Solutions de viscosite des equations de Hamilton-Jacobi en dimension infinie. Cas stationnaire

Publicacions Ma em`a iques, Vol 39 (1995), 173–185. SOLUTIONS DE VISCOSITE DES EQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI EN DIMENSION INFINIE. CAS STATIONNAIRE El Mahjoub El Haddad Abs ac We show he uniqueness and he exis ence o iscosi y solu ions o Hamil on-Jacobi equa ions on a smoo h Banach spaces. The ool used is he a ia ional p inciple o De ille, Gode oy and Zi- zle . The exis ence is gi en by Pe on’s me hod. So we gi e a compa aison asse ion o semicon inuous solu ions. 1. In oduc ion Dans ce a ail nous ´e udie ons l’exis ence e l’unici ´e des “solu ions de iscosi ´e” des ´equa ions de Hamil on-Jacobi en dimension infinie. Nous consid´e ons le p obl`eme s a ionnai e: (1.1) u(x)+H(x, Du(x)) = 0 su X, o`uXes un espace de Banach, H(x, p) es une onc ion ´eelle uni- o m´emen con inue, d´efinie su X×X∗,u(x) es la onc ion ´eelle in- connue, Du d´esigne la d´e i ´ee au sens de F ´eche de upa appo `a x, e X∗es l’espace dual de X. Ce e no ion de solu ion a ´e ´e in odui e pa M. G. C andall e P. L. Li- ons (c . [5]e [6]), o`u ils on donn´ela h´eo ie de base des ´equa ions de Hamil on-Jacobi du p emie o d e en dimension finie en d´emon an l’exis ence e l’unici ´e de solu ions de iscosi ´e de (1.1) a ec l’hypo h`ese “Hcon inue su Rn×Rn”. Un an plus a d M. G. C andall, L. C. E ans e P. L. Lions on e o mul´e e simplifi´e ce a ail (c . [4]). Ap `es, plusieu s au eu s se son in ´e ess´es `a ce suje , en pa iculie H. Ishii ([16], [17], [18], [20]), Ba les [1], I. Capuzzo Dolce a [3] e d’au es. Quelques ann´ees plus a d, M. G. C andall e P. L. Lions on ema qu´e que ces ´equa ions peu en ˆe e ´e udi´ees aussi en dimension infinie. En ai , en dimension finie, pou compa e les sous-solu ions aux su -solu ions 174 E. M. El Haddad de iscosi ´e, l’as uce ´e ai de maximise ap `es p´enalisa ion une onc- ion semi-con inue sup´e ieu emen di e onc ion auxiliai e. Ainsi, ils on suppos´e des hypo h`eses echniques d’uni o mi ´e su le Hamil onien, su les sous-solu ions e les su -solu ions de iscosi ´e, ce qui a ´e ´e jus ifie pa l’u ilisa ion des jeux diff´e en iels pou l’exis ence. Mais ils se son in ´e ess´es aux espaces de Banach qui poss`eden la p op i´e ´e de Radon- Nikodym e une onc ion bosse ´eguli`e e, ca su ces espaces, ilyale p incipe a ia ionnel de S egall (c . [21]). Ce p incipe a ia ionnel leu a pe mis de donne une s´e ie de a aux (c . [7]). Plus ´ecemmen , R. De ille, G. Gode oy e V. Zizle on ou ´eun p incipe a ia ionnel (c . [11]) qui a ´e endu celui de J. M. Bo wein e D. P eiss (c . [2]) pa une d´emons a ion simple en u ilisan le h´eo `eme de Bai e. Ce ´esul a leu a donn´e l’id´ee d’´e udie les ´equa ions de Hamil on-Jacobi su des espaces plus as es que ceux de M. G. C an- dall e P. L. Lions, c’es `a di e des espaces qui poss`eden une onc ion bosse de classe C1e Lipschi zienne. Ils on ob enu `a la ois l’exis ence e l’unici ´e des solu ions de iscosi ´e bo n´ees du p obl`eme s a ionnai e de la o me: u(x)+H(Du(x)) = (x) su X, o`uXes un espace de Banach poss´edan une onc ion bosse de classe