Pub
.
Ma
.
UAB
Vol
.
27 N2
2
Juny
1983
SOBRE
FILTROSESTABLES
DE
GABRIEL
VII
(Algunas
elacionesen e eo ías
de
o sión
en
A-mod
y
eo ías
de
o sión
en
Mod-A)
José
Ríos
Mon es
En
[3,b1
y
[41,
se
de inen
los
concep os
de
semisimplici-
dad
y
egula idad,
ela i os
a
un
il o
de
Gab iel
en
un
anillo
A,
en es a no a
se
de ine
una
unción
en e
el
conjun ode
eo ías
de o -
sión
he edi a ias
en
A-mod
y
el
conjun o
de
eo ías
de
o sión
he edi-
a iasen mod-A,
en e
o os
esul ados,
se p ueba
que
en el
caso es a
ble,
los
concep os
an es
mencionados
se
p ese an
bajo es a
co esponden-
cía
.
En la
úl ima
sección,se da
una
ca ac e ización
de
los
il os
de
Gab iel
en
A
que
sa is acen
la
p opiedad
de
que
odo módulo simple
de
o sión
es
F-inyec i o
y se
es udian
algunas
p opiedades
que
compa
en
es os
il os
y
aquellos
que
hacen
de
A
un
anillo
F- egula
.
{A/J

/
J

E

F~
}

.
La
no ación
y
e minología
u ilizada,se a
la
de
(3,al
.
I
.-
RESULTADOS
PRELIMINARES
Sea
A
un
anillo
con
l,
deno amos
po
T, al
conjun o
de
eo ías
de
o sión
he edi a ias
en

A-mod

y
po

T
d
,

al

conjun o
de
eo ías
de
o sión
he edi a ias
en
Mod-A
.
Sea
(4,L) una
eo ía de
o sión
he edi a ia
en
A-mod
con
il o
asociado
F,
sea
E~ =
{IA/I
E
F}
y
(T
d'Ld)
la
eo ía
de
o sión
en Mod-A, gene ada
po
los
módulos
de echos
PROPOSICION
1
.1
.
(T
d ,Ld) es
una
eo ía
de
o sión
he edi a ia
.
DEMOSTRACION
:

Las
clases

I
d

y

(L
d'

se
desc iben
como
sigue
;
IL
d =
{N
A
/Hom
A
(A/J,N)
=
o
Id
JE BF
}
T
d
={M
A
/Hom
A (M,N) =0

il
N
E
ILd}
Pa a
p oba
la
a i mación,
bas a hace
e
que
IL
d es
ce ada
bajo
capsulas
inyec i as
.
Sean

N
E
IL
d
,
J
E
B
F
y

E
Hom
A
(A/J,
E(N)),

si

9`
0
exis e
xE
E(N),

x
Y(
0

al
que

(1)
= x,

en onces

xJ
= 0

como
N es
submódulo
esencial
de
E(N), podemos
elegi

y
E
N

de
al
mane aque
y
i
0 y xa =
y
pa a
algún
a E A
como
J es
ideal
bila-
e al,
yJ = xaJ
C
xJ = 0,
en onces,
podemos
de ini
g
:
A/J
-
N

po
g(a) = ya y
es e
mo ismo
no
es
ce o,
de
aquí
que
pa a odo
J
E
",
.
Hom
A
(A/J,E(N))
=
0
es o
nos
dice
que
(T
d
,l
d
)
es
una
eo ía
de
o sión
he edi a ia
.
De inimos
aho a,

T
->
T
d
como
sigue
OBSERVACIONES
1
.2
.
~
(
(T,L)1 =
(T
d
.L
d
) .
a)
Si
A es
conmu a i o,
b) Si
T
y
T'
son
clases
de
o sión
he edi a ias
en
A-mod
ales
que

I
C
T'

en onces

T
d
CT
d
d)
Si
T
=
A-mod,

T
d =
Mod-A
e)

Es ácil
e que
si
IF
es
un
il o
de
Gab iel
en

A,
en onces
el
conjun o

.F0
=-
{I
A/
I
D
J
1 . .
.
J
k
con

J
i
E
BF}

es
una
p e opología
en
AA
.
1
T
c) Si
T
= {O}
en onces
T
d
={O}
COROLARIO
1
.3
.

