Pub
.
Ma
.
UAB
N°
23,
Feb e

1981
CLASIFICACION
DE PUNTOSDOBLESDE
SUPERFICIES
ALGEBROIDES
SUMERGIDAS
.
Ignacio
Luengo
Velaspo
Due o
.
d
e
Algeb a
y
Fundamen os
Uni e sidad
Complu ense
de
Mad id
ABSTRACT
L
.í s
a
weU-Fznown
esul
ha
one
can
aeeoc
í
.a e
o
each
embedded
algebno
.íd
euAgace
(E .A
.S
.
),

such
ha
mul (S)

=
2,
an
algebnoíd
cu e
C
(V)
(nox
necusaxí,Uy
nedueed)
.
Un
he
o heA
hand,
.ín [5]

we
a,6,socía e
- o
each
E .A .S
.
(0
a á
.ín,í e
we
.ígh ed
Aee
A
k
(W)
.
In
h,is
woxk
we
pn
.o e
ha
.íb
S
and
S'

a e
E .A .S
.
wí h

m(S)

=
m(S')

=

2,
. hen

A
k
(S') ;z

Ah
(S)

ib
and
on1y
.íb

C
(S)
and
C (S')
a e
equú
.íngulan
a6
non-nedueed
cuk es
.
1
.
Sea
S
una
supe iciealgeb oide
sume gida
(S
.A
.S
.)
de ini-
da
sob e
un
cue po
algeb aicamen e
ce ado
de
ca ac e ís ica
k,
que
consi-
ijo
.
Si
mul
.(S) = 2,
se
puede
asocia
a S
una
cu a
algeb oide
plana
no
educida
C(S),
de
al
o ma
que
las
supe icies
isomo as
si y
sólo
si
C(S)
y
C(S')
son
k-isomo as,
con
lo
que
la cla-
si icación
po
isomo ismo
de
pun osdobles
de S .A
.S
.
coincide
con
la
de
las
cu as
asociadas
(pa a
una
o mulación
clásica
de
es e
hecho
éase
[2
] .)
de amos
A
.M .S
.
Subjec
Classi ica ion
:
14B
05,
32C40
.
S y S'
son
k-
140
Aho a
bien,
desde
el
pun o
de
is a
de la
es uc u a
geomé ica
de la sin-
gula idad,
la
clasi icación
po
isomo ismo
es
demasiado
ue e,
como
se
pone
de
mani ies o
en el
caso
de cu as
planas
.
Pa a
cla i ica
la
es uc-
u a
geomé ica
de
la
singula idad
noso os
asociamos
a
cada
S .A .S
.
V
un
á bol
pesado
Ak
(V)
que
desc ibe
el
p oceso
de
esoluciónpun ual
( o mal)
de
V
median e ans o maciones
monoidales
y
cuad á icas
. o males
.
El
obje o
de
es e
abajo,
que
es
un esumen, es
compa a
en
pun os
dobles
de
S
.A
.S
.
la
clasi icación
median e
los
á boles
A
k y
median-
e
la
clase
de
equisingúla idad
de
C(V),
ob eniéndose
(Teo ema
2
.4)
que
ambas
coinciden
.
2
.
Sea

S

=
Spec(0)
una
S .A .S
.
de inida
sob e
un
cue po

kC
0
;
si
m
(S)
=
2
se
puedeelegi
en
1`
.
C
0
un
sis ema
de
coo denadas

x,
y,
z
al que
la
ecuación
de

S

espec o
a
L
x, y, z
}

sea
de
la
o ma
Z
2
+
F(X,Y)
E
k
[[X,Y,Z]
J

.
En onces
se
iene

(c
.

[3]

,
Teo emas
2
y 2a)
:
Lema
1
.

Sí

S
.

y

S-'
son
S
.A .S
.
de
Ícuací,one3

Z 2
+
F(X,Y)

y

Z2 +
F'
(X,Y),
S

S' 6
.í
y
aálo
sí ex
í,s e
un
k-ízomon6
.ídmo
de

k [[X,
Y,
Z]],
al que
(F)
=
F'
.u,
con
u(0,0)
#
0
.
2'
.2
.
De inición
.
Dada
S
de
ecuación
Z
2
+
F(X,Y),
a la
a iedad
algeb oi-
de

Spec
(k[[
X,YJ,/F
(X,Y)))

la
llama emos
cu a
a
.eocc-ada
a

S, y
la
desig-
na emos
po
C(S)
.
C(S)
es
una
cu a
algeb oide
no
educida
y
po
el
Lema
1,
la
clase
de
isomo ismo
de
C(S)
no
depende
del
sis ema
de
coo denadas
elegi-
do
.
En la
si uación
an e io ,
sean

F
=TT
F
"¿
la
descomposición
en
i=1
ac o es
i educibles
de

F
6k
U
X,Y1]

,

y

la
ama
algeb oide
de
','C(S)
de-
i
e minada
po
Fi
,
y
(C(S))
=
{y1'-"'
Y }
el
conjun o
de
amas
de
C(S)
.
Pa a
cada

i,

sean

m(
y
1
),
m(y
2),

...

las
mul iplicidades
de
las
suce-
si as
ans o madas
cuad á icas
de
Yi,
y
sea
la
aplicación
6

:

(C
(S)
)

N
--
TN

,
de inida
po

6
(
Yi)
_(m(
yi)
,m(
yi)
, .
.
.)
E N
N
.

Designa emos
po

m(
Yi, Yj)
la
mul iplicidad
de
in e sección
y

m
:

(C
(S))
x
(C (S))
-----~
N

la
aplica-
ción
co espondien e
.
Conside emos,
po
úl imo,
la
aplicación
a
:

(C
(S)
)

-
1 N,
de inida
po

a
(
Yi
)
= a
i
.

