Gu´ıa de es udio de Mec´anica en la Ingenie ´ıa
Manuel Chiach´ıo Ruano
Asigna u a: Mec´anica en la Ingenie ´ıa
Ti ulaci´on: G ado en Ingenie ´ıa Ci il
Manuel Chiach´ıo Ruano
Depa amen o de Mec´anica de Es uc u as e Ingenie ´ıa Hid ´aulica
E.T.S de Ingenie ´ıa de Caminos, Canales y Pue os
Uni e sidad de G anada
Es a ob a es ´a bajo una licencia C ea i e Com-
mons ((A ibuci´on-NoCome cial-Compa i Igual
3.0 No po ada)).
´
Indice
1 Ope aciones, campos ec o iales y unciones ec o iales 3
1.1 Ope aciones ec o iales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Sis emas de ec o es deslizan es . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Funciones ec o iales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Ejemplo ilus a i o sob e Regla de Bou e . . . . . . . . . . . 10
2 Geome ´ıa de masas 12
2.1 Cen o de g a edad, cen o de masas y cen oide . . . . . . . 12
2.2 Teo emas de Pappus Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Momen os de ine cia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Teo emas de S eine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Cinem´a ica 25
3.1 Cinem´a ica de la pa ´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Cinem´a ica de los sis emas de pa ´ıculas . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Cinem´a ica del s´olido ´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Ejemplo ilus a i o sob e elocidad y acele aci´on ela i as, y
acel.Co iolis ........................... 31
4 Es ´a ica: Equilib io es ´a ico e hilos 35
4.1 Fue zas es ´a icas, enlaces y g ados de libe ad . . . . . . . . . 35
4.2 Hilos inex ensibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
I
5 Din´amica 47
5.1 Magni udes cin´e icas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Sis ema din´amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Leyes de la Din´amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Equilib io din´amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6 Vib aciones mec´anicas 65
6.1 Vib aciones de un g ado de libe ad . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Vib aciones de m´ul iples g ados de libe ad . . . . . . . . . . 70
7 Mec´anica anal´ı ica 73
II
´
Indice de igu as
1 Ilus aci´on de la Regla de Bou e . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Mani ela.............................. 10
3 Sis ema disc e o y con inuo de pa ´ıculas m´asicas . . . . . . . 13
4 Volumen y supe icie de e oluci´on . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Cinem´a ica de un sis ema de pa ´ıculas . . . . . . . . . . . . 28
6 Mo imien o de a as e y ela i o . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7 Mani ela.............................. 32
8 S´olido en mo imien o de pi o amien o . . . . . . . . . . . . . 49
9 S´olido ´ıgidolib e......................... 51
III

P ´ologo
Es a gu´ıa de es udio de Mec´anica en la Ingenie ´ıa, es un ecu so es-
pecialmen e dise˜nado pa a acompa˜na ues o ap endizaje en la ascinan e
disciplina de la Mec´anica. An es que nada, debo deja cla o que es a gu´ıa no
p e ende eemplaza ning´un lib o de ex o ecomendado de la asigna u a,
sino m´as bien se i como un complemen o pa a acili a su comp ensi´on y
aplicaci´on de los concep os undamen ales.
Es e ex o nace de mi p o undo comp omiso con ues o ´exi o acad´emi-
co y p o esional. Po ello es ´a des inado exclusi amen e y ca i˜nosamen e a
mis es udian es de la asigna u a, siendo un ecu so complemen a io pa a
oso os, pe o ambi´en un ma e ial de apoyo a la docencia pa a m´ı como
p o eso . A lo la go de los a˜nos, he podido dis u a de la docencia en el
cu so de Mec´anica en la Ingenie ´ıa en las di e en es con igu aciones que ha
enido la asigna u a en los dis in os planes de es udios, y he sido es igo
de la dedicaci´on y es ue zo que exige al alumno. La Mec´anica es una de las
pied as angula es de la ingenie ´ıa, y pa icula men e de la ingenie ´ıa ci il,
y su comp ensi´on es esencial pa a ues o u u o como ingenie os. Es as
p´aginas mues an una ecapi ulaci´on concisa de los concep os cla e de la
ma e ia desde una pe spec i a que os ayuda ´a a abo da los p oblemas de
mane a m´as cla a y e ec i a.
Es impo an e des aca que es a gu´ıa no es un sus i u o del es ue zo y
la dedicaci´on pe sonal. Pa a ap o echa al m´aximo es e ecu so, os ins o a
1
segui asis iendo a las clases, pa icipa ac i amen e y hace ues o p opio
abajo de es udio pe sonal. La p ´ac ica y el es udio cons an e es la cla e
pa a domina la Mec´anica, y es a gu´ıa es ´a aqu´ı pa a acili a ese p oceso.
En es a nue a edici´on, he enido a bien publica la en abie o pa a cual-
quie usua io in e esado, con el obje i o de hace el abajo ex ensible a
o os alumnos y p o eso es, y adem´as ecibi e oalimen aci´on de los mis-
mos, lo que i ´a en iqueciendo el ex o a lo la go de los a˜nos.
Os animo a ap o echa al m´aximo es a gu´ıa y a u iliza la como una he-
amien a pa a ues o es udio pe sonal. Os deseo a odos mucho ´exi o en
ues os es udios y u u as ca e as como ingenie os.
Manuel Chiach´ıo Ruano
2
1. Ope aciones, campos ec o iales y unciones ec-
o iales
En Mec´anica, y sob e odo, en Mec´anica Cl´asica, las ope aciones ec o-
iales son b´asicas en la esoluci´on de cualquie p oblema.
1.1. Ope aciones ec o iales
P oduc o escala :
a·
b=|
a||
b|cos θ. Tambi´en: 
a·
b=axbx+
ayby+azbz
P oduc o ec o ial:|
a×
b|=|
a||
b|sin θ. Vec o ialmen e:

a×
b=

i
j
k
axayaz
bxbybz
(1)
P oduc o mix o:
a·(
b×
c) = |
a||
b×
c||cos θ|. Tambi´en:

a·(
b×
c) =
axayaz
bxbybz
cxcycz
(2)
Doble p oduc o ec o ial:
a×(
b×
c) = (
a·
c)
b−(
a·
b)
c
Momen o de un ec o deslizan e 
espec o a A:
MA=
AP×

