Sobre filtros estables de gabriel VII (algunas relaciones entre teorías de torsión en A-mod y teorías de torsión en mod-A)

Pub . Ma . UAB Vol . 27 N2 2 Juny 1983 SOBRE FILTROSESTABLES DE GABRIEL VII (Algunas elacionesen e eo ías de o sión en A-mod y eo ías de o sión en Mod-A) José Ríos Mon es En [3,b1 y [41, se de inen los concep os de semisimplici- dad y egula idad, ela i os a un il o de Gab iel en un anillo A, en es a no a se de ine una unción en e el conjun ode eo ías de o - sión he edi a ias en A-mod y el conjun o de eo ías de o sión he edi- a iasen mod-A, en e o os esul ados, se p ueba que en el caso es a ble, los concep os an es mencionados se p ese an bajo es a co esponden- cía . En la úl ima sección,se da una ca ac e ización de los il os de Gab iel en A que sa is acen la p opiedad de que odo módulo simple de o sión es F-inyec i o y se es udian algunas p opiedades que compa en es os il os y aquellos que hacen de A un anillo F- egula . {A/J  / J  E  F~ }  . La no ación y e minología u ilizada,se a la de (3,al . I .- RESULTADOS PRELIMINARES Sea A un anillo con l, deno amos po T, al conjun o de eo ías de o sión he edi a ias en  A-mod  y po  T d ,  al  conjun o de eo ías de o sión he edi a ias en Mod-A . Sea (4,L) una eo ía de o sión he edi a ia en A-mod con il o asociado F, sea E~ = {IA/I E F} y (T d'Ld) la eo ía de o sión en Mod-A, gene ada po los módulos de echos PROPOSICION 1 .1 . (T d ,Ld) es una eo ía de o sión he edi a ia . DEMOSTRACION :  Las clases  I d  y  (L d'  se desc iben como sigue ; IL d = {N A /Hom A (A/J,N) = o Id JE BF } T d ={M A /Hom A (M,N) =0  il N E ILd} Pa a p oba la a i mación, bas a hace e que IL d es ce ada bajo capsulas inyec i as . Sean  N E IL d , J E B F y  E Hom A (A/J, E(N)),  si  9` 0 exis e xE E(N),  x Y( 0  al que  (1) = x,  en onces  xJ = 0  como N es submódulo esencial de E(N), podemos elegi  y E N  de al mane aque y i 0 y xa = y pa a algún a E A como J es ideal bila- e al, yJ = xaJ C xJ = 0, en onces, podemos de ini g : A/J - N  po g(a) = ya y es e mo ismo no es ce o, de aquí que pa a odo J E ", . Hom A (A/J,E(N)) = 0 es o nos dice que (T d ,l d ) es una eo ía de o sión he edi a ia . De inimos aho a,  T -> T d como sigue OBSERVACIONES 1 .2 . ~ ( (T,L)1 = (T d .L d ) . a) Si A es conmu a i o, b) Si T y T' son clases de o sión he edi a ias en A-mod ales que  I C T'  en onces  T d CT d d) Si T = A-mod,  T d = Mod-A e)  Es ácil e que si IF es un il o de Gab iel en  A, en onces el conjun o  .F0 =- {I A/ I D J 1 . . . J k con  J i E BF}  es una p e opología en AA . 1 T c) Si T = {O} en onces T d ={O} COROLARIO 1 .3 .  Sea  Fd  el  il o de Gab iel  asociado a  (I d>Ld ) en onces : IF d - {I A / pa a odo J al que I C J # A, exis e a E A-J  al que  (J : a) C- F O } . DEMOSTRACION : 15 1 . OBSERVACION 1 .4 . Si los elemen os de lF son ini amen e gene ados como ideales de echos, en onces IF d = IF O . PROPOSICION 1 .5 .  Si (lí,L) es una eo ía de o sión T .L .T . en onces (T d' IL d ) es T .L .T . DEMOSTRACION : Sea J el ideal bila e al idempo en e, gene ado de IF, en onces ;  F0 = . {I A/ J C I} es un il o de Gab iel y de aquí que PROPOSICION 1 .6 .  Si (IT,ll) se escinde cen almen e, en onces (1 d'Ld) se escinde cen almen e . DEMOSTRACION .- Sean e, , idempo en es cen ales ales que A = Ae  9 A ,  donde  A = A  y  IF ='{ A I / A C  I}  de  la p oposición an e io , enemos que F d = {I A / A C I}  y en onces  d A = eA,  po consiguien e II .