Sea

Fd

el

il o
de
Gab iel

asociado
a

(I
d>Ld
)
en onces
:
IF
d
-
{I
A
/
pa a odo
J
al
que
I
C
J
#
A,
exis e
a
E
A-J

al
que

(J
:
a)
C-
F
O
}
.
DEMOSTRACION
:
15
1
.
OBSERVACION
1
.4
.
Si
los
elemen os
de lF
son
ini amen e
gene ados
como
ideales
de echos,
en onces
IF
d =
IF
O
.
PROPOSICION
1
.5
.

Si
(lí,L)
es
una
eo ía
de
o sión
T
.L .T
.
en onces
(T
d'
IL
d
)
es
T
.L
.T
.
DEMOSTRACION
:
Sea
J
el
ideal
bila e al
idempo en e,
gene ado
de
IF,
en onces
;

F0
=
.
{I
A/ J
C
I}
es un
il o
de
Gab iel
y
de aquí
que
PROPOSICION
1
.6
.

Si
(IT,ll)
se
escinde
cen almen e,
en onces
(1 d'Ld)
se
escinde
cen almen e
.
DEMOSTRACION
.-
Sean
e, , idempo en es
cen ales
ales
que
A
=
Ae

9
A ,

donde

A
= A

y

IF
='{
A
I
/
A
C

I}

de

la
p oposición
an e io , enemos
que
F
d =
{I
A
/ A
C
I}

y
en onces

d
A
=
eA,

po
consiguien e
II
.-

ANILLOS
NETERIANOS
escindecen almen e
.
DEFINICION

2
.1
.
Un
il o
de
Gab iel
F
en
A
es
aco ado,
si

IF
iene
una
base
consis en e
de
ideales
bila e ales
.
OBSERVACION
2 .2
.

Po
1
.4,
si
AA es
ne e iano,
en onces,
pa a
cada
eo ía
de
o sión
he edi a ia,

(4,d)
E
T,
enemos
que

IF
d
es
un
il o
de
Gab iel
aco ado
.
Deno emos
po
C(A)
al
conjun o
de clases
de
isomo ismo
de
módulos
de echos
inyec i os
inescindibles,
y
po
Spec
(A)
al
conjun o
de
ideales
p imos de
A
.
Sea
A
ne e iano
de echo
y

:
J(A)
->
Spec(A),
la
unción
que
asigna
a
cada
inyec i o inescindible,
su
único
ideal
p imo
asociado,
ado
de echo
si ~ es
biyec i a
.
En
es a sección,
se
da
una
demos a-
ción dis in a
a las
conocidas,
de
una
ca ac e ización
de los
anillos
comple amen e
aco ados
.
PROPOSICION
2 .4
.

Sea
A
ne e iano
de echo
y

EO,EI
,
módulos
de-
echos
inyec i os
inescindibles
no
isomo os,
en onces,
la
eo ía
de
o sión
cogene ada
po
E
O
,
es
dis in a
a
la
eo ía
de
o sión
cogene-
ada
po
E
l .
DEMOSTRACION
.-
supongamos
que
EO
es a cogene ado
po
E
I ,
p oba e-
mos
que
E
O
no cogene a
a
E
l
.
es
conocido
que
es a
unción
es
sup ayec i a,
ya
que,
si
P
E
Spec(A),
n
en onces
E(A/P)
-~
®
Ei
donde
cada
E
i
es
inyec i o
inescindible
i=1
y
E
i
=
E j
pa a odo
i,j,
sin
emba go
0
no
es
siemp e
inyec i a
.
DEFINICION
2
.3
.
Un
anillo
ne e iano
de echo
A,
es
comple amen e
aco-

Sea
I
un
máximo
en
la
amilia
de
anulado es
de
elemen os
no
nulos
de E
O
,
es e máximo
exis e
po que
AA es
ne e iano,
además
11{
A,
sea
x
E
E
0
-{O},
elemen oasociado
a