, donde Pes un pun o cualquie a de la ec a de acci´on de 
.
3
Cambio de momen o de un ec o deslizan e 
:

MB=
MA+
BA ×
, donde AyBson pun os del espacio.
1.2. Sis emas de ec o es deslizan es
Un ec o deslizan e es aquel que puede sus i ui se po cualquie a de sus
equipolen es si uados sob e su ec a de acci´on.
Resul an e (P ime in a ian e del sis ema): Es un ec o lib e
de alo 
R=PN
i=1 =
i, donde 
ison los N ec o es deslizan es que
con o man el sis ema.
Momen o del sis ema espec o a un pun o A:Es un ec o ijo
en Ade alo 
MA=PN
i=1 =
MAi, donde 
MAison los momen os
espec o a Ade los N ec o es deslizan es 
idel sis ema.
Campo de momen os del sis ema de ec o es deslizan es:

MB=
MA+
BA ×
R, donde AyBson pun os del espacio, y 
Rla
esul an e (p ime in a ian e) de los N ec o es deslizan es.
Momen o ´axico del sis ema espec o a un eje 
e: Se a a de la
p oyecci´on del momen o 
MAsob e un eje 
e, al que 
MA·
e=
MB·
e,
donde AyBson pun os cualesquie a del eje cuya di ecci´on iene dada
po 
e.
4
d
d |m=−1
e1. Lo exp esamos seg´un los e so es de la base m´o il, y
pos e io men e lo pasamos a los e so es de la base ija.

ω×
. Se ob iene ealizando el p oduc o ec o ial 
ω×
=

i
j
k
0 0 1
x y0
,
donde x= (10− ) cos θy y= (10− ) sin θ. El esul ado del p oduc o
ec o ial es 
ω×
= (10 − )[−sin θ
i+ cos θ
j].
A con inuaci´on se suman ambos ´e minos, pe o eniendo en cuen a que
deben de es a exp esados en el mismo sis ema de e e encia, conc e amen e
en el OXY ( ijo), po lo que exp esamos el ec o d
du |m=−1
e1seg´un OXY.
Pa a ello, se obse a que 
e1= [cos θ
i+ sin θ
j], po lo que d
d |mexp esado
seg´un OXY es igual a −1[cos θ
i+ sin θ
j].
Sumando ambos ´e minos y eo denando seg´un componen e 
iy
jse
ob iene el esul ado inal de la aplicaci´on de la egla de Bou e:
d
d =−1[cos θ
i+ sin θ
j] + (10 − )[−sin θ
i+ cos θ
j]
=h−(10 − ) sin θ+ cos θ
i+(10 − ) cos θ−sin θ
ji(3)
En la exp esi´on an e io , θ= 1 pues o que la elocidad angula es 
ω= 1
(se asume que pa e del esposo), po lo que al sus i ui θ= 1 en la ecuaci´on
an e io se ob iene una exp esi´on pa am´e ica en el iempo .
11

2. Geome ´ıa de masas
2.1. Cen o de g a edad, cen o de masas y cen oide
Cen o de g a edad: Es el cen o de un sis ema de ec o es pa alelos
deslizan es co espondien es al peso de cada pa ´ıcula de un sis ema
ma e ial.
1. Si ema disc e o:

G=PN
i=1 
ipi
PN
i=1 pi
donde pies el alo del peso de la i-´esima pa ´ıcula y PN
i=1 pi=
P, siendo Pel peso o al del sis ema de pa ´ıculas. El ec o 
i
es el ec o de posici´on de la pa ´ıcula i.
2. Sis ema con inuo:

G=RV
dp
RVdp
donde RVdp =P, es el peso o al del sis ema. El ec o 
es el
ec o de posici´on de cada elemen o di e encial de peso dp.
12
Z
X
Y
G
Pi
mi
i
G
Z
X
Y
G
P
G
dm
G
M
Z
X
Y
G
Pi
mi
i
G
i
Z
X
Y
G
G
dm
G
M
O ( O)
G
w
OO
O
O
i
i
j
k
e1
e2
e3
e1
e2
e3
i
j
k
Figu a 3: Sis ema de pa ´ıculas m´asicas. Izquie da: Sis ema disc e o de N
pa ´ıculas. De echa: Sis ema con inuo de pa ´ıculas.
Cen o de masas: Es el cen o de un sis ema de ec o es pa alelos
deslizan es cuyo m´odulo coincide con la masa de cada pa ´ıcula de
un sis ema ma e ial. Coincide con el cen o de g a edad cuando la
g a edad ges cons an e.
1. Si ema disc e o:

M=PN
i=1 
imi
PN
i=1 mi
donde PN
i=1 mi=M, siendo Mla masa o al del sis ema de
pa ´ıculas. El ec o 
ies el ec o de posici´on de la pa ´ıcula i.
2. Sis ema con inuo:

M=RM
dm
RMdm
13
donde RMdm =M, la masa o al del sis ema. El ec o 
es el
ec o de posici´on del elemen o di e encial de masa dm.
Cen oide: A pa i del cen o de masas, si la densidad ma e ial es
cons an e (en sis emas con inuos), se ob iene el Cen oide. Su posici´on
se calcula median e la exp esi´on:

C=RV
dV
RVdV
donde RVdV =V, es el olumen del cue po ma e ial. El ec o 
es
el ec o de posici´on del elemen o di e encial de olumen dV . Si la
pieza es plana (2D), eemplazamos dV yVpo dS ySen la exp esi´on
an e io .
14
2.2. Teo emas de Pappus Guldin
P ime eo ema de Pappus-Guldin
Pe mi e ob ene la supe icie de un cue po de e oluci´on conocida la
longi ud de la cu a de e oluci´on y la posici´on de su cen oide. Se
ob iene median e la siguien e exp esi´on:
S= 2πyCL
donde yCes la al u a del cen oide de la cu a de e oluci´on espec o
del eje de e oluci´on y Les la longi ud la ci ada cu a de e oluci´on.
Segundo eo ema de Pappus-Guldin
Pe mi e ob ene el olumen de un cue po de e oluci´on conocida la
secci´on ans e sal del ´a ea de e oluci´on y la posici´on de su cen oide.
Se ob iene median e la siguien e exp esi´on:
V= 2πyCS
donde yCes la al u a del cen oide del ´a ea de e oluci´on espec o del
eje de e oluci´on y Ses la longi ud la ci ada supe icie de e oluci´on.
15
yCyC
S
L
w
Z
X
Y
a(u)
OO
e1(u)
e2(u)
e3(u)
Figu a 4: Figu as de e oluci´on cuyos espec i os olumen y ´a ea se
ob ienen median e los Teo emas de Pappus Guldin. Izquie da: Volumen de
e oluci´on ( o o). De echa: Supe icie de e oluci´on.
2.3. Momen os de ine cia
Concep o de momen o de ine cia: Es una magni ud ´ısica escala y
posi i a que mide c´omo se dis ibuye una masa espec o a un elemen o
geom´e ico de e e encia: pun o, ec a o plano.
1. Momen o de ine cia de una masa pun ual espec o a un pun o
P:IP=mℓ2, donde ℓes la dis ancia de la masa al pun o P.
2. Momen o de ine cia de una masa pun ual espec o a un eje e:
Ie=mℓ2, donde ℓes la dis ancia de la masa al eje.
3. Momen o de ine cia de una masa pun ual espec o a un plano π:
Iπ=mℓ2, donde ℓes la dis ancia de la masa al plano π.
Momen o de ine cia de un sis ema ma e ial disc e o: Es la
16

