´
Algeb a I
Cu so 2018/2019 1.
Jos´
e G´
omez To ecillas
Depa amen o de ´
Algeb a
Uni e sidad de G anada
1 e si´
on: 15 de diciemb e de 2018
´
Indice gene al
Cap´
ı ulo 1. Fundamen os 5
1.1. Conjun os 5
1.2. Co espondencias y aplicaciones 7
1.3. Monoides. Los n ´
ume os na u ales 9
1.4. Relaciones de equi alencia y o den. Cons ucci´
on de los
en e os. 12
Cap´
ı ulo 2. Anillos 17
2.1. Nociones de g upo y anillo. El anillo de los en e os. 17
2.2. A i m´
e ica En e a 20
2.3. Ideales. Anillos cocien es. Ecuaciones en cong uencias 25
2.4. Subanillos. Homomo ismos. Unidades 30
Cap´
ı ulo 3. Anillos de Polinomios. Dominios Eucl´
ıdeos. 37
3.1. Noci´
on de Anillo de Polinomios 37
3.2. Di isi´
on con es o de polinomios 41
3.3. Dominios de ideales p incipales y di isibilidad 45
3.4. Dominios Eucl´
ıdeos 51
3.5. Ecuaciones en cong uencias en un DE 55
Cap´
ı ulo 4. Fac o izaci´
on ´
unica 59
4.1. Dominios de Fac o izaci´
on ´
Unica 59
4.2. Fac o izaci´
on ´
unica de polinomios 62
4.3. Polinomios i educibles sob e un DFU 65
4.4. Ra´
ıces m ´
ul iples y F´
o mula de Taylo 68
3
Cap´
ı ulo 1
Fundamen os
1.1. Conjun os
Es no o io que una cualidad undamen al de las M´
a em´
a icas es la
p ecisi´
on de los enunciados. Pa a ello, hay que acep a unas nociones p i-
mi i as a pa i de las cuales de ini las dem´
as. La opci´
on m´
as ex endida
(casi uni e salmen e en e los ma em´
a icos) es admi i la noci´
on de con-
jun o y de elemen o como concep os p imi i os o inde inibles. La elaci´
on
en e ambos concep os es ´
a egulada po la pe enencia seg ´
un las siguien-
es eglas.
R1 Dado un conjun o Xy cualquie obje o a, o bien ape enece a X, o bien
ano pe enece a X. Simb´
olicamen e, esc ibi emos a∈Xoa /∈X. Ambas
opciones son excluyen es. Si a∈X, di emos que aes un elemen o de
Xo, ambi´
en, que Xcon iene al elemen o a.
R2 Un conjun o Xes ´
a comple amen e de e minado po sus elemen os.
Dicho de o a o ma, dados conjun os X, Y, se conside a ´
an iguales si
pa a odo obje o ala a i maci´
on a∈Xes equi alen e a la a i maci´
on
a∈Y.
R3 Un obje o no puede se elemen o de s´
ı mismo. Es deci , es ´
ap ohibido
admi i “a∈a” pa a cualquie obje o a.
R4 Dado un obje o a, podemos o ma el conjun o {a}de inido po las
p opiedad a∈{a}pe o b /∈{a}pa a odo o o obje o bdis in o de a.
R5 Admi imos que exis e el conjun o ac´
ıo ∅de inido po la p opiedad
a /∈ ∅ pa a odo obje o a.
Con es as eglas, ya podemos comenza a cons ui obje os ma em´
a i-
cos. Con al in, las de iniciones son c uciales. Aqu´
ı es ´
a la p ime a.
DEFINICI ´
ON 1.1. Dados conjun os X,Y, de inimos su uni´
on como el
conjun o X∪Yde e minado po los elemen os a ales que a∈Xo bien
a∈Y. Obse emos que X∪Y=Y∪X.
EJEMPLO 1.2. Si aybson obje os, podemos o ma , de acue do con
la Regla 4, los conjun os {a}y{b}. Y aho a podemos o ma {a}∪{b}. Si se
piensa qu´
e dice la De inici´
on 1.1, es azonable usa la no aci´
on {a, b}=
{a}∪{b}. Obse emos que {a, b}={b, a}. Tambi´
en me ece la pena da se
cuen a de que {a, b}={a}si, y s´
olo si, a=b.
EJEMPLO 1.3. De acue do con las eglas 5 y 4, podemos o ma el
conjun o {∅}. Y aho a, seg ´
un el Ejemplo 1.2, podemos o ma el conjun o
{∅,{∅}}.´
Es e ya iene dos elemen os dis in os, ¿ e dad?.
EJERCICIO 1.4. Sea Xun conjun o. Demos a que X∪{∅}=Xsi, y s´
olo
si, ∅ ∈ X.
OBSERVACI ´
ON 1.5. La noci´
on de uni´
on de subconjun os se ex iende de
mane a ob ia pa a amilias de m´
as de dos conjun os. De hecho, si Γes un
5

1.1. CONJUNTOS 6
conjun o cuyos elemen os son conjun os, en onces la uni´
on SY∈ΓYes el
conjun o o mado po los elemen os a ales que a∈Ypa a alg ´
un Y∈Γ.
DEFINICI ´
ON 1.6. Sean XeYconjun os. Di emos que Xes un subcon-
jun o de Ysi pa a odo obje o a, la condici´
on a∈Ximplica que a∈Y.
Esc ibi emos en onces X⊆Y.
Obse emos que ene que X⊆YeY⊆Xes lo mismo que deci que
X=Y. Obse emos ambi´
en que ∅ ⊆ Xcualquie a sea el conjun o X.
EJERCICIO 1.7. Sean X, Y conjun os. Demos a que X∪Y=Ysi, y s´
olo
si, X⊆Y.
EJERCICIO 1.8. Mos a es conjun os X, Y, Z que e i iquen que X∈
Y∈Zy, al mismo iempo, X⊆Y⊆Z.
Es muy com ´
un de ini un conjun o Xmedian e la desc ipci´
on de los
obje os que sa is acen una p opiedad P. As´
ı, se usa la no aci´
on
X={a|asa is ace P}.
As´
ı, po ejemplo, si XeYson conjun os, en onces podemos pone
X∪Y={a|a∈Xoa∈Y}.
DEFINICI ´
ON 1.9. Dados dos conjun os X, Y, de inimos su in e secci´
on
como el conjun o X∩Yde e minado po los elemen os a ales que a∈Xy
a∈Y. B e emen e,
X∩Y={a|a∈Xya∈Y}.
Es pe ec amen e posible que X∩Y=∅. En al caso, di emos que XeY
son disjun os.
EJERCICIO 1.10. Si X, Y son conjun os, demos a que X∩Y=Ysi, y
s´
olo si, Y⊆X.
OBSERVACI ´
ON 1.11. Como ya obse amos en el caso de la uni´
on, la de-
inici´
on de in e secci´
on puede ex ende se a amilias de m´
as de dos conjun-
os. Conc e amen e, si Γes un conjun o cuyos elemen os son conjun os,
podemos de ini TY∈ΓYcomo el conjun o cuyos elemen os son aquellos
obje os a ales que a∈Ypa a odo Y∈Γ.
DEFINICI ´
ON 1.12. Dado X⊆Y, de inimos el complemen o de Xen Y
como
Y X={a|a∈Yya /∈X}.
Es ambi´
en usual u iliza la siguien e o ma ab e iada de de ini el mismo
conjun o:
Y X={a∈Y|a /∈X}.
Po ´
ul imo, cuando, po el con ex o, es cla o qui´
en es Y, se suele esc ibi
Xpa a e e i se a Y X.
Dado un conjun o X, de inimos su conjun o po encia oconjun o de las
pa es de Xcomo
P(X) = {A|A⊆X}
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
1.2. CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES 7
1.2. Co espondencias y aplicaciones
Dados conjun os X, Y, pa a cada pa de elemen os x∈X,y∈Y, ad-
mi i emos como obje o ma em´
a ico el pa o denado (x, y). Cons uimos el
conjun o X×Yllamado p oduc o ca esiano de XeY, como el conjun o de
odos es os pa es o denados, es deci ,
X×Y={(x, y)|x∈X, y ∈Y}.
Obse emos que, en gene al, (x, y)6= (y, x)(po eso hablamos de pa o de-
nado). Tambi´
en se iene que X×Y6=Y×Xsal o que X=Y.
EJERCICIO 1.13. Razona que ∅ × X=∅=X× ∅, cualquie a sea el
conjun o X.
EJERCICIO 1.14. Sean I ={∅},II =I∪{I}. Desc ibi expl´
ıci amen e II×II.
DEFINICI ´
ON 1.15. Dados conjun os XeY, llama emos co espondencia
de XaYa odo subconjun o Cde X×Y. Cuando (x, y)∈Cse esc ibe a
eces xCy y se lee “xse co esponde con y”, o e minolog´
ıas simila es.
No a: En algunos ex os, se usa la palab a “ elaci´
on” pa a e e i se a
una co espondencia. Noso os ese a emos la palab a “ elaci´
on” en un
sen ido m´
as es ic i o, de acue do con la siguien e de inici´
on.
DEFINICI ´
ON 1.16. Sea Xun conjun o. Una elaci´
on en Xes, po de ini-
ci´
on, una co espondencia de XaX, es o es, un subconjun o del p oduc o
ca esiano X×X.
EJERCICIO 1.17. En el conjun o II de inido en el Eje cicio 1.14, de i-
nimos la elaci´
on C⊆II ×II dada po xCy si, y s´
olo si, x∈y. Desc ibi
expl´
ıci amen e odos los pa es o denados que pe enecen a C.
Vol e emos m´
as a de sob e las elaciones, aho a nos amos a con-
cen a en un ipo especial de co espondencias, las aplicaciones.
DEFINICI ´
ON 1.18. Una aplicaci´
on de un conjun o Xa un conjun o Y
es una co espondencia ⊆X×Y al que pa a odo x∈Xexis e un ´
unico
y∈Y al que (x, y)∈ . Esc ibi emos y= (x), y di emos que yes la imagen
de xpo (o bajo) . Tambi´
en di emos que asigna yal x
La no aci´
on casi uni e salmen e acep ada pa a deno a una aplica-
ci´
on es esc ibi :X→Y. El conjun o Xes denominado dominio de , en
an o que Yse denomina ango de . En algunos ex os se usa la palab a
“ unci´
on” como sin´
onimo de “aplicaci´
on”.
EJEMPLO 1.19. Todo conjun o Xda luga au om´
a icamen e a una apli-
caci´
on idX:X→Xllamada iden idad en X, de inida po idX(x) = xpa a
odo x∈X.
DEFINICI ´
ON 1.20. Dadas aplicaciones :X→Yyg:Y→Z, de inimos
su composici´
on g◦ :X→Zpo la egla (g◦ )(x) = g( (x)) pa a odo x∈X.
Hagamos algunas obse aciones sob e la no aci´
on. Es muy usual ab e-
ia g◦ como g , cuando el con ex o lo pe mi e. Acep a emos, as´
ı, las
siguien e no aci´
on ab e iada:
(g◦ )(x) = g (x),(x∈X).
Pa a una aplicaci´
on :X→Y, ambi´
en usa emos la no aci´
on X //Y.
EJERCICIO 1.21. Pone un ejemplo que demues e que la composici´
on
de dos aplicaciones no siemp e es posible.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
1.2. CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES 8
PROPOSICI ´
ON 1.22. Sean X //Yg
//Zh//Taplicaciones. En on-
ces (h◦g)◦ =h◦(g◦h).
DEMOSTRACI ´
ON. Se deja como eje cicio. 
EJERCICIO 1.23. Sea Xun conjun o. ¿Cu´
an as aplicaciones hay de ∅a
X? ¿Cu´
an as aplicaciones hay de Xa∅?
DEFINICI ´
ON 1.24. Una aplicaci´
on :X→Yse dice inyec i a si pa a
odo x, x0∈Xla condici´
on (x) = (x0)implica x=x0. La aplicaci´
on se
llama sob eyec i a si pa a odo y∈Yexis e x∈X al que y= (x).
EJERCICIO 1.25. Pone un ejemplo de aplicaci´
on inyec i a que no sea
sob eyec i a, y o o de aplicaci´
on sob eyec i a que no sea inyec i a.
DEFINICI ´
ON 1.26. Una aplicaci´
on se dice biyec i a si es inyec i a y
sob eyec i a.
PROPOSICI ´
ON 1.27. Una aplicaci´
on :X→Yes biyec i a si, y s´
olo si,
exis e una aplicaci´
on g:Y→X al que g◦ =idXy ◦g=idY.
DEMOSTRACI ´
ON. Expond emos una demos aci´
on po “doble implica-
ci´
on”. As´
ı, supongamos p ime o que :X→Yes biyec i a y demos amos
que en onces exis e gen las condiciones desc i as. De inimos en onces
una co espondencia de YaXpo g={(y, x)∈Y×X|y= (x)}. Veamos
que ges una aplicaci´
on. Dado y∈Y, po se sob eyec i a, exis e x∈X
al que y= (x). As´
ı que (y, x)∈g. Si x0∈Xes al que (y, x0)∈g, en onces
(x) = y= (x0). Como es inyec i a, x=x0. Hemos p obado que ges una
aplicaci´
on de YaXseg ´
un la De inici´
on 1.18. Aho a, si y∈Y, engo que,
po de inici´
on, g(y) = xpa a x∈X al que (x) = yAs´
ı, (g(y)) = (x) = y.
Es o demues a que ◦g=idY. Po ´
ul imo, si x∈X, en onces g( (x)) = z
pa a z∈X al que (z) = (x). Al se inyec i a, z=x. Es o demues a que
g◦ =idX. Es o acaba la p ueba de la implicaci´
on “di ec a”.
Pa a azona la implicaci´
on “ ec´
ıp oca” o “in e sa”, supongamos dada
g:Y→X al que g◦ =idXy ◦g=idY. Como, pa a y∈Y, enemos
que (g(y)) = y, deducimos que es sob eyec i a. Po ´
ul imo, si x, x0∈X
son ales que (x) = (x0)en onces, aplicando g, ob enemos x=g( (x)) =
g( (x0)) = x0. As´
ı, es inyec i a y hemos e minado la demos aci´
on. 
OBSERVACI ´
ON 1.28. Dada una aplicaci´
on biyec i a (o biyecci´
on) :X→
Y, la aplicaci´
on g:Y→Xp opo cionada po la P oposici´
on 1.27 es ´
a
de e minada de mane a ´
unica po . En e ec o, si g, h :Y→X e i ican
g◦ =idX=h◦ y ◦g=idY= ◦h, en onces, usando la P oposici´
on 1.22,
ob enemos
h=idX◦h= (g◦ )◦h=g◦( ◦h) = g◦idY=g.
DEFINICI ´
ON 1.29. La aplicaci´
on g:Y→Xdada po la P oposici´
on 1.27
pa a una aplicaci´
on biyec i a :X→Yse llama ec´
ıp oca oin e sa de
, y se deno a po g= −1( e la Obse aci´
on 1.28) . Ad e imos que la
palab a “in e sa”se usa en C´
alculo ambi´
en pa a o o ipo de unciones
(las in e sas mul iplica i as), y nada iene que e con lo de inido aqu´
ı.
COROLARIO 1.30. Si :X→Yes una biyecci´
on, en onces −1:Y→Xes
una biyecci´
on y ( −1)−1= .
DEMOSTRACI ´
ON. Las ecuaciones
◦ −1=idY, −1◦ =idX,
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
1.3. MONOIDES. LOS N ´
UMEROS NATURALES 9
mi adas a la luz de la P oposici´
on 1.27 desde la pe spec i a de −1, indican
que ´
es a es una biyecci´
on. Po o a pa e, como la in e sa de una biyecci´
on
es ´
unica seg ´
un la Obse aci´
on 1.28, de nue o las ecuaciones an e io es
implican que ( −1)−1= .
Dada una aplicaci´
on cualquie a :X→Y, de inimos ∗:P(X)→P(Y)
po
∗(A) = { (a) : a∈A},pa a A∈ P(X).
Tambi´
en podemos de ini ∗:P(Y)→P(X)po
∗(B) = {a∈X| (a)∈B},pa a B∈ P(Y).
EJERCICIO 1.31. Demos a que una aplicaci´
on :X→Yes sob eyec-
i a si, y s´
olo si, exis e g:Y→X al que ◦g=idY.
EJERCICIO 1.32. Demos a que una aplicaci´
on :X→Yes inyec i a
si, y s´
olo si, exis e g:Y→X al que g◦ =idX.
1.3. Monoides. Los n´
ume os na u ales
Admi i emos que conocemos el conjun o N={0, 1, 2, . . . }de los n ´
ume os
na u ales. Sus elemen os, que son los n ´
ume os “que si en pa a con a ”,
pod ´
ıan cons ui se o malmen e a pa i de las eglas que nos hemos
dado, y ambi´
en pod ´
ıamos de ini a pa i de esa cons ucci´
on las ope a-
ciones usuales de suma y p oduc o de n ´
ume os na u ales, pe o es o nos
lle a ´
ıa un iempo del que no disponemos. Nos limi amos pues a acep a
que, de acue do con nues as eglas, es amos diciendo que, si nos p e-
sen an un obje o, sabemos deci si dicho obje o pe enece a No no... Nada
menos.
La p ime a obse aci´
on que hemos de hace es que los elemen os de
Nno se pueden lis a expl´
ıci amen e, po que su can idad es in ini a. Una
mane a de en ende es o es acep a que pa a cada n∈N, exis e un “si-
guien e”, a sabe , n+1. Tal y como lo hemos exp esado, es amos acep-
ando ambi´
en que sabemos suma n ´
ume os na u ales. Podemos exp e-
sa es o en lenguaje de conjun os diciendo que conocemos una aplicaci´
on
+ : N×N→N, llamada “suma”. Como es usual, dado (n, m)∈N, su imagen
median e +se deno a ´
a como m+n.
Vamos a ap o echa el modelo de la suma de n ´
ume os na u ales pa a
da la noci´
on de ope aci´
on bina ia.
DEFINICI ´
ON 1.33. Sea Xun conjun o no ac´
ıo. Toda aplicaci´
on ∗:X×
X→Xse llama ´
aope aci´
on bina ia in e na en X. Eludi emos el adje i o
“in e na” en lo que sigue.
Las p opiedades de las ope aciones bina ias de las que nos amos a
ocupa equie en, pa a su manejo, de una simpli icaci´
on en la no aci´
on
gene al que usamos pa a las aplicaciones. Conc e amen e, si ∗:X×X→X
es una ope aci´
on bina ia, en onces, dado (a, b)∈X×X, su imagen po
∗hab ´
ıa de se deno ada po ∗((a, b)). Una p ime a simpli icaci´
on, en la
que no pe demos in o maci´
on, es p escindi de dos pa ´
en esis, y esc ibi
∗(a, b)en luga ∗((a, b)). Pe o, ya pues os, podemos sup imi , sin mengua
la in o maci´
on, los pa ´
en esis e incluso la coma, y esc ibi a∗ben luga de
∗((a, b)). Eso s´
ı, enemos que ene cuidado de no con undi es a no aci´
on
ab e iada con la que se usa en las co espondencias... pe o es o es a ´
a
cla o po el con ex o en cada caso. Usa no aciones ambiguas sin cae en
ambig¨
uedad es una de las ca ac e ´
ıs icas m´
as no ables de la Ma em´
a ica.
En in, podemos de ini aho a lo que es un semig upo con comodidad.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
1.4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y ORDEN. CONSTRUCCI ´
ON DE
LOS ENTEROS. 16
EJEMPLO 1.72. Se iene un conjun o (pa cialmen e) o denado (P(X),⊆)
pa a odo conjun o X.
EJEMPLO 1.73. Un conjun o con un o den o al es (N,≤), donde ≤es
el o den na u al.
EJEMPLO 1.74. Pa a a, b ∈N+=N {0}, esc ibamos a|bcuando asea
un di iso de b. Es cla o que (N+,|)es un conjun o o denado. Es e o den
es pa cial.
Pa a compa a conjun os o denados, se usa la noci´
on de homomo is-
mo de conjun os o denados (a eces, se llaman aplicaciones no dec ecien-
es).
DEFINICI ´
ON 1.75. Sean (X, ),(Y, ≤)conjun os o denados. Una aplica-
ci´
on :X→Yes un homomo ismo de conjun os o denados si pa a odo
x, x0∈Xla condici´
on xx0implica que (x)≤ (x0). El homomo ismo
es un isomo ismo de conjun os o denados si es biyec i a y su in e sa
−1:Y→Xes homomo ismo de conjun os o denados.
EJEMPLO 1.76. La aplicaci´
on idN+:N+→N+es un homomo ismo del
conjun o o denado (N+,|)al conjun o o denado (N+,≤). Es a aplicaci´
on no
es un isomo ismo de conjun os o denados. ¿Po qu´
e?
EJEMPLO 1.77. Si (X, )es un conjun o o denado, odo subconjun o
Y⊆Xes un conjun o o denado con la es icci´
on de la elaci´
on .
PROPOSICI ´
ON 1.78. La aplicaci´
on ι:N→Zde inida po ι(n) = [(n, 0)]R
pa a odo n∈Nes inyec i a. Exis e una elaci´
on de o den o al en Z al que
ιes un homomo ismo de conjun os o denados y su co es icci´
on ι:N→
Im(ι)es un isomo ismo de conjun os o denados.
DEMOSTRACI ´
ON. Veamos p ime o que ιes inyec i a: si n, m ∈Nson a-
les que ι(n) = ι(m), en onces [(n, 0)]R= [(m, 0)]R. Seg ´
un la P oposici´
on 1.56,
(n, 0)R(m, 0), de donde n+0=0+m, es o es, n=m. Vamos a de ini aho a
la elaci´
on de o den en Z. Dados [(a, b)]R,[(c, d)]R∈Z, decla amos que
[(a, b)]R[(c, d)]Rsi y s´
olo si a+d≤b+c, donde es a ´
ul ima desigualdad
es de n ´
ume os na u ales. Aho a enemos un p oblema: apa en emen e,
la de inici´
on que hemos dado de depende de los ep esen an es de las
clases de equi alencia escogidos. Conc e amen e, si enemos que
(1.3) [(a, b)]R= [(a0, b0)]Ry[(c, d)]R= [(c0, d0)]R,
end emos que e que la condici´
on a+d≤b+ces equi alen e a la con-
dici´
on a0+d0≤b0+c0, pa a que la de inici´
on de sea cohe en e. Supon-
gamos, pues, que a+d≤b+c. En onces a0+d0+b+c=a+b0+d+c0≤
b+c+b0+c0, donde, en la p ime a igualdad, hemos usado (1.3). Po an o,
a0+d0≤b0+c0. La implicaci´
on ec´
ıp oca se demues a igual.
Es bas an e ´
acil comp oba que es a elaci´
on es de o den, es deci ,
e lexi a, ansi i a y an isim´
e ica, y se deja como eje cicio.
Supongamos aho a que m, n ∈N. Es bas an e ob io que n≤msi, y
s´
olo si, ι(n)ι(m). En pa icula , ιes un homomo ismo de conjun os
o denados. Hemos de demos a aho a que ι−1:Im(ι)→Nes un ho-
momo ismo de conjun os o denados. Tomados xy∈Im(ι), exis en
n, m ∈N ales que [(n, 0)]R=x, [(m, 0)]R=y. As´
ı que n≤my, po o a
pa e, n=ι−1(x), m =ι−1(y).
La P oposici´
on 1.78 pe mi e e Ncomo un subconjun o de Z, de ma-
ne a que el o den usual de Nse ex iende a un o den en Z.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas

