Publicacions Ma em`a iques, Vol 39 (1995), 173–185.
SOLUTIONS DE VISCOSITE DES
EQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI EN
DIMENSION INFINIE. CAS STATIONNAIRE
El Mahjoub El Haddad
Abs ac
We show he uniqueness and he exis ence o iscosi y solu ions
o Hamil on-Jacobi equa ions on a smoo h Banach spaces. The
ool used is he a ia ional p inciple o De ille, Gode oy and Zi-
zle . The exis ence is gi en by Pe on’s me hod. So we gi e a
compa aison asse ion o semicon inuous solu ions.
1. In oduc ion
Dans ce a ail nous ´e udie ons l’exis ence e l’unici ´e des “solu ions de
iscosi ´e” des ´equa ions de Hamil on-Jacobi en dimension infinie. Nous
consid´e ons le p obl`eme s a ionnai e:
(1.1) u(x)+H(x, Du(x)) = 0 su X,
o`uXes un espace de Banach, H(x, p) es une onc ion ´eelle uni-
o m´emen con inue, d´efinie su X×X∗,u(x) es la onc ion ´eelle in-
connue, Du d´esigne la d´e i ´ee au sens de F ´eche de upa appo `a x,
e X∗es l’espace dual de X.
Ce e no ion de solu ion a ´e ´e in odui e pa M. G. C andall e P. L. Li-
ons (c . [5]e [6]), o`u ils on donn´ela h´eo ie de base des ´equa ions
de Hamil on-Jacobi du p emie o d e en dimension finie en d´emon an
l’exis ence e l’unici ´e de solu ions de iscosi ´e de (1.1) a ec l’hypo h`ese
“Hcon inue su Rn×Rn”. Un an plus a d M. G. C andall, L. C. E ans
e P. L. Lions on e o mul´e e simplifi´e ce a ail (c . [4]). Ap `es,
plusieu s au eu s se son in ´e ess´es `a ce suje , en pa iculie H. Ishii ([16],
[17], [18], [20]), Ba les [1], I. Capuzzo Dolce a [3] e d’au es. Quelques
ann´ees plus a d, M. G. C andall e P. L. Lions on ema qu´e que ces
´equa ions peu en ˆe e ´e udi´ees aussi en dimension infinie. En ai ,
en dimension finie, pou compa e les sous-solu ions aux su -solu ions
174 E. M. El Haddad
de iscosi ´e, l’as uce ´e ai de maximise ap `es p´enalisa ion une onc-
ion semi-con inue sup´e ieu emen di e onc ion auxiliai e. Ainsi, ils on
suppos´e des hypo h`eses echniques d’uni o mi ´e su le Hamil onien, su
les sous-solu ions e les su -solu ions de iscosi ´e, ce qui a ´e ´e jus ifie
pa l’u ilisa ion des jeux diff´e en iels pou l’exis ence. Mais ils se son
in ´e ess´es aux espaces de Banach qui poss`eden la p op i´e ´e de Radon-
Nikodym e une onc ion bosse ´eguli`e e, ca su ces espaces, ilyale
p incipe a ia ionnel de S egall (c . [21]). Ce p incipe a ia ionnel leu
a pe mis de donne une s´e ie de a aux (c . [7]).
