Publicacions
Ma emá iques,
Vol
36
(1992),
229-240
.
SUR
LES
FEUILLETAGES
HOLOMORPHES
SINGULIERS
DE
CODIMENSION
1
A
bs ac
1
.
In oduc ion
.
BOUCHRA
GMIRA
Le
F
be a codimension one
holomo phic
olia ion
which
singula
se
E
is
con ained
in
a
compac
lea
S
o
F
.
When
Y
is
o
dimension
one,
E
is
a
se
o isola ed
poin s
{ql,
. .
.,q,},
C
.
Camacho
and
P
.
Sad
de ine
he
índex
o
F
a
each
poin
qk
and
p o e
ha
he
sum
o
hese
indices
equals
he
Eule
class
cl
(E)
o
he
lib e
bundle
E
no nal
o
S
.
Gene ally
when
e e
E
is
o any dimension
m, we
can
de ine
a
such
index
i
.
along
he
maximal
dimension
s a es
{E~}
o
a
sui able
s a i ica ion
_
o
he
complex
a ie y
E
.
Le
a,
be he
ondamen al
cycle
.o
E
a
,
o
he
2m-cycle
o
S
de ined
by a
=
i
ce
,
.a
a
and
a*
he
2-cocycle
dual
oa
by
Poinca é
isomo phism
H
2
(S)
-
.
H2

,
(S),
we
p o e
ha he
cohomology
class
[ *]
equals
he
Eule
class
cl
(E)
.
Soi
S
une
a ié é
analy ique
complexe
compac e
de
dimension
(com-
plexe)
m
+
1,
plongée
dans
une
a ié é
analy ique
complexe
M
de
di-
mension
m
+
2
.
No ons
.F
un
euille age
holomo phe
de
codimension
1
de
M
adme an
un
ensemble
singulie
E
C
S
el
que
(i)
E
es
un
ensemble
analy ique
complexe
de
codimension
1
dans
S,
(ü)
S-E
es
une
euille
de
F
.
Dans
le
cas
m
=
0,
E
es
un
ensemble
de
poin s
isolés
{ql,
. . . ,
q,
.}
.
C
.
Camacho
e
P
.
Sad
dé inissen
1'indice
de
F
en
chaque
poin
de
E
e
mon en
que
la
somme
de
ces indices
es
égale
á
la
classe
d'Eule
du
ib é
no mal
á
S
(ou
plu ó
á
son
é alua ion su
le
cycle
ondamen al
[S])
[4]
.
Dans
le
cas
géné al,
nous
mon ons
que
Pon
peu
dé ini
un
el
indice
i, le
long
des
s a es
{E
a
}
de
dimension
maximale
m
d'une
s a i ica ion
23
0

B
.
GMIRA
con enable
de
E
en
a ié és
analy iques
complexes
.
Dans
une
ca e
locale
de
M,
au
oisinage
d'un
poin
q
d'une
s a e
E
a
,
il
es
possible
de
se
ep ésen e
ce
índice
comme
1'indice
de
C
.
Camacho
e
P
.
Sad
su
la
ace
de
la
con igu a ion
(S,
E
a
,
,P)
pa
un
2-plan
complexe
ans e se
á
ce e
con igu a ion
.
No ons
Q
a
le
cycle
ondamen al
de
la
a ié é
(singulié e)
E
a
e
considé ons
le
2m-cycle
de
S
:
a
=
L+a
i
a
Q
a
.
Nous
mon ons
le
ésul a
sui an
Théo éme
.
Soi
E
le
b é
no mal
á,
S
dans
M,
cl
(E)
E
H
2
(S)
sa
classe
d'Eule ,
alo s
ci(E)
=
[Q*]
oú
[o,*]
es
la
classe
du
2-cocycle
dual de
u
pa
isomo phisme
de
Poinca é
H
2
(S)

