Álgebra I

´ Algeb a I Cu so 2018/2019 1. Jos´ e G´ omez To ecillas Depa amen o de ´ Algeb a Uni e sidad de G anada 1 e si´ on: 15 de diciemb e de 2018 ´ Indice gene al Cap´ ı ulo 1. Fundamen os 5 1.1. Conjun os 5 1.2. Co espondencias y aplicaciones 7 1.3. Monoides. Los n ´ ume os na u ales 9 1.4. Relaciones de equi alencia y o den. Cons ucci´ on de los en e os. 12 Cap´ ı ulo 2. Anillos 17 2.1. Nociones de g upo y anillo. El anillo de los en e os. 17 2.2. A i m´ e ica En e a 20 2.3. Ideales. Anillos cocien es. Ecuaciones en cong uencias 25 2.4. Subanillos. Homomo ismos. Unidades 30 Cap´ ı ulo 3. Anillos de Polinomios. Dominios Eucl´ ıdeos. 37 3.1. Noci´ on de Anillo de Polinomios 37 3.2. Di isi´ on con es o de polinomios 41 3.3. Dominios de ideales p incipales y di isibilidad 45 3.4. Dominios Eucl´ ıdeos 51 3.5. Ecuaciones en cong uencias en un DE 55 Cap´ ı ulo 4. Fac o izaci´ on ´ unica 59 4.1. Dominios de Fac o izaci´ on ´ Unica 59 4.2. Fac o izaci´ on ´ unica de polinomios 62 4.3. Polinomios i educibles sob e un DFU 65 4.4. Ra´ ıces m ´ ul iples y F´ o mula de Taylo 68 3 Cap´ ı ulo 1 Fundamen os 1.1. Conjun os Es no o io que una cualidad undamen al de las M´ a em´ a icas es la p ecisi´ on de los enunciados. Pa a ello, hay que acep a unas nociones p i- mi i as a pa i de las cuales de ini las dem´ as. La opci´ on m´ as ex endida (casi uni e salmen e en e los ma em´ a icos) es admi i la noci´ on de con- jun o y de elemen o como concep os p imi i os o inde inibles. La elaci´ on en e ambos concep os es ´ a egulada po la pe enencia seg ´ un las siguien- es eglas. R1 Dado un conjun o Xy cualquie obje o a, o bien ape enece a X, o bien ano pe enece a X. Simb´ olicamen e, esc ibi emos a∈Xoa /∈X. Ambas opciones son excluyen es. Si a∈X, di emos que aes un elemen o de Xo, ambi´ en, que Xcon iene al elemen o a. R2 Un conjun o Xes ´ a comple amen e de e minado po sus elemen os. Dicho de o a o ma, dados conjun os X, Y, se conside a ´ an iguales si pa a odo obje o ala a i maci´ on a∈Xes equi alen e a la a i maci´ on a∈Y. R3 Un obje o no puede se elemen o de s´ ı mismo. Es deci , es ´ ap ohibido admi i “a∈a” pa a cualquie obje o a. R4 Dado un obje o a, podemos o ma el conjun o {a}de inido po las p opiedad a∈{a}pe o b /∈{a}pa a odo o o obje o bdis in o de a. R5 Admi imos que exis e el conjun o ac´ ıo ∅de inido po la p opiedad a /∈ ∅ pa a odo obje o a. Con es as eglas, ya podemos comenza a cons ui obje os ma em´ a i- cos. Con al in, las de iniciones son c uciales. Aqu´ ı es ´ a la p ime a. DEFINICI ´ ON 1.1. Dados conjun os X,Y, de inimos su uni´ on como el conjun o X∪Yde e minado po los elemen os a ales que a∈Xo bien a∈Y. Obse emos que X∪Y=Y∪X. EJEMPLO 1.2. Si aybson obje os, podemos o ma , de acue do con la Regla 4, los conjun os {a}y{b}. Y aho a podemos o ma {a}∪{b}. Si se piensa qu´ e dice la De inici´ on 1.1, es azonable usa la no aci´ on {a, b}= {a}∪{b}. Obse emos que {a, b}={b, a}. Tambi´ en me ece la pena da se cuen a de que {a, b}={a}si, y s´ olo si, a=b. EJEMPLO 1.3. De acue do con las eglas 5 y 4, podemos o ma el conjun o {∅}. Y aho a, seg ´ un el Ejemplo 1.2, podemos o ma el conjun o {∅,{∅}}.´ Es e ya iene dos elemen os dis in os, ¿ e dad?. EJERCICIO 1.4. Sea Xun conjun o. Demos a que X∪{∅}=Xsi, y s´ olo si, ∅ ∈ X. OBSERVACI ´ ON 1.5. La noci´ on de uni´ on de subconjun os se ex iende de mane a ob ia pa a amilias de m´ as de dos conjun os. De hecho, si Γes un 5 1.1. CONJUNTOS 6 conjun o cuyos elemen os son conjun os, en onces la uni´ on SY∈ΓYes el conjun o o mado po los elemen os a ales que a∈Ypa a alg ´ un Y∈Γ. DEFINICI ´ ON 1.6. Sean XeYconjun os. Di emos que Xes un subcon- jun o de Ysi pa a odo obje o a, la condici´ on a∈Ximplica que a∈Y. Esc ibi emos en onces X⊆Y. Obse emos que ene que X⊆YeY⊆Xes lo mismo que deci que X=Y. Obse emos ambi´ en que ∅ ⊆ Xcualquie a sea el conjun o X. EJERCICIO 1.7. Sean X, Y conjun os. Demos a que X∪Y=Ysi, y s´ olo si, X⊆Y. EJERCICIO 1.8. Mos a es conjun os X, Y, Z que e i iquen que X∈ Y∈Zy, al mismo iempo, X⊆Y⊆Z. Es muy com ´ un de ini un conjun o Xmedian e la desc ipci´ on de los obje os que sa is acen una p opiedad P. As´ ı, se usa la no aci´ on X={a|asa is ace P}. As´ ı, po ejemplo, si XeYson conjun os, en onces podemos pone X∪Y={a|a∈Xoa∈Y}. DEFINICI ´ ON 1.9. Dados dos conjun os X, Y, de inimos su in e secci´ on como el conjun o X∩Yde e minado po los elemen os a ales que a∈Xy a∈Y. B e emen e, X∩Y={a|a∈Xya∈Y}. Es pe ec amen e posible que X∩Y=∅. En al caso, di emos que XeY son disjun os. EJERCICIO 1.10. Si X, Y son conjun os, demos a que X∩Y=Ysi, y s´ olo si, Y⊆X. OBSERVACI ´ ON 1.11. Como ya obse amos en el caso de la uni´ on, la de- inici´ on de in e secci´ on puede ex ende se a amilias de m´ as de dos conjun- os. Conc e amen e, si Γes un conjun o cuyos elemen os son conjun os, podemos de ini TY∈ΓYcomo el conjun o cuyos elemen os son aquellos obje os a ales que a∈Ypa a odo Y∈Γ. DEFINICI ´ ON 1.12. Dado X⊆Y, de inimos el complemen o de Xen Y como Y X={a|a∈Yya /∈X}. Es ambi´ en usual u iliza la siguien e o ma ab e iada de de ini el mismo conjun o: Y X={a∈Y|a /∈X}. Po ´ ul imo, cuando, po el con ex o, es cla o qui´ en es Y, se suele esc ibi Xpa a e e i se a Y X. Dado un conjun o X, de inimos su conjun o po encia oconjun o de las pa es de Xcomo P(X) = {A|A⊆X} ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 1.2. CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES 7 1.2. Co espondencias y aplicaciones Dados conjun os X, Y, pa a cada pa de elemen os x∈X,y∈Y, ad- mi i emos como obje o ma em´ a ico el pa o denado (x, y). Cons uimos el conjun o X×Yllamado p oduc o ca esiano de XeY, como el conjun o de odos es os pa es o denados, es deci , X×Y={(x, y)|x∈X, y ∈Y}. Obse emos que, en gene al, (x, y)6= (y, x)(po eso hablamos de pa o de- nado). Tambi´ en se iene que X×Y6=Y×Xsal o que X=Y. EJERCICIO 1.13. Razona que ∅ × X=∅=X× ∅, cualquie a sea el conjun o X. EJERCICIO 1.14. Sean I ={∅},II =I∪{I}. Desc ibi expl´ ıci amen e II×II. DEFINICI ´ ON 1.15. Dados conjun os XeY, llama emos co espondencia de XaYa odo subconjun o Cde X×Y. Cuando (x, y)∈Cse esc ibe a eces xCy y se lee “xse co esponde con y”, o e minolog´ ıas simila es. No a: En algunos ex os, se usa la palab a “ elaci´ on” pa a e e i se a una co espondencia. Noso os ese a emos la palab a “ elaci´ on” en un sen ido m´ as es ic i o, de acue do con la siguien e de inici´ on. DEFINICI ´ ON 1.16. Sea Xun conjun o. Una elaci´ on en Xes, po de ini- ci´ on, una co espondencia de XaX, es o es, un subconjun o del p oduc o ca esiano X×X. EJERCICIO 1.17. En el conjun o II de inido en el Eje cicio 1.14, de i- nimos la elaci´ on C⊆II ×II dada po xCy si, y s´ olo si, x∈y. Desc ibi expl´ ıci amen e odos los pa es o denados que pe enecen a C. Vol e emos m´ as a de sob e las elaciones, aho a nos amos a con- cen a en un ipo especial de co espondencias, las aplicaciones. DEFINICI ´ ON 1.18. Una aplicaci´ on de un conjun o Xa un conjun o Y es una co espondencia ⊆X×Y al que pa a odo x∈Xexis e un ´ unico y∈Y al que (x, y)∈ . Esc ibi emos y= (x), y di emos que yes la imagen de xpo (o bajo) . Tambi´ en di emos que asigna yal x La no aci´ on casi uni e salmen e acep ada pa a deno a una aplica- ci´ on es esc ibi :X→Y. El conjun o Xes denominado dominio de , en an o que Yse denomina ango de . En algunos ex os se usa la palab a “ unci´ on” como sin´ onimo de “aplicaci´ on”. EJEMPLO 1.19. Todo conjun o Xda luga au om´ a icamen e a una apli- caci´ on idX:X→Xllamada iden idad en X, de inida po idX(x) = xpa a odo x∈X. DEFINICI ´ ON 1.20. Dadas aplicaciones :X→Yyg:Y→Z, de inimos su composici´ on g◦ :X→Zpo la egla (g◦ )(x) = g( (x)) pa a odo x∈X. Hagamos algunas obse aciones sob e la no aci´ on. Es muy usual ab e- ia g◦ como g , cuando el con ex o lo pe mi e. Acep a emos, as´ ı, las siguien e no aci´ on ab e iada: (g◦ )(x) = g (x),(x∈X). Pa a una aplicaci´ on :X→Y, ambi´ en usa emos la no aci´ on X //Y. EJERCICIO 1.21. Pone un ejemplo que demues e que la composici´ on de dos aplicaciones no siemp e es posible. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 1.2. CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES 8 PROPOSICI ´ ON 1.22. Sean X //Yg //Zh//Taplicaciones. En on- ces (h◦g)◦ =h◦(g◦h). DEMOSTRACI ´ ON. Se deja como eje cicio.  EJERCICIO 1.23. Sea Xun conjun o. ¿Cu´ an as aplicaciones hay de ∅a X? ¿Cu´ an as aplicaciones hay de Xa∅? DEFINICI ´ ON 1.24. Una aplicaci´ on :X→Yse dice inyec i a si pa a odo x, x0∈Xla condici´ on (x) = (x0)implica x=x0. La aplicaci´ on se llama sob eyec i a si pa a odo y∈Yexis e x∈X al que y= (x). EJERCICIO 1.25. Pone un ejemplo de aplicaci´ on inyec i a que no sea sob eyec i a, y o o de aplicaci´ on sob eyec i a que no sea inyec i a. DEFINICI ´ ON 1.26. Una aplicaci´ on se dice biyec i a si es inyec i a y sob eyec i a. PROPOSICI ´ ON 1.27. Una aplicaci´ on :X→Yes biyec i a si, y s´ olo si, exis e una aplicaci´ on g:Y→X al que g◦ =idXy ◦g=idY. DEMOSTRACI ´ ON. Expond emos una demos aci´ on po “doble implica- ci´ on”. As´ ı, supongamos p ime o que :X→Yes biyec i a y demos amos que en onces exis e gen las condiciones desc i as. De inimos en onces una co espondencia de YaXpo g={(y, x)∈Y×X|y= (x)}. Veamos que ges una aplicaci´ on. Dado y∈Y, po se sob eyec i a, exis e x∈X al que y= (x). As´ ı que (y, x)∈g. Si x0∈Xes al que (y, x0)∈g, en onces (x) = y= (x0). Como es inyec i a, x=x0. Hemos p obado que ges una aplicaci´ on de YaXseg ´ un la De inici´ on 1.18. Aho a, si y∈Y, engo que, po de inici´ on, g(y) = xpa a x∈X al que (x) = yAs´ ı, (g(y)) = (x) = y. Es o demues a que ◦g=idY. Po ´ ul imo, si x∈X, en onces g( (x)) = z pa a z∈X al que (z) = (x). Al se inyec i a, z=x. Es o demues a que g◦ =idX. Es o acaba la p ueba de la implicaci´ on “di ec a”. Pa a azona la implicaci´ on “ ec´ ıp oca” o “in e sa”, supongamos dada g:Y→X al que g◦ =idXy ◦g=idY. Como, pa a y∈Y, enemos que (g(y)) = y, deducimos que es sob eyec i a. Po ´ ul imo, si x, x0∈X son ales que (x) = (x0)en onces, aplicando g, ob enemos x=g( (x)) = g( (x0)) = x0. As´ ı, es inyec i a y hemos e minado la demos aci´ on.  OBSERVACI ´ ON 1.28. Dada una aplicaci´ on biyec i a (o biyecci´ on) :X→ Y, la aplicaci´ on g:Y→Xp opo cionada po la P oposici´ on 1.27 es ´ a de e minada de mane a ´ unica po . En e ec o, si g, h :Y→X e i ican g◦ =idX=h◦ y ◦g=idY= ◦h, en onces, usando la P oposici´ on 1.22, ob enemos h=idX◦h= (g◦ )◦h=g◦( ◦h) = g◦idY=g. DEFINICI ´ ON 1.29. La aplicaci´ on g:Y→Xdada po la P oposici´ on 1.27 pa a una aplicaci´ on biyec i a :X→Yse llama ec´ ıp oca oin e sa de , y se deno a po g= −1( e la Obse aci´ on 1.28) . Ad e imos que la palab a “in e sa”se usa en C´ alculo ambi´ en pa a o o ipo de unciones (las in e sas mul iplica i as), y nada iene que e con lo de inido aqu´ ı. COROLARIO 1.30. Si :X→Yes una biyecci´ on, en onces −1:Y→Xes una biyecci´ on y ( −1)−1= . DEMOSTRACI ´ ON. Las ecuaciones ◦ −1=idY, −1◦ =idX, ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 1.3. MONOIDES. LOS N ´ UMEROS NATURALES 9 mi adas a la luz de la P oposici´ on 1.27 desde la pe spec i a de −1, indican que ´ es a es una biyecci´ on. Po o a pa e, como la in e sa de una biyecci´ on es ´ unica seg ´ un la Obse aci´ on 1.28, de nue o las ecuaciones an e io es implican que ( −1)−1= . Dada una aplicaci´ on cualquie a :X→Y, de inimos ∗:P(X)→P(Y) po ∗(A) = { (a) : a∈A},pa a A∈ P(X). Tambi´ en podemos de ini ∗:P(Y)→P(X)po ∗(B) = {a∈X| (a)∈B},pa a B∈ P(Y). EJERCICIO 1.31. Demos a que una aplicaci´ on :X→Yes sob eyec- i a si, y s´ olo si, exis e g:Y→X al que ◦g=idY. EJERCICIO 1.32. Demos a que una aplicaci´ on :X→Yes inyec i a si, y s´ olo si, exis e g:Y→X al que g◦ =idX. 1.3. Monoides. Los n´ ume os na u ales Admi i emos que conocemos el conjun o N={0, 1, 2, . . . }de los n ´ ume os na u ales. Sus elemen os, que son los n ´ ume os “que si en pa a con a ”, pod ´ ıan cons ui se o malmen e a pa i de las eglas que nos hemos dado, y ambi´ en pod ´ ıamos de ini a pa i de esa cons ucci´ on las ope a- ciones usuales de suma y p oduc o de n ´ ume os na u ales, pe o es o nos lle a ´ ıa un iempo del que no disponemos. Nos limi amos pues a acep a que, de acue do con nues as eglas, es amos diciendo que, si nos p e- sen an un obje o, sabemos deci si dicho obje o pe enece a No no... Nada menos. La p ime a obse aci´ on que hemos de hace es que los elemen os de Nno se pueden lis a expl´ ıci amen e, po que su can idad es in ini a. Una mane a de en ende es o es acep a que pa a cada n∈N, exis e un “si- guien e”, a sabe , n+1. Tal y como lo hemos exp esado, es amos acep- ando ambi´ en que sabemos suma n ´ ume os na u ales. Podemos exp e- sa es o en lenguaje de conjun os diciendo que conocemos una aplicaci´ on + : N×N→N, llamada “suma”. Como es usual, dado (n, m)∈N, su imagen median e +se deno a ´ a como m+n. Vamos a ap o echa el modelo de la suma de n ´ ume os na u ales pa a da la noci´ on de ope aci´ on bina ia. DEFINICI ´ ON 1.33. Sea Xun conjun o no ac´ ıo. Toda aplicaci´ on ∗:X× X→Xse llama ´ aope aci´ on bina ia in e na en X. Eludi emos el adje i o “in e na” en lo que sigue. Las p opiedades de las ope aciones bina ias de las que nos amos a ocupa equie en, pa a su manejo, de una simpli icaci´ on en la no aci´ on gene al que usamos pa a las aplicaciones. Conc e amen e, si ∗:X×X→X es una ope aci´ on bina ia, en onces, dado (a, b)∈X×X, su imagen po ∗hab ´ ıa de se deno ada po ∗((a, b)). Una p ime a simpli icaci´ on, en la que no pe demos in o maci´ on, es p escindi de dos pa ´ en esis, y esc ibi ∗(a, b)en luga ∗((a, b)). Pe o, ya pues os, podemos sup imi , sin mengua la in o maci´ on, los pa ´ en esis e incluso la coma, y esc ibi a∗ben luga de ∗((a, b)). Eso s´ ı, enemos que ene cuidado de no con undi es a no aci´ on ab e iada con la que se usa en las co espondencias... pe o es o es a ´ a cla o po el con ex o en cada caso. Usa no aciones ambiguas sin cae en ambig¨ uedad es una de las ca ac e ´ ıs icas m´ as no ables de la Ma em´ a ica. En in, podemos de ini aho a lo que es un semig upo con comodidad. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 1.4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y ORDEN. CONSTRUCCI ´ ON DE LOS ENTEROS. 16 EJEMPLO 1.72. Se iene un conjun o (pa cialmen e) o denado (P(X),⊆) pa a odo conjun o X. EJEMPLO 1.73. Un conjun o con un o den o al es (N,≤), donde ≤es el o den na u al. EJEMPLO 1.74. Pa a a, b ∈N+=N {0}, esc ibamos a|bcuando asea un di iso de b. Es cla o que (N+,|)es un conjun o o denado. Es e o den es pa cial. Pa a compa a conjun os o denados, se usa la noci´ on de homomo is- mo de conjun os o denados (a eces, se llaman aplicaciones no dec ecien- es). DEFINICI ´ ON 1.75. Sean (X, ),(Y, ≤)conjun os o denados. Una aplica- ci´ on :X→Yes un homomo ismo de conjun os o denados si pa a odo x, x0∈Xla condici´ on xx0implica que (x)≤ (x0). El homomo ismo es un isomo ismo de conjun os o denados si es biyec i a y su in e sa −1:Y→Xes homomo ismo de conjun os o denados. EJEMPLO 1.76. La aplicaci´ on idN+:N+→N+es un homomo ismo del conjun o o denado (N+,|)al conjun o o denado (N+,≤). Es a aplicaci´ on no es un isomo ismo de conjun os o denados. ¿Po qu´ e? EJEMPLO 1.77. Si (X, )es un conjun o o denado, odo subconjun o Y⊆Xes un conjun o o denado con la es icci´ on de la elaci´ on . PROPOSICI ´ ON 1.78. La aplicaci´ on ι:N→Zde inida po ι(n) = [(n, 0)]R pa a odo n∈Nes inyec i a. Exis e una elaci´ on de o den o al en Z al que ιes un homomo ismo de conjun os o denados y su co es icci´ on ι:N→ Im(ι)es un isomo ismo de conjun os o denados. DEMOSTRACI ´ ON. Veamos p ime o que ιes inyec i a: si n, m ∈Nson a- les que ι(n) = ι(m), en onces [(n, 0)]R= [(m, 0)]R. Seg ´ un la P oposici´ on 1.56, (n, 0)R(m, 0), de donde n+0=0+m, es o es, n=m. Vamos a de ini aho a la elaci´ on de o den en Z. Dados [(a, b)]R,[(c, d)]R∈Z, decla amos que [(a, b)]R[(c, d)]Rsi y s´ olo si a+d≤b+c, donde es a ´ ul ima desigualdad es de n ´ ume os na u ales. Aho a enemos un p oblema: apa en emen e, la de inici´ on que hemos dado de depende de los ep esen an es de las clases de equi alencia escogidos. Conc e amen e, si enemos que (1.3) [(a, b)]R= [(a0, b0)]Ry[(c, d)]R= [(c0, d0)]R, end emos que e que la condici´ on a+d≤b+ces equi alen e a la con- dici´ on a0+d0≤b0+c0, pa a que la de inici´ on de sea cohe en e. Supon- gamos, pues, que a+d≤b+c. En onces a0+d0+b+c=a+b0+d+c0≤ b+c+b0+c0, donde, en la p ime a igualdad, hemos usado (1.3). Po an o, a0+d0≤b0+c0. La implicaci´ on ec´ ıp oca se demues a igual. Es bas an e ´ acil comp oba que es a elaci´ on es de o den, es deci , e lexi a, ansi i a y an isim´ e ica, y se deja como eje cicio. Supongamos aho a que m, n ∈N. Es bas an e ob io que n≤msi, y s´ olo si, ι(n)ι(m). En pa icula , ιes un homomo ismo de conjun os o denados. Hemos de demos a aho a que ι−1:Im(ι)→Nes un ho- momo ismo de conjun os o denados. Tomados xy∈Im(ι), exis en n, m ∈N ales que [(n, 0)]R=x, [(m, 0)]R=y. As´ ı que n≤my, po o a pa e, n=ι−1(x), m =ι−1(y). La P oposici´ on 1.78 pe mi e e Ncomo un subconjun o de Z, de ma- ne a que el o den usual de Nse ex iende a un o den en Z. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas Cap´ ı ulo 2 Anillos 2.1. Nociones de g upo y anillo. El anillo de los en e os. Un anillo combina dos es uc u as de monoide. Una de ellas dis u a, adem´ as, de una p opiedad adicional que la hace un g upo. Como los g u- pos son obje os undamen ales en Ma em´ a icas, de inamos es a noci´ on. DEFINICI ´ ON 2.1. Un monoide (A, ∗, e)es un g upo si pa a cada a∈A, exis e a∈A al que a∗a=e=a∗a. El g upo es conmu a i o si lo es como monoide, es o es, a∗b=b∗apa a odo a, b ∈A. EJERCICIO 2.2. Demos a que, pa a un g upo (A, ∗, e), y cada a∈A, el elemen o aes ´ a de e minado de mane a ´ unica po a. El elemen o ase llama sim´ e ico de a. OBSERVACI ´ ON 2.3. En muchos con ex os, cuando se iene un g upo conmu a i o, se suele usa la llamada “no aci´ on adi i a”. Es o signi ica que la ope aci´ on de monoide se ep esen a po el signo +, el elemen o neu o po 0y, pa a cada aen el g upo, −adeno a el elemen o sim´ e ico de aque e i ica que −a+a=0, que se suele llama opues o de a. Se suele usa la no aci´ on ab e iada a−bpa a a+ (−b).´ Es e a a se el caso de Z, como e emos m´ as abajo, o de la “suma” en un espacio ec o ial, como hab ´ eis is o en Geome ´ ıa. OBSERVACI ´ ON 2.4. En gene al, pa a un g upo cualquie a A, se suele usa la “no aci´ on mul iplica i a” a−1pa a deno a el sim´ e ico de a∈A. En al caso, el elemen o a−1se llama in e so de a. EJERCICIO 2.5. En un monoide (A, ∗, e), podemos de ini , pa a n∈N, y a∈A, el elemen o ancomo sigue. Pa a n=0, de inimos a0=ey, supues o de inido ampa a cie o m∈N, de inimos am+1=am∗a. Demos a que ak+m=ak∗amy(ak)l=akl pa a odo k, l ∈N. DEFINICI ´ ON 2.6. Sea (A, ∗, e)un monoide, y B⊆A. Di emos que Bes un submonoide de Asi e∈By, pa a cada b, c ∈B, se iene que b∗c∈B. Obs´ e ese que, en al caso, la es icci´ on de la ope aci´ on bina ia ∗aB×B, hace que (B, ∗, e)sea, a su ez, un monoide. EJEMPLO 2.7. Dado un conjun o X, conside emos Sym(X) = { :X→X| biyec i a }. Es cla o que (Sym(X),◦, idX)es un submonoide de (Map(X, X),◦, idX). Se deduce de la P oposici´ on 1.27 que Sym(X)es un g upo, llamado g upo de pe mu aciones de X. TEOREMA 2.8. Exis e un g upo conmu a i o (Z,+, 0)que con iene a (N,+, 0) como submonoide de mane a que Z= −N∪N, donde −N={−k|k∈N}. El g upo (Z,+, 0)es ´ a o almen e o denado po la elaci´ on n≤msi, y s´ olo si, exis e k∈N al que n+k=m. 17 2.1. NOCIONES DE GRUPO Y ANILLO. EL ANILLO DE LOS ENTEROS.18 DEMOSTRACI ´ ON. Conside emos la elaci´ on de equi alencia Ren N×N del Ejemplo 1.68. El conjun o cocien e es Z= (N×N)/R. Vamos a usa no aci´ on adi i a pa a la ope aci´ on de g upo en Z. De inimos, pues, pa a [(a, b)]R,[(c, d)]R∈Z, (2.1) [(a, b)]R+ [(c, d)]R= [(a+c, b +d)]R. Hemos de comp oba que es a de inici´ on no depende de los ep esen an- es de las clases de equi alencia escogidos. As´ ı, supongamos [(a, b)]R= [(a0, b0)]Ry[(c, d)]R= [(c0, d0)]R. Usando las p opiedades conmu a i a y asocia i a de +, enemos que (a+c) + (b0+d0) = (a+b0) + (c+d0) = (a0+b)+(c0+d)=(a0+c0)+(b+d). Po an o, (a+c, b+d)R(a0+c0, b0+d0), de donde [(a+c, b +d)]R= [(a0+c0, b0+d0)]R. La asocia i idad de la nue a ope aci´ on +se sigue ´ acilmen e de la de +en N. Adem´ as, el elemen o neu- o es, cla amen e, 0= [(0, 0)]R. Tenemos, pues, un monoide (Z,+, 0), cla- amen e conmu a i o. Veamos que se a a de un g upo: dado [(a, b)]R∈Z, enemos que [(a, b)]R+ [(b, a)]R= [(a+b, b +a)]R= [(0, 0)]R=0. Vamos a ep esen a los elemen os de Zde mane a m´ as amilia . Reco demos que en´ ıamos una aplicaci´ on inyec i a ι:N→Zque pe mi ´ ıa iden i ica Ncon Im(ι) = {[(n, 0)]R|n∈N}como conjun o o denado. Conc e amen e, amos a iden i ica cada n∈Ncon la clase [(n, 0)]R. Vemos ´ acilmen e que, de es a o ma, N esul a se un submonoide de Z: pa a n, m ∈N, enemos [(n, 0)]R+ [(m, 0)]R= [(n+m, 0)]R. Si aho a esc ibimos, pa a n∈N,−n= [(0, n)]R, conside emos −N={−n|n∈N}. Demos emos que Z= −N∪N. En e ec o, dado [a, b]R∈Z, se iene que, o bien a≥b, o a≤b. En el p ime caso, exis e k∈N al que a=b+k, po lo que [(a, b)]R= [(b+k, b)]R= [(k, 0)]R=k∈N. En el segundo, pa a k∈N al que b=a+k, enemos [(a, b)]R= [(a, a +k)]R= [(0, k)] = −k∈−N. Veamos, po ´ ul imo, como se ca ac e iza aho a el o den en Zque in odu- jimos en la P oposici´ on 1.78. Reco demos que [(a, b)]R≤[(c, d)]Rsi, y s´ olo si, a+c≤b+c. Es o es, exis e k∈N al que b+c=k+a+d. Es a condici´ on es equi alen e a deci que [(a, b)]R+ [(k, 0)]R= [(c, d)]R. Es deci , hemos demos ado que, dados x, y ∈Z,x≤ysi, y s´ olo si, exis e k∈N al que x+k=y. Obse emos que no hemos enido que p eocupa nos de los “signos”... expl´ ıci amen e.  EJERCICIO 2.9. Con la no aci´ on del Eje cicio 2.5, supongamos aho a que Aes un g upo. Usamos no aci´ on mul iplica i a ( e Obse aci´ on 2.4). Pa a n∈Zcon n<0, de inimos an= (a−1)−n. Demos a que ax+y=ax∗ay pa a odo x, y ∈Z. DEFINICI ´ ON 2.10. Un anillo es un g upo conmu a i o (A, +, 0)do ado adem´ as de una es uc u a de monoide (A, ·, 1) al que se e i ica la p opie- dad dis ibu i a, es o es, pa a odo a, b, c ∈A, se iene que 1. a·(b+c) = a·b+a·c, 2. (b+c)·a=b·a+c·a. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 2.1. NOCIONES DE GRUPO Y ANILLO. EL ANILLO DE LOS ENTEROS.19 Se usa la no aci´ on (A, +, 0, ·, 1), pe o ambi´ en di emos simplemen e que “A es un anillo”. La ope aci´ on +se suele llama suma de A, en an o que ·es el p oduc o omul iplicaci´ on de A. El elemen o 0se llama ce o de A, y 1es el uno de A. El anillo es conmu a i o si (A, ·, 1)es un monoide conmu a i o. EJERCICIO 2.11. Demos a que, en odo anillo A, se iene que a·0= 0=0·apa a odo a∈A. Deduci que, en un anillo con al menos dos elemen os, 06=1. EJERCICIO 2.12. Sean x, y ∈A, donde Aes un anillo. Demos a que (−x)·y= −x·y=x·(−y). Deduci que (−x)·(−y) = x·y. EJERCICIO 2.13. Sean A, B anillos. En el p oduc o ca esiano A×B de inimos las ope aciones (a, b)+(a0, b0)=(a+a0, b +b0)y(a, b)·(a0, b0) = (a·a0, b ·b0). Demos a que, con es as ope aciones, A×Bes un anillo. EJERCICIO 2.14. Pa a un anillo A, conside emos en A×Alas siguien es ope aciones: (a, a0)+(b, b0)=(a+b, a0+b0)y(a, a0)·(b, b0)=(a·b, a·b0+a0·b). Demos a que A×A, con es as ope aciones, es un anillo. TEOREMA 2.15. El g upo conmu a i o (Z,+, 0)admi e una es uc u a de monoide (Z,·, 1)que lo hace un anillo conmu a i o. El p oduc o ·es ´ a dado po (2.2) [(a, b)]R·[(c, d)]R= [(ac +bd, ad +bc)]R,([(a, b)]R,[(c, d)]R∈Z), y, po an o, es una ex ensi´ on del p oduc o de N. DEMOSTRACI ´ ON. Comencemos demos ando que el p oduc o dado en (2.2) es ´ a bien de inido. As´ ı, supongamos que (a, b)R(a0, b0)y(c, d)R(c0, d0). Se iene en onces que a+b0=a0+byc+d0=c0+d. De es as iden idades se ob ienen ´ acilmen e las siguien es: ac +b0c=a0c+bc a0d+bd =ad +b0d a0c+a0d0=a0c0+a0d b0c0+b0d=b0c+b0d0 Sumando los ´ e minos al mismo lado, y cancelando sumandos iguales en la iden idad esul an e, se ob iene que ac +bd +a0d0+b0c0=ad +bc +a0c0+b0d0. As´ ı, (ad +bd, ad +bc)R(a0d0+b0d0, a0d0+b0c0), lo que mues a que el p o- duc o dado en (2.2) es ´ a bien de inido. Cla amen e, ·es conmu a i o y ex iende al p oduc o en N. La comp obaci´ on de las p opiedades asocia i a y dis ibu i a son c´ alculos u ina ios que se dejan como eje cicio. Es cla o que 1∈Nes neu o pa a el p oduc o de inido en Z. EJERCICIO 2.16. Con la no aci´ on del Eje cicio 2.9, demos a que (ax)y= axy pa a odo x, y ∈Z. OBSERVACI ´ ON 2.17. Se suele ep esen a el p oduc o de n ´ ume os en- e os median e yux aposici´ on. Es deci , si a, b ∈Z, en onces esc ibimos ab =a·b. De hecho, es a no aci´ on se hace ex ensi a a cualquie anillo. DEFINICI ´ ON 2.18. Sea (A, ∗, e)un g upo y B⊆Aun submonoide. Di e- mos que Bes un subg upo si (B, ∗, e)es un g upo. EJERCICIO 2.19. Sea (A, ∗, e)un g upo y B⊆Aun subconjun o no ac´ ıo. Demos a que Bes un subg upo de Asi, y s´ olo si, pa a odo b, c ∈B se iene que b∗c∈B. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 2.2. ARITM ´ ETICA ENTERA 20 TEOREMA 2.20. Pa a cada n∈N, el conjun o nZ={nq |q∈Z}es un subg upo de (Z,+, 0). Todo subg upo de (Z,+, 0)es de esa o ma. DEMOSTRACI ´ ON. Si a, b ∈nZ, en onces a=nq,b=nk, pa a cie os q, k ∈Z. Po an o, a−b=nq −nk =n(q−k)∈nZ. De acue do con el Eje - cicio 2.19, nZes un subg upo de Z. Supongamos, ec´ ıp ocamen e, que I es un subg upo de Z. Si I={0}, en onces, cla amen e, I=0Z. Supongamos que I6={0}. Eso signi ica que exis e x∈Icon x6=0. Como Ies subg upo, enemos que −x∈I. Po el Teo ema 2.8, enemos que, o bien x∈N, o bien −x∈N. Es o es, el conjun o I∩N+es no ac´ ıo. Po la buena o denaci´ on de N, podemos oma el m´ ınimo nde I∩N+. Obse emos1que nZ⊆I. Pa a demos a la inclusi´ on ec´ ıp oca, omemos a∈I. Si a∈N, en onces, po la Di isi´ on Euclidiana en N, enemos que a=qn + pa a q, ∈Ncon < n. Pe o, en onces, =a−qn ∈I, lo que implica que =0. Es o es, a=qn ∈nZ. La o a opci´ on es que −a∈N. Encon amos de nue o k, s ∈N ales que −a=kn +sys<n. De nue o, s= −a−kn ∈I, lo que implica que s=0. As´ ı, a= −kn ∈nZ, lo que concluye la demos aci´ on.  