suma de los momen os de ine cia de cada una de las pa ´ıculas del
sis ema espec o a un elemen o geom´e ico de e e encia: pun o, ec a
o plano.
1. Momen o de ine cia de un sis ema de pa ´ıculas espec o a un
pun o P:IP=PN
imiℓ2
i, donde ℓies la dis ancia de la masa mi
al pun o P.
2. Momen o de ine cia de un sis ema de pa ´ıculas espec o a un eje
e:Ie=PN
imiℓ2
i, donde ℓies la dis ancia de la masa mial eje.
3. Momen o de ine cia de un sis ema de pa ´ıculas espec o a un
plano π:Iπ=PN
imiℓ2
i, donde ℓies la dis ancia de la masa mi
al plano π.
Momen o de ine cia de un sis ema ma e ial con inuo: Es la
in eg al de los momen os de ine cia de cada una de los di e enciales
de masa del sis ema espec o a un elemen o geom´e ico de e e encia:
pun o, ec a o plano.
1. Momen o de ine cia de un sis ema con inuo espec o a un pun o
P:IP=RMℓ2dm, donde ℓes la dis ancia de cada di e encial de
masa dm al pun o P.
2. Momen o de ine cia de sis ema con inuo espec o a un eje e:
Ie=RMℓ2dm, donde ℓes la dis ancia de cada di e encial de
masa dm al eje.
17
3. Momen o de ine cia de sis ema con inuo espec o a un plano π:
Iπ=RMℓ2dm, donde ℓes la dis ancia de cada di e encial de
masa dm al plano π.
Momen os de ine cia e e idos a un sis ema de e e encia
(SR) ca esiano: Po e i a duplicidad en el ex o, se asume un sis e-
ma ma e ial con inuo, aunque ambi´en es aplicable (de o ma an´aloga)
a sis emas disc e os.
1. Respec o a los planos ca esianos xy, xz, yz:
Ixy =RMz2dm
Ixz =RMy2dm
Iyz =RMx2dm
2. Respec o a los ejes ca esianos x, y, z:
Ix=RM(y2+z2)dm
Iy=RM(x2+z2)dm
Iz=RM(x2+y2)dm
3. Respec o al o igen de coo denadas O:IO=RM(x2+y2+
z2)dm
4. Relaciones en e momen os de ine cia seg´un un SR ca -
esiano:
Ix=Ixz +Ixy;Iy=Iyz +Iyx;Iz=Izy +Izx.
18
Io=Ixz +Ixy +Iyz.
Io=1
2(Ix+Iy+Iz).
Io=Ixz +Iy;Io=Iyz +Ix;Io=Ixy +Iz.
5. Caso pa icula de cue pos planos: En el caso de cue pos
planos bidimensionales, se habla ´a de ´a ea Sen luga de masa
M, y odas las elaciones an e io es se ´ıan ´alidas con la simpli i-
caci´on de que los momen os de ine cia que incluyan la coo denada
zse ´an nulos. Es deci , los planos coo denados xz eyz pasa ´ıan
a se los ejes xey, espec i amen e. Po an o en 2D ya no se
habla de momen os de ine cia espec o a planos, s´olo espec o a
ejes o pun os.
P oduc o de ine cia. Concep o: Es un escala (posi i o o nega i o)
que mide c´omo se dis ibuye la masa de un cue po espec o a dos
planos de e e encia π1yπ2. Ma em´a icamen e se exp esa: Pπ1π2=
mℓπ1ℓπ2, donde ℓπ1yℓπ2son las dis ancias de la masa a los planos π1
yπ2, espec i amen e.
P oduc o de ine cia de un sis ema ma e ial disc e o: Es la
suma de los p oduc os de ine cia de cada una de las pa ´ıculas espec o
a los planos π1yπ2. Ma em´a icamen e: Pπ1π2=PN
imiℓiπ1ℓiπ2, donde
ℓiπ1yℓiπ2son las dis ancias de la masa mia los planos π1yπ2,
espec i amen e.
19
P oduc o de ine cia de un sis ema ma e ial con inuo: Es la
in eg al de los p oduc os de ine cia de cada una de los di e enciales
de masa espec o a los planos π1yπ2. Ma em´a icamen e: Pπ1π2=
RMℓπ1ℓπ2dm, donde ℓπ1yℓπ2son las dis ancias del di e encial de
masa dm a los planos π1yπ2, espec i amen e.
P oduc os de ine cia e e idos a un sis ema de e e encia
(SR) ca esiano: Po e i a duplicidad en el ex o, se asume un sis e-
ma ma e ial con inuo, aunque ambi´en es aplicable (de o ma an´aloga)
a sis emas disc e os.
1. Pxy =RMxydm
2. Pyz =RMyzdm
3. Pxz =RMxzdm
P oduc os de ine cia de sis emas ma e iales planos: Al igual
que con el p oduc o de ine cia, si el sis ema es plano o se puede a a
en 2D deja emos de habla de di e encial de masa dm pa a habla de
di e encial de ´a ea dS. Lo an e io implica ambi´en que la densidad
supe icial de la pieza plana se conside a uni a ia. Po o o lado el
p oduc o de ine cia en 2D deja de se espec o a dos planos y pasa a
se espec o a dos ejes.
Radio de gi o: Es la dis ancia a la que hab ´ıa que coloca la o alidad
de la masa de un sis ema ma e ial concen ada en un pun o Ppa a
20
Va iables cinem´a icas exp esadas en coo denadas es ´e icas
[
u ,
uθ,
uφ]:
1. Vec o posici´on: 
= 
u , donde es el m´odulo del adio ec o
de la pa ´ıcula en mo imien o.
2. Vec o de elocidad: 
= ˙ 
u + ˙
θ
uθ+ ˙φcos θ
uφ.
3. Vec o de acele aci´on:

a=¨ − ˙φ2cos2θ− ˙
θ2
u +
2 ˙ ˙
θ+ ˙φ2sin θcos θ+ ¨
θ
uθ+
2 ˙ ˙φcos θ−2 ˙
θ˙φsin θ+ ¨φcos θ
uφ
3.2. Cinem´a ica de los sis emas de pa ´ıculas
Se conside a un sis ema de Npa ´ıculas ma e iales cuyo mo imien o se
desc ibe seg´un un sis ema de e e encia como el mos ado en la Figu a 5.
Posici´on, elocidad y acele aci´on del cen o de masas de un
sis ema de pa ´ıculas
1. Vec o de posici´on: 
G=PN
i=1 
imi
PN
i=1 mi
2. Vec o de elocidad: 
G=
d
d PN
i=1 
imi
PN
i=1 mi=PN
i=1 
imi
PN
i=1 mi
3. Vec o de acele aci´on: 
aG=
d
d PN
i=1 
imi
PN
i=1 mi=PN
i=1 
aimi
PN
i=1 mi.
27

Z
X
Y
G
Pi
mi
i
G
Z
X
Y
G
P
G
dm
G
M
Z
X
Y
G
Pi
mi
i
G
i
Z
X
Y
G
G
dm
G
M
G
w
OO
O
O
i
i
j
k
e1
e2
e3
e1
e2
e3
i
j
k
e1
A
e2
e3
Z
X
Y
A
P
M
O
A
w
e1
e2
e3
i
j
k
A
AP
Figu a 5: Cinem´a ica de un sis ema de pa ´ıculas: posici´on de G, sis ema
de e e encia m´o il en G.
3.3. Cinem´a ica del s´olido ´ıgido
Es ´a ca ac e izada po el hecho de que las dis ancias en e dos pun os
cualesquie a del s´olido son cons an es, po se s´olido ´ıgido.
Campo de elocidades del s´olido ´ıgido: Sea un pun o Bcual-
quie a del s´olido y o o pun o Aen el que si uamos un sis ema de
e e encia solida io al s´olido. Se iene que: 
B=
A+
BA ×
ω, donde

ωes la elocidad ins an ´anea de o aci´on del s´olido.
In a ian e escala : Sea un pun o Bcualquie a del s´olido cuya elo-
28
cidad es 
B. El p oduc o escala τ=
B·
ω= c e se conoce como el
in a ian e escala del sis ema cinem´a ico.
In a ian e ec o ial: Coincide con el ec o elocidad ins an ´anea
de o aci´on 
ω.
Velocidad m´ınima: Es el ec o τ
ω2
ω, donde τes el in a ian e esca-
la , de inido an e io men e y ωes el m´odulo del ec o 
ω.
Velocidad ´axica espec o a un eje 
e: Es la p oyecci´on de la e-
locidad de cualquie pun o de un eje 
eque une dos pun os AyB,
sob e el p opio eje. Se ca ac e iza po la siguien e p opiedad: 
A·
e=

B·
e= c e, donde AyBson pun os del eje 
e.
Eje ins an ´aneo de o aci´on (EIR): Eje pa alelo al ec o 
ω, con
espec o al cual ocu e la o aci´on ins an ´anea del s´olido. Si Bun
pun o del EIR cuya elocidad 
Bes conocida, en onces el EIR cumple
la siguien e exp esi´on:
Bx
ωx
= By
ωy
= Bz
ωz
Campo de acele aciones: Sea un pun o Bcualquie a del s´olido y
o o pun o Aen el que si uamos un sis ema de e e encia solida io al
29
s´olido. Se iene que:

aB=
aA+
BA ×
α+
ω×(
BA ×
ω)
donde 
αes la acele aci´on angula (
α=˙
ω).
Velocidad de a as e y ela i a: Sea un sis ema de e e encia ijo
y o o m´o il anclado al s´olido en un pun o Acualquie a del s´olido.
Consid´e ese un pun o Pex e no al s´olido ( ´ease Figu a 6). La eloci-
dad de Ppuede ob ene se como:

P=d
d 
P A|m
| {z }
. el
+
A+
PA ×
ω
| {z }
.a as e
donde 
P A es el ec o de posici´on de P espec o a Aen la base m´o il
(o sea, 
AP).
Acele aci´on de a as e, ela i a y co iolis: Sea un sis ema de
e e encia ijo y o o m´o il anclado al s´olido en un pun o Acualquie a
del s´olido ( ´ease Figu a 6). Consid´e ese un pun o Pex e no al s´olido.
La acele aci´on de Ppuede ob ene se como:

aP=
aA+
PA ×
α+
ω×(
PA ×
ω)
| {z }
a.a as e
+d2
d 2
P A|m
| {z }
a. ela i a
+ 2
ω×d
d 
P A|m
| {z }
a.co iolis
30
Z
X
Y
G
Pi
mi
i
G
Z
X
Y
G
P
G
dm
G
M
Z
X
Y
G
Pi
mi
i
G
i
Z
X
Y
G
G
dm
G
M
G
w
OO
O
O
i
i
j
k
e1
e2
e3
e1
e2
e3
i
j
k
e1
A
e2
e3
Z
X
Y
A
P
M
O
A
w
e1
e2
e3
i
j
k
A
AP
Figu a 6: Mo imien o de a as e y ela i o de un pun o P espec o a un
s´olido en mo imien o. Obs´e ese que el sis ema de e e encia m´o il (en
ojo) se mue e solida io al s´olido.
3.4. Ejemplo ilus a i o sob e elocidad y acele aci´on ela-
i as, y acel. Co iolis
Se conside a una ba a que gi a con una elocidad angula cons an e

