Pub
.
Ma
.
UAB
Vol
.
28
Ng
2-3 Se
.
1984
UN
CRITERIOLOCAL
DE
REPRESENTABILIDAD
Pe e
PASCUALi GAINZA
En es ano a
se
p uebaun
c i e io
local
de
ep esen abili-
dad
pa a un o es
de inidos
en
la
ca ego ía
de
los
espacios
al-
geb aicos
.
Dicho
c i e io
pe mi eex ende
a
los
espacios
alge-
b aicosalgunas
cons ucciones
bien
conocidasen
la
ca ego ía
de
esquemas,
como
son
T ass
n
(E)
y
]P(E)
.
El
in e és
de
es e
esul ado
eside
po
una
pa een
que
hace
innecesa ia
la
u ili-
zaci6n
del
c i e io
de
ep esen abilidad
de
M
.A inpa a ales
un o eselemen ales,
(c
.
[1]),
y
po
o a,
en
que
gene aliza
no ablemen e
el c i e io
de
e ec i idad
de
las
cons ucciones
localesde Knu son,
(c
.[4]), ya
que,
po
ejemplo,
és eno
da
la
ep esen abilidad
de
los
un o es
mencionados
an e io men e
.
En
52
usa emos
la
cons ucción
]P(E)
pa a
e isa
la
de-
inici6n
de
mo ismo
p oyec i oen e
espacios
algeb aicos
p o-
pues a
po
Knu son
.
La de inición
aqui
adop ada
pe mi e
demos
a
la
exis encia
de
explosiones
de
haces
de
idealescohe en-
es
en es e
con ex o,
hecho
que,
aunque
ha sido
u ilizado
po
di e sos
au o es
(c
.
po
ejemplo
[9]),
es
de
di ícil
o maliza-
ci6n
conlas
de iniciones
de

[4],
y
que
se á
u ilizado
en
[7]
en la
demos ación
de
los
c i e ios
de
ampli ud
en es é
con ex-
o
.
Los
esul ados
que
aquí
se
exponen
o man
pa e
de
la
e-
sis
del
au o ,
(c
.
M),
edac ada
bajo
la
di ección
de
V
.Na-
a o
Azna ,
al
que
quie o
ag adece
las
nume osas
con e sacio-
nes
man enidas
sob eel ema
.
Asimismo
ag adezco
a
F
.Guillén
y
F
.Pue a
las
dis in as
discusionesman enidas
.
Ezp
.a1g
.
IX

deno a á
la
ca ego ía
de
los
espacios
algeb ai-
cos
sob e
un
espacio
base
X
.
Nos
emi i emos
a
[4]
pa a
las
de iniciones
y
p opiedadeselemen ales
de
los
espacios
algeb ai-
cos
.
1
.
RESULTADOPRINCIPALY EJEMPLOS
El
esul ado
p incipal
de
es ano aes
(1
.1)
Teo ema
:
Sea
X
un
espacio
algeb aico
y
un
un o
con a a ian eque
es
un
haz
pa a
la
opología
é ale
globalde
Ezp.alg
.
1V
.
Si
pa a odoesquema
U
sob e
X
el
un o
1
1 .
FU =
Fx
xU
es ep esen able,en onces
F
es
ep esen able
.
Demos ación
:
Conside emos
un
ecub imien o
é ale
ep e-
sen able
de
X,

R
A
U
-~
X
,
donde
RyU
son
esquemasy
se
e i ica
R =
Ux
x
U,
(c
.
[4])
.
Dado
quepo
hipó esis
.
FR y
F
U
son
ep esen ables,
sean
YR e
Y
U
los
espacios
algeb aicos
que
les
ep esen an
.
Po las
p opiedadeselemen ales
de
los
un o-
es
ep esen ables,
(c
.
EGA
0
41),
el
diag ama
es
ca esiano
.
As ,
YR
de ine
una
elación
de
equi alencia
é aleen
YU
;
sea
X
U
el
espacio
algeb aico
cocien e,
(c
.[4]
56
F
:
(Ebp
.alg
.I
X
).
--=,
Coni
.
Y
R
YU
(11
.3
.14)),
y
comp obemos
que
XU
no
depende
(sal o
isomo is-
mo can6nico)
de
U
,
y
que
ep esen a
a F
.
Pa a
comp oba
la
independencia
de
XU
espec o
de
el
e-
cub imien o
é ale
ep esen able
escogido,
sea

