Anàlisi formalment recursiva

Pub . Ma . UAB Vol . 30 ne 2-3Des . 1986 ANALISI FORMALMENT RECURSIVA F ancesc Tomás 1 . In oducci6 Aques a icle és una con inuaci6 de [1], eball en el qual es desc iu el o malisme anomena "a i mé ica o malmen ecu si a" (secci6 4 de (11), i on es an di e ses conside acions sob e la possibili a de desen o lla una "análisi o malmen ecu si a" basada en ell . Aques a a i mé ica o malmen ecu si a és un o malisme (no un sis ema o mal) qué és ini á iamen consis en . En el p esen a icle es desen olupa un os edul , pe ó onamen al, d'análisi o malmen ecu si a . Cal no con ond e1'análisique desen olupa em aquí, que és una análisi o mali - zada, amb 1'análisique es p esen aesquemá icamen a [11, secci6 3, que és la e si6que pod iem di "in o mal" (o basada en la eo ia de conjun s) de la ma eixa . Una pa del p esen eball ha es a e a en col .labo aci6 amb Edga Bece a . Reco da em b eumen -la desc ipci6 del o malismede (11, sense~pe ó, epe i les demos acions ( ini á ies) de la consis éncia i del "me a- eo ema de minimi zaci6" . Algunes ague a sque po se es p esen a an pod an se acla idesau omá icamen , o bé consul an [11 . Així, doncs, eco dem que la a i mé ica o malmen ecu si a és una ca ego iaque é com a objec es ce es sis emes o mals, que anomena em "segmen s" . To s els segmen s ind an el ma eix llengua ge i la ma eixa lógica, que no se á al a que el cálcul p oposicional o lógica sense quan- i icado s (que en [1] es p esen a sense usa els connec ius Ai ° , pe ó que aquí p esen a em de la mane a habi ual) . . Els signes del llengua ge s6n 0, S, E, M, _, els pa en esis, la coma,  , V, A,  les " a ia- bles" i els "ope ado s" . Usa em com a a iable els memb es de qualse ol llis a in ini a de,símbols ; pe ó no usa em les a iables d'al a mane a que ep esen ades pe signes auxilia s ; i aqués s signes auxilia s se an, p e e iblemen , si bé no exclusi amen , les da e es lle es de 1'abeceda i, possiblemen indexades : u, , x, y, z, x 1 , x', e c . Pe cada en e posi iu n ind em una llis a in ini a de simbols, que se an els ope ado s de g au n . Con enium en que S és'un ope ado de g au 1 (el successo ) .` Cap del símbols 0, E, M, ni cap connec iu lógic, ni cap a iable, no se á un ope a- do . Els ope ado s es ep esen a an pe minúscules es ades : a, b, , g, 1 , ', e c . Els e mes, que a a de ini ém,se an ep esen a spe minus-* cules sub a llades : a, .b, a l , a', e c . De inim : 1)'0 és un e me ;'2) cada a iable és un e me ; 3) si és un ope ado de g au n, i si b1__b n s6n e mes, álesho es (bl, . . .lb~), É (b1, . . .lbn-) i M (b1, . . .,bn-1) s6n 1 e mes (si n ' és 1, s'en én'que hem d'esc iu e E i Mi en lloc de les dues da e es exp essions) ; 4) les aons an e io s s6n les soles que an que una exp essi6 sigui un e me . En e els e mes enium, doncs, les exp essions 0, S(0), S(S(0)), . . . Aques esexp essions,s'anomena an . nume als . Se an ó mules a ómiques les exp essions a=b, on a i b s6n e mes . A pa i de les a ómiques es o men o es les ó mulesde la mane a habi ual, mi jangan els connec ius l,  V, A, - i b . Les ó mules es ep esen a an pe A, B, A l , A', e c . El llengua ge que s'acaba de desc iu e se á el de o s els segmen s . Un segmen di e i á d'un al e nomás en els pos ula s . Les egles d'in- e énciase an : 1) cada ó mula au ólogica cons an (aixó és, en la que no apa eix cap a iable) i cadapos ula del segmen (que se á semp e una ó mula cons an ) s6n eo emes del segmen ; 2) si A i A ~ B s6n eo ems d'un segmen , alesho es B ambé és eo ema del segmen . Esc iu em U - A pe a indica que la o mula A és un eo ema del seg- men U . Rep esen a em els segmen s (enca a no de ini s) pe S, T, U, V, e c . Usa em el signe 2 en una exp essi6 X = Y pe a indica que X ep esen a Y, o que Y ep esen a X, o bé que X i Y ep esen en la ma eixa exp essi6 . Si b, c i d s6n e mes i A és una ó mula, les exp essions b l (c,d) i A I (c,d) ep esen a an els esul a s de subs i ui o es les p eséncies de c pe d, en b i en A, espec i amen . Així, pe exemple, si és un ope a- do de g au 2, [ ( (0,0),E ( (0,0)))=M (0)] 1(1(0,0)0) - (0,E (0))=M (0) Els pos ula s inicials , dona s com esquemes, i que segons eu em, se an pos ula s de o s els segmen s, s6n els seguen s : E .P .I .1- b=b, pe cada nume al b . E .P .I . 