Separadores de puntos y dimensión

Pub . Ma . UAB Vol . 29 Nó 1 Ab il 1985 ABSTRACT We de ine he K-dimension K(X) o a opological space X by means o sepa a ing-poin s . The ze o K-dimen- sional spaces a e hose ha you quasicomponen sa e he poin se s . We es ablishes he heo em o opological in- a iance, he subspace heo em, he sum heo em in a es- ic ed case and he ca esian p oduc heo em . The ela- ion wi h he classicaldimension unc ions a e also s u- died . I21BQDVCCIQJ SEPARADORES DE PUNTOS Y DIMENSION JoanTa es i F eixene En [3] se de ine una unción de dimensi6n (X) de e minada po las componen es del espacio ; se ob iene as¡ que (X) = 0 si y s61o si las componen esconexas de X se educen a pun os . En [1] se analizan dis in os ipos de desconexión de un espacio X ; en e los espacios ales que ind(X) = 0 y aquellos que (X) = 0 se si uan los que ienen sus cuasicomponen es o madas po conjun os uni a ios . Las es clases de espacios son en gene aldis in- as, lo que pe mi e conside a una nue a unción de di- mensi6n,K(X), que end á de e minada po las cuasicom- ponen es del espacio y de mane a que, aho a, los espacios cuya K-dimensi6n es ce ose án aquellos que ienen sus -- cuasicomponen es o madas po conjun os de un solo pun o . En es e abajo de inimos la K-dimensi6n de un espacioX y se es udian di e sas p opiedades elemen ales de la misma, así como los eo emas de in a iancia opol6 gica y del subespacio en el 91 . En el y2 se es udian las elaciones de la K-dimensión de un espacio opol6gico y las unciones clásicas de dimensi6n ind, Ind y dim ; as¡- mismo, se es ablecen elaciones con la dimensión (X) de i- nida en [3] . El eo ema de la suma se enuncia en 2 .10 pa a un caso pa icula . El §3 es á dedicado al es udio del com- po amien o de la K-dimensión espec o de aplicaciones con- inuas, ob eniendo como consecuencia de ello el eo ema del p oduc o (3 .7) . §1 . DEFINICIONES Y RESULTADOS PRELIMINARES Reco demos que dado un espacio opol6gico X y dos elemen os x ¢ y del mismo, una sepa ación en X en e x e y es un conjun o L c X alque : a) X - L = A U B b) x 6 A ; yEB c) (Á (i B) U (Á ) B) _ 1 .1 DEFINICION .- Sea X un espacio opol6gico a b_i a io ; se de ine la K-dimensión de X como un núme oen e o K(X) ",> . -1 al que : a) K(X) = -1 si y sólo si X = 0 b) Si X = {x} es K(X) = 0 c) Si X iene más de un pun o, K(X) < n (n >, 0) - si pa x,y E X a bi a ios y dis in os exis e una sepa ación L en e xey en X al que K(L) 1 n-1 . d) K(X) = n si K(X) < n y K(X) > n-1 e) K(X) = - si pa a odo n = 1,2, . . . es K(X) > n . 1 .2 LEMA .- Si C es unacuasicomponen edel espacio X, K(C) = 0 si y s61o si C es un conjun o uni a io . Demos ación .- E iden emen e, si C = {x} en onces K(C) = 0 . Ré cíp ocamen e,supongamos que C cons a de al me - nosdos pun os x ¢ y . Si el conjun o 0 uese una sepa ación en C en e x e y exis i ía un conjun oabie o y ce ado U en C al que x 6 U , y6C - U . Aho a, U = C (1 V con V un conjun oabie oy ce ado en X, po lo que C c V y po lo an o U - C , lo que es imposible . Luego,"siC iene más de un pun o, K(C) > 0 .0 22 1 .3 . PROPOSICION .- K(X) - 0 si y sólo si X # 0 y las cuasicomponen es de X son los conjun os de un solo pun- o . Demos ación .