T
===s
V
----+
X
,
o o
de
ales
ecub imien os
.
Subs i uyendo
V
po
Vx
XU
si
ue anecesa io,
podemos
supone
que
exis e
un mo ismo
é ale
y
exhaus i o

:V
-->U,

(c
.
[4],(II
.1
.7))
.
Sea

X
V
el
espacio
algeb aico
ob enido
de
o ma
análoga
a XU
al
usa
la
elaci6n
T
==4
V
.
Como


es
un
epimo ismo
e ec i o
uni e sal
en
la
ca-
ego ía
de
los
espacios
algeb aicos
sob e
X,
(c
.
SGA
3,
exp
.
IV
p
.213), de
SGA
3
(IV
.3
.5
.3)
se
deduce
la
exis encia
de un
isomo ismo
can6nico
XV
-1
XU
.
Sea
pues
X
el
X-espacio
algeb aico
as
de inido
.
X
e-
p esen a
a
F
:
en
e ec o,
sea
Z
un
espacio
algeb aico
sob e
X
de inido
po
una
elaci6nde
equi alencia
é ale
ep esen able
S
==4
W
--~Z
.
Como

Hom
X
(-,X)

y

F

son
hacespa a
la
opología
é ale
global
de la
ca ego ía
de
los
X-espacios
algeb aicos,
se
ienen
sucesiones
exac as
Hom
X
(Z,X)
-->
Hom
X
(W,X)
===4
Hom
X
(S,X)
F(Z)

-j
F(W)

F(S)
.
Aho a
bien,
el diag ama
W

X
es
ca esiano,
y
po
consiguien e
si
T
es
un
W-espacio
alge-
b aico
se
ienen
las
igualdades
Hom
X
(T,X)
=
Hom
W
(T,X
W
)
= FW
(T)
=
F(T)
,
de
donde
se
deduce
que
en
las
sucesiones
an e io es
losdos
conjun os
inales
coinciden
.
Así,
inalmen e,
se
e i ica
Hom
X
(Z,X)
=
F(Z)
,
i
.e
.
X
ep esen a
a
F
.
(1
.2)
Obse aciones
:
i)
Es e
esul ado
es
la
e sión
pa a
los
espacios
algeb aicos
de
EGA
0
(4 .5
.4)
.
Un
esul adoanálogo
pa aespaciosanalí icos
ué
p obado
po
A
.G o hendieck
en el
semina ioCa an1960/61
.
ii)
En
los
ejemplos
que
siguen
FU
es ep esen able,
de
hecho,
po
un
U-esquema
.
Es en
es e
sen ido
que
el
eo ema
an-
e io
gene aliza
el
c i e io
de
e ec i idad
de
las
cons uc
cioneslocalesde
Knu son
(c
.
[4]
(1
.1
.12))
.
iii)
Es e
esul ado
pod ía
in e p e a se
como
condiciones
su icien es
pa a
que
un
X-esquema
ela i oen el sen ido
de
Hakim,
(c
.
[2]),
sea
e ec i o
.
(1
.3)
Comoaplicación
del
esul adoan e io amos
a
demos a
la
exis encia
de
los
ib ados
de
bande as
.
Reco demos
la
de i-
nición
de
bande a
(c
.
EGA
I§9)
:
Sea
X
un
espacio
algeb aico
y

E

un

0X
-mddulo
cuasi-cohe en e,
y
sea

m =
(m1<
i<
p,
una
sucesión
c ecien ede
en e os
no
nega i os
.
Se
llama
ban
de a
de
ipo
m
de

E
a
oda
sucesión
de
cocien es
de
E
01
E
i
localmen e
lib es,
1<i<p,
y
de
angos
espec i os
m
1
,
. .
.,
m
p
,