2 lb=c, pe cada dos nume als, b i c, que no siguinel ma eix . E .P .I .3 b=c A d= - d'= ', semp eque b, c, d, ,  siguin e mes i que la ó mula d'= ' s'ob ingui de d= en subs i ui una p eséncia de c pe b . Aques s pos ula s con enen les p opie a s de la igual a . Podem no a , pe o, que comí que (b1, . . . .lb ) no es á .p esen en E (b , . . .,b  ), 1'esquema E .P .I .3 po ens pe me dedui  U . --E (b l   bn-1)=Eg(b1, . . .,bn-1) del e que U - (b1, . . .,bn)=g(b1_ . .,b .) pe cada b n . Aixó és, E no és un ope ado en un sen i .que .ens ag ada ia que,ho ós . Tal com es a no a a [1, secci6 4 .3], el demana que ho ós ens impedi ia, p obablemen , el pode demos a ini á iamen e la consis éncia del o malisme . Abans d'exposa els "p incipia" que ens di anquins sis emes o mals se an els segmen s del o malisme hem d'amplia un xic la nos a e mino- logia . Pe un segmen . U i un e me b, di em que -b és un U- nomb e , i esc iu em b E N-,  si pe algun na u al podem oba nume als, c 1   c ,  pe ala quals  poguem demos a que ~(xi .bi) EN U (on, na u almen ,  l(x i ,b i ) . - j(x 1 ,b 1 )1 . . .1 (xn,bn))- . .  . Si b és un nume al i c un e me, SI(c) ep esen a á un e me, d'aco d amb la con enció U s- b=c 1 . V .  . V b=c , Di em ambé que un e me és U- unci6 de les a iables x 1 , . . .,xn , i esc iu emalesho es  E N-(X 1 , . . .,x n ),  si pe cada col .lecci6 de nume- , als b 1 , . . .,b n . enim que  , 50 (c)  E c, SS ( 0)(c )  E S(c),  SS(S(0))(c)  --_ S(S(c)),  e c bona un segmen U, di em que 1'ope ado és nou pe U si no apa eix en cap pos ula de U que no sigui un cas de E .P .I .3 . Reco dem a a els,p incipis PR . 1, 2, 3 i 4 que de ineixen ecu si amen els segmen s . PR .1 . El sis ema o mal que é el llengua ge i la .lógica que s'acaben de desc iu e i que é, com a únicspos ula s, els pos ula s inicials (els casos de E .P .I . 1, 2 i 3) és un segmen , el segmen inicial , ep esen an pe I . _ PR . 2 . Si : 1) U és un segmen in un en e no nega iu ; . 2) E N-(x l x n )  i  s E Nú (xl  . .,%C11, y, Z) ;  3)   és un ope ado nou pe U ; alesho es ambé és un s~en el sis ema o mal que s'ob é d'a egi als pos ula s de U els següen s esquemes de pos ula s, (1)-(VII), pe o s els nume als  b 1' . . . . b n , c, d : (Z)  i(x , , b,) =  (b1, . . .,bn ,0)=d -  ~ (II)  s 1 (xi ,b i WY,c)PZ, (b a . . .,bn,c))=d =" (b1, . .  bn.S(c))=d (122) 0  (b1, . . .,bn,0)=0 ='> M (bl, . . .,bn)=0 (III)'  l (b 1 , . . . . bn ,0)=0 A  . . .  A l (b 1 ,.... b n ,c)=0 A (b 1 " " ,bn .S(c))=0 1 M (bl, . . .,bn)=S(c) (IV)  . (bl, . . .,bn .c)=0 - E (bl, . . .,bn)=S(0) (V)  ' E (b1' . . .,bn)=0 V E (b,' . . .,bn)=S(0) (VI)  M (b,, . . .lbn)=c - (b1, . . .lbn,c)=0 (VII)  SS(c)(d)=M (bl, . . .,bn) " .l (bbn,d)=0 PR .3 . Si : 1) les condicions 1), 2) i 3) de PR .2 es sa is an i V és el segmen que s'ob é d'a egi a U els esquemes (I)-(VII) com a nous pos- ula s ; 2) h 1 -  h p , k ,. . . . k p , 5- " " ,g n són U- uncions de z , . . .,z q ; 3) podem demos a , pe qualsse ol nume als d , . . . .,dq,c, que V  ( h =k  A  . . . A  h =k  )  (z i Po -p  di )  - I (g (z i ,d i ) , . . .,g n 1 (z i ,d i ) ,c)=0 ; -  -  - - alesho es ambé és un segmen el sis ema onnal que s'ob é en a egi a V el segmen esquema de pos ula s, pe qualsse ol nume als d , . . . d , b 1 , , . . . . b n : (VIII)  (h, =l,  A . . . A  h =k  A  g =b  A  . . .  A  q =b  )I(z .,d .) -  - p - P  -  n -n  1 -1 (es pe me el cas p '-_ 0) Di em que el segmen  W  és ex ensió del  V,  i esc iu em  V -< W,  si o s els pos ula s de V són pos ula s de W . Me a eo emad'inducció .  Si  U¡-- Al(x i .,bi ,)  pe qualse ol col .lecció - - de nume als  b l , .... b ,  alesho es  U F-Aj(x .,b,)  semp eque  b . E N-  pe -  -n  -  i -i  -i  U i = 1, . n . alesho es ambé enim _lE (b , . . .,bn )=S(0) -- PR . n . Res no és un segmen si no és pe les aons an e io s . No necessi a em eco da qué són els mo ismes . Es indispensable eco da ambé dos me a eo emes . La demos ació d'aques me a eo ema és i ial . Me a eo ema de minimi zació .  Si enim U - E!(b , . . .,bm)=S(0), Mh(b , . . .,b-m) E Nú i U F-h(b , . . .lbm,Nh (b , . . .,bm)=0 . Co ol .la i .  Si  5 >- Eh(b , ... .bm)=S( 0)  pe cada col .lecció de nume- als b l ,.. .