e ação do p oblema, uncionando como uma e amen a pa a o aciocínio ma emá ico,
já que são á ios os ela os simila es a “o ganiza assim os dados ajuda-me a pensa ” ou “só
depois de aze o esquema é que pe cebi que con a inha de aze ”. No e-se que alguns
es udan es conseguem conc e iza es a p imei a e apa sem qualque ipo de ep esen ação
ex e na.
Pa a coloca em p á ica as es a égias de inidas, os es udan es já op am, na sua maio ia,
po ep esen ações simbólicas ma emá icas com maio ní el de o malismo. Assim, as
ep esen ações a i mé icas e as ep esen ações algéb icas su gem essencialmen e pa a
p ocu a uma espos a pa a a a e a, ma e ializando-se, po exemplo, em cálculos ho izon ais
ou algo i mos ou na cons ução e esolução de uma equação ou de um sis ema de equações.
Os esquemas, diag amas ou abelas, que ca ego izámos como ep esen ações icónicas,
ambém são u ilizados com es e im, embo a ep esen em uma pequena mino ia.
As ep esen ações simbólicas ma emá icas a i mé icas ambém cump em uma ou a
unção na esolução de a e as pa a os pa icipan es nes e es udo: e i ica ou e u a espos as.
Po a iadas ocasiões, es as ep esen ações o am u ilizadas pelos es udan es, depois de
encon a em uma espos a, pa a con i ma a sua alidade. Ou os usa am-nas pa a ap esen a
con a-exemplos e, dessa o ma, disco da em das espos as ap esen adas pelos colegas. Nas
duas si uações, ize am-no a a és de cálculos simples, um de cada ez, de manei a a não
c ia di iculdades ac escidas e a da um maio g au de ce eza.
Embo a e elassem comp eensão ápida semp e que se discu iam ep esen ações icónicas,
p edominando exp essões como “mui o in ui i a” ou “supe ácil”, a e dade é que ambém
o am as ep esen ações a i mé icas, mais o mais, as que p edomina am na comunicação de
ideias e nos episódios a gumen a i os. Po aquilo que ex e io iza am es es es udan es,
ac edi ámos que o ize am po sen i em alguma con iança com es e ipo de ep esen ação,
mas ambém mui o po que sen em que são ep esen ações mais adequadas ao ní el de ensino
em que se encon am, conside ando que o que se espe a deles é essa capacidade de ap esen a
ideias ma emá icas de o ma cla a, num discu so o ganizado e o mal, que inclua es u u as
especí icas da ma emá ica. Ainda no que à comunicação diz espei o, ambém concluímos que
as ep esen ações simbólicas e bais o am u ilizadas pelos es udan es pa a ga an i e icácia
nes a compe ência. P incipalmen e quando combinadas com ou os ipos de ep esen ações,
es as azem com que os es udan es que as usam, po ezes não ce os de que enham u ilizado
uma es a égia cla a ou adequada, se ce i iquem que quem ai analisa a sua esolução a
en ende passo a passo.
Ou a e en e mui o ma can e des a in es igação é a esolução de a e as ma emá icas
em pequenos g upos, mo i o pelo qual se de iniu um qua o obje i o que consis e em
a e igua de que o ma é que o abalho colabo a i o pode a o ece a u ilização de
ep esen ações ma emá icas di e sas, p og essi amen e es u u adas. Conside ámos que
ecolhemos indícios pa a es e obje i o não apenas na esolução das a e as ma emá icas, mas
ambém nos momen os de discussão de esul ados p opo cionados no inal das sessões,
mesmo naquelas em que o abalho de explo ação da ques ão e esolução oi ealizado
indi idualmen e.