Un pun o cla e de la demos aci´ on del Teo ema 2.20 es el uso de la di isi´ on euclidiana en N, con enien emen e adap ada a n ´ ume os en e os. Si la acomodamos comple amen e, ob enemos el siguien e esul ado un- damen al de la a i m´ e ica en e a. In oducimos p ime o la noci´ on de alo absolu o. DEFINICI ´ ON 2.21. Dado x∈Z, de inimos el alo absolu o de xcomo |x|=xsi x≥0, y |x|= −xsi x≤0. TEOREMA 2.22 (Di isi´ on euclidiana en Z). Dados m, n ∈Zcon n6=0, exis en q, ∈Z ales que m=qn + y| |<|n|. DEMOSTRACI ´ ON. En la demos aci´ on del Teo ema 2.20 hemos p oba- do, de hecho, el enunciado pa a n > 0. Pa a n < 0, podemos aplica lo demos ado all´ ı a −n. As´ ı, exis en q, ∈Z ales que m=q(−n) + , con | |<−n=|n|. Ob iamen e, m= (−q)n+ , que es una di isi´ on euclidiana como la deseada.  DEFINICI ´ ON 2.23. Los n ´ ume os qy que apa ecen en el Teo ema 2.22 se llaman, espec i amen e, cocien e y es o de la di isi´ on de men e n. Usa emos la no aci´ on quo (a, b) = qy = em(a, b). OBSERVACI ´ ON 2.24. A di e encia de lo que ocu ´ ıa con la di isi´ on con es o en N, los alo es qy no son aho a ´ unicos, como mues an las dos di isiones 3=1×2+1y3=2×2−1. EJERCICIO 2.25. Demos a que, dados m, n ∈Zcon n6=0, exis en, en gene al, dos es os (y no m´ as) de di idi men e nen Z. ¿En qu´ e caso son es os dos es os iguales? 2.2. A i m´ e ica En e a En es a secci´ on amos a es udia la a i m´ e ica en e a elemen al. Co- mencemos ijando alguna nomencla u a. DEFINICI ´ ON 2.26. Dados a, b ∈Z, di emos que aes un di iso de b (o que adi ide ab) si b=qa pa a alg ´ un q∈Z. Usa emos en onces la no aci´ on a|b. Equi alen emen e, di emos que bes un m´ ul iplo de a. 1En ealidad, es o equie e una peque˜ na demos aci´ on po inducci´ on ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 2.2. ARITM ´ ETICA ENTERA 21 OBSERVACI ´ ON 2.27. Sean a, b ∈Z. Obse emos que a|b, pa a a6=0si, y s´ olo si, el es o de di idi ben e aes 0. Tambi´ en es ´ acil e que adi ide absi, y s´ olo si, |a|di ide a |b|. Es po eso que no se pie de gene alidad si enunciamos los esul ados que in oluc an di isibilidad pa a Nen luga de pa a Z. LEMA 2.28. Sean n, m ∈N. En onces ndi ide a msi, y s´ olo si, mZ⊆nZ. Como consecuencia, n=msi, y s´ olo si, nZ=mZ. DEMOSTRACI ´ ON. Supongamos que n|m. En onces m=qn pa a alg ´ un q∈N. Si a∈mZ, enemos que a=km pa a cie o k∈Z, luego a=km = kqn ∈nZ. Rec´ ıp ocamen e, si mZ⊆nZ, en onces m∈nZ, luego m=kn, pa a cie o k∈Z. Ob iamen e, k∈N, con lo que n|m. PROPOSICI ´ ON 2.29. Dados a, b ∈N, exis e d∈Ncon la siguien e p opie- dad: d|a,d|by, pa a cualquie d0∈N al que d0|ayd0|b, se sigue que d0|d. El n ´ ume o des ´ unico con es a p opiedad, se llama m´ aximo com ´ un di iso de ayb, y se ´ a deno ado po mcd(a, b). DEMOSTRACI ´ ON. Conside emos I=aZ+bZ={ka +lb |k, l ∈Z}. Com- p obemos que Ies un subg upo de Z: si k, k0, l, l0∈Z, en onces, po el Eje cicio 2.19, ka +lb − (k0a+l0b)=(k−k0)a+ (l−l0)b∈I. Po el Teo ema 2.20, exis e d∈N al que I=dZ. Bien, como aZ⊆dZ, deducimos del Lema 2.28 que d|a. An´ alogamen e, d|b. Aho a, supongamos que d0|ayd0|b. Po el Lema 2.28, enemos que aZ⊆d0ZybZ⊆d0Z. Es o implica cla amen e que aZ+bZ⊆d0Z. Po an o, dZ⊆d0Zy el Lema 2.28 nos da que d0|d. La unicidad de d iene de que si des o o n ´ ume o na u al con las mismas p opiedades, en onces d|dyd|d, de donde d=d. OBSERVACI ´ ON 2.30. Si aobes no nulo, en onces mcd(a, b)es el m´ axi- mo, con espec o de la elaci´ on de o den “se di iso de”, del conjun o de los di iso es comunes de ayb. Es cla o que, con nues a de inici´ on, mcd(0, 0) = 0, lo que supone una excepci´ on a la in e p e aci´ on an e io , pues o odo n ´ ume o na u al n e i ica que 0=n·0y, po an o, ndi ide a 0. He aqu´ ı una consecuencia de la demos aci´ on de la P oposici´ on 2.29. TEOREMA 2.31 (Iden idad de Bezou ). Dados a, b ∈N, y d=mcd(a, b), exis en u, ∈Z ales que d=ua + b. DEMOSTRACI ´ ON. Hemos is o en la demos aci´ on de la P oposici´ on 2.29 que dZ=aZ+bZ. Po an o, d=ua + b, pa a cie os u, ∈Z. An´ alogamen e, podemos demos a que exis e el m´ ınimo com ´ un m ´ ul i- plo de cada pa de na u ales. PROPOSICI ´ ON 2.32. Dados a, b ∈N, exis e m∈Ncon la siguien e p o- piedad: a|myb|my, pa a cualquie m0∈N al que a|m0yb|m0, se sigue que m|m0. El n ´ ume o mes ´ unico con es a p opiedad, se llama m´ ınimo com ´ un m´ ul iplo de ayb, y se ´ a deno ado po mcm(a, b). DEMOSTRACI ´ ON. Obse emos que I=aZ∩bZes un subg upo de Z. Po el Teo ema 2.20, exis e m∈N al que I=mZ. Aho a, la demos aci´ on sigue una l´ ınea a gumen al simila a la de la P oposici´ on 2.29, y se deja su comple aci´ on como eje cicio.  ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 2.2. ARITM ´ ETICA ENTERA 22 OBSERVACI ´ ON 2.33. Obse emos que mcm(a, b)es el m´ ınimo, con e- pec o de la elaci´ on “se di iso de”, del conjun o de los m ´ ul iplos comunes de ayb. Obse emos que mcm(a, 0) = 0=mcm(0, a)pa a cualquie a∈N. EJERCICIO 2.34. Comple a la demos aci´ on de la P oposici´ on 2.32. Vamos aho a a expone un algo i mo undamen al en la a i m´ e ica en e a. TEOREMA 2.35. Dados a, b ∈N, con b6=0, de inimos una sucesi´ on de n´ ume os na u ales { i}i≥0como sigue: 0=a, 1=b, y el ´ e mino siguien e a cada ipa a i≥1como i+1= em( i−1, i)si i6=0, 0si i=0. En onces (1) Exis e h≥1 al que h6=0y h+1=0. (2) h=mcd(a, b). (3) Exis en n ´ ume os en e os u0, u1,...,uh, uh+1, 0, 1,..., h, h+1 ales que i=uia+ ibpa a odo i=0, 1, . . . , h, h +1. DEMOSTRACI ´ ON. (1). Obse emos que, siemp e que i6=0, se iene que i+1< i. Deducimos2que exis e h≥1 al que h6=0pe o h+1=0. (2). Pa a i≤h, enemos que i6=0, luego podemos hace uso de la di isi´ on con es o en N i−1=qi+1 i+ i+1, donde qi+1es el cocien e. De aqu´ ı, los di iso es comunes de i−1y ison los mismos que los di iso es comunes de iy i+1. As´ ı que h=mcd(0, h) = mcd( h+1, h) = mcd( h, h−1) = ··· =mcd( 1, 0) = mcd(b, a). (3) Vamos a de ini los elemen os ui, i∈Z,i=0, 1, . . . , h, h +1. Tomamos u0=1, 0=0, u1=0, 1=1, Una ez de inidos ui, i, ui−1, i−1, pa a 1≤i≤h, de inimos ui+1=ui−1−qi+1ui, i+1= i−1−qi+1 i. As´ ı, ui+1a+ i+1b= (ui−1−qi+1ui)a+ ( i−1−qi+1 i)a= ui−1a+ i−1b−qi+1(uia+ ib) = i−1−qi+1 i= i+1.  De la demos aci´ on del Teo ema 2.35, deducimos el Algo i mo 1, que se llama Algo i mo de Euclides Ex endido. TEOREMA 2.36. El Algo i mo 1 es co ec o. DEMOSTRACI ´ ON. La demos aci´ on de la co ecci´ on de un algo i mo consis e en mos a que el mismo hace lo que dice que hace, es deci , que dada una en ada como la especi icada, la salida sa is ace lo decla a- do. En el caso del Algo i mo 1, su co ecci´ on se sigue de la demos aci´ on del Teo ema 2.35.  2Ponemos =m´ ın{ i|i≥1}. A i mamos que =0. En e ec o, si = ipa a cie o i≥1y = i6=0, en onces i+1< i, po lo que no se ´ ıa m´ ınimo, lo que es una con adicci´ on. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 2.2. ARITM ´ ETICA ENTERA 23 Algo i mo 1 Algo i mo de Euclides Ex endido Inpu : a, b ∈Ncon b6=0. Ou pu : {ui, i, i}i=0,...,h,h+1 ales que i=uia+ ibpa a i=0, 1, . . . , h, h+1, h+1=0, h=mcd(a, b), Ini iali a ion: 0←a, 1←b. u0←1,u1←0. 0←0, 1←1. q←0, ←0. i←1. while i6=0do q←quo ( i−1, i) ← em( i−1, i) i+1← ui+1←qui−1−ui i+1←q i−1− i i←i+1 e u n {ui, i, i}i=0,...,h,h+1 OBSERVACI ´ ON 2.37. Como demos a emos en un con ex o m´ as gene- al, mcm(a, b) = a|uh+1|=b| h+1|. EJEMPLO 2.38. La aplicaci´ on del Algo i mo 1 al pa de n ´ ume os a= 2018, b =1918 p opo ciona los esul ados ecogidos en la siguien e abla i qi iui i 0 2018 1 0 1 1918 0 1 2 1 100 1 −1 3 19 18 −19 20 4 5 10 96 −101 5 1 8 −115 121 6 1 2 211 −222 7 4 0 −959 1009 Po an o, mcd(2018, 1918) = 2y2=211 ×2018 −222 ×1918. Adem´ as, seg ´ un la Obse aci´ on 2.37, mcm(2018, 1918) = 1935262. Obse emos que, de acue do con las demos aciones de las p oposi- ciones 2.29 y 2.32, enemos que 2018Z+1918Z=2Z y 2018Z∩1918Z=1935262Z. Aho a nos di igimos a demos a el Teo ema Fundamen al de la A i m´ e i- ca, que a i ma que odo n ´ ume o na u al es p oduc o, de mane a esencial- men e ´ unica, de n ´ ume os p imos. LEMA 2.39. Sean a, b, n, m ∈N ales que na =mb. Si mcd(a, b) = 1, en onces nes un m ´ ul iplo de bymes un m ´ ul iplo de a. DEMOSTRACI ´ ON. Po la iden idad de Bezou , 1=ua + b pa a cie os u, ∈Z. Mul iplicando po n, ob enemos n=nua +n b =umb +n b = (um +n )b. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 2.2. ARITM ´ ETICA ENTERA 24 As´ ı que nes un m ´ ul iplo de b. An´ alogamen e, mes un m ´ ul iplo de a. LEMA 2.40. Sea pun n ´ ume o p imo, y a, b ∈N. Si pdi ide a ab, en onces pdi ide a ao bien pdi ide a b. DEMOSTRACI ´ ON. Pongamos d=mcd(p, a). Po se pp imo, enemos que d=po bien d=1. En el p ime caso, pdi ide a a. En el segundo, mcd(p, a) = 1ypc =ab pa a alg ´ un c∈N. Po el Lema 2.39, bes un m´ ul iplo de p. TEOREMA 2.41. Todo n ´ ume o na u al dis in o de 0y1es p oduc o de n´ ume os p imos. Es a ac o izaci´ on es ´ unica sal o eo denaci´ on de los ac- o es p imos. DEMOSTRACI ´ ON. Supongamos que el conjun o X={n∈N|n≥2ynno es p oduc o de p imos } uese no ac´ ıo. En onces end ´ ıa un m´ ınimo, digamos m. Po el lema 1.45, m iene un di iso p imo, digamos p. As´ ı, m=ap pa a cie o a∈N. Como m6=0, enemos que a6=0. Aho a, a6=1ya que, de lo con a io, mse ´ ıa p imo. Po an o a6=0, 1. Como a<m, enemos que admi i que a /∈X, luego aes un p oduc o de p imos. Pe o, cla o, m=ap es en onces un p oduc o de p imos. As´ ı que, en cualquie caso, m /∈X, lo que es una con adicci´ on. Po an o, Xes ac´ ıo, y odo n ´ ume o na u al dis in o de 0y 1es p oduc o de n ´ ume os p imos. Pa a e la unicidad, supongamos que exis e un n ´ ume o na u al con dos ac o izaciones dis in as, y omemos nm´ ınimo con es a p opiedad. As´ ı, end emos dos ac o izaciones dis in as n=p1···p =q1···qs, pa a p1,...,p , q1,...,qsp imos. Po el Lema 2.40, p1ha de se di iso de alg ´ un qj. Al se ´ es e ´ ul imo p imo, p1=qj. Reo denando los ac o es qj, podemos supone que j=1, es o es, p1=q1. Deducimos as´ ı que p2···p =q2···qs. Pe o es e n ´ ume o es es ic amen e meno que n, po lo que su ac o i- zaci´ on en p imos es ´ unica. As´ ı que =sy, as eo denaci´ on, pi=qi pa a i=2, . . . , . Pe o, de es a o ma, hemos is o que las ac o izaciones dis in as de nson la misma. Con adicci´ on.  EJEMPLO 2.42 (Ecuaciones Dio ´ an icas). Sean a, b, c ∈Zy conside e- mos la ecuaci´ on siguien e en las inc´ ogni as x, y: (2.3) ax +by =c Vamos a supone que a, b 6=0. Y asumi emos, po comodidad, que a, b, c ∈ N( e Obse aci´ on 2.44.) Di emos que (2.3) iene soluci´ on en e a si exis en x, y ∈Zsa is aci´ endola. Discu amos p ime o cu´ ando (2.3) iene soluci´ on, y despu´ es c´ omo calcula ´ es a. Esc ibamos d=mcd(a, b). Obse emos que (2.3) iene soluci´ on en e a si, y s´ olo si, c∈aZ+bZ. Como aZ+bZ=dZ, enemos que (2.3) iene soluci´ on si, y s´ olo si, c∈dZ. Po an o, (2.3) iene soluci´ on en e a si, y s´ olo si, ces un m ´ ul iplo de d=mcd(a, b). Aho a, eamos c´ omo se calculan odas las soluciones en e as de (2.3), en caso de que las haya. Calculamos, median e el Algo i mo 1, u, ∈Z ales que d=au +b . Como es amos en el supues o de que (2.3) iene soluci´ on, c=c0d, pa a cie o c0∈N. As´ ı que x0=c0u,y0=c0 es una soluci´ on, lo que se e mul iplicando d=au +b po c0. Una ez calculada una soluci´ on pa icula x0, y0, supongamos x, y ∈Z cualquie o a soluci´ on. En onces a(x−x0) + b(y−y0) = 0. Po o a pa e, exis en a0, b0∈N ales que a=a0dyb=b0d. Tenemos, po una pa e, que a0(x−x0) = b0(y0−y), y, de o a, 1=a0u+b0 . Po an o, mcd(a0, b0) = 1. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 2.3. IDEALES. ANILLOS COCIENTES. ECUACIONES EN CONGRUENCIAS 25 Po el Lema 2.39, |x−x0|es un m ´ ul iplo de b0e|y−y0|es un m ´ ul iplo de a0. Es o es, exis en k, l ∈Z ales que x−x0=kb0ey−y0=la0. De mane a que a0b0k= −a0b0l, Po an o, x=x0+kb0,y=y0−ka0. De aqu´ ı, deducimos que la soluci´ on gene al de (2.3) es x=x0+kb0, y =y0−ka0, k ∈Z. EJEMPLO 2.43. Resol amos la ecuaci´ on dio ´ an ica 2018x +1918y =100 Usa emos los da os calculados en el Ejemplo 2.38. Como mcd(2018, 1918) = 2, que es un di iso de 100, la ecuaci´ on iene soluciones en e as. Siguiendo la no aci´ on del Ejemplo 2.42, enemos d=2,c0=50,a0=1009,b0=959, u=211, = −222. Po an o, una soluci´ on pa icula es x0=50 ×211, y0=50 ×(−222), en an o que la soluci´ on gene al es x=10550 +959k, y = −11100 −1009k (k∈Z). OBSERVACI ´ ON 2.44. Aunque el p ocedimien o discu ido en el Ejemplo 2.42 supone a, b, c ∈N, en ealidad es o no es una es icci´ on. As´ ı, po ejemplo, si a < 0, bas a con obse a que la la ecuaci´ on ax +by =ces equi alen e a (−a)(−x) + by =c. Cambios de signos adecuados dan cuen a ambi´ en de los dem´ as casos posibles pa a esol e con a, b, c ∈Z. Po cie o, que la misma idea mues a que el c´ alculo del m´ aximo com ´ un di iso de dos en e os, y de los coe icien es de Bezou , se educe ´ acilmen e al caso de n ´ ume os posi i os. Con odo, da emos m´ as adelan e es os algo i mos en con ex os m´ as gene ales, de los que Zse ´ a un ejemplo. 