C1e Lipschi zienne, H:X∗−→ Rune onc ion uni o m´emen con inue e une onc ion ´eelle, bo n´ee e uni o m´emen con inue su X. Pou l’exis ence, ils on u ilis´elam´e hode de Pe on in odui e pa H. Ishii en 1987 (c . [19]). Ce e m´e hode es efficace si on a i e `a compa e une sous-solu ion semi-con inue sup´e ieu emen `a une su -solu ion semi- con inue in ´e ieu emen . Voici main enan le plan de ce a ail: dans la p emi`e e sec ion, nous appelons la d´efini ion de solu ion de iscosi ´e du p obl`eme (1.1), e nous donnons quelques p ´eliminai es. Dans la seconde sec ion, nous mon ons le ´esul a de compa aison dans le cas des sous-solu ions majo ´ees lin´eai emen e des su -solu ions mino ´ees lin´eai emen , ce qui es une ex ension `a la ois des a aux de R. De ille, G. Gode oy e V. Zizle (c . [11]) `a un cas non “bo n´e”e de ceux de M. G. C andall e P. L. Lions dans le cas s a ionnai e (c . [7]), seulemen ici, le p obl`eme es consid´e ´e su l’espace ou en ie au lieu d’un ou e quelconque. La d´emons a ion es indi ec e puisqu’au d´ebu , on se place dans le cas o`u la su -solu ion de iscosi ´e es de classe C1. Pou se amene `a ce cas, on se place su l’espace X×X e nous u ilisons le ai qu’une onc ion uni o m´emen con inue es Lip- schi zienne pou les g andes dis ances (lemme 3.4). Nous cons uisons une su -solu ion de iscosi ´e d’un p obl`eme su X×Xde mˆeme o me que (1.1) a ec un Hamil onien o m´e pa la diff´e ence de deux Hamil- Solu ions de iscosi ´ e en dimension in inie 175 oniens su X×X∗. Ce e nou elle su -solu ion se a a bi ai emen pe i e su la diagonale. Ainsi le ´esul a d´ecoule imm´edia emen du ai que la diff´e ence d’une sous-solu ion e d’une su -solu ion de iscosi ´e su X×Xdu p obl`eme (1.1) es une sous-solu ion de iscosi ´e du p obl`eme cons ui su X×X. Nous donne ons aussi des exemples, pou mon- e la n´ecessi ´e de l’hypo h`ese g´eom´e ique e de la con inui ´e uni o me de l’Hamil onien. Dans la de ni`e e sec ion, nous e ons `a l’aide de la m´e hode de Pe on pou les solu ions de iscosi ´e, commen le h´eo `eme de compa aison (Th´eo `eme 3.1) peu donne l’exis ence des solu ions de iscosi ´e e leu ´egula i ´e en onc ion du module de con inui ´ede l’Hamil onien. 2. D´efini ions e p ´eliminai es Dans ou ce a ail l’espace de Banach X ´e ifie la condi ion g´eom´e- ique sui an e: (A) Il exis e une onc ion b:X−→ R,de classe C1, Lipschi zienne a ec suppo bo n´e e non ide. Une elle onc ion es appel´ee onc ion bosse ´eguli`e e. Ici dans la plupa des d´emons a ions nous u ilise ons le p incipe a ia ionnel de R. De ille, G. Gode oy e V. Zizle don oici l’´enonc´e: Th´eo `eme 2.1. Soien Xun espace de Banach, :X−→ Rune onc ion semi-con inue in ´e ieu emen e bo n´ee in ´e ieu emen , elle que D( )=∅e ε>0. Supposons qu’il exis e une onc ion bosse de classe C1e Lipschi zienne su X. Alo s, il exis e une onc ion gde classe C1 su X, elle que: a) +ga un minimum en un poin x0∈D( ), b) g∞= sup{|g(x)|;x∈X}<εe g∞= sup{g(x)∞;x∈ X}<ε. Rappelons que si l’espace de Banach Xadme une no me ´equi alen e de classe C1su X {0}, alo s l’hypo h`ese (A) es ´e ifi´ee. L’in e se n’es pas ai en g´en´e al (c . [15] pou un con