Pub
.
Ma
.
UAB
Vol
.
30
ne
2-3Des
.
1986
ANALISI
FORMALMENT
RECURSIVA
F ancesc
Tomás
1
.
In oducci6
Aques
a icle
és
una
con inuaci6
de
[1],
eball
en
el
qual es
desc iu
el
o malisme
anomena
"a i mé ica
o malmen ecu si a"
(secci6
4
de
(11),
i on
es
an
di e ses
conside acions
sob e
la
possibili a
de
desen o lla
una
"análisi
o malmen
ecu si a"
basada
en
ell
.
Aques a
a i mé ica
o malmen
ecu si a
és
un
o malisme
(no
un
sis ema
o mal)
qué
és
ini á iamen
consis en
.
En
el
p esen
a icle
es
desen olupa
un
os
edul ,
pe ó
onamen al,
d'análisi
o malmen
ecu si a
.
Cal
no
con ond e1'análisique
desen olupa em
aquí,
que
és
una
análisi
o mali -
zada,
amb
1'análisique
es
p esen aesquemá icamen
a
[11,
secci6
3,
que
és la
e si6que
pod iem
di
"in o mal"
(o
basada
en
la
eo ia
de
conjun s)
de la
ma eixa
.
Una
pa
del
p esen eball
ha
es a
e a en
col
.labo aci6
amb
Edga
Bece a
.
Reco da em
b eumen -la
desc ipci6
del
o malismede
(11,
sense~pe ó,
epe i
les
demos acions
( ini á ies)
de
la
consis éncia
i
del
"me a-
eo ema
de
minimi zaci6"
.
Algunes
ague a sque
po se es
p esen a an
pod an
se
acla idesau omá icamen ,
o
bé
consul an
[11
.
Així,
doncs,
eco dem
que
la
a i mé ica
o malmen
ecu si a
és
una
ca ego iaque
é
com
a
objec es
ce es
sis emes o mals,
que
anomena em
"segmen s"
.
To s
els
segmen s
ind an
el
ma eix
llengua ge
i la
ma eixa
lógica,
que
no se á
al a
que
el
cálcul
p oposicional
o
lógica
sense quan-
i icado s
(que
en
[1]
es
p esen a
sense
usa
els
connec ius
Ai
°
,
pe ó
que
aquí
p esen a em
de la
mane a
habi ual)
.
.
Els
signes
del
llengua ge
s6n
0, S, E,
M,
_,
els
pa en esis,
la
coma,

,
V,
A,

les
" a ia-
bles"
i
els
"ope ado s"
.
Usa em
com
a
a iable
els
memb es
de
qualse ol
llis a
in ini a
de,símbols
;
pe ó
no
usa em
les
a iables
d'al a
mane a
que
ep esen ades
pe signes
auxilia s
;
i
aqués s
signes
auxilia s
se an,
p e e iblemen ,
si
bé no
exclusi amen ,
les
da e es
lle es
de 1'abeceda i,
possiblemen
indexades
:
u,
, x, y,
z,
x
1
,
x',
e c
.
Pe
cada
en e
posi iu
n
ind em
una llis a
in ini a
de
simbols,
que
se an
els ope ado s
de
g au
n
.
Con enium
en
que
S
és'un
ope ado
de g au
1
(el
successo )
.`
Cap
del
símbols
0,
E, M, ni
cap connec iu
lógic, ni
cap
a iable,
no se á un
ope a-
do
.
Els
ope ado s
es
ep esen a an
pe
minúscules
es ades
:
a, b,
,
g,
1
,
',
e c
.
Els
e mes,
que a a
de ini ém,se an
ep esen a spe
minus-*
cules
sub a llades
:
a,
.b,
a
l ,
a',
e c
.
De inim
:
1)'0 és
un
e me
;'2)
cada
a iable
és
un
e me
;
3)
si
és
un
ope ado
de
g au n,
i si
b1__b
n
s6n
e mes,
álesho es
(bl,
. .
.lb~),
É (b1,
.
.
.lbn-)
i
M (b1,
. .
.,bn-1)
s6n
1
e mes
(si n
'
és
1,
s'en én'que
hem
d'esc iu e
E
i
Mi en
lloc
de
les
dues
da e es
exp essions)
;
4)
les
aons
an e io s
s6n les
soles
que an
que una exp essi6
sigui
un
e me
.
En e
els
e mes
enium,
doncs,
les
exp essions
0,
S(0),
S(S(0)),
.
. .
Aques esexp essions,s'anomena an
.
nume als
.
Se an
ó mules
a ómiques
les
exp essions
a=b, on
a
i
b
s6n
e mes
.
A
pa i
de
les
a ómiques
es
o men
o es
les
ó mulesde
la
mane a
habi ual,
mi jangan
els
connec ius
l,

V,
A,
-
i
b
.
Les
ó mules
es
ep esen a an
pe
A,
B,
A
l ,
A',
e c
.
El
llengua ge
que
s'acaba
de
desc iu e
se á el
de
o s
els
segmen s
.
Un
segmen
di e i á
d'un
al e
nomás
en
els
pos ula s
.
Les
egles
d'in-
e énciase an
:
1)
cada
ó mula
au ólogica
cons an
(aixó
és,
en
la
que
no
apa eix
cap
a iable)
i
cadapos ula
del
segmen
(que
se á semp e
una
ó mula
cons an )
s6n
eo emes
del
segmen
;
2)
si
A
i
A
~
B
s6n
eo ems
d'un segmen ,
alesho es
B
ambé
és
eo ema
del
segmen
.
Esc iu em
U -
A
pe
a
indica
que
la
o mula
A
és
un
eo ema
del
seg-
men
U
.
Rep esen a em
els
segmen s
(enca a
no
de ini s)
pe
S, T, U, V,
e c
.
Usa em
el
signe
2
en
una exp essi6
X
=
Y
pe
a
indica
que
X
ep esen a
Y, o
que
Y
ep esen a
X,
o
bé
que
X i Y
ep esen en
la
ma eixa
exp essi6
.
Si
b, c i d
s6n
e mes
i
A
és
una
ó mula,
les
exp essions
b
l
(c,d)
i
A
I
(c,d)
ep esen a an
els
esul a s
de
subs i ui
o es
les
p eséncies
de
c
pe
d,
en
b
i
en A,
espec i amen
.
Així,
pe
exemple,
si
és un
ope a-
do
de
g au
2,
[ ( (0,0),E ( (0,0)))=M (0)]
1(1(0,0)0)
-
(0,E (0))=M (0)
Els
pos ula s
inicials
,
dona s
com
esquemes,
i
que segons
eu em,
se an
pos ula s
de o s
els
segmen s,
s6n
els
seguen s
:
E .P
.I
.1-
b=b,
pe
cada
nume al
b
.
E
.P
.I
.
2
lb=c,
pe
cada
dos nume als,
b
i c,
que
no siguinel
ma eix
.
E
.P .I .3
b=c
A
d=
-
d'= ',
semp eque
b,
c, d, ,

siguin
e mes
i
que
la
ó mula
d'= '
s'ob ingui
de
d=
en
subs i ui
una
p eséncia
de
c
pe
b
.
Aques s
pos ula s
con enen
les
p opie a s
de
la
igual a
.
Podem
no a ,
pe o,
que
comí
que
(b1,
.
. .
.lb
)
no
es á
.p esen en
E (b
,
. .
.,b

),
1'esquema
E
.P
.I
.3
po
ens
pe me dedui

U
. --E (b
l


bn-1)=Eg(b1,
. .
.,bn-1)
del
e
que
U
- (b1,
.
.
.,bn)=g(b1_
.
.,b
.)
pe
cada
b
n
.
Aixó
és,
E
no
és
un
ope ado
en un
sen i
.que
.ens
ag ada ia
que,ho
ós
.
Tal
com
es a
no a
a
[1,
secci6
4 .3],
el
demana
que
ho
ós ens
impedi ia,
p obablemen ,
el
pode
demos a ini á iamen e
la
consis éncia
del
o malisme
.
Abans
d'exposa
els
"p incipia"
que ens
di anquins sis emes
o mals
se an
els
segmen s
del
o malisme
hem
d'amplia
un
xic
la
nos a
e mino-
logia
.
Pe
un
segmen
.
U
i
un
e me
b,
di em
que
-b
és un U-
nomb e
,
i
esc iu em
b
E
N-,

si
pe
algun
na u al
podem
oba
nume als,
c
1


c
,

pe ala
quals

poguem
demos a
que
~(xi
.bi)
EN
U
(on,
na u almen ,

l(x
i
,b
i
)
.
- j(x
1
,b
1
)1
. .
.1
(xn,bn))-
.
.

