Publicacions
Ma e ná iques,
Vol
36
(1992),
725-742
.
A
bs ac
COHOMOLOGIE
LOCALE
DE
CERTAINS
ANNEAUX
AUSLANDER-GORENSTEIN
MAME-PAULE
MALLIAVIN
Dédié
á
la
mémoi e
de
Pe e
Menal
Zle
gi e axio na ic
condi ions
in
o de
o
calcula e he
local
co-
llomology
o
some
idempo en
ke nel
unc o s
.
The
esul s
lie
on
some
new
dicnension
in oduced
by
T
.
Le asseu
o
Auslande -
Go ens ein
ings
.
Unde
some
hypo hesis,
we
gene alize
p e ious
esul
.
Nous
do mons
¡c¡
des
condi ions
aussi
Lxio na iques
que
possible
pou
calcule
la
coho nologie
locale
de
ce ains
onc eu s
noyaux
idempo en s
.
Les
ésul a s
eposen
su
la,
décou e e
écen e
ai e
pa
T
.
Le asseu
d'une
dimension
pou
les
anneaux
appelés
Auslande -Go ens ein
e
qui
son
des
géné alisa ions
na u elles
des
anneaux
de
Go ens ein
commu-
a i s
.
En
imposan á
Ce e
dimension
de
sa is ai e
un
ce ain
nomb e
d'hypo héses
on
e ou c
ce ains
des
ésul a s
de [B
.M]
e
[Ma2]
.
1
.
Géné ali és
Soi
A
un anneau
.
Sau
men ion
du
con ai e,
ous
les
A-modules
son
des
modules
á
gauche
.
On
no es
Mod
A
la
ca égo ie des
A-modules
á
gauche
e
pa
Mod
A
la
sous-ca égo ie
des
modules
de
ype
in¡
.
On
no e a,
lo sque cela
se a
nécessai e,
pa
Mod
d
(A)
e
Mod (A)
les
ca égo ies
co espondan es
de
A-modules
a
d oi e
.
Oii
no e a
AM
ou
MA
pou
indique
que
11J
es
un
A-module
á gauche ou á
d oi e
.
Ce e
no a ion se a
u ilisée
su ou
dans
le
cas
oú
M
es
un
A-bimodule
.
L'anneau
A
es di
noe hé ien
s'il
es
noe hé ien
á
gauche
e
á
d oi e
.
Tous
les
anneaux
qui
in e iend on
se on
noe hé iens
.
72
6

