ESTIMACION OPTIMA DE SEÑALES EN PRESENCIA DE RUIDO
M.J. Val de ama Bonne l. F. Vallejo Pé ez de la Blanca, J .M. Al a ez Pez
RESUMEN
En el p esen e abajo p ecisamos la noción ma emá ica de il o ealiza
ble, y p ocedemos a cons ui el il o óp imo pa a es imación de se iales pe 
u badas po un uido, analizando de alladamen e el caso en que el uido sea
blanco. Asimismo, in oducimos un il o subóp" imo pa a lle a a cabo al es
imación. SUMMARY
In he p esen pape we p ecise he ma hema ical no ion o a ealizable
il e , and we p ocede o cons uc he op imal il e o signal es ima ion un
de a noise pe u ba ion, analyzing in de ail he case in which he noise is whi
e. Likewise we in oduce a subop imal il e o ca y ou such es ima ion.
INTRODUCCION
Uno de los p oblemas más impo an es y, a su ez, de mayo in e és que
iene plan eado la Teo ía de la Comunicación es el de la ecepción de se iales
que han sido emi idas desde una cie a uen e, y que llegan al ecep o " icia
das" po la p esencia de un uido (en endiendo po uido no sólo una pe u 
bación sono a, sino ambién luminosa, c omá ica, e c.).
La esolución ísica de dicho p oblema se lle a a cabo median e la cons
ucción de il os o sis emas que pe mi an es ima , de la o ma más p ecisa
posible, la se ial inicial. el subs a o ma emá ico de dicha Teo ía lo cons i u
yen los p ocesos es ocás icos y, en pa icula , la noción de espec o de un p o
ceso.
En es e a iculo se a a p ocede al es udio ma emá ico de los il os óp i
mos pa a es imación de se iales en p esencia de uido. Pa a ello se u iliza án
los azonamien os eó icos desa ollados en abajos p e ios (5).
ANALISIS ESPECTRAL DE LOS PROCESOS ESTOCASTICOS
La noción ma emá ica de espec o de un p oceso es á ín imamen e ligada
al concep o ísico de il o lineal in a ian e en el iempo, po lo que es con e
nien e p ecisa es a de inición. Un il o es un disposi i o que ans o ma una
en ada x( ) en una salida y( ) según un mecanismo adecuado.
1.- Dp o. de Ma emá icas. Facul ad de Fa macia. G anada.
2.- Dp o. de Fisicoquímica Fa macéu ica y Técnicas Ins umen ales. Facul ad de Fa macia. G a
nada.
248 ARS PHARMACEUTICA
X( )--
....
.
I FILTRO ---- . y( )
Se dice que el il o es lineal si una unción de en ada
x( ) = a,x,( ) + a2x2( ), a"a2 E�
iene como espues a o unción de salida
y( ) = a
,Y ,( ) + a 2Y 2( ), a" a 2 �
siendo Y
,( ) e Y 2( ) las espues as de x ,( ) Y x 2( ) espec i amen e.
Un il o con en ada x( ) Y salida y( ) es in a ian e en el iempo si pa a
cualquie aslación eal"V del iempo, a una en ada x( +"G) le co esponde
una salida y( +17).
Exis en di e sas o mas de ep esen a analí icamen e un il o lineal eal
in a ian e en el iempo. Una de las más usuales consis e en el empleo de ope a
do es in eg ales de la o ma (3):
¡=I'
y( ) =
O h ( ,s)x(s)ds
donde h( ,s) se denomina unción impulso de espues a, Y ep esen a el alo
de la salida en el ins an e co espondien e a un impulso uni a io de en ada
en el ins an e s. E iden emen e, pa a que el sis ema sea ísicamen e ealizable,
ha de se h( ,s) = O pa a <s, ya que la salida no puede p ecede a la en ada.
Una aplicación impo an e de los sis emas lineales Y eales, in a ian es en
el iempo, consis e en es ima un mensaje que llega al sis ema, pe u bado po
un uido in e e ido . El esquema se ía el siguien e:
n( )
1 FILTRO LINEAL
a( )--+ G)
-
--+ ( )-----+ REAL INVARIANTE --,ii( )
EN EL TIEMPO
ARS PHARMACEUTlCA 249
donde
-a( ) es un mensaje (p oceso de segundo o den, cen ado y con inuo en m.c.)
con unción de co a ianza R .( ,s)
-n( ) es un uido (p oceso de segundo o den y cen ado) con unción de co
a ianza R n( ,s), e inco elado con a( )
- ( ) =a( ) +n( ) es el p oceso obse ado pa a O� �T, que llega al il o
-a( ) es la es imación de a( ) ob enida as il a ( ), y puede ep esen a se,
segúh lo an e io men e indicado, de la o ma
T .
a( ) = O h( ,s) (s)ds
A con inuación amos a es udia la o ma en que puede cons ui se ma e
má icamen e un il o de es e ipo, que sea óp imo en el sen ido de que la es i
mación a( ) del mensaje a( ) sea lo más iel posible a él, es deci la es imación
pun ual del e o en m.c.