.
Si
b
és un
nume al
i c
un e me,
SI(c) ep esen a á
un
e me,
d'aco d
amb
la
con enció
U
s-
b=c
1
.
V
.

.
V
b=c
,
Di em
ambé
que
un
e me
és
U- unci6
de
les
a iables
x
1
,
.
.
.,xn
,
i
esc iu emalesho es

E
N-(X
1
,
. .
.,x
n
),

si
pe
cada
col
.lecci6
de
nume-
,
als
b
1
, .
.
.,b
n
.
enim
que

,
50
(c)

E c, SS
(
0)(c
)

E
S(c),

SS(S(0))(c)

--_
S(S(c)),

e c
bona
un
segmen
U,
di em
que
1'ope ado
és
nou pe
U
si
no
apa eix
en
cap
pos ula
de
U
que
no
sigui
un
cas
de
E
.P
.I
.3
.
Reco dem
a a
els,p incipis
PR
.
1,
2,
3
i 4
que
de ineixen ecu si amen
els
segmen s
.
PR
.1
.
El
sis ema
o mal
que
é el
llengua ge
i
la
.lógica
que
s'acaben
de
desc iu e
i
que
é,
com
a
únicspos ula s,
els pos ula s
inicials
(els
casos
de E .P
.I
.
1,
2
i
3)
és
un
segmen
,
el
segmen inicial
,
ep esen an
pe
I
.
_
PR
.
2
.
Si
:
1)
U
és
un
segmen
in
un
en e
no
nega iu
;
.
2)
E
N-(x
l
x
n
)

i

s
E
Nú
(xl

.
.,%C11,
y,
Z)
;

3)


és
un
ope ado
nou
pe
U
;
alesho es
ambé
és
un
s~en
el
sis ema
o mal
que s'ob é
d'a egi
als pos ula s
de
U
els
següen s
esquemes
de
pos ula s,
(1)-(VII),
pe
o s
els
nume als

b
1'
. . . .
b
n
,
c, d
:
(Z)

i(x
, ,
b,) =

(b1,
.
.
.,bn
,0)=d
-

~
(II)

s
1
(xi
,b
i
WY,c)PZ, (b
a .
.
.,bn,c))=d
="
(b1,
. .

bn.S(c))=d
(122) 0

(b1,
. .
.,bn,0)=0
='>
M (bl,
. .
.,bn)=0
(III)'

l (b
1 ,
.
. .
.
bn
,0)=0
A

.
. .

A
l (b
1
,....
b
n
,c)=0
A
(b
1
"
"
,bn
.S(c))=0
1
M (bl,
. .
.,bn)=S(c)
(IV)

.
(bl,
.
.
.,bn
.c)=0
-
E (bl,
.
.
.,bn)=S(0)
(V)

'
E (b1'
.
.
.,bn)=0
V
E (b,'
.
.
.,bn)=S(0)
(VI)

M (b,,
.
.
.lbn)=c
-
(b1,
. .
.lbn,c)=0
(VII)

SS(c)(d)=M (bl,
.
.
.,bn)
"
.l (bbn,d)=0
PR
.3
.
Si
:
1)
les
condicions
1),
2)
i
3)
de
PR
.2
es
sa is an
i
V
és

el
segmen
que
s'ob é
d'a egi
a
U
els
esquemes
(I)-(VII)
com
a
nous pos-
ula s
;
2)
h
1
-

h
p
,
k
,.
. .
.
k
p
,
5-
"
"
,g
n
són
U- uncions
de
z
,
. .
.,z
q
;
3)
podem
demos a ,
pe
qualsse ol
nume als
d ,
. .
.
.,dq,c,
que
V

(
h
=k

A

.
.
.
A

h
=k

)

(z
i
Po
-p

di
)

-
I (g
(z
i
,d
i
) ,
.
.
.,g
n
1
(z
i
,d
i
)
,c)=0
;
-

-

-
-
alesho es
ambé
és
un
segmen
el
sis ema
onnal
que s'ob é
en a egi
a V
el
segmen
esquema
de
pos ula s,
pe
qualsse ol
nume als
d
, .
. .
d
,
b
1 ,
,
. .
.
.
b
n
:
(VIII)

(h,
=l,

A
.
. .
A

h
=k

A

g
=b

A

.
. .

A

q
=b

)I(z
.,d
.)
-

-
p
-
P

-

n
-n

1
-1
(es
pe me
el
cas
p
'-_
0)
Di em
que
el
segmen

W

és
ex ensió
del

V,

i
esc iu em

V
-<
W,

si
o s
els
pos ula s
de
V
són
pos ula s
de
W
.
Me a eo emad'inducció
.

Si

U¡--
Al(x
i
.,bi
,)

pe
qualse ol
col
.lecció
- -
de
nume als

b
l ,
....
b
,

alesho es

U
F-Aj(x
.,b,)

semp eque

b
.
E
N-

pe
-

-n

-

i
-i

-i

U
i
=
1,
.
n
.
alesho es
ambé
enim
_lE (b ,
. .
.,bn
)=S(0)
--
PR
.
n
.
Res
no és un
segmen
si no
és
pe
les
aons
an e io s
.
No
necessi a em eco da qué
són els mo ismes
.
Es
indispensable
eco da
ambé
dos
me a eo emes
.
La
demos ació
d'aques
me a eo ema
és
i ial
.
Me a eo ema
de
minimi zació
.

Si
enim
U -
E!(b ,
. .
.,bm)=S(0),
Mh(b ,
. .
.,b-m)
E
Nú
i U
F-h(b ,
. .
.lbm,Nh (b ,
. .
.,bm)=0
.
Co ol
.la i
.

Si

5
>-
Eh(b ,
...
.bm)=S(
0)

pe
cada
col
.lecció
de
nume-
als
b
l
,..
.~b
-m' alesho es

Mh(x
1'
.
.
.
.
x
m
)
E
NG(x
l,

. .
.x
m
) .
La
demos aci6
d'aques me a eo ema
es
a a [1],
lligada
amb
la
demos
aci6de
la
consis éncia
.
En
la
demos aci6
es
d6na
la
mane a,
si
U
--Eh(b,,
.
...
b_)=S(01,

de
oba ,
e ec i amen ,
ce s
nume als,
c
l ,
.
...
l
,

pe ale
quals
es
po demos a que
U
F-
Mh(bl,
. .
.,bn)=c1
V
.
. .
V
Mh(bl,
.
.
.,bn)=c
Les
p opie a s
més
impo an e
del
o malisme
s6n
:
1)

Donades
uncions


i

s,

de

x
l
,
....
x
n
,

i
de

x
l,..
.,x
n
,y,z,
-
-
espec i amen ,
podem
in odui
la
unci6
(xl,
. .
.,xn
.y)
de inida
pe
ecu si6
p imi i a
a
pa i
de

i s
.