H2m(S)
.
Ce
ésul a
igu ai
déjá
dans
[5],
a ec
des
hypo héses
es ic i es
po -
an
su
la
a ié é
S
.
Puis
J .P
.
B assele
en a donné une
démons a ion
le an
ces
hypo héses
dans
[3]
e
A
.L
.
Né o
en
a
donné une
au e
démons-
a ion
comme
cas pa iculie
d'un
ésula
plus
géné al
([9,
Théo éme
1])
.
La
p ésen e
démons a ion
es
plus
géomé ique
e
plus
p oche
des
idées
de
Bo
su
les
euille ages
singulie s
.
Je
eme cie
i emen
J
.P
.
B asse-
le
pou
les
ema ques
e
sugges ions
qu'il
m'a
ai es
ou
au
long
de
ce
a ail
.
2
.
Dé ini ion
de
Pindice
i
a
.
Considé ons
une
s a i ica ion
de
E
en
a ié és
analy iques
complexes,
e
no ons
E
a
une
s a e
de
dimension
maximale
m
.
Soi
<P
:
U
-
C'
x
C
x
C
une
ca e locale
de
M
au
oisinage
d'un
poin
de
E
a
,
elle
que
(D(U
n
S)
C
{z
=
0} e
-P(U
nE
a
)
C
{y
=
z
=
0}
.
Soi
77
une
1- o me
in ég able qui
dé ini
.P
dans
U,
alo s
y
s'éc i ,
dans
la
ca e
(U,
(D),
sous
la
o me
(1)

y
=
zA(x,
y, z)
dx
+
zB(x,
y,
z)
dy
+
(zC(x,
y, z)
+
D(x,
y))
dz
oú
(x,
y,
z)
E
Cm
x
C
x C, D(x,
y)
=
a(x)yn
+
- -
-
,
n
>
1
e
a(0)
~
0
.
Soi
P
un
2-plan
complexe
d'équa ion
x
=
cons an e,
ans e se
á
S
e á
E
a
dans
U,
la
ace
de
P
su
P
es
dé ini >,
dans
la
ca e
(U,
~P),
pa
la
o me
di é en ielle
(2)

yx
--
zB(x,
y, z)
dy
+
(zC(x,
y, z)
+
D(x,
y))
dz
On
pose
_8

zB(x,
y, z)
i(x)
-
-Récs

Ca
11

.
z
[
zC(x,
y,
z)
+
D(x,
y)
J

z_o/
ON
CODIMENSION
ONE
SINGULAR
I-IOLOMORP111C
OLIATIONS

231
Il
es
acile
de
oi
que
i
(x)
_
-Rés
B
(x,
y,
0)
y=0

D(x,
y)
e
que
i(x)
dépend
analy iquemen
de
x
E
C,
lo sque a(x)
:,,=
0
.
Lemme
1
.
La
dé i ée
i'(x)
de
la
onc ion
i(x)
es
nulle
.
La
condi ion
d'in ég abili é
de
77
donne,
pou
z
=
0,
~y

-D)
+
8
(D)
=0
.
En
se
plagan
su
une
cou be
con enable
y,
de
agon
á
pou oi
calcule
les
ésidus,
on
ob ien
d'oú
2i7
a
(_
D
)
dy
+
2i7
áx
(
D
)dy
-
0
áy

D)
d,+
áx

(D)
2i7
,Y ay

-
D
~dy
=
0
.
Lemme
2
.
L'indice
i(x)
es
indépendan
du
choix
de
la
o me
di é en ielle
y
.
B
(x,
y,
0)
_
B(x,
y, 0)
D
(x,
y)

D
(x,
y)
dy=0
En
e e ,
si
'l
=
zAdx
+
zBdy
+
(zC
+
D)dz
es
une
au e
o me
qui
dé ini
le
euille age
'
dans
U,
alo s
"l
=
g ,
oú
g
ne
s'annule
pas, e
done
d'oú
le
lemme
.
Rema que
.
On
é i ie
acilemen
aussi
qu'un
changemen
de
coo données
dans
(1)
pa
un
di éomo phisme
local
x
=
(u,
,
w),
y
=
g(u,
,
w), z
=
wh(u,
,
w)
en oyan
{w
=
0}
su
{z
=
0}
e
{
=
0}
su
{y
=
0},
ne
change
pas
le
ésidu
.
23
2

