Pub
.
Ma
.
UAB
N2
23,
Feb e
1981
UNA
GNERALTTZACIO
DEL
MEIME
DE
NEW1bN-RAPHSON
A mengól
Gasull,Secció
de
Ma emá iques, Uni e si a
Au ónoma
de
Ba celona,Espanya
.
In oducció
.-
En
aques
eball
es udiem
un
mé ode
i e a iu
d'c d e
3
pe
a
esold e
1'equació
(x)=0
.
El
compa en
amb
un
de
mol semblan
del ma eix
o d e,él
-
de
Txebyshe
.
Dona en
so a
cenes
condicions
un
eo ema
de
con e -
géncia global
i
aplica en
aques mé ode
a
alquns
exenples
.
El mé ode é
dQna
pe
x
n+1=
xn+F(xn),aanb
11
.
Dues
deduccions'h3a is iques .-(i)Les
solucions
ae
y
;x)=ax
2
+bx+ces
sbn
s=
(~b±
(b
2
-4ac) 1/2 )/2a
o
equi aleli
.T e s=0±(-á'(0)±
(o'(0)
2
-2g
(0)
q"
(0)
)
1/2
/g"
(
0
) .
D'
oh
ii uim
que

una
solució
de
(x)
=O
poden
ob eni -la
con
a
limi
de la
successió
xn+1-Xn+(- '
(xn)+c( '(xn)2-2 (
n) "(xn))1/2)/ "
(x
n
)
.El
alo
de
e
l'ob enim
imposan
que
el
li ní
de
la
successió
(x
n
)de inida
pe
xn
;1=-xn
i
F
(x
n
)
sigui
una
solució
de
(x)
=
0
.
Pe
an
n'hi ha
p ou
en
p end e
e
iqual
al
signe
de '(x
n
) .
(ii)
Desen olupan
pe
Taylo
.'
(x)
(a-x)
+
"
(x)
(a-x)
2
/2+
`(x)
(a-x)
3
/6
enim
.
(1)
Conside an
e mes
ins
p ime
o d e
el
é ode
de
New on-Raphson
(d'o d e
2
si
1'a el
és
simple)
.
(2)
Si
p elen
ins
a
segon
o d e,
a~x+(- '(x)+e( '(x)2-2
(x) "(x))1/2/ '(x),
que
po a
a
l'exp essió
ob inguda
abans
.
Obse en
que
si
alléssim
el
desen-
olupamen
a
e ce
i
qua o d e
i
u ili zéssim_desp és
les
o mules
de
Scipione
del
Fe o
i
Bonbelli
pe
a
esold e
les
equacions
polinámiques
ob in
gudes, ind ien
mé odes
mes
po en s
.
Sembla
que
aques s
mé odes
se ien
d'o d e
4 i
5,
espec i amen
.
- '
(x

)
+e
( '
(x

)
2
-2
(x

)
"
(x

)
)1/2
F
(x
)_-

n

-

n

n

n

on
e
-s
el
signe
de
'(x
n
).
n

" (x
n
)
a
un
en o n
del
pun
x
=
(a)=
(x)+
. .
.
;si
imposem
(a)=O
i
aillem
a
a=-x- (x)/ '(x),equació
que
indueix
(
iq
.
1
)
In e p e ació
geané ica
§2
.
In e p e ació
gecmé ica
.-
És
cla
que
aques
nou
mé odegene ali za
analí icamen
el
mé ode
de
New on, eiem-ho ambé
g á icamen
.
Dona
el
pun
x
n
,el
nouxn+
~
s'ob é
allan
1'eix
y=0 amb
la
pa ábolay= (xn)+ '(
n)(x-xn)+
+ '(xn)(x-xn)
/2
angen
a
en
xn
( ig
.
.l)
.
§3
.
Con e géncialocal
.-
Es udiem
la
con e géncia
local
dex
n+1
=xn
+F(x
n
)=
=G(xn
)
e s
una
solució
simples,
de
(x)=0
.
Tenimque
G(s)=G'(s)
=W(s)=O
i
G..
.(s)~0,
alesho es,
localmen
elmé odeés
d'o d e
3
.
Aco em
Te o
.
Pe se
s
solució
simple
enim
que
é
una
in e -
sa
_1
(y)
en
un
en o n
del
ze o
.
De inim
y=H(2)= (xn)+ '(xn)(x-xn)+2"(xn
)(x-x1)2/2,
doncs
H
-1
(Y)
=
-xn+(- '(xn)+e( '(x
n
)
-2( (xn)-Y)
(xn
))

