Pub
.
Ma
.
UAB
Vol
.
26
N`2
Juny 1982
NOTA
SOBRE
LES
QUASIMARTINGALES
EN EL
PLA
Jaume
Suñe
Llab és
Rebu
el
20 de
gene
del 1982
ABSTRACT
.
In
his
pape
we
in oduce
no ions
o
wo-pa ame e
quasima in-
gales
ela ed
wi h
he
di e en
kinds
o
wo-pa ame e ma ingales
and
s a-
e a
cha ac e iza ion
and
decomposi ion
heo ems
.
The
main
esul
gi es
a
condi ion
o he
exis ence
o
a
a-addi i e
ex ension
o
Doléans-Fóllme 's
measu e
associa ed
o
a
plana
quasima ingale,
in
e ms
o
uni o m
in e-
g abili y
on a
amily
o
s opped
p ocesses
.
In oducció
.

Sigui

(P,F,P)
un
espai
de p obabili a comple ,
i

(F )
:
0
una
il ació
de
F
complin
les
condicions
habi uals,
és
a
di
con inua
pe
la
d e a
i
que
Fo
con é
o s
els
conjun s
negligibles
de
F
.
Un
p océs
(X )
?
0
,

adap a
a

(F
)
>
0'

se'n
diu una
quasima ingala
en

IR
+
si
Va (X)

=

sup{E(En-11E(X
i

-
X
/F
i
)I)} <
+l
i
on
el
sup em
es
p en
sob e o es
les
pa icions
ini es
0=
o
<
1
<
.
.
.
<
n
<w
.
El
concep e
de
quasima ingala
ou
in oduc
pe
en
Fisk
(5)
i
n'O ey
(9),
en
es udia
un
p oblema
més
gene al
que
el
de
la
descomposició
de
Doob-Meye
d'una
subma ingala
en
suma
d'una
ma ingala
i
un
p océs
c ei-
xen
.
Un
es udi de
les
quasima ingales
i
la
se a
analogia
amb
les
supe ma -
ingales
po oba -se
en
(11)
.
En
(6),
(8)
i
(10) es a un
en ocamen
des
del
pun
de
is a
de
la
mesu a
de
Doléans-Fóllme ,
in oduida
en (4)
i
(6)
.
En
B ennan
(1)
de ineix
concep es
de
quasima ingala
en
el
pla ba-
sa s
en les
de inicions
de
Vi al¡,
A zelá
i
Ha dy
de uncions
eals
de dues
a iables
de
a iació
a i ada
( eu e
(3)),
i
dóna eo emes
de
ca ac e i za
ció
i
descomposició
que
són
análegs
als
del
cas
d'un
pa áme e
.
Pos e io -
men dóna
una
condició
equi alen
a
que
la
mesu a
de
Doléans-Fóllme
ingui
ex ensió
a-addi i a
a
la
ibu p e isible
.
El
p esen
eball
s'in odueixen
concep es
de
quasima ingales
en
el
pla
elaciona s
amb els
di e en s
ipus
ja conegu sde
ma ingala
en
dos
pa áme es( eu e
(2))
.
L'objec iu
básic
d'aques
a icle
és
oba
una
condicióal e na i a
a la de (1)
pe qué
exis eixi
ex ensió
a-addi i a
de la
mesu a
de
Doléans-Fóllme
d'una
quasima ingala
en
el
pla
.
La
condició
que
es
oba
és
una
condició
d'in eg abili a
imi n me
snb e
el
p océs,
éC
a
di-
una
condició
del
ipus
de
que
el
p océs
pe anyi
a
una
ce a
classe
(D),
análogamen
al
cas
d'un
pa áme e
( eu e
(11))
.
No acions
.
El
conjun
de pa áme esse a
T
=
[0,1]
2
;
conside a em
un
espai
de
p obabili a
comple
(2,F,P)
i
una
il ació
(F
z
)
z
E
T
de
F
que
compleix
(a)
és
con inua
pe
la
d e a
;
(b)
F(o,o)
con é
o s
els
conjun snegligibles
de F
.
Endemésconside a em
al es es
il acions
:
Fz
=

V
F(S, )
.
o-<
9
1
Fz
2
=

V

F(u, )

on

z
=
(s, ),
i

FZ
=
FZ
V
FZ
.
No malmen
(cz)
z
E
T
o
~u
<1
indica á
una
qualse ol

d'aques es
qua e
il acions
.

