Un criterio local de representabilidad

Pub . Ma . UAB Vol . 28 Ng 2-3 Se . 1984 UN CRITERIOLOCAL DE REPRESENTABILIDAD Pe e PASCUALi GAINZA En es ano a se p uebaun c i e io local de ep esen abili- dad pa a un o es de inidos en la ca ego ía de los espacios al- geb aicos . Dicho c i e io pe mi eex ende a los espacios alge- b aicosalgunas cons ucciones bien conocidasen la ca ego ía de esquemas, como son T ass n (E) y ]P(E) . El in e és de es e esul ado eside po una pa een que hace innecesa ia la u ili- zaci6n del c i e io de ep esen abilidad de M .A inpa a ales un o eselemen ales, (c . [1]), y po o a, en que gene aliza no ablemen e el c i e io de e ec i idad de las cons ucciones localesde Knu son, (c .[4]), ya que, po ejemplo, és eno da la ep esen abilidad de los un o es mencionados an e io men e . En 52 usa emos la cons ucción ]P(E) pa a e isa la de- inici6n de mo ismo p oyec i oen e espacios algeb aicos p o- pues a po Knu son . La de inición aqui adop ada pe mi e demos a la exis encia de explosiones de haces de idealescohe en- es en es e con ex o, hecho que, aunque ha sido u ilizado po di e sos au o es (c . po ejemplo [9]), es de di ícil o maliza- ci6n conlas de iniciones de  [4], y que se á u ilizado en [7] en la demos ación de los c i e ios de ampli ud en es é con ex- o . Los esul ados que aquí se exponen o man pa e de la e- sis del au o , (c . M), edac ada bajo la di ección de V .Na- a o Azna , al que quie o ag adece las nume osas con e sacio- nes man enidas sob eel ema . Asimismo ag adezco a F .Guillén y F .Pue a las dis in as discusionesman enidas . Ezp .a1g . IX  deno a á la ca ego ía de los espacios algeb ai- cos sob e un espacio base X . Nos emi i emos a [4] pa a las de iniciones y p opiedadeselemen ales de los espacios algeb ai- cos . 1 . RESULTADOPRINCIPALY EJEMPLOS El esul ado p incipal de es ano aes (1 .1) Teo ema : Sea X un espacio algeb aico y un un o con a a ian eque es un haz pa a la opología é ale globalde Ezp.alg . 1V . Si pa a odoesquema U sob e X el un o 1 1 . FU = Fx xU es ep esen able,en onces F es ep esen able . Demos ación : Conside emos un ecub imien o é ale ep e- sen able de X,  R A U -~ X , donde RyU son esquemasy se e i ica R = Ux x U, (c . [4]) . Dado quepo hipó esis . FR y F U son ep esen ables, sean YR e Y U los espacios algeb aicos que les ep esen an . Po las p opiedadeselemen ales de los un o- es ep esen ables, (c . EGA 0 41), el diag ama es ca esiano . As , YR de ine una elación de equi alencia é aleen YU ; sea X U el espacio algeb aico cocien e, (c .[4] 56 F : (Ebp .alg .I X ). --=, Coni . Y R YU (11 .3 .14)), y comp obemos que XU no depende (sal o isomo is- mo can6nico) de U , y que ep esen a a F . Pa a comp oba la independencia de XU espec o de el e- cub imien o é ale ep esen able escogido, sea  T ===s V ----+ X , o o de ales ecub imien os . Subs i uyendo V po Vx XU si ue anecesa io, podemos supone que exis e un mo ismo é ale y exhaus i o  :V -->U,  (c . [4],(II .1 .7)) . Sea  X V el espacio algeb aico ob enido de o ma análoga a XU al usa la elaci6n T ==4 V . Como   es un epimo ismo e ec i o uni e sal en la ca- ego ía de los espacios algeb aicos sob e X, (c . SGA 3, exp . IV p .213), de SGA 3 (IV .3 .5 .3) se deduce la exis encia de un isomo ismo can6nico XV -1 XU . Sea pues X el X-espacio algeb aico as de inido . X e- p esen a a F : en e ec o, sea Z un espacio algeb aico sob e X de inido po una elaci6nde equi alencia é ale ep esen able S ==4 W --~Z . Como  Hom X (-,X)  y  F  son hacespa a la opología é ale global de la ca ego ía de los X-espacios algeb aicos, se ienen sucesiones exac as Hom X (Z,X) --> Hom X (W,X) ===4 Hom X (S,X) F(Z)  -j F(W)  F(S) . Aho