Pub
.
Ma
.
UAB
Vol
.
30
ns
2-3
Des
.
1986
SOBRE
EL
TEOREMA
D'IRREDUCTIBILITAT
DE
HILBERT
Nú ia
Vila
Aques a
no a
é
pe
objec iu
p esen a
una
demos ació
simpli icada del
eo ema
d'i educ ibili a
de
Hilbe
Són
mol es
les
e sions
i
demos acions
d'aques
céleb e
eo ema
:
des
de
1'o iginal
de
Hílbe
i
la
de
Dó ge
(c
.
[4],
[1])
emp an
el
llengua ge
i
bcniques
de bpoca
;
les
de
Lang,
F ied
i
Se e
(c
.
[5], [2],
[8]),
u ilizan
bcniques
de
geome ia
algeb aica
;
ins a les
de
Roque e
i
Weissaue
(c
.
[7],
[9])
en se i
bcniques
d'análisi
no
es ánda d
.
La
demos ació
que
p esen o
és
elemen al
i
inspi ada,
básicamen ,
en
les
e sions
donades
a
[4], [1],
[5]
i
[8]
.
Teo ema
d'i educ ibili a
(Hilbe )
.
Sigui
(T,X)
e
Z[T,X]
un
polinomi
i educ ible
a
Q[T,X]
.
Exis eixen
in ini s
alo s
de T,
E
Z,
als
que
el
polinomi
subs i ui
( ,X)
s
Z[X]
és_
i educ ible
a
Q[X]
.
Demos ació
.
Sense
es icció,
podem
suposa
que
(T,X)
és
mónic
en
la
a iable
X
.
En
e ec e,
si
(T,X)
=
a0(T)
Xn
+
al(T)
Xn
-
l
+
. .
.
+
a u(T),
el
can i
de a iables
X
=
Ylap(T)
dóna
(T,X)
=
g(T,Y)/ap(T)n'
1
,
on
g(T,Y)
eZ[T,Y]
és
mónic
en
Y
i
i educ ible a
Q[T,Y]
.
És
cia
alesho es
que,
pe
a
o
s
Z
al
que
a o
( )
x
0
,
si
g( ,Y)
és i educ ible a
Q[Y],

alesho es
( ,X)
és i educ ible a
Q[X]
.

,
Sigui

(T,X)
=
Xu
+
al
(T)
X°
-1
+
...
+
a u (T)
s
Z[T,X]

i educ ible
a

Q[T,X]
.
Siguin

0
1
,..
.,0
0
les
a els
de
(T,X)
en
una
clausu a
algeb aica
Q(T)
de
Q(T)
.
Si
e
Z,
siguin

0
1,
,
.
.
.,
0o
les
a els
del
polinomi

( ,X)

en
una
clausu a
algeb aica
Q
de
Q
.
És
cla
que
ele

0i,
,

1<_i
<_n
,
són
en e e
sob e
Z
.
s (p(T))
=
p( )
.
Aques
homomo isme
s'es én
a
un
homomo isme
d'anells
de e mina
a menys
de pe mu acions
;
sigui
s (Oi)
=
0
i
,
15i
<_n
.
on
els

b
i
's
,
0 5
i
5
-1
,
són
uncione

simé iques

elémen als
en

0i1
,..
.,
a
i
.
Dona
que
(T,X) és
i educ ible,
pe
a
cada
ac o i zació
de
(T,X)
a Q(T)
[X}
hi
ha
almenys
un
coe icien

b
E
Q(T)

al
que

beQ(T)
.

Sigui

B

el

conjun

o ma
pe
un
coe icien
b
s
Q(T)
Q(T)
pe
a
cada
ac o i zació
de
(T,X)
a
Q(T)
[X]
.
Sigui
E
Z
;
si

( ~~ edueix

a

Q[X}
,

alesho es
exis eix

un
b
E
B

al
que
s
(b)
E
Q
.

De
la
in eg i a
sob e
Z
de

0i,
=
s (0i)
es
é
que
s
(b)
E
Z
.
Així doncs,
si
pe
a
o
b
E
B,
s (b)
E
Z
,
el
polimoni
( ,X) és i educ ible
a
Q[X]
.
Sigui

b
E
B
;

designem

pe

Sb

=

{
E
Z
:

p

<

,

s
(b)
E
Z}

i

pe
s(N)
=
max

#

(Sb
n
[I,N])
.

Només
cal

p o a

que

exis eix

S
,
0
:5
S <
1,
al
que
he
B
s(N)
=
O(N
8)
.

