Estimación óptima de señales en presencia de ruido

ESTIMACION OPTIMA DE SEÑALES EN PRESENCIA DE RUIDO M.J. Val derrama Bonnet l. F. Vallejo Pérez de la Blanca, J .M. Alvarez Pez RESUMEN En el presente trabajo precisamos la noción matemática de filtro realiza ble, y procedemos a construir el filtro óptimo para estimación de sefiales per turbadas por un ruido, analizando detalladamente el caso en que el ruido sea blanco. Asimismo, introducimos un filtro subóp"timo para llevar a cabo tal es timación. SUMMARY In the present paper we precise the mathematical notion of a realizable filter, and we procede to construct the optimal filter for signal estimation un der a noise perturbation, analyzing in detail the case in which the noise is whi te. Likewise we introduce a suboptimal filter to carry out such estimation. INTRODUCCION Uno de los problemas más importantes y, a su vez, de mayor interés que tiene planteado la Teoría de la Comunicación es el de la recepción de sefiales que han sido emitidas desde una cierta fuente, y que llegan al receptor "vicia das" por la presencia de un ruido (entendiendo por ruido no sólo una pertur bación sonora, sino también luminosa, cromática, etc.). La resolución física de dicho problema se lleva a cabo mediante la cons trucción de filtros o sistemas que permitan estimar, de la forma más precisa posible, la sefial inicial. el substrato matemático de dicha Teoría lo constitu yen los procesos estocásticos y, en particular, la noción de espectro de un pro ceso. En este articulo se va a proceder al estudio matemático de los filtros ópti mos para estimación de sefiales en presencia de ruido. Para ello se utilizarán los razonamientos teóricos desarrollados en trabajos previos (5). ANALISIS ESPECTRAL DE LOS PROCESOS ESTOCASTICOS La noción matemática de espectro de un proceso está íntimamente ligada al concepto físico de filtro lineal invariante en el tiempo, por lo que es conve niente precisar esta definición. Un filtro es un dispositivo que transforma una entrada x(t) en una salida y(t) según un mecanismo adecuado. 1.- Dpto. de Matemáticas. Facultad de Farmacia. Granada. 2.- Dpto. de Fisicoquímica Farmacéutica y Técnicas Instrumentales. Facultad de Farmacia. Gra nada. 248 ARS PHARMACEUTICA X(t)-- .... . I FILTRO ----t. y(t) Se dice que el filtro es lineal si una función de entrada x(t) = a,x,(t) + a2x2(t), a"a2 E� tiene como respuesta o función de salida y(t) = a ,Y ,(t) + a 2Y 2(t), a" a 2 � siendo Y ,(t) e Y 2(t) las respuestas de x ,(t) Y x 2(t) respectivamente. Un filtro con entrada x(t) Y salida y(t) es invariante en el tiempo si para cualquier traslación real"V del tiempo, a una entrada x(t +"G) le corresponde una salida y(t +17). Existen diversas formas de representar analíticamente un filtro lineal real invariante en el tiempo. Una de las más usuales consiste en el empleo de opera dores integrales de la forma (3): ¡=I' y(t) = O h (t,s)x(s)ds donde h(t,s) se denomina función impulso de respuesta, Y representa el valor de la salida en el instante t correspondiente a un impulso unitario de entrada en el instante s. Evidentemente, para que el sistema sea físicamente realizable, ha de ser h(t,s) = O para t<s, ya que la salida no puede preceder a la entrada. Una aplicación importante de los sistemas lineales Y reales, invariantes en el tiempo, consiste en estimar un mensaje que llega al sistema, perturbado por un ruido interferidor. El esquema sería el siguiente: n(t) 1 FILTRO LINEAL a(t)--+ G) - --+r(t)-----+ REAL INVARIANTE --,ii(t) EN EL TIEMPO ARS PHARMACEUTlCA 249 donde -a(t) es un mensaje (proceso de segundo orden, centrado y continuo en m.c.) con función de covarianza R .