Aixo
és,
si

E
N-(x,,
. .
.,x
n
)

i
s
E
Nu-(xl,
. . . .
x
n
.y,z),

i si
escollim


nou pe

U,

alesho es
en el
seg
men
V
ob ingu
de
U
a egin
ele
pos ula s
(I)-(VII)
de PR
.2
podem
demos a
que

(x
1
-
.-x
n
.y)
E
NV(xl,
.
.
.,xn
.y)

i
que,
pe
qualsse ol
nume als

bl,
. .
.lb
n
,c,
-
V

F-
(bl,
. .
.lbn
,0)= i(x
i
.,b,)
-

-i
V
1-- (b1,
.
.
.,bn,S(c))=sl(xi
.b
.)1(y
.c)1(z, (b1,
...
.~~g))
2)

Donadauna unci6

de

x
1'
.
.
. .
x
n
podem,
pe
PR
.2,
can ia
la
no aci6
de
a
una
no aci6
uncional
.
Aixó
és,
si
E
N~(xl,
. .
.,xn)
podem
p end e,
en
PR
.2,
n-1
en lloc de
n, =
l
(x
n ,0), s
=
l(xn
.S(y))
i
alesho es,
a egin
a U
ele co esponden s
pos ula s
(I)-(VII),
amb
algun
ope ado
nou pe
U,
ind em,en el
nou
segmen
V,
i
-
V
F-- (bl,
. .
.,b
)= l(xi,b,),
pe
qualsse olnume als
b
.
.
Al
ma eix
emps
--
-n
-1
ind em

E (x
l
,-
:
.
.,x

)
E
N-(x,
.
.
.,x

) .
n-1

U
-
1 -
_

n-1
3)

Si

u
E
NV(x
l,.
.
. .
x
m
)

i

3
E
NV(yl,
. .
. .
Yn
)

pe

i=

1,
.
.
.,n,
alesho es

ul(x
i
,
~)
E
%
(y,,
.
. .
.
y
n
).

Aixó
és,
la
composici6
de
uncions
d'un
segmen
es unci6 en el
segmen
.
4)

Pe qualse ol
nume al

c

i
qualse ol

U,

c
E
N~(x,-
.-x
n
) .
També
enim

xi
E
Nu(xi,
.
.
. .
x
n),

pe

i =
1,
. .
.,n,

i

S(x)
E
Nu
(x)
.
Aixó,
jun
amb
lo
obse a
a 1),
2)
i 3), i
amb
el
me a eo ema
de
minimi -
zaci6,
mos a
que
podem
in odui
o es
les
uncions
ecu si es
que
es
agin
necessi an
.
5)

El
que
enim, en el
nos e
o malisme,
a
més
de
1'a i mé ica
e-
cu si a,
és
la
possibili a
d'in odui
la unci6

Eh(x,,
. .
.
.
x
m_1
)

associa
da
a
h(xl,
.
.
.,xm)
en
la
qual, pe o,
com
ja s'ha
indica ,
E no
unciona
ben
bé
com
un
ope ado
.
Ap o i em
la
ocasi6
pe
senyala
ce es
inexac i uds
o
e ades
de
[1]
:
a)
En la
condici6
CL
.3
(pag
.
64) hi
manca
:
si c
és
un
nume al
p e-
sen en
alguna
ó mula
de
A
que
no
sigui
un
cas
de
E
.P
.I
.
3,
alesho es
c=c
pe any
a
A
.
b)
Des del engle
20
de la
página
72,
on
diu
"Aixó
implica
.
.
.",
ins
al
engle
23
de
la
ma eixapágina,
on
diu
"
.
. .
.Un
U,
4
.1
-nomb e",
o
s'ha
de
sup imi ,
i
en el
seu
lloc
s'hi
ha de
posa
el
segmen
:
"Suposem,
pe
cada
j,
que
c,_
és el
p ime
nume al
amb
aques a
p opie a ,
i
sigui
c'
el
més
g an
de
o s
el c
. .
Fem a a una
hipó esi
addicionAl,
que
desp és
elimina em
:
suposem
que,
pe
els
nos es
b
l,..
.,bn
,
el
cas
co esponen
de
(III)0,i+1
i
o s
els
casos
de (III)i
+1
pe
o s
els
c
que
s6n an e io s
a
c'
pe anyen
a
A
i,
en
consequéncia,
a"
B i
a
B

Alesho es
conside em
;
pe
cada
j,
el
cas
de
(III)' i+li+l

,
si
c
:
= 0, i si
no
el
cas
de
(III)i
+l
co esponen
a
S(c)
=c
j
,
i
alesho es
ind em
42
G
.(M (
b
,..
.,bn)=cj)
=
V
pe
cada
j,
i
aixó
implica,
pe
cada
G
compa ible
amb
Bi+ ,
G(M (b ,
.
. .
.
bn
)=c
V
. .
.
V
M (b
,
.
.
.
.
b
n)=cw)

=
;J-
i
aixó
mos a
que
M (b ,
.
.
.,b)
hipó esi
addicional
:
si
els
casos
(III)í
+
no
pe anyen
aA,
pe alguna
B'
ini a
closa
.
que
c'
no
s'inc emen a
;
pe ó
cada
alo ació
Bi+ -no mal
és
alo ació
Bi+ -no mal
de
les
j
an e io s
."
immedia es
.
El
que
aixó
compa ible
amb
G'
ind em
c)

En la
página
75,
o mula
(5),
ha
de
se
Úi+ ~1Aj
(k)

V

.
. .

V
1A~j
(k)

. .
.
en lloc de
2
.
L'
a go
écnic
.
El
segmen
básic
que
és un
U,
.
.
1
-nomb e
.
To nem
a a
a
la
que
hem
conside a
de
(III)

i
O,i+
alesho es
li els
adjun em
necessi em
i
o nem
a
comenga ,
comp o a és,
unicamen ,
és
una
consequéncia
de
b

pe qué
B
i+,
.

Aixó
és,
pe
cada
G'( (b

,..
.,b

cJ
.)=0)

=
V

pe
alguna
.

-
n
-
U
i+
-
1A
k
V
. .
.V
Ap

.
.
Desen olupa
1'análisi
ma emá ica
en base
al
.
o malisme
ol
di ,
agamen ,
usa
el
o malisme
de
qualse olmane a
ini á ia
o
cons uc i a
pe
a
e
el
al
desen olupamen
.
Pe
un
p océs
d'ap oximació,
assajan
de
desen olupa
un
mínim
d'análisiamb
un
minim
d'elegáncia
i
simplici a ,
s'ha
a iba
a
el
que
anomena em
un "a go écnic",
que
a a
desc iu ém
.
No
a i mem
que
aques
a go
ens
pe me i
e
o es
les
manipulacions
ini-
á ies
possiblesdel
o malisme
;
pe ó és
adequa
pe les
nos es inali a s
Pe
comenga ,
necessi a em
alguns
símobls
nous,
els "pseudoope ado s"
.
Pe
cada
en e
posi iu
n
hem
de
eni
una
llis a
in ini a
de
símbols,
els
pseudoope ado s
de g au
n
.
Rep esen em
els
pseudoope ado s
pe els
ma eixos
símbols
que
usem
pe
a
ep esen a
ope ado s
:

a, b, ,
,
e c
.
T enca em,
no
una
con enció,
pe ó
un
hábi
:
en
lloc de
ep esen a
con encions
del
ipus
X
-
Y,
que
indiquen
que
X
ep esen a
Y, o Y
ep esen a
X, o
bé
que
X
i
Y
ep esen en
el
ma eix
.
En
aques es
con-
encions
X i
Y
poden
se
e mes,
ó mules,_neo e mes,
neo ó mules,
o mes
o
qualse ol
exp essión
auxilia
que
ene
con ingui,
inclas
exp essions
del
llengua ge
o dina i
.
Aixi,
pe
exemple,
podem
con eni en
que
3
.
Els
nomb es
eals
(si A,
alesho es
E)
-
(A
implica
B)
-
(A
k
B)
o
bé,
si
sup imim
ele
pa én esis,
que
no
són
necessa is,
si A,
alesho es
B - A
implica
B -
A
kB
El
desen olupamen
que
a em
de
1'análisi
es á
inspi a
en
1'exposi-
cib
de
1'análisi ecu si a
deguda
a
Goods ein
[3]
.
Com
se
sap,
1'análisi
ecu si a
é
mol
se ioses
limi acions,
als
com
el
e que
en
ella
hi ha
successions
c eixen s
i
a i ades
que
no
són
de
Cauchy
( ecu si amen
pa -
lan )
( eu e,
pe
exemple,
[4])
.
Aques s
enómens
an
incon enien e
ja
no
es
donen
en
análisi
o malmen
ecu si a
.
Així,
doncs,
aques a
úl ima
es
una
análisi
mes
pode osa
que
1'
.análisi
ecu si a,
que
ja no és
cons uc-
i a
pe ó
que,
en
cán i,
és
ini á iamen
consis en
.
In odui emexp essions
sp'(x),(P(y),
41(x),
e c,
on
x,y
ep esen en
a iables,
pe
ep esen a exp essions
de
la
mena
-g/h,
on
,
g
i
h
són neo e mes
.
Si
posem
con enim,
pe
qualse ol
neo e me
,
en
que
IP
(x)

