UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
FACULTAD DE CIENCIAS MATEM ´
ATICAS
DEPARTAMENTO DE SISTEMAS INFORM´
ATICOS Y COMPUTACI ´
ON
TRABAJO DE FIN DE GRADO
Man enimien o P edic i o
Machine Lea ning pa a la de ecci´on au oma izada de allos
Supe iso :
Ca los G ego io Rod ´ıguez
Diego Jos´e S´anchez Ma ´ın
Doble G ado en Ma em´a icas y F´ısica
Cu so acad´emico 2020-21
Con oca o ia: Junio
Ag adecimien os
Se a ibuye a Wal Disney la ase “Los g andes log os de cualquie pe sona gene almen e
dependen de muchas manos, co azones y men es”. Independien emen e de qui´en ue a el au o
eal de es a sen encia, me gus a ´ıa empeza es a memo ia ag adeciendo a aquellos que me han
ayudado con su abajo, ´animo y sabidu ´ıa a llega has a aqu´ı: apenas a un paso de g adua me en
Ma em´a icas. Sin un o den pa icula , g acias:
A Ca los, u o de es e abajo. G acias po acep a me como alumno cuando no en´ıas pensado
di igi TFGs es e cu so, po sabe conjuga palab as de alien o y co ecciones, po la paciencia
cuando ha hecho al a.
A mis p o eso es en colegio, ins i u o y uni e sidad. Menci´on especial me ecen He melinda, que
con i i´o mi po encialidad en ac o; Juan Ca los, que me ab i´o el camino a las “ma em´a icas de
e dad” a a ´es del Concu so de P ima e a; y Da id, que con su pasi´on e min´o de ans o ma
mi a ici´on po la Ciencia en ocaci´on.
A mis pad es, que me ense˜na on los n´ume os jugando a las ca as, con las ma ´ıculas de los
coches y con lo que hicie a al a. En aquel momen o no e a conscien e, pe o una semilla empezaba
a c ece . G acias po guia mis decisiones y, sob e odo, po se siemp e un ejemplo a segui .
A mis compa˜ne os de a igas en es os a˜nos. En en a se a Galois y asociados es mucho m´as ´acil
con Rica do, Lau a, Jaime, A u o y Ramonda de mi lado.
A Na alia, po se mucho m´as que edi o a y co ec o a de es ilo expe a. Siendo since os, si no
hay dos e a as po p´agina en lo que sigue, es g acias a i.
1
Man enimien o p edic i o
Machine Lea ning pa a la de ecci´on au oma izada de allos
Resumen:
Es e T abajo de Fin de G ado ha consis ido en la esoluci´on de un p oblema de man enimien o
p edic i o a pa i de un conjun o de da os eales p opo cionados po la ma ca de camiones Scania.
El obje i o que se pe sigue es minimiza una cie a unci´on de cos e que ponde a de o ma desigual
los e o es come idos en la p edicci´on de la apa ici´on de allos en los camiones seg´un es os sean alsos
posi i os o alsos nega i os. Algunas de las pa icula idades del conjun o de da os disponibles es que
es ´an e ique ados pe o no balanceados y, adem´as, exis e en ellos una g an can idad de e o es de
medici´on. Po es e mo i o, se han aplicado sob e los da os di e sas ´ecnicas de il ado e impu aci´on.
A con inuaci´on, se han e ec uado p edicciones median e dis in os algo i mos de machine lea ning.
Se ha escogido de en e ellos Random Fo es po su endimien o supe io y se ha a inado pa a
alcanza el mejo esul ado posible, omando en odo momen o como m´e ica la unci´on de cos e
an e io men e mencionada. Finalmen e, los esul ados ob enidos han sido compa ados con aquellos
alcanzados sob e el mismo p oblema po pa e de a ios in es igado es.
Abs ac :
This Final Thesis has consis ed in he solu ion o a p edic i e main enance p oblem using a
eal-wo ld da ase supplied by Scania, a lo y manu ac u e company. The goal o pu sue is o
minimize a ce ain cos unc ion ha weighs di e en ly p edic ion mis akes depending on whe he
hey a e alse posi i es o alse nega i es. Some o he peculia i ies o he a ailable da ase a e
ha da a a e classi ied bu unbalanced and he e is a conside able amoun o measu emen e o s.
Fo his eason, se e al il e ing and impu ing echniques ha e been applied o e he da a. Then,
p edic ions ha e been made wi h di e en machine lea ning algo i hms. Amongs hem, Random
Fo es has been selec ed because o i s supe io pe o mance. I has been e ined o ob ain he bes
possible esul aking as me ic he a o emen ioned cos unc ion. Finally, ou esul s ha e been
compa ed o hose achie ed on he same p oblem by se e al esea che s.
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´
Indice
Ag adecimien os 1
1. In oducci´on 4
1.1. Man enimien o p edic i o: ma co e´o ico. ............ 4
1.2. Caso de es udio .......................... 7
1.3. Es uc u a de la memo ia .................... 8
2. Obje i os 9
3. Me odolog´ıa 9
3.1. He amien as in o m´a icas .................... 9
4. Desa ollo 10
4.1. Es udio p elimina de los da os disponibles ........... 10
4.1.1. Da os e ique ados, pe o con una dis ibuci´on no ideal . 10
4.1.2. Va iables no conocidas .................. 10
4.1.3. P esencia de alo es NaN ................. 10
4.1.4. O ganizaci´on en his og amas ............... 12
4.2. P edicci´on de esul ados: p ime a i e aci´on ........... 14
4.2.1. Sus i uci´on de los alo es NaN .............. 14
4.2.2. Algo i mos de machine lea ning a emplea ....... 15
4.2.3. Resul ados con di e en es combinaciones ........ 15
4.3. A inado de modelo ........................ 18
4.3.1. Consis encia de Random Fo es ............. 18
4.3.2. B´usqueda de pa ´ame os ´op imos ............ 19
4.3.3. An´alisis cuali a i o .................... 20
4.3.4. Ajus e pa a el caso de es udio .............. 22
5. Resul ados 25
5.1. ¿C´omo de bueno es el modelo ob enido? ............ 26
5.2. El papel de la unci´on de cos e .................. 27
6. Conclusiones 28
Bibliog a ´ıa 31
3
1. In oducci´on
1.1. Man enimien o p edic i o: ma co e´o ico.
A la ho a de idea un negocio basado en la p oducci´on a g an escala de un p oduc o, la egla
b´asica que de e mina el ´exi o de dicho negocio es la di e encia en e bene icios y cos es. As´ı, cuan o
m´as posi i o sea es e n´ume o, mejo . Es po ello que esul a de i al impo ancia sabe qu´e ac o es
a ec a ´an a un aumen o de los cos es. Algunos de los m´as ans e sales a odo ipo de indus ias
son el alo de las ma e ias p imas, los sala ios de los abajado es o la ca ga imposi i a asociada
a la ac i idad come cial.