-  ANILLOS NETERIANOS escindecen almen e . DEFINICION  2 .1 . Un il o de Gab iel F en A es aco ado, si  IF iene una base consis en e de ideales bila e ales . OBSERVACION 2 .2 .  Po 1 .4, si AA es ne e iano, en onces, pa a cada eo ía de o sión he edi a ia,  (4,d) E T, enemos que  IF d es un il o de Gab iel aco ado . Deno emos po C(A) al conjun o de clases de isomo ismo de módulos de echos inyec i os inescindibles, y po Spec (A) al conjun o de ideales p imos de A . Sea A ne e iano de echo y  : J(A) -> Spec(A), la unción que asigna a cada inyec i o inescindible, su único ideal p imo asociado, ado de echo si ~ es biyec i a . En es a sección, se da una demos a- ción dis in a a las conocidas, de una ca ac e ización de los anillos comple amen e aco ados . PROPOSICION 2 .4 .  Sea A ne e iano de echo y  EO,EI , módulos de- echos inyec i os inescindibles no isomo os, en onces, la eo ía de o sión cogene ada po E O , es dis in a a la eo ía de o sión cogene- ada po E l . DEMOSTRACION .- supongamos que EO es a cogene ado po E I , p oba e- mos que E O no cogene a a E l . es conocido que es a unción es sup ayec i a, ya que, si P E Spec(A), n en onces E(A/P) -~ ® Ei donde cada E i es inyec i o inescindible i=1 y E i = E j pa a odo i,j, sin emba go 0 no es siemp e inyec i a . DEFINICION 2 .3 . Un anillo ne e iano de echo A, es comple amen e aco- Sea I un máximo en la amilia de anulado es de elemen os no nulos de E O , es e máximo exis e po que AA es ne e iano, además 11{ A, sea x E E 0 -{O}, elemen oasociado a  I,  como E l cogene a a EO , exis e un mo ismo dis in o de ce o,  : A/I -+ E 1 , no emos que no es monomo ismo, ya que en onces end íamos que  E l = E(A/I) pe o E(A/I) = E O y de aquí  E l _ E Olo cual con adice la hipó esis, sea J/I = Ke ,_ po lo an e io ,  I { J A, en onces A/J _ Im c E 1 , la maximalidad de I nos dice que Hom A (A/J,E 0 ) = 0, de aquí que E l no es á cogene ado po E0 . TEOREMA 2 .5 . Sea A ne e iano de echo, son equi alen es : DEMOSTRACION a) A es comple amen e aco adode echo . b) Todo il o de Gab iel en AA es aco ado . a)  b)  5 l  . b)  a)  Sean EO ,E 1, A-módulos de echos inyec i os ines- cindibles,p oba emos que no ienen el mismo ideal p imoasociado . Sea 0 el adical asociado a la eo ía de o sión cogene a- da po E 0 y  F0 el il o de Gab iel co espondien e . Po la p opo- sición an e io , podemossupone que  0 E l Y 0,  sea  P  el  p imo aso- ciado a  E 1 ,  como  E l es  inescindible, exis e  x E 0E 1 ,  x g 0  al que P = An(xA), po o o lado,  an(x) E F O ,  como F O es aco ado, exis e  J E F O ,  ideal bila e al al que  J C an(x)  en onces xAJ = 0 y de aquí que J C P de lo cual enemos que P E FO . Si P uese el p imoasociado aE O , end íamos un elemen o y E EO , y ¢ 0 al que P = An(yA) y en onces P C an(y)  lo cual nos dice que an(y) E FO  'y po lo an o 0 ¢ y E 0EO = 0 que es absu do, en onces EOy E l  ienen dis in o p imo asociado es deci , Aes comple amen o aco ado . COROLARIO 2 .6 .  Si A es ne e iano de echo y ~ es sup ayec i a en- onces A es comple amen e aco adode echo . DEMOSTRACION La hipó esis jun o con la obse ación 2 .2, nos dicen que odo il o de Gab iel en AA es aco ado . COROLARIO 2 .7 .  Si A es ne e iano de echo e izquie do en onces : es biyec i a si y sólo si A es comple amen e aco ado de echo é iz- quie do . DEMOSTRACION : Bas a conside a el siguien e hecho : Si A es ne e iano y F es un il o de Gab iel en A, aco ado, en onces : F =  {I/I D P 1 . . . P k donde P i E Fn Spec A) . 111 .- CONCEPTOS RELATIVOS En [3,b1 y [41, se de inie on los concep os de semisim- plicidad y egula idad, ela i os a un il o de Gab iel en  A, en es a sección, p obamos que en el caso es able, es os concep os pe manecen in- a ian es bajo DEFINICION 3 .1 .  