B
.
GMnIA
Co ollai e
.
Soi
x
un poin
de
E
anU,
l'indice
á(x)
ne
dépend
que
du
euille age
P
au
oisinage
de
E,,
.
No a ions
.
Nous
a ons
u
plus
hau
que
1'indice
i(x)
es
localemen
cons an
su
E
a
,
il
es
donc
cons an
su
chaqué
s a e
connexe,
en
deho s
d'un
sous-ensemble
analy ique
de
mesu e
nulle
Qa
(non
nécessai emen
connexe)
.
On
sous-s a i ie
alo s
E
de
agon
á
ce
que
les
s a es
de
dimen-
sion
maximum
m
soien
main enan
les
E
a
-
Q
a
,
que
1'on
se
pe me a
enco é
d'appele
E
a
dans
la
sui e
.
La
aleu
de
1'indice i(x)
le
long
de
E
a
se a
no ée
i,,
.
Si
Q,,
désigne
le
cycle
ondamen al
de
la
a ié é
(singulié e)
E
a
,
alo s
a
=j
:,,
i,,a,,
dé ini
un
2m-cycle
de
S
.
3
.
Résidus
des
connexions
á
singula i és
.
Soi
G
un
g oupe
de
Lie,
9
son
algéb e
de
Lie
e
i
:
E
->
S
un G-
ib é
p incipal
di é en iable
.
Pou
k
ixé,
o e
no e
Ik(G)
1'espace ec-
o iel
des
polynómes
hon ogénes
(le
deg é
k
su
G
in a ian s
pa
la
ep ésen a ion
adjoin e
de
G
su
9
e
A
D
'
?
.
(S) 1'espace ec o iel
des
k-
o mes
di é en ielles
su
S
á
aleu s
complexes
[Da s
la
sui e, o e
p end a
G
=
GL(1,
C)
e
o e
se
pe me a
de
no e
aussi
7
:
E
->
S
le
GL(1, C)-
ib é
p incipal
associé
au
ib é
no mal
de
S
da es
M]
.
Dé ini ion
([6,
Vol
II,
Chap
.
XII
pp
.
293-294])
.
Soi
V
une
connexion
su
E,
w
sa
o me
de
connexion
e
52
sa
o me
de
cou bu e
.
Si
P
E
P(G),
o e
dé ini
une
2- o me
á
aleu s
complexes
su
E, en
posan
PA
(Xl,X2)
=
2
[P(Q(Xl,X2))
-
P(Q(X2,X ))]
Soi
P(S2)
1'unique
2- o me
e mée
su
S
elle
que
7
*
(P(Q))
=
PA,
en
posan
A,(P)
=
P(Q),
o e
dé ini
une
applica ion
A,
:I
l
(G)
->
Ai) ?(S)
Owo,wi
I1(G)
,
ADR(S)
L'applica ion
indui e
en
cohomologie
pa
A

,
es
indépendan e
de
la
connexion
choisie
.
C'es
1'homomo phisme
ca ac é is ique
de
Che n-
Weil,
o e
le
no e
A
:
1
1
(G)
-
HDR(S)
.
Dé ini ion
([1,
Pa ag aphe
5])
.
Soien
wo
e
wl
deux
o mes
de
conne-
xion
su
E,
o e
dé ini
une
applica ion
ON
CODIMENSION
ONE
SINGULAR
I-IOLOMORPI-IIC
POLIATIONS

233
de
la
manié e
sui an e
:
no ons
I
=
[0,
1],
on
dé ini ,
su
le
ib é
E
x
I,
de
base
S x
I,
une
1- o me
cD
á
aleu s
dans
G,
en
posan
W1
Ex
{ }
=
wo
+
(1
-
)w1

pon-
E
I
w1
{
.} x
i
=
0

pou
x E
E
Pou
ou
polynóme
P
E
Il
(G),
on
pose
alo s
(P)
=
c,(P)
oú
1'in ég ale
~
. :
A2
l_)