O o cos e muy a ene en cuen a es el de i ado del man enimien o del sis ema de p oducci´on.
Pod ´ıa pa ece que no es ele an e compa ado con los an e io men e mencionados. Sin emba go,
L¨o s en [19] es im´o que el gas o en man enimien o supon´ıa en e el 15 % y el 40 % del o al de los
cos es de p oducci´on, siendo es a ho quilla u o de los di e en es sec o es indus iales es udiados. Si
bien es cie o que es as in es igaciones ienen ya algo m´as de 20 a˜nos, el obje i o de es e T abajo de
Fin de G ado (de aho a en adelan e, TFG) no es cuan i ica con exac i ud los cos es econ´omicos que
aca ea el man enimien o, sino es udia mane as de educi los median e el empleo de he amien as
ma em´a icas. Po ello, el abajo de L¨o s en es un pun o de pa ida adecuado, pues mues a el
in e ´es que iene pa a la indus ia una posible mejo a en la e iciencia del man enimien o.
Exis en es g andes g upos den o de los cuales pueden clasi ica se los m´e odos de man eni-
mien o u ilizados en la indus ia [29]. Es os son:
Man enimien o eac i o (en ingl´es, Run To Failu e, no malmen e ab e iado a R2F). Consis e
en la in e enci´on sob e la maquina ia una ez se ha p oducido un allo de la misma. Su
en aja p incipal es la simplicidad, y po ello es empleado a menudo. Sin emba go, ambi´en
en a˜na impo an es iesgos, pues o que puede ocasiona iempos de epa aci´on muy la gos
que man engan la p oducci´on pa ada.
Man enimien o p e en i o (en ingl´es, P e en i e main enance, no malmen e ab e iado a P M).
Se basa en un calenda io de epa aciones o sus i uci´on de piezas asociado a iempo de uso o
n´ume o de i e aciones de un p oceso. Median e es a ´ecnica se suelen e i a la mayo ´ıa de los
allos pe o, al mismo iempo, se eemplaza maquina ia que pod ´ıa habe seguido uncionando,
lo cual conlle a un uso ine icien e de los ecu sos.
Man enimien o p edic i o (en ingl´es, P edic i e main enance, no malmen e ab e iado a PdM).
Es el m´e odo ecnol´ogicamen e m´as a anzado, sus en ado en una e aluaci´on indi idualizada
y en iempo eal del es ado de cada m´aquina que pa icipa de un p oceso indus ial con el in
de epa a los allos de la misma an es de que es os se mani ies en en un mal uncionamien o.
Aunque su pues a en ma cha es ca a en compa aci´on con los dos m´e odos an e io es, sus
esul ados son los mejo es, maximizando la ida ´u il de cada pa e del sis ema sob e el que
se aplica. Se ´a el ipo de man enimien o es udiado a lo la go del p esen e TFG.
Con el in de explica de mane a m´as cla a las pa icula idades de cada uno de los ipos de
man enimien o enume ados quiz´as lo m´as adecuado sea hace uso de un ejemplo. En a as de se
ilus a i o, se u iliza ´a pa a ello una m´aquina bas an e compleja pe o que o ma pa e del d´ıa a
d´ıa y es bien conocida po casi odos: el coche. Su man enimien o puede lle a se a cabo de di e sas
o mas que p oceden a de alla se.
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Una posibilidad es u iliza un coche sin segui las indicaciones del ab ican e en lo que espec a
a man enimien o. En cie o momen o, apa ece ´a alg´un p oblema de g a edad a iable. Puede se
desde una luz undida has a una pa ada epen ina del mo o . En onces, hab ´a que soluciona la
a e ´ıa ya ocu ida, po lo que nos encon amos an e un caso de man enimien o eac i o. Es e
ejemplo pone de mani ies o que el man enimien o eac i o no es ´a exen o de iesgos: si el p oblema
inad e ido en el eh´ıculo a ec ase a la di ecci´on o a los enos, las consecuencias pa a los ocupan es
pod ´ıan se a ales.
El man enimien o p e en i o es ´a dise˜nado p ecisamen e pa a e i a que se den es e ipo de
si uaciones. Den o del mismo podemos engloba acciones an a iadas como acudi a e isiones
pe i´odicas donde se sus i uyen el acei e y el l´ıquido de enos, pasa las ITVs co espondien es
seg´un la an ig¨uedad del eh´ıculo, cambia los neum´a icos cada cie o n´ume o de kil´ome os, e c. El
obje i o de odas ellas es eno a las dis in as piezas an es de que dejen de unciona co ec amen e.
Sin emba go, puede da se el caso de que se cambie una pieza que oda ´ıa pod ´ıa habe desempe˜nado
su unci´on du an e m´as iempo.
Po ´ul imo, el man enimien o p edic i o se da ´ıa si el coche ue a capaz de a isa de que alguno
de sus componen es a a ompe se an es de que es o ocu ie a. Aunque el o denado de a bo do
de un eh´ıculo puede da ala mas an e posibles allos, es as suelen se consecuencia de la lec u a
de un solo senso . Un sis ema de man enimien o p edic i o p opiamen e dicho debe ´ıa in eg a
in o maci´on p oceden e de a ios senso es y compa a la a a ´es de un algo i mo m´as o menos
complejo con da os omados de o os eh´ıculos en dis in as si uaciones pa a de e mina si se a a
p oduci un allo. En es e TFG se e ´a un ejemplo de un sis ema de es e ipo en camiones de la
ma ca Scania.
En gene al, la p emisa de la que pa e cualquie es a egia de man enimien o p edic i o [22] es
que una moni o izaci´on egula del es ado mec´anico, la e iciencia de ope aci´on y o os indicado es
de in e ´es de un sis ema indus ial p opo ciona ´an los da os necesa ios pa a asegu a un m´aximo
in e alo de iempo en e epa aciones. De es a mane a, se consegui ´a minimiza la can idad y el
cos e de posibles in e enciones imp e is as eque idas pa a soluciona allos. Cabe des aca que
es a moni o izaci´on equie e de la p esencia de senso es espec´ı icos, no es su icien e con el segui-
mien o po pa e del usua io, incluso aunque es e posea conocimien os ´ecnicos ace ca del sis ema
indus ial en cues i´on. Exis en dos mo i os p incipales pa a ello. Po un lado, los algo i mos que
p edicen la apa ici´on de allos uncionan mejo con una can idad muy g ande de da os, po lo que
su endimien o se op imiza si disponen de in o maci´on en iempo eal y casi con inua del es ado de
las m´aquinas. Que un ope a io dedicase la o alidad de su jo nada labo al a e isa y ansc ibi
pa ´ame os como empe a u a o ib aci´on de una m´aquina se ´ıa muy ine icien e (y, adem´as, e-
mendamen e abu ido, lo cual ambi´en iene a se con ap oducen e [28]). Po o o lado, el desgas e
de las piezas de un sis ema indus ial se p oduce no malmen e en la pa e in e io de las mismas,
ya que es ah´ı donde hay ozamien os o lujo de l´ıquidos [9]. Es o complica mucho su inspecci´on. En
de ini i a, la pues a en ma cha del man enimien o p edic i o pasa po la inco po aci´on de senso es
que au oma icen la oma de da os.
