Sur l'ordre de la distribution 1/f

Publicacions Ma emá iques, Vol 37 (1993), 3-17 . A bs ac SUR L'ORDRE DE LA DISTRIBUTION 1/ SEYDOU NOUROU DIALLOET PATRICKSARGOS We cons uc a solu ion Tp in he dis ibu ion sense o equa ion T = 1 nea a c i ical poin o and we gi e an uppe bound o he o de o Tp in e ms o 's New on Polyhed on, p o ided is non degene a e in some sense . The o de o Tp is equal o his uppe bound when is non-nega i e . 1 . In oduc ion Soien 9 un oisinage ou e de 0 dans R' e : 9 , R une onc ion analy ique éelle, é i ian (0) = 0 e '(0) = 0 . Nous nous in é essons á 1'o d e des dis ibu ions T dé inies au oisinage de 0 qui son solu ions de 1'équa ion : (c . [1]) . Nous cons uisons á pa i du polyéd e de New on de un en ie p( ) > 0 qui é i ie les p op ié és sui an es : Théo éme 1 . Si es commode [3] e non dégéné ée pa appo á son polyéd e de New on [5], alo s il exis e un oisinage V de 0 e une dis- ibu ion T E D'(V) solu ion de (1 .1) e don l'o d e es < max(1, p( )) . Théo éme 2 . Si adme un minimum s ic en 0, alo s ou e solu- ion T de (1 .1) dans SZ es d'o d e > MM . La mé hode es celle de [2], e la démons a ion e ien á minimise le nomb e des in ég a ions pa pa ies annoncées dans le Lemme 3 .1 de [2] . Les dé ini ions e la cons uc ion de p( ) son données au Sec ion 2 . La démons a ion du Théo éme 1 ai 1'obje du Sec ion 3, e celle du Théo éme 2, plus acile, es exposée au Sec ion 4 . 4  S . N . DIALLO, P . SARGOS 2 . P éliminai es 2 .1 . No a ions . Les le es en ca ac é es g as désignen des ec eu s : x = (xl, " . . , xn), x  = x1 1 . . . xñ~, 1 = (1, . . . , 1), e c . . . Les ec eu s de la base canonique de Rn son no és el, . . . . e n .  La ela ion k <_ l signi ie k i < l i pou i = 1, . . . , n . Pou les dé i ées pa ielles, on pose 9 j O(x) = á (x) e a l 0(x) _ a¡1 . . .,9'-«x) = ax!á 1 -i0~~ ~ (x), a ec ill= 11 +' . . + ln . La no a ion : (x) « g(x) (x E X) signi ie qu'il exis e une cons an e C > 0 elle que (x) < Cg(x) pou ou x E X . n Le p odui scalai e dans Rn es no é  AicYi . á-1 En in, D(S2) désigne 1'espace des onc ions C°° á suppo compac con enu dans 9, D'(Q) es 1'espace des dis ibu ions su 9, e D(Q) es 1'idéal de D(Q) engend é pa . Le symbole " á la in d'un énoncé signi ie que la démons a ion ne p ésen e pas de di icul é e a é é omise . 2 .2 . Fonc ions commodes, onc ions non dégéné ées . E an donnée la onc ion : 9 ~ l[8 analy ique éelle adme an le dé eloppemen en sé ie en ié e : (x) =  E a a x 21 , on appelle polyéd e aEN- de New on de 1'ensemble : (2 .1)  ~( ) = con ({á E N n laa ,-~ 0}) + 1[8+ (con (A) = en eloppe con exe de A, ll8 + = [0,+oo[) . Pou chaque ace e T de J( ), le polynóme quasi-homogéne associé á T es : (2 .2)  T(x) _  aáxá . nE , nNn Nous di ons que es non dégené ee (pa appo á son polyéd e de New on) si, pou chaque ace e bo nee T del ; ( ), T ne s'annule pas en deho s des hype plans de coo données . Dans ce a icle, 1'hypo hése " non dégéné ée" se a u ilisée unique- men sous la o me de la p op ié é (3 .10) du Lemme 3 .3 . Nous di ons que es commode si « ) posséde un somme su chaque axe de coo donnée . ON THE ORDER OF THE DISTRIBUTION 1l  5 Lemme 2 .1 . Si es commode, alo s J( ) posséde exac emen n aces non bo nées . Celles-ci son con enuesdans les hype plans de coo - données . C'es sous la o me du Lemme 2 .1 que nous u ilise ons 1'hypo hése " commode" . No ons que si posséde un minimum s ic á 1'o igine, alo s es commode (pou plus de dé ails, oi [6]) . C'es pou quoi dans ou e la sui e on suppose a commode . 