e-exemple). Cependan on peu p odui e une onc ion ´eguli`e e e homog`ene `a pa i d’une onc ion bosse ´eguli`e e. Ceci es donn´e pa la p oposi ion sui an e qui es d´emon ´ee dans [12]. P oposi ion 2.2. Supposons que l’espace de Banach X ´e ifie l’hy- po h`ese (A). Alo s il exis e une onc ion dLipshi zienne su X elle que: (i) des de classe C1su X {0} 176 E. M. El Haddad (ii) d( x)=| |d(x)pou x∈Xe ∈R (iii) il exis e une cons an e K>0 elle que x≤d(x)≤Kxpou x∈X. Le p obl`eme (1.1) n’adme pas de solu ions classiques en g´en´e al ( oi [12] pou des exemples). C’es pou quoi M. G. C andall e P. L. Li- ons on in odui la no ion de solu ion de iscosi ´e en u lisan les sous- diff´e en iels e les su -diff´e en iels de onc ions don oici un appel: Pou :X−→ R∪{+∞} une onc ion semi-con inue in ´e ieu emen , on no e D( ) le domaine de : D( ):={x∈X; (x)<+∞} e on d´efini : D− (x)={ϕ(x); ϕ:X−→ Rde classe C1 e −ϕa un minimum local en x}. On di que es sous-diff´e en iable en xsi D− (x)=∅(pou x/∈D( ), on d´efini D− (x)=∅). De mani`e e similai e, on peu d´efini le su - diff´e en iel de en x: D+ (x)={ϕ(x); ϕ:X−→ Rde classe C1 e −ϕa un maximum local en x}. D´efini ion 2.3. Une onc ion u:X−→ Res une sous-solu ion de iscosi ´e de (1.1) si: i) ues semi-con inue sup´e ieu emen ii) pou ou x∈Xe ou p∈D+u(x): u(x)+H(x, p)≤0. La onc ion ues une su -solu ion de iscosi ´e de (1.1) si: iii) ues semi-con inue in ´e ieu emen i ) pou ou x∈Xe ou p∈D−u(x): u(x)+H(x, p)≥0. Finalemen ues une solu ion de iscosi ´e de (1.1) si ues `ala ois sous-solu ion e su -solu ion de iscosi ´e de (1.1). Solu ions de iscosi ´ e en dimension in inie 177 Rema ques. 1) D’ap `es ce e d´efini ion, on oi que les solu ions de iscosi ´e son seulemen con inues. 2) Si X ´e ifie l’hypo h`ese (A), alo s les solu ions classiques de (1.1) son aussi des solu ions de iscosi ´e. En effe , si ues une solu ion classique de (1.1), alo s ues de classe C1su X. E en u ilisan la P oposi ion VIII.1.2 [12], on ou e D+u(x)=D−u(x)={Du(x)}pou x∈X, ce qui mon e que ues solu ion de iscosi ´e de (1.1). 3) Consid´e ons dans Rla onc ion u(x)=|x|. Pou x=0,ona (u(x))2−1 = 0, e il es acile de oi que D+u(0) = ∅e D−u(0) = [−1,1],ce qui mon e que ues solu ion de iscosi ´edel’´equa ion 1 − (u)2= 0, mais qu’elle n’es pas solu ion de iscosi ´ede(u)2−1=0. On es donc con on ´e`a un p obl`eme non lin´eai e. 3. Unici ´e des solu ions de iscosi ´e Dans ce e sec ion nous mon ons le h´eo `eme de compa aison sui an : Th´eo `eme 3.1. Supposons que l’espace de Banach Xsa is ai l’hy- po h`ese (A). Soien H1,H2deux Hamil oniens uni o m´emen con inues su X×X∗. Soien u, deux onc ions ´eelles d´efinies su X. Supposons qu’il exis e une cons an e C≥0 elle que u(x)≤C(1 + x)e (x)≥ −C(1 + x)pou x∈X. Si ues une sous-solu ion de iscosi ´ede (3.1) u+H1(x, Du)=0su X e es une su -solu ion de iscosi ´ede (3.2) +H2(x, D )=0su X, alo s pou ou ε>0, il exis e Kε≥0 el que u(x)− (y)≤(ε2+Kεx−y2)1 2+ sup X×X∗ (H1−H2) pou x,y∈X. Rema ques. 1) Dans le Th´eo `eme 3.1, si on p end H1=H2=H, on ob ien pou ou ε>0, u(x)− (x)≤εpou x∈X. Donc u≤ su X. Ceci mon e que l’´equa ion (1.1) a une unique solu ion de iscosi ´e. 178 E. M. El Haddad 