=

-9/h
'p( )
_
( l
(x, ))-(gl
(x, ))/(hl
(x, )),
on
el'signi ica
de l(x, ),
e c

.ás-el,ma eix
pe
.neg e mes
que pe

e mes
(el
esul a
de
subs i ui
x
pe
en
)
.
Es
cla
que
el
cas
in e-
essan
és
quan
en
,
g, h
no
apa eixen
al es a iablesque
x
.
Supo-
sa em
que
aques
és el
cas
.
E en ualmen
sup imi em
la
x
i
només
esc iu-
em
(P
.
També posem
-En
pa icula ,
3
.1

De inicié
.

W

és un eal

=

-P
E
R

-

-P
(x)
E
R(x)

-

SP(x)
E
Q'
(x)

&
(3
m)[m(x)

EN
(x)

&

(Vn, )[
I~p(M(n)+ )-~p(m(n))

<1/n]]
.
Si la
o ma
ep esen ada
pe 9 E
Rés
closa,
que
és
el
cas que
es
dóna si en 9(x) no
apa eix
al a
a iable
que
x,
enim,
d'aco d
amb
V
.1-6,
que
V
:
WE
R si
aixó
és,
si
A a
enim
1
=
S(0),
2
-
S(S(0)),
3 -
S(S(S(0))),
e c
m/n
=
m-0/n
1/n
=
1-0/n
=
S(0)-0/n
m/1
-
m-0/1
-
m-0/S
.(0)
1/1 -
1-0/1
V
:
w
(x)

E
Q'
(x)
:
(3m)[m(x)
E N(x)
&
(Vn, )[
ISp(m(n)+ )-s?(m(n))
1
<1/n]]
,
(*1

E
N (x)
& g
E
N (x)
& h
E
N (x)
i,
pe
algun
ope ado
que a a
deno a em
pe
m
podem
demos a
que
(**)
F-1~P(m(n)+ )-+p(m(n))I
<1/n
pe
o s
els
nume als
n i
.
3
.2

Lema
.

Pe
qualse ol
e mes

,
g
i
h,

i
si

W
(x)

=
-9-/lh,
W
(x)

E R
(x)

k

(3m,n)
(V )
[
19
(n+ )
1
<m/1]
Pe demos a
el
lema
hem
de
conside a
qualse ol
segmen
V
ex ensie
de

B

i
suposa
que

V
:9
(x)
E
R(x)
;

és
a
di ,
que
es
sa is an
Alesho es
d'on,
pe una
p opie a
del
alo
absolu
(que
suposem
demos ada),
Ion,
a a,
V
i
.-19(1(1)+ )-+p(m(1))
1
<1/1

pe
o s
el
nume als
V
1-
IW
(m(1)+ )j<1-P(m(1)I+1/1,

pe
o s
el
nume als

.
Tenim, pe
ce s
a
i
b,
que

jW
(m(1))_I

=
a-0/b,

i
lla o s
V
1--
19
(m
(1)
+ )
I
<
(a+1)
/1

pe
o s
els
nume als

,
de
mane a
que,
d'aco d
amb
V
.S
i
V
.6,
m,
.
i
V
:
(3m,n)
(V )[
I'P(n+ )
I
<m/1]
,
ep esen en
a iables/'
,
1
aiXu és el
que
s'ha ia
de
demos a ,
segons
V
.4
(on
el W
de
V
.4
és el
ma eix
V)
.
3 .3

P oposició
.

Si

"
P
1
(x)

=
l
-9
l
/h
l i,
9
2
(x)
=
2
-9
2
/h~, on
els
1
,
h
i
sen e mes
qualsse ol
(sense
al es
a iablesque

alesho es
(P1
E R
&
`p2
E
R)

V-

(SP1+9
2ER
&
wl
.'P2
ER
&-W1
E
R)
Demos a em,
pe
cada
V,

que
V
:
(91
E
R &
%
P2
E
R)
kSp
j
SP
z
E
R
.
Supqsem
que
V :(P
1
E
R&
SP2
E R
.

D'aco d
amb
la
de inicie
an e io
i
la
demos ació
del
lema
enim,
pe uns
ce s
m
l ,
m
2
,
n
l
,
n
2
,
m
l
i
m
2
,
a egi n
una
obse ació
i ial
:
demos em
W
:
V
:

(Vn, )[

sP1
(m
l
(n)
+ )
-91
(m
l
(n))

<
1/n1
V
:

(Vn, )[
¡TI
(m
2
(n)+ )-'P2
(m2
(n))
1
<
1/n1
V
:
V
:
(V )[
I'P
1
(p
.
+ )
I
<M,/1
(V )[
I,P2
(n
s
+ )

<
m2
/1
1
A a
adjun em
a
V
alguns
pos ula s,
d'aco d
amb
PR
.2,
que
ga an ei-
xin,
pe
el
segmen
W
així
ob ingu ,
i
un
ce
ope ado
m,
que
w
:

(ds)[
m(s)=m
1
(4m
1
s)+m
2
(4ín
2
s)+n1+n2
com que
les
qua e
a i macions
an e io s con inuen
essen
ce es a W,
ind em,
usan
el
p incipi
d'inducció,
(Vn, )[
I~1
(m
(n)+ )-P,
(m(n))

<1/2m,n1
w
:
w
:

(Vn, )[
IsP
2
(m (n)+ )
-
-9
2
(m(n))

<
1/2m,
W
:

(Vn, )[
191
(m
(n)
+ )
I
<
m
l
/11
w
:

(Vn, )[
I(P2
(m(n)+ )
1
<m2/11
.
(Vn, )[
i~P1(m(n)+ )%PZ(m(n)+ )-AP(m()bPZ(m(n))
5
I~1
(m(n)+ )

(m
(n)
+ )
-4PZ
(m(n))

+I~2
(m(n))

"
IsP1
(m (n)+ )- P, (m
(n)
)
W
:

(Vn, )[
19,
(m(n)+ )SP
Z
(m(n)+ -O
l
(m(n)9
Z
(m(n))

<
1/n1
Aixó
úl im
ol
di , si a a
m
ep esen a
un
pseudoope ado ,
i
si
w
:<3m)[
m(x)EN(x)

s

(Vn, )[
191
(m(n)+ )'P2
(m(n)+ )

P1(m(n)
)~P
Z
(m(n))

<
1/n11
De
mane a
que,
d'acó d
amb
V
.4,
hau em
demos a
la
p oposicib
si
1
:

-P,
(x)
w
2
(x)

E
4'
(x)
Pe !
aixl,
com
abans
la
demos aci6
de
que
m(x)
E
N-(x),

és
i ial
W-
(només cal
demos a
que,
en
gene al,si
a E
NU
i b
EN
-
,

alesho es
a+b
E
N5
i
ab
E
NE)
.
3
.4
.
De inici6
.

