Sur les feuilletages holomorphes singuliers de codimension 1

Publicacions Ma emá iques, Vol 36 (1992), 229-240 . SUR LES FEUILLETAGES HOLOMORPHES SINGULIERS DE CODIMENSION 1 A bs ac 1 . In oduc ion . BOUCHRA GMIRA Le F be a codimension one holomo phic olia ion which singula se E is con ained in a compac lea S o F . When Y is o dimension one, E is a se o isola ed poin s {ql, . . .,q,}, C . Camacho and P . Sad de ine he índex o F a each poin qk and p o e ha he sum o hese indices equals he Eule class cl (E) o he lib e bundle E no nal o S . Gene ally when e e E is o any dimension m, we can de ine a such index i . along he maximal dimension s a es {E~} o a sui able s a i ica ion _ o he complex a ie y E . Le a, be he ondamen al cycle .o E a , o he 2m-cycle o S de ined by a = i ce , .a a and a* he 2-cocycle dual oa by Poinca é isomo phism H 2 (S) - . H2  , (S), we p o e ha he cohomology class [ *] equals he Eule class cl (E) . Soi S une a ié é analy ique complexe compac e de dimension (com- plexe) m + 1, plongée dans une a ié é analy ique complexe M de di- mension m + 2 . No ons .F un euille age holomo phe de codimension 1 de M adme an un ensemble singulie E C S el que (i) E es un ensemble analy ique complexe de codimension 1 dans S, (ü) S-E es une euille de F . Dans le cas m = 0, E es un ensemble de poin s isolés {ql, . . . , q, .} . C . Camacho e P . Sad dé inissen 1'indice de F en chaque poin de E e mon en que la somme de ces indices es égale á la classe d'Eule du ib é no mal á S (ou plu ó á son é alua ion su le cycle ondamen al [S]) [4] . Dans le cas géné al, nous mon ons que Pon peu dé ini un el indice i, le long des s a es {E a } de dimension maximale m d'une s a i ica ion 23 0  B . GMIRA con enable de E en a ié és analy iques complexes . Dans une ca e locale de M, au oisinage d'un poin q d'une s a e E a , il es possible de se ep ésen e ce índice comme 1'indice de C . Camacho e P . Sad su la ace de la con igu a ion (S, E a , ,P) pa un 2-plan complexe ans e se á ce e con igu a ion . No ons Q a le cycle ondamen al de la a ié é (singulié e) E a e considé ons le 2m-cycle de S : a = L+a i a Q a . Nous mon ons le ésul a sui an Théo éme . Soi E le b é no mal á, S dans M, cl (E) E H 2 (S) sa classe d'Eule , alo s ci(E) = [Q*] oú [o,*] es la classe du 2-cocycle dual de u pa isomo phisme de Poinca é H 2 (S)  H2m(S) . Ce ésul a igu ai déjá dans [5], a ec des hypo héses es ic i es po - an su la a ié é S . Puis J .P . B assele en a donné une démons a ion le an ces hypo héses dans [3] e A .L . Né o en a donné une au e démons- a ion comme cas pa iculie d'un ésula plus géné al ([9, Théo éme 1]) . La p ésen e démons a ion es plus géomé ique e plus p oche des idées de Bo su les euille ages singulie s . Je eme cie i emen J .P . B asse- le pou les ema ques e sugges ions qu'il m'a ai es ou au long de ce a ail . 2 . Dé ini ion de Pindice i a . Considé ons une s a i ica ion de E en a ié és analy iques complexes, e no ons E a une s a e de dimension maximale m . Soi <P : U - C' x C x C une ca e locale de M au oisinage d'un poin de E a , elle que (D(U n S) C {z = 0} e -P(U nE a ) C {y = z = 0} . Soi 77 une 1- o me in ég able qui dé ini .P dans U, alo s y s'éc i , dans la ca e (U, (D), sous la o me (1)  y = zA(x, y, z) dx + zB(x, y, z) dy + (zC(x, y, z) + D(x, y)) dz oú (x, y, z) E Cm x C x C, D(x, y) = a(x)yn + - - - , n > 1 e a(0) ~ 0 . Soi P un 2-plan complexe d'équa ion x = cons an e, ans e se á S e á E a dans U, la ace de P su P es dé ini >, dans la ca e (U, ~P), pa la o me