Ep( ) = E[(a( ) - a( » 2] = E [(a( ) -
O h( ,s) (s)ds) 2]
sea mínima.
CONSTRUCCION DEL FILTRO LINEAL INVARIANTE OPTIMO
El p oblema de cons ui el il o óp imo, es deci , ob ene la unción im
pulso de espues a ho( ,s) que minimice E p( ), es á esuel o po Van T ees
(6) pa a un uido pe u bado cualquie a. En e ec o, se demues a, que una
condición necesa ia y su icien e pa a que E p( ) sea minimo es que se e i i
que
T
R. ( ,s) =lho ( , )R (s, )d , E[O,T], sE]0,7[ (1)
O
Obse emos que ho( ,O) y ho( , T) es án de inidos po con inuidad de la o ma
ho( ,O) = lim h ( ,s) ; ho( ,T) = lim h ( ,s)
s":O+ s .... T-
Pa a deduci la exp esión de la es imación pun ual del e o en m.c. E po( )
co espondien e al il o óp imo, bas a á ene en cuen a que a( ) y n( ) son
p ocesos inco elados, y po an o es E[a( ) (s)] = [a( )(a(s) + n(s))) =
E[a( )a(s)] + E[a( )n(s)] = R.( ,s)
De al o ma se ob iene
250 ARS PHARMACEUTICA
iT . J
Epo( ) = E[(a( ) -ho( ,s) (s)ds)(a(s)-,lio( , ) ( )d ») =
O T . T
'
0
= R.( ,s) - 21ho( ,s)R.( ,s)ds J Iho( ,s)ho( , )R (s, )dsd
O T 00 T .
= R.( ,s) -jho( ,s)R.( ,s)ds -lho( ,s)[R.( ,s) -
O T O
E-l ho( , )R (s, )d ds
O
Pe o al a a se de un il o óp imo se e i ica (1), y así
T
E po ( ) = R.( ,s) -L ho( ,s)R.( ,s)ds
O
Obse emos, no obs an e, que la condición (1) ca ac e iza la unción impulso
de espues a ho( ,s) del il o óp imo, pe o de o ma implíci a, es deci , de ma
ne a que no puede esc ibi se explíci amen e su exp esión.
En el caso conc e o de que el uido pe u bado sea blanco, la unción
impulso de espues a ho( ,s) sí puede esc ibi se explíci amen e en é minos de
las soluciones de una ecuación in eg al no ho no génea de F edholm, de segun
da especie, cuyo núcleo sea la co a ianza R.( ,s) del p oceso a( ), como a con
inuación amos a p oba .
Teo ema.- Sea un sis ema lineal eal, in a ian. e en el iempo, y con salida a( )
co espondien e a una en ada ( ) = a( ) + n( ), siendo a( ) y n( ) dos p oce
sos de segundo o den, cen ados, ep esen a i os de un mensaje y un uido
blanco epec i amen e. En onces, la unción impulso de espues a pa a que el
sis ema sea óp imo iene dada po
00/ I
(p
ho( ,s) = "I ,T ( )
/
n(S) (11)
dondeÁn y ¡o n( ), n W. son las soluciones de la ecuación in eg al
T
R.( ,s)' (s)ds =/0'(1) (I1I)
O
cuyo núcleo es la unción de co a ianza del p oceso[ a/ )/ [O,
T) J ' y siendo
Rn( ,s) = So 6 ( -s) la co a ianza del uido blanco.
Demos ación.- Obse emos que bajo ales hipó esis es
¿ ( ,s) = So 6"( -s) + R.( ,s)
po lo que la elación (1) puede exp esa se de la o ma
T
R.( ,s) = Soho( ,s) + .,6ho( , )R.(s, )d , [O,T), sé)O,T[
Asimimso, siÁn y I"n( ), n ', son las soluciones de la ecuación (I1I), pod e
mos esc ibi , en i ud del eo ema de Me ce (6):
00
Ra( ,s) =2: n �n( ) n(S)
"":.