2.3. Ideales. Anillos cocien es. Ecuaciones en cong uencias Vamos a e que cie as elaciones de equi alencia en un anillo dado pe mi e do a al conjun o cocien e de es uc u a de anillo de una ma- ne a na u al. Comenza emos po hace lo pa a g upos conmu a i os con no aci´ on adi i a, ya que es a pa e de la cons ucci´ on es com ´ un a o os ´ ambi os impo an es, como po ejemplo los espacios ec o iales cocien es. Dado un subg upo Ide un g upo abeliano (A, +, 0), y a∈I, de inimos a+I={a+x|x∈I}. Vamos a e que es os subconjun os de Ason las clases de equi alencia pa a una cie a elaci´ on de equi alencia. LEMA 2.45. Sea Iun subg upo de un g upo abeliano (A, +, 0). La ela- ci´ on Ren Ade inida, pa a a, b ∈I, po aRb si, y s´ olo si, a−b∈Aes de equi- alencia. La clase de equi alencia de a∈A iene desc i a po [a]R=a+I. DEMOSTRACI ´ ON. Sea a∈A. Pues o que a−a=0∈I, enemos que aRa, yRes e lexi a. Si a, b ∈Ason ales que aRb, en onces a−b∈I. De aqu´ ı, b−a= −(a−b)∈I, luego bRa. Finalmen e, omemos a, b, c ∈R ales que aRb ybRc. De aqu´ ı, a−c= (a−b) + (b−c)∈I, ya que a−b, b −c∈I. Po an o, Res ansi i a y conluimos que es de equi alencia. Tomemos a∈Ayb∈[a]R. Es o signi ica que bRa, po lo que b−a∈I. Tomando x=b−a, ob enemos que b=a+x∈a+I. Tenemos, pues, que [a]R⊆a+I. Pa a p oba la inclusi´ on ec´ ıp oca, omemos a+x∈[x]Rcon x∈I. En onces a+x−a=x∈I, de donde (a+x)Ra ya+x∈[a]R. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 2.4. SUBANILLOS. HOMOMORFISMOS. UNIDADES 32 Obse emos que, si conside amos el isomo ismo iden idad idA, ene- mos que Ke (idA) = {0}, luego A/{0}es isomo o a A, median e la aplicaci´ on g idA:A/{0}→Ade inida po g idA({a}) = apa a odo {a}∈A/{0}. EJERCICIO 2.75. Sean n, m ∈Ncon ndi iso de m, y sea d∈N al que m=dn. Demos a que la aplicaci´ on :Zn→Zmdada po (x) = dx, pa a x∈Znes ´ a bien de inida, y es un homomo ismo inyec i o de g upos. Vayamos con los homomo ismos de anillos. DEFINICI ´ ON 2.76. Sean AyB. Una aplicaci´ on :A→Bse dice un homomo ismo de anillos si es homomo ismo de g upos, pa a los g upos adi i os (A, +, 0)y(B, +, 0), y homomo ismo de monoides, pa a los monoi- des mul iplica i os (A, ·, 1)y(B, ·, 1). En o as palab as, pa a cualesquie a a, a0∈A, se iene 1. (a+a0) = (a) + (a0). 2. (aa0) = (a) (a0). 3. (1) = 1. Un homomo ismo de anillos que sea biyec i o se llama un isomo ismo de anillos. En onces −1 esul a se ambi´ en un isomo ismo de anillos. EJEMPLO 2.77. Si Ies un ideal de un anillo conmu a i o A, en onces la p oyecci´ on can´ onica π:A→A/I es un homomo ismo de anillos. EJEMPLO 2.78. Conside emos, en el eje cicio 2.75, que n6=m6=1. En onces el homomo ismo de g upos all´ ı de inido no es homomo ismo de anillos ya que, po ejemplo, (1) = d6=1. Bien, pa a o mula la e si´ on pa a anillos del Teo ema 2.72, necesi- amos p ime o da la noci´ on de subanillo. TEOREMA 2.79. Sea :A→Bun homomo ismo de anillos. En onces Ke ( )es un ideal de Ay el isomo ismo de g upos e :A/Ke ( )→Im( )dado en el Teo ema 2.72 es un isomo ismo de anillos. DEMOSTRACI ´ ON. En is a de lo a i mado en el Teo ema 2.72, s´ olo he- mos de comp oba que e es homomo ismo de monoides mul iplica i os. P ime o comp obamos que p ese a el uno: e (1+Ke ( )) = (1) = 1, po se homomo ismo de anillos. En segundo, y ´ ul imo, luga , emos que e es mul iplica i a: e (a+Ke ( ))(b+Ke ( )) = e (ab +Ke ( )) = (ab) = (a) (b) = e (a+Ke ( ))e (b+Ke ( )).  EJEMPLO 2.80. Conside emos el anillo Z[x]de unciones polin´ omicas con coe icien es en e os de inido en el Ejemplo 2.68. Dado un n ´ ume o eal ∈R, conside emos la aplicaci´ on e :Z[x]→Rde inida po e ( (x)) = ( )pa a odo (x)∈Z[x]. Es ´ acil comp oba que es a aplicaci´ on es un homomo ismo de anillos. Po el Teo ema 2.79, Im(e )es un subanillo de RyKe (e )es un ideal de Z[x], y enemos un isomo ismo de anillos Z[x]/Ke (e )∼ =Im(e ). La de e minaci´ on de Ke (e )puede no se ´ acil. Un n ´ ume o pa a el cual Ke (e ) = {0}se llama anscenden e. Obs´ e ese que, pa a un n ´ ume o anscenden e , el subanillo Im(e )de Res isomo o a Z[x]. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 2.4. SUBANILLOS. HOMOMORFISMOS. UNIDADES 33 La anscencencia del n ´ ume o e ue demos ada po He mi e en 1873, en an o que la anscendencia de πhubo de espe a a Lindemann en 1882. No son demos aciones ´ aciles. De hecho, hay algunos n ´ ume os “ amosos”, pa a los cuales no se sabe si son anscenden es. Los n ´ ume os no anscenden es se llaman algeb aicos. As´ ı, un n ´ ume- o algeb aico es el que sa is ace que Ke (e )6={0}. Po ejemplo, √2es algeb aico. Tambi´ en son algeb aicos los n ´ ume os acionales, aunque un n´ ume o algeb aico no iene po qu´ e se acional (es el caso de √2.). EJERCICIO 2.81. Sea Aun anillo. Demos a que exis e un ´ unico ho- momo ismo de anillos χ:Z→A. El n ´ ume o n∈Z al que Ke (χ) = nZ se llama ca ac e ´ ıs ica de A. Deduci que Acon iene un ´ unico subanillo isomo o a Zn( eco demos que Z0es isomo o con Z. ) EJERCICIO 2.82. Calcula odos los homomo ismos de anillos de Zna Zm, pa a n, m ∈N. En es e cu so, amos a da a ios m´ e odos pa a cons ui nue os ani- llos a pa i de anillos conocidos. El p ime o ha sido el anillo cocien e A/I de inido a pa i de un ideal Ide un anillo conmu a i o A. Veamos un segundo m´ e odo, el p oduc o de anillos. DEFINICI ´ ON 2.83. Sean A1, A2,...,A anillos. Conside emos el p oduc- o ca esiano A1×A2×···×A ={(a1, a2,...,a )|ai∈Aipa a i=1, . . . , } Do amos a es e conjun o de las siguien es ope aciones suma y p oduc o, de inidas a pa i de las de los anillos A1,...,A : (a1, a2,...,a )+(b1, b2,...,b )=(a1+b1, a2+b2...,a +b ), (a1, a2,...,a )(b1, b2,...,b )=(a1b1, a2b2...,a b ), pa a (a1, a2, . . . , a ),(b1, b2,...,b )∈A1×A2×···×A . Es ´ acil comp oba que, con es as ope aciones, A1×A2× ··· × A es un anillo, donde el ce o es (0, 0, ··· , 0)y el uno es (1, 1, . . . , 1). Es e anillo se llama anillo p oduc o de A1, A2,...,A . Es conmu a i o si cada uno de los Ai’s lo es. EJEMPLO 2.84. Podemos cons ui , po ejemplo, Z2×Z2oZ2×Z3. Ve emos den o de poco que el segundo de es os anillos es “esencialmen- e” Z6. Necesi amos el concep o de isomo ismo de anillos pa a exp esa p ecisamen e qu´ e es “esencialmen e”. DEFINICI ´ ON 2.85. Sean AyBanillos. Un isomo ismo de anillos de AaBes un homomo ismo biyec i o de anillos :A→B. En al caso, −1:B→Aes ambi´ en un isomo ismo de anillos. Si exis e un isomo is- mo de anillos de AaB,di emos que AyBson isomo os, y esc ibi emos ab e iadaman e A∼ =B, cuando el con ex o desca e oda ambig¨ uedad. TEOREMA 2.86 (Teo ema Chino del Res o, e si´ on homomo ismo). Sean I1, I2, . . . , I ideales de un anillo A. En onces la aplicaci´ on :A→A/I1×A/I2×···×A/I de inida po (a)=(a+I1, a +I2,...,a+I )pa a a∈Aes un homomo ismo de anillos cuyo n ´ ucleo es I=I1∩I2∩···∩I . Po an o, induce en el cocien e A/I un homomo ismo inyec i o de anillos e :A/I →A/I1×A/I2×···×A/I ,e (a+I)=(a+I1, a +I2,...,a+I ). ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 2.4. SUBANILLOS. HOMOMORFISMOS. UNIDADES 34 Adem ´ as, e es un isomo ismo de anillos si, y s´ olo si, Ii+Ij=Apa a odo i6=j. DEMOSTRACI ´ ON. Que es un homomo ismo de anillos es una com- p obaci´ on u ina ia. Pa a a∈A, enemos que a∈Ke ( )si, y s´ olo si a+Ii=Iipa a odo i=1, . . . , , es o es, a∈Iipa a odo i=1,..., . Po an o, Ke ( ) = I. El Teo ema 2.79 da aho a el homomo ismo inyec i o e . Cu´ ando ´ es e es sob eyec i o y, po an o, un isomo ismo, es consecuencia del Teo ema 2.59.  Vamos aho a a in oduci el g upo de unidades de un anillo. DEFINICI ´ ON 2.87. Sea Aun anillo. Un elemen o a∈Ase llama una unidad de Asi exis e u∈A al que au =1yua =1. El conjun o de las unidades de Ase deno a ´ aU(A). Que U(A)es un g upo, con la ope aci´ on p oduc o, es sencillo de comp oba . EJEMPLO 2.88. Vol amos a Zn. La ecuaci´ on modula (2.7) es equi a- len e a la ecuaci´ on en Zn (2.18) a x =b. Si omamos b=1, enemos que la ecuaci´ on (2.18) iene soluci´ on si, y s´ olo si, mcd(a, n) = 1. Obse emos que, pa a esol e la, bas a con calcula u, ∈Z al que 1=au +n , ya que, en onces, 1=a u +n =a u. Hemos demos ado, pues, que U(Zn) = {u|mcd(u, n) = 1}. Cuando el g upo de unidades es lo mayo posible, y el anillo es con- mu a i o y no i ial, enemos un cue po. DEFINICI ´ ON 2.89. Un anillo conmu a i o no i ial Aes un cue po si U(A) = A {0}. EJEMPLO 2.90. Se sigue del Ejemplo 2.88 que el anillo Znes un cue po si, y s´ olo si, nes un n ´ ume o p imo. EJEMPLO 2.91. El anillo Res un cue po. EJERCICIO 2.92. Demos a que si A1,...,A son anillos, en onces U(A1×···×A ) = U(A1)×···×U(A ). Seguidamen e, amos a da un m´ e odo pa a calcula el n ´ ume o de unidades de Zn, donde apa ece ´ a la celeb ada unci´ on o ien e de Eule . TEOREMA 2.93. Pa a cada n ´ ume o na u al ndis in o de 0, de inimos ϕ(n)como el n ´ ume o de na u ales k≤n ales que mcd(k, n) = 1. En onces: 1. Si m, n ∈N+son cop imos en e s´ ı, en onces ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). 2. Si n∈N,n6=0, 1 yn=pe1 1···pe es su descomposici´ on como p o- duc o de n ´ ume os p imos, donde p1, . . . , p son p imos dis in os y e1,...,e ∈N+, en onces ϕ(n)=(p1−1)···(p −1)pe1−1 1···pe −1 . 3. Si n∈N,n6=0, 1, en onces ϕ(n) = nY pp imo p|n (1−1 p) ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 2.4. SUBANILLOS. HOMOMORFISMOS. UNIDADES 35 DEMOSTRACI ´ ON. 1. Como consecuencia del Teo ema 2.86, enemos un isomo ismo de anillos Z mZ∩nZ ∼ =Z mZ×Z nZ. Dado que mcm(m, n) = mn, enemos que mZ∩nZ=mnZ. Po an o, ene- mos un isomo ismo de anillos Zmn ∼ =Zm×Zn, cuya es icci´ on a U(Znm)da un isomo ismo de g upos mul iplica i os U(Zmn)∼ =U(Zm)×U(Zn). Seg ´ un el Ejemplo 2.88, ϕ(k)es el ca dinal del g upo U(Zk). Po an o, ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). 2. Vamos a azona po inducci´ on sob e ≥1. Pa a =1, hemos de con a los n ´ ume os 0<u≤pe1 1 ales que mcd(u, pe1 1) = 1. Es m´ as ´ acil con a aquellos u ales que mcd(u, pe1 1)6=1. De hecho, es a condici´ on es equi alen e a deci que p1es un di iso de u. Pe o los m ´ ul iplos ude p1 con u≤pe1 1se ob ienen como uk, con 0 < k ≤pe1−1 1. As´ ı, ϕ(pe1 1) = pe1 1−pe1−1 1= (p1−1)pe1−1 1. La inducci´ on se comple a ´ acilmen e usando el apa ado 1. 3. Es a igualdad se ob iene inmedia amen e del apa ado an e io e- niendo en cuen a que n=pe1 1···pe . Vamos a conclui con un eo ema de Eule que iene impo ancia an o e´ o ica como p ´ ac ica4 LEMA 2.94. Sea Gun g upo conmu a i o, pa a el que usamos no aci´ on mul iplica i a, con elemen o neu o e. Si Ges ini o y iene melemen os, en onces gm=epa a odo g∈G. DEMOSTRACI ´ ON. La aplicaci´ on :Z→G, de inida po (i) = gipa a i∈Z, es un homomo ismo de g upos. Sabemos que Ke ( )es un subg upo de Z, po lo que, de acue do con el Teo ema 2.20, exis e n∈N al que Ke ( ) = nZ. Po el Teo ema 2.72, Im( )∼ =Zn. Como Ges ini o, deducimos que n > 0. Po el Eje cicio 2.52, nes un di iso de m. Po an o, e= (0) = (m) = gm. TEOREMA 2.95. Sea n∈N,n6=0, 1. En onces, pa a odo a∈Z al que mcd(a, n) = 1, enemos que (2.19) aϕ(n)≡1(mod n) DEMOSTRACI ´ ON. Sabemos que ϕ(n)es el ca dinal del g upo U(Zn). Como a∈U(Zn), deducimos del Lema 2.94 que aϕ(n)=1en Zn. Es a igualdad es equi alen e a (2.19).  EJEMPLO 2.96. Vamos a calcula los dos ´ ul imos d´ ıgi os de 1341. E i- den emen e, es o es calcula el es o de di idi 1341 en e 100. Usa emos la a i m´ e ica de Z100. Obse emos que ϕ(100) = ϕ(2252) = 40. Po an o, 1341 ≡13 (mod 100), lo que indica que las dos ´ ul imas ci as pedidas son 13. 4Es e esul ado se usa pa a el dise˜ no del sis ema c ip og ´ a ico RSA, de uso muy ex endido. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 2.4. SUBANILLOS. HOMOMORFISMOS. UNIDADES 36 EJERCICIO 2.97. Sean I, J subg upos de un g upo adi i o A ales que I⊆J. Da un isomo ismo de g upos A/I J/I ∼ =A I. Comp oba que, si Aes un anillo, e IyJson ideales de A, en onces el an e io isomo ismo es de anillos. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas Cap´ ı ulo 3 Anillos de Polinomios. Dominios Eucl´ ıdeos. 