Publicacions
Ma emá iques,
Vol
37
(1993),
3-17
.
A
bs ac
SUR
L'ORDRE
DE
LA
DISTRIBUTION
1/
SEYDOU
NOUROU
DIALLOET
PATRICKSARGOS
We
cons uc
a
solu ion
Tp
in
he
dis ibu ion
sense
o
equa ion
T
=
1
nea
a
c i ical
poin
o
and
we
gi e
an
uppe
bound
o
he
o de
o
Tp
in
e ms
o
's
New on
Polyhed on,
p o ided
is
non
degene a e
in
some
sense
.
The
o de
o
Tp
is
equal
o
his
uppe
bound
when
is
non-nega i e
.
1
.
In oduc ion
Soien
9
un
oisinage
ou e de
0
dans
R'
e
:
9
,
R
une
onc ion
analy ique
éelle,
é i ian
(0)
=
0
e
'(0)
=
0
.
Nous
nous
in é essons
á
1'o d e
des
dis ibu ions
T
dé inies
au
oisinage
de
0
qui son
solu ions
de
1'équa ion
:
(c
.
[1])
.
Nous
cons uisons
á
pa i
du
polyéd e
de
New on
de
un
en ie
p( )
>
0
qui
é i ie les
p op ié és
sui an es
:
Théo éme
1
.
Si
es
commode
[3]
e
non
dégéné ée pa
appo
á
son
polyéd e
de
New on
[5],
alo s
il
exis e
un
oisinage
V
de
0
e
une
dis-
ibu ion
T
E
D'(V)
solu ion
de
(1
.1)
e
don
l'o d e
es
<
max(1,
p(
))
.
Théo éme
2
.
Si
adme
un
minimum
s ic
en
0,
alo s ou e
solu-
ion
T
de
(1
.1)
dans
SZ
es
d'o d e
>
MM
.
La
mé hode
es
celle
de
[2],
e la
démons a ion
e ien
á
minimise
le
nomb e
des
in ég a ions
pa
pa ies
annoncées
dans
le
Lemme
3
.1
de
[2]
.
Les
dé ini ions
e la
cons uc ion
de p( )
son
données
au
Sec ion
2
.
La
démons a ion
du
Théo éme
1
ai
1'obje
du
Sec ion
3, e
celle
du
Théo éme
2,
plus
acile,
es
exposée
au
Sec ion
4
.
4

S
.
N
.
DIALLO,
P
.
SARGOS
2
.
P éliminai es
2
.1
.
No a ions
.
Les
le es
en
ca ac é es
g as désignen des
ec eu s
:
x
=
(xl,
"
.
.
,
xn),
x

=
x1
1
.
. .
xñ~,
1
=
(1,
. .
.
,
1),
e c
. . .
Les
ec eu s
de
la
base
canonique
de
Rn
son no és
el,
. . . .
e
n
.

La
ela ion
k
<_
l
signi ie
k
i
<
l
i
pou
i
=
1,
.
.
.
,
n
.
Pou
les
dé i ées
pa ielles,
on
pose
9
j
O(x)
=
á
(x)
e
a
l
0(x)
_
a¡1
. .
.,9'-«x)
=
ax!á
1
-i0~~
~
(x),
a ec ill=
11
+'
. .
+
ln
.
La
no a ion
:
(x)
«
g(x)
(x
E
X)
signi ie
qu'il
exis e
une
cons an e
C
>
0
elle
que
(x)
<
Cg(x)
pou
ou
x
E
X
.
n
Le
p odui
scalai e
dans
Rn
es
no é

AicYi
.
á-1
En in,
D(S2)
désigne
1'espace
des
onc ions
C°°
á
suppo
compac
con enu dans
9,
D'(Q)
es
1'espace
des
dis ibu ions
su 9,
e
D(Q)
es
1'idéal
de
D(Q)
engend é
pa
.
Le
symbole
"
á
la
in
d'un
énoncé
signi ie
que
la
démons a ion
ne
p ésen e
pas
de
di icul é
e
a
é é
omise
.
2
.2
.
Fonc ions
commodes,
onc ions
non
dégéné ées
.
E an
donnée
la
onc ion
:
9
~
l[8
analy ique
éelle
adme an
le
dé eloppemen
en
sé ie
en ié e
:
(x)
=

E
a
a x
21
,
on
appelle
polyéd e
aEN-
de
New on
de
1'ensemble
:
(2
.1)

