Cohomologie locale de certains anneaux Auslander-Gorenstein

Publicacions Ma e ná iques, Vol 36 (1992), 725-742 . A bs ac COHOMOLOGIE LOCALE DE CERTAINS ANNEAUX AUSLANDER-GORENSTEIN MAME-PAULE MALLIAVIN Dédié á la mémoi e de Pe e Menal Zle gi e axio na ic condi ions in o de o calcula e he local co- llomology o some idempo en ke nel unc o s . The esul s lie on some new dicnension in oduced by T . Le asseu o Auslande - Go ens ein ings . Unde some hypo hesis, we gene alize p e ious esul . Nous do mons ¡c¡ des condi ions aussi Lxio na iques que possible pou calcule la coho nologie locale de ce ains onc eu s noyaux idempo en s . Les ésul a s eposen su la, décou e e écen e ai e pa T . Le asseu d'une dimension pou les anneaux appelés Auslande -Go ens ein e qui son des géné alisa ions na u elles des anneaux de Go ens ein commu- a i s . En imposan á Ce e dimension de sa is ai e un ce ain nomb e d'hypo héses on e ou c ce ains des ésul a s de [B .M] e [Ma2] . 1 . Géné ali és Soi A un anneau . Sau men ion du con ai e, ous les A-modules son des modules á gauche . On no es Mod A la ca égo ie des A-modules á gauche e pa Mod A la sous-ca égo ie des modules de ype in¡ . On no e a, lo sque cela se a nécessai e, pa Mod d (A) e Mod (A) les ca égo ies co espondan es de A-modules a d oi e . Oii no e a AM ou MA pou indique que 11J es un A-module á gauche ou á d oi e . Ce e no a ion se a u ilisée su ou dans le cas oú M es un A-bimodule . L'anneau A es di noe hé ien s'il es noe hé ien á gauche e á d oi e . Tous les anneaux qui in e iend on se on noe hé iens . 72 6  M .-P . MALLIAVIN Soi AM ( esp . 111A) un A-module . Un élémen a E A es di non di iseu de zé o dans M si ax = 0, xE M, en ame x = 0 ( esp . xa = 0 en aine x = 0) . Si M es un bimodule e si a E A es non di iseu de zé o dans AM ( esp . MA) on di que a es non di iseu de zé o ágaucho ( esp . á d oi e) dans M . Si a es non di iseu de zé o á gaucho e á d oi e dans A on di que a es non di iseu de zé o . Pa exemple, si A es noe hé ien e p emie e si I es un idéal bila é e de A non nul, I con ien un non di iseu de zé o . Soi M un A-module, on no e a dhAM la dimension homologig e de M e inj . diMA M la dimension injec i e de M . On di a que A es de dimension homologique globale inie si la dimension homologique globale de AA e celle de A A son inies ; elles son alo s égales ca A es noe hé- ien [A] . On no e a alo s gl dim A la dimension homologique globale de A . On di a que A es de dimension injec i e inie si les modules AA e AA son de dimension injec i e inies ; elles son alo s égales [Z], ca A es noe hé ien . Si M es un A-module á gaucho, on appelle g ade de M e on no e jA(M) (ou j (M) si aucune con usion peu en ésul e ) le nomb e en ie na u el ou +oo dé ini pa : jA(M) = In {i, Ex Á(M, A) :,A 0} . On a é idemmen jA(( 0 )) = +oo . Si M es un A-module á d oi e on u ilise a la no a ion já(M) ou jd(M) pou le g ade de M . On a oujou s jA(M) _< dhA(M) pou M :,A 0 e si inj . dim (A) = < oo on a de agon e iden e jA(M) <_ M, pou ou A-module non nul M . On a les p op ié és analogues pou jÁ . 