Guía de estudio de Mecánica en la Ingeniería

Gu´ıa de estudio de Mec´anica en la Ingenier´ıa Manuel Chiach´ıo Ruano Asignatura: Mec´anica en la Ingenier´ıa Titulaci´on: Grado en Ingenier´ıa Civil Manuel Chiach´ıo Ruano Departamento de Mec´anica de Estructuras e Ingenier´ıa Hidr´aulica E.T.S de Ingenier´ıa de Caminos, Canales y Puertos Universidad de Granada Esta obra est´a bajo una licencia Creative Commons ((Atribuci´on-NoComercial-CompartirIgual 3.0 No portada)). ´ Indice 1 Operaciones, campos vectoriales y funciones vectoriales 3 1.1 Operaciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Sistemas de vectores deslizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Ejemplo ilustrativo sobre Regla de Boure . . . . . . . . . . . 10 2 Geometr´ıa de masas 12 2.1 Centro de gravedad, centro de masas y centroide . . . . . . . 12 2.2 Teoremas de Pappus Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Teoremas de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Cinem´atica 25 3.1 Cinem´atica de la part´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Cinem´atica de los sistemas de part´ıculas . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Cinem´atica del s´olido r´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Ejemplo ilustrativo sobre velocidad y aceleraci´on relativas, y acel.Coriolis ........................... 31 4 Est´atica: Equilibrio est´atico e hilos 35 4.1 Fuerzas est´aticas, enlaces y grados de libertad . . . . . . . . . 35 4.2 Hilos inextensibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 I 5 Din´amica 47 5.1 Magnitudes cin´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2 Sistema din´amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.3 Leyes de la Din´amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.4 Equilibrio din´amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6 Vibraciones mec´anicas 65 6.1 Vibraciones de un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2 Vibraciones de m´ultiples grados de libertad . . . . . . . . . . 70 7 Mec´anica anal´ıtica 73 II ´ Indice de figuras 1 Ilustraci´on de la Regla de Boure . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Manivela.............................. 10 3 Sistema discreto y continuo de part´ıculas m´asicas . . . . . . . 13 4 Volumen y superficie de revoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 Cinem´atica de un sistema de part´ıculas . . . . . . . . . . . . 28 6 Movimiento de arrastre y relativo . . . . . . . . . . . . . . . . 31 7 Manivela.............................. 32 8 S´olido en movimiento de pivotamiento . . . . . . . . . . . . . 49 9 S´olidor´ıgidolibre......................... 51 III Pr´ologo Esta gu´ıa de estudio de Mec´anica en la Ingenier´ıa, es un recurso especialmente dise˜nado para acompa˜nar vuestro aprendizaje en la fascinante disciplina de la Mec´anica. Antes que nada, debo dejar claro que esta gu´ıa no pretende reemplazar ning´un libro de texto recomendado de la asignatura, sino m´as bien servir como un complemento para facilitar su comprensi´on y aplicaci´on de los conceptos fundamentales. Este texto nace de mi profundo compromiso con vuestro ´exito acad´emico y profesional. Por ello est´a destinado exclusivamente y cari˜nosamente a mis estudiantes de la asignatura, siendo un recurso complementario para vosotros, pero tambi´en un material de apoyo a la docencia para m´ı como profesor. A lo largo de los a˜nos, he podido disfrutar de la docencia en el curso de Mec´anica en la Ingenier´ıa en las diferentes configuraciones que ha tenido la asignatura en los distintos planes de estudios, y he sido testigo de la dedicaci´on y esfuerzo que exige al alumno. La Mec´anica es una de las piedras angulares de la ingenier´ıa, y particularmente de la ingenier´ıa civil, y su comprensi´on es esencial para vuestro futuro como ingenieros. Estas p´aginas muestran una recapitulaci´on concisa de los conceptos clave de la materia desde una perspectiva que os ayudar´a a abordar los problemas de manera m´as clara y efectiva. Es importante destacar que esta gu´ıa no es un sustituto del esfuerzo y la dedicaci´on personal. Para aprovechar al m´aximo este recurso, os insto a 1 seguir asistiendo a las clases, participar activamente y hacer vuestro propio trabajo de estudio personal. La pr´actica y el estudio constante es la clave para dominar la Mec´anica, y esta gu´ıa est´a aqu´ı para facilitar ese proceso. En esta nueva edici´on, he tenido a bien publicarla en abierto para cualquier usuario interesado, con el objetivo de hacer el trabajo extensible a otros alumnos y profesores, y adem´as recibir retroalimentaci´on de los mismos, lo que ir´a enriqueciendo el texto a lo largo de los a˜nos. Os animo a aprovechar al m´aximo esta gu´ıa y a utilizarla como una herramienta para vuestro estudio personal. Os deseo a todos mucho ´exito en vuestros estudios y futuras carreras como ingenieros. Manuel Chiach´ıo Ruano 2 1. Operaciones, campos vectoriales y funciones vectoriales En Mec´anica, y sobre todo, en Mec´anica Cl´asica, las operaciones vectoriales son b´asicas en la resoluci´on de cualquier problema. 