~( )
=
con ({á
E
N
n
laa
,-~
0})
+
1[8+
(con (A)
=
en eloppe
con exe
de A,
ll8
+
=
[0,+oo[)
.
Pou chaque
ace e
T
de
J(
),
le
polynóme
quasi-homogéne
associé
á
T
es
:
(2
.2)

T(x)
_

aáxá
.
nE
,
nNn
Nous
di ons
que
es
non
dégené ee
(pa
appo
á
son
polyéd e
de
New on)
si,
pou
chaque
ace e
bo nee
T
del
;
(
),
T
ne
s'annule
pas
en
deho s
des
hype plans
de
coo données
.
Dans
ce
a icle,
1'hypo hése
"
non
dégéné ée"
se a
u ilisée
unique-
men
sous
la
o me
de
la
p op ié é
(3 .10)
du
Lemme
3
.3
.
Nous
di ons
que
es
commode
si
« )
posséde
un somme
su
chaque
axe
de
coo donnée
.
ON
THE
ORDER
OF
THE
DISTRIBUTION
1l

5
Lemme
2
.1
.
Si
es
commode,
alo s
J( )
posséde
exac emen
n
aces
non
bo nées
.
Celles-ci
son
con enuesdans
les
hype plans de
coo -
données
.
C'es
sous
la
o me
du
Lemme
2
.1
que
nous
u ilise ons
1'hypo hése
"
commode"
.
No ons
que
si
posséde
un
minimum
s ic
á
1'o igine,
alo s
es
commode
(pou
plus
de
dé ails,
oi
[6])
.
C'es
pou quoi
dans
ou e
la
sui e
on
suppose a
commode
.
2
.3
.
Une
cons uc ion
géo né ique
de
p( )
.
Soi
F
une
ace
compac e de
~( )
(une
elle
ace
exis e
si
es
com-
mode
e
si
(0)
=
0)
.
Soi
H
1'hype plan
a ine
engend é
pa
1'ensemble
F
-
1
.
Alo s
H
coupe
chacun
des
axes de
coo donnees
.
Soi
i
1'abscisse
du
poin
d'in e sec ion
de
H
a ec
le
ieme
axe
de
coo donnée
.
On
désigne
pa
M
i
(F)
1'en ie
immédia emen
supé ieu
á
i,
au emen
di
:
(2
.3)

pi(F)
en ie
e
pi(F)
-
1
<
i
<
pi(F)
.
(2
.4)
On
pose
alo s,
pou
ou e
ace
F
de J( )
:
Soi
en in
:
M(F)
=
max(0,
pi
(F),
. . . .
M,,
(F»

si
F
es
bo née
M(F)
=
0

si
F
es
non
bo née
.
(2
.5)

M( )
=
max
M(F),
le
maximum
po an
su
1'ensemble
des
aces
de
J(
)
.
2
.4
.
Une
ca ac é isa ion
de
p(F)
.
Soi
F
une
ace
de
I( )
)
.
Nqus
appelle ons co ec eu
associé
á
F
le
ec eu
AE
Nn,
A
7~
0,
o hogonal
á
F,
el
que
p
.g
.c
.d
.
P1,
. . .
.
>'n)
=
1
.
Si
F
es
bo née, ous
les
Ai son
non
nuls
.
Lemme
2
.2
.
Soien
F
une
ace bo née
de
~( ),
de
co ec eu
.,
e
a
unsomme
de
F
.
Alo s
p(F)
es
le
plus
pe i
en ie
K
el
qu'on
ai
:
(2
.6)

1
ENn
e 1l1=K==~»
(A,l)>(A,a-1)+1
.
S
.
N
.
DIALLO,
P
.
SARGOS
3
.
Démons a ion
du
Théo éme
1
Soi
:
9
->
R
une
onc ion
analy ique
éelle
commode
non
dégéné ée
.
Nous
allons
cons ui e
un
oisinage
V
de
0,
une
dis ibu ion
T
su V,
d'o d e
<
max(1,p( )),
é i ian
(1
.1),
ou,
ce qui
e ien
au méme,
e i ian _
(3
.1)

T(O)
_

0(x)
dx pou
ou
0
E
D(V)
.
(x)
La
mé hode
de
.
[2],
u ilisan
un
découpage
e
des
pa i ions
de
1'uni é,
s'applique
á
no e
p obléme
en e u
du
p incipe
sui an
:
Lemme
3
.1
.
Soi
(aá)áE, une
amille
inie
de
mesu es
su
2
elles
que
Eo
i
soi
égal
á
la
mesu e
de
Lebesgue
su
52
.
i
Considé ons
l'équa ion
:
(3
.2)