2 . Condi ions d'Auslande . Anneau Auslande -Go ens ein e dimension Les dé ini ions sui an es se ou en dans [BJ2], [Bj-Ek], [Ek], [Le2] . 2 .1 . Dé ini ion . Soi A un anneau noe hé ien . Un A-module á d oi e ou á gaucho de ype in¡ 111 sa is ai la condi ion d'Auslande si quel que soi q > 0 on a jA(N) > q pou ou A-sous-module N de ype in¡ de Ex Á(M, A) . 2 .2 . Dé ini ion . L'anneau noe hé ien es di Auslande -Go ens ein ( esp . Auslande égulie ) de dimension M, si 1) inj . dim A = I, < oo ( esp . gl dim A= M, < oo), 2) chaqué A-module á d oi e ou á gaucho de ype in¡ sa is ai la condi ion d'Auslande . LOCAL COHOMOLOGY OF SOME AUSLANDER-GORENSTEIN RINGS 72 7 11 es clai qu'un anneau Auslande égulie es Auslande -Go ens ein . Dans l'a icle [F .G.R .] les anneaux Auslande -Go ens ein de dimension injec i e í son appelés anneaux h,-Go ens ein . La condi ion d'Auslande dans 1'a icle p écédemlilen ci é es é udiée dans le con ex o plus géné al de ce aines ca égo ies addi i es . D'au e pa il ésul e de [Ba] qu'un anneau commu a i noe hé ien de dimension injec i e inie es Auslande - Go ens ein, ceci n'es pas ai dans le cas non commu a i comme le mon e un Exemple de I . Rei en [Re, Exemple 2 .4 .6] . Si A es un anneau Auslande égulie ( esp . Auslande -Go ens ein) e S es un sys éme de O e á d oi e e á gaucho de A, alo s l'anneau des ac- ions S` A es aussi Auslande égulie ( esp . Auslande -Go ens ein) ; en e e si 111 ( esp . N) es un A-module á gaucho ( esp . á d oi e) les S`A-modules á d oi e Ex Á(AI,A)S -1 e Ex S_, A (S -1 M,S -1 A) son isomo phes ainsi que les S - lA-modules á gaucho S'Ex Á(N,A) e Ex s_, A (NS -1 , S -1 A) . Le plus sou en les anneaux Auslande égulie s son des anneaux posi i emen il és don le g adué associé es un anneau de polyn6mes . Tel es les cas de l'algéb e de Weyl d'indice n su un co ps, ou de 1'algéb e en eloppan e d'une algéb e de Lie g de dimension inie su un co ps . Plus géné alemen si R es une k-algéb e qui es un anneau Auslande égulie ( esp . Auslande -Go ens ein) e si g es une k-algéb e de Lie de dimension inie opé an su R pa k-dé i a ions, 1'algéb e R * U(g) [Mc- Ro] es elle-méme Auslande égulié e ( esp . Auslande -Go ens ein) . 2 .3 . . Le ésul a p incipal dans 1'é ude des anneaux de Auslande - Go ens ein es con enu dans le ésul a sui an don la p eu e peu é e ou ée da es [Lel] e qui géné alise des ésul a s an é ieu s de [Bjl] . Théo éme . Soi A un anneau noe hé ien el que p, = inj . di n A < oo . Soi M un élémen de Mod (A) . (a) Il exis e une sui e spec ale con e gen e da es Mod (A), soi EZ'-Q (M) := Ex ' (Ex q (AMI, A), A) => H -`'(M) oú HP-q(M) = 0 si p 0 q e H ° (M) = M . Il en ésul e une il a ion inie su M, appelée la b- il a ion qui es de la o me (0)=F'` +1 MCF"AIC . . . CF I MCF ° M=M (b) si A es Auslande -Go ens ein o e a des sui es exac os 0  F +1AI ~ E2,- (M) --- Q(p) - 0 72 8  M .