y
ales
que
si

Fi
=
NUC(E
--~
Ei
),
se
engan
inclusiones
F
i+l
C
Fi

1<
i<
p

.
Si
no amos
Band
m
(E)
el
conjun ode
bande as
de
E
de
ipo
m
,
se
de ineel un o
Band
m
(E)
:
(Ezp.alg
.I
X
[°
-P
Conj
.
que
asigna
a
cada
X-espacio
algeb aico
Y
el
conjun o
de
ban-
de as
de
ipo
m
de
E
y
(pull-back
de
E
sob e
Y),
y a
cada
mo ismog
:Y'
)
Y
,
la
aplicación
IBand
m
(E)
.
Band
m
(E
Y
)
Band
m
(E
Y
,)
de inidamedian eg
*
,
pues
al
se
el
un o
imagenin e sa
exac o
po
la
de echa
ans o ma
módulos
localmen e
lib esde
ango
n
en
módulos
localmen e
lib es
del
mismo
ango
.
(1
.4)
Co ola io
:
Con
las
no aciones
an e io es,
el
un o
Band
m
(E)
es
ep esen able
po
un
X-espacio
algeb aico
p opio
Demos ación
:
Es
inmedia o
comp oba
que
Band
m (E)
de-
ine
un
haz
pa a
la
opología
é aleglobal
de
Eep
.aIg
.I
x
,
po
lo
que
en i ud
de
(1
.1)
se á
su icien e
e que
Band
m
(E)
U
=
=
Band
m
(E
u
)
es
ep esen able
pa a
odo
esquemaU
sob e
X
.
Como
EL
es cuasi-cohe en e,p o ienede un
haz
cuasi-
-cohe en epa a
la
opología
de Za iskide
U,
(c
.
[5](11
.1
.6)),
haz
que
no a emos

GU
.
De

EGA
1

(9 .9
.3)

esul a
que-Bandm
(G
U
)
es
ep esen able,
y
po
an ola demos ación
se
acabaobse -
ando
que
Band
m
(E
u
)
=
Band
m
(G
U
)
,
ya
que
el
mo ismo

0
Ux
-i

-U,x

es
ielmen e
plano
(c
.
5
9

[8],
VIII
h
.
3)
.
El
hecho
de
que
IBand
m
(E)
sea
un
espacio
algeb aico
p opio
sob e
X
se
deduce
de la
es abilidad
de
los
mo ismos
p opios,
(c
.

[4]
,
(11
.7 .2)
)
-
.
Como
es
habi ual,
si
m =
(m)
esc ibi emos
G ass
m
(E)
_
IBand
m
(E),
y
pa a
m=1,
pond emos

IP(E)
=
ó ass1(E)
.
Una
ez
conocida
la
ep esen abilidad
de
los
un o es
en
g assmannianas,
se
pueden
es ablece
acilmen e
la
exis encia
de
los
mo ismos
de
Plücke y
de
Seg e,
e i icandose
lasp o
piedades
usuales
;
conc e amen e
se
ob iene
:
(1
.5)
P oposición
:
i)
Pa a odo
haz
cuasi-cohe en e
E
sob e
X, el
mo ismo
de
Plücke
m
(G a
ss
m
(E)

---
;

(
A
E
)
es
una
inme si8nce ada
.
ii)
Si
E
y

F
son
haces
cuasi-cohe en es
sob e
X,
el
mo ismo
de
Seg e
es
una
inme si8n
ce ada
.
6
0
IP
(E)
x
X
IP
(F
.
)

-~

IP
(E®
0

F
)
X
Pa a
más
de alles
y
cues iones elacionadas,
e
[6]
.
2
.
APLICACION
A
LOS
MORFISMOS
PROYECTIVOS
(2
.1)
De inición
:
Di emos
que
un
mo ismo
de
ipo ini o
:X
-->
Y
en eespacios
algeb aicos
es
cuasi-p oyec i o
( esp
.
p oyec i o)
si
exis eun
0
y
-m8dulo
cuasi-cohe en ey
de
ipo
ini o

E
alque
se
ac o izaen
la
o ma
X
ip(E)
Y
donde
i
es
una
inme sión
( esp
.
una
inme sión
ce ada)
.
Asi,
po
ejemplo,
si

E

es un

0y
módulo
de
ipo
ini o
y
cuasi-cohe en e,
la
exis encia
del
mo ismo
de
Plücke y
(1
.5)
asegu an
que
los
mo ismos
es uc u ales
G ass
m
(E)
-
Y
son
p oyec i os
pa acualquie
m
.
Análogamen e,
los
mo ismos
IBand
m
(E)
->
Y
son
ambién
p oyec i os
.
(2
.2)
Obse aciones
:
i)
Si
Y
es un esquema
y
:X
->Y
es
un
mo ismocuasi-p oyec i o
en onces
X
es
ambién
un
esque-
ma,
ecu e ándose
así
la
de inición
de
mo ismo
cuasi-p oyec i-
o de
EGA
II
.
ii)
En
la
de inición
de mo ismo
p oyec i o
de
EGA
II
se
usa
además
de
la
cons ucción
IP(-),
la
cons ucción
P oj
.
Es a
se
puede ecupe a
en la
ca ego ía
de
los
espacios
algeb aicos
de la
o masiguien e
:
sea
A
una
0
X
-álgeb a
g aduada
cuasi-
-cohe en e
alque