M
.-P
.
MALLIAVIN
Soi
AM
( esp
.
111A)
un
A-module
.
Un
élémen
a
E
A
es
di
non
di iseu
de
zé o
dans
M
si
ax
=
0,
xE
M,
en ame x
=
0 ( esp
.
xa
=
0
en aine
x
=
0)
.
Si
M
es
un
bimodule
e
si
a
E
A
es
non
di iseu
de
zé o
dans
AM
( esp
.
MA)
on
di
que a
es
non
di iseu
de
zé o
ágaucho
( esp
.
á
d oi e)
dans
M
.
Si
a
es
non
di iseu
de
zé o
á
gaucho
e
á
d oi e
dans
A
on
di
que a
es
non
di iseu
de zé o
.
Pa
exemple,
si
A
es
noe hé ien
e
p emie
e
si
I
es
un
idéal
bila é e
de
A
non
nul,
I
con ien
un
non
di iseu
de
zé o
.
Soi
M
un
A-module,
on
no e a
dhAM
la
dimension
homologig e
de
M
e
inj
.
diMA
M
la
dimension
injec i e
de
M
.
On
di a
que
A
es
de
dimension
homologique
globale
inie
si
la
dimension
homologique
globale
de
AA
e
celle
de
A
A
son
inies
;
elles
son
alo s
égales
ca
A
es
noe hé-
ien [A]
.
On
no e a
alo s
gl
dim
A
la
dimension
homologique
globale
de
A
.
On
di a
que
A
es
de
dimension
injec i e
inie
si
les
modules
AA
e
AA
son
de
dimension
injec i e
inies
;
elles
son
alo s
égales
[Z],
ca
A
es
noe hé ien
.
Si
M
es
un
A-module
á
gaucho,
on
appelle
g ade
de
M
e
on
no e
jA(M)
(ou
j
(M)
si
aucune
con usion
peu
en
ésul e )
le
nomb e
en ie
na u el
ou
+oo
dé ini
pa
:
jA(M)
=
In {i,
Ex Á(M,
A)
:,A
0}
.
On
a
é idemmen
jA((
0
))
=
+oo
.
Si
M
es
un
A-module
á
d oi e
on
u ilise a
la
no a ion
já(M)
ou
jd(M)
pou
le
g ade
de
M
.
On
a
oujou s
jA(M)
_<
dhA(M)
pou
M
:,A
0 e
si
inj
.
dim
(A)
=
<
oo
on a de
agon
e iden e
jA(M)
<_ M,
pou
ou
A-module
non
nul
M
.
On
a
les
p op ié és
analogues
pou jÁ
.
2
.
Condi ions
d'Auslande
.
Anneau
Auslande -Go ens ein
e
dimension
Les
dé ini ions
sui an es
se
ou en
dans
[BJ2], [Bj-Ek],
[Ek],
[Le2]
.
2
.1
.
Dé ini ion
.
Soi
A
un
anneau
noe hé ien
.
Un
A-module
á
d oi e
ou á
gaucho
de
ype
in¡
111
sa is ai
la
condi ion
d'Auslande
si
quel
que
soi
q
>
0 on a
jA(N)
>
q
pou
ou
A-sous-module
N
de
ype
in¡
de
Ex Á(M,
A)
.
2
.2
.
Dé ini ion
.
L'anneau
noe hé ien
es di
Auslande -Go ens ein
( esp
.
Auslande
égulie )
de
dimension
M, si
1)
inj
.
dim
A
=
I,
<
oo
( esp
.
gl
dim
A=
M,
<
oo),
2) chaqué
A-module
á
d oi e
ou á
gaucho
de ype
in¡
sa is ai
la
condi ion
d'Auslande
.
LOCAL
COHOMOLOGY
OF
SOME
AUSLANDER-GORENSTEIN
RINGS
72