De es a o ma, el man enimien o p edic i o excede las p e ensiones de las es a egias R2F y
P M. Es un medio pa a mejo a la p oduc i idad, la calidad del p oduc o y, en gene al, la e iciencia
global de las plan as de p oducci´on. U iliza in o maci´on en iempo eal del es ado de la plan a
pa a op imiza sus ope aciones. Pa a log a es o se ale de mediciones de odo ipo de senso es
(algunos ejemplos son ib aci´on, empe a u a, humedad...) que pe mi en conoce en de alle c´omo
es ´a uncionando un sis ema de m´aquinas. G acias a ello, no depende de las es ad´ıs icas espec o
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a la ida ´u il media de las piezas del sis ema, sino que e al´ua la si uaci´on pa icula de cada una.
La en aja p incipal que supone es a es a egia es que se eliminan casi po comple o las a e ´ıas
de g an calado pues o que los peque˜nos allos que, acumulados en el iempo, las p oduci ´ıan son
de ec ados an es de que o iginen p oblemas g a es.
Siendo el man enimien o p edic i o la al e na i a cla amen e mejo de en e los m´e odos men-
cionados, cab ´ıa p egun a se po qu´e no se aplica en odas las indus ias. El mo i o p incipal es que
su pues a en uncionamien o equie e de un g an despliegue ´ecnico pa a la elecci´on y colocaci´on
de senso es, lo cual es ca o. Adem´as, pa a que sea e ec i o, se equie e de la ges i´on de un eno me
olumen de da os. Es aqu´ı donde en an en juego las Ma em´a icas: se debe consegui , en base a la
in o maci´on (gene almen e cuan i a i a) ecogida po los senso es, se capaces de p edeci un allo
an es de que es e ocu a. Pa a ello, se emplean di e sas ´ecnicas [7] que se si en de he amien as
es ad´ıs icas, de modelizaci´on y de in eligencia a i icial.
Lo explicado an e io men e condiciona el ipo de indus ias que pueden se i se de man enimien-
o p edic i o. Has a aho a, las que han mos ado un mayo in e ´es son aquellas que abajan con
p oduc os ecnol´ogicamen e complejos y de al o alo econ´omico. Muchas de ellas ya inco po aban
senso es en sus p oduc os y plan as de p oducci´on, po lo que la in e si´on inicial ha sido p opo cio-
nalmen e meno . Adem´as, los po enciales allos en sus sis emas p oduc i os end ´ıan consecuencias
de g an cos e, lo cual supone o o incen i o pa a inno a en sus es a egias de man enimien o. Un
ejemplo pa adigm´a ico de es o es el man enimien o de a iones come ciales [1].
Cabe des aca que, en Espa˜na, una de las ins i uciones que ha desa ollado es a egias de
man enimien o p edic i o en sus equipos es la A mada. Los buques con los que abajan cumplen
las dos condiciones cla e pa a se obje o de es e ipo de man enimien o: inclusi´on de ecnolog´ıa y
al o alo econ´omico. As´ı, po ejemplo, en algunos de sus p oyec os de los ´ul imos a˜nos han empleado
in eligencia a i icial pa a e i a des ´ıos de las u as ma ´ı imas [23] y pa a de ec a anomal´ıas en la
p opulsi´on de los mo o es na ales [16]. De hecho, exis en oces que abogan po una ans o maci´on
o al del modelo p oduc i o na al. En el III Cong eso Nacional de I+D en De ensa y Segu idad,
celeb ado en 2015, se expuso [5] que la Log´ıs ica Basada en P es aciones (po sus siglas en ingl´es,
PBL) deb´ıa se adop ada en la A mada. El modelo PBL, que comenz´o en la Ma ina de Es ados
Unidos en los a˜nos 90 y ya ha sido adop ado po o os pa´ıses de nues o en o no, consis e en que
el p o eedo de un p oduc o, ba co mili a en es e caso, asume un con a o que aba ca an o la
ab icaci´on como el man enimien o p edic i o del p oduc o en cues i´on. Es o pe mi e a la go plazo
una educci´on en los cos es de i ados de las epa aciones del equipamien o mili a y una ida ´u il
m´as la ga.
Finalmen e, se ´ıa un e o limi a la discusi´on sob e man enimien o p edic i o a las g andes
indus ias. Aunque son aquellas que m´as lo u ilizan po las azones econ´omicas ya discu idas, exis en
ambi´en emp esas de ama˜no mediano que pa icipan de es e c ecien e me cado. En nues o pa´ıs
enemos un ejemplo pa adigm´a ico con Libelium [18], compa˜n´ıa con sede en Za agoza dedicada al
dise˜no y ab icaci´on de senso es de di e sas ipolog´ıas pa a o ece soluciones ecnol´ogicas a sus
clien es median e el In e ne de las Cosas (IoT, po sus siglas en ingl´es). Una de las p incipales
aplicaciones de los senso es p oducidos po es a emp esa es la Indus ia 4.0, nomb e dado a aquellos
sis emas p oduc i os que se han digi alizado pa a mejo a su p oduc i idad. En e los se icios
o ecidos po Libelium [27] des acan la moni o izaci´on de los p ocesos de p oducci´on pa a op imiza
y p e eni allos y la de ecci´on de la salud es uc u al de las ins alaciones. Ambos son aspec os
cen ales en el man enimien o p edic i o.
6
Una de las ca ac e ´ıs icas llama i as de Libelium es que no se a a de un gigan e ecnol´ogico,
sino de un p oyec o emp endedo de apenas 15 a˜nos de ida undado po Alicia As´ın, ingenie a
in o m´a ica que que ´ıa conec a In e ne a disposi i os ´ısicos [6]. Ac ualmen e, la emp esa abaja
con clien es de 120 pa´ıses y es oda una e e encia a ni el in e nacional. De hecho, Alicia As´ın
ha is o econocida su ayec o ia con, en e o os, el P emio Rey Jaime I al emp endimien o en
2017 [14] y el segundo pues o Women Inno a o s Awa d en 2018 [11]. Desde luego, su eco ido
p o esional es una cla a mues a de que el man enimien o p edic i o no es solamen e pa a g andes
emp esas.
