Polinómios generalizados : splines generalizados : algunos algoritmos convenientes

Pub . Ma . UAB N° 22 No . 1980 Ac es VII JMHL POLINOMIOS GENERALIZADOS . -SPLINES GENERALIZADOS . ALGUNOS ALGO- RITMOS CONVENIENTES F . Aleixo Oli ei a Cen o de Ma emá ica Uni e sidade de Coimb a Abs ac - We conside spline unc íons o gene alized polynomials, S pg (x)í which a e an ex ension o spline polynomials unc ions . We p oo e he exis en eand he unici y o an in e pola e S pg (x) o o de wo, o a eal- alued unc ion , known a n gi en eal poin s . An ex ension o he Lag ange in e pola e is gi en on he linea space o he S pg (x) unc ions o o de wo . Finally we p esen an app oxima ion o hís og ams by S pg (x) un- c ion o o de h ee . 1 - A gene alizadóo do concei o de polinómiosle ou a conside a combinagóes linea esde dadas ungóes {gi(x)}i=1 . Supo emos que es as ungóes o mam um n sis ema de Chebyshe em j,b1 -IR . As combinagóes linea es  Ec  g .(x) se áo i=1 i i designadas po polinómiosgene alizados . Pode emos conside a di e en es ipos de ap oximagoes po meiodes- es polinómios gene alizados -ap oximagáo de Chebyshe , ap oximagáo em p Ea,bj , e c . Exis em esul ados mui o impo an es sob e o assun o . Ve E2] . Recen emen e, G .Muhlbach, e [:3 : e [42 e F .Oli ei a E5] ap esen- a am esul ados sob e in e polagáopo polinómiosgene alizados . Muhlbach gene aliza os esul ados conhecidos pa a polinómioso diná ios ap esen ando o algo i mo de Ne ille-Ai ken e o de New on-das-Di e engas-Di ididas pa a p2 linómios gene alizados . F .Oli ei a desen ol e um in e polado náo linea ob i do a pa i da ungóes {gi (x)}° =1 dadas . Es es esul ados sob e polinómios gene alizados suge em na u almen e no as gene aiizagóes . 2 - Lemb emos que podemos de ini ungao spline polinomial de g au m(m=0,1,2, . . .) e con inuidade  k (k >0 , in ei o)  como a uncao S~~(x) e Ck [,b1 que se eduz a um polinómio de g au  m  (ou in e io ) em cada subin e alo  da pa ido A de Um ipo semelhan e de ungóes spline u ilizandopolinómios gene ali- zados, pode se de inido : Splines de PolinómiosGene alizados - di emos que s(x) é um spline de poli nómios gene alizados de o dem  n  em  1 a,b ; C IR  e nodos  {x .}N  e Ea b1  se n  --¡ 1 i=1 a) s(x) é da o ma  E c i gi (x) em cada in e alo Ex¡-l,xi~ da i=1 pa igao A de E,bl ; b)  s(x) EC k E,b1  com k >0 Designa emos po S pg (m,k) o conjun o dos splines de polinómios gene aliza- dos de o dem m e con inuidade k em l,b1 , Teo ema 1 -  Dada uma ungao  : A ->B , com  A,B e R , exis e um único elemen o  s(x)  eS pg (2,k)  que ap oxima   em cada in e alo  2,,T,,, :  de A = ía .b7  e aue é in e DOlado Da a   nos Don os  {T . }n  de Da icao 1 i=l A : a=T 1 <T 2 < . . .<T n =b . Pa a  xe 21,T2 2  e emos  s(x) eS pg (2,k)  dado po s(x) = cll 9 1 (x) +c 12 g2(x) = (T1) DC,~~T21 + (T2) D 2l ,x1 D l=1 ,T 2 1  D 21,T2 : Ig l (T 1 ) g l (T2) com  D LT1,T2 1 -_  ~  # 0 92 (T 1) g 2 (T2) De modo análogo  s (x) =cil gl (x) + cí2  g2 (x)  pa a  xE  T í ,T i+1  , i =1, . . . . n 1 . É e iden e que  s(T 1 .)  - (T 1 .)  i =1, . . .,n  e  em cada  T1 .,T 1.