T
=
u¡
.
Supposons
que,
pou
chaque
i
E
I,
il
exis e
un
oisinage
Vi de 0
dans
Rn
e Ti
E D(Vi)
solu ion
de
(3
.2)
.
Alo s
T
=
ETi
es
une
solu ion
de
i
(1
.1)
dans
V
=n
i-
a
3
.1
.
Découpages
.
Un
découpage
d'une
pa ie
mesu able
A
de
Rn
es
une
pa i ion
inie
de A,
á
des
ensembles
négligeables
p és
(c
.
[2,
Sec ion
2
.1])
.
a)
Découpage
de
[-1,1]n
.
Pou
ou
e
=
(±1,
. . . ,
±1),
posons
:
D
E
=
{x
E
R
n
I0
<
Eixi
<
1,
i
=
1,
. .
.,n}
.
La
amille
(DE),
E
{-1,1}n
o me
un
découpage
de
[-1,
1]n
.
Pa
le
Lemme
3
.1,
nous
sommes
amenés
á
ésoud e,
pou
chaque E,
1'équa ion
:
(3
.3)

T(O)
=

0(x)
dx
pou
ou
0 E
D(V)
.
D
E
(x)
Pa
symé ie,
nous
nous
es eind ons
au
cas
oú
D
E
=
[0,1]n
.
ON
THE
ORDER
OF
THE
DISTRIBUTION
1l

7
b)
Découpage
de
[0,1]
n
pa
pola i é
.
Soi
main enan
A
le
découpage
de
[0
,
1]'
du
co ollai e
2
.1
de
[2]
.
Rappelons
que
chaque
S
E
A
es
de
la
o me
:
(3
.4)

S=
G-1( ),
oú
G
es
1'applica ion
:
]0,1]
n
Z
I[8+
(x1,
.
.
.
.
x
n
)
-`
(-109x1,
. .
.,-logxn)
e
oú
I'
es
un
cóne
n-dimensionnel
de
l[8+
dé ini
comme
sui
:
Il
exis e
n
aces
sécan es
F
i ,
. .
.,
F
n
de
~( ),
de
co ec eu s
(3
.5)

n
A1,
.
.
.
,
~
n
elles
que
P
=

R+Az
.
i=1
Nous
a ons
donc
amené
la
démons a ion
du
Théo éme
1
á
celle
du
:
Lemme
3
.2
.
Soi
S
dé ini
pa
(3
.4)
e (3
.5)
e
supposons
que
soi
compa ible a ec
S
(c
.
[2,
Sec ion
4])
.
Alo s
il
exis e
un
oisinage
V
de
0
e
T
E
D'(V),
d'o d e
<
max(1,
p
(F1),
. . . ,
i
(F
n
)),
els
qu'on
ai
:
(3
.6)

T(O)
=
1
0(x)
dx pou
ou
0
E
D(V)
.
s
(?)
Nous
ne
appelle ons
pas
la
dé ini ion
p écise
d'une
onc ion
compa -
ible
a ec
S, ca
cela
n'es
pas
nécessai e
pou
la
sui e
.
Néanmoins, pou
des
aisons
de
cla é,
nous
allons
di e,
en
quelques
mo s
e
de agon
imagée,
ce
don
il
s'agi ,
en
nous
es eignan
á
la
dimension
deux
.
Figu e
1

8

S
.
N
.
DIALLO,
P
.
SARGOS
Supposons,
comme
dans
la
Figu e
1
que
1'ensemble
Z
des
zé os
de
con ienne
une
cou be
ayan
un
con ac
éle é a ec
1'un
des
bo ds
de
S
.
Alo s
le
changemen
de
a iables
w,
déc i
au
Sec ion
3
.2
e¡-dessous,
ans o me
ce e
cou be
en
une
cou be
Z*
angen e
á
la d oi e
U
2
=
1
.
Ce
phénoméne
de
angen e
ausse
le
mécanisme
de
no e
démons a ion
(la
p op ié é
(3 .10)
ci-dessous
n'es
plus
é i iee)
.

'
Figu e
2
Supposons
main enan ,
comme
dans
la
Figu e
2,
que
1'ensemble
Z
soi
en
posi ion
géne ale
pa
appo
au bo d de
S
.
Alo s
le
phénoméne
de
angen e
n'appa a
plus
e
no e
démons a ion
peu
é e
appliquee
.
Le
bu
du
Sec ion
4
de
[2]
es
de mon e , g áce
au
Lemme
de Sa d,
que
la
non-compa ibili é
(cas
de
la
Figu e
1)
es
une
si ua ion
excep ionnelle
qui
dispa a
au
moyen
d'une
homo hé ie
su
les
a iables
x,
....
,
x
n
.
On
peu
donc
oujou s
suppose
que
es
compa ible
a ec
S
.
La
sui e
de
ce
pa ag aphe
es
consac ée
á
la
p eu e
du
Lemme
3
.2
.
3
.2
.
Le
changemen
de
a iables
w
associé
á
Fl,
. . . .
Fn
.
On
considé e
1'applica ion
:
w
.
[0'
1]n
,
[
0'
1]n
(3
.7)

All

1 21

A
n
l

Al
.