Po ´ul imo, y aunque escapa de los obje i os de es e TFG, me ece la pena menciona un ´e mino
elacionado con la aplicaci´on de machine lea ning a sis emas indus iales cuyo uso se a ex en-
diendo. Se a a de “man enimien o p esc ip i o” ( aducci´on lib e que he ealizado del concep o
p esc ip i e main enance). Es a clase de man enimien o supone un paso m´as en la in eg aci´on de
lo da os con espec o al man enimien o p edic i o. Su obje i o no es solamen e de ec a los allos
en la maquina ia an es de que es os se den, sino ambi´en p opone de o ma au om´a ica soluciones
pa a los mismos [20]. Es o pod ´ıa, incluso, e i a algunos de los allos solucionando un p oblema
´ecnico sin ninguna clase de in e enci´on humana.
1.2. Caso de es udio
En oc ub e del a˜no 2016 u o luga en Es ocolmo la decimoquin a edici´on del In e na ional
Symposium on In elligen Da a Analysis (de aho a en adelan e, IDA 2016)1. Es e cong eso in e -
nacional, que se celeb a anualmen e, e sa ace ca de la inco po aci´on de ´ecnicas de an´alisis de
da os a di e sos sec o es indus iales. Adem´as de o ece ponencias impa idas po acad´emicos y
p o esionales, mesas de deba e y espacios de ne wo king, en el IDA 2016 se p opuso un challenge
elacionado con el man enimien o p edic i o en o ma o compe i i o. As´ı, los pa icipan es in e e-
sados deb´ıan en ia sus modelos soluci´on al p oblema plan eado, ob eniendo p emios los mejo es
de en e ellos.
El p oblema p opues o en el challenge en cues i´on se cen aba en el man enimien o del sis e-
ma de ai e comp imido que poseen los camiones de Scania, emp esa sueca p opiedad del G upo
Volkswagen. Es a pa e de la mec´anica de los eh´ıculos es de g an impo ancia, pues o que gene a
el ai e a al a p esi´on que se emplea en a eas an impo an es como p oduci el mo imien o de las
zapa as que pe mi e la enada del eh´ıculo. El obje i o a pe segui e a p edeci , en base a una
se ie de lec u as ob enidas de los di e en es senso es que inco po an los camiones, si el sis ema de
ai e comp imido de cada cami´on conc e o iba a p esen a un allo o no an es de que es e se die a,
de o ma que uese posible pone le emedio.
Pa a log a es e in, Scania p opo cionaba dos da ase s de es uc u a simila . El p ime o de
ellos, al que nos e e i emos como aining se po es a des inado a en ena el modelo p edic i o,
cons aba de ejemplos de 60.000 camiones. El segundo, llamado es se , se i ´ıa pa a e alua el
endimien o del modelo dise˜nado y en enado a pa i del aining se . Con en´ıa da os co espon-
dien es a 16.000 eh´ıculos. En odos los casos, pa a cada uno de los camiones de ambos da ase s
se daba in o maci´on num´e ica de 170 a ibu os di e en es. Algunas pa icula idades impo an es
de es os da os son que, como se de alla ´a en secciones pos e io es, dichos a ibu os o a iables son
desconocidos (no sabemos qu´e es ´an midiendo den o del sis ema de ai e comp imido) y abundan
los e o es de medici´on, que igu an en los da ase s como NaN (No a Numbe ). Scania no indica
1Se puede consul a in o maci´on de allada ace ca del e en o en h ps://ida2016.blogs.ds .su.se/
7
cu´al es el mo i o pa a la apa ici´on de los alo es NaN, aunque pos e io men e se ha ´an hip´o esis de
sus posibles causas. De hecho, la o ma de lidia con es os alo es NaN se ´a uno de los p incipales
e os a los que se a a ´a de da espues a en es e abajo.
La e aluaci´on de c´omo de p eciso a la ho a de esol e el p oblema es un modelo se hac´ıa seg´un
la siguien e unci´on de cos e:
Cos e = 10 ×F P + 500 ×F N, (1)
donde FP indica el n´ume o de alsos posi i os (se de ec a un allo que en ealidad no es al) y FN se
e ie e al n´ume o de alsos nega i os (se ob ia un allo del sis ema de ai e comp imido). La di e en e
ponde aci´on pa a los ipos de e o es en la p edicci´on se jus i ica en base a las necesidades eales
de una emp esa como Scania: es p e e ible lle a a e isi´on un cami´on que en ealidad no iene
ning´un p oblema ( also posi i o) que no de ec a un allo que pod ´ıa desencadena un acciden e de
un cami´on en ci culaci´on ( also nega i o).
Es e T abajo de Fin de G ado u iliza ´a di e sos algo i mos de ap endizaje au om´a ico con e-
nien emen e adap ados al caso de es udio pa a op imiza la e iciencia de p edicci´on de allos. Po
an o, el obje i o a alcanza du an e es a memo ia se ´a minimiza en la medida de lo posible el
alo que oma la unci´on de cos e.
1.3. Es uc u a de la memo ia
El T abajo de Fin de G ado que ecoge es a memo ia consis i ´a en la esoluci´on de un p oblema
p ´ac ico con da os del mundo eal en ocado al man enimien o p edic i o. En la secci´on 1se ha hecho
una in oducci´on e´o ica y se ha desc i o con p ecisi´on cu´al se ´a el caso de es udio conc e o. En la
secci´on 2queda ´an es ablecidos los obje i os, an o gene ales como espec´ı icos, que se p e enden
alcanza . La secci´on 3explica ´a b e emen e las he amien as que se u iliza ´an en el abajo, que
se i ´a desa ollando en p o undidad a lo la go de la secci´on 4. Es e apa ado se ´a el m´as la go de
la memo ia, pues con iene an o un es udio de allado de los da os disponibles (secci´on 4.1) como
la cons ucci´on del modelo p edic i o que se p opond ´a como soluci´on del p oblema plan eado
(secciones 4.2 y4.3). A con inuaci´on, la secci´on 5mos a ´a los esul ados alcanzados median e la
implemen aci´on sob e el caso de es udio de es e modelo. Finalmen e, las conclusiones que se ex aen
del conjun o del abajo se expond ´an en la secci´on 6.