Plus ´ecemmen , R. De ille, G. Gode oy e V. Zizle on ou ´eun
p incipe a ia ionnel (c . [11]) qui a ´e endu celui de J. M. Bo wein e
D. P eiss (c . [2]) pa une d´emons a ion simple en u ilisan le h´eo `eme
de Bai e. Ce ´esul a leu a donn´e l’id´ee d’´e udie les ´equa ions de
Hamil on-Jacobi su des espaces plus as es que ceux de M. G. C an-
dall e P. L. Lions, c’es `a di e des espaces qui poss`eden une onc ion
bosse de classe C1e Lipschi zienne. Ils on ob enu `a la ois l’exis ence
e l’unici ´e des solu ions de iscosi ´e bo n´ees du p obl`eme s a ionnai e
de la o me:
u(x)+H(Du(x)) = (x) su X,
o`uXes un espace de Banach poss´edan une onc ion bosse de classe
C1e Lipschi zienne, H:X∗−→ Rune onc ion uni o m´emen con inue
e une onc ion ´eelle, bo n´ee e uni o m´emen con inue su X. Pou
l’exis ence, ils on u ilis´elam´e hode de Pe on in odui e pa H. Ishii
en 1987 (c . [19]). Ce e m´e hode es efficace si on a i e `a compa e
une sous-solu ion semi-con inue sup´e ieu emen `a une su -solu ion semi-
con inue in ´e ieu emen .
Voici main enan le plan de ce a ail: dans la p emi`e e sec ion, nous
appelons la d´efini ion de solu ion de iscosi ´e du p obl`eme (1.1), e nous
donnons quelques p ´eliminai es.
Dans la seconde sec ion, nous mon ons le ´esul a de compa aison
dans le cas des sous-solu ions majo ´ees lin´eai emen e des su -solu ions
mino ´ees lin´eai emen , ce qui es une ex ension `a la ois des a aux de
R. De ille, G. Gode oy e V. Zizle (c . [11]) `a un cas non “bo n´e”e
de ceux de M. G. C andall e P. L. Lions dans le cas s a ionnai e (c .
[7]), seulemen ici, le p obl`eme es consid´e ´e su l’espace ou en ie au
lieu d’un ou e quelconque. La d´emons a ion es indi ec e puisqu’au
d´ebu , on se place dans le cas o`u la su -solu ion de iscosi ´e es de
classe C1. Pou se amene `a ce cas, on se place su l’espace X×X
e nous u ilisons le ai qu’une onc ion uni o m´emen con inue es Lip-
schi zienne pou les g andes dis ances (lemme 3.4). Nous cons uisons
une su -solu ion de iscosi ´e d’un p obl`eme su X×Xde mˆeme o me
que (1.1) a ec un Hamil onien o m´e pa la diff´e ence de deux Hamil-
Solu ions de iscosi ´
e en dimension in inie 175
oniens su X×X∗. Ce e nou elle su -solu ion se a a bi ai emen
pe i e su la diagonale. Ainsi le ´esul a d´ecoule imm´edia emen du ai
que la diff´e ence d’une sous-solu ion e d’une su -solu ion de iscosi ´e su
X×Xdu p obl`eme (1.1) es une sous-solu ion de iscosi ´e du p obl`eme
cons ui su X×X. Nous donne ons aussi des exemples, pou mon-
e la n´ecessi ´e de l’hypo h`ese g´eom´e ique e de la con inui ´e uni o me
de l’Hamil onien. Dans la de ni`e e sec ion, nous e ons `a l’aide de la
m´e hode de Pe on pou les solu ions de iscosi ´e, commen le h´eo `eme
de compa aison (Th´eo `eme 3.1) peu donne l’exis ence des solu ions
de iscosi ´e e leu ´egula i ´e en onc ion du module de con inui ´ede
l’Hamil onien.
2. D´efini ions e p ´eliminai es
Dans ou ce a ail l’espace de Banach X ´e ifie la condi ion g´eom´e-
ique sui an e:
(A) Il exis e une onc ion b:X−→ R,de classe C1,
Lipschi zienne a ec suppo bo n´e e non ide.
Une elle onc ion es appel´ee onc ion bosse ´eguli`e e.