~b -m' alesho es  Mh(x 1' . . . . x m ) E NG(x l,  . . .x m ) . La demos aci6 d'aques me a eo ema es a a [1], lligada amb la demos aci6de la consis éncia . En la demos aci6 es d6na la mane a, si U --Eh(b,, . ... b_)=S(01,  de oba , e ec i amen , ce s nume als, c l , . ... l ,  pe ale quals es po demos a que U F- Mh(bl, . . .,bn)=c1 V . . . V Mh(bl, . . .,bn)=c Les p opie a s més impo an e del o malisme s6n : 1)  Donades uncions   i  s,  de  x l , .... x n ,  i de  x l,.. .,x n ,y,z, - - espec i amen , podem in odui la unci6 (xl, . . .,xn .y) de inida pe ecu si6 p imi i a a pa i de  i s .  Aixo és, si  E N-(x,, . . .,x n )  i s E Nu-(xl, . . . . x n .y,z),  i si escollim   nou pe  U,  alesho es en el seg men V ob ingu de U a egin ele pos ula s (I)-(VII) de PR .2 podem demos a que  (x 1 - .-x n .y) E NV(xl, . . .,xn .y)  i que, pe qualsse ol nume als  bl, . . .lb n ,c, - V  F- (bl, . . .lbn ,0)= i(x i .,b,) -  -i V 1-- (b1, . . .,bn,S(c))=sl(xi .b .)1(y .c)1(z, (b1, ... .~~g)) 2)  Donadauna unci6  de  x 1' . . . . x n podem, pe PR .2, can ia la no aci6 de a una no aci6 uncional . Aixó és, si E N~(xl, . . .,xn) podem p end e, en PR .2, n-1 en lloc de n, = l (x n ,0), s = l(xn .S(y)) i alesho es, a egin a U ele co esponden s pos ula s (I)-(VII), amb algun ope ado nou pe U, ind em,en el nou segmen V, i - V F-- (bl, . . .,b )= l(xi,b,), pe qualsse olnume als b . . Al ma eix emps -- -n -1 ind em  E (x l ,- : . .,x  ) E N-(x, . . .,x  ) . n-1  U - 1 - _  n-1 3)  Si  u E NV(x l,. . . . x m )  i  3 E NV(yl, . . . . Yn )  pe  i=  1, . . .,n, alesho es  ul(x i , ~) E % (y,, . . . . y n ).  Aixó és, la composici6 de uncions d'un segmen es unci6 en el segmen . 4)  Pe qualse ol nume al  c  i qualse ol  U,  c E N~(x,- .-x n ) . També enim  xi E Nu(xi, . . . . x n),  pe  i = 1, . . .,n,  i  S(x) E Nu (x) . Aixó, jun amb lo obse a a 1), 2) i 3), i amb el me a eo ema de minimi - zaci6, mos a que podem in odui o es les uncions ecu si es que es agin necessi an . 5)  El que enim, en el nos e o malisme, a més de 1'a i mé ica e- cu si a, és la possibili a d'in odui la unci6  Eh(x,, . . . . x m_1 )  associa da a h(xl, . . .,xm) en la qual, pe o, com ja s'ha indica , E no unciona ben bé com un ope ado . Ap o i em la ocasi6 pe senyala ce es inexac i uds o e ades de [1] : a) En la condici6 CL .3 (pag . 64) hi manca : si c és un nume al p e- sen en alguna ó mula de A que no sigui un cas de E .P .I . 3, alesho es c=c pe any a A . b) Des del engle 20 de la página 72, on diu "Aixó implica . . .", ins al engle 23 de la ma eixapágina, on diu " . . . .Un U, 4 .1 -nomb e", o s'ha de sup imi , i en el seu lloc s'hi ha de posa el segmen : "Suposem, pe cada j, que c,_ és el p ime nume al amb aques a p opie a , i sigui c' el més g an de o s el c . . Fem a a una hipó esi addicionAl, que desp és elimina em : suposem que, pe els nos es b l,.. .,bn , el cas co esponen de (III)0,i+1 i o s els casos de (III)i +1 pe o s els c que s6n an e io s a c' pe anyen a A i, en consequéncia, a" B i a B  Alesho es conside em ; pe cada j, el cas de (III)' i+li+l  , si c : = 0, i si no el cas de (III)i +l co esponen a S(c) =c j , i alesho es ind em 42 G .(M ( b ,.. .,bn)=cj) = V pe cada j, i aixó implica, pe cada G compa ible amb Bi+ , G(M (b , . . . . bn )=c V . . . V M (b , . . . . b n)=cw)  = ;J- i aixó mos a que M (b , . . .,b) hipó esi addicional : si els casos (III)í + no pe anyen aA, pe alguna B' ini a closa . que c' no s'inc emen a ; pe ó cada alo ació Bi+ -no mal és alo ació Bi+ -no mal de les j an e io s ." immedia es . El que aixó compa ible amb G' ind em c)  En la página 75, o mula (5), ha de se Úi+ ~1Aj (k)  V  . . .  V 1A~j (k)  . . . en lloc de 2 . L' a go écnic . El segmen básic que és un U, . . 1 -nomb e . To nem a a a la que hem conside a de (III)  i O,i+ alesho es li els adjun em necessi em i o nem a comenga , comp o a és, unicamen , és una consequéncia de b  pe qué B i+, .  Aixó és, pe cada G'( (b  ,.. .,b  cJ .)=0)  = V  pe alguna .  - n - U i+ - 1A k V . . .V Ap  . . Desen olupa 1'análisi ma emá ica en base al . o malisme ol di , agamen , usa el o malisme de qualse olmane a ini á ia o cons uc i a pe a e el al desen olupamen . Pe un p océs d'ap oximació, assajan de desen olupa un mínim d'análisiamb un minim d'elegáncia i simplici a , s'ha a iba a el que anomena em un "a go écnic", que a a desc iu ém . No a i mem que aques a go ens pe me i e o es les manipulacions ini- á ies possiblesdel o malisme ; pe ó és adequa pe les nos es inali a s Pe comenga , necessi a em alguns símobls nous, els "pseudoope ado s" . Pe cada en e posi iu n hem de eni una llis a in ini a de símbols, els pseudoope ado s de g au n . Rep esen em els pseudoope ado s pe els ma eixos símbols que usem pe a ep esen a ope ado s :  a, b, , , e c . T enca em, no una con enció, pe ó un hábi : en lloc de ep esen a con encions del ipus X - Y, que indiquen que X ep esen a Y, o Y ep esen a X, o bé que X i Y ep esen en el ma eix . En aques es con- encions X i Y poden se e mes, ó mules,_neo e mes, neo ó mules, o mes o qualse ol exp essión auxilia que ene con ingui, inclas exp essions del llengua ge o dina i . Aixi, pe exemple, podem con eni en que 3 . Els nomb es eals (si A, alesho es E) - (A implica B) - (A k B) o bé, si sup imim ele pa én esis, que no són necessa is, si A, alesho es B - A implica B - A kB El desen olupamen que a em de 1'análisi es á inspi a en 1'exposi- cib de 1'análisi ecu si a deguda a Goods ein [3] . Com se sap, 1'análisi ecu si a é mol se ioses limi acions, als com el e que en ella hi ha successions c eixen s i a i ades que no són de Cauchy ( ecu si amen pa - lan ) ( eu e, pe exemple, [4]) . Aques s enómens an incon enien e ja no es donen en análisi o malmen ecu si a . Així, doncs, aques a úl ima es una análisi mes pode osa que 1' .análisi ecu si a, que ja no és cons uc- i a pe ó que, en cán i, és ini á iamen consis en . In odui emexp essions sp'(x),(P(y), 41(x), e c, on x,y ep esen en a iables, pe ep esen a exp essions de la mena -g/h, on , g i h són neo e mes . Si posem con enim, pe qualse ol neo e me , en que IP (x)  =  -9/h 'p( ) _ ( l (x, ))-(gl (x, ))/(hl (x, )), on el'signi ica de l(x, ), e c  .ás-el,ma eix pe .neg e mes que pe e mes (el esul a de subs i ui x pe en ) . Es cla que el cas in e- essan és quan en , g, h no apa eixen al es a iablesque x . Supo- sa em que aques és el cas . E en ualmen sup imi em la x i només esc iu- em (P . També posem -En pa icula , 3 .1  De inicié .  W  és un eal  =  -P E R  -  -P (x) E R(x)  -  SP(x) E Q' (x)  & (3 m)[m(x)  EN (x)  &  (Vn, )[ I~p(M(n)+ )-~p(m(n))  <1/n]] . Si la o ma ep esen ada pe 9 E Rés closa, que és el cas que es dóna si en 9(x) no apa eix al a a iable que x, enim, d'aco d amb V .1-6, que V : WE R si aixó és, si A a enim 1 = S(0), 2 - S(S(0)), 3 - S(S(S(0))), e c m/n = m-0/n 1/n = 1-0/n = S(0)-0/n m/1 - m-0/1 - m-0/S .(0) 1/1 - 1-0/1 V : w (x)  E Q' (x) : (3m)[m(x) E N(x) & (Vn, )[ ISp(m(n)+ )-s?(m(n)) 1 <1/n]] , (*1  E N (x) & g E N (x) & h E N (x) i, pe algun ope ado que a a deno a em pe m podem demos a que (**) F-1~P(m(n)+ )-+p(m(n))I <1/n pe o s els nume als n i . 3 .2  Lema .  Pe qualse ol e mes  , g i h,  i si  W (x)  = -9-/lh, W (x)  E R (x)  k  (3m,n) (V ) [ 19 (n+ ) 1 <m/1] Pe demos a el lema hem de conside a qualse ol segmen V ex ensie de  B  i suposa que  V :9 (x) E R(x) ;  és a di , que es sa is an Alesho es d'on, pe una p opie a del alo absolu (que suposem demos ada), Ion, a a, V i .-19(1(1)+ )-+p(m(1)) 1 <1/1  pe o s el nume als V 1- IW (m(1)+ )j<1-P(m(1)I+1/1,  pe o s el nume als  . Tenim, pe ce s a i b, que  jW (m(1))_I  = a-0/b,  i lla o s V 1-- 19 (m (1) + ) I < (a+1) /1  pe o s els nume als  , de mane a que, d'aco d amb V .S i V .6, m, . i V : (3m,n) (V )[ I'P(n+ ) I <m/1] , ep esen en a iables/' , 1 aiXu és el que s'ha ia de demos a , segons V .4 (on el W de V .4 és el ma eix V) . 3 .3  P oposició .  Si  " P 1 (x)  = l -9 l /h l i, 9 2 (x) = 2 -9 2 /h~, on els 1 , h i sen e mes qualsse ol (sense al es a iablesque  alesho es (P1 E R & `p2 E R)  V-  (SP1+9 2ER & wl .'P2 ER &-W1 E R) Demos a em, pe cada V,  que V : (91 E R & % P2 E R) kSp j SP z E R . Supqsem que V :(P 1 E R& SP2 E R .  