I,

como
E
l
cogene a
a
EO
,
exis e
un
mo ismo
dis in o
de
ce o,

:
A/I
-+
E
1 ,
no emos
que
no es
monomo ismo,
ya
que
en onces
end íamos
que

E
l
=
E(A/I)
pe o
E(A/I)
= E
O
y
de aquí

E
l
_
E
Olo cual
con adice
la
hipó esis,
sea
J/I = Ke ,_
po
lo
an e io ,

I
{
J
A,
en onces
A/J
_
Im
c
E
1 ,
la
maximalidad
de
I
nos
dice
que
Hom
A
(A/J,E
0
)
=
0,
de
aquí
que
E
l
no es á
cogene ado
po
E0
.
TEOREMA
2
.5
.
Sea
A
ne e iano
de echo,
son
equi alen es
:
DEMOSTRACION
a)
A
es
comple amen e
aco adode echo
.
b)
Todo il o
de
Gab iel
en AA es
aco ado
.
a)

b)

5
l

.
b)

a)

Sean
EO
,E
1,
A-módulos
de echos inyec i os
ines-
cindibles,p oba emos
que
no ienen
el
mismo
ideal
p imoasociado
.
Sea
0
el
adical
asociado
a la
eo ía
de
o sión
cogene a-
da
po
E
0 y

F0
el
il o
de
Gab iel
co espondien e
.
Po
la
p opo-
sición
an e io ,
podemossupone
que

0
E
l
Y
0,

sea

P

el

p imo
aso-
ciado
a

E
1 ,

como

E
l
es

inescindible,
exis e

x
E
0E
1 ,

x
g
0

al
que
P
=
An(xA),
po
o o
lado,

an(x)
E F
O
,

como
F
O
es
aco ado,
exis e

J
E
F
O
,

ideal
bila e al
al
que

J
C
an(x)

en onces
xAJ
=
0
y de
aquí
que
J
C
P
de
lo
cual
enemos
que
P
E
FO
.
Si P
uese
el
p imoasociado
aE
O
,
end íamos
un
elemen o
y
E
EO
,
y
¢
0
al
que
P =
An(yA)
y
en onces
P
C
an(y)

lo cual
nos
dice
que
an(y)
E
FO

'y
po
lo
an o
0 ¢
y
E
0EO = 0
que
es
absu do,
en onces
EOy
E
l
 ienen
dis in o
p imo
asociado
es
deci ,
Aes
comple amen o
aco ado
.
COROLARIO
2
.6
.

Si
A es
ne e iano
de echo
y ~ es
sup ayec i a
en-
onces
A es
comple amen e
aco adode echo
.
DEMOSTRACION
La
hipó esis
jun o
con
la
obse ación
2
.2,
nos
dicen
que
odo il o
de
Gab iel
en
AA es
aco ado
.
COROLARIO
2 .7
.

Si A es
ne e iano
de echo
e
izquie do
en onces
:
es
biyec i a
si
y
sólo
si
A es
comple amen e
aco ado
de echo
é iz-
quie do
.
DEMOSTRACION
:
Bas a
conside a
el
siguien e
hecho
:
Si
A es
ne e iano
y
F
es
un
il o
de
Gab iel
en
A,
aco
ado,
en onces
:
F
=

{I/I
D
P
1
.
.
.
P
k
donde
P
i
E
Fn
Spec A)
.
111
.-
CONCEPTOS
RELATIVOS
En
[3,b1
y
[41,
se
de inie on
los
concep os
de
semisim-
plicidad
y
egula idad,
ela i os
a un
il o
de
Gab iel
en

A,
en
es a
sección,
p obamos
que
en
el
caso es able,
es os
concep os
pe manecen
in-
a ian es
bajo
DEFINICION
3
.1
.

Sea F

un
il o
es able
de
Gab iel
en

A,

A
es
F-semisimple,
si
odo
ideal
en
F
es
sumando
di ec o
de A
.
Una
ca ac e ización
de
anillos
F-semisimples
es
la
siguien e
:
A
= A e
RA
con
A
y
2A
gene ados
po
idempo en escen ales,
F
="{
I/
.2A
C
I}
y

A
semisimple
.
TEOREMA
3.2
.