1.1. Operaciones vectoriales Producto escalar: a· b=| a|| b|cos θ. Tambi´en:  a· b=axbx+ ayby+azbz Producto vectorial:| a× b|=| a|| b|sin θ. Vectorialmente:  a× b=  i j k axayaz bxbybz (1) Producto mixto: a·( b× c) = | a|| b× c||cos θ|. Tambi´en:  a·( b× c) = axayaz bxbybz cxcycz (2) Doble producto vectorial: a×( b× c) = ( a· c) b−( a· b) c Momento de un vector deslizante  v respecto a A: MA= AP×  v, donde Pes un punto cualquiera de la recta de acci´on de  v. 3 Cambio de momento de un vector deslizante  v:  MB= MA+ BA × v, donde AyBson puntos del espacio. 1.2. Sistemas de vectores deslizantes Un vector deslizante es aquel que puede sustituirse por cualquiera de sus equipolentes situados sobre su recta de acci´on. Resultante (Primer invariante del sistema): Es un vector libre de valor  R=PN i=1 = vi, donde  vison los Nvectores deslizantes que conforman el sistema. Momento del sistema respecto a un punto A:Es un vector fijo en Ade valor  MA=PN i=1 = MAi, donde  MAison los momentos respecto a Ade los Nvectores deslizantes  videl sistema. Campo de momentos del sistema de vectores deslizantes:  MB= MA+ BA × R, donde AyBson puntos del espacio, y  Rla resultante (primer invariante) de los Nvectores deslizantes. Momento ´axico del sistema respecto a un eje  e: Se trata de la proyecci´on del momento  MAsobre un eje  e, tal que  MA· e= MB· e, donde AyBson puntos cualesquiera del eje cuya direcci´on viene dada por  e. 4 d r dt |m=−1 e1. Lo expresamos seg´un los versores de la base m´ovil, y posteriormente lo pasamos a los versores de la base fija.  ω× r. Se obtiene realizando el producto vectorial  ω× r=  i j k 0 0 1 rxry0 , donde rx= (10−t) cos θyry= (10−t) sin θ. El resultado del producto vectorial es  ω× r= (10 −t)[−sin θ i+ cos θ j]. A continuaci´on se suman ambos t´erminos, pero teniendo en cuenta que deben de estar expresados en el mismo sistema de referencia, concretamente en el OXY (fijo), por lo que expresamos el vector d r du |m=−1 e1seg´un OXY. Para ello, se observa que  e1= [cos θ i+ sin θ j], por lo que d r dt |mexpresado seg´un OXY es igual a −1[cos θ i+ sin θ j]. Sumando ambos t´erminos y reordenando seg´un componente  iy jse obtiene el resultado final de la aplicaci´on de la regla de Boure: d r dt =−1[cos θ i+ sin θ j] + (10 −t)[−sin θ i+ cos θ j] =h−(10 −t) sin θ+ cos θ i+(10 −t) cos θ−sin θ ji(3) En la expresi´on anterior, θ= 1tpuesto que la velocidad angular es  ω= 1 (se asume que parte del resposo), por lo que al sustituir θ= 1ten la ecuaci´on anterior se obtiene una expresi´on param´etrica en el tiempo t. 11 2. Geometr´ıa de masas 2.1. Centro de gravedad, centro de masas y centroide Centro de gravedad: Es el centro de un sistema de vectores paralelos deslizantes correspondientes al peso de cada part´ıcula de un sistema material. 1. Sitema discreto:  rG=PN i=1  ripi PN i=1 pi donde pies el valor del peso de la i-´esima part´ıcula y PN i=1 pi= P, siendo Pel peso total del sistema de part´ıculas. El vector  ri es el vector de posici´on de la part´ıcula i. 2. Sistema continuo:  rG=RV rdp RVdp donde RVdp =P, es el peso total del sistema. El vector  res el vector de posici´on de cada elemento diferencial de peso dp. 12 Z X Y G Pi mi ri rG Z X Y G P rG dm rG r M Z X Y G Pi mi ri rG rri Z X Y G rG dm rG r M O (vO) vG w OO O O rri i j k e1 e2 e3 e1 e2 e3 i j k Figura 3: Sistema de part´ıculas m´asicas. Izquierda: Sistema discreto de N part´ıculas. Derecha: Sistema continuo de part´ıculas. Centro de masas: Es el centro de un sistema de vectores paralelos deslizantes cuyo m´odulo coincide con la masa de cada part´ıcula de un sistema material. Coincide con el centro de gravedad cuando la gravedad ges constante. 1. Sitema discreto:  rM=PN i=1  rimi PN i=1 mi donde PN i=1 mi=M, siendo Mla masa total del sistema de part´ıculas. El vector  ries el vector de posici´on de la part´ıcula i. 2. Sistema continuo:  rM=RM rdm RMdm 13 donde RMdm =M, la masa total del sistema. El vector  res el vector de posici´on del elemento diferencial de masa dm. Centroide: A partir del centro de masas, si la densidad material es constante (en sistemas continuos), se obtiene el Centroide. Su posici´on se calcula mediante la expresi´on:  rC=RV rdV RVdV donde RVdV =V, es el volumen del cuerpo material. El vector  res el vector de posici´on del elemento diferencial de volumen dV . Si la pieza es plana (2D), reemplazamos dV yVpor dS ySen la expresi´on anterior. 