Una generalització del mètode de Newton-Raphson

Pub . Ma . UAB N2 23, Feb e 1981 UNA GNERALTTZACIO DEL MEIME DE NEW1bN-RAPHSON A mengól Gasull,Secció de Ma emá iques, Uni e si a Au ónoma de Ba celona,Espanya . In oducció .- En aques eball es udiem un mé ode i e a iu d'c d e 3 pe a esold e 1'equació (x)=0 . El compa en amb un de mol semblan del ma eix o d e,él - de Txebyshe . Dona en so a cenes condicions un eo ema de con e - géncia global i aplica en aques mé ode a alquns exenples . El mé ode é dQna pe x n+1= xn+F(xn),aanb 11 . Dues deduccions'h3a is iques .-(i)Les solucions ae y ;x)=ax 2 +bx+ces sbn s= (~b± (b 2 -4ac) 1/2 )/2a o equi aleli .T e s=0±(-á'(0)± (o'(0) 2 -2g (0) q" (0) ) 1/2 /g" ( 0 ) . D' oh ii uim que  una solució de (x) =O poden ob eni -la con a limi de la successió xn+1-Xn+(- ' (xn)+c( '(xn)2-2 ( n) "(xn))1/2)/ " (x n ) .El alo de e l'ob enim imposan que el li ní de la successió (x n )de inida pe xn ;1=-xn i F (x n ) sigui una solució de (x) = 0 . Pe an n'hi ha p ou en p end e e iqual al signe de '(x n ) . (ii) Desen olupan pe Taylo .' (x) (a-x) + " (x) (a-x) 2 /2+ `(x) (a-x) 3 /6 enim . (1) Conside an e mes ins p ime o d e el é ode de New on-Raphson (d'o d e 2 si 1'a el és simple) . (2) Si p elen ins a segon o d e, a~x+(- '(x)+e( '(x)2-2 (x) "(x))1/2/ '(x), que po a a l'exp essió ob inguda abans . Obse en que si alléssim el desen- olupamen a e ce i qua o d e i u ili zéssim_desp és les o mules de Scipione del Fe o i Bonbelli pe a esold e les equacions polinámiques ob in gudes, ind ien mé odes mes po en s . Sembla que aques s mé odes se ien d'o d e 4 i 5, espec i amen . - ' (x  ) +e ( ' (x  ) 2 -2 (x  ) " (x  ) )1/2 F (x )_-  n  -  n  n  n  on e -s el signe de '(x n ). n  " (x n ) a un en o n del pun x = (a)= (x)+ . . . ;si imposem (a)=O i aillem a a=-x- (x)/ '(x),equació que indueix ( iq . 1 ) In e p e ació geané ica §2 . In e p e ació gecmé ica .- És cla que aques nou mé odegene ali za analí icamen el mé ode de New on, eiem-ho ambé g á icamen . Dona el pun x n ,el nouxn+ ~ s'ob é allan 1'eix y=0 amb la pa ábolay= (xn)+ '( n)(x-xn)+ + '(xn)(x-xn) /2 angen a en xn ( ig . .l) . §3 . Con e géncialocal .- Es udiem la con e géncia local dex n+1 =xn +F(x n )= =G(xn ) e s una solució simples, de (x)=0 . Tenimque G(s)=G'(s) =W(s)=O i G.. .(s)~0, alesho es, localmen elmé odeés d'o d e 3 . Aco em Te o . Pe se s solució simple enim que é una in e - sa _1 (y) en un en o n del ze o . De inim y=H(2)= (xn)+ '(xn)(x-xn)+2"(xn )(x-x1)2/2, doncs H -1 (Y) = -xn+(- '(xn)+e( '(x n ) -2( (xn)-Y) (xn ))  )/ (x n ) ; si desen olupem pe Taylo -l (y) i j 1 (y) a un en o n de (x n ) i a aluem a y=0 enim É-1 (O)=x i (xn)/ '(xn)- "(xn) 2(xn)/2 '( n) 3 -(H l)'''(g)( (xn))3/6 l (0)=x i (x 1 )/ '(x n )- "(x n ) 2 (x n )/2 '(x n ) 3 -( 1)'',(E)( (xn))3/6 amb  i i ~ en e 0 i (x ) . A a bécom l (0)=s i H -1 (0) --x 1+1 , es an : s-xn+l=((Hl)'''(e) -( T ) m (E)) ( (x 1 )) 3 /6 . Podem, aplican el Teo ema del alo mi já, .aco a (x n ) i ob enim Is-X n+l IzQkI s-xn13 on A=(máxl ( -1 ) , , , 1 +máxl (H l ) ''' 1 )máxl ' 1 3 /6 i els máxims es p enen a un en o n de s ó 0 . Podem demos a la següen elació I s-xn+11  I (H 1)  1 )1 ', (011 , 'MI 3 I xn xn+11 9 /1296,u en e xn i xn-1 que de e mina la dis áncia dex n+1 as en unció de la dis áncia en e x n i x n-1 . S' ha u ili za la desigual a I ( n) I _< l " ' (u) I I xn x n-1 1 3 /6 que s' ob é desen olupan pe Taylo ins o d e 3 ax n-1 i a aluan a x n . g4 . Caq :)a ació amb Txebyshe .