SP
.
.0
-
9(x)
- 0
3
.5
.
De inici6
.
(3
m)(m(x)

E N
(x)

&

(dn,E)[
~SP(M(n)+ )
1
<
1/n
11
W
'és
equi alen
a

~
-
9
-~
-
w(x)-
q(x) =
Ip(x)-0(x)
-0
.
Suposa em,
pe
exp essions

W
(x),
'P(x),
e c,

de
la
o ma

-
9/h,

i
quan
aixi ho
indiqui
el con ex ,
que
,
9
i h
son
e mes
(no
neo e mes
qualsse ol)
en
els
quals
no
apa egui
al a
a iable
que
x
.
3
.6
.

P oposici6
.

Pe
qualsse ol

9,
0,
ip
l .
;
p2
,
~l'
'P
2'
X
'
1)
:NER
k p-~p
2)
;(IQEP
&
IPER&~p
3)
;«PER&
;P
ER&XER&-p&xksp-X
4)

;(91

E R
&
SP2

E

R
&

01

E

R

&
;k
2
ER
&
wl

.
.
w2

&

01
(W
1
+ wl

9
2
+
I%/
2
&
ip
l
~
1-
9
2
0
2
& -SPI-
-Sp2)
5)
Les
lleis
o mals
de la
suma
i
el
p oduc e
,
3
.7
.

De inici6
.

Pe

14(x)

=
-
(x)
-
s(x)/ (x),

on

,
s
i

s6n
pseu-
dope ado s
de
g au
1,
posem
(»)
com
ab e ia u a
de
(3 , s,
)
.
Alesho
es
de inim
9(x)
'
és
in e ible

=

(3~G)[

ER
&
-P
(x)
"
0
(x)
-
1/1]
3 .8
.
P
oposici
6
.
Reco dem
la
de inici6
de
P
-
'
.
Alesho es,
pe
cada
(1P
E R
&
SP
-1
E
R)
b
(IP
és
in e ible

&
Vo
-1
- 1/1)
3
.9
.
No a
.
No
enim
una
dico omia
que a i mique
cada
eal hagi de
se
in e ible
o
equi alen
a
ze o
.
Al
espec e
es
po
eu e
la
obse aci6
3
.13,
més
enda an
.
3
.10
.

De inici6
.

W

és no
nega iu

=
p
;b 0
= 0
sis
(p
3
.12
.
De inici6
.
=

(3m)[m(x)
E
N
(x)

&

(Vn, )[0/1
<
;p(m(n)+ )+1/n]1
3
.11
.

De inici6
.

sp

és
nega iu

=
Ip
Z
.
0
=
0
A
Ip
(3m,n)
(Vs)[m(s)
EN
&
0/1
>
(P(S+m(S))+1/n],
SP
4
0
=
0á
(P
=
0--' 44-W
,p
z
0
=
0
a
~p
=
-P-0
.c
0
3.13
.
Obse aci6
sob e
la
ico omia
.
No
enim
una
ico omia
de
1'es il
"si
9

és un
eal,

SP
<
0,

~P
-..
0

6

SP
a
0"

ni
dico omies
"si
#p

és
eal,

cP
X
0

6

Wa
0"

o
"si

oP

és
eal,

,p
.
?A 0

6

;p i
0"
.

Tenim,
pe b,
succedanisd'aques es
a i macions
.
Un
exemple,
que
no
usa em,
és
:
P oposici6
.
Pe
cada
'P
E
R A
(3S)[
(S=0
.
V
s=1)
&
(s=1
kI0
4
O)
&
ú0
4
0
1=
s=1)
&

(s=0
k
IP
á
0)

&

(o
,,
0
1=
s=0)
]
La
demos aci6
és
com
segueix
:
Suposem
que
V
:~p
E
R,

on

=
-g/h,

E
NV(x),

g E
N-(x),
h
E
NV(x)
.

Conside em
l'exp essi6
0/1
<W(Y+z)+1/x
y
eco dem
que, segons
les
de inicions
de
la
secci6
2,
aques a
exp essi6
no és
es més que
la
ep esen aci6
d'unace a
ó mula
k=0, on
k
E
NV(x,
y,'z)
.

Aixó
és,
0/1
<IP(y+z)+1/x
=
k=0

i,
pe
qualsse ól
e mes
a, b, c,
'
un
ce
2
,
56
D'aco d
amb
PR
.2,
podem
ob eni
una
ex ensió
V
1
de
V
en la que,
pe
alg6nope ado
l
inguem
V
1 :
OX,y,Z)[
l
(x,y,z)=1sk]
V
1
:
(VX,y)[,E ,l(x,y)
E
N
&
(E l(x,y)=0
ce
3 ,
En
una
ce a
ex ensió

V
L
de

V
1
 ind em,
de
la
ma e¡
xa
mane a,
pe
De la
ma eixa
mane a,
en
una
ce a
ex ensió
V
3
de
V
2
i
pe
un
V
3
:

(Vx)[
3
(x)=E
2
1x
V
3
:
E
3
EN
& (E
3
=0
V
E
3
=1)
Fem
Tenim

V
3
1--
s=0
V
s=1
.
Hem
de
demos a
a a
1)

V
3
:
s=1
k
p z_
0
2)

V
3 :
s=0
k
w
-?
0
3)
"
V
3
z
0
k
s=1
4)

V3
:
9
á
0
k
s=0
0/1
<9
(b+c)+1/a
E
k'I(x,a)I(y,b)
J
(z,c)=0

'
V
2
:

(Vx,y)[ 2(x,y)=E
l
(XM
]
V
2
:

(Vx)
,
[
E
e
(x)
E
N&(E
2
(x)=0
V
E
e
(x)=1)]
s
=
E
Suposem
que

V
3
I--s=1
.

Aixb
ol
di
que

V
3
F-
E
3
=1,
i
que,
pe
an ,
segons
els
me a eo ema
de
minimi zaci6,
V
E l(x,y)=1)]
V
3 :
M
3
E
N,

i

V
3
F-
3
(M
3
)=0,

d'on
V
3
F-E
2
(M
3
)=0,
que
implica,
pe
el
pos ula
(IV)
de
PR
.2
ela iu
a
2
,
que
i,
en
consequéncia,
(VY)[1
2
(M
3
,Y)=0
]
V
3
:

(Vy)[
-
lE
l
(mi3'E)
=0
1
V3
:

(VY)
[E
1
(M
3
,Y)
=
11
i,
pe
el
me a eo ema
de
minimi zació,
V
3
:

(VY)[M
l
(M 3,Y)
E
N &
(M 3
.y,
M l(Mil
,y))=01
.
V
3
:
(Vy)1MI
1
(M
3
,Y)
EN
&
-'k1
(x,M
3
)1(z,M
l
(M
3
,y))=01
V
3
:
(Vy)(M
l
(M
3
*y)
EN
5 0/1 >
ip(y+M l(M 3,Y))+1/M 3]
Fem,
pe alguna
ex ensió
V
4
de
V
3 ,
que
V
4 :
(Vy)[m(Y_)=M 1(M 3
.Y)]
.
i
em
ambé

n
=
mi
2*

Hem demos a que
V
4
:

(3
m,n)
(Vy)[m(y)

E N
&
0/1

>
50
(y+m
(y))+1/n]
,
aixó
és,
que

V
3
:9
'< 0
;

i
aixó
demos a
(1)
.
Suposem
a a
que

V3
1-
q=0
.