ω= 1 [ ad/s], y una mani ela que desliza sob e la ba a hacia el cen o
de la misma (pun o O). En un ins an e en conc e o, su posici´on iene dada
po el ec o 
( ) = (10 − )
e1, donde {
e1,
e2}(en ojo) son e so es de una
base m´o il que solida ios con la ba a. Se pide: ob ene la elocidad ela-
31
i a, acele aci´on ela i a y acele aci´on de Co iolis de la mani ela. Exp esa
la soluci´on seg´un el sis ema de e e encia ijo OXY y seg´un el sis ema de
e e encia m´o il (ambos).
Y
X
( )
i
j
Figu a 7: Mani ela que desliza po una ba a que o a con una elocidad
angula dada.
32

Soluci´on
Se usa la ecuaci´on de la elocidad de a as e y ela i a de un s´olido espec o
a o o. En es e caso, la mani ela se mue e ela i amen e espec o a la ba a,
que a su ez se mue e desc ibiendo un gi o espec o a su ex emo izquie do.
La elocidad ela i a se ´a:
d
d |m=−1
e1
Lo exp esamos seg´un los e so es de la base m´o il, y pos e io men e lo
pasamos a los e so es de la base ija. Pa a ello, se obse a que 
e1= [cos θ
i+
sin θ
j], po lo que d
d |mexp esado seg´un OXY es igual a −1[cos θ
i+ sin θ
j].
Po o o lado, la acele aci´on ela i a es la de i ada de la elocidad ela-
i a en la base m´o il, es o es:
d2
d 2|m=
0
Po ´ul imo, la acele aci´on de Co iolis es:
2
ω×d
d |m
donde 
ω= [0
e1+ 0
e2+ 1
e3], siendo 
e3=
k,y=d
d |m=−1
e1, seg´un hemos
ob enido an e io men e. Se hace el p oduc o ec o ial:
33
aco . = 2
ω×d
d |m= 2

e1
e2
k
0 0 1
−1 0 0
=−2
e2
Exp esamos a con inuaci´on la acele aci´on de Co iolis seg´un el o o sis-
ema (el ijo), eniendo en cuen a que 
e2= [−sin θ
i+ cos θ
j], po lo que
queda ´ıa como aco . =−2[−sin θ
i+ cos θ
j]
34
4. Es ´a ica: Equilib io es ´a ico e hilos
La Es ´a ica es la pa e de la Mec´anica que se ocupa de es udia el equi-
lib io es ´a ico (o inm´o il) de los cue pos.
4.1. Fue zas es ´a icas, enlaces y g ados de libe ad
Resul an e de ue zas sob e una pa ´ıcula ma e ial: Sea una
pa ´ıcula de masa mque ocupa una posici´on dada po el pun o P, y so-
me ida a uns sis ema de ue zas o mado po los ec o es 
F1,
F2,...,
FN.
El e ec o de odas las ue zas es el mismo que el de la esul an e

R=
F1+
F2+. . . +
FN
Momen o esul an e sob e una pa ´ıcula ma e ial: Es el mo-
men o esul an e del sis ema de ue zas 
Fi, i = 1, . . . , N aplicadas en
la pa ´ıcula ma e ial. El momen o espec o de un pun o Adel sis ema
de ue zas es:

MA=
N
X
i=1

MAi=
N
X
i=1

AP ×
Fi=
AP ×
N
X
i=1

Fi=
AP ×
R
donde Pes el pun o donde se ubica la pa ´ıcula, y el pun o de aplica-
ci´on de las ue zas.
Resul an e de ue zas sob e un sis ema de pa ´ıculas ma e-
35
iales: Se conside a un sis ema de Npa ´ıculas ma e iales some idas
a ue zas ex e nas 
Fiex y ue zas in e nas 
Fiin ,i= 1, . . . , N. El e ec o
de odas las ue zas es el mismo que el de la esul an e

R=
N
X
i=1

Fiin
|{z}
=0
+
Fiex =
N
X
i=1

Fiex
Momen o esul an e de un sis ema de ue zas ac uando sob e
un sis ema de pa ´ıculas ma e iales: Es el momen o esul an e del
sis ema de ue zas ex e nas. Es o es:

MA=
N
X
i=1

MAi=
N
X
i=1

APi×
Fiex
donde Pies el pun o cada pa ´ıcula ma e ial, que coincide con el pun o
de aplicaci´on de cada ec o 
Fiex .
Resul an e de ue zas sob e un s´olido ´ıgido: Las ue zas aplica-
cadas sob e uno o a ios pun os del s´olido ´ıgido se conside an ec o es
deslizan es. El e ec o de odas las ue zas es el mismo que el de la e-
sul an e

R=
N
X
i=1

Fiin
|{z}
=0
+
Fiex =
N
X
i=1

Fiex
Momen o esul an e de un sis ema de ue zas ac uando sob e
un s´olido ´ıgido: El momen o o al es el momen o esul an e del
36
Ecuaci´on in ´ınseca de equilib io de un hilo some ido a un
conjun o de ue zas con inuas: Es una ecuaci´on ec o ial que se
ob iene eniendo en cuen a que la ensi´on lle a la di ecci´on del e so
angencial (del T ied o de F ene ) 
T=T
e , donde Tes el m´odulo de
la ensi´on. La ecuaci´on esul an e queda como sigue:
dT
ds 
e +T
ρ
en+
F=
0
Descomponiendo la ue za 
Fen componen es in ´ınsecas 
F=F 
e +
Fn
en+Fb
eb, la ecuaci´on de equilib io an e io se puede eesc ibi de
la siguien e o ma:
dT
ds +F 
e +T
ρ+Fn
en+Fb
eb= 0
Obs´e ese que pa a que haya equilib io, la componen e Fb
eb= 0, es o
es, la ue za Fes ´a con enida en el plano osculado .
Ecuaciones de equilib io de un hilo some ido a un conjun o
de ue zas e icales con inuas de alo P(x): El hilo es ´a en
equilib io si cumple las ecuaciones ca esianas de equilib io en el plano
xy.
1. Caso pa icula : la ca ena ia. La ca ena ia es la cu a que
adop a un cable en equilib io some ido a un conjun o de ue zas
43