2 .3 . Une cons uc ion géo né ique de p( ) . Soi F une ace compac e de ~( ) (une elle ace exis e si es com- mode e si (0) = 0) . Soi H 1'hype plan a ine engend é pa 1'ensemble F - 1 . Alo s H coupe chacun des axes de coo donnees . Soi i 1'abscisse du poin d'in e sec ion de H a ec le ieme axe de coo donnée . On désigne pa M i (F) 1'en ie immédia emen supé ieu á i, au emen di : (2 .3)  pi(F) en ie e pi(F) - 1 < i < pi(F) . (2 .4) On pose alo s, pou ou e ace F de J( ) : Soi en in : M(F) = max(0, pi (F), . . . . M,, (F»  si F es bo née M(F) = 0  si F es non bo née . (2 .5)  M( ) = max M(F), le maximum po an su 1'ensemble des aces de J( ) . 2 .4 . Une ca ac é isa ion de p(F) . Soi F une ace de I( ) ) . Nqus appelle ons co ec eu associé á F le ec eu AE Nn, A 7~ 0, o hogonal á F, el que p .g .c .d . P1, . . . . >'n) = 1 . Si F es bo née, ous les Ai son non nuls . Lemme 2 .2 . Soien F une ace bo née de ~( ), de co ec eu ., e a unsomme de F . Alo s p(F) es le plus pe i en ie K el qu'on ai : (2 .6)  1 ENn e 1l1=K==~» (A,l)>(A,a-1)+1 . S . N . DIALLO, P . SARGOS 3 . Démons a ion du Théo éme 1 Soi : 9 -> R une onc ion analy ique éelle commode non dégéné ée . Nous allons cons ui e un oisinage V de 0, une dis ibu ion T su V, d'o d e < max(1,p( )), é i ian (1 .1), ou, ce qui e ien au méme, e i ian _ (3 .1)  T(O) _  0(x) dx pou ou 0 E D(V) . (x) La mé hode de . [2], u ilisan un découpage e des pa i ions de 1'uni é, s'applique á no e p obléme en e u du p incipe sui an : Lemme 3 .1 . Soi (aá)áE, une amille inie de mesu es su 2 elles que Eo i soi égal á la mesu e de Lebesgue su 52 . i Considé ons l'équa ion : (3 .2)  T = u¡ . Supposons que, pou chaque i E I, il exis e un oisinage Vi de 0 dans Rn e Ti E D(Vi) solu ion de (3 .2) . Alo s T = ETi es une solu ion de i (1 .1) dans V =n i- a 3 .1 . Découpages . Un découpage d'une pa ie mesu able A de Rn es une pa i ion inie de A, á des ensembles négligeables p és (c . [2, Sec ion 2 .1]) . a) Découpage de [-1,1]n . Pou ou e = (±1, . . . , ±1), posons : D E = {x E R n I0 < Eixi < 1, i = 1, . . .,n} . La amille (DE), E {-1,1}n o me un découpage de [-1, 1]n . Pa le Lemme 3 .1, nous sommes amenés á ésoud e, pou chaque E, 1'équa ion : (3 .3)  T(O) =  0(x) dx pou ou 0 E D(V) . D E (x) Pa symé ie, nous nous es eind ons au cas oú D E = [0,1]n . ON THE ORDER OF THE DISTRIBUTION 1l  7 b) Découpage de [0,1] n pa pola i é . Soi main enan A le découpage de [0 , 1]' du co ollai e 2 .1 de [2] . Rappelons que chaque S E A es de la o me : (3 .4)  S= G-1( ), oú G es 1'applica ion : ]0,1] n Z I[8+ (x1, . . . . x n ) -` (-109x1, . . .,-logxn) e oú I' es un cóne n-dimensionnel de l[8+ dé ini comme sui : Il exis e n aces sécan es F i , . . ., F