D'aco d amb la de inicie an e io i la demos ació del lema enim, pe uns ce s m l , m 2 , n l , n 2 , m l i m 2 , a egi n una obse ació i ial : demos em W : V :  (Vn, )[  sP1 (m l (n) + ) -91 (m l (n))  < 1/n1 V :  (Vn, )[ ¡TI (m 2 (n)+ )-'P2 (m2 (n)) 1 < 1/n1 V : V : (V )[ I'P 1 (p . + ) I <M,/1 (V )[ I,P2 (n s + )  < m2 /1 1 A a adjun em a V alguns pos ula s, d'aco d amb PR .2, que ga an ei- xin, pe el segmen W així ob ingu , i un ce ope ado m, que w :  (ds)[ m(s)=m 1 (4m 1 s)+m 2 (4ín 2 s)+n1+n2 com que les qua e a i macions an e io s con inuen essen ce es a W, ind em, usan el p incipi d'inducció, (Vn, )[ I~1 (m (n)+ )-P, (m(n))  <1/2m,n1 w : w :  (Vn, )[ IsP 2 (m (n)+ ) - -9 2 (m(n))  < 1/2m, W :  (Vn, )[ 191 (m (n) + ) I < m l /11 w :  (Vn, )[ I(P2 (m(n)+ ) 1 <m2/11 . (Vn, )[ i~P1(m(n)+ )%PZ(m(n)+ )-AP(m()bPZ(m(n)) 5 I~1 (m(n)+ )  (m (n) + ) -4PZ (m(n))  +I~2 (m(n))  " IsP1 (m (n)+ )- P, (m (n) ) W :  (Vn, )[ 19, (m(n)+ )SP Z (m(n)+ -O l (m(n)9 Z (m(n))  < 1/n1 Aixó úl im ol di , si a a m ep esen a un pseudoope ado , i si w :<3m)[ m(x)EN(x)  s  (Vn, )[ 191 (m(n)+ )'P2 (m(n)+ )  P1(m(n) )~P Z (m(n))  < 1/n11 De mane a que, d'acó d amb V .4, hau em demos a la p oposicib si 1 :  -P, (x) w 2 (x)  E 4' (x) Pe ! aixl, com abans la demos aci6 de que m(x) E N-(x),  és i ial W- (només cal demos a que, en gene al,si a E NU i b EN - ,  alesho es a+b E N5 i ab E NE) . 3 .4 . De inici6 .  SP . .0 - 9(x) - 0 3 .5 . De inici6 . (3 m)(m(x)  E N (x)  &  (dn,E)[ ~SP(M(n)+ ) 1 < 1/n 11 W 'és equi alen a  ~ - 9 -~ - w(x)- q(x) = Ip(x)-0(x) -0 . Suposa em, pe exp essions  W (x), 'P(x), e c,  de la o ma  - 9/h,  i quan aixi ho indiqui el con ex , que , 9 i h son e mes (no neo e mes qualsse ol) en els quals no apa egui al a a iable que x . 3 .6 .  P oposici6 .  Pe qualsse ol  9, 0, ip l . ; p2 , ~l' 'P 2' X ' 1) :NER k p-~p 2) ;(IQEP & IPER&~p 3) ;«PER& ;P ER&XER&-p&xksp-X 4)  ;(91  E R & SP2  E  R &  01  E  R  & ;k 2 ER & wl  . . w2  &  01 (W 1 + wl  9 2 + I%/ 2 & ip l ~ 1- 9 2 0 2 & -SPI- -Sp2) 5) Les lleis o mals de la suma i el p oduc e , 3 .7 .  De inici6 .  Pe  14(x)  = - (x) - s(x)/ (x),  on  , s i  s6n pseu- dope ado s de g au 1, posem (») com ab e ia u a de (3 , s, ) . Alesho es de inim 9(x) ' és in e ible  =  (3~G)[  ER & -P (x) " 0 (x) - 1/1] 3 .8 . P oposici 6 . Reco dem la de inici6 de P - ' . Alesho es, pe cada (1P E R & SP -1 E R) b (IP és in e ible  & Vo -1 - 1/1) 3 .9 . No a . No enim una dico omia que a i mique cada eal hagi de se in e ible o equi alen a ze o . Al espec e es po eu e la obse aci6 3 .13, més enda an . 3 .10 .  De inici6 .  W  és no nega iu  = p ;b 0 = 0 sis (p 3 .12 . De inici6 . =  (3m)[m(x) E N (x)  &  (Vn, )[0/1 < ;p(m(n)+ )+1/n]1 3 .11 .  De inici6 .  sp  és nega iu  = Ip Z . 0 = 0 A Ip (3m,n) (Vs)[m(s) EN & 0/1 > (P(S+m(S))+1/n], SP 4 0 = 0á (P = 0--' 44-W ,p z 0 = 0 a ~p = -P-0 .c 0 3.13 . Obse aci6 sob e la ico omia . No enim una ico omia de 1'es il "si 9  és un eal,  SP < 0,  ~P -.. 0  6  SP a 0"  ni dico omies "si #p  és eal,  cP X 0  6  Wa 0"  o "si  oP  és eal,  ,p . ?A 0  6  ;p i 0" .  Tenim, pe b, succedanisd'aques es a i macions . Un exemple, que no usa em, és : P oposici6 . Pe cada 'P E R A (3S)[ (S=0 . V s=1) & (s=1 kI0 4 O) & ú0 4 0 1= s=1) &  (s=0 k IP á 0)  &  (o ,, 0 1= s=0) ] La demos aci6 és com segueix : Suposem que V :~p E R,  on  = -g/h,  E NV(x),  g E N-(x), h E NV(x) .  Conside em l'exp essi6 0/1 <W(Y+z)+1/x y eco dem que, segons les de inicions de la secci6 2, aques a exp essi6 no és es més que la ep esen aci6 d'unace a ó mula k=0, on k E NV(x, y,'z) .  Aixó és, 0/1 <IP(y+z)+1/x = k=0 i, pe qualsse ól e mes a, b, c, ' un ce 2 , 56 D'aco d amb PR .2, podem ob eni una ex ensió V 1 de V en la que, pe alg6nope ado l inguem V 1 : OX,y,Z)[ l (x,y,z)=1sk] V 1 : (VX,y)[,E ,l(x,y) E N & (E l(x,y)=0 ce 3 , En una ce a ex ensió  V L de  V 1  ind em, de la ma e¡ xa mane a, pe De la ma eixa mane a, en una ce a ex ensió V 3 de V 2 i pe un V 3 :  (Vx)[ 3 (x)=E 2 1x V 3 : E 3 EN & (E 3 =0 V E 3 =1) Fem Tenim  V 3 1-- s=0 V s=1 . Hem de demos a a a 1)  V 3 : s=1 k p z_ 0 2)  V 3 : s=0 k w -? 0 3) " V 3 z 0 k s=1 4)  V3 : 9 á 0 k s=0 0/1 <9 (b+c)+1/a E k'I(x,a)I(y,b) J (z,c)=0  ' V 2 :  (Vx,y)[ 2(x,y)=E l (XM ] V 2 :  (Vx) , [ E e (x) E N&(E 2 (x)=0 V E e (x)=1)] s = E Suposem que  V 3 I--s=1 .  Aixb ol di que  V 3 F- E 3 =1, i que, pe an , segons els me a eo ema de minimi zaci6, V E l(x,y)=1)] V 3 : M 3 E N,  i  V 3 F- 3 (M 3 )=0,  d'on V 3 F-E 2 (M 3 )=0, que implica, pe el pos ula (IV) de PR .2 ela iu a 2 , que i, en consequéncia, (VY)[1 2 (M 3 ,Y)=0 ] V 3 :  (Vy)[ - lE l (mi3'E) =0 1 V3 :  (VY) [E 1 (M 3 ,Y) = 11 i, pe el me a eo ema de minimi zació, V 3 :  (VY)[M l (M 3,Y) E N & (M 3 .y, M l(Mil ,y))=01 . V 3 : (Vy)1MI 1 (M 3 ,Y) EN & -'k1 (x,M 3 )1(z,M l (M 3 ,y))=01 V 3 : (Vy)(M l (M 3 *y) EN 5 0/1 > ip(y+M l(M 3,Y))+1/M 3] Fem, pe alguna ex ensió V 4 de V 3 , que V 4 : (Vy)[m(Y_)=M 1(M 3 .Y)] . i em ambé  n = mi 2*  Hem demos a que V 4 :  (3 m,n) (Vy)[m(y)  E N & 0/1  > 50 (y+m (y))+1/n] , aixó és, que  V 3 :9 '< 0 ;  i aixó demos a (1) . Suposem a a que  V3 1- q=0 .  