7
11
es
clai
qu'un
anneau
Auslande
égulie
es
Auslande -Go ens ein
.
Dans
l'a icle
[F
.G.R
.]
les
anneaux
Auslande -Go ens ein
de
dimension
injec i e
í
son
appelés
anneaux
h,-Go ens ein
.
La
condi ion
d'Auslande
dans
1'a icle
p écédemlilen
ci é
es
é udiée
dans
le
con ex o plus
géné al
de
ce aines ca égo ies addi i es
.
D'au e
pa
il
ésul e
de
[Ba]
qu'un
anneau
commu a i
noe hé ien de
dimension
injec i e
inie
es
Auslande -
Go ens ein,
ceci n'es
pas
ai
dans
le
cas
non
commu a i
comme
le
mon e
un
Exemple
de
I
.
Rei en
[Re,
Exemple
2
.4
.6]
.
Si
A
es
un anneau
Auslande
égulie
( esp
.
Auslande -Go ens ein)
e
S
es
un
sys éme
de O e á
d oi e
e
á
gaucho
de A,
alo s
l'anneau
des
ac-
ions
S`
A
es
aussi
Auslande
égulie
( esp
.
Auslande -Go ens ein)
;
en
e e
si
111
( esp
.
N)
es
un
A-module
á
gaucho
( esp
.
á
d oi e)
les
S`A-modules
á
d oi e
Ex Á(AI,A)S
-1 e
Ex S_,
A
(S
-1
M,S
-1
A)
son
isomo phes
ainsi
que
les
S
-
lA-modules á
gaucho
S'Ex Á(N,A)
e
Ex s_,
A
(NS
-1
,
S
-1
A)
.
Le
plus
sou en
les
anneaux
Auslande
égulie s
son
des
anneaux
posi i emen
il és
don
le
g adué
associé
es
un anneau
de
polyn6mes
.
Tel
es
les
cas
de
l'algéb e
de
Weyl
d'indice
n
su
un
co ps,
ou
de
1'algéb e
en eloppan e
d'une
algéb e
de
Lie
g de
dimension
inie
su
un
co ps
.
Plus
géné alemen
si
R
es
une
k-algéb e
qui
es
un anneau
Auslande
égulie ( esp
.
Auslande -Go ens ein)
e
si
g es
une
k-algéb e
de
Lie
de
dimension
inie
opé an
su
R
pa
k-dé i a ions,
1'algéb e
R
*
U(g)
[Mc-
Ro]
es
elle-méme
Auslande
égulié e
( esp
.
Auslande -Go ens ein)
.
2
.3
. .
Le
ésul a
p incipal
dans
1'é ude
des
anneaux
de
Auslande -
Go ens ein
es
con enu
dans
le
ésul a
sui an
don
la
p eu e
peu
é e
ou ée
da es
[Lel]
e
qui
géné alise
des
ésul a s
an é ieu s
de
[Bjl]
.
Théo éme
.
Soi
A
un
anneau
noe hé ien
el
que
p,
=
inj
.
di n
A
<
oo
.
Soi
M
un
élémen
de
Mod
(A)
.
(a)
Il
exis e
une
sui e
spec ale
con e gen e
da es
Mod (A),
soi
EZ'-Q
(M)
:=
Ex '
(Ex q
(AMI,
A),
A)
=>
H -`'(M)
oú
HP-q(M)
=
0
si
p
0
q
e
H
°
(M)
=
M
.
Il
en
ésul e
une
il a ion
inie
su
M,
appelée
la
b- il a ion
qui
es
de
la
o me
(0)=F'`
+1
MCF"AIC
. . .
CF
I
MCF
°
M=M
(b)
si
A
es
Auslande -Go ens ein
o e
a
des
sui es
exac os
0

