Pub
.
Ma
.
UAB
N° 22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
POLINOMIOS
GENERALIZADOS
.
-SPLINES
GENERALIZADOS
.
ALGUNOS
ALGO-
RITMOS
CONVENIENTES
F
.
Aleixo
Oli ei a
Cen o
de
Ma emá ica
Uni e sidade
de
Coimb a
Abs ac
-
We
conside
spline unc íons
o
gene alized
polynomials,
S
pg
(x)í
which
a e
an
ex ension
o
spline
polynomials
unc ions
.
We
p oo e
he
exis en eand
he
unici y
o
an
in e pola e
S
pg
(x)
o
o de
wo,
o
a
eal- alued
unc ion
,
known
a
n
gi en
eal
poin s
.
An
ex ension
o
he
Lag ange
in e pola e
is
gi en
on
he
linea
space
o
he S
pg
(x)
unc ions
o
o de
wo
.
Finally
we
p esen
an
app oxima ion
o
hís og ams
by
S
pg
(x)
un-
c ion
o
o de h ee
.
1
-
A
gene alizadóo
do
concei o
de
polinómiosle ou
a
conside a
combinagóes
linea esde
dadas
ungóes
{gi(x)}i=1
.
Supo emos
que
es as
ungóes
o mam
um
n
sis ema
de
Chebyshe
em
j,b1
-IR
.
As
combinagóes
linea es

Ec

g
.(x)
se áo
i=1
i
i
designadas
po
polinómiosgene alizados
.
Pode emos
conside a
di e en es
ipos
de
ap oximagoes
po
meiodes-
es
polinómios
gene alizados
-ap oximagáo
de
Chebyshe ,
ap oximagáo
em
p
Ea,bj
,
e c
.
Exis em esul ados
mui o
impo an es
sob e
o
assun o
.
Ve
E2]
.
Recen emen e,
G
.Muhlbach,
e
[:3
:
e
[42
e F
.Oli ei a
E5]
ap esen-
a am esul ados
sob e
in e polagáopo
polinómiosgene alizados
.
Muhlbach
gene aliza
os
esul ados
conhecidos
pa a
polinómioso diná ios
ap esen ando
o
algo i mo
de
Ne ille-Ai ken
e o
de
New on-das-Di e engas-Di ididas
pa a
p2
linómios
gene alizados
.
F
.Oli ei a
desen ol e
um
in e polado náo linea
ob i
do
a
pa i
da
ungóes
{gi
(x)}°
=1
dadas
.
Es es
esul ados
sob e
polinómios
gene alizados
suge em
na u almen e
no as
gene aiizagóes
.
2
-
Lemb emos
que
podemos
de ini
ungao
spline
polinomial
de
g au
m(m=0,1,2,
. .
.)
e
con inuidade

k
(k
>0
,
in ei o)

como
a
uncao
S~~(x)
e Ck
[,b1
que
se
eduz
a
um
polinómio
de
g au

m

(ou
in e io )
em
cada
subin e alo

da
pa ido
A
de
Um
ipo
semelhan e
de
ungóes
spline
u ilizandopolinómios
gene ali-
zados,
pode
se
de inido
:
Splines
de
PolinómiosGene alizados
-
di emos
que
s(x)
é
um
spline
de poli
nómios
gene alizados
de
o dem

n

em

1
a,b
;
C
IR

e
nodos

{x
.}N

e Ea
b1

se
n

--¡
1
i=1
a)
s(x)
é
da
o ma

E c
i
gi
(x)
em cada
in e alo
Ex¡-l,xi~
da
i=1
pa igao
A
de
E,bl
;
b)

s(x)
EC
k
E,b1

com
k >0
Designa emos
po
S
pg
(m,k) o
conjun o
dos
splines
de
polinómios
gene aliza-
dos
de
o dem
m
e
con inuidade
k
em
l,b1
,
Teo ema
1 -

Dada
uma ungao

:
A ->B
,
com

A,B
e
R
,
exis e
um
único
elemen
o

s(x)

eS
pg
(2,k)

que
ap oxima


em
cada
in e alo

2,,T,,,
:

de
A
=
ía
.b7

e
aue
é
in e DOlado Da a


nos
Don os

{T
.
}n

de
Da icao
1
i=l
A
:
a=T
1
<T
2
<
.
.
.<T
n
=b
.
Pa a

xe
21,T2
2

e emos

s(x)
eS
pg
(2,k)

dado
po
s(x)
=
cll
9
1
(x)
+c
12
g2(x)
=
(T1)
DC,~~T21
+
(T2)
D
2l
,x1
D
l=1 ,T
2
1

D
21,T2
:
Ig
l
(T
1 )
g
l
(T2)
com

D
LT1,T2
1
-_

~

#
0
92
(T
1)
g
2
(T2)
De
modo
análogo

s
(x)
=cil
gl
(x)
+ cí2

g2
(x)

pa a

xE

T
í
,T
i+1

,
i
=1,
. .
. .
n
1
.
É
e iden e
que

s(T
1
.)