En

e ec e, sigui

1
=
{
E
Z
:

p <
,

( ,X)
és i educ ible

a
Q[X}}
,
ja
hem
is
que
1
D
{
E
Z
:
p <
}
( S
b
)i
alesho es
ind em
que
on

c >
0
és
una
cons an -
Pe
an
i(N)
no
es a á aco a ,
com
es
. ol
demos a
.
Conside em

C((1/T))
con
el
cos

de

les
sé ies
de
Lau en
en

1/T
ambpan
p incipal
ini a
con e gen e
en
un en om
del
in ini
.
Pel
eo ema
de
Puiseux
(c
.
[3],
Th
.
8 .14)

es

é
que

C((T
-1
))con
=

lim

C((T
-1/n
))con
.

Dona

que
Sigui
E
Z,
conside em
1'homomo isme
d'anells
especiali za a
,
s
:
Q[T]
--)
Q,
s
:
Q
[T,
0
1
, .
.,
0
n
]
--)
Q
[0
1

,

.,
e
n
"]
,
D'al a
banda,
si
h(T,X)
E
Q(T)
[X]
és
un
ac o
de
(T,X)

a
Q(T)
[X]
,
cla amen
h(T,X)
= ]
(X
-
0ij)
=X +
b -1
X
-1
+
.
.
.
+
b0
,
j=I
be
B
i(N)
= #
(1
n
[I,N])
>_
N
(1
-

c
N
b-1
)
b
E
Q(T) c C((T
-1
))con
,
,

sigui

b
=
b(T)
_

c
T /
11
.

Podem
suposa
que
els c
E
R,
=k
pe
a o
;
en
e ec e
si
c
0
és
el
p ime

coe icien

al

que
c
0
E
C
R
,

alesho es,
pe
a o
E
R
su icien men
g an
b( )

és

complex,
ca
el
e me
c
0
V
n
és
dominan
.
Tambépodem
suposa
que
b(T)
no
és
un
polinomi
en T,
ja
que
hem
escolli
b e
QM
.
Alesho es ens
podem
edui
a
demos a
el
següen
:
Lema
.

Sigui

op
(T)
_

a
T /°
,
a
E
R
,

una

sé ie

de

Lau en
con e gen

pe
a
=k
.k
p > 0
.

Suposem

que

ip
(T)
o
R
[T1
.

Sigui

S9
=
{
E
Z
:
2 p
i
q( )c-
Z}

i
s op
(N)
= #
(S
(p
n
[1,N])
.
Exis eix
un

S
,
0<
S
<
1
al
.
que
s,,
(N)
=
O
(NS)
.
Demos ació
(Se e
[81)
:
Exis eix
un
en e
m
2
1
al
que
1

c
T /n
=-l
P o a em
que
m
pun s
de
S
p
no
poden
es a
massa
ap op
.
La
idea
és la
següen
:
pe
exemple,
si
m
=
2,
siguin
l
,
2
E
S
(p

su icien men
g ans,
dona
que
la
co ba
cp
(T)
é
una
angen
amb
penden
endin
a
ze o
pe
g an,
la
dis áncia
de

l
a
2
és
g an,
ca
1
cp
( i)
-
9
( 2)1
2
1
.
En
gene al,
siguin

p <
l
<
...
<
m
als
que
W
( i)
=yi
E
Z,

1 <_ i :5
m
.
Sigui
P(T)
el
polinomi
d'in e polació
de
Lag ange
de
g au
m-1
al
que
P( i)
=
yi,
1
<_
i
:5
m
És
a
di
m
P(T)
_

Y-

(yi

Il

(T
-
j)
1

n

( i - j)
i=1

15j5
m

15j<_m
¡ ; i

ixj
És
cla
que
cp-
P
s'anul-la

a
l
,
. .
.,
m
.

Pel
eo ema
de

Rolle,
exis eix
i
;
E
( i,
m
)
al
I1>0'
c-1+
m
0
.
m
que
W
(m-l)
(

)
=
P(
m-1
)(S)
.
A a

bé,
P(
m-1
)(T) =
(m-1)
I

yi 1

11

( i
- i),
pe

an
i=1
15j<_m
¡
; i
I
P(m-1)(T)j
>
--(`a-1)/2,
on
=
m
-
1 .
D'al a
banda,
si
1
és
p ou g an
enim
:
I
,
(m-1)
(
k )
I
<_
C1
1-1L1n
És
a
di ,
cl l-1Vn
m(m
-
1)12
>
1
.
Pe
an ,
exis eixen
dues
cons an s,
a
>
0,
c > 0
,
als
que
> c
a
l
.
Di
duna
al a
mane a,
en
1'in e al
[ ,
+ c
o
]
hi
ha
com
a
máxim
m-1
en e s
de
S
p
,
si
és
su icien men
g an
.
Sigui
N
un
alo
su icien men
g an
.
Dona
un

S
,
0 < S <
1,
conside em
la pa ició
de
1'in e al
[1,N]
donada
pe
[1,N
S]
u
[NS,
N]
.
Cla amen
podem
suposa
c
No
>
1
.
Sigui
0
:5
k < a

al
que
Nk
> c
-1
.