x
I)
-
AD'
?(S)
désignc
;
1'in ég a ion
le
lo g
(le
la
ib e
1
.
Considé ons
main ena
une
ia gula ion
di é en iable
(K)
(le
S
don
le
1-squele e
ne
encon e
pas
un
ensemble
in¡
de
poi s
Q,
e
no~
ons
c
un
2-simplexe de
ce e
iangula ¡on
.
Soi
s
:
V, ->
E
une
sec ion
di é en iable
de
E
dé inie
au-dessus
d'un
oisinage
V
c
de
c
dans
S
.
On
désigne
pa
w
s
la
connexion
pla e
su
Ei ,
associée
a
la
i ialisa ion
dé inie
pa
s
(¡
.e
.
s*(w
s )
=
0)
.
So¡
w
une connexion
dé inic
su
Els_ ~
(connexion
á
singula i és)
.
Dé ini ion
([7])
.
A
ou
simplexe
c
de
(K),
e
á
ou
polynó nc
P
E
I
(G)
on
associe
le
nomb e
Rés,(w,
P)
=
D,
9
',
(P)
a~
appelé
ésidu
su
c
de w,
ela i emen
á
P
.
O
dé ini
ainsi
une
applica-
ion
linéai e
Rés(w)
:I
I
(G)
_
C
2
(K,
C)
en
posan
<
Rés(w)P,
c
>=
Rés,(w,
P)
(i(
:i,
C
2
(K,
C)
désignc
;
1'c ise ble
des
2-cochaines
simpliciales su
(K),
á
coe ¡cien s co iplexes)
.
Si
Pon
no e
main enan
J
:
AbR(S)

,
C*
(K,
C)
1'in ég a ion
(les
o mes
di é en ielles,
on
a
<
J(ca),
c
>=
~
ca
.
Rappelons
que
J
indui ,
en cohomologie,
un
isomo phis ne
d'algéb es
g aduées
[J]
:
H¡~i (S)

H*
(K,
C)

23
4

B
.
GMIRA
Théo éme
des
ésidus
.
([7])
(i)
L'applica ion
Rés(w)
p end
ses
aleu s
dans
l'espace
Z
2
(K,
C)
des
cocycles
de
C
2
(K,C),
(ii)
No an
[Rés(w)]
:Il(G)
-,
H
2
(K,
C)
l'applica ion
indui e
en
co-
homologie,
la
composée
[J]
-
o
[Rés(w)] coincide
a ec
d'homomo -
phisme
ca ac é is ique
de
Che n-Weil
A
:I
l
(G)
~
HDR(S)
4
.
Indice
e
ésidu
de
connexions
á
singula i és
.
On
sai
que
ou
2-cycle
de
S
es
éalisable
pa
une
sous- a ié é
di é en iable
W
de
S
([10,
Théo éme
;
II .27]),
que
1'on
peu suppose
ans e se
á
E
(Théo éme
de
ans e sali é
de
Thom
[S])
.
La
a ié é
W
ne
encon e
done
que
les
s a es
de
di nension
maximale
de
E,
e
ceci
en
des poin s
isolés
Q
=
{q,,
. . . ,
q }
=
E
1
W
.
Au
oisinage
de
chaque
poin
qk de
E
l
W,
on
peu
modi ie
la
a ié é
W
de
agon
á
ob eni
une
a ié é di é en iable
W'
ep ésen an
un
cy-
cle
homologue
á
W
e
elle
que
chaque
poin
qk
adme e,
dans
W',
un
oisinage
Uk,
disque
analy ique
.
Pou
cela,
en
considé e,
pou
ou
poin
qk,
un
el
disque
Uk,
dé o ma ion
d'un
oisinage
Uk
de
qk
dans
W
.
La
dé o ma ion
(supposée
di é en iable)
ou ni
1'homologie
-
che chée
.
De
plus,
en
peu
suppose
que
les
disques
Uk
son
disjoin s
e
que
chacun
d'eux
es
con enu
dans
un
ou e
i ialisan
du
ib é
no mal
á
S
dans
M
.
Pa
abus
de
no a ion,
la
a ié é
W'
se a
enco e
no ée
W
pa
la sui e
.
Soi
T
un
oisinage
ubulai e
de
S
dans
M,
iden i ié
á
un
oisinage
de
la
sec ion
nulle
du
ib é
no mal de
S
dans
M
.
Le
euille age
.F
indui
un
euille age
de
T, enco e no é
.F
.
En
es ic ion
á
L=
S
-
E,
le
ib é
no mal
la,
.F,
appelé
,
s'iden i ie
au
ib é
no mal de
S
dans
M
;
soi
p
:
VIL
->
L
sa
p ojec ion
.