Aixó ol di que  V 3 F-E 3 =0  i que, se- gons el pos ula (IV) pe 3, V3 :(Vic)[1 3(-X)=01, d'on V 3 : (Vx)[E 2 (x)=11  i, pe el me a eo ema de minimi zació, V 3 :  (Vx)[M 2 (x) E N & 2(x,M 2(x))=01 V 3 :  (Vx)[M 2 (x) E N & E l(x,M 2(x))=01 V 3 :  (VX,Z)[M 2 (x) E N & 1 1 (x, M 2 (x)=z)=01 . . V 3:  (Vx,z)[ M 2 IXL E N & kl (V,M 2 (x)) = 01 V 3 :  (VX,z)[M 2 (x) EN & 0/1 <W (M 2(x)+z)+1/x] Si em,, en algun V4 ex ensió de V 3 , que, pe un ce m, hau em demos a que Vy :sP á 0 ; 'i aixó demos a (2) . una ce a m( ) E NV ( ), enim 3 . . aixo es, Suposem a aque  V 3 : (p o-' 0,  que ol din que pe un ce enme  n  i V 3 F - 1 (n, , m( ))=0  pe cada nume al  ,  d'on, pe (IV), (A)  V 3 F - - ) 2 (n, )=0  pe cada nume al  En aques momen enim un pas delica ,en el que a i mem que d'aques a a i maci6 (A) podem conclou e que (B)  V2 F- 1 2 (n, )=0 pe cada nume al  Pe no pe d e el il de la demos aci6deixa em la jus i icaci6 del pas de (A) a (B) pe una mica més enda an . Vy :  (Vx)( M - (X) (x)] , V 3 : (d )[ 0/1 > 9( +m( ) )+1/n], V 3 F - E l (n, )=1 pe cada nume al Tenim a a, de (B), pe PR .3, un segmen VZ ex ensi6 de V Z que V 2 d'aques en a egi el pos ula 1 E 2 (n)=1 .  Es adi que enim V2 - E 2(n)=0 Reco dem a a que hem passa de V Z a V 3 a egin uns pos ula s (I)-(VII), d'aco d amb PR .2, que e :is han pe mésin odui una no a no aci6, 3 (x), "  pe  E 2 (x) .  Obse em que PR .2 pe me a egi exac amen ,els ma eixos pos ul a" a V2,  ob enin aixi un iou segmen . VZ  que és, al ma eix emps, ex ensi6 de VZ i de V 3 , i en el qual enim V ., , F- 3 (n) =E 2 (n) Pe an , i,  pe  (IV)  ( ela iu a  13), VZ - 3 (n)=0 i, como que ja hem obse a que V" ~- V 3 , aixódemos a (3), excep e pe que ens al a eu e com podem passa de  (A) a .(B), que'és el que a a a em . Obse em,pe comenga , que, com que 2 (x,y) només po p end e els alo s 0 i 1, (A) i (B) equi alen a (A')  V3 F- 2 (n, )=1  pe cada nume al  (B')  V2 F- 2 (n, )=1  pe cada nume al Conside em qualse ol nume al . Segons (A'), 2 (n, )=1 és un eo ema en V 3 , i olem demos a que ambé ho és en V 2 . Suposem que C és una col .lecció ini a de pos ula s de V 3 al que C - 2 (n, )=1 Sigui C' el conjun de memb es de C que ambé sónpos ula s de V 2 . Si suposem que 2 (n, )=1 no és eo ema de V 2 hi ha d'ha e una alo aciólógicaque sigui compa ible amb C' i no amb aques a o mula . Podem modi ica aques a alo ació en que algui F ( als) en qualse ol ó mula a ómica a=b que no apa egui en cap memb e de C', i aques a a i lo ació, que deno a em G, con inau á essen compa ible amb C' i no amb 2 (n, )=1 . Veu em a a que G es po "es end e" a una alo ació G' compa ible amb C i no amb 2 (n, )=1, cosa que dóna una con adicció, ja que C F- . 2(n, )=1 . Que G' sigui "ex ensió" de G old ádin que G'(a=b) = V ( e i a ) semp e que G(a=b) = V . Aques a G' es po (20')  V S :  (Vn,m)[ l-sl/ l)+((Mh(n)=1)/2a)'(( 2-s2 / 2)-( 1-sl/ l)) < IP(m+M (n,Mh(n)=1,m))1 Si p enem M (n,ME(n)=1,Mg(n,Mh(n)))+n pe i Mg(n,Mh(n))+n pe m ind em (21) V 5 : (Vn)[ (E,-sl/ l} ((Mh(n)=1)/2n~°(( 2-s1/ z)-(Ey-II/ -l)) <SP(n+Ml(n,Mh(n))+M (n,MFi(n)=1, Mg(n,Mh(n))))1 (22)  V S :  (Vn)[W (n+Mg(n,Mh(n))+M (n,Mh(n)s1,Mg(n,Mh(n)))) / i)+(Mh(n)/2"I .(( 2-s2/~)-(1-sl/ ,))1 Tenim, en alguna ex ensi6 V 6 de V 5 , i pe algun k, (23) V 6 : (Vn)[k(n)=n+Mg(n,Mh(n))+M (n,Mh(n)=1,Mg(n,--Mh(n)))1 així que, si em A a a i mem que a= l -s l / l , R= 2 -s 2 / 2 , (24)  V . :  (Vn)[ a+((Mh(n) =1) /2a) ° ($-a)  < W (k (n) ) &~p(k(n) Sa+(ME(n)/2n) " (R-a)1 (25) V 6 : (Vn)[ (Mh(n)=1)/2L< (Mh(n+1)_1)/21+11 (aixó és,  (Vn)[ 2Mh(n)_2 5 Mh(n+1)=11 ) ind em, pe (21) i (22), En e ec e, obse em que  V 6 : (Vn)[ (2Mh(n)=2)/21+1=(ME(n)=1)/2' ]  i enim, pe (20') i (1), (26)  V~ :  (Vn,m)[ (n+1,2 4i(n)=2,m,M (n,Mh(n)=1, m))=01 Pe 'o' de (14), pe n+1 en lloc de n, (27)  V 6 :  (Vn, )[ 1 (n+1),Mh(n+1),M9(n+1,Mh(n+1)), = 01 Pe Mg(n+1),Mh(n+1))  en' lloc de m en (26) i M (n,Mi(n)= 1 .,Mg(n+1,Mh(n+1))) en lloc de en (27) enim així