14 2.2. Teoremas de Pappus Guldin Primer teorema de Pappus-Guldin Permite obtener la superficie de un cuerpo de revoluci´on conocida la longitud de la curva de revoluci´on y la posici´on de su centroide. Se obtiene mediante la siguiente expresi´on: S= 2πyCL donde yCes la altura del centroide de la curva de revoluci´on respecto del eje de revoluci´on y Les la longitud la citada curva de revoluci´on. Segundo teorema de Pappus-Guldin Permite obtener el volumen de un cuerpo de revoluci´on conocida la secci´on transversal del ´area de revoluci´on y la posici´on de su centroide. Se obtiene mediante la siguiente expresi´on: V= 2πyCS donde yCes la altura del centroide del ´area de revoluci´on respecto del eje de revoluci´on y Ses la longitud la citada superficie de revoluci´on. 15 yCyC S L w Z X Y a(u) OO e1(u) e2(u) e3(u) Figura 4: Figuras de revoluci´on cuyos respectivos volumen y ´area se obtienen mediante los Teoremas de Pappus Guldin. Izquierda: Volumen de revoluci´on (toro). Derecha: Superficie de revoluci´on. 2.3. Momentos de inercia Concepto de momento de inercia: Es una magnitud f´ısica escalar y positiva que mide c´omo se distribuye una masa respecto a un elemento geom´etrico de referencia: punto, recta o plano. 1. Momento de inercia de una masa puntual respecto a un punto P:IP=mℓ2, donde ℓes la distancia de la masa al punto P. 2. Momento de inercia de una masa puntual respecto a un eje e: Ie=mℓ2, donde ℓes la distancia de la masa al eje. 3. Momento de inercia de una masa puntual respecto a un plano π: Iπ=mℓ2, donde ℓes la distancia de la masa al plano π. Momento de inercia de un sistema material discreto: Es la 16 suma de los momentos de inercia de cada una de las part´ıculas del sistema respecto a un elemento geom´etrico de referencia: punto, recta o plano. 1. Momento de inercia de un sistema de part´ıculas respecto a un punto P:IP=PN imiℓ2 i, donde ℓies la distancia de la masa mi al punto P. 2. Momento de inercia de un sistema de part´ıculas respecto a un eje e:Ie=PN imiℓ2 i, donde ℓies la distancia de la masa mial eje. 3. Momento de inercia de un sistema de part´ıculas respecto a un plano π:Iπ=PN imiℓ2 i, donde ℓies la distancia de la masa mi al plano π. Momento de inercia de un sistema material continuo: Es la integral de los momentos de inercia de cada una de los diferenciales de masa del sistema respecto a un elemento geom´etrico de referencia: punto, recta o plano. 1. Momento de inercia de un sistema continuo respecto a un punto P:IP=RMℓ2dm, donde ℓes la distancia de cada diferencial de masa dm al punto P. 2. Momento de inercia de sistema continuo respecto a un eje e: Ie=RMℓ2dm, donde ℓes la distancia de cada diferencial de masa dm al eje. 17 3. Momento de inercia de sistema continuo respecto a un plano π: Iπ=RMℓ2dm, donde ℓes la distancia de cada diferencial de masa dm al plano π. Momentos de inercia referidos a un sistema de referencia (SR) cartesiano: Por evitar duplicidad en el texto, se asume un sistema material continuo, aunque tambi´en es aplicable (de forma an´aloga) a sistemas discretos. 1. Respecto a los planos cartesianos xy, xz, yz: Ixy =RMz2dm Ixz =RMy2dm Iyz =RMx2dm 2. Respecto a los ejes cartesianos x, y, z: Ix=RM(y2+z2)dm Iy=RM(x2+z2)dm Iz=RM(x2+y2)dm 3. Respecto al origen de coordenadas O:IO=RM(x2+y2+ z2)dm 4. Relaciones entre momentos de inercia seg´un un SR cartesiano: Ix=Ixz +Ixy;Iy=Iyz +Iyx;Iz=Izy +Izx. 18 Io=Ixz +Ixy +Iyz. Io=1 2(Ix+Iy+Iz). Io=Ixz +Iy;Io=Iyz +Ix;Io=Ixy +Iz. 5. Caso particular de cuerpos planos: En el caso de cuerpos planos bidimensionales, se hablar´a de ´area Sen lugar de masa M, y todas las relaciones anteriores ser´ıan v´alidas con la simplificaci´on de que los momentos de inercia que incluyan la coordenada zser´an nulos. Es decir, los planos coordenados xz eyz pasar´ıan a ser los ejes xey, respectivamente. Por tanto en 2D ya no se habla de momentos de inercia respecto a planos, s´olo respecto a ejes o puntos. Producto de inercia. Concepto: Es un escalar (positivo o negativo) que mide c´omo se distribuye la masa de un cuerpo respecto a dos planos de referencia π1yπ2. Matem´aticamente se expresa: Pπ1π2= mℓπ1ℓπ2, donde ℓπ1yℓπ2son las distancias de la masa a los planos π1 yπ2, respectivamente. Producto de inercia de un sistema material discreto: Es la suma de los productos de inercia de cada una de las part´ıculas respecto a los planos π1yπ2. Matem´aticamente: Pπ1π2=PN imiℓiπ1ℓiπ2, donde ℓiπ1yℓiπ2son las distancias de la masa mia los planos π1yπ2, respectivamente. 19 Producto de inercia de un sistema material continuo: Es la integral de los productos de inercia de cada una de los diferenciales de masa respecto a los planos π1yπ2. Matem´aticamente: Pπ1π2= RMℓπ1ℓπ2dm, donde ℓπ1yℓπ2son las distancias del diferencial de masa dm a los planos π1yπ2, respectivamente. Productos de inercia referidos a un sistema de referencia (SR) cartesiano: Por evitar duplicidad en el texto, se asume un sistema material continuo, aunque tambi´en es aplicable (de forma an´aloga) a sistemas discretos. 