X
=
{X
z

:

zE
T}
desig-
na a
un p océs
in eg able
i
adap a
a
(F
z
)
z
E
T
.
Si
z
= (s, )
i
z'
=
(s', '),
1'inc emen
del
p océs
Xen
el
ec an-
gle
(z,z'l
old á
di
:
Si

g
=
{zij}i,j

és
una
pa ició
de
T,
usa em
la
no ació

¿~,
9
X(z
ij
)

pe
a
indi-
ca
áX(zij,zi+l,j+l]
.
Di em
ec angle
p e isible
a
o
conjun
de la
o ma
(z,z']
x
A,
on z,
z'E
T,

z
«
z'

i

AE
~
.

El

conjun
dels
ec angles
p e isibles
o ma
una
semiálgeb a,
que
anomena em
R
;
A
se á
1'álgeb a
de
les
eunions
in¡
es
disjun es
d'elemen s
de
R
;i
P
la

a-álgeb a
gene ada
pe
A
.
Segons
la
il ació
inicial

(GZ)zE
T
que
aga em,
enim
les
ibus
p e isibles,
i-
p e isibles
(i=1,2)
o
s-p e isible
.
Si
X
és
qualse ol

p océs
in eg able
adap a
a
(F
Z
) z
E
T'
podem
asso-
cia -li
una
unció
de
conjun
de inida
sob e
cada
un
dels qua e
ipus
de
ec angle
p e isiblemi jancan
la
ó mula
:
Aques a
unció
de
conjun
uXés
ini a
i
ini amen
addi i a
i
es én
a
una
unció
ini amen
addi i a
en A
.
A
1'ex ensió
li
di em
pX,
uX o
X
segons
de
1'álgeb a
que
es
ac i
.
Resul a
immedia amen
de
la
de inició
que
:
i
análogamen
pe
px
i
PX'
De inició
1
.

Un
p océs
(X
Z
)
z
E
T

és una
quasima ingala
en
T
espec e
de
(G
z
)
zE
T
si
on
g
és
una
pa icióde
T
.
OX(z,z']
=
X(z')
-
X(s', )
-
X(S, ')
+
X(z)
.
uX
((z,z']
x
A) = E(IA
.
AX(z,z'])
.
uX
=
0
-
X
és
una
ma ingala
o a,
Va
G-
(X)
=
sup
9
E(E
ZE
.
g
1E(A
9
X(z)/G
Z
)
I)
<-,
Segons
la
il ació
(GZ)z
E
T

que
aga em,
ens
apa éixendi e en s
ipus
de
quasima ingala,
que les
anomena em
aixi
:
si
G
z
=
F
z
,
en
di em
quasima ingala
eble
(que
coincideix
amb
els
V-p ocessos
de
(1))
;
si
Gz =
Fz
(i =
1,2),
ind em
les
i-quasima ingales
; i
si
G
z
=
FZ,
les
quasi-
ma ingales
o es
.
Es
enen
immedia amen
les
següen s
elacions
:
X és
una
quasima ingala
o a
-
Xés
una
i-quasima ingala
=>
X és
ma ingala
eble
.
De inició
2
.

Una
quasima ingala
X
espec ede
(GZ)z
E
T
po encial

( espec e
de
(G
Z
)
z
E
T
u =
{(s,1)
:
o5s-<1}
u
{('1, )
:
o,< <1}
.
8
6
si
Xz
=
0
4zE
u
,
on
s'anomena
un
una
quasi-
U ili zan
la
mesu a
de
Doléans-Fóllme
en
el
pla,
análogamen
a
com
es
demos a
en (8),
esul en
els
segúen s
e s
:
Teo ema

1
.

Sigui

To
=

(0,11

x

(0,11
.

Sigui

X
=

(X
z)z
E
Tun
p océs
adap a
a

(
F
z)zE
T,
sub il ació
d'una
il ació
(Gz)zE
T
.
Alesho es
Xés
una
quasi
ma ingala

espec e
de

(Gz
)
z
E
T
si

i

només

si

Ip
X
j(T
o x
s~)
<
°°,

i

lla o s
1}
1
XI(T
0x
92)
=
Va
G
Z
(X)
.
Teo ema
2
:
Descomposició
del
ipus
de
Riesz
.
To a
quasima ingala
espec e
de
(Gz)z
E
T
descomposa
de
mane a
ca en
suma
d'una
ma ingala espec e
de
(
G
Z
)
zE
T
i
e
de
(GZ)zET'
Teo ema
3
:
Descomposició
del
ipus
de
Rao
.
quasi-
úni-
un
quasipo encial
espec-
To a
quasima ingala
X
espec ede
(GZ)z
E
T
es
po
esc iu e
de
mane-
a
única
com
X =
M
+
U -
V, on M és

una
ma ingala
espec e
de

(Gz)z
E
=-T'

i
U
i
V
són dos
p ocessos
que
compleixen
les
p opie a s
segúen s
:
Endemés
a) U
,
V
>
0