a bien, el diag ama W  X es ca esiano, y po consiguien e si T es un W-espacio alge- b aico se ienen las igualdades Hom X (T,X) = Hom W (T,X W ) = FW (T) = F(T) , de donde se deduce que en las sucesiones an e io es losdos conjun os inales coinciden . Así, inalmen e, se e i ica Hom X (Z,X) = F(Z) , i .e . X ep esen a a F . (1 .2) Obse aciones : i) Es e esul ado es la e sión pa a los espacios algeb aicos de EGA 0 (4 .5 .4) . Un esul adoanálogo pa aespaciosanalí icos ué p obado po A .G o hendieck en el semina ioCa an1960/61 . ii) En los ejemplos que siguen FU es ep esen able, de hecho, po un U-esquema . Es en es e sen ido que el eo ema an- e io gene aliza el c i e io de e ec i idad de las cons uc cioneslocalesde Knu son (c . [4] (1 .1 .12)) . iii) Es e esul ado pod ía in e p e a se como condiciones su icien es pa a que un X-esquema ela i oen el sen ido de Hakim, (c . [2]), sea e ec i o . (1 .3) Comoaplicación del esul adoan e io amos a demos a la exis encia de los ib ados de bande as . Reco demos la de i- nición de bande a (c . EGA I§9) : Sea X un espacio algeb aico y  E  un  0X -mddulo cuasi-cohe en e, y sea  m = (m1< i< p, una sucesión c ecien ede en e os no nega i os . Se llama ban de a de ipo m de  E a oda sucesión de cocien es de E 01 E i localmen e lib es, 1<i<p, y de angos espec i os m 1 , . . ., m p ,  y ales que si  Fi = NUC(E --~ Ei ), se engan inclusiones F i+l C Fi  1< i< p  . Si no amos Band m (E) el conjun ode bande as de E de ipo m , se de ineel un o Band m (E) : (Ezp.alg .I X [° -P Conj . que asigna a cada X-espacio algeb aico Y el conjun o de ban- de as de ipo m de E y (pull-back de E sob e Y), y a cada mo ismog :Y' ) Y , la aplicación IBand m (E) . Band m (E Y ) Band m (E Y ,) de inidamedian eg * , pues al se el un o imagenin e sa exac o po la de echa ans o ma módulos localmen e lib esde ango n en módulos localmen e lib es del mismo ango . (1 .4) Co ola io : Con las no aciones an e io es, el un o Band m (E) es ep esen able po un X-espacio algeb aico p opio Demos ación : Es inmedia o comp oba que Band m (E) de- ine un haz pa a la opología é aleglobal de Eep .aIg .I x , po lo que en i ud de (1 .1) se á su icien e e que Band m (E) U = = Band m (E u ) es ep esen able pa a odo esquemaU sob e X . Como EL es cuasi-cohe en e,p o ienede un haz cuasi- -cohe en epa a la opología de Za iskide U, (c . [5](11 .1 .6)), haz que no a emos  GU . De  EGA 1  (9 .9 .3)  esul a que-Bandm (G U ) es ep esen able, y po an ola demos ación se acabaobse - ando que Band m (E u ) = Band m (G U ) , ya que el mo ismo  0 Ux -i  -U,x  es ielmen e plano (c . 5 9 [8], VIII h . 3) . El hecho de que IBand m (E) sea un espacio algeb aico p opio sob e X se deduce de la es abilidad de los mo ismos p opios, (c .  [4] , (11 .7 .2) ) - . Como es habi ual, si m = (m) esc ibi emos G ass m (E) _ IBand m (E), y pa a m=1, pond emos  IP(E) = ó ass1(E) . Una ez conocida la ep esen abilidad de los un o es en g assmannianas, se pueden es ablece acilmen e la exis encia de los mo ismos de Plücke y de Seg e, e i icandose lasp o piedades usuales ; conc e amen e se ob iene : (1 .5) P oposición : i) Pa a odo haz cuasi-cohe en e E sob e X, el mo ismo de Plücke m (G a ss m (E)  --- ;  ( A E ) es una inme si8nce ada . ii) Si E y  F son haces cuasi-cohe en es sob e X, el mo ismo de Seg e es una inme si8n ce ada . 6 0 IP (E) x X IP (F . )  -~  IP (E® 0  F ) X Pa a más de alles y cues iones elacionadas, e [6] . 