1. Pxy =RMxydm 2. Pyz =RMyzdm 3. Pxz =RMxzdm Productos de inercia de sistemas materiales planos: Al igual que con el producto de inercia, si el sistema es plano o se puede tratar en 2D dejaremos de hablar de diferencial de masa dm para hablar de diferencial de ´area dS. Lo anterior implica tambi´en que la densidad superficial de la pieza plana se considera unitaria. Por otro lado el producto de inercia en 2D deja de ser respecto a dos planos y pasa a ser respecto a dos ejes. Radio de giro: Es la distancia a la que habr´ıa que colocar la totalidad de la masa de un sistema material concentrada en un punto Ppara 20 Variables cinem´aticas expresadas en coordenadas esf´ericas [ ur, uθ, uφ]: 1. Vector posici´on:  r=r ur, donde res el m´odulo del radio vector de la part´ıcula en movimiento. 2. Vector de velocidad:  v= ˙r ur+r˙ θ uθ+r˙φcos θ uφ. 3. Vector de aceleraci´on:  a=¨r−r˙φ2cos2θ−r˙ θ2 ur+ 2 ˙r˙ θ+r˙φ2sin θcos θ+r¨ θ uθ+ 2 ˙r˙φcos θ−2r˙ θ˙φsin θ+r¨φcos θ uφ 3.2. Cinem´atica de los sistemas de part´ıculas Se considera un sistema de Npart´ıculas materiales cuyo movimiento se describe seg´un un sistema de referencia como el mostrado en la Figura 5. Posici´on, velocidad y aceleraci´on del centro de masas de un sistema de part´ıculas 1. Vector de posici´on:  rG=PN i=1  rimi PN i=1 mi 2. Vector de velocidad:  vG= d dt PN i=1  rimi PN i=1 mi=PN i=1  vimi PN i=1 mi 3. Vector de aceleraci´on:  aG= d dt PN i=1  vimi PN i=1 mi=PN i=1  aimi PN i=1 mi. 27 Z X Y G Pi mi ri rG Z X Y G P rG dm rG r M Z X Y G Pi mi ri rG rri Z X Y G rG dm rG r M vG w OO O O rri i j k e1 e2 e3 e1 e2 e3 i j k e1 A e2 e3 Z X Y A P M O vA w e1 e2 e3 i j k rA AP Figura 5: Cinem´atica de un sistema de part´ıculas: posici´on de G, sistema de referencia m´ovil en G. 3.3. Cinem´atica del s´olido r´ıgido Est´a caracterizada por el hecho de que las distancias entre dos puntos cualesquiera del s´olido son constantes, por ser s´olido r´ıgido. Campo de velocidades del s´olido r´ıgido: Sea un punto Bcualquiera del s´olido y otro punto Aen el que situamos un sistema de referencia solidario al s´olido. Se tiene que:  vB= vA+ BA × ω, donde  ωes la velocidad instant´anea de rotaci´on del s´olido. Invariante escalar: Sea un punto Bcualquiera del s´olido cuya velo28 cidad es  vB. El producto escalar τ= vB· ω= cte se conoce como el invariante escalar del sistema cinem´atico. Invariante vectorial: Coincide con el vector velocidad instant´anea de rotaci´on  ω. Velocidad m´ınima: Es el vector τ ω2 ω, donde τes el invariante escalar, definido anteriormente y ωes el m´odulo del vector  ω. Velocidad ´axica respecto a un eje  e: Es la proyecci´on de la velocidad de cualquier punto de un eje  eque une dos puntos AyB, sobre el propio eje. Se caracteriza por la siguiente propiedad:  vA· e=  vB· e= cte, donde AyBson puntos del eje  e. Eje instant´aneo de rotaci´on (EIR): Eje paralelo al vector  ω, con respecto al cual ocurre la rotaci´on instant´anea del s´olido. Si Bun punto del EIR cuya velocidad  vBes conocida, entonces el EIR cumple la siguiente expresi´on: vBx ωx =vBy ωy =vBz ωz Campo de aceleraciones: Sea un punto Bcualquiera del s´olido y otro punto Aen el que situamos un sistema de referencia solidario al 29 s´olido. Se tiene que:  aB= aA+ BA × α+ ω×( BA × ω) donde  αes la aceleraci´on angular ( α=˙ ω). Velocidad de arrastre y relativa: Sea un sistema de referencia fijo y otro m´ovil anclado al s´olido en un punto Acualquiera del s´olido. Consid´erese un punto Pexterno al s´olido (v´ease Figura 6). La velocidad de Ppuede obtenerse como:  vP=d dt rP A|m | {z } v.rel + vA+ PA × ω | {z } v.arrastre donde  rP A es el vector de posici´on de Prespecto a Aen la base m´ovil (o sea,  AP). Aceleraci´on de arrastre, relativa y coriolis: Sea un sistema de referencia fijo y otro m´ovil anclado al s´olido en un punto Acualquiera del s´olido (v´ease Figura 6). Consid´erese un punto Pexterno al s´olido. La aceleraci´on de Ppuede obtenerse como:  aP= aA+ PA × α+ ω×( PA × ω) | {z } a.arrastre +d2 dt2 rP A|m | {z } a.relativa + 2 ω×d dt rP A|m | {z } a.coriolis 30 Z X Y G Pi mi ri rG Z X Y G P rG dm rG r M Z X Y G Pi mi ri rG rri Z X Y G rG dm rG r M vG w OO O O rri i j k e1 e2 e3 e1 e2 e3 i j k e1 A e2 e3 Z X Y A P M O vA w e1 e2 e3 i j k rA AP Figura 6: Movimiento de arrastre y relativo de un punto Prespecto a un s´olido en movimiento. Obs´ervese que el sistema de referencia m´ovil (en rojo) se mueve solidario al s´olido. 