- Si K(X) = 0 es X ~ 0ly además, da- dos x # y en X exis e U abie o y ce ado al que x E U , y 0 U ; es deci , la cuasicomponen eCx de x coincide con {x} pa a odo x E X . Recíp ocamen e, si X es un espaciono acío cuyas cuasicomponen es son los pun os, dados x ¢ y en X, como C x y C y son dis in as exis e un conjun oabie o y ce adoU en X al que x C U , y 9 U, po lo que K(X) = 0 .0 1 .4 . TEOREMA .- (In a iancia po homeomo ismos) . Si X e Y son dos espacios opol6gicos no acíosy-exis e un homeomo ismo de X sob e Y, K(X) = K(Y) . Demos ación .- Sea : X  Y un homeomo ismo . Si K(X) = 0, ob iamen e es K(Y) = 0 en i ud de 1 .3 . Supongamos el eo ema demos ado pa aespaciosde K-deimensi6n meno que n (n >, 1) y sea K(X) = n . Si x',y' son elemen os dis in os de Y con x' = (x), y' = (y), se á x 0 y y en consecuencia exis e una sepa ación L en X en e x e y con K(L) < n-1 . Aho a, L' = (L) es una sepa ación en Y en e x' e y' y po la hipó esis de inducción es K(L') ,< n-1 . Po lo an o, K(Y)  n . Como exis en a,b E X dis in os y una sepa ación L 1 en eellos con K(L 1 ) = n-1 , L i = (L 1 ) es una sepa ación en e , (a) y (b) en Y de mane a queK(L j ) = n-1 . Luego , K (Y)  =  n  .1] 1 .5 . TEOREMA .- (Teo ema del subespacio) . Dado el espacio opol6gico X y el subespacio A e X se iene K(A)N K(X) . Demos ación .- Si A c X y K(X) = 0, o bien es A = = 0o bien las cuasicomponen es de A son los pun os . Así, es K(A) <0 = K(X) . Supues o el eo emacie o pa a espacios de K-di- mensi6n meno que n (n , 1) sea X al que K(X) = n . Pa a x,y E A (x ¢ y) exis e una sepa ación L en X en e ellos al que K(L) < n - 1. El conjun o L l A es una sepa ación en A - en e los pun os x e y, y como L () A e L, po la hipó esis . de inducción se iene que K(L (1 A) < K(L) < n-1 . En consecuen_ cia, K(A) < n - K(X) .D 1 .6 . PROPOSICION .- Sea X un espacio opol6gico no acío . Si {Ci}iel es la amilia de las cuasicomponen es 24 K(X) = sup [K(C i )] ¡EI de X, Demos ación .- Po (1 .5), sup [K(Ci)] < K(X) . Pa a ¡CI demos a la desigualdad con a ia : (1)  K(X) : sup [K(C i )] i es lo ha emos po inducción espec o a n = sup [K(C i )] . iCI Si n = 0, po (1 .2) las cuasicomponen es C i se e- ducen a un pun o pa a odo i E I, y po (1 .3) es K(X) =0 y la desigualdad (1) se cumple en es e caso . Supongamosp obada la desigualdad (1) pa a n < k - con k >, 1, y sea X un espacio alque n = k . Sin es icción de la gene alidad podemos supone que cada cuasicomponen e Ci iene más de un pun o . Si x,y E X con x ¢ y de al o ma que ambos pe enecen a cuasicomponen es dis in as, el conjun o - acío es una sepa ación en e ellos ; si x e y pe enecen a la misma cuasicomponen e C i y si pa a cada i E I es K(C i ) = ni, 0 exis e una sepa ación L i en C i en e x e y conK(L i o 0  0 n i -1 . Elegimos aho a, pa acada i E I-{i o } un pa de pun- os áis in os xi,yi E C i y conside amos la sepa ación Li en e ellos al queK(L i ) :,< n i - 1 . El conjun o : L = l y Li es una sepa ación en X en e x e y . Po la hipó esis de in- ducci6n, K(L) < k-1 y po an o, K(X) _< k y la p oposición queda demos ada D §2 . RELACION CON OTRAS FUNCIONES DE DIMENSION acacoscacsaasaacsaaccasasacaacaaaaacaac :a Es udiamos a con inuación la elación en e la K-di mensi6n y las unciones clásicas de dimensión ind, Ind, dim, as¡ como la unción (X)  de inida en  [3] . ind(X) . 2 .1 PROPOSICION .- Si X es un espacio T 3 , K(X) ,< Demos ación .