Aixó
ol di que

V
3
F-E
3
=0

i
que,
se-
gons el
pos ula
(IV)
pe
3, V3
:(Vic)[1 3(-X)=01,
d'on
V
3
:
(Vx)[E
2
(x)=11

i,
pe
el
me a eo ema
de
minimi zació,
V
3 :

(Vx)[M
2
(x)
E
N &
2(x,M 2(x))=01
V
3 :

(Vx)[M
2
(x)
E
N &
E l(x,M 2(x))=01
V
3 :

(VX,Z)[M
2
(x)
E N
&
1
1
(x,
M
2
(x)=z)=01
.
.
V
3:

(Vx,z)[
M
2
IXL
E N
&
kl
(V,M
2
(x))
=
01
V
3 :

(VX,z)[M
2
(x)
EN
&
0/1
<W
(M 2(x)+z)+1/x]
Si
em,,
en
algun
V4
ex ensió
de
V
3 ,
que,
pe
un ce
m,
hau em
demos a
que
Vy :sP
á
0
;
'i
aixó
demos a
(2)
.
una
ce a
m( )
E
NV
( ),
enim
3
. .
aixo
es,
Suposem
a aque

V
3 :
(p
o-'
0,

que ol din que pe
un
ce
enme

n

i
V
3
F
-
1
(n,
,
m( ))=0

pe
cada
nume al

,

d'on,
pe
(IV),
(A)

V
3
F
-
- ) 2
(n, )=0

pe
cada
nume al

En
aques momen
enim
un
pas
delica ,en
el
que
a i mem
que
d'aques a
a i maci6
(A)
podem
conclou e
que
(B)

V2
F-
1
2
(n, )=0
pe
cada
nume al

Pe
no pe d e el
il
de la
demos aci6deixa em
la
jus i icaci6
del
pas
de
(A)
a
(B)
pe
una
mica
més
enda an
.
Vy
:

(Vx)(
M
-
(X)
(x)]
,
V
3
:
(d )[
0/1 >
9( +m( )
)+1/n],
V
3
F
-
E
l
(n, )=1
pe
cada
nume al
Tenim
a a, de
(B),
pe
PR
.3,
un
segmen VZ
ex ensi6
de V
Z
que
V
2
d'aques
en
a egi
el
pos ula
1
E
2
(n)=1
.

Es
adi
que
enim
V2
-
E 2(n)=0
Reco dem
a a
que
hem
passa
de
V
Z
a
V
3
a egin
uns
pos ula s
(I)-(VII),
d'aco d
amb
PR
.2,
que
e
:is
han pe mésin odui una
no a no aci6,
3
(x),
"

pe

E
2
(x)
.

Obse em
que
PR
.2
pe me a egi
exac amen ,els
ma eixos
pos ul
a"
a
V2,

ob enin
aixi
un
iou
segmen
.
VZ

que
és,
al
ma eix
emps,
ex ensi6
de VZ i
de
V
3
,
i
en el
qual
enim
V
.,
,
F-
3
(n)
=E
2
(n)
Pe
an ,
i,

pe

(IV)

( ela iu
a

13),
VZ
-
3
(n)=0
i,
como
que
ja
hem
obse a
que
V"
~-
V
3
,
aixódemos a
(3),
excep e
pe
que
ens
al a eu e
com
podem
passa
de

(A)
a
.(B),
que'és
el
que
a a
a em
.
Obse em,pe
comenga ,
que,
com
que
2
(x,y)
només
po
p end e
els
alo s
0 i 1,
(A)
i
(B)
equi alen
a
(A')

V3
F-
2
(n, )=1

pe
cada
nume al

(B')

V2
F-
2
(n, )=1

pe
cada
nume al
Conside em
qualse ol
nume al
.
Segons
(A'),
2
(n, )=1
és un
eo ema
en
V
3 ,
i
olem
demos a
que
ambé
ho
és
en
V
2
.
Suposem
que
C
és
una col
.lecció
ini a
de
pos ula s
de
V
3
al
que
C
-
2
(n,
)=1
Sigui
C'
el
conjun
de
memb es
de
C
que
ambé
sónpos ula s
de
V
2
.
Si
suposem
que
2
(n, )=1
no
és
eo ema
de
V
2
hi
ha
d'ha e
una
alo aciólógicaque
sigui
compa ible
amb
C'
i no
amb
aques a
o mula
.
Podem
modi ica
aques a
alo ació
en
que algui
F
( als)
en
qualse ol
ó mula
a ómica
a=b
que
no
apa egui
en
cap
memb e
de
C',
i
aques a
a
i
lo ació,
que deno a em
G,
con inau á
essen
compa ible
amb
C' i
no
amb
2
(n, )=1
.
Veu em
a a que
G
es
po
"es end e"
a
una alo ació
G'
compa ible
amb
C
i
no
amb
2
(n, )=1,
cosa
que
dóna
una
con adicció,
ja
que
C
F-
. 2(n, )=1
.
Que
G'
sigui
"ex ensió"
de G
old ádin que
G'(a=b)
=
V
( e i a )
semp e
que
G(a=b)
= V
.
Aques a
G'
es
po
(20')

V
S
:

(Vn,m)[ l-sl/ l)+((Mh(n)=1)/2a)'(( 2-s2
/ 2)-( 1-sl/ l))
<
IP(m+M (n,Mh(n)=1,m))1
Si
p enem
M (n,ME(n)=1,Mg(n,Mh(n)))+n
pe
i
Mg(n,Mh(n))+n
pe
m
ind em
(21)
V
5
:
(Vn)[
(E,-sl/ l} ((Mh(n)=1)/2n~°(( 2-s1/ z)-(Ey-II/ -l))
<SP(n+Ml(n,Mh(n))+M (n,MFi(n)=1,
Mg(n,Mh(n))))1
(22)

V
S
:

(Vn)[W
(n+Mg(n,Mh(n))+M (n,Mh(n)s1,Mg(n,Mh(n))))
/ i)+(Mh(n)/2"I
.(( 2-s2/~)-(1-sl/ ,))1
Tenim,
en
alguna
ex ensi6
V
6
de
V
5
,
i
pe
algun
k,
(23)
V
6
:
(Vn)[k(n)=n+Mg(n,Mh(n))+M (n,Mh(n)=1,Mg(n,--Mh(n)))1
així
que,
si
em
A a
a i mem
que
a=
l
-s
l
/
l
,
R=
2
-s
2
/
2
,
(24)

V
.
:

(Vn)[
a+((Mh(n)
=1)
/2a)
°
($-a)

<
W
(k
(n)
)
&~p(k(n)
Sa+(ME(n)/2n)
"
(R-a)1
(25)
V
6
:
(Vn)[
(Mh(n)=1)/2L<
(Mh(n+1)_1)/21+11
(aixó
és,

(Vn)[
2Mh(n)_2
5
Mh(n+1)=11
)
ind em,
pe
(21)
i
(22),
En
e ec e,
obse em
que

V
6
:
(Vn)[
(2Mh(n)=2)/21+1=(ME(n)=1)/2'
]

i
enim,
pe
(20')
i
(1),
(26)

V~
:

(Vn,m)[ (n+1,2 4i(n)=2,m,M (n,Mh(n)=1,
m))=01
Pe 'o'
de
(14),
pe n+1
en lloc de
n,
(27)

V
6
:

(Vn, )[
1 (n+1),Mh(n+1),M9(n+1,Mh(n+1)), =
01
Pe
Mg(n+1),Mh(n+1))

en'
lloc
de
m
en
(26)
i
M (n,Mi(n)=
1
.,Mg(n+1,Mh(n+1)))
en
lloc de
en
(27)
enim

així
que
que
demos a
(25)
.
d'on
També
a i mem
que
V
6
:
(Vn)[
(n+1,2Mh(n)-*2,Mg(n+l,MFi(n+l)),
M (n,Mh(n)=1,Mg(n+l,Mh(n+1))))=0]
V
6
:
(Vn)[-l (n+1
,Mh(n+1)
,Mg(n+l
,Mh(n+1))
,
M (n,Mh(n)-1,Mg(n+1,Mh(n+1))))=0],
V
6
:
(Vn)[Mh(n+1)
>
2Mh(n)=2],
V
6
:
(Vn)[
Mh(n+1)=1
>
2Mh(n)=2],
(28)