3.1. Noci´ on de Anillo de Polinomios Vamos a in oduci una cons ucci´ on undamen al, la de anillo de po- linomios. Los ing edien es pa a cons ui es os anillos son un anillo de coe icien es y una inde e minada. Pa a e i a concebi es a ´ ul ima de ma- ne a eso ´ e ica, ha emos una cons ucci´ on o mal de la misma. Es deci , amos a da consis encia ma em´ a ica a la exp esi´ on “suma o mal”que se suele usa pa a habla de polinomios. Es con enien e p ime o discu i de qu´ e mane a un anillo se puede conside a “den o” de o o. Una espues a ob ia es que eso es la noci´ on de subanillo. Sin emba go, es e pun o de is a es demasiado ´ ıgido en la p ´ ac ica. Veamos un ejemplo de es o. EJEMPLO 3.1. Conside emos el anillo R[x]de las unciones polin´ omi- cas. Sea ι:R→R[x]la aplicaci´ on que asigna a cada n ´ ume o eal ∈Rla unci´ on cons an e ι:R→R, de inida po ι( )(x) = pa a odo ∈R. Es ´ acil e que ιes un homomo ismo inyec i o de anillos y, po an o, la aplica- ci´ on co es icci´ on de ιda un isomo ismo de anillos R∼ =Im(ι). Obse e- mos que Im(ι)es el subanillo de R[x] o mado po las unciones cons an es. Bien, una simpli icaci´ on usual sus i ui Rpo su imagen isomo a Im(ι) y, po an o, conside a Rcomo un subanillo de R[x]. Expl´ ıci amen e, es o signi ica conside a cada n ´ ume o eal como la unci´ on cons an emen e , sin hace expl´ ıci o el homomo ismo inyec i o ι. En gene al, si enemos anillos AyBy un homomo ismo inyec i o de anillos ι:A→B, el anillo Aes isomo o al subanillo Im(ι)de B. Siemp e que ιes ´ e cla o po el con ex o, no hay p oblema en iden i ica Acon Im(ι). En la p ´ ac ica, es o signi ica que si a∈Ayb∈B, esc ibi emos, po ejemplo, ab pa a ep esen a ι(a)b, o a+bpa a ι(a) + b. Di emos que B con iene la copia isomo a Im(ι)de A. TEOREMA 3.2. Sea Aun anillo conmu a i o. Exis e un anillo conmu a i o Pque con iene una copia isomo a de Ay un elemen o X al que cualquie elemen o no nulo ∈Pse ep esen a de mane a ´ unica como (3.1) = 0+ 1X+···+ nXn, pa a 0, 1,..., n∈Ay n6=0. DEMOSTRACI ´ ON. Vamos a cons ui p ime o un anillo Sdel que Pse ´ a un subanillo. Tomemos S=Map(N, A), el conjun o de odas las aplicaciones de NaA. Si ∈S, esc ibimos (n) = n pa a cada n∈N, podemos esc ibi como la sucesi´ on ( n)n≥0o, m´ as g ´ a icamen e, = ( 0, 1,..., n, . . . ). 37 3.1. NOCI ´ ON DE ANILLO DE POLINOMIOS 38 Comencemos do ando a Sde una suma que lo con ie a en g upo adi i o. De inimos, pa a = ( n)n≥0, g = (gn)n≥0∈P, su suma +g=s, donde s= (sn)n≥0es ´ a de inida po sn= n+gn, pa a n∈N. Es ´ acil e que, con es a suma, Ses un g upo adi i o. El “ce o” es la sucesi´ on cons an emen e 0, es o es 0= (0, 0, . . . , 0, . . . ) El p oduc o es un poco m´ as elabo ado. As´ ı, g =p, donde p= (pn)n≥0 iene de inida po (3.2) pn=X i+j=n igj. pa a cada n∈N. Es a mul iplicaci´ on iene elemen o neu o, que es la sucesi´ on odos cuyos ´ e minos son 0sal o el p ime o (el que ocupa el luga 0-´ esimo), que es 1. Es o es 1= (1, 0, 0, . . . , 0, . . . ) Es a mul iplicaci´ on es asocia i a. En e ec o si = ( n)n≥0, g = (gn)n≥0, h = (hn)n≥0∈S, en onces el ´ e mino n–´ esimo del p oduc o ( g)hes es (3.3) X i+j=n X u+ =i ug !hj=X u+ +j=n ug hj, donde hemos usado que el p oduc o de Aes asocia i o y dis ibu i o con espec o de la suma de A. An´ alogamen e, el ´ e mino n–´ esimo de (hg)es (3.4) X i+j=n i X u+ =j g h  =X i+u+ =n iguh . Como los miemb os de la de echa de (3.3) y (3.4) son iguales, enemos la mul iplicaci´ on es asocia i a. Es ´ acil comp oba , usando que Aes conmu a i o, que es a mul ipli- caci´ on es ambi´ en conmu a i a. Queda ambi´ en es a la p opiedad dis i- bu i a, que no es ampoco di ´ ıcil. Aho a de inimos ι:A→Smedian e la egla ι(a)=(a, 0, 0, . . . , 0 . . . ), a ∈A. Dadas las ope aciones suma y p oduc o de inidas en S, y qui´ en es su “uno”, es muy ´ acil comp oba que ιes un homomo ismo inyec i o de anillos. Po an o, Im(ι)es una copia isomo a de Aden o de S. Usando es a iden i icaci´ on y deno ando X= (0, 1, 0, . . . , 0, . . . ) es cla o que aX = (0, a, 0, . . . , 0, . . . ), pa a cada a∈A. Obse emos cu´ al es el e ec o de mul iplica ∈Spo X. Llamemos, p o isionalmen e, p=X , y analicemos sus ´ e minos. Po ejemplo, p0= X0 0=0, ya que X0=0. Pa a n>0, enemos que pn=X i+j=n Xi j=X1 n−1= n−1. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 3.1. NOCI ´ ON DE ANILLO DE POLINOMIOS 39 Es deci , X( 0, 1, . . . )=(0, 0, 1, . . . ). Deducimos de aqu´ ı que, pa a cada i≥1,Xies la sucesi´ on odos cuyos ´ e minos son nulos, excep o el i–´ esimo, que es 1. Tomemos aho a el subconjun o Pde Sde aquellas sucesiones ales que s´ olo una can idad de ´ e minos no nulos. Es deci , cada ∈Pes de la o ma = ( 0, 1,..., m, 0, 0, . . . ), es o es, se puede esc ibi en la o ma = 0+ 1X+···+ mXm, pa a cie os 0, 1, . . . , m∈A. De la de inici´ on de la suma en S, deducimos ´ acilmen e que Pes un subg upo adi i o de S. Tambi´ en es cie o que un p oduc o de dos elemen os de Pse queda en P, ya que, seg ´ un la de inici´ on 3.2, si , g ∈Py i=0exis en n, m ∈Npa a odo i > n, y gj=0pa a odo j>m, en onces el p oduc o p= g e i ica que pk=0pa a odo k>n+m. Po ´ ul imo, es cla o que 1∈P. Ob iamen e, la copia isomo a de Aen Sdesc i a an es, es ´ a, de hecho, en P. Po ´ ul imo, cada elemen o no nulo ∈Pse esc ibe en la o ma = 0+ 1X+···+ nXn con n6=0. Es a o ma es ´ unica, ya que dice que es la sucesi´ on = ( 0, 1,..., n, 0, 0 . . . ), y dos sucesiones son iguales si, y s´ olo si, son iguales ´ e mino a ´ e mino.  DEFINICI ´ ON 3.3. El anillo Pde inido en el Teo ema 3.2 se llama anillo de polinomios en la inde e minada Xcon coe icien es en A. Seguidamen e, amos a e que Xse compo a cie amen e como una inde e minada. Usamos la no aci´ on P=A[X]. EJERCICIO 3.4. Comple a la demos aci´ on de la P oposici´ on 3.2 com- p obando los de alles no explici ados. OBSERVACI ´ ON 3.5. El anillo Scons uido en la demos aci´ on del Teo- ema 3.2 se llama anillo de se ies o males en Xcon coe icien es en A, y se usa la no aci´ on S=A[[X]]. Cada elemen o = ( n)n≥0se ep esen a no malmen e po P∞ n=0 nXn. Pe o es o no debe de p eocupa nos du an e es e cu so. TEOREMA 3.6 (P opiedad uni e sal del anillo de polinomios). Sean A yBanillos conmu a i os. Pa a cada homomo ismo de anillos φ:A→By cada elemen o b∈B, exis e un ´ unico homomo ismo de anillos b φ:A[X]→B al que b φ|A=φyφ(X) = b. DEMOSTRACI ´ ON. Veamos p ime o que, de exis i , b φha de se ´ unico. Pa a ello, omamos = 0+ 1X+···+ nXn∈A[X]y le aplicamos b φ, que se supone homomo ismo de anillos, po lo que (3.5) b φ( ) = b φ( 0) + b φ( 1)b φ(X) + ···+b φ( n)b φ(X)n =φ( 0) + φ( 1)b+···+φ( n)bn. De modo que, de exis i b φen las condiciones eque idas, ha de es a de i- nido po (3.5), lo que p ueba su unicidad. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 3.1. NOCI ´ ON DE ANILLO DE POLINOMIOS 40 De inamos aho a b φ:A[X]→B. Decla amos que b φ(0) = 0y, pa a 06= ∈ A[X], usando la ep esen aci´ on ´ unica de dada en (3.1), de inimos b φ( ) = φ( 0) + φ( 1)b+···+φ( n)bn. Pa a comp oba que b φ, as´ ı de inido, es un homomo ismo de anillos, es c´ omodo ep esen a cada ∈A[X], de mane a compac a, como =Pi iXi. En es a no aci´ on se sob een iende que i∈Aes nulo sal o una can idad ini a de sub´ ındices i∈N. As´ ı, la suma indicada es ini a. Bien, dados , g ∈A[X], enemos b φ( +g) = b φ(Pi iXi+PigiXi) =b φ(Pi( i+gi)Xi) =Piφ( i+gi)bi =Piφ( i)bi+Piφ(gi)bi =b φ( ) + b φ(g), y b φ( g) = b φ((Pi iXi)(PigiXi)) =b φ(Pk(Pi+j=k igj)Xk) =Pkφ(Pi+j=k igj)bk =Pk(Pi+j=kφ( i)φ(gj))bk =Piφ( i)biPiφ(gi)bi =b φ( )b φ(g). Como, cla amen e, b φ(1) = φ(1) = 1, enemos que b φes cie amen e un homomo ismo de anillos. Adem´ as, b φ(a) = φ(a)pa a odo a∈A, y b φ(X) = b. Una consecuencia impo an e del an e io eo ema es la noci´ on de e a- luaci´ on. COROLARIO 3.7. Si Aes un subanillo de Byb∈B, en onces enemos el homomo ismo de anillos e b:A[X]→Bdado po e b( ) = X i ibi,( =X i iXi∈A[X]). Es e es el llamado homomo ismo e aluaci´ on en b. Se usa la no aci´ on (b) = e b( ). EJEMPLO 3.8. El anillo de polinomios R[X]y el de unciones polin´ omi- cas R[x]son isomo os. Expl´ ıci amen e, si deno amos po xa la unci´ on polin´ omica iden idad en R, en onces enemos el homomo ismo e alua- ci´ on e x:R[X]→R[x]. Se a a de un homomo ismo sob eyec i o, ya que si p(x) = anxn+··· +a0es una unci´ on polin´ omica, en onces e x(anXn+ ··· +a0) = p(x). Tambi´ en es inyec i o, pues o que su n ´ ucleo es ce o. En e ec o, si = 0+ 1X+···+ nXn∈Ke (e x)con n6=0, en onces la unci´ on polin´ omica (x) = e x( ) = 0+ 1x+··· + nxnha de se nula. Pe o es o implica1que n=0. Lo que es una con adicci´ on. 1Si es o no nos pa ece e iden e, podemos usa un poco de C´ alculo Di e encial y calcula la n–´ esima de i ada de (x), que ha de se nula ambi´ en. M´ as adelan e, e emos que no es necesa io usa C´ alculo Di e encial pa a jus i ica es o. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 3.2. DIVISI ´ ON CON RESTO DE POLINOMIOS 41 3.2. Di isi´ on con es o de polinomios Comencemos de iniendo algunos pa ´ ame os asociados a un polino- mio. Sea Auna anillo conmu a i o, y omemos un polinomio no nulo ∈A[X], = 0+ 1X+···+ nXn, con i∈Apa a i=0, 1, . . . , n y n6=0. Cada iXise ecibe el nomb e de monomio de . Llamamos g ado de al n ´ ume o na u al deg( ) = n. El coe icien e l´ ıde o di ec o de se de ine como lc( ) = n, en an o que el monomio l´ ıde o di ec o de es lm( ) = nXn. Pa a abaja con agilidad con polinomios, in oducimos el s´ ımbolo −∞, y decimos que deg(0)=−∞. Con enimos que −∞< n pa a odo n∈N, y ambi´ en que −∞+n= −∞=n+ (−∞) = −∞+ (−∞). Con es a con enci´ on, enemos que, si 06= ∈A[X], en onces =lc( )Xdeg( )+ ↓, pa a ↓∈A[X] al que deg( ↓)<deg( ). El siguien e lema ecoge las p opiedades b´ asicas del g ado. LEMA 3.9. Sean , g ∈A[X]no nulos. En onces 1. deg( +g)≤m´ ax{deg( ),deg(g)}. 2. deg( +g)<m´ ax{deg( ),deg(g)}si, y s´ olo si, deg( ) = deg(g)ylc(g)+ lc( ) = 0. 3. deg( g)≤deg( ) + deg(g). 4. deg( g)<deg( ) + deg(g)si, y s´ olo si, lc( )lc(g) = 0. DEMOSTRACI ´ ON. Esc ibamos = nXn+ ↓yg=gmXm+g↓, con n= deg( )ym=deg(g). 1 y 2. Podemos supone , sin p´ e dida de gene alidad, que n≤m. Tene- mos que +g= nXn+ ↓+gmXm+g↓. Si n<m, en onces en los polinomios ↓, gmXm, g↓s´ olo apa ecen monomios de g ado meno que n. As´ ı, deg( ) = n=m´ ax{n, m}. Si n=m, en onces +g= ( n+gn)Xn+ ↓+g↓. As´ ı que si n+gn6=0, en onces deg( +g) = n=m´ ax{n, m}. En caso de se n+gn=0, en onces deg( +g) = deg( ↓+g↓)< n. 3 y 4. Tenemos que (3.6) g = ( nXn+ ↓)(gmXm+g↓) = ngmXn+m+ nXng↓+gmXm ↓+ ↓g↓. Razonamos po inducci´ on sob e deg( ) + deg(g) = n+m. Si n+m=0, en onces n=m=0y, po an o, , g ∈A. Po an o, g ∈A y deg( g) = 0=deg( ) + deg(g)si g 6=0, y deg( g)=−∞< 0 si g =0. Supongamos aho a que n+m>0. Po hip´ o esis de inducci´ on, deg( nXng↓)≤n+deg(g↓)< n +m. An´ alogamen e, deg(gmXm ↓)< n+my deg( ↓g↓)< n+m. As´ ı que, si ngm6= 0, deducimos que de (3.6) que deg( g) = n+m=deg( ) + deg(g). En an o que si ngn=0, deducimos que deg( g) = deg( nXng↓+gmXm ↓+ ↓g↓) ≤m´ ax{deg( nXng↓),deg(gmXm ↓),deg( ↓g↓)}< n +m Lo que comple a la inducci´ on.  ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 3.3. DOMINIOS DE IDEALES PRINCIPALES Y DIVISIBILIDAD 48 mcd de a1,...,an, y d0es al que ha1, . . . , ani⊆hd0i. Como d0es un di iso com ´ un de a1,...,an, deducimos que d0|d. Po an o, hdi⊆hd0i, y hdies m´ ınimo en e los ideales p incipales de Aque con ienen a ha1,...,ani. El azonamien o pa a demos a el ec´ ıp oco es igual de sencillo. Aho a, dado un mcd dde a1, . . . , an, en onces d0∈Aes mcd de a1,...,ansi, y s´ olo si, hdi=hd0i. De acue do con la P oposici´ on 3.30, es o es equi alen e a deci que dyd0son asociados.  PROPOSICI ´ ON 3.37. Si Aes un dominio de ideales p incipales y a1,...,an∈ A, en onces exis e un m ´ aximo com ´ un di iso de a1, . . . , an. De hecho, d= mcd(a1,...,an)pa a cualquie d∈A al que ha1,...,ani=hdi. DEMOSTRACI ´ ON. Como Aes un DIP, ha1,...,ani=hdipa a alg ´ un d∈ A. Se sigue del Lemma 3.36 que d=mcd(a1,...,an). El siguien e co ola io se sigue inmedia amen e. COROLARIO 3.38 (Iden idad de Bezou ). Sean a, b ∈A, donde Aes un DIP, y d=mcd(a, b). Exis en u, ∈A ales que d=ua + b. EJERCICIO 3.39. Supongamos a, b, c ∈A, donde Aes un DI, ales que los m´ aximos comunes di iso es in oluc ados en la igualdad mcd(mcd(a, b), c) = mcd(a, mcd(b, c)) exis en. Demos a que la ci ada igualdad es co ec a. Vayamos con el m´ ınimo com ´ un m ´ ul iplo. P ime o, lo de ini emos en un dominio de in eg idad cualquie a, y luego e emos que siemp e cuando manejamos elemen os de un DIP. DEFINICI ´ ON 3.40. Sean a1,...,an∈A, donde Aes un dominio de in eg idad. Di emos que m∈Aes un m ´ ul iplo com ´ un de a1, . . . , ansi a1|m,...,an|m. Un m´ ınimo com ´ un m ´ ul iplo de a1,...,anes un m ´ ul iplo com ´ un mde a1,...,any al que si m0es cualquie o o m ´ ul iplo com ´ un de a1,...,an, en onces m|m0. LEMA 3.41. Sean a1,...,an∈A, donde Aes un DI. Un elemen o mde Aes un m´ ınimo com ´ un m ´ ul iplo de a1,...,ansi, y s´ olo si, hmies m ´ aximo, pa a la inclusi´ on, en e odos los ideales p incipales de Acon enidos en ha1i∩···∩hani. Como consecuencia, si mes un m´ ınimo com ´ un m ´ ul iplo de a1,...,an, en onces el conjun o de odos los m´ ınimos comunes m ´ ul iplos de a1,...,anes la clase de equi alencia [m]∈A/∼, es deci , el conjun o de los elemen os asociados a m. Po mcm(a1,...,an)se deno a ´ a cualquie a de es os elemen os. DEMOSTRACI ´ ON. Obse emos que si a∈A, en onces aes un com ´ un m´ ul iplo de a1, . . . , ansi, y s´ olo si, ha1i∩ ···∩ hani ⊇ hai. Supngamos que mes un mcm de a1,...,an, y m0es al que ha1i∩···∩hani⊇hm0i. Como m0es un m ´ ul iplo com ´ un de a1,...,an, deducimos que m|m0. Po an o, hm0i ⊆ hmi, y hmies m´ aximo en e los ideales p incipales de Acon enidos en ha1i∩···∩hani. El azonamien o pa a demos a el ec´ ıp oco es igual de sencillo. Aho a, dado un mcm mde a1,...,an, en onces m0∈Aes mcm de a1,...,ansi, y s´ olo si, hmi=hm0i. De acue do con la P oposici´ on 3.30, es o es equi alen e a deci que mym0son asociados.  