Di idin

1'in e al

[NS,
N]

en

[Nk+l
-
a
S
]
+
1

pa s
iguals,
cadascuna
d'aques es
pa s
é
longi ud
més
pe i a
que
c
NO,
S
.
Pe
an ,
en
cadascun
d'aques s
subin e als
hi
ha
O(1)
elemen s
de
S
P
.
Alesho es,
s
p
(N)
=
O
([NS
]
+[Nk+
1-
a
S
]
+
1),
i
si
p enem
S
=
(k+l)/(a
+1),
ob enim
que

s
p
(N)
=
O
(NS
)
.
La
conseqüéncia
més
impo an
del
eo ema
d'i educ ibili a
de
Hilbe
e
donada
pel
següen
co ol
.la i
(pe
a
la
demos ació
egeu
[6])
.
Aplicacions
Co ol
.la i
.
Exis eixen
in ini s
alo s
de
T,
e
Z
als
que
el
g up
de
Galois-de
(T,X)
sob e
Q(T)
és
isomo
al
g up de
Galois
de
( ,X)
sob e
Q
.
1 .

Hilbe
(c
.
[4]),
com
aplicació
d'aques
esul a ,
p o a
que
el
g up
al ema ,
A
n
,
es eali za
com
a
g up
de Galois
sob e
Q
.
Pe
aixó,
cons ueix,
pe
a
o
n,
polino nis
sob e
Q(T)
amb
g up de
Galois
A
n
.
Va¡
a di
que un
e o
en
un
signe
en
el
eball
o iginal
(J
.
C elle
110),
apa eix
co egi
a
les
ob es
comple es
.
Amb
les
no acions
de
[6] els
polinomis
conec es
són
:
2
.

Se e
(c
.
[81)
demos a
que
els
g ups
GL(2,n),
pe
a o
n,
es
eali zen
com
a
g up de Galois
sob e
Q
.
Sob e
Q(T),
conside a
la
co ba
el-líp ica
de inida
pe
Re e éncies
F=
+
(-1)n/2
T
2
,
si
n pa ell
+
((-1)(n-l)/2
T2
-
(a» X,

si
n
impa ell
.
Y2
+
XY
=
X
3
-

36

X
-

1
T-1728

T-1728
'
d'in a ian

modula

j
=
T
.

Sigui

E
n={(xl,
y
l ,)
,..
.,
(x
n
2, yn2)
} el

conjun
dels seus
pun s
de
n
o sió
i
N
n
= Q(T)
{xi,
Yi}
1<_
¡5n2
,
el
cos
ob ingu
al

adjun a -los
.

En

aques
cas
G(N
n
I
Q(T))
=
GL(2,n)
.

Com
a

conseqüéncia
GL(2,n),
pe
a
o
n,
és g up de
Galois
sob e
Q
.
1
.

K
.
Dó ge
:
Zum
Hilbe schen
I eduzibüi á ssa z,
Ma h
.
Ann
.
95
(1926),
84-97
.
2
.

M
.
F ied
:
On
Hilbe
i educibili y
heo em,
J
.
Numbe
Theo y
6 (1974),
211-231
.
3
.

O
.
Fo s e
:
Lec u es
on
Riemann
su aces,
G ad
.
Tex
in
Ma h
.
Sp inge
1980
.
4
.

D
.
Hilbe
:
Übe
die
I eduzibili a
ganze
a ionale
Funk ionen
mi
ganzzahligen
Koe izien en,
J .
eine
und
angew
.
Ma h
.
110
(1892),
104-129
.
Gesammel e
Abhandlungen, 265-286
.
5
.

S
.
Lang
:
Diophan ine
Geome y,
In e science
acs
.
New
Yo k
1966
.
6
.

E
.
Na ,
N
.
Vila
:
Sob e
1'exis éncia
d'equacions
que
eali zen
S
n
i
A
n
com
a
g up
de
Galois
d'un
cos
de
núme os,
Pub
.
Ma
.
U
.A .B
.
13
(1979),
79-87
.
7
.

P
.
Roque e
:
Nons anda d
Aspec s
o
Hilbe 's
i educibili y
Theo em,
Lec
.
No es
in
Ma h
.
498
(1975),
231-275
.

8
.

J
.
P
.
Se e
:
Au ou
du
heo eme
de
Mo dell-Weil
II,
Cou s
au
College
de
F ance
1980
.
9
.

R
.
Weissaue
:
De
Hilbe sche
i eduzibili á ssa z,
J
.
eine
und
angew
.
Ma h
.
334
(1982),
203-220
.
Rebu
el
día
12
de
Maig
de
1986
Depa amen
d'Algeb a
i
Fonamen s
Facul a
de
Ma emá iques
Uni e si a
de
Ba celona
G an
Via
de
les
Co sCa alanes,
585
08007-BARCELONA
ESPANYA