- Al demos a a l'apa a an e io la con e - géncialocal hem u ili za la idea del mé ode de Txebyshe d'o d e 3 que consis eix en conside a s, solució de l'equació, can _1 (0) i calcula -la desen olupan pe Taylo _1 ins a segono d e . Aques mé ode é dona pe x n+1- xn (x n ) / ' (x n )- " (x n ) 2 (xn ) /2 ' (x n ) i é e o s- n-( _  1)  3 (x n )/6 amb  en e 0 i (x n ), pe més de alls eu e [1] . CanH- , alesho es H -1 _ _1 i pe an (H -1 } " ' ~( 1 ) " ' a ixí sembla pu ís ica~ que elnoumé ode se álleuge amen millo que el de Txebyshe , ja que a la se a exp essió de Te o apa eix el e me (H -1 ) " -U-1)101 . Obse em els passos segui s pe a dedui els dos mé odes en el següen diag ama (S) =O Aillan s 0= (x) + ' (x) (s-x) + " (x) (s-x) 2 /2 - nou mé ode - Mé ode i e a iu mé ode de Txebyshe - -_---~  d' o d e 3 Taylo d'o a e 2 s= 1 (0) Es eu així que el ca i segui pe Txebyshe dóna mé odesd'o d e n,pe o n na u al,men e que 1'al e ca i queda limi a al no pode -se e- sold e pe  adicals les equacions polincaaiques deg aumés g an que 4 . Es in e essan no a que aques diag ama com ni a o almen si a- llem Taylo a o d e 1 .Ei esul a és el i- Z ode de New on-Raphson . §5 . Teo ema de con e génciaglobal 3 Teo e ma  Sigui :[ a, b] ---o R, , e C [ a, b]  alque (i) (a) (b)< 0 (ü) ', ", "' enen signecons an a [ a,b] (¡¡¡) ' (x) "' (x)< 0 pe a o x de [ a, b] Alesho es pe a o x 0 : e[ a,b] la successió xn cons uida pe x n+1 =x n +F(x ) endeix monó onamen e s s, única solució de (x)=0 a [a,b] . Demos ació :  To sels casos es poden edui a '>O, ">0, '''< O .En aques cas enim els següen s esul a s que p o en el eo ema a) h(x)= '(x)2-2 (x) '(x) és posi i a pe o x de [a,b] . b) F(x)> 0 si xe[a,s) i F(x)< 0 si xe(s,b] . c) x+F(x)< s si xe[a,s) i x+F(x)> s si xe(s,b] . Obse en que 1'idea d'aques a de os aci6és 1,3 del eo ema de con e génciaglobal de New on-Raphson [2] . §6 . C~ amn pels ze os múl iples .- Conside em p ime el cas en que la mul iplici a des és 2, lla o s enim con e gbncia quad á ica si "(s) '' '(s) és nega iu i p enem x 0 a p op de s  pe b a la d e a de s o bé si "(s) " '(s) és posi iu i p enem x0 a p op de s pe ca a 1'esque a de s, ja que G(x)=x + +F(x) ccupleix G(s)=G (s)=O, G"(s)y£0 . La unci6 h(x)= '(x)2-2 (x) "(x),que igu a dins del adical del mb ode,és nega i a pe als al escasos . Si la mul iplici a des és ND 2,~ h(x)=h2M(T)(x-s)2M/(2M)! on T es á en e x i s,a a bé can h2M(s)---B( M+l(s))2 i B >0 enim que a un en o n p ou pe i de s,h(x)< 0 . Pe an el mb ode no es á de ini , pe o si en x n+l - xn+(- '(xn)+E(2 ( n) "(xn)- '(xn)2)1/2)/ _   (xn) n'ob enimunde con e - gbncia lineal . §7 . bcemples numb ics .- Pe a il .lus a aques mb ode obse em co o es cae po a en algunes uncions pa icula s cca% :)a an els esul a s amb els de els é1 odes de Txebyshe (o d e 3) i de New on (o d e 2) pe les ma eixes uncions . -4 1  I 1  I I I1 I l  ~1 I i I h ¡- 1.  i  I I  l y  I. 1,  ~,, - ~,, - J 4 Mé odes de :  Txebyshe (- - - -)  New on (------- )  nou (  ) ( ig . 3) eloci a de con e gIncia conside em les uncions 1 (x) = x - cos x 2 (x)  = ex -3x alesho es les equacions 1 (x) =0 i 2 (x) = 0 enen espec i amen un ze o, diguem s, i dos ze os, diguem s i , s 2 . A les igu es 2 i 3 es ep e- sen a a 1'eix x el pun x 0 pe al que s'inlcia el mé ode, pe les uncions 1 i 2 espec i amn (aques x 0 a ia de -4(0 .1)4) . La ima ge dex 0 és semp e un nímie o en e , que ep esen a el nomb e d'i e acions necessá ies pe a ob eni la soluci6 amb 1 .6 xi es decimals exac es . Amb les línies inclinades donem con inui a a la g á ica . Quan unx 0 no é ima ge, ol di o queel mé ode no con e geix o que necessi a mes de 8 i e acions pe a oba la soluci6 amb la p ecisi6 desi jada . Veiem, en aques exemples, una eloci a mes g an del mé ode aquíes udia espec edeis al es aquí conside a s . Els in e als eb ics de con e gencia dona s pels eo emes de con e gencia globals6n pe a la unci6 l :  (0,1 /2) i (z,T /2) en el nos e me ode i el de New on-Raphson, espec i amen , on zE (-0 .4,-0 .3) i pe a la unci6 2 donen lloc al ma eix in e al de con e gencia : (- -,1n3) . Ag aímen s Ag aeixo a JaumeLlib e la se a di ecci6 en la eali zaci6 d'aques eball . Re e éncies 1 .- I .S .Be ezin andN .P .Zhidko , Ccapu ing Me hods , Pe gamon P ess, 1965 . 2 .- P .Hen ici, Elemen s o Nume ical Analysis , JhonWiley & Sons, 1964 .