V
6
:
(Vn)[
Mh(n+1/2
n+1
<
Mh(n)/2n]
(aixo
és,

V
6
:
(Vn)[
Mh(n+1)
<
2Mh(n)])
.
En
e ec e,
enim
de
(14),
amb
un
pe i
ábús
de
no ación,
s
:
(Vn, )[2Mh(n)/2
n±1
=L h(n)/2
n
>,p(Mg(n,Mh(n))+ )]
(29)
V
6
:
(Vn, )[1 (n+1,2Mh(n),i-1g(n,Mh(n)), )=0]
Pe o
d'aco d
amb
(20),
pe
n+1
en
lloc
de
n,
(30)
V
6
:
(Vn,m)[ (n+1,Mh(n+1)-1,m,M (n+1,Mh(n+1)=1,m))=0]
així
que
Si
p enem,
a
(29)
i a (30),
i
Mg(n,Mh(n))
pe
m,
enim
M (n+l,Mh(n+1)=1,Mg(n,Mh(n))) pe
V
.
:

(Vn)[
-
l
(n+1
,2Mh(n)
,Mg(n,Mh(n))
,
M (n+1,Mh(n+1)=1,Mg(n,Mh(n))))=0]
,
V
6
:
(Vn)( (n+1,Mh(n+1)-1,Mg(n,Mh(n)),
M (n+1,Mh(n+l)=1,Mg(n,Mh(n))))=0],
V
6
:

(Vn)[
2Mh(n)

>
Mh(n+1)
_1
]
V
6
:

(Vn)[
2Mh
(n)

>
Mh
(n+1)
] ,

(pe

(15))
,
que
demos a
(28)
.
un

(x)

i un

q

al
que
De
(25)
i
(28)
enim,
amb
algun
abis
de
no aci6,
(31)

V
6
:

(V
n)[
(F4i(n)-1)/2
11
<
(Mh(n+1)_1)/2n±i
<
Mh(n+1)/2
n+1
IQ
Mh(n)/2
n
]
Finalmen ,
és
ácil eu e
que
exis eix,
en
alguna
ex ensi6
W
de
6 ,
W
:
(Vn)[q(n)=k( (n))]
i q(x)
és
es ic amen
c eixen
.
I
alesho es
de (24) i (31)
demos em
ácilmen
que
-P(q(x))
és
un
eal,
en
alguna
ex ensi6
de w,
que
és el
que ha iem
de
demos a
.
5
.
Funcions
5
.1
De inici6
.
Fem que
( -g/h)
j
(x-y/z,
x'
-
X_'/z')
ep esen i
el
esul a
de
posa
x'
;y'
i
z'
en
lloc
de x,
y
1
-
1
z,
espec i amen ,
a
-g/h
.
De inim
-g/h,
pe neo e mes
,
g, h
en
els
quals
no
apa eixenal es a iables
que
x, y, z
.
En
les
p oposicions
equen men
suposa em
áci amen
que
,
9
i h

s6n
e mes,
depenen
del
con ex
.

Fem
con encions
als
com
:
Si l=x-y/z,a=
a-b/c
i
(D
(x-y/z)
-g/h,
alesho es
-g/h
E
Q(x-y/z)
=
E
N(x,y,Z)
&gE
N(x,y,z)
& h
E
N(x,y,z)
&
(Vx,y,Z)[1h=0]
&

(VX,y,z,x'y',Z')[
1Z=O
A-
IZ'=0
A
X-y/Z=X'-
y
'/Z'
-g/h=( -g^)PX-y/Z,x'-y'/z')1
Usa em
exp essions
de
la
mena
O(x-y/z)
pe
ep esen a exp essions
I
(a)

=
0(a-b/c)

=

(
-g
-
/!!)
1
(E,
a)
eni
en
que m(a,d)
=
m(a,b,
c,d),
si
a
=
a-b/c
.
També,
en
aques
cas,
posa em
Usa em ab e ia u es
als
cqm
posa

(Va)

en
lloc
de
(Va,b,c)
denom
a
=c
5 .2
De inici6
.
Sigui
l=
x-Y-/z
.
De inim
(C)
és
uni o memen
con ínua
en
conjun s
a i a s
'-_
$(1)
E Q
C
(E)
$(1) E
Q(1)
&
(3m)1m(a,B,n)
E
N(a,0,n)
&
(Va,B,Y,6,n)(
-
ldenoma
=0n -
IdenomO=0
nldenomy=O
A
ldenom6=0
n
a
<
Y
n
Y<0
n
a
<
6
n
6<0
n
¡Y-61
<
1/m(a,B,n)
~~(Y)<
1/n
J1
5 .3

Obse aci6
.

Cada
elemen
de

Q
C
(E),

que
associa
a
cada

a
E
Q

un
elemen
I(a)
E
0
po
se
"es és
pe con inui a "
als
eals
.
Més
p eci-
samen
.
5 .4
P oposicib
.
Pe
qualsse ol
ID,9,X
pe ado s),
(en
els
que
no
apa eixen
pseudoo-
$(1)
E
Q C
(E)

&
9( )
E
R
( )

&
X
( )

E

R
( )

&
9
X
b
(D
(TM
)

E

R
( )

& $
(X
( )
)

E

R
( )

&

<D
(X
( )
)

$
(IP
( )
)
5
.5
No a
.
De ini em
les
uncions
con inues
en
un
in é al clos
com
les
successions onamen als
( ela i es
a
1'in
¬
al)
d'elemen s
de
Q
C
,
de la
ma eixa
mane a
com
hem
de ini
els eals,
a
3
.1,
com
successions onamen-
a15
de
acionals
.
Usa em
no acions
als
com
pe qualse ol
a-a-b/c
i
neo e mes
~(w,C)
=
~(
w,x-y/z)
=
pe ,
~
n
(a)
=
0(n,a)
=

(w,n)
1
(1,a)
.
n, a, b,
c
.
o
con-
5
.6
De inici6
.
*(w,C)

és
una
successi6
d'elemen s
de
Q
C
(1)
_
(Hm)[*m(C)
E
Q(1)]
&
(3m)[
m(k,o ,s,n)
E
N(k,a,s,n)
&
( lk,(x,B,Y,6,n)[
ldenoma=0
A
ldenoms=0
A
ldenomy=O
A
ldenom6=0
A
a
<
Y
A
Y

B Aa
<
6
A6
<
B
A
~Y-6~
<
1/m(k,a,s,n)
14'k(Y)-*k(5)
1
<
1/P
]
5
.7
De inici6
.
Sigui
I
=['P,X]
.
Alesho es
de inim
VW,C)

és
una
unci6
con inua
en

I=
O¿(w,E)
EC
I
(1)
E
R &
XER
&
0(w,E)

és
una
successi6
d'elemen s
de
Q
C
(E)
&
(3
;P',X',m)['p'
E
R &

X'
E
R
&

(p'-9
&
X
'~X
&
m
(x)
E
N
(x)
&
(an)['P'
(n)
G
'P'
(n+1)
&
X'
(n)
<
X'
(n+1)]

&
(l n, ,a,b,c)[1c=0
AIp'(m(n)+ )
<
a-b/c
A
a-b/e
<
X'(m(n)+ )
on
el
signi ica
de
(39')
és
com
p'(x)

=
'
(x)-s'(x)/ '(x),

-
pe
un
ce s
pseudoope ado s

',s', ',

i
lla o s
(3'0')
signi ica
(3 ',
s',

Análogamen
pe
X'
.
No a
.

Una
pa
de
la
de inici6
és

(Vn)
[
W'
(n)
6
W'
(n+1)
] ,

que
signi ica
(o
es a
ep esen a
pe )

"V'
és
monó ona
no
dec eixen "
.
També
enim,
és
cla ,
5
.8
Obse acions
.
b
10
dí
(n)+
(a-b/c)-Dm(n)(a-b/c)j

<
1/n]],
segueix
:
suposem
que
1'

és
monó ona
no
c eixen

=
(1Fn)[
;P'(n)
>
41'
(n+1)]]
a)
Análogamen
al
que
ha
es a
e
a
3 .4 i
3
.5,
podem
de ini
la
noci6
(Du(1)

_0

i
la
noci6

(P
u
(E)

-
.
ú(1),

pe

(D
u

i

ú

en

CI
,

i
demos a
que
aques a
és
una
elaci6
d'equi aléncia
b)
Podem eu e
cada
elemen
de
C
I
com
a
" unci6
de
I
en R"
.
Dona
'P
E R

al
que
'k
G
9
-
X,

i
dona

$u
E
C
I
,

si

e

és un
eal
al qual
con e geix

(D
u
(sP(x)),

podem
de ini

e

com
el
alo
de

(D
u

en

W
.