A
1
sea
de
ipo ini o
y engend e

A
.
Si
U
==4
X

es
un
ecub imien o
é ale ep esen able
y

S(A)

deno a
el
álgeb asimé ica
de
A, se
ieneun
mo ismo
exhaus i o
que
co esponde
a
la
iden idadsob e
A
1
.
Asi,
po
EGA
II
(3 .6
.4),
exis e
una
inme sión
ce ada
P oj(A
u
)
)
P oj(S(A
U
))
= IP(A
U
)
(c
.
EGA
II
(4 .1
.1))
.
Como
los
esquemas
IP(A
U
)
o man
una
6
1
claseco inal
se
ob iene
de
es a
-
=o ma
una
los
mo
-
-ismosan e io es
son
inme siones
(c
.
[4jU
.1
.12)
y
(I
.3A
)),
i
.e
.
exis e
sob e
X,
P oj(A),
y
una
inme si8n
ce ada
de
ecub imien os
é ales
ep esen ables
de
cons ucción
local
que,
dado
que
ce adas,es e ec i a,
espacio
-
algeb aico
(2
.4)
P oposici6n
:
Sea

:X
-3Y
g
:

X

]P
(E)
un
P oj
(A)
->
IP
(A)

.
Además,
al
igual
que
en
la
ca ego ía
de esquemas,
se
e i ica
P oj(S(A))
=
8(A),
(c
.
EGA
II
§4)
.
(2
.3)
La
exis encia
del
mo ismo
de
Seg e,
(1
.5),
pe mi e
de-
mos a
las
"so i e"
de
los
mo ismos
p oyec i os
de
o ma
loga
a
EGA
II
(5
.5 .5)
.
Se
e i ica
ambién
:
un mo ismo
cuasi-p oyec i o
en e
espacios
algeb aicos
y
supongamos
que
Y
es
p oyec i o
si,
y
s81o
si,
es
p opio
.
Si
es
p oyec i o
se á
p opio
po se
inme si8nce ada
es
noe he iano
.
En onces
Demos ación
:
composición
de
una
7P
(E)
-,o
Y,

seg in

(1
.4)
.
El
ecip oco
se
deduce
del
lema
(5
.4
.4))
:
Lema
:
Si
X
es
un
Y-espacio
algeb aico
p opioy
E
es
un
0
y
-módulo
cuasi-cohe en e
y
de
ipo
ini o,
odomo ismo
es
p opio
(y,
en
pa icula ,
ce ado)
.
y
un
mo ismo
p opio,
siguien e
( e
EGA
II
aná-
(2 .5)
Aunque
la
de inición
(2
.1)
es
más
gene al
que
la
dada
po
Knu son,
quiénimpone
una
ac o izaci6n
de
a
a és
de
PY
pa aalgún
N
con enien e,
(c
.
[4]II§7),
siguensiendo
álidos
en es econ ex oel eo ema
de
ini ud
de
Se e
y
el
62
lema
de
Chow,
(c
.
[4],
[9])
.
Una
de
las
en ajasde
la
de ini-
ci6n
(2
.1)
es
que
pe mi e
demos a
la
siguien e
(2
.6)
P oposi
ción
:
Sea
X
un espacio
algeb aiconoe he iano
e
1
un
haz
de
ideales
cohe en e
.
Exis e
un
mo ismo
p oyec i o
alque
i) u
es
bi acional,
IT
.
X

X
ii)
i
-1
1 .O
X
es
in e sible,
iii)
u
es
uni e sal espec o
i),ii),
mo ismo
que
llama emos
la
explosión
de
X espec o
1
.
Demos ación
:
Comoen
el
caso
de
esquemas,
(c
.
[3]
(II
.
7
.13),
bas a
oma

X =
P oj(
d
9
p
1
d
)
,
lo
que
ienesen ido
se-
gún
la
obse ación
(2
.2)i),
y
como
u, el
mo ismo
es uc u al,
e i icandose
las
p opiedades
i)-iii)

po
descenso
é ale
.
///
De la
demos ación
an e io y
de la
cons ucción
de
P oj,
(2 .2
.ii),
se
deduce
que
las
explosiones
de
haces
de ideales
cuasi-cohe en esson
localespa a
la
opología
é ale
de
los
espacios
algeb aicos
.
BIBLIOGRAFIA
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G o hendieck,A
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. :
Elémen sde
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