(t,s) -n(t) es un ruido (proceso de segundo orden y centrado) con función de co varianza R n(t,s), e incorrelado con a(t) -r(t) =a(t) +n(t) es el proceso observado para O�t�T, que llega al filtro -a(t) es la estimación de a(t) obtenida tras filtrar r(t), y puede representarse, segúh lo anteriormente indicado, de la forma fT . a(t) = O h(t,s)r(s)ds A continuación vamos a estudiar la forma en que puede construirse mate máticamente un filtro de este tipo, que sea óptimo en el sentido de que la esti mación a(t) del mensaje a(t) sea lo más fiel posible a él, es decir la estimación puntual del error en m.c. Ep(t) = E[(a(t) - a(t» 2] = E [(a(t) -r O h(t,s)r(s)ds) 2] sea mínima. CONSTRUCCION DEL FILTRO LINEAL INVARIANTE OPTIMO El problema de construir el filtro óptimo, es decir, obtener la función im pulso de respuesta ho(t,s) que minimice E p(t), está resuelto por Van Trees (6) para un ruido perturbador cualquiera. En efecto, se demuestra, que una condición necesaria y suficiente para que E p(t) sea minimo es que se verifi que T R. (t,s) =lho (t,v)Rr(s,v)dv, tE[O,T], sE]0,7[ (1) O Observemos que ho(t,O) y ho(t, T) están definidos por continuidad de la forma ho(t,O) = lim h (t,s) ; ho(t,T) = lim h (t,s) s":O+ s .... TPara deducir la expresión de la estimación puntual del error en m.c. E po(t) correspondiente al filtro óptimo, bastará tener en cuenta que a(t) y n(t) son procesos incorrelados, y por tanto es E[a(t)r(s)] = [a(t)(a(s) + n(s))) = E[a(t)a(s)] + E[a(t)n(s)] = R.(t,s) De tal forma se obtiene 250 ARS PHARMACEUTICA iT . rJ Epo(t) = E[(a(t) -ho(t,s)r(s)ds)(a(s)-,lio(t,v)r(v)dv») = O T .tT ' 0 = R.(t,s) - 21ho(t,s)R.(t,s)ds tJ Iho(t,s)ho(t,v)Rr(s,v)dsdv O T 00 T . = R.(t,s) -jho(t,s)R.(t,s)ds -lho(t,s)[R.(t,s) - O T O E-l ho(t,v)Rr(s,v)dv ds O Pero al tratarse de un filtro óptimo se verifica (1), y así T E po (t) = R.(t,s) -L ho(t,s)R.(t,s)ds O Observemos, no obstante, que la condición (1) caracteriza la función impulso de respuesta ho(t,s) del filtro óptimo, pero de forma implícita, es decir, de ma nera que no puede escribirse explícitamente su expresión. En el caso concreto de que el ruido perturbador sea blanco, la función impulso de respuesta ho(t,s) sí puede escribirse explícitamente en términos de las soluciones de una ecuación integral no horno génea de Fredholm, de segun da especie, cuyo núcleo sea la covarianza R.(t,s) del proceso a(t), como a con tinuación vamos a probar. Teorema.- Sea un sistema lineal real, invarian.te en el tiempo, y con salida a(t) correspondiente a una entrada r(t) = a(t) + n(t), siendo a(t) y n(t) dos proce sos de segundo orden, centrados, representativos de un mensaje y un ruido blanco repectivamente. Entonces, la función impulso de respuesta para que el sistema sea óptimo viene dada por 00/ If (p ho(t,s) = "It,T (t) / n(S) (11) dondeÁn y ¡o n(t), n W. son las soluciones de la ecuación integral T fR.(t,s)'f(s)ds =/0'(1) (I1I) O cuyo núcleo es la función de covarianza del proceso[ a/t)/t t [O, T) J ' y siendo Rn(t,s) = So 6 (t-s) la covarianza del ruido blanco. Demostración.- Observemos que bajo tales hipótesis es ¿rr(t,s) = So 6"(t-s) + R.(t,s) por lo que la relación (1) puede expresarse de la forma T R.(t,s) = Soho(t,s) + .,6ho(t,v)R.(s,v)dv, tf[O,T), sé)O,T[ Asimimso, siÁn y I"n(t), nf', son las soluciones de la ecuación (I1I), podre mos escribir, en virtud del teorema de Mercer (6): 00 Ra(t,s) =2: fn �n(t) rn(S) "":.\ ARS PHARMACEUTICA 251 Análogamente, teniendo en cuenta que cualquier sistema ortogonal com pleto de funciones sirve para descomponer el ruido blanco (5), podemos ex presar: Por tanto 00 Rn(t,s) = Sob(t-S) = Solln(t)'fn(S) . 00 ti .. , Rr(t,s) = R.