n de ~( ), de co ec eu s (3 .5)  n A1, . . . , ~ n elles que P =  R+Az . i=1 Nous a ons donc amené la démons a ion du Théo éme 1 á celle du : Lemme 3 .2 . Soi S dé ini pa (3 .4) e (3 .5) e supposons que soi compa ible a ec S (c . [2, Sec ion 4]) . Alo s il exis e un oisinage V de 0 e T E D'(V), d'o d e < max(1, p (F1), . . . , i (F n )), els qu'on ai : (3 .6)  T(O) = 1 0(x) dx pou ou 0 E D(V) . s (?) Nous ne appelle ons pas la dé ini ion p écise d'une onc ion compa - ible a ec S, ca cela n'es pas nécessai e pou la sui e . Néanmoins, pou des aisons de cla é, nous allons di e, en quelques mo s e de agon imagée, ce don il s'agi , en nous es eignan á la dimension deux . Figu e 1 8  S . N . DIALLO, P . SARGOS Supposons, comme dans la Figu e 1 que 1'ensemble Z des zé os de con ienne une cou be ayan un con ac éle é a ec 1'un des bo ds de S . Alo s le changemen de a iables w, déc i au Sec ion 3 .2 e¡-dessous, ans o me ce e cou be en une cou be Z* angen e á la d oi e U 2 = 1 . Ce phénoméne de angen e ausse le mécanisme de no e démons a ion (la p op ié é (3 .10) ci-dessous n'es plus é i iee) .  ' Figu e 2 Supposons main enan , comme dans la Figu e 2, que 1'ensemble Z soi en posi ion géne ale pa appo au bo d de S . Alo s le phénoméne de angen e n'appa a plus e no e démons a ion peu é e appliquee . Le bu du Sec ion 4 de [2] es de mon e , g áce au Lemme de Sa d, que la non-compa ibili é (cas de la Figu e 1) es une si ua ion excep ionnelle qui dispa a au moyen d'une homo hé ie su les a iables x, .... , x n . On peu donc oujou s suppose que es compa ible a ec S . La sui e de ce pa ag aphe es consac ée á la p eu e du Lemme 3 .2 . 3 .2 . Le changemen de a iables w associé á Fl, . . . . Fn . On considé e 1'applica ion : w . [0' 1]n , [ 0' 1]n (3 .7)  All  1 21  A n l  Al .  A2n  %Ann wu = (u 1 u 2  . . u n , . . . , u I u 2  . . un  ) don la es ic ion á ]0,1] n peu é e dé inie pa le diag amme : ]0,1] n R+ (3 .8)  w  P i S 1 E` ON THE ORDER OF THE DISTRIBUTION 1l  9 n oú p es Papplica ion  i, ¡ i-1 Les p op ié és de la onc ion o w, é ablies au Sec ion 5 .3 de [2], peu en é e ésumées ainsi : Lemme 3 .3 . Soi á le somme commun aux aces Fl, . . . , F,,, e soi m = ((A1, á), . . . , (An, á)) . Alo s il exis e une onc ion analy ique éelle * dé inie dans un oisinage W de w-1(0) elle qu'on ai les deux p o- p ié és sui an es : (3 .9)  o w (u) = un *(u) pou ou u E W n [0,1] n (3 .10) Si u o E w -1 (0), l'un au moins des n + 1 nomb es : * (uo), uo1(1 - uo1)á1 * (uo),- . .,uon(1 - uon)an *(11o) es non nul . D'ap és (3 .8), la o mule du changemen de a iables appliquée á Pin ég ale (3 .6) s'éc i : 1 S (x)dx  A J[o,1ln *(u) -,-~du, oil on a posé A= idé (A1, . . . . An) 1 e (3 .12)  i = (A¡, j2 - 1) + 1  (i = 1, . . .,n) . 3 .3 . U ilisa ion d'une pa i ion de Puni é . A Paide de la o mule (3 .11) e d'une pa i ion de 1'uni é, on peu amene la démons a ion du lemme 3 .2 au ésul a sui an : Lemme 3 .4 . Pou chaque u o E w-1(0), il exis e un oisinage ou e U de u o , UC W, el que, pou ou pE D(U), la o me linéai e L, dé inie su D(Q) pa : (3 .13)  L(O) =  «wu) P(u) u- du ~01~n  u se p olonge en une dis ibu ion T E D(S2) d'o d e < max(1, (F1), . . . , p(F .))'  - Le Lemme 3 .2 se dédui du Lemme 3 .4 comme sui : Pou chaque uE w -1 (0), soi U comme dans le Lemme 3 .4 . Ex ayons de ce ensemble d'ou e s un ecou emen in¡ U1, . . . . UN de w -1 (0) e 10  S . N . DIALLO, P . SARGOS posons W 1 =U I U . . . U UN . Choisissons un oisinage compac W 0 de w -1 (0), W 0 C W 1 . Cons uisons une amille p1, .. .' p  ,, pi E D(Ui) pou i = 1, . . . . N elle que Epi - 1 su W 0 . No ons Li (0) 1'in ég ale (3 .13) co espondan á pi . Pa le Lemme 5 .2 de [2], il exis e un oisinage V de . 0 dans R' el que W -1 V C Wo . Si 0 E D(V), en a s ~!~dx = N 0  Li(0), d'ap és (3 .11) . On conclu a ec le Lemme 3 .1 . i-1 Il nous es e á démon e le Lemme 3 .4 . Nous é udions'sépa émen les cas * (u0) :~ 0 e * (u0) = 0 . 3 .4 . Démons a ion du Lemme 3 .4 lo sque * (u0 ) :~ 0 . a) Cons uc ion de U . Soien 11'ensemble des indices i(1 <_ i < n) els que u0i = 0 e i 0 0 . On suppose, póu allége les o mules, que I = {1, . . . . }(0 < < n) . Nous choisissons U assez pe i pou que * ne s'amiule pas dans U e el que : (3 .14)  U C] - oo, l[' xRn - . Si = 0 (i .e . si I1 = o), alo s la o me linéai e L dé inie pa (3 .13) es une mesu e e il n'y a ien á démon e (plus géné alemen , en peu di e que les a iables u,+,, . . ., u n ne jouen aucun óle) . Nous suppose ons done > 1 . Nous allons mon e que L peu é e p olongée en une dis ibu ion su 9 d'o d e < max(p,(F 1 ), . . . , lí(F,)) . b), La o mule d'in ég a ion pa pa ies . E ablisons les con en ions sui ánes : - 0 désigne un élémen de D(U), non nécessai eme i le méme á chaqué éc i u e . - B( ) désigne une onc ion égale á a+b log (a, b éels), non nécessái e- men la méme á chaque éc i u e . Pa exemple, 8j0(u) s'éc i enco e 0(u), e - ' Y+ 1 B( ) es une p imi i e de -- íB( ) pou ou -y E R . A ec ces no a ions, la o mule d'in ég a ion pa pa ies pa appo á u s (1 < s < ) adme 1'éc i u e simpli iee sui án e : Lemme 3 .5 .  Soien 1 E Nn, k1, . . . , k, . E N, 0 E D(Q) . Alo s on a : ON THE ORDER OF THE DISTRIBUTION 1l  11 - i+(á i ,I)+ki ío, a l & U)e(u) ~~ ui  B¡(ui)~ du = 2-1 a eebi s =0 si i0se 6,=1 . n ~  a +e, O(WU)B(U) x J 0,111 - i+(ái,l+ei)+k ; x  u i  Bi (ui) ) du+ i-I +  áLO(WU)0(U)  ui . i+(~i,l_)+ki+bis  ~~ -  Bi(ui) I du ~°,11n  ~-1 L'in ég a ion pa pa ies es ob enue en p enan une p imi i e de u s -> us ~s+(ás,i)+ksB(us) e en dé i an la onc ion u s -+ aLO(wu)9(u) . Les e mes au bo d son nuls d'ap és (3 .14) e d'ap és le ésul a sui an : Lemme 3 .6 . Soien 0 E D(Q) e l E Nn . Alo s la onc ion : es bo née dans [0,1]n . ala+l (p) :,,~ 0 . Alo s, dans 1'exp ession 3 .6, e a ec lui le Lemme 3 .5 . n u ~ ac0(WU)  1l i=1 7 - T u n Démons a ion du Lemme 3 .6 : Posons 0 = o . Le calcul de ál ( 0) pa la o mule de Leibni z nous améne á la majo a ion : n a` - (WU) «  ui¡-(~i'l)(U E [ 0 , 1 ] n ) . i 1 = 1 1 Ec i ons c9L (x) =  _ Cpx1, e soi _/3 el que Cp =,A 0, ce qui implique OENn On a _,Q + l E ~( ), donc, pou chaqué i = 1, . . ., n, (Ai, Q + l) ? (Ai, á) ? i . on peu me e en ac eu le e me (Fluíi-(>,i'1)) ce qui p ou e le Lemme