Pub
.
Ma
.
UAB
Vol
.
29
Nó
1
Ab il
1985
ABSTRACT
We
de ine
he
K-dimension
K(X) o
a
opological
space
X
by
means
o
sepa a ing-poin s
.
The
ze o
K-dimen-
sional
spaces
a e
hose
ha you
quasicomponen sa e he
poin
se s
.
We
es ablishes
he
heo em
o
opological
in-
a iance,
he
subspace
heo em,
he
sum
heo em
in
a
es-
ic ed
case
and
he
ca esian
p oduc
heo em
.
The
ela-
ion
wi h
he
classicaldimension
unc ions
a e
also
s u-
died
.
I21BQDVCCIQJ
SEPARADORES
DE
PUNTOS
Y
DIMENSION
JoanTa es
i
F eixene
En [3]
se
de ine
una
unción
de
dimensi6n
(X)
de e minada
po las
componen es
del
espacio
;
se
ob iene
as¡ que
(X)
=
0
si
y
s61o
si
las
componen esconexas
de
X
se
educen
a
pun os
.
En
[1]
se
analizan
dis in os
ipos
de
desconexión
de un
espacio
X
;
en e
los
espacios
ales
que
ind(X)
= 0
y
aquellos
que
(X)
= 0 se
si uan
los
que
ienen
sus
cuasicomponen es
o madas
po
conjun os
uni a
ios
.
Las
es
clases
de
espacios
son
en
gene aldis in-
as,
lo
que
pe mi e
conside a
una
nue a unción
de
di-
mensi6n,K(X),
que
end á
de e minada
po
las
cuasicom-
ponen es
del
espacio
y
de
mane a
que,
aho a,
los
espacios
cuya
K-dimensi6n
es
ce ose án
aquellos
que
ienen
sus
--
cuasicomponen es
o madas
po
conjun os
de
un
solo
pun o
.
En
es e
abajo
de inimos
la
K-dimensi6n
de un
espacioX y
se
es udian
di e sas
p opiedades
elemen ales
de la
misma,
así
como
los
eo emas
de
in a iancia opol6
gica
y
del
subespacio
en el 91
.
En
el
y2
se
es udian
las
elaciones
de la
K-dimensión
de
un
espacio
opol6gico
y
las
unciones
clásicas
de
dimensi6n
ind,
Ind
y
dim
;
as¡-
mismo,
se
es ablecen
elaciones
con
la
dimensión
(X)
de i-
nida
en
[3]
.
El
eo ema
de
la
suma
se
enuncia
en
2
.10
pa a
un
caso
pa icula
.
El
§3 es á
dedicado
al
es udio
del
com-
po amien o
de la
K-dimensión
espec o
de
aplicaciones
con-
inuas,
ob eniendo
como
consecuencia
de
ello
el
eo ema
del
p oduc o
(3
.7)
.
§1
.
DEFINICIONES
Y
RESULTADOS
PRELIMINARES
Reco demos
que
dado
un
espacio
opol6gico
X y
dos
elemen os
x
¢
y
del
mismo,
una
sepa ación
en
X
en e
x
e y
es un
conjun o
L
c
X
alque
:
a)
X
-
L =
A U B
b)
x 6
A
;
yEB
c)
(Á
(i
B)
U
(Á
)
B) _
1
.1
DEFINICION
.-
Sea
X
un
espacio
opol6gico
a b_i
a io
;
se de ine
la
K-dimensión
de
X
como
un
núme oen e o
K(X)
",>
.
-1
al
que
:
a)
K(X)
=
-1
si
y
sólo
si
X
=
0
b) Si X =
{x}
es
K(X)
= 0
c)
Si
X
iene
más
de un
pun o,
K(X)
<
n
(n
>,
0)
-
si
pa
x,y
E X
a bi a ios
y
dis in os
exis e
una
sepa ación
L
en e
xey
en
X
al
que
K(L)
1
n-1
.
d)
K(X)
=
n
si K(X)
< n
y
K(X)
>
n-1
e)
K(X)
=
-
si
pa a
odo
n
=
1,2,
. . .
es K(X)
>
n
.
1
.2
LEMA
.-
Si
C
es
unacuasicomponen edel
espacio
X, K(C)
=
0
si
y
s61o
si
C
es un
conjun o
uni a io
.
Demos ación
.-
E iden emen e,
si
C
=
{x}
en onces
K(C)
= 0
.
Ré
cíp ocamen e,supongamos
que
C
cons a
de
al
me
-
nosdos
pun os
x
¢
y
.
Si
el
conjun o
0
uese
una
sepa ación
en
C
en e
x e
y
exis i ía
un
conjun oabie o
y
ce ado
U
en
C
al
que
x 6 U
,
y6C
-
U
.
Aho a,
U
= C
(1
V
con
V
un
conjun oabie oy ce ado
en
X,
po
lo
que
C
c
V y
po
lo
an o
U
-
C
,
lo
que
es
imposible
.
Luego,"siC
iene
más
de un
pun o,
K(C)
> 0
.0
22
1
.3
.
PROPOSICION
.-
K(X)
-
0 si y
sólo
si
X # 0 y
las
cuasicomponen es
de
X
son los
conjun os
de un
solo pun-
o
.
Demos ación
.-
Si
K(X)
=
0
es
X
~
0ly
además,
da-
dos
x #
y
en
X
exis e
U
abie o
y
ce ado
al
que
x E U
,
y 0
U
;
es
deci ,
la
cuasicomponen eCx
de
x
coincide
con {x}
pa a
odo
x E X
.
Recíp ocamen e,
si
X
es un
espaciono acío
cuyas
cuasicomponen es
son
los
pun os,
dados
x
¢
y
en X,
como
C
x
y C
y
son
dis in as
exis e
un
conjun oabie o
y ce adoU
en
X
al
que
x
C U
,
y 9
U,
po
lo
que
K(X)
=
0
.0
1
.4
.
TEOREMA
.-
(In a iancia
po
homeomo ismos)
.
Si
X e
Y
son
dos
espacios
opol6gicos
no
acíosy-exis e
un
homeomo ismo
de
X
sob e
Y,
K(X)
=
K(Y)
.
Demos ación
.-
Sea
:
X

