Clasificación de puntos dobles de superficies algebroides sumergidas

Pub . Ma . UAB N° 23, Feb e  1981 CLASIFICACION DE PUNTOSDOBLESDE SUPERFICIES ALGEBROIDES SUMERGIDAS . Ignacio Luengo Velaspo Due o . d e Algeb a y Fundamen os Uni e sidad Complu ense de Mad id ABSTRACT L .í s a weU-Fznown esul ha one can aeeoc í .a e o each embedded algebno .íd euAgace (E .A .S . ),  such ha mul (S)  = 2, an algebnoíd cu e C (V) (nox necusaxí,Uy nedueed) . Un he o heA hand, .ín [5]  we a,6,socía e - o each E .A .S . (0 a á .ín,í e we .ígh ed Aee A k (W) . In h,is woxk we pn .o e ha .íb S and S'  a e E .A .S . wí h  m(S)  = m(S')  =  2, . hen  A k (S') ;z  Ah (S)  ib and on1y .íb  C (S) and C (S') a e equú .íngulan a6 non-nedueed cuk es . 1 . Sea S una supe iciealgeb oide sume gida (S .A .S .) de ini- da sob e un cue po algeb aicamen e ce ado de ca ac e ís ica k, que consi- ijo . Si mul .(S) = 2, se puede asocia a S una cu a algeb oide plana no educida C(S), de al o ma que las supe icies isomo as si y sólo si C(S) y C(S') son k-isomo as, con lo que la cla- si icación po isomo ismo de pun osdobles de S .A .S . coincide con la de las cu as asociadas (pa a una o mulación clásica de es e hecho éase [2 ] .) de amos A .M .S . Subjec Classi ica ion : 14B 05, 32C40 . S y S' son k- 140 Aho a bien, desde el pun o de is a de la es uc u a geomé ica de la sin- gula idad, la clasi icación po isomo ismo es demasiado ue e, como se pone de mani ies o en el caso de cu as planas . Pa a cla i ica la es uc- u a geomé ica de la singula idad noso os asociamos a cada S .A .S . V un á bol pesado Ak (V) que desc ibe el p oceso de esoluciónpun ual ( o mal) de V median e ans o maciones monoidales y cuad á icas . o males . El obje o de es e abajo, que es un esumen, es compa a en pun os dobles de S .A .S . la clasi icación median e los á boles A k y median- e la clase de equisingúla idad de C(V), ob eniéndose (Teo ema 2 .4) que ambas coinciden . 2 . Sea  S  = Spec(0) una S .A .S . de inida sob e un cue po  kC 0 ; si m (S) = 2 se puedeelegi en 1` . C 0 un sis ema de coo denadas  x, y, z al que la ecuación de  S  espec o a L x, y, z }  sea de la o ma Z 2 + F(X,Y) E k [[X,Y,Z] J  . En onces se iene  (c .  [3]  , Teo emas 2 y 2a) : Lema 1 .  Sí  S .  y  S-' son S .A .S . de Ícuací,one3  Z 2 + F(X,Y)  y  Z2 + F' (X,Y), S  S' 6 .í y aálo sí ex í,s e un k-ízomon6 .ídmo de  k [[X, Y, Z]], al que (F) = F' .u, con u(0,0) # 0 . 2' .2 . De inición . Dada S de ecuación Z 2 + F(X,Y), a la a iedad algeb oi- de  Spec (k[[ X,YJ,/F (X,Y)))  la llama emos cu a a .eocc-ada a  S, y la desig- na emos po C(S) . C(S) es una cu a algeb oide no educida y po el Lema 1, la clase de isomo ismo de C(S) no depende del sis ema de coo denadas elegi- do . En la si uación an e io , sean  F =TT F "¿ la descomposición en i=1 ac o es i educibles de  F 6k U X,Y1]  ,  y  la ama algeb oide de ','C(S) de- i e minada po Fi , y (C(S)) = {y1'-"' Y } el conjun o de amas de C(S) . Pa a cada  i,  sean  m( y 1 ), m(y 2),  ...  las mul iplicidades de las suce- si as ans o madas cuad á icas de Yi, y sea la aplicación 6  :  (C (S) )  N -- TN  , de inida po  6 ( Yi) _(m( yi) ,m( yi) , . . .) E N N .  Designa emos po  m( Yi, Yj) la mul iplicidad de in e sección y  m :  (C (S)) x (C (S)) -----~ N  la aplica- ción co espondien e . Conside emos, po úl imo, la aplicación a :  (C (S) )  - 1 N, de inida po  a ( Yi ) = a i .  