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4.2.2. Algo i mos de machine lea ning a emplea
Un apa ado cla e de es e T abajo de Fin de G ado son los algo i mos de machine lea ning que
se u iliza ´an sob e los da os. Una co ec a elecci´on de los mismos posibili a ´a que las p edicciones
ealizadas sean mejo es. As´ı, se han implemen ado es algo i mos di e en es que se encuen an
en e los m´as u ilizados en man enimien o p edic i o [7]:
Suppo Vec o Machines (SVM) [10]: m´e odo que consis e en la ep esen aci´on de los da os
en un espacio de la dimensi´on eque ida po el n´ume o de a iables dadas. A pa i de esa
ep esen aci´on y de una unci´on dis ancia, el algo i mo busca el hipe plano que mejo sepa a
los posi i os de los nega i os, es ableciendo dos egiones di e enciadas pa a la p edicci´on. Se ha
empleado es e algo i mo con dos unciones dis ancia dis in as: lineal y sigmoidea (que u iliza
la angen e hipe b´olica). Cabe des aca que es e m´e odo ue u ilizado po P a eenkuma [26]
pa a de ec a allos en cajas de cambios de eh´ıculos con una asa de acie o supe io al 90 %.
Logis ic Reg ession (LR) [32]: emplea una unci´on log´ıs ica de la o ma 1
1+e−X, siendo Xuna
combinaci´on lineal de las a iables del modelo. Los coe icien es que acompa˜nan a los alo es
de las a iables se ajus an con el aining se de mane a que la unci´on log´ıs ica a oje alo es
p ´oximos a 1 si hay un allo y a 0 en caso de que no lo haya. Es e m´e odo dio muy buenos
esul ados pa a la p edicci´on de allos en maquina ia indus ial en un a ´ıculo de Ba i a ano
[2], aunque con abundancia de alsos posi i os.
Random Fo es (RF) [3]: algo i mo que c ea un conjun o de ´a boles de decisi´on en p incipio
alea o ios sob e subconjun os de los da os elegidos ambi´en al aza . Se e al´ua su endimien o
de p edicci´on, de mane a que se an seleccionando los que dan mejo es esul ados. De es a
mane a, RF e i a el o e i ing. Como pun o nega i o, el ca ´ac e alea o io de los ´a boles
gene ados p oduce cie a disc epancia en e los esul ados ob enidos po es e m´e odo sob e
un mismo conjun o de da os. Es e m´e odo ue empleado pa a p edeci la apa ici´on de allos
en sis emas de e ige aci´on con un acie o del 89 % [17].
4.2.3. Resul ados con di e en es combinaciones
Sob e la base de lo an e io men e desc i o, se p oba on las 16 combinaciones posibles que apa-
ecen al hace pa es de m´e odos de sus i uci´on de los NaN y algo i mos de machine lea ning. As´ı,
se comple a on los e o es de medici´on an o del aining se como del es se de cada una de las
o mas disponibles (media, m´as ecuen e e i e a i e impu e con n= 10 y n= 20). A con inuaci´on,
se u iliz´o cada aining se esul an e como conjun o de da os a pa i del cual ajus a los di e en es
algo i mos (SVM lineal, SVM sigmoideo, LR y RF) y se ejecu a on es os algo i mos pa a p edeci
los allos exis en es en el es se . Finalmen e, se calcul´o el alo de la unci´on de cos e pa a cada
caso seg´un el n´ume o de acie os y desacie os de la p edicci´on. En la Figu a 4pueden obse a se
es os esul ados.
Hay dos elemen os que me ece la pena des aca en la igu a an e io . Po un lado, enemos que
el endimien o de los di e en es algo i mos es consis en e independien emen e del m´e odo de sus i-
uci´on de los NaNs elegido. As´ı, en odos los casos LR y RF p opo cionan esul ados no ablemen e
mejo es que SVM en sus dos modalidades, lo cual se e e lejado en un alo m´as bajo de la unci´on
de cos e esul an e de su aplicaci´on. Po o o lado, esul a llama i o que di e en es m´e odos de
sus i uci´on de los NaNs no pa ecen ene un e ec o no able sob e el endimien o de los algo i mos.
Es cie o que SVM con unci´on ke nel sigmoidea expe imen a una mejo a cuando se usa sob e da os
con i e a i e impu e , pe o sigue en odo caso dando alo es pa a la unci´on de cos e signi ica i a-
men e m´as ele ados que LR y RF. Po es e mo i o, y pa a aho a cos e compu acional, sal o que
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Figu a 4: Rep esen aci´on g ´a ica de los alo es omados po la unci´on de cos e cuando se ealiza
una p edicci´on aplicando cua o m´e odos de sus i uci´on de los alo es NaN y cua o algo i mos de
machine lea ning.
se diga lo con a io las siguien es p edicciones se ´an e ec uadas habiendo p e iamen e ellenado los
huecos de los da ase s con la media de los alo es num´e icos que oma cada a iable.
Hay o a comp obaci´on a ealiza seg´un lo discu ido en la secci´on 4.2.1. Se an a modi ica
los da ase s an o a˜nadiendo una columna ex a que cuen e el n´ume o de NaNs como eliminando
aquellas a iables que p esen en e o es en m´as de la mi ad de sus alo es. El e ec o sob e las
p edicciones se mues a a con inuaci´on en la Figu a 5.
Figu a 5: Rep esen aci´on g ´a ica de los alo es omados po la unci´on de cos e cuando se ealiza una
p edicci´on aplicando di e en es o mas de a amien o de los da os y cua o algo i mos de machine
lea ning. Las ab e ia u as del eje ho izon al signi ican lo siguien e: “DB” indica Da os B u os (sin
aplica nada), “EC” quie e deci Elimina Columnas con m´as de un 50 % de NaNs, “#NaNs” se
e ie e a a˜nadi una columna que cuen a el n´ume o de NaNs en cada cami´on y “EC+#NaNs” se
co esponde con las dos acciones an e io es simul ´aneas.