Y
un
homeomo ismo
.
Si
K(X)
=
0,
ob iamen e
es
K(Y)
= 0
en
i ud
de
1
.3
.
Supongamos
el
eo ema
demos ado
pa aespaciosde
K-deimensi6n
meno
que
n
(n
>,
1)
y
sea
K(X)
=
n
.
Si
x',y'
son
elemen os
dis in os
de
Y
con
x' =
(x),
y' =
(y),
se á
x 0
y y
en
consecuencia
exis e
una
sepa ación
L
en
X
en e
x e
y
con
K(L)
<
n-1
.
Aho a,
L'
=
(L)
es
una
sepa ación
en
Y
en e
x' e y' y
po
la
hipó esis
de
inducción
es
K(L')
,<
n-1
.
Po
lo
an o,
K(Y)

n
.
Como
exis en
a,b
E
X
dis in os
y
una
sepa ación
L
1
en eellos
con
K(L
1
)
=
n-1
,
L
i
=
(L
1
)
es
una
sepa ación
en e
,
(a)
y
(b)
en
Y
de
mane a
queK(L
j )
=
n-1
.
Luego
,
K
(Y)

=

n

.1]
1
.5
.
TEOREMA
.-
(Teo ema
del
subespacio)
.
Dado
el
espacio
opol6gico
X y
el
subespacio
A
e
X
se
iene
K(A)N
K(X)
.
Demos ación
.-
Si
A
c
X
y
K(X)
= 0,
o
bien
es
A
=
=
0o
bien
las
cuasicomponen es
de
A
son
los
pun os
.
Así,
es
K(A)
<0 =
K(X)
.
Supues o
el
eo emacie o
pa a
espacios
de
K-di-
mensi6n
meno
que
n
(n
,
1)
sea
X
al
que
K(X)
=
n
.
Pa a
x,y
E
A
(x ¢ y)
exis e
una
sepa ación
L
en
X
en e
ellos
al
que
K(L)
<
n
-
1.
El
conjun o
L
l
A
es
una
sepa ación
en
A
-
en e
los
pun os
x e y, y
como
L
()
A
e
L,
po
la
hipó esis
.
de
inducción
se
iene
que
K(L
(1
A) <
K(L)
<
n-1
.
En
consecuen_
cia,
K(A)
<
n
-
K(X)
.D
1
.6
.
PROPOSICION
.-
Sea
X
un
espacio
opol6gico
no
acío
.
Si
{Ci}iel
es
la
amilia
de
las
cuasicomponen es
24
K(X)
=
sup
[K(C
i
)]
¡EI
de X,
Demos ación
.-
Po
(1
.5),
sup
[K(Ci)]
<
K(X)
.
Pa a
¡CI
demos a
la
desigualdad
con a ia
:
(1)