- Supond emos ind(X),< m yp obamos la p oposición po inducción espec o a ind(X) : Si'ind(X) = -1 en oncesX = 0 y ambién K(X) a-1 po lo que en es e caso la p oposición es cie a . Conside emos p obado el enunciadopa aespacios a les que su dimensióndébilmen e induc i a es < n-1 (n > 1) y supongamos que ind(X) = n . Si x,y 6 X con x Y y, como {y} es ce ado en X con x 1 {y}, po (1 .1 .4) de [1] exis e una sepá ación L en e x e {y) al que ind(L) < n-1 . Po la hipó e- sis de inducción, enemos K(L) ~< ind(L) ~< n-1 po lo que es K(X) < n y se cumple la desigualdad buscada .D Si X es un'espacio T 4 en onces ind(X) ,< Ind(X) po (1 .6 .3) de [1] po lo que : 2 .2 COROLARIO .- Si X es un espacio T 4 , K(X) < ind(X)< Ind(X) . La desigualdad de la p oposición 2 .1 no es, en ge- ne al, una igualdad, como lo mues a el siguien e ejemplo : 2 .3 . EJEMPLO .- Sea H  °°  `°  2 i=1 < *o) el subespacio del espacio de Hilbe H o mado po los pun os de componen es acionales del mismo . Si ( x i)i=1 0 (yi)i 1 en H o , exis e i o 6 N alque x i #y i . Supongamos que es xi < y i y sea a E R - Q al 0 0  0 0 que x i < a <  yi  ; si es Ui a (--, a )' n Q, el conjun o : 0  0  0 Ua (TÍ UiynHo i=1 con U i = IR pa a i # i 0 es un abie o y ce ado en H 0 al que 2 5 (xi)i=1 6 U y ( yi)ia1 1 U . Es deci , K(H 0 ) = 0, mien as que ind(H 0 ) = 1 ( e [1]) . 2 .4 . PROPOSICION .- Pa a odoespacio opol6gico X es (X) << K(X) . La p oposici6n (2 .4) es consecuencia inmedia a del hecho de que las componen es conexas de cualquie espacio es án con enidas en las cuasicomponen es del mismo y de (1 .5) y (1 .6) así comode [3] (p oposici6n 1 .2) . No obs an e, la - desigualdad no es en gene al una igualdad, como queda pues o de mani ies o en [1] (ejemplo 1 .4 .7) donde se desc ibe un es pacio Y al que (Y) = 0 mien as que K(Y) > 0 . Como en un espacio compac o y T 2 las componen es conexas y las cuasicomponen es coinciden, podemosasegu a : T 2 en onces (X) - K(X) . Como consecuencia de los esul ados dados en [3] (4 .6) y(4 .7) as¡ como de las p oposiciones (2 .1), (2 .2), (2 .4) y (2 .5) del p esen e abajo,se ob iene : compac o y me izable : Teniendo en cuen a que R n es un espaciolocalmen e compac o y me izable, enemos : si6n) . 2 .5 . PROPOSICION .- Si X es un espaciocompac o y 2 .6 . PROPOSICION .- Si X es un espaciocompac o y T 2 : dim(X) < (X) = K(X) < ind(X) < Ind(X) 2 .7 . PROPOSICION .- Si X es un espacio localmen e dim(X) = (X) = K(X) = ind(X) = Ind(X) 2 .8 . CORO L ARIO .- (Teo ema undamen al de la dimen- K( ,,n ) = n  (n >, 1) 2 .9 . PROPOSICION .- Si X es un espacio localmen e compac o, T 2 y localmen e me izable, K(X) - ind(X) . cia : En i udde los esul ados an e io es podemos enun 2 .10 . TEOREMA DE LA SUMA .- Sea X un espacio local- men e compac o y T 2 alque : X = do donde F i es ce adoen X, localmen eme izable con K(F i ) < n pa a n = 1,2, . . . En onces, K(X) < n . Demos ación .- Po (2 .9), ind(F i ),< n (i = 1,2, . . .) y aho a ( e [1]) ind(X) < n . Luago, po (2 .1), K(X) < ind(X)< n . E] § 3 . K-DIMENSION Y APLICACIONESCONTINUAS Sean : X -  - Y una aplicación con inuaen e los espacios opol6gicosno acíos X e Y, y{C~}jCJ la amilia de las cuasicomponen es de Y . Llamamos : K( ) = sup [K( -1(C~))] j CJ 3 .1 . PROPOSICION .