que que demos a (25) . d'on També a i mem que V 6 : (Vn)[ (n+1,2Mh(n)-*2,Mg(n+l,MFi(n+l)), M (n,Mh(n)=1,Mg(n+l,Mh(n+1))))=0] V 6 : (Vn)[-l (n+1 ,Mh(n+1) ,Mg(n+l ,Mh(n+1)) , M (n,Mh(n)-1,Mg(n+1,Mh(n+1))))=0], V 6 : (Vn)[Mh(n+1) > 2Mh(n)=2], V 6 : (Vn)[ Mh(n+1)=1 > 2Mh(n)=2], (28)  V 6 : (Vn)[ Mh(n+1/2 n+1 < Mh(n)/2n] (aixo és,  V 6 : (Vn)[ Mh(n+1) < 2Mh(n)]) . En e ec e, enim de (14), amb un pe i ábús de no ación, s : (Vn, )[2Mh(n)/2 n±1 =L h(n)/2 n >,p(Mg(n,Mh(n))+ )] (29) V 6 : (Vn, )[1 (n+1,2Mh(n),i-1g(n,Mh(n)), )=0] Pe o d'aco d amb (20), pe n+1 en lloc de n, (30) V 6 : (Vn,m)[ (n+1,Mh(n+1)-1,m,M (n+1,Mh(n+1)=1,m))=0] així que Si p enem, a (29) i a (30), i Mg(n,Mh(n)) pe m, enim M (n+l,Mh(n+1)=1,Mg(n,Mh(n))) pe V . :  (Vn)[ - l (n+1 ,2Mh(n) ,Mg(n,Mh(n)) , M (n+1,Mh(n+1)=1,Mg(n,Mh(n))))=0] , V 6 : (Vn)( (n+1,Mh(n+1)-1,Mg(n,Mh(n)), M (n+1,Mh(n+l)=1,Mg(n,Mh(n))))=0], V 6 :  (Vn)[ 2Mh(n)  > Mh(n+1) _1 ] V 6 :  (Vn)[ 2Mh (n)  > Mh (n+1) ] ,  (pe  (15)) , que demos a (28) . un  (x)  i un  q  al que De (25) i (28) enim, amb algun abis de no aci6, (31)  V 6 :  (V n)[ (F4i(n)-1)/2 11 < (Mh(n+1)_1)/2n±i < Mh(n+1)/2 n+1 IQ Mh(n)/2 n ] Finalmen , és ácil eu e que exis eix, en alguna ex ensi6 W de 6 , W : (Vn)[q(n)=k( (n))] i q(x) és es ic amen c eixen . I alesho es de (24) i (31) demos em ácilmen que -P(q(x)) és un eal, en alguna ex ensi6 de w, que és el que ha iem de demos a . 5 . Funcions 5 .1 De inici6 . Fem que ( -g/h) j (x-y/z, x' - X_'/z') ep esen i el esul a de posa x' ;y' i z' en lloc de x, y 1 - 1 z, espec i amen , a -g/h . De inim -g/h, pe neo e mes , g, h en els quals no apa eixenal es a iables que x, y, z . En les p oposicions equen men suposa em áci amen que , 9 i h  s6n e mes, depenen del con ex .  Fem con encions als com : Si l=x-y/z,a= a-b/c i (D (x-y/z) -g/h, alesho es -g/h E Q(x-y/z) = E N(x,y,Z) &gE N(x,y,z) & h E N(x,y,z) & (Vx,y,Z)[1h=0] &  (VX,y,z,x'y',Z')[ 1Z=O A- IZ'=0 A X-y/Z=X'- y '/Z' -g/h=( -g^)PX-y/Z,x'-y'/z')1 Usa em exp essions de la mena O(x-y/z) pe ep esen a exp essions I (a)  = 0(a-b/c)  =  ( -g - /!!) 1 (E, a) eni en que m(a,d) = m(a,b, c,d), si a = a-b/c . També, en aques cas, posa em Usa em ab e ia u es als cqm posa  (Va)  en lloc de (Va,b,c) denom a =c 5 .2 De inici6 . Sigui l= x-Y-/z . De inim (C) és uni o memen con ínua en conjun s a i a s '-_ $(1) E Q C (E) $(1) E Q(1) & (3m)1m(a,B,n) E N(a,0,n) & (Va,B,Y,6,n)( - ldenoma =0n - IdenomO=0 nldenomy=O A ldenom6=0 n a < Y n Y<0 n a < 6 n 6<0 n ¡Y-61 < 1/m(a,B,n) ~~(Y)< 1/n J1 5 .3  Obse aci6 .  Cada elemen de  Q C (E),  que associa a cada  a E Q  un elemen I(a) E 0 po se "es és pe con inui a " als eals . Més p eci- samen . 5 .4 P oposicib . Pe qualsse ol ID,9,X pe ado s), (en els que no apa eixen pseudoo- $(1) E Q C (E)  & 9( ) E R ( )  & X ( )  E  R ( )  & 9 X b (D (TM )  E  R ( )  & $ (X ( ) )  E  R ( )  &  <D (X ( ) )  $ (IP ( ) ) 5 .5 No a . De ini em les uncions con inues en un in é al clos com les successions onamen als ( ela i es a 1'in ¬ al) d'elemen s de Q C , de la ma eixa mane a com hem de ini els eals, a 3 .1, com successions onamen- a15 de acionals . Usa em no acions als com pe qualse ol a-a-b/c i neo e mes ~(w,C) = ~( w,x-y/z) = pe , ~ n (a) = 0(n,a) =  (w,n) 1 (1,a) . n, a, b, c . o con- 5 .6 De inici6 . *(w,C)  és una successi6 d'elemen s de Q C (1) _ (Hm)[*m(C) E Q(1)] & (3m)[ m(k,o ,s,n) E N(k,a,s,n) & ( lk,(x,B,Y,6,n)[ ldenoma=0 A ldenoms=0 A ldenomy=O A ldenom6=0 A a < Y A Y  B Aa < 6 A6 < B A ~Y-6~ < 1/m(k,a,s,n) 14'k(Y)-*k(5) 1 < 1/P ] 5 .7 De inici6 . Sigui I =['P,X] . Alesho es de inim VW,C)  és una unci6 con inua en  I= O¿(w,E) EC I (1) E R & XER & 0(w,E)  és una successi6 d'elemen s de Q C (E) & (3 ;P',X',m)['p' E R &  X' E R &  (p'-9 & X '~X & m (x) E N (x) & (an)['P' (n) G 'P' (n+1) & X' (n) < X' (n+1)]  & (l n, ,a,b,c)[1c=0 AIp'(m(n)+ ) < a-b/c A a-b/e < X'(m(n)+ ) on el signi ica de (39') és com p'(x)  = ' (x)-s'(x)/ '(x),  - pe un ce s pseudoope ado s  ',s', ',  i lla o s (3'0') signi ica (3 ', s',  Análogamen pe X' . No a .  