e icales P(x) cons an es de alo P(x) = P0po unidad de
longi ud de cable. Es o es, la ue za dis ibuida Fy=P0, en
[N/m]. Las ecuaciones de equilib io queda ´ıan como sigue:
dTdx
ds = 0
−P0ds +dTdy
ds= 0
A pa i de la segunda ecuaci´on (equilib io e ical) puede ob e-
be se la ecuaci´on geom´e ica del hilo en equilib io:
d2y
dx2=P0
T0s1 + dy
dx2
Pa a in eg a la ecuaci´on an e io se hace dy
dx =y′y se eesc ibe
la an e io ecuaci´on di e encial de la siguien e o ma
dy′
p1 + y′2=P0
T0
dx
que se puede in eg a median e sepa aci´on de a iables. El esul-
ado es:
y=ccosh x
c
44
donde c=T0
P0.
P opiedades:
a) Geome ´ıa: La geome ´ıa esul an e es la siguien e y(x) =
ccosh x
c, donde c ep esen a es la dis ancia a la que se en-
cuen a el m´ınimo de la unci´on desde el eje X.
b) Tensi´on: La ensi´on en cualquie pun o de la ca ena ia se
ob iene median e cualquie a de las siguien es ´o mulas T=
P0yoT=T0cosh x
c.
c) Radio de cu a u a a lexi´on: y2
c
d) Longi ud de a co desde el pun o m´as bajo (s= 0): s=
csinh x
c=cdy
dx
2. Caso pa icula : la pa ´abola. La pa ´abola es la cu a que
adop a un cable en equilib io some ido a un conjun o de ue -
zas e icales P(x) cons an es de alo P(x) = P0po unidad
de longi ud ho izon al o po unidad de abcisa. Es o es, la ue za
dis ibuida Fy=P0dx
ds , en [N/m]. O sea, P0dx se ´ıa el alo que
in eg a la ca ga e ical en un dx, y luego se epa e po unidad
de longi ud ds, pa a que quede en [N/m]. Las ecuaciones de equi-
lib io son las siguien es:
45
dTdx
ds = 0
−P(x)
| {z }
P0
dx +dTdy
ds= 0
A pa i de la p ime a de las ecuaciones an e io es se ob iene que
Tdx
ds = c e = T0=⇒T0=Tcos θ, donde cos θ=dx
ds .
A pa i de la segunda ecuaci´on (equilib io e ical) puede ob e-
be se la ecuaci´on geom´e ica del hilo en equilib io:
d2y
dx2=P(x)
T0
P opiedades:
a) Geome ´ıa: La geome ´ıa esul an e es la siguien e y(x) =
1
2cx2, donde c=T0
P0. En es e caso, el m´ınimo se coloca en el
o igen de coo denadas.
b) Tensi´on: La ensi´on en cualquie pun o de la pa ´abola se
ob iene median e la ´o mula T2=T2
0+P2
0x2.
c) Longi ud de a co desde el pun o m´as bajo (s= 0): s=
x1 + 1
6x
c2+. . .. Se adop an los p ime os ´e minos del
desa ollo en se ie.
46
5. Din´amica
La din´amica es la pa e de la Mec´anica que se ocupa del es udio del
mo imien o de las pa ´ıculas, sis emas de pa ´ıculas y s´olidos, jun o a las
causas que lo gene an.
5.1. Magni udes cin´e icas
Momen o lineal o can idad de mo imien o: Es una magni ud
ec o ial de di ecci´on y sen ido igual al ec o elocidad, que mide la
conjunci´on de la masa y la elocidad de un sis ema ma e ial.
Momen o lineal de una pa ´ıcula:
p=m
Momen o lineal de un sis ema disc e o de pa ´ıculas ma-
e iales:
p=PN
imi
i=M
G. Es equi alen e a la que end ´ıa
una sola pa ´ıcula que con u iese oda la masa del sis ema y
posicionada en el cen o de masas del sis ema.
Momen o lineal de un sis ema con inuo:
p=RM
dm =
M
G. Es equi alen e a la que end ´ıa una sola pa ´ıcula que
con u iese oda la masa del sis ema y posicionada en el cen o
de masas del sis ema.
Momen o lineal de un s´olido ´ıgido:
p=RM(
o+
ω×
)dm,
donde 
0es la elocidad del sis ema de e e encia OXY Z (solida-
io con el s´olido ´ıgido) y 
es el ec o de posici´on de un pun o
47
cualquie a del s´olido e e ido al sis ema de e e encia OXY Z.
Pues o que el momen o lineal de un sis ema con inuo es 
p=
M
G, donde 
G=
0+
ω×
G, po an o, en un s´olido ´ıgi-
do 
p=M(
0+
ω×
G), donde 
Ges la posici´on del cen o de
g a edad e e ida al cen o del sis ema OXYZ. Si el pun o O es
ijo, en onces la exp esi´on an e io se educe a 
p=M(
ω×
G)
(can idad de mo imien o de un s´olido ´ıgido que pi o a espec o
a O).
Momen o angula o cin´e ico: Respec o a un pun o Acualquie a, es
el momen o del ec o can idad de mo imien o espec o a ese pun o.
Momen o angula de una pa ´ıcula:
HA=
AP ×
p. Mide
la endencia de la pa ´ıcula a no segui en su mo imien o la
di ecci´on de la isual que une Acon el pun o P.
Momen o angula de un sis ema disc e o de pa ´ıculas
ma e iales:

HA=
N
X
i=1

HAi=
N
X
i=1

APi×
pi
Es un ec o ijo en Aque esul a de suma los momen os cin´e i-
cos espec o a Ade odas la pa ´ıculas del sis ema, donde Pies
el pun o de aplicaci´on del ec o 
pi.
48

Momen o angula de un sis ema con inuo:

HA=ZM

AP ×
dm
Es la in eg al de los momen os cin´e icos di e enciales espec o a
A, donde Pes el pun o de aplicaci´on del ec o 
pen cada dm.
Momen o angula de un s´olido ´ıgido espec o a un pun o
ijo Adel s´olido (mo . de o aci´on):