F
+1AI
~
E2,- (M)
---
Q(p)
-
0
72
8

M
.-P
.
MALLIAVIN
oú
p
=
0,1
. .
.
. . .
u
e
oú
Q(p)
es
un
socas-quo ien
de
-
®
+11
Ex p
Z+1
(Ex p
2
(M,
A
,
A
i>I

)
)
les
cons uc ions
p éceden es son
onc o ¡elles
en
M
.
Rema que
.
Si
M
es
un
A-bimodule,
on
peu
applique
le
héo éme
á
AM
e
d'ap és
le
poin
(c)
il
ésul e
que
la
b- il a ion
de
AM
es
o mée
de
socas-bimodules
de
M,
que
les
sui es
exac es
é ablies
en
(b)
son
des
sui es
exac es
de
bimodules
.
Cependan
on
p end a
ga de
que,
pa
exemple,
la
b
il a ion
pou
AM
n'a
aucune
aison
de
coincide
en
géné al
a ec
la
b- il a ion
pou
/[A
.
De
méme
les
modules
Q(p)
appa aissan
pou
AM
ne
son
pas
nécessai emen
iden iques
á
ceux
appa aissan
pou
MA
.
On
pou ai
aussi
dédui e
la
ema que
p écéden e d'une
é ude
dé aillée
de
la
p eu e
du
héo éme
2
.3
.
2
.4
.
Le héo éme
sui an
es
le
ésul a
1
.8
de
[Bj2]
:
Théo éme
.
Soi
A
un anneau
Auslande -Go ens ein
.
Si
0
->
M'
->
M
->
M"
->
0
es
une
sui e
exac e
de
A-module
de
ype
in¡
á
gauche
on
a
jA(M)
=
In {jA(M'),
jA(M")}
e
le
méme
ésul a es ai
pou une
sui e
exac e
de
A-modules á
d oi e
.
2
.5
.
Pa
analogie
a ec
ce aines
p op ié és
des
dimensions,
J .E
.
Bjd k
in odui
[Bj1]
la
dé ini ion
sui an e
:
Dé ini ion
.
Soien
A
un anneau
noe hé ien
e
M
un
A-module
á
gauche
de
ype
in¡
non
nul
.
Le
module
M
es di
pu
si
1'on
a
jA(N)
=
jA(M)
pou
ous
les
socas-modules
non
nuls
N
de
M
.
Lo sque
d
=
jA(M)
on
p écise
en
disan
que
M
es
d-pu
.
On
a alo s
le
héo éme
sui an
don
on
pou a
ou e
la
p eu e
dans
[Bj2],
[Lel],
[Bj-Ek]
e
[Li-Hu]
:
Théo éme
.
Soien
A
un
anneau
Auslande -Go ens ein,
M
un
A-
module
de
ype
in¡
non
nul,
d
le
g ade
de
M
.
Alo s
(a)
Ex Á
(M, A)
es
d-pu
(la
démons a ion
de
ce
ai
es
dúe
á
R
.
Fossum)
;
en
pa iculie
Ex
d
(Ex Á
(M,
A),
A)
:,~
0
.
(b)
Si
Ex Á
(Ex Á(M,
A),
A)
es
non
nul,
c'es
un
module
pu
.
(c)
Le
module
M
es
pu
si
e
seulemen
si
Ex Á(Ex Á(M,
A),
A)
=
0
pou
chaque
p
-7~
d
.
(d)
FPM
es
le
plus
g add
socas-module
X
de
M
el
que
le
g ade
de
X
es
>p
.
(e)
d
=
sup{p,
M
=
FPM}
.
LOCAL
COHOMOLOGY
OF
SOME
AuSLANDER-GORENSTEIN
RINGS
72
9
Rema que
.
On
peu
dé non e
di ec emen
á
pa i
du
héo éme
2
.5(d)
que
si
11
es
un
bimodule,
FPA11
es ,
pou
ou
p,
un
Bous-bimodule
de A4
.
En
e e
soi
a
E
A
;
alo s
(F 'AI)a
es
imago
ho nomo phe
du
A-module
á
gaucho
FPM
;
done
d'ap és
2
.4,
jA(FP11)
es
in é ieu
á
jA[(FPll
a]
.
Pa
le
héo éme
p écéden ,
il
ien
(FPM)a
C
FPM
.
2 .6
.
On
ou e a
dans
[Le2,
Tli n
.
4
.2]
la
p eu e
du héo éme
sui an
:
Théo éme
.
Soien
A
un
.
anneau
Auslande -Go ens ein
e ,
1V1
E
Mod
(A)
a ec
jA(M)
>n
.
Soi
(Mi)
¡EN
une
sui e
déc oissan e
de sous-
modules
de
M
.
Alo s
il
exis e
q
E
IN1
el
que
jA(1Vl
i
/Mi
+
)
>
n
+
1
pou
oas
les
i
els
que
i
>
q
.
Co ollai e
.
Si
AJ
es ,
un
module
á
gaucho
de
ype
in¡
su
un
an-
neau
Auslande -Go ens ein,
A
e si
cp
E
EndA
(M)
es
injec i
alo s
7A(MMA
1
)
?
jA(A
11
)
+
1
.
P e e
:
On
considé e
la sui e
déc oissan e
de
sous-modules
{(p
i
(A/1)}iEN
e
on a pou
ou
i
un
isomo phisme
é iden
,P`°
;
(na)
-
.>
~,
+
2
1
M
l
,
puisque-
cp
es
injec i
.
Done
d'ap és
le
héo éme j
(W
(áa)
)
>
j
(M)
+
1
.
Ce
co ollai e es
démon é
de
a~on
plus
géné ale
en
4
.3
de
[Le2]
.
2 .7
.
On
ou e a
dans
[Le2]
la
dé ini ion
e
la
p eu e
de
la
p oposi ion
sui an e
:
Dé ini ion
.
Soi
A
un
anneau
Auslande -Go ens ein
de
dimension
p,
.
On
dé ini
la
dimension
de
M
E
Mod
A
pa
b(M)
=
-
j(M)
.
Puisque
J.
(M)
=
0,
1,
. . .
.
p
ou
oo,
on
a
S(M)
=
0, 1,
. . .
.
ou
-oo
.
P oposi ion
.
La
onc ion
S
:
Mod
A
->
{O,