2) Soien Xun espace de Hilbe e H:X×Xun Hamil onien d´efini pa H(x, p)=−x, p(,d´esigne le p odui scalai e su X). Le Hamil onien Hes uni o m´emen con inu su les sous-ensembles bo n´es de X2, mais il n’es pas uni o m´emen con inu su X2. Les onc- ions u=0e (x)=xson des solu ions de iscosi ´e uni o m´emen con inues de u+H(x, Du) = 0 su X. Ceci mon e que l’hypo h`ese d’uni o me con inui ´e de le Hamil onien Hdans le Th´eo `eme 3.1 ne peu ˆe e supp im´ee. D’au es condi ions, plus g´en´e ales (mais plus ech- niques) on ´e ´e consid´ees pa M. G. C andall, P. L. Lions dans [7]e H. Ishii dans [19]. Ces condi ions plus g´en´e ales son mo i ´es pa les applica ions `a des p obl`emes de con ˆol op imal ou de jeux diff´e en iels. 3) Ici on mon e la n´ecessi ´e de la condi ion g´eom´e ique (A) dans le Th´eo `eme 3.1. Pou cela, on consid`e e l’espace de Banach X=1(N)e le Hamil onien H:1(N)×∞(N)−→ Rd´efini pa H(x, p)=−(p∞+ x1) + 1 qui es uni o m´emen con inu. Main enan , consid´e ons les onc ions ´eelles ue d´efinies su 1(N) pa u(x)=1 2(x1+1) e (x)=x1. On affi me que ues une sous-solu ion de iscosi ´ee es une su -solu ion de iscosi ´e du p obl`eme u+H(x, Du)=0su 1(N). En effe , pou x=(xn)∈1(N), D− (x)={p=(pn)∈∞(N); |pn|≤1 e pn= sign xnsi xn=0}. Donc si p∈D− (x), (x)+H(x, p)= x1−p∞+1−x1=1−p∞≥0. Puisque x−→  x1es con exe e nulle pa F ´eche diff´e en iable su 1(N), on a D+u(x)=∅pou x∈1(N). Mais (x)−u(x)=x1−1 2; pa sui e <usu la boule uni ´e de 1(N). A an de donne la d´emons a ion de ce h´eo `eme, signalons le p o- bl`eme ou e sui an : P obl`eme. Comme dans le cas du second o d e (c . [14]e [10]), es -il possible d’a oi un h´eo `eme de compa aison pou le p obl`eme de Cauchy ´equi alen ? Jusqu’a main enan , nous a ons une ´eponse posi i e dans le cas “bo n´e” ( oi [13]). Ce ´esul a a ´e ´e mon ´e`a l’aide d’une o mule du sous-diff´e en iel du p emie o d e de la somme de deux onc ions (c . [9]). Au d´ebu , nous commencons pa d´emon e un cas pa iculie du Th´eo `eme 3.1: P oposi ion 3.2. Soi Yun espace de Banach ´e ifian la condi- ion (A). Soien G:Y×Y∗−→ Run Hamil onien uni o m´emen con- inu, we wdeux onc ions ´eelles su Y, elles que w(y)≤K(1 + y) e w(y)≥−K(1 + y)pou y∈Ye une cons an e K≥0. Solu ions de iscosi ´ e en dimension in inie 179 Si wes une sous-solu ion de iscosi ´ede (3.3) w+G(y,Dw)=0su Y e wes une su -solu ion classique de (3.3), alo s w≤wsu Y. D´emons a ion: La p eu e es en deux ´e apes; dans la p emi`e e nous mon ons que w−wes bo n´ee sup´e ieu emen su Y, e dans le deuxi`eme nous mon ons le ´esul a d´esi ´e. P emi`e e ´e ape: Pou mon e que w−wes bo n´ee sup´e ieu emen su Y, nous au ons besoin du lemme sui an : Lemme 3.3. Soi Yun espace de Banach ´e ifian la condi ion (A). Soi :Y−→ R∪ {−∞} une onc ion semi-con inue sup´e ieu emen e elle que (x)≤M(1 + x)pou x∈Ye une cons an e M≥0.Si n’es pas bo n´ee sup´e ieu emen , alo s il exis e xm∈Y,pm∈D+ (xm) els que: (3.4) pmes bo n´ee lim m→∞ (xm)=+∞. D´emons a ion: Consid´e ons la onc ion am:R+−→ Rde classe C1, d´efinie pa am( )=0si0≤ ≤m (( −m)2+1)1 2−1si >m. Main enan consid´e ons la onc ion wm:Y−→ R,d´efinie pa : wm(x)= (x)−Mam(d(x)), o`udes la onc ion de