De inimos
en onces
:
2
.3
.
De inición
.
A
la
cua e na

[S)
=
((C(S)),8
,m,a)

la
llama emos
eí"
e
de S
.
Di emos
que
dos
.
clases
[S)
y [S'J
son
.í,bomoh
.6ab
si
exis euna bi-
yecci6n
b
:
(C(S))
---
)
(C(S'))
que
conmu a
con
las
aplicaciones
,ó ,
m
y
0.
Si
S
es
no mal,
en onces
C(S) es
educida,
con
lo
que
a(
Yi
)
=
1,
pa a
1
<i
<
, y
en onces
ES]
ep esen a
la
clase
de
equi-
singula idad
de
C(S)
po
[7),
P oposición
4.5
.
Si S
no es
no mal,
C(S)
no
es
educida
y
en
es e caso
[SI
ep esen a
la
clase
de
equisingula idad
de
(C(S)) ed

más
la
mul iplicidad
de
cada
componen e

(
a
.
i
) .
Sea
S
una
S
.A
.S
.
y
A
k
(S)
=
(A,
a,
B)
el
á bol
pesado
que
des-
c ibe
el
p oceso
de
esolución
de
S
median e
ans o maciones
monoidales
y
cuad á icas o males
(c
.
[5]
.,
Cap
.
II,
pa a
más
de alle)
.
Se
iene
en-
onces
:
2 .4
.
Teo ema
.
Sean S
y
S'
dob
S
.A .S
.
alen
que
m(S)
=
m(S')
=2
.
En-
onces
se
cumple
que [S]
i :
-_
[S']
a
.í
y
eólo
e
.í
Ak(S)
:Z_
Ak(SI)
.
La
pa e
di ícil
de la
demos ación
consis e
en
e que
Ak
(S)
de e mina
uní ocamen e
ES]
,
lo
cual
se
hace
dando
un
algo i mo
que
pe mi e
calcula
[S]
a
pa i
de
A
k
(S)
.
3
.
Conside emos
bho a
una
supe icie
analí ica
compleja
y
sea
P
un
pun odoble
no mal
de la
supe icie
.
Po se
P
no mal,
OX,P
es
de
Cohen-Macaulay
(c
.
[8]
,
p
.
397),
con
lo
que po
.
[1]
,
dim
.
inm
.
(OX,P)
=
mul
.(X,P)
+
1
=
3
.
Deno emospo
(X,P) =
Spec
(O
X'P
)
la
S
.A .S
.
de e minada
po
X
en
P,
y
po

C(X,P)
la
cu a asociada
a (X,P)
que
es
educida
.
Sean
JT
:
X

'"
X la
esolución
de X
en un
en o no
de
P
ob enida
median e
el
p oceso
canónico
de
Za iski
(c
.
j6],
p
.668)
y
N=TT
-1
(P)
el
di iso
excepcional,
que
es
una
unión
de
cu as
i educibles
Ei
que
son
compac as
ya
que
T
es
p opia
.
Si
se
conside a
el
ipo
opoló-
gico
o
di e enciable
de
la
inme sión
de N
en
X,
que
iene
dado
po
el
ipo
opológico
de
las
singula idades
de
los
-,E
k'
el
géne o
de cada

E¡
y
los
núme os
de
in e sección
de
(E
i
,E
j )
y
(E
i
,E
i
),
se
ob iene
o a
posi-
ble
clasi icación
de
pun os
dobles
no males
de
supe icies
complejas
.
Aho-
a
bien,
Lau e
en
C4
.J
,
demues a
que
es a
clasi icación
coincide
con
la
ob enidamedian e
la
clase
de
equisingula idad
de C(X,P)
y
el
á bol
de
(X',P)
.
Se
ienepues,
que
odas ellas
dan
una
clasi icaciónsa is ac o ia
de
pun osdobles
de
S .A.S
.
Re e encias
11]

S
.
S
.
ABHYANKAR
:
Local
ings
o high
embedding
dimension,
Ame
.
J
.
Ma h
.,
89
(1967),
p
.1073-1077
12]

A
.
FRANCHETA
:
Su¡
pun i doppi
isola i
delle
supe icie
algeb iche,
No e
I,
Rend
.
Acad
.
dei
Lince¡,
(1946),
p
.
49-57
l3)

D
.
KIRBY
:
The s uc u e
o an
isola edmul iple
poin
o
a
su ace
I,
P oc
.
London
Ma h
.
Soc
.,
6
(1956),
p
.
597-609
[4
,
)

H
.
LAUFER
:
On
no mal
wo-dimensional
double
Poin
singula i ies,
Is ael
J
.
Ma h
.,
31
(1978),
p
.
315-335
[5]

I
.
LUENGO
:
Sob e
la
es uc u a
de
las
singula idades
de
supe icies
algeb oides
sume gidas,
Monog a ías
de
Ma emá ica
del
Ins
.
"Jo ge
Juan"
del
C .S .I.C
.,
Mad id,
1980
[6]

O
.
ZARISKI
:
The
educ ion
o
he
singula i ies
o an
algeb aic
su ace,
Ann
.
Ma h
.,
40
(1939),
p
.
639-689
142
C7)
O
.
ZARISKI
:
Con ibu ions
o
be
p oblem
o
equisingula i V,
en
:
Q
ues ions
on
Algeb aic
Va ie ies
,
C
.I .M
.E
.,
Ed
.
C emo-
nese, Roma,
1970
l8,

O
.
ZARISKI
y
P
.
SAMUEL
:
Commu a i e
Algeb a
,
an Nos and,
P ince-
on,
1960
.