HA=ZM

×(
ω×
)dm =IxIxy Ixz
Iyx IyIyz
Izx Izy Iz·hωx
ωx
ωxi= [IA]
ω
Z
X
Y
G
Pi
mi
i
G
Z
X
Y
G
P
G
dm
G
M
Z
X
Y
G
Pi
mi
i
G
i
Z
X
Y
G
G
dm
G
M
G
w
OO
O
O
i
i
j
k
e1
e2
e3
e1
e2
e3
i
j
k
e1
A
e2
e3
Z
X
Y
A
P
M
O
A
w
e1
e2
e3
i
j
k
A
AP
Figu a 8: S´olido en mo imien o de pi o amien o espec o de un pun o A.
El sis ema de e e encia en Aes ´a ligado al s´olido.
donde el ec o 
es el ec o de posici´on de cada pa ´ıcula es-
pec o al sis ema de e e encia solida io al s´olido, y ubicado en A.
El ec o 
ωes el ec o de o aci´on ins an ´anea del s´olido y [IA]
49
es el enso de ine cia del s´olido espec o del sis ema de e e encia
solida io al s´olido cen ado en A.
Momen o angula de un s´olido ´ıgido lib e espec o a su
cen o de g a edad:

HG=ZM

×(
ω×
)dm =IxIxy Ixz
Iyx IyIyz
Izx Izy Iz·hωx
ωx
ωxi= [IG]
ω
donde el ec o 
es el ec o de posici´on de cada pa ´ıcula espec-
o a un sis ema de e e encia solida io al s´olido ubicado en Gy de
ejes in a ian es. El ec o 
ωes el ec o de o aci´on ins an ´anea
del s´olido y [IG] es el enso de ine cia del s´olido espec o del
sis ema de e e encia solida io al s´olido cen ado en G.
50
Z
X
Y
G
Pi
mi
i
G
Z
X
Y
G
P
G
dm
G
M
Z
X
Y
G
Pi
mi
i
G
i
Z
X
Y
G
G
dm
G
M
G
w
OO
O
O
i
i
j
k
e1
e2
e3
e1
e2
e3
i
j
k
e1
A
e2
e3
Z
X
Y
A
P
M
O
A
w
e1
e2
e3
i
j
k
A
AP
Figu a 9: S´olido ´ıgido en mo imien o lib e e indicaci´on de sis ema de
e e encia m´o il cen ado en Gy solida io con el s´olido.
Momen o angula de un s´olido ´ıgido lib e espec o a un
pun o cualquie a A:

HA=ZM

×(
ω×
)dm +
G×M
G
donde 
es el ec o de posici´on de cada pa ´ıcula espec o al
pun o G, y 
ωes la elocidad ins an ´anea de o aci´on del s´olido
´ıgido. 
Ges la posici´on del cen o de g a edad espec o del pun-
o A. El p ime ´e mino es el momen o angula ( ela i o a G)
51
del mo imien o de las pa ´ıculas del s´olido ´ıgido espec o a G,
es o es, del mo imien o de o aci´on del s´olido. Po o o lado, el
segundo ´e mino co esponde con el momen o cin´e ico ( espec o
aA, ya que el ec o de posici´on 
Gse ha desc i o espec o a A)
del mo imien o del cen o de masas, desc i o po la elocidad de
su cen o de masas 
G.
Res o de conside aciones del Momen o cin´e ico
Los elemen os del enso de ine cia [IA] son magni udes cons an-
es, ya que el sis ema ca esiano es ´a cen ado en Aes solida io
con el s´olido;
N´o ese que el ec o 
ωde la base m´o il mcoincide con el del
s´olido inde o mable;
Si el sis ema de e e encia ca esiano cen ado en Ay solida io con
el s´olido coincidie a con el ied o p incipal de ine cia del s´olido,
en onces el enso [IA] se con ie e en una ma iz diagonal, po
lo que

HA=Ixωx+Iyωy+Izωz
Si el s´olido ´ıgido o a con espec o a un eje 
e, se puede en ende
como un caso pa icula de momen o cin´e ico espec o a un pun o
ijo, en el que el eje 
epase po A. Si adem´as, po con eniencia
52
S´olido ´ıgido: El momen o o al es el momen o esul an e del
sis ema de ue zas ex e io es. Es o es: PN
i=1 
MAi=PN
i=1 
APi×

Fiex , donde Pies un pun o cualquie a de la ec a de acci´on de
cada ec o 
Fiex .
T abajo: Es una magni ud escala de de inici´on di e encial.
Pa ´ıcula ma e ial:dW =d
F·d
Sis ema de pa ´ıculas ma e iales:
dW =
N
X
i=1
dWi=
N
X
i=1
d
Fi·d
i=
N
X
i=1
d
Fex i·d
i
| {z }
dWex
+
N
X
i=1
d
Fin i·d
i
| {z }
dWin
S´olido ´ıgido: Coincide con el abajo de las ue zas ex e io es,
ya que las in e io es no eje cen abajo en el s´olido ´ıgido.
dW =
N
X
i=1
dWi=
N
X
i=1
d
Fi·d
i=
N
X
i=1
d
Fex i·d
i
| {z }
dWex
59

5.3. Leyes de la Din´amica
Teo ema del Momen o lineal o Can idad de mo imien o
La az´on de cambio del momen o lineal o can idad de mo imien o de
un sis ema co esponde con la esul an e de ue zas del sis ema
din´amico. Es o es:
d
p
d =
R
Del eo ema as´ı enunciado se de i a el p incipio de conse aci´on.
P incipio de Conse aci´on
Si la esul an e de ue zas ac uan es en un sis ema es nulo, po an o
el momen o lineal o can idad de mo imien o se conse a.
Teo ema del Momen o Angula o Cin´e ico
La az´on de cambio del momen o cin´e ico o angula de un sis ema
de pa ´ıculas co esponde con el momen o del sis ema din´amico.
Si el pun o Aes ijo, el momen o del sis ema din´amico se educe al
momen o esul an e de las ue zas ex e nas ac uan es sob e el sis ema.
Es o es:
d
HA
d =
MA
Del eo ema as´ı enunciado se de i a el p incipio de conse aci´on.
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P incipio de Conse aci´on
Si el momen o espec o de un pun o ijo Ade las ue zas ex e nas
ac uan es en un sis ema es nulo, po an o el momen o cin´e ico o
angula se conse a.
Teo ema de la Ene g´ıa
El abajo que eje ce el sis ema din´amico sob e el sis ema es la a-
iaci´on de su ene g´ıa cin´e ica. Es o es:
dW =dT
Del eo ema as´ı enunciado se de i a el p incipio de conse aci´on.
P incipio de Conse aci´on
Si el abajo que eje cen las ue zas ue zas ac uan es en un sis ema
es nulo, po an o la ene g´ıa cin´e ica o al se conse a. Si adem´as, las
ue zas son conse a i as, en onces el balance de ene g´ıa cin´e ica y
po encial se man iene cons an e.
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Res o de conside aciones sob e las leyes undamen ales
1. Si el pun o Ano es un pun o ijo, el Teo ema del Momen o An-
gula o Cin´e ico hay que exp esa lo as´ı: d
HA
d =
MA+
p×
A,
donde 
Aes la elocidad del pun o A.
2. Si el pun o Ano es un pun o ijo pe o coincide con el cen o
de g a edad G, en onces el Teo ema del Momen o Angula o
Cin´e ico queda como sigue: d
HG
d =
MG
3. La a iaci´on empo al o al de 
HOdesde un sis ema de e e encia
absolu o cen ado en un pun o A(es o es, no solida io con el
s´olido) ha de plan ea se median e la Regla de Bou e:

˙
HA=d
HA
d |m+
ω×
HA= [IA]
α+
ω×
HA
donde 
αes el ec o acele aci´on angula del s´olido.
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5.4. Equilib io din´amico
Ecuaciones de equilib io din´amico
Dado un sis ema ma e ial some ido a una se ie de ue zas ex e io es

Fiex e in e io es 
Fiin ,i= 1, . . . , N, el equilib io din´amico se cumple
cuando:

R=
N
X
i=1

Fiex =M
aG

MA=
N
X
i=1

MAi= [IA]
α
donde Aes un pun o cualquie a donde se cen a un sis ema de e-
e encia solida io con el s´olido, o di ec amen e el cen o de g a edad
G.
Las an e io es ecuaciones con o man un sis ema de seis ecuaciones en el
espacio: es pa a el equilib io de ue zas seg´un los ejes x, y, z, y es pa a los
momen os espec o del pun o Aseg´un los ejes x, y, z. En sis emas planos, las
ecuaciones an e io es se aducen en es: dos ecuaciones pa a el equilib io
de ue zas en el plano y una de equilib io de momen os espec o del pun o
A.
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6. Vib aciones mec´anicas
Las ib aciones mec´anicas son un ipo de mo imien o oscila o io que
esul a del equilib io din´amico de un cue po m´asico suje o a una se ie ue -
zas de es i uci´on conse a i as (gene almen e el´as icas y g a i a o ias) y
de disipaci´on no conse a i as (gene almen e p oceden es del ozamien o o
amo iguaci´on). Su es udio se pod ´ıa engloba bajo la Din´amica, aunque se
saca como ema sepa ado po su impo ancia en la asigna u a.
6.1. Vib aciones de un g ado de libe ad
Pa a el desa ollo ma em´a ico siguien e se conside a que el mo imien o
ib a o io ocu e en el eje x.
Ecuaci´on gene al de equilib io din´amico:
m¨x+c˙x+kx =P( )
donde ces el coe icien e de amo ig¨uamien o, kes la cons an e el´as ica,
yP( ) es la ue za ex e na aplicada sob e la masa m.
Vib aciones lib es amo ig¨uadas: Responden al caso pa icula
del caso an e io donde P( ) = 0, po an o la ecuaci´on de equilib io
queda como sigue:
m¨x+c˙x+kx = 0
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La ecuaci´on del mo imien o ib a o io esul an e se exp esa median e
la siguien e ecuaci´on
x( ) = C1exp (λ )
Sus i uyendo en la ecuaci´on de equilib io an e io , queda ´ıa:
mλ2+cλ +kC1exp (λ )=0
que se cumple de o ma gene al cuando
mλ2+cλ +k= 0
cuya soluci´on pa a λes:
λ=−c±√c2−4mk
2m
o al e na i amen e:
λ=−ζω0±ω0pζ2−1
donde ω0=2π
T0=qk
mes la ecuencia angula en [ ad/s], T0es el
pe iodo na u al en [s], ζes la asa de amo ig¨uamien o, que puede
ob ene se como: ζ=c
2mω0, o ζ=c
2√km .
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1. Vib aciones sob eamo ig¨uadas (ζ > 1): En ese caso, las
dos a´ıces ca ac e ´ıs icas λ1,2=−ζω0±ω0pζ2−1 son eales, y
adem´as nega i as. La ecuaci´on del mo imien o queda como sigue:
x( ) = C1exp (λ1 ) + C2exp (λ2 )
donde C1yC2son cons an es que se ob ienen median e las condi-
ciones de con o no (posici´on y elocidad incial del mo imien o).
2. Vib aciones subamo ig¨uadas (ζ < 1): Las a´ıces de la ecua-
ci´on ca ac e ´ıs ica son complejas y conjugadas λ1,2=−ζω0±
i ω0p1−ζ2
| {z }
ωd
, donde ωd, la pa e compleja de la a´ız, es la e-
cuencia angula amo ig¨uada. La ecuaci´on del mo imien o queda
como sigue:
x( ) = exp (−ζω0 )Asin (ωd +φ)
donde Aes la ampli ud de la oscilaci´on a iempo inicial y φes
el des ase o posici´on angula a iempo incial. Ambos pa ´ame-
os se ob ienen median e las condiciones de con o no (posici´on
y elocidad incial del mo imien o).
3. Vib aciones con amo ig¨uamien o c ´ı ico (ζ= 1): Es el caso
l´ımi e en e el sob eamo ig¨uamien o y el subamo ig¨uamien o.
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Las a´ıces λ1,2adem´as de se eales y nega i as, son iguales de
alo λ1,2=ω0( a´ız doble). La ecuaci´on del mo imien o queda
como sigue:
x( ) = C1exp (−ω0 ) + C2 exp (−ω0 )
donde C1yC2son cons an es que se ob ienen median e las condi-
ciones de con o no (posici´on y elocidad inicial del mo imien o).
Vib aciones lib es no amo ig¨uadas:
En es e caso c= 0 y po an o ζ= 0, po lo que la ecuaci´on de
equilib io queda como sigue
m¨x+kx = 0
Las a´ıces λ1,2de la ecuaci´on an e io son complejas de alo λ1,2=
±iω0. La ecuaci´on del mo imien o ib a o io esul an e se exp esa
median e la siguien e ecuaci´on:
x( ) = Asin (ω0 +φ)
donde Aes la ampli ud de la oscilaci´on y φes el des ase o posici´on
angula a iempo incial. Ambos pa ´ame os se ob ienen median e las
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