K(X)
:
sup
[K(C
i
)]
i
es
lo
ha emos
po
inducción espec o
a n
=
sup
[K(C
i
)]
.
iCI
Si
n
= 0,
po
(1
.2)
las
cuasicomponen es
C
i
se
e-
ducen
a
un
pun o
pa a odo
i
E
I,
y
po
(1
.3)
es K(X)
=0 y la
desigualdad
(1)
se
cumple
en
es e
caso
.
Supongamosp obada
la
desigualdad
(1)
pa a
n
<
k
-
con
k
>,
1,
y
sea
X
un
espacio
alque
n = k
.
Sin
es icción
de la
gene alidad
podemos
supone
que
cada
cuasicomponen e
Ci
iene
más
de un
pun o
.
Si
x,y
E
X
con
x
¢
y
de
al
o ma
que
ambos
pe enecen
a
cuasicomponen es
dis in as,
el
conjun o
-
acío
es
una
sepa ación
en e
ellos
;
si
x
e
y
pe enecen
a
la
misma
cuasicomponen e
C
i
y
si
pa a
cada
i
E
I
es
K(C
i )
=
ni,
0
exis e
una
sepa ación
L
i
en
C
i
en e
x
e y
conK(L
i
o
0

0
n
i -1
.
Elegimos
aho a,
pa acada
i E
I-{i
o
}
un
pa
de pun-
os
áis in os
xi,yi
E C
i
y
conside amos
la
sepa ación
Li en
e
ellos
al
queK(L
i )
:,<
n
i -
1 .
El
conjun o
:
L
= l
y
Li
es
una
sepa ación
en
X
en e
x
e
y
.
Po
la
hipó esis
de
in-
ducci6n,
K(L)
<
k-1
y
po
an o,
K(X)
_<
k y
la
p oposición
queda
demos ada
D
§2
.
RELACION
CON
OTRAS
FUNCIONES
DE
DIMENSION
acacoscacsaasaacsaaccasasacaacaaaaacaac
:a
Es udiamos
a
con inuación
la
elación
en e
la
K-di
mensi6n
y
las
unciones
clásicas
de
dimensión
ind,
Ind, dim,
as¡
como
la
unción
(X)

de inida
en

[3]
.
ind(X)
.
2
.1
PROPOSICION
.- Si
X
es un
espacio
T
3
,
K(X)
,<
Demos ación
.-
Supond emos
ind(X),<
m
yp obamos
la
p oposición
po
inducción
espec o
a
ind(X)
:
Si'ind(X)
=
-1
en oncesX
= 0
y
ambién
K(X)
a-1
po
lo
que
en
es e
caso
la
p oposición
es cie a
.
Conside emos
p obado
el
enunciadopa aespacios a
les que
su
dimensióndébilmen e
induc i a
es
<
n-1
(n
>
1)
y
supongamos
que
ind(X)
=
n
.
Si
x,y
6 X
con
x Y y,
como
{y}
es
ce ado
en
X
con
x
1
{y},
po
(1
.1
.4)
de
[1]
exis e
una
sepá
ación
L
en e
x
e
{y)
al que
ind(L)
<
n-1
.
Po
la
hipó e-
sis
de
inducción,
enemos
K(L)
~<
ind(L)
~<
n-1
po
lo
que
es
K(X)
< n
y
se
cumple
la
desigualdad
buscada
.D
Si
X
es
un'espacio
T
4
en onces
ind(X)
,<
Ind(X)
po
(1
.6
.3)
de [1]
po
lo
que
:
2
.2
COROLARIO
.- Si X
es un
espacio
T
4
,
K(X)
<
ind(X)<
Ind(X)
.
La
desigualdad
de
la
p oposición
2
.1
no
es,
en
ge-
ne al,
una
igualdad,
como
lo
mues a
el
siguien e
ejemplo
:
2 .3
.
EJEMPLO
.-
Sea
H

°°

`°

2
i=1
<
*o)
el
subespacio
del
espacio
de
Hilbe
H o mado
po
los
pun os
de
componen es
acionales
del
mismo
.
Si
(
x
i)i=1
0
(yi)i
1
en
H
o
,
exis e
i
o 6 N
alque
x
i
#y
i
.
Supongamos
que
es
xi < y
i
y
sea
a
E R
-
Q
al
0 0