Leduc donn´ee pa la P oposi ion 2.1. La onc- ion wmes semi-con inue sup´e ieu emen . D’ap `es le choix de la onc- ion am,w mes bo n´ee sup´e ieu emen e le ai que n’es pas bo n´ee sup´e ieu emen implique que sup{wm(x); x∈Y,m∈N}=+∞. Donc, d’ap `es le Th´eo `eme 2.1 appliqu´e`a− , on peu ou e une onc ion gm:Y−→ Rde classe C1 ´e ifian : (1) gm∞= sup{|gm(x)|;x∈Y}<1 me g m∞= sup{g m(x); x∈Y}<1 m. (2) wm−gma ein son maximum en un poin xm∈Y. 180 E. M. El Haddad D’o`u, si on pose pm=Ma m(d(xm))d(xm)+g(xm), on a pm∈D+ (xm). E comme ame dson Lipshi ziennes, il exis e une cons an e N≥ 0 elle que pm≤Npou m≥1. De plus, (xm)≥wm(xm)≥ sup{wm(x); x∈Y}− 1 m, ce qui p ou e que lim m→∞ (xm)=+∞. Pou mon e la p emi`e e ´e ape, on suppose le con ai e, donc la onc- ion =w−w, sa is ai les condi ions du Lemme 3.3; pa cons´equen il exis e xm∈Y,pm∈D+(w−w)(xm), els que pmes bo n´ee lim m→∞(w−w)(xm)=+∞. Mais wes une onc ion de classe C1, ce qui donne pm+w(xm)∈D+w(xm). La onc ion wes une sous-solu ion de iscosi ´e de (3.3), donc w(xm)+G(xm,p m+w(xm)) ≤0. La onc ion wes une su -solu ion de classique de (3.3), donc w(xm)+G(xm,w(xm)) ≥0. Pa cons´equen , w(xm)−w(xm)≤G(xm,w(xm)) −G(xm,p m+w(xm)). Comme Ges uni o m´emen con inue e pmes bo n´e, en u ilisan le Lemme 3.4 ci dessous, on ob ien une con adic ion a ec (3.4). Deuxi`eme ´e ape: Fixons ε>0. La onc ion w−wes semi-con inue sup´e ieu emen e d’ap `es la p emi`e e ´e ape, elle es bo n´ee sup´e ieu e- men . D’ap `es le Th´eo `eme 2.1 appliqu´e`a =−(w−w), il exis e x0∈Y e p∈D+(w−w)(x0), els que p<εe (w−w)(x0)>sup(w−w)−ε. La onc ion wes une sous-solu ion de iscosi ´e de (3.3), donc w(x0)+G(x0,p+w(x0)) ≤0. La onc ion wes une su -solu ion classique de (3.3), donc w(x0)+G(x0,w(x0)) ≥0. Pa cons´equen , sup(w−w)≤(w−w)(x0)+ε ≤G(x0,w(w0)) −G(x0,p+w(w0)) + ε. De plus, p≤ε,e Ges uni o m´emen con inue, donc en aisan end e ε e s z´e o, on ob ien : sup Y (w−w)≤0. Solu ions de iscosi ´ e en dimension in inie 181 D´emons a ion du Th´eo `eme 3.1: Soi ε>0 fixe. Consid´e ons l’espace de Banach Y=X×X, qui sa is ai l’hypo h`ese (A) (il suffi de p en- d e B(x, y)=b(x)b(y)). Le Hamil onien Gd´efini su Y×Y∗pa G(x, y, p, q)=H1(x, p)−H2(y,−q) es uni o m´emen con inu. Nous affi mons qu’il exis e  Kε≥0 elle que la onc ion w(x, y)=(ε2+ K2d(x−y)2) 1 2+ sup X×X∗ (H1−H2) es une su -solu ion classique de (3.3), o`u des la onc ion de Leduc donn´ee pa la P oposi ion 2.1. Pou ce e affi ma ion, nous a ons besoin du lemme sui an : Lemme 3.4. Soien Xun espace de Banach e :X−→ Rune onc ion uni o m´emen con inue. Alo s, pou ou ε>0, il exis e un nomb e ´eel Kε>0 el que: | (x)− (y)|≤ε+Kεx−y pou x,y∈X. D´emons a ion du Lemme 3.4: Soi ε>0fix´e. Comme es uni- o m´emen con inue su X, il exis e δε>0 el que | (x)− (y)|≤εd`es que x−y≤δε. Soien xe ydeux ´el´emen s de X.Six−y≤δε, on a le ´esul a . Sinon il exis e n∈N∗ el que n+1>x−y δ≥n. Soi (xk)n+1 k=0 une sui e finie d’´el´emen s de X elle que: xk=x+kδ x−y(y−x) pou k=0,1,... ,n xn+1 =y. On a xk+1 −xk=δεpou k=0,1,... ,n−1; de plus y−xn=(y−x)1−nδε x−y, e donc y−xn=y−x−nδε<δ ε. Pa cons´equen , | (x)− (y)|= n  k=0 (xk)− (xk+1)≤ n  k=0 | (xk)− (xk+1| ≤(n+1)ε=ε+nε ≤ε+ε δε x−y.