ARS PHARMACEUTICA 251
Análogamen e, eniendo en cuen a que cualquie sis ema o ogonal com
ple o de unciones si e pa a descompone el uido blanco (5), podemos ex
p esa :
Po an o
00
Rn( ,s) = Sob( -S) = Solln( )' n(S)
. 00
i .. ,
R ( ,s) = R.( ,s) + Rn( ,s) =L(, n + So) ' n( ) ' 'n(S)
Po o a pa e, si ensayamos en la exp esión (1) una unción impulso de
espues a de la o ma -
ho( ,s) =1}n' 'n( )' >n(s), hnE.1 (IV)
n�1
se ob iene, sin más que ope a , lo siguien e:
--
""
-: -T
)
¡(
n � n( ) C n(s) = / hn(J;, + So) L' n( )' 'n(V) 'Pn(S)' n( )d
�
�, �
"= =)� hn(Á n + So)' n( )' 'n(S)
con lo cual '1> I
Á n = hn( Án + So)
y así, desepejando hn y sus i uyendo en (IV) se ob iene la exp esión (I1), y se
concluye.
Cons ucción de un Fil o Subóp imo.
La exp esión del impulso de espues a óp imo pa a el udio blanco esde
g an u ililidad eó ica y p ác ica en di e sos p oblemas de es imación y il a
do. Sin emba go, a e ec os de cómpu o, pa a que el el algo i mo sea sencillo,
el núme o de é minos de dicho desa ollo ha de se ini o.
Fo mann y Ande son (2) han desa ollado un p ocedimien o ap oxima
do pa a la ob ención de ho( ,s), consis en e en ob ene un desa ollo ini o que
con e ja hacia ho( ,s) cuando el núme o de é minos c ece inde inidamen e.
Pa a ello se conside a la descomp,isición ��ne al del p oceso[ a( )/ E[O,T]} (5)
[ a( ) = 2J' n( ) J ' n( )a( )d
n.' o
siendo la con e gencia de la se ie, uni o me y en m.c., y se denomina aN( ) a
d¡
'
c
h
o desa o Io
uncado en e
l
N-simo é mino, es decÍ
N
-
aN( ) = ¿' ' n( ) 'Pn( )a( )d
n,' o
Su unción de co a ianza se no a RN( ,S) y iene dada po
,.,
RN( ,S) = 'j/n l' n( ) ' ' n(S)
n.1

252 ARS PHARMACEUTICA
De iniendo, en onces, aN( ) median e un sis ema lineal N-dimensional en
iempo a iable, y u ilizando la e o ia del il ado de Kalman-Bucy (7) se ob
iene que el il o lineal eal in a ian e en el iempo, que es óp imo pa a aN( ),
iene po unción impulso de espues a T
1 T (-1 1 L T )-1
hN( ,S) = S �N ( ) "N +S- �N (s) �N (s)ds �N (s)
o o O
siendo (' ¡ ( ))
j
ÁI . O)
�N ( ) :. '" lI )
":>
,
O "''<;;
y asl, el es imado óp imo ealizable iene explici amen e dado po
T
aN( ) = hN( ,s) N(s)ds
o
siendo N( ) = aN( ) + n( )
Teo ema de ap oximación.- Bajo las hipó esis an e io es, hN( ,') con e ge uni
o memen e a ho( ,') cuando N iende a in ini o.
Demos ación.- Sabemos que
R.( ,s) = Soho( ,s) + J ho( , )Ra(s, )d
RN( ,S) = SohN( ,S) + J hN( , )RN(s, )d
Asi, no ando a la no ma de la con e gencia uni o me en el espacio de un-
ciones cuad ado-in eg ales U[O,T] (1), enemos
ho( ")-hN( "���R.( ,·)II(1 + ;"IIRN( ,·) !)
siendo � + ¡iN ( 1 + � �N) N-.. 00) O
y se concluye.
Conclusiones
o o .
o( N = l.� :JI R( ,')
-RN( ,)/!N:::.O
p N = max 1 RN( "
)
�
max
ll
R( ,·)/I
H(6,,,) é�o
.
1)
, € [O, � .
T as in oduci el concep o ma emá ico de il o lineal eal, in a ian e en
el iempo, pasamos a cons ui el il o óp imo pa a es imación de mensajes en
p esencia de uido.
ARS PHARMACEUTICA 253
El il o queda comple amen e ca ac e izado po su unción impulso de
espues a, que exp esa el alo de la salida co espondien e a un impulso uni
a io de en ada p oducido en un ins an e an e io .
Pa a un uido in e e ido cualquie a, la exp esión de la unción impulso
de espues a iene dada, de o ma implíci a, median e la elación (1). En el ca
so de uido blanco, es posible aisla el impulso de espues a, ob eniéndose en
o ma explíci a median e la elación (Il).
Finalmen e, con obje o de ob ene un algo i mo ísicamen e ealizable, se
cons uye un il o subóp imo con impulso de espues a dado po (V), que
ap oxima uni o memen e al il o óp imo. E iden emen e, el e o en m.c. co
me ido al es ima la señal median e el il o subóp imo es mayo que el come
ido al u iliza el il o óp imo; sin emba go, el cómpu o se simpli icaba no a
blemen e.
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