VzCT
.
z
z
b)
Uz=Vz=0
VzE u
.
c)
U
i
V
són
dues
subma ingales
espec e
de
(Gz)z
E
T
.
d)
U
i
V
són
dues
supe ma ingales
espec ede
l'o d e
pa cial
.
I
p
Xj
(T
o
x
2
)
=
E(U
(o,o)
+
V(o,o))
.
D'aques
eo ema
se'n
dedueix
que
o a
quasima ingala
X
és
di e-
encia
de
dues
supe ma ingales
posi i es,
ebles
si
X
és
eble,i
espec e
de
l'o d e
pa cial
si
X és
una
quasima ingala
o a
ó
una
1-
i
2-quasima -
ingala
.
De inició
3
.

Sigui

X
una
quasima ingala
espec e
de
(G
z)
z
E
T
.
Alesho es
di em
que
u
X
é
p ojecció
con ínua
si

VE
>
0,3
s
>
0 al

que
si
g
CT
és
una
pa ició
qualse ol
i
la
amília
{A(z)
E
G
z
:
zEg}
sa is á
P{uz
E
_
g
A(z)}
<
ó,
alesho es

EZE
g¡
IA(z)49
X(z)
.dPI
<
e
.
De inició
4
.

Una
aplicació
D
:

2 ~
iR +

és
una
egió
d'a u
simple
si
:
a)
Exis eix
una
pa ició
{zde
IR
+

i
una
amilia
de
conjun s
{A
ij
E
GziJ
.}i,J

al

que
D(w)

=
ui,j(zij'zi+l,j+ll
.

1A
.
.(w)
.
~J
b)
Exis eix
un
z
o
ini
al
que
A
ij
= 0
si
z
ij
1
((o,o),zol
.
c)
Vw
E
2

al

que
D(w)
~
0, si

z
E
D(w),
alesho es
z'E
D(w)
Vz'
<
z
.
Donada
una
egió
d'a u simple
D,
podem
de ini
el
p océs
X
a u a
a
D
com
X(D)(w)
=
E
i,j
&X(z
ij ,z
i+l,j+1
l
.1
Aij
(w),
i
alesho es
di em
:
8
7

De inició
5
.
Un
p océs
X
pe any
a la
classe
(D')
si
la
amília
{X(D)
:
D
egió
d'a u simple
}
és
uni o mamen
in eg able
.
Pe
acaba
anem
a
demos a
:
P oposició
1
.
Sigui
X
una
quasima ingala
o a
ó
una
1-
i
2-quasima inga-
la,
con ínua
pe
la
d e a
en L
1
i

al

que
supz
E
T
EIXz1
<
-
.

Alesho es
X
pe any
a la
classe
(D')
si
i
només
si
uX é
p ojecció
con ínua
.
Demos ació
:
(només
si)
:
Pe
ésse
X
de
la
classe
(D'),
sabem
que

Ve
>
0,

d
>
0

al
que
si
P(A)
<
5,
alesho es
sup
D
simples
jX(D)JAP
<
e
.
A
pie a
.
Sigui
a a
{zuna
pa ició
de T
i
{A
ij
E
G
z
una col
.lecció
de
conjun s
al
que
P
{U
.

A
ij
}
<
d
.

Alesho es
on D
1
(w) =
ui,j(zij'zi+l,i+1]
.

1
A1J
(w)
és
una
egió
d'a u
simple
(si)
:
U ili za em
aquí
el
eo ema
3
.5
de
(1),
el
qual
no
només
es
e i ica
pe les
quasima ingalas
ebles
(els
V-p ocessos,
en
la
e minologia
d'en
B ennan),
sinó
que
adme
una
gene ali zació
als
al es
ipus
de
quasima in-
gala
.
Fixem
doncs
un e
>
o,
i
sigui

5
>
0
que
e i ica
1'an e io
p o-
i,j

l~A
. .
iJ
¿X(zij)
.dPi
S
J

jX(D
1
)JAP
<
e
1,J
.
iJ
Segons
aques eo ema,
X = M + A,
on
11
és una
ma ingala
del
ma eix
ipus
que
X
i
A és
un
p océs
de
a iació
a i ada
.
Demos a em
que
M
i
A
són
p ocessos
de
la
classe
(D')
i
pe
an
X
se a
ambé
de
la
classe
(D')
.
a)
A
és de la
classe
(D')
.
En
e ec e
:
{A(D)
:
D
egió
d'a u
simple}
és
una
amília
de
a iables
alea ó ies
a i ades
pe
IIAII