Apa en emen e, la ep esen aci´on g ´a ica an e io no mues a in o maci´on ele an e: cua o
ec as pa alelas al eje ho izon al. Pod ´ıa pensa se que las hip´o esis que es ´abamos a ando de
comp oba han esul ado allidas. En ealidad, as´ı es pa a la idea de con a el n´ume o de NaNs,
que no ha pe mi ido mejo a la p edicci´on con espec o a los da os b u os. Sin emba go, en lo que
espec a a habe eliminado un cie o n´ume o de columnas ocu e lo con a io. As´ı, enemos que, con
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menos a iables conside adas, la p edicci´on pe manece es able. Es o es una indicaci´on cla a de que
hay una can idad des acable de a iables edundan es o ce ca de se lo, lo cual es muy l´ogico eniendo
en cuen a que se es ´a e ec uando una clasi icaci´on bina ia ela i amen e simple y se dispone de 170
da os pa a cada caso. Vamos a comp oba has a qu´e pun o se man iene es e compo amien o, es
deci , a a emos de a e igua cu´an as columnas podemos elimina de los da ase s sin que es o
suponga un aumen o impo an e de la unci´on de cos e que se desea minimiza . El c i e io que
u iliza emos pa a elegi qu´e columnas se an eliminando p og esi amen e se ´a la can idad de alo es
NaN que apa ecen en las mismas en el aining se . Al aplica es o sob e los algo i mos que han
o ecido esul ados m´as p ome edo es se ob iene la siguien e g ´a ica:
Figu a 6: Rep esen aci´on g ´a ica de los alo es omados po la unci´on de cos e pa a LR y RF cuando
se an eliminando p og esi amen e columnas seg´un la can idad de alo es NaN que con engan. El
eje ho izon al es ´a in e ido ( a desde 50 has a 0) po que un alo umb al de po cen aje de NaNs
ole ado m´as peque˜no implica que se han eliminado m´as columnas an es de calcula la p edicci´on.
Los esul ados son incluso mejo es de lo espe ado. Se puede obse a que el alo de la unci´on
de cos e se man iene b´asicamen e cons an e has a que el umb al de NaNs pe mi idos se hace muy
peque˜no. El sal o se p oduce, an o pa a Logis ic Reg ession como pa a Random Fo es , cuando el
umb al ole ado es in e io al 2 %. Po an o, de aho a en adelan e, se elimina ´an de los da ase s
las a iables pa a las cuales el aining se p esen a m´as de un 2 % de alo es NaN. Es o supone
deshace se de 70 de esas a iables, o lo que es lo mismo, educi el olumen de da os con los que
abaja en m´as de un 40 %, lo cual aho a ca ga compu acional y iempos de espe a en la ejecuci´on
del c´odigo de o ma no able. En el conjun o de da os esul an e, que se u iliza ´a a pa i de aho a
como aining se , solamen e hay un 1,07 % de NaNs sob e el o al, lo cual supone una p opo ci´on
casi ocho eces meno que la que se en´ıa inicialmen e.
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4.3. A inado de modelo
Todo lo expues o has a es e momen o nos pe mi e conclui que el algo i mo que mejo unciona
pa a el p oblema que nos ocupa es Random Fo es . Adem´as de p opo ciona el alo m´as bajo
conseguido has a aho a pa a la unci´on de cos e, es supe io al es o de algo i mos en odos los
casos es udiados, sin impo a qu´e m´e odo de impu e se use sob e los NaNs o cu´an as a iables
sean eliminadas. Po ello, en la p esen e secci´on se analiza ´a en mayo de alle su compo amien o
y se p opond ´an mejo as pa a alcanza esul ados oda ´ıa mejo es.
4.3.1. Consis encia de Random Fo es
Tal y como se ha comen ado en el apa ado 4.2.2, el algo i mo Random Fo es iene un com-
ponen e alea o io en su cons ucci´on. Los ´a boles de decisi´on que se u ilizan son ob enidos a pa i
de dos p ocesos conocidos como bagging y ea u e andomness [31], consis en es en selecciona una
se ie de elemen os y a iables del da ase de o ma alea o ia. Es o se hace muchas eces con el
obje i o de que las p edicciones que ealicen pa a las clases de in e ´es no es ´en co elacionadas
en e s´ı y, po an o, su p edicci´on conjun a sea mejo que cada una de ellas po sepa ado. Al inal
del p oceso, se da como de ini i a la p edicci´on mayo i a ia en e los ´a boles.
Figu a 7: Ejemplo en el que la decisi´on de un algo i mo ipo Random Fo es se oma como la m´as
epe ida en e los ´a boles de decisi´on gene ados au om´a icamen e
Una consecuencia nega i a de es e m´e odo es que cada ez que se hace unciona da esul ados
lige amen e di e en es, mo i o po el cual en es a subsecci´on amos a es udia su compo amien o
pa a asegu a que las a iaciones no son de impo ancia.
Una de las en ajas de i adas de habe educido el n´ume o de a iables a conside a es que
se educe d ´as icamen e el cos e compu acional de i ado de calcula los alo es que sus i uyen a
los NaN. Es o pe mi e esca a el m´e odo KNN impu e desc i o en la secci´on 4.2.1, que no hab´ıa
llegado a implemen a se an e io men e. As´ı, aplicando RF sob e el es se se ob ienen los siguien es
alo es de la unci´on de cos e en unci´on del m´e odo de sus i uci´on de los NaN empleado, aho a
con odas las opciones disponibles:
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Impu e
Media M´as ecuen e II con n=20 KNN con n=8 KNN con n=20
F. de cos e 51190 54160 54710 51670 54680
Cuad o 1: Valo es de la unci´on de cos e pa a RF seg´un m´e odo de sus i uci´on de los NaNs empleado.
Se puede obse a que los esul ados son muy simila es en odos los casos, sob e odo eniendo
en cuen a el ca ´ac e po encialmen e alea o io de RF. En es e sen ido, los m´e odos m´as complejos
de sus i uci´on de los NaN no pa ecen ene un e ec o no able sob e la p edicci´on. Po es e mo i o,
se segui ´a usando la media.
Tambi´en se e ec ua on sob e el modelo a ias p uebas de c oss alida ion median e el empleo de
di e en es unciones sco e incluidas en Sciki -lea n. Es e m´e odo comp ueba si el algo i mo u ilizado
su e exceso de o e i ing, es deci , si las p edicciones que ealiza es ´an excesi amen e condicionadas
po los da os que ha usado en el p oceso de en enamien o. En nues o caso pa icula , se di idi´o el
aining se en seis pa es di e enciadas y se en en´o al algo i mo con cada una de ellas, compa ando
los esul ados ob enidos con el c oss al sco e es ´anda que u iliza po de ec o Sciki -lea n y es
unciones ex a: 1,balanced accu acy y la unci´on de cos e del p oblema. En es a abla se mues an
los esul ados ob enidos:
Resul ados c oss alida ion
Funci´on sco e Media Des iaci´on ´ıpica
Po de ec o 0,9937 0,0006
1 0,79 0,01
balanced accu acy 0,85 0,01
Funci´on de cos e 24300 2200
Cuad o 2: C oss alida ion con di e en es unciones sco e sob e RF di idiendo el aining se en
seis pa es.
Resul a e iden e que, en odos los casos, la des iaci´on ´ıpica es muy in e io a la media. Es o
nos da una idea de que, independien emen e de la m´e ica que usemos, los esul ados ob enidos a
pa i de RF sob e di e en es subconjun os de los da os de en enamien o iniciales son simila es.
