Pub
.
Ma
.
UAB
N° 22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
INTERPOLACION
POR
RECURRENCIA
:
UNA
FORMULA
GENERAL
M
.
Gasca,
A
.LÓpez
Ca mona
Dp o
.
d
e
EcuacionesFuncionales
Uni e sidad
de
G anada
ABSTRACT
.
We
gi e
a o mula
o
cons uc
he
solu ion
o
he
in e po-
la ion
p oblem
wi h
n m
linea o msas
da a
om
he
solu ions
o
s
simple in e pola ion
p oblems,
ex ending
he
esul s
o
G
.
Mühlbach
[2],

[31
.
As
pa icula
caseso
his
o mula
we
ob ain
a
New on,
Lag ange
and
Ai ken-Ne ille
o mulas
o
one
o
se e al
a iables
.
We
gi e
an
example
o
in e pola ion
in
any
six
poin so
R
2
by
using
polynomials
o deg ee
wo
.
1
.
De iniciones
y
no aciones
.
Sea
W
un
espacio
ec o ial
de
unciones
de
una
o
a ias
a iables,
con
alo es
en
un
cue poK
conmu a i o
y
de
ca ac e-
ís ica
ce o
.

Sean
m,
n
EN
y

n+m
={L
i
,
i=1,2,
.
.,n+m}
un
conjun
o
de
n+m
o mas
lineales
sob e
W
.
Sea
{ 1, 2,

n m}
un
conjun-
o de
elemen os
de
W
linealmen e
independien es,
ales
que
1
' 2,
. .
; n+m
(1)

de
l

£n m

1
=
de (L
i
(
j
))
~
0,
i,j
=
1,2

,n m
y
sea
V
el
espacio ec o ial
que
engend an
V
=
< 1,
..
. n m
>
.
No emos
po
~ l' 2'
. . .
. n+m
(2)

p
£n+m
a
la
unción
de
V
que
es
solución
única
del
p oblema
l'
.
' n+m
n+m
pa a
una
cie a unción
en
el
espacio
W,
la
llama emos
unción
in e polado a
de
espec o
al
conjun o
de
da os
de
in e polaci-
ón
£n+m'
No a emospo
l,
.
.
., n+m
p
I
£n+m

I
(x)
al
alo
de
dicha
unción
en un pun o
x
cualquie a
del
conjun o
de
de inición
de
las
unciones
de
W
.
é
a
polación
256
Sean
£
n,i
,
i=
1,2,
. .
.,s,

1< s<
m+1,
s
subconjun os
de
n
elemen os-
cada
uno
de
£n+m'
Supond emos
que
11
. .
.,
n
(4)

de

£

)~
0

i=
1,2,
.
. .
.s
.
Po
o apa e,
£

deno a á
la
unción
pe enecie -
n,i
< l,
. .
.
. n>
que
esuel e
el
siguien ep oblema
de
in e -
Po
úl imo,
no a emos
po
l'
-
' n
l'

.

'
n
£n, i
=L
j
( ),
L
i
E£
n,i
I l'
...
. n+m
ak

£
n+m

k

k-
1
2,
....
n+m
al
coe icien e
de
k
en
la
unción
(2)
que
llama emos
k-ésima
di e encia
di idida
de
espec o
del
p oblema
(3)
.
Teo ema
1
.
Pa a odo
x
del
conjun o
de
de inición
de
las
unciones
de
W
alque
(6)
D(x)=
se
e i ica,
s
n+m

l'
.
.
., n
+

E

E

Ai (x) .ak
.
(
k
(x)
-p
k

£

(x)
)
i=1
k=n+s

n,i
siendo
a
i
(x),
i=1,2,
. .
.,s
la
única
solución
del
sis ema
s
p
n+1

i
.
.
.,£n

(x)'-
.P n+l

l
,
. .
.,
n

(x
£
n,l

£
n,s
, . .
.,

, .
.,
p
n+s-lI
l
£n,l
n
1(X),,p n+s-11
l£I1,S
n
(x)
. .
, n+m

S

l
.
.
.
., n
£

(x)
=
E
ai
(x)p

£

(x) +
n+m

i=1

n,i
E
a
i
(X)p

£

(x)
=
j
(x),
j=n+l,
.
.
.,n+s-1
j
i=1

I

n,
i

I
Consecuencias
.
0
i)
Pa a
s=m+l,
se
ob iene
la
ó mula
de
Ai ken-Ne ille
gene ali-
zada
de
21,
l`
., n+m