-
(T
1
.)

i
=1,
. .
.,n

e

em
cada

T1
.,T
1.+
.1
7
_
é
in e polados
único
.
Ve
E2]
,
pg
.78
.
Se

{g
i
(x)
}

E
C
k
Ea,
bl

e emos

s
(x)
e Ck
1
-,b7
i
=1
0
e o
da
ap oxímagáo
s(x) pa a
pode
exp imi -se
po
E
(x)

=
(x)
- s (x)

=
L

(1)
- s"
(1
)j

(x-T
i
)
(x-T
i+1
)
pa a

x
E
LTi,Ti+l1

com

1
E
:Ti
,
Ti
+
l
L

,

i
=
1,
. .
. .
n-1
3
-
Designando
po
A
o
espagolinea
de
odas
as
ungóes
spli e
de
polínó-
mios
gene alizados
de
o dem
2 e
con inuas
em
LT
1
,T
n
I
,
com
possi eis
des-
con inuidades
pa a
as
de i adas
nos
pon os
T
2
,
. .
.,T
n-1
,
cons ui emos
uma
basepa a
A
:
Seja
To
:
=T
1
,
T
n+l
:
=
Tn

.
Tomemos
D
E
'Ti
+11
D
C
i ,T
i+17
a)

H
(T
.)
=
6
. .
=
{ 1

i
=
j
i

~

ij

0

i
b
j
b)

H
i
(x)

E

A

,

i
=l,
.
. .
.
n
coincide
com

,

s
(x)
= (x)
EA

.
n
d)

(x)

=

E

(T
i )

H
i
(x)
i=1
conhecida
nos
{Ti}i-1
pon os
.
T
i
_
1
< x
<T
i
Ti
<
x
<T
i+l
n
c)

E
(T
i)
H
i
(x)
EA
e
coincide
com
(x)
nos
pon os
T
i
,. .
.
.
.Tn
.
i=1
Teo ema
g,
-
Se


é
um
elemen o
de

A
en áo
o
seu
in e polados

s
(x)
ES
pg
(2,k)
En áo
de
c)
em
que
(x)
EA
se
pode
exp imi
na
o ma
Chama emos
a
c)
in e polado a
de
Lag ange
em
A,
pa a
uma
ungáo
(x)
4 -
Ap oximagáo
de
his og amas
po
splines
de
polinómiosgene alizados
de
o -
den
is
.
Supomos
dados
po
essas
equagóes
.
1
-
Um
conjun o
de
{gi(x)}
3i-1
ungóes
o mando
um
sis ema
de
Chebyshe
em
E,b
:
.
2
-
Uma
sucessáoes i amen e
c escen e
de
pon os
{T
i}
n+l
eC
.b
:
i=1
3 - 0
his og ama
de
una ungáo
.
P e ende-se
ap oxima
,
a
pa i
do
his og ama
dado,
po
meio
de
um
spline
de
polinómios
gene alizados
de
o dem
3,
que designa emos
po
s(x)
es
pg
(3,k),
A
pa igáo
0
de
E,bl,
ob ida
pelos
pon os
{T
i}
1
+1
,
o igina
n
in-
e alos
em
E,b
:
Pa a
conhece mos

s(x)

em
CT1,Tn+1J

necessi amos
de
de e mina

3
n
incógni as

c
ij
,
i
=1,
. .
.,n
,
j
=1,2,3
.
I emos
ob e essas incógni as
pela
esolugáo
de
um
sis ema
de

3 n
e-
quagóes
linea es
conjun as
.
Essas
equagóes
ob én-se
.impondo
condigóes
de
in e polagáo
e
de
homo-
geneidade,
na u almen e
suge idas
pelo
his og ama
dado
.
a)
Condigóes
de
in e polagao
1
-
s
(T1)

=
s
(Tn+l)
=0
2
-
~-
i+1
s
(x)

dx
=
hi

Ti
b)
Condigóes
de
homogeneidade
nos
nodos in e io es
T
i
,
i
=2,
. .
.,n
.
con

á
T
i
=
T
i+1
=
Ti
(
o
T
.
)
2
1-s(T)+AT
s'
(T)+

1

s"(T)=s(T
.

)
2 - s' (T
i
)
+á
TiSI(Ti)
=
s'
(T
i+1)
Temos
no
o al
n+2 condiSoes
de
in e polagáo
e
2
(n-1)

condígóes
de
homogeneidade
que nos pe mi eigob e
s(x)
pela
esolugáo
do
sis ema o mado
me icalAnalysis-RegionalCon e ence
Se ies in
Applied
Ma h
.
Bibliog a ia
1
-
Boo ,
C
.
de, 11978]
-
A
P a icalGuide
o
Splines,
Sp inge
Ve lag
.
2 -
Cheney,
E
.M
.
119661
-
In oduc ion
o
App oxima ion
Theo y,
Mc
G aw-Hill
.
3
-
Muhlbach,
G
.,
j
-
1
978I
-
The
Gene al
Ne ílle-Ai ken
Algo i m
and
Some
Appl
.,
Num
.
Ma h
.
31,
97-110
.
4 -
19
791
-
The
Gene al
Recu ence
Rela íon
o
Di íded-
-Di
.
and
he
Gene al
New on-In e p
.
-
Algo-
i hm
wi h
Appl
.
o
T ig
.
In e p
.,
Num
.
Ma h
.
32,
393-408
.
5
-
Oli ei a,
F .A
.,
E19791-
Quasilinea
In e pola ion
by
Ge e alized
Polynomials,
o
appea
.
6
-
Va ga,
R
I
.
-
1
-
1
971
:
-
Func ional
Analysis
and
App ox
.
Theo y
in
Nu-