di é en ielle (2)  yx -- zB(x, y, z) dy + (zC(x, y, z) + D(x, y)) dz On pose _8  zB(x, y, z) i(x) - -Récs  Ca 11  . z [ zC(x, y, z) + D(x, y) J  z_o/ ON CODIMENSION ONE SINGULAR I-IOLOMORP111C OLIATIONS  231 Il es acile de oi que i (x) _ -Rés B (x, y, 0) y=0  D(x, y) e que i(x) dépend analy iquemen de x E C, lo sque a(x) :,,= 0 . Lemme 1 . La dé i ée i'(x) de la onc ion i(x) es nulle . La condi ion d'in ég abili é de 77 donne, pou z = 0, ~y  -D) + 8 (D) =0 . En se plagan su une cou be con enable y, de agon á pou oi calcule les ésidus, on ob ien d'oú 2i7 a (_ D ) dy + 2i7 áx ( D )dy - 0 áy  D) d,+ áx  (D) 2i7 ,Y ay  - D ~dy = 0 . Lemme 2 . L'indice i(x) es indépendan du choix de la o me di é en ielle y . B (x, y, 0) _ B(x, y, 0) D (x, y)  D (x, y) dy=0 En e e , si 'l = zAdx + zBdy + (zC + D)dz es une au e o me qui dé ini le euille age ' dans U, alo s "l = g , oú g ne s'annule pas, e done d'oú le lemme . Rema que . On é i ie acilemen aussi qu'un changemen de coo données dans (1) pa un di éomo phisme local x = (u, , w), y = g(u, , w), z = wh(u, , w) en oyan {w = 0} su {z = 0} e { = 0} su {y = 0}, ne change pas le ésidu . 23 2  B . GMnIA Co ollai e . Soi x un poin de E anU, l'indice á(x) ne dépend que du euille age P au oisinage de E,, . No a ions . Nous a ons u plus hau que 1'indice i(x) es localemen cons an su E a , il es donc cons an su chaqué s a e connexe, en deho s d'un sous-ensemble analy ique de mesu e nulle Qa (non nécessai emen connexe) . On sous-s a i ie alo s E de agon á ce que les s a es de dimen- sion maximum m soien main enan les E a - Q a , que 1'on se pe me a enco é d'appele E a dans la sui e . La aleu de 1'indice i(x) le long de E a se a no ée i,, . Si Q,, désigne le cycle ondamen al de la a ié é (singulié e) E a , alo s a =j :,, i,,a,, dé ini un 2m-cycle de S . 3 . Résidus des connexions á singula i és . Soi G un g oupe de Lie, 9 son algéb e de Lie e i : E -> S un G- ib é p incipal di é en iable . Pou k ixé, o e no e Ik(G) 1'espace ec- o iel des polynómes hon ogénes (le deg é k su G in a ian s pa la ep ésen a ion adjoin e de G su 9 e A D ' ? . (S) 1'espace ec o iel des k- o mes di é en ielles su S á aleu s complexes [Da s la sui e, o e p end a G = GL(1, C) e o e se pe me a de no e aussi 7 : E -> S le GL(1, C)- ib é p incipal associé au ib é no mal de S da es M] . Dé ini ion ([6, Vol II, Chap . XII pp . 293-294]) . Soi V une connexion su E, w sa o me de connexion e 52 sa o me de cou bu e . Si P E P(G), o e dé ini une 2- o me á aleu s complexes su E, en posan PA (Xl,X2) = 2 [P(Q(Xl,X2)) - P(Q(X2,X ))] Soi P(S2) 1'unique 2- o me e mée su S elle que 7 * (P(Q)) = PA, en posan A,(P) = P(Q), o e dé ini une applica ion A, :I l (G) -> Ai) ?(S) Owo,wi I1(G) , ADR(S) L'applica ion indui e en cohomologie pa A  , es indépendan e de la connexion choisie . C'es 1'homomo phisme ca ac é is ique de Che n- Weil, o e le no e A : 1 1 (G) - HDR(S) . Dé ini ion ([1, Pa ag aphe 5]) . Soien wo e wl deux o mes de conne- xion su E, o e dé ini une applica ion ON CODIMENSION ONE SINGULAR I-IOLOMORPI-IIC POLIATIONS  233 de la manié e sui an e : no ons I = [0, 1], on dé ini , su le ib é E x I, de base S x I, une 1- o me cD á aleu s dans G, en posan W1 Ex { } = wo + (1 - )w1  pon- E I w1 { .} x i = 0  pou x E E Pou ou polynóme P E Il (G), on pose alo s (P) = c,(P) oú 1'in ég ale ~ . : A2 l_)  x I) - AD' ?