p,
-
00}
possUe
les
p op ié és
sui an es
:
(i)
8(0)
_
-oo
.
(ii)
Si 0
->
M'
->
M
->
M"
->
0
es
une
sui e
de
A-modules á
gancho
de
ype
in¡,
on
a
b(M)
=
sup{a(M'),
S(M")}
.
(iii)
Si
P
es ,
un
idéal
p emie
de
A
e
11/1
es
un
A/P-module
á
gaucho
de
ype
in¡
e
de
o sion,
alo s
b(M)
<_
S(A/P)
-
1
.
(i )
Si
M
=
M
o
D
M
l
D
. . .
D
Alíz
D
.

es
une
chame
de
sous-
modules,
alo s
8(Mi/AIli+ )
<
5(M)
-
1
pou
i
su csam7nen
g and
.
Ces
p op ié és
essemblen
o
á,
la
dé ini ion
abs ai e
donnée
pa
A
.
Joseph
(Applica io i
de
la
héo ie
des
anneaux
aux
a,lgéb es
e elop-
pan es,
Cou s
de
3e
cycle,
1981, Pa is
VI)
á
1'excep ion
de
deux
p o-
p ié és
su
les
quelles
nous
e iend ons
plus
a d,
á
sa oi
que
5(M)
=

73
0

M
.-P
.
MALLIAVIN
-oo
si
e
seulemen
si
NI
=
0
e
b(M)
=
0
si
e
seulemen
si
M
es
un
A-module
non
nul
de
longueu
inie
.
Les
p op ié és
(i), (ii),
(iii),
(¡ )
e
les
deux
p op ié és
supplémen ai es
son
é i iées
pa
la
dimension
de
K ull
e
la
dimension
de
Gel and-Ki illo
(pou
les
algéb es
su
des
co ps),
lo sque
ce e
de nié e
es
pa i i e
.
Si
A
es
un
anneau
commu a i
Go ens ein
de
pu e
dimension,
6
es
la
dimension
de
K ull
classique
de
A
.
Si
A
es
1'algél) e
en eloppan e
d'une
algéb e
ele
Lie
ésoluble
de
di-
mension
inie
su
un
co ps
k
de
ca ac é is ique
nulle,
ó
es
la
dimension
de
Gel and-Ki illo
su
k
.
Dé ini ion
.
On
a une
dé ini ion
analogue
á
la
p écéden e
pou
les
modules á
d oi e
de
ype
in¡
que
1'on
no e a
pou
la
di é encie
Sd
.
Rema que
.
A
1'aide
de
ó, le
ésul a
du
héo éme
2
.3 e
2
.5
peu
é e
in e p é é
come e
sui
.
Posons
d
=
MM),
6(M)
=
s
=
M
-
d
.
Le
sous-module
FPM
es
le
plus
g and
sous-module
X
de
M
el
que
S(X)
<
p
-
p
.
Le
module
Ex Á(A1,
A)
es
p,
-
.s
pu
.

On
a
des
sui es
exac es
onc o ielles
FPM
0
-~
FP+ilq
-'
Ex
7
A
(Ex P
(M,
A),
A)
-->
Q(p)
--->
0
oú
Ex p
(Ex p
4
(M,
A),
A)
es
soi
nul
soi
p-pu
e
6(Q(p))
<
i
-p-
2
.
2
.8
.
Dé ini ion
.
Un
A-module
M
E
Mod
A
non
mil
es
di
c i ique
si
1'on a
«M/N)
<
S(M)
pou
chaque
sous-module
non
nul
N
de
M
.
Si
S(M)
=
son
di
alo s
que
1V1
es
s-c i ique
e
ceci
es
équi alen
á
j(M/N)
>
jA(M)
=
p,
-
s
pou
ou
sous-module
non
nul
.N de
1111
.
P oposi ion
[Mc-Ro,
6
.2 .10]
.
Tou
module
non
nul de
ype
in¡
M
posséde
un
sous-module
c i ique
.
P eu e
:
On
aisonne
pa
1'absu de
e 1'on
suppose
qu'il
exis e
un
en-
ie
n
>_
0 e
un
module
A/I,
ó(Al)
=
n,
n'adme an
pas
de
sous-module
c i ique
.
D'ap és
la
p op ié é
2
.7(ii)
on
peu
ou e
une
chaine
s ic e-
men
déc oissan e
M
=
Mo
M
l
. . .
de
sous-modules
de
111
els
que
S(11J)
=
S(IVli)
=
S(NIj/llli+l)
ce
qui
con edi
2
.7(i )
.
2
.9
.
Le
ésul a
sui an
es
bien
connu pou
la
dimensión
de
Gel and-
Ki illo
.
La
p eu e
es la
méme
¡c¡
.
P oposi ion
.
Supposons
la
dimension
b
idéal-in a ian e,
c'es -á-di e
que
pou
ou
A-module
de
ype
in¡
1Vl
e
ou
idéal
bila é e
I de
A
;
on
a
S(I
®A
M)
_<
«Al)
.
Alo s
si
Al
es
un
module
c i ique,
son
annula eu
es
p emie
.
LOCAL
COHOMOLOGY
OF
SOME
AuSLANDER-GORENSTEIN
RINGS
73
1
P eu e
:
Soi
P
=
AnnA(AJ)
e
soi
I e
J
deux
idéaux
bila é es
de
A
els
que
IJ
C_
P
.
De
l'applica ion
su jec i e
na u elle
[0AM/JM
->
IM
ésul e
pa
2
.7(ii)
que
S(IM)
<
6(I
OA
Puis
pa
idéal-in a iance
S(I
®A
JM
)
<
S(
~~
)
.
Done
5(IM)
<_
S(
m
JAII )
.
Comme
M
es
c i ique,
ou
bien
JAJ
=
0 e
JC_
P
ou
bien
JM