És
cla
que
aques
alo
e
només
es á
de ini
módulo
equi aléncia
.
Si,
en un
segmen

V,

enim
que
.
V
: <D
u
(C)
E
CI
(1)

i

V
:W
(x)
E
R(x),
ep esen a em,
amb
no aci6
ambigua,
pe
1('P)
aques
alo
de
1
en
'P,
que acabem
de de ini ,
móduloequi aléncia
.
Quan
em
alguna
a i maci6,
en el
segmen
V,
ela i a
a
se ol
dels
eals
ep esen a s
pe
1(9)
un
eal
pa icula
segu s
que
la
ma eixa
a i maci6
es
compleix
pe qualse ol
eal
equi alen
a
ell
.
(D(W),
es a em
en la
a i maci6
pe
qual-
pe
1D(W)
;
o
bé,
si
ixem
com
a
ep esen a
al
qual

1u
(9(x»

con e geix,
hem
d'es a
-
c)

Amb
el
que
s'ha
di
es
po
p ecisa
i
demos a
1'a i maci6

"C
I

és
una R-álgeb acomple a"
.
5
.9

P oposici6
.

(exis éncia
de
máxim
i
minim
pe
elemen s
de

C
I
).

Sigui
I -
(
J1,XI
.

Pe qualse ol

<D
u
(1)
,
(u,
j)
E
CI
(1)

F

(3T
1
,T
2
)IT
i
ER
&
T
z
ER
&
T
I
iX
&
46e ,

&
T
2
'-X
&

( en
e
ER
.&
~-4
e&e

X
k
(D(9)
i
<>(T
1
)

&
(D
(e)
á
(D(TZ)11
Veu emcom cons ui
T
1
.
Reco dem
que
T
1
(x)
=
(x)-s(x)/u(x)
pe
ce s
pseudoope ado s
, s,
, i
que
(3T
1)
signi ica
(3 ,s,u)
.
P ime
de inim
(a-b/c)=(d-e/ )
_
((a +ec)-(b +dc))-
0/M)
La
uncio
a(x)
de inida
a
la
secci6
2
s'es én
com
a(a-b/c)
=
a(a-b)

A a
suposem
V
:
$(u,&)
EC
I
(~)
.
Aix£
que
enim,
pe
algun
m,
algun
,
i
ce es
V'
i
X',
monó ones,
no
dec eixen
i
no
c eixen ',
espec-
i amen ,
i
als
que
X
-
X'

i
0
~
~'
:
(~)

V
:
(Vk,CI,B,Y,d,n)[ldenoma=0
A
-
ldenomB=0
A
-
ldenomY=O
A-
ldenomd=0
A
a
6
Y
A
Y
<
BA
(%
<
6
A
6
5
B
¡Y
-6
1
<
l/m(k,
«,B,n)
=
I>
I'D
k
(Y)-D
k
(6)1
<
'l/n]
(bn, ,C)[
ldenomC=0

A
'P'( (n)+ )
<
C

AC
<
X'
( (n)+ )
Lla o s
enim,
en
alguna
ex ensi6
V'
de
V,
pe
algun
,
i
si
V
: [
c >
X'
(0)-o'
(0)]
,
on
Usemla
no aci6
i T
l (x)
és (x)-s(x)/u(x)
->j(D (n)+ (J)-
o (n)(1)1
<
1/n]
V'
:
(1 n)[
(n,0)=0]
V'
:
(Vn,i)[ (n,i+1)= (n,i)+[
((i+1)- (n,i))
.
á(0 '(n)(IP'( '(n))+((Y+1)/d)
"
s)4
(n)(V'( (n))+( (n,i)/d)
"
e))31
6

-
X'
( (n)
)
-
;k`
(
(n)
)
P(n)
_
;P'( (n))+( (n,n)/d)
.s
Lla o s,en alguna
ex ensi6
W'
de
V'
enim,
pe
ce s
q,
,
s, u,
P(q(x))
E
R(x),
W'
:

Ox)[ (x)-s
(x)
/u
(X)
=p(q(x))]
,
La
cons ucci6
de
T
Z
és
análoga,
i
d6nalloc
,
a
un
segmen
W
.
Res a
pe
demos a
.,
pe
qualse ol
e,
d - c
.m( (n)

( (n))
,
X'
( (n))

n)
w
:
e
E
R s
~y~e
&
0
11X

k
(D(6)
;I
(D(T,)

s
(D(0)
a
(D(T2
5
.10
P oposició
.

( eo ema
de
Bolzano)
.
Posem
I
=
[IL,X]
.
pe
qualsse ol
~, X,
(D,
6,
sió
V'
inguem
V'
:
E

C
I
(

)

&6
E

R &
(D(0)

0
e

& e
Z-
(D
(X)
k
(3T)[p~T
&T!C-
0
&(D(T)
-e],
i
1'analeg
pe
(D(0)
á
e

ie
?
$(X)
.
Pe
la
demos ació
suposa em,
sense
pe d e
gene ali a ,
que
:
~D
(41)
i~-
0/1

&
0/1

~(X)

& 6
.
.
0/1
Aixó,
jun
amb
(*)
i
(**)
de
la
p oposició
an e io és
la
nos a
hipó esi
.
Fácilmen
podem
subs i ui
1
pe alguna
$'
al
que,
pe algunaex en-
V'
:

(d
n)[
~ (n)

(n»<

0/1

&0/1

<
~ (n) )X'
(n»]
,
amb
la
ma eixa
no ació
de la
p oposicióan e io
(pe 1'
en lloc de
(D)
.
Suposem
que
$ ja é
aques a
p opie a ,
pe
V' -
V
.
La
condici6
és
equi alen ,
en
alguna
ex ensió
V'
de V,
pe
algun
, a
Com que
'
:
(Vn)[ (n,d)=0]

enim
V'
:

(Vn)[
El
(n)=1

&
Mi
(n)

E

N
&

(n,M
(n)
)=0
&
1
(n,M
(n)=1=0]
Tenim
alesho es
V
~
(D (n)(~~( (n))+(i/d)
"
E
>
0/1)
V'

k-
(n,
i)=0
V'
:
(Vn)[
(D (n)(P'( (n))+(M (n)/d)
"
E > 0/1
&
~ (n)(~'( (n))+((Mi(n)_
1)/d)
"
e
<
0/1]
Fem
a(n)
_
~'( (n))+(M (n)/d)
"
E i
ind em,
pe
qualse olsubsucce-
ssi6
O(q(n))
de
a(n)
que
sigui
un
eal,
en alguna
ex ensi6
V" de
V',
Ins i u o
de
Ma emá icas
U .N .A
.M
.
V"
:
$(a(q(n)))^
0/1
Re e éncies
[1] F
.
Tomás
.
A i mé ica
i
análisi
o malmen ecu si es
.
Pub
.
Ma
.
UAB,
28,
No
.
1,
pp
.
19-78
.
[2]

R
.L
.
Goods ein
.
Recu si e
A i hme ic
.
No h
Holland, 1957
[3]

R
.L
.
Goods ein
.
Recu si e
Analysis
.
No h
Holland,
1961
[4]

E
.
Specke
.
Nich
kons uk i
beweisbA e
Sá ze
de
Analysis
.
The
J
.
o Symb
.
Logic,
14, No
.
3,
(1949), 145-158
.
Rebu
el
día
14
d'ab íl
de
1986
Ins i u o
de
Ma ema icas
U .N
.A
.M
.
México
.