-P . MALLIAVIN oú p = 0,1 . . . . . . u e oú Q(p) es un socas-quo ien de - ® +11 Ex p Z+1 (Ex p 2 (M, A , A i>I  ) ) les cons uc ions p éceden es son onc o ¡elles en M . Rema que . Si M es un A-bimodule, on peu applique le héo éme á AM e d'ap és le poin (c) il ésul e que la b- il a ion de AM es o mée de socas-bimodules de M, que les sui es exac es é ablies en (b) son des sui es exac es de bimodules . Cependan on p end a ga de que, pa exemple, la b il a ion pou AM n'a aucune aison de coincide en géné al a ec la b- il a ion pou /[A . De méme les modules Q(p) appa aissan pou AM ne son pas nécessai emen iden iques á ceux appa aissan pou MA . On pou ai aussi dédui e la ema que p écéden e d'une é ude dé aillée de la p eu e du héo éme 2 .3 . 2 .4 . Le héo éme sui an es le ésul a 1 .8 de [Bj2] : Théo éme . Soi A un anneau Auslande -Go ens ein . Si 0 -> M' -> M -> M" -> 0 es une sui e exac e de A-module de ype in¡ á gauche on a jA(M) = In {jA(M'), jA(M")} e le méme ésul a es ai pou une sui e exac e de A-modules á d oi e . 2 .5 . Pa analogie a ec ce aines p op ié és des dimensions, J .E . Bjd k in odui [Bj1] la dé ini ion sui an e : Dé ini ion . Soien A un anneau noe hé ien e M un A-module á gauche de ype in¡ non nul . Le module M es di pu si 1'on a jA(N) = jA(M) pou ous les socas-modules non nuls N de M . Lo sque d = jA(M) on p écise en disan que M es d-pu . On a alo s le héo éme sui an don on pou a ou e la p eu e dans [Bj2], [Lel], [Bj-Ek] e [Li-Hu] : Théo éme . Soien A un anneau Auslande -Go ens ein, M un A- module de ype in¡ non nul, d le g ade de M . Alo s (a) Ex Á (M, A) es d-pu (la démons a ion de ce ai es dúe á R . Fossum) ; en pa iculie Ex d (Ex Á (M, A), A) :,~ 0 . (b) Si Ex Á (Ex Á(M, A), A) es non nul, c'es un module pu . (c) Le module M es pu si e seulemen si Ex Á(Ex Á(M, A), A) = 0 pou chaque p -7~ d . (d) FPM es le plus g add socas-module X de M el que le g ade de X es >p . (e) d = sup{p, M = FPM} . LOCAL COHOMOLOGY OF SOME AuSLANDER-GORENSTEIN RINGS 72 9 Rema que . On peu dé non e di ec emen á pa i du héo éme 2 .5(d) que si 11 es un bimodule, FPA11 es , pou ou p, un Bous-bimodule de A4 . En e e soi a E A ; alo s (F 'AI)a es imago ho nomo phe du A-module á gaucho FPM ; done d'ap és 2 .4, jA(FP11) es in é ieu á jA[(FPll a] . Pa le héo éme p écéden , il ien (FPM)a C FPM . 2 .6 . On ou e a dans [Le2, Tli n . 