0
.
DoneS(M/JAJ)
<
5(M)
e
5(IM)
<
5(M)
.
Done
pa
2
.7(ii)
ó(M)
=
5(ié-)
e
donc
IM
=
0
.
D'oú
ICP
.
3
.
La
ésolu ion
injec i e
minimale
de
ce ains
anneaux
Auslande -Go ens ein
Dans
ou e
la sui e
on
considé e a
des idéaux
bila é es
P
de
A
e
des
bimodules
co espondan s
M
=
A/P
.
Pou
le
calcul
de Ex Á (M, A)
on
u ilise a
la
s uc u e
de
A-module
á
gauche
su
AJ
e
en
me a
su
Ex '(M,
A)
la
s uc u e
de
A/P-A-bimodule,
A-module
á
d oi e
p o enan
de
la
s uc u e
AA
e
P-module á
gauche
p o enan
MA1P
.
On
calcules
Ex Á(Ex Á(M,A),A)
pou
la
s uc u e
de
A-module
á
d oi e
de
Ex Á
(M,
A)
.
3
.1
.
Lemme
.
Soien
A
un anneau
Auslande -Go ens ein
de
di7nen-
sion
injec i e
p,
P
un
ideal
p emie
de
A,
AJ
=
A/P
e
.
i
(M)
=
d
.
Alo s
on
a
M
=F
d
M
el
Fd+I
NI
=
(0)
;
en
pa iculie
AJ
es ,
d-pu
.
P eu e
:
D'ap és
2
.5(e)
on
a Ad
=
FdA~l
e
d'ap és
2
.5(a)
Ex A
(Ex
d
(M,
A),
A)
es
non
nul
;
il
es
donc
d-pu
.
On
en
dédui
que
j(FdAJ/Fd+1M)
=
d
=
j(AJ)
.
Si
Fd+I(Aj)
n'é ai
pas
nul,
il
exis e ai
un
idéal
bila é e
I de
A
con enan
s ic emen
P
el
que
Fd+IM
=
I/P
.
L'idéal
bila é e
I/P
de 1'anneau
noe hé ien
A/P
con iend ai
un non
di iseu
de
zé o
.
Done
«A/I)
_<
«A/P)
-
1
<
5(A/P)
.
On
ob iend ai
la
con adic ion
5
(FdAJM)
=
ó
(Fd~
+nM)
<
8(M)
=
6(A/P)
.
3
.2
.
Les
deux
héo émes
sui an s son
essen ielle nen
démon és
dans
[Mal]
:
Théo éme
.
Soi
A
un
anneau
Auslande -Go ens ein
de
dimension
injec i e
la,
.
On
suppose
la
dimension
S
idéal-in a ian e
.
Soi
P
un
idéal
complé emen p emie
de
A,
AJ
=
A/P
e
jA(M)
=
d
.
Soi
F (A/P)
le
73 2

M
.-P
.
MALLIAVIN
co ps
des ac ions
de
A/P
.
Alo s
le
F (A/P)
espace
ec o iel á
gauche
F (A/P)
OA
Ex Á
(Ex d(M,
A),
A)
es
de
di nension
1
.
P eu e
:
Considé ons
la sui e
exac o
de A-bimodules
--->
Ex Á
(Ex d(M,
A),
A)
->
Q(d)
,
0
oú
8(Q(d))
<_
S(M)
-
2
d'ap
és la
ema que
2
.7
.
D'ap
és
l
a
p op ié é
(ii)
de
2
.7,
en a
;
en
posan
Q(d)
=
Q(d))
=
A
(DA
Q(d),
6(Q(d))
<_
6(Q(d))
<
6(A/P)
.
11
ésul e
de
2
.7(ii)
que chaque
sous-module
ágauche
monogéne
de
Q(d)
es
de
la
o me
A/I
oú I
es
un
idéal
á gauche
de
A
co
n enan
s ic emen
P
.
On
a
donc
en
posan
S
=
(A/P) {0},
S
-
'Q(d)
=
(0)
.
Posons
Vd
=
Ex Á
(Ex Á
(M,
A),
A)
e
enso isons
la
sui e
exac o
de A-
modules á gauche
0-iM~Vd->Q(d)---->
0pa A/P
.
On
ob ien
la
sui e
exac o de
A/P-modules
á
gauche
To A(A/P,
Q(d))
-
A/P
-
Vd