Cap´
ı ulo 2
Anillos
2.1. Nociones de g upo y anillo. El anillo de los en e os.
Un anillo combina dos es uc u as de monoide. Una de ellas dis u a,
adem´
as, de una p opiedad adicional que la hace un g upo. Como los g u-
pos son obje os undamen ales en Ma em´
a icas, de inamos es a noci´
on.
DEFINICI ´
ON 2.1. Un monoide (A, ∗, e)es un g upo si pa a cada a∈A,
exis e a∈A al que a∗a=e=a∗a. El g upo es conmu a i o si lo es como
monoide, es o es, a∗b=b∗apa a odo a, b ∈A.
EJERCICIO 2.2. Demos a que, pa a un g upo (A, ∗, e), y cada a∈A,
el elemen o aes ´
a de e minado de mane a ´
unica po a. El elemen o ase
llama sim´
e ico de a.
OBSERVACI ´
ON 2.3. En muchos con ex os, cuando se iene un g upo
conmu a i o, se suele usa la llamada “no aci´
on adi i a”. Es o signi ica
que la ope aci´
on de monoide se ep esen a po el signo +, el elemen o
neu o po 0y, pa a cada aen el g upo, −adeno a el elemen o sim´
e ico
de aque e i ica que −a+a=0, que se suele llama opues o de a. Se suele
usa la no aci´
on ab e iada a−bpa a a+ (−b).´
Es e a a se el caso de
Z, como e emos m´
as abajo, o de la “suma” en un espacio ec o ial, como
hab ´
eis is o en Geome ´
ıa.
OBSERVACI ´
ON 2.4. En gene al, pa a un g upo cualquie a A, se suele
usa la “no aci´
on mul iplica i a” a−1pa a deno a el sim´
e ico de a∈A.
En al caso, el elemen o a−1se llama in e so de a.
EJERCICIO 2.5. En un monoide (A, ∗, e), podemos de ini , pa a n∈N, y
a∈A, el elemen o ancomo sigue. Pa a n=0, de inimos a0=ey, supues o
de inido ampa a cie o m∈N, de inimos am+1=am∗a. Demos a que
ak+m=ak∗amy(ak)l=akl pa a odo k, l ∈N.
DEFINICI ´
ON 2.6. Sea (A, ∗, e)un monoide, y B⊆A. Di emos que Bes
un submonoide de Asi e∈By, pa a cada b, c ∈B, se iene que b∗c∈B.
Obs´
e ese que, en al caso, la es icci´
on de la ope aci´
on bina ia ∗aB×B,
hace que (B, ∗, e)sea, a su ez, un monoide.
EJEMPLO 2.7. Dado un conjun o X, conside emos
Sym(X) = { :X→X| biyec i a }.
Es cla o que (Sym(X),◦, idX)es un submonoide de (Map(X, X),◦, idX). Se
deduce de la P oposici´
on 1.27 que Sym(X)es un g upo, llamado g upo de
pe mu aciones de X.
TEOREMA 2.8. Exis e un g upo conmu a i o (Z,+, 0)que con iene a (N,+, 0)
como submonoide de mane a que Z= −N∪N, donde −N={−k|k∈N}. El
g upo (Z,+, 0)es ´
a o almen e o denado po la elaci´
on n≤msi, y s´
olo si,
exis e k∈N al que n+k=m.
17
2.1. NOCIONES DE GRUPO Y ANILLO. EL ANILLO DE LOS ENTEROS.18
DEMOSTRACI ´
ON. Conside emos la elaci´
on de equi alencia Ren N×N
del Ejemplo 1.68. El conjun o cocien e es Z= (N×N)/R. Vamos a usa
no aci´
on adi i a pa a la ope aci´
on de g upo en Z. De inimos, pues, pa a
[(a, b)]R,[(c, d)]R∈Z,
(2.1) [(a, b)]R+ [(c, d)]R= [(a+c, b +d)]R.
Hemos de comp oba que es a de inici´
on no depende de los ep esen an-
es de las clases de equi alencia escogidos. As´
ı, supongamos [(a, b)]R=
[(a0, b0)]Ry[(c, d)]R= [(c0, d0)]R. Usando las p opiedades conmu a i a y
asocia i a de +, enemos que (a+c) + (b0+d0) = (a+b0) + (c+d0) =
(a0+b)+(c0+d)=(a0+c0)+(b+d). Po an o, (a+c, b+d)R(a0+c0, b0+d0),
de donde [(a+c, b +d)]R= [(a0+c0, b0+d0)]R. La asocia i idad de la nue a
ope aci´
on +se sigue ´
acilmen e de la de +en N. Adem´
as, el elemen o neu-
o es, cla amen e, 0= [(0, 0)]R. Tenemos, pues, un monoide (Z,+, 0), cla-
amen e conmu a i o. Veamos que se a a de un g upo: dado [(a, b)]R∈Z,
enemos que [(a, b)]R+ [(b, a)]R= [(a+b, b +a)]R= [(0, 0)]R=0. Vamos a
ep esen a los elemen os de Zde mane a m´
as amilia . Reco demos que
en´
ıamos una aplicaci´
on inyec i a ι:N→Zque pe mi ´
ıa iden i ica Ncon
Im(ι) = {[(n, 0)]R|n∈N}como conjun o o denado. Conc e amen e, amos
a iden i ica cada n∈Ncon la clase [(n, 0)]R. Vemos ´
acilmen e que, de
es a o ma, N esul a se un submonoide de Z: pa a n, m ∈N, enemos
[(n, 0)]R+ [(m, 0)]R= [(n+m, 0)]R.
Si aho a esc ibimos, pa a n∈N,−n= [(0, n)]R, conside emos
−N={−n|n∈N}.
Demos emos que Z= −N∪N. En e ec o, dado [a, b]R∈Z, se iene que, o
bien a≥b, o a≤b. En el p ime caso, exis e k∈N al que a=b+k, po lo
que
[(a, b)]R= [(b+k, b)]R= [(k, 0)]R=k∈N.
En el segundo, pa a k∈N al que b=a+k, enemos
[(a, b)]R= [(a, a +k)]R= [(0, k)] = −k∈−N.
Veamos, po ´
ul imo, como se ca ac e iza aho a el o den en Zque in odu-
jimos en la P oposici´
on 1.78. Reco demos que [(a, b)]R≤[(c, d)]Rsi, y s´
olo
si, a+c≤b+c. Es o es, exis e k∈N al que b+c=k+a+d. Es a condici´
on
es equi alen e a deci que
[(a, b)]R+ [(k, 0)]R= [(c, d)]R.
Es deci , hemos demos ado que, dados x, y ∈Z,x≤ysi, y s´
olo si, exis e
k∈N al que x+k=y. Obse emos que no hemos enido que p eocupa nos
de los “signos”... expl´
ıci amen e. 
EJERCICIO 2.9. Con la no aci´
on del Eje cicio 2.5, supongamos aho a
que Aes un g upo. Usamos no aci´
on mul iplica i a ( e Obse aci´
on 2.4).
Pa a n∈Zcon n<0, de inimos an= (a−1)−n. Demos a que ax+y=ax∗ay
pa a odo x, y ∈Z.
DEFINICI ´
ON 2.10. Un anillo es un g upo conmu a i o (A, +, 0)do ado
adem´
as de una es uc u a de monoide (A, ·, 1) al que se e i ica la p opie-
dad dis ibu i a, es o es, pa a odo a, b, c ∈A, se iene que
1. a·(b+c) = a·b+a·c,
2. (b+c)·a=b·a+c·a.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
2.1. NOCIONES DE GRUPO Y ANILLO. EL ANILLO DE LOS ENTEROS.19
Se usa la no aci´
on (A, +, 0, ·, 1), pe o ambi´
en di emos simplemen e que “A
es un anillo”. La ope aci´
on +se suele llama suma de A, en an o que ·es
el p oduc o omul iplicaci´
on de A. El elemen o 0se llama ce o de A, y 1es el
uno de A. El anillo es conmu a i o si (A, ·, 1)es un monoide conmu a i o.
EJERCICIO 2.11. Demos a que, en odo anillo A, se iene que a·0=
0=0·apa a odo a∈A. Deduci que, en un anillo con al menos dos
elemen os, 06=1.
EJERCICIO 2.12. Sean x, y ∈A, donde Aes un anillo. Demos a que
(−x)·y= −x·y=x·(−y). Deduci que (−x)·(−y) = x·y.
EJERCICIO 2.13. Sean A, B anillos. En el p oduc o ca esiano A×B
de inimos las ope aciones (a, b)+(a0, b0)=(a+a0, b +b0)y(a, b)·(a0, b0) =
(a·a0, b ·b0). Demos a que, con es as ope aciones, A×Bes un anillo.
EJERCICIO 2.14. Pa a un anillo A, conside emos en A×Alas siguien es
ope aciones: (a, a0)+(b, b0)=(a+b, a0+b0)y(a, a0)·(b, b0)=(a·b, a·b0+a0·b).
Demos a que A×A, con es as ope aciones, es un anillo.
TEOREMA 2.15. El g upo conmu a i o (Z,+, 0)admi e una es uc u a de
monoide (Z,·, 1)que lo hace un anillo conmu a i o. El p oduc o ·es ´
a dado
po
(2.2) [(a, b)]R·[(c, d)]R= [(ac +bd, ad +bc)]R,([(a, b)]R,[(c, d)]R∈Z),
y, po an o, es una ex ensi´
on del p oduc o de N.
DEMOSTRACI ´
ON. Comencemos demos ando que el p oduc o dado en
(2.2) es ´
a bien de inido. As´
ı, supongamos que (a, b)R(a0, b0)y(c, d)R(c0, d0).
Se iene en onces que a+b0=a0+byc+d0=c0+d. De es as iden idades
se ob ienen ´
acilmen e las siguien es:
ac +b0c=a0c+bc
a0d+bd =ad +b0d
a0c+a0d0=a0c0+a0d
b0c0+b0d=b0c+b0d0
Sumando los ´
e minos al mismo lado, y cancelando sumandos iguales en
la iden idad esul an e, se ob iene que
ac +bd +a0d0+b0c0=ad +bc +a0c0+b0d0.
As´
ı, (ad +bd, ad +bc)R(a0d0+b0d0, a0d0+b0c0), lo que mues a que el p o-
duc o dado en (2.2) es ´
a bien de inido. Cla amen e, ·es conmu a i o y
ex iende al p oduc o en N. La comp obaci´
on de las p opiedades asocia i a
y dis ibu i a son c´
alculos u ina ios que se dejan como eje cicio. Es cla o
que 1∈Nes neu o pa a el p oduc o de inido en Z.
EJERCICIO 2.16. Con la no aci´
on del Eje cicio 2.9, demos a que (ax)y=
axy pa a odo x, y ∈Z.
OBSERVACI ´
ON 2.17. Se suele ep esen a el p oduc o de n ´
ume os en-
e os median e yux aposici´
on. Es deci , si a, b ∈Z, en onces esc ibimos
ab =a·b. De hecho, es a no aci´
on se hace ex ensi a a cualquie anillo.
DEFINICI ´
ON 2.18. Sea (A, ∗, e)un g upo y B⊆Aun submonoide. Di e-
mos que Bes un subg upo si (B, ∗, e)es un g upo.
EJERCICIO 2.19. Sea (A, ∗, e)un g upo y B⊆Aun subconjun o no
ac´
ıo. Demos a que Bes un subg upo de Asi, y s´
olo si, pa a odo b, c ∈B
se iene que b∗c∈B.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
2.2. ARITM ´
ETICA ENTERA 20
TEOREMA 2.20. Pa a cada n∈N, el conjun o nZ={nq |q∈Z}es un
subg upo de (Z,+, 0). Todo subg upo de (Z,+, 0)es de esa o ma.
DEMOSTRACI ´
ON. Si a, b ∈nZ, en onces a=nq,b=nk, pa a cie os
q, k ∈Z. Po an o, a−b=nq −nk =n(q−k)∈nZ. De acue do con el Eje -
cicio 2.19, nZes un subg upo de Z. Supongamos, ec´
ıp ocamen e, que I
es un subg upo de Z. Si I={0}, en onces, cla amen e, I=0Z. Supongamos
que I6={0}. Eso signi ica que exis e x∈Icon x6=0. Como Ies subg upo,
enemos que −x∈I. Po el Teo ema 2.8, enemos que, o bien x∈N, o bien
−x∈N. Es o es, el conjun o I∩N+es no ac´
ıo. Po la buena o denaci´
on
de N, podemos oma el m´
ınimo nde I∩N+. Obse emos1que nZ⊆I.
Pa a demos a la inclusi´
on ec´
ıp oca, omemos a∈I. Si a∈N, en onces,
po la Di isi´
on Euclidiana en N, enemos que a=qn + pa a q, ∈Ncon
< n. Pe o, en onces, =a−qn ∈I, lo que implica que =0. Es o es,
a=qn ∈nZ. La o a opci´
on es que −a∈N. Encon amos de nue o k, s ∈N
ales que −a=kn +sys<n. De nue o, s= −a−kn ∈I, lo que implica que
s=0. As´
ı, a= −kn ∈nZ, lo que concluye la demos aci´
on. 
Un pun o cla e de la demos aci´
on del Teo ema 2.20 es el uso de la
di isi´
on euclidiana en N, con enien emen e adap ada a n ´
ume os en e os.
Si la acomodamos comple amen e, ob enemos el siguien e esul ado un-
damen al de la a i m´
e ica en e a. In oducimos p ime o la noci´
on de alo
absolu o.
DEFINICI ´
ON 2.21. Dado x∈Z, de inimos el alo absolu o de xcomo
|x|=xsi x≥0, y |x|= −xsi x≤0.
TEOREMA 2.22 (Di isi´
on euclidiana en Z). Dados m, n ∈Zcon n6=0,
exis en q, ∈Z ales que m=qn + y| |<|n|.
DEMOSTRACI ´
ON. En la demos aci´
on del Teo ema 2.20 hemos p oba-
do, de hecho, el enunciado pa a n > 0. Pa a n < 0, podemos aplica lo
demos ado all´
ı a −n. As´
ı, exis en q, ∈Z ales que m=q(−n) + , con
| |<−n=|n|. Ob iamen e, m= (−q)n+ , que es una di isi´
on euclidiana
como la deseada. 
DEFINICI ´
ON 2.23. Los n ´
ume os qy que apa ecen en el Teo ema 2.22
se llaman, espec i amen e, cocien e y es o de la di isi´
on de men e n.
Usa emos la no aci´
on quo (a, b) = qy = em(a, b).
OBSERVACI ´
ON 2.24. A di e encia de lo que ocu ´
ıa con la di isi´
on con
es o en N, los alo es qy no son aho a ´
unicos, como mues an las dos
di isiones 3=1×2+1y3=2×2−1.
EJERCICIO 2.25. Demos a que, dados m, n ∈Zcon n6=0, exis en, en
gene al, dos es os (y no m´
as) de di idi men e nen Z. ¿En qu´
e caso son
es os dos es os iguales?
2.2. A i m´
e ica En e a
En es a secci´
on amos a es udia la a i m´
e ica en e a elemen al. Co-
mencemos ijando alguna nomencla u a.
DEFINICI ´
ON 2.26. Dados a, b ∈Z, di emos que aes un di iso de b
(o que adi ide ab) si b=qa pa a alg ´
un q∈Z. Usa emos en onces la
no aci´
on a|b. Equi alen emen e, di emos que bes un m´
ul iplo de a.
1En ealidad, es o equie e una peque˜
na demos aci´
on po inducci´
on
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
2.2. ARITM ´
ETICA ENTERA 21
OBSERVACI ´
ON 2.27. Sean a, b ∈Z. Obse emos que a|b, pa a a6=0si,
y s´
olo si, el es o de di idi ben e aes 0. Tambi´
en es ´
acil e que adi ide
absi, y s´
olo si, |a|di ide a |b|. Es po eso que no se pie de gene alidad si
enunciamos los esul ados que in oluc an di isibilidad pa a Nen luga de
pa a Z.
LEMA 2.28. Sean n, m ∈N. En onces ndi ide a msi, y s´
olo si, mZ⊆nZ.
Como consecuencia, n=msi, y s´
olo si, nZ=mZ.
DEMOSTRACI ´
ON. Supongamos que n|m. En onces m=qn pa a alg ´
un
q∈N. Si a∈mZ, enemos que a=km pa a cie o k∈Z, luego a=km =
kqn ∈nZ. Rec´
ıp ocamen e, si mZ⊆nZ, en onces m∈nZ, luego m=kn,
pa a cie o k∈Z. Ob iamen e, k∈N, con lo que n|m.
PROPOSICI ´
ON 2.29. Dados a, b ∈N, exis e d∈Ncon la siguien e p opie-
dad: d|a,d|by, pa a cualquie d0∈N al que d0|ayd0|b, se sigue que d0|d.
El n ´
ume o des ´
unico con es a p opiedad, se llama m´
aximo com ´
un di iso
de ayb, y se ´
a deno ado po mcd(a, b).
DEMOSTRACI ´
ON. Conside emos I=aZ+bZ={ka +lb |k, l ∈Z}. Com-
p obemos que Ies un subg upo de Z: si k, k0, l, l0∈Z, en onces, po el
Eje cicio 2.19, ka +lb − (k0a+l0b)=(k−k0)a+ (l−l0)b∈I. Po el Teo ema
2.20, exis e d∈N al que I=dZ. Bien, como aZ⊆dZ, deducimos del Lema
2.28 que d|a. An´
alogamen e, d|b. Aho a, supongamos que d0|ayd0|b. Po
el Lema 2.28, enemos que aZ⊆d0ZybZ⊆d0Z. Es o implica cla amen e
que aZ+bZ⊆d0Z. Po an o, dZ⊆d0Zy el Lema 2.28 nos da que d0|d.
La unicidad de d iene de que si des o o n ´
ume o na u al con las mismas
p opiedades, en onces d|dyd|d, de donde d=d.
OBSERVACI ´
ON 2.30. Si aobes no nulo, en onces mcd(a, b)es el m´
axi-
mo, con espec o de la elaci´
on de o den “se di iso de”, del conjun o
de los di iso es comunes de ayb. Es cla o que, con nues a de inici´
on,
mcd(0, 0) = 0, lo que supone una excepci´
on a la in e p e aci´
on an e io ,
pues o odo n ´
ume o na u al n e i ica que 0=n·0y, po an o, ndi ide a
0.
He aqu´
ı una consecuencia de la demos aci´
on de la P oposici´
on 2.29.
TEOREMA 2.31 (Iden idad de Bezou ). Dados a, b ∈N, y d=mcd(a, b),
exis en u, ∈Z ales que d=ua + b.
DEMOSTRACI ´
ON. Hemos is o en la demos aci´
on de la P oposici´
on
2.29 que dZ=aZ+bZ. Po an o, d=ua + b, pa a cie os u, ∈Z.
An´
alogamen e, podemos demos a que exis e el m´
ınimo com ´
un m ´
ul i-
plo de cada pa de na u ales.
PROPOSICI ´
ON 2.32. Dados a, b ∈N, exis e m∈Ncon la siguien e p o-
piedad: a|myb|my, pa a cualquie m0∈N al que a|m0yb|m0, se sigue que
m|m0. El n ´
ume o mes ´
unico con es a p opiedad, se llama m´
ınimo com ´
un
m´
ul iplo de ayb, y se ´
a deno ado po mcm(a, b).
DEMOSTRACI ´
ON. Obse emos que I=aZ∩bZes un subg upo de Z.
Po el Teo ema 2.20, exis e m∈N al que I=mZ. Aho a, la demos aci´
on
sigue una l´
ınea a gumen al simila a la de la P oposici´
on 2.29, y se deja
su comple aci´
on como eje cicio. 
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas

2.2. ARITM ´
ETICA ENTERA 22
OBSERVACI ´
ON 2.33. Obse emos que mcm(a, b)es el m´
ınimo, con e-
pec o de la elaci´
on “se di iso de”, del conjun o de los m ´
ul iplos comunes
de ayb. Obse emos que mcm(a, 0) = 0=mcm(0, a)pa a cualquie a∈N.
EJERCICIO 2.34. Comple a la demos aci´
on de la P oposici´
on 2.32.
Vamos aho a a expone un algo i mo undamen al en la a i m´
e ica
en e a.
TEOREMA 2.35. Dados a, b ∈N, con b6=0, de inimos una sucesi´
on de
n´
ume os na u ales { i}i≥0como sigue: 0=a, 1=b, y el ´
e mino siguien e
a cada ipa a i≥1como
i+1= em( i−1, i)si i6=0,
0si i=0.
En onces
(1) Exis e h≥1 al que h6=0y h+1=0.
(2) h=mcd(a, b).
(3) Exis en n ´
ume os en e os u0, u1,...,uh, uh+1, 0, 1,..., h, h+1 ales que
i=uia+ ibpa a odo i=0, 1, . . . , h, h +1.
DEMOSTRACI ´
ON. (1). Obse emos que, siemp e que i6=0, se iene que
i+1< i. Deducimos2que exis e h≥1 al que h6=0pe o h+1=0.
(2). Pa a i≤h, enemos que i6=0, luego podemos hace uso de la
di isi´
on con es o en N
i−1=qi+1 i+ i+1,
donde qi+1es el cocien e. De aqu´
ı, los di iso es comunes de i−1y ison
los mismos que los di iso es comunes de iy i+1. As´
ı que
h=mcd(0, h) = mcd( h+1, h) =
mcd( h, h−1) = ··· =mcd( 1, 0) = mcd(b, a).
(3) Vamos a de ini los elemen os ui, i∈Z,i=0, 1, . . . , h, h +1. Tomamos
u0=1, 0=0, u1=0, 1=1,
Una ez de inidos ui, i, ui−1, i−1, pa a 1≤i≤h, de inimos
ui+1=ui−1−qi+1ui, i+1= i−1−qi+1 i.
As´
ı,
ui+1a+ i+1b= (ui−1−qi+1ui)a+ ( i−1−qi+1 i)a=
ui−1a+ i−1b−qi+1(uia+ ib) = i−1−qi+1 i= i+1.

De la demos aci´
on del Teo ema 2.35, deducimos el Algo i mo 1, que
se llama Algo i mo de Euclides Ex endido.
TEOREMA 2.36. El Algo i mo 1 es co ec o.
DEMOSTRACI ´
ON. La demos aci´
on de la co ecci´
on de un algo i mo
consis e en mos a que el mismo hace lo que dice que hace, es deci ,
que dada una en ada como la especi icada, la salida sa is ace lo decla a-
do. En el caso del Algo i mo 1, su co ecci´
on se sigue de la demos aci´
on
del Teo ema 2.35. 
2Ponemos =m´
ın{ i|i≥1}. A i mamos que =0. En e ec o, si = ipa a cie o i≥1y
= i6=0, en onces i+1< i, po lo que no se ´
ıa m´
ınimo, lo que es una con adicci´
on.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
2.2. ARITM ´
ETICA ENTERA 23
Algo i mo 1 Algo i mo de Euclides Ex endido
Inpu : a, b ∈Ncon b6=0.
Ou pu : {ui, i, i}i=0,...,h,h+1 ales que i=uia+ ibpa a i=0, 1, . . . , h, h+1,
h+1=0,
h=mcd(a, b),
Ini iali a ion:
0←a, 1←b.
u0←1,u1←0.
0←0, 1←1.
q←0, ←0.
i←1.
while i6=0do
q←quo ( i−1, i)
← em( i−1, i)
i+1←
ui+1←qui−1−ui
i+1←q i−1− i
i←i+1
e u n {ui, i, i}i=0,...,h,h+1
OBSERVACI ´
ON 2.37. Como demos a emos en un con ex o m´
as gene-
al, mcm(a, b) = a|uh+1|=b| h+1|.
EJEMPLO 2.38. La aplicaci´
on del Algo i mo 1 al pa de n ´
ume os a=
2018, b =1918 p opo ciona los esul ados ecogidos en la siguien e abla
i qi iui i
0 2018 1 0
1 1918 0 1
2 1 100 1 −1
3 19 18 −19 20
4 5 10 96 −101
5 1 8 −115 121
6 1 2 211 −222
7 4 0 −959 1009
Po an o, mcd(2018, 1918) = 2y2=211 ×2018 −222 ×1918. Adem´
as, seg ´
un
la Obse aci´
on 2.37, mcm(2018, 1918) = 1935262.
Obse emos que, de acue do con las demos aciones de las p oposi-
ciones 2.29 y 2.32, enemos que
2018Z+1918Z=2Z
y
2018Z∩1918Z=1935262Z.
Aho a nos di igimos a demos a el Teo ema Fundamen al de la A i m´
e i-
ca, que a i ma que odo n ´
ume o na u al es p oduc o, de mane a esencial-
men e ´
unica, de n ´
ume os p imos.
LEMA 2.39. Sean a, b, n, m ∈N ales que na =mb. Si mcd(a, b) = 1,
en onces nes un m ´
ul iplo de bymes un m ´
ul iplo de a.
DEMOSTRACI ´
ON. Po la iden idad de Bezou , 1=ua + b pa a cie os
u, ∈Z. Mul iplicando po n, ob enemos
n=nua +n b =umb +n b = (um +n )b.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
2.2. ARITM ´
ETICA ENTERA 24
As´
ı que nes un m ´
ul iplo de b. An´
alogamen e, mes un m ´
ul iplo de a.
LEMA 2.40. Sea pun n ´
ume o p imo, y a, b ∈N. Si pdi ide a ab, en onces
pdi ide a ao bien pdi ide a b.
DEMOSTRACI ´
ON. Pongamos d=mcd(p, a). Po se pp imo, enemos
que d=po bien d=1. En el p ime caso, pdi ide a a. En el segundo,
mcd(p, a) = 1ypc =ab pa a alg ´
un c∈N. Po el Lema 2.39, bes un
m´
ul iplo de p.
TEOREMA 2.41. Todo n ´
ume o na u al dis in o de 0y1es p oduc o de
n´
ume os p imos. Es a ac o izaci´
on es ´
unica sal o eo denaci´
on de los ac-
o es p imos.
DEMOSTRACI ´
ON. Supongamos que el conjun o
X={n∈N|n≥2ynno es p oduc o de p imos }
uese no ac´
ıo. En onces end ´
ıa un m´
ınimo, digamos m. Po el lema 1.45,
m iene un di iso p imo, digamos p. As´
ı, m=ap pa a cie o a∈N. Como
m6=0, enemos que a6=0. Aho a, a6=1ya que, de lo con a io, mse ´
ıa
p imo. Po an o a6=0, 1. Como a<m, enemos que admi i que a /∈X,
luego aes un p oduc o de p imos. Pe o, cla o, m=ap es en onces un
p oduc o de p imos. As´
ı que, en cualquie caso, m /∈X, lo que es una
con adicci´
on. Po an o, Xes ac´
ıo, y odo n ´
ume o na u al dis in o de 0y
1es p oduc o de n ´
ume os p imos.
Pa a e la unicidad, supongamos que exis e un n ´
ume o na u al con
dos ac o izaciones dis in as, y omemos nm´
ınimo con es a p opiedad.
As´
ı, end emos dos ac o izaciones dis in as n=p1···p =q1···qs, pa a
p1,...,p , q1,...,qsp imos. Po el Lema 2.40, p1ha de se di iso de alg ´
un
qj. Al se ´
es e ´
ul imo p imo, p1=qj. Reo denando los ac o es qj, podemos
supone que j=1, es o es, p1=q1. Deducimos as´
ı que p2···p =q2···qs.
Pe o es e n ´
ume o es es ic amen e meno que n, po lo que su ac o i-
zaci´
on en p imos es ´
unica. As´
ı que =sy, as eo denaci´
on, pi=qi
pa a i=2, . . . , . Pe o, de es a o ma, hemos is o que las ac o izaciones
dis in as de nson la misma. Con adicci´
on. 
EJEMPLO 2.42 (Ecuaciones Dio ´
an icas). Sean a, b, c ∈Zy conside e-
mos la ecuaci´
on siguien e en las inc´
ogni as x, y:
(2.3) ax +by =c
Vamos a supone que a, b 6=0. Y asumi emos, po comodidad, que a, b, c ∈
N( e Obse aci´
on 2.44.) Di emos que (2.3) iene soluci´
on en e a si exis en
x, y ∈Zsa is aci´
endola. Discu amos p ime o cu´
ando (2.3) iene soluci´
on,
y despu´
es c´
omo calcula ´
es a. Esc ibamos d=mcd(a, b). Obse emos que
(2.3) iene soluci´
on en e a si, y s´
olo si, c∈aZ+bZ. Como aZ+bZ=dZ,
enemos que (2.3) iene soluci´
on si, y s´
olo si, c∈dZ. Po an o, (2.3) iene
soluci´
on en e a si, y s´
olo si, ces un m ´
ul iplo de d=mcd(a, b).
Aho a, eamos c´
omo se calculan odas las soluciones en e as de (2.3),
en caso de que las haya. Calculamos, median e el Algo i mo 1, u, ∈Z
ales que d=au +b . Como es amos en el supues o de que (2.3) iene
soluci´
on, c=c0d, pa a cie o c0∈N. As´
ı que x0=c0u,y0=c0 es una
soluci´
on, lo que se e mul iplicando d=au +b po c0.
Una ez calculada una soluci´
on pa icula x0, y0, supongamos x, y ∈Z
cualquie o a soluci´
on. En onces a(x−x0) + b(y−y0) = 0. Po o a pa e,
exis en a0, b0∈N ales que a=a0dyb=b0d. Tenemos, po una pa e, que
a0(x−x0) = b0(y0−y), y, de o a, 1=a0u+b0 . Po an o, mcd(a0, b0) = 1.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
2.3. IDEALES. ANILLOS COCIENTES. ECUACIONES EN
CONGRUENCIAS 25
Po el Lema 2.39, |x−x0|es un m ´
ul iplo de b0e|y−y0|es un m ´
ul iplo de a0.
Es o es, exis en k, l ∈Z ales que x−x0=kb0ey−y0=la0. De mane a que
a0b0k= −a0b0l, Po an o, x=x0+kb0,y=y0−ka0. De aqu´
ı, deducimos
que la soluci´
on gene al de (2.3) es
x=x0+kb0, y =y0−ka0, k ∈Z.
EJEMPLO 2.43. Resol amos la ecuaci´
on dio ´
an ica
2018x +1918y =100
Usa emos los da os calculados en el Ejemplo 2.38. Como mcd(2018, 1918) =
2, que es un di iso de 100, la ecuaci´
on iene soluciones en e as. Siguiendo
la no aci´
on del Ejemplo 2.42, enemos d=2,c0=50,a0=1009,b0=959,
u=211, = −222. Po an o, una soluci´
on pa icula es
x0=50 ×211, y0=50 ×(−222),
en an o que la soluci´
on gene al es
x=10550 +959k, y = −11100 −1009k (k∈Z).
OBSERVACI ´
ON 2.44. Aunque el p ocedimien o discu ido en el Ejemplo
2.42 supone a, b, c ∈N, en ealidad es o no es una es icci´
on. As´
ı, po
ejemplo, si a < 0, bas a con obse a que la la ecuaci´
on ax +by =ces
equi alen e a (−a)(−x) + by =c. Cambios de signos adecuados dan cuen a
ambi´
en de los dem´
as casos posibles pa a esol e con a, b, c ∈Z. Po
cie o, que la misma idea mues a que el c´
alculo del m´
aximo com ´
un di iso
de dos en e os, y de los coe icien es de Bezou , se educe ´
acilmen e al caso
de n ´
ume os posi i os. Con odo, da emos m´
as adelan e es os algo i mos
en con ex os m´
as gene ales, de los que Zse ´
a un ejemplo.
2.3. Ideales. Anillos cocien es. Ecuaciones en cong uencias
Vamos a e que cie as elaciones de equi alencia en un anillo dado
pe mi e do a al conjun o cocien e de es uc u a de anillo de una ma-
ne a na u al. Comenza emos po hace lo pa a g upos conmu a i os con
no aci´
on adi i a, ya que es a pa e de la cons ucci´
on es com ´
un a o os
´
ambi os impo an es, como po ejemplo los espacios ec o iales cocien es.
Dado un subg upo Ide un g upo abeliano (A, +, 0), y a∈I, de inimos
a+I={a+x|x∈I}.
Vamos a e que es os subconjun os de Ason las clases de equi alencia
pa a una cie a elaci´
on de equi alencia.
LEMA 2.45. Sea Iun subg upo de un g upo abeliano (A, +, 0). La ela-
ci´
on Ren Ade inida, pa a a, b ∈I, po aRb si, y s´
olo si, a−b∈Aes de equi-
alencia. La clase de equi alencia de a∈A iene desc i a po [a]R=a+I.
DEMOSTRACI ´
ON. Sea a∈A. Pues o que a−a=0∈I, enemos que aRa,
yRes e lexi a. Si a, b ∈Ason ales que aRb, en onces a−b∈I. De aqu´
ı,
b−a= −(a−b)∈I, luego bRa. Finalmen e, omemos a, b, c ∈R ales que
aRb ybRc. De aqu´
ı, a−c= (a−b) + (b−c)∈I, ya que a−b, b −c∈I. Po
an o, Res ansi i a y conluimos que es de equi alencia.
Tomemos a∈Ayb∈[a]R. Es o signi ica que bRa, po lo que b−a∈I.
Tomando x=b−a, ob enemos que b=a+x∈a+I. Tenemos, pues, que
[a]R⊆a+I. Pa a p oba la inclusi´
on ec´
ıp oca, omemos a+x∈[x]Rcon
x∈I. En onces a+x−a=x∈I, de donde (a+x)Ra ya+x∈[a]R.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
2.4. SUBANILLOS. HOMOMORFISMOS. UNIDADES 32
Obse emos que, si conside amos el isomo ismo iden idad idA, ene-
mos que Ke (idA) = {0}, luego A/{0}es isomo o a A, median e la aplicaci´
on
g
idA:A/{0}→Ade inida po g
idA({a}) = apa a odo {a}∈A/{0}.
EJERCICIO 2.75. Sean n, m ∈Ncon ndi iso de m, y sea d∈N al que
m=dn. Demos a que la aplicaci´
on :Zn→Zmdada po (x) = dx, pa a
x∈Znes ´
a bien de inida, y es un homomo ismo inyec i o de g upos.
Vayamos con los homomo ismos de anillos.
DEFINICI ´
ON 2.76. Sean AyB. Una aplicaci´
on :A→Bse dice un
homomo ismo de anillos si es homomo ismo de g upos, pa a los g upos
adi i os (A, +, 0)y(B, +, 0), y homomo ismo de monoides, pa a los monoi-
des mul iplica i os (A, ·, 1)y(B, ·, 1). En o as palab as, pa a cualesquie a
a, a0∈A, se iene
1. (a+a0) = (a) + (a0).
2. (aa0) = (a) (a0).
3. (1) = 1.
Un homomo ismo de anillos que sea biyec i o se llama un isomo ismo
de anillos. En onces −1 esul a se ambi´
en un isomo ismo de anillos.
EJEMPLO 2.77. Si Ies un ideal de un anillo conmu a i o A, en onces
la p oyecci´
on can´
onica π:A→A/I es un homomo ismo de anillos.
EJEMPLO 2.78. Conside emos, en el eje cicio 2.75, que n6=m6=1.
En onces el homomo ismo de g upos all´
ı de inido no es homomo ismo
de anillos ya que, po ejemplo, (1) = d6=1.
Bien, pa a o mula la e si´
on pa a anillos del Teo ema 2.72, necesi-
amos p ime o da la noci´
on de subanillo.
TEOREMA 2.79. Sea :A→Bun homomo ismo de anillos. En onces
Ke ( )es un ideal de Ay el isomo ismo de g upos e
:A/Ke ( )→Im( )dado
en el Teo ema 2.72 es un isomo ismo de anillos.
DEMOSTRACI ´
ON. En is a de lo a i mado en el Teo ema 2.72, s´
olo he-
mos de comp oba que e
es homomo ismo de monoides mul iplica i os.
P ime o comp obamos que p ese a el uno: e
(1+Ke ( )) = (1) = 1, po se
homomo ismo de anillos. En segundo, y ´
ul imo, luga , emos que e
es
mul iplica i a:
e
(a+Ke ( ))(b+Ke ( )) = e
(ab +Ke ( )) = (ab) =
(a) (b) = e
(a+Ke ( ))e
(b+Ke ( )).