4 .2] la p eu e du héo éme sui an : Théo éme . Soien A un . anneau Auslande -Go ens ein e , 1V1 E Mod (A) a ec jA(M) >n . Soi (Mi) ¡EN une sui e déc oissan e de sous- modules de M . Alo s il exis e q E IN1 el que jA(1Vl i /Mi + ) > n + 1 pou oas les i els que i > q . Co ollai e . Si AJ es , un module á gaucho de ype in¡ su un an- neau Auslande -Go ens ein, A e si cp E EndA (M) es injec i alo s 7A(MMA 1 ) ? jA(A 11 ) + 1 . P e e : On considé e la sui e déc oissan e de sous-modules {(p i (A/1)}iEN e on a pou ou i un isomo phisme é iden ,P`° ; (na) - .> ~, + 2 1 M l , puisque- cp es injec i . Done d'ap és le héo éme j (W (áa) ) > j (M) + 1 . Ce co ollai e es démon é de a~on plus géné ale en 4 .3 de [Le2] . 2 .7 . On ou e a dans [Le2] la dé ini ion e la p eu e de la p oposi ion sui an e : Dé ini ion . Soi A un anneau Auslande -Go ens ein de dimension p, . On dé ini la dimension de M E Mod A pa b(M) = - j(M) . Puisque J. (M) = 0, 1, . . . . p ou oo, on a S(M) = 0, 1, . . . . ou -oo . P oposi ion . La onc ion S : Mod A -> {O,  p, - 00} possUe les p op ié és sui an es : (i) 8(0) _ -oo . (ii) Si 0 -> M' -> M -> M" -> 0 es une sui e de A-modules á gancho de ype in¡, on a b(M) = sup{a(M'), S(M")} . (iii) Si P es , un idéal p emie de A e 11/1 es un A/P-module á gaucho de ype in¡ e de o sion, alo s b(M) <_ S(A/P) - 1 . (i ) Si M = M o D M l D . . . D Alíz D .  es une chame de sous- modules, alo s 8(Mi/AIli+ ) < 5(M) - 1 pou i su csam7nen g and . Ces p op ié és essemblen o á, la dé ini ion abs ai e donnée pa A . Joseph (Applica io i de la héo ie des anneaux aux a,lgéb es e elop- pan es, Cou s de 3e cycle, 1981, Pa is VI) á 1'excep ion de deux p o- p ié és su les quelles nous e iend ons plus a d, á sa oi que 5(M) = 73 0  M .-P . MALLIAVIN -oo si e seulemen si NI = 0 e b(M) = 0 si e seulemen si M es un A-module non nul de longueu inie . Les p op ié és (i), (ii), (iii), (¡ ) e les deux p op ié és supplémen ai es son é i iées pa la dimension de K ull e la dimension de Gel and-Ki illo (pou les algéb es su des co ps), lo sque ce e de nié e es pa i i e . Si A es un anneau commu a i Go ens ein de pu e dimension, 6 es la dimension de K ull classique de A . Si A es 1'algél) e en eloppan e d'une algéb e ele Lie ésoluble de di- mension inie su un co ps k de ca ac é is ique nulle, ó es la dimension de Gel and-Ki illo su k . Dé ini ion . On a une dé ini ion analogue á la p écéden e pou les modules á d oi e de ype in¡ que 1'on no e a pou la di é encie Sd . Rema que . A 1'aide de ó, le ésul a du héo éme 2 .3 e 2 .5 peu é e in e p é é come e sui . Posons d = MM), 6(M) = s = M - d . Le sous-module FPM es le plus g and sous-module X de M el que S(X) < p - p . Le module Ex Á(A1, A) es p, - .s pu .  On a des sui es exac es onc o ielles FPM 0 -~ FP+ilq -' Ex 7 A (Ex P (M, A), A) --> Q(p) ---> 0 oú Ex p (Ex p 4 (M, A), A) es soi nul soi p-pu e 6(Q(p)) < i -p- 2 . 