0 0
que
x
i < a <

yi

;
si
es
Ui
a
(--,
a
)'
n
Q, el
conjun o
:
0

0

0
Ua
(TÍ
UiynHo
i=1
con
U
i
=
IR
pa a
i
# i
0
es un abie o
y
ce ado
en
H
0
al
que
2
5

(xi)i=1
6
U y
(
yi)ia1
1
U
.
Es
deci ,
K(H
0
)
=
0,
mien as
que
ind(H
0
)
=
1
( e
[1])
.
2
.4
.
PROPOSICION
.-
Pa a odoespacio
opol6gico
X
es (X)
<<
K(X)
.
La
p oposici6n
(2
.4)
es consecuencia
inmedia a
del
hecho
de
que las
componen es
conexas
de
cualquie espacio
es
án
con enidas
en
las
cuasicomponen es
del
mismo
y
de
(1
.5)
y
(1
.6)
así
comode
[3]
(p oposici6n
1
.2)
.
No obs an e,
la
-
desigualdad
no es en
gene al
una
igualdad,
como
queda
pues o
de
mani ies o
en
[1]
(ejemplo
1
.4
.7)
donde
se
desc ibe
un es
pacio
Y
al
que
(Y)
= 0
mien as
que
K(Y)
>
0
.
Como
en un
espacio
compac o
y T
2
las
componen es
conexas
y
las
cuasicomponen es
coinciden,
podemosasegu a
:
T
2
en onces
(X)
-
K(X)
.
Como
consecuencia
de
los
esul ados
dados
en
[3]
(4
.6)
y(4
.7)
as¡
como
de
las
p oposiciones
(2
.1),
(2
.2),
(2 .4)
y
(2
.5)
del
p esen e abajo,se
ob iene
:
compac o
y
me izable
:
Teniendo
en
cuen a
que
R
n
es un
espaciolocalmen e
compac o
y
me izable,
enemos
:
si6n)
.
2
.5
.
PROPOSICION
.-
Si
X
es un
espaciocompac o
y
2
.6
.
PROPOSICION
.-
Si
X
es un
espaciocompac o
y T
2
:
dim(X)
<
(X)
=
K(X)
<
ind(X)
<
Ind(X)
2
.7
.
PROPOSICION
.-
Si
X
es un
espacio
localmen e
dim(X)
=
(X)
=
K(X)
=
ind(X)
=
Ind(X)
2
.8
.
CORO
L
ARIO
.-
(Teo ema
undamen al
de la
dimen-
K(
,,n
)
=
n

(n
>,
1)
2
.9
.
PROPOSICION
.-
Si
X
es
un espacio
localmen e
compac o,
T
2
y
localmen e
me izable,
K(X)
-
ind(X)
.
cia
:
En
i udde
los
esul ados
an e io es
podemos
enun
2
.10
.
TEOREMA
DE
LA SUMA
.-
Sea
X
un
espacio
local-
men e
compac o
y
T
2
alque
:
X =
do
donde
F
i
es
ce adoen
X,
localmen eme izable
con
K(F
i )
<
n
pa a
n
=
1,2,
. .
.
En onces,
K(X)
<
n
.
Demos ación
.-
Po
(2
.9),
ind(F
i
),<
n
(i =
1,2,
. .
.)
y
aho a
( e
[1])
ind(X)
<
n
.
Luago,
po
(2
.1), K(X)
<
ind(X)<
n
.
E]
§
3
.
K-DIMENSION
Y APLICACIONESCONTINUAS
Sean
:
X
-

-
Y
una
aplicación
con inuaen e
los
espacios opol6gicosno acíos
X
e Y,
y{C~}jCJ
la
amilia
de
las
cuasicomponen es
de
Y
.
Llamamos
:
K( )
=
sup
[K( -1(C~))]
j
CJ
3
.1
.
PROPOSICION
.-
Dada
la
aplicación
con inua
en
e los
espacios
opol6gicos
X
e
Y
se
iene
:
K(X)
=
K( )
.
Demos ación
.-
Pa acada
j
C
J,
-1
(CJ) es
in e sec
ci6n
de
abie os
y
ce ados
de
X
.
Si
C
es
una
cuasicomponen-
e de

X
al

que

C(1

-1
(CJ)

# 0
en onces
C
c

-1
(C
3
!)

y
así
:
Po
(1
.6),
si{
Ci}¡CI
son las
cuas¡componen es
de X,
y
como
consecuencia
de
(2)
ob enemos
:
K(X)

SCÍ
[K(Ci)]
<
su
p
[K( -1(C~))]
:
K(X)
j
CJ
y
la
p oposición
queda
demos ada
.O
3
.2
.