En de ini i a, podemos conclui que el algo i mo es consis en e.
4.3.2. B´usqueda de pa ´ame os ´op imos
El paque e Sciki -lea n inco po a ambi´en unciones des inadas a adecua los pa ´ame os que
de inen el uncionamien o de los algo i mos de machine lea ning a p oblemas conc e os. La m´as
com´un, que usa emos en es a secci´on, es G idSea ch. Es a unci´on ealiza una b´usqueda exhaus i a
en e los pa ´ame os in oducidos pa a op imiza el endimien o de las p edicciones hechas po nues-
o modelo. El pun o nega i o de es a b´usqueda es que equie e de mucho iempo de compu aci´on,
sob e odo eniendo en cuen a el g an ama˜no de los da ase s con los que es amos abajando.
Po es e mo i o, ambi´en se dispone de la unci´on RandomizedSea ch, donde se deja ma gen a la
alea o iedad pa a explo a un de e minado espacio de pa ´ame os en un iempo conside ablemen e
meno . Se han implemen ado ambas unciones y se han combinado los esul ados ob enidos con
ambas.
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As´ı, se emple´o G idSea ch pa a e alua los pa ´ame os ´op imos a u iliza como ’c i e ion’,
’max ea u es’, ’class weigh ’ y’wa m s a ’. En los es p ime os casos, se ob u ie on los pa ´ame-
os po de ec o que ya inco po a Random Fo es . Pa a ’wa m s a ’, en cambio, no pa ece habe
g an di e encia en e u iliza False ( alo po de ec o) o T ue. Es a segunda opci´on pe mi i ´ıa
modi ica el n´ume o de ´a boles en cada i e aci´on del algo i mo pa iendo de los ya calculados
an e io men e. Pues o que amos a man ene 100 ´a boles en odos los casos, se deja en False.
Tambi´en se u iliz´o RandomizedSea ch sob e los pa ´ame os ’min samples spli ’, ’min samples lea ’,
’max lea nodes’ y’oob sco e’, cuya e aluaci´on median e G idSea ch lle a ´ıa mucho iempo. Los
esul ados ob enidos nos lle an a ajus a ’min samples spli ’=4, man eniendo el es o de pa ´ame-
os en sus alo es p ede e minados. Con es as modi icaciones, se consigue un alo pa a la unci´on
de cos e de 49180, que mejo a lige amen e lo ob enido en la abla 4.3.1.
Cabe des aca que la elecci´on de los pa ´ame os an e io es no es exhaus i a, an o po el uso de la
unci´on RandomizedSea ch como po el hecho de que esul a in iable p oba odas las combinaciones
posibles de pa ´ame os. De hecho, algunas de las ejecuciones lle adas a cabo necesi a on ce ca de una
ho a pa a comple a se. Se debe po an o en ende el p ocedicimien o desc i o en es a subsecci´on
como una se ie de comp obaciones y ajus es que pe mi en mejo a el esul ado inal, pe o no como
un an´alisis comple o de odas las posibilidades que o ece Random Fo es .
4.3.3. An´alisis cuali a i o
An es de hace los ´ul imos c´alculos de unci´on de cos e pa a el modelo, se a a a a de
desc ibi de mane a sucin a su compo amien o cuali a i o. Es o no esul a sencillo, en especial po
lo comen ado en lo que se e ie e a las a iables desconocidas. Como no sabemos qu´e mide cada uno
de los pa ´ame os es udiados, no podemos in e i cu´al es la mane a en la que a ec an al sis ema de
ai e comp imido de los camiones. Sin emba go, s´ı que podemos emplea el Random Fo es ob enido
y busca aquellas a iables que es ´an eniendo un mayo peso en la oma de decisiones. Pa a ello,
u ilizamos la unci´on ea u e impo ances , que asigna un alo en e 0 y 1 a cada a iable seg´un
su impo ancia ela i a pa a e ec ua una p edicci´on. Como disponemos de 100 a iables, es os
n´ume os se ´an peque˜nos, pues la suma de odos ellos se ´a la unidad. En el siguien e his og ama se
mues a la dis ibuci´on que sigue la impo ancia de las a iables.
Figu a 8: Dis ibuci´on de la impo ancia ela i a de las a iables mos ada en o ma de his og ama
con nue e clases de ampli ud 0,005 que an desde 0 has a 0,045.
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Muchas de las a iables ienen una impo ancia ela i amen e baja, lo cual puede e se en
el hecho de que las dos p ime as clases del his og ama an e io acumulen m´as de 70 a iables
di e en es. Sin emba go, las que m´as nos in e esan de ca a al an´alisis cuali a i o son p ecisamen e
aquellas si uadas en la cola de echa, pues o que es ´an siendo enidas en mayo conside aci´on po el
algo i mo a la ho a de oma decisiones espec o a si exis e un e o en el sis ema de ai e comp imido
de los camiones. Rep esen ando las 20 con mayo impo ancia, ob enemos:
Figu a 9: Impo ancia ela i a de las a iables del da ase pa a la p edicci´on. Se mues an solamen e
las 20 a iables m´as impo an es seg´un es e c i e io.
Cabe des aca que en la ep esen aci´on g ´a ica an e io es ´an p esen es muchas a iables que
o man pa e de los his og amas ep esen ados en la Figu a 3. As´ı, se pueden e ag 001, ag 002
y ag 003 ( odas en el op-12 de a iables m´as impo an es y pe enecien es a la egi´on cen al-
izquie da del p ime his og ama); cn 000 y cn 001 (zona izquie da del quin o his og ama); o ee 005
(zona cen al del ´ul imo his og ama). Si se ampl´ıa la selecci´on a las 30 a iables con mayo impo -
ancia ela i a ambi´en apa ecen ay 006, ee 007, ay 009, ay 008 y cn 004.
O a mane a muy isual de es udia el modelo p opues o es median e la ep esen aci´on g ´a ica
de uno de los ´a boles que con o man el bosque. Pa a ello, se ex ae del modelo median e el comando
expo g aph iz, que pe enece a la lib e ´ıa sklea n. ee, y se con ie e a o ma o PNG. Se ob iene
la siguien e imagen:
Figu a 10: ´
A bol de decisi´on del algo i mo Random Fo es .
De la Figu a 10 no es posible saca muchas conclusiones. Es o es consecuencia de la eno me
can idad de da os que es amos manejando, que hacen necesa ia la u ilizaci´on de ´a boles de decisi´on
muy ex ensos. Po ello, se ha ´a una segunda ep esen aci´on en la cual nos limi a emos a es udia
21
los ni eles supe io es del ´a bol an e io . Es os son algunos de los m´as impo an es den o del ´a bol,
ya que ealizan la clasi icaci´on que aplica sob e un mayo n´ume o de da os.
