Sobre el teorema d'irreductibilitat de Hilbert

Pub . Ma . UAB Vol . 30 ns 2-3 Des . 1986 SOBRE EL TEOREMA D'IRREDUCTIBILITAT DE HILBERT Nú ia Vila Aques a no a é pe objec iu p esen a una demos ació simpli icada del eo ema d'i educ ibili a de Hilbe Són mol es les e sions i demos acions d'aques céleb e eo ema : des de 1'o iginal de Hílbe i la de Dó ge (c . [4], [1]) emp an el llengua ge i bcniques de bpoca ; les de Lang, F ied i Se e (c . [5], [2], [8]), u ilizan bcniques de geome ia algeb aica ; ins a les de Roque e i Weissaue (c . [7], [9]) en se i bcniques d'análisi no es ánda d . La demos ació que p esen o és elemen al i inspi ada, básicamen , en les e sions donades a [4], [1], [5] i [8] . Teo ema d'i educ ibili a (Hilbe ) . Sigui (T,X) e Z[T,X] un polinomi i educ ible a Q[T,X] . Exis eixen in ini s alo s de T, E Z, als que el polinomi subs i ui ( ,X) s Z[X] és_ i educ ible a Q[X] . Demos ació . Sense es icció, podem suposa que (T,X) és mónic en la a iable X . En e ec e, si (T,X) = a0(T) Xn + al(T) Xn - l + . . . + a u(T), el can i de a iables X = Ylap(T) dóna (T,X) = g(T,Y)/ap(T)n' 1 , on g(T,Y) eZ[T,Y] és mónic en Y i i educ ible a Q[T,Y] . És cia alesho es que, pe a o s Z al que a o ( ) x 0 , si g( ,Y) és i educ ible a Q[Y],  alesho es ( ,X) és i educ ible a Q[X] .  , Sigui  (T,X) = Xu + al (T) X° -1 + ... + a u (T) s Z[T,X]  i educ ible a  Q[T,X] . Siguin  0 1 ,.. .,0 0 les a els de (T,X) en una clausu a algeb aica Q(T) de Q(T) . Si e Z, siguin  0 1, , . . ., 0o les a els del polinomi  ( ,X)  en una clausu a algeb aica Q de Q . És cla que ele  0i, ,  1<_i <_n , són en e e sob e Z . s (p(T)) = p( ) . Aques homomo isme s'es én a un homomo isme d'anells de e mina a menys de pe mu acions ; sigui s (Oi) = 0 i , 15i <_n . on els  b i 's , 0 5 i 5 -1 , són uncione  simé iques  elémen als en  0i1 ,.. ., a i . Dona que (T,X) és i educ ible, pe a cada ac o i zació de (T,X) a Q(T) [X} hi ha almenys un coe icien  b E Q(T)  al que  beQ(T) .  Sigui  B  el  conjun  o ma pe un coe icien b s Q(T) Q(T) pe a cada ac o i zació de (T,X) a Q(T) [X] . Sigui E Z ; si  ( ~~ edueix  a  Q[X} ,  alesho es exis eix  un b E B  al que s (b) E Q .  De la in eg i a sob e Z de  0i, = s (0i) es é que s (b) E Z . Així doncs, si pe a o b E B, s (b) E Z , el polimoni ( ,X) és i educ ible a Q[X] . Sigui  b E B ;  designem  pe  Sb  =  { E Z :  p  <  ,  s (b) E Z}  i  pe s(N) = max  #  (Sb n [I,N]) .  Només cal  p o a  que  exis eix  S , 0 :5 S < 1, al que he B s(N) = O(N 8) .  En  e ec e, sigui  1 = { E Z :  p < ,  ( ,X) és i educ ible  a Q[X}} , ja hem is que 1 D { E Z : p < } ( S b )i alesho es ind em que on  c > 0 és una cons an - Pe an i(N) no es a á aco a , com es . ol demos a . Conside em  C((1/T)) con el cos  de  les sé ies de Lau en en  1/T ambpan p incipal ini a con e gen e en un en om del in ini . Pel eo ema de Puiseux (c . [3], Th . 8 .14)  es  é que  C((T -1 ))con =  lim  C((T -1/n ))con .  Dona  que Sigui E Z, conside em 1'homomo isme d'anells especiali za a , s : Q[T] --) Q, s : Q [T, 0 1 , . ., 0 n ] --) Q [0 1  ,  ., e n "] , D'al a banda, si h(T,X) E Q(T) [X] és un ac o de (T,X)  a Q(T) [X] , cla amen h(T,X) = ] (X - 0ij) =X + b -1 X -1 + . . . + b0 , j=I be B i(N) = # (1 n [I,N]) >_ N (1 -  c N b-1 ) b E Q(T) c C((T -1 ))con , ,  sigui  b = b(T) _  c T / 11 .  Podem suposa que els c E R, =k pe a o ; en e ec e si c 0 és el p ime  coe icien  al  que c 0 E C R ,  alesho es, pe a o E R su icien men g an b( )  és  complex, ca el e me c 0 V n és dominan . Tambépodem suposa que b(T) no és un polinomi en T, ja que hem escolli b e QM . Alesho es ens podem edui a demos a el següen : Lema .  Sigui  op (T) _  a T /° , a E R ,  una  sé ie  de  Lau en con e gen  pe a =k .k p > 0 .  Suposem  que  ip (T) o R [T1 .  