3.4. Ejemplo ilustrativo sobre velocidad y aceleraci´on relativas, y acel. Coriolis Se considera una barra que gira con una velocidad angular constante  ω= 1 [rad/s], y una manivela que desliza sobre la barra hacia el centro de la misma (punto O). En un instante en concreto, su posici´on viene dada por el vector  r(t) = (10 −t) e1, donde { e1, e2}(en rojo) son versores de una base m´ovil que solidarios con la barra. Se pide: obtener la velocidad rela31 tiva, aceleraci´on relativa y aceleraci´on de Coriolis de la manivela. Expresar la soluci´on seg´un el sistema de referencia fijo OXY y seg´un el sistema de referencia m´ovil (ambos). Y X r(t) i j Figura 7: Manivela que desliza por una barra que rota con una velocidad angular dada. 32 Soluci´on Se usa la ecuaci´on de la velocidad de arrastre y relativa de un s´olido respecto a otro. En este caso, la manivela se mueve relativamente respecto a la barra, que a su vez se mueve describiendo un giro respecto a su extremo izquierdo. La velocidad relativa ser´a: d r dt |m=−1 e1 Lo expresamos seg´un los versores de la base m´ovil, y posteriormente lo pasamos a los versores de la base fija. Para ello, se observa que  e1= [cos θ i+ sin θ j], por lo que d r dt |mexpresado seg´un OXY es igual a −1[cos θ i+ sin θ j]. Por otro lado, la aceleraci´on relativa es la derivada de la velocidad relativa en la base m´ovil, esto es: d2 r dt2|m= 0 Por ´ultimo, la aceleraci´on de Coriolis es: 2 ω×d r dt |m donde  ω= [0 e1+ 0 e2+ 1 e3], siendo  e3= k,y=d r dt |m=−1 e1, seg´un hemos obtenido anteriormente. Se hace el producto vectorial: 33 acor. = 2 ω×d r dt |m= 2  e1 e2 k 0 0 1 −1 0 0 =−2 e2 Expresamos a continuaci´on la aceleraci´on de Coriolis seg´un el otro sistema (el fijo), teniendo en cuenta que  e2= [−sin θ i+ cos θ j], por lo que quedar´ıa como acor. =−2[−sin θ i+ cos θ j] 34 4. Est´atica: Equilibrio est´atico e hilos La Est´atica es la parte de la Mec´anica que se ocupa de estudiar el equilibrio est´atico (o inm´ovil) de los cuerpos. 4.1. Fuerzas est´aticas, enlaces y grados de libertad Resultante de fuerzas sobre una part´ıcula material: Sea una part´ıcula de masa mque ocupa una posici´on dada por el punto P, y sometida a uns sistema de fuerzas formado por los vectores  F1, F2,..., FN. El efecto de todas las fuerzas es el mismo que el de la resultante  R= F1+ F2+. . . + FN Momento resultante sobre una part´ıcula material: Es el momento resultante del sistema de fuerzas  Fi, i = 1, . . . , N aplicadas en la part´ıcula material. El momento respecto de un punto Adel sistema de fuerzas es:  MA= N X i=1  MAi= N X i=1  AP × Fi= AP × N X i=1  Fi= AP × R donde Pes el punto donde se ubica la part´ıcula, y el punto de aplicaci´on de las fuerzas. Resultante de fuerzas sobre un sistema de part´ıculas mate35 riales: Se considera un sistema de Npart´ıculas materiales sometidas a fuerzas externas  Fiext y fuerzas internas  Fiint ,i= 1, . . . , N. El efecto de todas las fuerzas es el mismo que el de la resultante  R= N X i=1  Fiint |{z} =0 + Fiext = N X i=1  Fiext Momento resultante de un sistema de fuerzas actuando sobre un sistema de part´ıculas materiales: Es el momento resultante del sistema de fuerzas externas. Esto es:  MA= N X i=1  MAi= N X i=1  APi× Fiext donde Pies el punto cada part´ıcula material, que coincide con el punto de aplicaci´on de cada vector  Fiext . Resultante de fuerzas sobre un s´olido r´ıgido: Las fuerzas aplicacadas sobre uno o varios puntos del s´olido r´ıgido se consideran vectores deslizantes. El efecto de todas las fuerzas es el mismo que el de la resultante  R= N X i=1  Fiint |{z} =0 + Fiext = N X i=1  Fiext Momento resultante de un sistema de fuerzas actuando sobre un s´olido r´ıgido: El momento total es el momento resultante del 36 Ecuaci´on intr´ınseca de equilibrio de un hilo sometido a un conjunto de fuerzas continuas: Es una ecuaci´on vectorial que se obtiene teniendo en cuenta que la tensi´on lleva la direcci´on del versor tangencial (del Triedro de Frenet)  T=T et, donde Tes el m´odulo de la tensi´on. La ecuaci´on resultante queda como sigue: dT ds  et+T ρ en+ F= 0 Descomponiendo la fuerza  Fen componentes intr´ınsecas  F=Ft et+ Fn en+Fb eb, la ecuaci´on de equilibrio anterior se puede reescribir de la siguiente forma: dT ds +Ft et+T ρ+Fn en+Fb eb= 0 Obs´ervese que para que haya equilibrio, la componente Fb eb= 0, esto es, la fuerza Fest´a contenida en el plano osculador. Ecuaciones de equilibrio de un hilo sometido a un conjunto de fuerzas verticales continuas de valor P(x): El hilo est´a en equilibrio si cumple las ecuaciones cartesianas de equilibrio en el plano xy. 1. Caso particular: la catenaria. La catenaria es la curva que adopta un cable en equilibrio sometido a un conjunto de fuerzas 43 verticales P(x) constantes de valor P(x) = P0por unidad de longitud de cable. Esto es, la fuerza distribuida Fy=P0, en [N/m]. Las ecuaciones de equilibrio quedar´ıan como sigue: dTdx ds = 0 −P0ds +dTdy ds= 0 A partir de la segunda ecuaci´on (equilibrio vertical) puede obteberse la ecuaci´on geom´etrica del hilo en equilibrio: d2y dx2=P0 T0s1 + dy dx2 Para integrar la ecuaci´on anterior se hace dy dx =y′y se reescribe la anterior ecuaci´on diferencial de la siguiente forma dy′ p1 + y′2=P0 T0 dx que se puede integrar mediante separaci´on de variables. El resultado es: y=ccosh x c 44 donde c=T0 P0. Propiedades: a) Geometr´ıa: La geometr´ıa resultante es la siguiente y(x) = ccosh x c, donde crepresenta es la distancia a la que se encuentra el m´ınimo de la funci´on desde el eje X. b) Tensi´on: La tensi´on en cualquier punto de la catenaria se obtiene mediante cualquiera de las siguientes f´ormulas T= P0yoT=T0cosh x c. c) Radio de curvatura a flexi´on: y2 c d) Longitud de arco desde el punto m´as bajo (s= 0): s= csinh x c=cdy dx 2. Caso particular: la par´abola. La par´abola es la curva que adopta un cable en equilibrio sometido a un conjunto de fuerzas verticales P(x) constantes de valor P(x) = P0por unidad de longitud horizontal o por unidad de abcisa. Esto es, la fuerza distribuida Fy=P0dx ds , en [N/m]. O sea, P0dx ser´ıa el valor que integra la carga vertical en un dx, y luego se reparte por unidad de longitud ds, para que quede en [N/m]. Las ecuaciones de equilibrio son las siguientes: 45 dTdx ds = 0 −P(x) | {z } P0 dx +dTdy ds= 0 A partir de la primera de las ecuaciones anteriores se obtiene que Tdx ds = cte = T0=⇒T0=Tcos θ, donde cos θ=dx ds . A partir de la segunda ecuaci´on (equilibrio vertical) puede obteberse la ecuaci´on geom´etrica del hilo en equilibrio: d2y dx2=P(x) T0 Propiedades: a) Geometr´ıa: La geometr´ıa resultante es la siguiente y(x) = 1 2cx2, donde c=T0 P0. En este caso, el m´ınimo se coloca en el origen de coordenadas. b) Tensi´on: La tensi´on en cualquier punto de la par´abola se obtiene mediante la f´ormula T2=T2 0+P2 0x2. c) Longitud de arco desde el punto m´as bajo (s= 0): s= x1 + 1 6x c2+. . .. Se adoptan los primeros t´erminos del desarrollo en serie. 46 5. Din´amica La din´amica es la parte de la Mec´anica que se ocupa del estudio del movimiento de las part´ıculas, sistemas de part´ıculas y s´olidos, junto a las causas que lo generan. 5.1. Magnitudes cin´eticas Momento lineal o cantidad de movimiento: Es una magnitud vectorial de direcci´on y sentido igual al vector velocidad, que mide la conjunci´on de la masa y la velocidad de un sistema material. Momento lineal de una part´ıcula: p=m v Momento lineal de un sistema discreto de part´ıculas materiales: p=PN imi vi=M vG. Es equivalente a la que tendr´ıa una sola part´ıcula que contuviese toda la masa del sistema y posicionada en el centro de masas del sistema. Momento lineal de un sistema continuo: p=RM vdm = M vG. Es equivalente a la que tendr´ıa una sola part´ıcula que contuviese toda la masa del sistema y posicionada en el centro de masas del sistema. Momento lineal de un s´olido r´ıgido: p=RM( vo+ ω× r)dm, donde  v0es la velocidad del sistema de referencia OXY Z (solidario con el s´olido r´ıgido) y  res el vector de posici´on de un punto 47 cualquiera del s´olido referido al sistema de referencia OXY Z. Puesto que el momento lineal de un sistema continuo es  p= M vG, donde  vG= v0+ ω× rG, por tanto, en un s´olido r´ıgido  p=M( v0+ ω× rG), donde  rGes la posici´on del centro de gravedad referida al centro del sistema OXYZ. Si el punto O es fijo, entonces la expresi´on anterior se reduce a  p=M( ω× rG) (cantidad de movimiento de un s´olido r´ıgido que pivota respecto a O). Momento angular o cin´etico: Respecto a un punto Acualquiera, es el momento del vector cantidad de movimiento respecto a ese punto. Momento angular de una part´ıcula: HA= AP × p. Mide la tendencia de la part´ıcula a no seguir en su movimiento la direcci´on de la visual que une Acon el punto P. Momento angular de un sistema discreto de part´ıculas materiales:  HA= N X i=1  HAi= N X i=1  APi× pi Es un vector fijo en Aque resulta de sumar los momentos cin´eticos respecto a Ade todas la part´ıculas del sistema, donde Pies el punto de aplicaci´on del vector  pi. 48 Momento angular de un sistema continuo:  HA=ZM  AP × vdm Es la integral de los momentos cin´eticos diferenciales respecto a A, donde Pes el punto de aplicaci´on del vector  pen cada dm. Momento angular de un s´olido r´ıgido respecto a un punto fijo Adel s´olido (mov. de rotaci´on):  HA=ZM  r×( ω× r)dm =IxIxy Ixz Iyx IyIyz Izx Izy Iz·hωx ωx ωxi= [IA] ω Z X Y G Pi mi ri rG Z X Y G P rG dm rG r M Z X Y G Pi mi ri rG rri Z X Y G rG dm rG r M vG w OO O O rri i j k e1 e2 e3 e1 e2 e3 i j k e1 A e2 e3 Z X Y A P M O vA w e1 e2 e3 i j k rA AP Figura 8: S´olido en movimiento de pivotamiento respecto