En in,
on
no e a
i
:
E
-
S
la
p ojec ion
du
GL(1,
C)- ib é
p incipal associé
a
ib é
no mal
(le
S
dans
M
.
Dans un
sys éme
de
coo données
locales
app op iées,
p
-
(Uk)
s'iden i ie
á un
2-plan
complexe
de
M
.
La
ace
de
Y
su
p
-
(Uk)
es alo s dé inie
pa
une
1- o me
holomo phe
7
7k
elle
que
(2),
nous
la
no e ons
?7k
(Y,
z)
=
Bk(y,
z)dy
+
Ck(Y,
z)
dz
a ec
(y,
z)
E Ukx
C*,
Bk(0,
0)
=
Ck(0,
0)
=
0 e
Bk(y,
0)
=
0
.
Soi
8k
la
1- o me
dé inie
su
Uk
-
{qk}
pa
ek(y)
=
a
k
(Y,
)
Ck(y,0)
dy
ON
CODIMENSION
ONG
SINGULAR
HOLOMORPI-IIC
OLIATIONS

235
alo s
i(qk)
=
-Rés
Bk
=
-
1
-
j
'

Bk
.
2i7
aú
k
Lemme
3
.
Il
exis e
une
connexion
7
su
EI
S_
elle
que
sa
es ic-
ion
á
Uk
-
{qk}
soi
dé inie
pa
la
1- o me
Bk
.
C'es
la
es ic ion
á
S-E
de
la
connexion
de
Bo
(qui
es
pa ai emen
dé inie
su
M
-E
en
an
que
connexion
pa ielle)
.
Démons a ion
:
Soi
comme
ci-dessus,
T
un
oisinage ubulai e
de
S
dans
M
.
No ons
enco e
F
le
euille age
de
M
es ein
á
T,
TT
le
ib é
angen
á T,
T
le
ib é
angen
au
euille age
F
e
le
ib é
no mal
á
F
.
Nous
a ons
une
sui e
exac e de
ib és
au
dessus
de
T
-E
h
0
-i
TIT_E
-TT1T_
E

1T_E
--~
0
qui
indui ,
au
dessus
de
L
=
S-
E,
la
sui e
exac e de
ib és
h
0-+TIL---,TTIL---4
VIL
-
0
Le
ib é
TIL
n'es
au e
que
le
ib é
angen
á
la
'euille
L, on
le
no e
TL,
VIL
es
le
ib é
no mal á
L
e
associé
au
GL(1,
C)- ib é
p incipal
EIL
.
Si
O(S)
désigne
1'algéb e
des
onc ions
holomo phes
su S,
(TL)
e
F(VIL)
désignan espec i emen
les
O(S)-modules
des
sec ions
de
TL
e
VIL,
nous
dé inissons
une connexion
0
su
EIL
en
posan
V
x
(z)
=
h[x,
z]

x
E
(TL)
e
dz
E
F(VIL)
([1,
Pa ag aphe
6])
.
Rega dons
commen
se
spécialise
ce e
connexion
7
lo squ'on
se
e-
s ein
á
1'un
des
disques
époin és
Uk
-
{qk}
.
No ons Tk
la
es ic ion
de
T
á
Uk
-
{qk},
-Fk
la
ace
du
euille age
F
su
Tk,
TTk
le
ib é
angen
á
Tk,
Tk
le
ib é
angen
á
k
e
k
le
ib é
es ein
áTk
.
Nous
a ons
une
sui e
exac e de
ib és
es ein s á
Uk
-
{qk}
0
~
Tk
Une
base
de
(Tk)
es
donnée
pa
T7k~ k
-
0
a
Xk
=
-Gk(Y,
0)
e
,
J
e
le
champ
de
ec eu s
-
cons i ue
une
base de
( IUk_{qkl)
.
23
6

B
.
GMIRA
o
e
Le
champ
Yk
=
-Gk(Y,
z)
a
+
Bk(Y,
z)

z

(y,
z)
E
(Uk
-
{qk})
X
C
J
es
dé ini
dans un
oisinage
de
Uk
-
{qk}
da s
T
e sa es ic ion á
L
es
Xk
.
Soi
w
la
1- o me
de
connexion
qui
dé ini
0,
elle
é i ie
la
ela ion
a

a
_a
h(
[-Gk
( /,
z)
a
7
+
Bk
( l,
z)
áz

az
]
J
h
(
ack

z)
á
-
aBk
(J,
z)
a
)
_ -
aBk

z)
a
az
aY
az az az az
(
4
)