(S) désignc ; 1'in ég a ion le lo g (le la ib e 1 . Considé ons main ena une ia gula ion di é en iable (K) (le S don le 1-squele e ne encon e pas un ensemble in¡ de poi s Q, e no~ ons c un 2-simplexe de ce e iangula ¡on . Soi s : V, -> E une sec ion di é en iable de E dé inie au-dessus d'un oisinage V c de c dans S . On désigne pa w s la connexion pla e su Ei , associée a la i ialisa ion dé inie pa s (¡ .e . s*(w s ) = 0) . So¡ w une connexion dé inic su Els_ ~ (connexion á singula i és) . Dé ini ion ([7]) . A ou simplexe c de (K), e á ou polynó nc P E I (G) on associe le nomb e Rés,(w, P) = D, 9 ', (P) a~ appelé ésidu su c de w, ela i emen á P . O dé ini ainsi une applica- ion linéai e Rés(w) :I I (G) _ C 2 (K, C) en posan < Rés(w)P, c >= Rés,(w, P) (i( :i, C 2 (K, C) désignc ; 1'c ise ble des 2-cochaines simpliciales su (K), á coe ¡cien s co iplexes) . Si Pon no e main enan J : AbR(S)  , C* (K, C) 1'in ég a ion (les o mes di é en ielles, on a < J(ca), c >= ~ ca . Rappelons que J indui , en cohomologie, un isomo phis ne d'algéb es g aduées [J] : H¡~i (S)  H* (K, C) 23 4  B . GMIRA Théo éme des ésidus . ([7]) (i) L'applica ion Rés(w) p end ses aleu s dans l'espace Z 2 (K, C) des cocycles de C 2 (K,C), (ii) No an [Rés(w)] :Il(G) -, H 2 (K, C) l'applica ion indui e en co- homologie, la composée [J] - o [Rés(w)] coincide a ec d'homomo - phisme ca ac é is ique de Che n-Weil A :I l (G) ~ HDR(S) 4 . Indice e ésidu de connexions á singula i és . On sai que ou 2-cycle de S es éalisable pa une sous- a ié é di é en iable W de S ([10, Théo éme ; II .27]), que 1'on peu suppose ans e se á E (Théo éme de ans e sali é de Thom [S]) . La a ié é W ne encon e done que les s a es de di nension maximale de E, e ceci en des poin s isolés Q = {q,, . . . , q } = E 1 W . Au oisinage de chaque poin qk de E l W, on peu modi ie la a ié é W de agon á ob eni une a ié é di é en iable W' ep ésen an un cy- cle homologue á W e elle que chaque poin qk adme e, dans W', un oisinage Uk, disque analy ique . Pou cela, en considé e, pou ou poin qk, un el disque Uk, dé o ma ion d'un oisinage Uk de qk dans W . La dé o ma ion (supposée di é en iable) ou ni 1'homologie - che chée . De plus, en peu suppose que les disques Uk son disjoin s e que chacun d'eux es con enu dans un ou e i ialisan du ib é no mal á S dans M . Pa abus de no a ion, la a ié é W' se a enco e no ée W pa la sui e . Soi T un oisinage ubulai e de S dans M, iden i ié á un oisinage de la sec ion nulle du ib é no mal de S dans M . Le euille age .F indui un euille age de T, enco e no é .F . En es ic ion á L= S - E, le ib é no mal la, .F, appelé , s'iden i ie au ib é no mal de S dans M ; soi p : VIL -> L sa p ojec ion .  En in, on no e a i : E - S la p ojec ion du GL(1, C)- ib é p incipal associé a ib é no mal (le S dans M . Dans un sys éme de coo données locales app op iées, p - (Uk) s'iden i ie á un 2-plan complexe de M . La ace de Y su p - (Uk) es alo s dé inie pa une 1- o me holomo phe 7 7k elle que (2), nous la no e ons ?7k (Y, z) = Bk(y, z)dy + Ck(Y, z) dz a ec (y, z) E Ukx C*, Bk(0, 0) = Ck(0, 0) = 0 e Bk(y, 0) = 0 . Soi 8k la 1- o me dé inie su Uk - {qk} pa ek(y) = a k (Y, ) Ck(y,0) dy ON CODIMENSION ONG SINGULAR HOLOMORPI-IIC OLIATIONS  235 alo s i(qk) = -Rés Bk = - 1 - j '  Bk . 