de un punto A. El sistema de referencia en Aest´a ligado al s´olido. donde el vector  res el vector de posici´on de cada part´ıcula respecto al sistema de referencia solidario al s´olido, y ubicado en A. El vector  ωes el vector de rotaci´on instant´anea del s´olido y [IA] 49 es el tensor de inercia del s´olido respecto del sistema de referencia solidario al s´olido centrado en A. Momento angular de un s´olido r´ıgido libre respecto a su centro de gravedad:  HG=ZM  r×( ω× r)dm =IxIxy Ixz Iyx IyIyz Izx Izy Iz·hωx ωx ωxi= [IG] ω donde el vector  res el vector de posici´on de cada part´ıcula respecto a un sistema de referencia solidario al s´olido ubicado en Gy de ejes invariantes. El vector  ωes el vector de rotaci´on instant´anea del s´olido y [IG] es el tensor de inercia del s´olido respecto del sistema de referencia solidario al s´olido centrado en G. 50 Z X Y G Pi mi ri rG Z X Y G P rG dm rG r M Z X Y G Pi mi ri rG rri Z X Y G rG dm rG r M vG w OO O O rri i j k e1 e2 e3 e1 e2 e3 i j k e1 A e2 e3 Z X Y A P M O vA w e1 e2 e3 i j k rA AP Figura 9: S´olido r´ıgido en movimiento libre e indicaci´on de sistema de referencia m´ovil centrado en Gy solidario con el s´olido. Momento angular de un s´olido r´ıgido libre respecto a un punto cualquiera A:  HA=ZM  r×( ω× r)dm + rG×M vG donde  res el vector de posici´on de cada part´ıcula respecto al punto G, y  ωes la velocidad instant´anea de rotaci´on del s´olido r´ıgido.  rGes la posici´on del centro de gravedad respecto del punto A. El primer t´ermino es el momento angular (relativo a G) 51 del movimiento de las part´ıculas del s´olido r´ıgido respecto a G, esto es, del movimiento de rotaci´on del s´olido. Por otro lado, el segundo t´ermino corresponde con el momento cin´etico (respecto aA, ya que el vector de posici´on  rGse ha descrito respecto a A) del movimiento del centro de masas, descrito por la velocidad de su centro de masas  vG. Resto de consideraciones del Momento cin´etico Los elementos del tensor de inercia [IA] son magnitudes constantes, ya que el sistema cartesiano est´a centrado en Aes solidario con el s´olido; N´otese que el vector  ωde la base m´ovil mcoincide con el del s´olido indeformable; Si el sistema de referencia cartesiano centrado en Ay solidario con el s´olido coincidiera con el triedro principal de inercia del s´olido, entonces el tensor [IA] se convierte en una matriz diagonal, por lo que  HA=Ixωx+Iyωy+Izωz Si el s´olido r´ıgido rota con respecto a un eje  e, se puede entender como un caso particular de momento cin´etico respecto a un punto fijo, en el que el eje  epase por A. Si adem´as, por conveniencia 52 S´olido r´ıgido: El momento total es el momento resultante del sistema de fuerzas exteriores. Esto es: PN i=1  MAi=PN i=1  APi×  Fiext , donde Pies un punto cualquiera de la recta de acci´on de cada vector  Fiext . Trabajo: Es una magnitud escalar de definici´on diferencial. Part´ıcula material:dW =d F·d r Sistema de part´ıculas materiales: dW = N X i=1 dWi= N X i=1 d Fi·d ri= N X i=1 d Fexti·d ri | {z } dWext + N X i=1 d Finti·d ri | {z } dWint S´olido r´ıgido: Coincide con el trabajo de las fuerzas exteriores, ya que las interiores no ejercen trabajo en el s´olido r´ıgido. dW = N X i=1 dWi= N X i=1 d Fi·d ri= N X i=1 d Fexti·d ri | {z } dWext 59 5.3. Leyes de la Din´amica Teorema del Momento lineal o Cantidad de movimiento La raz´on de cambio del momento lineal o cantidad de movimiento de un sistema corresponde con la resultante de fuerzas del sistema din´amico. Esto es: d p dt = R Del teorema as´ı enunciado se deriva el principio de conservaci´on. Principio de Conservaci´on Si la resultante de fuerzas actuantes en un sistema es nulo, por tanto el momento lineal o cantidad de movimiento se conserva. Teorema del Momento Angular o Cin´etico La raz´on de cambio del momento cin´etico o angular de un sistema de part´ıculas corresponde con el momento del sistema din´amico. Si el punto Aes fijo, el momento del sistema din´amico se reduce al momento resultante de las fuerzas externas actuantes sobre el sistema. Esto es: d HA dt = MA Del teorema as´ı enunciado se deriva el principio de conservaci´on. 60 Principio de Conservaci´on Si el momento respecto de un punto fijo Ade las fuerzas externas actuantes en un sistema es nulo, por tanto el momento cin´etico o angular se conserva. Teorema de la Energ´ıa El trabajo que ejerce el sistema din´amico sobre el sistema es la variaci´on de su energ´ıa cin´etica. Esto es: dW =dT Del teorema as´ı enunciado se deriva el principio de conservaci´on. Principio de Conservaci´on Si el trabajo que ejercen las fuerzas fuerzas actuantes en un sistema es nulo, por tanto la energ´ıa cin´etica total se conserva. Si adem´as, las fuerzas son conservativas, entonces el balance de energ´ıa cin´etica y potencial se mantiene constante. 