EJEMPLO 2.80. Conside emos el anillo Z[x]de unciones polin´
omicas
con coe icien es en e os de inido en el Ejemplo 2.68. Dado un n ´
ume o eal
∈R, conside emos la aplicaci´
on e :Z[x]→Rde inida po e ( (x)) =
( )pa a odo (x)∈Z[x]. Es ´
acil comp oba que es a aplicaci´
on es un
homomo ismo de anillos. Po el Teo ema 2.79, Im(e )es un subanillo
de RyKe (e )es un ideal de Z[x], y enemos un isomo ismo de anillos
Z[x]/Ke (e )∼
=Im(e ).
La de e minaci´
on de Ke (e )puede no se ´
acil. Un n ´
ume o pa a el
cual Ke (e ) = {0}se llama anscenden e. Obs´
e ese que, pa a un n ´
ume o
anscenden e , el subanillo Im(e )de Res isomo o a Z[x].
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas

2.4. SUBANILLOS. HOMOMORFISMOS. UNIDADES 33
La anscencencia del n ´
ume o e ue demos ada po He mi e en 1873,
en an o que la anscendencia de πhubo de espe a a Lindemann en 1882.
No son demos aciones ´
aciles. De hecho, hay algunos n ´
ume os “ amosos”,
pa a los cuales no se sabe si son anscenden es.
Los n ´
ume os no anscenden es se llaman algeb aicos. As´
ı, un n ´
ume-
o algeb aico es el que sa is ace que Ke (e )6={0}. Po ejemplo, √2es
algeb aico. Tambi´
en son algeb aicos los n ´
ume os acionales, aunque un
n´
ume o algeb aico no iene po qu´
e se acional (es el caso de √2.).
EJERCICIO 2.81. Sea Aun anillo. Demos a que exis e un ´
unico ho-
momo ismo de anillos χ:Z→A. El n ´
ume o n∈Z al que Ke (χ) = nZ
se llama ca ac e ´
ıs ica de A. Deduci que Acon iene un ´
unico subanillo
isomo o a Zn( eco demos que Z0es isomo o con Z. )
EJERCICIO 2.82. Calcula odos los homomo ismos de anillos de Zna
Zm, pa a n, m ∈N.
En es e cu so, amos a da a ios m´
e odos pa a cons ui nue os ani-
llos a pa i de anillos conocidos. El p ime o ha sido el anillo cocien e A/I
de inido a pa i de un ideal Ide un anillo conmu a i o A. Veamos un
segundo m´
e odo, el p oduc o de anillos.
DEFINICI ´
ON 2.83. Sean A1, A2,...,A anillos. Conside emos el p oduc-
o ca esiano
A1×A2×···×A ={(a1, a2,...,a )|ai∈Aipa a i=1, . . . , }
Do amos a es e conjun o de las siguien es ope aciones suma y p oduc o,
de inidas a pa i de las de los anillos A1,...,A :
(a1, a2,...,a )+(b1, b2,...,b )=(a1+b1, a2+b2...,a +b ),
(a1, a2,...,a )(b1, b2,...,b )=(a1b1, a2b2...,a b ),
pa a (a1, a2, . . . , a ),(b1, b2,...,b )∈A1×A2×···×A .
Es ´
acil comp oba que, con es as ope aciones, A1×A2× ··· × A es
un anillo, donde el ce o es (0, 0, ··· , 0)y el uno es (1, 1, . . . , 1). Es e anillo se
llama anillo p oduc o de A1, A2,...,A . Es conmu a i o si cada uno de los
Ai’s lo es.
EJEMPLO 2.84. Podemos cons ui , po ejemplo, Z2×Z2oZ2×Z3.
Ve emos den o de poco que el segundo de es os anillos es “esencialmen-
e” Z6. Necesi amos el concep o de isomo ismo de anillos pa a exp esa
p ecisamen e qu´
e es “esencialmen e”.
DEFINICI ´
ON 2.85. Sean AyBanillos. Un isomo ismo de anillos de
AaBes un homomo ismo biyec i o de anillos :A→B. En al caso,
−1:B→Aes ambi´
en un isomo ismo de anillos. Si exis e un isomo is-
mo de anillos de AaB,di emos que AyBson isomo os, y esc ibi emos
ab e iadaman e A∼
=B, cuando el con ex o desca e oda ambig¨
uedad.
TEOREMA 2.86 (Teo ema Chino del Res o, e si´
on homomo ismo). Sean
I1, I2, . . . , I ideales de un anillo A. En onces la aplicaci´
on
:A→A/I1×A/I2×···×A/I
de inida po (a)=(a+I1, a +I2,...,a+I )pa a a∈Aes un homomo ismo
de anillos cuyo n ´
ucleo es I=I1∩I2∩···∩I . Po an o, induce en el cocien e
A/I un homomo ismo inyec i o de anillos
e
:A/I →A/I1×A/I2×···×A/I ,e
(a+I)=(a+I1, a +I2,...,a+I ).
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
2.4. SUBANILLOS. HOMOMORFISMOS. UNIDADES 34
Adem ´
as, e
es un isomo ismo de anillos si, y s´
olo si, Ii+Ij=Apa a odo
i6=j.
DEMOSTRACI ´
ON. Que es un homomo ismo de anillos es una com-
p obaci´
on u ina ia. Pa a a∈A, enemos que a∈Ke ( )si, y s´
olo si
a+Ii=Iipa a odo i=1, . . . , , es o es, a∈Iipa a odo i=1,..., . Po
an o, Ke ( ) = I. El Teo ema 2.79 da aho a el homomo ismo inyec i o e
.
Cu´
ando ´
es e es sob eyec i o y, po an o, un isomo ismo, es consecuencia
del Teo ema 2.59. 
Vamos aho a a in oduci el g upo de unidades de un anillo.
DEFINICI ´
ON 2.87. Sea Aun anillo. Un elemen o a∈Ase llama una
unidad de Asi exis e u∈A al que au =1yua =1. El conjun o de las
unidades de Ase deno a ´
aU(A). Que U(A)es un g upo, con la ope aci´
on
p oduc o, es sencillo de comp oba .
EJEMPLO 2.88. Vol amos a Zn. La ecuaci´
on modula (2.7) es equi a-
len e a la ecuaci´
on en Zn
(2.18) a x =b.
Si omamos b=1, enemos que la ecuaci´
on (2.18) iene soluci´
on si, y
s´
olo si, mcd(a, n) = 1. Obse emos que, pa a esol e la, bas a con calcula
u, ∈Z al que 1=au +n , ya que, en onces, 1=a u +n =a u.
Hemos demos ado, pues, que U(Zn) = {u|mcd(u, n) = 1}.
Cuando el g upo de unidades es lo mayo posible, y el anillo es con-
mu a i o y no i ial, enemos un cue po.
DEFINICI ´
ON 2.89. Un anillo conmu a i o no i ial Aes un cue po si
U(A) = A {0}.
EJEMPLO 2.90. Se sigue del Ejemplo 2.88 que el anillo Znes un cue po
si, y s´
olo si, nes un n ´
ume o p imo.
EJEMPLO 2.91. El anillo Res un cue po.
EJERCICIO 2.92. Demos a que si A1,...,A son anillos, en onces
U(A1×···×A ) = U(A1)×···×U(A ).
Seguidamen e, amos a da un m´
e odo pa a calcula el n ´
ume o de
unidades de Zn, donde apa ece ´
a la celeb ada unci´
on o ien e de Eule .
TEOREMA 2.93. Pa a cada n ´
ume o na u al ndis in o de 0, de inimos
ϕ(n)como el n ´
ume o de na u ales k≤n ales que mcd(k, n) = 1. En onces:
1. Si m, n ∈N+son cop imos en e s´
ı, en onces ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
2. Si n∈N,n6=0, 1 yn=pe1
1···pe
es su descomposici´
on como p o-
duc o de n ´
ume os p imos, donde p1, . . . , p son p imos dis in os y
e1,...,e ∈N+, en onces
ϕ(n)=(p1−1)···(p −1)pe1−1
1···pe −1
.
3. Si n∈N,n6=0, 1, en onces
ϕ(n) = nY
pp imo
p|n
(1−1
p)
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
2.4. SUBANILLOS. HOMOMORFISMOS. UNIDADES 35
DEMOSTRACI ´
ON. 1. Como consecuencia del Teo ema 2.86, enemos un
isomo ismo de anillos
Z
mZ∩nZ
∼
=Z
mZ×Z
nZ.
Dado que mcm(m, n) = mn, enemos que mZ∩nZ=mnZ. Po an o, ene-
mos un isomo ismo de anillos
Zmn ∼
=Zm×Zn,
cuya es icci´
on a U(Znm)da un isomo ismo de g upos mul iplica i os
U(Zmn)∼
=U(Zm)×U(Zn). Seg ´
un el Ejemplo 2.88, ϕ(k)es el ca dinal del
g upo U(Zk). Po an o, ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
2. Vamos a azona po inducci´
on sob e ≥1. Pa a =1, hemos de
con a los n ´
ume os 0<u≤pe1
1 ales que mcd(u, pe1
1) = 1. Es m´
as ´
acil
con a aquellos u ales que mcd(u, pe1
1)6=1. De hecho, es a condici´
on es
equi alen e a deci que p1es un di iso de u. Pe o los m ´
ul iplos ude p1
con u≤pe1
1se ob ienen como uk, con 0 < k ≤pe1−1
1. As´
ı,
ϕ(pe1
1) = pe1
1−pe1−1
1= (p1−1)pe1−1
1.
La inducci´
on se comple a ´
acilmen e usando el apa ado 1.
3. Es a igualdad se ob iene inmedia amen e del apa ado an e io e-
niendo en cuen a que n=pe1
1···pe
.
Vamos a conclui con un eo ema de Eule que iene impo ancia an o
e´
o ica como p ´
ac ica4
LEMA 2.94. Sea Gun g upo conmu a i o, pa a el que usamos no aci´
on
mul iplica i a, con elemen o neu o e. Si Ges ini o y iene melemen os,
en onces gm=epa a odo g∈G.
DEMOSTRACI ´
ON. La aplicaci´
on :Z→G, de inida po (i) = gipa a
i∈Z, es un homomo ismo de g upos. Sabemos que Ke ( )es un subg upo
de Z, po lo que, de acue do con el Teo ema 2.20, exis e n∈N al que
Ke ( ) = nZ. Po el Teo ema 2.72, Im( )∼
=Zn. Como Ges ini o, deducimos
que n > 0. Po el Eje cicio 2.52, nes un di iso de m. Po an o, e= (0) =
(m) = gm.
TEOREMA 2.95. Sea n∈N,n6=0, 1. En onces, pa a odo a∈Z al que
mcd(a, n) = 1, enemos que
(2.19) aϕ(n)≡1(mod n)
DEMOSTRACI ´
ON. Sabemos que ϕ(n)es el ca dinal del g upo U(Zn).
Como a∈U(Zn), deducimos del Lema 2.94 que aϕ(n)=1en Zn. Es a
igualdad es equi alen e a (2.19). 
EJEMPLO 2.96. Vamos a calcula los dos ´
ul imos d´
ıgi os de 1341. E i-
den emen e, es o es calcula el es o de di idi 1341 en e 100. Usa emos la
a i m´
e ica de Z100. Obse emos que ϕ(100) = ϕ(2252) = 40. Po an o,
1341 ≡13 (mod 100),
lo que indica que las dos ´
ul imas ci as pedidas son 13.
4Es e esul ado se usa pa a el dise˜
no del sis ema c ip og ´
a ico RSA, de uso muy
ex endido.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
2.4. SUBANILLOS. HOMOMORFISMOS. UNIDADES 36
EJERCICIO 2.97. Sean I, J subg upos de un g upo adi i o A ales que
I⊆J. Da un isomo ismo de g upos
A/I
J/I
∼
=A
I.
Comp oba que, si Aes un anillo, e IyJson ideales de A, en onces el
an e io isomo ismo es de anillos.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
Cap´
ı ulo 3
Anillos de Polinomios. Dominios Eucl´
ıdeos.
3.1. Noci´
on de Anillo de Polinomios
Vamos a in oduci una cons ucci´
on undamen al, la de anillo de po-
linomios. Los ing edien es pa a cons ui es os anillos son un anillo de
coe icien es y una inde e minada. Pa a e i a concebi es a ´
ul ima de ma-
ne a eso ´
e ica, ha emos una cons ucci´
on o mal de la misma. Es deci ,
amos a da consis encia ma em´
a ica a la exp esi´
on “suma o mal”que se
suele usa pa a habla de polinomios.
Es con enien e p ime o discu i de qu´
e mane a un anillo se puede
conside a “den o” de o o. Una espues a ob ia es que eso es la noci´
on
de subanillo. Sin emba go, es e pun o de is a es demasiado ´
ıgido en la
p ´
ac ica. Veamos un ejemplo de es o.
EJEMPLO 3.1. Conside emos el anillo R[x]de las unciones polin´
omi-
cas. Sea ι:R→R[x]la aplicaci´
on que asigna a cada n ´
ume o eal ∈Rla
unci´
on cons an e ι:R→R, de inida po ι( )(x) = pa a odo ∈R. Es ´
acil
e que ιes un homomo ismo inyec i o de anillos y, po an o, la aplica-
ci´
on co es icci´
on de ιda un isomo ismo de anillos R∼
=Im(ι). Obse e-
mos que Im(ι)es el subanillo de R[x] o mado po las unciones cons an es.
Bien, una simpli icaci´
on usual sus i ui Rpo su imagen isomo a Im(ι)
y, po an o, conside a Rcomo un subanillo de R[x]. Expl´
ıci amen e, es o
signi ica conside a cada n ´
ume o eal como la unci´
on cons an emen e
, sin hace expl´
ıci o el homomo ismo inyec i o ι.
En gene al, si enemos anillos AyBy un homomo ismo inyec i o de
anillos ι:A→B, el anillo Aes isomo o al subanillo Im(ι)de B. Siemp e
que ιes ´
e cla o po el con ex o, no hay p oblema en iden i ica Acon
Im(ι). En la p ´
ac ica, es o signi ica que si a∈Ayb∈B, esc ibi emos, po
ejemplo, ab pa a ep esen a ι(a)b, o a+bpa a ι(a) + b. Di emos que B
con iene la copia isomo a Im(ι)de A.
TEOREMA 3.2. Sea Aun anillo conmu a i o. Exis e un anillo conmu a i o
Pque con iene una copia isomo a de Ay un elemen o X al que cualquie
elemen o no nulo ∈Pse ep esen a de mane a ´
unica como
(3.1) = 0+ 1X+···+ nXn,
pa a 0, 1,..., n∈Ay n6=0.
DEMOSTRACI ´
ON. Vamos a cons ui p ime o un anillo Sdel que Pse ´
a
un subanillo. Tomemos
S=Map(N, A),
el conjun o de odas las aplicaciones de NaA. Si ∈S, esc ibimos (n) = n
pa a cada n∈N, podemos esc ibi como la sucesi´
on ( n)n≥0o, m´
as
g ´
a icamen e,
= ( 0, 1,..., n, . . . ).
37