2 .8 . Dé ini ion . Un A-module M E Mod A non mil es di c i ique si 1'on a «M/N) < S(M) pou chaque sous-module non nul N de M . Si S(M) = son di alo s que 1V1 es s-c i ique e ceci es équi alen á j(M/N) > jA(M) = p, - s pou ou sous-module non nul .N de 1111 . P oposi ion [Mc-Ro, 6 .2 .10] . Tou module non nul de ype in¡ M posséde un sous-module c i ique . P eu e : On aisonne pa 1'absu de e 1'on suppose qu'il exis e un en- ie n >_ 0 e un module A/I, ó(Al) = n, n'adme an pas de sous-module c i ique . D'ap és la p op ié é 2 .7(ii) on peu ou e une chaine s ic e- men déc oissan e M = Mo M l . . . de sous-modules de 111 els que S(11J) = S(IVli) = S(NIj/llli+l) ce qui con edi 2 .7(i ) . 2 .9 . Le ésul a sui an es bien connu pou la dimensión de Gel and- Ki illo . La p eu e es la méme ¡c¡ . P oposi ion . Supposons la dimension b idéal-in a ian e, c'es -á-di e que pou ou A-module de ype in¡ 1Vl e ou idéal bila é e I de A ; on a S(I ®A M) _< «Al) . Alo s si Al es un module c i ique, son annula eu es p emie . LOCAL COHOMOLOGY OF SOME AuSLANDER-GORENSTEIN RINGS 73 1 P eu e : Soi P = AnnA(AJ) e soi I e J deux idéaux bila é es de A els que IJ C_ P . De l'applica ion su jec i e na u elle [0AM/JM -> IM ésul e pa 2 .7(ii) que S(IM) < 6(I OA Puis pa idéal-in a iance S(I ®A JM ) < S( ~~ ) . Done 5(IM) <_ S( m JAII ) . Comme M es c i ique, ou bien JAJ = 0 e JC_ P ou bien JM  0 . DoneS(M/JAJ) < 5(M) e 5(IM) < 5(M) . Done pa 2 .7(ii) ó(M) = 5(ié-) e donc IM = 0 . D'oú ICP . 3 . La ésolu ion injec i e minimale de ce ains anneaux Auslande -Go ens ein Dans ou e la sui e on considé e a des idéaux bila é es P de A e des bimodules co espondan s M = A/P . Pou le calcul de Ex Á (M, A) on u ilise a la s uc u e de A-module á gauche su AJ e en me a su Ex '(M, A) la s uc u e de A/P-A-bimodule, A-module á d oi e p o enan de la s uc u e AA e P-module á gauche p o enan MA1P . On calcules Ex Á(Ex Á(M,A),A) pou la s uc u e de A-module á d oi e de Ex Á (M, A) . 3 .1 . Lemme . Soien A un anneau Auslande -Go ens ein de di7nen- sion injec i e p, P un ideal p emie de A, AJ = A/P e . i (M) = d . Alo s on a M =F d M el Fd+I NI = (0) ; en pa iculie AJ es , d-pu . P eu e : D'ap és 2 .5(e) on a Ad = FdA~l e d'ap és 2 .5(a) Ex A (Ex d (M, A), A) es non nul ; il es donc d-pu . On en dédui que j(FdAJ/Fd+1M) = d = j(AJ) . Si Fd+I(Aj) n'é ai pas nul, il exis e ai un idéal bila é e I de A con enan s ic emen P el que Fd+IM = I/P . L'idéal bila é e I/P de 1'anneau noe hé ien A/P con iend ai un non di iseu de zé o . Done «A/I) _< «A/P) - 1 < 5(A/P) . On ob iend ai la con adic ion 5 (FdAJM) = ó (Fd~ +nM) < 8(M) = 6(A/P) . 3 .2 . Les deux héo émes sui an s son essen ielle nen démon és dans [Mal] : Théo éme . Soi A un anneau Auslande -Go ens ein de dimension injec i e la, . On suppose la dimension S idéal-in a ian e . Soi P un idéal complé emen p emie de A, AJ = A/P e jA(M) = d . Soi F (A/P) le 73 2  M .