Q(d)
-'
0
oú en
a
posé
Vd
=
Vd/PVd,
.
On
décompose
la sui e
p écéden e
en
les
ois
sui es
exac os
To A(A/P,
Q(d))
-
J/P
-
0
0->J/P~A/P-->A/J-~0
0
-~
A/
J
--->
Vd
--->
Q
(d)
---->
0
oú J
es
un
idéal
á gauche
de
A
con enan
P
.
Mon ons
que
J
coincide
a es
P
.
En
e e
si
1'on a ai
J
ésul e ai
de
2
.7(iii)
que
6(A/J)
<
«A/P)
-
1
<
6(A/P)
.
Tenso isan
la sui e
exac o
de
A-modules
á
d oi e
->A/P-j0
pa
Q(d),
en
ob ien
0
---->
To A(A/P,
Q(d))
->
P
OA
Q(d)
->
Q(d)
~
Q(d)
-i
0
.
P,
il
LOCAL
COHOMOLOCY
OF
SOME
AUSLANDER-CORENSTEIN
RINCs
733
D'ap és
2
.7(ii)
on a
8(To
A
(A/P,
Q(d))
C
ó(P
®A
Q(d))
e
en
aison
de
1'idéal-in a iance
de
S,
on a
6(P
®A
Q(d))
_<
h(Q(d))
<
5(A/P)
.
D'ap és
la sui e
exac o
(1)
e
en
appliquan
2
.7(ii)
on
a
11
ésul e
de ou
ceci
que
h(J/P)

S(A/P)
.
La
sui e
exac o
(2)
e
la
pa i i i é
de
S
(c
.
2
.7(ii))
donne
ó(A/P)
=
sup(S(J/P),
6(A/J))
.
En
u ilisan
les
inégali és
S(A/J)
<
«A/P)
e
b(J/P)
<
«A/P)
on
a i e
¡i
une
con adic ion
.
On
a done
clémon é
que
J
=P
.
La,
sui e
exac o
(3)
de ien
0~A/P
>Vd~Q(d)
->
o
.
En
appliquan
S
-1
á
ce e
sui e,
oú
S
=
(A,
P) {0},
on
ob ien
0
->
F (A/P)
-->
S-1V
'd
-->
S-1Q(d)
-->
0
.
Comme
S
-1
Q(d)
=
0,
il
ien
F (A/P)
=-
S
-
'V d
=
F7-
(
P
A)
®A
Vd
_
qui
es
1'isomo phisme
che ché
.
=
F (A/P)
OA
Ex
Ad
(Ex A
d
(II,
A), A),
3
.3
.
On
a
é end e
la
dimension
6
9
á
ou
A-module
a
gaucho
non
nécessai emen
de
ype
in¡
en
posan
s
9
(N)
=
s11p{6,)(Q)}
oú
Q
pa cou
les
socas-modules
de ype
in¡
de
N
.
11
es
clai
d'ap és
2
.7(ii)
que
S_,(N)
=
b(N)
si
N
es
de ype
in¡
.
74
0

M
.-P
.
MALLIAVIN
4
.6
.
Théo éme
.
Soi
A
un
anneau
p emie
é i ian
les
condi ions
(A),
(B)
e
(C)
el
E
Z
=
le
i'~"
e ne
de
la
ésolu ion
injec i e
minimale
du
A-module
AA
.
Alo s
E"
=
(0)
e
E,=
lid
Ex Á(A/I,
A)
=H,
11
(A)
.
I
E
.P
P eu e
:
D'ap és
4
.2,
lim
Ex Á(A/I,
A)
=F
es
un
A-module
injec-
E
.F
i
e
T=
Ex A
(-,
A)
es
na u ellemen
équi alen
a
HOMA
(-,
E)
su
ModÁ
.
On
ema que
d'abo d
que
si
M
es
un
A-module
ágaucho
a inien
alo s
HomA
(M, Ep)
=
0
si
p
<p
.
En
e e
pa
un
a gumen de
écu ence
su
la
longueu
de
A/1
en
se
améne
au
cas
oú
M
es
simple
.
En
e e
si
HOMA(Al,
E
P
)
=
0
si
p
<
p,
lo sque
M
es
simple
alo s
0
->
M"
-
M
->
M'
-
0,
l(M")
<
l(M)
e
M'
simple,
d'oú
0
->
HoMA(M',
EP)
=
0
->
HOMA(All,
EP)
->
->
Hom
A
(M",
E
P
)
=
0
->
0
.
Alo s
M
= A/J
oii
J
es
un
idéal
bila é e
co-a inien
pa (A)
.
On
a
j
(M)
=
p
ca
6(M)
=
0
.
Done
HOMA
(M, A)
=
0
.
Il
su i
d'applique
4
.5
.
On
a
alo s
le
ésul a
ca
si
HomA
(M,
E
¡
)
es
non
nul
alo s
j
(M)
<
i
done
i
=p
.
Les
onc eu s
de
ModÁ
dans
Ab
;
Ex l(-,
A)
=T
e
HomA(-,E¡,)/
Im(HoMA(-,
E
P
_
1
))
son
isomo phes
.