3.1. NOCI ´
ON DE ANILLO DE POLINOMIOS 38
Comencemos do ando a Sde una suma que lo con ie a en g upo adi i o.
De inimos, pa a = ( n)n≥0, g = (gn)n≥0∈P, su suma +g=s, donde
s= (sn)n≥0es ´
a de inida po
sn= n+gn,
pa a n∈N. Es ´
acil e que, con es a suma, Ses un g upo adi i o. El “ce o”
es la sucesi´
on cons an emen e 0, es o es
0= (0, 0, . . . , 0, . . . )
El p oduc o es un poco m´
as elabo ado. As´
ı, g =p, donde p= (pn)n≥0
iene de inida po
(3.2) pn=X
i+j=n
igj.
pa a cada n∈N. Es a mul iplicaci´
on iene elemen o neu o, que es la
sucesi´
on odos cuyos ´
e minos son 0sal o el p ime o (el que ocupa el
luga 0-´
esimo), que es 1. Es o es
1= (1, 0, 0, . . . , 0, . . . )
Es a mul iplicaci´
on es asocia i a. En e ec o si = ( n)n≥0, g = (gn)n≥0, h =
(hn)n≥0∈S, en onces el ´
e mino n–´
esimo del p oduc o ( g)hes es
(3.3) X
i+j=n X
u+ =i
ug !hj=X
u+ +j=n
ug hj,
donde hemos usado que el p oduc o de Aes asocia i o y dis ibu i o con
espec o de la suma de A. An´
alogamen e, el ´
e mino n–´
esimo de (hg)es
(3.4) X
i+j=n
i
X
u+ =j
g h 
=X
i+u+ =n
iguh .
Como los miemb os de la de echa de (3.3) y (3.4) son iguales, enemos la
mul iplicaci´
on es asocia i a.
Es ´
acil comp oba , usando que Aes conmu a i o, que es a mul ipli-
caci´
on es ambi´
en conmu a i a. Queda ambi´
en es a la p opiedad dis i-
bu i a, que no es ampoco di ´
ıcil.
Aho a de inimos ι:A→Smedian e la egla
ι(a)=(a, 0, 0, . . . , 0 . . . ), a ∈A.
Dadas las ope aciones suma y p oduc o de inidas en S, y qui´
en es su
“uno”, es muy ´
acil comp oba que ιes un homomo ismo inyec i o de
anillos. Po an o, Im(ι)es una copia isomo a de Aden o de S. Usando
es a iden i icaci´
on y deno ando
X= (0, 1, 0, . . . , 0, . . . )
es cla o que
aX = (0, a, 0, . . . , 0, . . . ),
pa a cada a∈A.
Obse emos cu´
al es el e ec o de mul iplica ∈Spo X. Llamemos,
p o isionalmen e, p=X , y analicemos sus ´
e minos. Po ejemplo, p0=
X0 0=0, ya que X0=0. Pa a n>0, enemos que
pn=X
i+j=n
Xi j=X1 n−1= n−1.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
3.1. NOCI ´
ON DE ANILLO DE POLINOMIOS 39
Es deci ,
X( 0, 1, . . . )=(0, 0, 1, . . . ).
Deducimos de aqu´
ı que, pa a cada i≥1,Xies la sucesi´
on odos cuyos
´
e minos son nulos, excep o el i–´
esimo, que es 1.
Tomemos aho a el subconjun o Pde Sde aquellas sucesiones ales
que s´
olo una can idad de ´
e minos no nulos. Es deci , cada ∈Pes de la
o ma
= ( 0, 1,..., m, 0, 0, . . . ),
es o es, se puede esc ibi en la o ma
= 0+ 1X+···+ mXm,
pa a cie os 0, 1, . . . , m∈A. De la de inici´
on de la suma en S, deducimos
´
acilmen e que Pes un subg upo adi i o de S. Tambi´
en es cie o que un
p oduc o de dos elemen os de Pse queda en P, ya que, seg ´
un la de inici´
on
3.2, si , g ∈Py i=0exis en n, m ∈Npa a odo i > n, y gj=0pa a odo
j>m, en onces el p oduc o p= g e i ica que pk=0pa a odo k>n+m.
Po ´
ul imo, es cla o que 1∈P.
Ob iamen e, la copia isomo a de Aen Sdesc i a an es, es ´
a, de hecho,
en P. Po ´
ul imo, cada elemen o no nulo ∈Pse esc ibe en la o ma
= 0+ 1X+···+ nXn
con n6=0. Es a o ma es ´
unica, ya que dice que es la sucesi´
on
= ( 0, 1,..., n, 0, 0 . . . ),
y dos sucesiones son iguales si, y s´
olo si, son iguales ´
e mino a ´
e mino.

DEFINICI ´
ON 3.3. El anillo Pde inido en el Teo ema 3.2 se llama anillo
de polinomios en la inde e minada Xcon coe icien es en A. Seguidamen e,
amos a e que Xse compo a cie amen e como una inde e minada.
Usamos la no aci´
on P=A[X].
EJERCICIO 3.4. Comple a la demos aci´
on de la P oposici´
on 3.2 com-
p obando los de alles no explici ados.
OBSERVACI ´
ON 3.5. El anillo Scons uido en la demos aci´
on del Teo-
ema 3.2 se llama anillo de se ies o males en Xcon coe icien es en A, y
se usa la no aci´
on S=A[[X]]. Cada elemen o = ( n)n≥0se ep esen a
no malmen e po P∞
n=0 nXn. Pe o es o no debe de p eocupa nos du an e
es e cu so.
TEOREMA 3.6 (P opiedad uni e sal del anillo de polinomios). Sean A
yBanillos conmu a i os. Pa a cada homomo ismo de anillos φ:A→By
cada elemen o b∈B, exis e un ´
unico homomo ismo de anillos b
φ:A[X]→B
al que b
φ|A=φyφ(X) = b.
DEMOSTRACI ´
ON. Veamos p ime o que, de exis i , b
φha de se ´
unico.
Pa a ello, omamos = 0+ 1X+···+ nXn∈A[X]y le aplicamos b
φ, que se
supone homomo ismo de anillos, po lo que
(3.5) b
φ( ) = b
φ( 0) + b
φ( 1)b
φ(X) + ···+b
φ( n)b
φ(X)n
=φ( 0) + φ( 1)b+···+φ( n)bn.
De modo que, de exis i b
φen las condiciones eque idas, ha de es a de i-
nido po (3.5), lo que p ueba su unicidad.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
3.1. NOCI ´
ON DE ANILLO DE POLINOMIOS 40
De inamos aho a b
φ:A[X]→B. Decla amos que b
φ(0) = 0y, pa a 06= ∈
A[X], usando la ep esen aci´
on ´
unica de dada en (3.1), de inimos
b
φ( ) = φ( 0) + φ( 1)b+···+φ( n)bn.
Pa a comp oba que b
φ, as´
ı de inido, es un homomo ismo de anillos, es
c´
omodo ep esen a cada ∈A[X], de mane a compac a, como =Pi iXi.
En es a no aci´
on se sob een iende que i∈Aes nulo sal o una can idad
ini a de sub´
ındices i∈N. As´
ı, la suma indicada es ini a. Bien, dados
, g ∈A[X], enemos
b
φ( +g) = b
φ(Pi iXi+PigiXi)
=b
φ(Pi( i+gi)Xi)
=Piφ( i+gi)bi
=Piφ( i)bi+Piφ(gi)bi
=b
φ( ) + b
φ(g),
y
b
φ( g) = b
φ((Pi iXi)(PigiXi))
=b
φ(Pk(Pi+j=k igj)Xk)
=Pkφ(Pi+j=k igj)bk
=Pk(Pi+j=kφ( i)φ(gj))bk
=Piφ( i)biPiφ(gi)bi
=b
φ( )b
φ(g).
Como, cla amen e, b
φ(1) = φ(1) = 1, enemos que b
φes cie amen e un
homomo ismo de anillos. Adem´
as, b
φ(a) = φ(a)pa a odo a∈A, y b
φ(X) =
b.
Una consecuencia impo an e del an e io eo ema es la noci´
on de e a-
luaci´
on.
COROLARIO 3.7. Si Aes un subanillo de Byb∈B, en onces enemos el
homomo ismo de anillos e b:A[X]→Bdado po
e b( ) = X
i
ibi,( =X
i
iXi∈A[X]).
Es e es el llamado homomo ismo e aluaci´
on en b. Se usa la no aci´
on
(b) = e b( ).
EJEMPLO 3.8. El anillo de polinomios R[X]y el de unciones polin´
omi-
cas R[x]son isomo os. Expl´
ıci amen e, si deno amos po xa la unci´
on
polin´
omica iden idad en R, en onces enemos el homomo ismo e alua-
ci´
on e x:R[X]→R[x]. Se a a de un homomo ismo sob eyec i o, ya que
si p(x) = anxn+··· +a0es una unci´
on polin´
omica, en onces e x(anXn+
··· +a0) = p(x). Tambi´
en es inyec i o, pues o que su n ´
ucleo es ce o. En
e ec o, si = 0+ 1X+···+ nXn∈Ke (e x)con n6=0, en onces la unci´
on
polin´
omica (x) = e x( ) = 0+ 1x+··· + nxnha de se nula. Pe o es o
implica1que n=0. Lo que es una con adicci´
on.
1Si es o no nos pa ece e iden e, podemos usa un poco de C´
alculo Di e encial y calcula
la n–´
esima de i ada de (x), que ha de se nula ambi´
en. M´
as adelan e, e emos que no es
necesa io usa C´
alculo Di e encial pa a jus i ica es o.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
3.2. DIVISI ´
ON CON RESTO DE POLINOMIOS 41
3.2. Di isi´
on con es o de polinomios
Comencemos de iniendo algunos pa ´
ame os asociados a un polino-
mio. Sea Auna anillo conmu a i o, y omemos un polinomio no nulo
∈A[X],
= 0+ 1X+···+ nXn,
con i∈Apa a i=0, 1, . . . , n y n6=0. Cada iXise ecibe el nomb e de
monomio de .
Llamamos g ado de al n ´
ume o na u al deg( ) = n. El coe icien e l´
ıde
o di ec o de se de ine como lc( ) = n, en an o que el monomio l´
ıde o
di ec o de es lm( ) = nXn.
Pa a abaja con agilidad con polinomios, in oducimos el s´
ımbolo
−∞, y decimos que deg(0)=−∞. Con enimos que −∞< n pa a odo
n∈N, y ambi´
en que −∞+n= −∞=n+ (−∞) = −∞+ (−∞). Con es a
con enci´
on, enemos que, si 06= ∈A[X], en onces
=lc( )Xdeg( )+ ↓,
pa a ↓∈A[X] al que deg( ↓)<deg( ).
El siguien e lema ecoge las p opiedades b´
asicas del g ado.
LEMA 3.9. Sean , g ∈A[X]no nulos. En onces
1. deg( +g)≤m´
ax{deg( ),deg(g)}.
2. deg( +g)<m´
ax{deg( ),deg(g)}si, y s´
olo si, deg( ) = deg(g)ylc(g)+
lc( ) = 0.
3. deg( g)≤deg( ) + deg(g).
4. deg( g)<deg( ) + deg(g)si, y s´
olo si, lc( )lc(g) = 0.
DEMOSTRACI ´
ON. Esc ibamos = nXn+ ↓yg=gmXm+g↓, con n=
deg( )ym=deg(g).
1 y 2. Podemos supone , sin p´
e dida de gene alidad, que n≤m. Tene-
mos que
+g= nXn+ ↓+gmXm+g↓.
Si n<m, en onces en los polinomios ↓, gmXm, g↓s´
olo apa ecen monomios
de g ado meno que n. As´
ı, deg( ) = n=m´
ax{n, m}. Si n=m, en onces
+g= ( n+gn)Xn+ ↓+g↓.
As´
ı que si n+gn6=0, en onces deg( +g) = n=m´
ax{n, m}. En caso de se
n+gn=0, en onces deg( +g) = deg( ↓+g↓)< n.
3 y 4. Tenemos que
(3.6) g = ( nXn+ ↓)(gmXm+g↓) = ngmXn+m+ nXng↓+gmXm ↓+ ↓g↓.
Razonamos po inducci´
on sob e deg( ) + deg(g) = n+m.
Si n+m=0, en onces n=m=0y, po an o, , g ∈A. Po an o, g ∈A
y deg( g) = 0=deg( ) + deg(g)si g 6=0, y deg( g)=−∞< 0 si g =0.
Supongamos aho a que n+m>0. Po hip´
o esis de inducci´
on,
deg( nXng↓)≤n+deg(g↓)< n +m.
An´
alogamen e, deg(gmXm ↓)< n+my deg( ↓g↓)< n+m. As´
ı que, si ngm6=
0, deducimos que de (3.6) que deg( g) = n+m=deg( ) + deg(g). En an o
que si ngn=0, deducimos que
deg( g) = deg( nXng↓+gmXm ↓+ ↓g↓)
≤m´
ax{deg( nXng↓),deg(gmXm ↓),deg( ↓g↓)}< n +m
Lo que comple a la inducci´
on. 
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
3.3. DOMINIOS DE IDEALES PRINCIPALES Y DIVISIBILIDAD 48
mcd de a1,...,an, y d0es al que ha1, . . . , ani⊆hd0i. Como d0es un di iso
com ´
un de a1,...,an, deducimos que d0|d. Po an o, hdi⊆hd0i, y hdies
m´
ınimo en e los ideales p incipales de Aque con ienen a ha1,...,ani. El
azonamien o pa a demos a el ec´
ıp oco es igual de sencillo. Aho a, dado
un mcd dde a1, . . . , an, en onces d0∈Aes mcd de a1,...,ansi, y s´
olo si,
hdi=hd0i. De acue do con la P oposici´
on 3.30, es o es equi alen e a deci
que dyd0son asociados. 
PROPOSICI ´
ON 3.37. Si Aes un dominio de ideales p incipales y a1,...,an∈
A, en onces exis e un m ´
aximo com ´
un di iso de a1, . . . , an. De hecho, d=
mcd(a1,...,an)pa a cualquie d∈A al que ha1,...,ani=hdi.
DEMOSTRACI ´
ON. Como Aes un DIP, ha1,...,ani=hdipa a alg ´
un d∈
A. Se sigue del Lemma 3.36 que d=mcd(a1,...,an).
El siguien e co ola io se sigue inmedia amen e.
COROLARIO 3.38 (Iden idad de Bezou ). Sean a, b ∈A, donde Aes un
DIP, y d=mcd(a, b). Exis en u, ∈A ales que d=ua + b.
EJERCICIO 3.39. Supongamos a, b, c ∈A, donde Aes un DI, ales que
los m´
aximos comunes di iso es in oluc ados en la igualdad
mcd(mcd(a, b), c) = mcd(a, mcd(b, c))
exis en. Demos a que la ci ada igualdad es co ec a.
Vayamos con el m´
ınimo com ´
un m ´
ul iplo. P ime o, lo de ini emos en
un dominio de in eg idad cualquie a, y luego e emos que siemp e cuando
manejamos elemen os de un DIP.
DEFINICI ´
ON 3.40. Sean a1,...,an∈A, donde Aes un dominio de
in eg idad. Di emos que m∈Aes un m ´
ul iplo com ´
un de a1, . . . , ansi
a1|m,...,an|m. Un m´
ınimo com ´
un m ´
ul iplo de a1,...,anes un m ´
ul iplo
com ´
un mde a1,...,any al que si m0es cualquie o o m ´
ul iplo com ´
un de
a1,...,an, en onces m|m0.
LEMA 3.41. Sean a1,...,an∈A, donde Aes un DI. Un elemen o mde
Aes un m´
ınimo com ´
un m ´
ul iplo de a1,...,ansi, y s´
olo si, hmies m ´
aximo,
pa a la inclusi´
on, en e odos los ideales p incipales de Acon enidos en
ha1i∩···∩hani. Como consecuencia, si mes un m´
ınimo com ´
un m ´
ul iplo de
a1,...,an, en onces el conjun o de odos los m´
ınimos comunes m ´
ul iplos de
a1,...,anes la clase de equi alencia [m]∈A/∼, es deci , el conjun o de los
elemen os asociados a m. Po mcm(a1,...,an)se deno a ´
a cualquie a de
es os elemen os.
DEMOSTRACI ´
ON. Obse emos que si a∈A, en onces aes un com ´
un
m´
ul iplo de a1, . . . , ansi, y s´
olo si, ha1i∩ ···∩ hani ⊇ hai. Supngamos que
mes un mcm de a1,...,an, y m0es al que ha1i∩···∩hani⊇hm0i. Como
m0es un m ´
ul iplo com ´
un de a1,...,an, deducimos que m|m0. Po an o,
hm0i ⊆ hmi, y hmies m´
aximo en e los ideales p incipales de Acon enidos
en ha1i∩···∩hani. El azonamien o pa a demos a el ec´
ıp oco es igual
de sencillo. Aho a, dado un mcm mde a1,...,an, en onces m0∈Aes mcm
de a1,...,ansi, y s´
olo si, hmi=hm0i. De acue do con la P oposici´
on 3.30,
es o es equi alen e a deci que mym0son asociados. 
PROPOSICI ´
ON 3.42. Si Aes un dominio de ideales p incipales y a1,...,an∈
A, en onces exis e un m´
ınimo com ´
un m ´
ul iplo de a1, . . . , an. De hecho, m=
mcm(a1, . . . , an)pa a cualquie m∈A al que ha1i∩···∩hani=hmi.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas

3.3. DOMINIOS DE IDEALES PRINCIPALES Y DIVISIBILIDAD 49
DEMOSTRACI ´
ON. Como Aes un DIP, ha1i∩···∩hani=hmipa a alg ´
un
m∈A. Se sigue del Lema 3.36 que m=mcm(a1,...,an).
EJERCICIO 3.43. Supongamos a, b, c ∈A, donde Aes un DI, ales que
los m´
ınimos comunes m ´
ul iplos in oluc ados en la igualdad
mcm(mcm(a, b), c) = mcm(a, mcm(b, c))
exis en. Demos a que la ci ada igualdad es co ec a.
Una de las cualidades m´
as in e esan es de un DIP es que, a pa i de
´
el, pueden cons ui se muchos cue pos. En pa icula , podemos aplica
es a idea a K[X], donde Kes un cue po dado. Veamos p ime o una de ini-
ci´
on impo an e.
DEFINICI ´
ON 3.44. Un elemen o ade un DI Ase di ´
ai educible si a6=
0, a /∈U(A)y pa a cualquie ac o izaci´
on a=bc, con b, c ∈A, se iene que,
o bien b∈U(A), o bien c∈U(A).
EJEMPLO 3.45. Los elemen os i educibles de Zson los n ´
ume os na-
u ales p imos y sus opues os.
EJEMPLO 3.46. Si Kes un cue po, en onces odo polinomio ∈K[X]de
g ado 1(´
es os se llaman lineales) es i educible. En e ec o, si deg( ) = 1
y =gh pa a g, h ∈K[X], en onces 1=deg(g) + deg(h). Po an o, o bien
deg(g) = 0, o bien deg(h) = 0. Es a disyunci´
on se aduce en que o bien
g∈U(K)o bien h∈U(K). Como U(K[X]) = U(K), concluimos que es
i educible.
EJEMPLO 3.47. Vamos a demos a que X2+1es i educible en R[X].
La ´
unica mane a de no se lo, es pode ac o iza lo como X2+1=gh, pa a
gyhpolinomios lineales. Supongamos que g=aX +b, con a, b ∈Ry
a6=0. En onces α= −b/a es una a´
ız de gy, po an o, de X2+1. As´
ı que
α2+1=0, lo que es imposible, po que α2≥0.
DEFINICI ´
ON 3.48. Un elemen o pde un DI se llama p imo si p6=0,
p /∈U(A)y siemp e que p|ab pa a a, b ∈A, en onces p|aop|b.
EJERCICIO 3.49. Demos a que si pes un elemen o no nulo de un
dominio de in eg idad A, en onces pes p imo si, y s´
olo si, A/hpies un
dominio de in eg idad.
LEMA 3.50. Todo elemen o p imo de un DI es i educible.
DEMOSTRACI ´
ON. Supongamos que pes un elemen o p imo de un do-
minio de in eg idad A, y conside emos una ac o izaci´
on p=bc con b, c ∈
A. En onces p|bop|c. En el p ime caso, b∈ hpi. De aqu´
ı, hpi=hbi, luego
b=up, pa a cie o u∈U(A). Po an o, p=upc, luego cancelando p, ob-
enemos 1=uc yc∈U(A). Si p|c, ob enemos que b∈U(A). As´
ı que pes
i educible. 
TEOREMA 3.51. Sea 06=p∈A, donde Aes un DIP. Las siguien es
a i maciones son equi alen es.
(I)A/hpies un cue po.
(II)A/hpies un dominio de in eg idad.
(III)pes p imo.
(IV)pes i educible.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
3.3. DOMINIOS DE IDEALES PRINCIPALES Y DIVISIBILIDAD 50
DEMOSTRACI ´
ON. P ime o, obse emos que odas las a i maciones en-
a˜
nan que p /∈U(A)( eco demos que an o DI como cue pos son no i-
iales, po de inici´
on.
(I)⇒(II). E iden e.
(II)⇒(III). Eje cicio 3.49.
(III)⇒(IV). Lema 3.50.
(III)⇒(I). Si pes i educible y omamos b+hpi ∈ A/hpidis in o de
ce o, en onces b /∈ hpi. Tomemos d=mcd(p, b). Como pes i educible,
deducimos que o des asociado a p, o bien d∈U(A). En el p ime caso,
p|b, lo que implica que b∈ hpi. As´
ı que hemos de admi i que d∈U(A).
Po an o, 1=mcd(p, b)( eco demos que es a no aci´
on signi ica “1es un
mcd de pyb”). Po Bezou , exis en u, ∈A ales que 1=pu+b . Luego, en
A/hpi,b+hpi iene como in e so mul iplica i o a +hpi. Es o demues a
que A/hpies un cue po. 
EJEMPLO 3.52. Es amos en condiciones de a i ma , en is a del Ejem-
plo 3.47 y del Teo ema 3.51, que C=R[X]/hX2+1ies un cue po. Obse e-
mos que si +hX2+1ies cualquie elemen o de al cue po, en onces, po
di isi´
on eucl´
ıdea, = (X2+1)q+ , con =aX +bpa a cie os a, b ∈R. As´
ı,
cualquie elemen o de Cse exp esa en la o ma
(3.7) a+bX +hX2+1i=a+hX2+1i+ (b+hX2+1i)(X+hX2+1i).
Aho a, la aplicaci´
on ι:R→Cque lle a ∈Ren ι( ) = +hX2+1ies un
homomo ismo inyec i o de anillos. As´
ı que podemos iden i ica Rcomo
un subanillo de C, con lo que el miemb o de la de echa de 3.7 de iene
a+b(X+hX2+1i).
Si esc ibimos i=X+hX2+1i, enemos que cada elemen o de Cse esc ibe
en la o ma a+bi, pa a a, b ∈R. Adem´
as,
i2= (X+hX2+1i)2=X2+hX2+1i= −1+hX2+1i= −1,
Quienes conozcan el cue po de los n ´
ume os complejos, lo hab ´
an e-
conocido en C. Usa emos, po an o, la no aci´
on C=C, pa a es e cue po.
Hemos is o que, con las simpli icaciones no acionales hechas, cada ele-
men o de Cse exp esa como a+bi, pa a a, b ∈Ry que i2= −1. Usando las
p opiedades asocia i as, conmu a i as y dis ibu i as de las ope aciones
de C, enemos que
(a+bi)(c+di) = ac −bd + (ad +bc)i;
la mul iplicaci´
on de n ´
ume os complejos.
Con enz´
amonos de que la exp esi´
on a+bi, con a, b ∈R, de cada n ´
ume-
o complejo, es ´
unica. Si a+bi =a0+b0ien onces a−a0+ (b−b0)i=0.
Es o lle a a que a−a0+ (b−b0)X∈ hX2+1i. Mi ando g ados, es o es s´
olo
posible si a−a0+ (b−b0)X=0en R[X]. O sea, a=a0, y b=b0.
El cue po Ces undamen al en la Ciencia, as´
ı que demos algunas
p opiedades undamen ales del mismo. Dado un n ´
ume o complejo z=
a+bi, con a, b ∈R,ase llama pa e eal de zybse llama pa e imagina ia.
El n ´
ume o z=a−bi se llama conjugado de z.
Una p opiedad ese˜
nable es que la aplicaci´
on (−) : C→Cque lle a
cada zen su conjugado zes un isomo ismo de anillos2, que deja ijos los
2se suele deci que es un au omo ismo de cue pos
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
3.4. DOMINIOS EUCL´
IDEOS 51
n´
ume os eales. Es un eje cicio ´
acil comp oba es o. Ob iamen e, (−) es
su p opio in e so pa a la composici´
on. Adem´
as,
zz =a2+b2,
es cla amen e un n ´
ume o eal no nega i o. De inimos el m´
odulo de zcomo
|z|=√zz. Es e m´
odulo mide la longi ud del ec o del plano eal de compo-
nen es (a, b). Vemos que z=0si, y s´
olo si, |z|=0. De la ecuaci´
on zz =|z|2
ex aemos, pa a z6=0, la ´
o mula
z−1=z
|z|2,
con la que se suele calcula el in e so mul iplica i o de un n ´
ume o com-
plejo.
EJERCICIO 3.53. Sean a, b, x, y ∈A, con Aun DIP, ales que xa =yb.
Demos a que, si mcd(x, y) = 1, en onces mcm(a, b) = ax. (Suge encia:
usa la iden idad de Bezou ).
EJERCICIO 3.54. Sean a, b, x, y ∈A, con Aun DIP, ales que xa =yb.
Demos a que, si mcd(x, y) = 1, en onces aes un m ´
ul iplo de yybes un
m´
ul iplo de x. (Suge encia: usa la iden idad de Bezou ).
EJERCICIO 3.55. Sea Aun anillo conmu a i o no i ial e Iun ideal de
A,I6=A. Decimos que Ies maximal si pa a cualquie Jideal de A al que
I(J, en onces J=A. Demos a que Ies un ideal maximal si, y s´
olo si,
A/I es un cue po.
EJERCICIO 3.56. Sea Kun cue po. Dado un polinomio ∈K[X]cuyo
g ado es 2o3, demos a que es i educible si, y s´
olo si, iene una a´
ız
en K.
EJERCICIO 3.57. Cons ui cue pos con 4y8elemen os.
EJERCICIO 3.58. Sea m∈A, con m6=0, donde Aes un DIP. Sea a∈A.
Demos a que a+hmi ∈ U(A/hmi)si, y s´
olo si, mcd(a, m) = 1.
3.4. Dominios Eucl´
ıdeos
Un dominio eucl´
ıdeo es un dominio de in eg idad que dis u a de una
di isi´
on con es o an´
aloga a la de n ´
ume os en e os o polinomios. Segui-
damen e, damos la de inici´
on ´
ecnica. Reco demos que, pa a un anillo A,
esc ibimos A∗=A {0}.
DEFINICI ´
ON 3.59. Sea Aun dominio de in eg idad. Una unci´
on eucl´
ıdea
en Aes una aplicaci´
on φ:A∗→Nque sa is ace las siguien es condiciones:
1. Si a, b ∈Aya|ben onces φ(a)≤φ(b).
2. Dados a, b ∈Acon b6=0, exis en q, ∈A ales que a=qb + ,
donde =0o bien φ( )< φ(b).
La segunda condici´
on es ablece que, en A, exis e una di isi´
on con es o.
Si A iene do ado de una unci´
on eucl´
ıdea, di emos que Aes un dominio
eucl´
ıdeo (ab e ia u a DE).
EJEMPLO 3.60. El anillo Zde los n ´
ume os en e os en un dominio
eucl´
ıdeo con la unci´
on eucl´
ıdea alo absolu o.
EJEMPLO 3.61. Si Kes un cue po, en onces la aplicaci´
on que asigna a
cada polinomio no nulo de en K[X]su g ado es una unci´
on es una unci´
on
eucl´
ıdea. Po an o, K[X]es un dominio eucl´
ıdeo.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
3.4. DOMINIOS EUCL´
IDEOS 52
EJEMPLO 3.62. Cualquie cue po Kes un dominio eucl´
ıdeo con la un-
ci´
on eucl´
ıdea cons an emen e 0sob e los elemen os de K∗. Es e ejemplo
no es demasiado in e esan e, cla o.
En es a secci´
on, nos disponemos a da algunos ejemplos m´
as de do-
minios eucl´
ıdeos. Pe o, an es, eamos qu´
e en ajas da el dispone de una
unci´
on eucl´
ıdea.
OBSERVACI ´
ON 3.63. Si a, b ∈Acon b6=0, pa a Aun DE con unci´
on
eucl´
ıdea φ. Sea a=qb + es una di isi´
on con es o en A. En onces b|a
si, y s´
olo si, =0. En e ec o, si =0, ob iamen e b|a. Rec´
ıp ocamen e,
supongamos que b|a, y sea c∈A al que a=cq. En onces 0= (q−c)b+ .
Si 6=0, en onces φ( ) = φ((c−q)b)≥φ(b). Po an o, =0.
TEOREMA 3.64. Todo dominio eucl´
ıdeo es un dominio de ideales p inci-
pales.
DEMOSTRACI ´
ON. Sea Aun DE con unci´
on eucl´
ıdea φ, e Iun ideal no
nulo de A. Pongamos n=m´
ın{φ(a)|06=a∈I}. Si omamos 06=g∈Icon
n=φ(g), es ´
acil e , median e la ealizaci´
on de una di isi´
on con es o,
que I=hgi.
Po an o, en un DE, hay m´
aximo com ´
un di iso y m´
ınimo com ´
un
m´
ul iplo de cualquie conjun o ini o de elemen os. Adem´
as, se iene la
iden idad de Bezou . La no edad aho a es que, si la di isi´
on con es o es
ealizable en la p ´
ac ica, en onces los coe icien es de la inden idad de Be-
zou se pueden calcula median e la e si´
on gene al del Algo i mo Ex en-
dido de Euclides (Algo i mo 4). Pa a a, b elemen os del dominio eucl´
ıdeo
Acon unci´
on eucl´
ıdea Φ, con b6=0, los elemen os q, ∈A ales que
a=qb + con =0oφ( )< φ(b)se llaman, espec i amen e, cocien e
y es o de la di isi´
on. Esc ibi emos = em(a, b)yq=quo (a, b), bien
en endido que dichos elemen os no son, en gene al, ´
unicos.
Algo i mo 4 Algo i mo Ex endido de Euclides gene al
Inpu : a, b ∈Acon b6=0, donde Aes un dominio eucl´
ıdeo.
Ou pu : {ui, i, i}i=0,...,h,h+1 ales que i=aui+b ipa a i=0, 1, . . . , h, h+1,
h+1=0,
h=mcd(a, b),
uh+1a=mcm(a, b).
Ini iali a ion:
0←a, 1←b.
u0←1,u1←0.
0←0, 1←1.
q←0, ←0.
i←1.
while i6=0do
q←quo ( i−1, i)
← em( i−1, i)
i+1←
ui+1←ui−1−uiq
i+1← i−1− iq
i←i+1
e u n {ui, i, i}i=0,...,h,h+1
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
3.4. DOMINIOS EUCL´
IDEOS 53
TEOREMA 3.65. El Algo i mo 4 es co ec o.
DEMOSTRACI ´
ON. Obse emos que, siemp e que i6=0, se iene que, o
bien i+1=0o bien φ( i+1)< φ( i). As´
ı que exis e h≥1 al que h6=0pe o
h+1=0.
Pa a i≤h, enemos que i6=0, luego podemos hace uso de la di isi´
on
con es o en A
i−1=qi+1 i+ i+1,
donde qi+1es el cocien e. De aqu´
ı, los di iso es comunes de i−1y ison
los mismos que los di iso es comunes de iy i+1. As´
ı que
h=mcd(0, h) = mcd( h+1, h) =
mcd( h, h−1) = ··· =mcd( 1, 0) = mcd(b, a).
Vamos a de ini los elemen os ui, i∈Z,i=0, 1, . . . , h, h +1. Tomamos
u0=1, 0=0, u1=0, 1=1,
Una ez de inidos ui, i, ui−1, i−1, pa a 1≤i≤h, de inimos
ui+1=ui−1−qi+1ui, i+1= i−1−qi+1 i.
As´
ı,
ui+1a+ i+1b= (ui−1−qi+1ui)a+ ( i−1−qi+1 i)a=
ui−1a+ i−1b−qi+1(uia+ ib) = i−1−qi+1 i= i+1.
Veamos, po ´
ul imo, que uh+1amcm(a, b). Obse emos p ime o que 0=
h+1=uh+1a+ h+1b, luego uh+1a= − h+1b, as´
ı que uh+1aes m ´
ul iplo
com ´
un de ayb.
Con obje o de azona que uh+1a=mcm(a, b), demos emos que
−ui+1 i+ui i+1=1
pa a odo 0≤i≤h. Dicha igualdad es cla a pa a i=0. Pa a i=0, la
igualdad es cla a. Si 1≤i≤h, supues a la igualdad demos ada pa a
i−1, enemos
−ui+1 i+ui i+1= −(ui−1−qiui) i+ui( i−1−qi i)=−ui−1 i+ui i−1=1.
En pa icula , uh+1 h−uh h+1=1. De aqu´
ı, mcd(uh+1, h+1) = 1.
Po el Eje cicio 3.53, mcm(a, b) = auh+1.
Seguidamen e, amos a e algunos ejemplos adicionales de dominios
eucl´
ıdeos. Tomemos D∈Zque no es un cuad ado. Es o ´
ul imo signi ica
que D6=a2pa a odo a∈Z.
De inimos
Q(√D) = {x+y√D|x, y ∈Q},
que es un subanillo3de C. No emos que, si D<0,√D=i√−D, donde ´
es a
´
ul ima es la a´
ız cuad ada posi i a eal de −D>0. Po ejemplo, √−2=i√2.
Tambi´
en conside a emos
Z[√D] = {a+b√D|a, b ∈Z},
que es un subanillo4de Q(√D).
Como es un subanillo de un cue po, Z[√D]es un dominio de in eg i-
dad. Pa a algunos alo es de D, se a a de un dominio eucl´
ıdeo. Que e-
mos conoce algunos de ellos.
3Comp oba . Algo m´
as adelan e, e emos que, de hecho, se a a de un subcue po.
4comp oba
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas

3.4. DOMINIOS EUCL´
IDEOS 54
LEMA 3.66. Si x+y√D=0pa a x, y ∈Q, en onces x=y=0.
DEMOSTRACI ´
ON. P ime o, esc ibamos √D=n√d, donde n∈Nydes
lib e de cuad ados, lo cual es posible po que Dno es un cuad ado, a la
is a de la ac o izaci´
on ´
unica de Dcomo p oduc o de p imos p opo ciona-
da po el Teo ema Fundamen al de la A i m´
e ica (TFA). Obse emos que
x+y√D=x+yn√d. Ob iamen e, y=0si, y s´
olo si, ny =0, de donde de-
ducimos que podemos asumi , sin p´
e dida de gene alidad, que Des lib e
de cuad ados, y as´
ı lo hacemos.
Si x=0, en onces y√D=0, lo que implica, pues o que √D6=0, que
y=0. La es a egia es, as´
ı, demos a que si x6=0, en onces llegamos a
una con adicci´
on. Tend emos en onces que √D=yx−1∈Q, po lo que
exis i ´
an a, b ∈Z, ambos no nulos, ales que a=√Db. Que emos demos-
a queno obs an e, a=b=0, lo que es una con adicci´
on. No emos que
a2=b2D. Si D<0, en onces b2D≤0, lo que implica b2D=0, de donde
b2=0. De aqu´
ı, b=0ya=0. Si D>0, en onces D6=1y podemos oma
un di iso p imo pde D. En onces pes un di iso p imo de a2y, po an o,
p2es un di iso de a2. Si a6=0, omamos e≥2el mayo n ´
ume o na u al
al que pedi ide a a2. Po el Teo ema Fundamen al de la A i m´
e ica, ees
pa . Aho a, de nue o po el Teo ema Fundamen al de la A i m´
e ica, como
pedi ide a b2D, hemos de admi i que pe−1di ide a b2. Como e−1es
impa , hemos de admi i que pe ambi´
en di ide a b2. Luego pe+1di ide a
a2, lo que es una con adicci´
on. As´
ı que a=b=0yz=0.
De inimos la no ma de x+y√Dcomo
N(x+y√D) = x2−y2D∈Q.
Obse emos que, si esc ibimos z=x+y√D, y deno amos po z=x−y√D,
en onces podemos eesc ibi la no ma de zcomo
N(z) = zz.
EJERCICIO 3.67. Demos a que la aplicaci´
on α:Q(√D)→Q(√D)de-
inida po α(z) = zpa a odo z∈Q(√D)es un au omo ismo de anillos.
Deduci que N(zw) = N(z)N(w)pa a odo z, w ∈Q(√D).
LEMA 3.68. Sea z∈Z(√D). En onces z=0si, y s´
olo si, N(z) = 0.
DEMOSTRACI ´
ON. Pongamos z=x+y√D. Si z=0, en onces, po el
Lema 3.66, x=y=0y, po an o, N(z) = 0. Rec´
ıp ocamen e, si N(z) = 0,
en onces zz =0. Es o implica que, o bien z=0, o bien z=0. En el segundo
caso, x−y√D=0, lo que implica, de nue o po el Lema 3.66, que x=y=
0.
Como consecuencia del Lema 3.68, si z∈Q(√D)es no nulo, su in e so
en Cse calcula po la ´
o mula
(3.8) z−1=z
N(z).
Como consecuencia, si z∈Q(√D)es no nulo, en onces z−1∈Q(√D),
y es e anillo es un cue po. El subanillo Z[√D]no lo es, como esul a ´
a
e iden e as e la siguien e p oposici´
on.
PROPOSICI ´
ON 3.69. De inamos, pa a z∈Z[√D],φ(z) = |N(z)|, donde | |
deno a el alo absolu o. Se iene que U(Z[√D]) = {z∈Z[√D]|φ(z) = 1}.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
3.5. ECUACIONES EN CONGRUENCIAS EN UN DE 55
DEMOSTRACI ´
ON. Si φ(z) = 1, en onces N(z) = 1oN(z)=−1. De la ecua-
ci´
on (3.8), deducimos que z−1∈Z[√D], luego zes una unidad. Rec´
ıp oca-
men e, supongamos que z∈Z[√D], y sea u∈Z[√D] al que 1=zu. As´
ı,
1=φ(1) = φ(z)φ(u). Como φ(z), φ(u)∈N, deducimos que φ(z) = 1.
TEOREMA 3.70. La unci´
on φ:Z[√D]∗→Nes una unci´
on eucl´
ıdea pa a
D= −2, −1, 2, 3.
DEMOSTRACI ´
ON. P ime o, obse emos que, si z, w ∈Z[√D]∗yz|w, en-
onces w= z pa a alg ´
un ∈Z[√D]. As´
ı, φ(w) = φ( )φ(z)≥φ(z), pues o
que φ( )≥1. Vayamos aho a con la di isi´
on con es o. Tomemos aho a
w, z ∈Z[√D]cualesquie a con z6=0. Una consecuencia de (3.8) es que
wz−1=x+y√Dpa a cie os x, y ∈Q. Sean a, b ∈Z ales que |x−a|≤1/2 e
|y−b|≤1/2, y de inamos q=a+b√Dy =w−qz. Ob iamen e, q, ∈Z[√D].
Aho a,
|N( z−1)|=|N((w−qz)z−1)|=|N(wz−1−q)|
=|N(a−x+ (b−y)√D)|=|(a−x)2− (b−y)2D|.
Dis ingamos casos. Si D= −2, −1, en onces
|N( z−1)|= (a−x)2− (b−y)2D≤1
4−1
4D < 1.
Si D=2, enemos que
|N( z−1)|=|(a−x)2−2(b−y)2|≤|a−x|2+2|b−y|2≤1
4+2
4< 1.
Si D=3, en onces
|N( z−1)|=|(a−x)2−3(b−y)2|=(a−x)2−3(b−y)2si (a−x)2≥3(b−y)2
3(b−y)2− (a−x)2si 3(b−y)2≥(a−x)2.
Como el p ime alo es meno o igual que 1/4, y el segundo meno o igual
que 3/4, enemos que ambos alo es son es ic amen e meno es que 1,
cla o.
En de ini i a, |N( z−1)|< 1 pa a los alo es D= −2, −1, 2, 3. Pe o
|N( z−1)|=|N( )N(z−1)|=|N( )||N(z)|−1=φ( )φ(z)−1.
Po an o, φ( )< φ(z).
EJEMPLO 3.71. Tomemos D= −1. Usamos la no aci´
on adicional es
Z[√−1] = Z[i]. Es e es el anillo de los en e os de Gauss. En Z[i], amos a
di idi w=3en e z=1+i. Tenemos
3
1+i=3(1−i)
(1+i)(1−i)=−3i +3
2=3
2−3
2i.
Tomamos q=1−i, con lo que =w−qz =3− (1−i)(1+i) = 1.
3.5. Ecuaciones en cong uencias en un DE
Hemos is o que, en un dominio eucl´
ıdeo, disponemos de una di isi´
on
y un algo i mo ex endido de Euclides. Es o ab e la posibilidad de usa p o-
cedimien os o malmen e id´
en icos a los usados en Zpa a la esoluci´
on
de ecuaciones y sis emas de ecuaciones en cong uencias, as´
ı como ecua-
ciones “dio ´
an icas”. Vamos, pa a no abu i nos, a hace una exposici´
on
algo di e en e.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
3.5. ECUACIONES EN CONGRUENCIAS EN UN DE 56
LEMA 3.72. Sean a, b, c ∈A, donde Aes un DIP. La ecuaci´
on
(3.9) ax +by =c
en las inc´
ogni as x, y iene soluci´
on en Asi, y s´
olo si, mcd(a, b)di ide a c.
DEMOSTRACI ´
ON. Obse emos que (3.9) iene soluci´
on en Asi, y s´
olo
si, c∈ hai+hbi. Como hai+hci=hdipa a d=mcd(a, c), ob enemos que
(3.9) iene soluci´
on si, y s´
olo si, c∈ hdi.
Conside emos aho a la ecuaci´
on en cong uencias en un DIP A:
(3.10) a≡b(mod m),
donde a, b, m ∈A, con m6=0. Aqu´
ı, a≡b(mod m)es una ab e ia u a de
la no aci´
on gene al a≡b(mod hmi)in oducida en (2.6).
LEMA 3.73. La cong uencia (3.10) iene soluci´
on en Asi, s´
olo si, la ecua-
ci´
on ax +my =b iene soluci´
on en A. Como consecuencia, una condici´
on
necesa ia y su icien e pa a que (3.10) enga soluci´
on es que mcd(a, m)es
un di iso de b.
DEMOSTRACI ´
ON. Resol e la ecuaci´
on (3.10) es calcula odos los x∈A
que la sa is acen. Obse emos que xes una soluci´
on de (3.10) si y s´
olo si
exis e k∈A al que ax−b=km. Equi alen emen e, ax−km =b. El c i e io
pa a la exis encia de soluci´
on se sigue aho a del Lema 3.72. 
Supongamos aho a que Aes un DE, lo que pe mi e usa el Algo i -
mo 4 pa a calcula la soluci´
on gene al de (3.10). E ec i amen e, podemos
calcula d=mcd(a, m), y u, ∈A ales que d=au +m . En caso de exis-
i soluci´
on de (3.10), calculamos a0, b0∈Aym0∈N ales que a=a0d,
b=b0d,m=m0d. As´
ı, ax −km =bes equi alen e a a0x−b0=km0, es o es,
(2.7) es equi alen e a
(3.11) a0x≡b0(mod m0).
La en aja aho a es que 1=a0u+m0 , y, en A/hm0i, enemos que ua0=1.
Como (3.11) es equi alen e a la ecuaci´
on a0x=b0, podemos despeja x=
ub0. Es o es,
x=ub0+km0
pa a k∈A.
EJERCICIO 3.74. Resol e en Z[i]el sis ema de cong uencias







x≡i(mod 3)
x≡2(mod 2+i)
x≡1+i(mod 3+2i)
x≡3+2i (mod 4+i)
EJERCICIO 3.75. Sean α0, α1,...,αn∈A a´
ıces de un polinomio no
nulo ∈A[X], y supongamos que Aes un DI. Demos a que, si odas
es as a´
ıces son dis in as, en onces iene g ado al menos n.
EJERCICIO 3.76. Sean x0, x1,...,xn∈K, con Kun cue po. Supongamos
que, pa a 0≤i < j ≤n,xi6=xj, y sean y0, y1,...,yn∈Kcualesquie a.
Demos a que el sis ema de cong uencias en K[X]









(X)≡y0(mod X−x0)
(X)≡y1(mod X−x1)
.
.
.
(X)≡yn(mod X−xn)
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
3.5. ECUACIONES EN CONGRUENCIAS EN UN DE 57
iene una ´
unica soluci´
on de g ado meno o igual que n. Dicha soluci´
on
se llama polinomio in e polado de los da os y0, y1...,ynen los nodos
x0, x1,...,xn. Como aplicaci´
on, da la ecuaci´
on de la pa ´
abola que pasa
po los pun os (−1, 9),(2, 7),(3, 1/2)∈R2
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
4.2. FACTORIZACI ´
ON ´
UNICA DE POLINOMIOS 64
PROPOSICI ´
ON 4.24. Sea Aun DFU y Qsu cue po de acciones. Dado
∈A[X]con deg( )≥1, enemos que es i educible en A[X]si, y s´
olo si,
es p imi i o en A[X]y es i educible en Q[X].
DEMOSTRACI ´
ON. Comencemos obse ando que si no es p imi i o, en-
onces no es i educible. Es o es cla o, ya =c( ) ∗, con c( )/∈U(A) =
U(A[X]). Como deg( ∗)≥1, deducimos que no es i educible.
Bien, supongamos aho a que es i educible en A[X]. Ya sabemos que
es p imi i o. Supongamos una ac o izaci´
on =gh, con g, h ∈Q[X]. To-
memos a, b ∈A ales que ag, bh ∈A[X]. Po la P oposici´
on 4.19, ab =
c(ab ) = c(agbh) = c(ag)c(bh). As´
ı si omamos g1, h1∈A[X]p imi i os a-
les que ag =c(ag)g1, bh =c(bh)h1, como ab =c(ag)c(bh)g1h1, deducimos
que =g1h1. Al se i educible en A[X], enemos que g1∈U(A[X]) o bien
h1∈U(A[X]). Como U(A[X]) = U(A)⊆Q∗, deducimos que es i educible
en Q[X].
Rec´
ıp ocamen e, si es i educible en Q[X]y p imi i o, y suponemos
que =kq pa a k, q ∈A[X], como c( ) = c(k)c( ), enemos que c(k), c( )∈
U(A). Aho a, pues o que es i educible en Q[X], o bien k iene g ado 0, y
en onces k∼c(k)∈U(A), o bien q iene g ado ce o y q∼c(q)∈U(A), po lo
que q∈U(A). As´
ı, es i educible en A[X].
LEMA 4.25. Sea Aun DFU y Qsu cue po de acciones. Sean , g ∈A[X]
ales que |gen Q[X]. Si es p imi i o, en onces |gen A[X].
DEMOSTRACI ´
ON. Supongamos que g=h pa a h∈Q[X]. Tomemos
a∈A al que ah ∈A[X](po ejemplo, el p oduc o de odos los denomi-
nado es de los coe icien es de h). Ob iamen e, ag =ah , po lo que la
P oposici´
on 4.19 implica que ac(g) = c(ah), pues o que es p imi i o. Si
aho a esc ibimos g=c(g)g∗yah =c(ah)h1pa a cie os polinomios (p imi-
i os) g∗, h1∈A[X], enemos que ac(g)g∗=ac(g)h1 , de donde g=c(g)h1 .
Po an o, |gen A[X].
TEOREMA 4.26. Si Aes un DFU, en onces el anillo de polinomios A[X]
es un DFU.
DEMOSTRACI ´
ON. Veamos p ime o que odo elemen o i educible de A[X]
es p imo. Si p∈Aes i educible en A[X]en onces es i educible en A. Co-
mo Aes un DFU, enemos, en i ud del Teo ema 4.7, que pes p imo
en A. El Lema 4.13 da aho a que pes p imo en A[X]. Supongamos aho a
∈A[X]i educible con deg( )≥1. Po la P oposici´
on 4.24, es p imi i o.
Supongamos que |gh pa a g, h ∈A[X]. Ob iamen e, |gh en Q[X]y, al se
Q[X]un DIP, enemos que es p imo en Q[X], po lo que |go |hen Q[X].
Po el Lema 4.25, |gen A[X]o |hen A[X]. Po an o, es p imo en A[X].
En is a del Teo ema 4.7, s´
olo nos es a demos a que cada elemen o
no nulo y no unidad de A[X]es p oduc o de i educibles. Bien, sea ∈A[X],
6=0y /∈U(A[X]) = U(A). Podemos esc ibi =c( ) ∗, con ∗∈A[X]p imi i-
o. Pues o que Aes un DFU, c( )se esc ibe como p oduc o de i educibles
en A, que sabemos lo son en A[X], podemos supone que es p imi i o de
g ado posi i o. Razonando po inducci´
on sob e deg( ), supongamos que
deg( ) = 1. Como es p imi i o e i educible en Q[X]( iene g ado 1), dedu-
cimos del Teo ema 4.24 que lo es en A[X]. Supongamos que deg( )> 1. Si
es i educible, no hay nada que demos a . Si no, =gh pa a g, h ∈A[X]
no unidades. Como es p imi i o, ni gni hpueden pe enece a A. Po
an o, ambos ienen g ado meno que deg( )y, po hip´
o esis de inducci´
on,
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas

4.3. POLINOMIOS IRREDUCIBLES SOBRE UN DFU 65
admi en ac o izaciones como p oduc o de i educibles. Po an o, as´
ı lo
hace y hemos e minado la demos aci´
on. 
EJEMPLO 4.27. Si pa imos de un anillo conmu a i o A, podemos cons-
ui el anillo de polinomios A[X]en un inde e minada X. Aho a, podemos
conside a el anillo A[X]como anillo de coe icien es de un nue o anillo de
polinomios A[X][Y], donde Ydeno a una nue a inde e minada. ¿Qu´
e as-
pec o ienen los elemen os de A[X][Y]? Bien, omemos ∈A[X][Y]. En onces
=X
j
jYj,
pa a j∈A[X]. Aho a, pa a cada ´
ındice j,
j=X
i
ijXi,
donde ij ∈A. De modo que
=X
i,j
ijXiYj.
De modo que iene a se un polinomio en las inde e minadas X, Y con
coe icien es en A, y se suele deno a po A[X, Y]. Obse emos que, po
aplicaci´
on i e ada del Teo ema 4.26, A[X, Y]es un DFU siemp e que Alo
sea.
4.3. Polinomios i educibles sob e un DFU
En es a secci´
on, abo damos el p oblema, en gene al di ´
ıcil, de decidi
si un polinomio con coe icien es en un DFU es i educible. Sea1, pues, A
un DFU, y ∈A[X]no nulo. Si deg( ) = 0, en onces ∈Ay el p oblema de
decidi si es i educible se esuel e en A. Supongamos aho a que deg( )≥
1. La p ime a idea es esc ibi =c( ) ∗, donde ∗∈A[X]es p imi i o del
mismo g ado que . Si no es p imi i o, en onces c( )no es una unidad, y
no es i educible. Po an o, podemos limi a nos al caso de se p imi i o.
Sea Qel cue po de acciones de A. Po la P oposici´
on 4.24, es i educible
en A[X]si, y s´
olo si, es i educible en Q[X].
De hecho, cada a´
ız en Qde un polinomio p opo ciona un ac o i e-
ducible:
EJEMPLO 4.28. Sea ∈A[X]p imi i o no cons an e, donde Aes un
DFU con cue po de acciones Q. Supongamos que a/b ∈Qes una a´
ız
de , con a, b ∈A ales que mcd(a, b) = 1. En onces bX −aes un di iso
i educible de en A[X]. En e ec o, X−a/b di iso de en Q[X], po lo que
bX −aes un di iso de en Q[X]. Aho a, bX −aes p imi i o, luego, po el
Lema 4.25, bX −aes un di iso de en A[X].
PROPOSICI ´
ON 4.29. Sea = 0+ 1X+··· + nXn∈A[X]con n6=0.
Suponemos que Aes un DFU con cue po de acciones Q. Si a/b ∈Qes una
a´
ız de ymcd(a, b) = 1, en onces b| nya| 0.
DEMOSTRACI ´
ON. Tenemos que
0= 0+ 1
a
b+···+ n(a
b)n.
De aqu´
ı,
0= 0bn+ 1abn−1+···+ nan.
1Man end emos du an e oda es a secci´
on la hip´
o esis de que Aes un DFU.
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
4.3. POLINOMIOS IRREDUCIBLES SOBRE UN DFU 66
Es a igualdad implica que b| nan. Como mcd(a, b) = 1, deducimos que b| n.
An´
alogamen e, a| 0.
EJEMPLO 4.30. Veamos que X3−1/2X +2∈Q[X]es i educible. Como
iene g ado 3, se ´
a i educible si, y s´
olo si, no iene a´
ıces en Q. Aho a,
las a´
ıces de son las mismas que las de 2 =2X3−X+4. Si es e polino-
mio u iese a´
ıces en Q, es a ´
ıan, en i ud de la P oposici´
on 4.29, en la
lis a −1, 1, −2, 2, −4, 4, −1/2, 1/2. Puede comp oba se que no se anula en
ninguno de es os alo es, po lo que es i educible en Q[X]. Obse emos
que 2 , al se p imi i o, es i educible en Z[X].
LEMA 4.31. Supongamos un homomo ismo de anillos conmu a i os φ:
S→By conside emos el homomo ismo de anillos ϕ:S[X]→B[X]de inido
po ϕ(PisiXi) = Piφ(si)Xi. Supongamos que = 0+ 1X+···+ nXn∈S[X]
con φ(sn)6=0, y que Bes un DI. Si =hg con g, h ∈S[X], en onces deg(g) =
deg(ϕ(g)) ydeg(h) = deg(ϕ(h)).
DEMOSTRACI ´
ON. Es cla o que deg(ϕ(g)) ≤deg(g)y deg(ϕ(h)) ≤deg(h).
Aho a,
n=deg( )≥deg(g) + deg(h)≥deg(ϕ(g)) + deg(ϕ(h))
=deg(ϕ(gh)) = deg(ϕ( )) = n.