Si
F
es un
il o
es able
de
Gab iel
en

A
es
F-semisimple,
en onces
F
d
es
un
il o
es able
y
A
es
F
d
-semi
-
simple
.
DEMOSTRACION
De
la
p oposición
1
.6,
enemos
que

A
=
d
A

y
Fd =
{I
A
/RA
C
I},

A
semisimple
implica
que
odo
ideal en
F
d es
sumando
di ec o
de
A,
po
o o
lado,

A(A/
.PA)
es
p oyec i o
y
de aquí
que
Fd es
un
il o
es able
en
A
A
.
DEFINICION

3
.3
.

Sea
Fun
il o de
Gab iel
en AA,

A es
F- egula
si
pa a
odo
ideal
de echo
J
y
odo
1
en F, JI = J
n
I
.
y
A
OBSERVACION
3
.4
.

Si
Aes
F- egula
y
J
e
I
son
ideales
bila e-
ales
de
F
en onces

IJ
=
I
n
J
y
de
aquí
que
F
O
{I
A
c
A/1
D
J
pa a
algún
J
E
V
.
LEMA
3
.5
.

Sea
F
un
il o
de
Gab iel
es able
en AA,
si

A

es
egula
en onces,
pa a
odo

I
A
E
IF
O
,
el
A-módulo
de echo

A/I
es
plano
.
DEMOSTRACION
Sea

I
E
IF
O
,

como
Aes
F- egula ,
po
eo ema
2
.2

de
[41,
el
A-módulo
A/I es
F-plano,
po
consiguien e
el
A-módulo
izquie do
Hom
Z
(A/I,Q/Z)
es
F-inyec i o
( eo ema
1
.4
de
[41
),
de
la
obse ación

3
.4,

enemos
que
exis e
J
E
F,

J

bila e al
al
que
J
c
I,
es
cla o
que
J
anula
a
Hom,(A/1,Q/Z)
en onces
Hom,(A/I,Q/Z)
es
F-inyec i o
y
de
o sión
espec o
a F, la
es abilidad
de F nos da
po
esul ado
que
HomZ
(A/1,Q/Z)
es
inyec i o
y
en onces
(A/1)
A

es
plano
.
LEMA
3
.6
.

Si M
E
Mod-A
es
F
O
-inyec i o
en onces
M es
F
d
-inyec i o
.
DEMOSTRACION
Sea
M
E
Mod-A
al
que

M
es
F
O
-inyec i o,
sea
I
E F
d
y

: 1
-+
M

un
mo ismo,
conside emos
la
amilia
TEOREMA
4 .5
.

Sea
IF
un
il ode
Gab iel
en

A,
sonequi alen es
las
siguien es
a i maciones
;
DEMOSTRACION
a)
Todo
ideal
en
1F
es
idempo en e
.
b)

Si

J

E

F

es bila e al,
en onces

(A/J)
A

es

F-plano
.
c)

Si

J
E
F
es
bila e al,
en onces

JI
=
J
n
I

pa a odo
I
E
F
.
a)
-
c)

Sea

I
E
IF,

J
n
I
E
IF,

po
lo
an o

(J
n
I)
2
=
J
n
1 .
JI
C
J
n
1,
po
o o
lado
es
cla o
que
(J
n
I)
2
C
JI, po consiguien e
c)
-
a)

Sea

1
(-=
F,

en onces

IA
E
IF,

po
la
hipó esis,
¡Al
=
IA
n
I,
de
aquí
que

1
2 =
I
b)
-
c) Es
consecuencia
del
eo ema
1
.13
de
[41
.
COROLARIO
4
.6
.

Si
en
4
.5
pedimos
que
F
sea
es able
en onces
c)
se
puede
modi ica
po
DEMOSTRACION
U ilizando
el
mismoa gumen o
que
en
la
demos ación
del
lema
3-5-
c')

Si

J
E
IF

es

ideal

bila e al

en onces

(A/J)
A

es
plano
.

Rebu
20
d'agoa
del
1982
Mexico
20,
D
.F
.
MEXICO
REFERENCIAS
New
Yo k-Be lín
:
Sp inge Ve lag
1975
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de la
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