- Dada la aplicación con inua en e los espacios opol6gicos X e Y se iene : K(X) = K( ) . Demos ación .- Pa acada j C J, -1 (CJ) es in e sec ci6n de abie os y ce ados de X . Si C es una cuasicomponen- e de  X al  que  C(1  -1 (CJ)  # 0 en onces C c  -1 (C 3 !)  y así : Po (1 .6), si{ Ci}¡CI son las cuas¡componen es de X, y como consecuencia de (2) ob enemos : K(X)  SCÍ [K(Ci)] < su p [K( -1(C~))] : K(X) j CJ y la p oposición queda demos ada .O 3 .2 .  COROLARIO .-  Si :  X ------* .Y es una aplicación biyec i ay con inua y K(Y) = 0 en onces K(X) - 0 . Podemos da un enunciado más gene al del co ola io (3 .2) pa a aplicacionesbiyec i as y con inuas : 3 .3 . PROPOSICION .- Si : X --b Y es una aplica- ci6n biyec i a y con inua, K(X) < K(Y) . Demos ación .- Vamos a p oba la p oposición po inducción espec o de K(Y) : Si K(Y) = 0, po el co ola io (3 .2) es K(X) = 0 y la p oposición es cie a en es e caso . Supongamos p obado el esul ado pa aespacios cuya dimensión es < n-1 y sea Y un espacio al que K(Y) = n . Si x 1 . # x2 en X, po se biyec i a es (x 1 ) Y (x 2 ) y en con secuencia, exis e una sepa ación L' en Y en e (x 1 ) y (x2) con K(L 1 ) ~< n-1 . Aho a, L = -1 (L') es una sepa aciónen e x 1 y x 2 en el espacio X y po la hipó esis de inducción es K(L) < K(L') ~< n-1 ; luego, K(X) ~< n = K(Y) .0 3 .4 . COROLAR IO .- Dado el conjun ono acío X, si T y T' son dos opologías de X ales que T c T' enemos : K(X,T') < K(X,T) La desigualdad de (3 .3) y (3 .4) no es en gene al una igual- dad, como queda de mani ies o en el siguien e ejemplo : 3 .5 . EJEMPLO .- Conside emos en el conjun o dR de los núme os ealesla opologíausual Tu y la opología T cuya bá se es la amilia : 13° { [a,b) 1 a,b 6 IR ; a < b} Es ob io que T u c T siendoK(R,T) - 0 y K(R,T u ) = 1 en i - ud de (2 .8) . Dados los espacios no acíosX e Y y la aplicación con inua : X~------Y llama emos : 28 3 .6 . PROPOSICION .- Si : X -Y es una aplicación con inua, K(X) < K(Y) + h( ) . Demos ación .- P oba emos la -p oposición po in- ducci6n espec o de K(Y) : Si K(Y) = 0, las cuasicomponen es de Y son los pun os, po lo que -1 (Y)}y£Y es la amilia de las imágenes e cíp ocas de las cuasicomponen es de Y ; es deci , K( ) - h( ), y po (3 .1) es K(X) = h( ) y la p oposición es cie aen es- e caso . Si suponemoscie o el esul ado en el caso en que la K-dimensión del segundo espacio es < n-1, sea : X- Y una aplicación con inua con K(Y) = n (n , 1) : Dados x 1 , x 2 E X con x 1 #x 2 , de mane a que (x 1 ) = y1 , ( x 2) = y2 e y 1 ¢ y2, exis e una sepa ación L' en e y 1 e y 2 en Y al que K(L') < n-1 . Aho a, L = _1 (L') es una sepa aciónen e x 1 y x 2 en X, y po la hipó esis de induc- ci6n enemos : (3)  K(L) <  K(L 1 )  + h( 1 L ) <  K(L 1 )  + h( ) <  h( )  + n  -  1 Sean aho a x 1 yxi en el espacioX con (x 1 ) = (xj) = y1 . Si x 1 y xi pe enecen a una misma cuas¡componen e C de X, exis e una sepa ación LC en C en e x 1 y xi con K(L C ) < K(C)-1 y además : eo ema : h( ) - sup [K( -1 (Y))] y EY K[L C n -1 (Y,)] < K[ -1 (Y1 )]  -1 P ocediendo de mane asemejan e a la demos aciónde la p o- posici6n (1 .6) ob enemos una sepa ación L en e x 1 y . xi al que : (4)  K(L) < sup [K( -1(Y))] - 1 < h( ) + n-1 Luego, a la is a de (3) y (4) es K(X) < h( ) + n = K(Y) + Es e úl imo esul adope mi edemos a el siguien e