2 . APLICACION A LOS MORFISMOS PROYECTIVOS (2 .1) De inición : Di emos que un mo ismo de ipo ini o :X --> Y en eespacios algeb aicos es cuasi-p oyec i o ( esp . p oyec i o) si exis eun 0 y -m8dulo cuasi-cohe en ey de ipo ini o  E alque se ac o izaen la o ma X ip(E) Y donde i es una inme sión ( esp . una inme sión ce ada) . Asi, po ejemplo, si  E  es un  0y módulo de ipo ini o y cuasi-cohe en e, la exis encia del mo ismo de Plücke y (1 .5) asegu an que los mo ismos es uc u ales G ass m (E) - Y son p oyec i os pa acualquie m . Análogamen e, los mo ismos IBand m (E) -> Y son ambién p oyec i os . (2 .2) Obse aciones : i) Si Y es un esquema y :X ->Y es un mo ismocuasi-p oyec i o en onces X es ambién un esque- ma, ecu e ándose así la de inición de mo ismo cuasi-p oyec i- o de EGA II . ii) En la de inición de mo ismo p oyec i o de EGA II se usa además de la cons ucción IP(-), la cons ucción P oj . Es a se puede ecupe a en la ca ego ía de los espacios algeb aicos de la o masiguien e : sea A una 0 X -álgeb a g aduada cuasi- -cohe en e alque  A 1 sea de ipo ini o y engend e  A . Si U ==4 X  es un ecub imien o é ale ep esen able y  S(A)  deno a el álgeb asimé ica de A, se ieneun mo ismo exhaus i o que co esponde a la iden idadsob e A 1 . Asi, po EGA II (3 .6 .4), exis e una inme sión ce ada P oj(A u ) ) P oj(S(A U )) = IP(A U ) (c . EGA II (4 .1 .1)) . Como los esquemas IP(A U ) o man una 6 1 claseco inal se ob iene de es a - =o ma una los mo - -ismosan e io es son inme siones (c . [4jU .1 .12) y (I .3A )), i .e . exis e sob e X, P oj(A), y una inme si8n ce ada de ecub imien os é ales ep esen ables de cons ucción local que, dado que ce adas,es e ec i a, espacio - algeb aico (2 .4) P oposici6n : Sea  :X -3Y g :  X  ]P (E) un P oj (A) -> IP (A)  . Además, al igual que en la ca ego ía de esquemas, se e i ica P oj(S(A)) = 8(A), (c . EGA II §4) . (2 .3) La exis encia del mo ismo de Seg e, (1 .5), pe mi e de- mos a las "so i e" de los mo ismos p oyec i os de o ma loga a EGA II (5 .5 .5) . Se e i ica ambién : un mo ismo cuasi-p oyec i o en e espacios algeb aicos y supongamos que Y es p oyec i o si, y s81o si, es p opio . Si es p oyec i o se á p opio po se inme si8nce ada es noe he iano . En onces Demos ación : composición de una 7P (E) -,o Y,  seg in  (1 .4) . El ecip oco se deduce del lema (5 .4 .4)) : Lema : Si X es un Y-espacio algeb aico p opioy E es un 0 y -módulo cuasi-cohe en e y de ipo ini o, odomo ismo es p opio (y, en pa icula , ce ado) . y un mo ismo p opio, siguien e ( e EGA II aná- (2 .5) Aunque la de inición (2 .1) es más gene al que la dada po Knu son, quiénimpone una ac o izaci6n de a a és de PY pa aalgún N con enien e, (c . [4]II§7), siguensiendo álidos en es econ ex oel eo ema de ini ud de Se e y el 62 lema de Chow, (c . [4], [9]) . Una de las en ajasde la de ini- ci6n (2 .1) es que pe mi e demos a la siguien e (2 .6) P oposi ción : Sea X un espacio algeb aiconoe he iano e 1 un haz de ideales cohe en e . Exis e un mo ismo p oyec i o alque i) u es bi acional, IT . X  X ii) i -1 1 .O X es in e sible, iii) u es uni e sal espec o i),ii), mo ismo que llama emos la explosión de X espec o 1 . Demos ación : Comoen el caso de esquemas, (c . [3] (II . 7 .13), bas a oma  X = P oj( d 9 p 1 d ) , lo que ienesen ido se- gún la obse ación (2 .2)i), y como u, el mo ismo es uc u al, e i icandose las p opiedades i)-iii)  po descenso é ale . /// De la demos ación an e io y de la cons ucción de P oj, (2 .2 .ii), se deduce que las explosiones de haces de ideales cuasi-cohe en esson localespa a la opología é ale de los espacios algeb aicos . BIBLIOGRAFIA EGA I : G o hendieck,A-Dieudonné,J . : Elémen s de Géomé ie Algéb ique I . Sp inge V . (1971) . EGA II : G o hendieck,A .-Dieudonné,J . : Elémen sde Géomé ie Algéb ique II . Publ . Ma h . I .H .E .S . ns 8 (1961) . SGA 3 : Demazu e,M . e al . : Schémas en g oupes I . LNM 151 Sp inge V . (1970) .