Ici dans la plupa des d´emons a ions nous u ilise ons le p incipe
a ia ionnel de R. De ille, G. Gode oy e V. Zizle don oici l’´enonc´e:
Th´eo `eme 2.1. Soien Xun espace de Banach, :X−→ Rune
onc ion semi-con inue in ´e ieu emen e bo n´ee in ´e ieu emen , elle que
D( )=∅e ε>0. Supposons qu’il exis e une onc ion bosse de classe
C1e Lipschi zienne su X. Alo s, il exis e une onc ion gde classe C1
su X, elle que:
a) +ga un minimum en un poin x0∈D( ),
b) g∞= sup{|g(x)|;x∈X}<εe g∞= sup{g(x)∞;x∈
X}<ε.
Rappelons que si l’espace de Banach Xadme une no me ´equi alen e
de classe C1su X {0}, alo s l’hypo h`ese (A) es ´e ifi´ee. L’in e se n’es
pas ai en g´en´e al (c . [15] pou un con e-exemple). Cependan on peu
p odui e une onc ion ´eguli`e e e homog`ene `a pa i d’une onc ion bosse
´eguli`e e. Ceci es donn´e pa la p oposi ion sui an e qui es d´emon ´ee
dans [12].
P oposi ion 2.2. Supposons que l’espace de Banach X ´e ifie l’hy-
po h`ese (A). Alo s il exis e une onc ion dLipshi zienne su X elle que:
(i) des de classe C1su X {0}
176 E. M. El Haddad
(ii) d( x)=| |d(x)pou x∈Xe ∈R
(iii) il exis e une cons an e K>0 elle que
x≤d(x)≤Kxpou x∈X.
Le p obl`eme (1.1) n’adme pas de solu ions classiques en g´en´e al ( oi
[12] pou des exemples). C’es pou quoi M. G. C andall e P. L. Li-
ons on in odui la no ion de solu ion de iscosi ´e en u lisan les sous-
diff´e en iels e les su -diff´e en iels de onc ions don oici un appel:
Pou :X−→ R∪{+∞} une onc ion semi-con inue in ´e ieu emen ,
on no e D( ) le domaine de :
D( ):={x∈X; (x)<+∞}
e on d´efini :
D− (x)={ϕ(x); ϕ:X−→ Rde classe C1
e −ϕa un minimum local en x}.
On di que es sous-diff´e en iable en xsi D− (x)=∅(pou x/∈D( ),
on d´efini D− (x)=∅). De mani`e e similai e, on peu d´efini le su -
diff´e en iel de en x:
D+ (x)={ϕ(x); ϕ:X−→ Rde classe C1
e −ϕa un maximum local en x}.
D´efini ion 2.3. Une onc ion u:X−→ Res une sous-solu ion de
iscosi ´e de (1.1) si:
i) ues semi-con inue sup´e ieu emen
ii) pou ou x∈Xe ou p∈D+u(x):
u(x)+H(x, p)≤0.
La onc ion ues une su -solu ion de iscosi ´e de (1.1) si:
iii) ues semi-con inue in ´e ieu emen
i ) pou ou x∈Xe ou p∈D−u(x):
u(x)+H(x, p)≥0.
Finalemen ues une solu ion de iscosi ´e de (1.1) si ues `ala
ois sous-solu ion e su -solu ion de iscosi ´e de (1.1).
Solu ions de iscosi ´
e en dimension in inie 177
Rema ques.
1) D’ap `es ce e d´efini ion, on oi que les solu ions de iscosi ´e son
seulemen con inues.
2) Si X ´e ifie l’hypo h`ese (A), alo s les solu ions classiques de (1.1)
son aussi des solu ions de iscosi ´e. En effe , si ues une solu ion
classique de (1.1), alo s ues de classe C1su X. E en u ilisan la
P oposi ion VIII.1.2 [12], on ou e D+u(x)=D−u(x)={Du(x)}pou
x∈X, ce qui mon e que ues solu ion de iscosi ´e de (1.1).
3) Consid´e ons dans Rla onc ion u(x)=|x|. Pou x=0,ona
(u(x))2−1 = 0, e il es acile de oi que D+u(0) = ∅e D−u(0) =
[−1,1],ce qui mon e que ues solu ion de iscosi ´edel’´equa ion 1 −
(u)2= 0, mais qu’elle n’es pas solu ion de iscosi ´ede(u)2−1=0.