-P . MALLIAVIN co ps des ac ions de A/P . Alo s le F (A/P) espace ec o iel á gauche F (A/P) OA Ex Á (Ex d(M, A), A) es de di nension 1 . P eu e : Considé ons la sui e exac o de A-bimodules ---> Ex Á (Ex d(M, A), A) -> Q(d) , 0 oú 8(Q(d)) <_ S(M) - 2 d'ap és la ema que 2 .7 . D'ap és l a p op ié é (ii) de 2 .7, en a ; en posan Q(d) = Q(d)) = A (DA Q(d), 6(Q(d)) <_ 6(Q(d)) < 6(A/P) . 11 ésul e de 2 .7(ii) que chaque sous-module ágauche monogéne de Q(d) es de la o me A/I oú I es un idéal á gauche de A co n enan s ic emen P . On a donc en posan S = (A/P) {0}, S - 'Q(d) = (0) . Posons Vd = Ex Á (Ex Á (M, A), A) e enso isons la sui e exac o de A- modules á gauche 0-iM~Vd->Q(d)----> 0pa A/P . On ob ien la sui e exac o de A/P-modules á gauche To A(A/P, Q(d)) - A/P - Vd  Q(d) -' 0 oú en a posé Vd = Vd/PVd, . On décompose la sui e p écéden e en les ois sui es exac os To A(A/P, Q(d)) - J/P - 0 0->J/P~A/P-->A/J-~0 0 -~ A/ J ---> Vd ---> Q (d) ----> 0 oú J es un idéal á gauche de A con enan P . Mon ons que J coincide a es P . En e e si 1'on a ai J ésul e ai de 2 .7(iii) que 6(A/J) < «A/P) - 1 < 6(A/P) . Tenso isan la sui e exac o de A-modules á d oi e ->A/P-j0 pa Q(d), en ob ien 0 ----> To A(A/P, Q(d)) -> P OA Q(d) -> Q(d) ~ Q(d) -i 0 . P, il LOCAL COHOMOLOCY OF SOME AUSLANDER-CORENSTEIN RINCs 733 D'ap és 2 .7(ii) on a 8(To A (A/P, Q(d)) C ó(P ®A Q(d)) e en aison de 1'idéal-in a iance de S, on a 6(P ®A Q(d)) _< h(Q(d)) < 5(A/P) . D'ap és la sui e exac o (1) e en appliquan 2 .7(ii) on a 11 ésul e de ou ceci que h(J/P)  S(A/P) . La sui e exac o (2) e la pa i i i é de S (c . 2 .7(ii)) donne ó(A/P) = sup(S(J/P), 6(A/J)) . En u ilisan les inégali és S(A/J) < «A/P) e b(J/P) < «A/P) on a i e ¡i une con adic ion . On a done clémon é que J =P . La, sui e exac o (3) de ien 0~A/P >Vd~Q(d) -> o . En appliquan S -1 á ce e sui e, oú S = (A, P) {0}, on ob ien 0 -> F (A/P) --> S-1V 'd --> S-1Q(d) --> 0 . Comme S -1 Q(d) = 0, il ien F (A/P) =- S - 'V d = F7- ( P A) ®A Vd _ qui es 1'isomo phisme che ché . = F (A/P) OA Ex Ad (Ex A d (II, A), A), 3 .3 . On a é end e la dimension 6 9 á ou A-module a gaucho non nécessai emen de ype in¡ en posan s 9 (N) = s11p{6,)(Q)} oú Q pa cou les socas-modules de ype in¡ de N . 11 es clai d'ap és 2 .7(ii) que S_,(N) = b(N) si N es de ype in¡ . 74 0  M .-P . MALLIAVIN 4 .6 . Théo éme . Soi A un anneau p emie é i ian les condi ions (A), (B) e (C) el E Z = le i'~" e ne de la ésolu ion injec i e minimale du A-module AA . Alo s E" = (0) e E,= lid Ex Á(A/I, A) =H, 11 (A) . I E .P P eu e : D'ap és 4 .2, lim Ex Á(A/I, A) =F es un A-module injec- E .F i e T= Ex A (-, A) es na u ellemen équi alen a HOMA (-, E) su ModÁ . On ema que d'abo d que si M es un A-module ágaucho a inien alo s HomA (M, Ep) = 0 si p <p . En e e pa un a gumen de écu ence su la longueu de A/1 en se améne au cas oú M es simple . En e e si HOMA(Al, E P ) = 0 si p < p, lo sque M es simple alo s 0 -> M" - M -> M' - 0, l(M") < l(M) e M' simple, d'oú 0 -> HoMA(M', EP) = 0 -> HOMA(All, EP) -> -> Hom A (M", E P ) = 0 -> 0 . Alo s M = A/J oii J es un idéal bila é e co-a inien pa (A) . On a j (M) = p ca 6(M) = 0 . Done HOMA (M, A) = 0 . Il su i d'applique 4 .5 . On a alo s le ésul a ca si HomA (M, E ¡ ) es non nul alo s j (M) < i done i =p . Les onc eu s de ModÁ dans Ab ; Ex l(-, A) =T e HomA(-,E¡,)/ Im(HoMA(-, E P _ 1 )) son isomo phes .  Puisque si M E ModÁ, en a Ho nA(M,E,,_ 1 ) = 0, su la ca égo ie ModÁ ; les onc eu s T e HOMA (- ; E P ,) son isomo phes e pou ou idéal bila é e J co-a inien ; les A-modules á, gaucho T (A1 J) e Ho nA (A/J, E, j son isomo phes . Pa sui e lim T(A/J) - liin HomA (A/J, E,) e done E es isomo phe I E .~  I E .F á hmHomA (A/J,E~j = linl HomA (A/J, E') ® lim HomA (A/J,E") . JE .F  IEF  JE7 D'ap és 4 .3, en a que E es isomo phe á lim HomA (A/J, E1) c'es -5,- J E .7 di e á E, d'ap és le co ollai e 4 .4 . Mon ons á p ésen que pou ou sous-module M de ype in¡ de E" en a Ex Á (AJ, A) = 0 . Raisonnons pa l'absu de e supposons que Q = Ex ', (M, A) 7~ 0 . Puisque Ex ~ 1 (Ex " (M, A), A) = 0 si i < li, 1'anneau A é an Auslande -Co ens ein, il ésul e du ai que Q ' í : 0 qué 1'on a Ex Á(Q, A) 7~ 0 . En e e si Ex Á(Q, A) = 0 pou ou en au ai S(Q) = -oo e done Q= 0 ; d'ap és (C) . Alo s Ex Á(Ex Á(A7, A), A) es un A-module á gaucho non nul de longueu inie, puisque son S es nul . Il es isomo phe á F"M, ce qui ésul e du héo éme 2.3(b) . Il exis e LOCAL COIIOI 40LOGY OF SOMi AUSLANDER-GORENSTEIN RINGS 741 done un ho nomo phisme non nul : P'M - E, .' ; ce qui con edi le co ollaiie 4 .3 . Soi EA(A/I) une composan e ion nulle de .E,1 1 , a suppose qu'elle exis e, oi I es un idéal á, gaucho de A .  D'ap és ce- qui p écéde en a Ex Á(A/I, A) = 0 .  Si  " _Z ` E,,, --, 0 es la de nié e léche de la ésolu ion injec i e minimale de A, 1'applica ion IJo 1A(A/I,E,,_ ) -> HOMA(A/I, E )  qui en ésL l c es  su jec i e,  puisque le conoyau Ex Á '(A/I, A) es nul .  Done il exis e un homomo phisme : A/I - E, L -1, el que p ,,_1 o soi 1'iden i é su A/I e , pa sui e, es injec i . Come e ke p,,_I es essen iel dans E,,_ 1 , on a, alo s Im n ke p N _ 1 :7~0, ce qui con edi le ai que p 1 ,,_I o es 1'iden i é su A/I . Done E l ' , = 0 . Re e ences [A] AuSLANmR ., 1Vl ., On he dimension o modules and algeb as (III), Nagoya Ma h . J . 9 (1955), 67-77 . [B-MI BAROU, G . ET NIALLIAVIN, 1 !1 . . P ., Su li ésolu ion injec i e minimale de l'algéb e en eloppan e d'une algéb e de Lie ésoluble, J . o Pu e and Applied Alg . 37 (1985) ; 1-25 . 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