2i7 aú k Lemme 3 . Il exis e une connexion 7 su EI S_ elle que sa es ic- ion á Uk - {qk} soi dé inie pa la 1- o me Bk . C'es la es ic ion á S-E de la connexion de Bo (qui es pa ai emen dé inie su M -E en an que connexion pa ielle) . Démons a ion : Soi comme ci-dessus, T un oisinage ubulai e de S dans M . No ons enco e F le euille age de M es ein á T, TT le ib é angen á T, T le ib é angen au euille age F e le ib é no mal á F . Nous a ons une sui e exac e de ib és au dessus de T -E h 0 -i TIT_E -TT1T_ E  1T_E --~ 0 qui indui , au dessus de L = S- E, la sui e exac e de ib és h 0-+TIL---,TTIL---4 VIL - 0 Le ib é TIL n'es au e que le ib é angen á la 'euille L, on le no e TL, VIL es le ib é no mal á L e associé au GL(1, C)- ib é p incipal EIL . Si O(S) désigne 1'algéb e des onc ions holomo phes su S, (TL) e F(VIL) désignan espec i emen les O(S)-modules des sec ions de TL e VIL, nous dé inissons une connexion 0 su EIL en posan V x (z) = h[x, z]  x E (TL) e dz E F(VIL) ([1, Pa ag aphe 6]) . Rega dons commen se spécialise ce e connexion 7 lo squ'on se e- s ein á 1'un des disques époin és Uk - {qk} . No ons Tk la es ic ion de T á Uk - {qk}, -Fk la ace du euille age F su Tk, TTk le ib é angen á Tk, Tk le ib é angen á k e k le ib é es ein áTk . Nous a ons une sui e exac e de ib és es ein s á Uk - {qk} 0 ~ Tk Une base de (Tk) es donnée pa T7k~ k - 0 a Xk = -Gk(Y, 0) e , J e le champ de ec eu s - cons i ue une base de ( IUk_{qkl) . 23 6  B . GMIRA o e Le champ Yk = -Gk(Y, z) a + Bk(Y, z)  z  (y, z) E (Uk - {qk}) X C J es dé ini dans un oisinage de Uk - {qk} da s T e sa es ic ion á L es Xk . Soi w la 1- o me de connexion qui dé ini 0, elle é i ie la ela ion a  a _a h( [-Gk ( /, z) a 7 + Bk ( l, z) áz  az ] J h ( ack  z) á - aBk (J, z) a ) _ - aBk  z) a az aY az az az az ( 4 )  Oxk ( 0) áz  _ _ aá kk (?l, 0) F z En compa an (3) e (4), il ien , pa abus (le no a ion d'oú le ; le n ne . a ~ w =  lz (J,  dy = Bk Gk (?l, 0) su Uk - {qk} Nous pou ons suppose que W es un sous-complexe (le la iangula- ion (K) de S . On no e (Kw) la iangula ion indui e su la a ié é W . Son 1-squele e ne encon e pas 1'ensemble E n W = {q , . . . , qT} . On peu aussi suppose que chaque poin qk es si ué dans un 2-simplexe ck de (Kw), lui-méme si ué dans le disque Uk . Lemme 4 . On a i(qk) = Rés l : k (w, P l ) o , P E I (GL(1,C)) cs le polynóme ca ac é is ique associé á la classe d'Eulc- cl (E) . En ai , Pi(U) = 2i~u , ([6, Chal) . XII sc-x io .n 3]) . Démons a ion : Soi qk un poin de En W e ck le 2-simplexe de la iangula ion (KW) con enan ce poin (ck C Uk) . On no e Sk : V ck - E une sec ion di é en iable de E dé inie au dessus d'un oisinage V,k du simplexe ck dans Uk . Désignons pa Wk la connexion pla e su Ei k dé inie pa Sk (elle es ca ac é isée pa Sk(Wk) = 0, de plus dWk = 0 puisque la connexion es pla o) . No ons W la 1- o me de connexion de la connexion dé inie au lemme 3 . Soi w la 1- o me associée aux 1- o mes de connexion Wk e W Comme ci-dessus (§3) e 9 la 2- o me de cou bu e dé inie pa w (no e que cw es dé inie su (E x I)'I _ k _{ gk ll x l) . Nous a ons Si p : E xI -> S x I désigne la, p ojec ion du ib é E x I su sa base, alo s k = (Sk, id j) : VIk xI - E x I es une sec ion du ib é (E x I) 'Vk x, e d'oú e ON CODIMGNSION ONG SINGULAR HOLOMORPI-IIC FOLIATIONS  237 ñ=dw=d( Wk+(1- )W)=(1- )dw+WAd -WkAd . k, (P1) = k Pi ( 9 ), Owk,W(PI) = k Pi(~) 2i k(~) _-  1  -/- (1 - )sk(dw) + s* (W) ^ d - Ss(Wk) n d 2ai ¡ O Sk(Wk) = 0, ~- (1 - )sk(dW) = 0 (pa dé ini ion de 1'in ég a ion le J long de la ib é) e sk(W) = ek (d'ap és le lemme 3), on a done ; I AWk,~(PI) _ - 2i ,~ 0, n d = -2i Ok 0 Rés, (w, Pi) _ - 1  Bk = i (qk ) 2i aC k 5 . Démons a ion du héo éme . On se p opose de mon e que les cocycles cl (E) e [u*] p ennen la méme aleu su ou 2-cycle ¡ u de S, ce qui dé ion e a le héo éme . Comme nous 1'a ons u plus hau nous pou ons ep ésen e ou 2- cycle de S pa une sous- a ié é di é en iable W ele S, ans e sa á