On es donc con on ´e`a un p obl`eme non lin´eai e.
3. Unici ´e des solu ions de iscosi ´e
Dans ce e sec ion nous mon ons le h´eo `eme de compa aison sui an :
Th´eo `eme 3.1. Supposons que l’espace de Banach Xsa is ai l’hy-
po h`ese (A). Soien H1,H2deux Hamil oniens uni o m´emen con inues
su X×X∗. Soien u, deux onc ions ´eelles d´efinies su X. Supposons
qu’il exis e une cons an e C≥0 elle que u(x)≤C(1 + x)e (x)≥
−C(1 + x)pou x∈X.
Si ues une sous-solu ion de iscosi ´ede
(3.1) u+H1(x, Du)=0su X
e es une su -solu ion de iscosi ´ede
(3.2) +H2(x, D )=0su X,
alo s pou ou ε>0, il exis e Kε≥0 el que
u(x)− (y)≤(ε2+Kεx−y2)1
2+ sup
X×X∗
(H1−H2)
pou x,y∈X.
Rema ques.
1) Dans le Th´eo `eme 3.1, si on p end H1=H2=H, on ob ien pou
ou ε>0, u(x)− (x)≤εpou x∈X. Donc u≤ su X. Ceci mon e
que l’´equa ion (1.1) a une unique solu ion de iscosi ´e.

178 E. M. El Haddad
2) Soien Xun espace de Hilbe e H:X×Xun Hamil onien d´efini
pa H(x, p)=−x, p(,d´esigne le p odui scalai e su X).
Le Hamil onien Hes uni o m´emen con inu su les sous-ensembles
bo n´es de X2, mais il n’es pas uni o m´emen con inu su X2. Les onc-
ions u=0e (x)=xson des solu ions de iscosi ´e uni o m´emen
con inues de u+H(x, Du) = 0 su X. Ceci mon e que l’hypo h`ese
d’uni o me con inui ´e de le Hamil onien Hdans le Th´eo `eme 3.1 ne peu
ˆe e supp im´ee. D’au es condi ions, plus g´en´e ales (mais plus ech-
niques) on ´e ´e consid´ees pa M. G. C andall, P. L. Lions dans [7]e
H. Ishii dans [19]. Ces condi ions plus g´en´e ales son mo i ´es pa les
applica ions `a des p obl`emes de con ˆol op imal ou de jeux diff´e en iels.
3) Ici on mon e la n´ecessi ´e de la condi ion g´eom´e ique (A) dans le
Th´eo `eme 3.1. Pou cela, on consid`e e l’espace de Banach X=1(N)e
le Hamil onien H:1(N)×∞(N)−→ Rd´efini pa H(x, p)=−(p∞+
x1) + 1 qui es uni o m´emen con inu. Main enan , consid´e ons les
onc ions ´eelles ue d´efinies su 1(N) pa u(x)=1
2(x1+1) e
(x)=x1. On affi me que ues une sous-solu ion de iscosi ´ee es
une su -solu ion de iscosi ´e du p obl`eme u+H(x, Du)=0su 1(N).
En effe , pou x=(xn)∈1(N), D− (x)={p=(pn)∈∞(N); |pn|≤1
e pn= sign xnsi xn=0}. Donc si p∈D− (x), (x)+H(x, p)=
x1−p∞+1−x1=1−p∞≥0. Puisque x−→  x1es con exe
e nulle pa F ´eche diff´e en iable su 1(N), on a D+u(x)=∅pou
x∈1(N). Mais (x)−u(x)=x1−1
2; pa sui e <usu la boule uni ´e
de 1(N).
A an de donne la d´emons a ion de ce h´eo `eme, signalons le p o-
bl`eme ou e sui an :
P obl`eme. Comme dans le cas du second o d e (c . [14]e [10]),
es -il possible d’a oi un h´eo `eme de compa aison pou le p obl`eme de
Cauchy ´equi alen ?
