Nota sobre les quasimartingales en el pla

Pub . Ma . UAB Vol . 26 N`2 Juny 1982 NOTA SOBRE LES QUASIMARTINGALES EN EL PLA Jaume Suñe Llab és Rebu el 20 de gene del 1982 ABSTRACT . In his pape we in oduce no ions o wo-pa ame e quasima in- gales ela ed wi h he di e en kinds o wo-pa ame e ma ingales and s a- e a cha ac e iza ion and decomposi ion heo ems . The main esul gi es a condi ion o he exis ence o a a-addi i e ex ension o Doléans-Fóllme 's measu e associa ed o a plana quasima ingale, in e ms o uni o m in e- g abili y on a amily o s opped p ocesses . In oducció .  Sigui  (P,F,P) un espai de p obabili a comple , i  (F ) : 0 una il ació de F complin les condicions habi uals, és a di con inua pe la d e a i que Fo con é o s els conjun s negligibles de F . Un p océs (X ) ? 0 ,  adap a a  (F ) > 0'  se'n diu una quasima ingala en  IR + si Va (X)  =  sup{E(En-11E(X i  - X /F i )I)} < +l i on el sup em es p en sob e o es les pa icions ini es 0= o < 1 < . . . < n <w . El concep e de quasima ingala ou in oduc pe en Fisk (5) i n'O ey (9), en es udia un p oblema més gene al que el de la descomposició de Doob-Meye d'una subma ingala en suma d'una ma ingala i un p océs c ei- xen . Un es udi de les quasima ingales i la se a analogia amb les supe ma - ingales po oba -se en (11) . En (6), (8) i (10) es a un en ocamen des del pun de is a de la mesu a de Doléans-Fóllme , in oduida en (4) i (6) . En B ennan (1) de ineix concep es de quasima ingala en el pla ba- sa s en les de inicions de Vi al¡, A zelá i Ha dy de uncions eals de dues a iables de a iació a i ada ( eu e (3)), i dóna eo emes de ca ac e i za ció i descomposició que són análegs als del cas d'un pa áme e . Pos e io - men dóna una condició equi alen a que la mesu a de Doléans-Fóllme ingui ex ensió a-addi i a a la ibu p e isible . El p esen eball s'in odueixen concep es de quasima ingales en el pla elaciona s amb els di e en s ipus ja conegu sde ma ingala en dos pa áme es( eu e (2)) . L'objec iu básic d'aques a icle és oba una condicióal e na i a a la de (1) pe qué exis eixi ex ensió a-addi i a de la mesu a de Doléans-Fóllme d'una quasima ingala en el pla . La condició que es oba és una condició d'in eg abili a imi n me snb e el p océs, éC a di- una condició del ipus de que el p océs pe anyi a una ce a classe (D), análogamen al cas d'un pa áme e ( eu e (11)) . No acions . El conjun de pa áme esse a T = [0,1] 2 ; conside a em un espai de p obabili a comple (2,F,P) i una il ació (F z ) z E T de F que compleix (a) és con inua pe la d e a ; (b) F(o,o) con é o s els conjun snegligibles de F . Endemésconside a em al es es il acions : Fz =  V F(S, ) . o-< 9 1 Fz 2 =  V  F(u, )  on  z = (s, ), i  FZ = FZ V FZ . No malmen (cz) z E T o ~u <1 indica á una qualse ol  d'aques es qua e il acions .  X = {X z  :  zE T} desig- na a un p océs in eg able i adap a a (F z ) z E T . Si z = (s, ) i z' = (s', '), 1'inc emen del p océs Xen el ec an- gle (z,z'l old á di : Si  g = {zij}i,j  és una pa ició de T, usa em la no ació  ¿~, 9 X(z ij )  pe a indi- ca áX(zij,zi+l,j+l] . Di em ec angle p e isible a o conjun de la o ma (z,z'] x A, on z, z'E T,  z « z'  i  AE ~ .  