m+1

l,
. .
., n
(9)

p
£

(x)
=
E
ai(x)p
£

(x)
n+m

i=1

n,i
ii)
Pa a
s=
1,
se
ob iene
la
ó mula
de
New ongene alizada
da-
da en [31,
1
, .
.
.,
n+m
(10)

p
i

£
n+m
I
(x)
=
p
1'
.
0 n1
(x)
+
£
n,i
n+m

l,
...
. n
+E
ak
.(
k
(x)
-
p
k £

(x))
k=n+1

n,i
iii) Si
s=m+1,
n=1,
se
ob iene
una
ú mula
de
Lag ange
.
2
.
In e polaciónen
seis
pun os
de
R
2
median e
polinomios
de
a ado
dos
.
Se
conside a
el
p oblema
de
in e polación
(11)

(P
i
)
=p(P
i
),

i=1,2,
.
.
.,6,

peP2
donde
los
Pi
son
pun oscualesquie a
de
R
2
.
Es
e iden e
que
i
10X,
...y
y
P
1
, . .
.,P
6
es
nulo
si
-y
sólo
si
los
pun os
P
i
es án
en
una
cónica
.
Po
an-
o
.
el
p oblema
no ienesolución
o
no la
iene
única
sal oen
los
casos
siguien es
:
1)
Si
es
pun os
es án
en
una
ec a
0
,
dos
en
o a
l
y
el
úl imo
no
es á
ni
en
0
ni
en
l
,
(11)
se
esuel e
po
el
mé-
odode
[11
.
2)
Si
no
hay
espun os
alineados
en e
los
P
i
,
sino
que
se
encuen an
dos
.
a
dos
en
ec as
0 ,
1
y
2
en onces
po
el
p ocedimien o
de
[1]
es
imposible
ene
como
espacio
de
in
e polación
a
P2
.
No
obs an e,
si
se
puede
aplica
dicho
mé-
odopa ahalla
la
soluciún
de
los
p oblemas
(13)

(P
i
)
=
P(P
i),

i=1,,2,3,4,5
(14)

(p
i
)

=

p' (Pi
) ,

i
=1,2,3,4,6
258
en un
subespacio
PP
2
,
de
dimensión
cincocuya
base
se
ob iene
po
el
p ocedimien o
dado
en
(1'
.
.
Con
las
solucionesde
(13)
y
(14)
y
omando
como
c
;
6
bien
y
2
,
dependiendo
cómo
se
hayan
.
elegidog
1
,
.
.
.,g
5
,
es amos
en
las
condiciones
del
eo ema
1
con
n=5, m=1,
s=2,
po
an o
end emos
g
1
, . .
.,g
6
p

£

(x)
=
a
l
(x)
p
6
con
a
l
(x) y a
2
(x)

solución
del
sis ema
(8)
.
BIBLIOGRAFIA
2
.
3
.
g
1
, . . .
,g5
£
5,1
.."
g5'
2
x o
9
11
. .
.,g
5
(x)
+
~2
(x)
p

£

(x)
5,2
GASCA,M
.
&
MAEZTU,J
.I
. :
"On
Lag ange
and
He mi e
in e pola-
ion
in
Rk
"
.
Remi idoa
Num
.Ma h
.(1980)
MUHLBACH,G
. :
"The
gene al
Ne ille-Ai ken-algo i hm
and
some
applica ions"
.
Num
.Ma h
.31,
(1978)
MUHLBACH,G
. :
"The
gene al
ecu ence
ela ion
o
di ided
di e ences
and he
gene al
New on-in e pola ion
algo i hm
wi h
applica ions
o
igonome ic
in e pola ion"
.
Num
.Ma h
.
(1979)