Sea F  un il o es able de Gab iel en  A,  A es F-semisimple, si odo ideal en F es sumando di ec o de A . Una ca ac e ización de anillos F-semisimples es la siguien e : A = A e RA con A y 2A gene ados po idempo en escen ales, F ="{ I/ .2A C I} y  A semisimple . TEOREMA 3.2 .  Si F es un il o es able de Gab iel en  A es F-semisimple, en onces F d es un il o es able y A es F d -semi - simple . DEMOSTRACION De la p oposición 1 .6, enemos que  A = d A  y Fd = {I A /RA C I},  A semisimple implica que odo ideal en F d es sumando di ec o de A, po o o lado,  A(A/ .PA) es p oyec i o y de aquí que Fd es un il o es able en A A . DEFINICION  3 .3 .  Sea Fun il o de Gab iel en AA,  A es F- egula si pa a odo ideal de echo J y odo 1 en F, JI = J n I . y A OBSERVACION 3 .4 .  Si Aes F- egula y J e I son ideales bila e- ales de F en onces  IJ = I n J y de aquí que F O {I A c A/1 D J pa a algún J E V . LEMA 3 .5 .  Sea F un il o de Gab iel es able en AA, si  A  es egula en onces, pa a odo  I A E IF O , el A-módulo de echo  A/I es plano . DEMOSTRACION Sea  I E IF O ,  como Aes F- egula , po eo ema 2 .2  de [41, el A-módulo A/I es F-plano, po consiguien e el A-módulo izquie do Hom Z (A/I,Q/Z) es F-inyec i o ( eo ema 1 .4 de [41 ), de la obse ación  3 .4,  enemos que exis e J E F,  J  bila e al al que J c I, es cla o que J anula a Hom,(A/1,Q/Z) en onces Hom,(A/I,Q/Z) es F-inyec i o y de o sión espec o a F, la es abilidad de F nos da po esul ado que HomZ (A/1,Q/Z) es inyec i o y en onces (A/1) A  es plano . LEMA 3 .6 .  Si M E Mod-A es F O -inyec i o en onces M es F d -inyec i o . DEMOSTRACION Sea M E Mod-A al que  M es F O -inyec i o, sea I E F d y  : 1 -+ M  un mo ismo, conside emos la amilia TEOREMA 4 .5 .  Sea IF un il ode Gab iel en  A, sonequi alen es las siguien es a i maciones ; DEMOSTRACION a) Todo ideal en 1F es idempo en e . b)  Si  J  E  F  es bila e al, en onces  (A/J) A  es  F-plano . c)  Si  J E F es bila e al, en onces  JI = J n I  pa a odo I E F . a) - c)  Sea  I E IF,  J n I E IF,  po lo an o  (J n I) 2 = J n 1 . JI C J n 1, po o o lado es cla o que (J n I) 2 C JI, po consiguien e c) - a)  Sea  1 (-= F,  en onces  IA E IF,  po la hipó esis, ¡Al = IA n I, de aquí que  1 2 = I b) - c) Es consecuencia del eo ema 1 .13 de [41 . COROLARIO 4 .6 .  Si en 4 .5 pedimos que F sea es able en onces c) se puede modi ica po DEMOSTRACION U ilizando el mismoa gumen o que en la demos ación del lema 3-5- c')  Si  J E IF  es  ideal  bila e al  en onces  (A/J) A  es plano . Rebu 20 d'agoa del 1982 Mexico 20, D .F . MEXICO REFERENCIAS New Yo k-Be lín : Sp inge Ve lag 1975 A ea de la In es igación Cien í ica Ci cui oEx e io -CiudadUni e si a ia 57 1) Cola i a L ., Raggi F ., Ríos J . Sob e il os es ables de Gab iel V . Anales del Ins i u o de Ma emá icas UNAM, Vol . 17 no . 1 p . 1-16 (1977) 2) Fishe Joe W . Von Neumann egula ings e sus V- ings . Ring Theo y . P oceedings o he Oklahoma con e ence . Ma cel Dekke Inc . New Yo k 1974 p . 101-119 . 3) González M . e al . a) Sob e il os es ables de Gab iel I . Anales del Ins i u o de Ma emá icas UNAM, Vol . 16 no . 2 p . 135-154 (1976) . b) Sob e il os es ables de Gab iel II, Anales del Ins i u o de Ma emá icas UNAM, Vol . 16 no . 2, p . 155-173 (1976) . 4) Ríos, J . Sob e il os es ables de Gab iel IV Anales del Ins i u o de Ma emá icas UNAM . Vol . 17 no . 1, p . 95-108 (1977) . 5) S ens om Bo . Rings o Quo ien s .