PROPOSICI ´ ON 3.42. Si Aes un dominio de ideales p incipales y a1,...,an∈ A, en onces exis e un m´ ınimo com ´ un m ´ ul iplo de a1, . . . , an. De hecho, m= mcm(a1, . . . , an)pa a cualquie m∈A al que ha1i∩···∩hani=hmi. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 3.3. DOMINIOS DE IDEALES PRINCIPALES Y DIVISIBILIDAD 49 DEMOSTRACI ´ ON. Como Aes un DIP, ha1i∩···∩hani=hmipa a alg ´ un m∈A. Se sigue del Lema 3.36 que m=mcm(a1,...,an). EJERCICIO 3.43. Supongamos a, b, c ∈A, donde Aes un DI, ales que los m´ ınimos comunes m ´ ul iplos in oluc ados en la igualdad mcm(mcm(a, b), c) = mcm(a, mcm(b, c)) exis en. Demos a que la ci ada igualdad es co ec a. Una de las cualidades m´ as in e esan es de un DIP es que, a pa i de ´ el, pueden cons ui se muchos cue pos. En pa icula , podemos aplica es a idea a K[X], donde Kes un cue po dado. Veamos p ime o una de ini- ci´ on impo an e. DEFINICI ´ ON 3.44. Un elemen o ade un DI Ase di ´ ai educible si a6= 0, a /∈U(A)y pa a cualquie ac o izaci´ on a=bc, con b, c ∈A, se iene que, o bien b∈U(A), o bien c∈U(A). EJEMPLO 3.45. Los elemen os i educibles de Zson los n ´ ume os na- u ales p imos y sus opues os. EJEMPLO 3.46. Si Kes un cue po, en onces odo polinomio ∈K[X]de g ado 1(´ es os se llaman lineales) es i educible. En e ec o, si deg( ) = 1 y =gh pa a g, h ∈K[X], en onces 1=deg(g) + deg(h). Po an o, o bien deg(g) = 0, o bien deg(h) = 0. Es a disyunci´ on se aduce en que o bien g∈U(K)o bien h∈U(K). Como U(K[X]) = U(K), concluimos que es i educible. EJEMPLO 3.47. Vamos a demos a que X2+1es i educible en R[X]. La ´ unica mane a de no se lo, es pode ac o iza lo como X2+1=gh, pa a gyhpolinomios lineales. Supongamos que g=aX +b, con a, b ∈Ry a6=0. En onces α= −b/a es una a´ ız de gy, po an o, de X2+1. As´ ı que α2+1=0, lo que es imposible, po que α2≥0. DEFINICI ´ ON 3.48. Un elemen o pde un DI se llama p imo si p6=0, p /∈U(A)y siemp e que p|ab pa a a, b ∈A, en onces p|aop|b. EJERCICIO 3.49. Demos a que si pes un elemen o no nulo de un dominio de in eg idad A, en onces pes p imo si, y s´ olo si, A/hpies un dominio de in eg idad. LEMA 3.50. Todo elemen o p imo de un DI es i educible. DEMOSTRACI ´ ON. Supongamos que pes un elemen o p imo de un do- minio de in eg idad A, y conside emos una ac o izaci´ on p=bc con b, c ∈ A. En onces p|bop|c. En el p ime caso, b∈ hpi. De aqu´ ı, hpi=hbi, luego b=up, pa a cie o u∈U(A). Po an o, p=upc, luego cancelando p, ob- enemos 1=uc yc∈U(A). Si p|c, ob enemos que b∈U(A). As´ ı que pes i educible.  TEOREMA 3.51. Sea 06=p∈A, donde Aes un DIP. Las siguien es a i maciones son equi alen es. (I)A/hpies un cue po. (II)A/hpies un dominio de in eg idad. (III)pes p imo. (IV)pes i educible. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 3.3. DOMINIOS DE IDEALES PRINCIPALES Y DIVISIBILIDAD 50 DEMOSTRACI ´ ON. P ime o, obse emos que odas las a i maciones en- a˜ nan que p /∈U(A)( eco demos que an o DI como cue pos son no i- iales, po de inici´ on. (I)⇒(II). E iden e. (II)⇒(III). Eje cicio 3.49. (III)⇒(IV). Lema 3.50. (III)⇒(I). Si pes i educible y omamos b+hpi ∈ A/hpidis in o de ce o, en onces b /∈ hpi. Tomemos d=mcd(p, b). Como pes i educible, deducimos que o des asociado a p, o bien d∈U(A). En el p ime caso, p|b, lo que implica que b∈ hpi. As´ ı que hemos de admi i que d∈U(A). Po an o, 1=mcd(p, b)( eco demos que es a no aci´ on signi ica “1es un mcd de pyb”). Po Bezou , exis en u, ∈A ales que 1=pu+b . Luego, en A/hpi,b+hpi iene como in e so mul iplica i o a +hpi. Es o demues a que A/hpies un cue po.  EJEMPLO 3.52. Es amos en condiciones de a i ma , en is a del Ejem- plo 3.47 y del Teo ema 3.51, que C=R[X]/hX2+1ies un cue po. Obse e- mos que si +hX2+1ies cualquie elemen o de al cue po, en onces, po di isi´ on eucl´ ıdea, = (X2+1)q+ , con =aX +bpa a cie os a, b ∈R. As´ ı, cualquie elemen o de Cse exp esa en la o ma (3.7) a+bX +hX2+1i=a+hX2+1i+ (b+hX2+1i)(X+hX2+1i). Aho a, la aplicaci´ on ι:R→Cque lle a ∈Ren ι( ) = +hX2+1ies un homomo ismo inyec i o de anillos. As´ ı que podemos iden i ica Rcomo un subanillo de C, con lo que el miemb o de la de echa de 3.7 de iene a+b(X+hX2+1i). Si esc ibimos i=X+hX2+1i, enemos que cada elemen o de Cse esc ibe en la o ma a+bi, pa a a, b ∈R. Adem´ as, i2= (X+hX2+1i)2=X2+hX2+1i= −1+hX2+1i= −1, Quienes conozcan el cue po de los n ´ ume os complejos, lo hab ´ an e- conocido en C. Usa emos, po an o, la no aci´ on C=C, pa a es e cue po. Hemos is o que, con las simpli icaciones no acionales hechas, cada ele- men o de Cse exp esa como a+bi, pa a a, b ∈Ry que i2= −1. Usando las p opiedades asocia i as, conmu a i as y dis ibu i as de las ope aciones de C, enemos que (a+bi)(c+di) = ac −bd + (ad +bc)i; la mul iplicaci´ on de n ´ ume os complejos. Con enz´ amonos de que la exp esi´ on a+bi, con a, b ∈R, de cada n ´ ume- o complejo, es ´ unica. Si a+bi =a0+b0ien onces a−a0+ (b−b0)i=0. Es o lle a a que a−a0+ (b−b0)X∈ hX2+1i. Mi ando g ados, es o es s´ olo posible si a−a0+ (b−b0)X=0en R[X]. O sea, a=a0, y b=b0. El cue po Ces undamen al en la Ciencia, as´ ı que demos algunas p opiedades undamen ales del mismo. Dado un n ´ ume o complejo z= a+bi, con a, b ∈R,ase llama pa e eal de zybse llama pa e imagina ia. El n ´ ume o z=a−bi se llama conjugado de z. Una p opiedad ese˜ nable es que la aplicaci´ on (−) : C→Cque lle a cada zen su conjugado zes un isomo ismo de anillos2, que deja ijos los 2se suele deci que es un au omo ismo de cue pos ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 3.4. DOMINIOS EUCL´ IDEOS 51 n´ ume os eales. Es un eje cicio ´ acil comp oba es o. Ob iamen e, (−) es su p opio in e so pa a la composici´ on. Adem´ as, zz =a2+b2, es cla amen e un n ´ ume o eal no nega i o. De inimos el m´ odulo de zcomo |z|=√zz. Es e m´ odulo mide la longi ud del ec o del plano eal de compo- nen es (a, b). Vemos que z=0si, y s´ olo si, |z|=0. De la ecuaci´ on zz =|z|2 ex aemos, pa a z6=0, la ´ o mula z−1=z |z|2, con la que se suele calcula el in e so mul iplica i o de un n ´ ume o com- plejo. EJERCICIO 3.53. Sean a, b, x, y ∈A, con Aun DIP, ales que xa =yb. Demos a que, si mcd(x, y) = 1, en onces mcm(a, b) = ax. (Suge encia: usa la iden idad de Bezou ). EJERCICIO 3.54. Sean a, b, x, y ∈A, con Aun DIP, ales que xa =yb. Demos a que, si mcd(x, y) = 1, en onces aes un m ´ ul iplo de yybes un m´ ul iplo de x. (Suge encia: usa la iden idad de Bezou ). EJERCICIO 3.55. Sea Aun anillo conmu a i o no i ial e Iun ideal de A,I6=A. Decimos que Ies maximal si pa a cualquie Jideal de A al que I(J, en onces J=A. Demos a que Ies un ideal maximal si, y s´ olo si, A/I es un cue po. EJERCICIO 3.56. Sea Kun cue po. Dado un polinomio ∈K[X]cuyo g ado es 2o3, demos a que es i educible si, y s´ olo si, iene una a´ ız en K. EJERCICIO 3.57. Cons ui cue pos con 4y8elemen os. EJERCICIO 3.58. Sea m∈A, con m6=0, donde Aes un DIP. Sea a∈A. Demos a que a+hmi ∈ U(A/hmi)si, y s´ olo si, mcd(a, m) = 1. 3.4. Dominios Eucl´ ıdeos Un dominio eucl´ ıdeo es un dominio de in eg idad que dis u a de una di isi´ on con es o an´ aloga a la de n ´ ume os en e os o polinomios. Segui- damen e, damos la de inici´ on ´ ecnica. Reco demos que, pa a un anillo A, esc ibimos A∗=A {0}. DEFINICI ´ ON 3.59. Sea Aun dominio de in eg idad. Una unci´ on eucl´ ıdea en Aes una aplicaci´ on φ:A∗→Nque sa is ace las siguien es condiciones: 1. Si a, b ∈Aya|ben onces φ(a)≤φ(b). 2. Dados a, b ∈Acon b6=0, exis en q, ∈A ales que a=qb + , donde =0o bien φ( )< φ(b). La segunda condici´ on es ablece que, en A, exis e una di isi´ on con es o. Si A iene do ado de una unci´ on eucl´ ıdea, di emos que Aes un dominio eucl´ ıdeo (ab e ia u a DE). EJEMPLO 3.60. El anillo Zde los n ´ ume os en e os en un dominio eucl´ ıdeo con la unci´ on eucl´ ıdea alo absolu o. EJEMPLO 3.61. Si Kes un cue po, en onces la aplicaci´ on que asigna a cada polinomio no nulo de en K[X]su g ado es una unci´ on es una unci´ on eucl´ ıdea. Po an o, K[X]es un dominio eucl´ ıdeo. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 3.4. DOMINIOS EUCL´ IDEOS 52 EJEMPLO 3.62. Cualquie cue po Kes un dominio eucl´ ıdeo con la un- ci´ on eucl´ ıdea cons an emen e 0sob e los elemen os de K∗. Es e ejemplo no es demasiado in e esan e, cla o. En es a secci´ on, nos disponemos a da algunos ejemplos m´ as de do- minios eucl´ ıdeos. Pe o, an es, eamos qu´ e en ajas da el dispone de una unci´ on eucl´ ıdea. OBSERVACI ´ ON 3.63. Si a, b ∈Acon b6=0, pa a Aun DE con unci´ on eucl´ ıdea φ. Sea a=qb + es una di isi´ on con es o en A. En onces b|a si, y s´ olo si, =0. En e ec o, si =0, ob iamen e b|a. Rec´ ıp ocamen e, supongamos que b|a, y sea c∈A al que a=cq. En onces 0= (q−c)b+ . Si 6=0, en onces φ( ) = φ((c−q)b)≥φ(b). Po an o, =0. TEOREMA 3.64. Todo dominio eucl´ ıdeo es un dominio de ideales p inci- pales. DEMOSTRACI ´ ON. Sea Aun DE con unci´ on eucl´ ıdea φ, e Iun ideal no nulo de A. Pongamos n=m´ ın{φ(a)|06=a∈I}. Si omamos 06=g∈Icon n=φ(g), es ´ acil e , median e la ealizaci´ on de una di isi´ on con es o, que I=hgi. Po an o, en un DE, hay m´ aximo com ´ un di iso y m´ ınimo com ´ un m´ ul iplo de cualquie conjun o ini o de elemen os. Adem´ as, se iene la iden idad de Bezou . La no edad aho a es que, si la di isi´ on con es o es ealizable en la p ´ ac ica, en onces los coe icien es de la inden idad de Be- zou se pueden calcula median e la e si´ on gene al del Algo i mo Ex en- dido de Euclides (Algo i mo 4). Pa a a, b elemen os del dominio eucl´ ıdeo Acon unci´ on eucl´ ıdea Φ, con b6=0, los elemen os q, ∈A ales que a=qb + con =0oφ( )< φ(b)se llaman, espec i amen e, cocien e y es o de la di isi´ on. Esc ibi emos = em(a, b)yq=quo (a, b), bien en endido que dichos elemen os no son, en gene al, ´ unicos. Algo i mo 4 Algo i mo Ex endido de Euclides gene al Inpu : a, b ∈Acon b6=0, donde Aes un dominio eucl´ ıdeo. Ou pu : {ui, i, i}i=0,...,h,h+1 ales que i=aui+b ipa a i=0, 1, . . . , h, h+1, h+1=0, h=mcd(a, b), uh+1a=mcm(a, b). Ini iali a ion: 0←a, 1←b. u0←1,u1←0. 0←0, 1←1. q←0, ←0. i←1. while i6=0do q←quo ( i−1, i) ← em( i−1, i) i+1← ui+1←ui−1−uiq i+1← i−1− iq i←i+1 e u n {ui, i, i}i=0,...,h,h+1 ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 3.4. DOMINIOS EUCL´ IDEOS 53 TEOREMA 3.65. El Algo i mo 4 es co ec o. DEMOSTRACI ´ ON. Obse emos que, siemp e que i6=0, se iene que, o bien i+1=0o bien φ( i+1)< φ( i). As´ ı que exis e h≥1 al que h6=0pe o h+1=0. Pa a i≤h, enemos que i6=0, luego podemos hace uso de la di isi´ on con es o en A i−1=qi+1 i+ i+1, donde qi+1es el cocien e. De aqu´ ı, los di iso es comunes de i−1y ison los mismos que los di iso es comunes de iy i+1. As´ ı que h=mcd(0, h) = mcd( h+1, h) = mcd( h, h−1) = ··· =mcd( 1, 0) = mcd(b, a). Vamos a de ini los elemen os ui, i∈Z,i=0, 1, . . . , h, h +1. Tomamos u0=1, 0=0, u1=0, 1=1, Una ez de inidos ui, i, ui−1, i−1, pa a 1≤i≤h, de inimos ui+1=ui−1−qi+1ui, i+1= i−1−qi+1 i. As´ ı, ui+1a+ i+1b= (ui−1−qi+1ui)a+ ( i−1−qi+1 i)a= ui−1a+ i−1b−qi+1(uia+ ib) = i−1−qi+1 i= i+1. Veamos, po ´ ul imo, que uh+1amcm(a, b). Obse emos p ime o que 0= h+1=uh+1a+ h+1b, luego uh+1a= − h+1b, as´ ı que uh+1aes m ´ ul iplo com ´ un de ayb. Con obje o de azona que uh+1a=mcm(a, b), demos emos que −ui+1 i+ui i+1=1 pa a odo 0≤i≤h. Dicha igualdad es cla a pa a i=0. Pa a i=0, la igualdad es cla a. Si 1≤i≤h, supues a la igualdad demos ada pa a i−1, enemos −ui+1 i+ui i+1= −(ui−1−qiui) i+ui( i−1−qi i)=−ui−1 i+ui i−1=1. En pa icula , uh+1 h−uh h+1=1. De aqu´ ı, mcd(uh+1, h+1) = 1. Po el Eje cicio 3.53, mcm(a, b) = auh+1. Seguidamen e, amos a e algunos ejemplos adicionales de dominios eucl´ ıdeos. Tomemos D∈Zque no es un cuad ado. Es o ´ ul imo signi ica que D6=a2pa a odo a∈Z. De inimos Q(√D) = {x+y√D|x, y ∈Q}, que es un subanillo3de C. No emos que, si D<0,√D=i√−D, donde ´ es a ´ ul ima es la a´ ız cuad ada posi i a eal de −D>0. Po ejemplo, √−2=i√2. Tambi´ en conside a emos Z[√D] = {a+b√D|a, b ∈Z}, que es un subanillo4de Q(√D). Como es un subanillo de un cue po, Z[√D]es un dominio de in eg i- dad. Pa a algunos alo es de D, se a a de un dominio eucl´ ıdeo. Que e- mos conoce algunos de ellos. 