Figu a 11: ´
A bol de decisi´on de la Figu a 10 uncado a sus cua o ni eles supe io es.
Cabe des aca que el ´a bol an e io no es especialmen e sim´e ico. El alo de samples, que indica
cu´an os de los casos conside ados an hacia cada lado del ´a bol, es muy al o en odo momen o en
la ama si uada m´as a la izquie da, co espondien e con clasi icaciones T ue consecu i as. Adem´as,
ambi´en se puede ese˜na que algunas de las a iables que apa ecen en es e ´a bol uncado son las
p esen es en his og amas. As´ı, se iene cn 001 en el ni el 2 y en el ni el 3, a ias a iables de ipo
ay en los ni eles 3 y 4 y la a iable ee 008 en el ni el 4. Es o e ue za la hip´o esis de que los da os
ecogidos en los his og amas son de impo ancia pa a hace una co ec a p edicci´on de los allos en
el sis ema de ai e comp imido de los camiones de Scania.
4.3.4. Ajus e pa a el caso de es udio
Finalmen e, se a a a ina el modelo eniendo en cuen a el p oblema conc e o que se es ´a
a ando de soluciona . Has a aho a, en es a secci´on 4.3 se han lle ado a cabo comp obaciones
u ina ias gen´e icas y se han u ilizado unciones p opo cionadas po Sciki -lea n pa a mejo a los
esul ados. Sin emba go, no se ha enido en cuen a la pa icula unci´on de cos e con la que es amos
abajando. La ca ac e ´ıs ica m´as impo an e de la misma es que el cos e ma ginal asociado a un
also nega i o es 50 eces mayo que el que se o o ga a un also posi i o. En o as palab as, es
p e e ible come e 49 allos po da como posi i o un alo ealmen e nega i o que uno solo en el
cual la con usi´on se p oduzca en sen ido in e so. Es a asime ´ıa, impues a po Scania pa a que la
soluci´on al p oblema p opues o se adec´ue a sus necesidades log´ıs icas, a a se cla e pa a mejo a
el endimien o de nues o modelo.
Tal y como se ha desc i o an e io men e, Random Fo es unciona median e la cons ucci´on
sucesi a de ´a boles de decisi´on. En nues o algo i mo pa icula , el n´ume o de ´a boles que se
cons uyen es 100. Po ello, pa a cada p edicci´on en ealidad RF nos da una p obabilidad de que
nos encon emos an e un caso posi i o que se calcula simplemen e como P=N+
100 , donde N+
indica el n´ume o de ´a boles que a ojan un esul ado posi i o pa a una p edicci´on de e minada.
Po de ec o, el algo i mo hace una p edicci´on posi i a si P > 0,5 y nega i a en caso con a io. Es a
mane a de ope a , que es l´ogica pa a un caso gene al y busca ealiza p edicciones equilib adas,
esul a no ideal pa a el p oblema que nos ocupa. En ealidad, necesi amos se m´as “audaces” a la
ho a de hace una p edicci´on posi i a, pues los e o es que come amos juzgando un nega i o como
22
posi i o end ´an una penalizaci´on baja. As´ı, amos a p oba di e en es alo es umb al adem´as del
0,5 inicial pa a comp oba su e ec o sob e la unci´on de cos e.
Figu a 12: Rep esen aci´on g ´a ica de la unci´on de cos e pa a dis in os alo es umb al de la p oba-
bilidad a pa i de la cual se ha conside ado como posi i o un e en o. Pa a cada alo umb al se
han hecho diez p edicciones dis in as con el algo i mo Random Fo es ajus ado seg´un lo explicado
an e io men e. La igu a mues a en azul las medias de la unci´on de cos e pa a cada p obabilidad
in e poladas y en ojo las ba as de e o , omadas como la des iaci´on ´ıpica de los diez da os
disponibles pa a cada p obabilidad umb al. En es e caso las ba as de e o son di ´ıciles de ap ecia
debido a su peque˜no ama˜no en compa aci´on con la escala del eje e ical.
Tal y como se espe aba, la Figu a 12 mues a alo es mucho m´as al os pa a la unci´on de
cos e cuando el umb al pa a P es al o (se a o ecen los alsos nega i os en e a los alsos posi i os).
Noso os es amos in e esados en el lado con a io de la g ´a ica. En es a pa e izquie da se encuen a
una zona en la que la unci´on de cos e se minimiza. Vamos a epe i el mismo p oceso pa a m´as
alo es si uados en el in e alo [0,0,2] con el in de halla el alo de es e m´ınimo.
Figu a 13: Rep esen aci´on g ´a ica del alo que oma la unci´on de cos e pa a dis in os alo es
umb al de la p obabilidad. Se han ealizado los c´alculos de mane a comple amen e an´aloga a lo ex-
plicado pa a la Figu a 12, con la sal edad de que en es e caso los alo es umb al pa a la p obabilidad
son 21 pun os equiespaciados en e 0 y 0,2 (ambos inclusi e).
23
La ep esen aci´on g ´a ica an e io nos pe mi e si ua el m´ınimo de la unci´on de cos e pa a
P= 0,04. Es e alo a oja un esul ado medio pa a la unci´on de cos e de 10795, con una des iaci´on
´ıpica de ap oximadamen e 587. En la secci´on pos e io se discu i ´a en mayo de alle la alidez de
es e esul ado. S´ı que me ece la pena menciona espec o al esul ado ob enido el hecho de que
es muy pa ejo a odos los que p esen a la unci´on de cos e pa a alo es de P en el in e alo en e
0,02 y 0,06, has a el pun o de que sus ba as de e o ienen in e secci´on com´un. Po ello, a ´ı ulo
in o ma i o se p esen an en la siguien e abla los alo es ob enidos en dicho in e alo. En odos los
casos, se edondea a la unidad el esul ado ob enido.
Funci´on de cos e
Valo de P Media Des iaci´on ´ıpica
0,02 11355 724
0,03 10807 504
0,04 10795 587
0,05 10980 662
0,06 11038 605
Cuad o 3: Valo es que oma la unci´on de cos e pa a RF ajus ado seg´un el alo umb al de p oba-
bilidad a pa i del cual se da un e en o como posi i o.
Se ha se˜nalado en colo ama illo el mejo esul ado, que se oma como soluci´on de ini i a al
p oblema p opues o. Se puede e , eso s´ı, que la unci´on de cos e ob enida pa a alo es de P
p ´oximos es muy simila a es e esul ado.
24
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