A2n

%Ann
wu
=
(u
1
u
2

. .
u
n
,
. . .
,
u
I
u
2

. .
un

)
don
la
es ic ion
á
]0,1]
n
peu
é e
dé inie
pa
le
diag amme
:
]0,1]
n
R+
(3
.8)

w

P
i
S
1
E`
ON
THE
ORDER
OF
THE
DISTRIBUTION
1l

9
n
oú p
es
Papplica ion

i, ¡
i-1
Les
p op ié és
de
la
onc ion
o
w,
é ablies
au
Sec ion
5
.3
de
[2],
peu en
é e
ésumées
ainsi
:
Lemme
3
.3
.
Soi
á
le
somme
commun
aux
aces
Fl,
.
.
. ,
F,,, e
soi
m
=
((A1,
á),
. . . ,
(An,
á))
.
Alo s
il
exis e
une
onc ion
analy ique
éelle
*
dé inie
dans
un
oisinage
W
de
w-1(0)
elle
qu'on
ai
les
deux
p o-
p ié és
sui an es
:
(3
.9)

o
w
(u)
=
un
*(u)
pou
ou
u
E
W
n
[0,1]
n
(3
.10)
Si
u
o
E
w
-1
(0),
l'un
au
moins
des
n
+
1
nomb es
:
*
(uo),
uo1(1
-
uo1)á1
*
(uo),-
.
.,uon(1
-
uon)an *(11o)
es
non
nul
.
D'ap és
(3
.8),
la
o mule
du
changemen
de
a iables
appliquée
á
Pin ég ale
(3
.6)
s'éc i
:
1
S
(x)dx

A
J[o,1ln
*(u)
-,-~du,
oil
on
a
posé
A=
idé
(A1,
.
.
.
.
An)
1
e
(3 .12)

i
=
(A¡,
j2
-
1)
+
1

(i
=
1,
. .
.,n)
.
3
.3
.
U ilisa ion
d'une
pa i ion
de
Puni é
.
A
Paide
de
la
o mule
(3
.11)
e
d'une
pa i ion
de
1'uni é,
on
peu
amene
la
démons a ion
du lemme 3
.2
au
ésul a
sui an
:
Lemme
3
.4
.
Pou
chaque
u
o
E
w-1(0),
il
exis e
un
oisinage
ou e
U
de
u
o
,
UC
W,
el
que,
pou
ou
pE
D(U),
la
o me
linéai e
L,
dé inie
su
D(Q)
pa
:
(3
.13)

L(O)
=

«wu)
P(u)
u-
du
~01~n

u
se
p olonge
en
une
dis ibu ion
T
E
D(S2)
d'o d e
<
max(1,
(F1),
. .
.
,
p(F
.))'

-
Le
Lemme
3
.2
se
dédui
du
Lemme
3
.4
comme
sui
:
Pou chaque
uE
w
-1
(0),
soi
U
comme
dans
le
Lemme
3
.4
.
Ex ayons
de
ce
ensemble
d'ou e s
un
ecou emen
in¡
U1,
.
.
.
.
UN
de
w
-1
(0)
e
10

S
.
N
.
DIALLO,
P
.
SARGOS
posons
W
1
=U
I
U
. . .
U
UN
.
Choisissons
un
oisinage
compac
W
0
de
w
-1
(0),
W
0
C
W
1
.
Cons uisons
une
amille
p1,
..
.'
p

,,
pi
E
D(Ui)
pou
i
=
1,
. . . .
N
elle
que
Epi
-
1
su
W
0
.
No ons
Li
(0)
1'in ég ale
(3
.13)
co espondan
á
pi
.
Pa
le
Lemme
5
.2
de
[2],
il
exis e
un
oisinage
V
de
.
0
dans
R'
el
que
W
-1
V
C
Wo
.
Si
0
E
D(V),
en
a
s
~!~dx
=
N
0