)/
(x
n
) ;
si
desen olupem
pe
Taylo
-l
(y)
i
j
1
(y)
a
un
en o n
de
(x
n
)
i
a aluem
a
y=0
enim
É-1
(O)=x i
(xn)/ '(xn)- "(xn) 2(xn)/2 '(
n)
3
-(H
l)'''(g)( (xn))3/6
l
(0)=x i
(x
1
)/ '(x
n
)- "(x
n
) 2
(x
n
)/2 '(x
n
)
3
-(
1)'',(E)( (xn))3/6
amb

i
i
~
en e
0
i
(x
)
.
A a
bécom
l
(0)=s
i
H
-1
(0)
--x
1+1
,
es an
:
s-xn+l=((Hl)'''(e)
-(
T
)
m
(E))
( (x
1
))
3
/6
.
Podem,
aplican
el
Teo ema
del
alo
mi já,
.aco a
(x
n
)
i
ob enim
Is-X
n+l
IzQkI
s-xn13
on
A=(máxl
(
-1
)
,
, ,
1
+máxl
(H
l
)
'''
1
)máxl '
1
3
/6
i
els
máxims
es
p enen
a
un
en o n
de
s
ó
0
.
Podem
demos a
la
següen
elació
I
s-xn+11

I
(H
1)

1
)1
',
(011
,
'MI
3
I
xn
xn+11
9
/1296,u
en e
xn
i
xn-1
que
de e mina
la
dis áncia
dex
n+1
as
en
unció
de
la
dis áncia
en e
x
n
i
x
n-1
.
S'
ha
u ili za
la
desigual a
I
(
n)
I
_<
l
"
'
(u)
I I
xn
x
n-1
1
3
/6
que
s'
ob é
desen olupan
pe
Taylo
ins
o d e
3
ax
n-1
i
a aluan
a x
n
.
g4
.
Caq
:)a ació
amb
Txebyshe
.-
Al
demos a
a
l'apa a
an e io
la
con e -
géncialocal
hem
u ili za
la
idea
del
mé ode
de
Txebyshe
d'o d e
3
que
consis eix
en
conside a
s,
solució
de
l'equació,
can
_1
(0)
i
calcula -la
desen olupan
pe
Taylo
_1
ins
a
segono d e
.
Aques mé ode
é
dona
pe
x
n+1- xn
(x
n
)
/ '
(x
n
)- "
(x
n
)
2 (xn
)
/2 '
(x
n
)
i
é
e o
s-
n-( _

1)

3 (x
n
)/6
amb

en e
0 i
(x
n
),
pe més
de alls
eu e
[1]
.
CanH-
,
alesho es
H
-1
_
_1
i pe
an
(H
-1
}
"
'
~(
1
)
"
'
a
ixí
sembla pu ís ica~
que
elnoumé ode
se álleuge amen
millo que
el
de
Txebyshe ,
ja
que
a
la
se a
exp essió
de
Te o
apa eix
el
e me
(H
-1
)
"
-U-1)101
.
Obse em
els
passos
segui s
pe
a
dedui
els dos
mé odes
en
el
següen
diag ama
(S)
=O
Aillan
s
0=
(x)
+ '
(x)
(s-x)
+ "
(x)
(s-x)
2
/2
-
nou
mé ode
-
Mé ode
i e a iu
mé ode
de
Txebyshe
-
-_---~

d'
o d e
3
Taylo
d'o a e
2
s=
1
(0)
Es eu
així
que
el
ca i
segui
pe
Txebyshe
dóna
mé odesd'o d e
n,pe
o
n
na u al,men e
que
1'al e
ca i
queda
limi a
al
no
pode -se
e-
sold e
pe

adicals
les
equacions
polincaaiques
deg aumés
g an
que
4
.
Es
in e essan no a
que
aques
diag ama
com ni a
o almen
si
a-
llem
Taylo
a
o d e
1
.Ei
esul a
és el
i-
Z ode
de
New on-Raphson
.
§5
.
Teo ema
de
con e génciaglobal
3
Teo e
ma

Sigui
:[
a,
b]
---o
R,
,
e
C
[
a,
b]

alque
(i) (a) (b)<
0
(ü)
',
",
"'
enen
signecons an
a
[
a,b]
(¡¡¡)
'
(x)
"'
(x)<
0
pe a
o
x
de
[
a, b]
Alesho es
pe a
o
x
0
:
e[
a,b] la
successió
xn
cons uida
pe
x
n+1
=x
n
+F(x
)
endeix
monó onamen
e s
s,
única
solució
de
(x)=0
a
[a,b]
.
Demos ació
:

To sels
casos
es
poden edui
a '>O, ">0, '''<
O
.En
aques
cas
enim
els
següen s
esul a s
que
p o en
el
eo ema
a)
h(x)= '(x)2-2 (x) '(x)
és
posi i a
pe o
x
de
[a,b]
.
b)
F(x)>
0
si
xe[a,s)
i
F(x)<
0
si
xe(s,b]
.
c)
x+F(x)<
s si
xe[a,s)
i
x+F(x)>
s
si
xe(s,b]
.
Obse en
que
1'idea
d'aques a
de
os aci6és
1,3
del
eo ema
de
con e génciaglobal
de
New on-Raphson
[2]
.
§6
.
C~ amn
pels
ze os
múl iples
.-
Conside em
p ime
el
cas
en
que
la
mul iplici a
des
és
2,
lla o s
enim
con e gbncia
quad á ica
si
"(s)
''
'(s)
és
nega iu
i
p enem
x
0
a
p op
de
s

pe b
a
la
d e a
de
s
o
bé si
"(s)
"
'(s)
és
posi iu
i
p enem
x0
a
p op
de
s
pe ca
a
1'esque a
de
s,
ja
que
G(x)=x
+
+F(x)
ccupleix
G(s)=G
(s)=O,
G"(s)y£0
.
La
unci6
h(x)= '(x)2-2 (x) "(x),que
igu a
dins
del
adical
del
mb ode,és
nega i a
pe
als
al escasos
.
Si la
mul iplici a
des
és
ND
2,~
h(x)=h2M(T)(x-s)2M/(2M)!
on
T
es á
en e
x
i
s,a a
bé
can
h2M(s)---B( M+l(s))2
i
B >0 enim
que
a
un
en o n
p ou
pe i
de
s,h(x)<
0
.
Pe
an
el
mb ode
no
es á
de ini ,
pe o
si
en
x
n+l
-
xn+(- '(xn)+E(2 (
n) "(xn)- '(xn)2)1/2)/ _


(xn)
n'ob enimunde
con e -
gbncia
lineal
.
§7
.
bcemples
numb ics
.-
Pe
a il
.lus a
aques
mb ode
obse em
co o
es
cae
po a
en
algunes
uncions
pa icula s
cca%
:)a an
els
esul a s
amb
els
de
els
é1 odes
de
Txebyshe
(o d e
3)
i
de
New on
(o d e
2)
pe
les
ma eixes
uncions
.
-4
1

I
1

I
I
I1 I
l

~1 I
i
I
h
¡-
1.

i

I
I

l
y

I.
1,

~,,
-
~,,
-
J
4
Mé odes
de
:

Txebyshe
(-
-
-
-)

New on
(-------
)

nou
(

)
(
ig
.
3)
eloci a
de
con e gIncia

conside em
les
uncions
1
(x)
= x -
cos
x
2
(x)

=
ex
-3x
alesho es
les
equacions
1
(x)
=0 i
2
(x)
=
0
enen
espec i amen
un
ze o,
diguem
s, i
dos
ze os,
diguem
s
i
,
s
2
.
A
les
igu es
2
i
3
es
ep e-
sen a
a
1'eix
x
el
pun
x
0
pe al
que
s'inlcia
el
mé ode,
pe les
uncions
1
i
2
espec i amn
(aques
x
0
a ia
de
-4(0
.1)4)
.
La
ima ge
dex
0
és
semp e
un
nímie o
en e ,
que
ep esen a
el
nomb e
d'i e acions
necessá ies
pe
a
ob eni
la
soluci6
amb
1
.6
xi es
decimals
exac es
.
Amb
les línies
inclinades
donem
con inui a
a
la
g á ica
.
Quan
unx
0
no
é
ima ge,
ol
di o queel
mé ode
no
con e geix
o que
necessi a
mes
de
8
i e acions
pe
a
oba
la
soluci6
amb
la
p ecisi6
desi jada
.
Veiem,
en
aques exemples,
una
eloci a
mes
g an
del
mé ode
aquíes udia espec edeis
al es
aquí
conside a s
.
Els
in e als
eb ics
de
con e gencia
dona s
pels eo emes
de
con e gencia
globals6n pe
a
la
unci6
l
:

(0,1 /2)
i
(z,T /2)
en el
nos e
me ode
i
el
de
New on-Raphson, espec i amen ,
on
zE
(-0
.4,-0
.3)
i
pe
a
la
unci6
2
donen
lloc
al
ma eix
in e al
de
con e gencia
:
(-
-,1n3)
.
Ag aímen s
Ag aeixo
a
JaumeLlib e
la se a
di ecci6
en la
eali zaci6
d'aques
eball
.
Re e éncies
1
.- I
.S
.Be ezin
andN
.P
.Zhidko ,
Ccapu ing
Me hods
,
Pe gamon
P ess, 1965
.
2 .- P
.Hen ici,
Elemen s
o
Nume ical
Analysis
,
JhonWiley
&
Sons,
1964
.