COROLARIO
.-

Si
:

X
------*
.Y
es
una
aplicación
biyec i ay
con inua
y
K(Y)
= 0
en onces
K(X)
-
0
.
Podemos
da
un
enunciado
más
gene al
del
co ola io
(3
.2)
pa a
aplicacionesbiyec i as
y
con inuas
:
3
.3
.
PROPOSICION
.-
Si
:
X
--b
Y
es
una
aplica-
ci6n
biyec i a
y
con inua,
K(X)
<
K(Y)
.
Demos ación
.-
Vamos
a
p oba
la
p oposición
po
inducción espec o
de K(Y)
:
Si
K(Y)
= 0,
po
el
co ola io
(3
.2)
es K(X)
= 0 y
la
p oposición
es
cie a
en
es e
caso
.
Supongamos
p obado
el
esul ado
pa aespacios
cuya
dimensión
es
<
n-1
y
sea
Y
un
espacio
al
que
K(Y)
=
n
.
Si
x
1
.
# x2
en
X,
po
se
biyec i a
es
(x
1
)
Y
(x
2
)
y
en
con
secuencia,
exis e
una
sepa ación
L'
en
Y
en e
(x
1
)
y
(x2)
con K(L
1
)
~<
n-1
.
Aho a,
L
=
-1
(L') es
una
sepa aciónen e
x
1
y x
2
en
el
espacio
X y
po
la
hipó esis
de
inducción
es
K(L)
<
K(L')
~<
n-1
;
luego,
K(X)
~<
n
=
K(Y)
.0
3
.4
.
COROLAR
IO
.-
Dado
el
conjun ono
acío
X, si
T
y
T'
son
dos
opologías
de X
ales
que
T
c
T'
enemos
:
K(X,T')
<
K(X,T)
La
desigualdad
de
(3 .3)
y
(3
.4)
no
es en
gene al
una
igual-
dad, como
queda
de
mani ies o
en
el
siguien e
ejemplo
:
3
.5
.
EJEMPLO
.-
Conside emos
en el
conjun o
dR
de
los
núme os ealesla opologíausual
Tu
y
la
opología
T
cuya
bá
se
es la
amilia
:
13°
{
[a,b)
1
a,b
6
IR
;
a
<
b}
Es
ob io
que
T
u
c
T
siendoK(R,T)
- 0
y
K(R,T
u
)
=
1
en
i -
ud
de
(2
.8)
.
Dados
los
espacios
no
acíosX
e
Y
y
la
aplicación
con inua
:
X~------Y
llama emos
:
28
3
.6
.
PROPOSICION
.- Si
:
X
-Y
es
una
aplicación
con inua,
K(X)
<
K(Y)
+
h( )
.
Demos ación
.-
P oba emos
la
-p oposición
po
in-
ducci6n espec o
de
K(Y)
:
Si K(Y)
= 0,
las
cuasicomponen es
de
Y
son
los
pun
os,
po
lo
que
-1
(Y)}y£Y
es la
amilia
de
las
imágenes
e
cíp ocas
de
las
cuasicomponen es
de
Y
;
es
deci ,
K( )
-
h( ),
y
po
(3 .1) es
K(X)
=
h( )
y
la
p oposición
es cie aen
es-
e
caso
.
Si
suponemoscie o
el
esul ado
en el
caso
en
que
la
K-dimensión
del
segundo
espacio
es
<
n-1,
sea
:
X-
Y
una
aplicación
con inua
con
K(Y)
= n
(n
,
1)
:
Dados
x
1 ,
x
2
E
X
con
x
1
#x
2
,
de
mane a
que
(x
1
)
= y1
,
(
x
2) = y2 e
y
1
¢
y2,
exis e
una
sepa ación
L'
en e
y
1
e
y
2
en
Y
al que
K(L')
<
n-1
.
Aho a,
L
=
_1
(L')
es
una
sepa aciónen e
x
1
y
x
2
en X,
y
po
la
hipó esis
de
induc-
ci6n
enemos
:
(3)

K(L)
<

K(L
1 )

+
h( 1
L
)
<

K(L
1
)

+
h( )
<

h( )

+
n

-

1
Sean
aho a
x
1
yxi
en
el
espacioX
con (x
1 )
=
(xj)
= y1
.
Si x
1
y xi
pe enecen
a
una
misma
cuas¡componen e
C
de
X,
exis e
una
sepa ación
LC
en
C
en e
x
1
y
xi
con K(L
C
) <
K(C)-1
y
además
:
eo ema
:
h( )
-
sup
[K(
-1
(Y))]
y
EY
K[L
C
n
-1
(Y,)]
<
K[
-1
(Y1
)]

-1
P ocediendo
de
mane asemejan e
a
la
demos aciónde
la
p o-
posici6n
(1
.6)
ob enemos
una
sepa ación
L
en e
x
1
y
.
xi
al
que
:
(4)

K(L)
<
sup
[K( -1(Y))]
-
1
<
h( )
+
n-1
Luego,
a
la
is a
de
(3)
y
(4)
es K(X)
<
h( )
+
n
=
K(Y)
+
Es e
úl imo
esul adope mi edemos a
el
siguien e