=
sup
{Ez
E
9
JO9A
z
(w)I}

(on
el

sup em
es
p en
sob e o es
les
pa icions
g
CT)
i
IIAIIE
L
1
(P)
pe
hipó esi
;
pe
an
la
ami-
lia
és
uni o mamen
in eg able
.
b)
Més
de
la
classe
UD')
.
Sigui
D
una
egió
d'a u ,simple
qualse ol
.
Alesho es
M(D)
(w) =
E¡,iM(Zij'zi+l,j+11
.

'
Aij
(w)
=
M
T1 (w) -
N
2
(w)
-
M
T3
(w)
+
MT4(w),
on
els
T
i
són
els
pun s
d'a u
segien s
:

T
1
(w)

=
E
i,j
z
A
i,
(w),
T
Z(w)
=
J
=
E1,jzi+l,j*

1
Aij
(w),
T
3 (w)
=
Ei,jzi,j+l'

1A
ij (w), T4
(w)
=
Ei,jzi+l,j+l
.
U ili zan
el

eo ema
d'a u de
Ku z

( eu e
(7)),
ind em
que
E
.4

IMTi1AP
~
=1

{IM(D)(w)I>
a}
5
J{IM(D)(w)J>
al
IPl(D)(w)
I
.dP
4
(
E
'
-11
{IM(D)(w)I
>
al'(
IM
(
1
'1
)
I/FT
i )
{IM(D)(w)I
>a}
M
(1,1)
I
.dP
-~
0
quan
a
-
-,
uni o mamen
en
D
./
.
dP
Els
esul a s
del
p esen
eball
o men pa de
la
esina
llegida
pe
au o
el
22
d'Oc ib e
de
1981,
di igida
pe
na
Ma a
Sanz Solé
.
1
.
B ennan,M
.
Plana
Semina ingales
.
Jou nal
o
Mul i a
.
Analy-
sis,
9,
465-486
(1979)
.
2
.
Cai oli,
R
.
and
Walsh,J
.B
.
S ochas ic
in eg als
in
he
plane
.
Ac a Ma h
.,
134,
111-183
(1975)
.
3
.
Cla kson,J
.A
.
and
Adams,C
.R
.
On
de ini ion
o
bounded
a ia-
ion
o
unc ions
o
wo
a iables
.
T ans
.
Áme
.
Ma h
.
Soc
.,
35,
824-854
(1933)
.
4
.
Doléans-Dade,
C
.
Exis ence
du
p ocessus
c oissan
na u al asso-
cié
a un
po en ial
de
la
classe
(D)
.
Z
.
Wah sch
.
and
e w
.
Geb
.,
9,
309-314
lioao
5
.
Fisk,D
.L
.
Quasi-ma ingales
.
T ans.Ame .Ma h
.Soc
.,
120,
359-389
(1965)
.
6
.
Follme ,H
.
On
he
ep esen a ion
o
semima ingales
.
The
Annals
o
P obabili y,
1,
580-589(1973)
.
7
.
Ku z,T
.G
.
The
op ional sampling
heo em
o
ma ingales
indexed
by di ec edse s
.
The
Annals
o
P obabili y,
8,
675-681
(1980)
.
8
.
Me i ie ,M
.
and
Pellaumail,J
.
On
Doléans-Follme 'smeasu e
o
quasima ingales
.
Illinois
Jou nal
o
Ma hema ics,
77,
491-504(1975)
.
9
.
O ey,S
.
F-p ocesses
.
In
p oc
.
Fi h
Be keley
Sympos
.
Ma h
.
S a-
is
.
and
P ob
.,
ol
.
2,
p
.
p
.
301-313
(1967)
.
10
.
Pellaumail,J
.
Su
1'in eg ale
s ochas ique
e
la
décomposi ion
de
Doob-Meye
.
As é isque,
ol
.19
.
Publica ion
de la
Socié éMa héma ique
de
F ance
(1973)
.
90
REFERENCIES
11
.
Rao
.K .M
.
Quasi-ma ingales
.
Ma h
.
Scand
.,
24,
79-92
(1969)
.
Jaume
Suñe Llab és
.
Dep
.
Ma héma iques
.
Esc
.
Tecn
.
Sup
.
d'A qui ec u á
del
Vallés
.
Uni e si a
Poli écnica
de
Ba celona
.