Oxk
( 0)
áz

_
_
aá
kk
(?l,
0)
F
z
En
compa an
(3)
e
(4),
il
ien ,
pa
abus
(le
no a ion
d'oú
le
;
le n ne
.
a
~
w
=

lz
(J,

dy
=
Bk
Gk
(?l,
0)
su
Uk
-
{qk}
Nous
pou ons
suppose
que
W
es
un
sous-complexe
(le
la
iangula-
ion
(K) de S
.
On
no e
(Kw)
la
iangula ion
indui e
su
la
a ié é
W
.
Son
1-squele e
ne
encon e
pas
1'ensemble
E
n
W
=
{q ,
.
. . ,
qT}
.
On
peu
aussi
suppose
que
chaque
poin qk
es si ué
dans
un
2-simplexe
ck
de
(Kw),
lui-méme
si ué
dans
le
disque
Uk
.
Lemme
4
.
On
a
i(qk)
=
Rés
l
:
k
(w,
P
l )
o ,
P
E
I
(GL(1,C))
cs
le
polynóme
ca ac é is ique
associé
á
la
classe
d'Eulc-
cl
(E)
.
En
ai ,
Pi(U)
=
2i~u
,
([6,
Chal)
.
XII
sc-x io
.n
3])
.
Démons a ion
:
Soi
qk un
poin
de
En
W
e
ck
le
2-simplexe
de
la
iangula ion
(KW)
con enan
ce
poin
(ck
C
Uk)
.
On
no e
Sk
:
V
ck
-
E
une
sec ion
di é en iable
de
E
dé inie
au
dessus
d'un
oisinage
V,k
du
simplexe
ck dans
Uk
.
Désignons pa
Wk
la
connexion
pla e
su
Ei
k
dé inie
pa
Sk
(elle
es
ca ac é isée
pa
Sk(Wk)
=
0,
de
plus
dWk
=
0
puisque
la
connexion
es
pla o)
.
No ons
W
la
1- o me
de
connexion
de
la
connexion
dé inie
au
lemme
3
.
Soi
w
la
1- o me
associée
aux
1- o mes
de
connexion
Wk
e
W
Comme
ci-dessus
(§3)
e
9
la
2- o me
de
cou bu e
dé inie
pa
w
(no e
que
cw
es
dé inie
su
(E
x
I)'I _
k
_{
gk
ll
x
l)
.
Nous
a ons
Si
p
:
E
xI
->
S
x
I
désigne
la,
p ojec ion
du
ib é
E
x
I
su
sa
base,
alo s
k
=
(Sk,
id
j)
:
VIk
xI
-
E
x
I
es
une
sec ion
du
ib é
(E
x
I)
'Vk
x,
e
d'oú
e
ON
CODIMGNSION
ONG
SINGULAR
HOLOMORPI-IIC
FOLIATIONS

237
ñ=dw=d( Wk+(1- )W)=(1- )dw+WAd -WkAd
.
k,
(P1)
=
k
Pi
(
9
),
Owk,W(PI)
=
k
Pi(~)
2i
k(~)
_-

1

-/-
(1
-
)sk(dw)
+
s*
(W)
^
d
-
Ss(Wk)
n
d
2ai
¡
O
Sk(Wk)
=
0,
~-
(1
-
)sk(dW)
=
0
(pa
dé ini ion
de
1'in ég a ion
le
J
long de
la
ib é)
e
sk(W)
=
ek
(d'ap és
le
lemme
3),
on
a
done
;
I
AWk,~(PI)
_
-
2i
,~
0,
n
d
=
-2i Ok
0
Rés,
(w,
Pi)
_
-
1

Bk
=
i
(qk
)
2i
aC
k
5
.
Démons a ion
du
héo éme
.
On
se
p opose
de
mon e
que
les
cocycles
cl
(E)
e
[u*]
p ennen
la
méme
aleu
su
ou
2-cycle
¡
u
de
S, ce
qui
dé ion e a
le
héo éme
.
Comme
nous
1'a ons
u
plus
hau nous
pou ons
ep ésen e ou
2-
cycle
de
S
pa
une
sous- a ié é
di é en iable
W
ele
S,
ans e sa
á