Jusqu’a main enan , nous a ons une ´eponse posi i e dans le cas
“bo n´e” ( oi [13]). Ce ´esul a a ´e ´e mon ´e`a l’aide d’une o mule
du sous-diff´e en iel du p emie o d e de la somme de deux onc ions (c .
[9]).
Au d´ebu , nous commencons pa d´emon e un cas pa iculie du
Th´eo `eme 3.1:
P oposi ion 3.2. Soi Yun espace de Banach ´e ifian la condi-
ion (A). Soien G:Y×Y∗−→ Run Hamil onien uni o m´emen con-
inu, we wdeux onc ions ´eelles su Y, elles que w(y)≤K(1 + y)
e w(y)≥−K(1 + y)pou y∈Ye une cons an e K≥0.
Solu ions de iscosi ´
e en dimension in inie 179
Si wes une sous-solu ion de iscosi ´ede
(3.3) w+G(y,Dw)=0su Y
e wes une su -solu ion classique de (3.3), alo s
w≤wsu Y.
D´emons a ion: La p eu e es en deux ´e apes; dans la p emi`e e nous
mon ons que w−wes bo n´ee sup´e ieu emen su Y, e dans le deuxi`eme
nous mon ons le ´esul a d´esi ´e.
P emi`e e ´e ape: Pou mon e que w−wes bo n´ee sup´e ieu emen
su Y, nous au ons besoin du lemme sui an :
Lemme 3.3. Soi Yun espace de Banach ´e ifian la condi ion (A).
Soi :Y−→ R∪ {−∞} une onc ion semi-con inue sup´e ieu emen e
elle que (x)≤M(1 + x)pou x∈Ye une cons an e M≥0.Si
n’es pas bo n´ee sup´e ieu emen , alo s il exis e xm∈Y,pm∈D+ (xm)
els que:
(3.4) pmes bo n´ee lim
m→∞ (xm)=+∞.
D´emons a ion: Consid´e ons la onc ion am:R+−→ Rde classe C1,
d´efinie pa
am( )=0si0≤ ≤m
(( −m)2+1)1
2−1si >m.
Main enan consid´e ons la onc ion wm:Y−→ R,d´efinie pa :
wm(x)= (x)−Mam(d(x)),
o`udes la onc ion de Leduc donn´ee pa la P oposi ion 2.1. La onc-
ion wmes semi-con inue sup´e ieu emen . D’ap `es le choix de la onc-
ion am,w
mes bo n´ee sup´e ieu emen e le ai que n’es pas bo n´ee
sup´e ieu emen implique que sup{wm(x); x∈Y,m∈N}=+∞. Donc,
d’ap `es le Th´eo `eme 2.1 appliqu´e`a− , on peu ou e une onc ion
gm:Y−→ Rde classe C1 ´e ifian :
(1) gm∞= sup{|gm(x)|;x∈Y}<1
me g
m∞= sup{g
m(x);
x∈Y}<1
m.
(2) wm−gma ein son maximum en un poin xm∈Y.
180 E. M. El Haddad
D’o`u, si on pose pm=Ma
m(d(xm))d(xm)+g(xm), on a pm∈D+ (xm).
E comme ame dson Lipshi ziennes, il exis e une cons an e N≥
0 elle que pm≤Npou m≥1. De plus, (xm)≥wm(xm)≥
sup{wm(x); x∈Y}− 1
m, ce qui p ou e que lim
m→∞ (xm)=+∞.
Pou mon e la p emi`e e ´e ape, on suppose le con ai e, donc la onc-
ion =w−w, sa is ai les condi ions du Lemme 3.3; pa cons´equen
il exis e xm∈Y,pm∈D+(w−w)(xm), els que pmes bo n´ee
lim
m→∞(w−w)(xm)=+∞. Mais wes une onc ion de classe C1, ce qui
donne pm+w(xm)∈D+w(xm).