3Comp oba . Algo m´ as adelan e, e emos que, de hecho, se a a de un subcue po. 4comp oba ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 3.4. DOMINIOS EUCL´ IDEOS 54 LEMA 3.66. Si x+y√D=0pa a x, y ∈Q, en onces x=y=0. DEMOSTRACI ´ ON. P ime o, esc ibamos √D=n√d, donde n∈Nydes lib e de cuad ados, lo cual es posible po que Dno es un cuad ado, a la is a de la ac o izaci´ on ´ unica de Dcomo p oduc o de p imos p opo ciona- da po el Teo ema Fundamen al de la A i m´ e ica (TFA). Obse emos que x+y√D=x+yn√d. Ob iamen e, y=0si, y s´ olo si, ny =0, de donde de- ducimos que podemos asumi , sin p´ e dida de gene alidad, que Des lib e de cuad ados, y as´ ı lo hacemos. Si x=0, en onces y√D=0, lo que implica, pues o que √D6=0, que y=0. La es a egia es, as´ ı, demos a que si x6=0, en onces llegamos a una con adicci´ on. Tend emos en onces que √D=yx−1∈Q, po lo que exis i ´ an a, b ∈Z, ambos no nulos, ales que a=√Db. Que emos demos- a queno obs an e, a=b=0, lo que es una con adicci´ on. No emos que a2=b2D. Si D<0, en onces b2D≤0, lo que implica b2D=0, de donde b2=0. De aqu´ ı, b=0ya=0. Si D>0, en onces D6=1y podemos oma un di iso p imo pde D. En onces pes un di iso p imo de a2y, po an o, p2es un di iso de a2. Si a6=0, omamos e≥2el mayo n ´ ume o na u al al que pedi ide a a2. Po el Teo ema Fundamen al de la A i m´ e ica, ees pa . Aho a, de nue o po el Teo ema Fundamen al de la A i m´ e ica, como pedi ide a b2D, hemos de admi i que pe−1di ide a b2. Como e−1es impa , hemos de admi i que pe ambi´ en di ide a b2. Luego pe+1di ide a a2, lo que es una con adicci´ on. As´ ı que a=b=0yz=0. De inimos la no ma de x+y√Dcomo N(x+y√D) = x2−y2D∈Q. Obse emos que, si esc ibimos z=x+y√D, y deno amos po z=x−y√D, en onces podemos eesc ibi la no ma de zcomo N(z) = zz. EJERCICIO 3.67. Demos a que la aplicaci´ on α:Q(√D)→Q(√D)de- inida po α(z) = zpa a odo z∈Q(√D)es un au omo ismo de anillos. Deduci que N(zw) = N(z)N(w)pa a odo z, w ∈Q(√D). LEMA 3.68. Sea z∈Z(√D). En onces z=0si, y s´ olo si, N(z) = 0. DEMOSTRACI ´ ON. Pongamos z=x+y√D. Si z=0, en onces, po el Lema 3.66, x=y=0y, po an o, N(z) = 0. Rec´ ıp ocamen e, si N(z) = 0, en onces zz =0. Es o implica que, o bien z=0, o bien z=0. En el segundo caso, x−y√D=0, lo que implica, de nue o po el Lema 3.66, que x=y= 0. Como consecuencia del Lema 3.68, si z∈Q(√D)es no nulo, su in e so en Cse calcula po la ´ o mula (3.8) z−1=z N(z). Como consecuencia, si z∈Q(√D)es no nulo, en onces z−1∈Q(√D), y es e anillo es un cue po. El subanillo Z[√D]no lo es, como esul a ´ a e iden e as e la siguien e p oposici´ on. PROPOSICI ´ ON 3.69. De inamos, pa a z∈Z[√D],φ(z) = |N(z)|, donde | | deno a el alo absolu o. Se iene que U(Z[√D]) = {z∈Z[√D]|φ(z) = 1}. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 3.5. ECUACIONES EN CONGRUENCIAS EN UN DE 55 DEMOSTRACI ´ ON. Si φ(z) = 1, en onces N(z) = 1oN(z)=−1. De la ecua- ci´ on (3.8), deducimos que z−1∈Z[√D], luego zes una unidad. Rec´ ıp oca- men e, supongamos que z∈Z[√D], y sea u∈Z[√D] al que 1=zu. As´ ı, 1=φ(1) = φ(z)φ(u). Como φ(z), φ(u)∈N, deducimos que φ(z) = 1. TEOREMA 3.70. La unci´ on φ:Z[√D]∗→Nes una unci´ on eucl´ ıdea pa a D= −2, −1, 2, 3. DEMOSTRACI ´ ON. P ime o, obse emos que, si z, w ∈Z[√D]∗yz|w, en- onces w= z pa a alg ´ un ∈Z[√D]. As´ ı, φ(w) = φ( )φ(z)≥φ(z), pues o que φ( )≥1. Vayamos aho a con la di isi´ on con es o. Tomemos aho a w, z ∈Z[√D]cualesquie a con z6=0. Una consecuencia de (3.8) es que wz−1=x+y√Dpa a cie os x, y ∈Q. Sean a, b ∈Z ales que |x−a|≤1/2 e |y−b|≤1/2, y de inamos q=a+b√Dy =w−qz. Ob iamen e, q, ∈Z[√D]. Aho a, |N( z−1)|=|N((w−qz)z−1)|=|N(wz−1−q)| =|N(a−x+ (b−y)√D)|=|(a−x)2− (b−y)2D|. Dis ingamos casos. Si D= −2, −1, en onces |N( z−1)|= (a−x)2− (b−y)2D≤1 4−1 4D < 1. Si D=2, enemos que |N( z−1)|=|(a−x)2−2(b−y)2|≤|a−x|2+2|b−y|2≤1 4+2 4< 1. Si D=3, en onces |N( z−1)|=|(a−x)2−3(b−y)2|=(a−x)2−3(b−y)2si (a−x)2≥3(b−y)2 3(b−y)2− (a−x)2si 3(b−y)2≥(a−x)2. Como el p ime alo es meno o igual que 1/4, y el segundo meno o igual que 3/4, enemos que ambos alo es son es ic amen e meno es que 1, cla o. En de ini i a, |N( z−1)|< 1 pa a los alo es D= −2, −1, 2, 3. Pe o |N( z−1)|=|N( )N(z−1)|=|N( )||N(z)|−1=φ( )φ(z)−1. Po an o, φ( )< φ(z). EJEMPLO 3.71. Tomemos D= −1. Usamos la no aci´ on adicional es Z[√−1] = Z[i]. Es e es el anillo de los en e os de Gauss. En Z[i], amos a di idi w=3en e z=1+i. Tenemos 3 1+i=3(1−i) (1+i)(1−i)=−3i +3 2=3 2−3 2i. Tomamos q=1−i, con lo que =w−qz =3− (1−i)(1+i) = 1. 3.5. Ecuaciones en cong uencias en un DE Hemos is o que, en un dominio eucl´ ıdeo, disponemos de una di isi´ on y un algo i mo ex endido de Euclides. Es o ab e la posibilidad de usa p o- cedimien os o malmen e id´ en icos a los usados en Zpa a la esoluci´ on de ecuaciones y sis emas de ecuaciones en cong uencias, as´ ı como ecua- ciones “dio ´ an icas”. Vamos, pa a no abu i nos, a hace una exposici´ on algo di e en e. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 3.5. ECUACIONES EN CONGRUENCIAS EN UN DE 56 LEMA 3.72. Sean a, b, c ∈A, donde Aes un DIP. La ecuaci´ on (3.9) ax +by =c en las inc´ ogni as x, y iene soluci´ on en Asi, y s´ olo si, mcd(a, b)di ide a c. DEMOSTRACI ´ ON. Obse emos que (3.9) iene soluci´ on en Asi, y s´ olo si, c∈ hai+hbi. Como hai+hci=hdipa a d=mcd(a, c), ob enemos que (3.9) iene soluci´ on si, y s´ olo si, c∈ hdi. Conside emos aho a la ecuaci´ on en cong uencias en un DIP A: (3.10) a≡b(mod m), donde a, b, m ∈A, con m6=0. Aqu´ ı, a≡b(mod m)es una ab e ia u a de la no aci´ on gene al a≡b(mod hmi)in oducida en (2.6). LEMA 3.73. La cong uencia (3.10) iene soluci´ on en Asi, s´ olo si, la ecua- ci´ on ax +my =b iene soluci´ on en A. Como consecuencia, una condici´ on necesa ia y su icien e pa a que (3.10) enga soluci´ on es que mcd(a, m)es un di iso de b. DEMOSTRACI ´ ON. Resol e la ecuaci´ on (3.10) es calcula odos los x∈A que la sa is acen. Obse emos que xes una soluci´ on de (3.10) si y s´ olo si exis e k∈A al que ax−b=km. Equi alen emen e, ax−km =b. El c i e io pa a la exis encia de soluci´ on se sigue aho a del Lema 3.72.  Supongamos aho a que Aes un DE, lo que pe mi e usa el Algo i - mo 4 pa a calcula la soluci´ on gene al de (3.10). E ec i amen e, podemos calcula d=mcd(a, m), y u, ∈A ales que d=au +m . En caso de exis- i soluci´ on de (3.10), calculamos a0, b0∈Aym0∈N ales que a=a0d, b=b0d,m=m0d. As´ ı, ax −km =bes equi alen e a a0x−b0=km0, es o es, (2.7) es equi alen e a (3.11) a0x≡b0(mod m0). La en aja aho a es que 1=a0u+m0 , y, en A/hm0i, enemos que ua0=1. Como (3.11) es equi alen e a la ecuaci´ on a0x=b0, podemos despeja x= ub0. Es o es, x=ub0+km0 pa a k∈A. EJERCICIO 3.74. Resol e en Z[i]el sis ema de cong uencias        x≡i(mod 3) x≡2(mod 2+i) x≡1+i(mod 3+2i) x≡3+2i (mod 4+i) EJERCICIO 3.75. Sean α0, α1,...,αn∈A a´ ıces de un polinomio no nulo ∈A[X], y supongamos que Aes un DI. Demos a que, si odas es as a´ ıces son dis in as, en onces iene g ado al menos n. EJERCICIO 3.76. Sean x0, x1,...,xn∈K, con Kun cue po. Supongamos que, pa a 0≤i < j ≤n,xi6=xj, y sean y0, y1,...,yn∈Kcualesquie a. Demos a que el sis ema de cong uencias en K[X]          (X)≡y0(mod X−x0) (X)≡y1(mod X−x1) . . . (X)≡yn(mod X−xn) ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 3.5. ECUACIONES EN CONGRUENCIAS EN UN DE 57 iene una ´ unica soluci´ on de g ado meno o igual que n. Dicha soluci´ on se llama polinomio in e polado de los da os y0, y1...,ynen los nodos x0, x1,...,xn. Como aplicaci´ on, da la ecuaci´ on de la pa ´ abola que pasa po los pun os (−1, 9),(2, 7),(3, 1/2)∈R2 ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 4.2. FACTORIZACI ´ ON ´ UNICA DE POLINOMIOS 64 PROPOSICI ´ ON 4.24. Sea Aun DFU y Qsu cue po de acciones. Dado ∈A[X]con deg( )≥1, enemos que es i educible en A[X]si, y s´ olo si, es p imi i o en A[X]y es i educible en Q[X]. DEMOSTRACI ´ ON. Comencemos obse ando que si no es p imi i o, en- onces no es i educible. Es o es cla o, ya =c( ) ∗, con c( )/∈U(A) = U(A[X]). Como deg( ∗)≥1, deducimos que no es i educible. Bien, supongamos aho a que es i educible en A[X]. Ya sabemos que es p imi i o. Supongamos una ac o izaci´ on =gh, con g, h ∈Q[X]. To- memos a, b ∈A ales que ag, bh ∈A[X]. Po la P oposici´ on 4.19, ab = c(ab ) = c(agbh) = c(ag)c(bh). As´ ı si omamos g1, h1∈A[X]p imi i os a- les que ag =c(ag)g1, bh =c(bh)h1, como ab =c(ag)c(bh)g1h1, deducimos que =g1h1. Al se i educible en A[X], enemos que g1∈U(A[X]) o bien h1∈U(A[X]). Como U(A[X]) = U(A)⊆Q∗, deducimos que es i educible en Q[X]. Rec´ ıp ocamen e, si es i educible en Q[X]y p imi i o, y suponemos que =kq pa a k, q ∈A[X], como c( ) = c(k)c( ), enemos que c(k), c( )∈ U(A). Aho a, pues o que es i educible en Q[X], o bien k iene g ado 0, y en onces k∼c(k)∈U(A), o bien q iene g ado ce o y q∼c(q)∈U(A), po lo que q∈U(A). As´ ı, es i educible en A[X]. LEMA 4.25. Sea Aun DFU y Qsu cue po de acciones. Sean , g ∈A[X] ales que |gen Q[X]. Si es p imi i o, en onces |gen A[X]. DEMOSTRACI ´ ON. Supongamos que g=h pa a h∈Q[X]. Tomemos a∈A al que ah ∈A[X](po ejemplo, el p oduc o de odos los denomi- nado es de los coe icien es de h). Ob iamen e, ag =ah , po lo que la P oposici´ on 4.19 implica que ac(g) = c(ah), pues o que es p imi i o. Si aho a esc ibimos g=c(g)g∗yah =c(ah)h1pa a cie os polinomios (p imi- i os) g∗, h1∈A[X], enemos que ac(g)g∗=ac(g)h1 , de donde g=c(g)h1 . Po an o, |gen A[X]. TEOREMA 4.26. Si Aes un DFU, en onces el anillo de polinomios A[X] es un DFU. DEMOSTRACI ´ ON. Veamos p ime o que odo elemen o i educible de A[X] es p imo. Si p∈Aes i educible en A[X]en onces es i educible en A. Co- mo Aes un DFU, enemos, en i ud del Teo ema 4.7, que pes p imo en A. El Lema 4.13 da aho a que pes p imo en A[X]. Supongamos aho a ∈A[X]i educible con deg( )≥1. Po la P oposici´ on 4.24, es p imi i o. Supongamos que |gh pa a g, h ∈A[X]. Ob iamen e, |gh en Q[X]y, al se Q[X]un DIP, enemos que es p imo en Q[X], po lo que |go |hen Q[X]. Po el Lema 4.25, |gen A[X]o |hen A[X]. Po an o, es p imo en A[X]. En is a del Teo ema 4.7, s´ olo nos es a demos a que cada elemen o no nulo y no unidad de A[X]es p oduc o de i educibles. Bien, sea ∈A[X], 6=0y /∈U(A[X]) = U(A). Podemos esc ibi =c( ) ∗, con ∗∈A[X]p imi i- o. Pues o que Aes un DFU, c( )se esc ibe como p oduc o de i educibles en A, que sabemos lo son en A[X], podemos supone que es p imi i o de g ado posi i o. Razonando po inducci´ on sob e deg( ), supongamos que deg( ) = 1. Como es p imi i o e i educible en Q[X]( iene g ado 1), dedu- cimos del Teo ema 4.24 que lo es en A[X]. Supongamos que deg( )> 1. Si es i educible, no hay nada que demos a . Si no, =gh pa a g, h ∈A[X] no unidades. Como es p imi i o, ni gni hpueden pe enece a A. Po an o, ambos ienen g ado meno que deg( )y, po hip´ o esis de inducci´ on, ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 4.3. POLINOMIOS IRREDUCIBLES SOBRE UN DFU 65 admi en ac o izaciones como p oduc o de i educibles. Po an o, as´ ı lo hace y hemos e minado la demos aci´ on.  EJEMPLO 4.27. Si pa imos de un anillo conmu a i o A, podemos cons- ui el anillo de polinomios A[X]en un inde e minada X. Aho a, podemos conside a el anillo A[X]como anillo de coe icien es de un nue o anillo de polinomios A[X][Y], donde Ydeno a una nue a inde e minada. ¿Qu´ e as- pec o ienen los elemen os de A[X][Y]? Bien, omemos ∈A[X][Y]. En onces =X j jYj, pa a j∈A[X]. Aho a, pa a cada ´ ındice j, j=X i ijXi, donde ij ∈A. De modo que =X i,j ijXiYj. De modo que iene a se un polinomio en las inde e minadas X, Y con coe icien es en A, y se suele deno a po A[X, Y]. Obse emos que, po aplicaci´ on i e ada del Teo ema 4.26, A[X, Y]es un DFU siemp e que Alo sea. 4.3. Polinomios i educibles sob e un DFU En es a secci´ on, abo damos el p oblema, en gene al di ´ ıcil, de decidi si un polinomio con coe icien es en un DFU es i educible. Sea1, pues, A un DFU, y ∈A[X]no nulo. Si deg( ) = 0, en onces ∈Ay el p oblema de decidi si es i educible se esuel e en A. Supongamos aho a que deg( )≥ 1. La p ime a idea es esc ibi =c( ) ∗, donde ∗∈A[X]es p imi i o del mismo g ado que . Si no es p imi i o, en onces c( )no es una unidad, y no es i educible. Po an o, podemos limi a nos al caso de se p imi i o. Sea Qel cue po de acciones de A. Po la P oposici´ on 4.24, es i educible en A[X]si, y s´ olo si, es i educible en Q[X]. De hecho, cada a´ ız en Qde un polinomio p opo ciona un ac o i e- ducible: EJEMPLO 4.28. Sea ∈A[X]p imi i o no cons an e, donde Aes un DFU con cue po de acciones Q. Supongamos que a/b ∈Qes una a´ ız de , con a, b ∈A ales que mcd(a, b) = 1. En onces bX −aes un di iso i educible de en A[X]. En e ec o, X−a/b di iso de en Q[X], po lo que bX −aes un di iso de en Q[X]. Aho a, bX −aes p imi i o, luego, po el Lema 4.25, bX −aes un di iso de en A[X]. PROPOSICI ´ ON 4.29. Sea = 0+ 1X+··· + nXn∈A[X]con n6=0. Suponemos que Aes un DFU con cue po de acciones Q. Si a/b ∈Qes una a´ ız de ymcd(a, b) = 1, en onces b| nya| 0. DEMOSTRACI ´ ON. Tenemos que 0= 0+ 1 a b+···+ n(a b)n. De aqu´ ı, 0= 0bn+ 1abn−1+···+ nan. 1Man end emos du an e oda es a secci´ on la hip´ o esis de que Aes un DFU. ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 4.3. POLINOMIOS IRREDUCIBLES SOBRE UN DFU 66 Es a igualdad implica que b| nan. Como mcd(a, b) = 1, deducimos que b| n. An´ alogamen e, a| 0. EJEMPLO 4.30. Veamos que X3−1/2X +2∈Q[X]es i educible. Como iene g ado 3, se ´ a i educible si, y s´ olo si, no iene a´ ıces en Q. Aho a, las a´ ıces de son las mismas que las de 2 =2X3−X+4. Si es e polino- mio u iese a´ ıces en Q, es a ´ ıan, en i ud de la P oposici´ on 4.29, en la lis a −1, 1, −2, 2, −4, 4, −1/2, 1/2. Puede comp oba se que no se anula en ninguno de es os alo es, po lo que es i educible en Q[X]. Obse emos que 2 , al se p imi i o, es i educible en Z[X]. LEMA 4.31. Supongamos un homomo ismo de anillos conmu a i os φ: S→By conside emos el homomo ismo de anillos ϕ:S[X]→B[X]de inido po ϕ(PisiXi) = Piφ(si)Xi. Supongamos que = 0+ 1X+···+ nXn∈S[X] con φ(sn)6=0, y que Bes un DI. Si =hg con g, h ∈S[X], en onces deg(g) = deg(ϕ(g)) ydeg(h) = deg(ϕ(h)). DEMOSTRACI ´ ON. Es cla o que deg(ϕ(g)) ≤deg(g)y deg(ϕ(h)) ≤deg(h). Aho a, n=deg( )≥deg(g) + deg(h)≥deg(ϕ(g)) + deg(ϕ(h)) =deg(ϕ(gh)) = deg(ϕ( )) = n.  El siguien e es un c i e io cl´ asico de i educibilidad. PROPOSICI ´ ON 4.32 (C i e io de Eisens ein). Sea = 0+ 1X+··· nXn∈ A[X], con n6=0. Suponemos que Aes un DFU. Supongamos que exis e p∈A p imo al que 1. pno di ide a n. 2. pdi ide a ipa a odo i=0, . . . , n−1. 3. p2no di ide a a0. En onces es i educible en A[X]. DEMOSTRACI ´ ON. Conside emos el homomo ismo de anillos ϕ:A[X]→ (A/Ap)[X]de inido po ϕ(PiaiXi) = Pi(ai+Ap)Xi=PiaiXi, donde es a- mos usando la no aci´ on ai=ai+Ap. Supongamos =hg, pa a g, h ∈A[X]. En onces anXn=ϕ( ) = ϕ(g)ϕ(h)en (A/Ap)[X]. Si emos es a ac o iza- ci´ on en K[X], donde Kes el cue po de acciones de A/Ap, enemos que g=uXkyh= Xn−kpa a u, ∈K ales que an=u yk=deg(g)(po el Lema 4.31). Si 0 < k < n, en onces g(0) = 0=h(0). As´ ı, pha de di idi al ´ e mino independien e de gy ambi´ en al de h, luego p2ha de di idi a su p oduc o, es o es, a 0. Po an o, k=0ok=n. En el p ime caso, ges cons an e y, al se p imi i o, g∈U(A). En el segundo caso, h∈U(A). Po an o, es i educible.  EJEMPLO 4.33. Sea a∈Zlib e de cuad ados, y n∈N,n≥2. Si o- mamos un di iso p imo pde a, podemos aplica el c i e io de Eisens ein pa a deduci que Xn−aes i educible en Z[X]. Po an o, as´ ı lo es en Q[X]. Como consecuencia, si n≥2, ob enemos que ninguna a´ ız n–´ esima de a es un n ´ ume o acional. EJEMPLO 4.34. Tomemos =Y3+X2Y2+XY +X∈Z[X, Y] = Z[X][Y]. Es cla o que X∈Z[X]es i educible. Aplicamos el C i e io de Eises ein pa a p=Xy ob enemos que es i educible en Z[X][Y]. Tambi´ en los es ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 4.3. POLINOMIOS IRREDUCIBLES SOBRE UN DFU 67 en Q[X, Y], usando el mismo a gumen o. Y, pues o que es p imi i o en Q[X][Y], ambi´ en es i educible en Q(X)[Y]. El Lema 4.31 no es s´ olo una he amien a pa a demos a el C i e io de Eisens ein, sino que puede usa se pa a es udia la i educibilidad de algunos polinomios, eligiendo adecuadamen e el homomo ismo φ. El si- guien e es un caso sencillo. PROPOSICI ´ ON 4.35. Supongamos que Aes un DFU, Bun DI y φ:A→B un homomo ismo de anillos. Sea ϕ:A[X]→B[X]de inido po ϕ(PiaiXi) = Piφ(ai)Xi. Si = 0+ 1X+··· + nXn∈A[X]es p imi i o con φ( n)6=0y ϕ( )∈B[X]es i educible, en onces es i educible. DEMOSTRACI ´ ON. Supongamos una ac o izaci´ on =gh con g, h ∈A[X]. Tenemos, pues, una ac o izaci´ on ϕ( ) = ϕ(g)ϕ(h)en B[X]. Pues o que ϕ( ) es i educible, es o implica que ϕ(g)∈U(B)o bien ϕ(h)∈U(B). En el p ime caso, deg(g) = deg(ϕ(g)) = 0, luego g∈A. Como es p imi i o, deducimos que g∈U(A). En el segundo caso, deducimos que h∈U(A). Po an o, es i educible.  EJEMPLO 4.36. Dado un n ´ ume o p imo p∈N, podemos oma Z→Zp la p oyecci´ on can´ onica, y el homomo ismo co espondien e ϕ:Z[X]→ Zp[X]dado po ϕ(PiaiXi) = PiaiXi. Aqu´ ı, aideno a la clase de aim´ odulo p. De hecho, pa a ∈Zsolemos deno a ambi´ en =ϕ( ), siemp e y cuando se es ´ e segu o de qu´ e signi ica en cada caso la no aci´ on. Veamos un ejemplo conc e o: sea =X4+15X3+7∈Z[X]. Reduciendo m´ odulo 2, enemos que =X4+X3+1∈Z2[X]. Comp obemos que es i educible. Como no iene a´ ıces en Z2, los ´ unicos ac o es i educibles de han de se de g ado 2. Aho a, el ´ unico polinomio i educible cuad ´ a ico2 en Z2[X]es X2+X+1. Realizando la di isi´ on eucl´ ıdea de en e el mismo, ob enemos es o X, luego X2+X+1no es un di iso de . As´ ı, es i educible y, po la P oposici´ on 4.35, es i educible en Z[X]. EJEMPLO 4.37. Sea =Y5−Y4−2Y3+Y−1+ (Y−2Y3)X+ (Y4+Y3+1)X2+Y3X3∈Q[X, Y]. El homomo ismo e aluaci´ on e 1:Q[Y]→Qque lle a a∈Q[Y]en a(1)da luga al homomo ismo de anillos ϕ:Q[Y][X] = Q[X, Y]→Q[X]de inido po ϕ(g(X, Y)) = g(X, 1), pa a g(X, Y)∈Q[X, Y]. Obse emos que (X, 1)=−2−X+3X2+X3∈Q[X]. Po la P oposici´ on 4.35, bas a con que demos emos que (X, 1)es i educible en Q[X]pa a que lo sea en Q[X, Y]. Aho a, (X, 1)∈Z[X]es p imi i o, luego s´ olo hemos de azona que es i educible en Z[X]. Reduciendo m´ odulo 3, ob enemos (X, 1) = 1+2X +X3∈Z3[X]. Al se de g ado 3, y como Z3es un cue po, enemos que (X, 1)es i educible si, y s´ olo si, no iene a´ ıces en Z3. Pe o3 (0, 1) = 16=0, (1, 1) = 16=0y (−1, 1) = −16=0. En conclusi´ on (X, 1)es i educible en Z3[X], lo que implica que lo es (X, 1)en Z[X]y en Q[X], y, de aqu´ ı, (X, Y)es i educible en Q[X, Y], EJEMPLO 4.38. Tomemos aho a =X4+10X3+5X2−2X −3∈Z[X]. Reduciendo m´ odulo 2, ob enemos =X4+X2+1= (X2+X+1)2∈Z2[X]. De 2Es ´ acil lis a odos los polinomios cuad ´ a icos en Z2[X]y comp oba si ienen a´ ıces. 3Aqu´ ı puede pa ece que come emos un abuso de lenguaje, pe o no es al, si enemos en cuen a que e alua y oma clases m´ odulo 3es lo mismo que educi m´ odulo 3y luego e alua ... ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 4.4. RA´ ICES M ´ ULTIPLES Y F ´ ORMULA DE TAYLOR 68 aqu´ ı, no podemos deduci ob iamen e que sea educible o i educible. Pe o s´ ı podemos ob ene cie a in o maci´ on: si =gh con g, h ∈Z[X]de g ado posi i o, en onces =gh. Como Z2[X]es un DFU y X2+X+1es i educible ah´ ı, deducimos que deg g=deg h=2y, as´ ı, deg g=deg h=2. Reduzcamos aho a m´ odulo 3, con lo que ob enemos =X(X3+X2+2X +1)∈Z3[X]. Aho a, X3+X2+2X+1no iene a´ ıces en Z3, po lo que es i educible. Aqu´ ı ambi´ en se iene que, de la igualdad =gh en Z3[X], uno de los polinomios gohha de ene g ado 3y el o o g ado 1. Es o es una con adicci´ on, que iene de supone que no es i educible. Luego ha de se i educible en Z[X]. EJEMPLO 4.39. Una o mulaci´ on del Teo ema Fundamen al del ´ Alge- b a dice que los polinomios i educibles en C[X]son, exac amen e, los de g ado 1. Desg aciadamen e, las he amien as desa olladas has a aqu´ ı no pe mi en da una demos aci´ on de es e hecho. Obse emos que, dado que cada polinomio no cons an e de C[X]es p oduc o de polinomios i educi- bles, ya que es un DFU, ob enemos que cada uno de es os polinomios es p oduc o de polinomios de g ado 1. En elaci´ on con es o, una o mulaci´ on adicional del Teo ema Fundamen al del ´ Algeb a es que cada polinomio no cons an e en C[X] iene, al menos, una a´ ız en C. EJEMPLO 4.40. El polinomio X2+Y2−1∈C[X, Y]es i educible, en i ud de la aplicaci´ on del C i e io de Eisens ein pa a el p imo p=X−1∈C[X], iendo, cla o, X2+Y2−1∈C[X][Y]. EJEMPLO 4.41. Plan eemos el p oblema de decidi si Y3−X2∈C[X, Y]es un polinomio i educible. Vi´ endolo como polinomio en C[X][Y], se a a de un polinomio p imi i o. As´ ı, es i educible si, y s´ olo si, lo es en C(X)[Y]. Al se de g ado 3, se ´ a i educible si, y s´ olo si, no iene a´ ıces en C(X). Supon- gamos una al a´ ız (X)/g(X), con (X), g(X)∈C[X] ales que mcd( , g) = 1. As´ ı,  (X) g(X)3 −X2=0. De modo que (X)3=g(X)3X2. Razonando en el DFU C[X], enemos que el p imo Xdi ide a (X). Po an o, (X) = Xh(X), p a cie o h(X)∈C[X]. Luego X3h(X)3=g(X)3X2. As´ ı que Xh(X)3=g(X)3. Luego Xes un di iso de g(X) y, as´ ı, mcd( , g)6=1, lo que es una con adicci´ on. Es o p ueba que Y3−X2 no iene a´ ıces en C(X), con lo que concluimos que Y3−X2es i educible en C[X, Y]. 4.4. Ra´ ıces m´ ul iples y F´ o mula de Taylo Sea Aun anillo conmu a i o y omemos un polinomio ∈A[X]de g ado n≥1. Sabemos ( e Ejemplo 3.29) que α∈Aes una a´ ız si, y s´ olo si X−α es un di iso de . El siguien e esul ado p o undiza en es a idea cuando Aes un dominio de in eg idad. PROPOSICI ´ ON 4.42. Sea Aun DI y α1, . . . , αk∈Adis in os. Dado un polinomio ∈A[X]no cons an e, enemos que (αi) = 0pa a odo i=1, . . . , k si, y s´ olo si, (X−α1)···(X−αk) di ide a . ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 4.4. RA´ ICES M ´ ULTIPLES Y F ´ ORMULA DE TAYLOR 69 DEMOSTRACI ´ ON. Si (X−α1)···(X−αk)di ide a , en onces = (X−α1)···(X−αk)g pa a cie o g∈A[X]. Es o, ob iamen e, implica que (αi) = 0pa a odo i=1, . . . , k. Rec´ ıp ocamen e, el Eje cicio 3.29 nos da que = (X−α1)gpa a cie o g∈A[X]. Aho a, pa a i6=1 enemos que 0= (α1)=(αi−α1)g(αi). Como Aes un DI, es o implica que g(αi) = 0pa a odo i=2, . . . , k. Una sencilla inducci´ on sob e el g ado me da que (X−α2)···(X−αk)di ide a g, de donde deducimos ´ acilmen e que (X−α1)···(X−αk)di ide a . Seguidamen e, que emos a e igua cu´ ando un polinomio de la o ma X−αse puede saca como ac o de o o polinomio m´ as de una ez. DEFINICI ´ ON 4.43. Sea Aun anillo y ∈A[X]un polinomio no cons an e. Una a´ ız α∈Ade se dice m´ ul iple si (X−α)2di ide a . Pa a a a con a´ ıces m ´ ul iples, es ´ u il dispone de la de i ada o mal de un polinomio. Conc e amen e, sea =Pi iXi∈A[X], con Aanillo conmu a i o. De inimos la de i ada o mal de como el polinomio 0=X i≥1 i iXi−1. LEMA 4.44. Sean , g ∈A[X], pa a Aanillo conmu a i o, y a∈A. En on- ces 1. (a )0=a 0. 2. ( +g)0= 0+g0. 3. ( g)0= 0g+ g0. DEMOSTRACI ´ ON. Es una comp obaci´ on ediosa pe o sin so p esas.  PROPOSICI ´ ON 4.45. Sea ∈A[X]con Aun anillo conmu a i o, y α∈A. En onces αes una a´ ız m ´ ul iple de si, y s´ olo si, αes una a´ ız de y de 0. DEMOSTRACI ´ ON. Si αes a´ ız m ´ ul iple de , en onces = (X−α)2gpa a cie o g∈A[X]. Calculando median e el uso del Lema 4.44, ob enemos que 0= (X−α)((X−α)g0+2g) Tenemos, pues, que (α) = 0(α) = 0. Rec´ ıp ocamen e, esc ibimos = (X−α)hpa a cie o h∈A[X]. De i ando y despejando h, ob enemos h= 0− (X−α)h0. Como 0(α) = 0, ob enemos que h(α) = 0, po lo que h= (X−α)p, pa a p∈A[X]adecuado. Luego = (X−α)2p. Vamos a conclui con una he amien a b´ asica del C´ alculo, la F´ o mula de Taylo . Lo ha emos en un con ex o algeb aico b´ asico, es deci , pa a polinomios, aunque el desa ollo es ´ acilmen e ex endible a se ies o males de po encias4. Cuando se es ´ a en un con ex o en que es posible habla de se ies con e gen es, es el undamen o algeb aico del es udio de unciones anal´ ı icas. Vol amos a nues o con ex o algeb aico. Pa a ∈A[X], con Aanillo conmu a i o, podemos de ini su sucesi´ on de de i adas de o den supe io median e el siguien e p oceso. Esc ibimos (0)= y , supues a de inida (k)pa a un cie o k≥0, de inimos (k+1)= ( (k))0. As´ ı, (1)= 0. Se suele 4Ve Obse aci´ on 3.5 ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas 4.4. RA´ ICES M ´ ULTIPLES Y F ´ ORMULA DE TAYLOR 70 usa la no aci´ on 00 = (2), 000 = (3). Nos e e i emos a (k)como el k–´ esimo polinomio de i ado de , o de i ada de o den kde . Si deno amos mi=Xipa a i∈N, enemos que m(k) i=0si k > i, mien as que, pa a k≤i, enemos m(k) i=i! (i−k)!Xi−k=i! (i−k)!mi−k. Obse emos que i! (i−k)! ∈N. PROPOSICI ´ ON 4.46. Sea Kun cue po de ca ac e ´ ıs ica 0, y ∈K[X]. En onces, si Ydeno a o a inde e minada, se e i ica: (4.1) (X+Y) = X i 1 i! (i)(X)Yi. DEMOSTRACI ´ ON. Comencemos demos ando (4.1) pa a cada monomio mi=Xi. Tenemos el siguien e c´ alculo: mi(X+Y)=(X+Y)i= i X k=0i kXi−kYk=i! (i−k)!k!Xi−kYk= i X k=0 1 k!m(k) i(X)Yk. Pa a el caso gene al, obse emos que, si =Pj jXj∈K[X], enemos (X+Y) = X j jmj(X+Y) = X j jX i 1 i!m(i) j(X)Yi =X i 1 i!(X j jm(i) j(X))Yi=X i 1 i! (i)(X)Yi.  COROLARIO 4.47 (F´ o mula de Taylo ). Sea ∈K[X]yα∈K. En onces (4.2) =X i 1 i! (i)(α)(X−α)i. DEMOSTRACI ´ ON. Pongamos en (4.1) X=α. Ob enemos (α+Y) = X i 1 i! (i)(α)Yi. Aho a, en es a ´ ul ima ´ o mula, omemos Y=X−α, y ob enemos (X) = (α+ (X−α)) = X i 1 i! (i)(α)(X−α)i.  Una aplicaci´ on de la F´ o mula de Taylo es es udia la mul iplicidad de una a´ ız. DEFINICI ´ ON 4.48. Sea Kun cue po de ca ac e ´ ıs ica 0, ∈K[X]no cons an e y α∈K. Di emos que αes una a´ ız de de mull iplicidad k≥1 si (X−α)k| pe o (X−α)k+1no di ide a . PROPOSICI ´ ON 4.49. Sea Kun cue po de ca ac e ´ ıs ica 0y ∈K[X]no cons an e. Un elemen o α∈Kes una a´ ız de de mul iplicidad k≥1si, y s´ olo si, (i)(α) = 0pa a odo i=0, . . . , k −1pe o (k)(α)6=0. DEMOSTRACI ´ ON. Se deduce ´ acilmen e de (4.2) como eje cicio.  ´ Algeb a I J. G´ omez-To ecillas