Li(0),
d'ap és
(3
.11)
.
On
conclu
a ec
le
Lemme
3
.1
.
i-1
Il
nous
es e
á
démon e
le
Lemme
3
.4
.
Nous
é udions'sépa émen
les
cas
*
(u0)
:~
0
e
*
(u0)
=
0
.
3
.4
.
Démons a ion
du
Lemme
3
.4
lo sque
*
(u0
)
:~
0
.
a)
Cons uc ion
de
U
.
Soien
11'ensemble
des
indices
i(1
<_
i
<
n)
els
que
u0i
=
0
e
i
0
0
.
On
suppose,
póu
allége
les
o mules,
que
I
=
{1,
. . . .
}(0
<
<
n)
.
Nous
choisissons
U
assez
pe i
pou
que
*
ne
s'amiule
pas
dans
U
e
el
que
:
(3
.14)

U
C]
-
oo,
l['
xRn
-
.
Si
=
0
(i
.e
.
si
I1
=
o),
alo s
la
o me
linéai e
L
dé inie
pa
(3
.13) es
une
mesu e
e
il
n'y
a
ien
á
démon e
(plus
géné alemen ,
en
peu
di e
que
les
a iables
u,+,,
. .
.,
u
n
ne jouen
aucun
óle)
.
Nous
suppose ons
done
>
1
.
Nous
allons
mon e
que
L
peu
é e
p olongée
en
une
dis ibu ion
su
9
d'o d e
<
max(p,(F
1
),
. . .
,
lí(F,))
.
b),
La
o mule
d'in ég a ion
pa
pa ies
.
E ablisons
les
con en ions
sui ánes
:
-
0
désigne
un
élémen
de
D(U),
non
nécessai eme i
le
méme
á
chaqué
éc i u e
.
-
B( )
désigne
une
onc ion
égale
á
a+b
log
(a,
b
éels),
non
nécessái e-
men
la
méme
á
chaque
éc i u e
.
Pa
exemple,
8j0(u)
s'éc i
enco e
0(u),
e
-
'
Y+
1
B( )
es
une
p imi i e
de
--
íB( )
pou
ou
-y
E
R
.
A ec
ces
no a ions,
la
o mule
d'in ég a ion
pa
pa ies
pa
appo
á
u
s
(1
<
s
<
)
adme
1'éc i u e
simpli iee
sui án e
:
Lemme
3
.5
.

Soien
1
E
Nn,
k1,
. . . ,
k,
.
E
N,
0
E
D(Q)
.
Alo s
on a
:
ON
THE
ORDER
OF
THE
DISTRIBUTION
1l

11
- i+(á
i
,I)+ki
ío,
a
l
&
U)e(u)
~~
ui

B¡(ui)~
du
=
2-1
a eebi
s
=0
si
i0se 6,=1
.
n
~

a +e,
O(WU)B(U)
x
J
0,111
- i+(ái,l+ei)+k
;
x

u
i

Bi
(ui)
)
du+
i-I
+

áLO(WU)0(U)

ui
.
i+(~i,l_)+ki+bis

~~
-

Bi(ui)
I
du
~°,11n

~-1
L'in ég a ion
pa
pa ies
es
ob enue
en
p enan
une
p imi i e
de
u
s
->
us
~s+(ás,i)+ksB(us)
e
en
dé i an
la
onc ion
u
s
-+
aLO(wu)9(u)
.
Les
e mes
au
bo d
son
nuls
d'ap és
(3
.14)
e
d'ap és
le
ésul a
sui an
:
Lemme
3
.6
.
Soien
0
E
D(Q)
e
l
E
Nn
.
Alo s
la
onc ion
:
es
bo née
dans
[0,1]n
.
ala+l
(p)
:,,~
0
.
Alo s,
dans
1'exp ession
3
.6,
e
a ec
lui
le
Lemme
3
.5
.
n
u
~
ac0(WU)

1l
i=1
7
-
T
u
n
Démons a ion du
Lemme
3
.6
:
Posons
0
=
o
.
Le
calcul
de
ál
(
0)
pa
la
o mule
de
Leibni z
nous
améne
á
la
majo a ion
:
n
a`
-
(WU)
«

ui¡-(~i'l)(U
E
[
0
,
1
]
n
)
.
i
1
=
1
1
Ec i ons
c9L
(x)
=

_
Cpx1,
e soi
_/3
el
que
Cp
=,A
0,
ce
qui
implique
OENn
On
a
_,Q
+
l
E
~(
),
donc,
pou
chaqué
i
=
1,
.
.
.,
n,
(Ai,
Q
+
l)
?
(Ai,
á)
?
i
.
on
peu
me e
en
ac eu
le
e me
(Fluíi-(>,i'1))
ce
qui
p ou e
le
Lemme