Una pa de la de inici6 és  (Vn) [ W' (n) 6 W' (n+1) ] ,  que signi ica (o es a ep esen a pe )  "V' és monó ona no dec eixen " . També enim, és cla , 5 .8 Obse acions . b 10 dí (n)+ (a-b/c)-Dm(n)(a-b/c)j  < 1/n]], segueix : suposem que 1'  és monó ona no c eixen  = (1Fn)[ ;P'(n) > 41' (n+1)]] a) Análogamen al que ha es a e a 3 .4 i 3 .5, podem de ini la noci6 (Du(1)  _0  i la noci6  (P u (E)  - . ú(1),  pe  (D u  i  ú  en  CI ,  i demos a que aques a és una elaci6 d'equi aléncia b) Podem eu e cada elemen de C I com a " unci6 de I en R" . Dona 'P E R  al que 'k G 9 - X,  i dona  $u E C I ,  si  e  és un eal al qual con e geix  (D u (sP(x)),  podem de ini  e  com el alo de  (D u  en  W .  És cla que aques alo e només es á de ini módulo equi aléncia . Si, en un segmen  V,  enim que . V : <D u (C) E CI (1)  i  V :W (x) E R(x), ep esen a em, amb no aci6 ambigua, pe 1('P) aques alo de 1 en 'P, que acabem de de ini , móduloequi aléncia . Quan em alguna a i maci6, en el segmen V, ela i a a se ol dels eals ep esen a s pe 1(9) un eal pa icula segu s que la ma eixa a i maci6 es compleix pe qualse ol eal equi alen a ell . (D(W), es a em en la a i maci6 pe qual- pe 1D(W) ; o bé, si ixem com a ep esen a al qual  1u (9(x»  con e geix, hem d'es a - c)  Amb el que s'ha di es po p ecisa i demos a 1'a i maci6  "C I  és una R-álgeb acomple a" . 5 .9  P oposici6 .  (exis éncia de máxim i minim pe elemen s de  C I ).  Sigui I - ( J1,XI .  Pe qualse ol  <D u (1) , (u, j) E CI (1)  F  (3T 1 ,T 2 )IT i ER & T z ER & T I iX & 46e ,  & T 2 '-X &  ( en e ER .& ~-4 e&e  X k (D(9) i <>(T 1 )  & (D (e) á (D(TZ)11 Veu emcom cons ui T 1 . Reco dem que T 1 (x) = (x)-s(x)/u(x) pe ce s pseudoope ado s , s, , i que (3T 1) signi ica (3 ,s,u) . P ime de inim (a-b/c)=(d-e/ ) _ ((a +ec)-(b +dc))- 0/M) La uncio a(x) de inida a la secci6 2 s'es én com a(a-b/c) = a(a-b) A a suposem V : $(u,&) EC I (~) . Aix£ que enim, pe algun m, algun , i ce es V' i X', monó ones, no dec eixen i no c eixen ', espec- i amen , i als que X - X'  i 0 ~ ~' : (~)  V : (Vk,CI,B,Y,d,n)[ldenoma=0 A - ldenomB=0 A - ldenomY=O A- ldenomd=0 A a 6 Y A Y < BA (% < 6 A 6 5 B ¡Y -6 1 < l/m(k, «,B,n) = I> I'D k (Y)-D k (6)1 < 'l/n] (bn, ,C)[ ldenomC=0  A 'P'( (n)+ ) < C  AC < X' ( (n)+ ) Lla o s enim, en alguna ex ensi6 V' de V, pe algun , i si V : [ c > X' (0)-o' (0)] , on Usemla no aci6 i T l (x) és (x)-s(x)/u(x) ->j(D (n)+ (J)- o (n)(1)1 < 1/n] V' : (1 n)[ (n,0)=0] V' : (Vn,i)[ (n,i+1)= (n,i)+[ ((i+1)- (n,i)) . á(0 '(n)(IP'( '(n))+((Y+1)/d) " s)4 (n)(V'( (n))+( (n,i)/d) " e))31 6  - X' ( (n) ) - ;k` ( (n) ) P(n) _ ;P'( (n))+( (n,n)/d) .s Lla o s,en alguna ex ensi6 W' de V' enim, pe ce s q, , s, u, P(q(x)) E R(x), W' :  Ox)[ (x)-s (x) /u (X) =p(q(x))] , La cons ucci6 de T Z és análoga, i d6nalloc , a un segmen W . Res a pe demos a ., pe qualse ol e, d - c .m( (n)  ( (n)) , X' ( (n))  n) w : e E R s ~y~e & 0 11X  k (D(6) ;I (D(T,)  s (D(0) a (D(T2 5 .10 P oposició .  ( eo ema de Bolzano) . Posem I = [IL,X] . pe qualsse ol ~, X, (D, 6, sió V' inguem V' : E  C I (  )  &6 E  R & (D(0)  0 e  & e Z- (D (X) k (3T)[p~T &T!C- 0 &(D(T) -e], i 1'analeg pe (D(0) á e  ie ? $(X) . Pe la demos ació suposa em, sense pe d e gene ali a , que : ~D (41) i~- 0/1  & 0/1  ~(X)  & 6 . . 0/1 Aixó, jun amb (*) i (**) de la p oposició an e io és la nos a hipó esi . Fácilmen podem subs i ui 1 pe alguna $' al que, pe algunaex en- V' :  (d n)[ ~ (n)  (n»<  0/1  &0/1  < ~ (n) )X' (n»] , amb la ma eixa no ació de la p oposicióan e io (pe 1' en lloc de (D) . Suposem que $ ja é aques a p opie a , pe V' - V . La condici6 és equi alen , en alguna ex ensió V' de V, pe algun , a Com que ' : (Vn)[ (n,d)=0]  enim V' :  (Vn)[ El (n)=1  & Mi (n)  E  N &  (n,M (n) )=0 & 1 (n,M (n)=1=0] Tenim alesho es V ~ (D (n)(~~( (n))+(i/d) " E > 0/1) V'  k- (n, i)=0 V' : (Vn)[ (D (n)(P'( (n))+(M (n)/d) " E > 0/1 & ~ (n)(~'( (n))+((Mi(n)_ 1)/d) " e < 0/1] Fem a(n) _ ~'( (n))+(M (n)/d) " E i ind em, pe qualse olsubsucce- ssi6 O(q(n)) de a(n) que sigui un eal, en alguna ex ensi6 V" de V', Ins i u o de Ma emá icas U .N .A .M . V" : $(a(q(n)))^ 0/1 Re e éncies [1] F . Tomás . A i mé ica i análisi o malmen ecu si es . Pub . Ma . UAB, 28, No . 1, pp . 19-78 . [2]  R .L . Goods ein . Recu si e A i hme ic . No h Holland, 1957 [3]  R .L . Goods ein . Recu si e Analysis . No h Holland, 1961 [4]  E . Specke . Nich kons uk i beweisbA e Sá ze de Analysis . The J . o Symb . Logic, 14, No . 3, (1949), 145-158 . Rebu el día 14 d'ab íl de 1986 Ins i u o de Ma ema icas U .N .A .M . México .