La onc ion wes une sous-solu ion de iscosi ´e de (3.3), donc
w(xm)+G(xm,p
m+w(xm)) ≤0.
La onc ion wes une su -solu ion de classique de (3.3), donc
w(xm)+G(xm,w(xm)) ≥0.
Pa cons´equen ,
w(xm)−w(xm)≤G(xm,w(xm)) −G(xm,p
m+w(xm)).
Comme Ges uni o m´emen con inue e pmes bo n´e, en u ilisan le
Lemme 3.4 ci dessous, on ob ien une con adic ion a ec (3.4).
Deuxi`eme ´e ape: Fixons ε>0. La onc ion w−wes semi-con inue
sup´e ieu emen e d’ap `es la p emi`e e ´e ape, elle es bo n´ee sup´e ieu e-
men . D’ap `es le Th´eo `eme 2.1 appliqu´e`a =−(w−w), il exis e x0∈Y
e p∈D+(w−w)(x0), els que p<εe (w−w)(x0)>sup(w−w)−ε.
La onc ion wes une sous-solu ion de iscosi ´e de (3.3), donc
w(x0)+G(x0,p+w(x0)) ≤0.
La onc ion wes une su -solu ion classique de (3.3), donc
w(x0)+G(x0,w(x0)) ≥0.
Pa cons´equen ,
sup(w−w)≤(w−w)(x0)+ε
≤G(x0,w(w0)) −G(x0,p+w(w0)) + ε.
De plus, p≤ε,e Ges uni o m´emen con inue, donc en aisan end e
ε e s z´e o, on ob ien :
sup
Y
(w−w)≤0.
Solu ions de iscosi ´
e en dimension in inie 181
D´emons a ion du Th´eo `eme 3.1: Soi ε>0 fixe. Consid´e ons l’espace
de Banach Y=X×X, qui sa is ai l’hypo h`ese (A) (il suffi de p en-
d e B(x, y)=b(x)b(y)). Le Hamil onien Gd´efini su Y×Y∗pa
G(x, y, p, q)=H1(x, p)−H2(y,−q) es uni o m´emen con inu. Nous
affi mons qu’il exis e 
Kε≥0 elle que la onc ion
w(x, y)=(ε2+
K2d(x−y)2)
1
2+ sup
X×X∗
(H1−H2)
es une su -solu ion classique de (3.3), o`u des la onc ion de Leduc
donn´ee pa la P oposi ion 2.1.
Pou ce e affi ma ion, nous a ons besoin du lemme sui an :
Lemme 3.4. Soien Xun espace de Banach e :X−→ Rune
onc ion uni o m´emen con inue. Alo s, pou ou ε>0, il exis e un
nomb e ´eel Kε>0 el que:
| (x)− (y)|≤ε+Kεx−y
pou x,y∈X.
D´emons a ion du Lemme 3.4: Soi ε>0fix´e. Comme es uni-
o m´emen con inue su X, il exis e δε>0 el que | (x)− (y)|≤εd`es
que x−y≤δε. Soien xe ydeux ´el´emen s de X.Six−y≤δε,
on a le ´esul a . Sinon il exis e n∈N∗ el que n+1>x−y
δ≥n. Soi
(xk)n+1
k=0 une sui e finie d’´el´emen s de X elle que:
xk=x+kδ
x−y(y−x) pou k=0,1,... ,n
xn+1 =y.
On a xk+1 −xk=δεpou k=0,1,... ,n−1; de plus
y−xn=(y−x)1−nδε
x−y,
e donc y−xn=y−x−nδε<δ
ε. Pa cons´equen ,
| (x)− (y)|=
n

k=0
(xk)− (xk+1)≤
n

k=0
| (xk)− (xk+1|
≤(n+1)ε=ε+nε
≤ε+ε
δε
x−y.