+ .1 7 _ é in e polados único . Ve E2] , pg .78 . Se  {g i (x) }  E C k Ea, bl  e emos  s (x) e Ck 1 -,b7 i =1 0 e o da ap oxímagáo s(x) pa a pode exp imi -se po E (x)  = (x) - s (x)  = L  (1) - s" (1 )j  (x-T i ) (x-T i+1 ) pa a  x E LTi,Ti+l1  com  1 E :Ti , Ti + l L  ,  i = 1, . . . . n-1 3 - Designando po A o espagolinea de odas as ungóes spli e de polínó- mios gene alizados de o dem 2 e con inuas em LT 1 ,T n I , com possi eis des- con inuidades pa a as de i adas nos pon os T 2 , . . .,T n-1 , cons ui emos uma basepa a A : Seja To : =T 1 , T n+l : = Tn  . Tomemos D E 'Ti +11 D C i ,T i+17 a)  H (T .) = 6 . . = { 1  i = j i  ~  ij  0  i b j b)  H i (x)  E  A  ,  i =l, . . . . n coincide com  ,  s (x) = (x) EA  . n d)  (x)  =  E  (T i )  H i (x) i=1 conhecida nos {Ti}i-1 pon os . T i _ 1 < x <T i Ti < x <T i+l n c)  E (T i) H i (x) EA e coincide com (x) nos pon os T i ,. . . . .Tn . i=1 Teo ema g, - Se   é um elemen o de  A en áo o seu in e polados  s (x) ES pg (2,k) En áo de c) em que (x) EA se pode exp imi na o ma Chama emos a c) in e polado a de Lag ange em A, pa a uma ungáo (x) 4 - Ap oximagáo de his og amas po splines de polinómiosgene alizados de o - den is . Supomos dados po essas equagóes . 1 - Um conjun o de {gi(x)} 3i-1 ungóes o mando um sis ema de Chebyshe em E,b : . 2 - Uma sucessáoes i amen e c escen e de pon os {T i} n+l eC .b : i=1 3 - 0 his og ama de una ungáo . P e ende-se ap oxima , a pa i do his og ama dado, po meio de um spline de polinómios gene alizados de o dem 3, que designa emos po s(x) es pg (3,k), A pa igáo 0 de E,bl, ob ida pelos pon os {T i} 1 +1 , o igina n in- e alos em E,b : Pa a conhece mos  s(x)  em CT1,Tn+1J  necessi amos de de e mina  3 n incógni as  c ij , i =1, . . .,n , j =1,2,3 . I emos ob e essas incógni as pela esolugáo de um sis ema de  3 n e- quagóes linea es conjun as . Essas equagóes ob én-se .impondo condigóes de in e polagáo e de homo- geneidade, na u almen e suge idas pelo his og ama dado . a) Condigóes de in e polagao 1 - s (T1)  = s (Tn+l) =0 2 - ~- i+1 s (x)  dx = hi  Ti b) Condigóes de homogeneidade nos nodos in e io es T i , i =2, . . .,n . con  á T i = T i+1 = Ti ( o T . ) 2 1-s(T)+AT s' (T)+  1  s"(T)=s(T .  ) 2 - s' (T i ) +á TiSI(Ti) = s' (T i+1) Temos no o al n+2 condiSoes de in e polagáo e 2 (n-1)  condígóes de homogeneidade que nos pe mi eigob e s(x) pela esolugáo do sis ema o mado me icalAnalysis-RegionalCon e ence Se ies in Applied Ma h . Bibliog a ia 1 - Boo , C . de, 11978] - A P a icalGuide o Splines, Sp inge Ve lag . 2 - Cheney, E .M . 119661 - In oduc ion o App oxima ion Theo y, Mc G aw-Hill . 3 - Muhlbach, G ., j - 1 978I - The Gene al Ne ílle-Ai ken Algo i m and Some Appl ., Num . Ma h . 31, 97-110 . 4 - 19 791 - The Gene al Recu ence Rela íon o Di íded- -Di . and he Gene al New on-In e p . - Algo- i hm wi h Appl . o T ig . In e p ., Num . Ma h . 32, 393-408 . 5 - Oli ei a, F .A ., E19791- Quasilinea In e pola ion by Ge e alized Polynomials, o appea . 6 - Va ga, R I . - 1 - 1 971 : - Func ional Analysis and App ox . Theo y in Nu-