El siguien e es un c i e io cl´
asico de i educibilidad.
PROPOSICI ´
ON 4.32 (C i e io de Eisens ein). Sea = 0+ 1X+··· nXn∈
A[X], con n6=0. Suponemos que Aes un DFU. Supongamos que exis e p∈A
p imo al que
1. pno di ide a n.
2. pdi ide a ipa a odo i=0, . . . , n−1.
3. p2no di ide a a0.
En onces es i educible en A[X].
DEMOSTRACI ´
ON. Conside emos el homomo ismo de anillos ϕ:A[X]→
(A/Ap)[X]de inido po ϕ(PiaiXi) = Pi(ai+Ap)Xi=PiaiXi, donde es a-
mos usando la no aci´
on ai=ai+Ap. Supongamos =hg, pa a g, h ∈A[X].
En onces anXn=ϕ( ) = ϕ(g)ϕ(h)en (A/Ap)[X]. Si emos es a ac o iza-
ci´
on en K[X], donde Kes el cue po de acciones de A/Ap, enemos que
g=uXkyh= Xn−kpa a u, ∈K ales que an=u yk=deg(g)(po el
Lema 4.31). Si 0 < k < n, en onces g(0) = 0=h(0). As´
ı, pha de di idi al
´
e mino independien e de gy ambi´
en al de h, luego p2ha de di idi a su
p oduc o, es o es, a 0. Po an o, k=0ok=n. En el p ime caso, ges
cons an e y, al se p imi i o, g∈U(A). En el segundo caso, h∈U(A). Po
an o, es i educible. 
EJEMPLO 4.33. Sea a∈Zlib e de cuad ados, y n∈N,n≥2. Si o-
mamos un di iso p imo pde a, podemos aplica el c i e io de Eisens ein
pa a deduci que Xn−aes i educible en Z[X]. Po an o, as´
ı lo es en Q[X].
Como consecuencia, si n≥2, ob enemos que ninguna a´
ız n–´
esima de a
es un n ´
ume o acional.
EJEMPLO 4.34. Tomemos =Y3+X2Y2+XY +X∈Z[X, Y] = Z[X][Y].
Es cla o que X∈Z[X]es i educible. Aplicamos el C i e io de Eises ein
pa a p=Xy ob enemos que es i educible en Z[X][Y]. Tambi´
en los es
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
4.3. POLINOMIOS IRREDUCIBLES SOBRE UN DFU 67
en Q[X, Y], usando el mismo a gumen o. Y, pues o que es p imi i o en
Q[X][Y], ambi´
en es i educible en Q(X)[Y].
El Lema 4.31 no es s´
olo una he amien a pa a demos a el C i e io
de Eisens ein, sino que puede usa se pa a es udia la i educibilidad de
algunos polinomios, eligiendo adecuadamen e el homomo ismo φ. El si-
guien e es un caso sencillo.
PROPOSICI ´
ON 4.35. Supongamos que Aes un DFU, Bun DI y φ:A→B
un homomo ismo de anillos. Sea ϕ:A[X]→B[X]de inido po ϕ(PiaiXi) =
Piφ(ai)Xi. Si = 0+ 1X+··· + nXn∈A[X]es p imi i o con φ( n)6=0y
ϕ( )∈B[X]es i educible, en onces es i educible.
DEMOSTRACI ´
ON. Supongamos una ac o izaci´
on =gh con g, h ∈A[X].
Tenemos, pues, una ac o izaci´
on ϕ( ) = ϕ(g)ϕ(h)en B[X]. Pues o que ϕ( )
es i educible, es o implica que ϕ(g)∈U(B)o bien ϕ(h)∈U(B). En el
p ime caso, deg(g) = deg(ϕ(g)) = 0, luego g∈A. Como es p imi i o,
deducimos que g∈U(A). En el segundo caso, deducimos que h∈U(A).
Po an o, es i educible. 
EJEMPLO 4.36. Dado un n ´
ume o p imo p∈N, podemos oma Z→Zp
la p oyecci´
on can´
onica, y el homomo ismo co espondien e ϕ:Z[X]→
Zp[X]dado po ϕ(PiaiXi) = PiaiXi. Aqu´
ı, aideno a la clase de aim´
odulo
p. De hecho, pa a ∈Zsolemos deno a ambi´
en =ϕ( ), siemp e y
cuando se es ´
e segu o de qu´
e signi ica en cada caso la no aci´
on.
Veamos un ejemplo conc e o: sea =X4+15X3+7∈Z[X]. Reduciendo
m´
odulo 2, enemos que =X4+X3+1∈Z2[X]. Comp obemos que es
i educible. Como no iene a´
ıces en Z2, los ´
unicos ac o es i educibles de
han de se de g ado 2. Aho a, el ´
unico polinomio i educible cuad ´
a ico2
en Z2[X]es X2+X+1. Realizando la di isi´
on eucl´
ıdea de en e el mismo,
ob enemos es o X, luego X2+X+1no es un di iso de . As´
ı, es i educible
y, po la P oposici´
on 4.35, es i educible en Z[X].
EJEMPLO 4.37. Sea
=Y5−Y4−2Y3+Y−1+ (Y−2Y3)X+ (Y4+Y3+1)X2+Y3X3∈Q[X, Y].
El homomo ismo e aluaci´
on e 1:Q[Y]→Qque lle a a∈Q[Y]en a(1)da
luga al homomo ismo de anillos ϕ:Q[Y][X] = Q[X, Y]→Q[X]de inido po
ϕ(g(X, Y)) = g(X, 1), pa a g(X, Y)∈Q[X, Y].
Obse emos que (X, 1)=−2−X+3X2+X3∈Q[X]. Po la P oposici´
on
4.35, bas a con que demos emos que (X, 1)es i educible en Q[X]pa a
que lo sea en Q[X, Y]. Aho a, (X, 1)∈Z[X]es p imi i o, luego s´
olo hemos
de azona que es i educible en Z[X]. Reduciendo m´
odulo 3, ob enemos
(X, 1) = 1+2X +X3∈Z3[X]. Al se de g ado 3, y como Z3es un cue po,
enemos que (X, 1)es i educible si, y s´
olo si, no iene a´
ıces en Z3. Pe o3
(0, 1) = 16=0, (1, 1) = 16=0y (−1, 1) = −16=0. En conclusi´
on (X, 1)es
i educible en Z3[X], lo que implica que lo es (X, 1)en Z[X]y en Q[X], y, de
aqu´
ı, (X, Y)es i educible en Q[X, Y],
EJEMPLO 4.38. Tomemos aho a =X4+10X3+5X2−2X −3∈Z[X].
Reduciendo m´
odulo 2, ob enemos =X4+X2+1= (X2+X+1)2∈Z2[X]. De
2Es ´
acil lis a odos los polinomios cuad ´
a icos en Z2[X]y comp oba si ienen a´
ıces.
3Aqu´
ı puede pa ece que come emos un abuso de lenguaje, pe o no es al, si enemos
en cuen a que e alua y oma clases m´
odulo 3es lo mismo que educi m´
odulo 3y luego
e alua ...
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
4.4. RA´
ICES M ´
ULTIPLES Y F ´
ORMULA DE TAYLOR 68
aqu´
ı, no podemos deduci ob iamen e que sea educible o i educible.
Pe o s´
ı podemos ob ene cie a in o maci´
on: si =gh con g, h ∈Z[X]de
g ado posi i o, en onces =gh. Como Z2[X]es un DFU y X2+X+1es
i educible ah´
ı, deducimos que deg g=deg h=2y, as´
ı, deg g=deg h=2.
Reduzcamos aho a m´
odulo 3, con lo que ob enemos
=X(X3+X2+2X +1)∈Z3[X].
Aho a, X3+X2+2X+1no iene a´
ıces en Z3, po lo que es i educible. Aqu´
ı
ambi´
en se iene que, de la igualdad =gh en Z3[X], uno de los polinomios
gohha de ene g ado 3y el o o g ado 1. Es o es una con adicci´
on, que
iene de supone que no es i educible. Luego ha de se i educible en
Z[X].
EJEMPLO 4.39. Una o mulaci´
on del Teo ema Fundamen al del ´
Alge-
b a dice que los polinomios i educibles en C[X]son, exac amen e, los de
g ado 1. Desg aciadamen e, las he amien as desa olladas has a aqu´
ı no
pe mi en da una demos aci´
on de es e hecho. Obse emos que, dado que
cada polinomio no cons an e de C[X]es p oduc o de polinomios i educi-
bles, ya que es un DFU, ob enemos que cada uno de es os polinomios es
p oduc o de polinomios de g ado 1. En elaci´
on con es o, una o mulaci´
on
adicional del Teo ema Fundamen al del ´
Algeb a es que cada polinomio
no cons an e en C[X] iene, al menos, una a´
ız en C.
EJEMPLO 4.40. El polinomio X2+Y2−1∈C[X, Y]es i educible, en i ud
de la aplicaci´
on del C i e io de Eisens ein pa a el p imo p=X−1∈C[X],
iendo, cla o, X2+Y2−1∈C[X][Y].
EJEMPLO 4.41. Plan eemos el p oblema de decidi si Y3−X2∈C[X, Y]es
un polinomio i educible. Vi´
endolo como polinomio en C[X][Y], se a a de
un polinomio p imi i o. As´
ı, es i educible si, y s´
olo si, lo es en C(X)[Y]. Al
se de g ado 3, se ´
a i educible si, y s´
olo si, no iene a´
ıces en C(X). Supon-
gamos una al a´
ız (X)/g(X), con (X), g(X)∈C[X] ales que mcd( , g) = 1.
As´
ı,  (X)
g(X)3
−X2=0.
De modo que (X)3=g(X)3X2. Razonando en el DFU C[X], enemos que el
p imo Xdi ide a (X). Po an o, (X) = Xh(X), p a cie o h(X)∈C[X]. Luego
X3h(X)3=g(X)3X2. As´
ı que Xh(X)3=g(X)3. Luego Xes un di iso de g(X)
y, as´
ı, mcd( , g)6=1, lo que es una con adicci´
on. Es o p ueba que Y3−X2
no iene a´
ıces en C(X), con lo que concluimos que Y3−X2es i educible
en C[X, Y].
4.4. Ra´
ıces m´
ul iples y F´
o mula de Taylo
Sea Aun anillo conmu a i o y omemos un polinomio ∈A[X]de g ado
n≥1. Sabemos ( e Ejemplo 3.29) que α∈Aes una a´
ız si, y s´
olo si X−α
es un di iso de . El siguien e esul ado p o undiza en es a idea cuando
Aes un dominio de in eg idad.
PROPOSICI ´
ON 4.42. Sea Aun DI y α1, . . . , αk∈Adis in os. Dado un
polinomio ∈A[X]no cons an e, enemos que (αi) = 0pa a odo i=1, . . . , k
si, y s´
olo si,
(X−α1)···(X−αk)
di ide a .
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas
4.4. RA´
ICES M ´
ULTIPLES Y F ´
ORMULA DE TAYLOR 69
DEMOSTRACI ´
ON. Si (X−α1)···(X−αk)di ide a , en onces
= (X−α1)···(X−αk)g
pa a cie o g∈A[X]. Es o, ob iamen e, implica que (αi) = 0pa a odo
i=1, . . . , k. Rec´
ıp ocamen e, el Eje cicio 3.29 nos da que = (X−α1)gpa a
cie o g∈A[X]. Aho a, pa a i6=1 enemos que 0= (α1)=(αi−α1)g(αi).
Como Aes un DI, es o implica que g(αi) = 0pa a odo i=2, . . . , k. Una
sencilla inducci´
on sob e el g ado me da que (X−α2)···(X−αk)di ide a g,
de donde deducimos ´
acilmen e que (X−α1)···(X−αk)di ide a .
Seguidamen e, que emos a e igua cu´
ando un polinomio de la o ma
X−αse puede saca como ac o de o o polinomio m´
as de una ez.
DEFINICI ´
ON 4.43. Sea Aun anillo y ∈A[X]un polinomio no cons an e.
Una a´
ız α∈Ade se dice m´
ul iple si (X−α)2di ide a .
Pa a a a con a´
ıces m ´
ul iples, es ´
u il dispone de la de i ada o mal
de un polinomio. Conc e amen e, sea =Pi iXi∈A[X], con Aanillo
conmu a i o. De inimos la de i ada o mal de como el polinomio
0=X
i≥1
i iXi−1.
LEMA 4.44. Sean , g ∈A[X], pa a Aanillo conmu a i o, y a∈A. En on-
ces
1. (a )0=a 0.
2. ( +g)0= 0+g0.
3. ( g)0= 0g+ g0.
DEMOSTRACI ´
ON. Es una comp obaci´
on ediosa pe o sin so p esas. 
PROPOSICI ´
ON 4.45. Sea ∈A[X]con Aun anillo conmu a i o, y α∈A.
En onces αes una a´
ız m ´
ul iple de si, y s´
olo si, αes una a´
ız de y de 0.
DEMOSTRACI ´
ON. Si αes a´
ız m ´
ul iple de , en onces = (X−α)2gpa a
cie o g∈A[X]. Calculando median e el uso del Lema 4.44, ob enemos que
0= (X−α)((X−α)g0+2g)
Tenemos, pues, que (α) = 0(α) = 0.
Rec´
ıp ocamen e, esc ibimos = (X−α)hpa a cie o h∈A[X]. De i ando
y despejando h, ob enemos
h= 0− (X−α)h0.
Como 0(α) = 0, ob enemos que h(α) = 0, po lo que h= (X−α)p, pa a
p∈A[X]adecuado. Luego = (X−α)2p.
Vamos a conclui con una he amien a b´
asica del C´
alculo, la F´
o mula
de Taylo . Lo ha emos en un con ex o algeb aico b´
asico, es deci , pa a
polinomios, aunque el desa ollo es ´
acilmen e ex endible a se ies o males
de po encias4. Cuando se es ´
a en un con ex o en que es posible habla de
se ies con e gen es, es el undamen o algeb aico del es udio de unciones
anal´
ı icas.
Vol amos a nues o con ex o algeb aico. Pa a ∈A[X], con Aanillo
conmu a i o, podemos de ini su sucesi´
on de de i adas de o den supe io
median e el siguien e p oceso. Esc ibimos (0)= y , supues a de inida
(k)pa a un cie o k≥0, de inimos (k+1)= ( (k))0. As´
ı, (1)= 0. Se suele
4Ve Obse aci´
on 3.5
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas

4.4. RA´
ICES M ´
ULTIPLES Y F ´
ORMULA DE TAYLOR 70
usa la no aci´
on 00 = (2), 000 = (3). Nos e e i emos a (k)como el k–´
esimo
polinomio de i ado de , o de i ada de o den kde .
Si deno amos mi=Xipa a i∈N, enemos que m(k)
i=0si k > i,
mien as que, pa a k≤i, enemos
m(k)
i=i!
(i−k)!Xi−k=i!
(i−k)!mi−k.
Obse emos que i!
(i−k)! ∈N.
PROPOSICI ´
ON 4.46. Sea Kun cue po de ca ac e ´
ıs ica 0, y ∈K[X].
En onces, si Ydeno a o a inde e minada, se e i ica:
(4.1) (X+Y) = X
i
1
i! (i)(X)Yi.
DEMOSTRACI ´
ON. Comencemos demos ando (4.1) pa a cada monomio
mi=Xi. Tenemos el siguien e c´
alculo:
mi(X+Y)=(X+Y)i=
i
X
k=0i
kXi−kYk=i!
(i−k)!k!Xi−kYk=
i
X
k=0
1
k!m(k)
i(X)Yk.
Pa a el caso gene al, obse emos que, si =Pj jXj∈K[X], enemos
(X+Y) = X
j
jmj(X+Y) = X
j
jX
i
1
i!m(i)
j(X)Yi
=X
i
1
i!(X
j
jm(i)
j(X))Yi=X
i
1
i! (i)(X)Yi.

COROLARIO 4.47 (F´
o mula de Taylo ). Sea ∈K[X]yα∈K. En onces
(4.2) =X
i
1
i! (i)(α)(X−α)i.
DEMOSTRACI ´
ON. Pongamos en (4.1) X=α. Ob enemos
(α+Y) = X
i
1
i! (i)(α)Yi.
Aho a, en es a ´
ul ima ´
o mula, omemos Y=X−α, y ob enemos
(X) = (α+ (X−α)) = X
i
1
i! (i)(α)(X−α)i.

Una aplicaci´
on de la F´
o mula de Taylo es es udia la mul iplicidad de
una a´
ız.
DEFINICI ´
ON 4.48. Sea Kun cue po de ca ac e ´
ıs ica 0, ∈K[X]no
cons an e y α∈K. Di emos que αes una a´
ız de de mull iplicidad k≥1
si (X−α)k| pe o (X−α)k+1no di ide a .
PROPOSICI ´
ON 4.49. Sea Kun cue po de ca ac e ´
ıs ica 0y ∈K[X]no
cons an e. Un elemen o α∈Kes una a´
ız de de mul iplicidad k≥1si, y
s´
olo si, (i)(α) = 0pa a odo i=0, . . . , k −1pe o (k)(α)6=0.
DEMOSTRACI ´
ON. Se deduce ´
acilmen e de (4.2) como eje cicio. 
´
Algeb a I J. G´
omez-To ecillas