Puisque
si
M
E
ModÁ,
en
a
Ho nA(M,E,,_
1
)
=
0,
su
la
ca égo ie
ModÁ
;
les
onc eu s
T
e
HOMA
(-
;
E
P
,)
son
isomo phes
e
pou
ou
idéal bila é e
J
co-a inien
;
les
A-modules
á,
gaucho
T
(A1
J) e
Ho nA
(A/J,
E,
j
son
isomo phes
.
Pa
sui e
lim
T(A/J)
-
liin
HomA
(A/J,
E,)
e
done
E
es
isomo phe
I
E
.~

I
E
.F
á
hmHomA
(A/J,E~j
=
linl
HomA
(A/J,
E')
®
lim
HomA
(A/J,E")
.
JE
.F

IEF

JE7
D'ap és
4
.3,
en
a
que
E
es
isomo phe
á
lim
HomA
(A/J,
E1)
c'es -5,-
J
E
.7
di e á
E,
d'ap és
le
co ollai e 4
.4
.
Mon ons
á
p ésen
que pou
ou
sous-module
M
de ype
in¡
de
E"
en a
Ex Á
(AJ,
A)
=
0
.
Raisonnons
pa
l'absu de
e
supposons
que
Q
=
Ex ',
(M, A)
7~
0
.
Puisque
Ex ~
1
(Ex "
(M,
A),
A)
=
0
si i
<
li,
1'anneau
A
é an
Auslande -Co ens ein,
il
ésul e
du
ai
que
Q
'
í
:
0
qué
1'on
a
Ex Á(Q,
A)
7~
0
.
En
e e
si
Ex Á(Q,
A)
=
0 pou
ou
en
au ai
S(Q)
=
-oo
e
done
Q=
0
;
d'ap és
(C)
.
Alo s
Ex Á(Ex Á(A7,
A),
A)
es
un
A-module
á gaucho non
nul
de
longueu
inie,
puisque
son
S
es
nul
.
Il
es
isomo phe
á
F"M,
ce
qui
ésul e
du héo éme
2.3(b)
.
Il
exis e

LOCAL
COIIOI 40LOGY
OF
SOMi
AUSLANDER-GORENSTEIN
RINGS
741
done
un
ho nomo phisme
non
nul
:
P'M
-
E,
.'
;
ce
qui
con edi
le
co ollaiie 4
.3
.
Soi
EA(A/I)
une
composan e
ion nulle
de
.E,1
1
,
a
suppose
qu'elle
exis e,
oi
I es
un
idéal
á,
gaucho
de
A
.

D'ap és
ce-
qui
p écéde
en a
Ex Á(A/I, A)
=
0
.

Si

"
_Z
`
E,,,
--,
0
es
la
de nié e
léche
de
la
ésolu ion
injec i e
minimale
de A,
1'applica ion
IJo 1A(A/I,E,,_ )
->
HOMA(A/I,
E
)

qui
en
ésL l c
es

su jec i e,

puisque
le
conoyau
Ex Á
'(A/I,
A)
es nul
.

Done
il
exis e
un
homomo phisme
:
A/I
-
E,
L
-1,
el
que p
,,_1
o
soi
1'iden i é
su
A/I
e ,
pa
sui e,
es
injec i
.
Come e
ke p,,_I
es
essen iel
dans
E,,_
1
,
on
a,
alo s
Im
n
ke p
N
_
1
:7~0,
ce
qui con edi
le
ai
que
p
1
,,_I
o
es
1'iden i é
su
A/I
.
Done
E
l
'
,
=
0
.
Re e ences
[A]
AuSLANmR
.,
1Vl
.,
On
he
dimension
o
modules and
algeb as
(III),
Nagoya
Ma h
.
J
.
9
(1955),
67-77
.
[B-MI
BAROU,
G
.
ET
NIALLIAVIN,
1 !1
.
.
P
.,
Su
li
ésolu ion
injec i e
minimale
de
l'algéb e
en eloppan e
d'une
algéb e
de
Lie
ésoluble,
J
.
o
Pu e
and
Applied
Alg
.
37
(1985)
;
1-25
.
[Ba]
BASS,
II
.,
On
he
ubiqui y
o
Co ens ein
ings,
R7a h
.
Z
.
82
(1963)
;
8-28
.
[Bjl]
BJóR
.K,
J
.
E
.,
"Rings
o
di e en ial
ope a o s,"
No h-Holland,
1979
.
[Bj2]
B
.IóRK,
J
.
E
.,
"The
Ansla nde
-
condi ion
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