(t,s) + Rn(t,s) =L(,rn + So) 'fn(t) 'f'n(S) Por otra parte, si ensayamos en la exptesión (1) una función impulso de respuesta de la forma - ho(t,s) =1}n't'n(t)'f>n(s), hnE.1t(IV) n�1 se obtiene, sin más que operar, lo siguiente: -- "" -: -T ) ¡( n � n(t) Cfn(s) = / hn(J;, + So) L'fn(t)'f'n(V) 'Pn(S)'f n(v)dv � �, � "=\ =)� hn(Á n + So)'f n(t)'f'n(S) con lo cual '1> I Á n = hn( Án + So) y así, desepejando hn y sustituyendo en (IV) se obtiene la expresión (I1), y se concluye. Construcción de un Filtro Subóptimo. La expresión del impulso de respuesta óptimo para el rudio blanco esde gran utililidad teórica y práctica en diversos problemas de estimación y filtra do. Sin embargo, a efectos de cómputo, para que el el algoritmo sea sencillo, el número de términos de dicho desarrollo ha de ser finito. Fortmann y Anderson (2) han desarrollado un procedimiento aproxima do para la obtención de ho(t,s), consistente en obtener un desarrollo finito que converja hacia ho(t,s) cuando el número de términos crece indefinidamente. Para ello se considera la descomp,isición ��neral del proceso[ a(t)/tE[O,T]} (5) [ a(t) = 2J' n(t) J 'f n(t)a(t)dt n.' o siendo la convergencia de la serie, uniforme y en m.c., y se denomina aN(t) a d¡ ' c h o desarrrofIo t runcado en e l N-simo término, es decÍr N -r aN(t) = ¿'f' n(t) f 'Pn(t)a(t)dt n,' o Su función de covarianza se nota RN(t,S) y viene dada por ,., RN(t,S) = 'j/n l' n(t) 'f' n(S) n.1 252 ARS PHARMACEUTICA Definiendo, entonces, aN(t) mediante un sistema lineal N-dimensional en tiempo variable, y utilizando la teroria del filtrado de Kalman-Bucy (7) se ob tiene que el filtro lineal real invariante en el tiempo, que es óptimo para aN(t), tiene por función impulso de respuesta T 1 T (-1 1 L T )-1 hN(t,S) = S �N (t) "N +S- �N (s) �N (s)ds �N (s) o o O siendo ('f¡ (t)) j ÁI . O) �N ( t) :. f'" lIt) ":> , O "''<;; y asl, el estimador óptimo realizable viene explicitamente dado por T aN(t) = f hN(t,s)rN(s)ds o siendo rN(t) = aN(t) + n(t) Teorema de aproximación.- Bajo las hipótesis anteriores, hN(t,') converge uni formemente a ho(t,') cuando N tiende a infinito. Demostración.- Sabemos que R.(t,s) = Soho(t,s) + J ho(t,v)Ra(s,v)dv RN(t,S) = SohN(t,S) + J hN(t,v)RN(s,v)dv Asi, notando a la norma de la convergencia uniforme en el espacio de funciones cuadrado-integrales U[O,T] (1), tenemos ho(t")-hN(t"���R.(t,·)II(1 + ;"IIRN(t,·)f!) siendo � + ¡iN ( 1 + � �N) N-.. 00) O y se concluye. Conclusiones o o . o( N = l.�r:JI R(t,') -RN(t,)/!N:::.O p N = max 1\ RN(t" ) � max ll R(t,·)/I H(6,,,) t é�o . 1) , t € [O, � . Tras introducir el concepto matemático de filtro lineal real, invariante en el tiempo, pasamos a construir el filtro óptimo para estimación de mensajes en presencia de ruido. ARS PHARMACEUTICA 253 El filtro queda completamente caracterizado por su función impulso de respuesta, que expresa el valor de la salida correspondiente a un impulso uni tario de entrada producido en un instante anterior. Para un ruido interferidor cualquiera, la expresión de la función impulso de respuesta viene dada, de forma implícita, mediante la relación (1). En el ca so de ruido blanco, es posible aislar el impulso de respuesta, obteniéndose en forma explícita mediante la relación (Il). Finalmente, con objeto de obtener un algoritmo físicamente realizable, se construye un filtro subóptimo con impulso de respuesta dado por (V), que aproxima uniformemente al filtro óptimo. Evidentemente, el error en m.c. co metido al estimar la señal mediante el filtro subóptimo es mayor que el come tido al utilizar el filtro óptimo; sin embargo, el cómputo se simplificaba nota blemente. BIBLlOORAFIA 1. CHOQUET, 0.- Topologia. Ed. TORAY-MASSON, Barcelona (1971). 2. FORTMANN, T.E. & ANOERSON, B.O.O.- On the approximation of optimal realizable li near filters using a Karhunen-Loeve expansiono LE.E.E. Transactions on lnformation Theory, Vol. IT-19,4, 561-564. 3. PARZEN, E.- Procesos estocástiscos. Ed. Paraninfo, Madrid (1975). 4. RIESZ, F. & NAOY, B.S.- Le�ons d'analyse fonctionnelle. Ed. Oauthier-Villars, Paris (1968). 5. VALOERRAMA, M.J., TALAVERA, E.M. y ALVAREZ, J.M.- Aspectos operativos del movimiento browniano y del proceso de rudio blanco. Ars Pharmaceutica (en prensa). 6. VAN TREES, H.L.- Oetection, Estimation and Modulation Theory. Part l. Ed. John Wiley and Sons, New York (1968). 7 . WONO, E. & HAJEK, B.- Stochastic Processes in Engineering Systems. Springer-Verlag, New York (1985).