De inimos en onces : 2 .3 . De inición . A la cua e na  [S) = ((C(S)),8 ,m,a)  la llama emos eí" e de S . Di emos que dos . clases [S) y [S'J son .í,bomoh .6ab si exis euna bi- yecci6n b : (C(S)) --- ) (C(S')) que conmu a con las aplicaciones ,ó , m y 0. Si S es no mal, en onces C(S) es educida, con lo que a( Yi ) = 1, pa a 1 <i < , y en onces ES] ep esen a la clase de equi- singula idad de C(S) po [7), P oposición 4.5 . Si S no es no mal, C(S) no es educida y en es e caso [SI ep esen a la clase de equisingula idad de (C(S)) ed  más la mul iplicidad de cada componen e  ( a . i ) . Sea S una S .A .S . y A k (S) = (A, a, B) el á bol pesado que des- c ibe el p oceso de esolución de S median e ans o maciones monoidales y cuad á icas o males (c . [5] ., Cap . II, pa a más de alle) . Se iene en- onces : 2 .4 . Teo ema . Sean S y S' dob S .A .S . alen que m(S) = m(S') =2 . En- onces se cumple que [S] i : -_ [S'] a .í y eólo e .í Ak(S) :Z_ Ak(SI) . La pa e di ícil de la demos ación consis e en e que Ak (S) de e mina uní ocamen e ES] , lo cual se hace dando un algo i mo que pe mi e calcula [S] a pa i de A k (S) . 3 . Conside emos bho a una supe icie analí ica compleja y sea P un pun odoble no mal de la supe icie . Po se P no mal, OX,P es de Cohen-Macaulay (c . [8] , p . 397), con lo que po . [1] , dim . inm . (OX,P) = mul .(X,P) + 1 = 3 . Deno emospo (X,P) = Spec (O X'P ) la S .A .S . de e minada po X en P, y po  C(X,P) la cu a asociada a (X,P) que es educida . Sean JT : X  '" X la esolución de X en un en o no de P ob enida median e el p oceso canónico de Za iski (c . j6], p .668) y N=TT -1 (P) el di iso excepcional, que es una unión de cu as i educibles Ei que son compac as ya que T es p opia . Si se conside a el ipo opoló- gico o di e enciable de la inme sión de N en X, que iene dado po el ipo opológico de las singula idades de los -,E k' el géne o de cada  E¡ y los núme os de in e sección de (E i ,E j ) y (E i ,E i ), se ob iene o a posi- ble clasi icación de pun os dobles no males de supe icies complejas . Aho- a bien, Lau e en C4 .J , demues a que es a clasi icación coincide con la ob enidamedian e la clase de equisingula idad de C(X,P) y el á bol de (X',P) . Se ienepues, que odas ellas dan una clasi icaciónsa is ac o ia de pun osdobles de S .A.S . Re e encias 11]  S . S . ABHYANKAR : Local ings o high embedding dimension, Ame . J . Ma h ., 89 (1967), p .1073-1077 12]  A . FRANCHETA : Su¡ pun i doppi isola i delle supe icie algeb iche, No e I, Rend . Acad . dei Lince¡, (1946), p . 49-57 l3)  D . KIRBY : The s uc u e o an isola edmul iple poin o a su ace I, P oc . London Ma h . Soc ., 6 (1956), p . 597-609 [4 , )  H . LAUFER : On no mal wo-dimensional double Poin singula i ies, Is ael J . Ma h ., 31 (1978), p . 315-335 [5]  I . LUENGO : Sob e la es uc u a de las singula idades de supe icies algeb oides sume gidas, Monog a ías de Ma emá ica del Ins . "Jo ge Juan" del C .S .I.C ., Mad id, 1980 [6]  O . ZARISKI : The educ ion o he singula i ies o an algeb aic su ace, Ann . Ma h ., 40 (1939), p . 639-689 142 C7) O . ZARISKI : Con ibu ions o be p oblem o equisingula i V, en : Q ues ions on Algeb aic Va ie ies , C .I .M .E ., Ed . C emo- nese, Roma, 1970 l8,  O . ZARISKI y P . SAMUEL : Commu a i e Algeb a , an Nos and, P ince- on, 1960 .