El  conjun dels ec angles p e isibles o ma una semiálgeb a, que anomena em R ; A se á 1'álgeb a de les eunions in¡ es disjun es d'elemen s de R ;i P la  a-álgeb a gene ada pe A . Segons la il ació inicial  (GZ)zE T que aga em, enim les ibus p e isibles, i- p e isibles (i=1,2) o s-p e isible . Si X és qualse ol  p océs in eg able adap a a (F Z ) z E T' podem asso- cia -li una unció de conjun de inida sob e cada un dels qua e ipus de ec angle p e isiblemi jancan la ó mula : Aques a unció de conjun uXés ini a i ini amen addi i a i es én a una unció ini amen addi i a en A . A 1'ex ensió li di em pX, uX o X segons de 1'álgeb a que es ac i . Resul a immedia amen de la de inició que : i análogamen pe px i PX' De inició 1 .  Un p océs (X Z ) z E T  és una quasima ingala en T espec e de (G z ) zE T si on g és una pa icióde T . OX(z,z'] = X(z') - X(s', ) - X(S, ') + X(z) . uX ((z,z'] x A) = E(IA . AX(z,z']) . uX = 0 - X és una ma ingala o a, Va G- (X) = sup 9 E(E ZE . g 1E(A 9 X(z)/G Z ) I) <-, Segons la il ació (GZ)z E T  que aga em, ens apa éixendi e en s ipus de quasima ingala, que les anomena em aixi : si G z = F z , en di em quasima ingala eble (que coincideix amb els V-p ocessos de (1)) ; si Gz = Fz (i = 1,2), ind em les i-quasima ingales ; i si G z = FZ, les quasi- ma ingales o es . Es enen immedia amen les següen s elacions : X és una quasima ingala o a - Xés una i-quasima ingala => X és ma ingala eble . De inició 2 .  Una quasima ingala X espec ede (GZ)z E T po encial  ( espec e de (G Z ) z E T u = {(s,1) : o5s-<1} u {('1, ) : o,< <1} . 8 6 si Xz = 0 4zE u , on s'anomena un una quasi- U ili zan la mesu a de Doléans-Fóllme en el pla, análogamen a com es demos a en (8), esul en els segúen s e s : Teo ema  1 .  Sigui  To =  (0,11  x  (0,11 .  Sigui  X =  (X z)z E Tun p océs adap a a  ( F z)zE T, sub il ació d'una il ació (Gz)zE T . Alesho es Xés una quasi ma ingala  espec e de  (Gz ) z E T si  i  només  si  Ip X j(T o x s~) < °°,  i  lla o s 1} 1 XI(T 0x 92) = Va G Z (X) . Teo ema 2 : Descomposició del ipus de Riesz . To a quasima ingala espec e de (Gz)z E T descomposa de mane a ca en suma d'una ma ingala espec e de ( G Z ) zE T i e de (GZ)zET' Teo ema 3 : Descomposició del ipus de Rao . quasi- úni- un quasipo encial espec- To a quasima ingala X espec ede (GZ)z E T es po esc iu e de mane- a única com X = M + U - V, on M és  una ma ingala espec e de  (Gz)z E =-T'  i U i V són dos p ocessos que compleixen les p opie a s segúen s : Endemés a) U , V > 0  VzCT . z z b) Uz=Vz=0 VzE u . c) U i V són dues subma ingales espec e de (Gz)z E T . d) U i V són dues supe ma ingales espec ede l'o d e pa cial . I p Xj (T o x 2 ) = E(U (o,o) + V(o,o)) . D'aques eo ema se'n dedueix que o a quasima ingala X és di e- encia de dues supe ma ingales posi i es, ebles si X és eble,i espec e de l'o d e pa cial si X és una quasima ingala o a ó una 1- i 2-quasima - ingala . De inició 3 .  Sigui  X una quasima ingala espec e de (G z) z E T . Alesho es di em que u X é p ojecció con ínua si  VE > 0,3 s > 0 al  que si g CT és una pa ició qualse ol i la amília {A(z) E G z : zEg} sa is á P{uz E _ g A(z)} < ó, alesho es  EZE g¡ IA(z)49 X(z) .dPI < e . De inició 4 .  Una aplicació D :  2 ~ iR +  és una egió d'a u simple si : a) Exis eix una pa ició {zde IR +  i una amilia de conjun s {A ij E GziJ .}i,J  al  que D(w)  = ui,j(zij'zi+l,j+ll .  1A . .(w) . ~J b) Exis eix un z o ini al que A ij = 0 si z ij 1 ((o,o),zol . c) Vw E 2  al  que D(w) ~ 0, si  z E D(w), alesho es z'E D(w) Vz' < z . Donada una egió d'a u simple D, podem de ini el p océs X a u a a D com X(D)(w) = E i,j &X(z ij ,z i+l,j+1 l .1 Aij (w), i alesho es di em : 8 7 De inició 5 . Un p océs X pe any a la classe (D') si la amília {X(D) : D egió d'a u simple } és uni o mamen in eg able . Pe acaba anem a demos a : P oposició 1 . Sigui X una quasima ingala o a ó una 1- i 2-quasima inga- la, con ínua pe la d e a en L 1 i  al  que supz E T EIXz1 < - .  