Sigui  S9 = { E Z : 2 p i q( )c- Z}  i s op (N) = # (S (p n [1,N]) . Exis eix un  S , 0< S < 1 al . que s,, (N) = O (NS) . Demos ació (Se e [81) : Exis eix un en e m 2 1 al que 1  c T /n =-l P o a em que m pun s de S p no poden es a massa ap op . La idea és la següen : pe exemple, si m = 2, siguin l , 2 E S (p  su icien men g ans, dona que la co ba cp (T) é una angen amb penden endin a ze o pe g an, la dis áncia de  l a 2 és g an, ca 1 cp ( i) - 9 ( 2)1 2 1 . En gene al, siguin  p < l < ... < m als que W ( i) =yi E Z,  1 <_ i :5 m . Sigui P(T) el polinomi d'in e polació de Lag ange de g au m-1 al que P( i) = yi, 1 <_ i :5 m És a di m P(T) _  Y-  (yi  Il  (T - j) 1  n  ( i - j) i=1  15j5 m  15j<_m ¡ ; i  ixj És cla que cp- P s'anul-la  a l , . . ., m .  Pel eo ema de  Rolle, exis eix i ; E ( i, m ) al I1>0' c-1+ m 0 . m que W (m-l) (  ) = P( m-1 )(S) . A a  bé, P( m-1 )(T) = (m-1) I  yi 1  11  ( i - i), pe  an i=1 15j<_m ¡ ; i I P(m-1)(T)j > --(`a-1)/2, on = m - 1 . D'al a banda, si 1 és p ou g an enim : I , (m-1) ( k ) I <_ C1 1-1L1n És a di , cl l-1Vn m(m - 1)12 > 1 . Pe an , exis eixen dues cons an s, a > 0, c > 0 , als que > c a l . Di duna al a mane a, en 1'in e al [ , + c o ] hi ha com a máxim m-1 en e s de S p , si és su icien men g an . Sigui N un alo su icien men g an . Dona un  S , 0 < S < 1, conside em la pa ició de 1'in e al [1,N] donada pe [1,N S] u [NS, N] . Cla amen podem suposa c No > 1 . Sigui 0 :5 k < a  al que Nk > c -1 .  Di idin  1'in e al  [NS, N]  en  [Nk+l - a S ] + 1  pa s iguals, cadascuna d'aques es pa s é longi ud més pe i a que c NO, S . Pe an , en cadascun d'aques s subin e als hi ha O(1) elemen s de S P . Alesho es, s p (N) = O ([NS ] +[Nk+ 1- a S ] + 1), i si p enem S = (k+l)/(a +1), ob enim que  s p (N) = O (NS ) . La conseqüéncia més impo an del eo ema d'i educ ibili a de Hilbe e donada pel següen co ol .la i (pe a la demos ació egeu [6]) . Aplicacions Co ol .la i . Exis eixen in ini s alo s de T, e Z als que el g up de Galois-de (T,X) sob e Q(T) és isomo al g up de Galois de ( ,X) sob e Q . 1 .  Hilbe (c . [4]), com aplicació d'aques esul a , p o a que el g up al ema , A n , es eali za com a g up de Galois sob e Q . Pe aixó, cons ueix, pe a o n, polino nis sob e Q(T) amb g up de Galois A n . Va¡ a di que un e o en un signe en el eball o iginal (J . C elle 110), apa eix co egi a les ob es comple es . Amb les no acions de [6] els polinomis conec es són : 2 .  Se e (c . [81) demos a que els g ups GL(2,n), pe a o n, es eali zen com a g up de Galois sob e Q . Sob e Q(T), conside a la co ba el-líp ica de inida pe Re e éncies F= + (-1)n/2 T 2 , si n pa ell + ((-1)(n-l)/2 T2 - (a» X,  si n impa ell . Y2 + XY = X 3 -  36  X -  1 T-1728  T-1728 ' d'in a ian  modula  j = T .  Sigui  E n={(xl, y l ,) ,.. ., (x n 2, yn2) } el  conjun dels seus pun s de n o sió i N n = Q(T) {xi, Yi} 1<_ ¡5n2 , el cos ob ingu al  adjun a -los .  En  aques cas G(N n I Q(T)) = GL(2,n) .  Com a  conseqüéncia GL(2,n), pe a o n, és g up de Galois sob e Q . 1 .  K . Dó ge : Zum Hilbe schen I eduzibüi á ssa z, Ma h . Ann . 95 (1926), 84-97 . 2 .  M . F ied : On Hilbe i educibili y heo em, J . Numbe Theo y 6 (1974), 211-231 . 3 .  O . Fo s e : Lec u es on Riemann su aces, G ad . Tex in Ma h . Sp inge 1980 . 4 .  D . Hilbe : Übe die I eduzibili a ganze a ionale Funk ionen mi ganzzahligen Koe izien en, J . eine und angew . Ma h . 110 (1892), 104-129 . Gesammel e Abhandlungen, 265-286 . 5 .  S . Lang : Diophan ine Geome y, In e science acs . New Yo k 1966 . 6 .  E . Na , N . Vila : Sob e 1'exis éncia d'equacions que eali zen S n i A n com a g up de Galois d'un cos de núme os, Pub . Ma . U .A .B . 13 (1979), 79-87 . 7 .  P . Roque e : Nons anda d Aspec s o Hilbe 's i educibili y Theo em, Lec . No es in Ma h . 498 (1975), 231-275 . 8 .  J . P . Se e : Au ou du heo eme de Mo dell-Weil II, Cou s au College de F ance 1980 . 9 .  R . Weissaue : De Hilbe sche i eduzibili á ssa z, J . eine und angew . Ma h . 334 (1982), 203-220 . Rebu el día 12 de Maig de 1986 Depa amen d'Algeb a i Fonamen s Facul a de Ma emá iques Uni e si a de Ba celona G an Via de les Co sCa alanes, 585 08007-BARCELONA ESPANYA