61 Resto de consideraciones sobre las leyes fundamentales 1. Si el punto Ano es un punto fijo, el Teorema del Momento Angular o Cin´etico hay que expresarlo as´ı: d HA dt = MA+ p× vA, donde  vAes la velocidad del punto A. 2. Si el punto Ano es un punto fijo pero coincide con el centro de gravedad G, entonces el Teorema del Momento Angular o Cin´etico queda como sigue: d HG dt = MG 3. La variaci´on temporal total de  HOdesde un sistema de referencia absoluto centrado en un punto A(esto es, no solidario con el s´olido) ha de plantearse mediante la Regla de Boure:  ˙ HA=d HA dt |m+ ω× HA= [IA] α+ ω× HA donde  αes el vector aceleraci´on angular del s´olido. 62 5.4. Equilibrio din´amico Ecuaciones de equilibrio din´amico Dado un sistema material sometido a una serie de fuerzas exteriores  Fiext e interiores  Fiint ,i= 1, . . . , N, el equilibrio din´amico se cumple cuando:  R= N X i=1  Fiext =M aG  MA= N X i=1  MAi= [IA] α donde Aes un punto cualquiera donde se centra un sistema de referencia solidario con el s´olido, o directamente el centro de gravedad G. Las anteriores ecuaciones conforman un sistema de seis ecuaciones en el espacio: tres para el equilibrio de fuerzas seg´un los ejes x, y, z, y tres para los momentos respecto del punto Aseg´un los ejes x, y, z. En sistemas planos, las ecuaciones anteriores se traducen en tres: dos ecuaciones para el equilibrio de fuerzas en el plano y una de equilibrio de momentos respecto del punto A. 63 64 6. Vibraciones mec´anicas Las vibraciones mec´anicas son un tipo de movimiento oscilatorio que resulta del equilibrio din´amico de un cuerpo m´asico sujeto a una serie fuerzas de restituci´on conservativas (generalmente el´asticas y gravitatorias) y de disipaci´on no conservativas (generalmente procedentes del rozamiento o amortiguaci´on). Su estudio se podr´ıa englobar bajo la Din´amica, aunque se saca como tema separado por su importancia en la asignatura. 6.1. Vibraciones de un grado de libertad Para el desarrollo matem´atico siguiente se considera que el movimiento vibratorio ocurre en el eje x. Ecuaci´on general de equilibrio din´amico: m¨x+c˙x+kx =P(t) donde ces el coeficiente de amortig¨uamiento, kes la constante el´astica, yP(t) es la fuerza externa aplicada sobre la masa m. Vibraciones libres amortig¨uadas: Responden al caso particular del caso anterior donde P(t) = 0, por tanto la ecuaci´on de equilibrio queda como sigue: m¨x+c˙x+kx = 0 65 La ecuaci´on del movimiento vibratorio resultante se expresa mediante la siguiente ecuaci´on x(t) = C1exp (λt) Sustituyendo en la ecuaci´on de equilibrio anterior, quedar´ıa: mλ2+cλ +kC1exp (λt)=0 que se cumple de forma general cuando mλ2+cλ +k= 0 cuya soluci´on para λes: λ=−c±√c2−4mk 2m o alternativamente: λ=−ζω0±ω0pζ2−1 donde ω0=2π T0=qk mes la frecuencia angular en [rad/s], T0es el periodo natural en [s], ζes la tasa de amortig¨uamiento, que puede obtenerse como: ζ=c 2mω0, o ζ=c 2√km . 66 1. Vibraciones sobreamortig¨uadas (ζ > 1): En ese caso, las dos ra´ıces caracter´ısticas λ1,2=−ζω0±ω0pζ2−1 son reales, y adem´as negativas. La ecuaci´on del movimiento queda como sigue: x(t) = C1exp (λ1t) + C2exp (λ2t) donde C1yC2son constantes que se obtienen mediante las condiciones de contorno (posici´on y velocidad incial del movimiento). 2. Vibraciones subamortig¨uadas (ζ < 1): Las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica son complejas y conjugadas λ1,2=−ζω0± i ω0p1−ζ2 | {z } ωd , donde ωd, la parte compleja de la ra´ız, es la frecuencia angular amortig¨uada. La ecuaci´on del movimiento queda como sigue: x(t) = exp (−ζω0t)Asin (ωdt+φ) donde Aes la amplitud de la oscilaci´on a tiempo inicial y φes el desfase o posici´on angular a tiempo incial. Ambos par´ametros se obtienen mediante las condiciones de contorno (posici´on y velocidad incial del movimiento). 3. Vibraciones con amortig¨uamiento cr´ıtico (ζ= 1): Es el caso l´ımite entre el sobreamortig¨uamiento y el subamortig¨uamiento. 67 Las ra´ıces λ1,2adem´as de ser reales y negativas, son iguales de valor λ1,2=ω0(ra´ız doble). La ecuaci´on del movimiento queda como sigue: x(t) = C1exp (−ω0t) + C2texp (−ω0t) donde C1yC2son constantes que se obtienen mediante las condiciones de contorno (posici´on y velocidad inicial del movimiento). Vibraciones libres no amortig¨uadas: En este caso c= 0 y por tanto ζ= 0, por lo que la ecuaci´on de equilibrio queda como sigue m¨x+kx = 0 Las ra´ıces λ1,2de la ecuaci´on anterior son complejas de valor λ1,2= ±iω0. La ecuaci´on del movimiento vibratorio resultante se expresa mediante la siguiente ecuaci´on: x(t) = Asin (ω0t+φ) donde Aes la amplitud de la oscilaci´on y φes el desfase o posici´on angular a tiempo incial. Ambos par´ametros se obtienen mediante las 68