Alesho es X pe any a la classe (D') si i només si uX é p ojecció con ínua . Demos ació : (només si) : Pe ésse X de la classe (D'), sabem que  Ve > 0,  d > 0  al que si P(A) < 5, alesho es sup D simples jX(D)JAP < e . A pie a . Sigui a a {zuna pa ició de T i {A ij E G z una col .lecció de conjun s al que P {U .  A ij } < d .  Alesho es on D 1 (w) = ui,j(zij'zi+l,i+1] .  1 A1J (w) és una egió d'a u simple (si) : U ili za em aquí el eo ema 3 .5 de (1), el qual no només es e i ica pe les quasima ingalas ebles (els V-p ocessos, en la e minologia d'en B ennan), sinó que adme una gene ali zació als al es ipus de quasima in- gala . Fixem doncs un e > o, i sigui  5 > 0 que e i ica 1'an e io p o- i,j  l~A . . iJ ¿X(zij) .dPi S J  jX(D 1 )JAP < e 1,J . iJ Segons aques eo ema, X = M + A, on 11 és una ma ingala del ma eix ipus que X i A és un p océs de a iació a i ada . Demos a em que M i A són p ocessos de la classe (D') i pe an X se a ambé de la classe (D') . a) A és de la classe (D') . En e ec e : {A(D) : D egió d'a u simple} és una amília de a iables alea ó ies a i ades pe IIAII  = sup {Ez E 9 JO9A z (w)I}  (on el  sup em es p en sob e o es les pa icions g CT) i IIAIIE L 1 (P) pe hipó esi ; pe an la ami- lia és uni o mamen in eg able . b) Més de la classe UD') . Sigui D una egió d'a u ,simple qualse ol . Alesho es M(D) (w) = E¡,iM(Zij'zi+l,j+11 .  ' Aij (w) = M T1 (w) - N 2 (w) - M T3 (w) + MT4(w), on els T i són els pun s d'a u segien s :  T 1 (w)  = E i,j z A i, (w), T Z(w) = J = E1,jzi+l,j*  1 Aij (w), T 3 (w) = Ei,jzi,j+l'  1A ij (w), T4 (w) = Ei,jzi+l,j+l . U ili zan el  eo ema d'a u de Ku z  ( eu e (7)), ind em que E .4  IMTi1AP ~ =1  {IM(D)(w)I> a} 5 J{IM(D)(w)J> al IPl(D)(w) I .dP 4 ( E ' -11 {IM(D)(w)I > al'( IM ( 1 '1 ) I/FT i ) {IM(D)(w)I >a} M (1,1) I .dP -~ 0 quan a - -, uni o mamen en D ./ . dP Els esul a s del p esen eball o men pa de la esina llegida pe au o el 22 d'Oc ib e de 1981, di igida pe na Ma a Sanz Solé . 1 . B ennan,M . Plana Semina ingales . Jou nal o Mul i a . Analy- sis, 9, 465-486 (1979) . 2 . Cai oli, R . and Walsh,J .B . S ochas ic in eg als in he plane . Ac a Ma h ., 134, 111-183 (1975) . 3 . Cla kson,J .A . and Adams,C .R . On de ini ion o bounded a ia- ion o unc ions o wo a iables . T ans . Áme . Ma h . Soc ., 35, 824-854 (1933) . 4 . Doléans-Dade, C . Exis ence du p ocessus c oissan na u al asso- cié a un po en ial de la classe (D) . Z . Wah sch . and e w . Geb ., 9, 309-314 lioao 5 . Fisk,D .L . Quasi-ma ingales . T ans.Ame .Ma h .Soc ., 120, 359-389 (1965) . 6 . Follme ,H . On he ep esen a ion o semima ingales . The Annals o P obabili y, 1, 580-589(1973) . 7 . Ku z,T .G . The op ional sampling heo em o ma ingales indexed by di ec edse s . The Annals o P obabili y, 8, 675-681 (1980) . 8 . Me i ie ,M . and Pellaumail,J . On Doléans-Follme 'smeasu e o quasima ingales . Illinois Jou nal o Ma hema ics, 77, 491-504(1975) . 9 . O ey,S . F-p ocesses . In p oc . Fi h Be keley Sympos . Ma h . S a- is . and P ob ., ol . 2, p . p . 301-313 (1967) . 10 . Pellaumail,J . Su 1'in eg ale s ochas ique e la décomposi ion de Doob-Meye . As é isque, ol .19 . Publica ion de la Socié éMa héma ique de F ance (1973) . 90 REFERENCIES 11 . Rao .K .M . Quasi-ma ingales . Ma h . Scand ., 24, 79-92 (1969) . Jaume Suñe Llab és . Dep . Ma héma iques . Esc . Tecn . Sup . d'A qui ec u á del Vallés . Uni e si a Poli écnica de Ba celona .